TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN
DIVISIÓN: Ingeniería Mecatrónica
ASIGNATURA: Dinámica de Sistemas
UNIDAD II
ELABORÓ:
Miguel Angel Salas Hernández
DOCENTE: Ing. Jorge Edmundo Mastache Mastache
GRUPO: IR-!"
E#ido de San Juan $ San Agustín% Jocotitlán% M&'ico% (( de )o*iem+re del (!",.
Índice Introducción.....................................................................................................3 Sistemas hidráulicos.......................................................................................4 Sistemas térmicos...........................................................................................7 Sistemas neumáticos......................................................................................9 Conclusión......................................................................................................11 Bibliografía.....................................................................................................12
Introducción El estudio de los sistemas dinámicos es de imortancia $a ue estos están relacionados con el mundo real. /or medio de ecuaciones di0erenciales es osi+le descri+ir el comortamiento de una gran cantidad de 0enómenos 0ísicos. Sin em+argo% muchas *eces con*iene usar sistemas dinámicos discretos ara o+tener in0ormación de los 0enómenos ue nos interesan.
/ara estudiar el comortamiento de los sistemas se utilizan modelos matemáticos% ue se reresentan or ecuaciones% las cuales descri+en las relaciones entre la entrada $ la salida de un sistema% $ ue tam+i&n se aro*echan ara redecir el comortamiento de un sistema en condiciones esecí0icas. 1as +ases de estos modelos se o+tienen de le$es 0ísicas 0undamentales ue rigen el comortamiento de un sistema. En este caítulo se considerarán di*ersos sistemas% inclu$endo los casos mecánicos% el&ctricos% t&rmicos $ de 0luidos.
Sistemas hidráulicos En sistemas de 0luidos e'isten tres +loues 0uncionales% los cuales se ueden considerar eui*alentes de la resistencia% la inductancia $ la caacitancia. /ara estos sistemas la entrada% el eui*alente de la corriente el&ctrica% es la razón de 0lu#o *olum&trico % $ la salida% el eui*alente de la di0erencia de otencial el&ctrico% es la di0erencia de resiones% 2 p1− p2 3. 1os sistemas 0luidicos se ueden considerar incomrensi+le $ los neumáticos son los ue su 0luido es un gas ue uede ser comrensi+le $ resenta cam+ios de densidad. 1a resistencia hidráulica es la resistencia al 0luir ue se resenta como resultado de un 0lu#o de líuido a tra*&s de *ál*ulas o cam+ios de diámetro de las tu+erías. 1a relación entre la razón de 0lu#o *olum&trico del líuido a tra*&s de un elemento resisti*o $ la resultante di0erencia de resiones 2 p1− p2 3 es4 p1− p2 5Rq
Donde4 R4 es una constante llamada resistencia hidráulica. A ma$or resistencia hidráulica ma$or es la di0erencia de resiones ara dar una razón de 0lu#o. Capacitancia hidráulica es el t&rmino ue se emlea ara descri+ir el almacenamiento de energía con el líuido% donde esta se almacena en 0orma de energía otencial. /ara esta caacitancia la tasa de cam+io del *olumen 6 en el contenedor% es decir% dV/dt % es igual a la di0erencia entre la razón de 0lu#o q1 a la
ue el 0luido entra en el contenedor% $ la razón de 0lu#o de
q 2 a la ue de#a el
contenedor. q1 q2 −
dV 5 dt
/ero V=Ah% donde A es el área de la sección tras*ersal del contenedor $ h la altura del 0luido en &l% /or lo tanto
q1 −q2 5
d ( Ah ) dh − A dt dt
/ero la di0erencia de resiones entre la entrada $ la salida es % donde p=hρg
Donde ρ es la densidad del líuido $ g la aceleración de+ida a la gra*edad. Así% q1 q2 −
d(
5 A
p ) ρ g dt
5
A dp ρ g dt
Si se considera ue el líuido es incomrensi+le% es decir% su densidad no cam+ia con la resión. 1a caacitancia hidráulica 7 se de0ine como C
A ρ g
=
De este modo% dp q1 q2 5 C dt −
Al integrar esta ecuación se o+tiene p=
1
∫ ( q 1−q 2 ) dt
C
1a inertancia (inercia) hidráulica es el eui*alente a la inductancia en sistemas el&ctricos o a un resorte en sistemas mecánicos. /ara acelerar un 0luido $ así incrementar su *elocidad se reuiere una 0uerza. 1a 0uerza neta ue act8a so+re el líuido es4 F 1− F 2= p1 A − p 2 A −( p 1− p2 ) A
Donde 2"-(3 es la di0erencia de resiones $ A es el área de la sección tras*ersal. 1a 0uerza neta roicia ue la masa se acelere con una aceleración a% $ así 2 p1− p2 ¿ A=ma /ero a es la tasa de cam+io de la *elocidad dv/dt % or lo tanto dv 2 p1− p2 3 A=m dt
/ero la masa del líuido considerado tiene un *olumen AL% donde I es la longitud del +loue de líuido o la distancia entre los dos untos en el líuido donde se miden las resiones p1 y p2 . Si el líuido tiene una densidad ρ % entonces m=AL ρ % $ así dv 2 p1− p2 ¿ A=AL ρ dt
/ero la razón de 0lu#o *olum&trico q=Av % or lo tanto dq 2 p1− p2 3A51 ρ dt dq p1− p2 5I dt
Donde la inertancia hidráulica I se de0ine como I5 9loue 0uncional
Ecuación descriti*a Almacenamiento de energía 1 Inductor i5 L vdt
∫
Inertancia hidráulica
5 1
L
7aacitor
∫ ( p 1− p 2) dt dv I57 dt
L ρ A
Energía:otencia
E5
1 2 1
E5
2
1
E5
2
Li I q
2
7onstante análoga 1
L 2
Cv
1
L
2
7
7aacitancia hidráulica
d ( p 1− p 2) q −C dt
E5 1 2
Disiación de energía Resistor Resistencia hidráulica
i q=
¿
v R
( p 1− p 2) R
7 2
C ( p 1− p 2 )
1
P= v R p 1 − p 2
¿ ¿ 1 P = ¿
1
2
R 1
R
R
;a+la ". 9loues 0uncionales análogos hidráulicos-el&ctricos
Sistemas térmicos Muchas de las alicaciones de control necesitan del modelado de disositi*os ue sus comortamientos dinámicos están determinados or trans0erencias de calor. 1os sistemas t&rmicos son auellos ue in*olucran el intercam+io de calor de una sustancia a otra. Solo ha$ 0lu#o de calor neto entre dos untos si ha$ una di0erencia de temeratura en ellos Sus e'resiones siguen a la le$ de conser*ación de la energía4 la energía calorí0ica introducida ha de ser igual a la energía almacenada más las &rdidas or transmisión. Dos elementos se emlearán ara descri+ir los rocesos de transmisión del calor $ de acumulación de la energía calorí0ica4 la resistencia t&rmica $ la inercia o caacitancia t&rmica. Resistencia t&rmica En la transmisión del calor ha$ tres maneras de roducirse4 conducción% con*ección $ radiación. Dentro del ám+ito del modelado sencillo de los sistemas t&rmicos% las trans0erencias de calor sólo se *an a dar or conducción $ en menor
medida or con*ección. Am+os ueden ser e'resados a tra*&s de la resistencia t&rmica% &sta se de0ine como4
R TH
=
cambio enladiferencia de temperatura cambioen el flujode calor
=
dT dq
Ec. "
El 0lu#o calorí0ico transmitido de un cuero a otro será igualado a la di0erencia de temeratura entre am+os cueros artido or la resistencia t&rmica. 1a dirección del 0lu#o será en la dirección del 0oco caliente al 0río4
⧍ T
5 RT
Ec. (
7aacitancia t&rmica 1a inercia t&rmica muestra el ni*el de caacidad ue tiene una sustancia en almacenar la energía t&rmica. Así% or e#emlo% al calentar un deósito lleno de agua% la temeratura del agua indicará el ni*el de energía almacenado en ese momento $ la inercia t&rmica se
C TH
=
cambioen el calor almacenado cambio enla temperatura
Ec. =
1a otencia calorí0ica estará de0inida or la inercia t&rmica $ or la *ariación de la temeratura con el tiemo% seg8n se desrende de 2Ec. =34
q C TH ; =
Ec. >
1a caacitancia t&rmica estará relacionado con la masa de la sustancia ue almacena la energía t&rmica% m% $ con su calor esecí0ico% c4 Ec. ? C TH mc =
Magnitudes 0ísicas
El 0lu#o calorí0ico no de#a de ser un conceto de otencia% de energía trans0erida o almacenada or unidad de tiemo. Sin em+argo% suele emlearse unidades distintas al *atio. En los sistemas t&rmicos se cuanti0ica la otencia calorí0ica o el 0lu#o calorí0ico en @ilocalorías or segundo. Aunue la adatación al sistema internacional está en la eui*alencia entre el tra+a#o mecánico $ el tra+a#o calorí0ico. na caloría es igual a >."B #ulios. 1as magnitudes 0ísicas del resto de las *aria+les de los sistemas t&rmicos son E'traídas del análisis dimensional de las e'resiones 2Ec. "3 2Ec. =3 $ 2Ec. ?3. /restando ma$or atención en la inercia t&rmica $ en el calor esecí0ico. 1as conclusiones son mostradas en la ta+la ( C"4
;a+la (. nidades de medida del SI ara las magnitudes 0ísicas de un sistema t&rmico
9loue 0uncional Almacenamiento de energía caacitor 7aacitancia t&rmica Resistor Resistencia t&rmica
Ecuación descriti*a
dv i 5 7 dt
C TH i5
=
mc
V R ⧍ T
5 RT
Energía:otencia
7A
!= Cv 2
1
7
!=CT
7
2
1
/ 5 R
1
!= v 2 2
/55
" R 1
R
(T 1−T 2 )
1
R
R
;a+la (. 9loues 0uncionales análogos t&rmicos $ el&ctricos.
)o e'iste eui*alente t&rmico al inductor el&ctrico. 1os resistores el&ctricos disian energía% trans0ormándola en calor. )o se uede descri+ir como un disiador de energía a la resistencia t&rmica% ero descri+e el 0lu#o de calor% es decir el comortamiento cuando e'iste una di0erencia de temeraturas.
Sistemas neumáticos 1os sistemas neumáticos son sistemas de 0luido ue utilizan aire u otro gas como el medio ara la transmisión de se
9loue 0uncional
Ecuación descriti*a Almacenamiento de energía Inductor 1
i= L
∫ vdt
Energía: otencia
1
!= L i 2
2
7A
1
L
Inertancia neumática
m ´=
1
∫ ( p − p ) dt L 1
2
7aacitor
d ( p1− p2 ) m ´ =C dt
1
2
L
2
!
dv i =C dt 7aacitancia neumática
1
!= Iq
=
1 2
Cv
p1 p 2 ¿
2
7
2
7
1
!= C ¿ 2
Disiación de energía
Resistor
1
P= v R
v i= R
Resistencia neumática
m ´=
( p − p ) 1
R
2
2
1
R 2
p1− p2 ¿ 1
P = ¿ R
1
R
;a+la =. 9loues 0uncionales análogos neumáticos-el&ctricos
Conclusión /ara estudiar el comortamiento de los sistemas se utilizan modelos matemáticos% ue se reresenta or ecuaciones% las cuales descri+en las relaciones entre la entrada $ la salida de un sistema $ ue tam+i&n se aro*echan ara redecir el comortamiento de un sistema de condiciones esecí0icas.
En los sistemas de 0luidos ha$ tres tios de elementos +ásicos ue se ueden considerar los eui*alentes de la resistencia el&ctrica% la caacitancia $ la inductancia. Se uede considerar ue los sistemas de 0luidos ertenecen a dos categorías4 hidráulicos% donde el 0luido es un líuido no comresi+le $ neumático% los cuales contienen gases comresi+les
Bibliografía 9olton% F.. 2(!!,3. Ingeniería de 7ontrol. M&'ico4 Al0aomega.
Dinámica de sistemas% Gatsuhi@o gata% M&'ico4 /rentice Hall% "B Ingeniera de c!ntr!l m!derna % Gatsuhi@o gata% 7uarta edición% M&'ico4 /rentice Hall% (!!=.
