Modelado de Sistemas Térmicos

Omar Huerta Kanan A01108290 Modelado de Sistemas Térmicos Los elementos básicos de los sistemas térmicos son:  

Resistencia térmica Capacitancia térmica

Existe un flujo neto de calor entre dos puntos cuando entre ellos existe una diferencia de temperatura. Equivalente eléctrico: Sólo existe una corriente entre dos puntos cuando existe una diferencia de potencial.

V R

i Con una relación similar tenemos:

q

T2  T1 R

Donde: q = velocidad de flujo calorífico. (T2-T1) = Diferencia de Temperaturas. R = Resistencia térmica. El valor de la resistencia térmica depende del modo en el que ocurre la transferencia calorífica. Existen dos tipos principales: Conducción La velocidad de flujo está definida como:

q  Ak

T2  T1 L

Donde: A =Área de la sección transversal. L= Longitud del material. k = Conductividad térmica.

*Cabe resaltar que la ecuación supone conducción unidireccional a través de un sólido. Sustituyendo encontramos que la resistencia térmica para transferencia de calor mediante conducción está dada por:

R

L Ak

El segundo modo de transferencia, principalmente en líquidos y gases de calor es mediante convección: La velocidad de flujo está definida como:

q  Ah (T2  T1 ) Donde: A =Área de la superficie h = Coeficiente de transferencia calorífica. Sustituyendo encontramos que la resistencia térmica para transferencia de calor mediante convección está dada por:

R

1 Ah

Capacitancia Térmica La capacitancia térmica es la medida de almacenamiento de la energía interna en un sistema. 

La relación de cambio en la energía interna está dada por:

U  q1  q2 Donde: q1 = Velocidad inicial del flujo de calor. q2 = Velocidad final del flujo de calor. 

Un aumento en la energía interna implica un incremento en la temperatura; por lo tanto tenemos que:

U  mcT U  mc

dT dt

Donde: m= masa c= calor específico del material dT/dt = razón de cambio de la temperatura.

Igualando ecuaciones se obtiene:

q1  q2  mc 

dT dt

Por su parte, la capacitancia térmica se puede definir como:

C  mc Donde: m= masa c= calor específico del material 

Sustituyendo la capacitancia térmica se obtiene que:

q1  q2  C

dT dt

Obtención de Modelos Térmicos Termómetro (Sistema Térmico):

Donde: T= Temperatura del termómetro TL= Temperatura del líquido q = velocidad del flujo calorífico R = Resistencia térmica 

Definimos la velocidad del flujo calorífico como:

q 

TL  T R

La capacitancia térmica del termómetro está dad por:

q1  q2  C

dT dt

Debido a que solamente existe un flujo neto calorífico: q1 = q y q2 = 0 ; simplificando:

qC

dT dt

Sustituyendo el valor de q en la ecuación y reordenando:

dT TL  T  dt R dT RC  T  TL dt

C

La ecuación final resulta una ecuación diferencial de primer orden. Ésta describe como varía la T en función de introducir el termómetro en el líquido. La ecuación supone todos sus parámetros como concentrados; es decir, tanto el termómetro como el líquido solo tienen una temperatura. La temperatura solamente está en función de la T y no de la posición dentro del líquido. Calentador Eléctrico dentro de habitación.

Donde: T= Temperatura de la habitación. TO= Temperatura ambiente. q1 = Razón de calor que emite el calentador. q2 = Calor disipado por la habitación. R = Resistividad de los muros. C= Capacidad térmica del aire. 

Sabemos que la ecuación que describe el sistema térmico está dada por:

q1  q2  C 

dT dt

Además tomando en cuenta la diferencia de temperaturas se tiene:

q2 

T  TO R



Sustituyendo ecuaciones y reordenando se obtiene:

T  To dT C R dt dT RC  T  Rq1  To dt

q1 