Ejemplos de Modelado Matemático de Sistemas Mecánicos

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO INGENIERIA ELECTROMECANICA ING. ARQUIMIDES RAMIREZ FRANCO EJEMPLOS DE MODELADO MATEMÁTICO MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS. •

Sistema mecánico .

Ejemplo 1. La figura 3-35(a) muestra un diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un automóvi óvil. onform orme el automóv móvil avan avan!!a por un camino" los despla despla!am !amien ientos tos vertic verticale aless de las llanta llantass funcio funcionan nan como como una e#cita e#citació ción n de movimiento para el sistema de suspensión del automóvil. El movimiento de este sistema consiste en un despla!amiento traslacional del centro de la masa $ un despl despla! a!am amie ient nto o de rota rotaci ción ón alre alreded dedor or del del cent centro ro de la masa masa.. El mode modela lado do matemático del sistema completo es mu$ complicado.

%na versión mu$ simplificada del sistema de suspensión aparece en la figura 335(&). 'uponiendo que el movimiento # i en el punto  es la entrada al sistema $ el movimiento vertical #  del cuerpo es la salida" o&tenga la función de transferencia *(s)+*i(s). (onsidere el movimiento del cuerpo sólo en la dirección vertical.) El despla!amiento # se mide a partir de la posición de equili&rio en ausencia de la entrada #i. Solución.

La ecuación de movimiento para el sistema de la figura 3-35(&) es

o bien:

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,omando la transformada de Laplace de esta ltima ecuación" $ suponiendo condiciones iniciales de cero" o&tenemos

or tanto" la función de transferencia *o(')+*i(s) se o&tiene mediante

Ejemplo . /&tenga la función de transferencia del sistema mecánico que aparece en la figura 3-0(a). simismo" calcule la funci2n de transferencia del circuito elctrico de la figura 4(&). emuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idntica $" por tanto" son sistemas análogos 'olución. Las ecuaciones de movimiento para el sistema mecánico de la figura 30(a) son


Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iníciales de cero, tenemos


Si eliminamos Y(s) de las dos últimas ecuaciones, obtenemos

o bien:

Por tanto, la función de transferencia X(s)!Xi(s) se obtiene como

Para el sistema el"ctrico de la fi#ura $%&(b), la función de transferencia '(s)!'i(s) resulta ser

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO INGENIERIA ELECTROMECANICA ING. ARQUIMIDES RAMIREZ FRANCO na comparación de las funciones de transferencia demuestra ue los sistemas de la fi#ura $%&(a) y (b) son an*lo#os+

•

Sistema eléctrico.

Ejemplo 3 onsidere el circuito elctrico que aparece en la figura 3-36. /&tenga la función de transferencia E (s)+Ei(s) usando el enfoque de diagrama de &loques. Solución.

Las ecuaciones para los circuitos son

La transformada de Laplace de las ecuaciones (3-7)" (3-71) $ (3-7)" con condiciones iniciales de cero" producen

La ecuación (3-73) se puede reescri&ir como


La ecuación (3-72) da el diagrama de &loques que aparece en la figura 3-38(a). La ecuación (3-70) se modifica a

La ecuación (3-76) da el diagrama de &loques que se muestra en la figura 3-38(&). simismo" la ecuación (3-75) nos da el diagrama de &loques que se muestra en la figura 3 38(c). om&inando los diagramas de &loques de las figuras 3-38(a)" (&) $ (c)" o&tenemos la figura 3-37(a). Este diagrama de &loques se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las figuras de la 3-37(&) a (f). or tanto" o&tuvimos la función de transferencia E 0( s)/E i ( s) del sistema. 9:sta es igual a la que se o&tuvo antes para el mismo circuito elctrico. ;ase ecuación (3-22).< Ejemplo 0 onsidere el sistema del termómetro delgado de mercurio con paredes de vidrio de la figura 3-02. 'uponga que el termómetro está a una temperatura esta&le (temperatura am&iente) $ que en t =  se sumerge en un &a>o a una temperatura " en donde es la temperatura del &a>o (que puede ser constante o cam&iante)" medida a partir de la temperatura am&iente efina la temperatura instantánea del termómetro mediante " de modo que sea el cam&io en la temperatura del termómetro que satisfaga la condición de que . /&tenga un modelo matemático para el sistema. simismo" determine un sistema elctrico análogo del sistema del termómetro.

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO INGENIERIA ELECTROMECANICA ING. ARQUIMIDES RAMIREZ FRANCO Solución.

'e o&tiene un modelo matemático para el sistema" considerando el &alance del calor del modo siguiente? el calor que entra al termómetro durante dt seg es q dt, en donde q es el flujo de calor @acia el termómetro. Este calor se almacena en la capacitancia trmica  del termómetro" por lo cual su temperatura se eleva mediante d . or tanto" la ecuación de &alance de calor es

ado que la resistencia trmica R se escri&e como

El flujo de calor q se o&tiene" en trminos de la resistencia trmica R, como

o bien:


La ecuación (3-18) es un modelo matemático del sistema del termómetro. Aemitindonos a la ecuación (3-18)" un sistema elctrico análogo para el sistema del termómetro se escri&e como

%n circuito elctrico representado mediante esta ltima ecuación aparece en la figura 3-06.

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