MODELADO DE UN SEPARADOR SEPARADOR FLASH
Por: H. Francisco Rodríguez
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INTRODUCCIÓN
Un separador flash es un equipo encargado de separar una mezcla en dos fases, esto de acuerdo a la volatilidad de los componentes. Con uso de la termodinámica y principios de conservación, se determinara una ecuación diferencial ordinaria que describa el comportamiento dinámico del separador flash. Al considerar la estática del proceso y utilizar graficar la ecuación observamos que en el separador flash solo tiene un estado estacionario si la mezcla es ideal y cuando la mezcla no es ideal puede existir uno o mas estados estacionarios. Graficando la ecuación diferencial ordinaria y graficando nos damos cuenta del comportamiento que tiene el flash para diferentes condiciones iníciales de concentración del componente mas volátil. Con esto, obtenemos el tiempo que el separador flash tarda en llegar al estado estacionario.
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Objetivos
Determinar las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de un separador flash. Encontrar los estados estacionarios tiene un separador flash. Observar el comportamiento de una mezcla ideal y no mezcla no ideal dentro del separador flash. Determinar gráficamente la solución de la ecuación que describe el comportamiento dinámico del flash, así como el tiempo en llegar al estado estacionario.
Metodología Modelando en base a principios de conservación y principalmente termodinámica, utilizando la ecuación de Clausius Clapeyron y relaciones de equilibrio líquido-vapor llegaremos a modelo requerido para nuestro estudio. Utilizando el software
adecuado para poder obtener curvas que describan el
comportamiento estático y dinámico del separador flash, en donde se observen los estados estacionarios y el tiempo en llegar a dichos estados.
Resultados A partir de la termodinámica se obtuvieron polinomios que describen el comportamiento de una mezcla en equilibrio liquido-vapor, además se obtuvo una ecuación diferencial ordinaria que gobierna al separador flash, tanto de forma dinámica como estática. Se encontró que una mezcla ideal sólo tiene un estado estacionario y que una mezcla no ideal tiene más de un estado estacionario.
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ECUACIÓN DE CLAUSIUS CLAPEYRON Antes de comenzar a describir el comportamiento del separador flash, nos importa conocer la relación de equilibrio liquido-vapor que existe en el componente más volátil.
La ecuación de Clapeyron permite calcular la pendiente de una línea de equilibrio entre dos fases en el diagrama de fases Presión-Temperatura de un sistema de un componente. Deducción Consideremos un punto cualquiera sobre una línea de equilibrio entre dos las fases, que llamaremos α y β. La condición para que exista equilibrio de fases es que:
i i
pero para una sustancia pura
G n
G
por tanto en un punto sobre la curva de equilibrio de dos fases Gi Gi
y cualquier variación infinitesimal que suponga un desplazamiento sobre la curva de equilibrio implica que: dG dG
o lo que es lo mismo,
S dT V dP S dT V dP y reagrupando términos dP dT
S V
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Por otra parte si se considera que en un cambio de fase reversible a T y P constantes
S
H
T
, se tiene que:
H dT T V dP
Ec. 1 (Ecuación de Clapeyron)
Como el V molar del gas es mucho mayor que el del líquido puede hacerse la aproximación V V g V l V g Si además se hace la suposición de que el gas se comporta como gas ideal, la ecuación de Clapeyron se transforma en:
H H P H dT T V T V g RT 2 dP
Ec. 2
La ecuación 2 se puede expresar como: dLnP dT
H
Ec. 3 (ecuación de Clausius Clapeyron)
RT 2
Si el rango de temperatura analizado es pequeño, se puede suponer que ΔH es
constante a lo largo de la línea de equilibrio, y por tanto:
dLnP H
dT
RT
2
Ec. 4
Por lo tanto tenemos que la ecuasion de Ln
P 2 P 1
H 1 1 R T 2 T 1
Clausius-Clapeyron integrada es:
Ec. 5
La ecuación de Clasius-Clapeyron sólo es aplicable para obtener la presión de vapor de un sólido o un líquido a una cierta temperatura, conocido otro punto de equilibrio entre las fases. Esto es así porque para llegar a esta expresión desde la ec. de
5
Clapeyron se hace la aproximación de despreciar el volumen molar del sólido o del líquido frente al del gas, que además se supone de comportamiento ideal. Ahora obtenemos la relación de presión contra temperatura de los compuestos que nos interesa estudiar. BENCENO Presión (mmHg)
Temperatura (°C)
TOLUENO Presión (mmHg) Temperatura (°C)
1
-36,7
1
-26,7
5
-19,6
10
-11,5
5 10
-4,4 6,4
20
-2,6
20
18,4
40
7,6
60
15,4
40 60
31,8 40,3
100
26,1
100
51,9
200
42,2
400
60,6
200 400
69,5 89,5
760
80,1
760
110,6
Pasamos los valores de presión a atmosferas y la obtenemos el inverso de la temperatura, con ello graficamos y hacemos una regresión lineal sobre la curva que se obtuvo. Con esto tomamos los datos del componente más volátil para poder elaborar nuestros diagramas de equilibrio. Observando las graficas vemos que se obtiene una línea recta que esta gobernada por la ecuación:
Ln
P 2 P 1
Donde
H 1 1 R T 2 T 1
H
R
es la pendiente de la recta que se obtiene.
6
Benceno 1.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 ) -2.00000 m t a ( -3.00000 P n L -4.00000
0.00100
0.00200
0.00300
0.00400
0.00500
y = -4686.5x + 13.519
-5.00000 -6.00000 -7.00000
1/T
Grafico 1. Relación de Ln P vs 1/T de Benceno
Tolueno 1.00000 0.00000 0.000000.000500.001000.001500.002000.002500.003000.003500.004000.00450 -1.00000 -2.00000
) m t a -3.00000 ( P n L
-4.00000 -5.00000 -6.00000 y = -4568.6x + 11.988 -7.00000
1/T
Grafico 1. Relación de Ln P vs 1/T de Benceno
7
Teniendo
H
R
podemos cualquier presión de vapor que nos interese entonces, u tilizando
ahora la ley de Dalton de las Presiones parciales tenemos entonces: P X A P AV (T ) X B P BV (T )
Ec. 6
Rescribiendo esta ecuación tenemos que: P X A P AV (T ) (1 X A ) P BV (T )
Ec. 7
Despejando XA
X A
P P BV P AV P BV
Ec. 8
Ahora utilizamos la ley de Rault y tenemos que:
Y A
X A P AV (T ) P
Ec. 9
Con las graficas de presión contra temperatura obtenemos los
H R
necesarios para
calcular las presiones de vapor de los componentes, después con la ecuación 6 encontramos la presión total, la cual es un valor constante. Con la ayuda de la ecuación 9, logramos obtener la fracción de vapor, puesto que, ya contamos con los datos necesarios para ese calculo. Al introducir valores y realizar algunos cálculos podemos hacer una grafica que relacione la composición del componente mas volátil en el vapor, en función de la composición del componente mas volátil en el liquido.
8
La grafica se muestra a continuación:
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X A Vs Y A
Haciendo una regresión lineal sobre la curva anterior obtenemos que: YA (X A ) 0.6644X
3 A
- 1.8297X
2 A
+ 2.1646X
A
+ 0.0083
Ec. 10
Reacomodando la ecuación y renombrando tenemos que: w(c) 0.6644 c 3 1.8297 c 2 2.1646 c 0.0083
Ec. 11
Ahora de la ecuación 8 despejamos X A y la igualamos con la ecuación 9, entonces tenemos una relación que involucra solo la composición del componente mas ligero y la temperatura de ese componente, por lo tanto las construimos una grafica, la cual, relaciona la temperatura de burbuja del sistema en función de la composición del componente mas volátil en la fase liquida.
9
Observamos entonces:
80
75
70
65
60
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X A Vs Y A , Obteniendo la curva que describe el comportamiento de grafica anterior tenemos que es: (c) 6.2643 c 3 22 .249 c 2 46 .516 c 383 .7
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DINAMICA DEL SEPARADOR FLASH Con esto ahora podemos continuar con la dinámica del flash que se proseguirá a continuación. Observamos el diagrama de un separador flash.
qv, cv, Tv V
qe, ce, Te L
qL, c, T
Q
A partir del modelado liquido-vapor para una mezcla ideal, obtenemos curvas de equilibrio y haciendo una regresión lineal obtenemos las siguientes relaciones: w(c) 0.6644c 3 1.8297c 2 2.1646c 0.0083 (c) 6.2643c 3 22.249c 2 46.516c 383.72
Donde: w(c) Relaciona la concentración del componente volátil en el vapor. (c) Relaciona la temperatura de burbuja del sistema en función de la composición del
componente ligero en la fase liquida.
Con los principios de conservación sabemos que es posible realizar dos balances de materia (uno por cada especie) y 1 balance global. Sabemos que el balance de materia es: ENTRADA – SALIDA = ACUMULACIÓN 11
Conservación de masa total d v qe q v q dt
Ec.12
Considerando v 0 , entonces tenemos: d qe q v q dt
(0) 0
Ec.12.1
Balance del volátil d c v cv qe ce qv cv q dt
Si qe qv q
0
Ec.12.2 (t ) constante
Por lo tanto tenemos:
q q ce c v cv
c
Ec.12.3
Suponemos que la fase liquido-vapor están en equilibrio termodinámico. cv w(c)
q q ce c v w(c)
c
Ec.12.4
Ahora tenemos:
qe q q ce c v w(c)
c
Ec.12.5
Como qe qv q
qe q q q ce e c v c v w(c)
c
Ec.12.6
12
Ahora arreglamos la ec. 1.e y tenemos entonces:
qe q ce c v w(c) c
c
Ec.12.7
q q Le llamamos e e y v v Obtenemos la sig. Ecuación.
Realizamos un balance de energía y obtenemos que: d CpT dt
qe CpT qv (CpT ) qCpT
Ec.14
Consideramos que no existe acumulación de entalpia y tenemos: 0
qe q Q T e T v Cpv v
Despejamos
Q q q y le llamamos e e , v v , Q , v Cp Cp
qv
Por ello tenemos:
A continuación se muestran las variables y su definición
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En la tabla siguiente se muestran las variables usadas en la dinámica del reactor:
Variable
Definición
Unidades
Ѳv
Tiempo de residencia
1/tiempo
Ѳe
Tasa de dilución
1/tiempo
q
Flujo molar
Mol/tiempo
T
Temperatura
Temperatura
t
Tiempo
Tiempo
Cp
Capacidad calorífica
Energía/mol*temperatura
c
Concentración molar
mol
Tabla 1. Variables del problema. Observemos gráficamente el comportamiento de las ecuaciones que describen el comportamiento del separador flash. 0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Grafica 1. Muestra el comportamiento de nuestro separador flash. La grafica 1 se obtuvo con parámetros establecidos, pero se vario el calor y la concentración de entrada, para observar el comportamiento, se observo que la recta siempre se mantuvo si la concentración de entrada no cambiaba , esto se debe a que la recta muestra el balance de materia y cuando variábamos el calor siempre nos daba una curva similar a la que se muestra ahí, en conclusión, aunque variáramos los parámetros siempre nos dio una intersección, esto es en términos generales un estado
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estacionario, el cual indica que para una mezcla ideal siempre vamos a obtener un estado estacionario. Ahora que analizamos el flash para una mezcla ideal lo comparamos con una mezcla no ideal, se puede observar el equilibrio líquido-vapor para la mezcla no-ideal CloroformoTetrahidrofurano.
Se obtuvo una regresión lineal de los gráficos obtenidos del equilibrio, la relación de punto de burbuja y del equilibrio líquido vapor, al igual que en el caso de la mezcla ideal.
Se obtuvo: ()= 5,3125− 11,7744 + 6,1873 + 1,1432 + 0,1324 + 0,0007 () = 42,3434 − 78,1723 + 16,3342 + 14,72 + 339,13 Con estos polinomios y el balance general del Flash obtenemos las graficas que nos indican el comportamiento del separador flash cuando este contiene una mezcla no ideal. En esta parte tenemos dos casos: 1er caso: Cuando variamos el calor positivo obtenemos un estado estacionario:
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.4
Grafica 2. Muestra el equilibrio en el flash con una mezcla ideal con un calor positivo
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Caso 2: Cuando introducimos al balance calores negativos, entonces la curva toma 3 estados estacionarios:
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.4
Grafico 3. Muestra el comportamiento del separador flash con calores negativos.
Ahora utilizando un resolvedor de ecuaciones diferenciales ordinarias resolvemos la ecuación 3 y obtenemos una grafica la cual muestra el tiempo en que el separador flash es estabiliza, esto es el tiempo que tarda el flash en llegar al estado estacionario.
0.550
0.545
0.540
2
4
6
8
10
Grafico 4. Muestra el comportamiento dinámico del separador flash con una mezcla ideal 16
La grafica 4 muestra una relación tiempo contra concentración, en donde se puede apreciar el tiempo que transcurre para que la mezcla contenida dentro del separador flash llegue al estado estacionario, se vario la concentración inicial y la grafica siempre fue la misma, esto indica que no importa la concentración inicial, el tiempo en el que se llegue al equilibrio siempre va a ser el mismo siempre y cuando se trate de la mezcla ideal tolueno-benceno. C vs T
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
10
20
30
40
50
Grafico 4.1. Muestra el comportamiento dinámico del separador flash con una mezcla no ideal
En la grafica 4.1 no se ve con claridad el tiempo en que la mezcla no ideal llega al equilibrio, esto se debe a que depende de las condiciones iníciales que se propongan para que se refleje mejor el equilibrio.
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CONCLUSIONES Se determino el modelo que describe el comportamiento dinámico del separador flash y con ello una ecuación diferencial ordinaria, que al considerar la estática del problema y suponiendo una mezcla ideal se concluyo que solo existe un estado estacionario, por a otra parte se analizo una mezcla no ideal, en la cual se observo que tiene uno o mas estados estacionarios. Lo anterior se determino con ayuda de graficas realizadas con el software adecuado, también se resolvió la ecuación diferencial ordinaria y el resultado se grafico, con esto obtuvimos el tiempo en el que se estabiliza el separador flash con una mezcla ideal y con una mezcla no ideal. Al comparar dichos tiempos se observa que solo existe un tiempo determinado de aproximadamente 2.5 segundos para la mezcla ideal y que para la mezcla no ideal no se distingue bien el tiempo en el que llega al estado estacionario, aunque se concluye que el tiempo en llegar a la estabilidad es mayor al de la mezcla ideal. Observamos que en el grafico 1 de una mezcla ideal siempre se obtiene un estado estacionario no importa la cantidad de calor que se introduzca al sistema o que se remueva del sistema, al contrario una mezcla no ideal si variamos el calor entonces tendremos mas de un estado estacionario (pueden ser uno, dos o tres) tal como se muestra en el grafico 3. En la grafica 4 vemos una zona que se mantiene como una línea recta, una vez que la grafica toma esa forma quiere decir que ahí comienza el estado estacionario y la concentración no va a cambiar.
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