Métodos Probabilísticos HIDROLOGIA HIDROL OGIA GENERAL
Autor: Valleumbroso Villa Freddy 2016
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Métodos Probabilísticos PROFESOR: Ing. Dante Salazar Sánchez CURSO: Hidrología General UI!ERSID"D S" PEDRO Métodos Probabilísticos
Contenido Distribución de Probabilidades en Hidrología ……………………………..……………… 3 Parámetros Estadísticos………………………………………………………………... 4 Distribución de Probabilidad para ariables !ontinuas……………….. " #$uste de Distribuciones ………………………………………..…… %%
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DIS#RI$UCIOES DE PRO$"$I%ID"D E HIDRO%OG&"
El comportamiento de las &ariables aleatorias discretas o continuas se describe con la a'uda de Distribuciones de Probabilidad. (a &ariable se designa por ma')scula ' un &alor especí*co de ella por min)scula. Por P+, - a se denota la probabilidad de /ue un e&ento asuma el &alor a0 similarmente P+a ≤ , ≤b denota la probabilidad de /ue un e&ento se encuentre en el inter&alo +a1 b. i conocemos la probabilidad P+a ≤ , ≤b para todos los &alores de a ' b1 se dice /ue conocemos la Distribución de Probabilidades de la &ariable ,. i , es un n)mero dado ' consideramos la probabilidad P+
,
≤
F'()* P'+ (): ' llamamos 5+, la 6unción de distribución acumulada.
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P"R",E#ROS ES#"DIS#ICOS
(os estadísticos e,traen in6ormación de una muestra1 indicando las características de la población. (os principales estadísticos son los momentos de primer1 segundo ' tercer orden correspondiente a la media1 &arian7a1 ' asimetría respecti&amente. 1.2.1
Media :
Es el &alor esperado de la &ariable misma. Primer momento respecto al origen. Muestra la tendencia central de la distribución.
El &alor estimado de la media a partir de la muestra es
1.2.2
Varianza ²:
Mide la &ariabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media
El &alor estimado de la &arian7a a partir de la muestra es
En el cual el di&isor es n8% en lugar de n para asegurar /ue la estadística /ue no tenga una tendencia1 en promedio1 a ser ma'or o menor /ue el &alor &erdadero. (as unidades de la &arian7a son la media al cuadrado1 la des&iación estándar es una medida de la &ariabilidad /ue tiene las mismas dimensiones /ue la media ' simplemente es la raí7 cuadrada de la &arian7a1 se estima por s.
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E6ectos de la 6unción de densidad de probabilidad causados por cambios en la des&iación estándar
!oe*ciente de &ariación
es una medida adimensional de la &ariabilidad su
estimado es
1.2.3
Coeficiente de asimetría
la distribución de los &alores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetría. e obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media1 di&idiéndolo por el cubo de la des&iación estándar para /ue sea adimensional.
tercer momento respecto a la media :n estimati&o del coe*ciente de asimetría está dado por
""%ISIS DE FRECUECI" El análisis de 6recuencia es una ;erramienta utili7ada para1 predecir el comportamiento 6uturo de los caudales en un sitio de interés1 a partir de la in6ormación ;istórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos /ue permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. u con*abilidad depende de la longitud ' calidad de la serie ;istórica1 además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Para determinar la magnitud de e&entos e,tremos cuando la distribución de probabilidades no es una 6unción 6ácilmente in&ertibles se re/uiere conocer la &ariación de la &ariable respecto a la media. !;o< en %=9% propusó determinar esta &ariación a partir de un 6actor de 6recuencia >? /ue puede ser e,presado
' se puede estimar a partir de los datos
Para una distribución dada1 puede determinarse una relación entre > ' el período de retorno ?r. Esta relación puede e,presarse en términos matemáticos o por medio del uso de una tabla.
"
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DIS#RI$UCIOES DE PRO$"$I%ID"D P"R" !"RI"$%ES CO#IU"S
./
DIS#RI$UCIO OR,"%
(a distribución normal es una distribución simétrica en 6orma de campana1 también conocida como !ampana de @auss. #un/ue muc;as &eces no se a$usta a los datos ;idrológicos tiene amplia aplicación por e$emplo a los datos trans6ormados /ue siguen la distribución normal.
././
F0nci1n de denidad:
(a 6unción de densidad está dada por
(os dos parámetros de la distribución son la media m ' des&iación estándar s para los cuales +media ' s +des&iación estándar son deri&ados de los datos.
./.2
Eti3aci1n de 4ará3etro:
./.
Factor de 5rec0encia:
%.
i se traba$a con los sin trans6ormar el > se calcula como
este 6actor es el mismo de la &ariable normal estándar
./.6
%i3ite de con7anza:
donde a es el ni&el de probabilidad es el cuantil de la distribución normal estandari7ada para una probabilidad acumulada de %8a ' e es el error estándar
A
.2
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DIS#RI$UCI8 %OGOR,"% DE DOS P"R9,E#ROS
i los logaritmos B de una &ariable aleatoria se distribu'en normalmente se dice /ue se distribu'e normalmente. Esta distribución es mu' usada para el calculo de &alores e,tremos por e$emplo Cma,1 Cmínimos1 Pma,1 Pmínima +e,celentes resultados en #ntio/uia. ?iene la &enta$a /ue ' /ue la trans6ormación (og tiende a reducir la asimetría positi&a 'a /ue al sacar logaritmos se reducen en ma'or proporción los datos ma'ores /ue los menores. (imitaciones tiene solamente dos parámetros1 ' re/uiere /ue los logaritmos de las &ariables estén centrados en la media
.2./
F0nci1n de denidad:
' - ln , donde1 m' media de logaritmos de la población +parámetro escalar1 s' Des&iación estándar de los logaritmos de la población1 estimado s'.
.2.2
Eti3aci1n de 4ará3etro:
.2.
Factor de 5rec0encia:
> es la &ariable normal estandari7ada para el ?r dado1 es el coe*ciente de &ariación1 , media de los datos originales ' s des&iación estándar de los datos originales.
.2.6
%i3ite de con7anza:
en donde1 n n)mero de datos1 e error estándar1 > ? &ariable normal estandari7ada.
F
.
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DIS#RI$UCIO GU,$E% O E+#RE," #IPO I
:na 6amilia importante de distribuciones usadas en el análisis de 6recuencia ;idrológico es la distribución general de &alores e,tremos1 la cual ;a sido ampliamente utili7ada para representar el comportamiento de crecientes ' se/uías +má,imos ' mínimos.
../
F0nci1n de denidad:
En donde a ' b son los parámetros de la distribución.
..2
donde
..
Eti3aci1n de 4ará3etro
son la media ' la des&iación estándar estimadas con la muestra.
Factor de 5rec0encia:
Donde ?r es el periodo de retorno. Para la distribución @umbel se tiene /ue el caudal para un período de retorno de 2.33 aGos es igual a la media de los caudales má,imos.
..6
%i3ite de con7anza
> ? es el 6actor de 6recuencia ' t +%8a es la &ariable normal estandari7ada para una probabilidad de no e,cedencia de %8a.
=
.6
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DIS#RI$UCIO G",," DE #RES P"R9,E#ROS O PE"RSO #IPO
Esta distribución ;a sido una de las mas utili7adas en ;idrología. !omo la ma'oría de las &ariables ;idrológicas son sesgadas1 la 6unción @amma se utili7a para a$ustar la distribución de 6recuencia de &ariables tales como crecientes má,imas anuales1 !audales mínimos1 ol)menes de u$o anuales ' estacionales1 &alores de precipitaciones e,tremas ' &ol)menes de llu&ia de corta duración. (a 6unción de distribución @amma tiene dos o tres parámetros.
.6./
F0nci1n de denidad:
donde1 , I , I a para a a I , I , para a I a ' b son los parámetros de escala ' 6orma1 respecti&amente 1 ' , es el parámetro de locali7ación.
.6.2
Eti3aci1n de 4ará3etro:
.6.
Factor de 5rec0encia:
Este &alor de > se encuentra tabulado de acuerdo al &alor de !s calculado con la muestra.
.6.6
Interalo de con7anza:
Donde es la des&iación estándar de la muestra1 n es el n)mero de datos ' d se encuentra tabulado en 6unción de !s ' ?r.
%
.;
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DIS#RI$UCI8 %OG G",," O %OGPE"RSO DE P"R9,E#ROS
i los logaritmos B de una &ariable aleatoria se a$ustan a una distribución Pearson tipo JJJ1 se dice /ue la &ariable aleatoria se a$usta a una distribución (og Pearson ?ipo JJJ. Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de 6recuencia de !audales má,imos. Esta se traba$a igual /ue para la Pearson ?ipo JJJ pero con ' ' ' como la media ' des&iación estándar de los logaritmos de la &ariable original .
.;./
F0nci1n de denidad:
a ' b son los parámetros de escala ' 6orma1 respecti&amente 1 ' ' es el parámetro de locali7ación
.;.2
Eti3aci1n de 4ará3etro:
!s es el coe*ciente de asimetría1 son la media ' la des&iación estándar de los logaritmos de la muestra respecti&amente
.;.
Factor de 5rec0encia:
donde 7 es la &ariable normal estandari7ada Este &alor de > se encuentra tabulado de acuerdo al &alor de !s calculado con la muestra.
.;.6
Interalo de con7anza: t K t+%8a e
Donde ' es la des&iación estándar de los logaritmos de la muestra1 n es el n)mero de datos ' d se encuentra tabulado en 6unción de !s ' ?r.
%%
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"
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Plotting Poition
?raba$a con la probabilidad de e,cedencia asignada a cada &alor de la muestra. e ;an propuesto numerosos métodos empíricos. i n es el total de &alores ' m es el rango de un &alor en una lista ordenada de ma'or a menor +m-% para el &alor má,imo la probabilidad de e,cedencia se puede obtener por medio de las siguientes e,presiones
!ali6ornia
Neibull
Ha7en (a e,presión más utili7ada es la Neibull. !on las anteriores e,presiones se ;alla lo /ue se conoce como la distribución empírica de una muestra1 esta luego se puede a$ustar a una de las distribuciones teóricas presentadas anteriormente. (os resultados pueden ser dibu$ados en el papel de probabilidad0 este es diseGado para /ue los datos se a$usten a una línea recta ' se puedan comparar los datos muestrales con la distribución teórica +línea recta.
6.2
Pr0e=a de ">0te
Para determinar /ue tan adecuado es el a$uste de los datos a una distribución de probabilidades se ;an propuesto una serie de pruebas estadísticas /ue determinan si es adecuado el a$uste. Estos son análisis estadísticos ' como tal se deben entender1 es decir1 no se puede ignorar el signi*cado 6ísico de los a$ustes.
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4.2.1 Prueba Smirnov - o!mo"orov El estadístico mirno& >olmogoro& D considera la des&iación de la 6unción de distribución de probabilidades de la muestra P+, de la 6unción de probabilidades teórica1 escogida Po+, tal /ue
(a prueba re/uiere /ue el &alor Dn calculado con la e,presión anterior sea menor /ue el &alor tabulado Dn para un ni&el de probabilidad re/uerido. Esta prueba es 6ácil de reali7ar ' comprende las siguientes etapas •
• • •
El estadístico Dn es la má,ima di6erencia entre la 6unción de distribución acumulada de la muestra ' la 6unción de distribución acumulada teórica escogida. e *$a el ni&el de probabilidad a1 &alores de .9 ' .% son los más usuales. El &alor crítico Da de la prueba debe ser obtenido de tablas en 6unción de a ' n. i el &alor calculado Dn es ma'or /ue el Da1 la distribución escogida se debe rec;a7ar.
4.2.2 Prueba C#i Cuadrado :na medida de las discrepancias entre las 6recuencias obser&adas + f o ' las 6recuencias calculadas +f c por medio de una distribución teórica esta dada por el estadístico O
en donde i el estadístico O- signi6ica /ue las distribuciones teórica ' empírica a$ustan e,actamente1 mientras /ue si el estadístico O1 ellas di6ieren. (a distribución del estadístico O se puede asimilar a una distribución !;i8cuadrado con +Q8n8% grados de libertad1 donde Q es el n)mero de inter&alos ' n es el n)mero de los parámetros de la distribución teórica. (a 6unción O se encuentra tabulada. upongase /ue una ;ipótesis Ho es aceptar /ue una distribución empírica se a$usta a una distribución Lormal. i el &alor calculado de O por la ecuación anterior es ma'or /ue alg)n &alor crítico de O1 con ni&eles de signi6icancia a de .9 ' .% +el ni&el de con6ian7a es %8a se puede decir /ue las 6recuencias obser&adas di*eren signi*cati&amente de las 6recuencias esperadas +o calculadas ' entonces la ;ipótesis Ho se rec;a7a1 si ocurre lo contrario entonces se acepta. #un/ue no e,iste una de*nición generalmente aceptada1 se puede entender como &alores e,tremos1 mu' superiores a los demás registrados +#s;Qar1 et al. %==4.
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/. ES#"DIS#IC" DE D"#OS HIDRO,E#RICOS ""%ISIS DE D"#OS HIODRO,E#RICOS E RIO
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C"%CU%O DE PRO$"$I%ID"D DE D"#OS HIDRO,E#RICOS E RIO
""%ISIS D"#OS HIDRO,E#RICOS
P#R# (# RE#(JS#!JTL DE( E?:DJ HJDR(T@J! DE (# !:EL!# HJDR@RU5J!# E DJPLE DE MEDJ!JTLE DE !#:D#(E1 !LJDER#LD (# DJPLJVJ(JD#D DE E? RE@J?R EL (# E?#!JLE DE #5R.
(# DE?ERMJL#!JL DE (# !:R# DE !#(JVR#!JL 8 PERJD DE RE?RL E RE#(JS MEDJ#L?E E( #L#(JJ E?#DJ?J! DE #W:?E DE :L# DJ?RJV:!JL DE PRV#VJ(JD#D1 #P(J!#LDE EL E?E !# (# DJ?RJV:!JLE LRM#(1 (@LRM#(1 PE#RL1 (@PE#RL1 @:MVE(1 (@@:MVE(. E(J@JELDE (# M# REPREEL?#?J# # (# ERJE DE D#? #L#(JS#D.
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,E#ODO S,IRO! O%,OGORO!
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