Unidad 1. Modelos Probabilisticos

Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos

Be

Licenciatura en Seguridad Pública

3° Semestre

Programa de la asignatura: Estadística para la investigación en seguridad pública

Unidad 1. Modelos probabilísticos

Clave: LIC 01142315// TSU 02142315

Universidad Abierta y a Distancia de México UnADM

Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 1


Índice Unidad 1. Modelos probabilísticos ....................................................................................................... 3 Presentación de la unidad.................................................................................................................... 3 Propósitos ............................................................................................................................................ 3 Competencia específica ....................................................................................................................... 4 1.1. Muestreo ....................................................................................................................................... 4 1.1.1.

Estratificado .......................................................................................................................... 6

1.1.2.

Por conglomerados ............................................................................................................... 7

. Tipos de muestreo ............................................................................................................................. 7 Actividad 1. Tipos de muestreo ............................................................................................................ 7 Actividad 2. Muestreo .......................................................................................................................... 7 1.2. Variables aleatorias....................................................................................................................... 8 1.2.1.

Discretas.............................................................................................................................. 11

1.2.2.

Continuas ............................................................................................................................ 11

1.2.3. Esperanza y varianza ............................................................................................................... 11 Actividad 3. Variables aleatorias ........................................................................................................ 15 1.3. Modelos probabilísticos ............................................................................................................... 16 1.3.1.

Binomial ............................................................................................................................... 16

1.3.2.

Poisson ............................................................................................................................... 19

1.3.3.

Normal ................................................................................................................................ 21

1.3.4.

Aproximación de la distribución normal a la binomial .......................................................... 25

1.4. Aplicación de la distribución normal ............................................................................................ 25 1.4.1.

Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal ............................................ 25

Actividad 4. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30 Actividad 5. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30 Actividad 6. Problemario .................................................................................................................... 30 Autoevaluación .................................................................................................................................. 30 Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos ................................ 31 Actividades de Autorreflexión ............................................................................................................. 31 Cierre de la unidad............................................................................................................................. 31 Fuentes de consulta........................................................................................................................... 32 Fuentes digitales ................................................................................................................................ 32 Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 2


Unidad 1. Modelos probabilísticos Presentación de la unidad En esta primera unidad se describen los principales modelos probabilísticos empleados en la investigación. Se realiza inferencia estadística para una población por medio de técnicas estadísticas y, finalmente, se realizan comparaciones entre poblaciones a través de pruebas de hipótesis.

Conocer, comprender y saber aplicar los métodos estadísticos es extremadamente importante, ya que por medio de ellos se pueden tomar decisiones sobre los eventos o fenómenos que se estudian; lo anterior porque se tendrán argumentos y evidencias para sustentar dichas decisiones. Por ejemplo, descubrir que en un lugar ocurren más accidentes que en otros lugares, en horas específicas o bajo condiciones particulares, brinda la oportunidad de tomar las medidas pertinentes para evitarlos. Las aplicaciones de la estadística solo están limitadas por la veracidad de los datos que se estudian y por la imaginación de los usuarios de los métodos estadísticos.

Propósitos Los propósitos de esta unidad son:

 Identificar los diferentes tipos de muestreo.  Reconocer los diferentes tipos de variable aleatoria.  Comprender el significado de esperanza y varianza, así como aprender a determinarlas.  Conocer y usar los diferentes modelos probabilísticos. Conocer, comprender y usar la aproximación de la distribución  Normal a la binomial



Competencia específica

Analizar información para la caracterización de una población mediante el estudio de los tipos de modelos probabilísticos y la selección del modelo pertinente.

1.1. Muestreo Existen dos tipos de análisis estadísticos, que se corresponden con dos enfoques de la Estadística: 

Estadística descriptiva. Se refiere a las técnicas que son utilizadas para describir o caracterizar los datos obtenidos (Pagano, 2011).



Estadística inferencial. Es la parte de la estadística que permite tomar decisiones e inferir sobre los grupos de donde se han tomado las muestras (poblaciones) a partir de información obtenida de dichas muestras.

Para asegurar que las descripciones que se verán más adelante son claras, se establecerán las siguientes definiciones: Población.

Este término se emplea para representar clases enteras de objetos o eventos a los que se les atribuirán generalizaciones.

Muestra.

Es un subconjunto de mediciones o eventos que se seleccionan de la población de interés. Se dice que una muestra debe ser representativa de la población.

Parámetro.

Son las mediciones de las características de la población. Algunos de estos parámetros son: mediana µ media σ varianza Si la distribución de una población puede expresarse mediante alguna función, los parámetros pueden ser utilizados para determinar el comportamiento de la distribución.

Estimador.

Es un valor numérico basado en los datos de una muestra aleatoria, que se utiliza Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 4


para estimar el valor de un parámetro poblacional.

La teoría de muestreo es un conjunto de técnicas que permite estimar y describir cantidades desconocidas de la población, tales como como la media poblacional (µ) y la varianza (σ) (llamados parámetros poblacionales) a partir de los correspondientes estadísticos (estimadores). También permite saber si las diferencias observadas entre dos muestras son debidas a situaciones aleatorias o si realmente son significativas, lo que sirve para decidir sobre la validez de determinados experimentos. Las conclusiones de la teoría del muestreo y de la inferencia estadística solo pueden ser válidas si las muestras son representativas de la población, por ejemplo, cuando se realiza muestreo al azar, donde cada miembro de la población tiene igual probabilidad de ser elegido. El muestreo en el que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez se llama muestreo con remplazamiento. Cuando solo puede ser elegido una vez, se tiene un muestreo sin remplazamiento. Según el tamaño de una población, esta puede clasificarse como:

Finita

Infinita

•La que tiene un número contable de elementos.

•Cuando la población está formada por un número incontable de elementos. Sin embargo, desde el punto de vista de la estadística, una población finita muy grande puede considerarse infinita.

Considérense todas las posibles muestras de tamaño N que pueden tomarse de una población, si con cada una de las muestras se calcula un estadístico (estimador), por ejemplo la media o la desviación estándar, se obtiene una distribución del estadístico denominada distribución muestral, que será estudiada más adelante.



1.1.1. Estratificado Cuando es necesario dividir una población en grupos, denominados estratos o clases, se deben tener en cuenta algunas recomendaciones:  Los estratos no se superponen y todos ellos forman a la población.  Los elementos de cada estrato deben ser lo más parecidos entre sí, que respecto a la población.  Los estratos deben ser lo más diferentes entre ellos.  No hay ventaja en la estratificación si el criterio que se usa para formar los grupos es únicamente que sean del mismo tamaño. Es importante resaltar que para cada uno de los estratos son aplicables los procedimientos expuestos para un muestreo aleatorio simple. Por lo anterior, si de cada estrato se extrae una muestra, la muestra final de la población estará compuesta por el conjunto de estas y se tendrá un tamaño de muestra más pequeño que si se realizara una muestra del total de la población, y aun si fuera del mismo tamaño, en ambos casos se tendrá una precisión mayor. A esta forma de elegir una muestra se le conoce como muestreo aleatorio estratificado. Existen varios criterios para la estratificación: 

Asignación proporcional al tamaño de los estratos. También se le denomina criterio de asignación uniforme de muestreo. El propósito es dar un mayor peso a los estratos de mayor tamaño. Asignación proporcional a las desviaciones estándar de los estratos. En este caso, se asignan los tamaños muestrales de los estratos en proporción a los niveles de dispersión de los mismos. Esta asignación es mejor cuando los estratos son iguales o aproximadamente iguales entre sí.



Asignación óptima. Se llama así a una combinación de los dos tipos previos de asignación: las diferencias entre las fracciones se asignan como proporcionales a las diferencias entre las desviaciones estándar.



1.1.2. Por conglomerados Cuando la población se puede dividir en grupos con toda la variabilidad de la población, es decir, lo suficientemente heterogéneos para considerar que cada uno de ellos representa a la población, entonces se dice que se tienen conglomerados. Ahora bien, para una población dividida en conglomerados, cuando se requiere un muestreo, se pueden elegir algunos de los estratos para la realización del estudio, ya que cada uno de los grupos puede ser considerado equivalente al otro porque son igual de diferentes entre ellos (heterogéneos), pero además se puede pensar en cada uno de ellos como una pequeña copia de la población que se estudia, y por ello todos los elementos del conglomerado se pueden incluir en la muestra. Cuando se hablaba de muestreo estratificado, la unidad muestral eran los elementos de la población y cada estrato estaba formado por elementos muy parecidos entre sí, mientras que en un muestreo por conglomerado, los elementos que conforman el grupo deben ser muy diferentes entre sí para poder representar a la población. Además, los estratos deben ser lo más diferentes de uno a otro y los conglomerados deben ser parecidos entre ellos.

. Tipos de muestreo Actividad 1. Tipos de muestreo Para realizar tu actividad:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea

Actividad 2. Muestreo Para concluir el tema, es importante que también realices la presente actividad, para ello:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea



1.2. Variables aleatorias Como recordarás, en el primer curso de Estadística se estudiaron frecuencias asociadas a las muestras y su descripción. En este segundo curso se estudiarán las distribuciones de frecuencia en una población, así como sus propiedades. Una distribución de frecuencia de una muestra es una estimación de la distribución de frecuencia de la población correspondiente. Si la muestra es grande, entonces la distribución de frecuencia de la muestra es una buena aproximación a la distribución de frecuencia de la población. Ahora bien, aunque usualmente las muestras no son lo bastante grandes para determinar la distribución de la población con mucha precisión, en ella existe suficiente información para sugerir el tipo de distribución implicada, además de que puede obtenerse información de otras fuentes y de la experiencia misma. Una variable aleatoria  X  es un número cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. El adjetivo aleatorio se usa para indicar que el valor de la variable depende del resultado de un experimento, que a su vez depende del azar. Ejemplo (1). Experimento: lanzar simultáneamente tres monedas. (a) El espacio muestral del experimento (el conjunto de todos los resultados posibles). Sea A el resultado de obtener un águila y S el resultado de obtener un sol o sello. El espacio muestral de lanzar simultáneamente tres monedas: S = {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS} (b) Sea X la variable aleatoria que describe el número de águilas en cada lanzamiento. Escribir el valor de la variable aleatoria. Los valores que toma la variable aleatoria X , son

3, 2,2,2,1,1,1,0; por tanto,

podemos escribir: X  3, 2, 1, 0. Como los valores que puede tomar la variable se pueden contar, se dice que es una variable aleatoria discreta. Ejemplo (2). Experimento: lanzar simultáneamente dos dados de diferente color (a) El espacio muestral de lanzar simultáneamente dos dados. S= {11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66} Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública

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(b) Sea X la variable aleatoria que describe la suma de los puntos obtenidos en cada lanzamiento. Escribir el valor de la variable aleatoria. Los valores de X en cada lanzamiento son: 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Por tanto X   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  que como puede apreciarse, es una variable aleatoria discreta. Ejemplo (3). Experimento: consideremos que de un estante se eligen 100 paquetes de azúcar cuya etiqueta dice 1 kg. Designemos como la variable aleatoria X el peso que se mide de cada paquete. Describir el espacio muestral para el experimento. En este caso, los valores que podemos esperar para el peso de los paquetes ya no se puede listar, por tal motivo tenemos que X es una variable continua. Es decir, el espacio muestral está conformado por todos los valores contenidos dentro de un rango de valores. Podemos decir, por ejemplo, que el espacio muestral es el intervalo 0.900,1.100 kilogramos. Cuando se asignan probabilidades de ocurrencia, a todos los posibles valores numéricos de una variable aleatoria X , mediante una tabulación o una función, se obtiene como resultado una distribución de probabilidad. Es necesario resaltar que:  La probabilidad de cada evento es un valor entre cero y uno, inclusive.  La suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno.  f x significa que hay una función donde f depende de x . 

PX  x significa que la variable aleatoria puede asumir diferentes valores.

Ejemplo (4). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (1). A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

PX 

1 8

3 8

3 8

1 8



Ejemplo (5). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (2). A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

X

PX 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Ejemplo (6). Un jugador profesional de tenis participa en una gira de cinco partidos y se sabe que la probabilidad de que gane un partido es de 0.6 Sea X la variable aleatoria que representa el número de partidos ganados por el jugador antes de su primera derrota. Encontrar la distribución de probabilidad. Debe notarse que los resultados de los partidos son eventos independientes. En este caso, la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos puede calcularse mediante un diagrama de árbol, con lo que se obtiene:

X

0

PX 

0.4

1

2

3

4

0.40.6 0.40.62 0.40.63 0.40.64  0.24

 0.14

 0.09

 0.05

5

0.65  0.08

PX   0.24  0.14  0.09  0.05  0.08  1 Ejercicio. ¿Cuál de los recuadros mostrados a continuación representa una distribución de probabilidad? Explicar.

X

PX 

X

PX 

X

PX 

2 4 6 8

0.25 0.30 0.15 0.25

2 4 6 8

0.20 0.30 0.25 0.25

2 4 6 8

0.3 0.4 - 0.1 0.4



1.2.1.Discretas Se dice que las variables aleatorias son discretas cuando se puede hacer una lista con todos los valores numéricos posibles de la variable aleatoria y de las probabilidades correspondientes en una tabulación. Como en el caso de los ejemplos (1) y (2). Por lo anterior, podemos decir que una variable aleatoria es el resultado de un conteo, de manera que cada uno de los valores está claramente separado entre sí. En el ejemplo (1) no puede haber 1.5 águilas, mientras que no se pueden obtener 4.5 puntos en el ejemplo (2).

1.2.2.Continuas Frecuentemente no es posible hacer una lista con todos los valores de la variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades, porque son demasiados. Podemos decir, con ciertas limitaciones, que una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores posibles. En muchos de estos casos, las probabilidades para un rango de valores se determinan a través de una función, cuya gráfica se denominada curva de probabilidad. El ejemplo (3) es un caso de variable continua, pero no se incluyó la función que la describe. Una de las razones por las que es importante establecer con claridad si una variable es discreta o continua, tiene que ver con la manera en que se determinan la esperanza y la varianza. Aquí solo se estudiará cómo hacerlo si la variable aleatoria es discreta.

1.2.3. Esperanza y varianza En el curso previo de Estadística se estudiaron las medidas de tendencia central y dispersión para una distribución de frecuencias; entonces se vio que la media proporciona información de la tendencia central de los datos, mientras que la varianza describe la dispersión de los mismos. De forma equivalente, una distribución de probabilidad se resume a través de la media   y la varianza

 . 2

Para presentar la definición de esperanza consideremos el ejemplo (1). Supongamos que al lanzar tres monedas simultáneamente, se recibirá un peso por cada águila que aparezca. ¿Cuánto se espera ganar si se repite el lanzamiento de las tres monedas un gran número de veces?



En este caso, consideremos que la variable aleatoria X representa el número de águilas obtenidas al lanzar las tres monedas; sin embargo, puede apreciarse que no todos los resultados son igualmente probables, de manera que para determinar la esperanza es necesario incluir la probabilidad de que el evento ocurra.

E  X   0

1 3 3 1  1  2  3 8 8 8 8 3 6 3 0   8 8 8 12  8  1.5

El valor encontrado representa lo que se espera ganar si se lanzan las tres monedas simultáneamente, muchas veces. Es importante hacer notar que no tiene sentido hacer una pregunta como ¿cuánto se espera ganar si se lanzan las tres monedas una vez?, lo anterior puede malinterpretarse, ya que hace pensar que se pregunta sobre el hecho de hacer un lanzamiento. Debe tenerse en cuenta esta precisión porque frecuentemente así es como se pregunta en los libros de texto. La esperanza también es conocida como media y como promedio ponderado; la fórmula para calcularla es:

EX    xi  Pxi  xi

Esta expresión quiere decir que se debe multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad de ocurrencia y luego hacer la suma de todos los valores obtenidos. Supongamos que en el juego anterior, en lugar de ganar X pesos por cada águila, se ganan X 2 . Entonces, si el juego se llevara a cabo muchas veces, se espera ganar:

    18  1  83  2  83  3  18

E X 2  02

0

2

2

2

3 12 9   8 8 8

24 8 3





Como ya se mencionó, la media proporciona información acerca de la tendencia central de los datos; ahora veremos de qué forma la varianza describe la dispersión. La fórmula para determinar la varianza es:

 2  xi   2  Pxi  xi





Existe una relación entre la esperanza y la varianza, ya que calcular E xi    , equivale a 2

encontrar  2 . Ahora bien, es la desviación estándar  (la raíz cuadrada de la varianza) la que nos ofrece información sobre la variabilidad de la distribución, pues entre más grande sea el valor  , los datos están menos agrupados o más dispersos respecto a la media. Otra manera de interpretar a la esperanza es como el valor medio de infinitas observaciones o como el punto de equilibrio de la distribución de probabilidad. Por todo lo anterior, se puede concluir que la varianza puede representarse de tres formas:

 2   xi   2  Pxi  xi

  xi 2  Pxi    2 xi

 

 E x2  E x2 A continuación se muestra un comparativo de la media y la varianza para una distribución de frecuencias y una distribución de probabilidad:

x

fi x n i

   xi  Pxi  xi

 f x  x

2

2 

i

i

xi

 2   xi   2  Pxi  xi

n

 xi

fi xi  x2 n



Ejemplo (7). Calcular la media y la varianza de la siguiente distribución discreta de probabilidad:

xi

Pxi 

2

8

10

0.5

0.3

0.2

Recuérdese que  

 x  Px  y i

i

 2  xi   2  Pxi  , así que para determinar xi

xi

la media y la varianza, primero rescribiremos los datos de la tabla y agregaremos algunas columnas que nos permitirán organizar mejor los cálculos necesarios para encontrar la media y la varianza.

xi

Pxi 

xi Pxi 

xi  

2

0.5

1.0

-3.4

11.56

5.78

8

0.3

2.4

2.6

6.76

2.028

10

0.2

2.0

4.6

21.16

4.232

1

  5.4



xi   2 xi   2 Pxi 

 2  12.04

 y  2 para el ejemplo (1).

Ejemplo (8). Determinar

Reorganizando los datos:

xi

Pxi 

xi Pxi 

xi  

0

1 8

0

 32

9

1

3 8 3 8

 12

1 2

1 4 1 4

3

9

2

Puesto que  

3

1 8



1

3 8 6 8 3 8

xi

i

9

32 3 32 3 32 9 32

4

4

12 3  8 2

 x  Px  , se tiene que   32 i

2

xi   2 xi   2 Pxi 

24 3  32 4 y como  2 

x     Px  , tenemos que 2

i

i

xi

 2  34 Ejemplo (9). Determinar

 y  2 para el ejemplo (5) y dar una interpretación al valor encontrado


Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos para

.

Del ejemplo (5), tenemos que la distribución de probabilidad es:

X

0

1

2

3

4

5

PX 

0.4

0.24

0.14

0.09

0.05

0.08

Para determinar el valor de la media, hacemos:

  0.40  0.241  0.142  0.093  0.054  0.085  1.39

En el caso de la varianza, usaremos la fórmula

 2   xi 2  Pxi    2 xi

 2  02 0.4  12 0.24  22 0.14  32 0.09  42 0.05  52 0.08  1.392  2.48 Que

  1.39 , significa que cada vez que participa en un torneo de cinco partidos, el

jugador tiene la esperanza de ganar “1.39 juegos” antes de perder el primero. Otra manera de interpretar lo anterior es: si el tenista pudiera jugar 500 partidos, tiene la esperanza de ganar 139 juegos antes de perder el primero.

Actividad 3. Variables aleatorias Para realizar tu actividad:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea



1.3. Modelos probabilísticos En el primer curso de Estadística se estudiaron distribuciones empíricas, primero se presentaron geométricamente (con histogramas) y luego con una representación aritmética parcial, a través de la media y la desviación estándar. Si al estudiar el comportamiento de una variable aleatoria se ve que esta se comporta de cierta manera, es posible usar modelos conocidos para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. Es decir, un modelo probabilístico permite describir los resultados de un experimento, así como predecir el comportamiento de la variable de estudio. Frecuentemente, a los modelos probabilísticos también se les denomina distribuciones de Probabilidad. Es importante hacer notar que existen modelos probabilísticos tanto para variables discretas como para variables continuas. En el presente curso se estudiarán dos de las distribuciones discretas: binomial y Poisson; pero existen más, tales como la distribución geométrica e hipergeométrica, mientras que de las distribuciones continuas, en la primera unidad únicamente veremos la distribución normal. A continuación se detallarán las características que se deben considerar para aplicar cada uno de los modelos probabilísticos.

1.3.1.Binomial Una distribución es considerada binomial cuando:    

Los eventos que se presentan son independientes. Solo existen dos posibles resultados del evento (éxito o fracaso). La probabilidad de éxito permanece constante. La variable aleatoria X se define como el número de éxitos dentro de un número ensayos.

n

fijo de

Si p es la probabilidad de éxito, q 1  p es la probabilidad de fallo, x es el número específico de éxitos y n el número de ensayos, entonces la probabilidad P de que ocurran x éxitos en n ensayos es:

Px  nCx pxqn x



Otra manera de escribir la probabilidad:

Px n, p 

n! p x q n x x ! n  x!

Para esta distribución, se tiene que:  la media:   np 

la varianza:  2  npq



la distribución estándar:

  npq

Ejemplo (10). Cada día hay cinco salidas de autobuses de la ciudad A a la ciudad B , y se sabe que la probabilidad de que uno de los autobuses llegue tarde a su destino es 0.20 Sea X el número de autobuses que llegan tarde. (a) Explicar por qué es una distribución binomial. (b) Determinar la probabilidad de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4, 5 de los viajes lleguen con retraso. (c) Determinar la probabilidad de que al menos dos de los autobuses lleguen con retraso. (d) Determinar la probabilidad de que a lo más dos de los autobuses lleguen con retraso. Ahora se dará respuesta a cada uno de los incisos anteriores. (a) Sabemos que es una distribución binomial porque (i) Que un autobús llegue tarde no depende de que otro lo haga, es decir, se trata de eventos independientes. (ii) Solo existen dos posibles resultados: que llegue tarde o no. (iii) La probabilidad de que llegue tarde siempre es la misma. (iv) La variable aleatoria, en este caso el número de autobuses que llegan tarde, es el resultado de contar cuántos llegan tarde de un total de cinco posibles. (b) La probabilidad de que ningún autobús llegue tarde se determina haciendo:

P0 5,0.20 

5! 0.20 0.850 0 ! 5  0!  110.3277  0.3277

En este ejemplo, son de resaltarse dos hechos que frecuentemente se olvidan, el primero es que el factorial de cero es uno, es decir 0! 1 , y el segundo, que cualquier número diferente de cero elevado a la potencia cero es uno, es decir,

a0  1. Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 17


El cálculo de la probabilidad de que uno de los viajes se retrase:

P1 5,0.20 

5! 0.21 0.851 1! 5  1 !  50.20.4096  0.4096

Para las siguientes probabilidades, se indican los cálculos que deben realizarse y se dejan como ejercicio de práctica:

P2 5,0.20 

5! 0.22 0.852 2 ! 5  2 !

P3 5,0.20 

5! 0.23 0.853 3 ! 5  3!

P4 5,0.20 

5! 0.24 0.854 4 ! 5  4 !

P5 5,0.20 

5! 0.25 0.855 5 ! 5  5!

Los resultados de los cálculos se muestran a continuación:

xi

0

1

2

3

4

5

Pxi 

0.3277

0.4096

0.2048

0.0512

0.0064

0.0003

Puede verificarse que

 Px  1 , de manera si es una distribución de i

probabilidad (c) La frase “que al menos dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que pueden ser dos, tres, cuatro o cinco, es decir:

Px  2  P2  P3  P4  P5  0.2048  0.0512  0.0064  0.0003  0.2627

(d) La frase “de que a lo más dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que podrían ser cero, uno o dos, es decir:

Px  2  P0  P1  P2  0.3277  0.4096  0.2048  0.9421



Como pudo notarse, los cálculos para determinar la probabilidad de una distribución binomial pueden ser largos y engorrosos, por tal motivo se usan tablas con los valores ya establecidos. Estas tablas se pueden conseguir fácilmente en cualquier libro de estadística o en internet y permiten obtener las probabilidades sin tener que realizar todos los cálculos. Lo mismo ocurre para las otras distribuciones de probabilidad.

1.3.2. Poisson Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos cuando:   

los eventos ocurren en un continuo de tiempo o espacio, los eventos ocurren de manera independiente, los eventos son “raros” ( p  0.1 y np  5 ).

Teóricamente, las posibilidades en este tipo de distribución son infinitas; es decir que el número de eventos va de cero a infinito de manera discreta. Para determinar la probabilidad de que ocurra un cierto número de éxitos en un proceso de Poisson, solo es necesario conocer el número promedio, a largo plazo, de eventos para el tiempo o espacio de interés, dicho valor promedio se designa como  o  . Uno de los cuidados que debe tenerse al usar la fórmula para la distribución de Poisson es que el valor de



debe aplicarse al periodo de tiempo pertinente.

X éxitos en una distribución de Poisson está dada por: x Px |    x!e

La probabilidad de

Para una distribución de Poisson el promedio es igual a la varianza, es decir:

  2

Ejemplo (11). En cada rollo de lámina de 500 metros de longitud hay dos defectos en promedio. (a) Explicar por qué es un evento tipo Poisson.  Los defectos se presentan en un continuo de espacio, en este caso, la longitud de la lámina.  Que haya un defecto no impide que se presente otro, así que los eventos son independientes.



(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un segmento de 100 metros no tenga ningún defecto? Si el promedio de un rollo de 500 metros es de 2 defectos, entonces representa el promedio de defectos que hay en 100 metros.



  2 

100    500   0.4

Con esta información se tiene que:

 0.40 Px  0 |   0.4 

0!e0.4  e 0.4  0.6703

Por supuesto se obtiene el mismo valor si se consultan las tablas. Ejemplo (12). A cierto puerto, un barco llega cada dos días, en promedio. (a). Explicar por qué es un evento tipo Poisson.  Los defectos se presentan en un continuo de tiempo, en este caso, el tiempo.  Que un barco llegue al puerto no depende del arribo de otro, así que los eventos son independientes. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos o más barcos en un día seleccionado al azar? Si el promedio de llegadas es 1 cada 2 días, entonces  representa el promedio de llegadas en cada día.

1   1    0.5 2

Con esta información se tiene que:

Px  2 |   0.5  P2  P3  P4   

0.52  0.53  0.54  0.55  2!e0.5 

3!e0.5

4!e0.5

5!e0.5

0.56  0.57  0.58 

6!e0.5 7!e0.5 8!e0.5  0.075816 0.012636 0.001579 0.000158  0.000013 0.000001 0.000000  0.090204



Otra manera de hacerlo es:

Px  2 |   0.5  1  Px  2 |   0.5  1  P0  P1

 0.50 0.51 1  

0! e 0.5 1! e 0.5  1  0.6065  0.3032  0.0903

Si se consultan las tablas, el valor que se obtiene es solo se incluyen cuatro dígitos.

0.0902 porque en ellas

1.3.3. Normal Esta distribución de probabilidades es continua y simétrica, es decir, con los valores observados distribuidos de manera uniforme y además, no es plana ni puntiaguda (mesokurtica). La distribución normal es importante por tres razones:   

Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma. Se usan para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y la de Poisson. La distribución de probabilidad de la media muestral y la proporción muestral es la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribución de la población de origen.

En el caso de una variable aleatoria con distribución de probabilidad continua, solo es posible determinar el valor de probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un intervalo; puesto que hay un número infinito de valores en cualquier intervalo, la probabilidad de que tome un valor en particular es cero. Para una variable con distribución normal, se tiene que la altura de la función de densidad (o curva de probabilidad) es:  1 f ( x)  e 2 2

 X  2 2 2

La función exponencial eu también se expresa como expx , de manera que f (x) puede ser escrita como:

  X   2  1  f ( x)  exp   2 2  2 2  Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 21


Para determinar la probabilidad de ocurrencia en el intervalo a  x  b se debe resolver la integral mostrada, lo que equivale a calcular el área bajo la curva normal en ese intervalo.

Pa  x  b   f x dx b

a

Sin embargo, puesto que para diferentes valores de  y  se genera una distribución normal distinta, calcular la probabilidad anterior significa resolver muchas veces la misma integral.

    3      3    2   2

Para evitar esos cálculos, todas las distribuciones normales se transforman a otra equivalente, denominada distribución normal estándar, cuyas principales características son que   0 y 

1.

Si la forma límite de un histograma para una distribución de frecuencias tiene la forma de una campana, entonces puede usarse una curva normal para la determinación de las probabilidades. Recuérdese que para una variable continua no es posible conocer la probabilidad de un evento, así que es necesario realizar distribuciones de frecuencias. Se sabe que  tiene la siguiente interpretación geométrica con respecto a la curva normal.  El área bajo la curva normal entre   y    es aproximadamente el 68% del área 

total. El área bajo la curva normal entre

  2



total. El área bajo la curva normal entre

  3

y y

  2

  3

es aproximadamente el 95% del área es aproximadamente el 99.7% del área

total.

 , empezando con la media  . Es claro en este bosquejo que casi no hay área bajo la curva más allá de 3 unidades desde  ; sin El eje de la figura previa ha sido marcado en unidades de embargo, esta se extiende desde   hasta   . Toda la información previa se puede resumir en tres puntos:  La distribución es simétrica con respecto a la media; es decir, las porciones izquierda y derecha de la gráfica son una la imagen especular de la otra, por lo que la media es igual a la mediana.  Los datos de una distribución normal se agrupan alrededor de la media. Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 22




El rango de los datos no tiene límites, pero solo un pequeño porcentaje de ellos, menos del 3%, se encuentra a más de tres desviaciones estándar de la media.

Antes de calcular probabilidades con la distribución normal, haremos algunos ejercicios para determinar el área bajo la curva normal estándar. Para esto, es necesario disponer de una tabla de áreas bajo la curva normal, a cuatro dígitos y de z  0 a z  3 . Ejemplo (13). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de diferentes interpretaciones al valor encontrado. En la tabla se localiza el valor de

z  1.5 y de

z  1.5 y se encuentra el valor 0.4332 .

z  1.5 debemos recordar que el área total bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de z  0 . Para encontrar el área a la izquierda de

Por tanto el área buscada es

0.5  0.4332  0.9332 .

Algunas interpretaciones son: 1. El 93.32 % de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de

1.5 . 2. Un miembro de la población que tiene un puntaje percentil de

z  1.5 tiene un rango

93 .

3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un puntaje z menor de 1.5 e, es de 0.9332 . Ejemplo (14). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de diferentes interpretaciones al valor encontrado. En la tabla se localiza el valor de

z  1.72 y de

z  1.72 y se encuentra el valor 0.4573.

z  1.72 , debemos recordar que el área total bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de z  0 . Para encontrar el área a la izquierda de

Por tanto el área buscada es

1  0.5000  0.4573  0.0427.

Algunas interpretaciones para este resultado son: 1. El 4.27 % de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de

1.72 . Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 23


2. Un miembro de la población que tiene un puntaje percentil de 4 .

z  1.72 tiene un rango

3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un puntaje z menor de 1.72 , es de 0.0427 . Ejemplo (15). Para una curva normal, encuéntrese el área entre En la tabla se localizan los valores de valores

z  1.5 y z  1.72 .

z  1.5 y de z  1.72 y se encuentran los

0.4332 y 0.4573 respectivamente.

z  0 hasta z  1.5 es de 0.4332 , mientras que de z  0 hasta z  1.72 es 0.4573, por tanto, el área buscada se determina haciendo la suma de las dos anteriores 0.8905. Entonces, el área de

Como habíamos mencionado, una distribución de probabilidad con distribución normal puede convertirse en una distribución normal estándar. Para esto, cualquier valor x de una población con distribución normal puede convertirse a su valor normal estándar z , mediante la transformación:

z

x



Donde la nueva distribución tendrá media cero y varianza uno. Esta transformación es equivalente a “mover” el origen del sistema de coordenadas al valor de la media y un cambio en la escala. Ejemplo (16). Para una variable aleatoria con distribución normal, se desean conocer los valores z

x1  220 y x2  280 , si se sabe que   230 x Sustituyendo en la fórmula z  obtenemos:  que corresponden a

220  230 20  0.50

z1 

y

  20

280  230 20  2.50

z2 



1.3.4. Aproximación de la distribución normal a la binomial Cuando n es grande, por ejemplo

n  30 , pero np  5 y nq  5 , la distribución de probabilidad

binomial puede aproximarse a la distribución de probabilidad normal. Conocida n, p y q la distribución normal permite calcular: n

P{x  a}   n Cx p x qn  x xa

Hay que tener mucho cuidado para hacer la aproximación correcta de la binomial usando la normal, ya que es necesario calcular los valores de z con los valores de

x1  E

y/o

x2  E , siento E

la mitad

del intervalo sobre el cual se construye el histograma. A este ajuste se le denomina corrección por continuidad.

1.4. Aplicación de la distribución normal 6 4

Serie 1 Serie 2

2

0

Serie 3

Ahora se resolverán algunos ejemplos: donde se usa la distribución normal estándar para la determinación de las probabilidades, un ejemplo comparativo del cálculo de la probabilidad usando la distribución binomial y la normal, y uno más donde se puede modelar usando la distribución binomial pero en la que resulta más conveniente utilizar la distribución normal.

1.4.1. Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos, cuya solución se describe cuidadosamente con el propósito de que se tenga la mayor cantidad posible de referencias que ayuden a comprender los procesos y replicarlos en otros ejercicios semejantes. Además, se hizo una selección de los ejemplos, para intentar cubrir la mayoría de las posibilidades que habitualmente se pueden presentar al resolver ejercicios de este tipo. Ejemplo (17). Una población normal tiene una media

  55 y una desviación estándar de   5 .

(a) Se desea conocer la probabilidad de un valor entre 49 y 60. (b) Se desea conocer la probabilidad de un valor mayor de 60. Solución: como se trata de una distribución normal, primero se deben calcular los puntajes z correspondientes y después buscar las áreas bajo la curva, entre z  0 y cada uno de Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 25


los valores encontrados. (a) Sustituyendo en la fórmula z 

49  55 5  1.2

x



obtenemos:

60  55 5 1

z49 

z60 

área = 0.3849

área = 0.3413

P49  x  60 0.3849 0.3413  0.7262 (b) Como el área entre

z  0 y z 1 es 0.3413, el área a la derecha es

0.500 - 0.3413 = 0.1587 Por tanto:

P x  60   0.1587

Ejemplo (18). Se sabe que la probabilidad de que un tirador acierte un disparo es de 0.30 y realiza 12 disparos. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en seis de ellos? Solución: este evento se puede modelar como una distribución binomial. o Acertar un disparo o no hacerlo, son eventos independientes. o Solo existen dos posibles resultados: acertar o no hacerlo. o La probabilidad de éxito permanece constante: 0.3 . o

La variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número fijo de ensayos: 12.

La probabilidad de que acierte por lo menos seis veces es:

P x  6  P x  6  P x  7  P x  8  P x  9   P x  10  P x  11  P x  12 

P x  6  P6 12,0.30  P7 12,0.30  P8 12,0.30  P9 12,0.30  P10 12,0.30  P11 12,0.30  P12 12,0.30

P x  6   0.079  0.029  0.008  0.001  0.000 0.000  0.000  0.117 Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Sabemos que: n  12 p  0.30 y De donde: Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 26

Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos np  12 0.3  3.6 nq  12 0.7  8.4 Como 3.6 no es mayor que cinco, y 8.4 sí lo es, la aproximación a la distribución normal podría no ser muy buena. Realizaremos la aproximación con:

  np  3.6

  n p q  2.52  1.6 Ahora haremos el cálculo usando la aproximación a la normal. Ya que los anteriores son números enteros,

P x  6  y el tamaño del intervalo es uno, debe encontrarse utilizando un

límite de 5.5, que es el que separa los resultados 5 y 6.

5.5  3.6 1.6  1.1875

z5.5 

z  0 y z  1.19 es 0.3830 , de manera que el área buscada es 0.5000  0.3830  0.117 .

El área entre

Por tanto, la probabilidad de acertar por lo menos seis de los doce disparos usando la aproximación a la normal es:

P x  6  0.117

Como puede apreciarse, aunque no parecía una buena decisión usar la aproximación a la normal, hemos obtenido la misma probabilidad. Ejemplo (19). Una persona se dirige hacia su trabajo en automóvil todos los días durante la hora de mayor tránsito (por la mañana). Debe atravesar un cruce de ferrocarril que siempre tiene una gran afluencia de vehículos. Observa que el 30% de las veces no es posible cruzar la vía en forma inmediata. A causa del tránsito, el tiempo que requiere atravesar el cruce es aleatorio. (a) Encuéntrese la probabilidad de que en un día cualquiera el conductor llegue al cruce y lo atraviese inmediatamente. El siguiente mes se dirige a su trabajo en automóvil solo 19 veces. Denótese con x el número de veces en que al llegar al cruce fue posible atravesarlo inmediatamente. Encuéntrese: (b)

P x  11  Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública 27


(c) la probabilidad de que x tenga, por lo menos, un valor igual a 15; es decir,

(d) (e)

P x  15  P14  x  18  P x  16 

(f) Cierto número de éxitos es tan alto, y por lo tanto tan poco común, que solo existe una probabilidad de alrededor de 0.05 de que ocurra. ¿Cuál es el número de estos éxitos?, es decir, encuéntrese

b , tal que P x  b  sea aproximadamente

igual a 0.05. Solución: este es un evento binomial porque:  el cruzar o no, son eventos independientes,  solo existen dos posibles resultados: cruzar o no hacerlo,  la probabilidad de éxito permanece constante: 0.70,  la variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número fijo de ensayos. Ahora daremos respuesta a cada uno de los incisos: p  1  0.30  0.70 (a) (b) Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Como:

q  0.30

n  19

Se tiene que:

np  19 0.7  13.3 nq  19 0.3  5.7

Como 13.3 y 5.7 son mayores que cinco, puede utilizarse la distribución normal como una aproximación de la binomial, con:

  np  13.3

  n p q  3.99  2.00 Ya que los anteriores son números enteros,

P x  11  y el tamaño del intervalo

es uno, debe encontrarse utilizando un límite de 11.5, que es el que separa el resultado favorable 11 del no favorable 12.

11.5 13.3 2  0.90

z11.5 



 0.90 es 0.1841, por lo tanto P x  11  0.1841

El área a la izquierda de

(c) Para encontrar

P x  15  se

utilizará el límite 14.5, que es el que separa a los

resultados favorables de los no favorables.

14.5 13.3 2  0.60

z14.5 

z  0 y z  0.60 es 0.2257 , de manera que: P x  15  0.5  0.2257  0.2743

El área entre

(d) Para encontrar

z13.5 

P14  x  18  se calculará P13.5  x  18.5 .

13.5 13.3  0.1 2

área = 0.0398

z18.5 

18.5 13.3  2.6 2

área = 0.4953

El área entre 13.5 y 18.5 se obtiene al restar los valores de las áreas, de manera que

P13.5  x  18.5  0.4555

(e) Para encontrar

z15.5 

P x  16 , se utilizarán los límites 15.5

15.5 13.3  1.1 2

área = 0.3643 Por tanto,

z16.5 

y 16.5

16.5 13.3  1.6 2

área = 0.4452

P x  16  0.0809

(f) Para encontrar el número de éxitos x , tales que

P x  b  0.05 , se busca en la

tabla un área igual a 0.4500, que corresponde a un puntaje de z = 1.65. Para convertir este valor en el número de éxitos se despeja la fórmula z  donde

x

x  z  



, de

x  1.652 13.3  16.6

De esta forma, los valores x  17, 18, 19 ocurrirán solo el 5% de las veces.



Actividad 4. Modelos probabilísticos Para realizar tu actividad:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea

Actividad 5. Modelos probabilísticos

Para afianzar los contenidos del presente tema también será necesario que realices la actividad 5. Por lo tanto:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea

Actividad 6. Problemario Para realizar tu actividad:  Dirígete a tu aula virtual  Revisa las instrucciones de la herramienta  Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea

Autoevaluación Con la finalidad de realizar un ejercicio de repaso acerca de los conceptos más importantes estudiados en la unidad, resuelve el ejercicio de autoevaluación que se encuentra en la pestaña de la unidad.



Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos La evidencia de aprendizaje es la actividad integradora de la unidad, por lo tanto, es importante que:    

Recuperes los contenidos vistos en la unidad Revisa las instrucciones de la herramienta Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea En caso de ser necesario, corrige y envía nuevamente tu trabajo.

Actividades de Autorreflexión Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Docente en línea presente.

Cierre de la unidad En la primera parte de la unidad analizaste los diferentes tipos de muestreo que existen así como las características de cada uno ellos; así mismo, identificaste las ventajas de usar uno u otro según el caso de estudio. En la segunda parte revisaste el significado de variable aleatoria y los diferentes tipos de variables; analizaste el significado de los conceptos y con ellos se construyeron diferentes distribuciones de probabilidad; repasaste el significado de esperanza matemática y la manera en que esta y la varianza permiten describir las distribuciones de probabilidad, de las que se caracterizaron y usaron tres: la binomial, la de Poisson y la normal, viendo de qué manera esta última permite aproximar a la primera. Finalmente, examinaste algunos ejemplos que involucran a la distribución normal, analizando diversas posibilidades, con la intención de conocer diferentes formas en que se puede usar la distribución normal, además de que se usaron las tablas de cada una de las distribuciones. Por todo lo anterior, se dispone de las herramientas necesarias que nos permitirán analizar la información de una muestra, para identificar las dinámicas de la población de estudio, mediante la resolución de problemas con técnicas de estadística inferencial.



Fuentes de consulta       

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Fuentes digitales       

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Unidad 1. Modelos Probabilisticos

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