UNIDAD IV. SISTEMAS DE INVENTARIOS PROBABILISTICOS INTRODUCCION Los inventarios inventarios son recursos utilizables que se encuentran almacenados o se mantienen inactivos en un momento determinado de tiempo. Los sistemas de inventarios establecen una política de compras óptima dentro de la empresa, que implica minimizar los costos administrativos del inventario. Para definir la política de compra se establece:
: Es la cantidad que conviene tener como límite superior en existencias, en la que los costos de administración son mínimos. q= Tamaño óptimo de compra (cantidad de artículos a pedir)
= Costo óptimo (es el costo que minimiza el costo total de administración del inventario)
t= Frecuencia de compra (cada cuanto t iempo deben pedirse los artículos)
= Costo total (el costo total del inventario es la suma de todos los costos involucrados). Se define de forma general así: C total = C1+C2+C3+C4 C1 = Costo total de existencias Conocido como costo de almacenamiento, bodegaje u otros equivalentes, denota lo que la empresa paga por tener los productos almacenados o en manufactura, materia prima almacenada antes de procesarse u otros. C1 =
x Número promedio de unidades en bodega
₁
actible de prorratear y en Donde C₁ esta expresado en unidades monetarias ($) cuando es f actible porcentaje sobre el valor de mercadería (%) si es difícil prorratearlo. Este involucra salarios de personal en áreas de almacenamiento, energía, agua, teléfono, amortizaciones, alquileres, deterioro, depreciación, obsolescencia, seguros y otros. Aquí se trata de costear el departamento de bodega, sus servicios, estantes, montacargas, depreciaciones; como es un costo unitario el cálculo básico es el costo total entre el número de artículos o un prorrateo equivalente en referencia a un parámetro representativo (peso, área, volumen, etc.). En ocasiones no es fácil poder prorratearlos y es cuando se expresa en porcentaje. Ej. Ferreterías (clavos), ventas de repuestos (sellos de hule), farmacias (pastillas), librerías (grapas).
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C2 = Costo total de escasez Costo de déficit de unidades o de penalización. C2 =
Número promedio de unidades en escasez
De la definición se obtienen dos enfoques para este costo: 1. 2.
El de quedarse sin artículos en un determinado momento y tener que adquirirlos a mayor costo por realizar compras de emergencia. Tener que perder oportunidades de ventas, perder clientes o dejar de ganar (penalización o ganancia no percibida)
C3 = Costo total de pedido Este se asocia al costo de realizar un pedido, costo de reorden o de compra para adquirir productos. Involucra salarios, servicios, alquileres de locales o amortizaciones de los mismos, FOB, CIF, depreciaciones de maquinarias y equipos, etc. Si la empresa es de comercio o servicio se refleja e l costo de pedido (Departamento de costos). Para el caso de una empresa de manufactura es el costo de lanzar la producción, resultan ser costos fijos de una corrida de producción. Ejemplos: Inspección, engrase, ar ranques, etc. C3 =
3
Número promedio de compras
C4 = Costo total de los artículos Es el monto equivalente al pago al proveedor si se trata de una empresa de servicio o comercio (empresa de consumo) o al costo de los artículos (empresa de manufactura) C4 =
,,3,
Nota:
₁
Número de artículos adquiridos
son costos unitarios
Como se puede deducir, en la práctica no siempre están presentes los cuatro elementos de costos, lo que significa que se pueden deducir modelos dependiendo la situación combinando cada uno de estos por lo tanto podemos tener un tot al de modelos equivalente a: Combinatorio de:
()(3)()()
1 + 4 + 6 + 4 = 15 modelos
Por lo regular C4 es constante excepto que exista un descuento por lotes de compras o alguna política de compra. En general para efectos prácticos el parámetro que se investiga es el nivel de orden “S”, ya que este se asocia a un costo que minimiza el valor de operación del inventario. Es decir, el segundo parámetro relevante es el costo total “ . Otro parámetro relevante es “t” y representa la frecuencia de compra, es decir cada cuanto comprar.
"
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Como se dijo antes, el costo total puede ser conformado por cuatro tipos de costos. CT = C1 + C2 + C3 + C4 Donde:
,
CT = Costo total, se representa con ; x= Variable aleatoria para las unidades en inventario. C1 = Costo de almacenamiento de existe ncia C2 = Costo de escasez o penalización C3 = Costo de pedido C4 = Costo del producto
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DESARROLLO DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILISTICOS MODELO 1 (C1 C2): MODELO DE NIVEL DE ORDEN CON DEMANDA UNIFORME Y ESCASEZ Este es con demanda durante todo el periodo, en el cual el precio de cada artículo es constante y el costo de realizar un pedido es insignificante. Características: 1. 2. 3. 4. 5.
Demanda probabilística La demanda puede ocasionar que el sistema incurra en escasez La demanda para un periodo de tiempo “t” se conoce como X(t) y esta sigue una función de probabilidad f(x) El tiempo de holgura es igual a c ero, los insumos son instantáneos El periodo de inventario es constante
FORMULAS
Caso 1: Unidades continuas
∞ ∞ , 2 2 2
, 0 al derivar se obtiene la siguiente ecuación ∞ Caso 2: Unidades discretas
En el caso de unidades discretas las integrales de las ecuaciones se transforman en sumatorias y aparece el módulo de compra µ que es el que indica cuanto varía cada una de las clases de la demanda ( x ), se calcula mediante la diferencia entre un valor superior de x y el inmediato inferior.
∞ ∞ , ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 = =+ =+ Para este caso se debe encontrar cada uno de los valores de costo iterando para cada posible hasta detenerse cuando el valor del costo de la siguiente iteración sea superior al actual. El corresponde al costo más bajo. Los valores x y S varían en función de .
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Otra forma de encontrar el
es utilizar la siguiente ecuación:
∞ ∑ 2 ∑ = =+
El óptimo corresponde al valor de la e cuación anterior que cumpla la siguiente condición:
≥ + ≥ ≤ µ ≥ µ Solución de problemas de este modelo
Primera forma
∞ ∞ µ µ ∑ 2 ∑ , ∑ 2 =+ =+ =
Encontrando antes
y después el costo total
µ(S)
Segunda forma A través de un proceso iterativo, encontrar antes el costo total y después cotos totales expresada anteriormente.
,
, según la fórmula de
En este proceso de va incrementando S en función de µ de manera multiplicativa µ, 2µ, 3µ, 4µ, etc. hasta lograr el cambio en la curva de costos. El costo más bajo corresponde a .
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MODELO 2 (C 1C2): MODELO DE NIVEL DE ORDEN CON DEMANDA INSTANTANEA Y ESCASEZ Este modelo de inventario responde al comportamiento de productos perecederos o de venta en ciertas épocas en los que la demanda ocurre al principio del período (Ej.: periódicos, cuadernos, uniformes, luces artificiales, paraguas, etc.). Características: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Demanda probabilística La demanda puede ocasionar que el sistema incurra en escasez El precio de los artículos es co nstante, El costo de realizar un pedido es insignificante, El tiempo de holgura es igual a c ero La demanda ocurre al principio del período y es instantánea después de abastecido el inventario (“S” unidades en existencias)
≅ 0 3
Este tipo de ejercicio debe de aclarar el tipo de demanda con la frase “demanda instantánea”, otra similar o especificar el producto el cual se refiere. FORMULAS
Caso 1: Unidades continuas
, ∫ ∫∞ , 0 al derivar se obtiene la siguiente ecuación ∫ + Caso 2: Unidades discretas Al igual que en el modelo 1, las integrales de las ecuaciones se transforman en sumatorias y aparece el módulo de compra µ que es el que indica cuanto varía cada una de las clases de la demanda ( x ), se calcula mediante la diferencia entre un valor superior de x y el inmediato inferior.
∞ , ∑ ∑ = =+ ≤ µ ≥ µ ≤ 2µ ≥ 2µ
El óptimo corresponde al valor de la e cuación anterior que cumpla la siguiente condición:
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≥ ≥ El costo óptimo ocurrirá según el procedimiento iterativo, A través de un proceso iterativo, encontrar antes el costo total y después cotos totales expresada anteriormente.
,
, según la fórmula de
En este proceso de va incrementando S en función de µ de manera multiplicativa µ, 2µ, 3µ, 4µ, etc. hasta lograr el cambio en la curva de costos. El costo más bajo corresponde a . Gráficamente tenemos:
FORMAS ABREVIADAS DE SOLUCION Modelo 1: Cuando la demanda es uniforme y el modelo sigue una distribución gamma
− ; >0
y b=cte, media de la distribución gamma
∫ ∫∞ + ∞ − − ∫ ∫ + 1 − ∞ − ln + nivel óptimo de inventario Por ser la curva que más se adapta a este fenómeno
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Modelo 2: Cuando la demanda es uniforme y el modelo sigue una distribución exponencial negativa
ℯ ; >0 y b=cte, media de la distribución exponencial negativa ∫ + ℯ ∫ + ln nivel óptimo de inventario Por ser la curva que más se asocia a este modelo. La Gamma, la Exponencial y la Erlang son la misma familia con el parámetro K, constante de variabilidad, equivalente a la curtosis en la distribución normal
K= 1,2,3… es la gamma K=1 es la exponencial
MODELO 3 (C 1C2C4): MODELO CON DEMANDA UNIFORME (PERMANENTE) CON COSTO FIJO Demanda continua y Gráfico similar al modelo 1 Características del modelo 1 + inventario inicial. Se asume que no hay artículos perecederos, por lo que hay inventario inicial. Modelo 1 +
,
Caso 1: Unidades continuas
, 2 ∞ 2 ∞ 2 , 0 al derivar se obtiene la siguiente ecuación
∫ ∫∞ −+
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De aquí se tiene So y se sustituye en la ecuación anterior
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Caso 2: Unidades discretas Al igual que en el modelo 1, las integrales de las ecuaciones se transforman en sumatorias y aparece el módulo de compra µ que es el que indica cuanto varía cada una de las clases de la demanda ( x ), se calcula mediante la diferencia entre un valor superior de x y el inmediato inferior.
∞ ∞ , ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 = =+ =+
≥ 21 42 ≥ ≤ µ ≥ µ MODELO 4 (C 1C2C3): MODELO CON DEMANDA UNIFORME (PERMANENTE) Y MENOR TIEMPO ENTRE PEDIDOS (COMPRAS) Demanda continua y Gráfico similar al modelo 1 Características del modelo 1 + tiempo e ntre pedidos. Se asume que no hay artículos perec ederos Modelo 1 +
3/
Caso 1: Unidades continuas
, 2 ∞ 2 ∞ 2 3/ , 0 al derivar se obtiene la siguiente ecuación ∞ es el periodo de demora o tiempo entre pedidos
Caso 2: Unidades discretas Al igual que en el modelo 1, las integrales de las ecuaciones se transforman en sumatorias y aparece el módulo de compra µ que es el que indica cuanto varía cada una de las clases de la demanda ( x ), se calcula mediante la diferencia entre un valor superior de x y el inmediato inferior.
∞ ∞ , ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 = =+ =+ UES/FIA/EII/IOP215/2018
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MODELO 5 (C 1C2C3C4): MODELO CON DEMANDA UNIFORME (PERMANENTE) CON COSTO Y MENOR TIEMPO ENTRE COMPRAS Demanda continua y Gráfico similar al modelo 1 Características del modelo 1 + inventario inicial + tiempo e ntre pedidos. Se asume que no hay artículos perecederos Modelo 3 +
3/
Caso 1: Unidades continuas
, 2 3/
∞ ∞ 2 2
, 0 al derivar se obtiene la siguiente ecuación es el periodo de demora o tiempo entre pedidos
∫ ∫∞ −+
De aquí se tiene So y se sustituye en la ecuación anterior
Caso 2: Unidades discretas Al igual que en el modelo 1, las integrales de las ecuaciones se transforman en sumatorias y aparece el módulo de compra µ que es el que indica cuanto varía cada una de las clases de la demanda ( x ), se calcula mediante la diferencia entre un valor superior de x y el inmediato inferior.
∞ ∞ , ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 = =+ =+ 3/
≥ 21 42 ≥ ≤ µ ≥ µ
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