Metodos Del Algebra Vectorial

Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico de Caracas. Departamento de Matemáticas y Física. Cátedra de Física Teórica.

M étodos geom étricos y algebraicos Vectores y tensores Sttiwuer Díaz-Solórzano Departamento de Matemáticas y Física, Instituto Pedagógico de Caracas, UPEL, Av. Páez, Caracas 1021, Venezuela e-mail: [email protected], [email protected] Material publicado el 01 de diciembre de 2010.

Parte II. Índice 1. Introducción

2.8. Ecuaciones vectoriales . . . . . . . 20 2 3. Método algebraico 3.1. Noción de base y componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . . 2 3.1.1. Celda elemental inducida por una base . . . . . . . . 2 3.1.2. Cambio de base y de com4 ponentes . . . . . . . . . . . 3.2. Álgebra entre vectores . . . . . . . 5 3.2.1. Producto escalar en una base 8 3.2.2. Producto vectorial en un base 9 3.2.3. Diádica y proyectores en 14 una base . . . . . . . . . . .

2. Métodos geométricos 2.1. Representación de un vector mediante una flecha . . . . . . . . . . . 2.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . 2.3. Regla del paralelogramo: Adición entre vectores . . . . . . . . . . . . 2.4. Acción de un escalar sobre un vector 2.5. Producto escalar entre vectores . . 2.6. Producto vectorial entre vectores . 2.7. Descomposición paralela y perpendicular de un vector . . . . . . . . . 19 4. Problemas

22 23 32 34 36 40 42 46 49

Se permite la copia parcial o total de este material instruccional siempre que sea con fines de enseñanza o investigación, u otra finalidad académica, tanto por profesores e investigadores como por bibliotecas públicas no comerciales. Se permite también a los interesados citar libremente cualquier parte de este material siempre y cuando se señale y otorgue explícitamente el crédito acostumbrados en las referencias. Se prohíbe la reimpresión y la distribución parcial o total del material sin el debido consentimiento por escrito de los autores bajo cualquier circunstancia distinta a las antes descrita. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS c

2010 Instituto Pedagógico de Caracas, Cátedra de Física Teórica.

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores 1.

Parte II

Introducción

Los vectores son objetos de gran utilidad a la hora de estipular las escalas de medición asociada a los conceptos científicos en Física, además, gran parte de las leyes de la Física son formuladas en el lenguaje del álgebra vectorial; lo cual hace que dichas magnitudes o leyes sea independientes del sistema de coordenada que se elija.

2. 2.1.

Métodos geométricos Representación de un vector mediante una flecha

De acuerdo a la geometría Euclídea los vectores, salvo el vector nulo, pueden representarse por medio de segmentos de rectas orientados, es decir, los vectores pueden ser representados geométricamente mediante flechas. Las cuales tienen asociadas dos características básicas: Norma y orientación, ésta última se clasifica en dirección y sentido. ✎ Norma: Corresponde a la longitud del segmento de recta, es decir, en la representación geométrica, la norma corresponde a la longitud de la flecha asociada al vector. Dicha cantidad indicará la intensidad de la magnitud física asociada al vector. ✎ Dirección: Hace referencia a la recta que contiene al segmento de línea que se le asocia a la representación geométrica del vector, es decir, corresponde a la recta que contiene a la flecha. ✎ Sentido: Se indica mediante la punta de la flecha asociada a la representación geométrica del vector. Al fijar la dirección de un vector, es decir, al fijar una recta ésta presenta dos sentidos que pueden distinguirse entre el positivo y negativo. El sentido sobre la recta se estipula de manera arbitraria. Los vectores son denotados mediante letras o símbolos con una flecha sobre ellos, por ejemplo, el ~ se lee como «vector A» o «A vector». El mismo símbolo sin flecha o entre barras vertisímbolo A ~ que se lee como «norma cales denotará la norma del vector, por consiguiente, los símbolos A o |A|, del vector A», serán empleados para identificar la normal del vector. No debe confundirse el valor ~ tienen absoluto de un número real con la norma de un vector. Por ejemplo, las cantidades |A| y |A| significados distintos, la primera corresponde al valor absoluto del número A y la segunda cantidad ~ Otras notaciones utilizadas para la norma de un vector consiste en indicará la norma del vector A. ~ esta notación es sugerida cuando los colocar dobles barras verticales en lugar de una, p. ej. ||A||, vectores no son denotados con una flecha encima de la letra, así |A| es el valor absoluto del número A y ||A|| indicará la norma de un vector.

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores −→ |AB|

Recta que contiene al vector Punta del vector

B −→ AB

A Cola del vector

Parte II Figura 2.1: La flecha que se indicada en la figura adjunta es una representación para −→ el vector AB. Adicionalmente, se indican sus elementos distintivos como punta, cola y la norma del vector así como su dirección. Esta última se indica por la recta que contiene a la flecha (dirección) y la punta establece el sentido del vector.

En la Fig. 2.1 se muestra la orientación y norma para la representación geométrica del vector −→ AB, la cual consiste en una flecha dirigida desde el punto A hasta el punto B; la recta que pasa por dichos puntos determina la dirección del vector, la punta de éste indica el sentido del vector sobre la recta. La longitud del segmento entre los puntos A y B determina la norma del referido vector. Se ha hecho una salvedad con el vector nulo, denotado como ~0, el cual no posee orientación definida y su norma es igual a cero. Una interpretación geométrica para el vector nulo puede ser considerada cuando se reduce la longitud del segmento AB de la Fig. 2.1 a cero, en dicha circunstancia la figura geométrica que se genera es un punto. Así, el vector nulo es representado geométricamente como un punto, el cual se encuentra ubicado en la cola de cada vector. Es importante resaltar que el vector nulo es único, no obstante, el espacio físico posee infinitos puntos lo cual hace pensar que deben existir infinitos vectores nulos, sin embargo, esto no es así. En cada punto del espacio físico se pueden dibujar infinitas flechas y éstas representan a un vector de un espacio vectorial, el vector nulo es representado mediante al punto común donde convergen la cola de cada flecha. Tal construcción permite establecer un espacio vectorial en cada punto del espacio físico, y en cada uno de estos espacios vectoriales existe un único vector nulo, así cada punto del espacio físico puede ser empleado como una representación geométrica del vector nulo de un espacio vectorial. En tal sentido, dos flechas cuyas colas no coincidan representan a vectores que pertenecen a espacios vectoriales distintos. AB

−→ −AB

A

B −→ AB

~ B ~ yC ~ son Los vectores A, colineales a diferencia del ~ vector D.

P ~ C

~ B

~ A ~ D

AB Figura 2.2: A la izquierda se muestran dos flechas que representan a un vector y su opuesto. A la derecha se muestran cuatro vectores, donde tres primeros son colineales y el cuarto no. −→ La representación geométrica del vector AB corresponde a una flecha orientada desde el punto A −→ hasta B, su vector opuesto, denotado como −AB, es representado por una flecha de igual tamaño y dirección pero con sentido opuesto. En la Fig. 2.2 (izquierda) se muestra la representación geométrica de este vector junto a su opuesto, donde se identifica que ambas flechas tienen igual tamaño, dirección pero puntas opuesta, además presenta la misma cola.

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores

Parte II

Todos los vectores que presentan la misma dirección se denominan colineales, por ejemplo, los ~ B ~ yC ~ representados en la Fig. 2.2 (derecha) son colineales, a diferencia del vector D. ~ vectores A, Es posible comparar las orientaciones de un conjunto de vectores colineales, tal comparación se hace según el sentido que presentan estos vectores, para ello se hace uso de la siguiente prescripción: Dos vectores colineales serán paralelos si presentan el mismo sentido, tal como se muestra en la Fig. 2.2 ~ y B. ~ En cambio, dos vectores colineales son antiparalelos (derecha) para el caso de los vectores A cuando presentan sentidos opuestos, tal como se muestra en la Fig. 2.2 (derecha) para el caso de ~ o C. ~ Se utiliza la siguiente simbología k y 6k, para denotar las palabras paralelo y los vectores A ~kB ~ yA ~ 6k C. ~ antiparalelo, respectivamente. Para la Fig. 2.2 (derecha) se tiene que A Es de resaltar que la representación de un vector mediante una flecha es un requisito necesario más no suficiente, ya que estos vectores deben satisfacer la regla del paralelogramo, la cual discutiremos en la sección 2.3. Un ejemplo que ilustra el hecho de que no todo segmento de recta orientado es un vector es dado por la corriente eléctrica; la cual puede representarse como una flecha pero no satisface la regla del paralelogramo. En tal sentido, la corriente eléctrica no es un vector, aun cuando puede ser representada mediante una flecha. Estrictamente hablando, un vector es un elemento perteneciente a un espacio vectorial, el cual no tiene porque tener asociada una norma u orientación; de hecho, estos atributos se deben a que el espacio vectorial posee una estructura adicional llamada métrica.

2.2.

Transporte paralelo

Se ha mencionado que los vectores son elementos de un espacio vectorial, cuyas representaciones mediante segmentos de rectas orientadas tienen la propiedad de que todas las colas de las flechas coinciden en un mismo punto. Cuando se dibujan dos flechas cuyas colas no coinciden en un punto común entonces cada vector corresponde a un elemento de dos espacios vectoriales distintos. Por tal razón, no se pueden realizar operaciones algebraicas con ambos vectores o compararlos. Por ejemplo, −→ la flecha que va desde un punto A hasta otro punto B, representada por el vector AB, no se puede −→ identificar, en general, como un vector opuesto al vector BA, cuya representación corresponde a una flecha que va desde el punto B hasta A; la razón es que ambos vectores no se pueden comparar por pertenecer a espacios vectoriales distintos, a menos que se dote al espacio vectorial de una estructura adicional llamada transporte paralelo. Así, tal dificultad es solventada cuando se traslada o se transporta paralelamente uno de los vectores de forma tal que las colas de las flechas se encuentren en un mismo punto. El transporte paralelo de un vector es una operación que permite trasladar a cualquier vector de un punto del espacio físico a otro; técnicamente hablando, el transporte paralelo es una operación particular que transforma a un vector de un espacio vectorial a otro vector de otro espacio vectorial. La traslación de un vector o su transporte paralelo se realizar a lo largo de una recta o curva, sin cambiar el ángulo entre el vector y la recta o curva, es decir, el transporte paralelo se realiza de forma tal que se preserve la orientación del vector respecto a la recta o curva utilizada para realizar el transporte. En la Fig. 2.3a (Fig. 2.3b) se observa la representación geométrica de ~ y A ~ ′ , cuyas colas se encuentran en los puntos p1 y p2 , respectivamente. El vector los vectores A ′ ~ corresponde al transporte paralelo del vector A ~ a lo largo de la recta (curva) ℓ, además se puede A observar en dicha figura que el transporte de la cuña a lo largo de ℓ garantiza que se preserve el ángulo entre el vector transportado y la recta (curva) empleada para el transporte. La recta o curva empleada para el transporte de vectores se conoce con el nombre de geodésica afín, en geometría Euclídea las geodésicas afín corresponden a líneas rectas en el espacio físico a diferencia de otras geometrías, como Prof. Sttiwuer D. Página 4 de 53


Parte II

la de Riemann o Cartan cuyas líneas son curvas. En tal sentido, todos los transporte paralelos que se realizan en esta monografía se harán sobre rectas a menos que se establezca lo contrario. Fig. (c)

Fig. (b)

Fig. (a) ~ A p1

~′ A p2

~ A ℓ

p1

~′ A p2

~ B

~1 A

~ A

ℓ

~ C ~2 A

~3 A

~ D

~ a los Figura 2.3: Se muestra la representación geométrica para el transporte paralelo de un A largo de: (a) Una reta, (b) una curva y (c) una circunferencia. En este último caso, se distingue ~ C ~ y D. ~ si el vector transportado paralelamente es colineal o no a los vectores B, Es de mencionar que todo vector es paralelo a si mismo, por tal razón los vectores mostrados en las Figs. 2.3a y 2.3b son paralelos. Para identificar si un vector es paralelo o antiparalelo respecto a otro se requiere que ambos vectores pertenezcan al mismo espacio vectorial y además se requiere que ambos vectores sean colineales. Para comparar dos vectores que no pertenecen al mismo espacio vectorial se debe, en primer lugar, transportar paralelamente uno de los vectores al espacio vectorial del otro vector; en otras palabras, se traslada una de las flechas de forma tal que ambas colas coincidan. En segundo lugar, se verifica que ambos vectores sean colineales. Por ejemplo, en la Fig. 2.3c se ~ B, ~ C ~ y D, ~ ubicados en los puntos p, p1 , muestran las representaciones geométricas de los vectores A, p2 y p3 , respectivamente. Dichos vectores se encuentran definidos en espacios vectoriales distintos, por tal razón no puede establecerse comparaciones entre ellos. En la misma figura, se muestran las ~ 1, A ~ 2, A ~ 3 correspondientes al transporte paralelo del representaciones geométricas de los vectores A ~ a lo largo de la circunferencia hasta los puntos p1 , p2 y p3 , respectivamente. De esta manera vector A es posible comparar dos vectores ubicados en el mismo espacio vectorial, y a partir de la Fig. 2.3c se ~1 k B ~ yA ~ 3 6k D, ~ en cambio, la traslación paralela del vector A ~ al punto p2 conduce a establece que A ~ 2 no es colineal a C. ~ que A

2.3.

Regla del paralelogramo: Adición entre vectores

La regla del paralelogramo consiste en definir una operación entre dos vectores, denotada con el símbolo +, cuyo resultado es un vector del mismo espacio vectorial, llamado suma. Esta operación debe estipularse de tal forma que cumpla con los siguientes axiomas: ~ B ~ y C, ~ la adición entre ellos es ✍ Asociativa: Dado tres vectores cualesquiera denotados como A, asociativa cuando se cumple la igualdad ~+B ~ +C ~ =A ~+ B ~ +C ~ . A (1) Toda operación que verifique la asociatividad, como en (1), puede escribirse prescindiendo del uso de los paréntesis, entendiéndose con ello que ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A+B+C = A+B +C =A+ B+C .

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Parte II

~ y B, ~ la adición de éstos vec✍ Conmutativa: Dado dos vectores cualesquiera denotados como A tores es conmutativa cuando se cumple la igualdad ~+B ~ =B ~ +A ~. A

(2)

También, se alude a esta operación diciendo que el álgebra generada por la adición es abeliana. Paralelogramo

~′ B ~ A ~+B ~ A

~+B ~ A

P

~′ A

~ B P

~ B ~ A Figura 2.4: Visión geométrica para la regla del paralelogramo. A la izquierda se superpone un paralelogramo sobre tres vectores, quedando cada vector paralelo a los lados y a la diagonal del paralelogramo. A la derecha se operacionaliza esta regla mediante transporte paralelo. P

Geométricamente la regla del paralelogramo es concebida, como su nombre lo dice, a partir de la construcción de un paralelogramo cuyos lados sean paralelos a los vectores considerados, siendo la diagonal del paralelogramo un segmento de recta que coincide en tamaño y dirección con la representación geométrica del vector suma. En la Fig.2.4 (izquierda) se muestra la representación ~ B ~ y del vector suma A ~ + B, ~ las cuales coinciden con los lados y geométrica de los vectores A, diagonal de un paralelogramo superpuesto a los tres vectores. La forma operacional de obtener al vector suma es considerar el siguiente procedimiento: (I) Realiza una traslación paralela de un vector sobre el otro, de forma tal que la cola de una flecha coincida con la punta de la otra. (II) Se traza una un segmento de recta orientado desde la cola de la flecha no trasladada hasta la punta de la flecha trasladada, de forma tal que se forme un triángulo. En la Fig.2.4 (derecha) se ha considerado este procedimiento para obtener al vector suma, a partir de dos secuencias distintas. En primer lugar, se ~ hasta la punta de la representación geométrica del vector traslada la flecha que representa al vector A ~ En segundo lugar, se traza una flecha, que representa al vector suma, desde la cola de la flecha B. no trasladada hasta la punta de la flecha trasladada. Al realizar esta operaciones en orden inverso se generan el mismo vector suma a partir de otro triángulo. Superponiendo ambos triángulos se genera un paralelogramo.

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Parte II ~′ C

Se traslada el ~ sobre el vector B ~ hasta la vector A punta de éste.

~+B ~ A

Se traslada el ~ sobre el vector C ~ ~ hasta vector A + B la punta de éste.

~′ B

~ C

~ B

~+B ~ A

~ A

~ A ~ C Se traslada el ~ sobre el vector B ~ vector C hasta la punta de éste.

~ + B) ~ +C ~ (A

~ B

′

~ +C ~ B

Se traslada el ~ sobre el vector A ~ ~ hasta vector B + C la punta de éste. ~ A

~ C

~′ A ~ + (B ~ + C) ~ A ~ +C ~ B

P

Figura 2.5: Se verifica geométricamente la propiedad asociativa entre vectores. Arriba se realiza ~ B)+ ~ C ~ y abajo A+( ~ B ~ + C), ~ ambas operaciones conducen al mismo vector, denotado la suma (A+ ′ ~ ~ ~ ~ ~ ′ corresponde a traslaciones de B ~ y C, ~ respectivamente. como A + B + C. Los vectores B y C La regla del paralelogramo junto al transporte paralelo, realizado sobre la dirección de los vectores, verifican la propiedades asociativa y conmutativa. De hecho, en la Fig. 2.4 (derecha) se demostró la propiedad conmutativa (2), es decir, la adición de dos vectores es independiente del orden en que se efectúe. Por otro lado, en la Fig. 2.5 se muestran las representaciones geométrica de tres vectores así como los vectores suma, demostrándose la propiedad asociativa (1). Para ello se consideran tres ~ B ~ y C, ~ cuya adición se ha efectuado de dos manera: (A ~ + B) ~ +C ~ vectores, denotados como A, ~ + (B ~ + C), ~ indicando con el paréntesis la suma que ha de realizarse en primer lugar. Ambas yA ~ hasta operaciones conducen al mismo vector. Para el primer (segundo) caso, se traslada el vector B ~ (C) ~ sobre la dirección de éste; luego se suman ambos vectores para obtener la punta del vector A ~ ~ ~ ~ ~ (A) ~ hasta la punta del vector A ~ +B ~ (B ~ + C) ~ A + B (B + C); seguidamente, se traslada el vector C ~ + B) ~ +C ~ [A ~ + (B ~ + C)]. ~ Tal como se sobre la recta de éste y finalmente se suma los vectores (A ilustra en la Fig. 2.5 arriba (abajo). En ambos casos, se obtiene el mismo vector. ~ con su opuesto −A, ~ se obtiene como resultado de la operación Cuando se adiciona un vector A al vector nulo, esto es ~ + (−A) ~ = −A ~+A ~ = ~0 . A (3)

También se puede realizar la adición de un vector con el opuesto de otro vector, a esta operación ~ con B, ~ denotándose como se le denomina sustracción entre vectores. La sustracción de un vector A ~ − B, ~ significa que se debe obtener el vector suma del primer vector con el opuesto del segundo. El A ~ con B, ~ esto es resultado de esta operación genera un nuevo vector llamado resta de A → ~−B ~ def ~ + (−B) ~ = −B ~ +A ~≡− A = A BA .

(4)

De la relación (4) se observa que la sustracción entre vectores no es una operación adicional, por el contrario, se construye a partir de la adición de un vector con el opuesto del otro. La representación → ~−B ~ se muestra en la Fig. 2.6 (centro). El vector − geométrica del vector resta A BA es representado geométricamente por una flecha dirigida desde el punto B hasta el punto A, tal como se muestra Prof. Sttiwuer D. Página 7 de 53


Parte II

en la Fig. 2.6 (derecha). La traslación paralela de este vector hasta el punto P , sobre la dirección → ~ denotada como − ~−B ~ (ver Fig. 2.6 derecha). Este hecho, del vector B, BA ′ , coincide con el vector A permite establecer la equivalencia presentada en (4); donde los puntos A y B son caracterizados por ~ y B, ~ respectivamente. la punta de las flechas que representan a los vectores A −−→ ′ ~−B ~ BA = A Traslación paralela del ~−B ~ vector A hasta la punta ~ de B

~−B ~ A

~ A

Suma del vector ~ con el A ~ opuesto de B

~ A

A ~ A

−−→ BA

B ~ ~ B B ~ − B. ~ La flecha dirigida desde el punto B hasta Figura 2.6: Representación geométrica del vector A el punto A corresponde a la traslación paralela de este vector. ~ B

2.4.

~ −B

Acción de un escalar sobre un vector

En un espacio vectorial existen escalares constituidos por números reales (R); éstos pueden pensarse como operadores que actúan sobre vectores dando como resultado de la operación un nuevo ~ es vector colineal al vector sobre el cual actúa. La acción de un escalar λ ∈ R sobre el vector A ~ o simplemente λA; ~ de manera que éste vector es colineal al vector A. ~ El sentido denotado como λ(A) ~ queda establecido por el signo de escalar λ: Si λ es positivo (negativo) entonces λA ~kA ~ del vector λA ~ 6k A). ~ Esta operación suele llamarse multiplicación de un escalar por un vector. La representación (λA ~ corresponde a una flecha colineal a la representación geométrica del vecgeométrica del vector λA ~ tor A, cuya norma corresponde al producto del valor absoluto del número real λ por la norma del ~ = |λ||A|. ~ En la Fig. 2.7 se muestran las representaciones geométrica referido vector, es decir, |λA| ~ y λA, ~ observándose situaciones en que estos vectores son paralelo o antiparalelos. de los vectores A ~ es mayor (menor) a la norma Además se observa que el tamaño de la flecha asociada al vector λA ~ cuando |λ| es mayor (menor) a la unidad. del vector A ~ A ~ con λ < 0 λA ~ con λ > 0 λA ~ A ~ con |λ| < 1 λA

~ con |λ| > 1 λA

Figura 2.7: Arriba se muestra la representación ~ cuando λ es positivo geométrica del vector λA y negativo, además |λ| < 1. Abajo se muestra la misma representación cuando |λ| es mayor y menor a la unidad, además λ es positivo.

Cuando un vector, en su representación geométrica, tiene norma igual a la unidad se le denomina vector unitario o versor; éstos se distinguen de los vectores colocando encima de la letra el símbolo ∧ b se lee como «versor A» o «vector unitario A». Estos vectores en lugar de una flecha, por ejemplo, A b son empleados para establecer la orientación de un vector. Para determinar el vector unitario A ~ basta considerar considerar que el versor es colineal a dicho vector, esto es paralelo al vector A b ~ Ap = λA donde λ > 0. Para determinar el escalar λ basta imponer que la norma de este versor es Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

igual a la unidad, esto es bp | = |λA| ~ |A

=⇒

~ 1 = λ|A|

=⇒

λ=

1 ~ |A|

∴

bp = 1 A ~. A ~ |A|

(5)

bp paralelo al vector A ~ se obtiene del cociente entre este vector con En otras palabras, el versor A ba antiparalelo al vector A ~ satisface la relación A ba = −A bp . su norma. Por el contrario, el versor A En la Fig. 2.8 se muestra la representación geométrica de un versor paralelo y antiparalelo a la ~ representación geométrica del vector A. ~ Versor antiparalelo al vector A

~ Versor paralelo al vector A

~ A 1 ~ ba − A =A ~ |A|

bp = 1 A ~ A ~ |A|

Dirección ~ del vector A

Figura 2.8: Representación geométrica del versor paralelo y antiparalelo a un vector dado. La operación de multiplicar un escalar sobre vector debe satisfacer las siguientes propiedades, ~ y B ~ dos vectores cuales quiera y λ un ✍ Distributiva respecto a la suma de vectores: Sean A ~+B ~ satisface escalar arbitrario. La multiplicación del escalar λ sobre el vector suma A ~ + B) ~ = λA ~ + λB ~. λ(A

(6)

~ un ✍ Distributiva respecto a la suma de escalares: Sean λ1 y λ2 dos escalares arbitrarios y A ~ satisface la relación vector cualquiera. La multiplicación de λ1 + λ2 con el vector A ~ = λ1 A ~ + λ2 A ~. (λ1 + λ2 )A

(7)

~ un ✍ Asociativa respecto al producto de escalares: Sean λ1 y λ2 dos escalares arbitrarios y A ~ satisface la relación vector cualquiera. La multiplicación de λ1 λ2 con el vector A ~ = λ1 (λ2 A) ~ . (λ1 λ2 )A

2.5.

(8)

Producto escalar entre vectores

El producto escalar es una operación adicional que se dota al espacio vectorial que permite atribuir propiedades métricas a dicho espacio. Una de esta propiedades es la medida de ángulo entre vectores, con ésta se logra determinar la ortogonalidad entre vectores. Otra propiedad, atribuida al producto escalar, es la proyección de vectores sobre una dirección dada, así como también la norma de vectores. En definitiva, el método más eficaz para establecer propiedades métricas al espacio vectorial es dotando a éste de un producto escalar, con el cual se logre medir ángulos, longitud, areas, volumen, etc. ~ B ~ se pone Un espacio vectorial es dotado de un producto escalar si a todo par de vectores A, ~ · B, ~ el cual en correspondencia con un número real, llamado producto escalar y denotado como A satisface los siguientes axioma: Prof. Sttiwuer D. Página 9 de 53


Parte II

~ y B, ~ el producto ✍ Comutatividad o simetría: Dado dos vectores cualesquiera, denotados como A escalar entre ellos es conmutativo o abeliano siempre que verifique la relación de simetría ~·B ~ =B ~ ·A ~. A

(9)

En otras palabras, el producto escalar entre dos vectores es independiente del orden en que se realice. ~ B ~ y C, ~ el producto escalar ✍ Distributiva: Dado tres vectores cualesquiera, denotados como A, satisface la propiedad distributiva verificándose la igualdad ~· B ~ +C ~ =A ~·B ~ +A ~·C ~. A (10) ~ y B, ~ y un ✍ Multiplicación por un escalar: Dado dos vectores cualesquiera, denotados como A número real λ, el producto escalar verifica la siguiente propiedad ~ · λB ~ = λA ~ ·B ~ = λA ~·B ~. A (11) ~ un vector cualquiera el producto escalar de este vector con él mismo es un ✍ Positividad: Sea A número real positivo, es decir, se verifica la siguiente propiedad ~·A ~ ≥ 0. A

(12)

~ es el vector es nulo. La igualdad se cumple únicamente cuando A Las propiedades expresadas en (10) y (11) pueden resumirse diciendo que el producto escalar es lineal en la segunda entrada, es decir, cumple con ~ · (λ1 B ~ + λ2 C) ~ = λ1 A ~·B ~ + λ2 A ~·C ~. A

(13)

Y por la propiedad conmutativa se puede verificar que es lineal en la primera entrada, en tal sentido, se dice que el producto escalar es bilineal. En consecuencia, se establece que todo producto escalar en un espacio Euclídeo debe ser bilineal, conmutativo y positivo. De hecho, un espacio vectorial real se llama Euclídeo cuando se dota de un producto escalar con estas características. Figura (b)

Figura (a)

θA, ~B ~

~ B

Figura (d) θA, ~B ~ =0

~ B

~ B

θA, ~B ~ = π/2

θA, ~B ~ ~ A

~ B

Figura (c)

~ A

~ A

~ A

θA, ~B ~ =π ~ B

~ A

Figura 2.9: Se muestran representaciones geométricas para dos vectores cuando el ángulo entre ellos es: (a) Agudo, (b) obtuso, (c) recto y (d) llano. Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

Para un espacio Euclídeo o un espacio dotado con un producto escalar, la norma de un vector es inducida por el producto escalar a partir de la siguiente expresión p ~ = A ~·A ~. |A| (14)

Este número real se hace coincidir con la longitud de la flecha que representa geométricamente al ~ La representación geométrica de un vector vía a una flecha le dota al espacio vectorial la esvector A. tructura de norma, los espacios vectoriales no vienen equipados con esta estructura, por el contrario, dotar al espacio de una norma, vía al producto escalar, permite atribuirle al espacio propiedades métricas que no posee. La estructura de producto escalar es compatible con la medida de ángulo solo cuando se cumpla la desigualdad de Cauchy-Schwarz, ~ |B| ~ ≤A ~·B ~ ≤ |A| ~ |B| ~ . −|A|

(15)

Tal desigualdad se garantiza en un espacio vectorial Euclídeo, debido a que el espacio vectorial es ~ pueda ser real; para probarlo basta considerar que existe al menos un escalar λ tal que el vector C ~ ~ ~ ~ ~ · B) ~ B. ~ escrito de manera única en función de dos vectores A y B, no ortogonales, como Cλ = A − (λA En virtud de (12) y (13), se tiene que ~λ · C ~λ ≥ 0 C

=⇒

~ · B) ~ 2 |B| ~ 2 λ2 − 2(A ~ · B) ~ 2 λ + |A| ~2≥0 (A {z } |

∴

f (λ) ≥ 0 .

f (λ)

Para que esta inecuación se cumpla independientemente del valor de λ debe suceder que f (λ) no tenga raíces y f (0) ≥ 0, de lo contrario existirán valores para λ que verifique la desigualdad f (λ) < 0. ~ λ para el cual no se cumple (12). El polinomio f (λ) no presenta Esto indicaría que existe un vector C raíces reales cuando ~ · B) ~ 4 − 4(A ~ · B) ~ 2 |B| ~ 2 |A| ~ 2 ≤ 0, 4(A

=⇒

~ · B| ~ ≤ |A|| ~ B|, ~ |A

que conduce naturalmente a (55a). Esta desigualdad garantiza que una razón trigonométrica que permita definir la medida de ángulo entre vectores. El ángulo entre dos vectores no nulo en un espacio Euclídeo es obtenido a partir de la relación def

cos θA, ~B ~ =

~·B ~ A ~ |B| ~ |A|

donde 0 ≤ θA, ~B ~ ≤ π,

(16)

donde la norma de los vectores involucrados viene dada por la expresión (14). A partir de (16) se extrae la siguiente información: π ✎ El ángulo entre dos vectores es agudo (0 < θA, ~B ~ < 2 ) cuando el producto escalar entre dichos ~·B ~ > 0). Por el contrario, el ángulo entre dos vectores es obtuso vectores es positivo (A π ~ ~ ( 2 < θA, ~B ~ < π) cuando el producto escalar entre dichos vectores es negativo(A · B < 0). Una representación geométrica de estas afirmaciones son ilustradas en la Figs. 2.9a y 2.9b, lo cual permite identificar a la cantidad θA, ~B ~ como el menor ángulo entre los vectores. Prof. Sttiwuer D. Página 11 de 53


Parte II

π ✎ El ángulo entre dos vectores es recto (θA, ~B ~ = 2 ) cuando el producto escalar entre dichos vectores ~ B ~ = 0). Para este caso se dice que ambos vectores son ortogonales. Se usa el símbolo se anula (A· ~·B ~ = 0 entonces se ⊥ para denotar perpendicularidad u ortogonalidad. En tal sentido, si A ~ ⊥ B; ~ que se lee «el vector A es perpendicular u ortogonal al vector B». En la infiere que A Fig.2.9c se muestra una representación geométrica de dos vectores perpendiculares.

✎ El ángulo entre dos vectores colineales vale 0 o π, se toma el primer valor cuando los vectores son paralelos y el segundo cuando son antiparalelos. Para este caso, el producto escalar se obtiene ~·B ~ = ±|A| ~ |B|; ~ tomando el a partir del producto de las norma de ambos vectores, es decir, A ~kB ~ y negativo cuando A ~ 6k B. ~ Una representación geométrica de esta signo positivo cuando A afirmación se ilustra en la Fig.2.9d.

~ C

α

c γ

b

β

β

a

~ A

α

~ B

π−γ

Figura 2.10: A la izquierda se muestra un triángulo no rectángulo cuyos lados poseen longitudes a, b y c, mostrando a su vez los ángulos internos al triángulo. A la derecha se muestra un triángulo ~ B ~ y C. ~ construido a partir de tres flechas consecutivas, las cuales representan a los vectores A, El teorema del coseno permite determinar la longitud del cateto de un triángulo, no necesariamente rectángulo, como el mostrado en la Fig. 2.10 (izquierda). En dicha figura, se identifican los catetos del triángulo y los ángulos internos a éste; el teorema del coseno para este triángulo se expresa mediante las siguientes relaciones a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

y c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

(17)

Las cuales coinciden con el teorema de Pitágoras cuando el triángulo es rectángulo, es decir, se recupera el teorema de Pitágoras cuando uno de los ángulos internos al triángulo es recto. Se puede probar las expresiones indicadas en (17) haciendo uso del álgebra vectorial, para ello se consideran ~ B ~ yC ~ cuyas representaciones geométricas coinciden con los catetos del triángulo a los vectores A, ~ = a, mostrado en la Fig.2.10 (derecha). De la geometría mostrada en dicha figura se tiene que |A| ~ ~ ~ ~ ~ |B| = b y |C| = c; además se verifica la relación A + B + C = ~0. Al despejar uno de los vectores, ~ y luego se calcula su norma usando (14) se llega al teorema del coseno. Así, digamos que C, ~ = | − (A ~ + B)| ~ ~ 2 = |A ~ + B| ~ 2 =⇒ c2 = (A ~ + B) ~ · (A ~ + B) ~ |C| =⇒ |C| ~ 2 + |B| ~ 2 + 2A ~·B ~ =⇒ c2 = a2 + c2 + 2ab cos(π − γ) c2 = |A| ∴ c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

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~yB ~ es π − γ, el cual se obtiene trasladando al vector A ~ hasta Obsérvese que el menor ángulo entre A ~ la cola del vector C. Figura (a) ~ A

Figura (b)

Figura (c) ~ A

~ A

Sombra ~ Proyub A

u b

~ Proyub A

u b

P

θA,b ~u

O

~ cos θ ~ |A| u A,b

Figura 2.11: Se presenta la proyección de un vector sobre una dirección definida por el versor u b cuando el ángulo es (a) agudo y (b) obtuso. La figura de la izquierda muestra la sombra proyectada sobre una dirección determinada, la sombra se debe a una lámpara colocada sobre el vector y la ~ proyectado. longitud de la sombra proyectada coincide con la norma del vector A Con el producto escalar se logra establecer la proyección de un vector sobre una dirección dada, como resultado de la proyección se genera un nuevo vector colineal a la dirección donde se proyecta. ~ sobre la dirección definida por el versor u ~ Así, la proyección de un vector A b, denotada como Proyub A ~ queda establecida por el vector λb ou bu b(A), u, donde la constante de proporcionalidad λ se obtiene del ~ y el versor u producto escalar entre el vector A b. Es decir, ~=u ~ def ~·u Proyub A bu b(A) = (A b)b u.

(18)

~ sobre la dirección definida por el versor La representación geométrica de la proyección de un vector A u b cuando el ángulo es agudo (obtuso) se muestra en la Fig. 2.11a (Fig. 2.11b). Geométricamente, la proyección de un vector corresponde a la sombra dejada por él sobre la dirección donde se proyecta cuando se coloca una lámpara sobre el vector, tal como se muestra en la Fig. 2.11c. La sombra puede ser descrita mediante una flecha dirigida desde el punto P hasta el punto O, donde termina la sombra. ~ sobre la dirección definida por widehatu viene La longitud de la flecha o de la sombra dejada por A ~ cos θ ~ = A ~·u dada por |A| b. De manera que, el vector generado por la proyección corresponde a la A,b u multiplicación de esta longitud por el versor u b, tal como se expresa en (18).

~ para indicar la proyección del vector A ~ sobre la dirección Se ha sugerido en (18) la notación n bn b(A) ~ también es empleado para denotar la acción de un opedel versor ~n. No obstante, el símbolo n bn b(A) rador sobre un vector, dicho operador es llamado proyector. Estrictamente hablando, esta cantidad corresponde a un tensor de segundo rango. Todo proyector verifica la siguiente propiedad, ~ =n ~ . n bn b2 = n bn b ó n bn b 2 (A) bn b(A)

(19)

Dicha propiedad indica que la acción consecutiva del proyector genera al mismo proyector. Para probar esta relación basta calcular ~ =n ~ =n ~ n) = (b ~ n) · n ~n · n ~n = n ~ . n bn b 2 (A) bn b(b nn b(A)) bn b(b n · Ab n · Ab bn b=n b · Ab bn b=n b · Ab bn b(A)

Debe distinguirse entre n b·n byn bn b, el primero corresponde al producto escalar del versor n b; cuyo resultado es igual a la unidad. A diferencia del segundo producto, el cual es denominado producto Prof. Sttiwuer D.

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tensorial del versor n b y suele escribirse como n b⊗n b≡n bn b. El producto tensorial de dos vectores suele recibir el nombre de diádica o diada, la cual es construida mediante la siguiente prescripción ~ B(~ ~ x) = A ~ ⊗ B(~ ~ x) = A( ~ B ~ · ~x) = (B ~ · ~x)A. ~ A

(20)

Dicho objeto es un operador lineal ya que verifica las siguiente propiedad ~ B(λ ~ 1~x + λ2 ~y ) = λ1 A ~ B(~ ~ x) + λ2 A ~ B(~ ~ y ). A

2.6.

(21)

Producto vectorial entre vectores

Tres vectores, no colineales entre sí, que se encuentren en un mismo plano se denominan coplanares. ~ B ~ yC ~ son coplanares siempre que se pueda escribir cualquiera de las siguientes Así, los vectores A, combinaciones, ~ = α1 B ~ + α2 C ~ ó B ~ = β1 A ~ + β2 C ~ ó C ~ = γ1 A ~ + γ2 B ~. A (22) Tres vectores no coplanares se denominan terna o triedro cuando se indica cuál de dichos vectores es el primero, cuál es el segundo y cuál es el tercero. Al escribir una terna o triedro se dispone a los tres vectores de izquierda a derecha, así, con tres vectores no coplanares se dispone de seis ternas o triedros, dadas por: ~ B, ~ C}, ~ T1 = {A, ~ C, ~ B}, ~ T4 = {A,

~ C, ~ A}, ~ T2 = {B, ~ A, ~ C}, ~ T5 = {B,

~ A, ~ B}, ~ T3 = {C, ~ B, ~ A}. ~ T6 = {C,

En la Fig. 2.12 se enumeran tres flechas, haciendo corresponder a la flecha 1, 2 y 3 con el primer, segundo y tercer vector del triedro, respectivamente. De esta manera, se tendrán seis posibles representaciones de la terna o triedro. Las flechas de los triedros T2 y T3 con igual nombre se pueden hacer coincidir, mediante rotación, con los nombres del triedro T1 ; de igual forma, las flechas de los triedros T5 y T6 se pueden hacer coincidir, mediante rotación de éstos, con el triedro T4 . Sin embargo, los triedros T1 y T4 no se pueden hacer coincidir las flechas del mismo nombre mediante rotación de uno de los triedros. En tal sentido, los triedros o ternas como los indicados en T1 , T2 y T3 se dice que están orientados positivamente, en cambio los triedros o ternas como los indicados en T4 , T5 y T6 tienen orientación inversa, es decir, están orientados negativamente. Flecha 3

T1 :

~ C

T2 :

~ A

~ B ~ A

Flecha 2 Flecha 1

T4 :

~ B ~ B

~ B

~ C

T5 : ~ C

~ A

T3 :

~ A ~ C

~ C

T6 : ~ A

~ B

~ A ~ B

~ C

Figura 2.12: A la izquierda se presenta tres flechas identificadas con 1, 2 3. A la izquierda y arriba (abajo) se muestran tres ternas orientadas positivamente (negativamente). Prof. Sttiwuer D.

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Un espacio vectorial tridimensional presenta dos orientaciones: Positiva y negativa, la primera (segunda) orientación queda establecida cuando se elige un triedro o terna orientada positivamente ~ y B, ~ denotado (negativamente). En dicho espacio se define el producto vectorial entre los vectores A ~ × B, ~ como un nuevo “vector” que depende de la orientación del espacio. Tal que la norma y como A orientación de dicho vector queda estipulada por la siguiente prescripción: ~ y B, ~ el cual viene ✎ Norma: Representa el área del paralelogramo formado con los vectores A dado por la relación ~ × B| ~ = |A| ~ |B| ~ sen θ ~ ~ , |A (23) A,B

~ y B. ~ Esta relación es obtenida donde θ~a,~b es el menor ángulo formado entre los vectores A mediante el uso de geometría y trigonometría, tal como se muestra en la Fig. 2.13. La norma presentada en (23) puede ser escrito en termino del producto escalar mediante la relación q ~ · B) ~ 2. ~ ~ (24) |A × B| = A2 B 2 − (A Que se obtiene elevando al cuadrado (23) y sustituyendo (16).

~ h = |A ~ × B|. ~ Area = |A| ~ B θA, ~B ~ ~ A

~ sen θ ~ ~ h = |B| A,B

Figura 2.13: Se indica el área de un paralelogramo generado por dos vectores, dicha área se construye multiplicando la base del paralelogramo cuya longitud coincide con la norma ~ y la altura del mismo se obtiene del vector A del cateto opuesto al ángulo formado entre los dos vectores.

✎ Dirección: Se establece mediante la recta perpendicular al plano que contiene a los vectores ~ y B, ~ por tal razón el vector A ~×B ~ forma un ángulo de π/2 con los vectores A ~ y B. ~ En la A ~ ~ Fig. 2.14 se muestra la dirección del vector A × B. ~ B Dirección del vector ~×B ~ A

~ A

Figura 2.14: La recta perpendicular al plano que contiene a las representaciones geométric~ y B. ~ Por lo que la dirección as de los vectores A ~×B ~ es tal que forma un ángulo del vector A ~ y B. ~ recto con los vectores A

~ B, ~ A ~ × B} ~ presente la misma ✎ Sentido: Queda establecido de forma tal que el triedro T = {A, orientación que la del espacio. Cuando una terna o triedro está orientado positivamente (negativamente) se dice que sigue la regla de la mano derecha (izquierda), esta regla consiste en colocar todos dedos, salvo el pulgar, en la dirección del primer vector de la terna y la palma de la mano orientada hacia el segundo vector; al enrollar la mano y colocar el pulgar en ángulo recto se obtendrá la dirección y sentido del tercer vector de la terna. Así, en un espacio orien~×B ~ lo da la regla de la mano derecha, a diferencia tado positivamente el sentido del vector A Prof. Sttiwuer D. Página 15 de 53


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~×B ~ lo da la regla de la de un espacio orientado negativamente donde el sentido del vector A ~×B ~ cuando el espacio tiene mano izquierda. En la Fig 2.15 se muestra el sentido del vector A una orientación definida. Es importante resaltar que el producto vectorial depende de la orientación del espacio, por tal razón, los segmentos de recta orientados que depende de la orientación del espacio son denominado pseudo-vectores, no son verdaderos vectores. Sin embargo, al fijar la orientación del espacio el producto vectorial es un verdadero vector. ~×B ~ A ~ A

~ B ~ A

~×B ~ A

~ B ~ B ~ Figura 2.15: A la izquierda (derecha) se muestra la dirección y sentido del vector A× mediante la regla de la mano izquierda (derecha). Las propiedades del producto vectorial que se listan abajo son independiente de la orientación del espacio. ➫ El producto vectorial es anticonmutativo, es decir, el producto vectorial de dos vectores difiere en signo del producto vectorial en orden inverso; esto es, ~×B ~ = −B ~ ×A ~ A

(25a)

~ con el vector B ~ genera el ➫ Multiplicación por un escalar, el producto vectorial del vector λA ~ con λB, ~ el cual es denotado como λA ~ × B. ~ mismo vector obtenido del producto vectorial de A En tal sentido, se tiene que ~×B ~ = (λA) ~ ×B ~ =A ~ × (λB) ~ λA

(25b)

~ B ~ y C, ~ el producto vectorial ➫ Distributiva, dado tres vectores arbitrarios que se denotan como A, satisface la propiedad distributiva verificándose ~ × (B ~ + C) ~ =A ~×B ~ +A ~×C ~ A

(25c)

~ posee la misma dirección que B, ~ entonces A ~×B ~ = ~0. ➫ Si A

Las propiedades (25a) y (25b) se pueden resumir diciendo que el producto vectorial es lineal en cada entrada, es decir satisface la relación de linealidad ~ ~ ~ ~×B ~ + λ2 A ~×C ~, A × λ1 B + λ2 C = λ1 A (26)

tanto en la primera y segunda entrada. En dicho caso, se resumen las tres propiedades indicadas en (25) diciendo que el producto vectorial es bilineal y antisimétrico. Prof. Sttiwuer D.

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✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 2.1 El producto vectorial de un vector consigo mismo genera al vector nulo, para probarlo basta usar la propiedad de antisimetría, ~×A ~ = −A ~×A ~ =⇒ 2A ~×A ~ = ~0, A ~ ~ ~ donde se deduce que A × A = 0. Dicho resultado puede ser usado para probar que el producto vectorial de dos vectores colineales también es nulo, para demostrar esta afirmación basta considerar ~ y el producto vectorial ~ = λA B

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~×B ~ = λA ~×A ~ = ~0. A Estas afirmaciones resultan obvia debido a que no se genera un paralelogramo con un vector o con dos vectores colineales, y por consiguiente no se genera un área de manera que la norma del producto vectorial de un vector consigo mismo o de dos vectores colineales es cero.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Existen dos producto triple entre vectores, uno de ellos se denomina producto triple escalar y el ~ B ~ × C) ~ otro es denominado producto triple vectorial, ambos productos triples son denotados como A·( ~ × (B ~ × C), ~ respectivamente. El primer producto triple tiene un interpretación geométrica sencilla yA ~ B, ~ C} ~ forma una terna T . Con los elementos de dicho triedro se cuando el conjunto de vectores {A, genera un paralelepípedo como el mostrado en la Fig. 2.16, de manera que el producto triple escalar entre los vectores de la terna T representa el volumen V generado por el paralelepípedo, esto es ~ · (B ~ × C). ~ ~ × C|| ~ A| ~ cos θ ~ ~ ~ = A VParalelepípedo = Área · h = |B A,B×C

(27)

~yB ~ ×C ~ es mayor a Desde luego que existen situaciones donde el ángulo formado entre el vector A π/2, lo cual conduce a que el producto escalar dado en (27) sea negativo, por lo que debe tomarse el valor absoluto para evitar esta particularidad del signo. Una situación donde esto ocurre surge al considerar que el espacio se encuentra orientado negativamente, en dicho caso el sentido del vector ~ ×C ~ es opuesto al mostrado en la Fig. 2.16 y el ángulo entre éste y el vector A ~ es π − θ ~ ~ ~ ; lo B A,B×C cual conduce a que el producto escalar presentado en (27) sea negativo. En tal sentido, el volumen de un paralelepípedo generador a partir del triedro T viene dado por ~ · (B ~ × C)| ~ VParalelepípedo = |A ~ ×C ~ B

~ A

(28)

~ A

θA, ~ B× ~ C ~

~ C

~ C ~ B

~ cos θ ~ ~ ~ h = |A| A,B×C

~ ~ × C| ~ B Área = |B ~ B ~ yC ~ orientada Figura 2.16: A la izquierda se muestra un paralelepípedo generado con la terna A, positivamente. A la izquierda se identifica el área y la altura del paralelepípedo generado por dicha terna. ~ B ~ yC ~ no generan una paralelepípedo cuando se encuentran en un mismo plano, Los vectores A, ~ de la Fig. 2.16 forma es decir, son coplanares. Tal situación se debe a que, por ejemplo, el vector A Prof. Sttiwuer D.

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~ × C. ~ En consecuencia a esto, el producto triple escalar entre los un ángulo recto con el vector B ~ B ~ yC ~ se anula, esto es A ~ · (B ~ × C) ~ = 0. Indicando con esta igualdad que los tres vectores vectores A, son coplanares. El producto triple escalar satisface la siguiente condición de ciclicidad, ~ · (B ~ × C) ~ =B ~ · (C ~ × A) ~ =C ~ · (A ~ × B) ~ A

(29)

donde se observa que dicho producto triple genera el mismo valor numérico cuando se corre de posición a los vectores involucrados de derecha a izquierda o viceversa. Desde el punto de vista geométrico, ~ B, ~ C}, ~ T2 = {B, ~ C, ~ A} ~ y estos productos indican que el volumen generado con las ternas T1 = {A, ~ ~ ~ T3 = {C, A, B} es el mismo.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 2.2 El producto triple escalar formado ~ yB ~ viene dado por la exprecon dos vectores A sión ~ · (A ~ × B) ~ ~ · (A ~ × B). ~ A ó B Ambos productos escalares son nulos en virtud a la propiedad de ciclicidad (29) así como del resultado presentado en el ejemplo 2.1. En efecto, ~ · (A ~ × B) ~ =B ~ · (A ~ × A) ~ = ~0. A

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ De igual forma, se tiene que ~ · (A ~ × B) ~ =A ~ · (B ~ × B) ~ = ~0. B Desde el punto de vista geométrico, se sabe que ~×B ~ es un vector perpendicular al plano genA ~ y B. ~ Por consiguiente, erado con los vectores A ~ ~ ~ ~ ~ ~ por tal razón, A × B ⊥ A y también A × B ⊥ B, el producto escalar entre dichos vectores debe anularse.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Sean ~u, ~v y w ~ tres vectores no necesariamente coplanares, el producto triple vectorial entre dichos vectores satisface la siguiente identidad (30)

~u × (~v × w) ~ = (~u · w)~ ~ v − (~u · ~v )w. ~

Para demostrar dicha igualdad se considera que el vector ~v × w ~ es perpendicular al plano generado por los vectores ~v y w. ~ Por tal razón, el vector ~u × (~v × w) ~ es perpendicular al vector ~v × w ~ y se encuentra en el plano generado con los vectores ~u y w. ~ De manera que el producto vectorial triple puede ser obtenido mediante la relación ~u × (~v × w) ~ = λ1~v − λ2 w ~, donde λ1 y λ2 son constantes a determinar. Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector ~u, y tomando en cuenta que dicho vector es ortogonal al vector ~u × (~v × w) ~ se tiene que, ~u · [~u × (~v × w)] ~ = λ1~u · ~v + λ2~u · w ~

=⇒

0 = λ1~u · ~v + λ2~u · w ~

∴

λ1 (~u · ~v ) = −λ2 (~u · w). ~

Dicha igualdad establece que las constantes λ1 y λ2 no son independientes, por comodidad se puede definir una constante λuvw tal que ( λ1 = (~u · w)λ ~ uvw , λ λ def 1 2 λuvw = =− =⇒ ~u · w ~ ~u · ~v λ2 = −(~u · ~v )λuvw . Al sustituir esta relaciones en ~u × (~v × w) ~ resulta que h i ~u × (~v × w) ~ = λuvw (~u · w)~ ~ v − (~u · ~v )w ~ ,

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Parte II

donde λuvw es una constante a determinar. Como los vectores ~u, ~v y w ~ son arbitrarios se puede escoger ~u = w, ~ en particular, quedando h i ~ · ~v )w ~ ,. w ~ × (~v × w) ~ = λwvw w2~v − (w Multiplicando escalarmente esta igualdad por el vector ~v y considerando la ciclicidad del producto triple escalar así como (24) y (14), resulta i h =⇒ (~v × w) ~ · ~v × w ~ = λwvw |w ~ × ~v |2 ~ · ~v )2 ~v · w ~ × (~v × w) ~ = λwvw w2 v 2 − (w |w ~ × ~v |2 = λwvw |w ~ × ~v |2

∴

λwvw = 1 ,

Este resultado permite escribir la siguiente identidad, w ~ × (~v × w) ~ = w2~v − (w ~ · ~v )w. ~

(32)

Multiplicando escalarmente (31) con w, ~ usando la ciclicidad del producto triple escalar así como la relación (32) nos queda: h i h i ~ w ~ · ~v − (~u · ~v )w ~ ·w ~ w ~ · ~u × (~v × w) ~ = λuvw (~u · w) h i h i 2 2 ~ − (~u · ~v )w ~u · (~v × w) ~ ×w ~ = λuvw (~u · w) h i h i ~ 2 − (~u · ~v )w2 ~u · − w2~v + (w ~ · ~v )w ~ = λuvw (~u · w) ∴

λuvw = 1

que al sustituir en (31) se demuestra la identidad (30).

2.7.

Descomposición paralela y perpendicular de un vector

~ en Dada una dirección definida por el versor n b, es posible descomponer a cualquier vector A una proyección paralela y perpendicular a dicho versor, dichas proyecciones serán indicadas con los ~k y A ~ ⊥ , respectivamente. Tal descomposición viene dada por la siguiente relación símbolos A ( ~k · n ~ k| y A b = |A ~=A ~k + A ~ ⊥ , donde (33) A ~⊥ · n A b = 0. ~=A ~k + A ~⊥ A

n b

~⊥ A

~k A

Figura 2.17: Se muestra la representación geomé~ en su trica para la descomposición de un vector A proyección paralela y perpendicular al versor n b, in~ ~ dicadas con los símbolos Ak y A⊥ , respectivamente.

La representación geométrica de tal descomposición es presentada en la Fig. 2.17, observándose ~ k es paralelo al versor n ~ ⊥ es perpendicular u ortogonal a que el vector A b, mientras que el vector A Prof. Sttiwuer D. Página 19 de 53


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~ k basta con multiplicar escalarmente al vector (33) dicho versor. Para obtener una expresión para A por el versor n b, ~=n ~k + n ~ ⊥ =⇒ |A ~ k| = n ~, n b·A b·A b·A b·A ~ k = |A ~ k| y n ~ ⊥ = 0. Con este resultado se obtiene que A ~k donde se ha empleado las relaciones n b·A b·A ~ sobre el versor n es la proyección del vector A b, en efecto ~ k = |A ~ k |b ~ n def ~ A n = (b n · A)b = n bn b(A),

(34)

~ ⊥ se donde n bn b ≡ n b⊗n b corresponde al operador proyección, dado en (19). Una expresión para A obtiene al despejar dicho vector de (33) para obtener ~=A ~k + A ~⊥ A

=⇒

~⊥ = A ~ − (b ~ n def ~ A n · A)b = (11 − n bn b )A

(35)

~ = A. ~ El operador 11 − n donde 11 es el operador identidad, esto es 11(A) bn b corresponde a un proyector que proyecta en la dirección ortogonal a la definida por el versor n b, el cual satisface las siguientes propiedades (11 − n bn b)2 = 11 − n bn b, (11 − n bn b) n bn b = 0.

(36a) (36b)

En un espacio tridimensional el operador 11 − n bn b puede ser escrita en término de un producto ~ ⊥ puede ser escrito mediante el producto vectorial vectorial, para ello se tiene en cuenta que el vector A triple. Usando la identidad (30) para desarrollar el producto triple ~ = (b ~ n − (b ~=n ~ −A ~=A ~k − A ~ = −(A ~−A ~ k ) = −A ~ ⊥, n b × (b n × A) n · A)b n·n b )A b·n b(A)

~ puede ser escrita como donde la proyección perpendicular a n b del vector A ~ ⊥ = −b ~ def ~ A n × (b n × A) = −(b n×)2 A.

(37)

Donde (b n×)2 es un proyector que se identifica con el operador 11−b nn b cuando los vectores se encuentran en un espacio tridimensional. Igualando (35) con (37) se establece la siguiente igualdad

2.8.

Ecuaciones vectoriales

11 − n bn b ≡ −(b n×)2 .

En esta sección estudiaremos algunos ejemplos que permiten dar una idea de como obtener vectores a partir de ecuaciones escalares o vectoriales, dichas ecuaciones involucran productos escalares y/o productos vectoriales. El primer ejemplo a considerar es la ecuación escalar que se indica abajo ~x · ~b − ~a · ~b = 0 .

(38)

donde ~a y ~b dos vectores arbitrarios no nulos, el objetivo es determinar el vector ~x que se encuentra en dicha ecuación escalar. Este tipos de expresiones pueden tener más de una solución, en particular podemos verificar que existen al menos dos soluciones las cuales viene dada por: ~a · ~b~ b. (39) b2 Para verificar que estas expresiones son soluciones de (38), basta sustituirlas en dicha ecuación y verificar la igualdad. En efecto, Prof. Sttiwuer D. Página 20 de 53 ~x = ~a ó ~x = 2~a −


Parte II

➫ Caso ~x = ~a : Sustituyendo esta igualdad en ~x ·~b −~a ·~b = ~a ·~b −~a ·~b = 0, verificándose la igualdad dada en (38). ~

➫ Caso ~x = 2~a − ~ab·2b ~b : Sustituyendo esta igualdad en ~a · ~b ~x · ~b − ~a · ~b = 2~a · ~b − 2 ~b · ~b − ~a · ~b = 2~a · ~b − 2~a · ~b = 0 , b verificándose la igualdad dada en (38). Observe que la segunda solución de (39) contiene a la primera para cuando ~b = ~a. En lo visto arriba se ha verificado soluciones de (39), pero aun no se ha establecido alguna estrategia para llegar a dichas soluciones. Para obtener las soluciones de dicha ecuación se procede de la siguiente manera, ~x · ~b − ~a · ~b = 0

=⇒

(~x − ~a) · ~b = 0

=⇒

~b⊥ · ~b = 0 con ~b⊥ def = ~x − ~a.

Donde ~b⊥ es un vector perpendicular al vector ~b, el cual se construye con el proyector 11 − bbbb sobre un vector arbitrario ~y , de manera que ~ ~b⊥ = (11 − bbbb)~y = ~y − bb(bb · ~y ) = ~y − b · ~y~b b2

∴

~x − ~a = ~y −

~b · ~y ~b , b2

donde se obtiene una solución general,

~x = ~a + ~y −

~b · ~y ~b . b2

(40)

Resultando claro que el vector incognita ~x queda indeterminado debido a la arbitrariedad del vector ~y , es decir, existen tantas soluciones como vectores ~y se elija. A partir de la expresión anterior si elegimos los siguiente valores ~0, ~a, y ~b para el vector ~y obtendremos las siguientes soluciones para el vector incognita, ➫ Sí ~y = ~0

=⇒

➫ Sí ~y = ~a

=⇒

➫ Sí ~y = ~b

=⇒

~b · ~y ~b = ~a b2 ~b · ~y ~a · ~b ~x = ~a + ~y − 2 ~b = 2~a − 2 ~b b b ~b · ~y ~x = ~a + ~y − 2 ~b = ~a b ~x = ~a + ~y −

Para fijar el vector ~y en (40) es necesario conocer alguna información adicional. Por ejemplo, en dimensión uno el vector ~b⊥ = ~0, lo cual sugiere que ~y = ~0. Ahora examinemos el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales ( 2~x + ~y × ~a = ~b , 3~y + ~x × ~a = ~c Prof. Sttiwuer D.



Parte II

para resolver este sistema de ecuaciones se multiplica vectorialmente la primera ecuación por el vector ~a, después de usar el producto triple vectorial (30) se obtiene 2~x × ~a + (~y × ~a) × ~a = ~b × ~a

2~x × ~a = ~a × (~y × ~a) − ~a × ~b 2~x × ~a = a2 ~y − (~a · ~y )~a − ~a × ~b ,

∴

=⇒

sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del sistema (41), resulta la siguiente expresión (6 + a2 )~y − (~a · ~y )~a − ~a × ~b = 2~c . Al multiplicar vectorialmente por ~a la relación de arriba queda (6 + a2 )~y × ~a − (~a × ~b) × ~a = 2~c × ~a

=⇒

~y × ~a = −

i 1 h ~b) , ~ a × ~ c + ~ a × (~ a × 6 + a2

que al ser sustituida en la primera ecuación del sistema (41) se obtiene el vector ~x, después de usar el producto triple vectorial (30), esto es, ~x =

2~a × ~c + (~a · ~b)~a + 6~b . 2(6 + a2 )

(42)

Con esta relación se evalúa directamente el producto vectorial ~x × ~a, i 1 h ~ ~x × ~a = − ~a × b + ~a × (~a × ~c) . 6 + a2

Sustituyendo la relación de arriba en la segunda ecuación del sistema (41) y luego de usar el producto triple (30), resulta finalmente 3~a × ~b + (~a · ~c)~a + 6~c ~y = . (43) 3(6 + a2 )

3.

Método algebraico

En la sección anterior se estudia la representación geométrica de un vector en un espacio Euclídeo, donde se muestran los axiomas que permiten estipular a un espacio vectorial Euclídeo; además, se exhiben algunos elementos que caracterizan a los aspectos geométricos de los vectores tales como norma y orientación así como la representación vectorial de figuras geométricas como triángulos, rectángulos, rectas, planos, entre otras. También se presentan las definiciones de algunas operaciones entre vectores como la proyección de un vector sobre otro, la medida de ángulo entre vectores y productos escalares y vectoriales. Todos estos aspectos son introducidos sin hacer uso de una base o coordenadas. Existe un método que permite medir todos estos aspectos y trabajar con ellos desde el punto de vista algebraico, sin recurrir a representaciones geométricas de los vectores. Así, para el uso del método algebraico se hace necesario establecer las definiciones de vectores base, componentes de un vector y sistema de coordenadas. Con dicho método, los vectores son caracterizados completamente por sus componentes respecto a una base, y a partir de estas componentes se logra medir todos los aspectos geométricos de un vector así como las operaciones entre ellos. Prof. Sttiwuer D. Página 22 de 53

M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores 3.1.

Parte II

Noción de base y componentes de un vector

~ 1, U ~ 2, U ~ 3, · · · , U ~ n } un conjunto finito de vectores, una combinación lineal de estos vectores Sea {U es una expresión de la forma ~ 1 + λ2 U ~ 2 + λ3 U ~ 3 + · · · + λn U ~n = λ1 U

i=n X

~i , λi U

(44)

i=1

~ que se donde λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λn son números reales cualesquiera, llamados escalares. Todo vector A ~ i }i=1,...,n se dice que es linealmente escriba a partir de la combinación lineal del conjunto de vectores {U dependiente de dicho conjunto. En otras palabras, si es posible encontrar un conjunto de escalares ~ de la siguiente forma α1 , α2 , . . . , αn para el cual se pueda escribir el vector A ~ = α1 U ~ 1 + α2 U ~ 2 + α3 U ~ 3 + · · · + αn U ~n = A

i=n X

~i , αi U

(45)

i=1

~ es linealmente dependiente de conjunto de vectores {U ~ i }i=1,...,n . En cambio, entonces se dice que A ~ i }i=1,...,n es linealmente independiente cuando, y únicamente cuando, de la el conjunto de vectores {U igualdad ~ 1 + λ2 U ~ 2 + λ3 U ~ 3 + · · · + λn U ~ n = ~0 se deduce que λ1 = λ2 = λ3 = · · · = λn = 0. λ1 U

(46)

Es decir, la combinación lineal de vectores linealmente independiente conduce a que todos los coeficientes de la combinación lineal sea nulos. De lo contrario, se podría despejar un vector del conjunto ~ i }i=1,...,n en función de los vectores restantes de dicho conjunto. {U Cuando los escalares λi de (44) toman todos los valores posibles en R se dirá que la combinación lineal genera a un conjunto de vectores dados, es decir, cuando los λi varían continuamente entonces la combinación lineal presentada en (44) genera al conjunto de todos los vectores linealmente depen~ i }i=1,...,n . El conjunto de todas las combinaciones lineales formadas a partir diente del conjunto {U de un conjunto finito de vectores se llama cápsula lineal, representando así la totalidad de todas las posibles combinaciones lineales que se pueden formar con los elementos de dicho conjunto finito de vectores. Además, toda cápsula lineal es por si misma un espacio vectorial; donde el vector nulo para dicho espacio vectorial se obtiene al elegir todos los coeficiente de (44) como nulos; en tal sentido, la independencia lineal está estrechamente ligada a la unicidad del vector nulo en la cápsula lineal. También es posible construir los vectores opuestos a los vectores dado en (44), para ello se debe cambiar todos los λi por −λi en dicha combinación lineal. ~ i }i=1,...,n y {A, ~ U ~ i }i=1,...,n donde A ~ se forma a partir de la combinación Los conjuntos de vectores {U lineal mostrada en (45) generan la misma cápsula lineal, ya que la combinación lineal ~ + β1 U ~ 1 + β2 U ~ 2 + β3 U ~ 3 + · · · + βn U ~n βA ~ i }i=1,...,n . Para probarlo basta sustituir (45) en la expresión puede ser generada a partir del conjunto {U de arriba y obtener, ~ 1 + (βα2 + β2 )U ~ 2 + (βα3 + β3 )U ~ 3 + · · · + (βαn + βn )U ~n . (βα1 + β1 )U Prof. Sttiwuer D. Página 23 de 53


Parte II

Al escoger λi = βαi + βi se genera la combinación lineal mostrada en (44). De la misma manera, ~ i }i=1,...,n sea linealmente independiente, es puede ocurrir que no todos los vectores del conjunto {U decir, algunos vectores de dicho conjunto se obtienen a partir de la combinación lineal de los vectores restantes del mismo conjunto. En tal sentido, puede existir un subconjunto {~ei }i=1,...,N
~ i = λ1 U ~ 1 + λ2 U ~ 2 + · · · + λn U ~ n = λ1 α1 eb1 + λ2 α2 eb1 + · · · + λn αn eb1 = λ eb1 , λi U

donde λ = λ1 α1 + λ2 α2 + · · · + λn αn . No obstante, el conjunto de vectores colineales a una dirección determinada puede ser generado por un único vector, el cual puede ser construido a ~ i /|U ~ i | con i fijo. En tal sentido, el conjunto {b partir de (5), es decir, eb1 ≡ U e1 } consta de un solo ~ i }i=1,...,n . vector, el cual puede ser obtenido normalizando uno de los vectores del conjunto {U Entonces, la cápsula lineal que consta de todos los vectores colineales a una dirección dada ~ que pertenezca a dicha puede ser generado a partir del conjunto {b e1 }. Así, cualquier vector A cápsula lineal se escribe como i=n X ~ ~ i = λ1 eb1 , A= λi U (47a) i=1

1

donde λ es un número real. Para este caso la base consta de un vector, a saber eb1 , por lo que la capsula lineal es de dimensión uno.

~ i de la expresión (44) son coplanares, es decir, se encuentra en el plano Π definido ✎ Si todos los U por dos vectores ~e1 y ~e2 no colineales, entonces dicha expresión genera a todos los vectores contenidos en dicho plano. Un plano es generado por dos direcciones no colineales, así cualquier conjunto generador de todos los vectores en el plano debe contener por lo menos dos vectores no ~ del plano Π que se escribe como una combinación colineales. En consecuencia, cualquier vector A ~ i }i=1,...,n que puede ser generado a partir de la combinación lineal del lineal del conjunto {U conjunto {b e1 , eb2 }, i=2 i=n X X 1 2 ~ ~ λi ebi . (47b) λi Ui = λ eb1 + λ eb2 = A= i=1

1

2

i=1

Los coeficientes λ y λ de la combinación lineal presentada en (47b) son números reales. Los vectores del conjunto {b e1 , eb2 } pueden ser determinados a partir de la normalización de ~ i }i=1,...,n tales que sean linealmente independiente, es dos vectores cualesquiera del conjunto {U Prof. Sttiwuer D. Página 24 de 53


Parte II

decir, no sean colineales entre sí. Por consiguiente, la base para la cápsula lineal que consta de todas las combinaciones lineales contenidas en un plano puede ser generada a partir del conjunto {b e1 , eb2 }, por lo que la dimensión de la cápsula lineal es dos.

✎ Un espacio tridimensional se genera a partir de tres direcciones no coplanares definidas por los versores eb1 , eb2 y eb3 ; para que dichos versores sean no coplanares deben satisfacer la relación eb1 · (b e2 × eb3 ) 6= 0. Estos vectores pueden ser determinados al normalizar tres vectores lineal~ i }i=1,...,n de vectores contenidos en dicho espacio. Por esta mente independientes del conjunto {U razón, la cápsula lineal que consta de todas las combinaciones lineales contenidas en un espacio ~ tridimensional puede ser generada a partir del conjunto {b e1 , eb2 , eb3 }. Así, cualquier vector A construido con la combinación lineal (44) puede ser escrito como ~= A

i=n X i=1

~ i = λ1 eb1 + λ2 eb2 + λ3 eb3 = λi U

i=3 X i=1

λi ebi .

(47c)

Donde λ1 , λ2 y λ3 son números reales. Por consiguiente, la base consta de tres vectores no coplanares, a saber eb1 , eb2 y eb3 ; así la cápsula lineal es de dimensión tres.

A partir de lo antes expuesto, se infiere que una línea, un plano y el espacio pueden ser representados a partir de cápsulas lineales de dimensión uno, dos y tres, respectivamente. Además, los elementos de una base B = {~ei }i=1,...,N deben estar constituido por N vectores linealmente independientes; así la capsula lineal generada con este conjunto será de dimensión N . Al tomar un subconjunto de vectores de una base B se genera otra cápsula lineal de dimensión menor a N ; de esta manera, se puede reducir la dimensión de una cápsula lineal hasta N = 1. En cualquier espacio vectorial de dimensión N , en particular en un espacio Euclídeo N dimensional, todo vector es determinado de manera única al asignar N escalares. Por tal razón, la dimensión de la cápsula lineal nos indicará la cantidad de escalares necesarios para determinar de manera unívoca a un vector en un espacio vectorial, cuya dimensión corresponde a la misma de la cápsula lineal. Por ejemplo, todo vector Euclídeo que sea escrito como combinación lineal de la base puede ser definido de manera única, es decir, los escalares λi que aparecen en (47) caracterizan a los vectores de manera ~ en la base Be = {~ei }i=1,...,N . unívoca. Estos escalares reciben el nombre de componentes del vector A ~ los N escalares son distribuido como sigue: Para el caso de la representación geométrica del vector A, Se elige un (1) escalar definido positivo para la norma del vector y N − 1 escalares para establecer la orientación del vector. ✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión uno, se necesita un solo escalar para definir cualquier vector en dicho espacio, este escalar corresponde al número real λ1 que aparece en (47a). También los vectores pueden ser determinados dando su norma y orientación, la norma queda establecida por un número real positivo mientras que la orientación quedaría fijada al indicar el sentido de los vectores sobre la recta que contiene a dichos vectores. Tal como se muestra ~ está escrito como λ1 eb1 por los que |λ1 | corresponde a en la Fig. 3.18, en este caso el vector A ~ es paralelo o antiparalelo al versor la norma del vector y el signo de λ1 indicara si el vector A eb1 , estableciendo así su orientación; por consiguiente no se requiere de otro escalar para fijar la

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Parte II

orientación del vector. ~ = λ1 eb1 = |λ1 |b ➢ Si λ1 > 0, entonces A e1

~ −A

~ = λ1 eb1 = −|λ1 |b ➢ Si λ1 < 0, entonces −A e1

|λ1 |

eb1

~ A |λ1 |

Figura 3.18: Se muestra la representación geométrica para un vector y su opuesto en un espacio Euclídeo unidimensional, indicando a su vez que éstos quedan determinado por un número real λ1 , el cual puede ser empleado para establecer la norma y sentido del vector. ✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión dos se necesitan dos escalares para definir cualquier vector del plano, estos escalares corresponden a los números reales λ1 y λ2 que aparecen en (47b); tal como se muestra en la Fig. 3.19 (izquierda). También puede ser destinado un número real positivo para la norma del vector y otro para establecer la dirección del vector, el cual define al ángulo de dicho vector respecto a una dirección prefijada, tal como se muestra en la Fig. 3.19 (centro). En este caso se requiere de un escalar para establecer la orientación, el cual ~ y el versor eb1 . es designado mediante el ángulo ϕ entre el vector A eb2

~ = λ1 eb1 + λ2 eb2 A

eb1

λ2 eb2

~ A

~ |A|

~ |A| ϕ

ϕ

|λ1 |

α

|A| sen ϕ

|λ2 | cos α

eb1 |A| cos ϕ λ1 eb1 Figura 3.19: A la izquierda se muestra la representación geométrica de un vector en el plano, el cual es caracterizado por dos escalares λ1 y λ2 y al centro se ilustra el mismo vector ~ y ángulo ϕ. A la derecha se muestra la relación entre los caracterizado por la norma |A| escalares λ1 y λ2 con la norma del vector y los ángulo ϕ y α, que se forman entre los vectores ~ y eb2 con el versor eb1 , respectivamente. A

En la Fig. 3.19 (derecha) se muestra la relación entre los escalares λ1 y λ2 con la norma del ~ y eb2 con el versor eb1 , respectivamente. vector y los ángulo ϕ y α, que forman los vectores A Usando trigonometría plana se llega a la siguientes relaciones,  (  ~ sen(α − ϕ) λ1 = |A| ~ cos ϕ λ1 + λ2 cos α = |A| sen α =⇒ (48) ~ sen ϕ sen ϕ  λ2 sen α = |A| λ2 = |A| ~ sen α Estas relaciones muestran que cualquier vector es determinado de manera única mediante dos ~ y ϕ. El ángulo α entre los versores eb1 y eb2 es fijo y no puede números reales, λ1 y λ2 o |A| valer 0 ó π, ya que en dicho caso los vectores de la base no serían linealmente independientes. Además, es de mencionar que los ángulos recorridos en sentido antihorario son considerados positivos, mientras que los ángulos recorridos en sentido horario son considerados negativos. ✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión tres, se necesitan tres escalares para definir cualquier vector del espacio; estos escalares corresponden a los números reales λ1 , λ2 y λ3 que aparecen Prof. Sttiwuer D. Página 26 de 53


Parte II

en (47c); también puede ser destinado un número real positivo para la norma del vector y otro para establecer la dirección del vector, el cual define dos ángulos respecto a dos dirección prefijada. Una base B puede tipificarse según como sus elementos se encuentren orientados entre sí, distinguiéndose entre: Oblicua, ortogonal y ortonormal; tal como se muestra en el Esq. 3.1. Una base es ortonormal si sus elementos son versores y ortogonales entre sí, y una base es ortogonal cuando sus elementos son únicamente ortogonales entre sí; en cambio, una base es oblicua cuando no es ortonormal u ortogonal, es decir, los elementos de una base oblicua no presentan las restricciones impuestas sobre las bases ortonormales u ortogonales. Ortonormal

Base

Todos los elementos ebi de una base ortonormal tienen norma igual a la unidad y son ortogonales entre si, verificándose la relación ebi ·b ej = δij .

Ortogonal

Todos los elementos ~ei de esta base son ortogonales entre si, por lo que se verifica la relación ~ei · ~ej = |~ei |2 δij ; Para esta igualdad no se suma sobre el índice repetido.

Oblicua

Todos los elementos ~ei de esta base forman un ángulo agudo u obtuso, y no hay restricción en cuanto a la norma de estos vectores.

Esquema 3.1: Tres maneras de tipificar una base según como sus elementos se encuentran orientados entre sí. Aun cuando las base pueden ser tipificadas según el Esq 3.1 toda ellas tienen asociada otra base denominada base recíproca o base inversa, la cual consta de un conjunto de vectores linealmente independientes y ortogonales a la base dada. Sea Be = {~ei }i=1,...,N una base para un espacio de dimensión N , su base recíproca consta de N vectores linealmente independientes denotados como Be∗ = {~ei }i=1,...,N tales que satisfacen la relación de ortogonalidad ~e j · ~ei = ~ei · ~e j = δij , donde δij se conoce con el nombre de delta de Kroneker, definiéndose dicho símbolo como ( 1 si i = j j δi = 0 si i 6= j

(49)

(50)

También existe otra tipología para designar una base, conocida como base coordenada, la cual es construida con las curvas (geodésicas) que definen a un sistema de coordenadas en el espacio. Es decir, la bases coordenadas son construidas mediante la relación ~ei =

∂~r , ∂xi

(51)

donde ~r = ~r(xi ) es un vector que indica la ubicación de cada punto del espacio con coordenada xi , respecto a un origen dado. Su base recíproca viene dada por los gradientes de las coordenadas xi , es decir, ~ i. ~e i = ∇x (52) Esta bases serán discutida en la sección ?? del próximo capítulo. Una diferencia sustancial entre las bases coordenadas y las discutidas en este capítulo es que la norma y orientación de los vectores que Prof. Sttiwuer D. Página 27 de 53


Parte II

conforman una base coordenada depende del punto del espacio, debido a que el transporte paralelo se realiza sobre las geodésicas, mientras que en un espacio Euclídeo los vectores de la base no cambian su norma y orientación en cada punto del espacio. Los conjuntos Be = {~ei }i=1,...,N y Be∗ = {~e i }i=1,...,N que verifican la relación (49) también reciben el nombre de base covariante y base contravariante, respectivamente. Por ser Be∗ una base se puede ~ del espacio vectorial como combinación lineal de dicha base. Denotando escribir cualquier vector A i con el símbolo λ a los coeficientes de dicha combinación lineal, resulta que los vectores dados en (47) pueden ser escrito también como ~= A

i=N X i=1

λi~e i = λ1~e 1 + λ2~e 2 + · · · + λN ~e N .

~ en la base recíproca Be∗ . Así, cualquier Siendo el conjunto de escalares λi las componentes del vector A i vector puede ser caracterizado por dos tipos de escalares, λ y λi , de manera que ~= A

i=N X

λi~e i =

i=N X

λi~ei .

(53)

i=1

i=1

Los escalares λi y λi dados en (53) se denominan componentes contravariante y covariante del vector, respectivamente; siendo estos escalares las componentes del referido vector en las bases covariante y contravariante, respectivamente. Debido a la relación de ortogonalidad (49) y a la propiedad de linealidad (13) es posible conocer el valor de estos escalares mediante el producto escalar de (53) con los elementos de la base, esto es ! j=N j=N j=N X X X j j ~ = ~ei · ~ ~ei · A λj ~e = λj ~ei · ~e = λj δ j = λi ∴ λi = ~ei · A, (54a) i

j=1

j=N

~ = ~e i · ~e · A i

X j=1

j

λ ~ej

!

j=1

j=1

j=N

j=N

=

X j=1

j

i

λ ~e · ~ej =

X j=1

λj δji = λi

∴

~ λi = ~e i · A.

(54b)

Dichas componentes no son independientes y se encuentran correlacionadas, por lo que no se pueden elegir de forma arbitraria ambos conjuntos de escalares. Es decir, al elegir λi (λi ) en forma arbitraria entonces los λi (λi ) quedarán fijados y deben determinarse. Para determinar la correlación entre las componentes covariante y contravariante se requiere introducir una tensor de segundo rango llamado tensor métrico, denotado con el símbolo G. El cual posee dos tipos de componentes: Covariante y contravariante, que se denotan como gij y g ij , respectivamente. Tales componentes vienen definidas por def

(55a)

def

(55b)

gij = ~ei · ~ej ,

g ij = ~e i · ~e j .

Cuando las componentes de la métrica viene definidas por (55) se dice que la métrica G ha sido inducida por la base. Por consiguiente, las cantidades gij corresponden a las componentes covariante del tensor métrico inducida por la base Be o simplemente componentes covariante de la métrica G. Prof. Sttiwuer D. Página 28 de 53


Parte II

De igual forma, las cantidades gij corresponden a las componentes contravariante del tensor métrico inducida por la base recíproca Be∗ o simplemente componentes contravariante de la métrica G. La interpretación geométrica de las componente (55) es muy sencilla. La componente contravariante del tensor métrico G corresponde a los coeficientes de la combinación lineal que permite escribir al vector ~e i en la base Be , esto es,   ~e 1 = g 11~e1 + g 21~e2 + · · · + g N 1~eN    k=N ~e 2 = g 12~e1 + g 22~e2 + · · · + g N 2~eN X j g kj ~ek . (56) o brevemente ~e = . .  .  k=1   ~e N = g 1N ~e + g 2N ~e + · · · + g N N ~e 1 2 N

Recíprocamente, la componente covariante del tensor métrico G corresponde a los coeficientes de la combinación lineal que permite escribir al vector ~ei en la base Be∗   ~e1 = g11~e 1 + g21~e 2 + · · · + gN 1~e N    k=N ~e2 = g12~e 1 + g22~e 2 + · · · + gN 2~e N X o brevemente ~ej = gkj ~e k . (57) . .  .  k=1   ~e = g ~e 1 + g ~e 2 + · · · + g ~e N N

1N

2N

NN

Esta construcción garantiza que las expresiones (56) y (57) sean compatible con (55), ya que al calcular el producto escalar entre los elementos de la base y considerar la linealidad del producto escalar (13) así como la relación de ortogonalidad (49) resulta que ! k=2 k=2 k=2 X X X i j i kj kj i ~e · ~e = ~e · g ~ek = g ~e · ~ek = g kj δki = g ij . k=1

k=1

k=1

Análogamente, se tiene que ~ei · ~ej = ~ei ·

k=2 X

gkj ~e

k=1

k

!

=

k=2 X k=1

k

gkj ~ei · ~e =

k=2 X

g kj δik = gij .

k=1

Las expresiones (56) y (57) pueden ser vista como un sistema lineal de ecuaciones vectoriales, a partir del cual se puede construir dos matrices que serán denotadas como G y G∗ , respectivamente. Estableciendo que el primer y segundo índice de (55a) y (55b) indican la fila y columna de las matrices G y G∗ , respectivamente, se generan los siguientes arreglos matriciales · ~e1 ~e2 . . . ~e1 g11 g12 . . . ~e2 g21 g22 . . . .. .. .. . . . . . . ~eN gN 1 gN 2 . . . Prof. Sttiwuer D.

~en g1N g2N .. . gN N

=⇒



 . . . g1N . . . g2N   , . . . ..  .  gN 1 gN 2 . . . gN N

g11   g21 G = ~e1 ~e2 · · · ~eN =  ..  .

g12 g22 .. .

(58a)

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Parte II

así como, ~e 1 ~e 2 . . . ~e N

·

~e 1 g 11 g 12 . . . g 1N ~e 2 g 21 g 22 . . . g 2N .. .. .. . . .. . . . . . N1 N2 N ~e g g . . . g N N



 g 12 . . . g 1N g 22 . . . g 2N   .. . . ..  . . .  . N1 N2 g g . . . gN N

g 11  1 2  g 21 ∗ N G = ~e ~e · · · ~e =  ..  .

=⇒

(58b)

Las matrices dadas en (58) son las representaciones matriciales de las componentes covariante y contravariante de la métrica G. Para encontrar la relación entre las componente covariante y contravariante de la métrica G basta multiplicar escalarmente el vector ~ei con (56), o multiplicando escalarmente el vector ~e i con (57), resultando j

~ei · ~e =

k=N X k=1

kj

g ~ei · ~ek

=⇒

δij

=

k=N X

gik g kj

matricialmente 11 = G∗ G

∴

G∗ = G−1 . (59)

k=1

Esto demuestra que al conocer una de la representaciones matriciales de la métrica, la otra puede ser obtenida mediante la inversa de la primera, es decir, si conocemos la matriz G su inversa permite determinar a la matriz G∗ y con ello a los elementos g ij . Recíprocamente, al conocer la matriz G∗ su inversa permite determinar a la matriz G y con ello a los elementos gij . Conociendo el tensor métrico se logra determinar la correlación entre la componente covariante y contravariante de un vector. Tal correlación es obtenida al multiplicar escalarmente (53) con el vector ~ej , ! ! i=N i=N i=N i=N X X X X λi~e i · ~ej λi~ei · ~ej = λi~e i · ~ej =⇒ λi~ei · ~ej = i=1

i=1

∴

i=N X i=1

λi~ej · ~ei =

i=N X i=1

λi δij

=⇒

i=1 i=N X

i=1

gji λi = λj .

i=1

Donde se ha usado la bilinealidad y simetría del producto escalar así como la relación de ortogonalidad (49). La correlación mostrada arriba puede ser vista explícitamente como un sistema de ecuaciones lineales, donde las componentes contravariante λi son las variables a determinar, que matricialmente toma la siguiente forma      λ1 g11 g12 . . . g1N λ1 j=N  λ2   g21 g22 . . . g2N   λ2  X      gij λj . (60)  ..  =  .. .. . . ..   ..  , o brevemente como λi =  .   . . . .  .  j=1 λN gN 1 gN 2 . . . gN N λN Recíprocamente, la relación inversa viene dada por      g 11 g 12 . . . g 1N λ1 λ1 j=N  λ2   g 21 g 22 . . . g 2N   λ2  X      i g ij λj .  ..  =  .. .. . . ..   ..  , o brevemente como λ =  .   . . . .  .  j=1 N N1 N2 λN λ g g . . . gN N

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(61)

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Parte II

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ = ~e 1 − 2~e 2 Ejemplo 3.1 Considere una base oblicua Be = componentes covariante del vector A {~e1 , ~e2 }, la métrica inducida por esta base se ex- son λ1 = 1 y λ2 = −2, para determinar las com~ basta con presan según la tabla indicada abajo ponentes contravariante del vector A G ~e1 ~e2 aplicar (61), 21 . ~e1 2 1 o matricialmente como G = 1 15 1 5 −1 1 7 λ 1 ~e2 1 5 = = . λ2 9 −1 2 −2 9 −5 La inversa de esta matriz corresponde a la componente contravariante de la métrica inducida por ~ expresado en la base De manera que el vector A la base Be∗ = {~e 1 , ~e 2 }, Be toma la siguiente forma, 5 −1 G∗ = G−1 = 19 . ~ = 7 ~e1 − 5 ~e2 . A −1 2 9 9 De la relación (56) se obtienen los elementos de Otra forma de obtener este vector es sustituyendo la base recíproca como combinación lineal de la directamente los elementos de la base recíproca Be ~ esto es en el vector A, base Be , esto es ~ = ~e 1 − 2~e 2 , A ~e 1 = 95 ~e1 − 19 ~e2 , y ~e 2 = − 91 ~e1 + 29 ~e2 . 5 ~ = ~e1 − 1 ~e2 − 2 − 1 ~e1 + 2 ~e2 , A Observando que cada columna de G∗ corresponde 9 9 9 9 ~ = 7 ~e1 − 5 ~e2 . A a los coeficientes de la combinación lineal. Las 9 9 ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ El tensor métrico G puede ser escrito en términos de sus componentes covariante y contravariante de la siguiente manera i=N j=N i=N j=N X X X X def gij ~e i ⊗ ~e j , (62) g ij ~ei ⊗ ~ej = G= i=1 j=1

i=1 j=1

donde ~ei ⊗ ~ej y ~e ⊗ ~e corresponden a los productos tensoriales realizados con los elementos de la base. En tal sentido, el tensor G puede ser visto como un operador lineal que actúa sobre vectores del espacio vectorial. La acción de este operador sobre el vector ~ej viene dado por i

G(~ej ) =

j

k=N X X ℓ=N k=1 ℓ=1

k

ℓ

gkℓ~e ⊗ ~e (~ej ) =

X

gkℓ δjℓ~e k

=

k=N X k=1

k,ℓ

gkj ~e k ≡ ~ej

∴

G(~ej ) = ~ej ,

donde se ha usado la prescripción (20) y la condición de ortogonalidad (49). Esta operación transforma un vector en si mismo, por tal razón la métrica Euclídea es un operador que deja invariante a los ~ se verifica la relación, vectores del espacio vectorial, es decir, para cualquier vector A ~ =A ~. G(A)

(63)

Así, la métrica Euclídea construida en (62) no es más que el operador identidad para el espacio vectorial, donde sus componentes covariante y contravariante quedan establecidas por las relaciones expresadas en (55); las cuales pueden ser concebidas mediante el siguiente producto escalar, gij = ~ei · G(~ej ) = ~ei · ~ej

y g ij = ~e i · G(~e j ) = ~e i · ~ej .

Con esta construcción, es posible estipular dos componentes mixta para la métrica, adicionales a las componentes covariante y contravariante, las cuales son definidas como gi j = ~ei · G(~e j ) = ~ei · ~e j = δij Prof. Sttiwuer D. def

y g i j = ~e i · G(~ej ) = ~e i · ~ej = δij , def

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Parte II

concluyendo que dichas componentes corresponden justamente a la delta de Kronecker (50). Cuando la métrica es inducida por una base ortonormal no hay distinción entre sus componentes covariante y contravariante, es decir, gij = g ij = δij . En tal sentido, las matrices G y G∗ toma la misma forma que la matriz identidad, por lo que G = G∗ = 11. En cambio, la representación matricial para las componentes covariante y contravariante toma la forma diagonal cuando la métrica es inducida por una base ortogonal, a diferencia de una métrica inducida por una base oblicua. Por ejemplo, la matriz G1 que se muestra a la izquierda de (64) corresponde a la representación matricial de la componente covariante de la métrica construida con una base ortonormal. Al centro de la referida ecuación se tiene la matriz G2 que corresponde a la representación matricial para la componente covariante de una métrica inducida por una base ortogonal; en cambio, a la derecha de la misma ecuación, la matriz G3 corresponde a la representación matricial para la componente covariante de una métrica inducida por una base oblicua. 1 3 2 0 1 0 , (64) y G3 = , G2 = G1 = 11 = 3 10 0 3 0 1 Existen algunas propiedades de la métrica que son heredadas de los axiomas del producto escalar. En particular se observa que la métrica es simétrica en virtud a (9), esto se refleja a nivel de la representaciones matriciales (58) cuando los elementos por arriba de la diagonal son iguales a los elementos que están por debajo de la diagonal; cumpliéndose que Gt = G, es decir, gij = gji . Todas las matrices expuestas en (64) son simétricas. También se puede observar que los elementos de la diagonal en la representación matricial de la métrica deben ser positivos, en virtud a (12); es decir, gii > 0 (no hay suma sobre indices repetidos). Por ejemplo, en cada matrix de (64) se observa que g11 y g22 son positivos. Además, para que la métrica sea compatible con p la medida de ángulos debe satisfacer la desigualdad de Cauchy-Schwarz (55a), por lo que |gij | ≤ |gii gjj | (no hay suma sobre índices repetidos). Por esta razón, los siguientes arreglos matriciales no corresponden a representaciones matriciales de la métrica inducida por una base en un espacio Euclídeo: 1 2 2 0 2 3 G1 = , G2 = y G3 = . 3 7 0 −3 3 3 Ya que G1 no es simétrica, el elemento g22 de G2 es negativo y G3 viola la desigualdad de CauchySchwarz. Otra propiedad importante que cumple una métrica Euclídea es que ella es no degenerada, esto significa que el determinante de cualquier representación matricial para la métrica no debe anularse, es decir, det G 6= 0 ó det G∗ 6= 0. De lo contrario, puede existir un vector distinto al vector nulo que posea norma 3 −3 nula, contrario a la igualdad planteada en (12). Por ejemplo, la representación matricial G = −3 3 para la componente covariante de la métrica G generada por una base Be ~ = ~e1 + ~e2 tiene norma igual a cero. En efecto, al tiene determinante nulo, de manera que el vector A ~ se tiene que calcular la norma del vector no nulo A ~2=A ~·A ~ = (~e1 + ~e2 ) · (~e1 + ~e2 ) = ~e1 · ~e1 + 2~e1 · ~e2 + ~e2 · ~e2 = 3 + 2(−3) + 3 = 0. |A| 3.1.1.

Celda elemental inducida por una base

La celda elemental inducida por una base describe la región en el espacio formada o generada con los elementos de la base, y el volumen de la celda elemental corresponde a las dimensiones Prof. Sttiwuer D. Página 32 de 53


Parte II

comprendida en dicha región del espacio. Por ejemplo, en dimensión uno, la base consta de un solo vector así que la región generada por dicho vector es un segmento de linea sobre la recta que orienta al referido vector en el espacio y el volumen de la celda corresponde a la longitud del segmento, tal como se muestra en la Fig. 3.20 (izquierda). En cambio, para un espacio bidimensional la celda elemental consta del area formada por el rectángulo generado con los dos vectores de la base, tal como se ilustra en la Fig. 3.20 (centro). La celda elemental para un espacio tridimensional corresponde al paralelepípedo formado con los tres vectores de la base, tal como se indica en la Fig. 3.20 (derecha). ~e3 ~e2 ~e1 ~e1

~e2

~e1

Figura 3.20: Se muestran tres celdas unitarias para una dimensión (izquierda), dos dimensiones (centro) y tres dimensiones (izquierda). En una dimensión la celda unidad corresponden a una longitud, area del paralelogramo y volumen de un paralelepípedo en una, dos y tres dimensiones, respectivamente. El símbolo S[~e1 , ~e2 , . . . , ~eN ] denotará al volumen de la celda generada por la base Be , de manera que para espacios vectoriales de dimensión uno, dos y tres el volumen de la celda elemental inducida por la base, que expande a dichos espacio, viene dada por (65a)

S[~e1 ] = |~e1 | , p S[~e1 , ~e2 ] = |~e1 |2 |~e2 |2 − (~e1 · ~e2 )2 , S[~e1 , ~e2 , ~e3 ] = |~e1 · (~e2 × ~e3 ) | .

(65b) (65c)

S[~e1 , ~e2 , . . . , ~eN ] S[~e 1 , ~e 2 , . . . , ~e N ] = 1 .

(66)

En la Fig. 3.21 se muestran la representación geométrica de las celdas elementales inducida por una base y su recíproca para el caso de uno, dos y tres dimensiones. En primer lugar, se observa que la base contravariante conserva la misma orientación que la base covariante; en segundo lugar, los tamaños de la celda generada por dichas bases son recíproca, es decir, el producto del tamaño de la celda de cada base es igual a la unidad. Esto es,

~e1

~e 2

~e2

~e 3

~e3 ~e 2

~e 1 ≡ eb1

~e1

~e2

~e1 1

~e ~e 1 Figura 3.21: Se muestra la representación geométrica de una base oblicua y su recíproca para el caso de uno (izquierda), dos (centro) y tres (derecha) dimensiones. Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

La relación (66) para un espacio bidimensional (N = 2) establece que el área del paralelogramo generado por la base covariante es recíproca al area generada por la base contravariante. En cambio, para el caso tridimensional (N = 3), dicha relación establece que el volumen de los paralelepípedos generado por ambas bases son recíproco. También se observa de la relación (49) que en dimensión uno la norma del vector covariante ~e 1 es recíproca a la norma del vector contravariante ~e1 , en otras palabras, |~e1 | |~e 1 | = 1. Por tal razón, este vector es un versor paralelo al vector ~e1 como se muestra en la Fig. 3.21 (izquierda). 3.1.2.

Cambio de base y de componentes

~ i }i=1,...,N y Be = {~ei }i=1,...,N dos bases, las cuales pueden ser oblicua, Sean los conjuntos Bu = {U ortogonales u ortonormales; por lo que es posible escribir una base en término de la otra. En otras palabras, existen N 2 números reales denotados como Tij tales que permiten escribir a los vectores ~ei como una combinación lineal de la base Bu , es decir,  ~ 1 + T12 U ~ 2 + · · · + T1N U ~N  ~e1 = T11 U    j=N 2~ N~ ~e2 = T 1 U ~ X j 2 1 + T2 U2 + · · · + T2 UN ~j . Ti U (67) o brevemente ~ e = i ..  .  j=1   ~e = T 1 U ~ + T2 U ~ + · · · + TNU ~ N

N

1

N

2

N

N

De manera que (67) puede ser visto como un sistema de ecuaciones lineales donde las variables a determinar corresponden a los vectores de la bases Bu y los términos inhomogéneos corresponde a los vectores de la base Be . En tal sentido, los coeficientes Tij de (67) pueden ser pensados como los elementos de una matriz T llamada cambio de base, definida a través del siguiente arreglo matricial   T11 T12 · · · T1N T 1 T 2 · · · T N  2   2 2 (68a) T = [ ~e1 ~e2 · · · ~eN ] = [Tij ] =  .. .. . . ..  .  . . . .  TN1 TN2 · · · TNN

Esta matriz debe ser no singular, es decir, el determinante de esta matriz es no nulo (det T 6= 0). Dicho requisito establece que la matriz T posee inversa, lo cual permitirá escribir a los vectores de la base Bu como combinación lineal de la base Be . Por tal razón,  1 2  T˜1 T˜1 · · · T˜1N  T˜1 T˜2 · · · TÑ  2 2 2  ~1 U ~2 · · · U ~ N ] = [T˜j ] =  T−1 = [ U (68b)  .. .. . . ..  . i  . . . .  TÑ1 TÑ2 · · · TÑN A partir del cual se logra escribir,  ~ 1 = T˜11~e1 + T˜12~e2 + · · · + T˜1N ~eN  U    U ~ 2 = T˜21~e1 + T˜22~e2 + · · · + T˜2N ~eN ..  .    U ~ = T˜1 ~e + T˜2 ~e + · · · + TÑ ~e N

Prof. Sttiwuer D.

N 1

N 2

N

j=N

~i = o brevemente U

X

T˜ij ~ej .

(69)

j=1

N

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Parte II

Para probar que efectivamente la matriz construida con los elementos T˜ji corresponde a la inversa de la matriz construida con los elementos Tji , basta sustituir (69) en (67), o viceversa, ~ei =

k=N X

~k Tik U

=

k=1

k=N X

j=N

Tik

k=1

X

T˜kj ~ej =

j=1

N X

Tik T˜kj ~ej ,

j,k=1

el lado izquierdo de esta igualdad puede ser escrito como combinación lineal de la base Be , para ello sa hace uso del símbolo delta de Kronecker δij , estos es " # j=N j=N k=N N X j X X X δ ~ej = Tik T˜j ~ej , =⇒ Tik T˜j − δ j ~ej = ~0 . i

k

j=1

k

j=1

j,k=1

i

k=1

Como los elementos de la base Be son linealmente independientes, por lo que se verifica (46), se obtiene que el término dentro del corchete debe anularse, quedando k=N X

Tik T˜kj

k=1

−

δij

=0

=⇒

k=N X

Tik T˜kj = δij

ó T T−1 = T−1 T = 11.

k=1

La matriz cambio de base también puede ser empleada para determinar la orientación de la base, que a su vez establece la orientación del espacio vectorial. Si el determinante de la matriz cambio de base es positiva se dice que la base está orientada positivamente; en cambio, si el determinante de la matriz cambio de base es negativa se dice que la base está orientada negativamente. Por el contrario, si el determinante de la matriz T es nulo entonces el conjunto de vectores {~ei } es linealmente dependiente y no formará una base para el espacio vectorial. El cambio de base induce a su vez un cambio de las componentes del vector, así las componentes de la base transforma con la inversa de la matriz cambio de base. Sean ai y a ˜i las componentes del ~ en las bases Be = {~ei }i=1,...,N y Bu = {U ~ i }i=1,...,N , respectivamente. En tal sentido, el vector vector A ~ puede ser escrito, de manera única, como una combinación lineal de la base, A ~= A

i=N X

i

a ~ei

~= también A

i=1

k=N X

~k , a ˜k U

k=1

igualando ambas expresiones y sustituyendo (69) en dicha igualdad así como la independencia lineal de la base Be , resulta una relación entre las componentes ai y a ˜i , " # k=N k=N i=N N i=N k=N i=N X X X X X X X k k ˜i i i k i i i ˜ ˜ a ˜ a ˜ Tk~ei =⇒ a − Tk a ˜ ~ei = ~0 ∴ a = a ~ei = Tk~ei = T˜ki a ˜k . i=1

k=1

i=1

i,k=1

i=1

k=1

k=1

Esta relación puede ser escrita en forma matricial como    1 2   T˜1 T˜1 · · · T˜1N a1 a ˜1 k=N 2 2  a   T˜1 T˜2 · · · TÑ   a X    2 2 2 ˜  i T˜ki a ˜k . (70)  ..  =  .. .. . . ..   ..  , o brevemente como a =  .   . . . .  .  k=1 aN a Ñ TÑ1 TÑ2 · · · TÑN Prof. Sttiwuer D. Página 35 de 53


Parte II

La relación entre las celdas unidad entre la base Be y Bu viene dada por el valor absoluto del determinante de la matriz cambio de base, es decir, ~ 1, U ~ 2, · · · , U ~N ] . S[~e1 , ~e2 , · · · , ~eN ] = | det T| S[U

(71)

~ 1, U ~ 2, · · · , U ~ N ] entonces el valor de la celda Cuando se asigna el valor de uno a la celda unidad S[U inducida por la base Be se obtiene a partir del valor absoluto del determinante de la matriz cambio de base. Cuando las bases son ortonormales todas las celdas unitarias presentan el mimo valor, esto se debe a que det T = 1. ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ 3 −2 Ejemplo 3.2 Los vectores ~e1 y ~e2 expresados en 1 −1 ~1 U ~2 ] = . T = [U 9 ~ 1 , U~2 } vienen dados por 3 1 la base {U ~ 1 − 3U ~ 2 y ~e2 = 2U ~ 1 + 3U ~ 2, Los elementos de esta matriz corresponde a los ~e1 = U respectivamente. La matriz cambio de base se ob- coeficientes de la combinación lineal de los vectores ~e1 y ~e2 respecto a la base, es decir, tiene a partir del siguiente arreglo matricial ~ 1 = 1 ~e1 + 1 ~e2 y U ~ 2 = − 2 ~e1 + 1 ~e2 ,. U 1 2 3 3 9 9 T = [ ~e1 ~e2 ] = , −3 3 ~ ~ ~ Dado el vector A = 2U1 − U2 , escrito en la base formado con los coeficiente de la combinación li- Bu , puede escribirse en la base Be al sustituir los neal. El determinante de esta matriz es ~1 y U ~ 2, vectores U 1 2 = 9 > 0, ~ = 2( 1 ~e1 + 1 ~e2 ) − (− 2 ~e1 + 1 ~e2 ) , det(T) = A 3 3 9 9 −3 3 ~ 2 = 8 ~e1 + 5 ~e2 . A lo cual significa que la base está orientada posi9 9 tivamente. Además, el área generada por la base Este resultado se obtiene directamente a partir de en Be es nueve veces mayor al área inducida por la la relación efecto, 1(70), 3 −2 2 a base Bu , en virtud a (71). La inversa de la matriz 1 8 1 =9 . =9 3 1 −1 5 a2 T corresponde al siguiente arreglo matricial ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

3.2.

Álgebra entre vectores

~ y B, ~ respectivamente, respecto a Sean ai y bi las componentes contravariantes de los vectores A i=1,...,N la base covariante Be = {~ei } ; resulta claro que las operación de adición y multiplicación por un escalar λ vienen dadas por, ~+B ~ = A ~=λ λA

i=N X

i=1 i=N X

i

a ~ei +

ai~ei =

i=1

i=N X

i=1 i=N X

i

b ~ei =

λai~ei .

i=N X

(ai + bi )~ei ,

(72a)

i=1

(72b)

i=1

~+B ~ y λA, ~ respectivamente, en la Donde ai + bi y λai son las componentes covariante del vector A base Be . Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

Para evitar la notación excesiva de los símbolos de sumatoria se empleará el convenio de suma de Einstein, el cual establece que «en toda expresión con índices que existan dos de ellos repetidos se entenderá que hay una suma sobre dichos indices, desde la unidad hasta la dimensión del espacio». ~ = λi~ei = λi~e i y las operaciones Así, las combinaciones lineales expresadas en (53) se escribirán A ~ +B ~ = (ai + bi )~ei y λA ~ = λai~ei ; sobrentendiéndose que hay presentadas en (72) se escribirán como A una suma sobre el índice i desde la unidad hasta la dimensión del espacio. Dicho convenio de suma requiere algunas aclaratorias. ✍ Aclaratoria 1: La suma que se indica abajo presenta dos tipos de índices llamados contraído o mudo y libre. k=N X i N i 1 i 2 aik bkj ≡ aik bkj a1 b j + a2 b j + · · · + a N b j = k=1

Un índice es contraído o mudo cuando se encuentra repetido en una expresión de suma como la indicada arriba. En cambio, un índice es libre cuando no se encuentra repetido en una expresión de suma. En tal sentido, la expresión mostrada arriba presenta dos índice libre (i y j) y uno contraído o mudo (k).

✍ Aclaratoria 2: El intercambio de un índice contraído o mudo por otro, que no esté presente en la expresión, no altera su significado. Es decir, k=N X

aik bkj = aik bkj

es equivalente a

ℓ=N X

aiℓ bℓj = aiℓ bℓj

∴

aik bkj = aiℓ bℓj .

ℓ=1

k=1

✍ Aclaratoria 3: En una expresión de suma no puede haber más de dos índice repetido, es decir, la expresión de la forma λi ai~ei no puede aparecer en una expresión que siga el convenio de suma de Einstein. En cambio, en una expresión de suma puede haber grupos de índices repetidos, como por ejemplo aij bji

=

i=N j=N X X i=1 j=1

=

X

j=N

j=N

j=N

aij bji

a1j bj1

+

j=1

X

a2j bj2

j=1

+ ··· +

X

j aN j bN

j=1

~ yB ~ cuyas componentes en la base Be = {~ei }i=1,...,n son ai y bi , respectiDado dos vectores A vamente. Dichos vectores son iguales cuando sus componentes son iguales, tal afirmación se prueba haciendo uso de la independencia lineal de los elementos de la base, ~=B ~ A

=⇒

ai~ei = bi~ei

=⇒

(ai − bi )~ei = ~0

=⇒

ai − b i = 0

=⇒

ai = bi ,

donde se he empleado (46) para anular los coeficientes de la combinación lineal. El ejemplo 3.3 muestra como obtener al vector suma y resta en forma algebraica, de igual forma, es posible establecer la colinealidad entre vectores sin hacer uso de las representaciones geométrica de los vectores. ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 3.3 Prof. Sttiwuer D.

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores ~ y B ~ expresados en la base Los vectores A {~e1 , e~2 } vienen dados por 2~e1 − 3~e2 y 23 ~e1 − 32 ~e2 , respectivamente. El vector suma obtenido de la adición entre dichos vectores es ~+B ~ = 8 ~e1 − 9 ~e2 . A 3 2 Y el vector resta, obtenido de la sustracción del ~ con el vector B ~ vector A ~−B ~ = 4 ~e1 − 3 ~e2 . A 3 2 ~ = −~e1 + 9 ~e2 es anPara probar que el vector C 4 ~ basta encontrar un único tiparalelo al vector B,

Parte II valor para λ que verifique la relación de propor~ = λC, ~ de dicha relación se obtiene cionalidad B 3 9λ 2 + λ ~ e − + e~2 = ~0. 1 3 2 4

Los coeficientes de esta combinación lineal son deben ser nulos debido a la independencia lineal de la base, resultando que λ = − 32 . Como este val~ 6k C. ~ En camor es único y negativo entonces B ~ yB ~ no son colineales, ya que bio, los vectores A ~ ~ no es posible determinar de la relación A = λB de manera única al escalar λ.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Los vectores están completamente caracterizados por sus componentes respecto a una base y esas componentes pueden formar parte de los elementos de un arreglo matricial. Haciendo uso del producto formal de matrices, es posible escribir cualquier vector en términos de una matriz columna ~ e . En tal sentido, la combinación lineal dada en (53) puede ser escrita como denotada como A   a1  a2    def  3 i 1 2 3 N ~ ~ ~ A = a ~ei = a ~e1 + a ~e2 + a ~e3 + · · · + a ~eN ≡ ~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN Ae donde Ae =  a  (73)  ..   .  aN

~ e es denominada representación regular o matricial del vector A ~ respecto a la La matriz columna A base Be = {~ei }i=1,...,N , y los elementos ai de la matriz columna corresponden a la componentes del ~ en la referida base Be . El mapa dado por (73) permite pasar de la representación matricial vector A de un vector a la combinación lineal de vector respecto a la base. Este mapa preserva la suma de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. En efecto,   a1 + b 1  a2 + b 2    def  ~e +B ~ e =  a3 + b 3  ~e +B ~e ~+B ~ = ~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN A (74a) donde A A ,   ..   . N N a +b   λa1  λa2    3 def  ~ ~ ~ λa (74b) donde λAe =  λA = ~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN λAe .  ..   .  λaN

Cada entrada o elemento de las matrices columnas presentadas en (74) corresponden a las com~+B ~ y λA ~ en la base Be , respectivamente. Las cuales coinciden con la ponentes de los vectores A presentadas en (72). Los vectores de la base Be también tienen una representación matricial que Prof. Sttiwuer D. Página 38 de 53


Parte II

~e , dicha representación se establece en virtud a que los vectores de la denotaremos por el símbolo ψ i base pueden ser escritos en su propia base con ayuda de la delta de Kronecker (50), esto es   δi1  δ2   i 3 def ~ ei donde E ~ ei =  ~ei = δij ~ej = δi1~e1 + δi2~e2 + δi3~e3 + · · · + δiN ~eN ≡ ~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN E  δi  , (75)  ..   .  δiN

explícitamente se tiene que

~ e1 E

  1 0     = 0 ,  ..  . 0

~ e2 E

  0 1     = 0 ,  ..  . 0

~ e3 E

  0 0     = 1 ,  ..  . 0

···

,

~ eN E

  0 0     = 0 .  ..  . 1

~ e como una combinación lineal de la base E ~ e , siendo De esta manera, es posible escribir al vector A i los coeficientes de la combinación lineal las mismas componentes del vector en la base Be , 

 a1  a2  N   X  a3  1~ 2~ 3~ N~ ~ ~ ei . Ae =   = a Ee1 + a Ee2 + a Ee3 + · · · + a EeN = ai E  ..  i=1  .  N a

(76)

~ ei }i=1,...,N corresponde a la representación matricial de la base Be , escrita Con ello, la base BE = {E en su propia base. El subíndice e que se ha dispuesto en las representaciones regulares de vectores y en los elementos de la bases sirve para indicar que las matrices columnas han sido construida con las ~ e corresponden a las componentes de dichos vectores en la base Be . Así, los elementos de la matriz A i ~ componentes a , en cambio la matriz Ae∗ tiene como elementos a las componentes ai . Prevista esta ~ dada distinción, las correlaciones entre las componentes covariante y contravariante de un vector A en (60) y (61) pueden ser escrita matricialmente como ~e ~ e∗ = GA A

~ e = G∗ A ~ e∗ , y A

(77)

respectivamente. Donde ~ e∗ = ~e 1 ~e 2 ~ = ~e 1 ~e 2 · · · ~e N A A

Prof. Sttiwuer D.



 a1    a2  · · · ~e N  ..  = a1~e 1 + a2~e 2 + · · · + aN ~e N = ai~e i .  .  aN

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores 3.2.1.

Parte II

Producto escalar en una base

~ = ai~ei y B ~ = bi~ei dos vectores escritos en la base Be = {~ei }i=1,...,N , el producto escalar Sean A entre dichos vectores viene dado por la relación, N N X X i j i j i j i j ~ ~ ai bj gij , A · B = a ~ei · b ~ej = a ~ei · b ~ej = a b ~ei · ~ej = a b gij ≡

(78)

i=1 j=1

Usando el arreglo matricial para vectores (73) y la representación matricial (58a) para la componente covariante de la métrica se logra escribir el producto escalar (78) mediante el siguiente producto de matrices,    g11 g12 . . . g1N b1  2  g21 g22 . . . g2N  b  ~ e = a1 a2 · · · a N  ~ t GB ~·B ~ =A (79) A   . ,  . . . e  .. .. . . . ..   ..  bN gN 1 gN 2 . . . gN N ~ t es la traspuesta de la matriz A. ~ donde A

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ y Ejemplo 3.4 Sea B = {~e1 , ~e2 } una base cuyos representan geométricamente a los vectores A ~ elementos de la métrica vienen dado por el si- B, respectivamente. Usando directamente (79) se obtiene el producto escalar entre los vectores diguiente arreglo matricial, ·~e1 ~e1 ·~e2 2 −2 chos vectores, G = ~~ee21 ·~ = . −2 10 e1 ~e2 ·~e2 ~ t GB ~ = [ −1 1 ] 2 −2 [ −12 ] = −20. ~·B ~ =A A partir de esta información se extrae que la norA √ −2 10 ma de los√vectores base vienen dada por |~e1 | = 2 Debido a que este producto escalar es negativo se y |~e2 | = 10, además se obtiene que el producto infiere que el ángulo entre los dos vectores es obtuescalar entre dichos vectores es ~e1 · ~e2 = −2. La so, para determinar el valor de dicho ángulo basta ~ = −~e1 +~e2 y B ~ = 2~e1 −~e2 norma de los vectores A usar la expresión (16), y obtener h i i h se obtienen de la expresión (14) y del producto es~B ~ A· −1 −1 −20 √ θA, = 168, 7o . = cos ~B ~ = cos calar definido en (79), estoes: ~ |B| ~ 4 26 |A| ~ t GA ~ = [ −1 1 ] 2 −2 [ −1 ] = 16, ~2=A |A| El cual corresponde a un valor superior a 90o . −2 10 1 2 −2 ~ = 2 ~ t GB ~ = [ 2 −1 ] ~ 2=B Además, se puede verificar que el vector C |B| −2 10 √[ −1 ] = 26. ~ ya que ~ = 4 y |B| ~ = 26, dichos va- 3~e1 + ~e2 es ortogonal al vector A, De manera que |A| ~ t GC ~ = 0. ~·C ~ =A A lores corresponden a la longitud de la flecha que ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ yB ~ en la base Be éstos se escribieran en la base recíproca En lugar de escribir los vectores A ∗ i i=1,...,N Be = {~e } , el producto escalar entre dichos vectores tomará la siguiente forma ~·B ~ = (ai~e i ) · (bj ~e j ) = ai bj ~e i · ~e j = ai bj g ij , A

(80)

el cual puede ser escrito en forma matricial como

~ e∗ ~ t G∗ B ~·B ~ =A A e∗ Prof. Sttiwuer D.



  g 12 . . . g 1N b1 22 2N   g . . . g   b2   .. . . ..   ..  , . .  .  . N1 N2 bN g g . . . gN N

g 11 21  g = a1 a2 · · · aN  ..  .



Parte II

En cambio, el producto escalar toma un forma simple al conocer las componentes covariante y ~ y B, ~ ya que contravariante de los vectores A ~ tB ~ ~·B ~ = (ai~e i ) · (bj ~ej ) = ai bj ~ei · ~e j = ai bj δ j = ai bi = A A e e∗ , i ~t B ~ ~·B ~ = (ai~ei ) · (bj ~e j ) = ai bj ~e i · ~ej = ai bj δji = ai bi = A A e∗ e .

(82a) (82b)

Para este caso el producto escalar entre dos vectores se obtiene al sumar los productos de cada componente covariante con su respectiva componente contravariante. ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~yB ~ puede Ejemplo 3.5 La representación matricial de la El producto escalar entre los vectores A métrica inducida por la base Be = {~e1 , ~e2 } viene obtenerse usando las expresiones (79), (81) así definida por como (82), 2 −2 ~e · ~e ~e · ~e 3 −2 4 . G= 1 1 1 2 = t ~ GB ~ e = 1 −1 ~·B ~ =A −2 3 ~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 = 3, A e −2 3 −5 Con esta métrica se obtiene las componentes co 3/2 1 ~ = ~e1 −~e2 y B ~ = 2~e1 +~e2 . 2 t ∗ variante de los vectores A ~ ∗G B ~ e∗ = 4 −5 ~·B ~ =A A = 3, e −1 −1 1 Para ello se usa la expresión (77), 2 t~ ~ ~ ~ 1 4 A · B = Ae Be∗ = 1 −1 = 3, ~ e = 2 −2 ~ e∗ = GA −1 = , A −2 3 −1 −5 2 t ~ ~ ~ ~ A · B = Ae∗ Be = 4 −5 = 3. ~ e = 2 −2 2 = 2 . ~ e∗ = GB 1 B −2 3 1 −1 ~ = 4~e 1 − 5~e 2 A partir del cual se deduce que A ~ = 2~e 1 − ~e 2 . La inversa de la matriz G coy B rresponde a la componente contravariante de la métrica, dada por 1 1 1 2 1 32 ~e · ~e ~e · ~e ∗ −1 G =G = 2 1 2 2 = . ~e · ~e ~e · ~e 2 22

Lo cual conduce al mismo resultado. En tal sentido, el producto escalar entre dos vectores es un número independiente de la base que se utilice para describir a los vectores involucrados en el producto escalar. Por ello, dicho producto es utilizado para escribir cantidades independientes de la base que se utilice.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Cuando la métrica es inducida por una base ortonormal no hay distinción entre la componente covariante y contravariante, por tal razón ~ei = ~e i y g ij = gij . Esto se debe a que las representaciones matriciales de la métrica corresponde a la matriz identidad, siendo los elementos de estas matrices iguales a la delta de Kronecker, es decir, g ij = gij = δij o matricialmente G = G∗ = 11. También, se observa que no existe distinción entre las componentes contravariante y covariante de un vector ~ por consiguiente ai = ai . En este caso, el producto escalar dado en (79) se obtiene a partir del A, producto de la componente de un vector con la del otro,   a1  a2   ~ t 11B ~ =A ~ tB ~ = a1 a2 · · · a N  ~·B ~ =A A (83)  ..  = a1 b1 + a2 b2 + · · · + aN bN = ai bi .  .  aN Prof. Sttiwuer D.

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores 3.2.2.

Parte II

Producto vectorial en un base

~ y B, ~ respectivamente, respecto a la base Be = {~ei }i=1,...,N . El Sean ai y bi las componentes de los A producto vectorial entre dichos vectores se obtiene de la propiedad distributiva y anticonmutavividad del producto vectorial, resultando ~×B ~ = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ) × (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 ) A = (a2 b3 − b2 a3 ) ~e2 × ~e3 − (a1 b3 − b1 a3 ) ~e3 × ~e1 + (a1 b2 − b1 a2 ) ~e1 × ~e2 .

(84)

Los productos vectoriales de los elementos de la base, ~ei ×~ej , pueden ser expresados como combinación lineal de la base Be . Sean ǫij k los coeficientes de la combinación lineal de los vectores ~ei × ~ej respecto a la base Be , de manera que ~e2 × ~e3 = ǫ23 1~e1 + ǫ23 2~e2 + ǫ23 3~e3 , ~e3 × ~e1 = ǫ31 1~e1 + ǫ31 2~e2 + ǫ31 3~e3 , ~e1 × ~e2 = ǫ12 1~e1 + ǫ12 2~e2 + ǫ12 3~e3 .

(85a) (85b) (85c)

Sustituyendo (85) en (84) y haciendo uso de las propiedades de determinantes se logra escribir i i i i=3 X ǫ23 ǫ31 ǫ12 ~×B ~ = a1 a2 a3 ~ei . A (86) 1 2 3 i=1 b b b Las componentes ǫ23 i , ǫ31 i y ǫ12 i con i = 1, 2, 3 se obtienen conociendo la inversa de la métrica así como el volumen elemental generado por la base y su orientación en el espacio. Es decir, conociendo G−1 e1 · (~e2 × ~e3 ). Para determinar estos coeficientes es necesario conocer e y el producto escalar triple ~ las siguientes identidades def

V = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) = ~e2 · (~e3 × ~e1 ) = ~e3 · (~e1 × ~e2 ) , def

−V = ~e1 · (~e3 × ~e1 ) = ~e2 · (~e1 × ~e3 ) = ~e3 · (~e2 × ~e1 ) , 0 = ~e1 · (~e1 × ~e3 ) = ~e2 · (~e2 × ~e1 ) = ~e3 · (~e3 × ~e2 ) .

Al multiplicar escalarmente (85a) por ~e1 , ~e2 y luego por ~e3 se obtiene un sistema de ecuaciones para los coeficientes ǫ23 i , que puede ser escrito en forma matricial de la siguiente forma   1    1 3 2 1  ǫ23 V ǫ23 V = ǫ23 g11 + ǫ23 g12 + ǫ23 g13 2 3 2 1 ~     ǫ23 2  = V G−1 0 = Ge ǫ23 (87) =⇒ ∴ 0 = ǫ23 g21 + ǫ23 g22 + ǫ23 g23 e Ee1 ,  3 3  3 2 1 ǫ ǫ 0 23 23 0 = ǫ23 g31 + ǫ23 g32 + ǫ23 g33 ~ e es la representación matricial del vector ~e1 dada donde Ge es la métrica inducida por la base Be , y E 1 en (75). Procediendo de manera análoga con (85b) y (85c), se generan los sistemas de ecuaciones que permiten determinar las componentes ǫ31 i y ǫ12 i , respectivamente. Obteniéndose,  1  1 ǫ12 ǫ31 ~ ~  ǫ31 2  = V G−1 ǫ12 2  = V G−1 (88) y e Ee3 . e Ee2 3 3 ǫ12 ǫ31 Prof. Sttiwuer D. Página 42 de 53


Parte II

Las expresiones (87) y (88) se obtienen las componentes de los productos vectoriales con los elementos de la base mostrados en (85). Para tener una sola expresión que permita determinar dichas componentes basta definir el siguiente arreglo matricial  1 1 1 ǫ23 ǫ31 ǫ12 def  (89) Λe = ~e1 · (~e2 × ~e3 )G−1 Λ Λe = ~e2 × ~e3 ~e3 × ~e1 ~e1 × ~e2 = ǫ23 2 ǫ31 2 ǫ12 2  = V G−1 e e 11 ∴ Λ 3 3 3 ǫ23 ǫ31 ǫ12 Esta matriz permite determinar a los coeficiente ǫ23 i , ǫ31 i y ǫ12 i con i = 1, 2, 3 que aparecen en (86). ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 3.6 La métrica generada por los elementos ~e1 , ~e2 y ~e3 de una base oblicua Be para un espacio tridimensional viene expresadas mediante el siguiente   arreglo matricial   201 ~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3 G = ~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3  = 0 3 5, 159 ~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3 la inversa de la métrica viene dada por   2 5 −3 G−1 =  5 17 −10. −3 −10 6 Suponiendo que el producto triple entre los elementos de la base es igual a la unidad, es decir, eb1 · (b e2 × eb3 ) = 1. Los coeficientes de la combi-

nación lineal de los productos vectoriales entre los elementos de la base se obtienen a partir de (89), resultando    2 5 −3 ǫ12 1 ǫ31 1 ǫ12 1 Λ Λ = ǫ12 2 ǫ31 2 ǫ12 2  =  5 17 −10. −3 −10 6 ǫ12 3 ǫ31 3 ǫ12 3 El producto vectorial entre los vectores ~ = eb1 − 2b ~ = −2b A e2 + 3b e3 y B e2 + eb3 viene dado por la expresión (86) i i i i=3 X ǫ23 ǫ31 ǫ12 ~×B ~ = 1 −2 3 ~ei , A i=1 0 −2 1 que al expandir la suma se tiene,

−3 −10 6 5 17 −10 2 5 −3 ~×B ~ = 1 −2 3 ~e1 + 1 −2 3 ~e2 + 1 −2 3 ~e3 = 9~e1 + 23~e2 − 14~e3 . A 0 −2 1 0 −2 1 0 −2 1

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Cuando la base Be es ortonormal la métrica inducida por esta base corresponde a la matriz identidad, en consecuencia Λ Λe = 11 y (86) toma la forma simple, eb1 eb2 eb3 ~×B ~ = a1 a2 a3 = (a2 b3 − a3 b2 ) eb1 + (a3 b1 − a1 b3 ) eb2 + (a1 b2 − a2 b1 ) eb3 . (90) A b1 b2 b3

En este caso, el producto vectorial de los elementos de una base ortonormal escrita en su base genera la siguiente álgebra eb1 × eb2 = eb3 eb3 × eb1 = eb2 eb2 × eb3 = eb1

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=⇒ =⇒ =⇒

eb2 × eb1 = −b e1 × eb2 = −b e3 eb1 × eb3 = −b e3 × eb1 = −b e2 eb3 × eb2 = −b e2 × eb3 = −b e1

∴ ∴ ∴

eb2 × eb1 = −b e3 , eb1 × eb3 = −b e2 , eb3 × eb2 = −b e1 .

(91a) (91b) (91c)

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Parte II

En la Fig. 3.22 se muestra una regla geométrica que permite determinar el álgebra presentada en (91). Dicha regla establece que los productos vectoriales entre los elementos de la terna T = {b e1 , eb2 , eb3 } que generan vectores de la misma terna se obtiene al considerar la configuración mostrada en la Fig. 3.22 (izquierda). En cambio, los productos vectoriales entre los elementos de la T que generan vectores opuestos de la misma terna se obtiene al considerar la configuración mostrada en la Fig. 3.22 (derecha). Productos positivos eb2 × eb3 = eb1 , × eb3 × eb1 = eb2 , eb1 × eb2 = eb3 .

eb3

Productos negativos × eb2

eb3 × eb2 = −b e1 , × eb1 × eb3 = −b e2 , eb2 × eb1 = −b e3 .

eb3

× eb2

× × eb1 eb1 Figura 3.22: Representación geométrica del álgebra generada por el producto vectorial de los elementos de una base ortonormal.

Una manera compacta de escribir el álgebra indicada en (91) es definiendo el símbolo de permutación de Levi-Civita, denotado como εijk , el cual es definido como sigue    1 Si ijk es 123, 231 ó 312. εijk = −1 Si ijk es 132, 213 ó 321. (92)   0 Si algún índice se repite.

De manera que, el álgebra mostrada en (91) se escribe como ebi × ebj = εijk ebk

ó ebi × ebj = εij1 eb1 + εij2 eb2 + εij3 eb3 .

(93)

~ = ai ebi y B ~ = bi ebi expresado en Lo cual permite escribir al producto vectorial entre los vectores A una base ortonormal como ~×B ~ = (ai~ei ) × (bj ~ej ) = ai bj ~ei × ~ej = ai bj εijk~ek = εijk ai bj ~ek , A

(94)

~×B ~ en la base a partir del cual se identifica a εijk ai bj como la componente k−ésima del vector A ortonormal. Dicha componente se obtiene del producto escalar, ~ × B) ~ k = ebk · (A ~ × B) ~ = εijk ai bj (A

(95)

Para trabajar en componente usando el símbolo de Levi-Civita se requiere conocer algunas propiedades generales ✍ El símbolo de Levi-Civita puede ser escrito como el producto de deltas de Kronecker, el cual es expresable mediante el siguiente determinante δi1 δi2 δi3 εijk = δj1 δj2 δj3 = δi1 δj2 δk3 + δi2 δj3 δk1 + δi3 δj1 δk2 − (δi1 δj3 δk2 + δi2 δj1 δk3 + δi3 δj2 δk1 ) . (96a) δk1 δk2 δk3

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Parte II

De esta relación se extrae que al permutar dos índice contiguos en el símbolo de permutación éste cambia de signo, es decir, εijk = −εjik . Así como también que al repetir dos indices el símbolo de permutación se anula, por ejemplo, εiik = 0 (no hay suma sobre i). ✍ El producto de dos símbolos de Levi-Civita viene dado a partir del siguiente determinante δil δim δin εijk εlmn = δjl δjm δjn = δil δjm δkn + δim δjn δkl + δin δjl δkm − (δil δjn δkm + δim δjl δkn + δin δjm δkl ) . δkl δkm δkn (96b) Es posible contraer los indices libres que se encuentra en esta igualdad, por ejemplo, al contraer el índice n con k se obtiene que εijk εlmk = δil δjm − δim δjl . Además, se puede seguir contrayendo el índice m con j resultando εijk εljk = 2δil , así como también se puede contraer todos los indices para obtener εijk εijk = 3! = 6. ✍ El determinate de una matriz A de orden tres cuyos elementos son aij puede ser escrita en función del símbolo de permutación de Levi-Civita como a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 = εijk ai1 aj2 aj3 (96c) a31 a32 a33

Con el uso de las propiedades indicadas en (96) es posible obtener identidades vectoriales como la establecida en (30). El ejemplo 3.7 mostrará como obtener dicha identidad usando el formalismo tensorial. ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 3.7 Para probar la relación (30) consideremos la componente i−ésima del producto vectorial ~u × (~v × w) ~ de la siguiente manera [~u × (~v × w)] ~ i = εijk uj (~v × w) ~ k donde uj y (~v × w) ~ k son las componentes j−ésima y k−ésima de los vectores ~u y ~v × w, ~ respectivamente. De igual forma, se puede puede reemplazar (~v × w) ~ k por εklm vl wm resultando [~u × (~v × w)] ~ i = εijk uj εklm vl wm = εijk εklm uj vl wm . Donde se observa que no puede haber un índice repetido más de dos veces. Usando la identidad

del producto de dos símbolo de Levi.Civita, resulta que [~u × (~v × w)] ~ i = (δil δjm − δim δjl )uj vl wm = u j w j v i − v j uj w i . = (~u · w)v ~ i − (~v · ~u)wi . Esta igualdad corresponden a la componente i−ésima del vector ~u ×(~v × w), ~ de forma que dicho vector en la base ortonormal viene dado por ~u × (~v × w) ~ = [~u × (~v × w)] ~ i ebi , ~u × (~v × w) ~ = [(~u · w)v ~ i − (~v · ~u)wi ]b ei ~u × (~v × w) ~ = (~u · w)v ~ i ebi − (~v · ~u)wi ebi ~u × (~v × w) ~ = (~u · w)~ ~ v − (~v · ~u)w ~

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ El producto vectorial puede ser escrito en forma compacta usando las componente de los vectores y los coeficientes de la combinación lineal de los productos vectoriales entre los elementos de la base. ~ = ai~ei y B ~ = bi~ei expresado en la base Be viene dado por El producto vectorial entre los vectores A ~×B ~ = (ai~ei ) × (bj ~ej ) = ai bj ~ei × ~ej = ai bj ǫij k~ek = ǫij k ai bj ~ek , A Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

~ = ai~ei y B ~ = bi~ei viene dado por y en la base recíproca Be∗ el producto vectorial entre los vectores A ~×B ~ = (ai~ei ) × (bj ~ej ) = ai bj ~ei × ~ej = ai bj ǫij k~e k = ǫij k ai bj ~e k . A

(97b)

Donde los coeficientes ǫij k y ǫij k que aparecen en (97) se obtienen de las relaciones ~ei × ~ej = ǫij k~ek i

j

ij

~e × ~e = ǫ k~e

k

∴ ∴

ǫij k = ~e k · (~ei × ~ej ) , ǫ

ij

k

i

j

= ~ek · (~e × ~e ) .

(98a) (98b)

A partir de esta igualdades se deduce las siguientes identidades ǫijk = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) εijk

así como ǫijk =

1 εijk ~e1 · (~e2 × ~e3 )

(99)

donde se deduce la relación entre ǫijk = [~e1 · (~e2 × ~e3 )]2 ǫijk .

(100)

Los símbolos ǫijk y ǫijk corresponden a los productos escalares triples con los elementos de la base covariante y contravariante, respectivamente. Es decir, ǫijk = ~ei · (~ej × ~ek ) y ǫijk = ~e i · (~e j × ~e k ). Dichas cantidades son llamadas componentes covariante del tensor de Levi-Civita, que a diferencia del tensor métrico, éste es de tercer rango por presentar tres índices en sus componentes. 3.2.3.

Diádica y proyectores en una base

El objetivo de esta sección es construir una representación matricial para la acción de una diádica ~ B ~ la diádica construida sobre cualquier vector cuando éstos son expresados en una misma base. Sea A⊗ i j i=1,...,N ~ ~ con los vectores A = a ~ei y B = b ~ej en la base Be = {~ei } actuando sobre un vector ~x = xi~ei toma la siguiente forma ~ ⊗ B(~ ~ x) = A( ~ B ~ · ~x) = ai~ei bj xk gjk = ai bj gjk xk~ei A (101) donde se ha empleado (20) y (78). La representación matricial de (101) viene dada por la siguiente prescripción,      a1 g11 g12 · · · g1N a1 b 1 a1 b 2 · · · a 1 b N  a2   a2 b1 a2 b2 · · · a2 bN   g21 g22 · · · g2N      1 2  t N ~ ~ ~ ~ ~ ~ AB = A ⊗ B = AB G =  ..  b b · · · a G =  .. ..   .. .. . . ..  , (102) .. . .  .   . . .  . .  . . . N 1 N 2 N N N gN 1 gN 2 · · · g N N a b a b ··· a b a

~ yB ~ son las representaciones matriciales de los vectores A ~ y B, ~ respectivamente, dada en donde A (73). Así como G es la representación matricial de la métrica, dada en (58a). El producto tensorial dado en (102) toma una forma simple cuando la base es ortonormal, ya que en dicho caso la representación matricial de la métrica toma la forma de la matriz identidad.

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Parte II

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ = −2~e1 − 3~e2 genera al vector Ejemplo 3.8 Sea el conjunto Be = {~e1 , ~e2 } una tor C base oblicua que induce una métrica cuya repre 4 3 −2 −17 sentación matricial viene dada por el siguiente ar~ ~ ~ AB(C) = = , −4 −3 −3 17 reglo matricial a partir del cual se deduce que ~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 2 −1 G= = . ~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 −1 3 ~ B( ~ C) ~ ≡A ~ ⊗ B( ~ C) ~ = −17~e1 + 17~e2 . A ~ debido a La representación matricial de la diádica cons- Dicho vector es antiparalelo al vector A ~ = ~e1 −~e2 y B ~ = 3~e1 +2~e2 que, truida con los vectores A viene dada al aplicar la prescripción (102), resul~ B( ~ C) ~ = −17 (~e1 − ~e2 ) = −17A, ~ A tando De hecho, el coeficiente de esta combinación li 2 −1 4 3 1 neal, es decir, el escalar −17 se obtiene a partir ~⊗B ~ = 3 −1 . = A −4 −3 −1 3 −1 ~ con el vector del producto escalar entre el vector B ~ En efecto, usando (83) se tiene que C. La acción de esta diádica sobre cualquier vector ~ en 2 −1 −2 genera un nuevo vector colineal al vector A, ~ ~ = −17. B·C = 3 2 particular, haciendo actuar la diádica sobre el vec−1 3 −3 ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ y B, ~ definido como M def ~ B, ~ satisface La diádica o el producto tensorial entre dos vectores A = A las siguientes propiedades: ➣ La traza de una diadica M viene dada por el producto escalar entre los vectores utilizados para construir la diadica, es decir, ~ B) ~ =A ~·B ~. tr(M) ≡ tr(A (103a) ➣ El determinante de cualquier diadica tiene determinante nulo, es decir, ~ B) ~ = 0. det(M) ≡ det(A

(103b)

Esto significa que una de las líneas de la representación matricial para cualquier diádica es proporcional a otra. ➣ La traspuesta de una diadica M, denotada como M t , construida con dos vectores viene dada por el producto tensorial generado en orden inverso. Es decir, ~⊗B ~ M≡A

~ ⊗A ~. entonces M t ≡ B

(103c)

La diádica M es simétrica, es decir, satisface la igualdad M = M t siempre que la diádica sea ~ ⊗A ~ es construida con el producto tensorial de un vector consigo mismo. Es decir, la diádica A simétrica. Con el producto tensorial de dos vectores o la diádica dada en (101) o (102) se construyen los proyectores a una dirección dada respecto a una base. Cuando se trabaja con bases ortonormales, las componentes de los vectores tienen una interpretación geométrica sencilla, estas corresponden Prof. Sttiwuer D.

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Parte II

exactamente a las componentes de las proyecciones del vector sobre los elementos de la base. En ~ = ai ebi la componente ai se obtiene a partir del producto escalar del otras palabras, dado el vector A ~ con el elemento de la base ebi , es decir, ai = A ~ · ebi . Para probar esto, consideremos que vector A ~ · ebi = (aj ebj ) · ebi = aj ebj · ebi = aj δij = ai A

∴

~ · ebi . ai = A

(104)

Obsérvese que al multiplicar este escalar con el versor ebi se tiene que la combinación lineal ai ebi puede ~ sobre las direcciones definidas por la base, ser escrita como la suma de cada proyección del vector A esto es, ~ = ai ebi = (A ~ · ebi )b ~ · eb1 )b ~ · eb2 )b ~ · ebN )b ~ A ei = (A e1 + (A e2 + · · · + (A eN ≡ ebi ebi (A). (105)

De la última igualdad de (105) la cantidad ebi ebi corresponde a la suma de todos los proyectores construidos con los elementos de la base ortonormal B = {b ei }i=1,...,N . Además, dicha cantidad es ~ = 11(A) ~ se extrae que ebi ebi = 11; en interpretada como el operador identidad, ya que de la igualdad A otras palabras, la suma de todos proyectores corresponde al operador identidad. Esta afirmaciones pueden verificarse con un ejemplo concreto, tal como se presenta Eje. 3.9. ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ Ejemplo 3.9 Sea Be = {~e1 , ~e2 } una base oblicua cuyos elementos de la métrica vienen dado por el siguiente arreglo matricial, ·~e1 ~e1 ·~e2 1 2 G = ~~ee21 ·~ e1 ~e2 ·~e2 = [ 2 5 ]. El conjunto de vectores B = {b e1 , eb2 }, con eb1 = 2~e1 − ~e2 y eb2 = ~e1 + 0~e2 , forma una base ortonormal; ya que se verifica la relación indicada en (49). Es decir, los elementos de esta base tienen norma igual a la unidad, ~ t GE ~ e1 = [ 2 −1 ] [ 1 2 ] [ −12 ] = 1, |b e1 |2 = E e1 2 5 ~ t GE ~ e2 = [ 1 0 ] [ 1 2 ] [ 1 ] = 1. |b ee2 |2 = E e2 2 5 0 y son ortogonales entre si, ~ t GE ~ e2 = [ 2 −1 ] [ 1 2 ] [ 1 ] = 0. ebe1 · ebe2 = E e1 2 5 0 Con estas expresiones se puede construir la representación matricial del la métrica usando la base B, es decir, construyendo gij = ebi ·b ej . Dicha representación corresponde a la matriz identidad. Las ~ = 2~e1 − 3~e2 en la base componentes del vector A ortonormal B se obtienen a partir de (104), ~ · eb1 = [ 2 −3 ] [ 1 2 ] [ −12 ] = 3, a1 = A 2 5 ~ · eb2 = [ 2 −3 ] [ 1 2 ] [ 1 ] = −4. a2 = A 0 2 5 ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

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✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ~ se expresa como una De manera que el vector A combinación lineal de la base ortonormal, siendo los coeficientes de la combinación lineal a1 y a2 , quedando, ~ = a1 eb1 + a2 eb2 = 3b A e1 − 4b e2 . Los operadores que proyectan en las direcciones definida por la base ortonormal, es decir, los poryectores definidos por la base ortonormal, vienen dado por ~ e1 E ~ t G = 4 −2 [ 1 2 ] = [ 0 −2 ], eb1 eb1 = E e1 −2 1 2 5 0 1 ~ t G = [ 1 0 ] [ 1 2 ] = [ 1 2 ]. ~ e2 E eb2 eb2 = E e2 0 0 2 5 0 0 Obsérvese que al sumar estos proyectores se obtiene el operador identidad, en efecto, eb1 eb1 + eb2 eb2 = [ 00 −21 ] + [ 10 20 ] = [ 10 01 ]. Es posible usar los proyectores para escribir al vector como una combinación lineal de la base, tal ~ como se muestra en (105). Las proyecciones de A en las direcciones definida por la base ortonormal B vienen dadas por ~ = [ 0 −2 ] [ −32 ] = [ −36 ] = 3 [ −12 ] = 3b e1 , eb1 eb1 (A) 0 1 −4 2 1 1 2 ~ e2 . eb2 eb2 (A) = [ 0 0 ] [ −3 ] = [ 0 ] = −4 [ 0 ] = −4b ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

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M étodos geom étrico y algebraico: Vectores y tensores 4.

Parte II

Problemas

Parte I (desarrollo práctico): para cada una de las preguntas que se presentan a continuación, haga un desarrollo explícito. ~ B, ~ 1. En la figura adjunta se muestra un conjunto de nueve vectores identificados con las letras A, ~ D, ~ E, ~ F~ , G, ~ H ~ y K. ~ En base a esta información y sin hacer uso de coordenadas responda la C, siguientes preguntas: ~ en términos de E, ~ D ~ y F~ . (a) Escriba al vector C ~ B ~ ~ ~ ~ (b) Escriba al vector H en términos de D, E y G. ~ C F~ ~ ~ ~ ~ A (c) Escriba al vector H en término del vector G. K ~ ~ G H ~ (d) Determine el resultado del vector F~ − B. ~ +D ~ − E. ~ (e) Determine el resultado del vector F~ + C ~ en términos de C ~ y G. ~ (f) Escriba al vector K

~ E

~ D

2. Sean A, B y O tres puntos no colineales en el plano, sea M el punto medio del segmento de recta ~ yB ~ van dirigidos desde O hasta A y B, AB definido entre el punto A y B. Si los vectores A ~ respectivamente, demuestre que el vector M dirigido desde O hasta M viene dado por: h i ~ =1 A ~+B ~ M 2

3. Dados tres puntos A, B y C no colineales entre si, probar que el baricentro del triángulo formado con dichos viene dado por el vector i h ~+B ~ +C ~ , ~ =1 A G 3 ~ B ~ yC ~ son vectores que van dirigidos desde un referencial O hasta los puntos A, B y donde A, C, respectivamente. ~ yB ~ dos vectores cuyas representación geométrica corresponden a dos flechas dirigidas 4. Sean A desde la referencia común O hasta los puntos A y B, respectivamente. Considere al punto R que divide el segmento AB a una razón β : α, es decir, dicho segmento es dividido de forma tal que RA ~ cuya = αβ , donde α y β son números reales positivos no nulos. Demuestre que el vector R RB representación geométrica es una flecha dirigida desde el punto común O hasta el punto R viene dado por ~ ~ ~ = αA + β B . R α+β

~ son dados, así 5. Abajo se muestra un sistema vectorial de ecuaciones, donde los vectores ~r y R como los escalares m1 y m2 . Exprese a los vectores ~r1 y ~r2 en términos de los vectores y escalares dados.  ~r = ~r2 − ~r1 ~ = m1~r1 + m2~r2 R m1 + m2

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~ ~ 6. Sea θA, ~ B, ~ A ~ entre ~B ~ el ángulo entre los vectores A y B, demostrar que la tangente del ángulo θA+ ~+B ~ y el vector A ~ viene dado por la relación el vector suma A tan θA+ ~ B, ~ A ~ =

~ sen θ ~ ~ |B| A,B ~ ~ |A| + |B| cos θ ~

.

~ A,B

7. Abajo y a la izquierda se muestra un sistema vectorial de ecuaciones, donde los vectores ~r, ~r0 , V~0 y ~a son dados. Elimine el parámetro tiempo de estas ecuaciones vectoriales para demostrar la ecuación escalar que se indica abajo y a la derecha. ( ~r = ~r0 + ~v0 t + 12 ~at2 =⇒ |V~ |2 = |V~0 |2 + 2~a · (~r − ~r0 ) . V~ = V~0 + ~at 8. Dos vectores de norma v poseen una orientación tal que el ángulo entre ellos es β, demuestre que la norma del vector suma viene dada por la expresión 2v cos(β/2); y la norma del vector resta es 2v sen(β/2) ~ A 9. Para la figura adjunta se muestra la representación geométrica de P una circunferencia de radio R y dos vectores cuya punta se encuenR ~ B tra en el punto P y las colas se encuentra diametralmente opuestas. Pruebe que dichos vectores son ortogonales para cualquier punto P contenido en la circunferencia. 10. Demuestre las siguientes relaciones ~ + B| ~ 2 − |A ~ − B| ~ 2 = 4A ~·B ~ (a) |A q ~ 2 + |B| ~ 2 − 2A ~·B ~ ~ − B| ~ = |A| (c) |A ~ + B) ~ · (A ~ − B) ~ = |A| ~ 2 − |B| ~ 2 (e) (A

~ + B| ~ ≤ |A| ~ + |B| ~ (b) |A ~ · B| ~ ≤ |A| ~ |B| ~ (d) |A ~ × B| ~ ≤ |A| ~ |B| ~ (f) |A

~ × (B ~ × C) ~ = (A ~ · C) ~ B ~ − (A ~ · B) ~ C ~ para demostrar las igualdades que se 11. Use el producto triple A presentan a continuación ~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~a · d)( ~ ~b · ~c) (a) 1ra. Identidad de Lagrange (~a × ~b) · (~c × d) ~ = [~a · (~c × d)] ~ ~b − [~b · (~c × d)]~ ~ a (b) 2da. Identidad de Lagrange (~a × ~b) × (~c × d) (c)

Identidad de Jacobi

~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b) = ~0

→ ~ −−→ ~ −→ ~ = − 12. Sean A OA, B = OB y C = OC tres vectores con origen común, donde los puntos A, B y C no se encuentran colineales entre sí, de manera que se genera un triángulo en el espacio [ viene dada por la expresión tridimensional. Muestre que el área del triángulo ABC ~ × (B ~ − C) ~ +B ~ ×C ~ . A = 21 A

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~ · ~x 13. Determine el vector ~x de la ecuación vectorial que se indica abajo, sabiendo que ϕ = A es conocido. Adicionalmente, de una interpretación geométrica del vector ~x. Suponga que los ~yB ~ son conocidos. vectores A ~=B ~ ~x × A

14. Resuelva la ecuación vectorial que se indica abajo, donde los vectores ~a, ~b y ~c son no nulos y el escalar k es distinto de cero. Adicionalmente, suponga que ~x se puede escribir como una combinación lineal de los vectores ~b y ~c; sustituya dicha combinación lineal en la ecuación vectorial que se indica abajo y determine los coeficientes de la combinación lineal. k~x + (~x · ~a)~b = ~c . 15. Encuentre una solución para la ecuación vectorial que se indica abajo, suponiendo que los vectores ~ C ~ yB ~ son dados; además, los vectores A ~yB ~ no son ortogonales. A, ~ + (~x · B) ~ A ~=C ~. ~x × A ~yB ~ son conocidos 16. Abajo se indica un sistema vectorial de ecuaciones para ~x y ~y . Los vectores A y ortogonales entre sí. Resuelva este sistema vectorial de ecuaciones. ( ~ ~x + ~y = A ~ ~x × ~y = B

~ ~ 1 + A sen(ωt) U ~ 2 que depende del parámetro t, demuestre 17. Dado el vector A(t) = A cos(ωt) U ~ ~ 2 son vectores independientes de dicho la relaciones que se indican abajo sabiendo que U1 y U parámetro. d2 ~ ~ ~ · d A(t) ~ = 0. = −ω 2 A(t). (a) A(t) (b) 2 A(t) dt dt 18. Sea ~r = ~r(t) un vector que depende del parámetro t, usando las propiedades de la derivada pruebe la siguientes igualdades. Suponga que el vector ~a es independiente del parámetro. " 2 # d~r d~r d d d~r d2~r d~r d2~r (a) (b) +2 · 2 ~r × = ~r × 2 |~r|2 + = 2~r · dt dt dt dt dt dt dt dt db r r 1 d|~r| db d d2~r d~r d~r d~r (c) = − rb (d) + (~a · ~r) ~r × 2 (~a · ~r) ~r × = ~a · ~r × dt r dt dt dt dt dt dt dt

19. Sean ~e1 y ~e2 dos vectores no colineales, tal que verifican la condición ~e1 · ~e2 = 1. Pruebe que ~e1~e2 ~ es un vector es un operador que proyecta en la dirección del vector ~e1 . En otras palabras, ~e1~e2 (A) colineal a ~e1 . 20. Sea Be = {b e1 , eb2 } una base ortonormal, dado los vectores ~ 1 = eb1 + eb2 U

~ 2 = 2b y U e1 + eb2 .

~ 1, U ~ 2 }; (b) construya la matriz (a) Construya la métrica GU inducida por la base oblicua Bu = {U t cambio de base E y verifique que GU = E E; (c) Obtenga la base recíproca a Bu ; (d) Escriba al ~ = 3b ~·B ~ donde vector A e1 + 2b e2 en la base Bu y su recíproca; (e) obtenga el producto escalar A ~ = 3U ~ 1 + 2U ~ 2 . (f) Verifique la igualdad det GU = (det E)2 , cómo puede probar dicha relación. A Prof. Sttiwuer D. Página 51 de 53


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21. Los versores eb1 = √12 (ˆı + ˆ) y eb2 = √12 (ˆı − ˆ) forman una base para un espacio bidimensional. El conjunto de vectores {ˆı, ˆ} corresponde a la base canónica. (a) Calcule la representación ~ = 3ˆı − 2ˆ matricial de los proyectores eb1 eb1 y eb2 eb2 . (b) Exprese al vector A  en la base {b e1 , eb2 } usando proyectores. 22. Dada la base oblicua ~e1 = ˆı − 2ˆ  y ~e2 = 2ˆı + 3ˆ  una base que genera a un espacio bidimensional. El conjunto de vectores {ˆı, ˆ} corresponde a la base canónica. (a) Construya la representación matricial de la métrica covariante G inducida por la base oblicua. (b) Determine la representación matricial de la métrica recíproca a G. (c) Use la matriz cambio de base para construir la base recíproca y verifique a partir de esta base que se obtiene el mismo resultado de la parte (b). (d) Construya los proyectores ~e1~e 1 y ~e2~e 2 y muestre que su suma corresponde al operador identidad. ~ = ˆı − ˆ en la base oblicua. (e) Use los proyectores de la parte anterior para escribir al vector A

~ = aµ A b µ en un espacio tetradimensional, expresado como combinación lineal de 23. Dado el vector A la base que se indica abajo 1 1 1 1 0 1 0 −1 1 0 1 0 b3 = √ b4 = √ b2 = √ b1 = √ , A y A . , A A 2 10 2 1 0 2 0 −1 2 01

~ B ~ = tr(A ~ t B) ~ donde A ~ t indica trasposición En dicho espacio el producto escalar esta definido por A· ~ la operación dentro del paréntesis corresponde al producto habitual de matrices de la matriz A, y el símbolo tr corresponde a la traza de dicho producto. (a) Muestre que el conjunto de vectores b µ forma una base ortonormal, es decir A bµ · A b ν = δµν . (b) Pruebe que las componentes del A ~ vienen dada por la relación aµ = A b µ . Dado los vectores A ~ = [ −2 1 ] y B ~ = [ 1 −1 ]. ~·A vector A 3 4 2 0 (c) Encuentre la norma de cada uno de ellos. (d) El ángulo entre los dos vectores. (e) Exprese b µ }µ=1,2,3,4 . ambos vectores en términos de la base {A

24. Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es coplanar,   ˆ ~    + 3kˆ ~e1 = 2ˆı + ˆ + k E1 = ˆı + 2ˆ ~ 2 = −3ˆı − 4ˆ I.- ~e2 = ˆı + 0ˆ y II.- E  + 3kˆ  + 2kˆ     ~ 3 = 2ˆı − ˆ − kˆ ~e3 = −3ˆı − 4ˆ  − kˆ E

(a) Uno de estos dos conjuntos de vectores puede ser usado para formar una base de un espacio tridimensional, encuentre la métrica inducida por dicha base. (b) Determine la base recíproca y construya los proyectores mediante la diádica entre un vector covariante de la base y su contravariante. (c) Determine la base recíproca y construya los proyectores mediante la diádica entre ~ = 2ˆı − 4ˆ un vector contravariante de la base y su covariante. (d) Exprese a los vectores A  + 2kˆ ~ = −3ˆı + 2ˆ ~·B ~ yA ~ × B, ~ yB  − kˆ en la base covariante como en la contravariante. (e) Calcule A expresando sus resultados en la base covariante y contravariante.

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25. Haciendo uso del símbolo delta de Kronecker y Levi-Civita, simplifica cada una de las expresiones que se indican a continuación, (a)

3 X

δij vi uj

(b)

i,j

(d)

N X

3 X

δ2j δjk vk

(c)

i

(e)

N X

εi3k δij vk

k,i

k,j

δii

3 X

δij δij

i

(f)

N X

εijk εkiℓ

i

26. Usando notación tensorial encuentre una identidad vectorial para cada una de las expresiones que se presentan a continuación, ~ × (A ~ × B)] ~ ×A ~·B ~ (a) [A ~ · ˆı)ˆı + ˆı × (ˆı × A) ~ (c) (A

~ × B) ~ · [(B ~ × C) ~ × (C ~ × A)] ~ (b) (A ~ + ˆ × (ˆ ~ + kˆ × (kˆ × A) ~ (d) ˆı × (ˆı × A)  × A)

27. Sean ~e 1 , ~e 2 y ~e 3 una base recíproca a la base ~e1 , ~e2 y ~e3 , por lo que ~ei · ~e j = δij . Probar la siguientes relaciones, (a) ~ei × ~ej = ǫij k~ek = ǫijk~e k

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(b) ~e k = 21 ǫkij ~ei × ~ej

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Metodos Del Algebra Vectorial

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