U3 Teoremas Del Calculo Vectorial

Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial

Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Cálculo de varias variables II

6° cuatrimestre

Unidad 3. Teorema del cálculo vectorial

Clave: 050920622/060920622

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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ÍNDICE Contenido Unidad 3. Teoremas del Cálculo Vectorial .........................................................................................4 Presentación de la unidad......................................................................................................................4 Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................4 Competencia específica..........................................................................................................................4 3.1 Teorema de Green para superficies planas ................................................................................4 3.1.1. Teorema de Green en rectángulos y regiones especiales .................................... 4 3.1.2. Teorema de Green aplicado a campos vectoriales (planos) ................................. 7 3.1.3. Teorema de Green aplicado a integrales de línea .................................................. 8 Actividad 1. Teorema de Green.............................................................................................................9 3.2 Teorema de Stokes............................................................................................................................9 3.2.1. Teorema de Stokes .................................................................................................. 9 3.2.2. Teorema de Stokes aplicado a gráficas y superficies ........................................... 9 3.2.3. Densidad de la circulación (rotacional) ................................................................ 11 3.2.4. Campos conservativos .......................................................................................... 12 Actividad 2. Aplicaciones de los teoremas de Green y Stokes .................................................

13

3.3 Teorema de la Divergencia (Gauss) ...........................................................................................

13

3.3.1. Teorema de la Divergencia de Gauss ................................................................... 13 3.3.2. Teorema de la Ley de Gauss ................................................................................. 14 Actividad 3. Teorema de Gauss y ley de Gauss ............................................................................ Autoevaluación ......................................................................................................................................

15 15

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los teoremas del cálculo vectorial........................

16

Autorreflexiones ....................................................................................................................................

17

Cierre de la unidad ................................................................................................................................

17


2

Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Para saber más.......................................................................................................................................

17

Referencias Bibliográficas ..................................................................................................................

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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Unidad 3. Teoremas del Cálculo Vectorial Presentación de la unidad En esta unidad, se estudian los teoremas más importantes del cálculo de varias variables (Green, Stokes, Divergencia o Gauss), para que determines cuál usar en problemas relacionados con la circulación de campos vectoriales (rotacional), flujo de un campo vectorial (divergencia), conversión de una integral doble sobre una región encerrada en una trayectoria etc. A lo largo de la unidad, se presentarán en fondo color rosa las definiciones, teoremas y propiedades y en fondo verde los ejemplos.

Propósitos de la unidad Aplicar los teoremas del cálculo de varias variables (Green, Stokes y Gauss), para resolver problemas específicos.

Competencia específica Utilizar los teoremas de Green, Stokes y de Gauss para resolver problemas de trayectorias, superficies y cuerpos sólidos mediante funciones de varias variables

3.1 Teorema de Green para superficies planas El teorema de Green estudia la circulación (con dirección positiva o negativa) de un flujo sobre una región específica. En la práctica el teorema se aplica a cierto tipo de integrales para facilitar su cálculo con integrales dobles. El teorema de Green se aplica a curvas cerradas simples sobre una región que sean superficies planas.



, de ahí

En los siguientes subtemas se analizarán los casos en que se aplica el teorema de Green.

3.1.1. Teorema de Green en rectángulos y regiones especiales Algunas curvas están formadas a su vez por más curvas, esto ocurre cuando el campo o función sobre la que se trabaja presenta algún tipo de discontinuidad, o su derivada primera es cero. Por ello es necesario establecer un criterio para resolver este tipo de integrales.


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Teorema:



 

 

Sea una curva simple cerrada, que se corta a lo más en dos puntos; la región formada por las funciones continuas, con derivadas parciales continuas sobre la siguiente igualad es válida.

  ∮      

está . Entonces

Este resultado es conocido o nombrado por algunos autores como la forma tangente del teorema de Green.

Ejemplo:

 



Aplique el teorema de Green para obtener el flujo del campo , sobre el cuadrado de lado

Solución:

con dirección positiva.

Analiza la información que tienes. El cuadrado de lado uno tiene los puntos de intersección entre sus paralelas con el siguiente orden (hay que establecer uno si no lo indican en el ejercicio): al ; del al ; del al ; del al . La figura 1 te dará una mejor idea.

        ∬   ∫ ∫  

Es una región rectangular donde se aplica la forma:

Fig. 1

             Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

5






El primer ejercicio nos muestra una forma de aplicar el teorema de Green, cuando existe una región del tipo II, que consta de dos funciones sobre el eje , tal que el eje permanece constante (líneas rectas).

Ejemplo: Calcula la integral

∫     

, que se encuentra sobre la región comprendida entre las

semicircunferencias

Solución:

(en el primer y segundo cuadrante).

Identifica la región a integral como lo muestra la figura 2.

Figura 2. El teorema de Green nos proporciona la siguiente integral a resolver:

                   √    (√√ )  (√  √)    √     (√√ )

Identifica quién es Calcula

. En este caso

.

. Realiza el cambio a coordenadas polares (¡No olvides escribir el

Jacobiano!).


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial 3.1.2. Teorema de Green aplicado a campos vectoriales (planos) Aunque se ha estado trabajando sobre campos vectoriales, el teorema de Green se aplica sobre la divergencia y la rotacional en el plano.

Teorema:

 

      

Sea campo vectorial continuo sobre positivamente, entonces

, la curva

 

orientada

         ∬                              [][] * Se refiere a la frontera de . Ejemplo:

Sea el campo vectorial . Calcule

sobre la región comprendida entre

.

Solución:

Obtén los límites de integración de la región: Igualando las ecuaciones sólo en los puntos

, por lo tanto los límites quedan:

Ahora calcula el rotacional del campo vectorial, entonces

.

Plantea la integral a resolver:

Teorema: Sea

campo vectorial continuo sobre

curva orientada positiva

, la norma

, cuya parametrización es de la forma

de la

.

Entonces el teorema de Green para la divergencia en el plano es:



* Se refiere a la frontera de .

    


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Ejemplo: Calcula la integral

Solución: Primero se calcula

∬           , si el campo

sobre el cilindro unitario.

, en este caso ya que la divergencia del campo

es 0, entonces la integral a calcular es la integral 0, por lo tanto:

3.1.3. Teorema de Green aplicado a integrales de línea El teorema de Green facilita el cálculo de algunas curvas que se forman por varias curvas, el teorema de Green aplicado a integrales de línea se escribe a continuación:

Teorema:





            ∫   

Para una curva simple cerrada (continua por segmentos) con orientación positiva, y la región tal que limita a la curva. Las funciones continuacon derivadas parciales continuas sobre . Entonces la siguiente igualdad es válida:

Ejemplo:

Calcula la integral puntos

de orientación positiva sobre el triángulo formado por los

.


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Solución: Calcula primero las derivadas parciales con respecto a cada función y sustituye como te indica el teorema de Green.

        

Actividad 1. Teorema de Green Al finalizar esta actividad, podrás utilizar las propiedades y aplicaciones del Teorema de Green. Instrucciones:

1. Describe con tus propias palabras y de acuerdo a lo revisado en el tema anterior el Teorema de Green

2. Proporciona ejemplos de aplicaciones donde se utilice el teorema de Green. 3. Ingresa al Foro, y plantea por lo menos dos ejemplos 4. Revisa dos ejemplos de tus compañeros (as) aceptando o rechazando sus propuestas. 5. Revisa la rúbrica de participación de foros ubicada en la pestaña de material de apoyo.

3.2 Teorema de Stokes





El teorema de Stokes es una generalización del teorema de Green, es decir con Green se trabaja sobre dominios que son subconjuntos de y con Stokes con subconjuntos de .

3.2.1. Teorema de Stokes El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie (de una superficie) con una integral de línea (la frontera de alguna superficie). A continuación se presentan algunos resultados importantes del uso de dicho teorema.

3.2.2. Teorema de Stokes aplicado a gráficas y superficies Aplicaremos el teorema de Stokes a las integrales triples tales que:


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    .

Ahora el espacio vectorial se escribirá

Tal que los



,

son continuas con primera derivada parcial continua.

Definición:

El rotacional de un campo vectorial es:

                               ∫                  Teorema:

Sea superficie orientada, cuya función continuas tal que ; el campo vectorial parciales continuas .Entonces, si

es la frontera de

continua, con derivadas segundas continuo, son primeras derivadas

, se cumple la siguiente igualdad:

Ejemplo:

Evalúa la integral

usando el teorema de Stokes, sobre

y

.

Solución:


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial 3.2.3. Densidad de la circulación (rotacional) La densidad de la circulación, se refiere a la cantidad de movimiento que realiza un flujo sobre alguna región.

Teorema:



       

Para una superficie orientada parametrizada , y el campo vectorial

uno a uno, tal que

.La frontera

continuo, con primeras derivadas parciales continuas.

Entonces la siguiente igualdad es válida:

Dentro de la bibliografía se usa el término para un fluido.

Definición: Sea



una curva cerrada orientada,





para representar un campo vectorial de velocidad

un campo vectorial continuo, entonces la integral de línea

    

Observación: sigue teniendo el mismo significado que se ha usado, es un vector tangente unitario.

Ejemplo:

                                                 | |√   | |  √  

Se tiene el campo vectorial de velocidad la superficie , cortado por el plano . Primero parametriza el cilindro , usando coordenadas polares.

, alrededor de

tal que

Calcula


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   √     √   √  

3.2.4. Campos conservativos Los campos conservativos tienen la particularidad de informar cuándo un campo vectorial no depende de la trayectoria de la curva sobre la que actúa.

Teorema:

 ∫   

Sea un campo vectorial continuo con derivadas de primer orden continuas sobre una región donde se puede trazar una recta de un punto a otro, sin salirse de dicha región. Si la integral de línea es independiente de la trayectoria sobre su dominio, entonces es un campo

     

conservativo, es decir, existe una función tal que

Teorema: Si



es un campo conservativo, entonces para

.



se cumple que:

Ejemplo: Demuestre que el campo vectorial Aplica el teorema y obtén:

  (√ )     

es conservativo

Los cuales son iguales, por lo tanto, el campo es conservativo.


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Actividad 2. Aplicaciones de los teoremas de Green y Stokes Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de resolver problemas y analizar las diferencias entre las integrales de línea y superficie. 1. Descarga el archivo “ Act. 2. Aplicaciones de los teoremas de Green y Stokes” ” 2. Resuelve correctamente los problemas de integrales (de línea y Campos vectoriales) 3. Proporciona las gráficas de las superficies que vas a integrar 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

3.3 Teorema de la Divergencia (Gauss) El teorema de Gauss, se utiliza para resolver integrales triples sobre regiones de los tipos I,II y III, la aplicación física se refiere al flujo externo (hacia fuera) que ejerce un campo vectorial sobre alguna superficie. *Algunos autores lo nombran Teorema de Ostrogradsky.

3.3.1. Teorema de la Divergencia de Gauss Toda la teoría vista durante la asignatura se resume en el siguiente resultado:

Teorema:









Sea una región tipo I, II ó III, simétrica en ; su frontera (superficie cerrada orientada); el campo vectorial continuo, con derivadas parciales continuas. Entonces se cumple la siguiente igualdad.

Ejemplo: Se tiene el campo

∭              , sobre el cilindro


,

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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Calcula la integral usando el Teorema de Gauss:

Solución:

       ∭      

En la , se aplica el teorema de Gauss, y se usan coordenadas polares para resolverla, es mejor aplicar la integral a la frontera de .

3.3.2. Teorema de la Ley de Gauss La ley de Gauss nos ayuda a calcular el flujo total que sale o entra de una cierta región.

Teorema:

     ||        {   Para una región

del tipo I, II ó III, simétrica sobre , cuya norma se escribe.

Entonces

tal que

, la parametrización

, se tiene el siguiente resultado.

Ejemplo:

Una de las aplicaciones de la Ley de Gauss es el potencial sobre una carga eléctrica en el origen. En este caso, el potencial es la función y la divergencia



  

, el campo vectorial

  

,

, lo que implica una distribución constante de carga eléctrica.

Aplicando la ley de Gauss y después el teorema de Gauss, se obtiene que:



 ∭ 

La carga es indica que el flujo eléctrico que va hacia afuera de la superficie es igual a la carga que está dentro.


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial Actividad 3. Teorema de Gauss y ley de Gauss Al finalizar esta actividad, podrás aplicar el teorema de Gauss y sus aplicaciones.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “ Act. 3. Teorema de Gauss y ley de Gauss” 2. Resuelve los problemas que se indican dentro del documento 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U3_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

Autoevaluación Es momento de realizar la Autoevaluación de la unidad, la cual te permitirá revisar el nivel de conocimiento que has adquirido.

Instrucciones: Elige la respuesta correcta que corresponde a la pregunta planteada, recuerda que debes realizar los procesos para poder determinar el resultado acertado.. 1. Es el valor del flujo que ejerce el campo unitario. a)

 

   

, sobre el cubo

b) 2 c) d) 1

   ∬             ∬    

2. Evalúa la integral el cilindro a) b) c) d)

3. Evalúa la integral

. El campo

que es cortado por el plano

, donde el campo vectorial

se encuentra sobre la esfera unitaria. a) b) c)

      

, la superficie es

.

      


,

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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial d)



4. ¿El campo vectorial es conservativo

√√  

  √    √                 a) Sí, porqué

=

b) Sí, porqué

=

c) No, porqué d) No, porqué

?

=

=

5. Aplica el teorema de la Divergencia para resolver la integral ;

∬

del campo

a) b) c) d)

Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento Respuestas_autoevaluación_U3 , ubicado en la pestaña Material de Apoyo de la unidad

RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro del contenido de la Unidad, ¡Sigue adelante!.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los teoremas del cálculo vectorial A través de esta actividad aplicarás los conocimientos adquiridos sobre teoremas del cálculo vectorial para resolver problemas de aplicación.

Instrucciones: 1. Descarga el siguiente documento “ EA. Aplicaciones de los teoremas del cálculo vectorial” 2. Resuelve los ejercicios que ahí se plantean

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U3_EA_XXYZ y sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido


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Cálculo de varias variables II Unidad 3. Teoremas del Cálculo vectorial paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final

Cierre de la unidad Ahora tienes más herramientas de cálculo integral en varias variables para seguir aprendiendo. ¡Felicidades! Has concluido una asignatura más de tu Licenciatura con éxito..

Para saber más Revisa los ejercicios de este link para practicar los contenidos vistos en la unidad. Ejercicios sobre el teorema de Green http://galia.fc.uaslp.mx/~jvallejo/integrales_linea.pdf Ejercicios sobre el teorema de Stokes http://assig-camins.upc.es/camins/am/problemas/inicio.pdf

Referencias Bibliográficas Stewart, J. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas . México D.F. .Cengage Learning. Marsden, J. E. (2011). Cálculo vectorial . México D.F.. Pearson. Piskunov, N. (2008). Cálculo diferencial e integral . México. Limusa


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