DEFINICIÓN DEL CÁLCULO VECTORIAL El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo) vectorial. Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar. Laplaciano La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.
Todos hemos oído hablar de que los juegos de ordenador, las nuevas películas animadas, etc. están hechos con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación están presentes los vectores, estos también rigen la navegación aérea, el desplazamiento de los barcos, y en general la mecánica, sabemos que ciertas magnitudes como la velocidad, la aceleración, la fuerza, no están completamente definidas indicando su valor numérico, sino que para que queden determinadas necesitan indicar en que dirección se ejercen y en que sentido, es decir, necesitan del cálculo vectorial.
Mijangos Zamudio Hector Ramon
Aplicaciones del análisis vectorial. El campo de aplicación de los vectores se extiende a toda la Física matemática. Así, por. ejemplo., la teoría del potencial es de gran utilidad en los problemas de determinación de campos derivados de una función potencial, como sucede con los campos electromagnético y gravitatorio. Por otra parte, hay fenómenos, como la propagación del calor o de una onda, caracterizados por estar descritos en función de una ecuación diferencial típica (del tipo de Poisson o de Laplace), que se resuelven con ayuda de la teoría del potencial en los casos en que ello es posible, por las condiciones de contorno establecidas. En éstos y otros muchos casos, el papel desempeñado por los métodos propios del cálculo vectorial le dan a éste una singular importancia, hasta el punto de hacerle imprescindible.
Principio de Cauchy Sea
un medio continuo deformado, entonces en cada subdominio
campo vectorial , llamado campo de tensiones, tal que las fuerzas de volumen campo de tensiones satisfacen las siguientes ecuaciones de equilibrio:
existe un y el
Aplicación del Calculo Vectorial En la industria El Cálculo es una herramienta fundamental para muchos temas de estudio de un ingeniero, ya que permite modelar matemáticamente situaciones reales como por ejemplo con aplicación a la industria. De esta manera una aplicación, por ejemplo en el campo de Ingeniería Electrónica, aplicado a la industria es lo que respecta a fasores y al comportamiento de una señal eléctrica; así un fasor representa la magnitud y el desfase de un ángulo entre dos señales y esté presta un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales en AC (corriente alterna). El fasor se relaciona con los vectores, solo que se llama fasor en lugar de vector, porque se basa mas en el tiempo que en el espacio y éste se puede representar en forma exponencial, polar o rectangular, así se puede aplicar en un circuito en el cual se busca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientes corresponden a una función seno y tienen la misma frecuencia. La representación fasorial es una transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Mijangos Zamudio Hector Ramon
Podemos ver que esto se relaciona directamente con el cálculo ya que un fasor es un vector que es utilizado para representar una onda de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas. Así como se mencionaba antes aplicado a la Electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis de circuitos en AC. Los fasores se usan para resolver problemas tal como, si existen varias ondas de frecuencia similar pero cada una de ellas tienen fases y amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, lo que se pregunta es què puedo hacer yo para solucionar esto y la respuesta es básicamente dibujar un fasor para cada una de las ondas y después aplicar la suma de vectores sobre ellos, así la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia, permite leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante. Lo que se mencionaba anteriormente respecto a que lo que se trabaja en fasores es basado en el dominio de la frecuencia y no en la del tiempo se puede ver así: V (t) =Vmcos (wt+b) Lo anterior es la representación en el dominio del tiempo, ahora bien, lo que se trabaja como ya se ha mencionado varias veces, es la representación en el dominio fasorial trabajando con la frecuencia y esto es: V=Vm/b
Ingeniería civil En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente. El cálculo vectorial también es muy utilizado en el cálculo de estructuras de edificios (y de máquinas). Tensión de cables Fuerza y dirección del viento Trayectorias de movimiento de objetos y choques entre ellos Fuerzas eléctricas en conductores Sustentación de aviones Flujo y corrientes de fluidos
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Aplicaciones del cálculo a la economía En economía podemos ver algunas aplicaciones del cálculo vectorial, un ejemplo de esto es como maximizar las utilidades con la utilización de máximos y mínimos así como de derivadas parciales.
Construcción de una carretera Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor. Una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal. En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transición, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer un especial énfasis en las curvas de transición, es decir, con curvatura variable. Función: El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda la carretera. Forma y características: En la mayoría de los casos, la curva más aceptada para el diseño de carreteras es la clotoide. Esta curva se representa por la ecuación:
Donde: R es el radio de la curvatura en cualquier punto. L es la longitud de la curva desde su punto de inflexión y el punto de radio R. A es el parámetro de la clotoide, este es característico de la clotoide. El punto de inflexión de la curvatura se halla en el momento en que el radio es infinito. Mijangos Zamudio Hector Ramon
Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son: Ro es el radio de la curva circular contigua a la clotoide. Lo es la longitud total de la curva de transición. ΔRo es el retranqueo de la curva circular.
Xo, Yo son las coordenadas del punto de unión de la clotoide y de la curva circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexión. Xm, Ym son las coordenadas de la curva circular (retranqueada) respecto a los mismos ejes. αL es el ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con la tangente en
un punto de la clotoide. En radianes, este ángulo es = L/2*R. En grados, este ángulo es = 31.83*L/R. αLo es el ángulo de desviación en el punto de tangencia con la curva circular. Ω es el ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de
inflexión. V es el vértice o punto de intersección de las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión. T es la tangente o distancia entre el vértice y el punto de inflexión de la clotoide. B es la bisectriz o distancia entre el vértice y la curva circular. El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad.
Bibliografía: 1) Fundamentos de circuitos eléctricos Charles K.Alexander; Mathew N.O.Sadiku Tercera edición. 2) Circuitos Eléctricos Dorf Sbovoda Sexta edición. http://filemon.upct.es/~pepemar/mateprimero/vectores/index.htm http://calculovectorialindustria.blogspot.com/ http://www.canalsocial.net/ger/ficha_GER.asp?id=9599&cat=matematicas http://www.cyberax.eu/book/241456/aplicaciones-del-calculo-vectorial-a-la-economia
Mijangos Zamudio Hector Ramon
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ
Especialidad: Ingeniería Mecánica
Tema: Aplicación del cálculo vectorial Tarea #1 Alumno: Mijangos Zamudio Héctor Ramón
Profesor: Ing. María del Carmen Nolasco Mata
Semestre: Tercero
Fecha: septiembre del 2011
Mijangos Zamudio Hector Ramon
