UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
Algebra vectorial
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Producto escalar
Operaciones:
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Producto vectorial
Aplicaciones
VECTORES
Definición
Magnitudes vectoriales
Fuerzas Elementos
Momentos
CURSO: ESTÁTICA Módulo
SESIÓN 2: ÁLGEBRA VECTORIAL Fuerzas coplanares espac!ales espac!al espac!ales es Fuerzas coplanares
Velocidad, etc
Dirección: i, j, k 1
α, β, γ
Sentido:
s e r a n a l p o C
s e l a n o i s n e m i d i r T
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II. VECTORES Y ESCALARES
I. INTRODUCCIÓN • Par Parte te de la matem atemát átic icaa útil útil para para fís físicos icos,, matemáticos, ingenieros y técnicos. • Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones físicas.
1. ESCALARE ESCALARES: S: Se represe representan ntan por un número número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: VECTORES: Para expresarse expresarse necesitan de un módulo, dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENS TENSO ORIA RIALES: LES: Aquel quella lass que que tien tienee una una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión.
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III. VECTOR
Elementos de un vector
• Definición Definición y representac representación. ión.
1. Dirección: Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos
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IV. Algebra vectorial
Elementos de un vector 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.
3. Módulo: Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta
Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir: 1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto
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Algebra vectorial: Suma vectorial
Algebra vectorial: Resta vectorial
•
Considere dos vectores A y B como se muestra.
•
El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos-
•
•
Considere dos vectores A y B como se muestra.
•
El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . La magnitud del vector diferencia D es
•
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Leyes del algebra vectorial
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Suma de varios vectores
1. Conmutatividad.
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono (aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo)
2. Asociatividad
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SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio. EN EL PLANO
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Ejemplo
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Graficar las siguientes fuerzas: 2̂ 2 ̂ 3̂ 2̂ 4 ̂ 3̂ 3 7̂ 2̂ 3 3̂ 5̂ 4
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Ejemplo
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Ejemplo
Encontrar el módulo y el vector unitario correspondiente a las siguientes fuerzas:
Encontrar la dirección de las fuerzas y comprobar que: α+ β+ ϴ=1
2̂ 2 ̂ 3̂ 2̂ 4 ̂ 3̂ 3 7̂ 2̂ 3 3̂ 5̂ 4
3̂ 2̂ 4 ̂ 3̂ 3 7̂ 2̂ 3 3̂ 5̂ 4
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Ejemplo
Ejemplo
La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema
2.1 Determine la magnitud de la fuerza resultante FR=F1+F2, así como su dirección, medida en sentido contraria a las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
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Ejemplo
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Ejemplo
2.3 Determine la magnitud de la fuerza resultante FR=F1+F2, así como su dirección, medida en sentido contraria a las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
2.10 La fuerza de 500N actúa hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de F dirigidas a lo largo de las barras AB y AC.
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Ejemplo
Ejemplo
2.13 La fuerza de 500lb que actúa sobre la estructura debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la componente de fuerza a lo largo de AC debe ser de 300lb. Determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500lb
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2.24 Resuelva la fuerza 50 lb en componentes que actúen a lo largo (a) de los ejes x y y, y (b) a lo largo de los ejes x y y’.
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Ejemplo
Ejemplo
2.28 La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB mínima. FA actúa a 30°desde el eje y como se muestra
2.30 Tres cables jalan el tubo generando una fuerza resultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determina la dirección θ del tercer cable de manera que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de la dos fuerzas conocidas.
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Ejemplo
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Ejemplo
2.31 Determine las componentes x y y de la fuerza d 800 lb.
2.32 Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida ésta en el sentido de las manecillas del reloj el eje x positivo.
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Ejemplo
Ejemplo
2.34 Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida esta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
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2.40 Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección media en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo
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Ejemplo
Ejemplo
2.46 Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección con respecto al eje x positivo y en sentido contrario a las manecillas del reloj.
2.48 Si θ = 60° y F : 20 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
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Ejemplo
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
2.52 Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre la amella roscada producen una fuerza resultante FR=0. Si F2= 2/3 F1 y F1 debe estar 90° de F2 como se muestra , determine la magnitud requerida de F3 expresada en términos F1 y del ángulo θ.
En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes
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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
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VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su módulo correspondiente es decir
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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
VECTORES CARTESIANOS
+ ̂ + Fcos!̂+" ̂ +Fcos # F(cos!+" ̂ +cos # Componentes rectangulares
F$ ̂ 37
Ejemplo
Vectores unitarios cartesianos
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Ejemplo
2.75 El poste está sometido a la fuerza F que tiene componentes Fx=1.5kN y Fz=1.25kN, si β = 75°, determine las magnitudes de F y Fy
2.79 El perno está sometido a la Fuerza F cuyas componentes a lo largo de los ejes x, y, z como se muestra. Si F=80N, α =60°y %=45&, determine las magnitudes de las componentes.
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Ejemplo
2.80 Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre el perno si la fuerza resultante FR tiene una magnitud de 50 lb y los ángulos coordenados de dirección α= 110°y β = 80°, como se muestra, determine la magnitud de F2 y sus ángulos coordenados de dirección .
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VECTORES DE POSICIÓN
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VECTORES DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
VECTORES DE POSICIÓN
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Ejemplo
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Ejemplo 2.84 Exprese el vector de posición r en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus ángulos coordenado de dirección
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Ejemplo
Ejemplo
2.85 Exprese el vector de posición r en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus ángulos coordenado de dirección
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2.86 Exprese la fuerza F como un vector cartesiano luego determine los ángulos coordenados de su dirección.
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Ejemplo
Ejemplo
2.87 Determina la longitud de la barra AB de la armadura estableciendo primero un vector cartesiano de posición de A a B y entonces calcule su magnitud.
2.91 Determine las longitudes de los alambres AD, BD y CD. El anillo en D esta a la mitad de la distancia entre A y B
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Ejemplo
Ejemplo
2.92 Exprese la fuerza F como un vector cartesiano: luego determine sus ángulos coordenado de dirección.
2.94 Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante que actúa en el punto A.
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Ejemplo
2.98 Las retenidas de alambre se usan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en a alambre en forma vectorial cartesiana.
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Ejemplo 2.106 La torre es sostenida por tres cables. Si las fuerzas en cada cable son las mostradas, determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección α, β, % de la fuerza resultante. Considere x=20m, y=15m.
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Propiedades del producto escalar
PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.
1. El producto escalar es conmutativo 2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector 55
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Propiedades del producto escalar
Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos
5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares
6. Producto escalar de dos vectores
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Ejemplo
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Ejemplo
Comprobar cuál de las siguientes fuerzas son paralelas
2.110 Determine el ángulo θ entre las colas de los dos vectores
3̂ 2 ̂ '̂ 4 ̂ 3̂ 2 ̂ 3̂ 2 ̂
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Ejemplo
Ejemplo
2.113 Determine el ángulo θ entre el eje y de la barra y el alambre AB
2.114 La fuerza F=(25i-50j+10k)N actúa en el extremo A de la tubería. Determine la magnitud de las componentes F1 y F2 que actúan a lo largo del eje AB y perpendicular a él.
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Ejemplo
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Ejemplo
2.116 Determine la longitud del lado BC de la placa triangular. Resuelva el problema encontrando la magnitud r ; entonces verifique el resultado encontrando primero θ, rAB y r AC y luego use la ley de los cosenos. BC
2.118 Determine las componentes de F que actúan a lo largo de la barra AC y perpendicularmente a ella. El punto B está localizado a 3m a lo largo de la barra desde el extremo C.
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Ejemplo
Ejemplo
2.119 La abrazadera se usa sobre un gálibo. Si la fuerza vertical que actúa sobre el perno es F=(-500k)N, determine las magnitudes de las componentes F1 y F2 que actúan a lo largo del eje OA y perpendicularmente a él.
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2.120 Determine la proyección de la fuerza F a lo largo del poste.
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PRODUCTO VECTORIAL
REGLA DE LA MANO DERECHA
El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es
Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA L 1. El producto vectorial no es conmutativo
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA L 5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
6. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.
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Ejemplo
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Ejemplo Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella
Comprobar cual de las siguientes fuerzas son perpendiculares: 3̂ 2̂ ( ̂ 3̂ 3 7̂ 2̂ ()3 3̂ 5̂ (*
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