Descripción: plano viga, estructura, diseño flexion compresion, calculo
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04 - Elementos de finitos de flexión de vigas Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales
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Contenido ●
Viga de Euler-Bernoulli
●
Viga de Timoshenko –
Problema del bloqueo de por cortante (shear locking)
–
Integración reducida
–
Imposición del campo de deformación por cortante
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Teoría de Euler-Bernoulli ●
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Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero). Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación. 3
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Campo de desplazamientos De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
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Campo de deformaciones
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Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene: siendo los otros esfuerzos nulos.
Momento flector
Observe que aquí el momento negativo produce tracción en la fibra superior
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Momento flector
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Sentidos positivos de la carga
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PTV para vigas
+ + 11
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+
+
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Ecuaciones diferenciales de la viga de Euler-Bernoulli + -q q es positiva hacia arriba
+ Aquí se hace la sumatoria de momentos
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Elemento finito hermítico de dos nodos
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O sea:
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Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite
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Curvatura en el punto de coordenada ξ
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+
+
Esta matriz coincide con aquella obtenida por los métodos vistos en Estructuras III
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+ positivo hacia arriba
+
+
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f
positivo hacia arriba
+
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EJEMPLO
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
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flectores
Repaso de mínimos cuadrados
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
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Propiedad de las raíces del polinomio de Legendre Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mínimos cuadrados del anterior. Ambos polinomios se intersectan en la ubicación de las raíces del polinomio de Legendre de orden n
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Cuadraturas de Gauss Legendre
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Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones
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Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
flectores
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La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko aproxima mejor la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto que la teoría de EulerBernoulli. A medida que la relación longitud/altura disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la deformación.
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La viga de Timoshenko ●
●
●
Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2). Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas pero no necesariamente ortogonales a 40 dicho eje después de la deformación.
La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir 41 considerándose plana.
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Campo de desplazamientos De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
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Campo de deformaciones
Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el44 efecto de la deformación angular
Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ pero uno diferente de cero en G se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
Fuerza cortante y momento flector Un momento negativo produce tracción en la fibra superior
-
-
-
Fuerza cortante y momento flector
-
-
Principio de los trabajos virtuales +
+
La energía virtual interna se puede expresar como:
-
Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de elementos finitos de clase C0
Elementos finitos de dos nodos para la flexión de vigas de Timoshenko
Integración exacta de las matrices de rigidez
Integración con cuadraturas de GaussLegendre y singularidad de la matriz K
La técnica de integración reducida
Integración reducida de las matrices de rigidez de cortante Integración exacta con 1 punto de GL
Integración reducida (1p GL)
Integración reducida con un punto de GL
Integración exacta (2p GL)
NO USAR
EJEMPLO K exacta
Kf Kc
Ejemplo EulerBernoulli vs Timoshenko
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=0.01m
Shear locking Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.01m
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=0.4m
Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.4m
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=2.0m
Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=2.0m
Elemento de viga de Timoshenko cuadrático
Cálculo de la curvatura
Cálculo de la deformación por cortante
Matrices de rigidez para el elemento de viga de Timoshenko de tres nodos obtenidas con una cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos
