RESMAT Momento de Inércia

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CAPÍTULO VI 6.1- MOMENTO MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA ÁREA – CENTRÓIDE DE DE UMA ÁREA Dois conceitos fundamentais para a resistência dos materiais, e para as engenharias de maneira geral, são os de momento estático e centróide de uma área . Esses conceitos são amplamente utilizados no estudo de elementos sujeitos à flexão, sendo definidos a seguir: •

•

Momento estático – estático – O momento estático de um elemento de superfície, em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pelo sua distancia ao eixo dado; Centróide ou centro de gravidade – gravidade – O centróide de uma superfície é o ponto por onde passam todas as retas do plano da superfície, em relação as quais é nulo o momento estático.

Analisando sob o aspecto do equilíbrio, o centróide da área A é definido como o ponto C de coordenadas x e y (figura abaixo) que satisfazem as relações:

Figura 18 – Centróide de uma área A qualquer. ��

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Para a maioria dos problemas práticos de resistência dos materiais e engenharia, o calculo da área pode ser feito utilizando-se uma decomposição da área total A, para áreas menores compostas por figuras conhecidas, dispensando-se a necessidade de integração. Assim, o momento Q estático estático de uma área será dado por:

Quando houver dois eixos de simetria, como por exemplo, num circulo e num retângulo, o centróide coincidira com o centro geométrico da figura. Como exemplos são apresentadas as figuras abaixo:

Figura 19 – Centróide coincidindo com o centro geométrico. As coordenadas do centróide de algumas figuras são apresentadas na tabela a seguir:

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6.2- MOMENTO ESTÁTICO E CENTRÓIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA Para encontrar-se o momento estático de uma área composta por várias figuras geométricas simples, basta somar-se o momento estático de todas as figuras compõe a área principal (figura abaixo).

Figura 20 – Centróide de uma área composta. ��

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O momento estático Qx de uma área em relação ao eixo x é representado pela integral ydA, estendida a toda a área A. Se a área A for dividida nas partes A1, A2 , A3 , pode-se escrever:

Como a maioria das figuras a serem trabalhadas nesta matéria possuem uma área de fácil determinação, determinação, pode ser ser utilizada a seguinte expressão, expressão, onde está dispensado o uso da integral.

Onde y1, y2, y3, são as ordenadas dos centróides de cada área resultante da divisão da figura. Estendendo esse resultado para uma divisão em um número qualquer de partes, pode-se escrever para Qx e e Qy : :

Para determinação das coordenadas X e Y do centróide C de uma área composta A, utiliza-se a expressão a seguir:

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Exercício Resolvido Determinar o centróide C da figura a seguir:

Para facilitar deve-se adotar o eixo y sobre o eixo de simetria da figura. Tem-se então X = 0, devendo-se calcular apenas Y. A orientação dos eixos é apresentada na figura a seguir:

Dividindo-se A nas partes A1 e A2 utiliza-se a última equação da página 56 para determinar-se a ordenada Y do centróide. O cálculo se simplifica se for feita uma tabela, conforme abaixo:

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7ª LISTA DE EXERCÍCIOS Lembretes:

7.1- Determinar a distância c do do centroide da figura abaixo: Dados: b = = 10cm; e = = 2,5cm; h = = 20cm; h 1 = 17,5cm.

7.2 – Determinar a coordenada y do do centróide da seção abaixo:

RESPOSTAS: 7.1 – c = = 7,61 cm 7.2 – y = = 2,35 cm.

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6.3- MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA Considerando-se uma área A situada no plano xy (figura abaixo), e o elemento de área dA de coordenadas x e y . O momento de inércia da área A em relação ao eixo x e o momento de inércia de A em relação ao eixo y são definidos, respectivamente, como:

As integrais apresentadas acima são chamadas momentos de inércia retangulares, uma vez que são calculadas pelas coordenadas retangulares do elemento dA. Cada uma dessas integrais é, na verdade, uma integral dupla. Em muitas aplicações, no entanto, é possível reduzir o problema ao cálculo de uma integral em uma variável, escolhendo para dA elementos na forma de faixas horizontais ou verticais. Se houver necessidade da utilização de coordenadas polares (por exemplo, para o cálculo de eixos circulares), torna-se necessária a utilização do momento de inércia polar (J o o) da área A em relação ao ponto O . Definido como a integral:

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Onde ρ é a distância de O ao elemento dA (figura abaixo). A integral anterior pode ser reduzida a uma integral em uma variável, no caso de uma área circular, se escolhermos os elementos de área na forma de anéis circulares.

É importante ressaltar que os momentos de inércia de uma área são grandezas positivas. No Sistema Internacional de Unidades (SI), são usualmente expressos em m4 ou mm4. Pode-se estabelecer uma relação entre o momento de inércia polar J o o e os momentos de inércia retangulares I x x e I y y, dada pela expressão a seguir:

Para o cálculo do momento de inércia da maioria das áreas a serem utilizadas na resistência dos materiais, torna-se necessária a utilização de mais um conceito que é o do teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner.

6.4- TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS – TEOREMA DE STEINER Considerando-se o momento de inércia I x x de de uma área A em relação a um eixo x arbitrário (figura a seguir). Chamando-se de y a distância de um elemento de área dA até esse eixo, tem-se que: �0

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Desenhando-se o eixo centroidal x’ , ou seja, o eixo paralelo ao eixo x que passa pelo centróide C da da área. A distância do elemento dA até o eixo será chamada de y’ , e tem-se y = y’ + d , onde d é é a distância entre os dois eixos. Substituindo-se o valor de y na na integral I x x, encontra-se:

A primeira integral a equação acima representa o momento de inércia I x da área em relação ao eixo centroidal x ’.’. A segunda integral representa o momento estático Q x x , da área em relaçao ao eixo x ’.’. Esse momento estático é nulo, uma vez que o eixo x ’ passa pelo centróide C . A terceira integral da equação é igual a área total A. dessa forma tem-se:

Essa é a fórmula usual na resistência dos materiais, e indica que o momento de inércia I x x de de uma área em relação a um eixo arbitrário x é é igual ao momento de inércia I x x, da área em relação ao eixo centroidal x ’ paralelo ao eixo x , somado ao produto Ad² da área. Esse conceito é o chamado teorema de Steiner.

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Exercício Resolvido

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SOLUÇÃO:

: Logo, os momentos de inércia para a seção inteira serão :

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CAPÍTULO VII 7.1- FLEXÃO EM VIGAS Para estudar-se o comportamento à flexão de vigas supõe-se que as forças, ou binários, estejam num plano que contenha o eixo da barra. Consideram-se forças perpendiculares ao eixo e o plano que contem essas forças é, por hipótese, um plano de simetria da viga.

7.1.1- Tipos de flexão Quando só atua momento fletor, nas seções transversais, diz-se que a viga é solicitada por flexão pura. Por exemplo, na viga da figura abaixo a parte central (compreendida entre as duas cargas P ) está solicitada por flexão. Chama-se de flexão simples quando as seções da viga são solicitadas, simultaneamente, por momento fletor e força cortante.

No caso de flexão pura, só ocorrem tensões normais nas seções transversais. Na flexão simples, as tensões normais aparecem simultaneamente com as tensões tangenciais ou de cisalhamento.

7.1.2- Comportamento de uma viga sujeita a carregamento Para entender-se o comportamento de uma viga sujeita a um carregamento transversal, deve-se imaginar que a mesma seja composta por um número infinito e fibras longitudinais. Sendo assim, após a aplicação do carregamento a viga fletirá, encurvando-se para baixo (figura a seguir). Com ��

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isso as fibras na parte superior se encurtarão (compressão); enquanto enquanto as da parte inferior se alongarão (tração).

As variações de comprimento dão origem a tensões normais nas fibras. Aquelas que se alongam estão submetidas à tensões de tração, paralelas ao eixo da viga; aquelas que se encurtam estão submetidas a tensões de compressão. Ao conjunto de fibras que não estão submetidas à tração ou compressão é dado o nome de superfície neutra da viga ou plano neutro (figura a). A interseção do plano neutro com a seção transversal considerada recebe o nome de linha neutra ou eixo neutro (figura b).

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7.1.3- Tensões normais nas vigas Numa viga em que a seção transversal contém um eixo de simetria, e está submetida à ação do momento fletor M a a tensão que atua na fibra, a uma distância y da da linha neutra é dada por:

Onde: σ é

a tensão normal no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção

transversal afastado y do do eixo neutro; M é é o

momento interno resultante determinado pelas equações de equilíbrio;

é o momento de inércia da área da seção transversal, calculado entorno do é

I

eixo neutro; y é

a distância perpendicular do eixo neutro a um ponto qualquer da seção, distante y do do mesmo (figura abaixo).

Observe que o sinal negativo da expressão acima é necessário, já que está de acordo com os eixos x , y e z definidos. definidos. Pela chamada “regra da mão direita ”, ”, M é é

positivo ao longo do eixo z , y é é positivo para cima e, portanto,

σ

deve ser negativa (compressão), uma vez que age na direção negativa de x . Se for necessário obterem-se as tensões máximas (bordos superior e inferior da viga), será utilizada a distância c . Esta distância representa a medida entre as fibras mais tracionadas t racionadas ou comprimidas e a linha neutra (figura (f igura a seguir), e é dada por: ��

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Na equação acima é possível observar que a relação I / / c só só depende da geometria da seção transversal. Essa relação é chamada de módulo ou momento resistente e e é expressa pela letra W . Tem-se que: resistente ou W = I / / c

Substituindo W por I / c na equação abaixo, pode-se escrever essa relação de uma outra forma:

Esta expressão é apresentada em diversos livros de resistência dos materiais, onde o valor de W aparece tabelado de acordo com o tipo de perfil e seção.

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Exercícios Resolvidos

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8ª LISTA DE EXERCÍCIOS Lembretes:

8.1- A viga simplesmente apoiada, de seção transversal retangular, representada na figura abaixo suporta a carga uniformemente distribuída de 3,35 kN/m. Desprezado o efeito do peso próprio, determine a tensão normal máxima na face superior da viga.

8.2- Determine o momento M que deve ser aplicado à viga da figura abaixo, de modo a criar uma tensão de compressão no ponto D no no valor de 30 MPa. Além disso, calcule a tensão máxima desenvolvida na viga.

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8.3- A viga da figura abaixo é composta por quatro peças de madeira coladas. Se o momento que age na seção transversal for M = 450 N.m, determine a força resultante que a tensão de flexão produz na peça superior A e na peça lateral B .

8.4- Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua superior A da viga na figura abaixo, se M = 1,5 kN.m.

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8.5- Sabendo-se que o momento M mostrado na figura abaixo atua no plano vertical, determine: a) a tensão no ponto A; b) a tensão no ponto B .

8.6- A área da seção transversal de uma escora de alumínio tem forma de cruz (figura abaixo). Se ela for submetida ao momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão máxima na escora.

8.7- Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento da figura abaixo se ele for submetido a um momento fletor interno M = = 40 kN.m.

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8.8- O elemento tem seção transversal com dimensões mostradas na figura a seguir. Determine o maior momento M que que pode ser aplicado sem ultrapassar as tensões de tração e compressão admissíveis de ( σt)adm = 150 MPa e ( σc)adm = 100 MPa, respectivamente.

8.9- Se a viga da figura a seguir tiver seção quadrada de 225 mm em cada lado, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.

8.10- A viga tem a seção transversal mostrada na figura abaixo. Se P = = 1,5 kN, determine a tensão de flexão máxima na viga.

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CAPÍTULO VIII 8.1- CISALHAMENTO EM VIGAS COM SEÇÃO SIMPLES O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal que age na seção da viga. Devido à propriedade complementar de cisalhamento, observa-se que tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Se um elemento for retirado de um ponto interno da seção transversal, ele estará sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal como mostra a figura a seguir.

Como resultado da tensão de cisalhamento, serão desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a distorcer a seção transversal de uma maneira bastante complexa. Para mostrar isto, considere uma barra feita com alto grau de deformação, sobre a qual é construída uma grade de linhas horizontais e verticais (figura a). Quando for aplicado um cisalhamento V , as linhas de grade tendem a se deformar conforme o mostrado na figura (b). Essa distribuição não uniforme da deformação por cisalhamento na seção transversal fará com que ela se deforme, não permanecendo plana.

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No capítulo anterior, desenvolveu-se a fórmula da tensão normal baseada na hipótese das seções permanecerem planas e de uma distribuição linear de tensões. Para o cisalhamento transversal, a distribuição das tensões ao longo da altura da viga passa a ser expressa por uma função de segundo grau. Nas figuras abaixo são esquematizadas a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura de uma viga com seção retangular.

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Para calcular-se a tensão de cisalhamento usa-se a expressão abaixo.

Onde: τ = Tensão de cisalhamento no elemento, em um ponto localizado a uma

distância y’ do eixo neutro; V

=

Q =

É a força de cisalhamento interna resultante; Momento estático da seção, ou seja, Q = y . . A, onde A é a seção superior

(ou inferior) da área da seção do elemento; = Momento de inércia inércia da seção transversal inteira, calculado calculado em torno do do eixo neutro;

I

t

= É a largura da área da seção transversal transversal do elemento, medida medida no ponto

onde a tensão τ será determinada. Por uma questão de didática serão vistos primeiramente exemplos de cálculo de tensões em seções de área simples. As áreas compostas serão vistas no item subseqüente. Somente para as seções transversais retangulares tem-se a seguinte expressão simplificada:

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Exercícios Resolvidos

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9ª LISTA DE EXERCÍCIOS Lembretes: = 1/12 ( b. h³)

I ret ret

9.1- A viga da figura abaixo tem seção transversal retangular e é feita de madeira. Se for submetida a um cisalhamento V = = 20 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. Dados: valor de a = = 250 mm

9.2- O raio da haste de aço da figura a seguir é de 30 mm. Se ela for submetida a um cisalhamento V = = 25 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima.

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9.3- A viga simplesmente apoiada, de seção transversal retangular, representada na figura abaixo suporta a carga uniformemente distribuída de 3,35 kN/m. Desprezado o efeito do peso próprio, determine a tensão de cisalhamento máxima.

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