METODO AREA DE MOMENTOS_ TEORIA Y EJERCICIOS.docx

MÉTODO – AREA MOMENTO

 Por flexión se sabe que: ( )

1. DEMOSTRACION:  Viga simplemente apoyada con una carga cualquiera.

 Del grafico se tiene:

 De lo cual:

 Considerando: dx=ds ( )  De la figura se tiene que ØAB es igual a la suma de todos los dØ en el tramo AB. ∫

∫ ∫

( )

 De la figura se tiene que la suma de los segmentos dt (entre A-C) sucesivas es igual a tB/A para el tramo AB. ∫  Reemplazando el valor (b). ∫

(

)

( )

 TEOREMA I: ∫

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

----

SÁNCHEZ Huamán LUIS NELSON

( )

del diagrama de momentos para obtener un diagrama M/EI (Diagrama de

∫

momentos reducidos).

De donde:

 Cuando el área del diagrama de momentos se compone de varias partes, (Área) ̅ (

)

,representa el área de todas estas partes  El momento del área se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya

De lo cual el teorema 1 manifiesta que la desviación angular o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en 2 puntos cualquiera A y B es igual al producto de

3. CONVECION DE SIGNOS:

1/EI por el área el diagrama de momentos flexionantes entre 2 puntos.

 DESVIACION: La desviación tangencial de un punto cualquiera es positivo si el

 TEOREMA II:

punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta

De la ecuación (d) se tiene: ∫ ( ∫

(

desviación y negativa si queda por debajo.

)

Entonces una desviación positiva indica que el punto queda sobre la tangente de referencia de lo contrario será negativo.

) (

desviación se quiere obtener.

)

)̅

(

El teorema II manifiesta que la desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A (Distancia del punto B de la elástica a la tangente del punto A), en dirección perpendicular a la inicial de la viga es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B.

 PENDIENTE: Un valor positivo de la variación de pendiente “ ØAB “ indica que la tangente en el punto situado a la derecha de B se obtiene girando en sentido anti

2. CONSIDERACIONES:

horario la tangente trazada en el punto mas a la izquierda de A.

 EI es conocido rigidez a la flexión.

Es decir para pasar de la tangente A a la tangente B se gira en sentido anti horario

 Cuando EI es variable no puede sacarse del signo integral y hay que conocerla en

para giro positivo y viceversa en sentido negativo.

función de x, para evitar esto suele tenerse en cuenta dividir entre EI las ordenadas


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∑

NOTA:

∑

∑

Las áreas de momento se toman con su signo (ya que los momentos poseen signos propios). Los brazos de momentos siempre son positivos 4.2. EFECTO FLEXIONANTE DE CUALQUIER CARGA INDIVIDUAL : 4. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:  Se podrá calcular con facilidad el área de cualquier parte de un diagrama de momentos.  Un procedimiento es integrar las ecuaciones ∫Mdx y ∫x(Mdx)  Sin embargo esto es muy complejo por ello se sigue un procedimiento que consiste en dividir el diagrama de momentos en partes cuyas áreas y centros de gravedad sean conocidos (Diagrama de momentos por partes). 4.1. PRINCIPIOS:  El momento flexiónate producido en una determinada sección por un sistema de cargas es igual a la suma de los momentos flexionantes producidos en la misma

(

)

sección por cada carga actuando por separado.

( )


----


̅

(

)

Ejemplo: Calcular el área sombreada entre AB y la tangente A:



Para el eje A:

 Se considera tomar un eje en supuesta condición de empotrado para realizar el diagrama de momentos por partes, este eje se ubicara en un punto donde actúen reacciones (fuerzas y momentos) o según conveniencia (cambio de sección de la

Diagrama de momentos por partes eje A:

viga) ya que las reacciones que actúan en dicho eje no se consideran para el diagrama. Ejemplo: Calcular los diagramas de momentos por partes tomando como ejes a loos puntos: A, B, C. Considerar también para determinados gráficos el uso de cargas compensadas.


----




Para el eje B:



Para el eje C:

Tramo AB:

Tramo BC:

Diagrama de momentos por partes eje B:

(


----


)

(

)

Diagrama de momentos por partes eje C:

Diagrama de momentos por partes eje C: 

Por cargas compensadas –eje C:

La viga equivalente será:

5. DEFORMACION DE VIGAS EN VOLADIZO: La tangente trazada en el punto empotrado (A), es horizontal por lo que:

( )


----


6. DEFORMACION DE VIGAS SIIMPLEMENTE APOYADAS:

 Por relación de triángulos:

 Para el giro en A: ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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 Se sabe también:

7. DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN Y EL VALOR MÁXIMO DE LA DEFLEXIÓN: De la figura ØA = ØAB de donde se calcula el valor de “x” para luego hallar la flecha

 METODO I: Se comienza calculando la deflexión en un punto cualquiera a una distancia “x” del

para una distancia “x”. Aclaremos que esta equivalencia es efectiva en vigas simplemente apoyadas sometidas

apoyo izquierdo suponiendo que para “x” le corresponde δ máx.

a cualquier tipo de cargas. Cuando las fuerzas aplicadas son unas positivas y otras negativas o son pares o se trata de un voladizo la deflexión en el centro no guarda relación con la deflexión máxima. Por ejemplo en una viga simplemente apoyada con un par en el centro la en el centro es nula y existe 2 deflexiones máximas, una positiva y otra negativa simétricas respecto al centro. Se obtendrá la ecuación de la flecha en función de “x”- {δ=f(x)}- calculando la flecha en x. Derivaremos la ecuación {δ=f(x)} en función de “x” e igualaremos a cero por la teoría de máximos y mínimos se obtendrá el valor de x para δ máx.  METODO II: En el punto de la deflexión máxima la tangente de la elástica es horizontal.


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8. DEFLEXION EN EL CENTRO DEL CLARO: En una viga simple apoyada y simétrica cargada la tangente a la elástica en el punto medio del claro es horizontal y paralela a la posición de la viga descargada. En tal caso la desviación de cada extremo apoyado con respecto a esta tangente es igual a la deflexión del centro.


 Diagrama de la elástica: El diagrama presenta 2 posibles curvas elásticas.

En el caso de vigas simplemente apoyadas pero con cargas no simétricas la deflexión en el punto medio puede calcularse como anteriormente se explicó, basta añadir una carga simétrica colocada con respecto al centro por cada carga real. La deflexión real en el centro será la mitad de la calculada en la viga modificada. 9. Ejemplos: 9.1. Determine el valor de la deflexión en el punto D.

Solución:  Cálculo de las reacciones: ∑ ∑


----


Entonces se tendrá 2 opciones por lo cual se escribirá una ecuación para cada

 Cálculo tA/C = Área (AC) . xA

opción; por relación de triángulos:

(

ELASTICA 1:

)

( )

 Cálculo tD/C = Área (DC) . xC

ELASTICA 2:

(

)

 Diagrama de momentos reducidos por partes en C (M/EI). Al colocar el eje C se anulan las cargas en este punto y se considera empotrado, aquí se muestra el diagrama de momentos flectores para cada una de las fuerzas:

Como tD/C es negativo indica que D esta debajo de Tg C  Cálculo del valor H:

Como H es numéricamente mayor que tD/C se concluye que la elástica correcta es la” I”.  Uso de la ecuación para la elástica “I”.

(

) ( )

9.2. Determine el valor de: Giro en el punto A y deflexión en el punto C.


----


 Por la estática: RA = 2T

RD=2T

 Diagrama de momentos por partes eje B:

⁄

⁄ ⁄

⁄  Elástica:

 Diagrama de momentos reducidos(M/EI):

 Del grafico se desprende que:


----


⁄

9.3. Determine el valor de la deflexión en el centro de la luz.

 Donde: ( ))

(

(

)

( )

(

( ) )

( )

Solución: 

Modificando la viga simétricamente:

Para EI:

 Por simetría y estática: RC = RA = 1600N

 Para el giro:

 Elástica:

 Para la deflexión: ( )

(

)

( )

( )

 En la ecuación: (


)

----


 Por ser simétrico conviene trabajar con media viga:

 De la elástica:

(

)

 De las ecuaciones anteriores:

( ) ( )(

)

( )

(

 Diagrama de momentos por partes:

(

[

)

)

]

 EL área de AB es: (

)

 tA/B es = Área (BA). xB (

( )

 De donde la deflexión será: [


----


( )

]

)

( )

Solución: 10. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ÁREA MOMENTO A VIGAS HIPERESTÁTICAS:

 Diagrama de momentos reducidos.

En una viga empotrada y apoyada, se aplica la condición de que la desviación del apoyo con respecto a la tangente a la elástica en el empotramiento sea nula o adquiera un valor conocido si el apoyo no esta al mismo nivel. En las vigas doblemente empotradas dado que las tangentes a la elástica en los extremos son horizontales la variación total de la pendiente entre los extremos es nula (ØAB=0). Si los extremos están al mismo nivel la desviación de B respecto a la tangente B es cero (tA/B=0). De donde se tiene las siguientes condiciones: (

)

( )

(

) ̅

( )

(

) ̅

( )

Las tres ecuaciones no son independientes, dos cualesquiera de ellas junto con la de la estática determinan las 4 restricciones. Como norma práctica se recomienda usar primero la ecuación (a) y una de las otras dos. Ejemplo: Solucionar la viga mostrada, sometida a la acción del sistema de carga indicado.


----


(

)

( ) (

( )

(

)

( )

)

Resumen del cálculo: FIGURA

AREA

xB

xC

1

-32/EI

8/3

29/3

2

-48/EI

2

9

3

28RC/EI

2

9

4

8RC/EI

8/3

29/3

5

-18/EI

-----

6

6

49RC/EI

-----

14/3

7

-128/3EI

3

10

8

8RB/EI

8/3

29/3

( ) Reemplazar (1) y (2) y aplicando la estática se obtiene: RC = 0.95 T ↑ RB = 11.06 T ↑ RA = 7.99 T

RC = 5.32 T-m ↺

 Condiciones tB/A = 0 y tC/A = 0  Cálculo de tB/A =Área (BA). x B ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )  Cálculo de tC/A =Área (CA). x C


----

↑


(

)

(

)

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