ABSTRACT Ebook Tentang Teknik Informatika !om"#ter
Stat#s
ARDIAN
$#b%is&e'
Metode Iterasi Gauss Seidell Metode interasi Gauss-Seidel : metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: a11
x1
(
a12
x
2
(
a13
x 3
(
...
(
a 1n
a
x1
(
a
x
2
(
a
x 3
(
...
(
a
2
x1
(
(
...
(
n
a
...
...
a 33 x 3 ... ...
(
...
a 32 x 2 ... ...
...
...
...
x1
(
a
x 2
(
a
x 3
(
...
(
21
a 31 ... a n1
22
n
2
23
n
3n
...
x x n
)
b1
)
b2
x
)
b3
...
...
)
bn
n n
...
a
x
nn
n
3
Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 sd n! kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan men"adi : 1 a11
x1 =
+
b1
1 x 2 )
*
a2
− a12 x2
*b
2
− a13 x3
− .... − a1n xn
, a 21 x1 , a 23 x3 , .... ,
a
2
x n
n
2
...............................................................
+
Metode Iterasi Gauss Seidell , .... , ann 1x n
a nn xn =
+
, #terasi Gauss-Seidel
(bn
− an1 x1
− an 2 x2
1
$enyelesaian pers. linier simultan: % Bila nilai untuk setiap xi (i=1 sd n! sudah = nilai xi pada iterasi sebelumnya % &tau proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 sd n! dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. 'ati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. $erhatikan setiap koeisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii!. )etakkan nilai-nilai terbesar dari koeisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah *masalah pivoting+ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan
menyebabkan iterasi men"adi#tedraisieGr aguessn-Sedidaenl yang benar.
tidak diperoleh hasil
Contoh Metode Iterasi Gauss Seidell x 1 ) 5 , x 2
Selesaikan sistem persamaan linier: x1 ( x 2 ) 5 2 x1
(
nilai awal : x1 = / dan x = /
x1 ) 5 , 0 )
x 2 )
2
7
iterasi 0 :
iterasi 1 :
) 14
4 x
x1 ) 5 ,
4
*14 , 2 x + 1
iterasi :
13 ) 4
4
1
x ) 5 ,
63
)
97
5 x ) 1
1
*14 , 2.5+ )
1-
2
.14
x ) 2
13 /
41
, 2.
4
2
1-
x1 ) 5 , 1 ) 4
x 2 )
iterasi 2 : x ) 5 , 1
(14
15
)
2.4) )
25 3
2.
97
1
.14
x ) 2
iterasi :
32
5 0) 8
4
32
1)
, 41 64
127
0) / 32 2
Contoh Metode Iterasi Gauss Seidell 4
2
1
8
x 2 )
5
1-
.14 , 2. 41
iterasi 3 :
25 / 0)
2
31
16
8
x ) 5 , 7 1
x )
2
2 1-
4⎝
3
iterasi 4 :
)
2
7 .14 , 2. 2⎠
7 0/ )
4
31 49 1 x ) 5 ,16 )16 x 2
/ 49 1 ) .-14 , 2. 0) 41 16 2
63 32
5ilai interasi ke- sudah tidak berbed#taer "aasui hGdauesnsg-Saenidneillai interasi ke-4 3
maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:
Algoritma Metode Iterasi Gauss Seidell Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah : 1. . 3. 0. 2. 4.
. 9.
Masukkan matrik A, dan ektor B beserta ukurannya n 6entukan batas maksimum iterasi max_iter 6entukan toleransi error 3 6entukan nilai awal dari x i , untuk i=1 sd n Simpan x i dalam si , untuk i=1 sd n 7ntuk i=1 sd n hitung : /0 1 -. ei ) xi , si , a x xi ) bi 4 i , j j 02 ai ,i 1. j 5i iterasi Å iterasi81 Bila iterasi lebih dari maxiter atau tidak terdapat ei <3 untuk i=1 sd n maka proses dihentikan dari penyelesaiannya adalah x i untuk i=1 sd n. Bila tidak maka ulangi langkah (2! #terasi Gauss-Seidel
0
% Studi ;asus $ersamaan )inier Simultan
#terasi Gauss-Seidel
Permasalahan penentuan produk berdasarkan persediaan bahan Mr.< membuat maam boneka & dan B. Boneka & memerlukan bahan 1/ blok B1 dan blok B, sedangkan boneka B memerlukan bahan 2 blok B1 dan 4 blok B. Berapa "umlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 9/ blok bahan B1 dan 34 blok bahan B.
Model Sistem $ersamaan )inier Simultan : >ariabel yang diari adalah "umlah boneka, anggap: x 1 adalah "umlah boneka & x 2 adalah "umlah boneka B $erhatikan dari pemakaian bahan : B1: 1/ bahan untuk boneka & 8 2 bahan untuk boneka B = 9/ B: bahan untuk boneka & 8 4 bahan untuk boneka B = 34 + 5 x 2 = 80 ?iperoleh model sistem persamaan linier 10 x 1
#terasi Gauss-Seidel
2 x 1 + 6 x 2 = 36
4
Permasalahan penentuan produk berdasarkan persediaan bahan &ugemented Matrik
$enyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-@ordan adalah sebagai berikut :
B1 A-- B11/
B A-- B - B1
?iperoleh x1 = 4 dan x = 0, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 4 boneka & dan 0 boneka B.
B A-- B2
B1 A-- B1 - /,2 B #terasi Gauss-Seidel
1/
2
9/
4
34
1
/,2
9
4
34
1
/,2
9
/
2
/
1
/,2
9
/
1
0
1
/
4
/
1
0
$ermasalahan aliran panas pada plat ba"a ?iketahui panas beberapa titik pada plat ba"a yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak seara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panans dari 0 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut: 25oC
25oC
$ersamaan panas pada titik 61 dan 6 dapat dihitung dengan: 0oC
T1
T2
100oC
* *25 (
T 1 ) 14 25 ( 0 ( 25 ( T 2 T 2 )
1 4
1
+
( 25 ( 100
+
T 25oC
25oC
Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah: 4T 1 , T 2
$ermasalahan aliran panas pada plat ba"a ) 50 #terasi Gauss-Seidel
,
(
T 1 4T 2
) 150
9
$enyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan nilai pendekatan awal T 1=0 dan T 2 =0 dan T ) ungsi pengubahnya adalah : 2 1 *50 ( T 2 + 4
1
150 ( T + * 4
T1 =
1
?iperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error /.///1 sebagai berikut : Iterasi
-
x1
x
e1
e
-
-
/
/
/
1
1,2
0/,42
1,2
0/,42
,4242
03,140/4
1/,1242
,23/43
3
3,1/
03,32
/,43044
/,12941
0
3,33/4
03,334
/,/343
/,//19
2
3,3331
03,333
/,//09
/,///4
4
3,3333
03,33333
/,///122
3,9C-/2
3,33333
03,33333 #tera,4siG Seidel,0C-/4
@adi temperatur pada 61=3,3333 dan 6=03,3333
Penghalusan !urva "engan #ungsi Pendekatan Polinomial
$erhatikan ke-0 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. 7ntuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kura yang dibentuk dengan ungsi pendekatan polinomial. ?ari ungsi polinomial yang dihasilkan kura dapat digambarkan denganlebih halus.Misalkan pada ontoh diatas, 0 titik yang ditun"uk adalah (,3!, (,4!, (9,10! dan ( 1,1/!. 0 titik ini dapat didekati dengan ungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 0 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : 6itik 1 Æ 3 = 9 a 8 0 b 8 8 d 6itik Æ 4 = 303 a 8 0 b 8 8 d 6itik 3 Æ 10 = 21 a 8 40 b 8 9 8 d 6itik 0 Æ 1/ = 19 a 8 100 b 8 1 8 d #terasi Gauss-Seidel
1/
Penghalusan !urva "engan #ungsi Pendekatan Polinomial &ugmented Matrik
9
0
1
3
303
0
1
4
21
40
9
1
10
19
100
1
1
1/
B1 = B19
1
/.2
/.2
/.12
/.32
B = B - 303 B1
/
-1.2 -9.2 -01.99 -1.4
B3 = B3 - 21 B1
/
-1
-1/
-43
-19
B0 = B0 - 19 B1
/
-/
-0/
-12
-439
#terasi Gauss-Seidel
11
B = B(-1.2!
1
/
-/./1
-/./04
-/.14
B1 = B1 D /.2 B1
/
1
/.40
/.3019
1.//1
B3 = B3 81 B1
/
/
3.094
.43
10.14
B0 = B0 8/B
/
/
0.92
31.1
9.32
B3 = B33.094
1
/
/
/.//9
/.1/
B1 = B1 8 /./1 B3
/
1
/
-/.12
-1.441
B = B -/.40 B3
/
/
1
/.4
0.10/2
B0 = B0 -0.92B3
/
/
/
-1.94
-0.1
B1 = B1 -/.//9 B0
/
1
/
-/.12
-1.441
B = B 8/.12B0
/
/
1
/.4
0.10/2
B3 = B3 8/.4B0
/
/
/
-1.94
-0.1
B0 = B0(-1.94!
#terasi Gauss-Seidel
1
?iperoleh : a=-/.3/3 b=4.3 =-342 d=23./0
dan persamaan polinomial yang diperoleh : y = -0,303 x 3 + 6,39 x 2 – 36,59 x + 53,04 'asil penghalusan kura adalah sebagai berikut: 2 Ftest1.txtF -/.3/3ExEE384.3BExEE-34. 2BEx823./0
/
12
1/
'asilnya memang belum tampak bagus, disebabkan pengambilan titiknya yang terlalu "auh dan tingkat polinomial yang belum memenuhi syarat terbaiknya-.2 'anya sa"a kura tersebut benar-benar melewati 0 titik yang ditentukan. 2
/
-1/
-12
0
4
9
1/
1
#terasi Gauss-Seidel
13
