Dekomposisi Matriks
Dekomposisi matriks merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan matriks. Apabila secara analitik, mungkin akan sangat mudah menyelesaikan persamaan matriks seperti ini AX=B, dimana kita hanya mengetahui nilai matriks A dan matriks B saja, sementara kita tidak tahu nilai dari matriks X. Secara analitik kita dapat tuli skan bahwa matriks X merupakan perkalian dari -1 inverse matriks A dengan matriks B, atau dapat ditulis X=A B. Namun bagaimana jika matriks A merupakan matriks dengan dimensi 100×100 atau 1000×1000, walaupun dikasih uang satu juta saya juga ga bakalan mau ngerjain hal ‘sia -sia’ seperti itu secara analitik. Tetapi dengan metode numerik dan tentu saja dengan bantuan kemampuan programming hal seperti itu akan lebih mudah dikerjakan. Pertanyaannya, apa sih kegunaan dekomposisi matriks di dunia real? Saya akan menjawab metode ini dapat digunakan untuk melakukan interpolasi polinomial secara numerik tentunya atau dalam bidang yang sedang saya geluti, metode ini dapat membantu saja menyelesaikan persamaan Difusi Netron. Pada metode LU Decomposition, matriks A ditulis ulang sebagai perkalian matriks L dan U (matriks A diurai menjadi matriks L dan U). Matriks L dan U merupakan matriks segitiga. Matriks B tidak berubah, karena matriks A tidak berubah, melainkan hanya ditulis ulang.
Langkah: 1. Cari matriks L dan U sehingga A = LU. Matriks B tetap.
2. Definisikan sebuah matriks kolom baru, misalnya Y, yaitu Y = UX, sehingga LY = B. Lalu hitung y dengan substitusi maju (mulai dari Y 1 sampaiYn ).
3. Hitung x dengan substitusi mundur (mulai dari X 1 sampai Xn).
menggunakan matriks A dengan dimensi 4×4. Pada dekomposisi matriks LU , A = LU sehingga didapatkan persamaan Dari perkalian matriks maka didapatkan a11 = u11 a12 = u12 a13 = u13 a14 = u14
a21 = l21u11 a22 = l21u12 + u22 a23 = l21u13 + u23 a24 = l21u14 + u24 a31 = l31u11 a32 = l31u12 + l32u22 a33 = l31u13 + l32u23 + u33 a34 = l31u14 + l32u24 + u34 a41 = l41u11 a42 = l41u12 + l42u22 a43 = l41u13 + l42u23 + l43u33 a44 = l41u14 + l42u24 + l43u23 + u44 Sehingga dapat didefinisikanu1j = a1j (j= 1, … ,n)
dengan (i = 2, …, n)
dengan (i =2, … ,n; j=i, …, n), kemudian
dengan (i=3, …, n; j=2, …, i -1) LY=B, dalam bentuk matriks dapat ditulis
Sehingga dapat didefinisikan y1 = b 1
dengan (i =2, …, n) dan UX=Y, dalam bentuk matriks dapat dituliskan
sehingga dapat didefiniskan x=yn
dengan (i =1, … , n -1)
Sumber : http://eka-purwandari.blogspot.com/2012/01/mengenal-dekomposisi-matriks.html Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle
Suatu persamaan linear dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:
difaktorisasi menjadi:
Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:
Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran dengan menggunakan algoritma sebagai berikut: 1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama: untuk i = 1 sampai n
2. Hitung nilai: untuk i=2 sampai n
3. untuk i = 2 sampai n-1
untuk j = i + 1 sampai n
4. Hitung indeks terakhir:
n
x n dapat
Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya. Dari dekomposisi berikut:
Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:
maka
untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:
untuk i=2 sampai n
nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:
dengan cara:
untuk i=n-1 sampai 1
Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:
matriks harus square.
tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).
Sumber: Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis (7ed., Brooks Cole, 2001) URL : http://agungsetiadi.blogspot.com/2010/10/dekomposisi-matriks-dengan-metode.html
Contoh :
Sumber : http://ninja.forum.game321.com/viewthread.php?tid=59865&extra=page%3D1
