PERSAMAAN ELIPSOIDA
Makalah Geometri Analitical Ruang oleh 1. 2. 3. . &.
Eko Eko Widia Widianti nti (20131 (20131006 006031 03110 1060) 60) Tiara Tiara Anggr Anggraen aenii (20131 (20131006 006031 03110 106) 6) !u"i #$i #$i Ari%ta Ari%ta (2013 (20131006 1006031 031106 106&) &) 'k ah*u ah*utra( tra(201 201331 331006 006031 03110 10+,) +,) -itriani -itriani Wahuni ahuning"i ng"i (2013100 (20131006031 603110 100) 0)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG TAHUN 2013/2014
/A/
E#A454A
I.
Ellipsi!" /idang /idang dan eli*"oi eli*"oida da meru*a meru*akan kan contoh contoh *ermuka *ermukaan an di ruang. ruang. ecara ecara umum umum gra%ik gra%ik
p#$%&'"" %&'""( ( di ruang. amun tidak "emua *er"amaan *er"amaan -(7 -(7 8 8)) 9 : meru*akan meru*akan p#$
mudah digam;ar gra%ikna. elain elain itu untuk untuk *ende% *ende%ini ini"ian "ian ;entuk ;entuk ;umi ;umi "angat "angatlah lah "u"ah. "u"ah. /entuk /entuk ;umi ;umi dikena dikenall "e;agai geoid. Geoid didekati oleh *ermukaan muka laut rata
Elli*"oid "ecara matemati" di tuli"kan men=adi > 2
2
2
x y z + 2 + 2 =1 Titik *u"at eli*"oida adalah ( 000 ) 2 a b c Titik titik *uncakna ada enam aitu (a00 ) (
y −q
¿ ¿ ¿2 ¿ ( x − p )
Titik *u"at eli*"oida adalah ( *?r )
2
2
a
+¿
Titik titik *uncakna ada enam aitu (a?r ) (
f
9
a−b a
e =√ 2 f − f
2
@
dengan : a = sumbu semi-mayor (setengah (setengah sumbu panjang) b = sumbu semi-minor ( setengah sumbu pendek)
f = fattening (penggepengan) e = eksentrisitas
Dalam Dalam penguk pengukura uran n geodes geodesii secara secara umum, umum, dikem dikemban bangk gkan an hubung hubungan an antara sistem koordinat kartesian 3 Dimensi dengan sistem koordinat Ellipsoids er"amaan hu;ungan matemati" dari "i"tem koordinat karte"ian 3 dimen"i dan koordinat elli*"oid
R
R
(
a
2
( ¿ ¿ N + h ) cos ∅ cos λ @ ( ¿ ¿ N +h ) cos ∅ sin λ @ z = R N + h b x =¿ y =¿ 2
)
sin ∅
(3.,)
#imana >
a
R N =
2
2
1 2
(a
2
cos ∅
+b
2
2
sin ∅
)
a
=
2
1
( 1−e
2
2
)
sin ∅
2
(3.10)
/e"aran a dan ; tergantung dari model elli*"oid ang digunakan mi"aln a. WG /e""el 11 dan lain
II. )(*+ )(*+ G"%,"$ G"%,"$ Elipsi!" Elipsi!"
2
2
2
x y z + + =1 Eli*"oida > a2 b2 c 2 eterangan >
•
u"at (000)
•
/idang<;idang "imetri adalah B'!B'C B'!B'C dan !'C
•
Gari" *otong 2 ;idang "imetri" di"e;ut "um;u "imetri aitu "um;u B "um;u ! dan "um;u C
−a ≤ x≤ a ,− a ≤ y ≤ a , −a ≤z ≤a
•
Terlihat Terlihat ;ah$a
•
Eli*"oida meru*akan *ermukaan tertutu*
•
an=ang 2
•
/ola meru*akan eli*"oida ang *an=ang "um;u<"um;un " um;u<"um;unaa "ama
•
er*otongan "um;u "imetri dengan eli*"oida di"e;ut *uncak eli*"oida. Dadi eli*"oida
a1
1
2
a2
1
dan
2
2 a3
2
3
3
di"e;ut **an=ang "um;u eli*"oida
mem*una 6 *uncak ri"an dengan ;idang "e=a=ar ;idang "imetri meru*akan eli*".
•
III. III.
S&"* S& "*& & Ell Ellip ipss P"! P"!" " -i! -i!"( "( OY OY O O !"( !"( YO YO
er"amaan elli*" *ada ;idang B'! ;er;entuk
{
z= 0 2 x y 2
a
2
+
2
b
=1
er"amaan elli*" *ada ;idang B'C ;er;entuk
{
y= 0 2 x z + 2 =1 2 a c 2
er"amaan elli*" *ada ;idang !'C ;er;entuk
{
x= 0 2 y z + 2 =1 2 b c 2
IV. IV. S&"*& S&"*& Ellip Ellipss P"!" P"!" -i!"( -i!"( "( "( Dip&* Dip&*"$ "$ M#( M#(#li #lili( li(ii S&%,& S&%,& P&*" P&*"$$ 1. Mi"alkan T( T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". 4ntuk ;idang B'! Maka haru" di*enuhi
809 0
x 0 a
2
2
+
y 0 b
2
2
= 1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u 7 adalah 7 9 7 0 er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 79 70 72 2 82 9 702 02 802 dengan mengelemina"i 70 0 dan 80 di*eroleh *er"amaan 2
2
x y + z + 2 2 a b
2
=1
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu x Dika "um;u *utarna "um;u maka *er"amaan elli*"oida di*eroleh "e;agai ;erikut. er"amaan elli*" ang di*utar adalah
{
z= 0 2 x y + 2 =1 2 a b 2
Mi"alkan T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". Maka haru" di*enuhi 809 0
x 0 a
2
2
+
y 0
2
2
b
= 1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u adalah 9 0. er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 9 0 72 2 82 9 702 02 802
dengan mengelemina"i 7o o dan 8o di*eroleh *er"amaan 2
2
2
x + z y + 2 =1 2 a b
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu y. 2. Mi"alkan T( T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". 4ntuk ;idang B'C Maka haru" di*enuhi 09 0 x 0 a
2
2
+
z 0 c
2
2
=1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u 7 adalah 7 9 7 0 er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 79 70 72 2 82 9 702 02 802 dengan mengelemina"i 70 0 dan 80 di*eroleh *er"amaan 2
2
2
x y + z + 2 =1 2 a c
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu x. Dika "um;u *utarna "um;u 8 maka *er"amaan elli*"oida di*eroleh "e;agai ;erikut. er"amaan elli*" ang di*utar adalah
{
y=0 2 x z + 2 =1 2 a c 2
Mi"alkan T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". Maka haru" di*enuhi 09 0
x 0 a
2
2
+
z 0 c
2
2
= 1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u 8 adalah 8 9 8 0. er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 89 80 72 2 82 9 702 02 802 dengan mengelemina"i 70 0 dan 80 di*eroleh *er"amaan x
2
y
+
2
2
a
2
z + =1 2 c
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu z 3. Mi"alkan T( T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". 4ntuk ;idang !'C Maka haru" di*enuhi 709 0
y 0 b
2
2
z 0
+
c
2
2
= 1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u adalah 9 0 er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 9 0 72 2 82 9 702 02 802 dengan mengelemina"i 70 0 dan 80 di*eroleh *er"amaan y b
2 2
x
+
2
z
+
c
2
2
=1
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu y
Dika "um;u *utarna "um;u 8 maka *er"amaan elli*"oida di*eroleh "e;agai ;erikut. er"amaan elli*" ang di*utar adalah
{
x=0 2 y z + 2 =1 2 b c 2
Mi"alkan T(70 0 80) "e;arang titik *ada elli*". Maka haru" di*enuhi 709 0
y 0 b
2
2
z 0
+
c
2
2
= 1
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u 8 adalah 8 9 8 0. er"amaan ;ola ang melalui titik T dan titik *u"atna di ' adalah 72 2 82 9 702 02 802 Dadi *er"amaan lingkaran ang dilalui T adalah 8 9 80 72 2 82 9 702 02 802 dengan mengelemina"i 70 0 dan 80 di*eroleh *er"amaan x
2
y
+
2
b
2
+
z c
2 2
=1
!ersamaan !ersamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu z. V.
)(*+ S"l )(*+ 1
uatu elli*" dengan *er"amaan
{
y =0 2 x + 4 z −16= 0 2
di*utar mengelilingi "um;u 7. Tentukan *er"amaan elli*"oida *utaran ang ter;entuk. Penyelesaian Mi"alkan T (70 0 8o) "e;arang titik *ada elli*". Maka haru" di*enuhi 0 9 0 ............................................. ................................................ ... (,) 2
2
x + 4 z −16 =0
.............................................. ................................................. ... (10)
er"amaan ;idang ang melalui T dan tegak luru" "um;u 7 adalah 7 9 7 0. er"amaan ;ola ang titik *u"atna di ' dan melalui T adalah 7 9 70
"# $ y# $ %# = " # $ y # $ % # &
&
&
Dadi *er"amaan lingkaran ang melalui T adalah 7 9 70 .................................... .................................... (11)
"# $ y# $ %# = " # $ y # $ % # &
&
..................................... ..................................... (12)
&
#ari *er"amaan (10) dan (11) kita mem*eroleh 2
z 0 =
16
− x
4
u;"titu"ikan 70 0 dan 80 ke dalam *er"amaan (12) "ehingga kita mem*eroleh *er"amaan 16
lua"an ang ter=adi
"# $ y# $ %# = " # $ &
− x
4
x atau
2
16
+
2
− x
16
4
=1
DAFTAR PUSTAKA
http:''leupiedu'Direktori'!*+!'./0!E1D0*2E*2+'4567&6464578&34E1D190DED';ahan0jar0alkulus0#0<#7460iles <#5'!ermukaan0/uang0dan0ungsi0kalar0pertemuan046pd> (diakses 4? mei #&46 @ 46:6&) http:''personal>mipaitbacid'hgunaAan'les'#& http:''personal>mipaitbacid'hgu naAan'les'#&&7'&7'* &7'&7'*4#&4-*5 4#&4-*5-4-45-&3-4-45-&348pd> (diakses 48pd> (diakses 4? mei #&46 @ 4?:&&) http:''libraryunejacid'client'en0.'de>ault'search'asset'47B@jsessionid=?B67& 4D364?B&3E?3E65E43EE77Cu=9E*E2/+Fic=trueFps=3&& (diakses 4? mei #&46 @ 4?:#&)
