BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Pada makalah ini, kita akan dikenalkan dengan luasan putaran yang terjadi dari suatu kurva yang diputar mengelilingi suatu garis lurus. Adapun kurva yang diputar meliputi
elips
yang
menghasilkan
elipsoida
putaran,
hiperboloida
yang
menghasilkan hiperboloida berdaun satu atau berdaun dua. Hal ini tergantung dari kedudukan poros putarnya. Kurva yang berikutnya lagi adalah parabola yang menghasilkan paraboloida (sumbu simetrinya merupakan poros putaran). Selain itu, makalah ini juga akan membahas mengenai luasan berderajat dua yang mencakup elipsoida, paraboloida, paraboloida, hiperboloida berdaun satu dan berdaun dua yang bukan merupakan luasan putaran. 1.2
Rumusan Masalah 1.2.1 Apa itu luasan putaran ? 1.2.2 Bagaimana cara menentukan luasan putaran?
1.3
Tujuan Makalah
Dapat menentukan persamaan luasan putaran yang terjadi dari suatu kurva yang diputar mengelilingi suatu garis lurus. Adapun kurva yang diputar meliputi elips yang
menghasilkan
elipsoida
putaran,
hiperboloida
yang
menghasilkan
hiperboloida berdaun satu atau berdaun dua dan parabola yang menghasilkan paraboloida 1.4
Manfaat Makalah
Makalah ini bertujuan utnuk menambah wawasan dan pengetahuan agar tingkat keprofesionalan sebagai guru meningkat.
1
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Luasan Putaran
Suatu kurva ( bisa berupa garis, elips, hiperbola, atau parabola) diputar mengelilingi suatu garis lurus, maka akan terjadi suatu luasan. Luasan ini disebut luasan putaran dan garis tersebut disebut sumbu putar. Setiap titik pada kurva yang diputar, “menjalani” suatu lingkaran yang terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu putar dan titik pusatnya pada sumbu putar. Lingkaran ini disebut lingkaran paralel . Bidang yang melalui sumbu putar disebut bidang meridian. meridian . Misalkan kita ambil sumbu X sebagai sumbu putar dan kurva yang diputar terletak pada bidang YOZ. Berarti persamaan sumbu putarnya y = 0, z = 0. Persamaan kurva yang diputar adalah x = 0 dan f(y, z) = 0. Ambil T (x 0, y0, z0) sebarang titik pada kurva, maka dipenuhi x = x0
……(1)
f(y0, z0) = 0
…....(2)
Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar, yaitu sumbu dengan lingkaran yang pusatnya pada sumbu X (misalkan titik O) dan jari-jarinya OT. Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah : x = x0
…….(3)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(4)
Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) eliminasikanlah x 0, y0, dan z 0 sehingga kita memperoleh persamaan luasan putarannya
2
2.2
Menentukan Luasan Putaran
a.
Menentukan Persamaan Elipsoida Putaran
Persamaan elips pada bidang XOY berbentuk z 0
x 2 a2 1.
y 2 b2
1
Menentukan persamaan elipsoida putaran dengan elips pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X
Misalkan T (x0, y0, z0) sebarang titik pada elips. Maka harus dipenuhi z=0 x02 a2
…….(5) y 02 b2
1
…….(6)
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x 0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah :
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02 . Jadi persamaan lingkaran yang melalui titik T adalah : x = x0
….…(7)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(8)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (5), (6), (7), dan (8) kita memperoleh persamaan x 2 a2
y 2 z 2 b2
3
1
2.
Menentukan persamaan elipsoida putaran dengan elips pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu Y
Misalkan T (x0, y0, z0) sebarang titik pada elips, maka harus dipenuhi z 0 x02 a2
…….(9) y 02 b2
1
…….(10)
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah y = y0
…….(11)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(12)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (9), (10), (11) dan (12), kita memperoleh persamaan elipsoida putaran
x 2 z 2 a2
y 2 b2
1 , dengan beberapa
titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0,-b,0), (0, 0, a), dan (0, 0, -a) Contoh soal :
y 0 1. Suatu elips dengan persamaan diputar mengelilingi sumbu x 2 2 z 2 8 0 X. Tentukan persamaan elipsoida putaran yang terbentuk! Penyelesaian :
1.
Misalakan T ( x0 , y0 , z 0 ) sebarang titik pada elips, maka harus dipenuhi : y 0 0 x02 2 z 02 8 0
.......(i)
4
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu X adalah x = x 0 Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah
x 2 y 2 z 2 x02 y 02 z 02 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
.......(ii)
x x0
x 2 y 2 z 2 x02 y 02 z 02
.......(iii)
Dari persamaan (i) dan (ii) kita memperoleh z 2 0
8 x 2 2
Substitusikan x0 , y 0 , z o ke dalam persamaan (iii), sehingga kita memperoleh persamaan luasan yang terjadi, yaitu : x y z x 2
2
2
2
8 x2 2
Atau
x 2 2 y 2 2 z 2 8 x 2 8 b.
y 2 z 2 4
1
Menentukan Persamaan Paraboloida Putaran
Persamaan parabola pada bidang XOY berbentuk : z=0 y2 = 2 px 1.
Menentukan persamaan paraboloida putaran dengan parabola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X
Misalkan T(x0, y0, z0) pada parabola, maka harus dipenuhi z0 = 0
…….(13)
y02 2 px0
…….(14)
5
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah : x=0
…….(15)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(16)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (13), (14), (15) dan (16) kita memperoleh persamaan y2 + z2 = 2 px Contoh Soal :
1.
x 0 Suatu parabola dengan persamaan diputar mengelilingi sumbu Z. 2 10 z y Tentukan persamaan luasan yang terjadi !
Penyelesaian :
1.
Misalkan T ( x0 , y 0 , z 0 ) sembarang titik pada parabola, maka harus dipenuhi x0 0
. . . (i)
y02 10 z 0
. . . (ii)
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
z z 0
. . . (iii)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
. . . (iv)
Dari persamaan (ii) dan (iii) kita memperoleh y 02 10 z . Dengan mensubtitusikan x 0, y0, dan z 0 di atas ke dalam persamaan (iv) kita memperoleh
persamaan
luasan
putaran
x 2 y 2 z 2 0 2 z z 2 atau x 2 y 2 10 z .
6
yang
ditanyakan,
yaitu
c.
Menentukan Persamaan Hiperboloida Putaran
Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk z=0 x 2 a2
y 2 b2
1
1. Menentukan persamaan hiperboloida putaran dengan hiperbola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada hiperbola, maka harus dipenuhi z0 = 0 x02 a2
…….(17)
y 02 b2
1
…….(18)
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = x0
…….(19)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(20)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (17), (18), (19), dan (20), kita memperoleh persamaan x 2 a2
y 2 z 2 b2
1
Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua yang titik puncaknya ada dua yaitu (-a, 0, 0) dan (a, 0, 0). 2. Menentukan persamaan hiperboloida putaran dengan hiperbola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu Y
Misalkan T(x0, y0, z0) pada hiperbola, maka memenuhi z0 = 0 x02 a2
…….(21)
y 02 b2
1
…....(22)
Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu Y adalah y = y0 . Persamaan bola melalui T dan titik pusatnya O adalah
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02 Jadi, persamaan lingkaran yang melalui T adalah : y = y0
…….(23)
7
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
….…(24)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (21), (22), (23) dan (24) kita memperoleh persamaan x 2 z 2 a2
y 2 b2
1
Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu dengan beberapa titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, 0, a), (0, 0, -a) Contoh soal :
1.
y 0 Jika suatu hiperbola dengan persamaan diputar mengelilingi x z 1 7 12 2
2
sumbu X. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi ! Penyelesaian :
1.
Misalakan T ( x0 , y0 , z 0 ) sebarang titik pada hiperbola, maka harus dipenuhi : y 0 0 x
2 0
12
.......(i) 2 0
z
7
1
.......(ii)
Persamaan Lingkaran yang dilalui T adalah
x x0
.......(iii)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
.......(iv)
Dari persamaan (ii) dan (iii) kita memperoleh z 2 0
7 x 2 84 12
Substitusikan x0 , y 0 , z o ke dalam persamaan (iv), sehingga kita memperoleh persamaan luasan yang terbentuk, yaitu : x y z x 0 2
2
2
2
7 x 2 84 12
8
Atau x 2 12 d.
1.
( y 2 z 2 ) 7
1
Garis Lurus pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu Y
Misalkan persamaan garis yang diputar adalah z=0 x = my + p Misalkan T (x 0, y0, z0) sebarang titik pada garis yang diputar, maka harus memenuhi z=0
…….(25)
x0 = my0 + p
…….(26)
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = x0
…….(27)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(28)
Dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (25), (26), (27) dan (28), kita memperoleh persamaan x m ( y z ) 2 px p 0 2
2
2
2
2
Persamaan ini merupakan persamaan kerucut. 2.
Misalkan garis yang diputar menyilang sumbu X, maka persamaannya berbentuk. z=k x = my + p Misalkan T (x 0, y0, z0) sebarang titik pada garis yang diputar, maka harus memenuhi z0 = 0
…….(29)
x0 = my0 + p
…….(30)
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = x0
…….(31)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
….....(32) 9
Dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (29), (30), (31) dan (32), kita memperoleh persamaan
y 2 z 2 k 2
( x p ) 2 m 2 k 2
1.
Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu. e.
Lingkaran pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X
Persamaan lingkaran pada bidang XOY, misalkan z=0 x2 + (y – b)2 = r 2 Misalkan T (x 0, y0, z0) sebarang titik pada lingkaran, maka harus dipenuhi z=0
…….(33)
x 02 + (y0 - b)2 = r 2
…….(34)
Persamaan lingkaran yang melalui T adalah x = x0
…….(35)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(36)
Dengan mengeliminasi x0, y0, dan z0 dari persamaan (33), (34), (35), dan (36), kita memperoleh persamaan
( x 2 y 2 z 2 r 2 b2 ) 2 4b2 (r 2 x 2 ) Persamaan ini merupakan persamaan torus. f.
Persamaan Luasan Putaran yang Sumbu Putarnya Garis Sebarang
Misalkan persamaan sumbu putarnya adalah garis lurus dengan persamaan
x x1 a
y y1 b
z z 1 c
dan persamaan kurva yang diputar adalah
f 1 ( x, y , z ) 0 f 2 ( x, y , z ) 0
10
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada kurva yang diputar, maka harus dipenuhi f 1 (x0, y0, z0) = 0
…….(37)
f 2 (x0, y0, z0) = 0
…….(38)
Lingkaran yang dilalui T adalah pepotongan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar dengan bola yang pusatnya di titik P yang terletak pada sumbu putar dan berjari-jari PT. Dalam hal ini diambil P(x1, y1, z1). Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Persamaan bola yang pusatnya di titik P(x 1, y1, z1) dan berjari-jari PT adalah (x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = (x0 – x1)2 + (y0 – y1)2 + (z0 – z1)2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
….…(39)
(x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = (x0 – x1)2 + (y0 – y1)2 + (z0 – z1)2
…….(40)
Dengan mengeliminasi x 0, y0, dan z 0 dari persamaan (37), (38), (39), dan (40), kita memperoleh persamaan luasan putarannya. Contoh :
Tentukan persamaan luasan yang terjadi dari perputaran parabola
z=0 y 2 = 4x
mengelilingi garis
y 0 z 2 x 1
Penyelesaian :
y 0 Persamaan sumbu putar adalah z 2 x 1 Vektor arah dari sumbu putar ini adalah m 1,0,2 Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada parabola maka harus dipenuhi z0 = 0
…….(41) 11
y02 4 x0
…….(42)
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah -1(x – x0) + 0(y – y0) – 2(z – z0) = 0 atau x + 2z = x 0 + 2z0 Persamaan bola yang titik pusatnya di P (0, 0, 1) dan berjari -jari PT =
x02 y02 ( z 0 1) 2 adalah
x 2 y 2 ( z 1) 2 x02 y02 ( z 0 1) 2 Jadi, persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
x 2 z x0 2 z 0
…….(43)
x 2 y 2 ( z 1) 2 x02 y02 ( z 0 1) 2
……..(44)
Dari persamaan (41) dan (43) kita mempunyai x + 2z = x0. Akibatnya
y02 4 x0 4( x 2 z ) 4 x 8 z
Subtitusikan x0,y0, dan z0 ke dalam persamaan (44) sehingga kita memperoleh
x y ( z 1) ( x 2 z ) (4 x 8z ) 1 2
2
2
2
Setelah dijabarkan dan disederhanakan, kita peroleh persamaan luasan yang ditanyakan yaitu: y2 – 3z2 - 4xz – 10z =0 Contoh :
z 0 Diketahui persamaan garis g = y 2 x 1 Tentukan persamaan luasan yang terbentuk dari garis g yang diputar mengelilingi sumbu X!
12
Penyelesaian :
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada garis g, maka harus dipenuhi z0 = 0
…….(45)
y0 = 2x0 + 1
…….(46)
Persamaan bidang yaitu melalui titik T dan tegak lurus s umbu x adalah x = x 0 Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah :
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
.
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah : x = x0
…….(47)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
…….(48)
Dari persamaan (46) dan (47) kita mempunyai y 0 = 2x + 1 Substitusikan x 0, y0, dan z0 ke dalam persamaan (48) sehingga kita memperoleh persamaan x2 + y2 + z2 = x2 + (2x + 1) 2 + 0 Setelah dijabarkan dan disederhanakan kita memperoleh persamaan luasan yang ditanyakan yaitu : -4x 2 + y2 + z2 – 4x -1 =0.
13
Latihan Soal :
1.
y 0 Suatu elips dengan persamaan diputar mengelilingi sumbu X. 2 2 x 4 z 16 0 Tentukan persamaan elipsoida putaran yang terbentuk!
2.
y 0 Jika suatu hiperbola dengan persamaan diputar mengelilingi sumbu X. x 2 z 2 1 16 9 Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi !
x 0 3. Suatu parabola dengan persamaan diputar mengelilingi sumbu Z. Tentukan y 2 2 z persamaan luasan yang terjadi !
Penyelesaian :
1.
Misalakan T ( x0 , y0 , z 0 ) sebarang titik pada elips, maka harus dipenuhi : y 0 0 x02 4 z 02 16 0
.......(50)
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu X adalah x = x 0 Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x x0
.......(51)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
.......(52)
Dari persamaan (50) dan (51) kita memperoleh z 2 0
16 x 2 4
14
Substitusikan x0 , y 0 , z o ke dalam persamaan (52), sehingga kita memperoleh persamaan luasan yang terjadi, yaitu : x y z x 2
2
2
2
16 x 2 4
Atau
x 2 4 y 2 4 z 2 16 x 2 16 2.
y 2 z 2 4
1
Misalakan T ( x0 , y0 , z 0 ) sebarang titik pada hiperbola, maka harus dipenuhi : y 0 0 x02 16
.......(53)
z 02 9
1
.......(54)
Persamaan Lingkaran yang dilalui T adalah
x x0
.......(55)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
.......(56)
Dari persamaan (54) dan (55) kita memperoleh z 2 0
9 x 2 144 16
Substitusikan x0 , y 0 , z o ke dalam persamaan (56), sehingga kita memperoleh persamaan luasan yang terbentuk, yaitu : x y z x 0 2
2
2
2
9 x 2 144 16
Atau x 2 16 3.
( y 2 z 2 ) 9
1
Misalkan T ( x0 , y0 , z 0 ) sembarang titik pada parabola, maka harus dipenuhi x0 0
. . . (61)
y02 2 z 0
. . . (62)
15
Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
z z 0
. . . (63)
x 2 y 2 z 2 x02 y02 z 02
. . . (64)
Dari persamaan (62) dan (63) kita memperoleh y 02 2 z . Dengan mensubtitusikan x 0, y0, dan z 0 di atas ke dalam persamaan (64) kita memperoleh
persamaan
luasan
putaran
x 2 y 2 z 2 0 2 z z 2 atau x 2 y 2 2 z .
16
yang
ditanyakan,
yaitu
BAB III PENUTUP
1.1
Simpulan
Jika suatu kurva diputar mengelilingi suatu garis lurus, maka akan terja di suatu luasan yang disebut luasan putaran. Garis lurus t ersebut disebut sumbu putar, adapun kurva yang diputar meliputi eli ps yang menghasilkan elipsoida putaran, hiperboloida yang menghasilkan hiperboloida berdaun satu atau berdaun dua dan parabola yang menghasilkan paraboloida
Persamaan elips pada bidang XOY berbentuk
z 0
x 2 a2
y 2
1
b2
Persamaan elipsoida putaran dengan elips pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X x 2 a2
y 2 z 2 b2
1
Persamaan elipsoida putaran dengan elips pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu Y x 2 z 2 a2
y 2 b2
1
Persamaan parabola pada bidang XOY berbentuk : z=0 y2 = 2 px
17
Persamaan paraboloida putaran dengan parabola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X y2 + z2 = 2 px
Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk z=0 x 2 a2
y 2
1
b2
Persamaan hiperboloida putaran dengan hiperbola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X x 2 a2
y 2 z 2 b2
1
Persamaan hiperboloida putaran dengan hiperbola pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu Y x 2 z 2 a2 1.2
y 2 b2
1
Saran
Lebih banyak membaca buku dan latihan soal maupun yang lainnya untuk memahami tentang konsep elipsoida, hiperboloida, dan paraboloida.
18
DAFTAR PUSTAKA
Sukriman.2009.Geometri Analitik Ruang dan Bidang .Jakarta:Universitas Terbuka Edwin J. Purcell, I.Nyoman Susiladkk. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2.Jakarta:Penerbit Erlangga http://125.160.17.21:5432/furusato/files/tpb/kalkulus/diktator/Kalkulus2%20Part2B%20(versi% 20Presentasi).pdf
19
20
