Persamaan Legendre : Polinom Legendre P n(x) Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Teknik
Disusun oleh : Restu Wulandari (1130514401 (11305144016) 6) Lia Listyana (11305144026) Anis Widaryanti Mahardika (11305144033) Bayu Aji Nugroho (11305144042)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2013
Persamaan diferensial Legendre
() ()
(1) Parameter
pada (1) adalah bilangan rill yang diberikan. Setiap penyelesaian dari (1)
dinamakan fungsi Legendre.
() ()() () ( ) ; () () () dan () Dengan membagi (1) dengan
4.2 yaitu
, maka diperoleh bentuk standar (8), Pasal
dengan
. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada
.
Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat. (2)
∑
∑ ∑()
Substitusikan dan turunan-turunannya ke dalam (1) dan nyatakan konstanta
()
() ∑ () ∑ ∑
dengan , maka kita memperoleh
Dengan menuliskan pernyataan pertama sebagai dua deret yang terpisah, maka kita memperoleh persamaan (1*)
∑ () ∑() ∑ ∑
Yang jabarannya dituliskan
()() () ()
Karena ini harus merupakan siatu identitas dalam apabila (2) merupakan penyelesaian dari (1), maka jumlah koefisien-koefisien dari setiap pangkat
haruslah nok ; karena
, ini memberikan
(3a)
() [()]
Dan umumnya, jika (3b)
()() [()()]
Sekarang pernyataan dalam kurung [ ... ] dapat dituliskan menjadi
() () ()() ()() Sehingga dapat dituliskan menjadi
()() [()()] ()() [()()] Jadi dari (3) diperoleh (4)
)() ( ()()
()
Ini disebut hubungan rekursi (recurtion relation) atau rumus rekursi (recurtion formula). Rumus ini memberikan untuk etiap koefisien dinyatakan dalam koefisien kedua yang mendahuluinya, kecuali
dan
yang merupakan konstanta sebarang. Kita peroleh
secara berurutan
() ()()
()() ()()
()()()
()()()()
dan seterusnya. Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam koefisien-koefisen pada (2), kita memperoleh
() ∑ ) ()() ()()() ( ()()()() ()()() ()
()()()() ()()
Atau dapat dituliskan sebagai (5)
() () ()
di mana (6)
) ()()() () (
dan (7)
() ()() ()()()() | |
Deret ini konvergen untuk
. Karena (6) memuat hanya pangkat-pangkat genap
dari edangkan (7) hanya memuat pengkat-pangkat ganjil dari bukan suatu konstanta, sehingga
dan
, maka hasil bagi
tidak sebanding, jadi merupakan penyelesaian
bebas linear. Sehingga (5) merupakan penyelesaian umum (1) pada selang
.
Polinom Legendre
Dalam banyak penerapan, parameter
dalam persamaaan Legendre merupakan
bilangan bulat tak negatif. Maka ruas kanan (4) adalah nol jika
() Jadi bilangan genap,
, sehingga
disederhanakan menjadi suatu polinom berderajat
bilangan ganjil, diperoleh hasil yang sama untuk
()
. Bila
. Polinom-polinom ini,
dikalikan dengan suatu konstanta, disebut polinom Legendre. Karena polinom-polinom itu dalam praktek, kita akan membahasnya lebih terinci. Untuk keperluan ini, kita selesaikan (4) untuk
, diperoleh
(8)
()() ( )()
()
Kita dapat menyatakan semua koefisien-koefisien yang tak-dihilangkan dalam koefisien
dari pangkat
yang paling tinggi pada polinom. Koefisien
sebarang. Biasanya kita mengambil (9)
Pengambilan
jika
mula-mula masih
dan
(()) () ini dilakukan agar semua polinom ini mempunyai nilai 1 jika
hal ini diperoleh dari (14) pada soal 14. Jadi (8) dan (9) kita peroleh (9*)
() ()() () ()() ( )()() ( ) ()()()
yaitu
() ( ) () Dengan cara yang sama,
)() () ( () () ()
dan seterusnya. Umumnya jika (10)
,
() () ( ) ()
;
Penyelesaian persamaan diferensial Legendre (1) yang dihasilkan disebut polinom
Legendre berderajat dan dinyatakan oleh
()
. Dan (10) diperoleh
(11)
() () ∑ () ( ) () () (()) ( ) () dimana
()
, yang merupakan suatu bilangan bulat.
Khususnya (Gambar 83). (11’)
() () ( ) () ( ) dan seterusnya.
() () ( ) () ( )
Ini disebut ortogonalitas polinom-polinom Legendre.
