MEHANIKA FLUIDA K
1
TEORIJA SLIČNOSTI Mehanika fluida je teorijsko-eksperimentalna znanost, unutar koje se dugi niz godina do praktičnih rezultata dolazilo eksperimentalnim putem. Mjerenja (eksperimenti) se općenito mogu vršiti u originalnoj pojavi (prototipu) ili u modelskoj pojavi (modelu). Dimenzijska analiza, polazeći od pretpostavljenog skupa utjecajnih veličina, daje podloge za organizaciju eksperimenta u smislu minimiziranja potrebnog broja mjerenja i olakšavanja prikaza dobivenih rezultata. Teorija sličnosti, polazeći od sustava jednadžbi koji opisuje promatranu pojavu, daje podlogu za modelska istraživanja (kriterije koje treba zadovoljiti da bi se rezultati s modelske pojave mogli preslikati na prototipnu pojavu) kako u mehanici fluida, tako i u svim ostalim granama fizike i tehnike. Razlog za modelska istraživanja može biti neki od sljedećih 1. Skupa izrada prototipa (npr. u brodogradnji i avioindustriji se izrađuju modeli broda i aviona koji se ispituju u bazenu, odnosno zračnom tunelu) 2. Visoke temperature u prototipnoj pojavi (pribjegava se modelu u kojem će temperature biti niže). 3. U prototipnoj pojavi je eksplozivni ili otrovni plin (u modelskoj pojavi se uzima neeksplozivni, neotrovni plin) 4. Prototipna pojava se odvija prebrzo sa stajališta mjernih instrumenata (pojava se modelira da traje dugo u vremenu) 5. itd. … Modelska istraživanja 1 imaju smisla samo ako se iz rezultata dobivenih na modelu mogu točno predvidjeti rezultati na prototipu, tj. pojave moraju biti slične 2 . Definicija sličnosti dvaju pojava: Za dvije fizikalne pojave kaže se da su slične ako su opisane istim fizikalnim zakonima i ako se veličine u jednoj fizikalnoj pojavi (npr. na prototipnoj) mogu odrediti iz veličina druge fizikalne pojave (npr. modelske) jednostavnim množenjem konstantom koja se naziva koeficijentom sličnosti. Ako ϕ označava neku od fizikalnih veličina prve pojave (npr. prototipne), a ϕ ′ istovjetnu fizikalnu veličinu u drugoj pojavi (npr. modelskoj), tada prema definiciji sličnosti vrijedi:
ϕ = Cϕϕ ′
(1)
1
Teorija sličnosti također daje podlogu i za primjenu metode analogije. Za dvije pojave iz različitih grana fizike se kaže da su analogne ako su opisane istim oblikom jednadžbe. Tako je npr. potencijalno strujanje fluida opisano Laplaceovom jednadžbom ∂ 2ϕ / ∂xi2 = 0 , a polje temperature u krutini s konstantnom toplinskom provodnošću λ , također Laplaceovom jednadžbom ∂ 2T / ∂xi2 = 0 . Očito postoji analogija između potencijala brzine i temperature, te
brzine strujanja fluida vi = ∂ϕ / ∂xi i vektora toplinskog toka − qi / λ = ∂T / ∂xi . Tako za svako rješenje Laplaceove jednadžbe za polje temperature postoji analogno rješenje potencijalnog strujanja fluida. 2 Pojavom računala dolazi do naglog razvoja računalne dinamika fluida (engl. Computational Fluid Dynamics – CFD), u kojoj se do rezultata dolazi numeričkim rješavanjem teorijskih jednadžbi koje opisuju strujanje fluida. Ovdje izložena teorija sličnosti valjana je (može se primijeniti) i za preslikavanje rezultata proračuna s jedne na drugu sličnu situaciju.
MEHANIKA FLUIDA K
2
gdje je Cϕ koeficijent sličnosti za veličinu ϕ . L
L′
x3
x′3
G v′
G v
M′(x′1,x′2,x′3,t′)
O′
M(x1,x2,x3,t) O
x′2
x′1
x2
x1
a) Prototipna pojava
b) Modelska pojava
G G Ako su ϕ i ϕ ′ vektorske veličine (npr. vektori v i v′ , prema slici) tada će ti vektori u promatrane dvije pojave biti međusobno paralelni, a mogu se razlikovati samo po veličini, tj G vrijedi vi = Cv vi′ , gdje je konstanta Cv koeficijent sličnosti za vektorsku veličinu v . Svakoj vremensko prostornoj točki M u prototipnoj pojavi odgovara analogna vremensko prostorna točka M′ u modelskoj pojavi. Prostorne koordinate se preslikavaju s pomoću koeficijenta sličnosti za duljinu (koji se obično označuje s CL ): xi = CL xi′ , a vrijeme se preslikava s pomoću koeficijenta sličnosti za vrijeme t = Ct t ′ . Ako su ϕ i ϕ ′ polja fizikalnih veličina koja su funkcije prostornih i vremenske koordinate, tada relacija ϕ = Cϕϕ ′ vrijedi za bilo koje dvije točke M i M′ , u kojima su polja fizikalne veličine definirana.
Karakteristična vrijednost fizikalne veličine Svakoj fizikalnoj veličini ϕ se može pridružiti njena karakteristična vrijednost Φ . Karakteristična vrijednost se obično definira iz rubnih uvjeta koji definiraju pojavu, moguće je tu vrijednost definirati kao vrijednost u odabranoj točki M . Ako se sa Φ označi karakterističnu vrijednost veličine ϕ , definiranu kao vrijednost polja ϕ u nekoj točki M, a sa Φ ′ karakterističnu veličinu polja ϕ ′ , tj. vrijednost polja ϕ ′ u odgovarajućoj prostorno vremenskoj točki M′ , tada prema izrazu ϕ = Cϕϕ ′ vrijedi:
Φ = CϕΦ ′
(2)
Naravno, ako se radi o duljini, za karakterističnu vrijednost se obično odabire neka od karakterističnih dimenzija, npr. duljina L , prema gornjoj slici. Iz gornje jednadžbe slijedi da je koeficijent sličnosti definiran omjerom karakterističnih vrijednosti veličina dviju pojava: Cϕ =
Φ Φ′
(3)
Tako bi koeficijent sličnosti za duljinu (često se iskazuje i kao mjerilo modela) bio CL = L / L′ . Naravno, ako su ϕ i ϕ ′ vektorska polja, karakteristične vrijednosti Φ i Φ ′ označuju apsolutne vrijednosti (intenzitete) vektorskih veličina.
MEHANIKA FLUIDA K
3
Bezdimenzijska polja fizikalnih veličina
Uvrštavanjem izraza Cϕ = Φ / Φ ′ u izraz ϕ = Cϕϕ ′ on prelazi u oblik:
ϕ ϕ′ = = ϕ Φ Φ′
(4)
gdje je sa ϕ~ označena bezdimenzijska vrijednost polja ϕ i ϕ ′ . Iz tog se izraza zaključuje da su u dvjema sličnim pojavama sva bezdimenzijska polja ista, odnosno da su sve bezdimenzijske veličine u modelskoj i prototipnoj pojavi iste. Poznavajući bezdimenzijsko polje ϕ~ lako se dolazi do polja ϕ i ϕ ′ :
ϕ = Φϕ~
i
ϕ ′ = Φ ′ϕ~
(5)
Naravno da bezdimenzijsko polje vrijedi ne samo za dvije pojave, nego za cijelu obitelj sličnih pojava koje zadovoljavaju iste kriterije sličnosti. Teorem sličnosti Bezdimenzijsko rješenje nekog problema definirano je bezdimenzijskim jednadžbama i bezdimenzijskim početnim i rubnim uvjetima, iz čega se zaključuje: Dvije će pojave biti slične, ako su opisane istim bezdimenzijskim jednadžbama i istim bezdimenzijskim početnim i rubnim uvjetima. Postupak određivanja kriterija sličnosti
Do kriterija sličnosti dvaju pojava dolazi se svođenjem sustava jednadžbi koji opisuje promatrane pojave i pripadajućih početnih i rubnih uvjeta u bezdimenzijski oblik. Jasno je da će sustavi jednadžbi koji opisuju prototipnu i modelsku pojavu imati isto bezdimenzijsko rješenje ako su koeficijenti bezdimenzijskih jednadžbi i bezdimenzijski početni i granični uvjeti isti za te dvije pojave. Iz uvjeta jednakosti koeficijenata u bezdimenzijskim jednadžbama prototipne i modelske pojave slijede kriteriji sličnosti. Postupak određivanja kriterija sličnosti je dakle sljedeći: 1. Definirati polazne jednadžbe koje opisuju pojavu, te pripadajuće početne i rubne uvjete. (Napomena: početni i rubni uvjeti također mogu biti opisani jednadžbom) 2. Za svaku promjenjivu veličinu ϕ , odnosno ϕ ′ u pojavi, temeljem početnih i rubnih uvjeta, te konstanti u jednadžbama definirati karakteristične vrijednosti tih veličina Φ i Φ ′ , pri čemu vrijedi
ϕ = Φϕ (a)
ϕ ′ = Φ ′ϕ (b)
ϕ = Cϕϕ ′ (c)
Cϕ =
Φ (d) Φ′
Ako neka od promjenjivih veličina nije definirana u početnim i rubnim uvjetima njena se karakteristična vrijednost definira kombinacijom veličina čije se karakteristične vrijednosti mogu definirati iz konstanti u jednadžbama, te početnih i rubnih uvjeta (prema pravilima dimenzijske analize). Primjer 1: ako su rubni uvjeti stacionarni, nema se na temelju čega odrediti karakteristično vrijeme, pa se za karakteristično vrijeme uzima odnos karakteristične duljine i karakteristične brzine (ili bilo koja kombinacija veličina koja daje dimenziju vremena). Primjer 2: Rubnim uvjetima u nestlačivom strujanju nije zadan tlak, pa se za karakteristični tlak uzima umnožak karakteristične gustoće i kvadrata karakteristične brzine (ili bilo koja kombinacija veličina koja daje dimenziju tlaka).
MEHANIKA FLUIDA K
4
3. U jednadžbama prototipne i modelske pojave dimenzijske veličine zamijeniti bezdimenzijskim, prema izrazima (a) i (b), definiranim u prethodnoj točki. U svakoj jednadžbi učiniti jedan od koeficijenata jediničnim (dijeljenjem jednadžbe s koeficijentom uz član uz koji se želi dobiti jedinični koeficijent). Preostali koeficijenti u bezdimenzijskim jednadžbama, te u bezdimenzijskim jednadžbama početnih i rubnih uvjeta čine kriterije sličnosti dvaju pojava. Alternativno se do kriterija sličnosti može doći tako da se npr. u jednadžbama prototipne pojave sve veličine izraze s pomoću veličina modelske pojave, prema izrazu (c), te traže uvjeti kada će se jednadžbe prototipne pojave svesti na jednadžbe modelske pojave. Dakle, nakon uvrštavanja jednadžbi (c) u jednadžbe za prototipnu pojavu se ponovo u svakoj jednadžbi jedan od koeficijenata svede na jedinicu, a preostali koeficijenti koji čine umnoške potencija koeficijenata sličnosti, također moraju biti jednaki jedinici, čime su definirani kriteriji sličnosti. 4. Sve bezdimenzijske veličine su u prototipnoj i modelskoj pojavi jednake. Iz te se činjenice mogu izvesti veze među koeficijentima sličnosti. Primjer 1: Bezdimenzijska površina A / L2 A A A′ ′ = C A = 1 , odnosno C = C 2 A Vrijedi 2 = 2 , ili A L L L′ L2 CL2 2 L′ Primjer 2: (bezdimenzijski) koeficijent sile F CF F p′ ′ F ili = = 1 , odnosno CF = Cρ Cv2 C A = Cρ Cv2 CL2 = 2 2 1 1 v A C C C ρ 2 2 ρ v A ρv A ρ ′v′ A′ 2 2 ρ ′ v′2 A′ Primjer 3: (bezdimenzijski) koeficijent momenta M M′ = , odnosno CM = Cρ Cv2 C ACL = Cρ Cv2 CL3 1 1 2 2 ρ v AL ρ ′v′ A′L′ 2 2 Primjer 4: bezdimenzijski protok Q / vA Q CQ C3 Q Q′ Q′ = = 1 , odnosno CQ = Cv C A = Cv CL2 = L . = ili N v A Cv C A vA v′A′ Ct CL / Ct v′ A′
Iz rečenoga je jasno da će broj nezavisnih koeficijenata sličnosti biti jednak broju osnovnih dimenzija u nekoj pojavi.
MEHANIKA FLUIDA K
5
Primjer: Potrebno je odrediti kriterije sličnosti za slučaj gibanja tijela duljine L koje se trenutno G počelo gibati konstantnom brzinom v∞ u mirujućem fluidu gustoće ρ∞ , konstantne viskoznosti μ∞ u kojem vlada tlak p∞ . Pretpostavlja se nestlačivo, adijabatsko strujanje fluida. G g G g L ρ′
ρ∞
∞
p∞
x3
μ∞
L′
p′∞ μ′∞
x′3 G v ∞′
G v
G v∞
M′(x′1,x′2,x′3,t′)
O′
M(x1,x2,x3,t) O
G v′
x′2
x′1
x2
x1 a) Prototipna pojava
b) Modelska pojava
Slika 1. Oznake veličina u prototipnoj i modelskoj pojavi Slika prikazuje opisanu fizikalnu pojavu. Pri definiranju kriterija sličnosti za ovakvo strujanje u prvom koraku se raspisuju polazne jednadžbe, uključujući početne i rubne uvjete. Polazne jednadžbe za nestlačivo adijabatsko strujanje su jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja, a energijska (temperaturna) jednadžba se u ovom slučaju može rješavati neovisno o ove dvije, pa se ovdje neće uzeti u obzir.
∂v j ∂x j
ρ∞
=0
∂vi ∂v ∂p ∂ ⎛ ∂vi = − ρ ∞v j i − ρ∞ gδ i 3 − + μ∞ ⎜ ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ⎜⎝ ∂x j
(P.1) ⎞ ⎟⎟ ⎠
(P.2)
U početnom trenutku su fluid i tijelo mirovali, a u samom početnom trenutku je brzina tijela postigla konstantnu brzinu. Rubni uvjet na površini tijela kaže da je brzina fluida na toj površini jednaka brzini tijela (uvjet lijepljenja fluida). Gornje jednadžbe označuju sustav četiri skalarne jednadžbe s četiri nepoznata polja (polje tlaka i tri skalarna polja za tri komponente brzine), čije je jednoznačno rješenje definirano početnim i rubnim uvjetima. U tim se jednadžbama pretpostavlja da je gravitacija jedina masena sila (vektor gravitacije je konstantan i djeluje u negativnom smjeru osi x3 ) i da je ista u obje pojave. U drugom koraku je potrebno za svaku promjenjivu veličinu u strujanju definirati karakterističnu vrijednost temeljem početnih i rubnih uvjeta. Promjenjive veličine u gornjim jednadžbama su: vrijeme t , prostorne koordinate xi , tlak p i brzina vi . Za karakterističnu vrijednost tlaka usvaja se tlak p∞ , za karakterističnu vrijednost brzine se usvaja brzina v∞ gibanja tijela, a za karakterističnu duljinu duljina L tijela. Za karakteristično vrijeme nemamo izbor u rubnim uvjetima, jer smo definirali da se brzina gibanja tijela trenutno promijenila od stanja mirovanja na stanje jednolikog gibanja, pa ćemo karakteristično vrijeme definirati prelo duljine L i brzine
MEHANIKA FLUIDA K
6
v∞ u obliku τ = L / v∞ . Svaka promjenjiva veličina u gornjim jednadžbama koje opisuju i prototipnu i modelsku pojavu, može se prikazati preko bezdimenzijskih veličina u obliku x j = L~ xj , ~ t =τ t ,
v j = v∞ v~ j , p= p ~ p, ∞
x ′j = L ′ ~ xj , ~ t ′ = τ ′t ,
v ′j = v∞′ v~ j , p′ = p′ ~ p, ∞
odnosno
x j = CL x′j ,
CL = L / L′
(D.1)
odnosno odnosno
t = Ct t ′ , v j = C v v ′j ,
Ct = τ / τ ′ C v = v ∞ / v ∞′
(D.2) (D.3)
odnosno
p = C p p′ ,
C p = p ∞ / p ∞′
(D.4)
Uvrštavanjem izraza (D.1) do (D.4) u jednadžbe (P.1) i (P.2) za prototipnu pojavu, uvažavajući da su karakteristične vrijednosti veličina konstante, slijedi sustav jednadžbi u bezdimenzijskom obliku koji glasi:
v∞ ∂v j =0 L ∂x j
(B.1)
∂v ρ ∞v∞ ∂vi ρ v2 p ∂p μ∞v∞ ∂ ⎛ ∂vi ⎞ = − ∞ ∞ v j i + ρ ∞ gδ i 3 − ∞ + 2 ⎜ ⎟ L ∂x j ⎜⎝ ∂x j ⎟⎠ L ∂xi ∂x j τ ∂t L
(B.2)
Analogni bezdimenzijski sustav jednadžbi se dobiva i za modelsku pojavu, s jedinom razlikom da su koeficijenti jednadžbi koje opisuju modelsku pojavu sastavljeni od karakterističnih veličina modelske pojave. Ako se u svakoj jednadžbi modelske i prototipne pojave jedan od koeficijenata svede na jedinicu, tada će jednakost jednadžbi podrazumijevati jednakost koeficijenata uz odgovarajuće članove. Dijeljenjem jednadžbe (B.2) koeficijentom uz konvekcijski član (član koji označuje inercijske sile), sustav jednadžbi (B.1) i (B.2) prelazi u oblik ∂v j =0 ∂x j
(C.1)
L ∂vi μ∞ ∂ ⎛ ∂vi ∂v gL p ∂p = −v j i + 2 δ i 3 − ∞ 2 + ⎜ ρ∞ v∞ ∂xi ρ∞v∞ L ∂x j ⎜⎝ ∂x j v∞τ ∂t ∂x j v∞ N N N
St
1 / Fr 2
Eu
⎞ ⎟⎟ ⎠
(C.2)
1/ Re
Iz uvjeta jednakosti bezdimenzijskih koeficijenata u jednadžbi (C.2), koji opisuje prototipnu pojavu s odgovarajućih koeficijentima analognoj jednadžbi za modelsku pojavu slijede kriteriji sličnosti dvaju strujanja. Jasno je da su ti koeficijenti sastavljeni od sedam karakterističnih veličina, uvedenih u jednadžbama (D.1) do (D.4), a to su: L , τ , v∞ , p∞ te konstanti g , ρ∞ , i μ∞ u jednadžbi (C.2). U dimenzijama ovih sedam veličina se pojavljuju tri osnovne dimenzije: duljine, vremena i mase, te se prema pravilima dimenzijske analize može izabrati skup od tri dimenzijski nezavisne veličine, čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije svih sedam veličina, odnosno moguće je definirati četiri bezdimenzijska parametara, koji se ovdje nazivaju kriterijima sličnosti. Naravno da je izbor dimenzijski nezavisnog skupa potpuno proizvoljan, a da o izbranom skupu zavise oblici bezdimenzijskih parametara. Ako bi se npr. za skup dimenzijski nezavisnih veličina izabrao skup: ρ∞ , v∞ , L , tada bi se dobio sljedeći skup bezdimenzijskih parametara: v∞τ / L , gL / v∞2 , p∞ /( ρ∞ v∞2 ) ) i μ∞ /( ρ ∞ v∞ L) . Izborom nekog drugog dimenzijski nezavisnog skupa došlo bi se do drugih bezdimenzijskih parametara. Isto tako, bezdimenzijski koeficijenti u jednadžbi (C.2) su dobiveni dijeljenjem jednadžbi (B.2)
MEHANIKA FLUIDA K
7
koeficijentom uz konvekcijski član, a da su dijeljene nekim drugim koeficijentom dobili bi se neki drugi bezdimenzijski koeficijenti. U nastavku će se tim bezdimenzijskim parametrima pridružiti ime i objasniti značenje. Na lijevoj strani jednadžbe (C.2), uz nestacionarni član, pojavljuje se koeficijent koji se naziva Strouhalovim brojem, te za dvije slične pojave vrijedi: L L′ L lokalna promjena ili St = St ′ , gdje je St = = = v∞τ konvektivna promjena v∞τ v∞′ τ ′
(K.1)
Koeficijent uz član koji označuje masene sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), prikazuje se Froudeovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi: gL gL′ = v∞2 v∞′2
ili
1 1 gdje je Fr = = 2 Fr Fr ′2
v∞ inercijske sile = gravitacijska sila gL
(K.2)
Koeficijent uz gradijent tlaka u jednadžbi količine gibanja (C.2), se u nestlačivom strujanju naziva Eulerovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi: p∞ p′ p∞ sile tlaka = = ∞ 2 ili Eu = Eu′ gdje je Eu = 2 2 inercijske sile ρ∞v∞ ρ∞v∞ ρ∞′ v∞′
(K.3)
Koeficijent u članu koji označuje viskozne sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), definiran je Reynoldsovim brojem Re = ρ vL / μ , te vrijedi:
μ∞
ρ∞ v∞ L
=
μ∞′
ρ∞′ v∞′ L′
ili
1 1 ρ v L inercijske sile = gdje je Re = ∞ ∞ = viskozne sile Re Re′ μ∞
(K.4)
Općenito govoreći dva nestlačiva strujanja fluida će biti slična ako je zadovoljena jednakost Strouhalovih, Froudeovih, Eulerovih i Reynoldsovih brojeva prototipne i modelske pojave. Ako bi početni i rubni uvjeti bili zadani jednadžbama, iz njih bi se mogli pojaviti dodatni kriteriji sličnosti. U općem slučaju bezdimenzijsko polje tlaka i brzine u sustavu jednadžbi (C.1) i (C.2) zavisi od bezdimenzijskih prostornih i vremenske koordinate, te od koeficijenata koji je pojavljuju u jednadžbama, tj. vrijedi: p = p ( xi , t, St , Fr , Eu , Re) vi = vi ( xi , t, St , Fr , Eu, Re)
U zadanom primjeru nismo iskoristili definiciju za karakterističnu vrijednost vremena τ = L / v∞ . Ako se u definiciju (K.1) za Strouhalov broj uvrsti pretpostavljena relacija τ = L / v∞ , onda je jasno da će i u modelskoj i u prototipnoj pojavi vrijednost Strouhalova broja biti jednaka jedinici, što se može shvatiti da je jednakost Strouhalovih brojeva već zadovoljena, odnosno bezdimenzijska rješenja neće biti funkcija Strouhalova broja. Dakle nezavisni kriteriji sličnosti (oni o kojima rješenje problema ovisi) uvijek su definirani od veličina koje slijede iz konstanti koje se pojavljuju u jednadžbama (u ovom primjeru su to g , ρ∞ i μ∞ ) i konstanti iz početnih i rubnih uvjeta (ovdje su to L , p∞ i v∞ ), pa je jasno da se iz šest veličina, od kojih su tri dimenzionalno nezavisne, mogu definirati tri Π -parametra. Dakle u dvije pojave treba izabrati takve vrijednosti konstanti da bezdimenzijski koeficijenti (ovdje Fr , Eu i Re ) u dvije pojave budu jednaki, čime će se osigurati jednakost bezdimenzijskih rješenja. Za prototipnu pojavu, koju želimo ispitati na modelu, poznajemo vrijednosti svih šest utjecajnih veličina. U
MEHANIKA FLUIDA K
8
modelskoj pojavi možemo izabrati slobodno tri od šest veličina, a preostale tri su definirane kriterijima sličnosti. Jedna od njih nam je već zadana jer se modelska pojava odvija u istom polju gravitacije ( g ′ = g ), pa nam za slobodan izbor preostaju još dvije veličine. Ako je povod modelskim ispitivanjima smanjenje veličine objekta, onda biramo duljinu L′ , a biramo i fluid u modelskoj pojavi, čime su određene ρ∞′ i μ∞′ , te smo već zadali četiri veličine, a možemo zadati samo tri. Ako smo zadali četiri veličine, s preostalim dvjema možemo zadovoljiti samo dva od tri kriterija sličnosti, što znači da ne bismo imali potpunu sličnost dvaju pojava. U praksi je to čest slučaj, a u takvim situacijama potrebno je izvršiti dopunsku analizu utjecaja pojedinih parametara na rješenje, tako da se zadovolji jednakost onih koeficijenata koji značajnije utječu na rezultat. Poslije ćemo analizirati utjecaj svakog od kriterija sličnosti, a sada pogledajmo alternativni način izvođenja kriterija sličnosti. Prema definiciji sličnosti veličine u dvije pojave povezane su koeficijentom sličnosti Cϕ u obliku ϕ = Cϕϕ ′ , gdje je Cϕ jednako omjeru karakterističnih vrijednosti promatrane fizikalne veličine u dvije pojave Cϕ = Φ / Φ ′ . Ako se u jednadžbama za prototipnu pojavu ∂v j ∂x j
=0
⎞ ⎟⎟ ⎠ sve veličine izraze pomoću veličina modelske pojave, dobije se Cv ∂v′j =0 CL ∂x′j
ρ∞
∂vi ∂v ∂p ∂ ⎛ ∂vi = − ρ ∞v j i − ρ∞ gδ i 3 − + μ∞ ⎜ ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ⎜⎝ ∂x j
(P.1)
(P.2)
⎛ ∂vi′ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ Ct ⎝ ∂x′j ⎠ U gornjim jednadžbama su plavom bojom označeni članovi koji čine jednadžbe modelske pojave. Svođenjem jednog od koeficijenata u gornjim jednadžbama na jedinicu dobije se ∂v′j =0 ∂x′j Cρ Cv
C ∂p′ Cμ Cv Cρ Cv2 ∂vi′ ∂v′ ∂ ρ∞′ ρ ∞′ v′j i − Cρ Cg ρ∞′ g ′δ i 3 − p + 2 μ∞′ =− CL CL ∂xi′ ∂t ′ ∂x′j ∂x′j CL
⎛ ∂vi′ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x′j ⎠ Jasno je da će se iz prototipnih jednadžbi dobiti modelske jednadžbe, ako su svi koeficijenti jednaki jedinici, tj. vrijedi sljedeće: L CL L L′ = 1 ili L′ = 1 ili = ili St = St ′ , što je jednako izrazu (K.1) v∞ τ v∞τ v∞′ τ ′ Cv Ct v∞′ τ ′ L g CL C g gL gL′ 1 1 L′ g ′ = = 1 ili što je jednako izrazu (K.2) = 1 ili 2 = 2 ili 2 2 2 v∞ Fr Fr ′2 v∞ v∞′ Cv v∞′2 C ∂p′ Cμ ∂v′ ∂v′ C C ∂ CL ρ∞′ i = − ρ∞′ v′j i − L 2 g ρ ∞′ g ′δ i 3 − p 2 μ∞′ + ∂t ′ ∂x′j ∂x′j Cv Ct Cv Cρ Cv ∂xi′ Cρ CvCL
MEHANIKA FLUIDA K
9
p Cp p∞ p′ p′ = 1 ili = ∞ 2 ili Eu = Eu′ što je jednako izrazu (K.3) = 1 ili 2 2 2 ρ∞ v∞ ρ∞v∞ ρ ∞′ v∞′ Cρ Cv 2 ρ∞′ v∞′ Cμ Cρ Cv CL
= 1 ili
μ∞ μ∞′
ρ∞ v∞ L ρ∞′ v∞′ L′
= 1 ili
μ∞
ρ∞ v∞ L
=
μ∞′
ρ∞′ v∞′ L′
ili
1 1 = , vidjeti izraz (K.4) Re Re′
Dakle dobili smo iste kriterije sličnosti. Za one veličine koje se nalaze kao konstante u jednadžbama (u ovom primjeru su to g , ρ∞ i μ∞ ) ili su zadane početnim i rubnim uvjetima (ovdje su to L , p∞ i v∞ ) (dakle parametre koje zadajemo) možemo definirati nezavisne koeficijente sličnosti. Dakle, jasno je da će koeficijent sličnosti za vrijeme (za kojeg nemamo parametra kojim bi unaprijed definirali pripadajući koeficijent sličnosti) biti definiran kriterijem (K.1) iz kojega je Ct = CL / Cv , odnosno Strouhalov broj je iskorišten za definiciju koeficijenta sličnosti za vrijeme, pa on nije kriterij sličnosti dvaju strujanja. U ovoj pojavi je Cg = 1 , a nakon izbora mjerila modela (koeficijenta sličnosti CL za duljinu) i fluida u modelskoj pojavi (definirani Cρ i Cμ ) možemo još odrediti koeficijente sličnosti C p i Cv tako da zadovoljimo dva od preostala tri kriterija sličnosti. Kao što je već rečeno u situaciji u kojoj ne možemo zadovoljiti sve kriterije sličnosti, jer smo prisiljeni zadati veći broj veličina nego imamo dimenzionalno nezavisnih veličina, potrebno je zadovoljiti najutjecajnije kriterije sličnosti. Analiza važnosti bezdimenzijskih parametara Strouhalov broj Strouhalov broj se nalazi na mjestu koeficijenta uz član koji označuje lokalnu promjenu odnosno nestacionarnost strujanja, te se odmah zaključuje da će biti bitan samo u nestacionarnom strujanju. Nestacionarnost strujanja može biti posljedica vremenski promjenjivih rubnih uvjeta, kada je na temelju vremenske promjene rubnih uvjeta moguće definirati karakteristično vrijeme. Ako bi npr. tijelo, na koje nastrujava fluid konstantnim i jednolikim profilom brzine vibriralo određenom frekvencijom ω, tada bi strujanje bilo nestacionarno, a karakteristično vrijeme bi se moglo definirati periodom tih vibracija τ=1/ω, odnosno Strouhalov broj bi bio: St ∞ =
L v∞τ
=
ωL v∞
Nasuprot nestacionarnom strujanju s vremenski promjenjivim rubnim uvjetima, postoje i nestacionarna strujanja s vremenski konstantnim rubnim uvjetima. Na primjer ako je zatvoreni prostor pregrađen membranom, tako da se sa svake strane membrane nalazi plin pod različitim tlakom, nakon trenutnog puknuća membrane doći će do nestacionarnog strujanja plina, uz stacionarne rubne uvjete. Drugi tipični primjer nestacionarnog strujanja uz stacionarne rubne uvjete je nestlačivo optjecanje valjka jednolikim i konstantnim profilom brzine, gdje na stražnjem dijelu površine valjka, dolazi do odvajanja strujanja i periodičkog otkidanja vrtloga. U takvim se slučajevima karakteristično vrijeme ne može definirati na temelju vremenske promjene rubnih uvjeta, nego se ono definira s pomoću raspoloživih karakterističnih veličina, npr. karakteristične brzine i karakteristične duljine u obliku τ = L / v∞ . U tom je slučaju Strouhalov broj identički jednak jedinici u obje pojave, što drugim riječima znači da je kriterij Strouhalova broja automatski zadovoljen. Budući da je rješenje nestacionarno, moguće je
MEHANIKA FLUIDA K
10
definirati neko karakteristično vrijeme koje karakterizira vremensku promjenu rješenja, ali to vrijeme ne predstavlja osnovu za postavljanje kriterija sličnosti, jer je ono svojstvo samog rješenja, a ne dolazi iz rubnih uvjeta. Tako bi se u problemu optjecanja valjka jednolikim i konstantnim profilom brzine, mogao definirati Strouhalov broj na temelju frekvencije otkidanja vrtloga, koji bi bio definiran analogno izrazu (K.1), ali taj Strouhalov broj, kao što je rečeno ne bi označavao nezavisni kriterij sličnosti (čijim bi podešavanjem uvjetovali rješenje) jer on sam dolazi iz rješenja. Dakle, Strouhalov broj će se pojavljivati kao nezavisni kriterij sličnosti samo u problemima s vremenski promjenjivim rubnim uvjetima. Froudeov broj Froudeov broj označuje odnos inercijske i gravitacijske sile. Ovaj će broj biti značajan u opisu problema kod kojih je bitan utjecaj gravitacije na polje brzine, odnosno kod kojih je bitna preraspodjela potencijalne i kinetičke energije. Tipični primjer pojave u kojoj je Froudeov broj nezaobilazan kriterij sličnosti su površinski valovi nastali gibanjem broda po površini vode, kod kojih upravo dolazi do preraspodjele između kinetičke i potencijalne energije čestica fluida (jer je tlak na slobodnoj površini konstantan). Pri istjecanju fluida iz velikog spremnika, također dolazi do pretvorbe potencijalne energije u kinetičku, te će sila gravitacije biti značajna za polje brzine. Nasuprot tome, ako se promatra strujanje kroz kosu cijev konstantnog poprečnog presjeka između dva presjeka sa zadanim tlakom, iz Bernoullijeve jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta je jasno da gravitacijska potencijalna energija nema utjecaja na polje brzine (jer kinetička energija ne zavisi od potencijalne energije), a sila gravitacije utječe samo na polje tlaka. Slično se može zaključiti i za slučaj horizontalnog optjecanja tijela potopljenog duboko ispod slobodne površine (tako da se na slobodnoj površini ne pojavljuju valovi). Ako se od stvarnog polja tlaka oduzme promjene tlaka nastala uslijed gravitacije, slika strujanja se neće promijeniti, iz čega se zaključuje da masene sile nemaju utjecaja, odnosno Froudeov broj nije kriterij sličnosti. Iz sličnih se razloga pri strujanju plinova s nametnutim gradijentom tlaka u smjeru strujanja (slučaj prisilne konvekcije), utjecaj gravitacije redovito zanemaruje. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj U nestlačivom strujanju razina tlaka nema utjecaja na polje strujanja, jer tlak nema utjecaja na gustoću fluida, a njegov utjecaj na polje brzine se očituje kroz gradijent tlaka, koji se pojavljuje u jednadžbi količine gibanja. Jasno je da se polju tlaka može dodati konstanta a da se polje brzine ne promijeni. Ako su u nekom problemu zadane brzine po rubu područja, tlak se zadaje samo u jednoj točki, pa je jasno da u takvim uvjetima Eulerov broj nije nezavisni kriterij sličnosti, jer polju tlaka možemo dodati ili oduzeti konstantnu vrijednost bez da se slika strujanja promijeni (dakle Eulerov broj se može smatrati zadovoljenim). U takvim se slučajevima za karakterističnu vrijednost tlaka bira dvostruka vrijednost dinamičkog tlaka, pa je Eulerov broj jednak jedinici, što znači da ispada iz skupa nezavisnih parametara. Jednakost Eulerova broja će morati biti zadovoljena u dva strujanja u kojima je zadana neka razlika tlaka, čime je na neki način određen gradijent tlaka. Na primjer u pojavi strujanja kroz cijev, ako je tlak zadan na ulaznom i izlaznom presjeku cijevi, razlika tih tlakova postaje presudna za vrijednost brzine strujanja. U tom slučaju se Eulerov broj može definirati izrazom u kojem se tlak zamjenjuje razlikom tlaka Δp Eu = ρ ∞ v∞2 Slično vrijedi i kod pumpe, koja predaje energiju fluidu, pa se tlak od ulaza do izlaza iz pumpe poveća za Δ p .
MEHANIKA FLUIDA K
11
Sljedeći primjer, gdje je zadana razlika tlaka su pojave nestlačivog strujanja s mogućnošću pojave kavitacije, kada je zadan tlak pv para, pa je Δ p = p∞ − pv . Dakle ako se u jednom strujanju pojavljuje kavitacija, treba osigurati uvjete za pojavu kavitacije i u njemu sličnom strujanju. Za te se potrebe Eulerov broj preuređuje u kavitacijski broj, koji je definiran izrazom p −p σ= ∞ 2v ρ∞ v∞ U analizi stlačivih strujanja, kod kojih se gustoća fluida značajno mijenja, Eulerov broj se može prevesti u Machov broj, koji je u stlačivom strujanju važan kriterij sličnosti. Znamo da je sila tlaka na česticu fluida odgovorna za promjenu njena volumena, odnosno gustoće, pa se govori o sili taka kao o sili stlačivanja. U savršenom plinu je brzina zvuka definirana izrazom c 2 = κ p / ρ ( κ je eksponent adijabatske ekspanzije), pa se Eulerov broj može zapisati u obliku p∞ κ 1 c∞2 1 1 v inercijske sile Eu = = = , gdje je Ma = = . 2 2 2 c sile stlačivanja ρ∞ v∞ κ κ v∞ κ Ma Strujanje plinova pri niskim vrijednostima Machova broja (recimo Ma < 0.3 ) tretiramo kao nestlačivo strujanje, jer je promjena gustoće u takvim strujanjima s inženjerskog stajališta zanemariva. Tako se npr. strujanje zraka oko automobila, koji se kreće brzinom recimo 150 km/h (41.7 m/s), pri brzini zvuka, koja pri normalnim uvjetima zraka iznosi 331 m/s, odvija pri Machovom broju Ma = v / c = 0.125 , pa se redovito smatra nestlačivim. Kod modelskih ispitivanja istog problema treba paziti da u sličnoj pojavi Machov broj ne prijeđe, recimo vrijednost 0.3, jer bi tada u modelskoj pojavi strujanje bilo sa značajnim utjecajem sila stlačivanja, nego u originalnoj pojavi, pa bi sličnost strujanja bila narušena.
Reynoldsov broj Jedan od najvažnijih bezdimenzijskih parametara, bilo za slučaj vanjskih zadaća (optjecanja) bilo unutarnjih zadaća (protjecanja fluida) je upravo Reynoldsov broj. Kao što je jasno iz jednadžbe količine gibanja on označuje omjer inercijskih i viskoznih sila i glavni je kriterij prelaska laminarnoga u turbulentno strujanje fluida. Laminarno strujanje fluida održava se pri malim vrijednostima Reynolsova broja, gdje je utjecaj viskoznosti veći. Velike vrijednosti Reynoldsova broja označuju mali utjecaj viskoznosti, te se pri visokim vrijednostima Reynolsova broja viskozne sile mogu i zanemariti u većem dijelu područja strujanja. Međutim, kad god u području strujanja postoji čvrsta stijenka utjecaj viskoznih sila se neće moći zanemariti u neposrednoj blizini stijenke. Zbog viskoznosti fluida brzina fluida na stijenci jednaka je nuli, a udaljavanjem od stijenke brzina čestica fluida se postupno povećava. Zbog toga će uz stijenku uvijek postojati područje u kojem se strujanje fluida odvija malim brzinama s malim inercijskim silama, te se u tom području (koje se naziva graničnim slojem) utjecaj viskoznih sila neće moći zanemariti. U tim će slučajevima Reynoldsov broj biti važan kriterij sličnosti. Postoje viskozna strujanja fluida u kojima Reynoldsov broj nije nezavisni kriterij sličnosti. Jedno takvo je npr. problem prirodne konvekcije (strujanje koje nastaje uslijed izmjene topline, tj. razlike u gustoći koja nastaje zbog razlike temperatura čestica fluida) u zatvorenom prostoru, gdje su brzine po svim granicama jednake nuli, te iz rubnih uvjeta nije moguće definirati karakterističnu brzinu, koja bi ušla u definiciju Reynoldsova broja. Naravno, u takvom bi se strujanju mogao definirati Reynoldsov broj na temelju npr. maksimalne brzine koja se pojavljuje u rješenju. U sličnim strujanjima bi vrijedila jednakost tako definiranog Reynoldsova broja u dvije pojave, a s obzirom da je Reynoldsob broj definiran na temelju brzine koja dolazi iz rješenja, on ne bi označavao nezavisni kriterij sličnosti.
