K.vazistaciollama isticallja teCl10sti pri punjel1ju iIi praZlljenju rezervoara razlicitih oblika ....................................................................... . K.vazistacionarno preticanje tecnosti u spojel1im sudovima Kvazistaciollarno isticanje pri tOlljellju iIi izranjanju sudova
3.
lP'RlMENA ZAKONA 0 PROMENI KOLICINE KRETANJA
3.1.
Zakon 0 promel1i koIiCine kretanja za geometrijski slozene strujlle prostore ................................................................................................. .
3.2. 3.3.
Moment sila nastao promel1om kolicine kretanja Udarac mlaza u cvrstu pregradu
4.
OSNOVE DUNE HI1IlRAUUKE
4.1.
OSOmlID!3 razmatranja
4.2. 4.3.
Hidraulicki sistemi preo@sa 1mage
4.3.l.
lednacine koje se koriste za stacionarni proracun rada UHS
Faze kretanja Idipa Promeun hetne sHe hidrocilindra Siia trenja koja deluje na klip Strujanje kroz kruzne pro cepe Koncentrieni lcruzni procep Ekscel1tricni kruzni procep Dinamika hidrocilindra Hidraulicko kocenje kretanja
4.7.9.
Promeun He na izvijal1je
4.7.9.l.
ElasticuCl linija i kritieua sila izvijanja
4.7.9.2.
Praktieni proraeuI1 hidrocilindra 11a izvijanje Literatura
PREDGOVOR Polazni materijal-osnovu ove knjige cini dec koji je autor pisao u sklopu knjige Hidraulika-teonja, problemi, zadaci, autma S. Cantraka i C. Crnojevica, koja je bila u izdanju Gradjevinske knjige iz 1990. godine. Taj postojeCi telcst je preslldno uticao da koncepcija ove knjige uglavllom ostane ista kao i koncepcija kl1jige pretece, a to znaci da je posIe teorijskog uvoda neke oblasti dat odgovarajuCi broj primera. Prema tome, ova lmjiga istovremello predstavlja i lldzbenik iz dela teorije i zbirku resenih primera iz hidraulike i uljne hidraulike. VeCi deo rukopisa ove knjige bio je spreman za stampu jos 1993. godine, medjutim, sticajem razliCitih okolnosti stampanje ove kr~jige je odlozeno za neku drugu priliku. Ovo odlaganje mi je dalo dovoljno vremena, nadam se na racun poboljsanja kvaliteta, da se rukopis nakl1ad110 ddradi i dopuni sa novim poglavljima. U odnosu na pomenuto "prethodno" izdanje postojeCi teorijski delovi su uglavnom doradjeni, dok su neki potpuno preradjeni, a takodje su dodati i novi teorijski prilozi, a sa ciljem kompletiranja teorijskih znanja iz oblasti primenjene hidralllike. Odeljak 3. koji se odnosi na primenu zakona 0 promeni kolicine kretanja je pot-puno preradjen. Dodato je i novo poglavlje 4. Osnove uljne hidraulike, a sa namefOm da se OVOl11 knjigom, bar sto se primera tice, u potpunosti pokrije precJmet Hidraulika i pneumatika koji se slusa na trecoj godini studija Masinskog fakulteta u Beogradu. U sklopu lleke izlozene teorijske jedillice pojedine jednaCine i izrazi su zaokru.zeni a sa ciljem da se citoacu i vizueinim putel11 skrene pazllja 11a ono sto je vazno za pril11enu. " Treba napomenuti da je, izmecJju ostalog, autorov cilj bio da se da sto veCi broj primera, odnosllo problema, koji Sll u telcstu oznacelli sa problem iii P., a koji su dati posle oclgovarajuCih teorijskih osnova. Odabirdatih primera vrsen je taka da saddi spektar klasicnih primera iz oblasti mehanike fluicla, veti cleo originalnih zadataka koje je autor davao duzi niz godina 11a pismenim ispitima iz preeJmeta Hiclraulika i pneumatika i Mehanika fluida, kao ideo primera koji preclstavljaju stvarne illzcnjerske potrebe i problell1e. Pri izboru primera autor je nastojao da oni sto vernije odslikavaju realnu inzilljersku hidraulicku praksu. I pored toga, dat je i izvestau braj primera (zadaci radi zadataka) kojiill1aju veoma retku prill1enu, kao st-o su, 11a PI., slucajevi prisustva veceg broja medjusobno ne mesajuCih tecnosti u rezervoarima, iii neki primeri relativnog l11irovanja tecnosti, a Cija je svrha u korektnoj primeni teorijskih znanja na slozenim sillcajevima. Dati primeri II knjizi, a na osnovu dugogodisnjeg nastavl1o-pedagoskog iskustva, izlozeni Sll tako sto je jeclan broj primera i problema reSen detaljno, drugi je sa delil11icnim postupkom rd3vanja, dok je treCi clat samo sa zavrsnim fei3tnjem kako bi zainteresovani citaoci, kroz samostalan rad, l110gli da provere svoja stecena ZIlallJa. Ova knjiga je prvenstveno namenjena studentim
Predgovor
VII
strucnjacima koji u svojoj praksi imaju potrebe za primenama mehanike fluida. S obzirom cia se teorijski cielovi, iii, pak,izvestan broj primera teorijskog karaktera, koji su dati u lrnjizi ugIavnom ocinose na iminjerski najceSee k6riseene oblasti mehanike fluida to znaci da se tim delovill1a sarno cielimicno pokrivaju potrebe predav
Antol'
- teZina - visina - moment inercije povrsine - koeficijent hidralllicke lcarakteristike cevovoda - duZina - masa - maseni protok fluida - normala na povrsinu, broj obrtaja - pritisak - sila pritiska, snaga - specificni zapreminski protok - poluprecnik, polama koordinata - poluprecnik, gasna konstanta, sila reakcije - Rejnoldsov broj - vreme, temperatura - vremenski period, apsolutna temperatura - brzina strujanja - zaprelIlll1a - zaprel11inski protok - rad - Dekartove koordinate - nap or, strujna energija po jedinici mase - koordinata te:tista povrSine u odnosu na nivo slobodne povrsi tecnosti
h.,H 1
K
I,L
m In
n. p p
q
r R Re T
v
v v w x, y, Z
y
- ugao, koeficijent korekcije kineticke energije - ugao, koeficijent korekcije koliCine kretanja
Spiftlk I'tlzlli;ih oZltaica
o
- debljina zida, apsolutna visilla hrapavosti
LlP
- pad/porast pritiska
t;
- koeficijent lokalnog otpora
K
-
A.
- koeficijcnt trenja - koeficijent protoka - gustina - normalni napon - tangencijalni-viskozni napon - ugaona koordinata, koeficijent brzine - ugaona brzina
!J
p cr 1;
q> CO
koeficijent adijabate
Indeksi - stallje atmosfere
a
c
- teziste povrsine
k
- krivina, kriticno stanje
m
- manometar, sredllja vrednost
o
- pocetno stanJe - pumpa, klip - racva - srednja vrednost - trenje - usis - venti! - zid - koordillatni pravac
P
R S T u
v w
x, y,
z.
Statisticki prika'l. knjige: Stranica UCeSce teorije
363 38,5%
Primera
300
Slika
404
Tabela ...................................
17
IX
1.1. POLJE PRITISKA. MANOMETlU }L:Jl.l. PIf'R1l:isak
Pritisak je jedTla od oSTlovmh ve/iana staTlja, bilo da se f1uid nalazi u star~ll mirovanja ili kretanja. Ako fluid miruje, tada se pritisak II njemu naziva staticki pritisak, a ako stmji tada se osim statickog mogu definisati totalni i dinamicki pritisak. Kako pritisak predstavlja veoma znacajnu veliCinu stallja to ce se II ovom Odeljkll njegovom proucavanju posvetiti vise paznje. Da bi se definisao pritisak posmatrace se povrS A koja je u kontaktll sa f111idom, s1.1.1.1.1a. Ova povrs je u opstem slucaju zakrivljena, a njen deo M je dovoljno mali i moze se smatrati ravnom povrSi. Na povrsinu M, kao uostalom i na celokupnoj povrsini A, udaraju fl.p i odbijaju se molekuli fluida. Ti !J.A udari mole kula na povrsinu ~A, ! usled promene koliCine kretanja, I p deluju silom M. Odnos ovih L. ___ _~ veliCina M / M graficki je b) a) prikazan na s1.1.1.1.16. Sa ove Slika 1.1.1.1 slike se uocava da pri malim povrsinama M OdllOS M / M ima neravnomerni karakter. Ta lleravnomernost je vezana za nedovoljni broj molekula koji udaraju u povrsinu M, odllosno tada se f1uid ne moze smatrati neprekidnom sredinom. Medjutim, pocevsi od jednog granicnog odnosa M = Mg fluid postaje neprekidna sredina a odnos f:,p'/ M
I_l_·
postaje konstantan i naziva se pritiskom. Prema tome, pritisak se moze defillisati kao skalarna prostorno-vremellska veliCina p == p(x,y,z,t) koja predstavlja normalni napon u fluidu, i koja je jednaka odnosu normalne sHe liP i povrsine M na koju deluje ta sila: ~P--=--h-·m--(-M-/-M--)-=-dP-../-~.-I~1
I
M~Mg
.. .
Merna jedinica za pritisak je Paskal [Pa]. Pritisak fluida definise se i u kinetickoj teoriji gasova. Prema ovoj teoriji, za jednoatomne gasove, pritisak je odredjen izrazom: n 2 2 =-nEk P =-mv 3 3 '
pri cemu je n-broj molekula po jedillici Zapremllle, m-masa molekula, v-brzina translatornog kretanja i Ek = I11V 2 /2 -ldneticka ellergija translatornog kretanja mole kula. 1z ovog rezultata lcoji daje kineticlca teorija gas ova sledi da je pritisak veliCina koja je posledica promene kolicine kretanja i proporcionalna je broju mole kula i njihovoj kinetickoj energiji tanslatornog lu-etanja. Pri proucavunju lnirovanja f1uida od posebnog illtLt'~sa su sledeCi pritisci: atmoJfor:J'k~ potpritiJ'aA; Tlatpritisak i apso/utnipritisak.Potpriti.fak i Tlatpritifak Stt re/ativllipritisci imere J'e U odTloslt lla stallje atlllOJfore.
2
Folje pritiska. lvIanometri
Atmosforskipritiso/c je pritisak okolnog vazduha, Ovaj pritisak oznacava se sa PC! iIi Pb' a meri se u odnosti na apsolutnu nulu pritiska, Njegova vredllost je promenljiva i zavisi od atmosferskih prilika, i menja se u veoma uskim grallicama, tako da se za odgovarajuce geografsko podrucje moze smatrati konstantnom veliCinom. Atmosferski pritisak je obicno reda velicine oko 1000 mbar. Ako je apsolutni pritisak u fluidu manji od atmosferskog (tach A sa s1.1.1.1.2) tad a se razlika izmedju atmosferskog i apsolutnog pritiska naziva potpritirok. Potpritisak se oznacava sa PV' gde indeks /l potice od mernog instrument a - vakummetra, Kako se potpritisak meriod stanja atmosfere, to vazi Pv ~ Pa' Ova relacija istovremeno govori o maksimalnom potpritisku, iz koje sledi da je: PV,max =: Pa'
mada se ovo stanje u realnim tehnickim uslovima tesko ostvariti. moze Slika 1.1.1.2 Ako je apsolutni pritisak u fluidu veti od atmosferskog (tacka B sa s1.1.1.1.2) tada se razlika izmedju apsolutnog i atmosferskog pritiska naziva notpntiso/c. Natpritisak se oznacava sa Pm' gde indeks m potice od naziva mernog instrumenta - manometra. Ostvareni natpritisci u stisljivom i nestisljivol11 fluidu su razlicitog reda velicine. Kod vazduha, kao stisljivog fluida, primenjenog u pneumatici, industrijski natpritisci su 6-8 bar, dok za specijalne potrebe natpritisak u vazduhu moze da dostize vrednosti od par stotina bar-a. Kod nestisljivog fluida, natpritisci su mnogo veci. Tako na pr., u uljnoj hidraulici natpritisci za industrijske potrebe su do 700 bar; dok u laboratorijskim uslovima, za specijalne namene, ostvaruju se natpritisci do 15000 bar. " Apsolutni pritisak, za bilo koje stanje fluida, meri se u odnosu na apsolutnu nulu pritiska. Ako je fluid u stanju potpritiska (tacka A)apsolutni pritisak je PA =: Pa - PV ' dok se za fluid u stanju natpritiska (tacka B) apsolutni pritisak odredjuje kao PB = Pa + Pm' 1.1.2.
Posmatrace se fluid gustine p = p(x,y,z) koji se nalazi u stanju mirovanja (s1.1. 1.2a). Iz te fluidne mase izdvojice se proizvoljna kontrolna zapremina V, ogranicena povrsinom A, j analizirace se njena ravnoteZa. Pri tomese postavlja pitanje: koje sile deluju na fluid u stanju mirovanja i kakav zakon promene pritiska one izazivaju? Da bi se nasao odgovor na ovo pitanje posmatrace se fluidni delic zapremine dV, mase dm =: pdV, prikazan na sl.1. 1.2b. Ovaj fluidni delic izlozen je dejstvu zapremi- z nske sile po jedinici mase F, x te zato na njega deluje aj
Polje pritiska. lvlanometri
3
elementarna zapreminskasila Fdm-= pFdV. Na osnovu ove sHe nalazi se rezultujuca zapreminska sila koja de1uje na celokufmu zapreminu fluid a V, kao: Iv pFdV. Osim zapreminske sile na f1uidni delic deluje i povrsinska sila, odnosno sila pritiska. Ako se f1uidni delic, zapremine dV, presece nekom ravni na dva dela (v. sl.1.1.2c), tada na povrsima preseka povrsine dA l deluju sile: -pdA] ipctA 1 koje su istog pravca i intenziteta, ali suprotnog smera; U ovim sHama (-pdA! =-pdA! iiI) zn,!-k minus potice od suprotnih smerova vektora sHe pritiska i orta spoljasnje llormale povrsine. Kada se ponovo spoje preseceni delovi f1uidnog delica sHe pritiska se uravnotezuju, sto znaGi da u unutrasnjosti zaprernine fluidnog delica dV nema povrsinskih sila. Identican zakljucak vazl i za celokupnu ullutraslljost kontrolne zapremine V. Odavde sledi da povrSinske sile deluju sarno na kOlltrolnoj povrsini A (v. s1. 1.1.2b). S obzirom da je elementarna sila pritiska ip -= - p dA , to ce lljella rezultujuca vredllost biti pdA.
t
Iz jedllaCine ravnoteie sila koje delujulla kontrolnll zapreminu f111ida sledi jednakost:
i
v
pFdV-
f pdA=O, A
koja posredstvom, dobra poznate, veze izmedll povrsinskog integrala dobija novi oblik:
iv (pF - grad p )dV
zapreminskog
=0.
Da bi ova jednacina bila zadovoljena, a s obzirom da je V proizvoljno izabrana zaprernina, sledi da mora biti zadovoljena jednakost pl- grad p = 0, iz koje se dalje dobija vektorska jednacina p-=F~=--gr--ad--p---I,
r-I
(1.1.1)
koja predstavlja osnovllil jednacinll mirovanja f1uida, i ona fizicki izrazava ravnoteiu zapreminskih i povrsinskih sila koje deluju na fluid u stanju rnirovanja. Ova jednacina se jos naziva i Ojlerovom jednacinom hidrostatike. Kada se u vektorskoj jednaCini (1.1.1) zamene vrednosti rezultujuce zapreminske sile po jedinici mase F = F/ + FyJ + ~l~, pri cemu su· Fx, Fy i Fz komponente sile,
I
vrednost gradijenta pritiska (grad p == Vp) i kada se ona skalarno pomnozi sa
I
elementom duzine vektora polozaja dl -= dx T +dy J +dz k, dobija se skalarna jednaCina dp = (Vp,dl) = (pF,dl) , koja u razvijenom obliku glasi:
\
Idp=p(Fxdx+Fydy+Fzdz)l,
(1.1.2)
lednaGina (1.1.2) predstavlja skalarni oblik osnovne jednacine mirovanja fluid a koji se najceSce koristi za feSavanje prakticnih problema. 1.1.3. Hid1l"osi:mticki z:mk@lIi rasp@dele pritisb.
Pri mirovanju fluid a u poIju sHe Zernljine teze(sl.1.1.3), u koordinatnom x. y i z, gde je z vertikalna koordinata, komponente rezultujuce
sist~mu
I
4
Polje pritiska. Manometri
F." == 0, J<-; == 0
zapreminske sile po. jedinici mase imaju vrednosti: .
i
~ =
-g. Sa
"
ovim vrednostima sile Ojlerova jednaCina se znacajno pojednostavljuje i glasi : dp=--pgdz. (1.1.3) Ova jednaCina predstavlja diferencijalni obIik osnovnog zakona hidrostatike, primenjenog na polje zapreminske sile Zernljine tde i vaii kako za nestisljiv (p = const) tako i za stisljiv fluid (p:;c const). Ako se dalje posmatra rnirovanje nestisljivog £luida iz jednaCine (1.1.3) se dobija P + pgz == const ,
Slika 1.1.3
(1.1.4)
a sto predstavlja hldrostatickizakon raspodele pritiska. Iz ovog zakona sledi da se pritisak u nestisljivom £luidu, koji rniruje, lineamo menja sa dubinorn tecnosti. Pri mirovanju tecnosti nije prakticno da je koordinata z usmerena vertikaIno na vise (kao u izrazu (1.1.4», vee vertikaIno na niZe. DakIe, prakticno je uzeti da se rast koordinate z pokIapa sa porastom dubine tecnosti . Ako se jos koordinata z veze za nivo tecnosti u rezervoaru, hidrostaticki zakon raspodele pritiska dobija oblik
1P = Po +pgz I·
(1.1.5)
Konstanta integracije Po ima vrednost: Po = Pa ako je nivo tecnosti otvoren prerna atniosferi, Po = Pa - Pv ako iznad nivoa tecnosti vlada potpritisak Pv ' ili Po = Pa + Pm ako iznad nivoa tecnosti vlada natpritisak Pm' 1.1.4. bobaliske
~
eJk:viplilitiisne pmnrsJi.
Izobarske (ekvipritisne) povrsi su one povrsi na kojima je pritisak konstantan (p = const.). Ove povrsi su rayne ili krive, sto zavisi od polja zapreminskih sila. Ako se posrnatra mirovanje tecnosti tada Vail osnovna jednaCina hidrostatike (1.1.1) iz koje se zakljucuje da je rezultl1jl1Civektor zapreminskih sila F uvek norrnalan na izobarske povrsi (pF == grad p), a. sto je graficki prikazano na sL1. 1.4a. Prerna tome zapreminska sila F diktira oblik izobarske povrsi. Ako
--
(It?
/?
CJ
~"'~-VV"'lc...,.1'
-..- ..... .... ---------
b)
c)
-.~~-
e)
Slilm 1.1.4 tecnost miruje u polju sile Zemljine teze tad a na svaki £luidni delie deluje konstantna zapreminska sila if, odakle sledi da izobarske povrsi moraju biti rayne horizontalne povrsi. Ovaj zakljucak sledi i iz hid~ostatickogzakona raspodele pritiska (1.1.5). Nairne, ako se posmatra ravan na dubini z = canst., tada iz (1.1.5) sledi i da je p = const", odnosno da je izobarska povrs myna horizontalna povr!; (v.
Palje pritiska. 1vIanometri
5
s1. 1.1.4b). Ukoliko je zapreminska sila F i dalje konstantna, ali nagnuta pod llekim uglom Uodnosu na horizontahi, sto predstavlja slucaj relativnog mirovanja tecllosti pri translatornom kretanjll, izobarske povrsi i dalje ostajll raYne, ali nagnllte pod izvesnim uglom u odnosu na horizontaiu (v. sLl.1.4c). Ako zapreminska sila nije vise konstantna vee promellijiva, na pro neka je linearna funkcija od radijus vektora polozaja fluidnog deliea a sto odgovara relativnom rnirovanju tecnosti pri rotaciji (v. s1.1.1.4d), tada izobarske povrsi dobijaju zakrivljeni oblik (obrtnog paraboloida). Detaljnije 0 slucajevima re1ativllog mirovanja tecnosti pri translaciji i rotaciji biee reCi u poglavljima 1.7 i 1.8. U slucaju da se ne radi 0 mirovanju vee 0 kretallju tecnosti, na fluid deluju i dinarnicke sile, sto dovodi do znatnog uslozavanja polja pritiska. Tako na pI. aka se posmatra nivo povrsine vade reke iii mora sa sLl.l.4e, tad a je sasvim jasno da· je oblik povrsine vode, a samim time i polje pritiska, veoma slozello. Konstantnost pritiska na izobarskoj povrsi moze da se iskoristi i za prakticnu primenu. Tako na pI. ako se na izobarskoj povrsi uoce dye tacke A i B (v. sLl.1.4a) tada vaii p A = PB' Ova jednakost pritisaka se naziva jednaCina hidrostaticke ravlloteze koristi se za prakticllu primenu u mnogim oblastima hidrostatike. 1.:LS. Nivo slobodnc povdB. tecnosti Ako se posmatra polje pritiska u fluidu koji miruje u polju sHe Zemljine teze i u sklopu njega specijalna izobarska povrS na kojoj je pritisak jednak atmosferskom (p = Pa = canst.) tad a se ta izobara nazlj1a mvo slobodlle povr,fi tecnosti Ova izobarska povrs pri resavanju prakticnih primera moze da ima znacajnu ulogu, zato joj treba posvetiti posebnu painju. Na hidraulickim senlama ovaj nivo se oznacava sa trouglom (\7). Postoje tri karakteristicna slucaja poloiaja nivoa slobodne povrsi tecnosti, ito: jedan kada je rezervoar otvoren prema atmosferi i dva slucaja zatvorenih rezervoara. Ako je sud (A) o/voren prema atmo.sftn; tada je nlvo tecnosti istovremeno i slobodna povrJ: Ako je sud (B)
Slika 1.1.5.1 zatvoren,i aka iznad nivoa tecnosti u sudu vlada potpritisak PV ' tad a se moze zarnisliti da se iz suda B izvuce pijezomctarska cevCica i tame gde se nivo tecnosti u njoj zaustavi taj nivo predstavlja nivo slobodne pnv:si. Knko II SUdli vlada potpritiJ'tlk; to ce nivo slobodne povrfi biti i.rpod nivoa tecnosti II J'lIdu na rastojanju x. Ovo rastajanje odreduje se iz jednacine hidrostaticke ravnoteie postavljene za
6
Polj"e pritiska. Manometri
izobarsku ravan I-I: P a = Pa - P v +pgx, i iznosi x = Pv/pg .Ako u sudu (C) iznad mvoa tecnosti vlada ndtpnlisal<; to ce Jzivo slobodne jJovr.fi tealOsti bitiiznad 1l.ivoa tealOstl It Sltdtt i t6 na rastojanju y = Pm / pg. Ovo rastojanje. odredeno je iz jednaCine hidrostaticke ravnoteze postavljene za izobarsim ravan II-II, a koja glasi: Pa + Pm = Pa + pgy. Polje pritiska na proizvoljnoj dubini Z odredeno je izrazom (1.1.5) koji se svodi na oblik P = Pi + pgz, gde Pi predstavlja apsolutni pritisak na nivou tecnosti u rezervoaru (i==A, B, C). Prema tome, pritisci Pi imaju vrednosti: P A = Pa ' PB == Pa - Pv i Pc = Pa + Pm' Graficki prikaz polja pritiska (p == Pi + pgz) dat je na 81.1.1.4 i naziva se dijagram hidrostatickih pritisaka. U praksi je veoma cest slucaj da se u rezervoaru nalaze dye iii vise tecnosti koje se ne meilaju. Tada je veoma vazno uoCiti da J'Vak:oj tealOstipripada njm 71lVO slobodne povr.fi tecnosti Da bi se pokazalo kako se dolazi do polja pritiska po visini u slucaju da u rezervoaru postoje dye tecnosti, gustina PI i Pz koje se ne mesaju, posmatrace se rezervoar sa sl.1.1.5.2.Postavljanjem jednaCina hidrostatickih ravnoteza za ravni I-I iII-II, koje glase: Pd + Pm = Pa + PIgx
Pa + Pm + P!ghl == Pa + P2g)l,
dobijaju se rastojanja; X == Pm/ PIg i y = Pm/ P2g+hIPJ / P2' koja definisu polozaje nivoa slobodnih povrsi tecnosti gustina PI i P2 (tacke N1 i N z na dijagramu sa s1. 1.1.5.2). U rezervoaru postoje sledeCi karakteristicni pritisci, ito: PA = Pa + Pm pritisak na nivou tecnosti u rezervoaru; PB == Pa + Pm + P!gh1 - pritisak na povrsi razdvajanja tecnosti, i Pc == Pa + Pm + P1gh1 + pzghz - pritisak na dno rezervoara. NanoseCi pritiske u tackama A, i C dobija se dijagrall1 pritisaka prikazan na s1.1.1.5.2. Na ovom dijagramu prava AB, koja predstavlja polje hidrostatickih pritisaka u tecnosti gustine PI' sece izobaru P = Pa u tacki Nl koja se nalazi na nivou s16b6dhe pbvrsi tecnosti gustine Pl' Na istinacin dobija se tacka N 2 na nivou slobodne povrsitecnosti gustine P2' U tacki B koja leZi na povrsi pJ)'gh z .._Slika 1.1.5.2 . razdvajanja tecnosti prave AB i Be se seku, jer imaju razlicite nagibe. U ovoj tacici promena nagiba pravih izazvana je promenom gustine tecnosti, odnosno promenom polja pritiska. Primenom opisanog postupka lako se moze nacrtati dijagram hidrostatickih pritisaka za proizvoljan broj tecnosti, u rezelvoaru, po visini rezervoara, koje se ne meilaju.
B:
~
i
_
11..1.6. Pasolov zak@IDl
U rezervoaru miruje nestisljiv fluid gustine p. Upocetnom stanju mirovanja u kontrolnoj zapremini rezervoara V polje pritiska je odredjeno poznavanjem
Polje pritiska. Manometri
7
pritiska PA U nekoj tacki rezervoara. Neka se tacka A nalazi na istoj izobarskoj povrSi kao i klip precnika d. Na osnoVll ovog pritiska i hidrostatickog zakona raspodele pritiska moze se odrediti pritisak u nekoj drugoj proizVoljno izabranoj tacki B, ion iznosi: PB = PA +pgz. Ova funkcija je na dijagramu pritisaka (s1.1.1.6) prikazana pravom linijoID. Dejstvom sHe F na klip Stvara se poremecaj pritiska t,p A := 4F / d 2rr. koji narusava pocetno polje pritis1ca u rezervoaru. U novom stanju mirovanja pritisci u posmatranim tackama ce biti: P~ :::: PA +/)"PA P; :::: PE +/)"PB = P~ +pgz+ /)"PA' 1z ovih jednaCina se dobija jednakost: Slika 1.1.6 /)"p:::: APA :::: APE == const. koja predstavlja Paskalov zakon koji glasi: porenlecaj pritiska izazvan u jednoj tacki nestisljivog fluid a podjednako se prenosi na sve tacke kontrohle zapremine u kojoj se fluid nalazi. Graficka interpretacija ovog zakona prikazana je na s1.1.1.6. sa linijom koja je paralelna pocetnom rasporedu pritisaka po VISllll kontrolne zapremine. Paskalov zakon ima veliku primenu kod static.kih hidraulickih masina (presa, dizalica i td.). 1.1.7. PJrOIl":B1CllJl.IDI c!e'vn JPlod jJlHt'iitildwm
Kada se u cevi iIi sudu precnika d nalazi fluid pod konstantnim pritiskam P (sl.1.1.7a) tada usled povecanog pritiska moze doCi do pucanja cevi. Dakle, kada je sud izlozen povecanim pritiscima namece se osnovno pitanje kolika je debljina zida cevi pri kojoj ce biti bezbedan rad. U odredjivanju ove debljine ogleda se i proracun cevi pod pritiskom. Da bi se odgovorilo na ovo pitanje posmatrace se preseci cevi sa poprecnim (sl.1.1.7b) i uzduznim opterecenjem (sl.1.1.7c). U aba slucaja merodavni proracunski presek je izlozensilamapritiska 1;. i istezanja F; :::: cr~, pri cemu je cr dozvoljeni napon istezanja cevi, dok indeks i oznacava poprecno (i=l) iii poduzno (i=2) opterecenje. Kako su ove dye sile u ravnotezi to se 1Z jednaCine ravnoteZc 1; :::: crAi dobijaju proracunske debljine zida cevi za poprecno (s1. 1. 1. 7b)
°
d~
P4--::::crdniS1
~
6)
pd
=1f0'
° 2
8 ~I
cr
pd
=-'.
2cr 12razi za odredjivanje debljina
\
I
L
i POdUZIlO opterecenje (81. 1.1. 7c) ~
I
a)
b)
Slika 1.1.7
c)
8
Palje pritiska. lvfanametri
0 1 i O2 nazivaju se Mariotovirn forrnulama, i iz njih je oCigledno da vail relacija 2 :::: 201' odnosno da je 2 > OJ.Prema tome, za pr6racundebljine zida cevi pod pritisk0111 merodavn~l je debljina 02 :::: pd 120. Konacno, kao rezultat proracuna treba usvojiti debljinu zida cevi 0> 8 2 ,
°
°
.Problem 1.1-1. MeJr
Na mernim rnestirna Ai B za pritisak prikljucen je diferencijalni manometar u B b) B obliku U-cevi u kome je nasuta a) rnanometarska tecnost gustine Pm (s1. A A tH P.Ll-l.a) iIi Pmj (s1. P.l.l-1b). Na ~ p p p p osnovu pokazivanja manometra h odrediti razliku pritisaka izmedu x tacaka A i B u sledeCim slucajevima: h a) ako je radni fluid voda gustine I p:::: 1000 kg / m 3 , b) ako je radni fluid vazduh gustine Slilm P.l.l-1 P :::: 1,2 kg 1m3 . Poznati podaci su: Pm:::: 13600kg 1 m3 ,h=lOQmm, H:::: 2m. c) Odrediti razliku pritisaka izmedu tacaka A i B ako se umesto klasicne U-cevi (s1. P.l.l-la) kao rnanometar koristi obrnuta U-cev (sl. P.1.1-1b). RESENJE' XOda su u pilallju d/fereJ'lcflalni maJtometri sa tec77ostima, tada je llajboIje jednacinu hldrostaticKe ravnoteze pOJ'taviliza ekvipJitisnu ravall u mallometarsKoj tecllost! Koja se pOKlapa sa don;iin lllvoom razdva;all;a radl10g i mal1ometarJ'Kog jltttda. U razmatranom primem, to je ravan I-I. lednacina hidrostaticke ravnoteie, koja kaie da je PI :::: canst. bez obzira sa koje strane ravnoteZIlog Ilivoa se ovaj pritisak racuna, glasi PA +pgx= PE + pg(H +x-h)+Pmgh.
Iz ove jednaCine dobija se trazena razlika pritisaka
I
/),p::::
PA
-
PB
::::
(Pm - p) gh+ pgH
I
(1.1.5)
Dobijeni izraz predstavlja opsti izraz za odredivanje razlike pritisaka, pomocu diferencijalnog rnanometra napunjenog tecnoscu. Za slucaj da SU prikljucci A i B na iSto01 nivou (H:::: 0), razlika pritisaka na manometru bi bila:
I/),P :::: (Pm - p)gh I a) Za slucaj da je racIni fluid voda, a manometarski ziva, razlika pritisaka ce biti: /),p:::: 31980,6Pa. b) Za slucaj da je radni fluid vazduh, tad a ce razlika pritisaka biti /),p:::: 13364Pa. Medutirn, ako se proanalizira odnos gustina radnog i manornetarskogfluida, sledi da je Pm » p. Ovo vazi za slucajeve kadaje manometar:iJ'jlul1jm te('11OSCU (zivom, vodom, uljem, alkoholom itd.), a radllljlwdje f!azduhzliileKi mugigas; pa ,re gu.i'ti/la radnogjlutda ;/loze zal1emrmii u odnosu na gustinu manometarske tecnosti.
PoUe pritiska. Manometri
9
Ako se u navedenom primeru zanemari gustina vazduha, samo u clanu sa pokazivanjem manometra, tada se dobija: l'.J.p = 13365Pa.Ako bi, pak s druge strane, prikljucci manometra bili nu manjim visinskim razlikama. (do desetak metara), tada bi se Clan pgH mogao zanemariti. U tom slucaju razlika pritisaka bi mogla, krajnje pojednostavljeno, da se sracuna kao: b.p"" Pmgh = 13342Pa. 1z dobijenih brojnih vrednosti za razliku pritisaka vidi se opravdanost zanemarivanja gustine vazduha (gas a) u odnosu na gl.lstinu manometarske tecnosti. Kada se radi 0 veCim visinskim razlikama izmedu mernih prikljucaka tada se Clan pgH ne sme zane mariti. c) 1denticnim postnpkom kao u delovima zadatka pod a) i b) dobija se izmerena razlika pritiska: b.p= PA
~
Ps = (p-Pm])gh+pgH .
Ovo resenje ukazuje da kod manometra sa okrenutom U-cevi gustina manometarske tecnosti mora biti manja od gustine radne tecnosti (Pm] < p). Problem 1.1-2. Odrediti pokazivanje manometra spojenog sa rezervoarima A i B
sa s1. P.1.1-2. Dati su podaci: p] = lOOOkgl m3 , P2 =1200kg I m 3 , h] = 1m, h2 = 4m, h3 = 2m, h4 = 2m, Pm = 1000Pa, Pv = 2000Pa.
P3
l?ESENJE' Pokazivanje manometra se nalazi iz jednaCine hidrostaticke ravnoteie postavljene za donji nivo razdvajanja fluida u manometru. Pri postavljanju jednacine hidrostaticke ravnoteze vazi da je na ekvipritisnoj A povdi manometra I-I, PI = canst, bez h2 obzira da Ii se pritisak racuna sa leve iii desne strane ravni I-I u manometru. Do yiltiska PJ do/azi se na taj naCiiz., J-ro se "h-ene" od najvifeg nivoa tecnosti i sabiraJi.t se svi hldrostatickipritircipo visini na /coje se "nazlazi': PrimenjujuCi opisano pravilo SIiIca P.1.1-2 za ravan I-I, jednaCina hidrostaticke ravnoteie glasi P a +Pm + Plgh 1 + P2gh2 = Pa - Pv + P3gh3 + P4gh4 + Pmgh . 1z ove jednaCine sledi v p] h P2 I f h = Pm + P +] +- 12 -P3 - 13 Pmg Pm Pm Pm'
-
P4
Pm
!14
3
= 800kg/ m ,
B
h
= 199 mm
Problem 1.1-3. U sistemu spojenih sudova nalaze se tri tecnosti gustina: 3
p] = 800 kg 1m , Pz = 900 kg I m 3 , P3 =1000Icg 1m3 • Odrediti: a) visinu pokazivanja manometra, i b) poloZaj nivoa slobodne povdi tecnosti gustine P2' mereno od
10
PoUe pritiska. Manometri
b
mvoa razdvajanja tecnosti gustina PI i P2' Poznate veliCine su: Pv = SOOPu, h = 1m, hl = 2m, li2 1m, h3 = 3m, Pm = 13600 kg/m 3 . .R.eSENJE:
