SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis Marc Thomas, ing., Ph.D., Professeur Département de génie mécanique École de technologie supérieure
Mars 2003
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
Table des matières 6.
La méthode des éléments finis ______________________________________________ 6-3 6.1 Introduction ________________________________________________________ 6-3 6.1.1 Exemples d’éléments dans ANSYS __________________________________ 6-3 6.2 Méthode des éléments finis par la méthode des travaux virtuels. ____________ 6.2.1 Relation déplacement de l’élément- déplacement des nœuds_______________ 6.2.2 Relation déformation de l’élément- déplacement des nœuds _______________ 6.2.3 Relation contrainte-déformation _____________________________________ 6.2.4 Méthode des travaux virtuels _______________________________________
6-6 6-6 6-6 6-6 6-7
6.3 Éléments de barre (tension, compression) _______________________________ 6-8 6.3.1 Fonction de forme ________________________________________________ 6-8 6.3.2 Matrice élémentaire de rigidité d’une barre. ___________________________ 6-10 6.3.3 Matrice élémentaire de masse d’un élément de barre ____________________ 6-10 6.4
Application des conditions aux frontières_______________________________ 6-11
6.5
Assemblage des éléments ____________________________________________ 6-13
6.6 Assemblages Complexes _____________________________________________ 6.6.1 Matrice de rigidité globale ________________________________________ 6.6.2 Matrice de masse globale _________________________________________ 6.6.3 Conditions aux limites____________________________________________
6-17 6-19 6-21 6-23
6.7 Éléments de poutre _________________________________________________ 6-24 6.7.1 Assemblage des éléments poutres ___________________________________ 6-26 6.8 Masses concentrées _________________________________________________ 6-28 6.8.1 Comparaison entre masse répartie et masse concentrée __________________ 6-29 6.9
Réduction de l’ordre des modèles _____________________________________ 6-31
6.10
Exercice __________________________________________________________ 6-34
6-1
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Liste des figures Figure 6-1. Élément de barre _________________________________________________ 6-8 Figure 6-2. Discrétisation en 3 éléments__________________________________ 6-9 Figure 6-3. Vibration de barre __________________________________________ 6-11 Figure 6-4. Assemblage des éléments___________________________________ 6-13 Figure 6-5. Discrétisation d’une barre en 3 éléments _____________________ 6-14 Figure 6-6. Treillis _____________________________________________________ 6-17 Figure 6-7. Coordonnées locales et globales ____________________________ 6-18 Figure 6-8. Éléments de poutre ______________________________________________ 6-24 Figure 6-9. Assemblage de poutres ___________________________________________ 6-26 Figure 6-10. Poutre doublement encastrée____________________________________ 6-29 Figure 6-11. Système barre-ressort __________________________________________ 6-34 Figure 6-12. Barre excitée _______________________________________________ 6-35 Figure 6-13. Discrétisation d’une poutre en flexion ________________________ 6-35 Figure 6-14. Barre en tension compression ___________________________________ 6-36
Liste des tableaux Tableau 6-1.
Effet du nombre d’éléments sur la précision_________________________ 6-16
6-2
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6. La méthode des éléments finis 6.1
Introduction
La méthode des éléments finis est efficace pour calculer la réponse dynamique de structures complexes. La méthode consiste à diviser une structure complexe en un certain nombre d’éléments simples, appelés « éléments ». La procédure de découpage est appelée « discrétisation ». Les éléments peuvent être des éléments de barre, de poutre, de plaque ou de volume, dont l’équation du mouvement peut être approximée. Les éléments sont reliés entre eux par des nœuds. L’ensemble nœud - éléments est le maillage. Les équations du mouvement pour chaque élément sont déterminées et résolues. Les solutions des équations sont approximées à l’aide d’une combinaison linéaire de polynômes. Les solutions polynomiales sont rendues compatibles aux éléments adjacents à l’aide des conditions de continuité appliquées aux nœuds communs. Les solutions assemblées ensemble résultent en des matrices de masse et de rigidité qui décrivent la vibration de la structure entière, appliquée aux nœuds.
6.1.1 Exemples d’éléments dans ANSYS Elément de masse Mass 21 ( 1 nœud, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
Barres LINK1 (2 nœuds, 2ddl : Ux Uy) ou LINK 8 ( 2 nœuds, 3 ddl : Ux, Uy, Uz)
Câbles en tension LINK 10 ( 2 nœuds, 3 ddl : Ux, Uy, Uz)
6-3
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Poutres 2D Beam3 ( 2 nœuds, 3 ddl : Ux, Uy, Rotz) ou Beam4 ( 2 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
Ressort-amortisseur LINK 11 ( 2 nœuds, 3 ddl Ux, Uy, Uz) ou Combin14 (2 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z, pression, température)
Contact (2 nœuds, 2ddl : ux, uy)
Combin40 : masse, ressort, amortisseur, friction, gap K1
Ff
M1
M2 K2
C
Tuyaux droits Pipe16 (2 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z) et tuyaux courbes pipe18 (2 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
Éléments membranes Triangulaire Plane 2 (6 nœuds, 2ddl : ux, uy)
6-4
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Quadrilatère Shell41 (4 nœuds, 3ddl : ux, uy,uz)
Éléments coques Shell28 ou Shell 63 (4 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
Éléments volumes Solid45 (8 nœuds, 3ddl : ux, uy, uz) ou solid73 (8 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
Pyramide Solid72 (4 nœuds, 6ddl : ux, uy, uz, rotx, rot y, rot z)
6-5
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6.2
Méthode des éléments finis par la méthode des travaux virtuels.
Une fois le maillage réalisé, on doit réaliser les étapes de calcul suivantes.
6.2.1 Relation déplacement de l’élément- déplacement des nœuds On exprime que le déplacement en chaque endroit x de l’élément µ(x,t) peut être approximé par le déplacement aux nœuds de l’élément considéré µi(t) pour i= 1,…,n.
{ }
µ(x,t )=[N(x )]µi (t )
(6.1)
La matrice [N(x)] est composée de fonctions de forme calculées à l’aide d’interpolation polynomiales du déplacement et dépend du nombre de degrés de liberté de l’élément.
6.2.2 Relation déformation de l’élément- déplacement des nœuds On exprime que la déformation de l’élément en chaque endroit x de l’élément ε(x,t) peut être approximé par le déplacement aux nœuds de l’élément considéré µi pour i= 1,…,n.
{}
ε(x,t )=[B]µi
(6.2)
La déformation en chaque endroit de l’élément s’exprime comme la dérivée partielle du déplacement par rapport aux coordonnées spatiales :
ε(x,t))=
∂µ(x,t ) ∂x
(6.3)
La matrice [B] est donc une fonction dérivée des fonctions de forme et dépend du nombre de degrés de liberté de l’élément.
[B]= ∂[N∂x(x )]
(6.4)
6.2.3 Relation contrainte-déformation La relation contrainte σ -déformation ε s’exprime comme :
{σ ( x, t )} = [D]
{ε ( x, t )}
(6.5)
où la matrice [D] est définie par les caractéristiques des matériaux ( module d’Young E, Coefficient de Poisson ν, module de cisaillement G) 6-6
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6.2.4 Méthode des travaux virtuels Sur une structure définie par son volume V et excitée par un ensemble de forces F, le travail (représentant le produit scalaire de la force par le déplacement) peut s’exprimer en terme de contrainte –déformation ou en terme de force-déplacement T
∫{ε(x,t )} {σ(x,t )}
T
dV= ∫{µ(x,t )} {F(x,t )} dV
(6.6)
En introduisant les équations (6.1) , (6.2) et (6.5), l’équation (6.6) devient :
{ε(x,t )}T ={µi (t )} [B]T
(6.7)
{µ(x,t )}T ={µi (t )} [N(x )]T
(6.8)
{σ(x,t )}=[D][B]{µi (t )}
(6.9)
T
T
{µ (t )} ∫[B] [D][B] dV {µ } T
T
i
i
=
{µ } ∫[N(x )] {F(x,t )}dV T
T
(6.10)
i
Le premier terme de l’équation (6.10) représente une fonction dépendant du carré du déplacement, ce qui représente l’énergie de déformation :
{ }
1 µ (t ) T [B]T[D][B] dV ∫ 2 i
{µ } i
{ }
{}
T = 1 µi (t ) [K ] µi 2
(6.11)
La matrice de rigidité de l’élément s’exprime donc en fonction des relations déformation-déplacement aux nœuds [B] et en fonction des caractéristiques des matériaux [D] comme : T
∫[B] [D][B] dV= [K]
(6.12)
La force F peut être exprimée comme le produit de la masse par l’accélération. ∂ 2µ(x,t ) {F(x,t )}=−ρ 2 =−ρ[N(x )]µ&&i (t ) (6.13) ∂t
{ }
où ρ représente la masse volumique. En remplaçant les équations (6.12 et 6.13) dans l’équation (6.10), on obtient :
6-7
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[K]{µi (t )}=−ρ(∫[N]T[N] dV ){µ&&i (t )}
(6.14)
L’équation 6.14 représente les équations différentielles du 2e ordre, qui décrivent le mouvement libre non amorti du déplacement des nœuds. La matrice de masse de chaque élément est représentée par : T
[M]=ρ ∫[N] [N]
6.3
(5.15)
dV
Éléments de barre (tension, compression)
La vibration de la barre (longitudinale) permet d’expliquer comment approximer la vibration d’un système distribué en un système condensé aux nœuds. Un élément de barre possède 2 degrés de liberté, soit les déplacements longitudinaux aux 2 extrémités µ1 et µ2 (figure 6.1).
µ1
µ2 1 0 Figure 6-1.
2
L Élément de barre
6.3.1 Fonction de forme Pour décrire le mouvement d’un élément de barre, on considère une forme polynomiale possédant autant de constantes que de degrés de liberté, soit 2 dans ce cas. La solution µ(x) s’exprime donc selon une fonction linéaire: µ(x,t) = C1(t ) x + C2(t )
(6.16)
Les constantes C1 et C2 sont indépendantes de l’espace x, mais dépendent du temps t. Le modèle de barre peut être découpé en plusieurs éléments. La figure 6.2 montre une discrétisation avec 3 éléments. A chaque nœud, la solution dépend du temps et est appelée µi (t) : le déplacement nodal du nœud i.
6-8
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Éléments µ1 (t)
µ2 (t)
1
µ3 (t)
2
µ4 (t)
3
Nœuds Figure 6-2.
Discrétisation en 3 éléments
Les paramètres C1 et C2 sont déterminés en appliquant les conditions aux frontières sur la fonction spatiale µ(x). Si on considère l’élément simple (figure 6.1), on a selon l’équation 6.16: Àx=0 µ(0,t) = µ1 (t) = C2 Soit : C2 = µ1 (t)
(6.17) (6.18)
àx=I µ(I,t) = µ2 (t) = C1I + C2 µ2 ( t ) − µ1( t ) C1 = l
(6.19) (6.20)
L’équation 6.16 devient :
µ( x , t ) = (µ 2 ( t ) − µ 1 ( t ))
x + µ1( t ) l
(6.21)
Soit en réarrangeant l’équation :
x x µ( x , t ) = 1 − µ 1 ( t ) + µ 2 ( t ) l l
(6.22)
Aussi, on a une approximation de la solution µ(x, t) en fonction des fonctions de forme : [N]= 1− xl xl (6.23)
[( ) ]
La matrice [B] exprimant la relation entre les déformations de l’élément et les déplacements des nœuds s’exprime comme :
[B]=[(− 1l )
1 l
]
(6.24)
6-9
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Pour une barre la matrice [D] exprimant la relation contrainte-déformation est égale au module d’Young E.
6.3.2 Matrice élémentaire de rigidité d’une barre. L −1
[K]=E∫ L1 [−L1 0 L
]
1 (Adx ) L
−1 L2 [K]=AE∫ −1 1 (dx ) 0 2 2 L L
(6.25)
1
L L2
La matrice de rigidité de l’élément simple de barre s’exprime comme : 1 −1 [K]=AE L−1 L1 L L
(6.26)
(6.27)
On peut remarquer que la somme des lignes ou des colonnes de la matrice de rigidité est nulle pour un élément libre-libre.
6.3.3 Matrice élémentaire de masse d’un élément de barre
[
L 1− x
[M]=ρ∫
]
x (Adx ) L
(6.28)
( ) ( )dx ( ) (Lx )
(6.29)
L 1− x x L 0 L 2 L 1− x [M]=ρA∫ L 0 x 1− x L L
x 1− x L L 2
En développant chaque terme de la matrice, l’équation 6.29 devient : 2 1− 2x + x L L L2 [M]=ρA∫ x2 0 x− L L2
x2 x− L L2
dx x 2 L2
(6.30)
6-10
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En intégrant l’équation 6.30 :
x 2 x3 x − + 2 L [M]=ρA 2 3L3 x x − 2L 3L2
L
− 2L 3L2 x3 3L2 0 x2
x3
(6.31)
La matrice de masse de l’élément simple de barre s’exprime comme : 1 1 6 [M]=ρAL 31 6 1 3
(5.32)
On peut remarquer que la somme des termes est égale à la masse totale pour un élément libre-libre.
6.4
Application des conditions aux frontières
Pour appliquer les conditions aux frontières, on détermine les degrés de liberté qui sont nuls et on élimine les lignes et colonnes correspondantes dans les matrices de masse et rigidité. Exemple 6.1 Considérons un élément de barre encastré à une extrémité (µ1 =0) (figure 6.3). a) Déterminez la fréquence naturelle de la barre. b) Exprimez l’équation du mouvement libre non amorti du nœud 2. c) Exprimez l’équation générale du mouvement en tous points de la barre.
µ2 1 0 Figure 6-3.
2
L Vibration de barre
6-11
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a) On élimine la première ligne et la première colonne des matrices de masse et de rigidité. On obtient :
ρAl && µ2(t) + EA µ2(t) = 0 3 l
&& 2 ( t ) + µ
(6.33)
3E µ (t ) = 0 ρl 2 2
(6.34)
On peut remarquer que la section de la poutre n’a pas d’effet sur la résonance. La résonance dépend de la longueur de la poutre et de la vitesse de l’onde ((E/ρ)0.5) La solution vibre à une seule fréquence ωn
3E 173 . = ρ l
1 l
ωn =
E ρ
La solution exacte est ω n =
(6.35)
1.57 l
E ρ
(6.36)
L’erreur est de 10% supérieure à la solution exacte. b) L’équation du mouvement libre non amorti s’exprime comme : µ2(t) =
où
µ& 0 µ02 + ωn
2
ω µ0 sin ωn t + tan −1 n µ& 0
(6.37)
µ0 et µ& 0 sont les conditions initiales.
c) Comme :
µ( x , t ) =
µ( x , t ) =
x µ (t ) l 2 1 3E ω µ0 x 2 µ& 0 t + tan −1 sin µ0 + ωn l µ& 0 l l
(6.38)
(6.39)
6-12
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6.5
Assemblage des éléments
Pour remédier à la perte de précision, on peut augmenter le nombre d’éléments. Le nombre de degrés de liberté sera donc augmenté. On trouvera autant de fréquences naturelles que de degrés de liberté actifs. Considérons 2 éléments de barres. On applique des forces Fij à chaque nœud i de chaque élément j.
1
2
1
F11
F21 Figure 6-4.
2
F22
3
F32
Assemblage des éléments
Pour chaque élément, on exprime la relation de force- déplacement des nœuds. Élément 1
F11 A1 E1 1 −1 µ1 = F21 L1 −1 1 µ2
(6.40)
Élément 2
F22 A 2E 2 1 −1 µ2 = F32 L2 −1 1 µ3
(6.41)
Si on considère qu’au nœud 2, il n’y a pas de force externe, on a : F21 + F22 = 0
(6.42)
D’après (6.40), on a :
F21=
A1 E1 L1
(−µ +µ ) 1
2
(6.43)
D’après (6.41), on a :
6-13
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F22 =
A 2E 2 L2
(−µ +µ ) 3
(6.44)
2
Supposons pour simplifier que les matériaux, sections et longueurs des éléments soient les mêmes. La longueur de chaque élément devient L1 = L2 = L/2 L’équation 6.42 devient : 0= 2AE −µ1 −µ3 + 2µ2 L
(
)
(6.45)
En intégrant la relation 6.45 aux autres relations de force des équations (6.40) et ( 6.41), on obtient : µ F11 2AE 1 −1 0 1 (6.46) 0 = L −1 2 −1µ2 0 1 1 − − F 32 µ3 La technique d’assemblage consiste donc à additionner dans chaque matrice, les termes correspondants aux degrés de liberté communs.
Matrice élément 1 F11 AE 1 0 = L/ 2 −1 0 F32
0 µ1 −1 1 + 1 −1µ2 −1 −1 µ 3
(6.47)
Matrice élément 2 Exemple 6.2 Déterminez les matrices de rigidité et de masse d’une poutre de 1m de long en aluminium (E = 7 1010 N/m2, ρ =2700 kg/m3) en tension-compression discrétisée en 3 éléments et encastrée au nœud 1. Calculez les fréquences de résonance en tensioncompression.
1
2
3
4
L/3 Figure 6-5.
Discrétisation d’une barre en 3 éléments
6-14
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Réponse de l’exemple 6.2 La matrice de rigidité est
1 −1 [K]= AE L 0 3 0 1 −1 [K]= 3AE L 0 0
−1
0
1+1
−1
−1
1+1
0
−1
−1
0
2
−1
−1
2
0
−1
0 0 −1 1
(6.48)
0 0 −1 1
(6.49)
La matrice de masse est :
2 L ρA 1 [M]= 6 3 0 0 2 AL 1 [M]= ρ18 0 0
1
0
2+2
1
1
2+2
0
1
1
0
4
1
1
4
0
1
0 0 1 2
0 0 1 2
(6.50)
(6.51)
On applique les conditions aux frontières (µ1 = 0) et on élimine la première ligne et la 1e colonne des matrices de rigidité et de masse.
6-15
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
[K]= 3AE L AL [M]= ρ18
2
−1
−1
2
0
−1
4
1
1
4
0
1
0 −1 1
(6.52)
0 1 2
(6.53)
La section de la poutre en tension-compression n’a pas d’effet sur les fréquences naturelles. En calculant : Det [K- M ω2] = 0
(6.54)
Les résultats sont montrés dans le tableau 6.1 Fréquence théorique (Hz) 1273 3821 6353
Fréquence calculée ( 1 élément) 1404
Tableau 6-1.
Erreur (1 élément) %
Fréquence Erreur ( 3 calculée ( 3 éléments) % éléments) 10.3 1288 0.6 4213 9.6 7643 19.3 Effet du nombre d’éléments sur la précision
On peut constater que plus on a d’éléments, plus les premiers modes sont bien estimés, mais qu’on a toujours une erreur plus grande pour les modes supérieurs.
On doit au minimum considérer le double d’éléments que le nombre de fréquences d’intérêt pour minimiser l’erreur d’estimation sur ces fréquences. De plus, d’un point de vue informatique, il n’est pas aisé de réduire l’ordre des matrices lorsque on applique les conditions aux frontières. A la place, on conserve l’ordre de la matrice et on introduit des 1 sur la diagonale et des zéros hors diagonal des lignes et colonnes correspondant au degré de liberté à éliminer.
6-16
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1 0 [K]= 3AE L 0 0 1 AL 0 [M]= ρ18 0 0
6.6
0
0
2
−1
−1
2
0
−1
0
0
4
1
1
4
0
1
0 0 −1 1
(6.54)
0 0 1 2
(6.55)
Assemblages Complexes
La méthode des éléments finis est surtout utile pour calculer des assemblages complexes à l’aide d’éléments simples. Considérons 2 éléments de barres agencées en treillis discrétisés par 3 nœuds.
1 1
Y
2 2 X 3 Figure 6-6.
Treillis
Chaque élément de barre est défini dans ses coordonnées locales (u1, u2) et (u3,u4). Toutefois, le système vibre dans des coordonnées globales (X,Y) et il faudra définir le mouvement de chaque nœud dans le système de coordonnée globale (Ui,Uj).
6-17
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U U u1
U U
u2
U
θ
u4 U
u3 Figure 6-7.
Coordonnées locales et globales
On doit exprimer le déplacement de chaque nœud dans les coordonnées locales en fonction des coordonnées globales. Pour l’élément 2 on a : u3 = U3 cos θ + U4 sin θ u4 = U5 cos θ+ U6 sin θ
(6.56) (6.57)
où θ représente l’angle entre le système local et le système global. Ces 2 équations peuvent s’exprimer sous forme matricielle:
u3 cosθ = u 4 0
sin θ
0
0
cosθ
U3 0 U 4 sin θU5 U6
(6.58)
La matrice de transformation s’appelle la matrice [T].
cosθ
[T]=
0
sin θ
0
0
cosθ
0 sin θ
(6.59)
6-18
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6.6.1 Matrice de rigidité globale Pour déterminer la matrice de rigidité équivalente dans le système global, on peut appliquer une équivalence énergétique. L’énergie de déformation s’exprime en fonction des coordonnées locales comme :
{ } [K ]{u }
V= 1 ui 2
T
e
(6.60)
i
D’après l’équation 6.58, on a :
{u }=[T]{U } i
(6.61)
j
En remplaçant 6.61 dans 6.60, on obtient :
{ } [T] [K ][T]{U }
V= 1 U j 2
T
T
e
(6.62)
j
Par analogie, on obtient la matrice de rigidité [Kg]de l’élément i dans le repère global.
[K ] =[T] [K ] [T] gi
T
ei
(6.63)
- Pour l’élément 2
[K ](2 )
0 cos θ sin θ 0 1 − 1 cos θ sin θ 0 0 ΕΑ = cos θ − 1 1 0 0 cos θ sin θ L 0 sin θ 0
(6.64)
[K ](2 )
0 cos θ sin θ 0 cos θ sin θ − cos θ − sin θ ΕΑ = cos θ − cos θ − sin θ cos θ sin θ L 0 sin θ 0
(6.65)
[Κ ](2 )
cos 2 θ cos θ sin θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 2 sin θ − cos θ sin θ − sin 2 θ ΕΑ cos θ sin θ = L − cos 2 θ cos 2 θ sin θ cos θ − sin θ cos θ 2 sin θ cos θ sin 2 θ − sin θ − sin θ cos θ
(6.66)
6-19
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
Élément 1
u 2 = cos θ U 5 − sin θ U 6
U1 0 0 U 2 u 1 cos θ − sin θ = 0 cos θ − sin θ U 5 u 2 0 U 6
(6.67)
(6.68)
[K ](1)
0 cos θ 0 1 − 1 cos θ − sin θ 0 0 ΕΑ − sin θ = cos θ − 1 1 0 0 cos θ − sin θ L 0 − sin θ 0
(6.69)
[K ](1)
0 cos θ − sin θ 0 cos θ − sin θ − cos θ sin θ ΕΑ = cos θ − cos θ + sin θ cos θ − sin θ L 0 − sin θ 0
(6.70)
[Κ ](1)
cos 2 θ − sin θ cos θ − cos 2 θ sin θ cos θ 2 − sin θ cos θ − sin 2 θ sin θ ΕΑ − sin θ cos θ = L − cos 2 θ − sin θ cos θ − sin θ cos θ cos 2 θ − sin 2 θ − sin θ cos θ sin 2 θ − sin θ cos θ
(6.71)
Les coordonnées sont : {U} = {U1 U 2 U 5 U 6 }. Pour combiner les matrices, il faut rajouter des zéros T
aux degrés de Liberté manquants pour former le vecteur {U} = {U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 }. T
6-20
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[K ](1)
[K ](2 )
cos 2 θ − sin θ cos θ sin 2 θ − sin θ cos θ 0 0 ΕΑ = L 0 0 2 − cos θ sin θ cos θ − sin 2 θ sin θ cos θ
0 0 ΕΑ 0 = L 0 0 0
− sin θ cos θ − sin 2 θ 0 0 0 0 2 − sin θ cos θ cos θ − sin θ cos θ sin 2 θ
(6.72)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − cos 2 θ − sin θ cos θ 0 cos 2 θ sin θ cos θ − sin θ cos θ − sin 2 θ 0 sin θ cos θ sin 2 θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 0 cos 2 θ sin θ cos θ − sin 2 θ 0 − sin θ cos θ sin θ cos θ sin 2 θ
(6.73)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
− cos 2 θ
sin θ
On peut alors combiner les deux rigidités :
[K ] = [K ](1) + [K ](2 )
(6.74)
cos 2 θ − sin θ cos θ − cos 2 θ 0 0 sin θ cos θ 2 − sin θ cos θ − sin 2 θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 0 0 cos 2 θ sin θ cos θ [K ] = ΕΑ (6.75) L − sin 2 θ − sin θ cos θ − sin 2 θ 0 0 sin θ cos θ − cos 2 θ − cos 2 θ − sin θ cos θ sin θ cos θ 2 cos 2 θ 0 − sin 2 θ − sin θ cos θ − sin 2 θ 0 2 sin 2 θ sin θ cos θ
6.6.2 Matrice de masse globale Pour déterminer la matrice de masse dans le repère global, on fait l’équivalence de l’énergie cinétique. L’énergie cinétique s’exprime en fonction des coordonnées locales comme :
{ } [M ]{u& }
T= 1 u& i 2
T
e
i
(6.76)
On pose :
6-21
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
{u& }=[T]{U& } i
(6.77)
j
En remplaçant 6.65 dans 6.64, on obtient :
{ } [T] [M ][T]{U& }
& T= 1 U 2 j
T
T
e
(6.78)
j
Par analogie, on obtient la matrice de masse [Mg]de l’élément i dans le repère global.
[M ] =[T] [M ] [T] gi
où [M e ] =
[M ] (1)
T
(5.79)
ei
ρΑl 2 1 6 1 2
0 cos θ − sin θ 0 2 1 cos θ − sin θ 0 0 ρΑl = cos θ 1 2 0 0 cos θ − sin θ 6 0 − sin θ 0
( 6.80)
0 cos θ − sin θ θ 0 2 cos θ − 2 sin θ cos θ lΑρ [M (1) ] = 6 0 cos θ cos θ − sin θ 2 cos θ −−2sin sin θ − sin θ 0
(6.81)
2 cos 2 θ − 2 sin θ cos θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 2 θ − sin 2 θ [M (1) ] = ρΑ6 l − 2 sin θ2 cos θ 2 sin θ − sin θ cos − sin θ cos θ − 2 sin θ cos θ cos θ 2 cos 2 θ − sin 2 θ − 2 cos θ sin θ 2 sin 2 θ sin θ cos θ
(6.82)
2 cos 2 θ − 2 sin θ cos θ 2 sin 2 θ − 2 sin θ cos θ 0 [M (1) ] = ρΑ6 l 0 0 0 complet cos 2 θ − sin θ cos θ − sin 2 θ − sin θ cos θ
(6.83)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
− sin θ cos θ − sin θ cos θ − sin 2 θ 0 0 0 0 2 − 2 cos θ sin θ 2 cos θ − 2 cos θ sin θ 2 sin 2 θ cos 2 θ
6-22
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
[M ] ( 2)
0 cos θ sin θ 0 2 1 cos θ sin θ 0 0 ρΑl = cos θ 1 2 0 0 cos θ sin θ 6 0 sin θ 0
(6.84)
0 cos θ sin θ 0 2 cos θ 2 sin θ cos θ θ ρΑl [M (2 ) ] = 6 0 cos θ cos θ sin θ 2 cos θ 2sin sin θ sin θ 0
(6.85)
2 cos 2 θ − cos 2 θ 2 cos θ sin θ cos θ sin θ 2 2 sin θ cos θ sin θ sin 2 θ ρΑl 2 cos θ sin θ [M (2) ] = 6 cos 2 θ cos θ sin θ 2 cos 2 θ 2 cos θ sin θ 2 sin θ 2 cos θ sin θ 2 sin 2 θ cos θ sin θ
(6.86)
[Μ ] = [Μ ](1) + [Μ (2 ) ]
(6.87)
6.6.3 Conditions aux limites La structure étant fixée, on a U1 = U 2 = U 3 = U 4 = 0 . En réduisant aux degrés U5 et U6, on trouve :
[K ] = ΕΑ 2 cos L
2
2 sin 2 θ
θ
0
0
[Μ ] = ρΑl 4 cos 6
0
2
θ
4 sin 2 θ 0
(6.88)
(6.89)
Les deux degrés U5 et U6 sont donc découplés et vibrent à la même fréquence. ΕΑ (2 cos 2 θ ) 6 1 Ε = 3 ωn = 2 l (4 cos θ ) ρΑL L ρ
(6.90)
6-23
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6.7
Éléments de poutre
Si on désire obtenir les vibrations transversales d’une poutre, on doit modifier ses degrés de liberté. Si on considère un élément simple de poutre (figure 6.8), celui-ci peut être défini par une coordonnée de translation transversale et une coordonnée de rotation à chaque nœud, soit 4 degrés de liberté pour l’élément simple. Le déplacement µ(x , t ) doit donc être approximé par un polynôme d’ordre 3 comprenant 4 constantes.
Figure 6-8.
Éléments de poutre
µ ( x, t ) = C1 (t )x 3 + C 2 (t )x 2 + C 3 (t )x + C 4 (t )
(6.91)
Les constantes C1 à C4 sont déterminées d’après les conditions aux limites : µ(0, t ) = µ1 (t )
[6.92]
µ(l, t ) = µ 3 (t )
[6.93]
∂µ(0, t ) = µ 2 (t ) ∂x
[6.94]
∂µ(l, t ) = µ 4 (t ) ∂x
[6.95]
→ µ(0, t ) = µ1 (t ) = C4 (t )
→
∂µ(0, t ) = µ 2 (t ) = C3 (t ) ∂x
(6.96) (6.97)
6-24
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
→ µ3 (t ) = C1l3 + C 2l 2 + µ 2l + µ1
[6.98]
→ µ 4 (t ) = 3C1l 2 + 2C 2l + µ 2
[6.99]
→ µ 4l − 2µ3 = C1l3 − u 2l − 2µ1 C1 =
1 [l(µ 2 + u 4 ) + 2(µ1 − µ3 ) l3
(6.100) (6.101)
→ 3µ3 − µ 4l = C 2l 2 + 2u 2l + 3µ1
(6.102)
1 [3(µ3 + u1 ) − l(2µ 2 − µ 4 ) (6.103) l2 x3 x3 2x 3 2x 3 x2 x2 x2 x2 µ(x, t ) = 2 µ 2 + 2 µ 4 + 3 µ1 − 3 µ3 + 3 2 µ3 − 3 2 µ1 − 2 µ 2 − µ 4 + µ 2 x + µ1 (6.104) l l l l l l l l C2 =
x 2x 2 x 3 3x 2 2x 3 µ(x, t ) = 1 − 2 + 3 µ1 + l − 2 + 3 µ 2 l l l l l −x 3x 2x x + 2 − 3 µ3 + l 2 + 3 µ 4 l l l l 2
µ (x , t ) =
3
2
(6.105)
3
[Ν]{µ }
(6.106)
i
1× 4
2
[Ν ] = 1 − 3x2
l
+
2 x 3 x 2x 2 x 3 3x 2 2 x 3 − x 2 x 3 , l − 2 + 3 , 2 − 3 , l 2 + 3 l3 l l l l l l l
[Β] = ∂[Ν ]
(6.108)
∂x
[Β] = − 6x2 + 6x3 l
[D] = E
(6.107)
l
2
,1−
4 x 3x 2 6 x 6 x 2 2 x 3x 2 + 2 , 2 − 3 ,− + 2 l l l l l l
(6.109) (6.110)
6-25
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6 L − 12 6 L 12 6 L 4 L2 − 6 L 2 L2 ΕI Κ= 3 L − 12 − 6 L 12 − 6 L 2 2 6L 2L − 6L 4L 22 L 156 22 L 4 L2 [Μ ] = ρΑL 13L 420 54 2 − 13L − 3L
(6.111)
− 13L 54 13L − 3L2 156 − 22 L − 22 L 4 L2
(6.112)
6.7.1 Assemblage des éléments poutres Soit 2 éléments et 3 nœuds encastrés à une extrémité (figure 6.9) :
Figure 6-9.
Assemblage de poutres
− 12 6l 0 0 − 12 6l 6l 4l 2 2 − 6l − 2l 0 0 EI − 12 − 6l 12 + 12 − 6l + 6l − 12 + 6l Κ= 3 − 6l + 6l − 6l 2l 2 0 4l 2 l 0 0 − 12 − 61 0 12 − 61 2 − 6l 4l 2 0 6l 2l 0 où
l=
(6.113)
L 2
6-26
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
µ1 = µ 2 = 0 (conditions aux limites), on peut éliminer les lignes et colonnes correspondantes. µ1 µ 2 µ {µ} = 3 µ 4 µ5 µ 6
− 12 3L 0 24 2 2 − 3L L L 8EI 0 [Κ ] = 3 − 12 − 3L 12 − 32L L 2 − 3L L2 3L L 2 + 56 22l 22l 4l 2 54 13l [Μ ] = ρΑl 420 − 13l − 3l 2 0 0 0 0
− 13l 54 0 0 − 3l 13l 0 0 − 13l 156 + 156 − 22l + 22l 54 − 22l + 22l 4l 2 + 4l 2 − 3l 13l 54 13l 156 − 22l − 13l − 3l 2 − 22l 4l 2
(6.114)
cd aux frontières assemblage
(6.115)
l=
L 2
0 312 2L2 ρΑL 0 [Μ ] = L 840 54 13 2 − 13L 3L2 4 2
L − 13 2 L 3L2 − 13 2 4 156 − 11L 2 − 11L L 54
(6.116)
6-27
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6.8
Masses concentrées
Une autre façon de construire la matrice de masse est de concentrer celle-ci aux nœuds considérés. Cette méthode est plus facile à calculer car les matrices de masse sont diagonales. De plus, cette méthode sous-estime les fréquences de résonance. Le désavantage est la perte de précision. De plus, les termes de rotation n’ont pas de masse, ce qui rend les matrices singulières. Il faut par conséquent leur assigner un terme d’inertie de masse. La méthode consiste à donner à chaque nœud une masse équivalente à sa longueur. Exemple :
pour une barre en compression à deux nœuds.
On donne une matrice
[M ] = ρΑL
1 0 2 0 1
(6.117)
Pour une poutre, on a
1 0 [Μ ] = ρΑL 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(6.118)
Les zéros de la diagonale posent un problème de résolution. On peut poser des valeurs correspondant à l’inertie de masse pour résoudre ce problème. Par exemple, on peut poser à chaque nœud de rotation µ 2 et µ 4 l’inertie de masse correspondant à la moitié de la longueur.
6-28
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
2
m L m 2 m 2 2 L L 2 2 m L + 2 I l = + = 2 12 48 16 2 4 I1 =
(6.119)
m 4L2 m L2 (ρΑL ) L2 ρΑL3 = = = 2 48 2 12 2 12 24
1 0 L2 0 [M ] = ρΑL 0 12 0 2 0 0
(6.120)
0 0 0 1 0 L2 0 12 0
(6.121)
6.8.1 Comparaison entre masse répartie et masse concentrée Soit une barre encastrée à ses deux extrémités et composée de deux éléments de longueur
l 2
(figure 6.10).
Figure 6-10.
Poutre doublement encastrée
6-29
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
1 −1 0 ΕΑ [K ] = L − 1 1 + 1 − 1 0 − 1 1 2
(6.122)
On a µ1 = µ 3 = 0 , on élimine ligne et colonne correspondantes. Κ=
4ΕΑ L
(6.123)
Masse répartie : l 1 0 ρΑ 2 2 [Μ ] = 1 2 + 2 1 6 0 1 2
(6.124)
[Μ ] = ρΑl
(6.125)
3
ωn =
k = m
4ΕΑ 3 12 = l ρΑl l
Ε
ρ
3,14 Ε 3,46 Ε vraie valeur = ωn = ρ 1 ρ l erreur = +10 %
(6.126)
(6.127)
Masse concentrée
[Μ ] =
1 2 1 0 0 = ρΑL 2 0 1 + 1 0 2
ρΑ
8 Ε 2,82 Ε = ωn = l l l ρ erreur = −10 %
(6.128)
(6.129)
6-30
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6.9
Réduction de l’ordre des modèles
Les modèles d’éléments finis ont très souvent un très grand nombre de degrés de Liberté. Toutefois, d’un point de vue pratique, on peut réduire l’ordre du modèle en choisissant des degrés de libertés importants. Très souvent, on va voir apparaître des termes de masse qui sont très faibles ou négligeables. D’autre part certains degrés de Liberté peuvent être non importants. Dans ANSYS cette méthode est utilisée en choisissant la méthode Reduc ainsi que les Master degree of freedom: MODOPT, REDUC, … ! méthode Householder M, … ! Master degrees of freedom En classant les degrés de Liberté par importance, on peut réduire l’ordre de matrices aux degrés importants uniquement soit : u11 u 12 u li u {u} = lp où u 21 u 22 M u 2 q
{u1 }px1 {u 2 }qx1
degrés importants degrés non importants
(6.130)
On peut alors réordonner les matrices de masses et de rigidité et les classer en sous matrices. [Κ 11 ] [Κ 12 ] [M 11 ] [Μ ]12 p × p p × q {u&& } p × p p × q {u } 1 = f1 1 + [M 21 ] [Μ 22 ] {u&&2 } [Κ 21 ] [Κ 22 ] {u 2 } f 2 q × p q × q q× p q× q
(6.131)
L’énergie potentielle est : V=
=
1 T {u} [Κ ]{u} 2
{u } 1 {u 1 }T {u 2 }T [Κ ] 1 2 {u 2 }
{
}
(6.132)
(6.133)
6-31
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
{
}
1 T T Κ = {u 1 } {u 2 } 11 2 Κ 12
=
1 T T K11 u1 u 2 2 K12
{
V=
}
u Κ 12 1 u Κ 22 2
u1
+
u1
+ K 22
K12
(6.134)
u2 u2
(6.135)
(
1 T u1 K11u1 + u1T K12 u 2 + u 2T K12 u1 + u 2T K 22 u 2 2
{u 2 }
Pour que les degrés de liberté négligeables :
)
(6.136)
soient moins importants, il faut que les forces soient
∂V = 0 → {f 2 } = {0} ∂u 2
(6.137)
[K 21 ]{u1 } + [K 22 ]{u 2 } = {0}
car
{u 2 } = −[K 22 ]−1 [K 21 ]{u 1 }
où et
On peut donc poser
([K
21
] = [K12 ]T )
[K 22 ] a pour dimensions q × q [K 21 ] a pour dimensions q × p
(6.139)
{u } I {u} = 1 = {u1 } −1 {u 2 } − [K 22 ] [K 21 ] n ×1
où {u} = [Q ]{u1 }
(6.138)
n× p
(6.140)
px1
I et [Q] = −1 − [K 22 ] [K 21 ]
(6.141)
[M ]{&u&} + [K ]{u} = {f } [M ][Q]{u&&1 }+ [K ][Q]{u1 } = { f }
(6.142) (6.143)
[Q]T [M ][Q]{u&&1 }+ [Q]T [K ][Q]{u1 } = [Q]T { f } pxn
nxn pxp
nxp
(6.144)
Les matrices ont été réduites à l’ordre p. 6-32
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
[Q]T [M ][Q] = [I
(− K
[Q]T [Μ ][Q] = [I
M − Κ 12 K 22−1 11 M 21
12
)]
M K 22−1 11 M 21
]
M 12 I −1 M 22 − K 22 Κ 21
− M 12
−1 K 22
− M 22
−1 22
K
Κ 21 Κ 21
(6.145)
(6.146)
[Q]T [M ][Q] = [M11 − M12 Κ −221 Κ 21 − K 12 Κ −221 M 21 + K 12 Κ 22−1 M 22 Κ 22−1 K 21 ]
(6.147)
[Q]T [K ][Q] = [I
(6.148)
[Q]T [K ][Q] = [I
(− K
12
)]
K K 22−1 11 K 21
−1 K 11 − Κ 12 K 22 K 21
]
[Q]T [K ][Q] = [K 11 − K 12 K −221 K 21 ]
K12 I −1 K 22 − K 22 Κ 21 K12
K 22−1
− K 22
−1 22
−
K
Κ 21 Κ 21
(6.149)
(6.150)
Cette technique est souvent référée dans la littérature comme condensation statique ou GUYAN ou condensation de masse.
6-33
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
6.10 Exercice 6-1. Soit une poutre de 1m de long en aluminium (E = 7 1010 N/m2, ρ =2700 kg/m3) en tension-compression. a) Calculez les fréquences de résonance en tension de la poutre libre-libre, modélisée par 1 seul élément b) Déterminez les matrices de rigidité et de masse discrétisée en 2 éléments et encastrée au nœud 1. c) Calculez les fréquences de résonance en tension-compression du cas b. d) Vérifiez vos résultats en utilisant Ansys 6-2. En considérant un élément de barre en aluminium (E = 7 1010 N/m2, ρ =2700 kg/m3) de 1 m de long connecté à un ressort k de masse négligeable. La raideur de k est de 106 N/m. a) Calculez les matrices de masse et de rigidité obtenues, en modélisant la barre comme 1 seul élément . b) Calculez la fréquence naturelle de a) c) Calculez la fréquence naturelle de a) en considérant une poutre en acier ((E = 2 1011 N/m2, ρ = 7800 kg/m3). Commentez. d) Modélisez la barre en alumium avec 2 éléments et calculez les fréquences naturelles. Comparez vos résultats avec b). e) Modélisez la barre en alumium avec 3 éléments et calculez les fréquences naturelles. Comparez vos résultats avec d). f) Vérifiez vos résultats en utilisant Ansys. u 2 (t )
Ε, ρ
k
l
u 1 (t )
Figure 6-11.
Système barre-ressort
6-3. Soit une barre encastrée à une extrémité et excitée par une force longitudinale à l’extrémité libre. Déterminez les équations du mouvement.
6-34
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
u 2 (t )
Ε, ρ
f (x , t )
l
u 1 (t )
Figure 6-12.
Barre excitée
6-4. Soit une poutre en acier (E = 2 1011 N/m2, ρ = 7800 kg/m3) en flexion, encastrée libre. Les dimensions de la poutre sont de 320 x 25 x 9 mm. La section et l’inertie de la poutre sont : A = 9 10-3 x 2.5 10-2 = 2.25 10-4 m2 3 2.5 10 − 2 b h3 9 10 − 3 I= = = 1.51875 10 − 9 m 4 12 12
(
)
a) Modélisez la poutre en 8 éléments de 40 mm de long. y
x
1
1 4 cm
2
2
3
4 cm
Figure 6-13.
3 4
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
4
4 4 4 4 l = 0.32m Discrétisation d’une poutre en flexion
b) Calculez par éléments finis (avec ANSYS ou par programmation) les 4 premiers modes et fréquences naturelles. c) Comparez vos résultats avec la théorie. Pour une poutre encastrée libre , les fréquences théoriques sont: ωni = Ai EI4 rads/s ρl S
6-35
SYS 855 Vibroacoustique La méthode des éléments finis
ωni =101.51Ai rads/s = 16.156 Ai (Hz) où A1 = 3.52, A2 = 22, A3 = 61.7, A4 = 121 pour les 4 premières résonances
d) Doublez votre nombre d’éléments et comparez vos résultats e) Commentez.
6-5.
Soit une barre (en tension- compression) de longueur L encastrée à ses 2 extrémités et modélisée par éléments finis en 3 éléments de barres de longueurs égales (figure 6.14). La barre est définie par sa section A, son module d’Young E et sa masse volumique ρ. L
Figure 6-14.
Barre en tension compression
a) En utilisant la méthode des éléments finis, déterminez la matrice de masse et de rigidité du système. b) Déterminez les fréquences naturelles de la barre en fonction des paramètres de la barre. c) Vérifiez vos résultats en utilisant ANSYS
6-36