MEF - Utilizando Python

Introdução, teoria, aplicações e programação usando Python

Prof. Marco André Argenta Prof. Marcos Arndt

Refinamentos do MEF: 1. Refinamento h: aumento do número de elementos que

compõem a malha; 2. Refinamento  p: aumento do grau e/ou do número das

funções de forma no elemento sem alterar a malha. No MEF convencional, o refinamento  p  corresponde ao aumento do grau do polinômio interpolador i nterpolador da solução; 3. Refinamento hp: combinação do refinamento da malha (refino h) simultaneamente com a variação na ordem do polinômio aproximador (refino p).

Consistem na associação de funções vértice e funções bolha. Função vértice: Não nula em uma das extremidades do intervalo (elemento) e nula na outra extremidade. Relacionada aos nós da malha. Seu suporte corresponde a 2 elementos vizinhos.

(Solín et al., 2004)

Função bolha: Se anula em ambas as extremidades do intervalo (elemento).

(Solín et al., 2004)

Definição: Seja u uma função desconhecida e sua aproximação dada n por u  u   N i ai i 1

 A aproximação é hierárquica se um aumento de n  para n+1 não altera as funções de forma N i  (i  = 1 a n).  As funções de forma hierárquicas foram introduzidas por Zienkiewicz et al por volta de 1971. (Zienkiewicz, Gago e Kelly, 1983)

Em um refinamento  p, se o conjunto de funções de forma de uma aproximação de ordem  p constitui um subconjunto do conjunto de funções de forma de uma aproximação de ordem p+1, este refinamento é denominado hierárquico.

Vantagens: (Campion e Jarvis, 1996) 1. Retenção dos coeficientes da matriz de rigidez quando

a ordem da interpolação aumenta; 2.  Altas taxas de convergência sem necessidade de

refinar a malha; 3. Melhora do condicionamento das equações.

Desvantagens: (Leung e Chan (1998), e Ribeiro (2001)) 1. Novos g.l. não tem significado físico direto; 2. Polinômios de alta ordem podem conduzir a mal

condicionamento do sistema de equações.

2 nós: polinômio de ordem 1

 N 2   

 N 1  1   

3 nós: polinômio de ordem 2

 N 1  2   3   1 2

 N 2  4   4  2

 N 3  2 2   

3 nós: polinômio de ordem 2 hierárquico

 N 2   

 N 1  1   

 N 3  4 2  4 

Podem ser obtidos a partir da integração dos polinômios de Legendre. No caso de um domínio  x = [−1, 1], os polinômios de Lobatto tem a seguinte forma:

2k   1 k   1  L0 ( x)  1 ;  L1 ( x)   x ;  Lk  ( x)   xLk 1 ( x)   Lk 2 ( x) p/ k   2 k  k 

 Lk 1 ( x) 2  (Solin et al., 2004)

1



 L2k 1 ( x)dx  2 2k   1

1

Polinômios K ortogonais:

Simple hierárquico: Nodal : Lagrange

linear    (1   ) k 1 (1   )  k    4

Condicionamento da matriz de rigidez do elemento mestre

Conjunto de funções de forma composto pelos 4 primeiros polinômios de Hermite (MEF clássico) e por polinômios especiais de Legendre na forma de Rodrigues (Peano, 1976):  f  r  ( ) 

( r 1) / 2

 n 0

(1) n (2r  2n  7)!! 2 n n!(r   2n  1)!

 ( r  2 n 1)

onde r !! r (r  2)(r  4) (2 ou 1) ; 0!! (1)!! 1 (r  1) / 2 denota a parte inteira desta operação

Estas funções e suas derivadas primeiras se anulam nas extremidades do elemento (f.f. tipo bolha). (Bardell, 1996)

Bardell, N. S.; An engineering application of the h-p version of the finite element method to the static analysis of a Euler-Bernoulli beam. Computers & Structures, v. 59, n. 2, p. 195-211, 1996.

Polinômios K ortogonais: