Muro de Contrafuere Mediante Mef

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

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Escuela de Ingeniería Civil

ANALISIS ESTRUCTURAL DISEÑO DE MURO CONTRAFUERTE CON ELEMENTOS FINITOS

Análisis estructural

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1.- OBJETIVO Analizar la estructura por análisis matricial aplicando elementos finitos

INTRODUCCIÓN: Los muros de contención tienen como finalidad resistir las presiones laterales ó empuje producido por el material retenido detrás de ellos, su estabilidad la deben fundamentalmente al peso propio y al peso del material que está sobre su fundación. Los muros de contención se comportan básicamente como voladizos empotrados en su base. Designamos con el nombre de empuje, las acciones producidas por las masas que se consideran desprovistas de cohesión, como arenas, gravas, cemento, trigo, etc. En general los empujes son producidos por terrenos naturales, rellenos artificiales o materiales almacenados. Hasta finales del siglo XIX, se construían muros de mampostería y piedra, a partir del siglo XX se comenzó a construir muros de concreto en masa y de concreto armado, desplazando en muy buena parte a los materiales anteriormente utilizados. Para proyectar muros de sostenimiento es necesario determinar la magnitud, dirección y punto de aplicación de las presiones que el suelo ejercerá sobre el muro. El proyecto de los muros de contención consiste en: a- Selección del tipo de muro y dimensiones. b- Análisis de la estabilidad del muro frente a las fuerzas que lo solicitan. En caso que la estructura seleccionada no sea satisfactoria, se modifican las dimensiones y se efectúan nuevos cálculos hasta lograr la estabilidad y resistencia según las condiciones mínimas establecidas. c- Diseño de los elementos o partes del muro. El análisis de la estructura contempla la determinación de las fuerzas que actúan por encima de la base de fundación, tales como empuje de tierras, peso propio, peso de la tierra, cargas y sobrecargas con la finalidad de estudiar la estabilidad al volcamiento, deslizamiento, presiones de contacto suelo-muro y resistencia mínima requerida requerida por los elementos que conforman el muro.


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2.- MARCO TEÓRICO MUROS DE CONTENCION Un muro de contención es una estructura que proporciona soporte lateral a una masa de material, y en algunos casos soporta cargas verticales adicionales .

La estabilidad se debe principalmente a su peso propio y al material que se encuentra directamente sobre su base.


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F: reacción horizontal del terreno N: reacción vertical del terreno TIPOS DE FALLA EN MUROS DE CONTENCIÓN Deslizamiento horizontal horizontal del muro, en el plano plano de contacto sobre la base del muro y el suelo. falla por deslizamiento En suelos no cohesivos: F= resistencia al corte por fricción En suelos cohesivos: F= resistencia al corte por cohesión Por volteo alrededor de la arista delantera de la base E ≥ EP + F ∴

ΣM actuantes ≥ΣM resistentes

Por presiones excesivas en el terreno (área de contacto), las presiones son máximas en la parte delantera del muro. Por falla generalizada del suelo, debe hacerse esta verificación cuando el talud es importante.


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DETERMINACION DE LAS FUERZAS DE EMPUJE DEBIDO AL SUELO: TEORIA DE RANKINE. EMPUJE ACTIVO pa = presión debida al empuje activo ka = coeficiente de empuje activo γ = peso específico del material y = profundidad a partir del extremo superior θ = ángulo de fricción interna  = ángulo sobre la horizontal del talud del material

De la figura: pay = kaγ y Eay = empuje activo hasta una profundidad “y”

E ay ay =

1/2Pay y=

1/2 k ay ay yγ


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Donde:

Si: θ = 0 (talud horizontal) K a = tg² (45° - φ /2) Si existe una sobrecarga uniforme repartida, s/c P S/C = ka .s/c PRESIONES DEL SUELO

-No se permite esfuerzos de tracción t racción en la superficie de contacto. -La presión máxima no puede exceder el valor admisible determinado mediante un estudio de suelos. -Para evitar la inclinación del muro por asentamientos diferenciales de la cimentación, es deseable que la resultante de las presiones en el suelo actúe en el núcleo central de la superficie resistente. Si se cimienta en suelo muy duro o roca se puede permitir salir del núcleo central, aunque se considera prudente que la excentricidad no exceda 0.25 veces la dimensión paralela de la zapata. ESTABILIDAD DE UN MURO DE CONTENCION


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TIPOS DE MURO DE CONTENCIÓN Los muros de contención de uso mas frecuente fr ecuente son: Muros de gravedad: Son muros con gran masa que resisten el empuje mediante su propio peso y con el peso del suelo que se apoya en ellos; suelen ser económicos para alturas moderadas, menores de 5 m, son muros con dimensiones generosas, que no requieren de refuerzo. En cuanto a su sección transversal puede ser de varias formas, en la figura 7 se muestran algunas secciones de ellas. Los muros de gravedad pueden ser de concreto ciclópeo, mampostería, piedra o gaviones. La estabilidad se logra con su peso propio, por lo que requiere grandes dimensiones dependiendo del empuje. La dimensión de la base de estos muros oscila alrededor de 0,4 a 0,7 de la altura. Por economía, la base debe ser lo mas angosta posible, pero debe ser lo suficientemente ancha para proporcionar estabilidad contra el volcamiento y deslizamiento, y para originar presiones de contacto no mayores que las máximas permisibles.

Figura 7 Muros en voladizo o en ménsula: Este tipo de muro resiste el empuje de tierra por medio de la acción en voladizo de una pantalla vertical empotrada en una losa horizontal (zapata), ambos adecuadamente reforzados para resistir los momentos y fuerzas cortantes a que están sujetos, en la figura 8 se muestra la sección transversal de un muro en voladizo. Estos muros por lo general son económicos para alturas menores de 10 metros, para alturas mayores, los muros con contrafuertes suelen ser más económicos. Análisis estructural

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La forma más usual es la llamada T, que logra su estabilidad por el ancho de la zapata, de tal manera que la tierra colocada en la parte posterior de ella, ayuda a impedir el volcamiento y lastra el muro aumentando la fricción suelo-muro en la base, mejorando de esta forma for ma la seguridad del muro al deslizamiento. Estos muros se diseñan para soportar la presión de tierra, el agua debe eliminarse con diversos sistemas de drenaje que pueden ser barbacanas colocadas atravesando la pantalla vertical, o sub-drenajes colocados detrás de la pantalla cerca de la parte inferior del muro. Si el terreno no esta drenado adecuadamente, se puede presentar presiones hidrostáticas no deseables. La pantalla de concreto en estos muros son por lo general relativamente delgadas, su espesor oscila alrededor de (1/10) de la altura del muro, y depende de las fuerzas cortante y momentos m omentos flectores originados por el empuje de tierra. El espesor de la corona debe ser lo suficientemente grande para permitir la colocación del concreto fresco, generalmente se emplean valores que oscilan entre 20 y 30 cm. El espesor de la base es función de las fuerzas cortantes y momentos flectores de las secciones situadas delante y detrás de la pantalla, por lo tanto, el espesor depende directamente de la posición de la pantalla en la base, si la dimensión de la puntera es de aproximadamente 1/3 del ancho de la base, el espesor de la base generalmente queda dentro del intervalo de 1/8 a 1/12 de la altura del muro.

Figura 8


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Muros con contrafuertes: Los contrafuertes son uniones entre la pantalla vertical del muro y la base. La pantalla de estos muros resiste los empujes trabajando como losa continua apoyada en los contrafuertes, es decir, el refuerzo principal en el muro se coloca horizontalmente, son muros de concreto armado, económicos para alturas mayores a 10 metros. m etros. En la figura, se muestra una vista parcial de un muro con contrafuertes, tanto la pantalla como los contrafuertes están conectados a la losa de fundación. Los contrafuertes se pueden colocar en la cara interior de la pantalla en contacto con la tierra o en la cara exterior donde estéticamente no es muy conveniente. Los muros con contrafuertes representan una evolución de los muros en voladizo, ya que al aumentar la altura del muro aumenta el espesor de la pantalla, este aumento de espesor es sustituido por los contrafuertes; la solución conlleva un armado, encofrado y vaciado más complejo.

FORMA FLEXIONADA SENTIDO DE LA FLEXION

CONTRAFUERTE

CONTRAFUERTE

CONTRAFUERTE


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MURO CON CONTRAFUERTE

FORMA FLEXIONADA SENTIDO DE LA FLEXION

CONTRAFUERTE

CONTRAFUERTE

CONTRAFUERTE


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OBJETIVO -

Construir un muro de sostenimiento que permita brindar br indar seguridad.

ESPECIFICOS: Mediante la aplicación del método de los elementos finitos en 2D, se hallara la deformación, esfuerzo de la estructura en estudio. Verificando de este modo si falla o está dentro los parámetros establecidos en el reglamento. MEMORIA DESCRIPTIVA

PROYECTO CONTRAFUERTE

:

MURO

DE

CONTENCIÓN

UBICACIÓN

: ASOC. SANTA CRUZ DE BERLÌN

DISTRITO

: CIUDAD NUEVA

PROVINCIA

: TACNA

DEPARTAMENTO

: TACNA

CON

CARACTERÍSTICAS DEL TERRENO El Terreno donde se pretende ejecutar ejecutar el proyecto se ubica en el Distrito de ciudad nueva. Este terreno presenta una accidentada topografía en uno de sus perímetros, sobre el cual existen construcciones de viviendas. El terreno por su ubicación es de baja resistencia a los elementos estructurales, debido a la baja resistencia del suelo y los asentamientos diferenciales que podrían producirse producirse por efectos de las cargas. Correspondería a un suelo tipo SM: arena limosa no plástica en estado suelto. Análisis estructural

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TOPOGRAFIA. El terreno presenta una inclinación en sentido norte- sur muy pronunciada, lo que dará como consecuencia un diseño versátil y diferenciado.

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO ESPECIFICACIONES DE DISEÑO: El Muro de Sostenimiento (muro con contrafuerte), se ajustará a lo recomendado según Normas Técnicas vigentes de: NORMAS Y CARGAS DE DISEÑO A) NORMAS EMPLEADAS

Las normas utilizadas para la elaboración de la tesis son la que se encuentran en el Reglamento Nacional de Construcciones: - Norma E-020 de Cargas - Norma E-030 de Diseño Sismo resistente - Norma E-050 de Suelos y Cimentaciones - Norma E-060 de Concreto Armado B) CARGAS DE DISEÑO

La característica principal de cualquier elemento estructural es la de poder resistir de manera segura las distintas cargas que pueden actuar sobre el durante su vida útil. De esta manera el Reglamento Nacional de Construcciones en la Norma E-020 de Cargas establece los valores mínimos a utilizar para las diversas solicitaciones y posterior diseño de cualquier elemento estructural. Para el diseño se debe de considerar principalmente tres tipos de cargas: - Carga Muerta (CM): Es el peso de los materiales, dispositivos de servicio, equipos, tabiques y otros elementos soportados por la estructura, incluyendo el peso propio, que sean permanentes o con una variación en su magnitud pequeña en el tiempo. - Carga Viva (CV): Es el peso de todos los ocupantes, materiales, equipos, muebles y otros elementos movibles soportados por la edificación. - Carga de Sismo (CS): Son aquellas que se generan por la acción sísmica sobre la estructura siguiendo los parámetros establecidos en la Norma E-030 de Diseño Sismo resistente Los elementos estructurales serán diseñados empleando el método de Diseño por Resistencia de acuerdo a lo estipulado en la Norma E-060 de Concreto Armado. Este método consiste en amplificar las cargas actuantes en los elementos estructurales mediante factores establecidos en esta norma, y a Análisis estructural

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la vez reducir la resistencia nominal de los elementos mediante factores también establecidos en esta norma.

Por lo tanto cada elemento estructural estará diseñado para poder cumplir con Siguiente relación: Ф Rn ≥ Σγi F Donde: Ф: factor de reducción de resistencia

Rn: resistencia nominal o teórica del elemento (Flexión, Corte, Torsión, etc.) γ: factor de amplificación de carga

Fi: cargas actuantes La Norma E-060 de Concreto Armado establece las combinaciones de carga y los factores de amplificación siendo estas las siguientes: U1 = 1.5 CM + 1.8 CV U2 = 1.25 (CM + CV) ± CS U3 = 0.9 CM ± CS En el caso de la cisterna se considerará el efecto del empuje lateral del terreno siendo la resistencia requerida: U = 1.5 CM + 1.8 1. 8 CV + 1.8 CE De esta manera la Norma también establece los factores de reducción de resistencia para los siguientes casos: Flexión pura Tracción y Flexo-compresión Compresión y Flexo-compresión Para miembros con refuerzo en espiral Para otro tipo de miembros Corte y Torsión Aplastamiento del Concreto Concreto simple


0.90 0.90 0.75 0.70 0.85 0.70 0.65

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3.- MARCO METODOLÓGICO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS SISTEMAS DISCRETOS Y SISTEMAS CONTINUOS Al efectuar una clasificación de las estructuras, suelen dividirse en discretas o reticulares y continuas. Las primeras son aquéllas que están formadas por un ensamblaje de elementos claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos concretos, de tal manera que el sistema total tiene forma de malla o retícula. La característica fundamental de las estructuras discretas es que su deformación puede definirse de manera exacta mediante un número finito de parámetros, como por ejemplo las deformaciones de los puntos de unión de unos elementos y otros. De esta manera el equilibrio de toda la estructura puede representarse mediante las ecuaciones de equilibrio en las direcciones de dichas deformaciones Como contrapartida, en los sistemas continuos no es posible separar, a priori, el sistema en un número finito de elementos discretos. Si se toma una parte cualquiera del sistema, el número de puntos de unión entre dicha parte y el resto de la estructura es infinito, y es por lo tanto imposible utilizar el mismo método que en los sistemas discretos, pues los puntos de unión entre los distintos elementos, que allí aparecían de manera natural, no existen aquí. Las estructuras continuas son muy frecuentes en ingeniería, como por ejemplo: bastidores de máquinas, carrocerías de vehículos, losas de cimentación de edificios, vasijas de reactores, elementos de máquinas (bielas, poleas, carcasas...), y para su análisis es necesario disponer de un método que tenga en cuenta su naturaleza continua. Hasta la llegada del Método de los Elementos Finitos (MEF), los sistemas continuos se abordaban analíticamente, pero por esa vía sólo es posible obtener solución para sistemas con geometría muy sencilla, y/o con condiciones de contorno simples.También se han utilizado técnicas de diferencias finitas, pero éstas plantean problemas cuando los contornos son complicados. Como precursores del MEF debe citarse a Argyris y Kelsey (Stuttgart, 1955) y a Turner, Clough, Martin y Topp (Boeing, 1956), aunque con posterioridad el número de autores en el campo del MEF ha sido enorme, siendo uno de los campos de la ingeniería a los que más esfuerzos de investigación se han dedicado.


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HIPÓTESIS DE DISCRETIZACIÓN En una estructura discreta, su deformación viene definida por un número finito de parámetros (deformaciones (deformaciones y/o giros), que que juntos conforman el vector de deformaciones Δ, y la estructura tiene tantas formas de deformarse como términos tenga dicho vector. Un medio continuo tiene infinitas formas posibles de deformarse, independientes unas de otras, ya que cada punto puede desplazarse manteniendo fijos cualquier número finito de los puntos restantes, por grande que sea este último. Por lo tanto la configuración deformada de la estructura no puede venir dada por un vector finito Δ como el anterior, sino que es una función vectorial u, que indica cuáles son las deformaciones de cualquier punto, y que tiene tres tr es componentes escalares:

Esta función es la solución de la ecuación diferencial que gobierna el problema, y si éste está bien planteado, cumplirá las condiciones de contorno impuestas, pero en principio no puede asegurarse que esta función u tenga una expresión analítica manejable, ni siquiera que pueda calcularse. Por lo tanto la función u no podrá conocerse en general. Para resolver este problema, el Método de los Elementos Finitos recurre a la hipótesis de discretización, que se basa en lo siguiente: • El continuo se divide por medio de líneas o superficies imaginarias en una

serie de regiones contiguas y disjuntas entre sí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadas elementos finitos . • Los elementos finitos se unen entre sí en un número finito de puntos, llamados nudos .

• Los desplazamientos de los nudos son las incógnitas básicas del problema, y

éstos determinan unívocamente la configuración deformada de la estructura. Sólo estos desplazamientos nodales se consideran independientes.

• El desplazamiento de un punto cualquiera, viene unívocamente determinado

por los desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto. Análisis estructural

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Para ello se definen para cada elemento, unas funciones de interpolación que permiten calcular el valor de cualquier desplazamiento interior por interpolación de los desplazamientos nodales. Estas funciones de interpolación serán de tal naturaleza que se garantice la compatibilidad de deformaciones necesaria en los contornos de unión entre los elementos. el ementos. • Las funciones de interpolación y los desplazamientos nodales definen

unívocamente el estado de deformaciones unitarias en el interior del elemento. Éstas, mediante las ecuaciones constitutivas del material definen el estado de tensiones en el elemento y por supuesto en sus bordes. • Para cada elemento, existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos,

que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento, y a las fuerzas exteriores sobre él actuantes. Los dos aspectos más importantes de esta hipótesis, sobre los que hay que hacer hincapié son:

u es aproximada de forma independiente en cada elemento. Para una estructura discretizada en varios elementos, pueden utilizarse funciones de interpolación distintas para cada uno de ellos, a juicio del analista, aunque deben cumplirse ciertas condiciones de compatibilidad en las fronteras entre los elementos. • La función solución es aproximada dentro de cada elem ento, apoyándose en un número finito (y pequeño) de parámetros, que son los valores de dicha función en los nudos que configuran el elemento y a veces sus derivadas. Esta hipótesis de discretización es el pilar básico del MEF, por lo que se suele decir de éste, que es un método discretizante, de parámetros distribuidos. La aproximación aquí indicada se conoce como la formulación en desplazamiento. Claramente se han introducido algunas aproximaciones. En primer lugar no es siempre fácil asegurar que las funciones de interpolación elegidas satisfarán al requerimiento de continuidad de desplazamientos entre elementos adyacentes, por lo que puede violarse la condición de compatibilidad en las fronteras entre unos y otros. En segundo lugar al concentrar las cargas equivalentes en los nudos, las condiciones de equilibrio se satisfarán solamente en ellos, y no se cumplirán usualmente en las fronteras entre elementos. El proceso de discretización descrito tiene una justificación intuitiva, pero lo que de hecho se sugiere es la minimización de la energía potencial total del sistema, para un campo de deformaciones definido por el tipo de elementos utilizado en la discretización. Con independencia de que más adelante se estudien en detalle, se representan a continuación algunos de los elementos más importantes. • La función solución del problema

Elasticidad unidimensional

Figura 1.2 Elementos para elasticidad unidimensional Análisis estructural

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• Elasticidad bidimensional

Figura 1.3 Elementos para elasticidad bidimensional FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN Consideremos un elemento finito cualquiera, definido por un número de nudos n . Para facilitar la exposición se supondrá un problema de elasticidad plana. Un punto cualquiera del elemento tiene un desplazamiento definido por un vector u, que en este caso tiene dos componentes:

Los nudos del elemento tienen una serie de grados de libertad, que corresponden a los valores que adopta en ellos el campo de desplazamientos, y que forman el vector denominado δe . Para el caso plano este vector es:

En este ejemplo se supone que como deformaciones de los nudos se emplean sólo los desplazamientos, desplazamientos, pero no los giros, lo cual es suficiente para elasticidad plana, como se verá más adelante. En otros elementos (p.e. vigas o cáscaras) se emplean además los giros.

Figura 1.9 Deformaciones en un elemento finito


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ECUACIONES GENERALES

CAMPO DE DEFORMACIONES El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio está definido por un vector u que tiene tantas componentes como deformaciones existen en el dominio. Para el caso de un problema espacial es:

Figura 2.1 Si se considera un elemento finito cualquiera, el campo de deformaciones en su interior se aproxima, haciendo uso de la hipótesis de interpolación, como un promedio ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento, siendo los factores de ponderación las funciones de interpolación:

Esta interpolación puede ponerse en forma matricial: u=Nδ donde: δe es

el vector de todas las deformaciones nodales del elemento (figura 2.1):

Figura 2.1 Deformaciones en un elemento finito La matriz de funciones de interpolación N tiene tres filas y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del elemento. La estructura de esta matriz siempre es del tipo:


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DEFORMACIONES UNITARIAS Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento, con la suposición de pequeñas deformaciones, son:

Se pueden poner en la forma matricial siguiente:

En esta expresión se identifica el operador matricial ∂ que permite pasar de las Análisis estructural

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deformaciones de un punto u a las deformaciones unitarias ε. Este operador tiene tantas filas como deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como componentes tenga el campo de desplazamientos u. Sustituyendo las deformaciones u en función de las deformaciones nodales, mediante las funciones de interpolación, se obtiene: Ε

= ∂u= ∂Nδ

En esta relación se identifica la matriz B: B= ∂ N tal que se cumple que: ε= B δ

Esta matriz B relaciona las deformaciones de los nudos del elemento δe con las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento. Por lo tanto B representa el campo de deformaciones unitarias que se supone existe en el interior del elemento finito, como consecuencia de la hipótesis de interpolación de deformaciones efectuada, y juega un papel fundamental en el método de los elementos finitos. Dada la estructura de la matriz N, la matriz B se puede poner siempre en la forma:

Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente:

aunque el valor de B se ha obtenido para el caso de elasticidad tridimensional, su valor en función de ∂ y N es totalmente general para otros tipos de problemas de elasticidad, como flexión de placas, problemas de revolución, etc. Análisis estructural

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ESTADO DE TENSIONES. ECUACIÓN CONSTITUTIVA Las tensiones en un punto cualquiera del dominio están definidas por el tensor de tensiones en dicho punto, cuya expresión general es:

Asimismo se conoce la ecuación constitutiva del material que forma el dominio, y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias. Para un material elástico lineal esta ecuación constitutiva se puede poner en la forma: ζ=D(ε−ε0)+ ζ0

Siendo: • D la matriz elástica, que para un material elástico lineal es constante y depende de sólo dos parámetros: el módulo de elasticidad E y el módulo de Poisson ν. • ε0 el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el material en el punto considerado, que deben ser conocidas. Las más habituales son las debidas a las temperaturas, aunque aunque pueden incluirse en ellas las debidas a los errores de forma, etc. • ζ0

las tensiones iniciales presentes en el material, que normalmente son tensiones residuales debidas a procesos anteriores sobre el material (p.e. tratamiento térmico) y que por lo tanto son conocidas.

Las expresiones particulares de la matriz elástica D y de los vectores ε0 y ζ0 dependen del tipo de problema considerado y serán estudiadas en cada caso particular.

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN El campo de deformaciones en el interior int erior del elemento se aproxima mediante la expresión habitual: u = ΣNiUi ΣNiUi v = ΣNiVi ΣNiVi

En forma matricial es: u=Nδe El vector de todas las deformaciones nodales del elemento δe es:


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siendo n el número de nudos del elemento. La matriz de funciones de interpolación N tiene 2 filas y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del elemento. La estructura de esta matriz siempre es la misma:

Figura 4.1 Interpolación de deformaciones DEFORMACIONES UNITARIAS Las deformaciones unitarias en un punto del elemento finito son:    

Se pueden poner en la forma:

donde se identifica al operador matricial ∂ que pasa de las deformaciones u a las deformaciones unitarias. Sustituyendo las deformaciones u en función de las deformaciones nodales, a través de las funciones de interpolación, se obtiene: Análisis estructural

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ε

= ∂u = ∂Nδe = Bδ

Se identifica de esta forma la matriz B

Esta matriz relaciona las deformaciones de los nudos con las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento. Por lo tanto B representa el campo de deformaciones unitarias que se supone existe en el interior del elemento finito, como consecuencia de la hipótesis de interpolación de deformaciones efectuada. Esta matriz se puede poner en la forma:

Siendo cada una de las submatrices B

Nótese que debido a la estructura de B, las deformaciones unitarias en el interior del elemento se pueden poner en función de las deformaciones nodales en la forma:

ESTADO DE TENSIONES. ECUACIÓN CONSTITUTIVA Análisis estructural

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El estado de tensiones en dos dimensiones es:

La ecuación constitutiva, en ausencia de temperaturas, es: ζ= D ε Para un material elástico lineal e isótropo la matriz elástica D es constante. Su expresión es diferente para los dos problemas de elasticidad plana. • Tensión plana . En este caso la tensión transversal al material ( z ) es nula, pero éste es libre de dilatarse en dirección z : σ = o ε  ε  

Se parte de la ecuación constitutiva en el estado tridimensional:

Imponiendo en la tercera ecuación la condición σ = o se obtiene: λ ε + λ ε + λ+ μ ε =0 De donde se calcula el valor de la deformación unitaria transversal al material:

Sustituyendo en la expresión inicial del estado tridimensional (y considerando además que ζyz=0, ζzx=0), se obtiene la matriz matri z elástica del estado plano:


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Deformación plana. En este caso la deformación unitaria transversal al material (z ) es nula, pues éste es incapaz de dilatarse en dirección z. En consecuencia debe existir tensión en dicha dirección: σ = o ε  ε   Para obtener la ecuación constitutiva es suficiente con hacer cero las deformaciones unitarias correspondientes en la ecuación tridimensional: basta por lo tanto con extraer las filas y columnas correspondientes al estado plano. Se obtiene la siguiente matriz elástica:

ELEMENTO TRIANGULAR Este elemento tiene seis desplazamientos en los nudos, que forman un vector:

Los desplazamientos de un punto cualquiera dentro del elemento se pueden representar en función de estos estos seis valores valores nodales, mediante una expresión polinómica. Dado que hay seis deformaciones nodales, el polinomio sólo podrá tener seis términos: u =α +αx +αy Estas expresiones pueden ponerse en forma matricial: u=Rα

Los seis parámetros αi se pueden calcular aplicando la expresión a los tres nudos del elemento, y agrupando las seis ecuaciones obtenidas (dos en cada nudo):


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es decir: δe = C α Despejando α y sustituyendo en la expresión de u se obtiene: u=C δ Esta expresión define las funciones de interpolación como: N=C Efectuando el producto de matrices anterior se obtiene la expresión:

Las tres funciones de interpolación correspondientes a los tres nudos son:

Las distintas constantes dependen de la geometría del elemento:

En la ecuación anterior, A es el área del elemento, cuyo valor se obtiene mediante el determinante:

Se observa que si el elemento tiene área nula (dos nudos coincidentes) eso se manifiesta en A=0 y no se pueden calcular las Ni . Estas funciones son planos de valor 1 en el nudo i y 0 en los otros dos nudos.


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DESCRIPCIÓN DE LA OBRA Características del terreno: Coeficiente de fricción del terreno Angulo de fricción interna Angulo del terreno Presión admisible del terreno Capacidad portante Especificaciones Generales:

: : :

µ = 0.5 Φ = 35º

:

1.20 kgr/cm2

β = 0º

Concreto armado CºAº de muro de contención

:

f´c = 210 krg/cm2

Acero Corrugado grado 60 ASTM

:

fy = 4200 krg/cm2

Materiales (Pesos Específicos): Concreto armado

:

2400 krg/m3

Relleno

:

1900 krg/m3

Geometría: Análisis estructural

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Altura de muro con contrafuerte

:8.00 m

CONCRETO ARMADO Análisis estructural

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CONCRETO ARMADO CONSIDERACIONES PARA DIMENSIONAR MUROS CON CONTRAFUERTES

B = 0.5 a 0.7H t1 = t2 ≥ 30 cm

 

 



 

PESO MUERTO Concreto armado Concreto Grava, suelo gravoso, arena Suelo arenoso Suelo cohesivo

2.40 T/m3 2.35 T/m3 2.00 T/m3 1.90 T/m3 1.80 T/m3

SOBRECARGA

1.00 T/m

Pantalla:

espesor > 20 cm


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Zapata:

espesor ≥ 40 cm

La base de la zapata B1 y B2, se dimensionan en forma igual que que el muro en voladizo. DISEÑO DE LA PANTALLA

La pantalla es una losa apoyada en los contrafuertes y en la zapata; generalmente el borde superior no tiene apoyo. Sin embargo la pantalla puede ser diseñada como una losa continua apoyada en los contrafuertes sin considerar la influencia de la zapata como apoyo. Es razonable considerar los siguientes valores aproximados de los momentos: + M = pI² / 16 -M = pI² / 12 Donde: p = presión del relleno al nivel considerad I = distancia entre ejes de los contrafuertes

Como las presiones varían a lo alto de la pantalla, el diseño se realiza por franjas horizontales con el valor mayor de p en cada franja como carga uniformemente repartida. Para las franjas inferiores el apoyo proporcionado por la losa de la zapata contribuye a una disminución de los momentos actuantes, esto puede tomarse en cuenta considerando como presión máxima la que corresponde a un nivel situado a 3/8 de la distancia entre ejes de los contrafuertes contados a partir de la base de la pantalla.

Refuerzo vertical

-

Considerando la influencia de la zapata como apoyo.


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-

Debe verificarse el refuerzo mínimo.

-

M = 0.03γs Kah²pl

DISEÑO DE LOS CONTRAFUERTES a. Por flexión Los contrafuertes son vigas en voladizo empotradas en la losa de la cimentación, sirven de apoyo a la pantalla, por consiguiente resisten toda la presión del relleno en un ancho igual a la distancia entre ejes de los contrafuertes.


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b. Por fuerza cortante (refuerzo horizontal) La fuerza cortante de diseño para la l a sección en estudio será: Vu = Vui - Tui sen  (Sección variable)

c. Por tracción de la pantalla al contrafuertes contrafuertes (refuerzo horizontal) Análisis estructural

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Tu = 1.7 PI As =Tu / φ fy =210kg/m2 φ =0.9 como refuerzo horizontal se considera el mayor de (b) y (c)

d. Por tracción de la zapata al contrafuerte contrafuerte (refuerzo vertical) Tu = WuI donde: Wu = carga última en la zapata posterior.


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DISEÑO DE LAS ZAPATAS ZAPATA ANTERIOR Igual que la correspondiente a un muro m uro en voladizo. ZAPATA POSTERIOR Se analiza y diseña en forma similar a la pantalla, es una losa que se apoya en los contrafuertes. Pueden usarse los mismos coeficientes indicados para la pantalla para la determinación de los momentos positivos y negativos.

4.- PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO Se considera para el diseño del muro con contrafuerte, 1 metro de longitud de muro. PREDIMENCIONAMIENTO:


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e1

H

CONTRAFUERTE

e2

hz b1

b2 B





Se va a adoptar

e1 = 0.30 m

Consideramos e2 =H/12= (por facilidades de cálculo) consideramos =0.30m


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

 

Tomamos Hz = 0.50 m (para permitir una longitud de desarrollo desarrollo de los refuerzos verticales verticales de la pantalla) Ancho B de la zapata: B = ¿?

Coeficiente de empuje activo del terreno: Ka =? Ka  c os  .

c os   c os2   c os2  os   c os2   c os2 

Donde β = /2 = 35/2 = 17.5

Ka = 0.3077

Ka *Wt  0.3077 *1900  584.63.kgr / m3

Utilizando la tabla de Relación B/(H+hs), para diferentes tipos de relleno: Interpolando en la tabla: Se toma

  0.539 

B

( H  hs) B  0.539* (8.0  0)  4.312

carga)

Donde: H = 8.00 m Hs = 0 (por no existir sobre

Tomamos como B = 5.20 m (debido a que que su capacidad capacidad de resistencia del suelo es baja). b1  0.2 H 

e2

 0.2(8.0) 

0.30

2 2 b2  B  b1  5.20  1.80  3.40m

 1.75m  1.80m

Hallando la separación entre contrafuertes: (S=?) S  0.75  0.30H ´ S  0.75  0.30(7.50)

S  3.00m

Espesor del contrafuerte:


e = espesor = 0.30 m

Página 36


N

FAI


Resultados del redimensionamiento:

PLANTA

ELEVACIÓN (corte) Análisis estructural

Página 37

FAI



0.30

7.50

8.00 m

1.65

3.25

.30

1.80

0.50

3.40 5.20


Página 38

FAI



Verificación de la estabilidad A) Verificando al Volteo: Superficie inclinado del terreno 0.30 B

3 V E V

1

E

H = 8.00 m

P3

P1

B H E H

1.6 5

3.25

H/3=2.67

2

.30

0.50

B

P2 verificación por volteo 5.20

E' = H.Wa.Ka.cos(B)

Empuje activo: E H  Ev 

Ka *Wt * H 2 . cos 

2 Ka *Wt * H 2 .sen 2





584 .63 * 82. cos(35 / 2)

2 2 584 .63 * 8 .sen(35 / 2) 2

 17842 .30 krg

 5625 .65 krg

E '  H *Wt * Ka * cos   8.0 * 584.63.cos(35 / 2)  4460.57krg  4.461tn Mvolteo Mvolteo  E H * H / 3  (17842 .30 ) * (2.67 )  47638 .941kgr  m


Página 39

FAI



Fuerza y momento resistente : Elemento 1 2 3 Ev

fuerza (P) 5400.00 6240.00 46312.50 5625.65

Momentos = P*X 9720.00 krg - m 16224.00 krg - m 165567.19 krg – m 10970.02 krg – m

brazo “X”

1.80 2.60 3.58 1.95

63578.15

∑=

∑Mr

= 202481.21 krg – m

Factor de seguridad al volteo: Fsv 

 M  M

R

----- No falla por volteo

 4.25  2

V

B) Por Deslizamiento:

Fsd 

 F  F

u

R

 1.78  1.5

----- No falla por deslizamiento

A

C) Punto de paso de la l a resultante: Calculo de la excentricidad “e”

RH=Ea Rv=Suma deFv Punto de Paso de la Resultante

R

c.g.

D

Arista de volteo

H/3

e B/2 eR

RH =. Rv =57952.50 krg. Análisis estructural

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FAI



H/3 = 2.67 m Calculo de “er” posición de la resultante de l as fuerzas verticales respecto al

punto A.

Rv * e R 

 M

R

57952.50* er  191511.19krg.m er  3.18m “e” debe cumplir la relación siguiente.

e < B/6 e < 5.20/6 e < 0.87 Tomando momentos respecto al Punto D: R H *

H

3

B

 Rv((eR  )  e)  0

e = 0.16 ----- OK

2

Calculo de las Presiones del terreno: s 1, 2 

Rv B

* 100

±

( Rv * e ) C 100 * B

3

12

ζ1 = 1.45346 krg/cm2 ζ1 = 0.99 krg/cm2

< 1.50 krg/cm2 ---- OK < 1.50 krg/cm2 ---- OK

DISEÑO DE LA PANTALLA VERTICAL. -

La pantalla se modela estructuralmente como una losa continua apoyada en los contrafuertes y en la zapata.


Página 41

FAI



CALCULO DE PRESIONES EN EL MURO CON CONTRAFUERTES: En la Pantalla Vertical: (diagrama ( diagrama de fuerza distribuida)

1.00 m

7.50 m

H'/2

Presión absorbida por el muro contrafuerte Pmax = 1.7 (Ca*Wt*H´/2)

Pmax = 3270.375 krg. = 3.27 tn

En la Zapata Talón Talón posterior. (se modela estructuralmente estructuralmente como una losa apoyada en los contrafuertes) En la Zapata Talón anterior. anterior. (se considera como un voladizo voladizo empotrado en la pantalla) Se considera que solo actúa la reacción del terreno a la zapata. Análisis estructural

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FAI



Presión de relleno + Presión propia de la zapata

Pu1 1.00 m

Pu2

Pu'3 Pu3

Pu'2

Presión Actuante del terreno a la Zapata

Calculo de Pu1 [Presión de relleno + Presión propia de la zapata] Pu1 = 1.4 [1*7.5*1900 + 1*0.5*2400] Pu1 = 21630.00 krg/ml = 21.63 tn/ml Calculo de Pu2 [Presión Actuante del terreno a la Zapata] Pu2 =1.4 [100*100* ζ2] =1.4 [100*100*1.05] [100*100*1.05] =14700.00krg/ml = 14.70 tn/ml (Extremo derecho) Pu’3 =1.4 [100*100*ζ1] =1.4 [100*100*1.17974]= 16516.36 krg/ml = 16.52 tn/ml

(Extremo izquierdo) Donde: Pu3 y Pu’2 son:


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FAI



Pu’2 = 15835.23 krg/ml = 15.84 Tn/m

Pu3 = 15940.02 krg/ml = 15.94 Tn/m

El talón anterior y posterior se considera como una viga en voladizo. Con presiones ejercidas por el terreno a la zapata.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL


Página 44

FAI



MODELO ESTRUCTURAL ESTRUCTURAL

pantalla

talon posterior

talon anterior

Pu3

Pu'3

Pu'2

Pu2

se analiza 1.00 m de fondo de longitud de muro Se modela como elementos vigas empotradas entre si:


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N

FAI


ANÁLISIS ESTRUCTURAL Se ha optado por trabajar independientemente cada elemento que conforma el muro con contrafuerte. Facilitando de este modo los cálculos. Así tenemos: Contrafuerte Pantalla Talón anterior Talón posterior

CONTRAFUERTE MODELAMIENTO ESTRUCTURAL: -Estructuralmente serian voladizo de sección variable Empotrados en la cimentación - Se pueden tomar varias secciones de análisis. Donde h = 7.50 m Numero nodos (n) = 2 Numero de elementos (el)= 6

PROPIEDAD DEL MATERIAL Resistencia del concreto (   ) : Modulo de poisson (v): Modulo de elasticidad (E) : Espesor (t):


210kg/cm 0.2 2.2E+0.6TN/m2 0.3m

Página 46

FAI



F2

F1 F6 1.25

EL:01

F5 EL:02

F12

EL:03

EL:04

F11 EL:05

EL:07

F20

EL:06

EL:08

EL:09

H

F19 EL:10

EL:12

EL:14

F30

EL:11

EL:13

EL:15

EL:16

F29 EL:17

EL:19

EL:21

EL:23

F42

EL:18

EL:20

EL:22

EL:24

EL:25

F41 EL:26

EL:28

EL:30

EL:32

EL:34

F56 H/6

1.25

EL:27

EL:29

EL:31

EL:33


EL:35

EL:36

E' = P1 =4.46 Tn

F55 Página 47

.5417 3.25

FAI



PANTALLA MODELAMIENTO ESTRUCTURAL: -La pantalla se modela estructuralmente como una losa continua apoyada en los contrafuertes y en la zapata. -Estructuralmente serian voladizo de sección variable y/o constante según el diseño, Empotrados en la cimentación -Se pueden tomar varias secciones de análisis. PROPIEDAD DEL MATERIAL Resistencia del concreto (   ) : Modulo de poisson (v): Modulo de elasticidad (E) : Espesor (t): EL:12

EL:11 EL:10

EL:09 EL:08

EL:07

H'=7.50 EL:06

EL:05

210kg/cm 0.2 2.2E+0.6TN/m2 1m

P7

P6

P5

PANTALLA DE MURO

P4

P3

EL:04

EL:03

P2

EL:02

1.25

EL:01

Análisis estructural .30

P1

Página 48

FAI



TALÓN ANTERIOR MODELAMIENTO ESTRUCTURAL.

EL:02 EL:01

EL:04

EL:06

EL:03

EL:05

.55 .5 5 1.65

TALÓN POSTERIOR MODELAMIENTO ESTRUCTURAL.

EL:11

EL:09

EL:07

EL:05

EL:03

EL:01 .50

EL:12

EL:10

EL:08

EL:06

EL:04

EL:02

.5417 3.24


Página 49


N

FAI


MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (CONTRAFUERTE)

 Knn [ K G ]   K na 


Kan 

 Kaa  28 x 28

Página 50

FAI



VECTOR DESPLAZAMIENTO DE NUDOS LIBRES 1

{n}  [ Knn] .{ Fn}


Página 51


N

FAI


5.- ANÁLISIS DE RESULTADOS VECTOR DESPLAZAMIENTO

En general el muro puede alcanzar los siguientes estados límites, de servicio o últimos. b) Deslizamiento del muro

c) Deslizamiento profundo de muro . Es debido a la formación de una superficie de deslizamiento profunda, de forma aproximadamente circular. Este tipo de fallo puede presentarse si existe una capa de suelo blando en una profundidad igual a aproximadamente a vez y media m edia la altura del muro, contada desde el plano de cimentación de la zapata . En ese caso debe investigarse la seguridad frente a este estado límite, por los procedimientos clásicos. Véase por ejemplo la referencia.


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FAI



POR EJEMPLO DESPLAZAMIENTO Q1 TIENE UN DESPLAZAMIENTO DE -0.1997cm lo que significa se desplaza un centímetro aproximadamente aproximadamente.. Q1

-0.000199736

-0.199736413

VECTOR FUERZA El vector fuerza fuerza significa si el elemento esta en tracción tracción o compresión compresión y así saber cual cual esta en compresión o tracción. POR EJEMPLO EN EL NODO

1-

1 2

F1

=

-0.1278

esto significa signific a que esta en

2-

3

F3

=O

esto significa signifi ca que no esta en

compresión. POR EJEMPLO EN EL NODO

4

tracción ni compresión. compresión.


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N

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CONCLUSIONES 













Los sistemas de cálculo de presiones y fuerzas sobre estructuras de contención utilizando sistemas de esfuerzo-deformación, mediante la implementación de modelos de elementos finitos generalmente presentan resultados mucho más confiables, acordes a la realidad del comportamiento del suelo. Los desplazamientos de la estructura analizada están por debajo del límite máximo para estructuras de concreto armado pro lo consiguiente se dice que la estructura no fallara por estar dentro el rango. Verificando el muro por volteo, por deslizamiento y por falla del suelo de cimentación este está dentro del factor de seguridad establecido para cada uno de lo antes mencionado. Como una conclusión sobre el sitio o ubicación del proyecto, este terreno es de baja resistencia a los elementos estructurales, debido a su baja resistencia del suelo y los asentamientos diferenciales que podrían producirse por efecto efecto de las cargas. cargas. Lo cual hace que que se incrementen incrementen las dimensiones de mi zapata, zapata, para agarrar mayor mayor área, y de este modo encareciendo el proyecto. Las funciones de forma lineales aproximan suficientemente el fenómeno de flujo de esfuerzo, pero hay que considerar un número adecuado de elementos. Utilizando este método podemos, determinar directamente los valores del esfuerzo en cada nodo. Con los valores de esfuerzo calculado en cada nodo podemos graficar la variación del flujo de esfuerzo en toda la estructura, en la cual se han interpolado los esfuerzos de cada elemento.(ζ el emento.(ζx , ζy , ηxy )


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N

FAI


BIBLIOGRA -Teodoro E. Harmsen

Diseño de estructuras de concreto armado

- R. Morales

Diseño en Concreto Armado (ICG)

-J. Calavera

Muros De Contención Y Muros De Sótano

-Rafael angel torres belandria concreto armado.

Análisis y diseño de muros de contención de de

NOTA : Tengo los EXCEL (Cálculos)


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Muro de Contrafuere Mediante Mef

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