ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Introducción al método de elementos finitos
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EDITORIAL
MACRO
Análisis matricial de estructuras Introducción al método de elementos finitos
Autor: Alder Jhosué Quispe Panca
© Derechos de autor registrados: Empresa Editora Macro EIRL
© Derechos de edición, arte gráfico y diagramación reservados: Empresa Editora Macro EIRL Jefe de edición: Cynthia Arestegui Baca
Coordinación de edición: Magaly Ramon Quiroz
Diseño de portada: Alessandra Bonilla Zapata
Corrección de estilo: Erik Tacuchi Villanueva Diagramación: Gretty Escobar Davila
Edición a cargo de: © Empresa Editora Macro EIRL Av. Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú L, Teléfono: (511) 748 0560 E3 E-mail:
[email protected] © Página web: www.editorialmacro.com
Primera edición: octubre 2015 Tiraje: 1000 ejemplares Impresión Talleres gráficos de la Empresa Editora Macro EIRL Jr. San Agustín N." 612-624, Surquillo, Lima, Perú ISBN N.*
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2015-13746 Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.
INDICE Introducción
13
CAPÍTULO 1: Conceptos básicos 1.1 Esfuerzo
18
1.2 Deformación
19
1.3 Diagrama esfuerzo-deformación
20
1.3.1 Elementos del diagrama esfuerzo-deformación
1.4 Ley de Hooke
20
21
CAPÍTULO 2: Método de la rigidez 2.1 Origen 2.2 Consideraciones y conceptos básicos
23
25
CAPÍTULO 3: Estructuras articuladas 3.1 Matriz de rigidez de elementos articulados ....
29
3.1.1 Caso barra simple
29
3.1.2 Caso barra compuesta (2 tramos)
31
3.1.3 Caso general («n» tramos)
32
3.1.4 Características de la matriz de rigidez
33
CAPÍTULO 4: Transformación de coordenadas 4.1 Matriz de transformación de barras articuladas
45
4.2 Matriz de rigidez global de una barra articulada
47
4.3 Matriz de rigidez global con coordenadas 2D
51
CAPÍTULO 5: Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 5.1 Solución mediante el método de rigidez
60
5.2 Cálculo de deformación unitaria y esfuerzo axial a partir de desplazamientos globales en extremos de una barra 64
5.3 Efectos de cambio de temperatura
86
CAPÍTULO 6: Apoyos inclinados y apoyos elásticos 6.1 Apoyos no concordantes con el sistema global(inclinado) 6.1.1 Análisis con Autodesk Robot Structural Analysis Professional 6.2 Apoyo elástico
97
112 124
CAPITULO 7: Apoyos con desplazamiento inicial
CAPÍTULO 8: Análisis tridimensional de barras articuladas 8.1 Análisis tridimensional de barras articuladas con apoyo elástico:
156
CAPÍTULO 9: Estructuras tipo marco rígido 9.1 Rigidez axial para marcos
171
9.2 Rigideces para momento flexionante y fuerza cortante para marcos
172
9.2.1 Rigidez por momento flexionante
172
9.2.2 Rigidez por desplazamiento vertical
177
CAPÍTULO 10: Matriz de rigidez de elementos tipo marco rígido en 2D 10.1 Matriz de rigidez de elementos tipo marco rígido en 3D
187
10.2 Matriz de transformación para estructuras tipo marco
189
10.3 Problemas de vigas inclinadas
195
10.4 Problema de verificación de desplazamiento
206
10.5 Estructura con cargas laterales
218
10.6 Pórtico con apoyo empotrado
228
10.7 Pórtico con viga inclinada y fuerza nodal
244
10.8 Análisis de pórticos de edificios
254
10.9 Pórtico con apoyo elástico
273
CAPÍTULO 11: Rigidez lateral de pórticos 11.1 Aplicación en análisis sísmico
297
11.2 Rigidez lateral de pórticos
298
11.3 Rigidez lateral de un pórtico simple
298
11.4 Matriz de rigidez lateral de un pórtico de varios pisos
303
CAPÍTULO 12: Introducción al método de elementos finitos 12.1 Antecedentes
315
12.2 Introducción al método de elementos finitos
317
12.3 Conceptos generales del método
317
12.4 Tipos de elementos finitos
318
12.4.1 Elemento armadura (figura 12.1)
318
12.4.2 Elemento viga (figura 12.2)
319
12.4.3 Elemento marco (figura 12.3)
319
12.4.4 Elemento solido 2D (figura 12.4)
320
12.4.5 Elemento placa (figura 12.5)
320
12.4.6 Elemento cascarón (figura 12.6)
321
12.4.7 Elemento sólido (figura 12.7)
321
12.5 Discretización
322
12.6 Barras de sección variable
324
12.7 Pasos para analizar estructuras mediante el MEF
325
12.7.1. Modelamiento
325
12.7.2. Solución
325
12.7.3. Análisis e interpretación de resultados
326
12.8 Análisis de vigas con elementos finitos
326
12.9 Estados de esfuerzos y deformaciones
336
12.9.1 Componentes de la deformación
336
12.10 Estado de esfuerzo y deformación tridimensional
337
12.11 Estado de esfuerzo plano
340
12.12 Estado de deformación plano
342
12.13 Principio de los trabajos virtuales
344
12.13.1 Ley del trabajo virtual para cuerpos elásticos
344
12.14 Formulación de MEF usando el principio del trabajo virtual
346
12.15 Formulación de MEF para elementos lineales (barra Particulada)
346
12.15.1 Matriz de rigidez
346
CAPÍTULO 13: Formulación de MEF para elementos bidimensionales 13.1 Elementos triangulares lineales
351
13.2 Elemento triangular de tres nodos de Turner
352
13.3 Matriz de rigidez del elemento triangular
357
13.4 Ensamblaje de la matriz de rigidez de elementos triangulares
361
13.5 Problemas de estado tensión plana
363
13.6 Problema de estado deformación plana
413
Anexo
436
Glosario
439
Bibliografía
444
índice de figuras Capítulo 1 Figura 1.1 Esquema de aplicación de una fuerza sobre un área
19
Figura 1.2 Deformación de una estructura
19
Figura 1.3 Diagrama esfuerzo-deformación
20
Figura 1.4 Diagrama reducido de esfuerzo-deformación
21
Capítulo 2 Figura 2.1 Esquema de descomposición de esfuerzos actuantes en nudos
24
Figura 2.2 Sistema de coordenadas locales y globales
26
Capítulo 3 Figura 3.1 Estructuras articuladas aplicadas en techos
27
Figura 3.2 Tipos de cerchas
28
Figura 3.3 Geometría de estructuras articuladas
28
Capítulo 4 Figura 4.1 Estructura con sistema de ejes global y local
45
Figura 4.2 Componentes del sistema de ejes global y local
46
Figura 4.3 Componentes de la matriz de rigidez en sistema global 2D
51
Capítulo 5 Figura 5.1 Datos ingresados
70
Figura 5.2 Deformación global y deformación en Xy Z (cuadro adjunto, nudo 5)
70
Figura 5.3 Reacciones y esfuerzo axial
71
Figura 5.4
71
Figura 5.5
72
Figura 5.6 Descomposición de fuerzas en cada nudo
72
Figura 5.7 Efecto de acción del cambio de temperatura
87
Capítulo 8 Figura 8.1 Elementos para el análisis tridimensional de barras
145
Capítulo 9 Figura 9.1 Representación de carga distribuida en viga continua
172
Figura 9.2 Representación de un solo tramo
172
Figura 9.3 Sección (l)*® en la viga
173
Capitulo 10 Figura 10.1 Elementos de marco rígido en 3D
187
Figura 10.2 Representación de coordenadas globales y locales
190
Figura 10.3 Pórtico del problema 20
211
Figura 10.4 Matriz de rigidez de estructura entera
237
Figura 10.5 Matriz de rigidez de la estructura entera
262
Figura 10.6 Matriz de rigidez reducida de la estructura entera
263
Figura 10.7 Matriz de rigidez completa de la estructura
286
Capítulo 11 Figura 11.1 Pórtico de un grado de libertad
298
Figura 11.2 Pórtico con desplazamiento horizontal
303
Capítulo 12 Figura 12.1 Elemento armadura con fuerza axial solamente
318
Figura 12.2 Elemento viga con carga horizontal, vertical y momento en nodos
319
Figura 12.3. Elemento marco donde se muestra los desplazamientos nodales que puede tomar
319
Figura 12.4 Elemento sólido 2D con cargas en el plano
320
Figura 12.5 Elemento placa con una distribución de cargas perpendiculares al plano
320
Figura 12.6
Elemento cascarón con seis grados de libertad por nudo
321
Figura 12.7
Elemento sólido con grados de libertad en cada nodo
322
Figura 12.8 Discretización de un pórtico Figura 12.9
Discretización de un muro de albañilería
Figura 12.10 Refinamiento de modelo de barra cónica, (a) barra cónica (b) modelo con un elemento (c) modelo con dos elementos (d) modelo con tres elementos
323 323 325
Figura 12.11 Esfuerzos en el plano. El espesor es mucho más pequeño que las otras dimensiones. Todas las cargas están aplicadas en el plano y, por consecuencia, las deformaciones son función 340 de .ve y Figura 12.12 Estructura 2D en equilibrio
345
Capítulo 13 Figura 13.1 MATRIZ DE RIGIDEZ completa de la estructura
379
Figura 13.2 MATRIZ DE RIGIDEZ reducida de la estructura
380
Figura 13.3 Matriz de rigidez de la estructura entera
396
Introducción El presente texto ofrece a los lectores una explicación clara y completa de la teoría y aplicación del método matricial para el cálculo de estructuras en 2D y 3D de cerchas, vigas y marcos. Se hace hincapié a los lectores la necesidad de tener una comprensión de la teoría y práctica del Método Matricial de Rigidez en sus diferentes características de aplicación práctica, siguiendo un procedimiento didáctico y demostrando matemáticamente cada una de las fórmulas aplicadas para la solución de problemas de Análisis Estructural. Asimismo, en la presente publicación se ha incluido una introducción didáctica acerca del estudio de la teoría y práctica del Método de Elementos Finitos (MEF) que constituye la base para la solución de problemas de diversa complejidad. Debido a la experiencia adquirida en la docencia universitaria, tengo como objetivo explicar didácticamente los pasos del método matricial para el cálculo de estructuras para luego poseer una base sólida para la comprensión y aplicación del MEF. En la actualidad, se sigue considerando oportuno, por su interés sobre todo conceptual, el comprender los métodos clásicos de cálculo estructural; sin embargo, la necesidad de cálculo de estructuras complejas, el alcance de presentar un ventajoso tratamiento matricial y el uso de computadoras obliga a alumnos y profesionales a comprender y manejar los métodos numéricos actuales de cálculo estructural, en particular, el método de los elementos finitos. Con el fin también, de poseer la base teórica de comprensión y aplicación adecuada de resultados obtenidos usando diferentes software de estructuras que a su vez, son variados en la actualidad.
El presente texto es un material de apoyo y ayuda didáctica de clase para los alumnos de Ingeniería Civil, Arquitectura, Mecánica, Industrial y, en general, para todos los estudiantes involucrados en el análisis de estructuras; asimismo, sirve de apoyo a los profesionales para un mejor entendimiento de los aspectos fundamentales del cálculo matricial. Esto se obtiene a través de la presentación clara y detallada de los conceptos teóricos y la solución de problemas ilustrativos, basados en una estructura simple y detallada (paso a paso) que permite centrar la atención en el problema concreto a
resolver. El libro consta de trece capítulos donde se expone el estudio de los conceptos básicos como rigidez, equilibrio estático, coordenadas locales y globales, transformación de coordenadas, aplicaciones a cerchas, vigas y marcos, análisis sísmico de pórticos y aplicación de normas vigentes peruanas, introducción a elementos finitos con bases teóricas explicadas paso a paso y solución a los diferentes problemas planteados que permitirán cumplir el objetivo trazado en el presente texto. Otros objetivos del presente texto son evitar que el lector o alumno caiga en la tentación de utilizar resultados de programas comerciales de análisis estructural sin conocer los conceptos que lo rigen y, además, proponer un uso racional y con conocimiento de los diversos software que hay. Particularmente, estoy convencido de que la mejor forma de aprender análisis estructural es resolviendo de manera manual o semimanual los problemas simples (como los que se presentan en los ejemplos de este libro) y, con ello, entender que los problemas complejos son la unión de problemas simples. O, dicho de otra manera, para la solución de problemas de análisis estructural, se trae a colación la siguiente frase: «divide y reinaras». En otras palabras: divide los problemas complejos en problemas simples y resolverás dichos problemas. Dicho matemáticamente: «divide los elementos infinitos en elementos finitos y resolverás el problema». Considero que esto es fundamental para apreciar el MEF ya que es hoy en día aplicado por el 99 % de los software comerciales.
En particular, en el presente texto se hace uso del software siguiente: Autodesk
Robot Structural Analysis Professional con el finalidad, exclusivamente, de comparar los resultados obtenidos manualmente de los problemas planteados. Esta comparación se realiza parcialmente en los ejercicios resueltos mediante el Método Matricial de Rigidez y se comprueban, en su totalidad, en todos los ejercicios del MEF. Sin embargo, debo enfatizar que hoy en día cualquier persona puede fácilmente ingresar datos a un software y ejecutar el programa, pero esto no implica que debido a eso esté aprendiendo y resolviendo adecuadamente un problema de análisis estructural ni especialmente pueda interpretar los resultados adecuadamente. Por tal motivo, es imprescindible que alumnos y profesionales sepan las bases teóricas y prácticas del método matricial y del
MEF.
Habría «infinita» ingratitud de mi parte el no considerar el apoyo brindado en la elaboración del presente texto mediante los valiosos comentarios y críticas de colegas de profesión, alumnos y a todos aquellas personas que me apoyaron para que este trabajo se publicara adecuadamente. En particular, reconozco la dación de sabiduría que nos dio a todos Nuestro Padre Celestial («La gloria de Dios es la inteligencia del hombre»), el apoyo de mis padres (Juan y Ménica), mi familia (Elida, Gonzalo y Edú) con su tiempo y mejora de gráficos, a mis colegas de la EPITA de la Universidad Nacional del Altiplano de Puno (Perú) y muy especialmente al Dr. Vladimiro Ibañez Quispe y al Mg. Se. Wilfredo Zea Flores por otorgar su tiempo para mejorar la redacción en el presente libro.
Finalmente, es mi deseo que este libro cumpla con el objetivo de ser útil a alumnos y profesionales de Ingeniería Civil para involucrarse en el maravilloso y fascinante mundo del análisis estructural.
Alder Jhosué Quispe Panca Ingeniero Civil
[email protected] «Ningún éxito en la vida compensa el fracaso en el Hogar»
