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INTRODUCCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO EN INGENIERIA
A. Zambrano C. Jiménez
Departamento de Ciencias de la Tierra Instituto Tecnológico de Matamoros Enero 2015
1
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO
TEMAS 1.1.
CONCEPTOS BASICOS, BASICOS, 2
1.2.
ESFUERZOS, DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS, DESPLAZAMIENTOS, 7
1.3.
LEY DE HOOKE GENERALIZADA, GENERALIZADA, 10
1.4.
FUNCIONES DE FORMA DE DESPLAZAMIENTO, DESPLAZAMIENTO, 12
1.5.
ENERGIA DE DEFORMACION, DEFORMACION, 15
1.6.
PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL, VIRTUAL, 16
1.7.
RIGIDECES Y ACCIONES NODALES EQUIVALENTES, EQUIVALENTES, 16
1.8.
PROBLEMAS, PROBLEMAS, 19
2
1.1. 1.1 . CONCEPTOS BASICOS FINITO es una sub-región de un medio continuo Un ELEMENTO FINITO es discretizado Es de tamaño finito y no infinitesimal Usualmente tiene una geometría más simple que la del medio
continuo
Fig. 1.1 Medio continuo discretizado
El método del elemento finito (MEF) nos permite convertir un
problema con un número infinito de grados de libertad a uno con un número finito a fin de simplificar el proceso de solución
Es un método orientado a la computadora y debe ser implementado
con programas apropiados Este curso está dedicado al método del elemento finito para el
análisis de estructuras ESTRUCTURA es cualquier sólido sujeto a cargas y otras Una ESTRUCTURA es influencias que causen deformaciones, esfuerzos y reacciones en los l os puntos restringidos El objetivo principal del MEF es calcular los esfuerzos y deformaciones en una estructura
3
El enfoque cásico (exacto) para el análisis de un sólido es encontrar una FUNCION DE ESFUERZOS o una FUNCION DE DESPLAZAMIENTOS que satisfaga: 1) 2) 3) 4)
Las ecuaciones diferenciales de equilibrio Las relaciones de esfuerzo-deformación Las ecuaciones de compatibilidad Las condiciones de frontera
Debido a estos requerimientos tan restrictivos muy pocas soluciones exactas han sido encontradas. El enfoque del MEF produce un análisis aproximado basado en una FUNCION DE DESPLAZAMIENTOS SUPUESTA y consiste en los siguientes pasos: 1) Dividir el medio continuo en un número finito de elementos de geometría simple (triángulos, rectángulos, etc.) 2) Seleccionar puntos clave sobre los elementos que sirvan como nodos, donde las condiciones de equilibrio y compatibilidad sean cumplidos 3) Suponer funciones de desplazamiento dentro de un elemento típico tal que los desplazamientos genéricos sean dependientes de los desplazamientos nodales 4) Satisfacer las relaciones deformación-desplazamiento y esfuerzodeformación dentro de un elemento típico 5) Determinar las rigideces y cargas nodales equivalentes para un elemento típico usando los principios del trabajo o energía 6) Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para los nodos del medio continuo discretizado en términos de las contribuciones del elemento 7) Resolver estas ecuaciones de equilibrio para los desplazamientos nodales 8) Calcular los esfuerzos en puntos seleccionados dentro de los elementos 9) Determinar las reacciones en los nodos restringidos
4
TIPOS DE ESTRUCTURAS Las estructuras pueden clasificarse como a) ESTRUCTURAS RETICULARES. Son las que están formadas por barras. Una barra tiene una dimensión (la longitud) mucho mayor que las otras dos. (Fig. 1.2) b) ESTRUCTURAS LAMINARES. Son las que están formadas por placas o láminas curvas. Una placa o lámina tiene una dimensión (el espesor) mucho menor que las otras dos. (Fig. 1.3) c) ESTRUCTURAS VOLUMÉTRICAS. Son las que están formadas elementos con sus tres dimensiones de magnitudes comparables (fig. 1.4)
Fig 1.2a. Armadura
Fig 1.2b. Parrilla
5
Fig. 1.2c. Marco rígido
Fig. 1.2d. Arco
Fig. 1.3a. Placa en flexión
6
Fig. 1.3b. Cubierta laminar
Fig. 1.3c. Cascarón axial-simétrico
Fig. 1.4a. Medio continuo tridimensional
7
Fig. 1.5. Estructura combinada. Marco con muro de cortante
1.2.
ESFUERZOS, DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS
El estado de esfuerzos en un punto está representado en la siguiente figura y
y yz
yx zy
z
xy xz
x
zx
x
z Fig 1.6. Esfuerzos en un punto
8
Además, se tiene por equilibrio de momentos xy=yx yz=zy xz=zx
El estado de deformaciones en un punto se muestra en la siguiente figura y
y yz
yx zy
z
xy xz
x
zx
x
z Fig 1.7. Deformaciones en un punto También se tiene que xy=yx yz=zy xz=zx
9
Los desplazamientos en un punto se muestran en seguida y
v
u w x
z Fig 1.8. Desplazamientos en un punto
Las RELACIONES DEFORMACION-DESPLAZAMIENTO son obtenidas de la geometría de la deformación y están dadas por
+ + +
10
1.3. LEY DE HOOKE GENERALIZADA
21+
Las relaciones ESFUERZO-DEFORMACION (Ley de Hooke generalizada) son
Donde:
Debido a la simetría, solamente existen seis componentes independientes de los esfuerzos y las deformaciones y pueden ser reacomodadas en vectores columna como sigue:
{}=
{}=
1 2 3 = 4 5 6
x y z xy yz xz
1 2 3 = 4 5 6
x y z xy yz xz
11
Entonces las relaciones esfuerzo-deformación pueden escribirse como sigue {} = [C]{} Donde: 1 - 1 - 1 [C] = ––– - - E 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 - 0 0 0 1 0 0 0 0 2(1+) 0 0 0 0 2(1+) 0 0 0 0 2(1+)
Las relaciones inversas son {} = [E]{} Donde: Donde: 1- E [E]=[C]-1 = –––––––––– (1+)(1-2
1-
1-
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 (1-2)/2 0 0 (1-2)/2 0 0
0 0 0 0 0 (1-2)/2
12
1.4. FUNCIONES DE FORMA DE DESPLAZAMIENTO Consideremos un sólido dividido en elementos finitos y tomemos un elemento finito cualquiera y
1 v
z
x 2 w
Fig. 1.9. Desplazamientos genéricos de un elemento finito Los DESPLAZAMIENTOS GENERICOS en cualquier punto dentro del elemento finito son expresados como el vector
Las fuerzas de cuerpo sobre el elemento son
by
bx bz Fig. 1.10. Fuerzas de cuerpo en un elemento finito
u 3
13
Si los desplazamientos nodales {q} son considerados como las traslaciones de los nodos en las direcciones x, y, z y si m es el número de nodos del elemento, se tiene
qy1
qz1
1,2,…,
qx1
qy2 qy3 qz2
qx2
qx3 qz3
Fig. 1.11. Desplazamientos nodales de un elemento finito
1,2,…,
Las acciones nodales son
py1
pz1
px1
py2 py3 pz2
px2
px3 pz3
Fig. 1.12. Acciones nodales de un elemento finito
14
Se suponen ciertas funciones de forma de desplazamiento que relacionan los desplazamientos genéricos dentro del elemento {u} con los desplazamientos de los nodos {q}, es decir
1,2,…, 1 2 3 4 5 6
Las relaciones deformación-desplazamiento son obtenidas por la diferenciación de los desplazamientos genéricos, lo cual puede expresarse mediante una matriz [d] llamada OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL
Como {u} = [f]{q}, se obtiene
Si llamamos
Entonces escribimos
De las relaciones esfuerzo-deformación
Sustituyendo {} en la expresión anterior se obtiene
15
1.5. ENERGIA DE DEFORMACION La ENERGIA DE DEFORMACION es definida como el trabajo interno de los esfuerzos actuando a través de las deformaciones. Consideremos los esfuerzos y deformaciones en un punto de un medio continuo
d=*dx *dA
dA Fig. 1.13. Energía de deformación El trabajo interno de la partícula es dU = (*dA)(*dx) = **dA*dx Pero dV=dA*dx Entonces dU=**dV y la energía de deformación total en el cuerpo es
16
1.6. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL “Si una estructura general en equilibrio está sujeta a un sistema de desplazamientos virtuales pequeños con un estado compatible de deformación, entonces el trabajo virtual de las acciones externas es igual a la energía de deformación virtual de los esfuerzos internos”
í ó
Entonces
1.7. RIGIDECES Y ACCIONES NODALES EQUIVALENTES DE UN ELEMENTO FINITO Para un elemento finito, supongamos un vector {q} de desplazamientos virtuales pequeños
1, 2 , … , + +
Entonces, los desplazamientos virtuales genéricos resultantes son
El trabajo virtual externo es
Sustituyendo los desplazamientos genéricos por la ecuación precedente
Las deformaciones virtuales son
17
Entonces su transpuesto es
+ + + 7 8 9 + 10 +
De la ecuación (6) el esfuerzo es
Entonces, la energía de deformación es
Aplicando el principio del trabajo virtual
Los desplazamientos virtuales nodales pueden salir del signo de integral
Eliminando
queda
Definimos la matriz de rigidez del elemento finito como
y el vector de cargas nodales equivalentes debido a las fuerzas de cuerpo
Entonces, la ecuación 7 queda
Si se consideran deformaciones iniciales {0}, se tiene lo siguiente
Entonces
18
+ +
Y la ecuación 10 queda
11
Donde
12
19
1.8. PROBLEMAS 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
1.5.
¿Qué es un elemento finito? ¿Cuáles son los principales objetivos de analizar estructuras mediante elementos finitos? ¿Cuál es la suposición básica más comúnmente usada para desarrollar elementos finitos para análisis estructural? ¿Cuáles son las definiciones para los términos en las siguientes matrices? {}, {}, [C], [E] ¿Cuáles son las definiciones para los términos en las siguientes matrices? {u}, {b}, {q}, {p}, [f], [d], [B], [K], {p b}, {0}, {0},{p0}
20
UNIDAD 2. ELEMENTOS FINITOS LINEALES
TEMAS
2.1. ELEMENTO AXIAL, 21 2.2. FORMALIZACION DE LAS FUNCIONES DE FORMA, 26 2.3. ELEMENTO FLEXIONANTE, 31 2.4. ELEMENTO TORSIONAL, 40 2.5. TRANSFORMACION DE COORDENADAS, 44 2.6. ENSAMBLADO DE ELEMENTOS Y SOLUCION, 51 2.7. CRITERIO DE CONVERGENCIA, 55 2.8. PROBLEMAS, 57
21
2.1.
ELEMENTO AXIAL
Consideremos un elemento barra sujeto a acciones a lo largo de su eje longitudinal, como se muestra en la siguiente figura
q1 1
u
2 q2
x
x L Fig.2.1 Elemento axial Los desplazamientos nodales son q1 y q2 y el desplazamiento genérico en el interior del miembro es u. En forma matricial queda
La fuerza de cuerpo es
+
Los desplazamientos nodales q1 y q2 son las traslaciones de los nodos 1 y 2 en dirección x
Y las fuerzas nodales son
Supongamos que el desplazamiento genérico u en cualquier punto interior varía linealmente con la coordenada x, es decir
Esta expresión se llama FUNCION DE FORMA DE DESPLAZAMIENTOS. Las constantes c1 y c2 se obtienen de las condiciones de frontera. (i) En x=0, u=q1 (ii) En x=L, u=q2 De (i), obtenemos q1 = c1 + c2(0) c1 = q1
22
De (ii) obtenemos q2 = q1 + c2L c2 = (q2 –q1)/L Luego
+ + 1 + 1 1 1 1 1 1 11 1
Por otra parte, sabemos que
Entonces, reacomodando los términos de u
En forma matricial queda
Por lo tanto
La deformación {} es
Entonces
23
Los esfuerzos están dados por
11 1 1 111 11 1 11 11 11 11
Entonces
La matriz de rigidez del elemento es
Si el elemento es de sección transversal constante
Consideremos como fuerzas de cuerpo a una carga distribuida axial por unidad de longitud
b1 1
bx
2 b2
x L Fig 2.2. Fuerzas de cuerpo axiales distribuidas La fuerza interior bx está dada por
+
De las condiciones de frontera (i) En x=0, bx=b1 (ii) En x=L, bx=b2
x
24
De (i), obtenemos b1 = c3 + c4(0) c3 = b1 De (ii) obtenemos b2 = b1 + c4L c4 = (b2 –b1)/L Entonces
+ 1 + 1 + + + + + + + 2 2 3 [ 2 + 3 ] + + 2 2 3 [ 2 + 3 ]
Por otra parte, las fuerzas de cuerpo nodales equivalentes son
25
+ + 2 2 2 + 3 3 + + 2 2 +2 3 2 3 3 3 3 + 6 6 + 3 6 2+2+ 1 11 11 11
Si el elemento estuviera sujeto a un cambio uniforme de temperatura T, la deformación inicial es
Entonces, las acciones nodales equivalentes son
26
2.2.
FORMALIZACION DE LAS FUNCIONES DE FORMA
Consideremos las funciones de forma de desplazamientos supuestas [f] expresadas como una MATRIZ GEOMETRICA [g] multiplicada por un VECTOR DE CONSTANTES indeterminados {c}, es decir
ℎ ℎ 1,2 , …, ℎ− ℎ− ℎ− + 1 1
Evaluando la expresión anterior en los nodos, se obtienen los desplazamientos nodales
Donde
Sabiendo que [h] es una matriz cuadrada no singular, entonces despejamos el vector de las constantes {c} de la expresión anterior
Sustituyendo en la ecuación inicial
Entonces, la matriz de funciones de forma es
Para el elemento axial, asumimos que
En forma matricial
Por lo tanto, la matriz geométrica es
27
Evaluando [g] en los nodos 1 y 2 obtenemos la matriz [h]
Entonces
1 0 1 ℎ 11 0 1 0 1 0 − ℎ 1 1 1 1 ℎ− 1 0 1 1 1 1
La matriz inversa de [h] es
Luego, la matriz de funciones de forma es
La matriz de rigidez puede escribirse en términos de la matriz geométrica. Suponiendo que no hay fuerzas de cuerpo ni deformaciones iniciales, se tiene
Donde
Además
28
Entonces
ℎ− ℎ− ℎ−ℎ− ℎ− ℎ− ℎ− ℎ− ℎ− ℎ ℎ ℎ−ℎ ℎ−
Y la ecuación de equilibrio queda
Si llamamos
Y
Podemos escribir
Definimos también
Entonces, la expresión anterior queda como sigue
Donde
29
[Kc] = Matriz de rigidez generalizada {c} = desplazamientos nodales generalizados {pc} = acciones nodales generalizadas También podemos ver que
ℎ−−ℎ− ℎ 1 0 − ℎ 1 1
Si resolvemos el elemento axial usando desplazamientos generalizados, obtenemos
El primer desplazamiento generalizado representa un modo de cuerpo rígido y el segundo un modo de deformación uniforme
ℎ 10 1+ 1 0 1 0 0 1 1 00 01 00 01 ℎ−ℎ−
Podemos obtener la matriz [K] usando
1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 11 ℎ− ℎ− ℎ− ℎ−
30
El cuál es el mismo resultado encontrado anteriormente. En forma similar
31
2.3.
ELEMENTO FLEXIONANTE
Consideremos el elemento mostrado en la figura siguiente y q1
v
q3
1 q2
2 x
x
q4
z L Fig.2.3 Elemento flexionante El desplazamiento genérico es v, es decir
,
La fuerza de cuerpo por unidad de longitud es
Los desplazamientos nodales son
Donde
Como hay cuatro desplazamientos nodales, se supone una función de desplazamientos cúbica completa
++ +
Entonces, la matriz geométrica [g] es
32
1 0 1 2 3 1 0 0 0 ℎ 01011 20 30 [ ] ℎ− |ℎ|ℎ
En este caso, el segundo desplazamiento en cada nodo es la derivada del primero, entonces
Y la matriz [h] es
La inversa de la matriz [h] es
La matriz adjunta de [h] es la transpuesta de la matriz de los cofactores de [h] La matriz de los cofactores es
0 0 3 2 0 0 00 32 2 0 0 0 203 2203 0 |ℎ|
Y la matriz adjunta es
El determinante de [h] es
33
Entonces
0 0 0 1 ℎ− 032 2 203 0 ℎ− 0 0 0 1 1 032 2 203 0 1
Las funciones de forma son
3+2 2 + 32 +
Estas cuatro funciones de forma se muestran en la figura 2.5. Representan las variaciones de v a lo largo de la longitud debidas a valores unitarios de los cuatro desplazamientos nodales q1, q2, q3 y q4. La traslación u en la dirección x en cualquier punto se muestra en la figura siguiente y es
Fig. 2.4. Deformaciones flexionantes
34
Fig. 2.5. Funciones de forma de elemento flexionante La deformación unitaria normal es
Donde
Representa la CURVATURA del elemento flexionante.
35
De la deformación unitaria, vemos que el operador diferencial [d] que relaciona a x con v es
1 3+2 2 + 32 + 6+12 4 +6 612 2 +6
Entonces la matriz [B] es
El esfuerzo flexionante está dado por la Ley de Hooke
Entonces
La matriz de rigidez del elemento es
6+12 +6 6+12 4 +6 4 2612 +6
612 2 +6
6+12 6+124 +6 6+12 +6 6 12 6+12 2 +66+12 6+12612 4 +64 +6 4 +66612 12 6412 +622 +6 +6 26412 +66+12 2 +64 +6 2 +6612 2 +6 pero
36
Se integran cada uno de los elementos de la matriz de rigidez de 4x4. Nótese que la matriz [K] es simétrica.
6+12 36 144+144 +48 3 672+48 12 3672 6+124 +6 24 84+72 +24 2 442+24 6 2442 6+12612 36 +144144 +48 36+7248 12 36+72 6+122 +6 12 60 +72 1230 +24 1230+24 6 4 +6 16 48+36 1624 +12 1624+124
37
4 +6612 24 +84 72 24 +42 24 24+4224 6 4 +62 +6 8 36 +36 818 +12 8 18+122 612 36 144+144 +48 3 672+4812 3672 6122 +6 12 +60 72 12+30 24 12+3024 6 2 +6 4 24+36 412 +12 4 12+12 4 12 6 12 6 1266 642 6612 246 Entonces, la matriz de rigidez del elemento flexionante es
38
12 6 12 6 1266 426 6612 246
Las cargas nodales equivalentes debido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de longitud son y pb1
by
pb3
1
2
x
pb4
Pb2
z L Fig.2.6 Fuerza distribuida uniforme
3 +2 1 2 + 32 + + 2 + 2 2 2 + + 2 3 2 4 2 3 2 4 + + [ 3 4 ] [ 3 4 ] 6 12 6
39
Las cargas nodales equivalentes a una fuerza triangular son
y pb1
by
pb3
1 Pb2
2 x
x
pb4
z L Fig.2.7 Fuerza distribuida triangular
> 3 +2 + 1 322 + 3 +2 + 322 + 2 34 + 25 2 34 + 25 + + 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 4 + 5 4 + 5 4 4 4 4 9 60 3212
40
2.4.
ELEMENTO TORSIONAL
Un elemento torsional es usualmente una flecha de una máquina o un miembro de un emparrillado
Fig. 2.8 Flecha de máquina
Fig. 2.9. Emparrilado El miembro torsional tiene un único desplazamiento genérico x el cual es una pequeña rotación respecto al eje x.
q1 1
x
2 q2
x
x L Fig.2.10 Elemento torsional Los desplazamientos nodales son dos pequeñas rotaciones en los nodos 1 y2
Las correspondientes acciones nodales en los nodos 1 y 2 son momentos torsionales
41
Se supone una función lineal de desplazamiento
+ 1 1 ℎ 11 0 1 0 − ℎ 1 1 1 0 ℎ− 1 1 11
Entonces la matriz geométrica es
la matriz [h] es
Y la matriz inversa es
Entonces, la matriz de funciones de forma es
Las relaciones deformación-desplazamiento se obtienen de la figura siguiente
x
Fig. 2.11. Deformaciones torsionales
1 1 1 1 1 11 1 1 11 11
Donde
Entonces, el operador diferencial [d] que relaciona con x es
Y la matriz [B] es
El esfuerzo cortante está relacionado con como sigue
Entonces
La matriz de rigidez es
Pero
42
43
2
Y para secciones circulares
Para secciones no circulares, el momento polar de inercia es reemplazado por una constante de torsión Entonces
11 11
44
2.5.
TRANSFORMACION DE COORDENADAS Consideremos los puntos j y k en un sistema coordenado cartesiano xyz. En el punto j está el vector fuerza F j y un vector momento M j que son estáticamente equivalentes a Fk y Mk en el punto k.
Fig. 2.12. Traslación de ejes para acciones La relación de equivalencia puede escribirse como sigue
× +
En componentes podemos escribir
{ } []
45
Y
[] { } 0 1 0 0 00 10 01 0 0 0 0 00 00 00 0 0 0
Y la transformación queda en forma matricial como sigue
Donde
[Tjk] es la matriz de transformación de traslación y es antisimétrica. La transformación inversa de j a k es
−{ }
Donde
46
0 −
Las relaciones entre los desplazamientos de dos puntos sobre un cuerpo rígido son expresadas como sigue
Fig. 2.13. Traslación de ejes para desplazamientos de cuerpo rígido
+ × × × × {} [ ]
El producto cruz puede ser re-escrito como
En forma matricial podemos escribir
Y
47
Entonces
{} 0 0 0 0 {}−
Donde
La transformación inversa es
El concepto de rotación de ejes se aplica a una fuerza, un momento, una traslación, una pequeña rotación o un conjunto de coordenadas ortogonales. Consideremos el vector fuerza mostrado en la siguiente figura Las componentes de F en ambos sistemas están relacionadas como sigue
(( ++ ++).). ++ ++ ( + +). + + ′
En forma matricial
48
Fig. 2.14. Rotación de ejes La matriz [R] es llamada la MATRIZ DE ROTACION que consiste de los cosenos directores de los ejes con prima con respecto a los ejes sin prima. Esta matriz es ortogonal y su inversa es su transpuesta
−′ ′ Ȓ 0 0
La transformación simultánea de un vector fuerza y un vector momento puede ser efectuada por
Donde
[Ȓ] es la matriz de transformación de rotación de ejes.
La transformación inversa es
− Ȓ ′ Ȓ ′ 0 0′′
49
Si los EJES LOCALES de un elemento finito no son paralelos a los EJES GLOBALES de la estructura, las transformaciones de rotación de ejes deben ser aplicadas a la matriz de rigidez del elemento, desplazamientos nodales y cargas nodales.
Fig. 2.15. Triángulo con ejes locales Para los ejes locales podemos escribir
′′ ′ Pre-multiplicando la igualdad anterior por [Ȓ]T y sustituyendo {q’] por [Ȓ]{q} obtenemos
Ȓ′Ȓ Ȓ′
Entonces podemos escribir
Donde
50
Y
Ȓ′Ȓ Ȓ′
En estas ecuaciones la matriz de transformación de rotación [Ȓ] es compuesta como sigue:
Donde
0 0 Ȓ 00 0 0 cos cos
51
2.6.
ENSAMBLADO DE ELEMENTOS Y SOLUCION
Si se han obtenido las rigideces y las cargas nodales equivalentes para los elementos individuales, se puede ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas para la estructura completa usando el principio del Trabajo Virtual. Para la estructura completa
Para el conjunto de desplazamientos virtuales {DN}, el Trabajo virtual Interno para la estructura completa es
∑=
Donde
Y
ne= número de elementos fintos de la estructura
El Trabajo Virtual Externo para la estructura completa es
+ +
Donde
52
Y además
∑= ∑= ∑= Igualando el trabajo virtual interno y el trabajo virtual externo, se obtiene
+ +
Eliminando los desplazamientos virtuales queda
+ + Estas son las ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODALES para todos los nodos de la estructura, sin considerar que estén libres o restringidos. Para resolver estas ecuaciones se hace un re-arreglo y una partición como sigue
Donde:
F= desplazamientos libres R= deslazamientos restringidos
53
Expandiendo la expresión anterior obtenemos dos ecuaciones matriciales
+ +
Resolviendo para los desplazamientos libres se obtiene
− Entonces, las cargas nodales equivalentes debidas a los desplazamientos restringidos son
Luego que los desplazamientos nodales libres {DF } son determinados, se pueden calcular las REACCIONES EN LOS APOYOS { AR} con la segunda ecuación matricial.
En seguida pueden encontrarse los esfuerzos dentro de cada elemento con la siguiente ecuación
En la cual el vector {qi } representa los desplazamientos nodales para el elemento i-ésimo.
54
También es posible efectuar la solución sin re-arreglo. Esto puede ser efectuado modificando las matrices de rigidez y de carga para convertir las ecuaciones para las reacciones de soporte en ecuaciones de desplazamiento triviales embebidas dentro del conjunto de ecuaciones completas. Luego se puede resolver el conjunto completo para los desplazamientos nodales desconocidos así como los desplazamientos conocidos en los soportes sin tener que re-arreglar y partir las matrices. Supongamos que una estructura hipotética tiene solamente cuatro posibles desplazamientos nodales, como se indica por las siguientes ecuaciones nodales de equilibrio:
Además, supongamos que el tercer desplazamiento es especificado que no es no cero desplazamiento de soporte DN30. Entonces, los términos que involucran a DN3 deben ser restados de ambos lados de la ecuación y la tercera ecuación puede ser reemplazada por la expresión trivial DN3 = DN3 para obtener:
00 0 0 10 0
Estas ecuaciones puede ahora ser resueltas desplazamientos nodales, incluyendo DN3.
para
los
cuatro
Los términos negativos del lado derecho de la ecuación anterior representan las cargas nodales equivalentes debidas al desplazamiento de soporte especificado DN3. Por supuesto, si DN3=0 estas cargas nodales equivalentes son también cero. Cualquier número de desplazamientos de soporte especificados pueden ser manejados de esta manera. Esta técnica impide el cálculo de las reacciones de soporte mediante el enfoque de multiplicación matricial. En vez de éste, es necesario obtener las reacciones de las acciones nodales para los elementos conectados en los soportes.
55
2.7.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
El análisis de un medio continuo elástico mediante el método de los elementos finitos debe converger a los resultados exactos cuando la malla sea más refinada si se cumple lo siguiente
La compatibilidad local y global son satisfechas Las cargas nodales son consistentes Existe un límite inferior a la energía de deformación
La convergencia es monótona si las reglas de subdivisión de Melosh son cumplidas. En seguida se presentan algunos criterios de convergencia.
CRITERIO A. El elemento debe ser capaz de modelar estados de deformación plana. Los tipos de deformaciones son aquellos dados por las relaciones -u. Entonces, ciertas derivadas de funciones de desplazamiento supuestas ([f]) deben ser no nulas. Por ejemplo
, ≠0 , ≠0
CRITERIO B. Un elemento debe ser capaz de modelar estados de desplazamiento como cuerpo rígido.
Para probar si un elemento tiene esta capacidad, los desplazamientos nodales de un cuerpo rígido {qcr} pueden ser pre-multiplicados por [B] y el resultado debe ser cero, es decir
0
56
Alternativamente
0
CRITERIO C. Las funciones de desplazamiento supuestas [f] deben ser completas y balanceadas.
Ejemplos:
+++++ +++ ++ El triángulo de Pascal mostrado en la figura siguiente sirve como una guía para la selección de términos para elementos bidimensionales
1 … … …… … …
Fig. 2.16. Triángulo de Pascal
57
2.8.
PROBLEMAS
2.1.
¿Cuáles son las definiciones para los términos en las siguientes matrices? {c}, [g], [h], [B c], [Kc], {pc}, {pbc}, {p0c}
2.2.
Encontrar la matriz de rigidez [K] de 3x3 para un elemento axial que tenga la función de desplazamientos cuadrática u=c1 + c2 x + c3 x 2 y tres nodos como se muestra en la figura. Suponga que EA es constante. q1
q2 1
2.3.
L/2
2
q3 L/2
x,u
3
Para el elemento axial del problema 2.2, determine las cargas nodales equivalentes pb1 , pb2 y pb3 debido a una fuerza axial uniformemente distribuida de magnitud b x por unidad de longitud. b x pb1
pb2 1
L/2
2
pb3 L/2
x,u
3
2.4.
La figura muestra una fuerza linealmente variable bx, aplicada al elemento del problema 2.2. Encontrar las cargas nodales equivalentes pb1 , pb2 y pb3 debido a esta carga.
2.5.
Suponga que el elemento axial del problema 2.2 está sujeto a un cambio de temperatura con variación parabólica T , como se indica en la figura. Determine las cargas nodales equivalentes pT1 , pT2 y pT3.
58
2.6.
Derive la matriz de rigidez [K] de 4x4 para el elemento flexionante usando los desplazamientos genéricos v y dv/dx (ver figura), tal que la matriz [ f ]=[ f ,d f /dx ] es de tamaño 2x4. Suponga que EI es constante.
2.7.
Para el elemento flexionante del problema 2.6, encontrar las cargas nodales equivalentes { pb}= { pb1 , pb2 , pb3 , pb4} debido a un momento concentrado M aplicado a una distancia x del nodo 1 como se muestra en la figura.
59
2.8.
La figura muestra cambios de temperatura iguales y opuestos en las superficies superior e inferior del elemento flexionante. En la superficie superior el cambio de temperatura varía linealmente desde cero en el nodo 1 a T 2 en el nodo 2; y en la superficie inferior la variación es desde cero en el nodo 1 a -T 2 en el nodo 2. Determine el vector de cargas equivalentes { pT } para estos cambios de temperatura, suponiendo un gradiente lineal de temperatura a través del peralte d.
2.9.
Si el elemento flexionante tiene curvatura inicial 0 que varía cuadráticamente desde cero en el nodo 1 a 2 en el nodo 2 (ver figura), encontrar el vector de carga nodal equivalente { p0} debido a estas deformaciones.
2.10. Un elemento prismático flexionante sobre una cimentación elástica se muestra en la figura. El módulo k del soporte elástico tiene unidades de fuerza por unidad de longitud por unidad de desplazamiento. Determine una matriz de rigidez de restricción [Kr] por el efecto de la cimentación sobre este elemento, usando las funciones de forma de desplazamiento del elemento flexionante.
60
2.11. Usando el concepto descrito para desplazamientos generalizados {c}, determine la matriz de rigidez [Kc] para un elemento prismático flexionante. Luego transforme [Kc] a [K] como se muestra en la ecuación correspondiente. 2.12. De acuerdo con el concepto de desplazamientos generalizados {c} discutidos anteriormente, encontrar el vector {pc} para la carga triangular sobre el elemento flexionante. Luego transforme {pc} a {p} con las ecuaciones correspondientes. 2.13. Derive de nuevo la matriz de rigidez [K] de 4x4 para un elemento flexionante usando el momento Mz y la curvatura como esfuerzos y deformaciones generalizadas. Suponga que EI es constante. 2.14. Suponga que el elemento flexionante tiene una curvatura inicial definida como 0=2(x/L)3, donde 2 es la curvatura en el nodo 2. Determine el vector de carga equivalente para esta condición. 2.15. Derive de nuevo la matriz de rigidez [K] de 2x2 para un elemento torsional usando el momento Mx y la torsión como esfuerzos y deformaciones generalizadas. Suponga que GJ es constante. 2.16. Si el elemento torsional tiene una torsión inicial 0 que es constante a lo largo de su longitud, encontrar el vector de cargas nodales equivalentes {p0} debido a esta condición.
61
2.17. El elemento curvado circularmente de la figura está en el plano x-y. Determine las acciones p j1, p j2 y p j3 (dos fuerzas y un momento) en el punto j que sean estáticamente equivalentes a las acciones p k1, pk2 y pk3 en el punto k. Para este propósito, aplique los conceptos de traslación y rotación de ejes.
2.18. La barra doblada (ver figura) está sujeta a pequeños desplazamientosqA1, qA2,…, qA6 (tres traslaciones y tres rotaciones) en el punto de soporte A. Usando una transformación de traslación de ejes, encontrar los desplazamientos qD1, qD2,…, qD6 en el punto D.
62
2.19. La parte (a) de la figura muestra un elemento axial en el plano x-y con sus ejes inclinados a un ángulo desde el eje x. Convertir la matriz de rigidez del elemento de 2x2 para los ejes inclinados x’e a una matriz de rigidez de 4x4 para los ejes x e y y e (ver la parte (b) de la figura) los cuales son paralelos a los ejes x y y .
2.20. El elemento de marco plano de la figura es una combinación de un elemento axial y un elemento flexionante. Mediante rotación de ejes, transforme la matriz del elemento [K’] de 6x6 para los ejes con prima x’ e, y’ e y z’ e a la matriz [K] para los ejes sin prima x e, y e y ze los cuales son paralelos a los ejes x , y y z.
63
2.21. La figura muestra una viga continua compuesta de tres elementos prismáticos que tienen rigideces flexionantes 2EI, EI y 3EI. Ensamble las matrices de rigidez y de carga en una forma adecuada para solución sin re-arreglo. Suponga que todos los desplazamientos de los apoyos son cero.
2.22. Ensamble las matrices de rigidez y de carga para la armadura plana (ver figura) en una forma adecuada para solución sin re-arreglo. La rigidez axial de cada elemento es EA, y no hay desplazamientos de apoyos.
64
2.23. El marco plano de la figura tiene rigidez flexionante constante EI y rigidez axial EA=100EI/L2 para cada elemento. Ensamble las matrices de rigidez y de carga para esta estructura en una forma adecuada para solución sin re-arreglo. Suponga que todos los desplazamientos de los apoyos son cero.
2.24. Repita el problema 1.26 con una rotación de soporte de magnitud z en el sentido de z en el punto 4. 2.25. Repita el problema 1.27con una traslación de soporte de magnitud x en la dirección z en el punto 2. 2.26. Repita el problema 1.28 con una traslación de soporte de magnitud y en la dirección y en el punto 1.
65
UNIDAD 3. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES
TEMAS
3.1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS, 66 3.2. ELEMENTOS TRIANGULARES, 77 3.3. ELEMENTOS RECTANGULARES, 92 3.4. ELEMENTOS CUADRILATEROS, 103 3.5. PROBLEMAS, 105
66
3.1.
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS
Muchos problemas en la Teoría de la Elasticidad son bidimensionales por naturaleza. Cuando las fuerzas son aplicadas a una placa delgada en su propio plano, el estado de esfuerzos y deformaciones dentro de la placa se llama ESFUERZO PLANO. En este caso solamente dos dimensiones (en el plano de la placa) son requeridas para el análisis.
y
x
Fig. 3.1. Placa delgada en esfuerzos planos Por otra parte, un sólido prismático puede estar sujeto a una condición constante de carga normal a su eje. Entonces, el sólido puede ser analizado como una infinidad de rebanadas bidimensionales de espesor unitario. Este tipo de problema se llama DEFORMACION PLANA.
Rebanada unitaria
Fig. 3.2. Cuerpo sólido en deformación plana En esta parte, el esfuerzo plano y la deformación plana son discutidos en detalle. Luego son desarrolladas las relaciones esfuerzo-deformación para derivar las rigideces y las cargas equivalentes para el elemento finito bidimensional.
67
Consideremos el estado bidimensional de esfuerzos indicado en la siguiente figura. y
y
x
x xy
x y
Fig. 3.3. Esfuerzos en dos dimensiones El elemento bidimensional de tamaño dx por dy tiene ESFUERZOS NORMALES x y y en las direcciones x, y respectivamente. También tiene esfuerzos cortantes xy sobre los cuatro bordes. Los tres tipos de esfuerzos pueden ser agrupados en un vector como sigue.
También son de interés los ESFUERZOS INCLINADOS. En la siguiente figura se muestran los esfuerzos en las direcciones x’, y’, los cuales están inclinados un ángulo con los ejes x, y. xy’
y’
x’
y
dx’
y’
X’
dy’
x’
x
y’
Fig. 3.4. Esfuerzos en direcciones inclinadas El esfuerzo normal inclinado x’ puede ser obtenido del equilibrio del segmento triangular mostrado en la siguiente figura.
68
dy’
xy’ xy
y
dy’cos
y’
x’
x
X’
x
xy
Fig. 3.5. Equilibrio de esfuerzos
y
dy’sen La suma de las fuerzas en dirección x’ nos da
+ +2 + 2 cos +
Para un ángulo +90 obtenemos
Similarmente, sumando fuerzas en dirección y’ nos da
Entonces, los esfuerzos para las direcciones con prima pueden ser obtenidos de aquellos para las direcciones sin prima mediante la transformación matricial
′ 2 2 2
En la cual el operador [T ] tiene la forma
Esta matriz sirve para calcular los esfuerzos inclinados para cualquier ángulo de inclinación con respecto a las direcciones x, y.
69
Sustituyendo las identidades de ángulos dobles en las ecuaciones de x’, y’ y xy’ obtenemos
+ 2 + 2 cos2 + 2 +2 2 cos2 2 2 sen2 2 + +
Sumando las primeras dos ecuaciones resulta que
Esta expresión prueba que la suma de los esfuerzos normales es invariante con respecto a la orientación.
Es posible encontrar las direcciones de los ESFUERZOS PRINCIPALES mediante la diferenciación de la ecuación de x’ como sigue
( ) 2 +2 cos2 0 tan2 2 2 2 √ ( ) +(2 ) 2 √ ( ) +(2 )
Por lo tanto
Donde p es el valor de para esfuerzos normales principales También observamos de la ecuación anterior que
Y la sustitución de estas ecuaciones en x’, y’ y xy’ nos da las siguientes expresiones para esfuerzos normales principales y el esfuerzo cortante acompañante.
70
+ 2 + 2 + + 2 2 + 0
Entonces, el esfuerzo cortante es cero cuando los esfuerzos normales tienen los valores principales (máximo y mínimo). Por otra parte, el esfuerzo cortante máximo ’max ocurre a un ángulo que puede ser encontrado por diferenciación de xy’ con respecto a y haciendo el resultado igual a cero, como sigue:
( ) 2 2 sen2 0 tan2 2
Entonces
Donde s = p /4 es el valor de para el cual el esfuerzo cortante es máximo. La sustitución de las funciones seno y coseno definidas por la ecuación anterior en xy’ produce la siguiente expresión para el máximo esfuerzo cortante:
′ 2 + +2
Sustituciones similares en las ecuaciones de x’ y y’ da los esfuerzos normales compañeros como:
Como se mencionó anteriormente, estos esfuerzos siempre existen a un ángulo /4 de las direcciones de los esfuerzos principales.
71
La figura siguiente muestra un elemento infinitesimal que ha sido desplazado por las cantidades u y v en las direcciones x, y. También están mostradas sobre la figura las derivadas parciales (o deformaciones) que definen deformaciones incrementales del elemento.
Fig. 3.6. Deformaciones en dos dimensiones Los tipos de deformaciones mostradas son
+
En las cuales
Los primeros dos tipos x y y son DEFORMACIONES NORMALES en las direcciones x, y. xy es una DEFORMACION CORTANTE. Ellas corresponden a los esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes listados anteriormente.
72
Entonces, las expresiones anteriores son las RELACIONES DEFORMACIONDESPLAZAMIENTO expresando las deformaciones { } en términos de los desplazamientos genéricos u y v . En forma matricial
0 0 [ ]
Donde:
Las DEFORMACIONES PARA DIRECCIONES INCLINADAS son también de interés. Para investigar las deformaciones en las direcciones de x’, y’ igualamos las DENSIDADES DE ENERGIA DE DEFORMACION VIRTUAL COMLEMENTARIA para los ejes con prima y los ejes sin prima, como sigue:
′ ′ ′ ′ ′ − − 2 2
De la ecuación de transformación tenemos
Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior nos da
Entonces
Multiplicando la ecuación anterior por [T]-T produce
Donde:
73
Entonces, el operador [T]-T requerido para el cálculo de {’} de {} es la transpuesta inversa de aquella para obtener { ’} de {}.
Aquí también existen deformaciones normales principales p1 y p2, correspondientes a p1 y p2. Además, en el ángulo /4 de las direcciones de dichas deformaciones principales, tenemos la DEFORMACION CORTANTE MAXIMA ’max, correspondiente a ’max.
Suponiendo un MATERIAL ISOTROPICO, desarrollaremos relaciones entre esfuerzos y deformaciones para ambos esfuerzo plano y deformación plana. El ESFUERZO PLANO está basado en la suposición de que:
0 0 0 0 0 ≠0
Escribiendo las deformaciones en términos de los esfuerzos, tenemos
1 ( ) 1 ( ) 1 21+ ( + )
74
Resolviendo para los esfuerzos en las ecuaciones anteriores en términos de las deformaciones, encontramos que
1 ( + ) 1 ( + ) 21+ 1 12 1 0 1 0 01 210+ 1 0 − 1 0 01 0
Donde
Podemos escribir las RELACIONES DEFORMACIÓN-ESFUERZO en forma matricial
Donde
Similarmente las relaciones ESFUERZO-DEFORMACION para esfuerzo plano quedan
Donde
75
El caso de DEFORMACION PLANA está basado en la suposición de que:
0 0 0 0 0 ≠0
Cuando las deformaciones son escritas en términos de los esfuerzos, obtenemos
1 ( ) 1 ( ) 21+ 1 ( + )0 ( + )
Entonces
El cual es linealmente dependiente de x y y. La sustitución de esta expresión para z en las primeras dos ecuaciones nos da
1+ 1
76
1+ 1
Podemos resolver para los esfuerzos x, y y xy en términos de las deformaciones correspondientes para obtener:
1 + 1 2 1 + 1 + 1 2 1 + 21+ 1 0 1+ 0 |0 1202 1 0 1 + 1 2 0 10 1202
El operador deformación-esfuerzo [C] es
Y el operador inverso esfuerzo-deformación es
77
3.2.
ELEMENTOS TRIANGULARES
Los elementos finitos con forma triangular han probado ser bastante versátiles para el propósito de discretización de cualquier continuo bidimensional. Uno de los primeros y mejor conocidos elementos es el TRIANGULO DE DEFORMACION CONSTANTE. En la presente sección serán desarrollados en detalle las rigideces y las cargas nodales equivalentes. La figura siguiente muestra un triángulo de deformación constante de espesor t que tiene los siguientes desplazamientos genéricos (traslaciones) en el plano x-y.
q6
k
q5
q2
y
q1 i
x j
q3
q4 Fig. 3.7. Triángulo de deformación constante Sus tres esquinas que son los puntos i, j y k, sirven como nodos que son numerados en secuencia contrarreloj. En cada nodo hay dos traslaciones nodales en las direcciones de x, y. Entonces
[]
78
Las funciones de desplazamiento para este elemento son
++ ++ 10 0 0 01 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ℎ 110 0 0 010 00 00 [0 0 0 1 ] ℎℎ ℎ0 ℎ0 10 00 01 00 00 00 000 001 00 0 001 100 000 0 0 00 0 1 1 ℎ 11 − ℎ − − ℎ ℎ 0 ℎ0−
De estas funciones podemos formar la matriz geométrica como sigue
Evaluando [g] en cada nodo nos da
Para determinar la inversa de [h], la transformamos a [hT] como sigue
El operador de re-arreglo [T] es
Y la submatriz [h1] es
Entonces, La matriz inversa [h] -1 puede ser obtenida de
79
ℎ ℎ 1 ℎ− |ℎ| |ℎ| |ℎ| ℎ ℎℎ ℎ |ℎ| ℎ 0 0 0 0 ( ) 00 00 0 1 − ℎ 2 00 00 0 ( ) 0 [ 0 0 0 ] La submatriz inversa [h1]-1 es
Donde
Entonces, la inversa de [h] es
Donde Aijk es el área del triángulo ijk. Nótese que
1 2 |ℎ| 11 22 + ++ 2
Ahora podemos determinar las funciones de forma de desplazamiento [f] que son
Donde
ℎ− 0 0 0 0 0 0
21 ( )+( ) 1 2 + 21 ( )+( ) Las relaciones deformación-desplazamiento para el triángulo de deformación constante pueden ser obtenidas como sigue
0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] 0 0 0 1 2 0 0 0 Donde:
80
81
Se ve que los términos de la matriz [B] son todos constantes. Por esta razón el elemento es conocido como el TRIANGULO DE DEFORMACION CONSTANTE. Suponiendo un MATERIAL ISOTROPICO, podemos escribir las relaciones esfuerzo-deformación para el esfuerzo plano o deformación plana como sigue:
0 1 + 0 0 0
Entonces, las relaciones esfuerzo- desplazamiento están dadas por el producto:
21 +
En esta expresión, las CONSTANTES DE ELASTICIDAD son:
1, 1 , 2 1 , 12 , 2 Para ESFUERZO PLANO:
Para DEFORMACION PLANA
Ahora se puede evaluar la MATRIZ DE RIGIDEZ del elemento
+
Aquí la matriz [K] es separada en dos partes [K]1 y [K]2, las cuales contienen los términos debido a las deformaciones normal y cortante, respectivamente.
82
41 +
Ahora consideremos las CARGAS NODALES EQUIVALENTES para el triángulo de deformación constante sujeto a varias influencias. La figura siguiente muestra una carga lineal uniformemente distribuída bx (fuerza por unidad de longitud) actuando en la dirección x sobre el borde ij.
83
Fig. 3.8 (a) carga de borde (b) carga gravitacional
Para las cargas nodales equivalentes debidas a esta carga, las integraciones son convenientes si el origen es tomado a la mitad de la longitud, punto c. Entonces
1 00 ℎ− ℎ− 00 10 0 0
0 ℎ− 000 [ ] 0 0 0 10 2 0 2 00 2 100 0 [ 0 ] [ 0]
84
Consideremos una carga gravitacional uniforme bg (fuerza por unidad de volumen en la dirección y negativa). En este caso las integraciones para las cargas nodales equivalentes son convenientes si el origen es tomado en el centroide. Entonces
1 00 ℎ− ∫ ℎ− ∫ 00 10 0 [0 ] 0 2 00 30 01 ℎ− 00 2 23 3 010 [ 0 ] [20] [1] 3 Ahora, supongamos que un triángulo de deformación constante experimenta un incremento uniforme de temperatura T. Para esta influencia, las cargas nodales equivalentes son:
85
En la cual
1 10
Note que ninguna de las integraciones (más allá del cálculo del volumen) es requerida para este estado de deformación constante. Además, si el problema bidimensional fuera de DEFORMACION PLANA en vez de esfuerzo plano, el vector deformación por temperatura { T } tendría que ser multiplicado por el factor (1+).
+ + 21+ + 21+ [ + ]
Para el ESFUERZO PLANO las cargas nodales equivalentes son
Para deformación plana este resultado debe ser multiplicado por (1+) Finalmente, si existe una deformación inicial cortante uniforme 0, las cargas nodales equivalentes son
0 0 41+ [ ]
Donde
Por lo tanto
La cuál es la misma para esfuerzos planos y deformaciones planas
86
Debido a que las funciones funci ones de desplazamiento supuestas para el rectángulo de deformación constante son lineales, este elemento no produce resultados muy precisos para esfuerzos. Para lograr mejor precisión con elementos triangulares están disponibles dos opciones. La primera consiste en refinar la malla de triángulos de deformación constante y la segunda es cambiar a un elemento de orden más alto. Ordinariamente, la segunda opción puede conducir a buen incremento i ncremento de la precisión sin incrementar el número de grados de libertad del modelo analítico. Esto puede hacerse con el TRIANGULO DE DEFORMACION LINEAL. El desarrollo de las propiedades de este elemento es similar al del triángulo de deformación constante, pero los pasos son más tediosos. El triángulo de deformación lineal de la figura siguiente tiene un espesor constante t y y los siguientes desplazamientos genéricos
87
Fig 3.9. Triángulo de deformación lineal Además de los tres nodos de esquina (numerados 1, 2, 3) hay también tres nodos intermedios (numerados 4,5,6). En este caso numeraremos todas las traslaciones x antes de todas las traslaciones y. Entonces, el vector de desplazamientos nodales viene a ser
[] +++++++++ +
Para este elemento, las funciones de desplazamiento supuestas son:
88
Cuando estas funciones de desplazamiento son diferenciadas una vez producen funciones de deformación que varían linealmente. Por esta razón es llamado triángulo de deformación lineal . Si las relaciones deformación-desplazamiento son evaluadas en los l os nodos, podemos encontrar una MATRIZ DE DEFORMACION NODAL. Por ejemplo, en los nodos 1, 2 y 3 tenemos:
0 { } 0 , { } , 3 4 0 4 1 2 3 3 40 4440 3 4 0 4 1 2 3 3 044440
Donde:
Donde A es el área del triángulo.
La matriz de rigidez para el triángulo de deformación lineal (para material isotrópico en esfuerzos planos) es simétrica y tiene la siguiente forma:
121 1 2 3 +
y los elementos K ij ij son: son:
89
++ 40 + 43 ++ ++ 40 + 34+ + + 4 + 40 + + 3 + 4 ++ 40 + 30 + 44 ++ +
90
3++ 04 + + + 84++ ++8 44+ + ++ +2+2 +4+4+ + ++ +2+2 44 ++ 042 +2 + + + 44 ++ ++ +2+2 +4 +4 ++ ++ +2+2 + + 84+ + +++8 +2 +4 + + +2 04 + 4 4 23++22+ 12 +213 +432 +22 +21 44 2++2+ ++2 ++4 + + + +2 84+ + ++8 + + 40 + 4 + + +2 +4 + + +2
91
44 2+2+2++++ +4 + + +2 + 3 +
++ 40 + 34+ + 4++ 40 + 30 + 44 ++ 84+ ++++8 +2++4 + + + +2 84+ + +++8 +2++4 + + + +2 4 + + +2+4 + + +2
92
3.3.
ELEMENTOS RECTANGULARES
En problemas bidimensionales con fronteras rectangulares, los elementos rectangulares son adecuados. Entre las formulaciones disponibles, el RECTANGULO DE DEPLAZAMIENTO BILINEAL, es el más directo. Las rigideces y las cargas nodales equivalentes serán derivadas para este elemento. Un elemento rectangular de espesor t se muestra en la siguiente figura
Fig. 3.10. Rectángulo de desplazamiento bilineal También están mostradas en la figura las COORDENADAS CENTTROIDALES ADIMENSIONALES, definidas como sigue:
93
En donde a y b son la mitad del ancho y la altura, respectivamente. Los desplazamientos genéricos para este elemento consisten de traslaciones en el plano x-y. Entonces
Los nodos 1, 2, 3 y 4 son designados en las esquinas, empezando en la esquina inferior izquierda y procediendo contrarreloj. Dos traslaciones nodales (en las direcciones x, y) apareces en cada nodo y el vector de los desplazamientos nodales es
[] + + + + + + 10 0 0 0 10 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ℎ 0 10 0 10 0 10 0 10 1 011 01 101 01 1 1[0 0 101 0 11 0 101 0 10]
Las funciones de desplazamiento supuestas para este elemento son
Entonces, la matriz geométrica [g] viene a ser
La matriz [h] se obtiene evaluando la matriz [g] en cada uno de los nodos como sigue:
94
Transformando la matriz [h] en [hT], tenemos
ℎ ℎ ℎ0 ℎ0 10 00 01 00 00 00 00 00 0 0 0 0 1 0 0 0 000 010 000 001 000 000 100 000 0[0 00 00 00 00 10 00 01] 1 1 1 1 ℎ 111 111 111 111 1 1 1 1 ℎ− 14 111 111 111 111 14 ℎ 11 00 11 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 − − ℎ ℎ 4 00 11 00 11 00 11 00 11 4 ℎ 00 11 00 11 00 11 00 11 ℎ−
Aquí, el operador de reacomodo [T] debe ser
Y la submatriz [h]1 es
La inversión de [h]1 produce
Entonces, la matriz inversa de [h] queda
Ahora podemos encontrar las funciones de forma de desplazamiento [f]
95
11 00 11 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 10 0 0 0 4 001 110 100 110 100 011 100 110 00 11 00 11 00 11 00 11
14 01 1 11 001+1 +11 001+1 +1+1+ 0011 1+1+ 0
Con el fin de calcular deformaciones, se necesitan diferenciar las funciones de forma de desplazamientos con respecto a x, y. Sin embargo, estas funciones están expresadas en términos de las coordenadas adimensionales y . Por lo tanto debemos usar la regla de la cadena para derivadas parciales como sigue.
+ 1 + 1
El operador diferencial lineal [d] viene a ser:
0 1 0 10
01 1
Aplicando este operador a la matriz [f] encontramos la matriz [B] que es
1 0 10 11 14 01 111 0 01 +1 +11 0 01 +1 +1+1+ 0011 1+1+ 0 41 1 1 01 1 01 +0 111+0 01 1++1 +0 10+1+1 10 1 +
96
Si suponemos que el material es isotrópico, las relaciones esfuerzodeformación para esfuerzo plano o deformación plana pueden ser escritas generalmente como
0 0 0 0
Donde E11, E12,… etc. Tienen las definiciones desarrolladas anteriormente. Entonces, los esfuerzos son obtenidos usando:
1 +1 +0 1+ 0 0 0 00 41 1 11 0 1 01 +0 1 11 +0 01+ 0 1 1 + 1 1 +
41 111 111 111+ 111++ 111 +++ 111 +++ 111++ 111 +
Las rigideces del elemento son evaluadas convenientemente usando lo siguiente
− −
En esta expresión, la matriz [Bc] es
0 0 0 0 0 0 1 00 00 0 0 00 0 0
Entonces, tenemos
00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 00 00 0 0 0 00 00 0 0 00 0 0 0[ 00]
00 0 00 0 0 0 1 0 00 00 0 0 00 0
00 00 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0
97
Donde:
+ + +
La integración del producto [Bc]T [E] [Bc] de acuerdo con
− − 00 0 00 00 00 00 0 00 0 0 0 0 0 0 4 000 000 00 00 000 00 000 000 0[0 0 00 00 00 00 0 0] + 3 + 3 ℎ−ℎ−
Nos da
Donde:
Finalmente, la matriz de rigidez del elemento es
98
10 10 10 10 01 10 10 01 00 000 00 00 0 0 0000 00 0 00 11 00 11 00 11 00 11 00 0 0 0 0 1 11 00 11 00 11 00 11 00 1 1 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 10 10 10 01 01 01 01 01 00 00 0 00 00 0 00 00 4 00 11 00 11 00 11 00 11 1[ 0 10 10 01 01 10 01 10 ] [00 0 00 00 00 00 0 0] [00 11 00 11 00 11 00 11 ]
+ 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 , 6, 4 6 , 6 , 4 Donde:
Unos pocos ejemplos serán dados ahora para cargas nodales equivalentes sobre el rectángulo de desplazamiento bilineal. La figura 3.10 muestra una carga linealmente variable (fuerza por unidad de longitud) aplicada al borde 1-2 en la dirección y. Para este caso el vector de fuerza de cuerpo es:
0 +2 + 2 00 00 + − 3 ( +) [ 3 ] ℎ− 0 11 00 11 00 11 00 11 00 000 1 0 1 0 1 0 1 0 + 1 1 0 1 0 1 0 1 0 4 00 11 00 11 00 11 00 11 3 0[0 11 00 11 00 11 00 11 ] ( +) [ 3 ] 0 20+ 3 +200 00
La integración a lo largo del borde =-1 nos da:
Pre-multiplicando {pbc} por [h]-T produce:
99
100
En seguida, consideramos una carga gravitacional uniforme bg (fuerza por unidad de volumen), actuando en la dirección y negativa. En este ejemplo las fuerzas de cuerpo son:
0
La integración sobre el volumen produce:
00 0 − − 400 0[ 0 ] ℎ− 11 00 11 00 11 00 11 00 000 1 0 1 0 1 0 1 0 14 001 110 100 110 100 011 100 110 400 0[0 11 00 11 00 11 00 11 ] [ 00 ] 01 0 101 01 0
Entonces
Para un incremento uniforme de temperatura T, el vector de deformación inicial viene a ser:
101
En donde 1 y 2 son los coeficientes de temperatura en las direcciones x y y . La integración sobre el volumen nos da:
0 0 − − 4 000 [ 0] ++ ℎ− [ ]
En donde:
Pre-multiplicando la ecuación anterior por [h]-T, encontramos
Este vector pertenece solamente al análisis de esfuerzos planos. Para deformaciones planas los resultados son más complicados. Como un último ejemplo, consideremos el rectángulo de desplazamiento bilineal con una deformación cortante uniforme 0. En este caso el vector de deformación inicial es:
0 0
La integración sobre el volumen nos da:
00 − − 4 00 0[0] ℎ− []
Entonces
102
103
3.4.
ELEMENTOS CUADRILATEROS
La geometría del cuadrilátero es casi tan buena como la del triángulo para modelar condiciones de contorno irregulares. Más aún, si solamente las esquinas son tomadas como nodos, el cuadrilátero usualmente tiene más desplazamientos nodales que el triángulo. Entonces, las funciones de desplazamiento supuestas pueden ser de orden más alto. Por estas razones los cuadriláteros tenderán a ser más favorables que los triángulos. Si se desea, podemos ensamblar cuadriláteros de triángulos de deformación constante. Por ejemplo, la figura siguiente muestra un cuadrilátero compuesto de dos triángulos de deformación constante T 1 y T2 .
Fig. 3.11. Cuadriláteros de triángulos de deformación constante La matriz de rigidez para el cuadrilátero puede ser obtenida mediante adición directa de aquellas para los triángulos, como sigue:
+
Por supuesto, las matrices de rigidez 6x6 para los triángulos deben ser expandidas al tamaño 8x8 para que la adición sea conforme. Si dichos dos cuadriláteros son formados de los mismos cuatro nodos pero con diferentes diagonales (ver fig. 3.10b), los resultados pueden ser promediados. Entonces
12 ( + )
104
Pueden hacerse afirmaciones similares respecto a las cargas nodales equivalentes. Cuando cuatro triángulos de deformación constante son ensamblados, el cuadrilátero resultante tiene un nodo interior (ver fig. 3.10c). Si este nodo es etiquetado tipo A y los nodos exteriores son etiquetados tipo B, las ecuaciones de equilibrio ensambladas pueden ser escritas como:
++ − −− − + −+ − ∗ ∗ ∗∗ −−
Desarrollando la multiplicación matricial, tenemos:
Ahora despejamos el vector {qA} en la primera ecuación
y luego lo sustituimos en la segunda
Entonces, podemos escribir
Donde
Debido a que las matrices con asterisco son más pequeñas que las de las ecuaciones originales, el proceso de reducción descrito anteriormente se llama CONDENSACION DE MATRICES. Esta técnica sirve para muchos propósitos útiles en el análisis de sólidos y estructuras por elementos finitos.
105
3.5. PROBLEMAS 3.1. La figura muestra un triángulo de deformación constante con una pequeña rotación de cuerpo rígido respecto al nodo i. Llenar el vector de desplazamientos nodales {qRB} y revisar si todas las deformaciones son cero (mediante la pre-multiplicación con la matriz [B]).
3.2. Determine las cargas nodales equivalentes en el vector {pr} debido a la traslación restringida urj en la dirección x del nodo j de un triángulo de deformación constante (ver figura)
3.3. Suponga que un triángulo de deformación constante tiene una traslación de cuerpo rígido uRB en la dirección x. Revise para ver si el
106
producto de [K] y el vector de los desplazamientos nodales {qRB} produce un vector de ceros. 3.4. Suponga que las coordenadas de los nodos i, j, k para un triángulo de deformación constante son las que están dadas en la figura. Encontrar el vector de cargas nodales equivalentes debido a una fuerza concentrada P aplicada en el punto m.
3.5.
Para el triángulo de deformación constante, determine las cargas nodales equivalentes debido a una fuerza linealmente variable (por unidad de longitud) aplicada en la dirección x a lo largo del borde jk, como se muestra en la figura.
3.6.
Verifique los términos en la primera columna de la matriz de rigidez para el rectángulo de desplazamiento bilineal.
3.7.
La figura muestra un rectángulo de desplazamiento bilineal con una pequeña rotación de cuerpo rígido respecto de su centroide. Construya el vector de desplazamientos nodales {q RB} y revise para
107
ver si la pre-multiplicación por la matriz [B] produce un vector de deformaciones nulas.
3.8.
Suponga una traslación restringida ur2 en la dirección x del nodo 2 de un rectángulo de desplazamiento bilineal (ver figura), y encontrar el vector de cargas nodales equivalentes {pr}.
3.9.
Sea un rectángulo de desplazamiento bilineal con una traslación de cuerpo rígido vRB en la dirección y. Verificar el hecho de que el producto de [K] y el vector de desplazamientos nodales {qRB} da un resultado nulo.
108
3.10. Para el rectángulo de desplazamiento bilineal, derive las cargas nodales equivalentes debido a una fuerza parabólicamente distribuida by=by0(1-2) por unidad de longitud, aplicada en la dirección a lo largo del borde 1-2 de la figura.
3.11. Suponga que un rectángulo de desplazamiento bilineal está sujeto a un cambio de temperatura que varía linealmente desde el borde 1-4 al borde 2-3, como se indica en la figura. Desarrollar las cargas nodales equivalentes debido a dicha variación de temperatura, asumiendo material isotrópico en esfuerzo plano.
109
UNIDAD 4. APLICACIÓN DE PROGRAMAS DE COMPUTADORA
TEMAS
4.1. PROGRAMA RISA-2DE, 110 4.2. PROGRAMA LISA, 124 4.3. PROGRAMA Z88 Mobile, 142 4.4. PROBLEMAS, 144 4.5. BIBLIOGRAFIA, 147
110
4.1. PROGRAMA RISA-2DE El programa RISA-2D Educacional es solamente para estructuras reticulares planas (vigas continuas, marcos rígidos y armaduras). Tiene una limitante de 50 nodos y 50 miembros. Ejemplo 1. La armadura bidimensional a ser analizada está mostrada en la figura. Suponer que el área de cada miembro es 1.2 plg2 y que el módulo de Young es 29,000 ksi. Analizarla con el programa RISA-2DE
111
Paso 1. Abrir el programa
Paso 2. Introducir los parámetros globales
112
Paso 3. Seleccionar el sistema de unidades
Paso 4(a). Definir la malla para dibujar la estructura
113
Paso 4(b). Alternativamente, introducir las coordenadas de los nodos
Paso 4(c) Tabla de coordenadas de los nodos
Paso 5. Introducir las restricciones de los apoyos
114
Paso 6. Introducir las propiedades de los miembros
Paso 7(a). Introducir las cargas o desplazamientos forzados en los nodos
Paso 7(b) Grafica de las cargas nodales
115
Paso 8. Analizar la estructura
Paso 9(a) ver resultados de reacciones en los apoyos
Paso 9(b) ver resultados de desplazamientos de los nodos
116
Paso 9(c) ver resultados de fuerzas internas en miembros
117
Ejemplo 2. Considere el marco bidimensional de la figura. Suponiendo que el valor de I=500 plg4, el área del miembro AB es 15 plg2, el área de los miembros restantes es 10 plg2, y un módulo de Young de 29,000 ksi, analizar el marco usando RISA-2DE
Coordenadas de los nodos
118
Restricciones de los apoyos
Propiedades de los miembros
Cargas puntuales en miembros
119
Carga distribuida en miembros
Gráfica de la estructura
Ejes locales del miembro y ejes gobales de la estructura
120
Resultados de reacciones en los apoyos
Resultados de desplazamientos de los nodos
121
Resultados de deflexiones de los miembros
122
Resultados de fuerzas internas en los miembros
Resultados de diagramas de momentos flexionantes y deformada
123
Gráfica de cargas y reacciones en los apoyos
124
4.2. PROGRAMA LISA El programa de computadora LISA es un programa general de análisis de elementos finitos lineales, planos y volumétricos. La versión gratuita tiene un límite de 1300 nodos.
Ejemplo 1. La viga en cantiliver mostrada está cargada con una sola carga puntual de magnitud 100 N en su extremo libre en dirección Y negativa. La viga es de longitud 10 m y sección transversal 4x4 m. Está empotrada en su extremo izquierdo. Las propiedades del material son módulo de Young, E= 15000 N/m2, relación de Poisson =0.288. Se requiere determinar la distribución de esfuerzos.
125
Análisis preliminar: Seleccionar unidades: N, m La deformación esperada máxima ocurre en el extremo libre y el esfuerzo máximo ocurre en el empotramiento. La deflexión máxima es
3 ℎ 4 4 12 12 21.333 1 00 1 0 31500021.333 0.1042 100 1 0 1000 ℎ2 42 2 120001.3332 93.75 1005 500 52001.3332 46.88 Donde
Entonces
El esfuerzo máximo en el empotramiento es
Donde
Entonces
El momento a una distancia de 5 m del empotramiento es
Y el esfuerzo máximo es
126
Análisis con LISA Paso 1. Selección del tipo de análisis
Seleccionar 2D Paso 2. Propiedades del material
127
En Geometric escoger Plate/Shell y en espesor introducir 4 En Mechanical escoger Isotropic e introducir E=15000 y =0.288
Paso 3. Crear nodos
Se introducen las coordenadas de los nodos Nodo 1(0,0,0), Nodo 2(10,0), Nodo 3(10,4), Nodo 4(0,4)
128
ajustar la ventana para ver los nodos
Seleccione una vista en el plano XY
Paso 4. Crear elementos
Seleccionar elemento tipo quad4 e introduzca los nodos
129
Paso 5. Refinando el elemento Seleccionar la opción Elements/Refine Custom
El elemento queda como sigue
130
Paso 6. Cambiar a elemento de orden mayor Seleccionar la opción Elements/Change Shape
131
Seleccione quad8 El elemento queda como sigue
Paso 7. Aplicar restricciones de los nodos Seleccione Constrains/Add/Edit y displx
132
Aplicar Add y aparece lo siguiente
Aplique restricciones displx y disply al nodo 1 y displx a todos los demás nodos del borde izquierdo
133
Paso 8. Aplicar cargas Seleccionar el nodo de la esquina superior derecha
Del menú Loads/Add/Edit escoger forcey
Escoger Add e introducir -100
134
Aparece la siguiente figura
135
Paso 9. Resolver el modelo Seleccionar Solve
Paso 10. Ver los resultados
136
Desplazamientos
Seleccionar el plano de la vista
Ajustar la ventana para ver el modelo
137
Ver la deformada
Revisar los valores de esfuerzos
138
Ejemplo 2. Una placa cuadrada de 5 cm x 5 cm con un agujero en el centro (de 1 cm de radio) está rígidamente fija a una pared. En el borde opuesto esta estirada con una fuerza de 1000 N a lo largo del borde. El espesor de la placa es de 1 mm. El material de la placa tiene un módulo de Young de 70 GPa y una relación de Poisson de 0,3. MODELADO DE LA ESTRUCTURA 1) Tipo de análisis: Estático, 2D 2) Geometric: Plate/Shell/membrane, intorducir espesor de 0.001m 3) Mechanics: E=70x109 N/m2, =0.3 4) Seleccionar placa rectangular con agujero 5) Teclear 0.05, 0.01 para definir una placa de 0.05 m de lado con agujero de 0.01 m de radio
Aparece la siguiente imagen
139
6) Refine la malla a 1-64
7) Asignar material a los elementos Seleccione ELements/List info
Seleccione todos los elementos de la lista y presione Edit
140
Y escoja el material 1
8) Defina las restricciones del borde izquierdo (despx, despy y despz) y cargas en el borde derecho (1000 N en cada nodo) como se muestra en la figura siguiente
9) Resolver la estructura 10) Ver resultados
141
Estructura no deformada
Estructura deformada En la estructura deformada se ve que existen errores de conectividad. Ir a menú Nodes/Merge nerby nodes e introduzca una tolerancia de 0.0001 y se resuelve otra vez.
142
4.3. PROGRAMA Z88 Mobile Este es un programa de análisis de elemento finito para Android (celulares y tabletas). Es una versión compacta del programa Z88Aurora. La librería de elementos finitos consiste de elementos: -Flexionantes (beam2, beam13) -Axiales (truss4, truss9) -Torsionales (cam5) -Esfuerzos planos (element14) -Axial-simétricos (torus15) -Placas (element18) Ejemplo 1. Una viga en cantiliver está empotrada en su extremo izquierdo y tiene una carga en su extremo derecho 150 N
L=150 mm 1 1
2
2
3
50
100
3 4 150 x
Los parámetros son: A=100 mm2, Izz=3000 mm4, ezz=10 mm, E=206000 N/mm2, =0.3 Cálculo manual Seleccionar unidades: N, mm Deflexión máxima
3 1 50 1 50 32060003000 0.273 Donde
143
El esfuerzo máximo en el empotramiento es
150150 22500 1 0 22500 75 3000
Donde
Entonces
Programa Z88Mobile
Paso 1. Abrir el programa Z88Mobile Paso 2. Seleccionar Enter Structure/New Structure Paso 3. Seleccionar tipo de elemento: 2D Beam structure, modo Basic Paso 4. Coordenadas de nodos (0,0), (50,0), (100,0), (150,0) Paso 5. Definir elementos (con nodos extremos) (1,2), (2,3), (3,4) Paso 6. Geometría de elementos Seleccionar Detail , e introducir A=100, I zz=3000, ezz=10 Paso 7. Introducir datos del material En modo Detail , E=206000, =0.3 Paso 8. Condiciones de frontera Introducir restricciones de nodo 1 Paso 9. Cargas de nodos Introducir carga vertical de -150 en nodo 4 Paso 10. Analizar la estructura (presionar RUN) Paso 11. Ver resultados y comparar con cálculo manual.
144
4.4. PROBLEMAS 4.1. Analizar el siguiente marco rígido. Obtenga los diagramas de fuerza axial, cortante y momento flexionante. Usar RISA-2DE.
4.2. Analizar la viga mostrada. Dibuje los diagramas de corte y momento. Use RISA-2DE
4.3. Analizar la armadura mostrada. Use RISA-2DE
145
4.4. El material de la placa mostrada es linealmente elástico con un módulo de Young de 1x107 y una relación de Poisson de 0.25. Los nodos en el borde AD están empotrados. La placa es torsionada mediante la aplicación de una fuerza de -1.0 en el nodo B y una igual y opuesta en el nodo C. Las dimensiones se muestran en la figura. Analice la placa con LISA.
4.5. Una estructura sólida como se muestra en la siguiente figura se articula (no puede trasladarse en ninguna dirección). Las coordenadas de las esquinas son como sigue: A(0,0,0), B(0,0,20), C(0,20,20), D(0,20,0), E(20,0,20), F(20,20,20), G(15,20,5), H(15,20,0), I(20,20,5), J(15,30,5), K(10,30,5), L(20,33,0), M(15,33,0). Los puntos J, K, L y M están cargados con carga concentrada: En J, K y M forcez=-1000 N, en L forcex=-500 N y forcez=-500 N. El material tiene módulo de Young E=7000000 N/cm2 y la relación de Poisson =0.3. Analice la estructura con LISA.
146
4.6. Analice la viga continua mostrada con el programa Z88Mobile. Considere E=200 GPa, =0.3, sección rectangular de b=20 cm, h= 50 cm.
1000 N
2m
2m
4m
4m
4.6. Analice la viga en cantiliver mostrada con el programa Z88Mobile. Considere E=200 GPa, =0.3, sección rectangular de b=25 cm, h= 75 cm.
1500 N
L=2 m
