FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA Escuela Profesional de Ingeniería Civil
MECÁNICA DE FLUIDOS 1I
Lambayeque, Marzo del 2018
1 INDICE I.
CONDUCCIÓN DE LOS FLUIDOS. .................................................................. 10 1.1.
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 11
1.2.
OBJETIVOS ............................................................................................................. 11
1.3.
CONDUCCIÓN DE LÍQUIDOS ............................................................................. 12
1.3.1. Tipos de Conducción de Líquidos ........................................................................ 12 1.3.2. Diferencia Entre Tubería y Canal ......................................................................... 15 ................ ............................ ........... 17 1.3.3. Ventajas de la Sección Circular para las Tuberías .................................
II.
NATURALEZA DEL FLUJO EN TUBERÍAS ........................................ .......... 20 2.1.
Fuerza de Inercia (F I) ............................................................................................. 21
2.2.
Fuerza Viscosa (Fv) ................................................................................................ 21
2.3.
Longitud Característica (L) .................................................................................... 23
2.4.
Flujo Laminar ........................................................................................................... 24
2.5.
Flujo Turbulento ...................................................................................................... 24
III.
EXPERIMENTO EXPERIMENTO DE REYNOLDS REYNOLDS .......................................... ........................... 25
.......................................................................................................................................... 25 3.1.
OSBORNE OSBORNE REYNOLDS REYNOLDS ................................................................................. . 26
3.2.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN .................................................................... 29
Ejercicio 01..................................................... ..................................................... .......... 29 Ejercicio 02..................................................... ..................................................... .......... 31 Ejercicio 03..................................................... ..................................................... .......... 32 Ejercicio 04..................................................... ..................................................... .......... 34 Ejercicio 05..................................................... ..................................................... .......... 36 3.3.
CONCLUSIONES................................................ ............................................. 37
3.4.
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 37
3.5.
ANEXOS ............................................. ..................................................... .......... 38
3.5.1.
Canales Naturales .................................................. .................................... 38
3.5.2.
Canales Artificiales................................................ .................................... 39
3.5.3.
Tabla Viscosidad Dinámica del Agua ................................................... 40
IV. RELACIÓN ENTRE LA FUERZA DE RESISTENCIA Y LA PÉRDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN ................................................ ............................................. 42 4.1.
INTRODUCCIÓN................................................. ............................................. 43
4.2.
OBJETIVOS ................................................. .................................................... . 44
4.2.1. 4.3.
Objetivo General ........................................... ............................................. 44 MARCO TEÓRICO ...................................................... .................................... 44
4.3.1.
Pérdida de Carga por Fricción ............................................. .................. 44
4.3.2.
Perdida de Cargas Locales .......................................... ........................... 44
4.3.3.
Perdida de Carga Por Fricción: .............................................................. 44
4.3.3.1. Resistencia que ofrecen los líquidos al a l movimiento ....................... 44 4.3.4.
Relación Entre la Fuerza Resistente y la Pérdida de Carga por
Fricción
47
4.3.5.
Formula de Darcy-Weisbach ................................................. .................. 50
4.3.5.1. Henry Philibert Philibert Gaspard Darcy (1803 - 1858) .................................... 50 4.3.5.2. Julius Ludwig Weisbach (1806 – 1871) ................................................ 51 4.3.5.3. Fórmula de Darcy – Weisbach........................................................ ........ 51 4.3.5.4. Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797 - 1884) ................ .................. 54 4.3.5.5. Jean Léonard Marie Poiseuille (1797 - 1869) ...................................... 54 4.3.5.6. Fórmula de Hagen – Poiseuille ................................... ........................... 54 4.3.6.
Distribución del Esfuerzo Cortante en una Tubería Bajo
Condiciones de Flujo Permanente .............................................. ........................... 58 4.3.6.
Relación Entre el Coeficiente de Fricción y el Número de
................................................... .................................... 59 Reynolds en Flujo Laminar ...................................................
Ejercicio 01..................................................... ..................................................... .......... 60
Ejercicio 02..................................................... ..................................................... .......... 61 Ejercicio 03..................................................... ..................................................... .......... 62 Ejercicio 04..................................................... ..................................................... .......... 63 4.4.
CONCLUSIONES................................................ ............................................. 64
4.5.
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 64
4.6.
LINKOGRAFÍA ......................................................................................... ........ 64
V.
CAPA LÍMITE y SUPERFICIE RUGOSA ............................. ........................... 65
1.1
INTRODUCCIÓN................................................. ............................................. 66
1.2
IMPORTANCIA..................................................... ............................................ 67
1.3
OBJETIVOS ................................................. .................................................... . 67
1.4
HISTORIA DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS ............................................. 68
1.4.1.
LUDWIG PRANDTL ................................................................................... . 68
1.4.2.
ALLEN HAZEN ................................................................. ........................... 69
1.4.3.
GARDNER F. WILLIAMS ................................................ ........................... 70
1.5
MARCO TEÓRICO ...................................................... .................................... 71
1.5.1.
TEORÍA DE CAPA LÍMITE ........................................................................ 71
1.5.2.
DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE ................................................................ 73
1.5.3.
FORMACIÓN DE LA CAPA LÍMITE ........................................................ 74
1.5.4.
ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE ........................................... .................. 75
1.5.5.
SUBCAPA LAMINAR ....................................................................... .......... 76
1.5.6.
TRANSICIÓN EN LA CAPA LÍMITE ........................................................ 77
1.5.7.
PERFILES DE VELOCIDAD EN LA CAPA LÍMITE .............................. 78
1.5.8.
CONCEPTO DE SUPERFICIE RUGOSA ..................................... .......... 78
1.5.9.
FLUJO CON RUGOSIDAD AISLADA ..................................................... 79
1.5.10.
FLUJO CON INTERFERENCIA DE REMOLINOS ................................ 79
1.5.11.
FLUJO CUASI-LISO ......................................................................... .......... 80
1.5.12.
CONCEPTOS GENERALES EN LAS PAREDES DE LOS TUBOS: 80
1.1.1.1
RUGOSIDAD ........................................................................................ ........ 80
1.5.13.
EFECTOS DEL TIEMPO EN LA L A RUGOSIDAD DE LAS TUBERÍAS 82
1.1.1.1
CORROSIÓN BIÓTICA ............................................................ .................. 83
1.1.1.1
INCRUSTACIÓN BIÓTICA ...................................................... .................. 83
1.1.1.1
NATURALEZA DE LAS PAREDES DE LOS TUBOS: RUGOSIDAD 83
1.1.1.1
INFLUENCIA EN EL DESGASTE DE LOS TUBOS ............................. 84
1.5.14.
ECUACIONES DE VELOCIDAD MEDIA .............................. .................. 87
VI. PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO TURBULENTO ........ .................. 95 6.3.1.
PÉRDIDA DE CARGA ............................................................................... . 97
6.3.2.
ANÁLISIS DE LA FORMULA GENERAL DE PERDIDA DE CARGA 99
6.3.2.1. EN FLUJO TURBULENTO ........................................................................ 99 Tubos de pared transicional .............................................................................................. 111
6.11.2.
PAVLOV (1981) ................................................................................................ 113
6.11.3.
GUERRERO (1976) ......................................................................................... 113
6.11.4.
S.E. HAALAND (1983) .................................................................................... 114
6.11.5.
ALTSHUL .......................................................................................................... 114
6.11.6.
STREETER (2000)........................................................................................... 114
VII.
PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO TURBULENTO .................... 127
Pérdida de Carga ................................................................................................................ 130 ............................................................................................................................................... 131
Fórmula de Schoder ........................................................................................................... 134 Fórmula de Scobey ............................................................................................................. 135 Ejercicio 01 ........................................................................................................................... 146
Ejercicio 02 ........................................................................................................................... 148 Ejercicio 04 ........................................................................................................................... 150 Ejercicio 05: .......................................................................................................................... 151 Ejercicio 06: .......................................................................................................................... 152
VIII.
159 PERDIDA DE CARGA ................................................ .................................. 159
1.
OBJETIVO GENERAL .............................................................................................. 161
2.
OBJETIVOS ESPECIFICOS .................................................................................... 161
FORMULA DE BORDA-CARNOT: ................................................................................... 161 JEAN-CHARLES DE BORDA ........................................................................................... 161 LAZARE NICOLAS MARGUERITE CARNOT................................................................ 162 3.
.................. ................. 170 PÉRDIDA DE CARGA A LA SALIDA DE UNA TUBERÍA ...................................
1.
VÁLVULAS DE GLOBO ........................................................................................... 175
2.
VÁLVULA DE ANGULO ........................................................................................... 175
3.
VÁLVULA DE COMPUERTA ................................................................................... 176
4.
VÁLVULA DE VERIFICACIÓN ................................................................................ 176
5.
VÁLVULA DE MARIPOSA ....................................................................................... 177
Primera condición hidráulica ............................................................................................. 192 La pérdida de carga total en todo el sistema es igual a la suma de las pérdidas en cada una de las tuberías. ................................................................................................... 192 Segunda condición hidráulica ........................................................................................... 192 El caudal es el mismo en todas las tuberías (ecuación de continuidad). ................... 192 Resolución de tuberías en serie ....................................................................................... 193 Se nos pueden plantear las siguientes cuestiones a la hora de resolver un sistema, así: ......................................................................................................................................... 193 Hardy-Cross ......................................................................................................................... 203 Red de Tuberías .................................................................................................................. 203 CASOS PARTICULARES .................................................................................................. 208
X.
flujo en sistema de tuberias ................................ .......................................... 219 Objetivos Generales ........................................................................................................... 250 Objetivos Específicos ......................................................................................................... 250
S on es truc tru c turas tur as de condu c onducc c ión, ió n, que conduc co nduc en fluidos flui dos líqui líqu i dos por acción cc ión de la la g ravedad, ravedad, pudiendo s er abiertos abiertos o cerrad cerr ados os , pero a
pres pr es i ón cons c ons tante, tante, pues la s uperfi uper ficc ie libr e del del líquid líqu ido o está es tá en conta con tacc to con la atmós tmós fera. fera. LLos os canal canales puede puedenn s er natura naturalles (ríos (rí os o arr arroyos oyos ) o artificial rtific iales es,, es deci decirr aquell quellos os cons truidos por el homb hombre re (G eomet eometríría ao formas for mas defin def inii das ), tales tales c omo: s ecc ión ió n triang tri angular, ular, rectang r ectang ular o trapezoi trapezoida dal,l, etc) ______________________________________________ 251 S ecc ec c iones io nes Tr ansver ans ver s ales ales más F r ecuentes ecu entes ______________________ 251 b.1. C anales nales Naturale Naturaless : _______________________ _______________________________________ ________________ 251 Un ca c anal natural natural es g eneralm eneralment entee de forma muy muy irreg ir reg ular, ular, y varía de un luga lug ar a otro, la la s ección ecc ión trans trans vers al de un canal canal natur natura al y viejos vi ejos de tierra ierra es P AR AB ÓLICA . _______________________________________ 251 251 25 1
b.2. Canale Canaless A rtificial rtific iales es:: ______________________ ______________________________________ ________________ 252 Los canale canaless artificial rtific iales es,, us ual ualment mentee s e dis eñan eñan con formas formas g eométric eométri c as r eg ulares (pr i s máti máti c os ), los más c omunes omun es s on las las s ig uientes ui entes : ___________________________________________ ___________________________________________________ ________ 252 S ecc ión ió n Trapezoid Tr apezoidal al:: S e us a s iempre iempr e en c anales anales de titi erra err a y en canale canaless revestido reves tidoss . _______________________ ___________________________________________ ____________________ 252 252 25 2
S ecc ión ió n R ectang ular: S e emplea para ac ac ueductos ueduc tos de mader madera, a, par par a canale canaless exca exc avados en roca roc a y para para canale canaless reves tidos . __________ 252 252 25 2
S ecc ión ió n Triang Tr iang ular: S e us a para cuneta cun etass r eves tidas en las las carr eteras eteras , también también en canales canales de tier tierrr a pequeños , fundam fun damenta entalme lmente nte para facili fac ilidad dad de tr tr azo, por ejemplo, ej emplo, los los s urc ur c os . ________________ 252 252 25 2
a. E leme lementos ntos de la la s ección ecc ión trans vers al de un canal: canal: ___________ 253 253 25 3 264 26 4
E n un flujo flujo s ubcrítico, ubcrí tico, toda toda s ing ulari ularida dad d caus caus a efectos efectos haci hacia a ag uas uas arriba. ______________________ _______________________________________________ _________________________________ ________ 264 Fig Fi g ura 2-1 C urva de E nerg nerg ía E s pecific pecifica a. ________________________ 264 268 GRAFICO DE FUERZA ESPECÍFICA .................................................... ................ 268
C alculando lculando E para para diferentes diferentes valores valores de y y con un c audal udal Q=0.40, Q=0.40, s e obtiene la la s ig uiente ui ente tabla tabla:: _________________________ _______________________________________ ______________ 1 1.1.1
SECCIÓN RECTANGULAR .................................................................................... 7
1.1.2
SECCIÓN TRIANGULAR ........................................................................................ 9
1.1.3
SECCIÓN TRAPEZOIDAL .................................................................................... 11
1.1
MÉTODO DE LA CURVA Y VS. Z (TIRANTE VS. FACTOR DE
SECCIÓN) .................................................................................. .................................... 13 1.2 1.3.1
II. II .
MÉTODO GRÁFICO O DEL CUADRO DE DISEÑO ................................. 14 EL FACTOR DE SECCIÓN PARA EL CÁLCULO DE FLUJO CRÍTICO ....... 15
CA LCULO FLUJ FLUJ O UNIFORME UNIFORME ______________________________ ______________________________ 16
2.1 DEFINICIÓN __________________________________ _______________________________________________ _____________ 16 2.1.1
FLUJO UNIFORME PERMANENTE: .................................................................. 17
2.1.2
FLUJO UNIFORME NO PERMANENTE: ........................................................... 17
2.2
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE CHEZY ............................................. 21
2.3
CÁLCULO DE FLUJO UNIFORME .............................................................. 24
2.1.1
2.3.1 FACTOR DE SECCIÓN, PARA EL CÁLCULO DE UN FLUJO
UNIFORME: ........................................................................................................................... 24
2.1
FÓRMULAS CLÁSICAS PARA EL DISEÑO DE CANALES C ANALES ................. . 25
2.2
METODO CLASICO ................................................................................ ........ 26
2.2.1 APLICANDO APLICANDO LA FÓRMULA FÓRMULA MANNING MANNING .............................................................. 26
III. ME TOD TO D O MOD MO D E R N O PA P A R A E L DI D I S E Ñ O DE D E C A N A L E S _______ 27 3.1
FÓRMULA MODERNA EN EL DISEÑO DE CANALES ........................... 27
3.2
METODO MODERNO .......................................................... ........................... 27
3.2.1 APLICANDO APLICANDO LA FÓRMULA FÓRMULA DE DARCY DARCY ............................................................ 27
3.1
RELACIONES GEOMÉTRICAS .................................................. .................. 30
I. CONDUCCIÓN CONDUCCIÓN DE LOS FLUIDOS.
1.1. INTRODUCCIÓN
Los flujos internos en ductos en general se encuentran en la mayoría de las aplicaciones. Desde el suministro de agua potable hasta el transporte de líquidos industriales. Los ingenieros han diseñado y construido kilómetros de tuberías a gran escala. También abundan unidades de tuberías más pequeñas: en controles hidráulicos, en sistemas de calefacción y aire acondicionado, y en sistemas de flujo cardiovasculares y pulmonares, por nombrar algunos. Estos flujos pueden ser continuos o no continuos, uniformes o no uniformes. El fluido puede ser incompresible o compresible, y el material del que están hechas las tuberías puede ser elástico, inelástico, o tal vez viscoelástico. Este capítulo se ocupa principalmente de flujos incompresibles, continuos en tuberías rígidas. Las tuberías son relativamente simples, de modo que las variables pueden ser resueltas fácilmente con una calculadora, o son lo suficientemente complicadas como para utilizar programas de computadora.
1.2. OBJETIVOS
Proporcionar los conocimientos fundamentales de la hidráulica y la mecánica de los fluidos que se requieren para el diseño de los sistemas del flujo a presión en tuberías y a superficie libre en canales.
El curso comprende el estudio del flujo uniforme y permanente en los sistemas de conducción, con aplicaciones prácticas en la ingeniería civil. El flujo no permanente o transitorio en tuberías, así como el flujo gradualmente variado en canales será tratado fundamentalmente con lo relacionada al diseño de las estructuras hidráulicas.
1.3. CONDUCCIÓN DE LÍQUIDOS La conducción de los fluidos constituye un problema fundamental de la mecánica de los fluidos, campo de estudio de una de sus ramas más importantes, conocida como hidromecánica, que se ocupa de estudiar el equilibrio y movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos líquidos, y que cuando la hidromecánica se aplica en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil, se le denomina hidromecánica técnica o hidráulica.
El significado etimológico de la palabra hidráulica es “Conducción del Agua”, que deriva de dos vocablos griegos griegos Hydor: Agua y Aulos: tubo o conducción. Sin embargo, actualmente se le atribuye a la palabra hidráulica
un significado mucho más amplio: “Es el estudio del equilibrio y movimiento de los fluidos incompresibles y su aplicación en estructuras que le interesan directamente al in geniero civil”.
1.3.1. TIPOS DE CONDUCCIÓN CONDUCCIÓN DE LÍQUIDOS LÍQUIDOS La conducción de los fluidos es de dos formas o tipos.
Conducción Forzada mediante una Tubería.
Conducción Libre mediante un Canal.
1.3.1.1 Conducción Forzada o Tubería Se denomina así a este tipo de flujo de fluidos, porque el líquido fluye dentro del conducto a una presión diferente a la atmosférica. Esta forma de conducción necesariamente debe realizarse en un conducto de perímetro cerrado, por lo que también a esta forma de conducción o flujo se le denomina “flujo en conductos cerrados” , funcionando totalmente lleno, es decir que el área hidráulica debe ser
igual al área de la sección transversal del conducto.
También se acostumbra definir a este tipo de flujo como “ conducción de fluido bajo presión” , porque el fluido ejerce presión (diferente a la atmosférica) sobre la
envoltura o superficie del conducto que lo rodea. Esquema:
IMAG E N 1: E s quem quema a de C onducción onducción 1.3.1.2 Conducción Libre o Canal Se denomina así a este tipo de flujo de fluidos porque el líquido fluye dentro del conducto a presión constante que es la atmosférica. Esta forma de conducción puede realizarse en conductos de perímetro abierto o cerrado; si es cerrado, debe presentar por lo menos un punto como superficie libre, que garantice la acción de la presión atmosférica en dicho punto. Es típico este tipo de flujo en conductos de perímetro abierto, de ahí también su denominación de flujo en conductos abiertos. Funcionan siempre por gravedad, es decir por acción de su propio peso, necesitando de una pendiente o inclinación de la solera o fondo del conducto. La conducción libre está sujeta a la presión atmosférica, por lo menos en un punto de su área hidráulica (sección de flujo).
Generalmente, tales conductos presentan una superficie libre, en contacto con el aire Fig. (a y b). En (c) está indicando el caso límite de un conducto libre; si bien el conducto funciona completamente lleno, en su parte superior interna actúa una presión igual a la atmosférica. En (d) está representado un conducto forzado.
IMAG E N 2: S upe uperficies rficies libres ibres
IMAG E N 3: Tipos de conduct conductos os
IMAG E N 4: E s quem quema a de conducción conducción 2
1.3.2. DIFERENCIA ENTRE TUBERÍA Y CANAL Son varias las diferencias que se pueden establecer entre el flujo en un canal y en una tubería. El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmosfera. En la tubería el líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el contorno. La diferencia entre un canal y una tubería esta no está, pues, en la forma de la sección transversal, sino en el comportamiento hidráulico; el flujo en un conducto cerrado no es necesariamente a presión o forzado, tal es el caso de los conductos de desagüe pluvial, las alcantarillas, etc.
IMAG IMA G E N 5: S ección de tubería ubería y canal canal
El flujo en un conducto cerrado no es necesariamente a presión o forzado, tal es el caso de los conductos de desagüe pluvial, las alcantarillas, etc. En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería, tal como puede verse en la figura, en la que
I MA GE N 6: Pie P iezzómetro
es la presión y es el
peso específico del fluido. La altura que alcanza el fluido del piezómetro, referida a un plano horizontal, se denomina cota piezométrica. En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los problemas de tuberías. En una tubería la sección transversal es rígida y determinada. Un aumento en el gasto conlleva a un aumento de la velocidad. En cambio, en un canal un aumento del gasto representa una variación en la sección, ya que un canal tiene una superficie libre. A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.
1.3.3. VENTAJAS DE LA SECCIÓN CIRCULAR PARA LAS TUBERÍAS La sección circular ofrece ciertas ventajas, con respecto a otras secciones tales como:
1.3.3.1. Ventaja Hidráulica La sección circular a igualdad de área con respecto a otras (área Hidráulica) es la que tiene menor perímetro, originando por consiguiente menor área de contacto o rozamiento entre el fluido con las paredes del conducto dando lugar por lo consiguiente a menores fuerzas resistentes por fricción y por lo tanto pérdida de carga. Adicionalmente la sección circular es la de Máxima Eficiencia Hidráulica Hidráulica,, porque es la forma que conviene dar a una sección de magnitud dada, para que escurra el mayor gasto posible.
/ / ∅ IMAGEN 7: Secciones de tuberías
Dónde:
: : ℎ :: ℎ : : , ℎ .
1.3.3.2. Ventajas Estructurales
Aprovecha la ventaja de simetría de la sección, al estar sometida a esfuerzos uniformes en cualquier punto de la tubería, garantizando una deformación y un desgaste también uniforme a través del tiempo con el uso, manteniendo su geometría original y así, su conductividad hidráulica.
IMAG E N 8: S ección de de tub tubería ería
1.3.3.3. Ventajas De Fabricación Son hechas empleando el proceso de vibro-centrifugación, utilizando ejes horizontales o verticales, permitiendo obtener un espesor uniforme y eliminar al máximo la rugosidad interior del tubo.
II. NATURALEZA DEL FLUJO EN TUBERÍAS
IMAGEN 9: Velocidades en Flujo Laminar
El estudio del flujo en tuberías es decir en flujos completamente encerrados, es útil en muchas formas especialmente para ilustrar los tipos de flujo laminar y turbulento. turbulento. Una de las clasificaciones de las corrientes atendiendo a las fuerzas resistentes predominantes en el flujo en tuberías, es aquella que relaciona las fuerzas de inercia y las fuerzas debido a la viscosidad o fuerzas viscosas.
2.1. FUERZA DE INERCIA (F I) Resistencia de una masa inerte a la aceleración. La magnitud de la fuerza de Inercia es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración. La dirección de esta fuerza de Inercia es opuesta a la aceleración de la partícula.
∗
2.2.
∀ ∀
FUERZA VISCOSA (FV)
IMAGEN 10: Fuerza Viscosa
= Es el esfuerzo cortante debido a la viscosidad.
Por lo tanto, la fuerza resistente debido a la viscosidad, será:
Aplicando el análisis dimensional y
tomando como magnitudes fundamentales la
velocidad (V), la viscosidad ( ) y la longitud (L):
Dónde: V = Velocidad del fluido
μ = Viscosidad absoluta o dinámica L = Longitud característica El análisis dimensional demuestra que se puede combinar esas variables en un agrupamiento adimensional, con el objeto de tener una correlación entre el tipo o la naturaleza del flujo y algunas mediciones cuantitativas.
2.3. LONGITUD CARACTERÍSTICA CARACTERÍSTICA (L) Es una magnitud de uso convencional pudiendo tomarse el diámetro, en función del radio o del radio medio hidráulico, según los casos siguientes: Para tuberías de sección circular: La longitud característica es el diámetro de la tubería, luego el R e será:
O
Dónde: = viscosidad cinemática. Para tuberías no circulares y para canales. -Se utiliza como longitud característica el Radio Medio Hidráulico (Rm), teniendo en cuenta que el diámetro (D) deberá relacionarse con el radio medio hidráulico (R m), así:
IMAGEN 11: Diámetro de una tubería
2.4. FLUJO LAMINAR LAMINAR Cuando el flujo es laminar, la distribución de velocidades adopta un paraboloide de revolución (sección parabólica), es invariable en el tiempo. Las capas de líquido se mueven paralelamente unas respecto de otras, sin intercambio en la cantidad del IMAGEN 12: Velocidades en Flujo Laminar movimiento. Ejemplo de ello es el movimiento del petróleo, aceites, sangre en tubos capilares y el agua a través de medios porosos en el suelo.
2.5. FLUJO TURBULENTO Si el flujo que se presenta en la tubería es de tipo turbulento, la distribución de velocidades sigue otra ley, generalmente del tipo logarítmica.
IMAGEN 13: Velocidades en Flujo T urbulento
III. EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Osborne Reynolds fue el primero en demostrar que es posible pronosticar el flujo
laminar o turbulento si se conoce la magnitud de un numero adimensional, al que se le denominara número de Reynolds
.
Las características que condicionan el flujo laminar dependen de las propiedades del líquido y de las dimensiones del flujo. Conforme aumenta el flujo másico aumenta las fuerzas del momento o inercia, las cuales son contrarrestadas por la por la fricción o fuerzas viscosas dentro del líquido que fluye. Cuando estas fuerzas opuestas alcanzan un cierto equilibrio se producen cambios en las características del flujo. En base a los experimentos realizados por Reynolds en 1874 se concluyó que las fuerzas del momento son función de la densidad, del diámetro de la tubería y de la velocidad media. Además, la fricción o fuerza viscosa depende de la viscosidad del líquido. Según dicho análisis, el Número de Reynolds se definió como la relación existente entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas (o de rozamiento).
La siguiente ecuación muestra la definición básica del número de Reynolds.
DONDE:
Es posible demostrar que el número de Reynolds es adimensional, con la sustitución de las unidades estándar de la ecuación Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas
paralelas a lo largo del eje del tubo; a este régimen se le conoce como “flujo laminar”. Conforme aumenta la velocidad y se alcanza la llamada “velocidad critica”, el flujo se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman corrientes cruzadas y remolinos; a este régimen se le conoce como
“flujo turbulento”.
IMAGEN 14: Flujo Laminar
IMAGEN 15: Flujo Turbulento T urbulento
Los flujos que tienen números de Reynolds grandes se debe a una velocidad elevada y una viscosidad baja que tienden hacer turbulentos, Aquellos fluidos con viscosidad alta y que se mueven a velocidades bajas tendrán número de Reynolds bajos por lo que te tienden a comportarse como flujo laminar El paso de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un
comportamiento intermedio indefinido que se conoce como “régimen de transición”. Para aplicaciones de prácticas del flujo en tuberías, encontramos que, si el número de Reynolds es menor que 2300 este será laminar, si el número de Reynolds es mayor que 4000 el flujo será turbulento. En el rango de números de Reynolds entre 2300 y 4000 es imposible predecir el flujo que existe, por lo tanto, le denominaremos región critica. Las aplicaciones prácticas involucran flujos porque se encuentran bien dentro del rango laminar o bien dentro del rango turbulento, por lo que la existencia de dicha región de incertidumbre nos ocasiona demasiadas dificultades.
Si se encuentra que el flujo en un sistema se halla en la región critica, la práctica usual es cambiar la tasa de flujo o diámetro del tubo para hacer que el flujo sea laminar o turbulento.
< < < >
, es flujo laminar , es flujo transicional
, es flujo turbulento
Vcrítica baja → Rcrítico inferior (2300) (2300)
correspond iente
Vcrítica alta → Rcrítico superior (5000 (5000 a 10000)
Vc .baja.
correspond iente
Vc
alta
Casos prácticos para los dos tipos de flujos En la práctica el flujo del aire y del agua y de otros fluidos pocos viscosos se verifica en régimen turbulento, como es fácil demostrar.
. .° → ° . Caso del agua:
(Anexo: Tabla viscosidad dinámica del agua)
(Diámetro pequeño)
... → … …
Valor por encima de 2300. Para diámetros mayores, “ Caso del aceite pesado. -
” serían muy superiores.
. . °→ ° . ... → … 3.2.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN
EJERCICIO 01
. . // 00..0150 // 23..50 //
Un conducto que transporta un líquido α de sección cuadrada de lado 0.2 metros, transporta un líquido de viscosidad poises y densidad , se pide determinar el régimen de conducción, así como el tipo de flujo. a) Si el caudal que transporta es b) Si el caudal que transporta es
y y
SOLUCIÓN a)
0. 0 5 V 3.0 m/s 0.0.0.83583035// 0.30 . Fluido
0.2 m L
0.2 m
CÁLCULO DE RÉGIMEN DE CONDUCCIÓN (TUBERÍA O CANAL)
̂ . .̂ .. .̂
.
Por lo tanto:
La sección húmeda es la siguiente: 0.083m
Por lo tanto, se trata de un régimen canal 0.2 m
CALCULO DEL TIPO DE FLUJO
b)
3 0. 8 3510 0. 0 45 4 0.30100 15030 : 0. 2.2.150m/sm/s 0.0.0.83583035// 0.30 .
Fluido
L
0.2 m
CÁLCULO DE RÉGIMEN DE CONDUCCIÓN (TUBERÍA O CANAL)
0.2 m
. . // .. . . Por lo tanto:
. 0.2 m = L
0.2 m
Falta dato de la presión de las paredes, para poder identificar si es tubería o canal. CALCULO DEL TIPO DE FLUJO
2. 5 0. 8 3510 0. 0 5 4 0.30100 13917 :
EJERCICIO 02
Un caudal de 44L/s de un aceite de viscosidad absoluta 0,0103kg.s/m2 y densidad relativa 0,85 está circulando por una tubería de 30cm de diámetro y 3000m de longitud. ¿Cuál es la pérdida de carga en la tubería?
SOLUCIÓN
V = Q/A=
.
= 0.62
x1030.x89.5x5 8x 1000 1565. N VµDgρ 0.62x2 x0.0.03103x 1565 . f 64N 0.0409 é 2 0.0409 30000.3 0.262 8.022
Lo que significa que el flujo es Laminar
EJERCICIO 03 Walker, Lewis y Mc Adams en su libro Principles of Chemical Engineering, utilizan un número de Reynolds que incluye los términos siguientes: diámetro en pulgadas, velocidad en pies/seg, gravedad específica y viscosidad en centipoises. Determinar el factor por el que se debe multiplicar este número para dar el número de Reynolds en unidades consistentes.
S OL UC IÓN IÓ N Por
definición
el
número
de
Reynolds
es:
Los autores utilizan el número de Reynolds los términos o variables diámetro, velocidad, gravedad específica y viscosidad en las unidades señaladas, por lo que el número de Reynolds de los autores, debería expresarse en los mismos términos, es decir:
. . . .
Donde sabemos que
Es la densidad del agua a una temperatura de 4°C y libre de impurezas (destilada) =
Dónde:
... /
EJERCICIO 04
Se desea transportar un gasto Q= 30
por un canal de sección triangular de 3.0
x2.5 m a una velocidad de 3 m/s, transportando un liquito de viscosidad densidad
1258
. Determinar el régimen de conducción y el tipo de flujo.
SOLUCIÓN
Fluido
0.4 .
0. 124508 // .
30 V 4.0 m/s
y
CÁLCULO DE RÉGIMEN DE CONDUCCIÓN (TUBERÍA O CANAL)
// 3.3.7575 32.2 5 3.3.7575 Por lo tanto:
La sección húmeda es la siguiente: El régimen por lo tanto es un régimen tubería Sabiendo que:
Por lo tanto:
. 0.0.536536 m . 6.99 m
CALCULO DEL TIPO DE FLUJO
FLUJO TURBULENTO
2. 5 0. 6 23 10. 10.6
4 125810 0. 5 36 0.40100 67428
EJERCICIO 05 Determine el rango de velocidad promedio donde el flujo estaría en la región critica, si fluyera por una tubería de 2 pulgadas, el aceite posee una gravedad especifica de 0.89.
El flujo estaría en la región critica 2300 <
SOLUCIÓN:
Sabiendo que:
< 4000
... −/ . . . / / = . − . = . − .
AL REEMPLAZAR: Para
;
Para
Por lo tanto, si 16.21 < < 28.2 pies/s, el flujo se encontrara en la región Critica
3.3. CONCLUSIONES
En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada, un aumento en el gasto conlleva a un aumento en la velocidad.
En un canal hay una superficie libre, un aumento en el gasto representa una variación en la sección.
Los problemas en canales son más complejos que los problemas de tubería.
En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de cualquier fluido (líquido o gaseoso).
La sección circular en las tuberías es la de Máxima Eficiencia Hidráulica.
3.4. BIBLIOGRAFÍA
http://biblioteca.uns.edu.pe/saladocentes/archivoz/curzoz/tuberias_manual. pdf
http://apiperu.com.pe/Presentaciones/hidraulica/8-HIDRAULICA/BLibroHidraulicadeTyC/B-htc-completo.PDF
3.5. ANEXOS 3.5.1. Canales Naturales
3.5.2. Canales Artificiales
3.5.3. Tabla Viscosidad Dinámica Dinámica del Agua
Temperatura
Viscosidad Viscosidad Viscosidad Temperatura Temperatura dinámica dinámica dinámica
°C
kg / (m·s)
°C
kg / (m·s)
°C
kg / (m·s)
0
0,001792
17
0,001081
34
0,000734
1
0,001731
18
0,001054
35
0,000720
2
0,001674
19
0,001028
36
0,000705
3
0,001620
20
0,001003
37
0,000692
4
0,001569
21
0,000979
38
0,000678
5
0,001520
22
0,000955
39
0,000666
6
0,001473
23
0,000933
40
0,000653
7
0,001429
24
0,000911
41
0,000641
8
0,001386
25
0,000891
42
0,000629
9
0,001346
26
0,000871
43
0,000618
10
0,001308
27
0,000852
44
0,000607
11
0,001271
28
0,000833
45
0,000596
12
0,001236
29
0,000815
46
0,000586
13
0,001202
30
0,000798
47
0,000576
14
0,001170
31
0,000781
48
0,000566
15
0,001139
32
0,000765
49
0,000556
16
0,001109
33
0,000749
50
0,000547
Temperatura
Viscosidad Viscosidad Viscosidad Temperatura Temperatura dinámica dinámica dinámica
°C
kg / (m·s)
°C
kg / (m·s)
°C
kg / (m·s)
51
0,000538
68
0,000416
85
0,000334
52
0,000529
69
0,000410
86
0,000330
53
0,000521
70
0,000404
87
0,000326
54
0,000512
71
0,000399
88
0,000322
55
0,000504
72
0,000394
89
0,000319
56
0,000496
73
0,000388
90
0,000315
57
0,000489
74
0,000383
91
0,000311
58
0,000481
75
0,000378
92
0,000308
59
0,000474
76
0,000373
93
0,000304
60
0,000467
77
0,000369
94
0,000301
61
0,000460
78
0,000364
95
0,000298
62
0,000453
79
0,000359
96
0,000295
63
0,000447
80
0,000355
97
0,000291
64
0,000440
81
0,000351
98
0,000288
65
0,000434
82
0,000346
99
0,000285
66
0,000428
83
0,000342
100
0,000282
67
0,000422
84
0,000338
IV. RELACIÓN ENTRE LA FUERZA DE RESISTENCIA Y LA PÉRDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN
4.1. INTRODUCCIÓN Un fenómeno de gran relevancia dentro del estudio de la mecánica de fluidos es las pérdidas de carga que se producen en el transporte de fluidos desde un punto hacia otro. Al transporte por p or tuberías se generan gener an los esfuerzos esfuer zos de corte co rte debido a la viscosidad del fluido por el esfuerzo existe roce entre el fluido y la tubería lo que se traduce en pérdidas de energía las que son de suma importancia. Estas pérdidas de carga pueden ser continuas a lo largo de una tubería de sección constante, provocadas por estrechamientos o cambios de dirección en la tubería o la presencia de accesorios como válvulas, codos, etc. Para cuantificar estas pérdidas se hace uso del concepto de pérdidas de carga proveniente de la ecuación de energía que hablaba de las pérdidas de carga como se hizo de presión entre los puntos, las medidas que se pueden obtener experimentalmente. El Tipo de flujo y los respectivos valores del factor de fricción arrojados por fórmulas serán detallados en el presente informe.
4.2. OBJETIVOS Los objetivos que se han propuesto para el presente tema son los siguientes:
4.2.1.
OBJETIVO GENERAL
Conocer el concepto general de perdida de carga.
Determinar la perdida de carga según su régimen.
Conocer métodos prácticos para determinar perdidas de carga por fricción.
4.3. MARCO TEÓRICO 4.3.1.
PÉRDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN
Son las pérdidas de superficie en el contacto del fluido con la tubería (capa limite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen laminar), o de las partículas de fluido entre sí (régimen turbulento) tienen lugar en flujo uniforme. Generadas por una resistencia de superficie.
4.3.2.
PERDIDA DE CARGAS LOCALES
Ocasionadas por piezas especiales y demás características de instalación; también se denominan localizadas o accidentales, por presentarse en puntos especiales o localizados de la conducción y se caracterizan por la caída súbita de energía por la presencia de cualquier discontinuidad dentro de la conducción. Generadas por una resistencia de forma.
4.3.3.
PERDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN: 4.3.3.1.
RESISTENCIA QUE OFRECEN LOS LÍQUIDOS AL MOVIMIENTO
Es la resistencia generada por la pared sólida al paso del fluido, en otras palabras, el rozamiento (fricción) del líquido contra las paredes del conducto origina una Fuerza Resistente o de Resistencia por
Fricción, que la designaremos como “R”.
Expresión General para la Fuerza Resistente por Fricción o de Resistencia por Fricción
,,
,,
∅ í ,
Características del conducto:
Longitud
:L
→
L
Diámetro
:D
→
L
Aspereza
:ε
→
L
Densidad
:ρ
→
ML-3
Viscosidad
:μ
→
ML-1T-1
Velocidad
:V
→
LT-1
Característica del fluido:
Aplicamos el Análisis dimensional, tomando como magnitudes fundamentales M, L y T. R
x
R
2
MLT MLT
MLT
MLT
2
2
( , , V , L, D, )
k
y
V nLDz p
k ML 3 ML 1T
kMxL 3 xMyL yT yLnT nL1
x
kM x y L
LT L
1 y
x y n 1 z p
3
1 n 1 z p
T
z p
y n
Por ser el número de incógnitas mayores al número de ecuaciones, y a fin de
hacerlo determinado; asumimos que “n” y “p”, sean valores constantes, y luego igualando exponentes: xy
1………………………. (1)
3 x y n 1 z p 1….. y n
(2)
2 ………………….. (3)
De (1), (2) y (3) se obtiene: x
y z
R
k
n
1
2 n
n p 1
n1
2n
V nLDnp1p
n V nD n p L 2 R k n Dp D p
L R kN D D
2
n r
La última expresión constituye la Ecuación general para la Fuerza Resistente por Fricción.
4.3.4.
RELACIÓN ENTRE LA FUERZA RESISTENTE Y LA PÉRDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN
Consideremos el tubo de longitud “L”, lleno de líquido (fluido incompresible),
1
2 1 1 1
sin
2
1
ℎ→→ 2 2 2 2
2
con flujo uniforme, siendo P1 y P2 las presiones medias en ambas secciones.
a) Aplicando la Ecuación de Bernoulli (Teorema) entre las secciones (1) y (2) tendremos: z1
p1
v 12 2g
z2
p2
v 22 h f 1 2g
2
Q1 Q2
Por continuidad, resulta v1
v 1 A1
→
v2 A2
, donde A
1
A2
v2
h f 12
p p z1 1 z 2 2 (i)
b) Por Equilibrio de Fuerzas que actúan sobre el fluido (en la dirección del movimiento), adoptando una convención de signos, positivo en la dirección del movimiento y negativo en caso contrario. Sean las presiones medias: p1 = Acción que ejerce el fluido que se encuentra encima de la sección (1). p2 = Reacción que ejerce el fluido que está después de S 2.
Feje 0 → P
P
1
wsen
2
P1
p1 A
P2
p 2 A
wsen
1
2
1
Dividendo entre
R
z z z z AL L L wsen A z1 z 2
R
p 1 A p 2 A A( z 1 z 2 )
A
R A
p1
p2
z1 z 2
2
p p 1 z1 2 z 2 ………….. (II) A R
De (I) y (II): h f
1 2
R
…….. (III)
A
De la expresión (III), nosotros conocemos que:
…………..
g
(1)
2
A
p
D
…………..
4
(2)
L ………….. (3) R kN D D 2
n r
Reemplazamos estas tres últimas expresiones en (III) resulta: p
L kN D D h f
2
n r
g
D
2
4
p
L h f N 3 2 ; D D g 4k
2
n r
Hagamos
4k
k'
n v nDn hf k' n D
h f
k ' g D
p
p
L 2 D3 2g
n2 v nL n2 D3n
h f
k ' g D
p
2n v nL 2n D3n
cuación General para la Pérdida de Carga por Fricción h f
k' g
D
p
2n
v nL D3n
………….. (IV)
Donde: hf
= Pérdida de carga por fricción.
k'
= Constante de proporcionalidad, número puro.
D
= Rugosidad relativa.
= Viscosidad absoluta.
= Densidad del fluido.
L = Longitud de la tubería en la cual se evalúa la pérdida de carga por fricción (hf) V = Velocidad media del escurrimiento. p = Exponente de la rugosidad. n = Exponente hidráulico de la velocidad. En el cálculo de la pérdida de carga en tuberías juegan un papel discriminante dos factores: la calidad de la superficie del tubo: lisa, transicional y rugosa y el régimen de corriente: laminar o turbulento.
4.3.5.
FORMULA DE DARCY-WEISBACH 4.3.5.1.
HENRY
PHILIBERT
GASPARD
DARCY (1803 -
1858) Fue un hidráulico un hidráulico francés. francés. Graduado como como ingeniero de Puentes y Caminos es uno de los pioneros modernos en el abastecimiento de agua potable. En 1856, publica un tratado sobre las fuentes públicas de Dijon, en el cual aparece la fórmula que desde entonces lleva su nombre. En 1857 publica otro
tratado relacionado con sus investigaciones experimentales del movimiento del agua en tuberías. 4.3.5.2.
JULIUS LUDWIG WEISBACH (1806 – 1871)
Matemático e ingeniero alemán. estudió en la Bergakademie de Freiberg entre 1822 y 1826. Tras ello, terminó su formación en la Universidad de Gotinga, donde impartía Carl Friedrich Gauss y en Viena, bajo las clases de Friedrich Mohs. Weisbach escribió un influyente tratado de mecánica para estudiantes de ingeniería, llamado Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik. La obra fue varias veces ampliada y reeditada entre 1845 y 1866. También es conocido por completar el trabajo de Darcy de Darcy sobre pérdidas de carga en tuberías para dar lugar a la ecuación la ecuación de Darcy-Weisbach. 4.3.5.3. La ecuación
de
FÓRMULA DE DARCY – WEISBACH Darcy-Weisbach Permite
el
cálculo
de
la pérdida
de
carga debida a la fricción la fricción dentro una tubería una tubería llena. La ecuación fue inicialmente una variante de la ecuación de Prony, desarrollada por el francés Henry francés Henry Darcy. En 1845 En 1845 fue refinada por Julius Julius Weisbach, de Weisbach, de Sajonia. Sajonia.
De la expresión (IV), multiplicamos numerador y denominador 2V2, resulta: p
n2 V n2Dn2 L V 2 h f 2k' D 2g n2 D p
n 2 L V 2 h f 2k' R D 2g D
h f
f
L V2 D 2g
“A fines del siglo ante pasado, experimentos realizados con tuberías de diámetro constante, demostraron que la perdida de carga es directamente proporcional el cuadrado de la velocidad media del fluido en la tubería y su longitud e inversamente
proporcional al diámetro de la misma”. Donde:
f R; D
f 2k ' R
ó
Para flujo laminar :
f N r
f
h f
1 2
2k ' N r
L V 2
64
n
N r D 2 g
f
64
L V 2
VD
D 2 g
n2
D
1 , k'
2k '
N r
p
32
y p 0
64
N r
h f
32LV gD
2
Expresión conocida como la Ecuación de Poiseuille, válida para flujo laminar exclusivamente. Para flujo turbulento:
n
Pared Lisa: Lisa: p
1. 7
n 2 r
f 2k ' N
f ( N r )
D
p
0
1.7 n 2
Pared Rugosa:
n
f
y
2
p
0
D Pared Transicional:
f N r ;
D
1.7
n
y
2
p
0
Caso General
A fin de generalizar genera lizar la fórmula de Darcy, para cualquier tipo de conducción conduc ción (tubería o canal), como asimismo para cualquier forma del conducto (rectangular, cuadrada, herradura, etc); la longitud característica de la sección hidráulica de la conducción deberá expresarse en función del radio medio hidráulico (Rm), así:
D
A
D2
Rm
A
p D
hf
hf L
f
V2
8Rm 2g
f
4 D
D 4
4Rm
L
V2
4Rm 2g
→ Rm S
f 2 V 8g
Rm S
8g f
V2 → V
8g f
Rm S
Haciendo:
V
C
8g f
C Rm S
Expresión última, que constituye la fórmula de Darcy, puesta en la forma de la fórmula de Chezy. Formula de Hagen - Poiseuille. 4.3.5.4.
GOTTHILF HEINRICH GOTTHILF HEINRICH LUDWIG HAGEN (1797 - 1884)
Fue un físico un físico alemán alemán y un ingeniero un ingeniero hidráulico. nació hidráulico. nació en Königsberg, Reino de Prussia (Hoy Kaliningrad, Rusia). Estudió en la Universidad de Königsberg. Hagen llevó a cabo en 1839 una serie de experimentos de flujos a baja velocidad y la fricción en paredes de tubos capilares, por lo que estableció la ley de flujo de Hagen que posteriormente se llamaría la ley de HagenPoiseuille. 4.3.5.5.
JEAN LÉONARD MARIE POISEUILLE (1797 - 1869)
Médico fisiólogo considerado como uno de los científicos de Francia más influyentes después de Antoine Lavoisier y Louis Pasteur. En 1838 demostró experimentalmente y formuló subsiguientemente en 1840 y 1846 el modelo matemático más conocido atribuido a él. La ley de Poiseuille, que posteriormente llevaría el nombre de otro científico (Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen) que paralelamente a él, también enunció la misma ecuación. 4.3.5.6.
FÓRMULA DE HAGEN – POISEUILLE
También conocida como ley de Hagen-Poiseuille. Después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen en 1839, es la ley que
permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible
y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo: 1
2
L
A
B
b
a
r o r
c
R
d
p1
p2
C 1
D 2
Imagen 16: Fuerza en tubo de corriente
La figura anterior, representa una tubería de radio “ro” constante en la que tomamos dos secciones transversales “1” y “2” que distan una longitud “L”. En ella se considera el cilindro coaxial con el eje de la tubería de radio “r”, en el que
actúa la fuerza “R”, debido al esfuerzo cortante que ejerce el resto del fluido por efecto de la viscosidad. Aplicando la ley de Newton tendremos: r 2 (p1 p 2 ) R
0
2 r (p1 p 2 ) 2r L
r p 2L
p
2L
dv dr
rdr rdr dv
V
p
4L
r 2 C
dv 0 dr
La constante C se determina dando las condiciones de frontera en los límites que son v = 0 cuando r = ro, por lo tanto: C
p
4L
r o2
Reemplazando la ecuación esta última expresión en la anterior, tendremos: V
p
4L
(r o2 r 2 ) ………. (a)
La ecuación anterior nos representa la ecuación de una parábola en el plano cuya velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería, o sea cuando r = 0, obteniéndose: Vmáx
P R ………. (α) 4L 2
Cálculo del Caudal para el Flujo Laminar: En la práctica es más conveniente y mucho más fácil medir la velocidad en
términos de la media, “V” que, en función de la velocidad máxima, Vmáx.; por lo que se expresará la ecuación (a) en función de la velocidad media. Así pues, el caudal elemental a través del anillo circular, será: dQ (2rdr )v (2rdr )
p
4L
(r o2 r 2 )
Integrando esta ecuación entre los límites 0 y ro se tendrá el caudal total:
p r o4 r o4 Q 2 4 2 L Q
p
8L
4 2 r o r o V
p 2 r o ………. (β) 8 L
V
En la ecuación (β) podemos reemplazar el radio r
D
P
y
2
hf
;
obteniéndose:
32VL
hf
D
2
La ecuación anterior es conocida como la ecuación de Hagen-Poiseuille. Dividiéndola y multiplicándola por 2V se tendrá: hf
hf
hf
32VL 2V 2
gD
2V
64V 2L 2VgD2
64 VD
L V 2 D 2g
L V h f N r D 2 g 2
64
“R” es el número de Reynolds y es igual a: N r
VD VD
De donde podemos concluir que el coeficiente de fricción para el caso de flujo laminar puede tomarse como:
f
64 VD
f
64
N r
Esta última ecuación se utiliza hasta: R 2300 , aclarando que otros autores, consideran 2000, como el número de Reynolds crítico inferior. e
4.3.6.
DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE CORTANTE EN UNA TUBERÍA BAJO CONDICIONES DE FLUJO PERMANENTE
De la ecuación (III)
h f
1 2
R A
h f
1 2
R A
→ R A ; A t
R
t
2rL Donde: 0 r r 0
2rL
2rL
h f
r
h f
2
2L r
h f r
2 L
Si r r 0
0
d
o
2r 0
h f r 0 2L o
h f d 4L
Expresión última que nos proporciona el esfuerzo cortante máximo en la pared de una tubería de sección circular para un flujo permanente. 4.3.6. RELACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN Y EL NÚMERO
DE REYNOLDS EN FLUJO LAMINAR Según Darcy:
o
Según Hagen Poiseuille:
hf
f
h f d 4L
32LV 2
gD
L V2 D 2g
fV
f
f
64 D
32LV 2
gD
f
64
VD 64 Re
64 DV
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJERCICIO 01 Determine la pérdida de energía si fluye glicerina a 25 °C por un tubo de 150 mm de diámetro y 30 m de longitud, a una velocidad promedio de 4.0 m/s.
SOLUCIÓN En primer lugar, hay que determinar si el flujo es laminar o turbulento por
ρVDµ ρ 1252588 kg/kg/m3m3 µ9.60×10− .151−258 786.25 4.09.600∗10
medio de la evaluación del número de Reynolds:
Siendo los valores para la glicerina a 25 °C:
Entonces, tenemos
Debido a que Re < 2300, el flujo es laminar. Con la ecuación de Darcy, obtenemos
L V h f D 2g
f N64 ff0.786.06481425 L V h f D 2g h 0,0810.3015 24.90.81 h 1313..2 m 09.6300/// 0.00404886 .. //
Siendo el factor Darcy para régimen laminar:
Finalmente, la pérdida de carga seria
EJERCICIO 02
Calcular la perdida de energía por fricción de un tramo de un tubo liso de 153 m de longitud y 0.10 m de diámetro, donde fluye aceite de peso especifico , viscosidad , si la velocidad media es
SOLUCIÓN:
El número de Reynolds es:
0×930 1172<2300 ρVDµ 0.9.60×0.8×0.100486 64 117264 0.0546 L V 3 6 h D 2g 0.0546×153×0. 0.1×19.6 1.1.535535
El flujo es laminar y necesitamos saber
La pérdida de carga por fricción es:
EJERCICIO 03
La pérdida de carga y el caudal medidos en un tramo de tubería instalada de 500 m y 200mm de diámetro son: hf = 4 m y Q = 30 l/s. La rugosidad con tubería nueva era k = 0,025 mm. Verifíquese la rugosidad.
SOLUCIÓN: Determinamos el coeficiente de fricción:
Q h 0.0827.f.L. D 40.0827.f.500. 0.00..023 f=0,0344
Número de Reynolds Re D
D V
4 Q
4 0,03
D
0,2 1,2 10
6
5
1,59 10
64 117264 0.0546
La rugosidad es:
k 3,7 D 10
1 (2 f )
k 3,7 200 101 (2
0,0344)
2,51
Re D f
1,432 mm 1,59 105 0,0344 2,51
EJERCICIO 04
1, 2 6 ° 7,45×10 . //
0.20 /
Un conducto de 4 pulgadas de diámetro lleva de glicerina , a 100 °F ¿es el flujo laminar o turbulento? D = 0.33 pies,
SOLUCIÓN:
El número de Reynolds es:
. QA 2,292 pipie/s/s ρVDµ 0.33×2.7.45×10292×1,− 94 250 252500 < 23230000
4.4.
CONCLUSIONES
Consideramos de vital importancia la perdida de carga, mediante su estudio secuencial ya que las formulas se relacionan entre sí.
Las pérdidas por fricción debido a la rugosidad de las paredes de una tubería en contacto con el fluido deben de tomarse en cuenta en el diseño de instalaciones de tuberías, ya que estas pérdidas pueden ser cuantiosas debido a la oxidación interna o al depósito de sustancias dentro del conducto.
El número de Reynolds es de vital importancia para encontrar la perdida de carga.
4.5.
BIBLIOGRAFÍA
SOTELO ÁVILA, GILBERTO – Hidráulica General (Volumen 1)
SOTELO ÁVILA, GILBERTO – Apuntes de Hidráulica II
4.6.
ARTURO ROCHA - Hidráulica de Tuberías y Canales
LINKOGRAFÍA
http://www.ingenieria.unam.mx/~deptohidraulica/publicaciones/pdf_publicaci ones/Hidraulica%20II.pdf
https://www.fing.edu.uy/imfia/imfiaweb/sites/default/files/Teo4_10_b.pdf
https://sistemamid.com/panel/uploads/biblioteca/2016-12-17_02-5621138401.PDF
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Darcy-Weisbach
https://es.wikipedia.org/wiki/Factor_de_fricci%C3%B3n_de_Darcy
UNIVER SIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
V. CAPA LÍMITE Y SUPERFICIE RUGOSA
1.1
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las fuerzas ejercidas por los fluidos en movimiento es de gran importancia en el análisis y diseño de dispositivos tales como bombas, turbinas, aviones, cohetes, hélices, barcos, cuerpos en movimiento, edificios y multitud de dispositivos hidráulicos. Las ecuaciones fundamentales de la energía no son suficientes para resolver la mayoría de estos problemas. Es decisivo el empleo de otro principio de la mecánica, el de la Cantidad de Movimiento. El antiguo estudio de un fluido dio las primeras pautas para el análisis de su comportamiento al hacer contacto con un conducto, ya sea cerrado (tuberías), o abierto (canales y placas). Pero a través del tiempo diferentes investigadores en su constante afán por acercarse a la realidad, es decir, al verdadero comportamiento de los fluidos relacionados a conductos, han logrado un avance significativo, y hoy en día podemos determinar con una mayor certeza de que manera se comporta un fluido en contacto con las paredes de un conducto. Dentro de las propiedades de los fluidos mencionaremos una que creemos es importante y básica en el estudio de estos: La Viscosidad. Todos los fluidos poseen viscosidad, en algunos se presentan con mayor intensidad, como en los aceites, y otros presentan viscosidades muy pequeñas, como el agua y el aire. La importancia de la viscosidad radica, en qué acuerdo a la intensidad con que se presente en los fluidos, afectará directamente los esfuerzos cortantes que se produzcan en estos. En Ingeniería la mayoría de los problemas de fluido que encontramos es con Números de Reynolds grandes. Sin embargo (aún para este tipo de flujo) los efectos de la viscosidad se confinan a una capa muy delgada, cercana a la pared del conducto, que se conoce como capa límite.
1.2
IMPORTANCIA
Este tema es de mucha importancia puesto que en temas anteriores hemos desarrollado fórmulas y métodos para saber el movimiento de un fluido en casos específicos, con la definición de capa límite y la rugosidad, entenderemos mejor el porqué de la pérdida de carga y variaciones de velocidad en la sección transversal de un canal o tubería.
1.3
OBJETIVOS
Conceptualizar la capa límite y rugosidad.
Definir el espesor de la capa límite.
Comprender mejor la razón de la pérdida de carga.
Analizar los diferentes tipos de tubería con respecto a su rugosidad
1.4
HISTORIA DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS
1.4.1. LUDWIG PRANDTL (Freising, 4 de febrero de 1875 – Gotinga, 15 de agosto de 1953) Fue un ingeniero y físico alemán, especializado en la teoría de la aerodinámica, la mecánica de fluidos y el comportamiento mecánico de los materiales. Prandtl realizó importantes trabajos pioneros en el campo de la aerodinámica, y durante la década de 1920 desarrolló la base matemática que da sustento a los principios fundamentales de la aerodinámica subsónica. En sus estudios identificó la capa límite, y elaboró la teoría de la línea sustentadora para alas esbeltas. El número de Prandtl, que desempeña un importante papel en el análisis de problemas de fluidos ha sido nombrado en su honor. También destacaron sus trabajos en mecánica de sólidos y estructural, en particular su contribución a la teoría de la torsión mecánica, la teoría de membranas, la capacidad portante de los terrenos y sus aplicaciones al diseño de cimentaciones, además de sus aportaciones a la teoría de la plasticidad
Imagen 1. Ludwig Prandtl en 1904 canal de prueba de fluidos
1.4.2. ALLEN HAZEN (28 de agosto de 1869 - 26 de julio de 1930) Allen Hazen fue un experto en hidráulica, control de inundaciones, purificación de agua y tratamiento de aguas residuales. Su carrera se extendió de 1888 a 1930 y es, quizás, mejor conocido por sus contribuciones a la hidráulica con la ecuación de Hazen-Williams. Hazen publicó algunas de las obras seminales sobre sedimentación y filtración. Fue presidente de la Asociación de Obras de Agua de Nueva Inglaterra y vicepresidente de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. Hazen es el más conocido por desarrollar en 1902 con Gardner S. Williams la ecuación de Hazen-Williams, que describió el flujo de agua en tuberías. En 1905, los Imagen 2. Allen Hazen dos ingenieros publicaron un libro influyente, que contenía soluciones a la ecuación de Hazen-Williams para tuberías de diámetros muy variados. La ecuación utiliza una constante derivada empíricamente para la "rugosidad" de las paredes de la tubería que se conoció como el coeficiente de Hazen-Williams. En 1908, Hazen fue nombrado por el presidente Theodore Roosevelt a un panel de expertos ingenieros para inspeccionar el progreso de la construcción en el Canal de Panamá con el presidente electo William H. Taft. Hazen se refirió específicamente a la solidez de la presa de Gatún (una estructura integral en el sistema de canales), que dijo que estaba construido con los materiales adecuados y no en peligro de fracaso.
1.4.3. GARDNER F. WILLIAMS (14 de marzo de 1842 - 22 de agosto de 1922) Fue un ingeniero y autor estadounidense de minería y el primer ingeniero de minería debidamente entrenado en Sudáfrica. Su experiencia minera comenzó con un estudio de los depósitos de sal en la isla de Carmen, frente a la costa de México, seguido por la cita como ingeniero de un sindicato en busca de oro y plata en el norte de Nevada. (Sobre este tiempo, él participó en una batalla del arma con el Apache cerca de cuál ahora es Tombstone, Arizona - las víctimas principales eran dos caballos de los hombres blancos). Luego (antes de Imagen 3. Gardner F. Williams junio de 1873) se convirtió en asistente de ensamblaje en la sucursal estadounidense en San Francisco y pasó tres años y medio como superintendente de la compañía minera Meadow Valley en Pioche, Nevada. A principios de 1875 abrió una mina de plata en Cherry Creek, y más tarde fue nombrado gerente de la Leeds Mining Company en Silver Reef, Utah. En 1879 se convirtió en el ingeniero consultor a una firma de Nueva York interesado en minería hidráulica en California y, como resultado, se convirtió en superintendente de la Spring Valley hidráulico Gold Company en Cherokee a la edad de 37. Con una carrera tan variada y con experiencia en tantas áreas de la minería, en particular la minería de cuarzo e hidráulica, no era inesperado que debería haber sido recomendado para gestionar las propiedades conocidas como La Exploración del Oro Transvaal y la Compañía de Tierra en Pilgrim's Rest, Mpumalanga, África. Dejó América en 1884 para tomar esta posición, viajando de Ciudad del Cabo en tren a De Aar y tomó el resto del viaje en coche.
1.5
MARCO TEÓRICO 1.5.1. TEORÍA DE CAPA LÍMITE
Antes de 1860, aproximadamente, el interés de la ingeniería por la mecánica de fluidos se limitaba casi exclusivamente al flujo del agua. El desarrollo de la industria química durante la última parte del siglo XIX dirigió la atención a otros líquidos y a los gases. El interés por la aerodinámica comenzó con los estudios del ingeniero aeronáutico alemán Otto Lilienthal en la última década del siglo XIX, y produjo avances importantes tras el primer vuelo con motor logrado por los inventores estadounidenses Orville y Wilbur Wright en 1903. La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida los avances en la dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwig Prandtl observó en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos. En realidad, la capa límite es un invento humano, una forma de facilitar las cosas para que sus limitadas capacidades matemáticas no se vean sobrepasadas por las complicadas ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan difíciles de resolver que los humanos sólo saben hacerlo en determinados casos muy simplificados La teoría de capa limite fue introducida por Prandlt, esta teoría establece que, para un fluido en movimiento, todas las perdidas por fricción tienen lugar en una delgada capa adyacente al contorno del solido (llamada capa limite) y que el flujo exterior a dicha capa puede considerarse como carente de viscosidad. En términos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante pequeña en casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deben ser apreciables únicamente en las regiones en donde existan grandes gradientes de velocidad; el flujo en otras regiones se podría describir con gran exactitud por medio de las ecuaciones para flujo no viscoso. Las características más sobresalientes de la capa límite pueden describirse a través del caso del flujo sobre una superficie plana y fija, sobre la que se hace incidir una corriente uniforme de velocidad. La capa límite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no
En un flujo a altos números de Reynolds los efectos de la viscosidad del fluido y la rotación se confinan en una región relativamente delgada cerca de las superficies sólidas o de las líneas de discontinuidad, tales como las estelas. Como la capa limite es delgada, se puede introducir ciertas simplificaciones en las ecuaciones del movimiento; sin embargo, es necesario retener tanto los términos de esfuerzo (viscoso), como las inerciales (aceleración). Los términos de presión pueden o no estar presentes, dependiendo de la naturaleza del flujo fuera de la capa límite. Como la verticidad del fluido de la capa limite no es cero, no existe función del potencial de velocidades para el flujo en la capa limite. La ecuación del movimiento se debe atacar directamente. Esta ecuación, aun incluyendo las simplificaciones de la capa limite, es mucho más difícil de resolver que la ecuación de flujo de potencial. Prandtl estableció las ecuaciones para el flujo en la capa límite laminar, a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, con las siguientes hipótesis: el espesor de la capa límite es pequeño en comparación con otras dimensiones geométricas, el flujo es estacionario y bidimensional, y la presión es constante a través de cualquier sección transversal.
Imagg en 4. Capa límite Ima
1.5.2. DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE La capa límite es aquella zona adyacente a un contorno sólido, en donde los efectos viscosos resultan importantes. Fuera de esta región de capa límite, el efecto viscoso es despreciable y el fluido puede considerarse como no viscoso. En forma análoga a la que sucede en un flujo a través de un conducto, el flujo en una capa límite puede ser laminar o turbulento; ello se determinará en base al valor que adquiera el número de Reynolds. En un flujo de capa límite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son importantes y como consecuencia el número de Reynolds, Re, es un parámetro adecuado para caracterizar los flujos de capa límite. La longitud característica usada en Re puede ser la longitud en la dirección del flujo sobre la cual la capa límite se desarrolla o alguna medida del espesor de la capa límite. El flujo de capa límite puede ser laminar o turbulento. En el flujo de capa límite no existe un valor único en donde ocurre la transición de laminar a turbulento. Esta transición se ve influenciada por diversos factores como son: la rugosidad de la superficie, el gradiente de presión, la transferencia de calor y perturbaciones de corriente libre. Para flujos incompresibles sobre superficies planas de rugosidad insignificante (gradiente de presión cero), en la ausencia de transferencia de calor, la transición depende parcialmente del número de Reynolds Ux/ υ, υ, donde x es la distancia hacia aguas abajo del borde de ataque. La transición ocurre en el rango Re, = 3 x 10 5 a Re, = 10 6.
Imag en 5. Detal les de la capa límite
Al exam inar la figura 2 se considerará en forma cualitativa el flujo en la capa límite sobre una placa plana. Nótese que una región laminar empieza en el borde de ataque y aumenta su espesor, como se muestra en el diagrama. Luego se alcanza una
región de transición laminar-a-turbulento donde el flujo cambia de laminar a turbulento, con engrosamiento consiguiente de la capa límite. A medida que se acerca a la frontera en la región turbulenta se suprime la turbulencia hasta que los efectos viscosos predominan, lo que conduce a formular el concepto de una subcapa viscosa. Esta región muy delgada se muestra sombreada en el diagrama. No debe tenerse la impresión de que diferentes regiones en el diagrama forman demarcaciones definidas de flujos diferentes. A pesar de que la capa límite es muy delgada, tiene un papel importante en dinámica de fluidos.
L ÍMITE 1.5.3. FORMACIÓN DE LA CAPA LÍMITE
Se supone a un tiempo , un Volumen de control, en el cual las velocidades (V) son constantes, y los efectos viscosos son despreciables. Este volumen de Control se asume formado por un infinito número de láminas delgadas, las cuales van a enfrentar a una placa plana de longitud L y ancho unitario. A un tiempo t1, cuando una de las láminas hace contacto con la placa plana, la velocidad en el punto de contacto es cero, y de la misma manera a lo largo de toda la superficie de la placa, esto a causa de la adherencia del líquido a la placa, y a la rugosidad que presenta la superficie de la placa, la cual no es apreciable a simple vista. Esta disminución brusca de la velocidad produce un frenado en las láminas inmediatamente superiores a la primera, las cuales disminuyen su velocidad inicial (V). El mencionado frenado de las láminas, se debe a los esfuerzos cortantes ( ) que se producen entre las láminas cercanas a la placa, esto a causa de la viscosidad de fluido. Los esfuerzos cortantes son mayores cerca de la placa y nulos fuera de la Capa Límite. En los tiempos y , a medida que el volumen de control va recorriendo la placa plana, los mencionados esfuerzos cortantes, así como las disminuciones de velocidad (V) se hacen más notables.
Capa Límite
Imagen Imag en 6. Formaci F ormación ón de la la capa límite
1.5.4. ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE
El espesor de capa límite, δ, se define como la distancia perpendicular a la superficie, desde ésta hasta el punto donde la velocidad del flujo es igual al 99 % de la velocidad de corriente libre (0.99U ( 0.99U ). ).
Imagg en 7. Espesor de la capa límite Ima
1.5.5. SUBCAPA LAMINAR Es el lugar geométrico que ocupan todas las partículas fluidas en una zona adyacente a un contorno sólido dentro de una capa límite turbulento en donde los efectos viscosos son importantes. A pesar de estar en la Capa Límite turbulenta, la Subcapa Laminar se denomina así, por tener, movimiento laminar. Cabe señalar que la Subcapa laminar tiene su origen en donde el régimen de flujo dentro de la capa límite es transicional.
¿Por qué se forma la Subcapa Laminar? La Subcapa Laminar se forma debido a la rugosidad que tienen las paredes de un conducto, las cuales originan dentro de la capa límite con régimen turbulento una disminución de velocidad cerca de la superficie del conducto, de pared lisa. Esto quiere decir que se desarrolla una lámina muy delgada y estable de flujo, dentro de ésta el flujo se mantiene laminar. La importancia de esta Subcapa Laminar la veremos junto al concepto de Rugosidad superficial.
Imagen 8. Formación de la subcapa laminar
1.5.6. TRANSICIÓN EN LA CAPA LÍMITE
Ima g e n 9. Ca pa lími te en una pla ca pla na La tran sición de régimen laminar a régimen turbulento en el flujo dentro de la capa límite depende del número de Reynolds definido como:
donde:
ρ = densidad del fluido, U = velocidad de la corriente libre, x = distancia al borde de ataque,
μ = viscosidad dinámica. dinámica. •Zona de Transición comienza Re x ~ 105 •La capa límite comienza a ser turbulenta para Re x ~ 3 105
1.5.7. PERFILES DE VELOCIDAD EN LA CAPA LÍMITE
gen 10. Movimiento Laminar Laminar • Movimiento Uniforme y Regular.
Ima Imagen 11. Movimiento Turbulento Turbulento •Movimiento irregular y no estacionario.
•Mezclado importante e ntre Las distintas capas
1.5.8. CONCEPTO DE SUPERFICIE RUGOSA El concepto de la existencia de una Subcapa laminar en la capa límite turbulenta, ofrece una explicación del comportamiento de la rugosidad superficial. En realidad, no existe una superficie perfectamente lisa: cualquier superficie examinada por un buen microscopio, muestra una cierta rugosidad. Es en este punto de análisis, en donde relacionamos a la Subcapa laminar con la rugosidad superficial de un conducto. Se dice que una superficie es Hidráulicamente lisa, cuando las asperezas que caracterizan la rugosidad de las paredes del conducto no se proyectan más allá de la Subcapa laminar. Cuando las superficies son rugosas, de tal forma que presentan protuberancias que sobrepasan la película laminar que se proyectan en la zona turbulenta, ellas provocan un aumento de ésta, dando como resultado una pérdida más elevada para el flujo, en este caso la superficie es considerada como Hidráulicamente Rugosa o simplemente Rugosa. Por consiguiente, el espaciamiento longitudinal λ de los elementos de rugosidad es la dimensión de rugosidad de mayor importancia del flujo en conductos
rugosos. Bajo este concepto, el flujo sobre superficies rugosas puede clasificarse en tres tipos básicos: Flujo con Rugosidad Aislada, Flujo con Interferencia de Remolinos y Flujo Cuasi-Liso (o flujo suavizado).
1.5.9. FLUJO CON RUGOSIDAD AISLADA Prevalece cuando los elementos de rugosidad están muy apartados uno del otro, de tal modo que la estela y la vorticidad de cada elemento está completamente desarrollada y disipada antes de que se alcance el siguiente elemento. La rugosidad aparente se encuentra representada principalmente por la altura de la proyección K del elemento.
/
En este tipo de flujo, la relación puede tomarse como un parámetro de correlación significativo que influye el factor de fricción aparente en el flujo.
Imagen 12. Flujo con rugosidad aislada
1.5.10. FLUJO CON INTERFERENCIA DE REMOLINOS Resulta cuando los elementos rugosidad están colocados tan cerca unos de otro que las estelas y la verticidad de cada elemento interfieren con aquellos desarrollados en el siguiente elemento. En tal flujo, la altura del elemento es poco importante, pero el espaciamiento es obviamente de gran importancia. Por consiguiente, la relación ,será un parámetro de correlación importante.
/
Imagen 13. Flujo con interferencia de remolinos
1.5.11. FLUJO CUASI-LISO Ocurre cuando los elementos de rugosidad están tan cerca uno de otro que el flujo esencialmente se desliza por encima de la cresta de los elementos. Las ranuras entre los elementos se llenarán con agua muerta, la cual contiene remolinos estables creando una pseudo pared. Proyecciones grandes de la rugosidad no existe en la pseudo pared y la superficie actúa como hidráulicamente lisa. El flujo Cuasi-Liso tiene un factor de fricción más grande que el flujo sobre una superficie realmente lisa, debido a que los remolinos en la ranura consumen cierta cantidad de energía.
Imagen 14. Flujo cuasi-liso
1.5.12. CONCEPTOS GENERALES EN LAS PAREDES DE LOS TUBOS: 1.1.1.1 RUGOSIDAD La industria de los materiales y la técnica de fabricación de los tubos han evolucionado notoriamente; la superficie interna de los tubos se presenta más homogénea y más favorable al flujo ya que han evolucionado los procesos de revestimiento. Por otro lado, se define mejor las características de las aguas que van a circular, el fenómeno de la corrosión vino a conocerte mejor y ya se controla la agresividad de las aguas, ya que estudios han demostrado que la rugosidad aumenta con el tiempo en tuberías expuestas a corrosión, en los casos de tubos de acero galvanizado, estos no ocurre con las tuberías de PVC ya que se ha demostrado que el ataque de algas, hongos, bacterias, etc. carece de importancia por no haber material nutriente en el PVC.
Cuando la superficie de la pared de un conducto se amplifica, observamos que está formada por irregularidades o asperezas de diferentes alturas y con distribución irregular o aleatoria.
amplifica las paredes de un conjunto. Imagen 15. Irregularidades cuando se amplifica Dicha característica es difícil de definir científicamente, pues depende de factores como la altura media de las irregularidades de la superficie a forma y distribución geométrica, la distancia entre dos irregularidades vecinas, etc. de las irregularidades de la superficie. Imagen 16. Altura media de
Imagen 17. Forma y distribución geométrica.
La irregularidad puede expresarse por la altura media ε de las asperezas (Rugosidad absoluta), como un promedio obtenido del resultado de un cálculo con las características de un flujo, mas no propiamente por el obtenido como la media
de las alturas determinadas físicamente de la pared, en cada conducción.
Imagen 18. Expresiones de las irregularidades. Existen tubos como los de asbesto-cemento, cuya rugosidad es de forma ondulada y que se comporta hidráulicamente como si fueran tubos lisos (vidrio o plástico).
Imagen 19. Rugosidad de forma ondulada. 1.5.13. EFECTOS DEL TIEMPO EN LA RUGOSIDAD DE LAS TUBERÍAS
En el interior de los tubos comerciales existen protuberancias o irregularidades de diferente formas y tamaños cuyo valor medio se conoce como rugosidad absoluta (ε), y que puede definirse como la variación media del radio interno de la tubería. Con el transcurso del tiempo, las tuberías suelen disminuir su rendimiento (reflejado en algunos parámetros como caudal específico, nivel dinámico, otros).
Cuando las causas son inherentes a la tubería, éstas suelen ser procesos químicos, físicos y biológicos. Se dice que, con el transcurso del tiempo, por acción de procesos naturales y artificiales, se produce un envejecimiento de toda la estructura, como proceso natural, cuando se desarrollan varios fenómenos por medio de algunos procesos interrelacionados ocasionando anomalías respecto al estado inicial. Los procesos físicos, químicos y biológicos que forman parte del concepto de envejecimiento de una tubería de agua y que a la vez son la causa más importante del mencionado envejecimiento son:
1.1.1.1 CORROSIÓN BIÓTICA Chantereau definió la corrosión bacteriana o biológica como todo fenómeno de destrucción, en el cual estos microorganismos, ya sea que actúen directamente o por medio de las instancias provenientes de su metabolismo, desempeñan un papel importante al acelerar un proceso ya establecido, o al crear las condiciones favorables para que se produzca dicho fenómeno.
1.1.1.1 INCRUSTACIÓN BIÓTICA Las incrustaciones bióticas están causadas por la acumulación de materiales sobre la superficie sólida de la tubería en un medio acuoso debido a las actividades de microorganismos. La película biótica resultante puede incluir una mezcla de microbios, sustancias poliméricas extracelulares y precipitaciones inorgánicas.
1.1.1.1 NATURALEZA
DE
LAS
PAREDES
DE
LOS
TUBOS:
RUGOSIDAD Para el análisis de la naturaleza o rugosidad de las paredes deben considerarse:
Material empleado en la fabricación de los tubos.
Proceso de fabricación de los tubos.
Extensión de los tubos y número de juntas.
Técnica de asentamiento.
Estado de conservación de las paredes de los tubos.
Existencia de revestimientos especiales.
Empleo de medidas protectoras durante el funcionamiento.
Así, por ejemplo, un tubo de vidrio evidentemente es más liso y ofrece condiciones más favorables al flujo que un tubo de un fierro fundido. Una tubería de acero remachado opone mayor resistencia al flujo que una tubería de acero soldado. Por otro lado, los tubos de fierro fundido, por ejemplo, cuando nuevos ofrecen menor resistencia al escurrimiento que cuando han sido usados. Por otra parte, los tubos de PVC tienen baja rugosidad interna que no facilita la adherencia de solutos, manteniendo un buen coeficiente de fricción en el tiempo de servicio. Otro fenómeno que puede ocurrir en la tubería es la disposición progresiva de sustancias contenidas en las aguas y la formación de capas adherentesincrustaciones que reducen el diámetro útil de los tubos y aceleran la rugosidad. Imagen 20. Formación de capas adherentes en tuberías.
1.1.1.1 INFLUENCIA EN EL DESGASTE DE LOS TUBOS Con el correr del tiempo, la capacidad de transporte de agua en las tuberías de fierro fundido y acero (sin revestimientos especiales) va disminuyendo. Por otra parte, estudios han demostrado que la rugosidad aumenta con el tiempo en tuberías expuesta a corrosión, en el caso de tubos de acero galvanizado. Tal fue el reporte hecho por Ippen, quien, por observaciones hechas en tuberías de acero galvanizado, encontró que el valor de ε era el doble después de 3 años como resultado de un uso moderado. Por su parte Freeman determinó que para tuberías muy viejas se tenía valores de rugosidad de 20 a 60 veces que los obtenidos por Nikuradse en una tubería nueva.
TIPO DE TUBO
ε(m)
Nuevo de hierro dulce, de 2 pulgadas.
0.000042
De hierro dulce y viejo, de 2 pulgadas.
0.0009
Nuevo de hierro dulce, de 3 pulgadas.
0.000046
De hierro dulce, ligeramente mohoso, de 3 pulgadas.
0.00013
Nuevo de hierro dulce, de 4 pulgadas.
0.00094
Viejo, de hierro dulce, mohoso, de 4 pulgadas.
0.000049
Tabla 1. Rugosidad de los Tubos Ensayos y verificaciones hechas en líneas de fierro fundido, muy bien ejecutadas e jecutadas y en las cuales fueron empleados tubos de buena calidad, mostraron que, para el inicio del funcionamiento, el coeficiente C para la ecuación de Hazen Williams, adquiere valores alrededor de 140. Poco después este valor cae a 130 y con el correr del tiempo pasa a valores cada vez más bajos.
VALOR DEL COEFICIENTE C TIPO DE TUBO Acero corrugado Acero con uniones Acero galvanizado (nuevos y en uso) Acero remachado (nuevos) Acero remachado, en uso Acero soldado con revestimiento Plomo Asbesto-cemento Cobre Concreto, buena terminación Concreta terminación común Fierro fundido, nuevos Fierro fundido, en uso Vidrio Plástico
C 60 130 125 110 85 130 130 140 130 130 120 130 90 140 140
ELECCIÓN POR CRITERIO DEL COEFICIENTE C La fórmula de Hazen Williams, siendo una de las más perfectas, requiere para su aplicación provechosa el mayor cuidado en la adopción del coeficiente C.
Para tubos de fierro y acero, el coeficiente C es una función del tiempo, de modo que su valor debe ser fijado teniéndose en cuenta la vida útil que se espera para la tubería. Para determinaciones rápidas, los estadounidenses generalmente utilizan C=100, para tubos de fierro fundido. Tal valor corresponde en promedio a un periodo comprendido entre 15 y 20 años. En América Latina no se hace la limpieza o sustitución de las tuberías en un periodo tan corto, razón por la cual, si fuese establecido un coeficiente medio para el empleo corriente del país, su valor debería ser inferior a 100 (90 por ejemplo).
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA MATERIAL K(m) Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero 1.5*10−5 nuevo con superficie pintada, plástico, etc.) Fierro forjado 4.5*10−5 Acero rolado nuevo 5*10−5 Acero laminado nuevo 4*10−5−10−4 Fierro fundido nuevo 2.5 10−4 Fierro galvanizado 1.5 10−4 Fierro fundido asfaltado 1.2 10−4 Fierro fundido oxidado 1*10−3−1.5 10−3 Acero remachado 0.9*10−4−1.5 10−3 Asbesto cemento nuevo 2.5 10−5 Concreto centrifugado nuevo 1.6 10−4 Concreto muy bien terminado, a mano 10−5 Concreto liso 2.5 10−5 Concreto bien acabado, usado 2*10−4−3 10−4 Concreto sin acabado, especial 1*10−3−3 10−3 Concreto rugoso 10−2 Duelas de madera 1.8*10−4−9 10−4
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Imagen 23. Tubos hechos de diferentes tipos de materiales
1.5.14. ECUACIONES DE VELOCIDAD MEDIA LEY UNIVERSAL DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES, TANTO PARA CANALES COMO PARA TUBERIAS
´ ´
V ∗ ln
Donde dependerá de la fuerza de la tubería, es decir si es hidráulicamente dependerá lisa o rugosa. Luego calculamos el valor
´ ´
tanto para superficies lisas o rugosas tanto
A)
´ ´
B) ´´
PARA SUPERFICIES RUGOSAS: PARA
´
∗ ln3030 PARA SUPERFICIES LISAS: PARA
∗ ln CALCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA (FLUJO TURBULENTO) 1. CANAL DE GRAN ANCHURA: ANCHURA: a) DE SUPERFICIE LISA b) DE SUPERFICIE RUGOSA
2. TUBERIAS: a) DE SUPERFICIE LISA b) DE SUPERFICIE RUGOSA
1.a) CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA EN UN CANAL DE GRAN ANCHURA DE SUPERFICIE LISA
Definiremos un canal muy ancho o de gran anchura b≥10h
dQVdA Vbdy V Vx∗ ln 104yδ Q Vx∗ ln 104yδ bdy V b ∗ Q X ln 104yδ dy Iln 104yδ dy ∗ ln104 ∫ dy ∫ lnydy ln δ ∫ dy I yln10n 104 ylnyn y y ylnδn δ/ δh II hllnn10n1041 104 hlnh nhhδhhl hlnδ nnδh lδlnδn10n 104 δ Distribución de velocidades para superficie lisa
Desarrollando tenemos:
+
-
δorden de la subcapa laminar se desprecio por ser
pequeña comparada con con ¨hh¨ I ln104 lneh hln δ Ihln38.3 hδ Q VX∗b hln38.3 hδ
Luego:
VELOCIDAD MEDIA:
V AQ ̅ ∗.... V Vx∗ ln38.3 hδ V Vx∗ ln38.3 Rδ
* Para un canal de gran anchura
1.b) CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA EN UN CANAL DE GRAN ANCHURA DE SUPERFICIE RUGOSA
Donde:
V ∗ ln y dAbdy y
dQVdA
AQ V Q VdA Vx∗ ln 15a ybdy Q Vx∗ bhln5.5 ha V h ∗ bhl n 5 . 5 V x bh 2 V Vx∗ ln5.5 ha V Vx∗ ln5.5 Ra
Resolviendo la integral, tendremos:
Luego;
entonces:
Expresión de la velocidad media en flujo turbulento para un canal muy ancho de superficie rugosa.
2.a) CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA EN TUBERÍAS DE SUPERFICIE LISA
dQVdA V ∗ ln y dA2πr ydydy QA V Q VdA Vx∗ ln 104δ 2ππr ydy δ → 0cero → r Qπr Vx∗ ln104r1e04rδ r 2R;2R; R radidira o medidime o hidraululico Qπr Vx∗ ln46.46.δ4R
Donde:
y
orden de la subcapa laminar (se desprecia por ser pequeña comparada con ). Integrando o resolviendo la integral, tendremos:
Luego;
46. 4 6. 4 R πr v l n ∗/ V πr δ V VK∗ ln46.46.2δ4r R r2 V Vx∗ ln46.46.δ4R
Expresión para la velocidad media en flujo turbulento para tuberías de superficie lisa.
2.b) CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA EN TUBERÍAS DE SUPERFICIE RUGOSA.
dQVdA V ∗ ln y dA2πr ydydy V Aπr Q VdA Vx∗ ln15y15ya 2ππr ydy Qπr VK∗ ln6.6.2a7r
Donde:
;
;
Para flujo turbulento, todo es turbulento en “superficie rugosa” Luego:
V
Qπr Vx∗ ln6.6.a7R V VK∗ ln6.6.2a7r V Vx∗ ln6.6.a7R
Expresión para la velocidad media en flujo turbulento, para tuberías de superficie rugosa.
Resumen:
Canales lisos:
Canales rugosos:
Tuberías lisas:
Tuberías rugosas:
Para superficies lisas:
V ∗∗ ln38.3 V ∗ln5...5 V ∗ ln.. V ln ̅ ∗ ln42 42≅42 ≅ 12 38.38.346.4
Velocidad media para conductos lisos, ya sea canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia.
Para superficies rugosas:
V Vx∗ ln6 Ra 6 ≅ 12 5.5.56.7
Velocidad media para conductos rugosos, ya sea canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia.
Agrupando en una sola fórmula, tendremos:
̅ ∗ ln 6 7
acero acero 0 ; e s t a mos en l a f ó r m ul a de s u per f i c i e s l i s a s . δcero0;estamos en la fórmula de superficies rugosas.
NOTA: el denominador del logaritmo natural “ ” no es una operación algebraica sino una adopción, como simplificación de las fórmulas anteriores. Cuando:
VI.
PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO
TURBULENTO
6.1. INTRODUCCIÓN
El flujo de un líquido en una tubería viene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos de energía por unidad de peso de fluido circulante, que se denomina pérdida de carga y que tiene dimensiones de longitud. La pérdida de carga está relacionada con otras variables fluido-dinámicas según el tipo de flujo, laminar o turbulento. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de los conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en puntos concretos como codos, ramificaciones, válvulas, etc. En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de NavierStokes. No obstante, experimentalmente se puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad son aproximadamente cuadrática, lo que lleva a la ecuación de Darcy-Weisbach.
6.2.
OBJETIVOS
Presentar las fórmulas fórmulas exponenciales de Schoder en tuberías tuberías de acuerdo al grado de rugosidad de estas.
Fórmula de Scobey en diferentes tipos de tuberías.
Estudiar en forma detallada las pérdidas de carga lineal en conductos cerrados circulares, que relacionan los coeficientes de perdidas “f” en función de la fórmula de Hazen Williams.
Determinar la variación de las pérdidas de cargas con el caudal. caudal.
Saber utilizar correctamente las fórmulas de hacen Williams, ya que esta presenta limitaciones a la hora del diseño de tuberías.
Determinar la Carga de Presión disponible en algún algún punto del Sistema Sistema de Abastecimiento de agua con la fórmula de Hazen Williams.
6.3.
PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO TURBULENTO 6.3.1. PÉRDIDA DE CARGA
Es la pérdida de energía que se produce en un fluido un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce.
Imagen 23. Pérdida de carga
EXPRESIÓN GENERAL DE PÉRDIDA DE CARGA
− − ℎ L −
Donde: h f
= Pérdida de carga por fricción.
k'
= Constante de proporcionalidad, número puro.
D
= Rugosidad relativa.
= Viscosidad absoluta.
= Densidad del fluido.
L
= Longitud de la tubería en la cual se evalúa hf
V
= Velocidad media del escurrimiento.
p
= Exponente de la rugosidad.
n
= Exponente hidráulico de la velocidad.
FLUJO TURBULENTOSe llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos periódicos. Imagen 24. Flujo Turbulento
Para estudiar el problema de las pérdidas de cargas en flujos turbulentos es necesario volver a la clasificación inicial de los fluidos y considerar las grandes diferencias entre los flujos laminares y flujos turbulentos. Para el caso de conductos cilíndrico a presión, el número de Reynolds se define:
V: velocidad media D: diámetro
: viscosidad cinemática del fluido
Para flujo turbulento Re > 4000 6.3.2. ANÁLISIS DE LA FORMULA FORMULA GENERAL DE PERDIDA PERDIDA DE CARGA La ecuación general de perdida de carga, así como la ecuación de Darcy se utiliza para calcular la pérdida de energía debido a la fricción en secciones rectilíneas y largas de tubos redondos, tanto para flujo laminar como turbulento. La diferencia entre los dos flujos está en la evaluación del factor de fricción. 6.3.2.1.
EN FLUJO TURBULENTO
Cuando hay flujos turbulentos en tuberías es más conveniente usar la ecuación de Darcy o también la ecuación general de perdida de energía para calcular la perdida debido a la fricción. El flujo turbulento es de comportamiento caótico y varia en forma constante. Por tanto, partiendo de la ecuación de Darcy, las pruebas han demostrado que coeficiente de rozamiento f depende de otras dos cantidades adimensionales.
El número de Reynolds Re
Rugosidad relativa de la tubería
Imag en 25. Rugo sidad es en una tuberí a para flujo
turbulento
PARA FLUJOS TURBULENTOS Los valores de:
p
= Exponente de la rugosidad.
n
= Exponente hidráulico de la velocidad 1.7 n 2
− ℎ − Pared Lisa: n 1.7
p
0
Pared Rugosa: n
2
p
0
FACTOR DE FRICCIÓN EN FUNCIÓN DE NUMERO DE REYNOLDS Y LA ROGUSIDAD RELATIVA TUBERIAS
INTRODUCCIÓN
El concepto de Factor de Fricción radica en que toda tubería tendrá rugosidad y un tipo de flujo, en otras palabras, dependerá principalmente de esas dos cosas. La rugosidad por más imperceptible que sea siempre estará presente.
,
El problema en este tema es como llegar a él, pues con este dato se pueden calcular muchos otros factores he ahí su importancia, desde no hace poco con el paso de tiempo se han podido concluir muchas fórmulas puesto que es un proceso muy enmarañado y como se dijo imperceptible pero que influye mucho en este curso que es Mecánica de Fluidos Si bien sabemos la tecnología ha avanzado a pasos grandes, ya existen equipos sofisticado para poder calcular cada detalle que pueda sufrir una tubería, o también desarrollar procedimientos que antes se era difícil; y era difícil puesto que antes no se contaba con dicha tecnología por lo que se recurría a métodos directos, resultados aproximados que hoy en día los vemos como algo básico. A continuación, se presentarán casos, el desarrollo del tema, los diferentes métodos y problemas tipo que siempre se tendrán presente en la Ingeniería.
IMPORTANCIA El concepto de Factor de Fricción radica en que es un parámetro adimensional que se utiliza en la dinámica de fluidos para calcular la perdida de carga en una tubería debido a la fricción, característica que siempre estará presente, llegar a él conlleva muchos cálculos, pero sin su conocimiento no podremos avanzar ni concluir otras incógnitas. OBJETIVOS Conocer los diferentes procedimientos para llegar al valor del Factor de Fricción, en diferentes regímenes como lo es en el flujo laminar, turbulento y dentro de este el liso rugoso y transicional. Desarrollar tres tipos de problemas que siempre se darán en la vida real, como por ejemplo obtener el valor del Diámetro, Caudal y la Perdida de Carga.
6.4.
FACTOR DE FRICCIÓN EN FUNCIÓN DE NÚMERO DE REYNOLDS Y LA ROGUSIDAD RELATIVA
6.5.
TUBERÍAS
Las tuberías son elementos de diferentes materiales que cumplen la función de permitir el transporte el agua u otros fluidos en forma eficiente. Cuando el líquido transportado es petróleo, se utiliza la denominación específica de oleoducto. Cuando el fluido transportado es gas, se utiliza la denominación específica de gasoducto.
Imagen 27. Gaseoducto- Transporte de petróleo
6.6.
FRICCIÓN
Es la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento. Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto.
Se relaciona con la caída de presión y las pérdidas de carga durante el flujo. Puede ocurrir debido a la forma o a la superficie y es función de las propiedades del fluido: viscosidad, la velocidad de circulación, diámetro de la tubería y la rugosidad.
Imagen 28. Rugosidad de un material a escala grande
6.7.
NÚMERO DE REYNOLDS
El número de Reynolds se puede definir como la relación entre las fuerzas inerciales (o convectivas, dependiendo del autor) y las fuerzas viscosas presentes en un fluido. El número de Reynolds (Re) es un parámetro adimensional cuyo valor indica si el flujo sigue un modelo laminar o turbulento. El número de Reynolds depende de la velocidad del fluido, del diámetro de tubería, o diámetro equivalente si la conducción no es circular, y de la viscosidad cinemática o en su defecto densidad y viscosidad dinámica. En una tubería circular se considera:
• Re < 2300 El flujo sigue un comportamiento laminar. • 2300 < Re < 4000 Zona de transición de laminar a turbulento. • Re > 4000 El fluido es turbulento.
Imagen 29. Tipos de Flujos 6.8.
FACTOR DE FRICCIÓN
Factor de Fricción de Fanning ( ) Es una función del Número de Reynolds ( )y la Rugosidad de la superficie interna de la tubería. Esta función expresa la relación entre la pérdida de cantidad de movimiento y la carga de energía cinética.
= ( , ). 6.9.
EXPERIENCIAS DE NIKURADSE
Valor del coeficiente de fricción según el régimen de funcionamiento. Como ya comentamos al hablar de las rugosidades absoluta y relativa, Nikuradse, discípulo de Prandtl, experimentó con tubos de rugosidad artificial conocida, creada por él mismo pegando en el interior de un tubo liso (de vidrio) arenas tamizadas, es decir, de diámetro conocido, con lo que la rugosidad artificial de estos “tubos arenisca” era conocida.
Imagen 30. Esquematización del procedimiento que utilizó Nikuradse
Variando los caudales que circulaban por estos tubos obtuvo un diagrama en el que se relacionan los valores de ε/D y Re con los hallados para f. También
experimentó con tubos lisos. Los resultados de estas experiencias aparecen representados en el diagrama logarítmico típico, conocido como ábaco o diag rama de Moody .
El diagrama de Moody (1944), permite determinar el valor del factor de fricción f a partir de R e y ε/D de forma directa. Es una representación log – log del factor de fricción f frente al R e, tomando como parámetro ε/D. Se distinguen cinco zonas, correspondientes a los distintos regímenes hidráulicos, correspondiendo al coeficiente de fricción f valores diferentes en cada caso.
Fig. N°6 Diagrama de Moody
Imagen 31. Diagrama de Moody 6.10. FACTOR DE FRICCIÓN EN DIFERENTES REGÍMENES 6.10.1.
FACTOR DE FRICCIÓN PARA RÉGIMEN LAMINAR
Régimen laminar Para régimen laminar (Re < 2300), donde Re es el número de Reynolds, el factor de fricción se calcula como:
=
En régimen laminar, el factor de fricción es independiente de la rugosidad relativa y depende únicamente del número de Reynolds.
6.10.2.
FACTOR DE FRICCIÓN EN FLUJOS TURBULENTOS 6.10.2.1. TUBOS DE PARED LISA Ima gen 32. La visc osid ad afect a al
Subcamada viscosa
Factor de Fricción en tubos pared Lisa A partir de los resultados acumulados hasta 1913 Blasius llego a la conclusión de que existen dos tipos de fricción para el flujo turbulento en tubos. El primero asociado en tubos lisos, donde el factor de fricción depende únicamente del número de Reynolds. El segundo tipo se refiere a tubos rugosos donde el efecto de la viscosidad y de rugosidad influyen en el flujo, y además el factor de ficción depende del número de Reynolds y la rugosidad relativa. En base a sus propias experiencias Blasius formulo la siguiente expresión para tubos lisos:
.. Las contribuciones más importantes la realizo Nikurase, en Gotinga alrededor de 1920, quien obtuvo resultados de valores de fricción y numero de Reynolds en tubos lisos, con N° de Reynolds que llegaban hasta 3 106, obteniendo la siguiente expresión:
1 2 0.8 1 2 2.5 1
Demostración: Se sabe:
VELOCIADAD MEDIA PARA UNA TUBERÍA HIDRULICAMENTE LISA
∗ 46,4 11.6 ∗
Siendo
Sustituimos el valor en la ecuación y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo:
∗ ∗
(1)
∗ ∗ √ √ ∗ √ √ ∗
Necesitamos ahora una relación entre siguientes ecuaciones:
Dividiendo:
Ahora el coeficiente de fricción:
y
, para ello combinamos las
Reemplazando se llega a:
88 ∗ 8
Reemplazamos esta última expresión en (1):
1 √ √ 188 √ √ 88 1 2.2.0303 0.92
Efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones:
Y ajustando los coeficientes para valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega finalmente a:
1 2 0.8
6.10.2.2. TUBOS DE PARED RUGOSA Imagen 33. Rugosidades en los tubos a escalas pequeñas
Experimento de Nikuradse Nikuradse trabajo con tubos rugosos artificiales creados por él mismo, pegando en el interior de un tubo liso (de vidrio) arenas tamizadas, es decir, de diámetro conocido, con lo que la rugosidad artificial de estos “tubos arenisca” era conocida. Variando los caudales que circulaban por estos tubos obtuvo un diagrama en el que se relacionan los valores de ε/D y Re con los hallados para f.
Una combinación juiciosa de y D le permitieron establecer seis valores para Re que van de 1/30 hasta 1/1014.
1 2 2 1.74 1 2 3.71 Demostración: Partimos de:
∗ 13.4 Remplazamos la expresión:
En donde:
∗ 8 1 2.2.0303 3.35
Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse
1 2 3.71 ,
Los resultados de Nikuradse comprueban la valides de la ecuación
Corroborando los siguientes puntos:
Dentro del intervalo intervalo Re <2300, el factor de fricción para flujo laminar depende exclusivamente del número de Reynolds y no de la rugosidad del tubo. Una tubería con un valor determinado de rugosidad relativa, se comporta como hidráulicamente lisa hasta un determinado valor De N° de Reynolds. Se observa en el grafico que a medida que la tubería es relativamente más lisa, requiere un número de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a tuberías lisas.
Al aumentar el número de Reynolds y/o rugosidad, aparece una zona en la que el coeficiente es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. Es la transición. Para valores altos de numero de Reynolds Reynolds el coeficiente es función
exclusiva de la rugosidad relativa.
Imagen 34. Gráfico de Nikuradse Para valores altos de numero de Reynolds el coeficiente es función exclusiva de la rugosidad relativa.
Flujos turbulentos en tubos comerciales La evidencia experimental obtenida por Nikurase proporcionó información que Prandt Von Karmán necesitaron para apoyar y completar las fórmulas teóricas que definen el flujo turbulento en tubos lisos y rugosos. Sim embargo el valor practico directo de los resultados experimentales de Nikurase tuvo algunas limitaciones debido a que era difícil correlacionar la rugosidad artificial uniforme con el tipo irregular y ondulado de las tuberías comerciales. Con el fin de comprobar los resultados en tuberías comerciales, muchos investigadores hicieron estudios posteriores a los de Nikurase y aceptaron el concepto de rugosidad media, usado por este, la cual determinaron por un proceso inverso, es decir una vez que determinaron experimentalmente la perdida por fricción en una tubería de características hidráulicas y geométricas conocidas determinaron el coeficiente de fricción con la fórmula de Darcy –Weisbach y obtuvieron el valor de para números grandes de Reynolds.
ε
Colebrook y White, comprobaron los mismos resultados de Nikurase para la zona laminar y turbulenta lo cual permite extender la valides de las ecuaciones de Nikurase para tubos comerciales.
Ima gen 35. Tub ería s com erci ales
TU BO
S D E P A R E D TR A NS IC IONA IO NA L Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno. Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría desarrollarse. Con el grafico de Nikuradse se ve claramente que las tuberías más lisas requieren de un numero de Reynolds mayor para apartarse del a ecuación general de las tuberías lisas. Podríamos, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor de k / . En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que uso Nikuradse, el fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar. Los valores de f en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por medio de la fórmula de Coolebrook y White. Sabemos que en:
Tubería Tuberíass R ug osas
Tubería Tuberíass Lis as
2log . 2log .
Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook White.
1 2log 3.71 2.5 1 6.11. OTRAS FORMAS FORMAS DE EXPRESAR EL FACTOR DE FRICCIÓN FRICCIÓN
6.11.1.
6.11.2.
P.K. SWAMEE Y A.K. JAIN (1976)
f log3.7Dε10.⁄25 Re5.7.4 10− ≤ ≤ 10− 5∗10 ≤ ≤ 10
PAVLOV (1981)
K.F. Pavlov, P. G. Romankov y A. A. Noskov. Problemas y ejemplos para el curso de operaciones básicas y aparatos en tecnología Química. Editorial Mir, Moscú 1976.
− . ⁄ ε D 6. 8 1 f2log3.71 Re εD ≤0.05 2∗10 ≤ R ≤ 10
6.11.3.
GUERRERO (1976)
Guerrero O. (1995). Ecuación Modificada de Colebrook-White. Revista Ingeniería Hidráulica de México, Vol. X, pp. 43-48, enero-abril.
• Donde:
⁄
log3.⁄70.125
: rugosidad relativa del tubo
G y T: parámetros de ajuste.
G=4.555
T=0.8764
para 4000≤Re≤10 5
G=6.732
T=0.9104
para 105≤Re≤3x10 6
G=8.982
T=0.93
para 3x106≤Re≤10 8
6.11.4.
S.E. HAALAND (1983)
− . ⁄ 6. 9 {1.8logg 3.7 } 10−≤ ≤0.05 4∗10 ≤ ≤ 10 . 68 0.11∗1∗ D 10−≤ ≤0.05 4∗10 ≤ ≤ 10
6.11.5.
ALTSHUL
6.11.6.
STREETER (2000)
STREETER, Víctor L. Mecánica de fluidos, Ed. Santafé de Bogotá. McGraw Hill, 2000.
− 5. 7 4 1.325∗25 ∗ ln 3.7D . 10−≤ ≤0.01 4∗10 ≤ ≤ 10
7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Una tubería de concreto liso de 0.80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4m/s. La viscosidad es de 1.2x10 -6 m 2/s. Calcular el coeficiente C de Chezy. Definir la calidad de las paredes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.
Datos: D= 0.80 m
=1.2x10-6 m2/s
V=4 m/s
SOLUCIÓN
k=2.5x10-5
Hallamos el área y el perímetro mojado para poder obtener el radio medio hidráulico:
∗. ln ..∗ 4 .∗ ln ...∗.
A = x0.82 = 0.503 m 2
P = πD/2 = 1.257 m
V=
R=
..
= 0.4 m
……. Iterando obtenemos V*= 0.164
Hallamos:
A) Coeficiente de Chezy:
√ √ 9.9.810.4 . .. √ √ √ √ ...
V* =
=
S=
= 0.006
V=C
…. C =
= 81.65
B) Calidad de las paredes:
∗ .. . =
= 3.41
3.41<5
Por lo tanto, se dice que el contorno es hidráulicamente liso.
EJERCICIO 2 La tubería AB de 300 m de largo y 0.80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de 1.2 x 10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme k= 4 x 10-4 m. La presión en el punto A debe ser de 4 Kg/cm2 y el punto B de 3.8 Kg/cm2 ¿Cuál es la máxima diferencia de elevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte hidráulicamente lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?
DATOS:
300 Ƴ 1000
− − 0. 8 4∗10 1 . 2 10 1 0 4 // 3.3.8 //
SOLUCIÓN Aplicando el teorema de Bernoulli obtenemos:
. 0.067 . . 0.0.397 397 m ΔZ=
…… ΔZ=2
S=
A= π x
π x
p= π x r= π x
=0.50
= 1.26 m
R=
g ∗R∗S √ √ 9.9.81∗0.397∗0.0670.51m/s g∗R∗S . .∗..∗ C 18 ln K26R 7δ √ √ RSRS 104.15∗√ √ 5∗ 0.0.397∗0.067 1,24∗10− V=
δ=
=
=2.73*10-5
Reemplazando obtenemos: C=104.15
V=C
= 16.98m/s
EJERCICIO 3 Datos: L = 4000 m, Q = 200 l/s, D = 0,5 m, mm. Calcular la pérdida de carga.
(agua), ԑ= 0,025
Solución:
0,500025 0,00005 4 ∗ ∗0,54∗0,∗1,224∗10− 4,11∗10 ∗∗
Rugosidad relativa:
Número de Reynolds:
Coeficiente de fricción: AUTOR SWAMEE Y JAIN PAVLOV GUERRERO HAALAND ALTSHUL STREETER COLEBROOK WHITE
FACTOR DE FRICCIÓN 0.014231699 0.014183213 0.014288594 0.014070636 0.013326907 0.014226604 0.0142452743
Luego, ECUACIÓN DE DARCY - WEISHBACH
0, 0827∙ ∙ ∙0.2 0,0827∙∙4000∙ 0.5
AUTOR SWAMEE Y JAIN PAVLOV GUERRERO HAALAND ALTSHUL STREETER COLEBROOK WHITE
6.026043106 6.005512659 6.050133638 5.957845020 5.642932322 6.023885747 6.031791025
La pérdida de carga seria 6m.
EJERCICIO 4
Se tiene una tubería nueva de fierro fundido (e=0.00025m) de 10” de diámetro. La longitud es de 1000m. Conduce agua cuya Viscosidad es de 10 -6 m 2/s. La pérdida de carga (de energía) en el tramo considerado es de 10m. Calcular Gasto. Solución:
: 0.00025m
L: 1000m
υ:10-6m2/s
: 10m
D: 10”= 0.254m La rugosidad relativa es:
D 0.0.00025 − 9. 8 4310 254m ∗∗ ∗2 ∗∗ ∗∗2 ∗∗ /4 ∗∗2 8 ∗ 8 ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ 8∗∗∗ ∗ 81 8 1 0. 0 . 2 54 10 1 0 9. 80.0.01981981000 1000 0.0.081m 081m3/3/ss
Suponiendo en flujo turbulento plenamente desarrollada (f=0.0198) Aplicando Darcy para hallar Q:
Calculamos Re.
4 4 0 . 0 81 10−/0/.254 406033.0832 Consideramos como datos Re y e/D en ecuaciones:
AUTOR SWAMME JAIN PAVLOV ALTSHUL STREETER HAALAND GUERRERO COLEBROOK
f 0.020427601 0.020410583 0.020264224 0.020420288 0.020243749 0.020437029 0.0202855805
Q 0.079143453 0.079176441 0.079461852 0.079157623 0.079502027 0.079125195 0.079420013
Así el gasto es: Q = 0.079m 3/s = 79L/s
EJERCICIO 5 Determine el factor de fricción, f, si agua a 160°F, está fluyendo a 30.0 pies/s en un conducto de hierro forjado no recubierto cuyo diámetro interior es de 1 pulgada. Solución: Primero se debe calcular el número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento.
Pero;
∗ 4.38∗10−/ 304.3/8∗ 100−.0833 5. 7 0∗10 8∗10− 0.0833 8∗10− 104
D=1 pulgada=0.0833 pies y
.
Ahora tenemos:
Así pues, el flujo es turbulento. Ahora se debe calcular la rugosidad relativa. Sabemos que
. Entonces la rugosidad relativa es:
Determinamos el factor de fricción por las diferentes fórmulas:
P.K. SWAMEE Y A.K. JAIN
10− ≤ ≤ 10− 5∗10 ≤ ≤ 10
log3.710.⁄25 Re5.7.4
log3.70.0.08330.1⁄0.205008 57005.74. 0.047169886 − . ⁄ 6. 8 1 2l o g g 3. 7 1 ≤0.05 − . ⁄ 0. 0 . 0 0080. 0 833 6. 8 1 2∗10 ≤ ≤ 10 2logg 3.71 5700 0.046992948 PAVLOV
GUERRERO
4000≤Re≤10 5
G=4.555 T=0.8764
HAALAND
10−≤ ≤0.05 4∗10 ≤ ≤ 10
log3.⁄70.125 log0.0.00080.3.⁄7100.83325 57004.5.55 0.046915675 − . ⁄ 6. 9 {1.8logg 3.7 }
− . ⁄ 0. 0 0080. 0 833 6. 9 {1.8logg 3.7 5700} 0.045941251 . 68 0. 1 1∗ 1 ∗ D 10−≤ ≤0.05 0.11∗1 ∗ 0.0.00008833 570068 . 4∗10 ≤ ≤ 10 0.042137831 ALTSHUL
− 5. 7 4 1.325∗25 ∗ ln 3.7D . − 0. 0 008 5. 7 4 − 1. 3 25∗ 25 ∗ l n 10 ≤ ≤0.01 . 3. 7 ∗0. 0 833 5700 0.047152999 4∗10 ≤ ≤ 10 0.0.0047169886 46992948 0.0.0046915675 45941251 0.0.0042137831 47152999 STREETER
AUTOR SWAMEE Y JAIN PAVLOV GUERRERO HAALAND ALTSHUL STREETER COLEBROOK WHITE
EJERCICIO 6
FACTOR DE FRICCIÓN
0.0474668027
Se requiere trasvasar 200 l/s de agua desde un depósito a otro 5m más bajo y distantes 4000m. Calcúlese el diámetro de la tubería, si ԑ= 0,025 mm. Solución:
0, 0827∙ ∙ ∙ 0, 0827∙ ∙ ∙ 0,0,0827∙∙∙ 0. 2 0,0,0827∙0.015∙4000∙ 5 0.5245 0,524.0255 4,766∗10− 4 ∗ ∗0,5245∗1, 4∗0,224∗10− 3,915∗10 ∗∗
Diámetro aproximado, usando f=0.015
Rugosidad relativa:
Número de Reynolds:
Coeficiente de fricción: AUTOR SWAMEE Y JAIN PAVLOV GUERRERO HAALAND ALTSHUL
FACTOR DE FRICCIÓN 0.014306133 0.014256347 0.014365909 0.014149219 0.013417053
STREETER COLEBROOK WHITE
Diámetro definitivo
0.014301011 0.0143238678
0, 0827∙ ∙ ∙ 0, 0827∙ ∙ ∙ 0,0,0827∙∙∙ 0. 2 0,0,0827∙∙4000∙ 5
AUTOR
FACTOR DE FRICCIÓN
D
SWAMEE Y JAIN
0.014306133
0.519559809
PAVLOV GUERRERO HAALAND ALTSHUL STREETER COLEBROOK WHITE
0.014256347 0.014365909 0.014149219 0.013417053 0.014301011 0.0143238678
0.519197685 0.519993264 0.518415041 0.512935223 0.519522602 0.51959668
El diámetro definitivo seria 0.519 m
EJERCICIO 7 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido (e=0.0004m) para conducir 2 m 3/s. La viscosidad es de 1.2x10 -6m2/s. La longitud de la tubería es de 1000m. La pérdida de carga admisible es de 25 m. SOLUCION 1. Supongamos f=0.02 2. Calculamos el diámetro.
0, 0827∙ ∙ ∙
0, 0 827∙ ∙ ∙ 0,0,0827∙∙∙
2 0,0,0827∙0.02∙1000∙ 25 0.767 4 ∗ 1.1.2∗104 ∗−2 ∗0.767 2766709.1372.7710
3. Calculamos Re
4. Calculamos la rugosidad relativa:
D 0.0.00004 767m 0.00052
Re y e/D cumple para rango de las fórmulas explícitas. 5. Consideramos como datos Re y e/D en ecuaciones: AUTOR SWAMME JAIN PAVLOV GUERRERO (2) ALTSHUL STREETER HAALAND
f 0.017099619 0.017094721
COLEBROOK WHITE
0.01702203
0.017091002 0.016815462 0.017093497 0.017050326
6. En este caso escogemos.
EJERCICIO 8
D=30”.
D(m) 0.74275491 0.74271235 0.74268003 0.74026975 0.74270172 0.74232619 0.74207966
D(pulg) 29.24 29.24 29.24 29.14 29.24 29.23 29.22
Determinar la pérdida de carga es un tramo de tubería nueva de, sin recubrimiento de 30 cm de diámetro interior y 1000 m de longitud cuando fluye agua a 15°C y a una velocidad de 1.5 m/s. Considere SOLUCIÓN:
ε 0.00000224 m.m. ε 0.00.00243 0.0008
Determinando la rugosidad relativa:
v1.13x10− m 1. 5 0. 0 . 3 m V.V. D s R v 1.13x10− ms 3.98x10 , flujo turbulento.o. 1√ √ f 2l 2logg3.7ε1D R2.5√ √ 1f
Además, para T=15°C, la viscosidad cinemática del agua es
.
Luego determinando el número de Reynolds:
Según la ecuación de Coole-Brook:
Por método de iteraciones el valor de f=0.0194. Luego reemplazando en la ecuación de Darcy:
EJERCICIO 9
L V 1000 1 000 m 1 . 5 m/s h f. D . 2g 0.0194. 0.3 m . 29.81 sm h 7.7.4242 m
Un caudal de 44 lts/s de mercurio de viscosidad absoluta de 0.0103 kg.s/m 2 y densidad relativa de 13.6, está circulando por una tubería de 30 cm de diámetro y 3000 m de longitud ¿Cuál es la pérdida de carga en la tubería? Considere
0.00036.
SOLUCIÓN: De acuerdo a la ecuación de continuidad:
− 44x10 m QA. V → V QA π4 x0.s3m 0.62b ms
Además:
εD 0.00.00363 0.0012 kg m 13600 x 0. 6 2 x 0. 3 m s m R 0.0103 kg.s/m 2.46 x 10 1√ √ f 2l 2logg3.7ε1D R2.5√ √ 1f L V 3000 3 000 m 0 . 6 2 m/s h f. D . 2g 0.0216. 0.3 m . 29.81 sm h 6.6.8282 m
De acuerdo a la ecuación de Coolbrook:
Por método de iteraciones el valor de f=0.0216.
Reemplazando el valor de fricción en la ecuación de Darcy:
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Mecánica de Fluidos, tercera edición – Irving H. Shames Introducción a la Mecánica de Fluidos, primera edición – Roca Vil http://www.fimee.ugto.mx. Información proporcionada por el Ing. Carlos Loayza Rivas
VII.
PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO
TURBULENTO
INTRODUCCIÓN
El tema que veremos a continuación es de suma importancia, puesto que a lo largo de nuestra carrera como ingenieros civiles nos encontraremos en situaciones en las que nuestras estructuras mantendrán interacción de forma continua con diferentes tipos de fluidos, las que provocarán un efecto sobre estas, el principal fluido con el que estaremos ligados de manera directa es el agua, el cual debemos conocer a la perfección. En el presente informe detallaremos y daremos a conocer a nuestros compañeros como el flujo de un líquido en una tubería viene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos de energía por unidad de peso de fluido circulante, que se denomina pérdida de carga y que tiene dimensiones de longitud. La pérdida de carga está relacionada con otras variables fluido-dinámicas según el tipo de flujo, laminar o turbulento (ya revisado anteriormente el flujo laminar nos encargaremos solo del flujo turbulento en el fluido mencionado “el agua”). Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de los conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en puntos concretos como codos, ramificaciones, válvulas, etc. En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, experimentalmente se puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad son aproximadamente cuadráticas, lo que lleva a la ecuación de DarcyWeisbach.
OBJETIVOS
Presentar las fórmulas exponenciales de Schoder en tuberías de acuerdo al grado de rugosidad de estas.
Fórmula de Scobey en diferentes tipos de tuberías.
Estudiar en forma detallada las pérdidas de carga lineal en conductos
cerrados circulares, que relacionan los coeficientes de perdidas “f” en función de la fórmula de Hazen Williams.
Saber utilizar correctamente las fórmulas de Hazen Williams, ya que esta presenta limitaciones a la hora del diseño de tuberías.
Determinar la Carga de Presión disponible en algún punto del Sistema de Abastecimiento de agua con la fórmula de Hazen Williams.
7.1. PERDIDA DE CARGA PARA UN FLUJO TURBULENTO PÉRDIDA DE CARGA Es la pérdida de energía que se produce en un fluido un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce.
ℎ −−L −
EXPRECION GE NERAL DE PERDIDA DE CARG A
Dónde: h f
= Pérdida de carga por fricción.
k'
= Constante número puro.
D
de
proporcionalidad,
= Rugosidad relativa.
= Viscosidad absoluta.
= Densidad del fluido.
L
= Longitud de la tubería en la cual se evalúa hf
V
= Velocidad media del escurrimiento.
p
= Exponente de la rugosidad.
n
= Exponente hidráulico de la velocidad.
Imagen 01: Diagrama de la Pérdida de Carga
Flujo turbulento Se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, caótica , en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos periódicos. Para estudiar el problema de las pérdidas de cargas en flujos turbulentos es necesario volver a la clasificación inicial de los fluidos y considerar las grandes diferencias entre los flujos laminares y flujos turbulentos.
Para el caso de conductos cilíndrico a presión, el número de Reynolds se define:
V: velocidad media D: diámetro
: Viscosidad cinemática del fluido
Para flujo turbulento Re > 4000
Imagen 02: Flujo Turbulento
7.2.
Análisis de la formula general de Perdida de carga
La ecuación general de perdida de carga, así como la ecuación de Darcy se utiliza para calcular la pérdida de energía debido a la fricción en secciones rectilíneas y largas de tubos redondos, tanto para flujo laminar como turbulento. La diferencia entre los dos flujos está en la evaluación del factor de fricción. Flujo turbulento Cuando hay flujos turbulentos en tuberías es más conveniente usar la ecuación de Darcy o también la ecuación general de perdida de energía para calcular la perdida debido a la fricción. El flujo turbulento es de comportamiento caótico y varia en forma constante. Por tanto, partiendo de la ecuación de Darcy, las pruebas han demostrado que coeficiente de rozamiento f rozamiento f depende de otras dos cantidades adimensionales.
El número de Reynolds Re
Rugosidad relativa de la tubería
Imagen 03: Interior de una tubería con flujo turbulento
P ara flujos turbul turbulent entos os Los valores de:
p
= Exponente de la rugosidad.
n
= Exponente hidráulico de la velocidad
− ℎ − 1.7 n 2
n
1.7
n
Pared Pared Lis a:
2
p
0
Pared Pared Rug osa: p
0
TABLA DE PROPIEDADES DEL AGUA PARA CALCULO DE PERDIDA DE CARGAS A DIFERENTES TEMPERATURAS TEMP TEMPER ERAT ATUR URA A (ºc) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
PROPIEDADES DEL AGUA PESO PESO ESPE ESPECIF CIFICO ICO DENS DENSID IDAD AD VISCO VISCOSI SIDA DAD D DINA DINAMI MICA CA VISCO VISCOSI SIDA DAD D CINEM CINEMAT ATICA ICA ϒ
ρ
μ
v
(KN/m3) 9.81 9.81 9.81 9.81 9.79 9.78 9.77 9.75 9.73 9.71 9.69 9.67 9.65 9.62 9.59 9.56 9.53 9.50 9.47 9.44 9.40
(KN/m3) 1000 1000 1000 1000 998 997 996 994 992 990 988 986 984 981 978 975 971 968 965 962 958
(Pa.s) 1.75X10´( -3) 1.52X10´( -3) 1.30X10´( -3) 1.15X10´( -3) 1.02X10´( -4) 8.91X10´( -4) 8.00X10´( -4) 7.18X10´( -4) 6.51X10´( -4) 5.94X10´( -4) 5.41X10´( -4) 4.98X10´( -4) 4.60X10´( -4) 4.31X10´( -4) 4.02X10´( -4) 3.37X10´( -4) 3.50X10´( -4) 3.30X10´( -4) 3.11X10´( -4) 2.92X10´( -4) 2.82X10´( -4)
(m2/s) 1.75X10´( -6) 1.52X10´( -6) 1.30X10´( -6) 1.15X10´( -6) 1.02X10´( -6) 8.94X10´( -7) 8.03X10´( -7) 7.22X10´( -7) 6.56X10´( -7) 6.00X10´( -7) 5.48X10´( -7) 5.05X10´( -7) 4.67X10´( -7) 4.39X10´( -7) 4.11X10´( -7) 3.83X10´( -7) 3.60X10´( -7) 3.41X10´( -7) 3.22X10´( -7) 3.04X10´( -7) 2.94X10´( -7)
Tabla 01: Propiedades del agua para cálculo de pérdida de cargas a diferentes temperaturas.
Analizando las pérdidas de carga en régimen turbulento, se puede decir:
Son directamente proporcionales a una potencia de velocidad cercana a 2
Son inversamente proporcionales a una potencia al diámetro de la tubería
Son directamente proporcionales a la longitud de la tubería
Depende de la edad y mantenimiento de la tubería
Aumenta con el incremente del caudal
Depende de la viscosidad y densidad del fluido
Son independientes de la presión en la tubería
7.3.
FORMULAS EXPONENCIALES PARA EL FLUJO TURBULENTO DEL AGUA
. < < Para tuberías extremadamente lisas.
Para tuberías extremadamente rugosas.
FÓRMULA DE SCHODER Schoder, propuso clasificar las tuberías en cuatro categorías de acuerdo al grado de rugosidad. Tuberías Extremadamente Lisas. Son tuberías nuevas de bronce sin costura, de estaño, plomo, vidrio y esmaltadas. Todas con superficie interior muy pareja a la vista, muy compactas y lisas al tacto.
Tuberías Lisas:
. ℎ 0.00054 .
Son tuberías ordinarias después de cinco años de servicio; de fierro fundido, de acero remachado, de concreto interiormente asfaltada, de fierro forzado y galvanizado.
Tuberías Rugosas:
. ℎ 0.00078 .
Son tuberías originalmente lisas, deterioradas rápidamente después de 10 a 15 años de servicio, son tuberías de láminas de acero.
. ℎ 0.0011 .
Tuberías Extremadamente Rugosas:
Aquellas tuberías que con el paso de los años han tenido un grado mayor de deterioro que el común; ejemplo ciertos distribuidores de agua con tiempo de servicio entre 30 a 40 años.
ℎ 0.0016 .
FÓRMULA DE SCOBEY Se emplea fundamentalmente en tuberías de aluminio. En el cálculo de tuberías en riegos por aspersión hay que tener en cuenta que la fórmula incluye también las pérdidas accidentales o singulares que se producen por acoples y derivaciones propias de los ramales, es decir, proporciona las pérdidas de carga totales. Viene a ser mayor las pérdidas de carga continuas en un 20%.
En donde:
. ℎ 2.2.587 587 10 − .
• hf : pérdida de carga o de energía (m)
• K: coeficiente de rugosidad de Scobey (adimensional)
• Q: caudal (m3 /s)
• D: diámetro interno de la tubería (m)
• L: longitud de la tubería (m)
Para tuberías de madera:
Para tuberías de acero:
Dónde:
. ℎ 0.000866 . . ℎ . 0.0.0000827 0135
Para tubería de concreto:
MATERIAL TUBERIA DE SUPERFICIE VIDRIADA O PULIMENTADA TUBERIA DE SUPERFICIE FABRICADAS CON MEZCLA HUMEDA EN MOLDES DE ACERO TUBERIA DE SUPERFICIE FABRICADAS CON MEZCLA SECA EN MOLDES DE MADERA TUBERIA DE SUPERFICIE DETERIORADA
ℎ . Ks
0.000732 0.000926 0.00112 0.00154
Tabla 02: Coeficiente Ks para las diferentes superficies en tubería de concreto.
NOTA: De la ecuación:
. − ℎ 2.2.587587 10 .
Expresando la velocidad en función del caudal mediante la relación.
4
. − ℎ 4.4.098098 1010 . MATERIAL
k
Tubos Tubos de acero acero galvaniza galva nizado do con acop les
0.42
Tubos de aluminio. aluminio.
0.40
Tuberías de aceros nuevas.
0.36
Tuberías de fibrocemento y plástico.
0.32
Tabla 03: Valores del coeficiente K para los diversos materiales de tubería.
7.4.
Expresión de Hazen William para Pérdidas en Tuberías
En el siglo XIX e inicios del siglo XX aparecieron muchas fórmulas empíricas, cada uno de estas representan un modelo matemático que se aproxima a los valores de velocidad y fricción obtenido en el laboratorio sin embargo no asegura que los modelos sean válidos por fuera del rango de experimentación. Sin embargo algunas de estas fórmulas empíricas aseguran resultados aceptables y rápidos dentro de sus rangos. Una de ella fue propuesta por Hazen William en 1903, con esto se propuso corregir el Imagen 4: Hazen William inconveniente presentado por la ecuación de DARCY-WEIBASH, pues el factor de fricción “f” varía con el material, el diámetro, la velocidad, haciendo en el siglo XX engorroso su desarrollo. Muchos investigadores afirman que HAZEN WILLIAM propuso una fórmula para desarrollar el complejo cálculo de pérdidas de carga con fricción con la ecuación de DARCY- WEIBASH Sea cual su corregimiento esta ecuación empírica de extendido uso en la ingeniería civil, para el cálculo de pérdidas por fricción en conducciones a presión. Y nos permite determinar la velocidad del agua en tuberías circulares llenas y conductos cerrados. La expresión original:
1.544 . . 0.8492 . .
METRICO
METRICO
Coeficiente de HAZEN WILLIAM y depende del material y la
superficie interna de la tubería
Coeficiente de CHEZY.
= Radio hidráulico (área mojado/perímetro mojado)
=Pendiente de fricción o perdida de energía por unidad de longitud de
conducción (Hf /L)
= La velocidad media de la sección del flujo.
Si despejamos H f de de la ecuación y despejamos en función del GASTO O CAUDAL entonces:
3 3 . 10. 6 7 . /. Deducción de la Expresión de Hazen William: Hazen determinó la relación siguiente
. .
Para tubería de sección circular:
Y además se sabe que
4
... . . . . . . 4 .
ECUACIÓN 1:
. .
…………SISTEMA MÉTRICO
=Depende de la calidad del material únicamente, es decir involucra rugosidad
Observamos que la ecuación 1 tiene la forma de la fórmula de CHEZY:
ECUACIÓN 2:
∗. ∗ .
∗√ √ ∗ ∗
C=DEPENDE DEL MATERIAL
En las formulas cuando R=1” (0.3048m) Y S=0.001=1/1000” Las velocidades de HAZEN y CHEZI SON IGUALES
SISTEMA MÉTRICO
∗0.305. ∗0.001. ∗0.305. ∗0.001. 1.54 0.85 1. 5 4∗ ∗ . ∗ .
SISTEMA INGLÉS
Por lo tanto, la velocidad en el sistema métrico:
RECORDAR:
√ √ ∗.∗. =0.55
0.55 (ingles)
La velocidad en el sistema métrico.
0. 8 5∗ ∗ . ∗ . 2. 6 2∗ ∗ . ∗ .
La velocidad en el sistema inglés.
Cálculo del Gasto o Caudal (Tubería)
∗. . 0. 8 47∗∗. ∗ 0. 8 47∗∗4 ∗ . ∗ Π ∗4 0. 8 47∗∗ 4.1 .. ∗ . 0.2785∗ ∗ .. ∗ .
PÉR DIDA DIDA DE DE CAR GA:
. 10.68∗∗ ..
Pérdida de Carga
1.72∗10 ∗ ∗ ... 0.000426∗ ∗ .. ∗ .
7.5.
Valores de “C” de Hazen William
Los valores de “C” dependen únicamente de su material y fricción.
Imagen 5: Materiales de tubería
Imagen 6: Tubería de concreto
Para tuberías de fierro fundido, “C” puede ser tan alto como 140 para aquellas tuberías muy rectas y lisas, siendo un valor apropiado para uso práctico c=130, pudiendo tomar valores de c= 100 de acuerdo al uso.
Para tubería de concreto
c=104
Para tuberías de arcilla vitrificada
c=110
Para tuberías de PVC
c=140
Para tuberías lisas de madera
c=120
Para tuberías de asbesto cemento (eternit)
c=140
Recomendación Antes de utilizar los coeficientes de HAZEN, lo recomendable es solicitar la información técnica de tipo de tubería que tengamos pensar utilizar para el diseño. En sus catálogos se dan valores recomendables de este coeficiente, adicionalmente a la hora de seleccionar para el diseño es importante que, en el tiempo, las superficies de tubería y conductos tienen a ser rugosas, por lo tanto, el coeficiente tiende a ser menor. Limitaciones a la fórmula de Hazen Dado su carácter empírico, hay que decir que la Ecuación de Hazen-Williams tiene sus limitaciones, resultantes por supuesto, de los ensayos y pruebas realizados por sus creadores allá por los años 1.930. Entre otras destacan: Sólo puede ser utilizada para el cálculo de las Pérdidas por Fricción en sistemas que conducen agua a temperaturas “normales” (entre 18°C y 30°C, por ejemplo) y bajo condiciones de flujo turbulento (El caso típico en las aplicaciones para sistemas de Abastecimiento de Agua).
Sistema de abastecimiento directo.
Sistema de abastecimiento indirecto con tanque elevado. Sistema de abastecimiento indirecto con cisterna, equipode bombeo y tanque elevado.
Imagen 7: Sistema de Abastecimiento
No es aplicable para Tuberías extremadamente rugosas, es decir, no debería utilizarse para coeficientes de fricción muy bajos (menos a 60).
No debería utilizarse para diámetros inferiores a l os 50 mm (2”), aun cuando su uso es aceptado para el diseño de Instalaciones Sanitarias en edificaciones, donde predominan diámetros inferiores a dicho valor.
Imagen 9: Plano de Instalación Sanitaria de una vivienda en la que no se podría determinar la pérdida de carga por la fórmula de HAZEN WILLIAM por presencia de tubería cuyo diámetro es menor a 2”.
7.6.
EJERCICIOS DE APLICACION
EJERCICIO 01 Se desea diseñar una tubería de aluminio para transportar agua a una velocidad de 2.5 pies/s con un régimen de flujo turbulento, conociendo que la perdida de carga no debe ser mayor a 8 pies y que la longitud de la tubería es 300pies.
Despreciar perdidas de carga locales.
Hallar el diámetro de dicha tubería.
Use
CH=130
(aluminio)
S OL UC IÓN IÓ N Datos L=300 pies
V=2.5 pies/seg
hf = 8 pies
Desarrollo Usamos la fórmula de hacen William
0.8492 . h.. 0.8492 .. 2.50.84922.5130 .0.0.027.. 15. 6 9 . 0.0.01576 4
C =130
40.0.05757 0.228
Como es una tubería de aluminio también podemos usar la fórmula de SCOBEY:
. − ℎ 2.2.587587 10 . . 2. 5 − 8 2.2.587587 10 0.400 300 300 .
0.24
EJERCICIO 02 Determinar el diámetro de una tubería galvanizada para que circule un caudal de agua a 20[°C] de 0,020 [m³/s] con una pérdida de carga máxima de 0,02m. Longitud de la tubería 100m. Utilizar la fórmula de Hazen – Williams.
S OL UC IÓN IÓ N Datos Q = 0.020 m 3/s Desarrollo
L = 100 m
hf = 0.02m
C = 125
. 10. 6 7 L Q H C.D. . 10. 6 7 1 00 0. 2 0.02 125.D. D0.336m
Como es una tubería galvanizada también se puede resolver mediante la fórmula de Schoder para tuberías lisa y galvanizada.
. ℎ 0.00078 .
0.022/4 0.021.272 0.02/1.272 . ℎ 0.00078 . . . 0 . 0 2/1. 1 27 0.020.00078 . 0.172 Ejercicio 03 Para transportar el agua de la iglesia de SAN PEDRO en el vaticano, se desea determinar la pérdida de carga en una tubería de acero de 18 m de largo, 0.27 m de diámetro interior, en la cual se transportan 12 lt/seg. Use fórmula de HazenWilliams. Use CH=125(acero)
S OL UC IÓN IÓ N
Datos Q=0.012 m 3/s
Desarrollo
D=0.27m
L=18 m
1.54444 ∗ . . 0.0. 0122/4 0153/2
hf =?? =??
C=125
EJERCICIO 04
0.0.0153/0. 2 72 21/. 1.544125 44 1250.427 .ℎ/. 0.211.544125 44 125 4 ℎ/18.. h 0.025 pipies
Un tubo horizontal de 300 mm y de 300 m de largo sale de un deposito con elevación de superficie de 60 m, en la elevación 54 m, esta línea se conecta, con contracción súbita, con un tubo de 150 mm y de 300 m de longitud que va hacia la elevación 30 m, en donde entra en un deposito con elevación de superficie 39 m. Suponiendo un C = 100. ¿Calcule el régimen de flujo a través de la línea?
S OL UC IÓN IÓ N Datos: Haciendo un esquema del sistema planteado
Aplicando Bernoulli entre A y B:
. .. ... ..
Despejando Caudal:
. .
EJERCICIO 05:
Una tubería de 30 cm de diámetro y de 3.2 km de largo se encuentra tendida sobre una pendiente uniforme entre dos depósitos de elevación de superficie de 150 y 120 m, respectivamente, entrando a los depósitos a 10 m debajo de las superficies. El régimen de flujo a través de la línea es inadecuado y se instala una bomba en la elevación 125 m, para aumentar la capacidad de la línea. Suponiendo un C=100, ¿Qué potencia se requerirá en la bomba para bombear 170 lps, pendiente a bajo, a través de la línea?
S OL UC IÓN IÓ N Haciendo un esquema del sistema a resolver, tenemos:
Antes de la instalación de la bomba.
Aplicando Bernoulli entre A y B:
Calculando las pérdidas:
. . . ... .
Se observa que la energía de posición disponible por la diferencia de cotas es de 30 m y la que se necesita para vencer las resistencias hidráulicas son de 89.23 m, por lo tanto, se confirma la línea es inadecuada para el flujo de 170 lps, por lo tanto, es necesario la instalación de la bomba.
Después de la instalación de la bomba
Aplicando Bernoulli entre A y B, pero con la bomba instalada
. . .. ..
La altura de la bomba necesaria:
Su potencia:
EJERCICIO 06:
Un lago A, en el que la superficie libre se mantiene constante a la cota 200, esta comunicado a un recipiente B mediante una galería horizontal de 2 km de longitud y de 1.5 m de diámetro, con el eje situado a la cota 180. Del recipiente B a la misma cota de 180, parte un conducto de acero de 600 m de longitud, que descarga a la cota 0, al aire libre. Este conducto BC está constituido sucesivamente por un tramo de 200 m de longitud y 500 mm de diámetro, un tramo de 400 m de longitud y 300 m de diámetro, una boquilla tronconica de 100 mm de abertura y en la que las pérdidas de carga valen , en donde V es la velocidad de salida en la boquilla. Determine: a) el caudal, b) la carga utilizable, utilice la ecuación de Hazen – Williams (C =150).
^2⁄2
S OL UC IÓN IÓ N
a) Determinar el caudal. Aplicando Bernoulli entre A y B, obtenemos:
Dónde:
. . . . . .. . . . . . … … … …
Aplicando Bernoulli entre B y C:
. . .. .... ... . . … … … … . . . .. . . . . . .. . .. . . Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:
Si
=
= Qo tenemos:
Introduciendo este valor en la ec1 se obtiene un valor de:
b) La carga utilizable en los puntos A a B va ser igual a las perdidas C, a la cota , o sea
y de B a
CONCLUSIONES
La fórmula de Schoder varía dependiendo tanto del material de la tubería como de su antigüedad ya que estos factores influyen en la rugosidad de la tubería.
En la fórmula de Scobey las pérdidas de cargas de acuerdo al tipo de material empleado para estas, el cual define el coeficiente de rugosidad.
La ecuación de Hazen Williams se ha extendido uso en la ingeniería civil, para el cálculo de pérdidas por fricción en conducciones a presión. Y nos permite determinar la velocidad del agua en tuberías circulares llenas y conductos cerrados.
Para poder diseñar tuberías es importante conocer aquellos parámetros
El tipo de material que se va a usar. Ya que cada material tendrá un coeficiente de fricción, que será importante en el diseño Para tomar en cuenta la fórmula de Hazen Williams es necesario que dicho
diámetro de tubería sea menor a 2”. No es aplicable para Tuberías extremadamente rugosas, es decir, no debería utilizarse para coeficientes de fricción muy bajos (menos a 60) y a una temperatura de 18°-30°, temperaturas normales.
Su aplicación de la fórmula de hacen Williams es útil para el diseño de sistemas de abastecimiento de agua.
ANEXOS
RELACION DE FORMULAS DE PERDIDA DE CARGA EN FLUJO TURBULENTO: Fórmula general de la pérdida de carga:
Fórmulas de Schoder
− ℎ − ℎ 0.00054 ... ℎ 0.00078 .. ℎ 0.0011 . ℎ 0.0016 . ℎ 4,87510− ,.. ℎ 8,23910− ,. ℎ 13,08510 − , ℎ 0,0206 ,
Tuberías extremadamente lisas.
Tuberías lisas.
Tuberías rugosas.
Tuberías extremadamente rugosas.
Fórmulas de Schoder en el sistema inglés
Tuberías extremadamente lisas.
Tuberías lisas.
Tuberías rugosas.
Tuberías extremadamente rugosas.
Fórmula de Scoby
. − ℎ 2.58710 87 10 .
Fórmula de Scoby sistema inglés
. − ℎ 21,95710 57 10 .
Formula de Hazen William
Sistema métrico
Sistema ingles
ℎ 10.70∗∗ .... ℎ 1.72∗10 ∗ ∗ ..
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
BIBLIOGRÁFICAS Libro de Fluidos II, Ing. Loayza Rivas Carlos.
Mecanica de los Fluidos e Hidraulica, R.V. Giles, serie Schaum- Mc Graw Hill
Mecanica de Fluidos II, ing. Wendor Chereque Moran.
LINKOGRAFICAS
http://oa.upm.es/6934/1/amd-apuntes-fluidos ii.pdf
http://repositorio.pucp.edu.pe/index/bitstream/handle/1234567 89/41245/mecanica_de_fluidos_2.pdf
VIII.
PERDIDA DE CARGA
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de tuberías son muy usados en el mundo entero, tanto para transportar agua potable a las distintas partes de una ciudad, como para distintos otros usos, por lo cual su estudio resulta muy importante. Lo que se quiere tratar en este tema, es evaluar la perdida de energía que se genera cuando un fluido pasa a través de una tubería que tiene como singularidad un aumento brusco de su sección transversal, la cual es de diferente Índole a la pérdida originada por fricción. Para tener un amplio conocimiento sobre las causas que originan las perdidas locales, se estudiará las distintas singularidades que se presentan en las tuberías, ya sea el originado por ensanchamiento, contracción, accesorios, piezas, etc. El estudio de las distintas singularidades que se presentan en tuberías implica tener el conocimiento sobre los distintos coeficientes, los cuales van a depender de la particularidad de la singularidad.
OBJETIVOS 1. OBJETIVO GENERAL Saber determinar la perdida de energía localizada que se produce por el paso del fluido a través de la tubería debido a la singularidad o singularidades que pueda presentarse en la tubería.
2. OBJETIVOS ESPECIFICOS Deducir la Fórmula de Borda y su correcta aplicación para determinar la pérdida de energía que se origina por el paso del fluido a través de una tubería debido a un ensanchamiento de la misma. Aplicación de la Formula General de Pérdidas de Cargas Locales y saber elegir con qué valor del coeficiente ‘’K” se utilizará dependiendo de la singularidad que se presente en las tuberías.
8.1. RESEÑA HISTÓRICA FORMULA DE BORDA-CARNOT: En En la dinámica de fluidos, la ecuación de Borda-Carnot es una descripción empírica de las pérdidas de energía mecánica del fluido del fluido debido a una expansión de flujo (repentina). Describe cómo se reduce la altura total debido a las pérdidas. Esto está en contraste con el principio de Bernoulli para flujo sin disipación sin disipación (sin pérdidas irreversibles), donde la altura total es una constante a lo largo de una línea de corriente. La corriente. La ecuación lleva el nombre de Jean-Charles de Jean-Charles de Borda y Lazare Carnot.
JEAN-CHARLES DE BORDA (Dax, 4 de mayo de 1733 - París, 10 de febrero de 1799) Fue un matemático, físico, astrónomo y marino francés. Estuvo presente en la batalla de Hastenbeck, y poco después ingresó en el servicio naval. Viajó y visitó las islas Azores y las islas Canarias, donde realizó un mapa de ellas. Borda contribuyó a la realización de muchas memorias para la Academia de las Ciencias Francesa. Sus investigaciones en hidrodinámica fueron de gran utilidad en la ingeniería marina, mientras que otras investigaciones prestaron un gran servicio a la astronomía náutica. Junto con J. B. J. Delambre y P. F.
A. Mechain intentó determinar el arco de meridiano cuando se estableció el sistema métrico (en 1795 fue uno de los diez miembros originales del comité fundador del Bureau des Longitudes), y la mayoría de los instrumentos utilizados en la tarea fueron inventados por él mismo. Utilizó el cálculo para unificar ciertas áreas de la física, y desarrolló una serie de tablas trigonométricas. Inventó el péndulo de Borda, un péndulo gravitatorio muy simple formado por una esfera de metal suspendida por un hilo, utilizado para medir la intensidad del campo gravitatorio de la Tierra.
LAZARE NICOLAS MARGUERITE CARNOT Convencional francés, ingeniero, escritor político, matemático, literato y uno de los hombres más distinguidos de la Revolución. Nació en 1753 y murió en 1823. Era capitán de ingenieros cuando estalló la Revolución. Fue nombrado diputado en la Asamblea Legislativa y después en la Convención. Votó la muerte de Luis XVI y fue enviado al ejército del norte, donde con su habilidad y su perseverancia contribuyó a la victoria que obtuvieron los franceses en Watignies. Nombrado director en 1795, fue comprendido en la proscripción del 18 de Fructidor. Se fugó a Alemania, donde publicó unas memorias justificativas y volvió a Francia después del 18 de Brumario. Lazare Carnot es mundialmente conocido por sus trabajos científicos. En su "Essai sur les machines en géneral" ("Ensayo sobre las máquinas en general, 1786), precisa las leyes del choque y enuncia la ley de conservación del trabajo. Escribe "Metafísica del Cálculo infinitesimal" en 1797. Con su "Geometría de posición" (1803) aparece al mismo tiempo que Monge como uno de los creadores de la geometría moderna.
8.2. MARCO TEORICO CONCEPTOS PREVIOS ENSANCHAMIENTO BRUSCO: Se entiende por ensanchamiento brusco de sección en una tubería, el cambio repentino en la sección de dicha tubería, es decir que pasa de una sección constante a otra de mayor dimensión. Al pasar los fluidos por un ensanchamiento brusco, se genera la perdida de energía.
ACCESORIOS Es el conjunto de piezas moldeadas o mecanizadas que unidas a los tubos mediante un procedimiento determinado forman las líneas estructurales de tuberías de una planta de proceso. Los accesorios se especifican por el diámetro nominal de la tubería, el nombre del accesorio y el material. CODOS Son accesorios de forma curva que se utilizan para cambiar la dirección del flujo de las líneas tantos grados como lo especifiquen los planos o dibujos de tuberías. Los codos estándar son aquellos que vienen listos para la pre-fabricación de piezas de tuberías y que son fundidos en una sola pieza con características específicas. VÁLVULA: Una válvula se puede definir como un aparato mecánico con el cual se puede iniciar, detener o regular la circulación (paso) de líquidos o gases mediante una pieza movible que abre, cierra u obstruye en forma parcial uno o más orificios o conductos. Existe una gran variedad morfológica, con función de los distintos fluidos a transportar y del dispositivo de cierre (válvula de bola, de compuerta, de mariposa, etc.). En la vida practica como ingenieros, nos encontraremos con otros accesorios adicionales a estos, pero para efectos de este informe, solo trataremos sobre estos accesorios, que más adelante serán explicados con mayor detalle.
PÉRDIDA POR AGRANDAMIENTO SÚBITO O ENSANCHAMIENTO BRUSCO La ampliación brusca de la sección en un tubo trae consigo una pérdida de energía por efecto de la separación del líquido de las paredes y la formación de grandes turbulencias, que es de índole diferente a la fricción. Para calcular la pérdida se usan las tres ecuaciones fundamentales de la hidráulica. Ecuación de la Cantidad de Movimiento.
Ecuación de la Continuidad.
Ecuación de la Energía.
Gráfico 1. Flujo de un Ensanchamiento Brusco. Rocha. A (2007)
a pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de la ecuación de la Cantidad de movimiento . De la ecuación de le energía entre las secciones 1 y 2 se tiene que:
2 2 ∆ℎ …1 . 2 2 22 2 2
Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultante de las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.
b) Y dividiendo esta última expresión por γ.
, se obtiene
Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a:
Agrupando se obtiene:
a)
L
2 2 2 ∆ℎ∆ℎ 2 … 2 ∆ℎ1 ∗ 2 1 ∗ 2 … 3 ; ∆ℎ∆ℎ 2 → 0
Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (1) se concluye que la perdida de carga en el ensanchamiento brusco es:
Expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuación de continuidades obtiene:
Si la superficie es mucho mayor que como podría ser el caso de entrega de una tubería a un estanque, se tiene que
Dado que:
Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa como energía térmica. La pérdida disminuible o reductible por fricción en la tubería debe determinarse por medio de un experimento separado en la tubería más grande, y el mismo procedimiento debe seguirse cuando hay pérdidas debido a la presencia de codos, uniones y otros dispositivos en una línea de tubería en donde dichas pérdidas deben medirse.
8.3. EXPRESIÓN GENERAL DE LAS PÉRDIDAS DE CARGAS LOCALES Las tuberías de conducción están compuestas generalmente por tramos rectos y curvos para ajustarse a los accidentes topográficos del terreno, así como los cambios que se presentan en la geometría de la sección y de los distintos dispositivos para el control de las descargas como lo son las válvulas y las compuertas. Estos cambios originan perdidas de energía, distintas a las de la fricción, localizadas en el mismo sitio del cambio de la geometría o de la alteración del flujo. Tal tipo de perdida se conoce como perdida local. Su magnitud se expresa
como una fracción de la carga de velocidad, inmediatamente aguas abajo del sitio donde se produjo la perdida. Estas pérdidas se deben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo una válvula, un estrechamiento, etc.
Gráfico 2. Perdida de Carga Local. Rocha. A (2007)
Se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída que experimenta como consecuencia de la singularidad, que produce una pérdida de carga local a la que designamos como
∆ℎ
Las pérdidas de cargas locales se expresan genéricamente en función a la altura de velocidad en la tubería. Para calcular las pérdidas locales de energía se utilizará la expresión siguiente:
∆ℎ 2 ∆ℎ::: : :: Donde:
Pérdida de energía o carga local en metros (m). Pérdida
Coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad que genera la pérdida de carga (codo, válvula, etc.). La carga de velocidad, aguas abajo, de la zona de alteración del flujo La
El valor de la velocidad media del gasto El
8.3.1. PÉRDIDA DE CARGA A LA ENTRADA DE UNA TUBERÍA Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque
Gráfico 3. Perdida de Carga a la Entrada de una Tubería. Rocha. A (2006)
A la entrada de las tuberías tuberías se produce una pérdida (∆h) por el efecto de contracción que sufre la vena líquida y la formación de zonas de separación.
∆ℎ 2
Expresión en la que V es la velocidad media en la tubería. El coeficiente K depende, principalmente, de la brusquedad con que se efectúa la contracción del chorro.
8.3.2. COEFICIENTES DE PÉRDIDAS POR ENTRADA PARA DIFERENTES FORMAS BORDES AGUDOS
Gráfico 4.Bordes agudos. Rocha. A (2007)
=0.5
BORDES LIGERAMENTE REDONDEADOS (R ES EL RADIO DE CURVATURA)
=0.26
Gráfico 5. Bordes Ligeramente Redondeados. Rocha. A (2007)
En este caso el valor de K depende de la relación . El valor 0.26 corresponde a una relación de 0.04. Para valores mayores de , K disminuye hasta llegar a 0.03 cuando es 0.2.
Tabla 2. Radio equivalente vs Coeficiente de Perdida r/D
0
0.04
0.08
0.12
0.16
>0.2
K
0.5
0.26
0.15
0.09
0.06
>0.03
Se recomienda usar una relación de 0.2 para obtener el menor valor de k (0.03).
BORDES ACAMPANADOS (PERFECTAMENTE REDONDEADOS) El borde acampanado significa que el contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirse separación.
Gráfico 6. Bordes Acampanados. Rocha. A (2007)
BORDES ENTRANTES (TIPO BORDA)
=1
Gráfico 7. Bordes entrantes. Rocha. A (2007)
BORDES INCLINADOS
V V
0.5050.303sin∅0.2sin∅
0.50.3cos∅0.2cos∅
Gráfico 8. Bordes Inclinados
BORDES CON SECCIÓN REDUCIDA
V
0.0.15 0.0.25 Gráfico 9. Bordes con sección reducida
BORDES CON DISEÑO HIDRODINÁMICO
0.0.0606 0.0.10 Gráfico 10. Bordes con diseño hidrodinámico
POR ESCOTADURA
b V
DoH
Gráfico 11. Bordes con escotadura
0
(b/D) >1 o ( b/ H) > 0.2 y V> 2 m/seg (b/D) ≤ 1 o ( b/ H) ≤ 0.2
Los valores para k son valores medios que pueden diferir según las condiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores solo se hacen depender de las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad. En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar a estas entradas la forma más hidrodinámica posible.
3. PÉRDIDA DE CARGA A LA SALIDA DE UNA TUBERÍA Tomando la Fórmula de Borda se tiene que:
∆ℎ
Ahora, para determinar la pérdida de carga a la salida de una tubería aparecerá una constante K, la cual dependerá de la relación que existe entre las áreas de los conductos, el área por donde el fluido entra As (a una velocidad Vs) y el área hacia donde el fluido llega A2 (a una velocidad V2).
Gráfico 12. Distribución de Velocidades en un fluido. Rocha. A (2007)
Obteniéndose que la
ℎ 2 ℎ:; :
pérdida equivalente es:
Dónde: Pérdida de carga por salida de tubería, en m; Pérdida Coeficiente de pérdida por salida, sin dimensiones; Coeficiente Vs: Velocidad del fluido a la salida de la tubería, en m/s Velocidad uniforme del fluido en la sección de área A2, en m/s. Velocidad
Tabla 3. Área de salida equivalente vs coeficiente de pérdida.
As/A
K
0.1
0.83
0.2
0.84
0.3
0.85
Si la descarga es al medio ambiente: V2=0 y = , para As=
ℎ
0.4
0.87
0.5
0.88
0.6
0.90
0.7
0.92
0.8
0.94
0.9
0.965
1.0
1.0
8.4. VALORES DE CONSTATE DE PERDIDA P ERDIDA DE CARGA POR TABLA DE FABRICANTES (PAVCO) Las pérdidas por fricción en los sistemas hidráulicos se presentan pérdidas por accesorios, también conocidas como pérdidas menores las cuales son función de la velocidad de flujo y el tipo de accesorio por el cual pasa el agua.
2
Estas pérdidas se calculan de este modo: Donde hm corresponde a la pérdida de altura piezométrica ocasionada por el accesorio (m), v es la velocidad del flujo (m/s), g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2) y k es el coeficiente de pérdidas menores. Tabla 4. Coeficientes típicos de pérdidas menores.
LONGITUD EQUIVALENTE: El valor de Le se denomina longitud equivalente, y es la longitud de una tubería recta del mismo diámetro nominal que el de la válvula, la cual tendría la misma resistencia de esta.
Gráfico 13. Longitud Equivalente
ℎ ∗ ∗ ∆ℎ∗ ℎ ∆ℎ∗ ∗ ∗ ℎ 2 ∗ ∗ …1 ℎ′ℎ′ ∗ ∗ 2 … 2 ∗ ∗ + ∗ ∗ Igualando (1) con (2):
Despejando Le:
Como podemos ver, el valor de L e resulta depender solamente del diámetro de la tubería, del factor de forma (k) y del coeficiente de fricción, lo cual supone un dato importante a la hora de diseñar, ya que otros valores (como la carga inicial o la velocidad del fluido) no limitaran el diseño.
Los valores de , varían según el tamaño de la tubería y la válvula lo que hace que el valor del coeficiente de resistencia K también varíe. Tabla 6. Factor de fricción en función del tamaño nominal.
Tabla 5. Longitud equivalente en función del tipo de válvula.
APLICACIÓN DE VÁLVULAS ESTANDAR 1. VÁLVULAS DE GLOBO Al girar la llave se hace ha ce que el dispositivo sellador se eleve en forma vertical y se aleje del fondo. Esta es una de las válvulas más comunes y es relativamente barata. Sin embargo, es una de las peores en rendimiento en términos de perdida.
340 Imagen 17. Válvula de globo.
2. VÁLVULA DE ANGULO Construcción muy parecida a la de globo. Sin embargo, la trayectoria es más simple, debido a que el flujo llega por la entrada inferior, se mueve alrededor del fondo de la válvula y gira para salir por el lado derecho.
K=150F t t
Imagen 18. Válvula de Angulo.
3. VÁLVULA DE COMPUERTA Si se gira la llave la compuerta se eleva en forma vertical y se aparta de la trayectoria, cuando está abierta completamente, hay muy poca obstrucción del camino del flujo que ocasione turbulencia en la corriente. Es uno de los mejores para limitar la perdida de carga.
K=8F t t
Imagen 19. Válvula de Compuerta.
4. VÁLVULA DE VERIFICACIÓN La función de esta es permitir el flujo en una sola dirección y determinarlo en la contraria. Hay 2 tipos de válvulas de paso, la de tipo bola y la de tipo giratorio. Cuando se halla abierta la del tipo giratorio proporciona una resistencia pequeña al movimiento del fluido lo que da como resultado al factor de fricción:
K=100F t t
Imagen 20. Válvula de Verificación.
La válvula de verificación de tipo bola ocasiona una restricción mayor porque el fluido debe moverse por completo alrededor de ella.
5. VÁLVULA DE MARIPOSA Cuando está abierta por completo, solo la dirección delgada del disco queda frente al flujo, lo que solo causa una obstrucción pequeña. La válvula de mariposa cuando está abierta por completo tiene una resistencia de:
Imagen 21. Válvula de Mariposa.
K=45F t t (válvulas entre 2’ a 8’) K=35F t t (válvulas entre 10’ a 14’) K=25F t t (válvulas entre 16’ a 24’)
EJERCICIOS DE APLICA APLICACIÓN CIÓN Ejercicio n°1
Calcular el gasto que escurre en el sistema mostrado en la figura si el fluido tiene turbulencia plenamente desarrollada (f=0.044). La tubería es de fierro fundido -3
bastante oxidado con una rugosidad de 1.5x10 . El diámetro es de 10 cm. La temperatura del agua es de 25 °C. La embocadura es con bordes agudos.
7 ∗ 2 2 2 6 7 0.1 ∗ 2 0.5 2 1 2 14 5 601. 0.015 0.044 0 . 1 04.045∗5./75
Solución: de la ecuación de energía se obtiene:
Por ser la embocadura con bordes agudos, K 1=0.5, K2 es igual a 1 por corresponder a la entrega de tubería en un depósito. Sustituyendo
Operando,
La rugosidad y f son datos:
Con este valor de f, que es hipotético, se calcula la velocidad V=5.75 m/s Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.
45 / MÉTODO DE LA TUBERÍA EQUIVALENTE
+ ∗
hf = 1. Hallamos la Le
3. 0.04.51 ∗0.1/0.044 +,. ∗ ∗.
2. Aplicamos el método : 7=0.044
V=5.75
.. ∗5.∗5.75 0.045 ⁄ 45 45 45 ⁄
3. Hallamos el caudal
Ejercicio n° 2 Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de in estanque cuya superficie libre está 5 m. por encima del punto de descarga de tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90°y una válvula de globo completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese que la viscosidad cinemática del agua es de
10− .
Datos del Problema: La rugosidad absoluta por fierro fundido asfaltado = 0.000045
TUBER TUBE RA 1
∅
LONGITUD(m) 80 6
“
K ENTRADA CON BORDES AGUDOS ACCESORIO (2 CODOS STANDAR DE 90º) V LVU LVULA DE GLOB GLOBO O COMPLET. ABIERTA SALIDA
Solución: Hallamos el f de Moody:
K1=0.50 K2=1.80 K3=10.0 K4=1.00
1√ √ f 2∗l 2∗log3.71∗ DK ∗.∗ ... .
De la ecuación de energía se obtiene:
5 2 ∗ 2 2 2 2 80 50. 5 2 0.01488 0.1524 ∗ 2 1.8 2 10 2 2 51.075949 V2 2.104238 / 2.104238 0.018241469 0.038384
Sustituyendo
Hallamos el gasto o caudal:
MÉTODO DE LA EQUIVALENTE:TUBERÍA EQU IVALENTE:TUBERÍA hf=
f ++ ∗ 0.0.51.8101 101 ∗0.1524/0.0148 136.95 +. . ∗ ∗. 2.1575788 /
1. Hallamos la Le
2. Aplicamos el método :
5= 0.0148*
3. Hallamos el caudal
0. 0 . 1 524 4 ∗2.1578 0.03936 ⁄
Ejercicio n° 3: Determine el nivel del agua que se debe mantener en el depósito para producir un gasto volumétrico de 0.15 m3/s de agua. La tubería es de hierro forjado con un diámetro interior de 100 mm. El coeficiente de perdidas K para la entrada es 0.04. El agua se descarga hacia la atmósfera. La densidad del agua es 1000 kg/m3 y la viscosidad absoluta o dinámica es de 10-3 kg/m.s. Los codos son para resistencia total (ε = 4.3 x10−5).
Solución: Primero hallamos la diferencia de cargas entre el punto 1 y el punto 2 de salida:
2 2 ℎ ℎ 0 ≅ 20 0
Como datos del grafico podemos obtener:
Sustituyendo:
20 20 2 2 2 2 2 2 → 0.0.4115 19.10 // 100019.10−10.1 → 1.9110 0.13.94′ ′ 0.0165 0.00043 0. 0 8 0.15 4
Hallamos la velocidad del fluido en el interior del líquido mediante la fórmula de caudal.
Ahora con los datos obtenidos y los brindados en el problema aplicamos Reynolds:
Mediante el diámetro en pulgadas hallamos el factor de fricción f, además
/D:
Para determinar la V 2, se aplica la fórmula de caudal, pero en el punto de salida con reducción:
K para contracción = 0.04 Le/D para codo = 18 Reemplazando los datos en la ecuacion: H= 284.71 m
CONCLUSIONES
Con la deducción y aplicación de la Formula de Borda ya podemos solucionar problemas donde se nos pida hallar la perdida de energía local generada por la ampliación brusca de la sección de la tubería. Conociendo la Formula General de Pérdida de Cargas Localizadas se puede determinar la pérdida de energía local para cualquier singularidad presente, ya sea ensanchamiento brusco, contracción, piezas, accesorios, a la salida de tubería, etc.
BIBLIOGRAFÍA: Hall- Hispanoamericana S.A., México. ROCHA, A. (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales. Canales. SOTELO, G (1974). Hidráulica General . Editorial: Limusa S.A. México.
IX.
SISTEMAS DE TUBERIAS
OBJETIVOS ser ie y paralelo. 1. Identificar los sistemas de tubería en serie
2. Analizar la diferencia entre los sistemas de tuberías en serie y paralelo. 3. Escribir las relaciones generales para flujos volumétricos y pérdidas de carga para sistemas de tuberías en paralelo.
4. Si el sistema se encuentra conectado en serie, identificar si es de clase I , clase II o clase III
5. Determinar el flujo volumétrico en cada una de las ramas de un sistema de tubería en paralelo, así como el flujo total, si se conoce la caída de presión en el sistema.
6. Determinar las propiedades de los flujos que se presentarán para cada tipo de tubería
7. Resolver problemas de sistemas sencillos de tubería en serie y paralelo
INTRODUCCIÓN El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la ingeniería , debido a que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo, la distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas hidráulicos de maquinarias, el flujo de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases. El transporte de estos fluidos requiere entonces de la elaboración de redes de distribución que pueden ser de varios tipos:
Tuberías en serie Tuberías en paralelo Tuberías ramificadas Redes de tuberías
En el presente trabajo solo estudiaremos dos clases de tuberías: en serie (donde el fluido sigue una sola trayectoria) y en paralelo (donde el fluido se divide en todas las trayectorias) y cómo identificar cada sistema así como también el desarrollo del método de Hardy Cross para sistemas cerrados de tuberías.
MARCO TEÓRICO MECÁNICA DE FLUIDOS: La mecánica de fluidos es la rama de la física la física comprendida dentro de la mecánica la mecánica de medios continuos que estudia el movimiento de los fluidos los fluidos (fundamentalmente líquidos y gases), así como las fuerzas las fuerzas que lo provocan. La característica fundamental que define a los fluidos los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita.
TRANSPORTE DE FLUIDOS En el estudio de los fluidos surge el problema, el cómo transportarlos, para esto el ser humano diseñó una serie de conductos para los cuales el transporte de los fluidos se realice de manera eficiente, para esto se realizaron estudios para determinar si un determinado fluido se debería transportar por un canal o por una tubería. En los estudios anteriores de la mecánica de fluidos
se
determinaron
las
diferencias entre tubería y canal
SISTEMA DE TUBERÍAS Los sistemas de tuberías están formados por tramos de tuberías aditamentos que se alimentan aguas arriba por un depósito o bomba y descargan aguas abajo libremente a la atmosfera o a otro depósito. En cualquier sistema de tuberías se pueden presentar los tres problemas hidráulicos vistos anteriormente: cálculo de pérdidas, comprobación de diseño y diseño de la tubería. Siempre se trata de
llegar a sistemas determinados en que a partir de unos datos se tienen N incógnitas para N ecuaciones.
En un complejo con tuberías industriales como este, el diseño de ingeniería requiere que los flujos permanentes sean analizados para que las medidas de los tubos y la colocación de las bombas sean correctas.
ADITAMENTOS
BRIDA: Accesorio que sirve para unir
ACCESORIOS: Sirven para cambiar la
tuberías, válvulas y bombas.
dirección del gasto y la sección transversal.
VÁLVULA: un instrumento de regulación y control de fluido
BOMBA es una máquina generadora máquina generadora que transforma la energía con la que es accionada en energía del fluido incompresible que mueve
TUBERÍAS EQUIVALENTES Una tubería es equivalente a otra si es capaz de conducir la misma cantidad de agua con la misma perdida de carga total. Puede ser considerado los siguientes casos: A) Una Tubería Equivalente a otro B) Una Tubería Equivalente a diversos conductos Este segundo caso comprende los problemas de los conductos mixtos, en serie y en paralelo. En la práctica se determina el diámetro o la extensión de un conducto equivalente con el objetivo de estudiarse la sustitución de tuberías o para simple efecto de cálculo.
Ilustración 1. Tubería Normal
∗ 2 2
Se puede expresar la Pérdida de Carga Total en Pérdida de carga por fricción añadiendo una longitud equivalente que produce la misma o parecida por fricción.
Ilustración 2: Tubería más una longitud equivalente
¿Cómo hallamos
∆
?
∆ 2 ∆ ∗ 2 ∗ 2 ∆
Considerándose dos conductos con el mismo coeficiente de rugosidad, el primero de diámetro y longitud y el segundo, de diámetro y longitud , para que el segundo conducto sea equivalente al primero es necesario que la pérdida de carga total sea la misma para el mismo valor de caudal Q. La pérdida de carga total será: Para el primer conducto,
Para el segundo,
Igualándose estas dos expresiones para asegurar la equivalencia de los conductos,
Expresión que permite calcular la extensión de diámetro diferente.
de un conducto equivalente a otra
SISTEMA DE TUBERÍAS EN SERIE Un sistema de tuberías en serie está formado por un conjunto de tuberías que comparten el mismo caudal y tienen diferente sección.
Para un sistema general de N tuberías en serie se verifica que: PRIMERA CONDICIÓN HIDRÁULICA
LA PÉRDIDA DE CARGA TOTAL EN TODO EL SISTEMA ES IGUAL A LA SUMA DE LAS PÉRDIDAS EN CADA UNA DE LAS TUBERÍAS.
. 2 . 2 ℎ
SEGUNDA CONDICIÓN HIDRÁULICA
EL CAUDAL ES EL MISMO EN TODAS LAS TUBERÍAS (ECUACIÓN DE CONTINUIDAD).
⋯
RESOLUCIÓN DE TUBERÍAS EN SERIE
SE NOS PUEDEN PLANTEAR LAS SIGUIENTES CUESTIONES A LA HORA DE RESOLVER UN SISTEMA, ASÍ:
C as os
Incógnit Incóg nita a
Caso I Caso II Caso III
H Q D Tabla 7: Casos en Tuberías en Serie
Datos Dat conocidos D, L, ε, Q, H, D, L, ε, Q, H, L, ε,
Caso I: Sabemos por formula de Darcy que:
ℎ ∗ ∗ 2 2 2 2 2 8 ∗ 4 8 ℎ ∗ 1 2logg3.71 2.5 1 1 2.51 2logg3.71 44
También:
Haciendo:
Reemplazamos:
Para hallar , podemos usar la fórmula de Colebrook – White:
Como
entonces:
Caso II: Usaremos la fórmula de Darcy:
Despejamos el caudal:
ℎ ∗ ℎ 4 1 2logg3.71 2.5 1 1 2logg3.71 2.45 1√ √ 1ℎ ℎ ∗ ℎ 4 1 2logg3.71 2.5 1
Tenemos que el número de Reynolds es:
Contamos también con la fórmula de Colebrook – White:
Sustituimos el caudal y el número de Reynolds:
Caso III:
Usamos la fórmula de Darcy:
Despejamos el diámetro:
Tenemos que el número de Reynolds es:
Contamos también con la fórmula de Colebrook – White:
Sustituimos el número de Reynolds y el diámetro:
1 2logg3.71 . ℎ 42. 51 √ √ ℎ
Tuberías Equivalentes
Los problemas de tuberías en serie pueden resolverse por el método de las longitudes equivalentes. Se dice que dos sistemas de tuberías son equivalentes cuando la misma pérdida de altura produce el mismo caudal en ambos sistemas. A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach:
ℎ 2 8 ℎ /42 8 ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ :
En función del caudal:
Y para la segunda tubería:
Para que las dos tuberías sean equivalentes se ha de verificar que:
Igualando
Despejando
y simplificando:
Regla de Dupuit
Suponemos que tenemos una tubería con dos secciones transversales, una de longitud y diámetro y otra de longitud y diámetro . Ahora, para determinar el diámetro único para una tubería equivalente hacemos.
Ilustración 4: Tuberías con dos secciones transversales
Empleándose la fórmula general de Darcy-Weisbach podremos obtener:
ℎ ∗ ∗ 2 ℎ ∗ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ …1 ℎ …2
Las pérdidas de carga resultarán, en el primer tramo:
Y en el segundo tramo:
Siendo el total:
Para que un conducto sea equivalente:
Igualando las expresiones (1) y (2), resulta:
⋯ … … …
Generalizando,
se
encuentra
para
conductos
en
serie:
SISTEMA DE TUBERIAS EN PARALELO Una combinación de dos o más tuberías conectadas como la mostrada, de tal manera que la corriente fluida se divida entre las tuberías y después se junte de nuevo, es un sistema de tuberías en paralelo. En tuberías en serie el mismo fluido fluye a través de todas las tuberías y las pérdidas de energía mecánica son acumulativas, mientras que en las tuberías en paralelo las pérdidas de energía son las mismas en cualquiera de las tuberías y los caudales son acumulativos.
Ilustración 5. Sistema de Tuberías en Paralelo
Al considerar los sistemas de tuberías en paralelo se supone que las pérdidas menores se suman a las longitudes de cada tubería como longitudes equivalentes. Para la ilustración 5, las condiciones que se tienen que satisfacer son:
∆ ∆ ℎ ∆ ⋯∆ ℎ ℎ ℎ , éé í
Resolución De Tuberías En Paralelo Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos:
Casos
Incógnita
, ,∆, … ,
C as o I Caso II
Datos conocidos
∆
D, L, ε, , D, L, ε, ,
Tabla 8: Casos en Tuberías en Paralelo
Caso I: Este caso no ofrece dificultad puesto que una vez conocida la perdida, se puede calcular el gasto en cada ramal en base a que funciona con una carga igual a la perdida determinada; sabemos que:
∆ ∆⋯∆ ∆ ℎ ℎ ∑ ∆ℎ ℎ ∆ 2 2 ∆ 2 ∑ ∆ 2 2 2 2 2 8 ∗ 4
Perdida de carga por fricción: Perdida de carga local:
Por lo tanto, la energía estará dado por:
Haciendo
Pero:
, obtenemos:
Haciendo
, obtenemos:
Reemplazamos
Despejamos el caudal:
2 ∗ ∆ ∗ ∗ ∆∆
Donde:
∆
: Caudal en el ramal iésimo
: Diámetro de la tubería del ramal iésimo : Perdida de carga en el tramo considerado
: Coeficiente de Darcy del ramal iésimo : Longitud del ramal iésimo : Coeficiente de resistencia del ramal iésimo
8 1 2logg3.71 2.5 1 1 2logg3.71 2.44 51
Además, el factor de fricción lo encontraremos reemplazando fórmula de Colebrook – White
en la
Caso Particular : Suponiendo que solo existen pérdidas por fricción, entonces:
La ecuación del caudal es:
∆ ∆
Además, la fórmula de Colebrook – White quedará expresada así:
1 2logg3.71 2.45 1√ √ 1ℎ
Caso II: Suponemos la existencia de una tubería que transporta el gasto total, equivalente a todos los ramales, con una pérdida en la misma de:
∆∆ ∆ ⋯ ⋯∆ ⋯ 4 2∆ 2∆ 2∆ 2 ∆ 2∆ 2 ∆ 2∆ 4 4 ⋯ 4 2∆ 2∆ 24∆ 2∆ 24∆ ⋯ =
También:
∑ 1 = ∆ ∗ ∗ ∗ ∆ ∑= 1 2logg3.71 2.44 51
De la ecuación de pérdida de carga sabemos:
Entonces:
La fórmula de Colebrook – White será:
Caso particular: Suponiendo que solo existen pérdidas de por fricción
Tendremos que:
∆ ∑ = 1 2logg3.71 2.45 1ℎ√ √
La ecuación de pérdida de carga se convierte en:
La fórmula de Colebrook – White queda expresada así:
Tuberías Equivalentes Considérese un sistema de tubería en paralelo donde las pérdidas en cada uno de ellos se pueden expresar: Según la fórmula de Darcy-Weisbach:
ℎℎ ℎ
Despejando los caudales en cada tubería en paralelo
Supóngase que el sistema quiere ser reemplazado por tubería simple (equivalente) transportando un caudal original con diámetro D℮ (equivalente y la longitud Le (equivalente), entonces las pérdidas de carga atreves de esta será:
ℎ ℎ = [ = ]
Dado que las pérdidas por fricción en cada tubería en paralelo son iguales obtenemos:
En forma genérica
En el caso que se desconoce el caudal en cada tubería, se tomaría los valores de los factores de fricción de cada uno de ella en la zona de turbulencia completa en el caso que se desee determinar el diámetro de la tubería equivalente (poco frecuente en la práctica) hay que hacer un tanteo para calcularlo
MÉTODO DE HARDY CROSS HARDY-CROSS Hardy Cross (nacido en Virginia 1885Virginia 1885hasta 1959), 1959), fue un ingeniero de estructuras estadounidense estructuras estadounidense y el creador del método de cálculo de estructuras conocido
como
método
de
Cross
o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes estructuras de hormigón armado. armado. Este método fue usado con frecuencia entre el año 1935 año 1935 hasta
el 1960, el 1960, cuando fue
sustituido por otros métodos. Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método más usual para resolver una gran cantidad de problemas RED DE TUBERÍAS Se llama red de tuberías a una serie de tuberías conectadas de tal manera que el caudal que sale por una salida dada puede proceder de diversos circuitos. Los problemas de redes son, en general, muy complicados y requieren recurrir a ciertos métodos que hacen posible una mayor simplicidad a la resolución de dichos problemas. Las tuberías se conectan entre sí en puntos denominados nudos o nodos de unión. Los nodos de unión pueden bien ser puntos donde dos o más secciones de tubería se encuentran, o donde el caudal entra o sale de la red.
La red puede ser de dos clases, Red Abierta, se llama también ramificada y la Red Cerrada o de Mallas. Si se unen los extremos de una Red Ramificada, se obtiene una Red Cerrada o de Mallas. La Red Abierta se usa en casos de pequeños servicios. La tendencia actual es la de utilizar métodos que permitan optimizar el costo de la redes hidráulicas, que a su vez implica la utilización de diámetros mínimos. El proceso de cálculo para el análisis de redes cerradas por el método de HardyCross ha sido muy aceptado convirtiéndose en el más utilizado, pero cabe destacar que este método es muy tedioso. Es por esto que se han creado a través de la tecnología computacional métodos que aparte de ser más eficientes son más exactos y brindan resultados mucho más rápidos.
Método de Hardy Cross En este sistema de distribución, el agua puede alcanzar cualquier punto de la red como mínimo por dos caminos diferentes, consiguiéndose una garantía en el servicio considerable. La rotura de una tubería sólo afecta, mediante el cierre de válvulas oportunas, a una pequeña parte de la red, un tramo, además se obtiene un reparto de presiones más uniforme.
El sentido de circulación del flujo en las tuberías de estas redes, no es permanente, cambia con frecuencia, es necesario adoptar hipótesis simplificativas para abordar el problema real. El método de aproximaciones sucesivas de Hardy Cross fue desarrollado por Cross en 1935, tiene como fundamento el Binomio de Newton y está basado en el cumplimiento de 2 principios o leyes:
La ley de continuidad de masa en los nudos
La ley de la conservación de la energía en los circuitos
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de
carga o “pérdida de energía”.
El método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la ley de continuidad de masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular.
Elementos y Nomenclaturas de una Red: a) AB, BC, CD y DA = Lados de la Red b) A, B, C, D
= Nudos o vértices
c) ABC y ADC
= Ramal
d) ABCD
= Malla, Red
, ,, ,
e)
= Caudales Interiores
f)
= Caudales Exteriores
Ilustración 6. Partes de una red
Determinación del reparto de caudales en las redes de distribución de agua: Es el procedimiento más utilizado para determinar los caudales circulantes en una red reticulada cuyos diámetros son conocidos, es necesario partir de diámetros supuestos y comprobar posteriormente los caudales y presiones de servicio. Fue desarrollado por Cross en 1935. Para ello, se calcula un caudal corrector mediante un proceso iterativo, basándose en dos principios hidráulicos fundamentales Se debe tener en cuenta:
igual a cero.
∑ 0
En un nudo, la suma algebraica de los caudales entrantes y salientes es
componen la malla o retícula es nula.
∑ ℎ 0
La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada una de las líneas que
Una vez trazada la red, se inicia el cálculo estableciendo caudales arbitrarios de forma que en cada nudo, los caudales entrantes y salientes sean igual a cero.
Se establece un criterio también arbitrario de signos. Normalmente se toma positivo el sentido horario, de forma que caudales positivos indican que circulan en el sentido del convenio establecido y caudales negativos, en sentido contrario. El significado del signo es meramente físico.
El método consiste en compensar alturas piezométricas o en compensar caudales. Normalmente, se suele realizar el cálculo haciendo la compensación de alturas piezométricas. Tanto en un caso como en otro es necesario establecer un proceso iterativo.
Los diámetros de las conducciones se deben elegir de forma que la
0.6 1.2 / ∑ ∆ ∑|−|
velocidad , esté comprendida entre
La expresión generalizada de la fórmula de Hardy-Cross es:
El numerador representa la suma algebraica de las pérdidas de carga, si fuese nulo,
∆
también lo sería, lo que indicaría que los caudales
establecidos eran correctos. Por tanto, es necesario indicar un signo positivo o negativo en función del sentido asignado al caudal, como se ha referido anteriormente. El denominador indica, una suma de valores absolutos.
Realizada la primera iteración se corrigen los caudales que puede hacerse al final de cada proceso o incluso, una vez finalizada la primera corrección en la primera malla, afectar a los caudales establecidos.
Corregidos los caudales de inicia un nuevo proceso iterativo hasta obtener prácticamente finalizado.
∆≅0
o menor al 1%, momento en que lo consideramos
El proceso se va efectuando en todas las mallas
Una vez que los caudales han quedado definidos se calculan las presiones en todos los nudos.
Obtención del error: En general la fórmula exponencial que se utilice:
ℎ …… " " ∆ , ó ,í: ℎ ℎ −− !!2!2! −− ⋯
Al haber encontrado en la red elemental, se diferencia del valor exacto , , que viene a ser el error cometido al haber presupuesto un valor incorrecto de Q, lo cual nos permite poner:
Desarrollando el binomio de Newton:
Desechando los términos en que aparezcan potencias de “e” o suprimiendo al 2° grado, tendremos:
Además:
El gasto corregido será:
ℎ −− ℎ 0 −− ∑∑−− ∑ −− ℎ ∑∑ℎℎ
CASOS PARTICULARES
. ℎ .. . ℎ ., .. 1.8∑5ℎ∑ℎ 8 ℎ ℎ ∑ ℎ 2 ∑ ℎ
Para Hazen Williams:
Para Darcy Weisbach: ( = )
Dónde:
Por tanto:
EJERCICIOS DE APLICA APLICACIÓN CIÓN 1._ La figura muestra un sistema de tuberías en paralelo, donde la altura de presión en los puntos A y E son 70 m y 46 m, respectivamente. Calcular el caudal a través de cada una de las ramas de los lazos. Viscosidad cinemática = 2.5 × 10-6 2/ , además considere solo pérdidas de carga por fricción.
Dado que solo existen perdidas de carga por fricción utilizaremos el caso particular cuyas formulas son:
−
RAMAL 1 2 3
1∆∆ 2log (3.71 2.45 1 ) ∆ ∆ ∆ℎ 704624 ∆ 2.×510−
0.30 0.20 0.25
3000 1300 3600
0.00029 0.00004 0.00027
24
0.0826
− 0. 0 0029 2. 5 1 ×3000 ×3000 √ √ 2log3.71×0.30 4√24×0.30 0.0210 ∆ ∆ 30 0.106 0.0826×0.24×0.0210×3000 − 0. 0 0004 2. 5 1 ×1300 ×1300 √ √ 2log3.71×0.20 4√24×0.20 0.0176 ∆ ∆ 24×0. 2 0 0.0826×0.0176×1300 0.064 − 0. 0 0027 2. 5 1√ √ 1 ×3600 ×3600 2log3.71×0.25 4√24×0.25 0.0221 ∆ ∆ 24×0. 2 5 0.0826×0.0221×3600 0.060
2.- El agua se conduce desde la conducción magistral por los tramos CD (L=100m, D=300mm, λ=0.015), AC (L=200m, D=150mm, λ=0.018) Y BC (L=300m, D=200mm, λ=0.020) hacia los depósitos A y B, con cota de nivel de agua de 250m y 200m respectivamente por encima de la conducción magistral. Determine, con qué presión P en la conducción magistral deberá llegar Q2 = 20 lps hacia el depósito A.
En la conducción magistral D, alimenta los depósitos A y B, con la condición específica que hacia el depósito A deberá llegar un caudal
de 20 lps.
Haciendo un esquema del sistema hidráulico de los depósitos con la conducción magistral y su presión requerida, obtenemos los siguientes cálculos:
ITERACIONES DEL PROBLEMA DE LOS DEPOSITOS CON UN NODO DE CONFLUENCIA SEGUN DARCY-WEISBACH TABLA DE CALCULO
TUB ERIA DC B C A C
CO TA
hp( m)
Zc(m) = L(m )
25 3.7 20 0 25 0
2. 09 51. 1.5
1 0 3 0 2 0
251 .57 D(c m) 3 0 2 0 1 5
LA K N 0.0 15 0.0 20 0.0 18
51. 00 154 9.25 391 7.13 SU MA
Q(m cs)
Q/h p
Q(l ps)
0.2 02 0.1 0.0 0.0 00
0.09 685 0.00 354 0.01 276 0.11 315
202 .44 182 20.
La presión requerida en la conducción magistral es de 253.7 mca, o sea 25.37 kgf/cm2
2
H (m)
a*|Q|^N-1
a*Q*|Q|^N-1
Q (m) (m) Otros Cir Circcuit uitos Q (m3 (m3/s)
3.0872
133.2187
3.0872
0.0005
0.0236
4.0333
284.5602
4.0333
0.0005
0.0146
- 4.6488
380.6329
- 4.6488
0.0005
- 3.2383
120.7118
- 3.2383
0.0005
- 0.7667
919.1236
- 0.7667
0.0018
4.0835
358.6043
4.0835
- 0.0016
0.0098
- 2.4354
282.7599
- 2.4354
- 0.0016
- 0.0102
- 2.6673
182.5292
- 2.6673
- 0.0016
- 0.0162
4.6488
380.6329
4.6488
- 0.0016
3.6297
1204.5263
3.6297
- 0. 0.0065
a*|Q|^N-1 N-1 Q*|Q|^N
Q (m) (m)
H (m) (m)
0.0016
- 0.0101 - 0.0264
- 0.0005
0.0101 3
ros Cir Circuit uit Q (m3 (m3/s)
3.1992
135. 4201
3. 1992
- 0. 0006
0. 0230
4.2738
292. 2413
4. 2738
- 0. 0006
0. 0140
-3.2 -3.29 914
324.75 .7563
-3.2 -3.29 914
-0.0 -0.00 006
- 3. 1383
118. 9840
-3 - 3.1383
- 0. 0. 0006
1.04 .0434
871.40 .4018
1.04 .0434
-0.0 -0.00 026
3.0691
314. 4831
3. 0691
0.0001
0. 0099
- 3. 3553
327. 6440
-3 - 3.3553
0.0001
- 0. 0101
- 3. 2432
199. 6963
-3 - 3.2432
0.0001
- 0. 0161
3.2914
32 324. 75 7563
3. 29 2914
0.0001
-0.2 -0.23 381 1166.57 .5796
-0.2 -0.23 381
0.00 .0004
H (m) (m)
a*|Q|^N-1 N-1 Q*|Q|^N
-0.0 -0.00 001
-0.0 -0.01 109 - 0. 0270
0. 00 0006
0. 01 0109
4
Q (m) (m) ros Cir Circ cuit uit Q (m3 (m3/s)
3. 0389
132. 2580
3.0389
0. 0000
0. 0230
3. 9305
281. 2038
3.9305
0. 0000
0. 0140
- 3. 3. 7 76 609
345. 2 29 915
- 3. 3. 7 76 609
0. 0 00 000
- 3.2822
121. 4629
- 3. 2822
0. 0000
-0.0 -0.07 737
880.21 .2162
-0.0 -0.07 737
0.00 .0002
3. 1336
317. 5047
3.1336
- 0. 0002
0. 0097
- 3.2888
324. 6390
-3 -3. 2888
-0 -0. 0002
- 0.0103
- 3.2026
198. 5417
-3 -3. 2026
-0 -0. 0002
- 0.0163
3. 7 76 609
345. 2 29 915
3. 7 76 609
- 0. 0. 0 00 002
0.40 .4032 1185.97 .9770
0.40 .4032
-0.0 -0.00 007
0. 0 00 002
- 0. 0. 0 01 107 - 0.0270
0. 0 00 000
0. 0 01 107
5
H (m) (m)
a*|Q|^N|^N-1 1 Q*|Q| |Q|^N
Q (m (m) ros Cir Circ cuit uit Q (m (m3/s)
3.0500
132.4795
3.0500
- 0.0001
0.0230
3.9541
281.9780
3.9541
- 0.0001
0.0140
-3.6 -3.61 159
339.10 .1070
-3.6 -3.61 159
-0.0 -0.00 001
-3.2721
121.2898
-3 -3.2721
-0 -0.0001
0.11 .1161
874.85 .8544
0.11 .1161
-0.0 -0.00 003
3.0265
312.4699
3.0265
0.0000
0.0097
-3.4000
329.6406
-3 -3.4000
0.0000
- 0.0103
-3.2704
200.4637
-3 -3.2704
0.0000
- 0.0163
3. 61 6159
33 339. 10 1070
3.6159
0. 00 0000
-0.0 -0.02 279 1181.68 .6812
-0.0 -0.02 279
0.00 .0001
H (m) (m)
a*|Q|^N|^N-1 1 Q*|Q| |Q|^N
0.00 .0000
-0.0 -0.01 107 - 0.0270
0.0001
0. 01 0107 6
Q (m (m) ros Cir Circ cuit uit Q (m (m3/s)
3. 0325
132. 1284
3.0325
0. 0000
0. 0230
3. 9167
280. 7507
3.9167
0. 0000
0. 0140
-3.6 -3.66 691
341.39 .3915
-3.6 -3.66 691
0.00 .0000
- 3.2882
121. 5641
- 3. 2882
0. 0000
-0.0 -0.00 081
875.83 .8346
-0.0 -0.00 081
0.00 .0000
3. 0339
312. 8204
3.0339
0. 0000
0. 0097
- 3.3922
329. 2933
- 3. 3922
0. 0000
- 0. 0103
- 3.2657
200. 3302
- 3. 2657
0. 0000
- 0. 0163
3. 66 6691
341. 39 34 3915
3. 66 6691
0. 00 0000
0.04 .0452 1183.83 .8354
0.04 .0452
-0.0 -0.00 001
H (m (m)
a*|Q|^N-1 N-1 Q*|Q|^N
0.00 .0000
-0.0 -0.01 107 - 0. 0270
0. 00 0000
0. 01 0107
7
Q (m (m) ros Cir Circ cuit Q (m3 (m3/s)
3.0337
132.1529
3.0337
0.0000
0.0229
3.9193
280.8363
3.9193
0.0000
0.0139
-3.6 -3.65 530
340.69 .6989
-3.6 -3.65 530
0.00 .0000
-3.2871
121.5450
-3 -3.2871
0.0000
0.01 .0130
875.23 .2330
0.01 .0130
0.00 .0000
3.0220
312.2543
3.0220
0.0000
0.0097
-3.4048
329.8541
-3 -3.4048
0.0000
- 0.0103
-3.2733
200.5459
-3 -3.2733
0.0000
- 0.0163
3.6530
3 40 40. 69 6989
3.6530
0.0000
-0.0 -0.00 031 1183.35 .3531
-0.0 -0.00 031
0.00 .0000
0.00 .0000
-0.0 -0.01 107 - 0.0271
0.0000
0.0107
8
H (m) (m)
a*|Q|^N-1 N-1 Q*|Q|^N
Q (m) (m) ros Cir Circuit Q (m3 (m3/s)
3.0317
132.1135
3.0317
0.0000
0.0229
3.9152
280.6987
3.9152
0.0000
0.0139
-3.6 -3.65 589
340.95 .9549
-3.6 -3.65 589
0.00 .0000
- 3.2889
121.5757
-3 -3.2889
0.0000
-0.0 -0.00 009
875.34 .3428
-0.0 -0.00 009
0.00 .0000
3.0228
312.2938
3.0228
0.0000
0.0097
- 3.4039
329.8150
-3 -3.4039
0.0000
- 0.0103
- 3.2728
200.5308
-3 -3.2728
0.0000
- 0.0163
3. 65 6589
340.9549
3. 65 6589
0.0000
0.00 .0051 1183.59 .5945
0.00 .0051
0.00 .0000
0.00 .0000
-0.0 -0.01 107 - 0.0271
0. 00 0000
0.0107
MÉTODO DE HARDY CROSS PARA EL BALANCE DE PÉRDIDAS ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIAMS CHW N
130 130 para acero acero 1.851
=
0.279 .63
=
∑1
−1
∑1
−1
= 1
1
H (m)
a*|Q|^N-1
a*Q*|Q|^N- 1
Q (m (m)
Otros Cir Circcuito itos Q (m (m3/s)
4.9786
165.9528
4.9786
- 0.0068
0.0232
8.3501
397.6225
8.3501
- 0.0068
0.0142
- 0.8900
178.0043
- 0.8900
-0 -0.0068
- 1.8804
94.0201
- 1.8804
- 0.0068
10.5582
835.5997
10.5582
- 0. 0.0273
3.8302
348.2027
3.8302
0.0004
0.0114
- 2.6419
293.5400
- 2.6419
0.0004
- 0.0086
- 2.7995
186.6362
- 2.7995
0.0004
- 0.0146
0.8900
178.0043
0.8900
0.0004
- 0. 0.7212
1006.3832
- 0. 0.7212
0.0015
- 0.0004
-0 -0.0122 - 0.0268
0.0068
0.0122
MÉTODO DE HARDY CROSS PARA EL BALANCE DE PÉRDIDAS ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIAMS CHW N
130 para acero acero 1.851
=
0.279.63
=
∑1
−1
∑1
−1
= 1
Circuito
Tramo
I
1- 2
0.200
1000
3280.61
0.03
2- 4
0.150
80 800
10647.86
0.021
3- 4
0.125
50 500
16166.16
- 0.005
3- 1
0.200
800
2624.49
- 0.02
4- 6
0.125
500
16166.16
0.011
6- 5
0.125
50 500
16166.16
- 0.009
5- 3
0.150
50 500
6654.91
- 0.015
4- 3
0.125
50 500
16166.16
0.005
II
D (m)
L (m)
a
Q (m3/s)
1
H (m (m)
a*|Q|^N-1
a*Q*|Q|^N-1
Q (m) (m)
Otros Circ ircuito itos Q (m3 (m3/s)
4.9786
165.9528
4.9786
- 0.0068
0.0232
8.3501
397.6225
8.3501
- 0.0068
0.0142
- 0.8900
178.0043
- 0.8900
-0 -0.0068
- 1.8804
94.0201
- 1.8804
- 0.0068
10.5582
835.5997
10.5582
- 0. 0.0273
3.8302
348.2027
3.8302
0.0004
0.0114
- 2.6419
293.5400
- 2.6419
0.0004
- 0.0086
- 2.7995
186.6362
- 2.7995
0.0004
- 0.0146
0.8900
178.0043
0.8900
0.0004
- 0. 0.7212
1006.3832
- 0. 0.7212
0.0015
- 0.0004
-0 -0.0122 - 0.0268
0.0068
0.0122
CUADRO DE CONOCIDAS
MALL MALLA A
(I)
(II)
CAUDALES
ENCONTRADOS
LADO LADOSS 1-2 2-4 4-3 3-1
LONG LONGIT ITU UD (m) (m) 1000 800 500 800
Diám Diámet etro ro(m (m)) 0.200 0.150 0.125 0.200
Ɛ(m)
Ɛ/D
Q(− ⁄ )
0.00003 0.00003 0.00003 0.00003
0.00015 0.00020 0.00024 0.00015
22.9 13.9 -10.8 -27.1
145786 117987 -110008 -172524
f(0) 0. 0.0176 0. 0.0185 0. 0.0189 0. 0.0171
4-6 6-5 4-3 5-3
500 500 500 500
0.125 0.125 0.125 0.150
0.00003 0.00003 0.00003 0.00003
0.00024 0.00024 0.00024 0.00020
9.7 -10.3 10.8 -16.3
98803 -104915 110008 -138358
0.0192 0.019 0. 0.0189 0.018
CON
() 2.38 3.11 -2.98 -2.59 -0.08 2.44 -2.73 2.98 -2.60 0.09
1 2logg3.71 2.51 √ √ Ɵ ℎ 10.10.483∗10∗10−− 0.9%
LAS
104 224 276 96 699 252 265 276 160 952
FÓRMULAS
= + (10^-3 m^3/s)
5.72E-05 5.72E-05 1.04E-04 5.72E-05
2.30E+01 1.40E+01 -1.07E+01 -2.70E+01
-4.73E-05 -4.73E-05 -1.04E-04 -4.73E-05
9.65E+00 -1.03E+01 1.07E+01 -1.63E+01
X. FLUJO EN SISTEMA DE TUBERIAS
INTRODUCCIÓN
El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo, la distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite, y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas hidráulicos de maquinarias, el flujo de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases. Frente a los problemas que se presentan en la vida profesional es importante que el ingeniero civil tenga, los conocimientos básicos sobre flujo en sistemas de tuberías y el uso respectivo de cada una de ellas, además, de tener la capacidad de clasificarlas por tipo, por uso y métodos que en algún momento se van a usar, en el presente trabajo tratamos de dar un alcance de ello. Para ello se tratará de ser lo más específico posible en lo que es tuberías ramificadas: casos, tubería troncal con dos o más ramales con boca de descarga independiente y problema de los tres reservorios. El estudio del flujo en este sistema se realiza utilizando las teorías estudiadas en los capítulos anteriores, estos datos se han recopilado cuidadosamente con el fin de ser lo más conciso posible con el fin de no causar una mala interpretación de los mismos.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL: 1. El objetivo del presente trabajo es estudiar el comportamiento del flujo de agua en los distintos casos de tuberías ramificadas, para tal efecto se acude a diferentes ecuaciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 2. Determinar
la
importancia
de
las
Tuberías
Ramificadas.
3. Demostración de algunas fórmulas utilizadas en el cálculo de elementos utilizados en tuberías ramificadas. 4. Describir el procedimiento a seguir para el desarrollo de problemas relacionados con cada tema tratado. 5. Saber determinar el momento para la utilización de las formulas, ya que las fórmulas utilizadas dependen de muchos factores para su utilización.
MARCO TEÓRICO
TUBERÍAS RAMIFICADAS 1. CONCEPTO: Se habla de tuberías ramificadas cuando el fluido se lleva de un punto a varios puntos diferentes. Los sistemas de tuberías ramificadas están constituidos por una o más tuberías que se separan o dividen en dos o más tuberías (o que se reducen a una sola) y que no vuelven a juntarse de nuevo aguas abajo Este caso se presenta en la mayoría de los sistemas de distribución de fluido, por ejemplo, una red de tuberías de agua en una vivienda, como el ejemplo de la figura.
Una red ramificada, desde el punto de vista topológico, es decir, de la forma de conexión de sus elementos, es aquella en que el camino entre el punto de suministro y cada punto de entrega es único. Ver Figura Ejemplo de red ramificada.
1. En las redes ramificadas, la relación entre el número de nudos (N) y el número de caminos, líneas o tuberías (T) es: T = N – 1, es decir, hay un número de tuberías igual al número de nudos menos uno. En lo anterior se entiende como nudo un punto de bifurcación de la tubería (punto B de la figura) o un punto de entrada o salida de caudal (puntos A, C, D.…H e I). 2. El sentido de circulación queda definido por el nudo de entrada. 3. Se debe cumplir, en cada nudo, que Q = 0. La ecuación anterior es la expresión del principio de conservación de la masa. Permite obtener los
caudales de las tuberías de la red. A continuación, se exponen, a modo de ilustración, los siguientes casos: a) Nudo de unión entre dos tramos de tubería. Ver figura
b) Convenio de signos, en los esquemas: gasto entrante (+) y gasto saliente () Q1 - Q2 = 0; Q1 = Q2. Figura Ejemplo de nudo sencillo. c) Nudo con salida (boquilla). Ver figura.
d) Nudo con tres tres líneas y salida (boquilla). Ver figura
4. La carga a presión, en cada nudo, (p/ g)i, se puede obtener, directamente, con la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre dos nudos consecutivos o, entre el nudo inicial, y aquel cuya carga a presión se desea conocer. Ejemplo: Obtener la expresión para la carga a presión del nudo C, (p/ g)c,
Aplicando Bernoulli: (p/ g) a+ Z a+ (V2a/ 2g) = (p/ g) c+ Z c+ (V2c/ 2g) + hfa-c. Despejando: (p/ g) c = [(p/ g) a+ Z a+ (V2a/ 2g)] - [Z c + (V2c/ 2g) + hfa-c]
2. NÚMERO DE REYNOLDS El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Su valor indica si el flujo sigue un modelo laminar o turbulento. Números Críticos:
Si
Si
Dónde:
<> 202000 00, , 404000,00, :
3. ECUACIÓN DE DARCY En dinámica de fluidos, la ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación empírica que relaciona la pérdida de carga hidráulica (o pérdida de presión) debido a la fricción a lo largo de una tubería dada con la velocidad media del flujo del fluido. Esta fórmula permite la evaluación apropiada del efecto de cada uno de los factores que inciden en la pérdida de energía en una tubería. Es una de las pocas expresiones que agrupan estos factores. La ventaja de esta fórmula es que puede aplicarse a todos los tipos de flujo hidráulico (laminar, transicional y turbulento), debiendo el coeficiente de fricción tomar los valores adecuados, según corresponda.
ℎ 2
4. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad no es más que un caso particular del principio de conservación de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción.
0
Dónde: Q= caudal
I.
CASO I
El caso más sencillo de sistemas de tuberías ramificadas es cuando se tienen 3 tramos, como en la figura.
Este sistema ramificado es gobernado por un sistema de 4 ecuaciones, donde supondremos inicialmente que el diámetro de tubería es constante en cada tramo, por lo cual en la ecuación de Bernoulli generalizada las velocidades se cancelan:
ℎ ℎ ℎ ℎ Deberá resolverse entonces este sistema de cuatro ecuaciones, en donde se pueden tener hasta 4 incógnitas. El problema más común para este tipo de configuraciones de tubería consiste en determinar la tubería y la potencia de la bomba en función de los caudales requeridos en los puntos 3 y 4. Esto es lo que se requiere, por ejemplo, cuando se diseña un sistema de tuberías para una vivienda. SUB CASO A. TUBERÍAS TRONCAL CON 2 O MÁS RÉMALES CON BOCAS DE DESCARGA
TUBERÍAS TRONCAL CON DOS O MÁS RAMALES CON BOCA DE DESCARGA INDEPENDIENTE Conociendo las longitudes, diámetros y rugosidades de las tuberías, así como las cotas piezométricas, se presentará este caso para poder conocer sus caudales de tales tuberías entonces tenemos:
El método de cálculo sugerido es el siguiente 1. Suponer una cota piezométrica en el punto P. 2. Calcular las energías disponibles para cada tramo 3. Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la la ecuación de Darcy
. .
Q=
O bien otra ecuación de la forma:
4. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
5. Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar el valor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación de continuidad.
Ecuaciones a utilizar para el desarrollo de ejercicios de ese tipo:
.. . .. . .. . , , , , , , …
(1)
------>
…
(2)
------>
...
(3)
------>
…
(4)
…
(5)
…
(6)
…
(7)
Además sabemos que el caudal se puede expresar de la siguiente manera:
Entonces de la Ecuación (1), tenemos lo siguiente:
Pero además sabemos que:
Reemplazando en la ecuación anterior:
Todo problema debe cumplir esa ecuación, si cumple se procede con el diseño de la red de tuberías. SUB CASO B. TRES RESERVORIOS
EL PROBLEMA DE LOS TRES RESERVORIOS En la siguiente figura se muestran tres estanques (reservorios) ubicados a diferentes niveles, que están comunicados entre sí por un sistema de tuberías que
concurren en un punto P Los valores de z corresponden a las cotas piezométricas. En los estanqes corresponden a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P, zp representa la suma de la elevación topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión. Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal (características de la tubería) y cotas piezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto en cada ramal (Q) y la cota piezométrica del punto P. Para determinado problemas pueden presentarse diferentes combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.
El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo. En el problema de tres reservorios existen tres casos.
CASO I
>
CASO 2
1
CASO 2 (
<
):
Datos:
,,
Ley de Continuidad:
CASO 3
1
Incógnitas:
>
ℎ ℎ ℎ 3
> ,,
CASO 3 ( Datos:
):
Ley de Continuidad:
ℎ ℎ ℎ
Incógnitas:
MÉTODOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE TRES RESERVORIOS 1. Suponer un valor para la cota P. 2. Se calculan las pérdidas de cargas, ecuación de continuidad y gasto en cada tubería con la siguiente ecuación.
.√ √ .
3. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo. SUB CASO C
Asumimos que h 1= MN
II.
CONCLUSIONES 1. Para la solución de ejercicios sobre tuberías ramificadas se debe hacer un análisis exhaustivo al momento de desarrollar problemas relacionados con tres reservorios ya que depende mucho del análisis que se realice para encontrar la solución. 2. Seguir el procedimiento descrito en cada caso para poder determinar la solución a los problemas planteados. 3. Las tuberías ramificadas es uno de los sistemas de tuberías, las cuales su solución no es muy compleja, dado que su exactitud y veracidad de los resultados dependerá de los procedimientos de cálculos seguidos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. SEA UN SISTEMA DE TRES RESERVORIOS. LOS DATOS SON: Z1 = 123 m L1 = 1015 m D1 = 8” f1 = 0.02
Z2 = 100m L 2 = 2000m D2 = 10” f 2 = 0.018
Z3 = 80m L3 = 1200m D3 = 6” f 3 = 0.015
CALCULAR EL GASTO EN CADA UNO DE LOS RAMALES. SOLUCIÓN 123m
100m 1 2
zp 80m 3
-A partir de la ecuación:
.√ √ . 0.0.00145√ √ 145188√ √ ℎ 188 ℎ 0.0074√ √ 074 ℎ
-Determinamos la ecuación de descarga en cada tubería
-Ahora iniciamos el cálculo suponiendo que para el nudo Zp= 100m
ℎℎ 10 30 ℎℎ 19 30
49.59.95// ℎ 10 59.5/ ./ 63.33.29// ℎ 1 18.8/ . / ℎℎ 19.21.55 64 / ℎ 0.5 13.3/ 34.3/ . / ℎℎ 20 ℎ 64.8/ 0 0/ 20 33.1/ . /
-Entonces
Zp= 101m
Zp= 100.5m
Zp= 100m
-Llevando estos datos a un gráfico, obtenemos:
62/ -Y la cota piezométrica Zp = 102m
27/ 35/
112
-54.1 110
108
106 -22.8
104
102 10.5 16.4 31.7 100 -60
-50
-40
-30
-20
Grafica para hallar la cota piezométrica
-10
0 Q1 - (Q2+Q (Q2+Q3) 3)
10
20
30
40
2. PARA EL SISTEMA MOSTRADO EN LA FIG. 03, DETERMINE LA DISTRIBUCIÓN DE FLUJO QI DEL AGUA Y LA CARGA PIEZOMÉTRICA H EN LA UNIÓN. LA POTENCIA SUMINISTRADA AL FLUIDO POR LA BOMBA ES CONSTANTE, IGUAL A Γ QH_P=20 KW
SUPONGA
FACTORES DE FRICCIÓN CONSTANTES.
SOLUCIÓN -Las longitudes y coeficientes de resistencia equivalentes se calculan con las ecuaciones siguientes:
Le Df ∗ K R 8f gπLiDLe L 0.0.1052 x 2 15 m ; R 9.818 xx π0.0 x2 x065. 1515 1.1.4242 x 1010 s/m L 0.0.01150 x 1 6.7 m ; R 9.88x10.x0π15 xx0.0106.. 10107 1.1.3232 x 1010 s/m L 0.0.01250 x 1 4 m ; R 9.881xx0.π025 x x0304. 1010 6.6.2828 x 1010 s/m z H HRQ
-Reemplazamos valores para cada tramo de tuberías obtenemos:
-Supongo las direcciones de flujo mostrados. La ecuación de energía para la tubería 1 desde el depósito hasta la unión B es: -En la cual H es la carga piezométrica en B. si sustituimos los parámetros conocidos, se resuelve para H y se obtiene:
20 x 10 H10 9800Q – 1.42 x10x10Q H 10 2.Q04 14142020QQ Q H RZ 1.H30 3 2 x 10 Q H RZ 6.H15 28 x 10 ∑Q 0
-Una solución iterativa se muestra en la tabla adjunta. Se estimó un valor de Q1 para cada iteración. Entonces, se calcula el valor de H y se evalúan Q2 y Q3 de las relaciones:
-En la última columna de la tabla, se emplea un balance de continuidad para verificar la precisión de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 está basada en una interpolación lineal con y los valores de Q1 y ∆Q de las dos primeras iteraciones.
-La solución aproximada es H = 43.64 m, en el cuadro los caudales están en m3/s y para pasarlo a litros se multiplica por 1000 y por ello tenemos que:
Q 54 L/sL/s Q 32 L/sL/s Q 21 L/s.s.L/
3. EN EL SISTEMA MOSTRADO EN LA FIGURA HAY UNA BOMBA QUE SUMINISTRA A LA CORRIENTE UNA POTENCIA DE 40 HP. CALCULAR EL GASTO EN CADA TUBERÍA. CONSIDERAR F = 0,02 EN TODAS LAS TUBERÍAS. (PARA LOS EFECTOS DEL PROBLEMA CONSIDERAR PARA LA BOMBA UNA EFICIENCIA DEL100 %).
SOLUCIÓN -La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dado por la ecuación
ℎ 0.0827
-La ecuación de descarga de las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación.
3.477 ℎ/ 0.0188ℎ// 0.0326ℎ
-Remplazando los datos en cada tramo se obtiene:
ℎ 14.67 ℎ 107.63
-Iniciamos el cálculo suponiendo un gasto de d e Q=100 l/s ( en la bomba ) -La pérdida de carga en el tramo 1 es:
ℎ 14.67 0.15
-La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99.85m. -La energía teórica suministrada para la bomba es.
70401 30.4 ℎ 76 10000.
-La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130.25m. -La pérdida de carga en el tramo 2 es
ℎ 107.63 1.08
-La cota piezométrica en el nudo resulto ser 129.17m -La energía disponible ( que se consume íntegramente en fricción ) en el tramo 3 es
-Y el gasto resultante es.
ℎ 129.171254.17 0.0188ℎ/ 38.4/ 0.0326ℎ/ 98.7/ 0 37.1/
-La energía disponible para el tramo 4 es 9.17m y el gasto resultante es
-Para verificar la ecuación de continuidad se requeriría que
O bien
-Sin embargo encontramos que para el gasto supuesto
-Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos. -Hacemos un nuevo cálculo con Q = 110 l/s y obtenemos
8.91/
-Hacemos un nuevo cálculo con Q = 108 l/s y obtenemos
1.2/ 2.1/
-Hacemos un nuevo cálculo con Q = 108.7 l/s l/s y obtenemos -Llevamos estos valores a una gráfica.
-Finalmente se obtiene Q=108.3 l/s, redondeando los valores l/s se obtiene
108
24/ 84 /
4. SEA UN SISTEMA DE TRES RESERVORIOS. LOS DATOS SON: 1= 1000 1 =
m
120 m
= 8’’
2= 2000 2 =
m
100 m
= 10’’
3= 1200 3 =
m
80 m
= 6’’
, , ,
CALCULAR EL GASTO EN CADA UNO DE LOS RAMALES. SOLUCIÓN: -A partir de la ecuación
, / ,,,,
-Iniciaremos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110m y luego las iteraciones serán para las cotas siguientes.
-Entonces procediendo a iterar tendremos:
TABLA DE ITERACIONES PARA SUBCASO A:
RAMAL L(m) 1 1000 2 2000 3 1200 ITERACION 1 1 1000 2 2000 3 1200 ITERACION 2 1 1000 2 2000 3 1200 ITERACION 3 1 1000 2 2000 3 1200 ITERACION 4 1 1000 2 2000 3 1200 RESULTADO 1 1000 2 2000 3 1200
D (pulg) 8 10 6
f 0.02 0.018 0.015
z 120 100 80
zp 110 110 110
hf 10 10 30
8 10 6
0.02 0.018 0.015
120 100 80
105 105 105
8 10 6
0.02 0.018 0.015
120 100 80
8 10 6
0.02 0.018 0.015
8 10 6 8 10 6
. .
Q=
0.0458 0.0596 0.0407
Q (lit/s) 45.8 59.6 40.7
Q1-(Q2+Q3)
15 5 25
0.0560 0.0421 0.0372
56.0 42.1 37.2
-23.2
101 101 101
19 1 21
0.0631 0.0188 0.0341
63.1 18.8 34.1
10.2
120 100 80
100.5 100.5 100.5
19.5 0.5 20.5
0.0639 0.0133 0.0336
63.9 13.3 33.6
16.9
0.02 0.018 0.015
120 100 80
100 100 100
20 0 20
0.0647 0.0000 0.0332
64.7 0 33.2
31.5
0.02 0.018 0.015
120 100 80
102 102 102
18 2 22
0.06204 0.02665 0.03485
62 27 35
0
-54.5
GRAFICA DE ITERACIONES
zp -54.5
-23.2
10.2 16.9 31.5
GRAFICA DE ITERACIONES
zp -54.5
-23.2
10.2 16.9 31.5
Q 1-(Q 2+Q 3)
5.- DETERMINAR EL GASTO QUE FLUYE EN CADA UNO DE LOS RAMALES DEL SISTEMA DE ABASTECIMIENTO DE AGUA MOSTRADO EN LA FIGURA Y HALLAR LA PRESIÓN EN EL PUNTO P.
5.- DETERMINAR EL GASTO QUE FLUYE EN CADA UNO DE LOS RAMALES DEL SISTEMA DE ABASTECIMIENTO DE AGUA MOSTRADO EN LA FIGURA Y HALLAR LA PRESIÓN EN EL PUNTO P.
LA ELEVACIÓN DEL PUNTO P ES 10 M. INICIALMENTE LA VÁLVULA ESTÁ COMPLETAMENTE ABIERTA L1 = 5,2 KM L2 = 1,25 KM
D1 = 16”
CH1 = 100 (ACERO USADO)
D2 = 10”
CH2 = 120 (CEMENTO
D3 = 10”
CH3 = 120 (CEMENTO
PULIDO) L3 = 1,5 KM
PULIDO) SI SE AUMENTA LA PRESIÓN EN EL PUNTO P HASTA 20 M DE COLUMNA DE AGUA (CERRANDO LA VÁLVULA UBICADA EN EL RAMAL 2), DETERMINAR EL NUEVO VALOR DE GASTO EN CADA TUBERÍA Y LA PÉRDIDA DE CARGA EN CADA VÁLVULA. SOLUCIÓN -La ecuación de Hazen y Williams es De donde;
0,0,0004 00042626 ,,
, , 0, 0 00426 ℎ , , ℎ Siendo K característico de cada tubería e igual a
, , , , ,
-Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de K
25,19,638ℎ3ℎ,, 17,52ℎ,
-Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces
ℎ 20 ℎ 10 ℎ 20
-Que son las energías disponibles en cada tramo. -Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula.
129,9, 12 5 / 88, 88 , 3 / 4141,,2 / ℎℎ 0, 4,4,006004173 , 6 ℎ 25 146,04 / ℎℎ155 4646,7575,,,16 // 24,3 ℎℎ2222,7 5,5 5757.13138.84/// será simplemente la diferencia,
-Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es
Pp=15m
Pp=17,5 m
ℎ 1717,,5 8282,,2 / 1.6 Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad.
III.
BIBLIOGRAFÍA A. Rocha, Hidráulica de tuberías y canales. G. Sotelo, Hidráulica general Vol. 1, Editorial Limusa, México Df (1997) V. Streeter, Mecánica de fluidos, Mc Graw-Hill (2000)
XI.
CANALES
INTRODUCCIÓN
El informe presente trata sobre canales para la comprensión del mismo, un canal está destinado a la conducción de fluidos generalmente utilizada para agua y que, a diferencia de las tuberías, es abierta a la atmósfera. También se utilizan como vías artificiales de navegación. La descripción del comportamiento hidráulico de los canales es una parte fundamental de la hidráulica y su diseño pertenece al campo de la ingeniería hidráulica, una de las especialidades de la ingeniería civil. Cuando un fluido es transportado por una tubería parcialmente llena, se dice que cuenta con una cara a la atmósfera, por lo tanto, se comporta como un canal. En el desarrollo de nuestro trabajo mostraremos como la geometría del canal, tipos de flujo, etc. juegan un papel importante en factores como distribución de velocidad, distribución de presiones.
OBJETIVOS
Objetivos Generales
1. Obtener conocimientos sobre la geometría del canal, partes que lo componen, y las relaciones que pueden surgir a partir de estos.
2. Comprender la distribución de velocidades en un canal y factores que afectan dicha distribución.
Objetivos Específicos Desarrollar la distribución de presiones en un canal y determinar cómo se ve afectada por la pendiente del mismo. Entender qué es Momenta o Fuerza Específica, Flujo Crítico, Salto Hidráulico en canales abierto.
CANALES Concepto: Son estructuras de conducción, que conducen fluidos líquidos por acción de la gravedad, pudiendo ser abiertos o cerrados, pero a presión constante, pues la superficie libre del líquido está en contacto con la atmósfera. Los canales pueden ser naturales (ríos o arroyos) o artificiales, es decir aquellos construidos por el hombre (Geometría o formas definidas), tales como: sección triangular, rectangular o trapezoidal, etc) En ingeniería se denomina canal a una construcción destinada al transporte de fluidos (generalmente utilizada para agua) y que, a diferencia de las tuberías, es abierta a la atmósfera. También se utilizan como vías artificiales de navegación. La descripción del comportamiento hidráulico de los canales es una parte fundamental de la hidráulica y su diseño pertenece al campo de la ingeniería hidráulica, una de las especialidades de la ingeniería civil e ingeniería agrícola. Cuando un fluido es transportado por una tubería parcialmente llena, se dice que cuenta con una cara a la atmósfera, por lo tanto, se comporta como un canal.
Clasificación de Canales: Secciones Transversales más Frecuentes b.1. Canales Naturales: Un canal natural es generalmente de forma muy irregular, y varía de un lugar lugar a otro, la sección transversal de un canal natural y viejos de tierra es PARABÓLICA.
b.2. Canales Artificiales: Los canales artificiales, usualmente se diseñan con formas geométricas regulares (prismáticos), los más comunes son las siguientes:
Sección Trapezoidal: Trapezoidal: Se usa usa siempre en canales de tierra y en canales revestidos.
Sección Rectangular: Se emplea para acueductos de madera, para canales excavados en roca y para canales revestidos.
Sección Triangular: Triangular: Se usa para para cunetas revestidas revestidas en las carreteras, también en canales de tierra pequeños, fundamentalmente para facilidad de trazo, por ejemplo, los surcos.
a. Elementos de la sección transversal transversal de un canal:
= Tirante de agua, profundidad máxima de agua en el canal.
= Ancho de solera, ancho de plantilla, o plantilla, es el ancho de la base
de un canal.
= Espejo de agua, es el ancho de la superficie libre del agua.
= Ancho de corona. = Profundidad total del canal. = Borde libre.
= Ángulo de inclinación de las paredes laterales con la horizontal. = Talud, es la relación de la proyección a la vertical de la pared lateral
(se llama también talud de las paredes laterales del canal), es decir Z es el valor de la proyección horizontal cuando la vertical es 1. Aplicando
relaciones geométricas trigonométricas, se tiene =
(Ɵ).
= Área hidráulica, es la superficie ocupada por el líquido en una
sección transversal cualquiera.
= Perímetro mojado, es la parte del contorno de conducto que está en
contacto con el líquido.
= =Radio hidráulico, es la dimensión característica de la sección
transversal, hace la función del diámetro en tuberías, se obtiene la
siguiente relación:
/ y̅A/T
̅ = Profundidad media, es la relación entre el área hidráulica y el =
espejo de agua, es decir:
Factor de sección para el cálculo del flujo crítico: Es el producto del área mojada y la raíz cuadrada de la profundidad hidráulica.
CANALES EN EL PERU
óó √ √ /
Canal Talambo Jequetepeque-Zaña
Este canal es parte importante del proyecto de irrigación en la costa norte del Perú. Comprende: Construcción de 42.1 km de canales principales y secundarios revestidos con concreto: Canal Principal de 25.5 km con capacidades de 28.5 a 17.1 m3/s. y Canal Secundario 16.6 km con capacidad de 1 a 5 m3/s., 01 sifón de concreto L=150m con capacidad de 25m3/s., 06 tomas y obras diversas: puentes, pasarelas.
Canal Majes-Siguas
Permitirá derivar las aguas del río Apurímac al Valle del Colca para regar más de 38,500 hectáreas y generar unos 440 mil nuevos empleos, entre directos e indirectos.
Proyecto especial chavimochic
Permitirá derivar las aguas del río Apurímac al Valle del Colca para regar más de 38,500 hectáreas y generar unos 440 mil nuevos empleos, entre directos e indirectos. Es un sistema de irrigación que se extiende en gran parte de la costa del departamento de La Libertad. Deriva aguas del rio Santa para la irrigación de los valles e intervalles de Chao, Viru, Moche y Chicama. Podrá abastecer el riego de aproximadamente 160mil hectáreas de tierra.
Proyecto de irrigación Olmos
El Proyecto Especial de Irrigación e Hidroenergético de Olmos, a desarrollar en el departamento de Lambayeque, Distrito de Olmos en Perú, consiste en el trasvase de las aguas del río Huancabamba de la vertiente del Atlántico a la vertiente del Pacífico a través de un túnel trasandino de 20 km para su aprovechamiento en la irrigación de tierras eriazas y la generación hidroenergética.
PRINCIPIO DE LA ENERGÍA EN CANALES C ANALES ABIERTOS. En hidráulica se sabe que la energía total del agua en metros-kilogramos por kilogramos de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de canal puede expresarse expresarse como la suma de las energías de posición, posición, más la de presión y más la de velocidad, es decir:
Energía total = Energía de posición + Energía de presión + Energía de velocidad En la siguiente figura, analizaremos los factores que influyen en la fórmula para el cálculo de la energía total de un flujo gradualmente variado en canales abiertos.
De la figura podemos deducir que respecto al plano de referencia, la altura “H” de una sección “O” que contiene el punto “A” en una línea de corriente del fluido de un canal de pendiente alta, puede escribirse como: H=Z_A+y_A cos θ+(V_A^2)/(2*g) Dónde:
H = Energía total por unidad de peso Z_A = elevación del punto A por encima del plano de referencia y_A = profundidad del punto A por debajo de la superficie del agua
θ = ángulo de la pendiente del fondo del canal. (V_A^2)/(2*g) = altura de velocidad del flujo en la línea de corriente que pasa a través de A. En general, cada línea de corriente que pasa a través de una sección de canal tendrá una altura de velocidad diferente, debido a la distribución no uniforme de velocidades en flujos reales. Solo en un flujo paralelo ideal con distribución uniforme de velocidades la altura de velocidad puede ser idéntica para todos los puntos de la sección transversal. En el caso del flujo gradualmente variado, sin embargo, para propósitos prácticos, puede suponerse que las alturas de velocidad para todos los puntos de la sección del canal son iguales y, con el fin de tener en cuenta la distribución no uniforme de velocidades, puede utilizarse el coeficiente de energía para corregir este efecto. Luego la energía total en la sección es:
H=Z+y cos θ+α V^2/(2*g)
Pero para un canal de pendiente pequeña (que tiende a θ= 0), lo cual es lo más común en la realidad. H=Z+y+α V^2/(2*g)
Donde:
α = coeficiente de Coriolis para la sección De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección “1” localizada aguas arriba debe de ser igual a la altura de energía total en la sección “2” localizada aguas abajo más la pérdida de energía 〖"h〗 _f " entre las dos secciones.
Z_1+y_1+α (V_1^2)/(2*g)=Z_2+y_2+α (V_2^2)/(2*g)+h_f H_1=E_2+H_f Dónde: hf = disipación de energía entre las secciones (1) y (2)
ENERGIA ESPECÍFICA DE UNA CORRIENTE La energía específica en una sección de canal se define como la energía de agua en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo de este.
V .cosθαθ α . 2
Este concepto de energía energía específica, fue desarrollado en 1912 por Bakmeteff, deriva de la ecuación de Bernoulli. Cuando la distribución de presiones en la
sección es hidrostática, hidrostática, la carga piezométrica piezométrica z+P/γ es constante, y la carga de presión y=P/γ ,siendo "y" el tirante del flujo en el canal. De esta forma la carga hidráulica total en la sección referida al fondo del canal (tomando z=0 en el fondo del canal) es lo que se define como energía específica (E)
α V γ 2
Para canales de pendiente suave la energía específica resulta: E=y+ α (V_m^2)/2g
Despreciando los efectos de no-uniformidad (coef. de
Coriolis = 1): 1): E=y+ E=y+ (V_m^2)/2g. Una expresión de la energía específica en función del caudal (Q) se escribe de la siguiente manera: E=y+ E=y+ Q^2/(2gA^2 ).
CLASIFICACION DE CANALES RESPECTO DEL FLUJO DE ACUERDO AL CONTENIDO DE ENERGIA Y CRITERIO PARA P ARA EL FLUJO CRITICO ENERGIA ESPECIFICA La energía específica se define como la cantidad de energía por unidad de peso es decir por kilogramo de agua que fluye a través dela sección de canal, medida con respecto al fondo del canal.
1α 2 α 2 1.1
Donde Z1=0 (ya que a nivel de referencia es el fondo del canal) obteniéndose la ecuación de la energía especifica:
El concepto de energía específica, fue introducida por Bóris A. Bakmetteffen en 1912 y mediante su adecuada consideración se puede resolver los más complejos problemas de transiciones cortas, en las que los efectos de rozamiento son despreciables. En (1.1), considerando
α 1 2 1.2 , se tiene:
Pero, de la ecuación de continuidad, para un canal de cualquier forma se tiene:
QA 1.3
Sustituyendo (1.3) en (1.2), resulta: E=y+Q^2/(2gA^2 )
(1.4)
Suponiendo que Q es constantes y A es función del tirante, la energía especifica es función únicamente del tirante. Si la ecuación (1.4) se grafica dará una curva de dos ramas, lo cual se puede apreciar del siguiente análisis:
Si y→0=>A→0, y→0=>A→0, luego: Q^2/(2gA^2 ) → ∞=>E→ ∞ Si y→∞=>A→∞, y→∞=>A→∞, luego: Q^2/(2gA^2 Q^2/(2gA^2 ) → ∞=>E→ ∞ es decir, E→ ∞, cuando y→0 asi como cuando y→∞, lo que indica que los valores del intervalo 0
REGIMEN CRITICO Se dice que un canal, o alguna sección de él, está trabajando bajo un régimen crítico, cuando: Posee la energía especifica mínima para un caudal dado, ó Posee el caudal máximo para una energía especificada dada, ó Posee la fuerza especifica mínima para un caudal dado. El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la cual el número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que este es el estado de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal determinado. Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de la siguiente definición: Como V = Q/A, la ecuación E = y + V2/2g, la cual es la ecuación para la energía específica en un canal, puede escribirse como:
2 1.5 1 1 1.6
Al derivar con respecto a y y al notar que Q es constante,
El diferencial de área mojada dA cerca de la superficie libre es igual a T•dd. Ahora dA/ dd = T, y la profundidad hidráulica es d= A/T; luego la anterior ecuación se convierte en:
1 A 1 1.7 2 2 1.8
En el estado crítico de flujo la energía especifica es mínima, o dE / dy = 0. La anterior ecuación, por consiguiente, se convierte en:
donde: d es la profundidad del agua d=A/T
Este es el criterio para flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica. La anterior ecuación también se escribe como:
1 1.9
lo cual significa que F = 1; esta es la definición de flujo crítico. Si el anterior criterio (ecuación 1.5) va a utilizarse uti lizarse en cualquier problema, deben satisfacerse las siguientes condiciones: Flujo paralelo o gradualmente variado Canal con pendiente baja Si el estado crítico del flujo existe a través de toda la longitud de un canal o a lo largo de un tramo de este, el flujo en el canal es un flujo crítico. La pendiente del canal que mantiene un determinado caudal con una profundidad uniforme y crítica se conoce como pendiente crítica Sc. Una pendiente de canal menor que la pendiente crítica producirá un flujo más lento de naturaleza subcrítica para el caudal determinado, tal como se demostrará más adelante, y por consiguiente, se conoce como pendiente suave o subcrítica. Una pendiente mayor que la pendiente crítica producirá un flujo más rápido de naturaleza supercrítica y se conoce como pendiente empinada o supercrítica. Un flujo en estado crítico o cerca de él es inestable. Esto se debe a que un pequeño cambio de energía específica en estado crítico, o cerca él, producirá un cambio grande en la profundidad. Este hecho también puede identificarse en la curva de energía específica. Como la curva es casi vertical cerca de la profundidad crítica, un ligero cambio en la energía cambiaría la profundidad a profundidades alternas mucho más
pequeñas o más grandes, correspondientes a la energía específica después del cambio. Cuando el flujo está cerca del estado crítico, la superficie del agua parece inestable y ondulada. Por lo general, tales fenómenos son causados por pequeños cambios en energía debido a las variaciones en la rugosidad del canal, la sección transversal, la pendiente o algunos depósitos de sedimentos o basuras. Si en el diseño de un canal se encuentra que la profundidad es igual o muy cercana a la profundidad crítica a lo largo de una gran longitud de canal, la forma o la pendiente del canal deben modificarse, si es posible, para asegurar una mayor estabilidad. El criterio para un estado crítico de flujo es la base para el cálculo de flujo crítico. El flujo crítico se puede conseguir en forma práctica:
a) Reduciendo la sección. b) Provocando una sobre elevación del fondo del cauce. c) Utilizando los dos criterios anteriores. De lo anterior los términos del régimen crítico pueden definirse como sigue:
Gasto crítico. Es el gasto máximo para una energía específica determinada, o el gasto que se producirá con la energía específica mínima.
Tirante crítico. Es el tirante hidráulico que existe cuando el gasto es el máximo para una energía específica determinada, o el tirante al que ocurre un gasto determinado con la energía específica mínima.
Velocidad crítica. La velocidad media cuando el gasto es el crítico.
Pendiente crítica. Es el valor particular de la pendiente del fondo del canal para la cual este conduce un gasto Q en régimen uniforme y con energía específica mínima, o sea, que en todas secciones se tiene el tirante crítico.
Régimen subcrítico. Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son mayores que los críticos, las velocidades menores que las críticas y los números de Froude menores que 1. Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de navegación.
Flujo supercrítico. Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los críticos, las velocidades mayores que las críticas y los números de Froude mayores 1. Es un régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos. r evestidos. Los tipos de flujo están representados en la curva de energía específica (Figura 2-1), la zona superior de la curva de energía específica corresponde al flujo subcrítico (d2 > dc) y la inferior al flujo supercrítico (d1 < dc). El número de
Froude F=V/√(g.d), definido anteriormente, es una especie de indicador universal en la caracterización del flujo de superficie libre. La condición del flujo supercrítico se produce cuando F > 1, flujo subcrítico para F < 1 y crítico para F = 1. En flujo subcrítico una perturbación puede moverse aguas arriba, esto significa en términos prácticos, que mecanismos o condiciones de control tales como una compuerta o una caída influyen sobre las condiciones del flujo aguas arriba del control; por ello se afirma que el flujo subcrítico está controlado por las condiciones de aguas abajo. Por otra parte, en flujo supercrítico una perturbación solo puede viajar hacia aguas abajo; estableciendo los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba. En resumen, de lo visto respecto al flujo crítico, los tipos de flujo pueden ser:
TIPOS DE FLUJOS Flujo supercrítico o rápido: Si d1 ó V>Vc ó S>Sc En un flujo supercrítico, toda singularidad causa efecto hacia aguas abajo.
Flujo crítico:
Si d=dc ó F=1 ó V=Vc ó S=Sc
Flujo subcrítico o lento: Si d>dc ó F<1 ó V
En un flujo subcrítico, toda singularidad causa efectos hacia aguas arriba. Figura 2-1 Curva de Energía Especifica.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO DENTRO DE UN CANAL ABIERTO El flujo libre de un líquido en un canal se explica y predice con la aplicación de un número reducido de principios físicos clásicos básicos: el teorema de transporte de Reynolds, la segunda ley de Newton sobre el movimiento, la ley de gravitación Página 2 de 14 universal de Newton, la ley de viscosidad de Newton y las leyes de la termodinámica. Algunos fenómenos hidráulicos se explican o predicen con la aplicación de la ecuación de la energía, otros con la aplicación del principio del transporte de la cantidad de movimiento. En muchas situaciones ambos enfoques se complementan. Para la aplicación del transporte de la cantidad de movimiento en canales es necesario estudiar la función fuerza específica. Aquí se muestran
las características de esa función, que posteriormente permitirá estudiar la ecuación de transporte de cantidad de movimiento lineal o momenta en flujo libre en canales. Parte de la temática que estudia la mecánica de fluidos comprende el tema relacionado con la modelación y análisis dimensional; en esta teoría se definen una serie de elementos, conocidos como números adimensionales, los que facilitan la comprensión y el análisis de algunos fenómenos y la forma en cómo éstos afectarán, en nuestro caso, al flujo de agua. Es posible tener flujo de agua en dos tipos de canales, los abiertos y los cerrados; en el caso de canales abiertos se hace uso de uno de estos parámetros adimensionales. Con base en este número es posible distinguir o encasillar el flujo en tres tipos o estados: el flujo crítico, el subcrítico y el supercrítico. Este parámetro es el número de Froude y, básicamente, relaciona dos tipos de fuerzas, las de gravedad y las inerciales, que dependen de la masa. El comportamiento del flujo se ve delimitado por dos elementos, la viscosidad y la gravedad. El número de Froude se usa cuando el estado de flujo se desea clasificar en función de la acción que sobre él ejerce la gravedad. Es una magnitud fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo. En una sección de un canal en el cual pasa un caudal Q, con una velocidad V, la cantidad de movimiento en unidad de tiempo será: Donde:
…… … … … … 11
= coeficiente de boussinesq
= densidad del fluido = caudal Velocidad media
FUERZA ESPECÍFICA (MOMENTA) Para explicar que es la fuerza especifica debemos recurrir a La segunda ley del movimiento de newton dice que el cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobe el fluido. Consideremos un canal con un flujo permanente cualquiera y un volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y 2, la superficie libre y el fondo del canal, tal como se ve en la figura 1.
Figura 1: grafica para la deducción de la ecuación de la fuerza especifica
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de newton) en las secciones 1 y 2 se obtiene:
si n …………………2 = densidad del fluido = gasto
= coeficiente de boussinesq
=fuerza hidrostática = peso
=fuerza debido a la fricción (tensión de corte)
= ángulo que corresponde a la pendiente del canal
Donde:
L= longitud
sin
= componente del peso en la dirección del escurrimiento
Y=tirante
En la ecuación 2 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es válido para el movimiento uniforme y aproximadamente valido en el movimiento gradualmente variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada una de ellas se aplicable la ley hidrostática. Analicemos la ecuación 2 para un canal horizontal, suponiendo que:
1
La pendiente del canal es horizontal (s=0) entonces entonces
si n 0 cos
Distribución uniforme de las velocidades
El volumen de control tenga peso y fricción despreciables
y
= =1
Entonces la ecuación 2 se reduce a:
Conocemos que:
……………... ……………... (3)
……………4 ………………5 ……………….6 ……………….7 ………………8
Remplazando 5 en 4 nos resulta:
La fuerza hidrostática P es , siendo “ ” la profundidad del centro de gravedad, introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 4 tenemos:
Además, se conoce que: que:
.
……………9 … … … … 10
Remplazando la ecuación 8 en 7 llegamos a:
Como los miembros son análogos se puede escribir:
Cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y por unidad de peso
Fuerza hidrostática por unidad de peso
A la suma de ambos términos se se le llama FUERZA ESPECIFICA O MOMENTA
GRAFICO DE FUERZA ESPECÍFICA Para un canal de sección trasversal dada y por el circula un caudal Q= constante; la fuerza especifica (Fe) es función de la profundidad de flujo: Fe=f (Y); esta relación se muestra en la gráfica de la figura 2
Punto que representa el contenido mínimo de la fuerza específica (Femin ), y tiene una única profundidad de flujo YC
Para un mismo contenido de fuerza específica la curva es interceptada en dos puntos 1 y 2, a los cuales les corresponde las mismas profundidades de flujo (tirantes) y1, y2 respectivamente, profundidades que toman el nombre conjugadas. El siguiente análisis muestra que esta situación que se presenta en la figura 2 corresponde a la condición de flujo crítico y que la profundidad Y C es la crítica.
Derivando la ecuación 10 con respecto a la profundidad de flujo se tiene
. − . .. . . .. . .. . . 1
Considerando que
y
, obtenemos:
Igualando a cero la derivada:
Además e conoce que que convenientemente llegamos a:
y
; agrupando
Obteniéndose así la importante conclusión que la fuerza específica mínima corresponde a condiciones críticas. Al tirante conjugado menor debe corresponder al régimen supercrítico y el mayor al subcrítico.
SALTO HIDRAULICO
TIPOS DE SALTOS HIDRÁULICOS:
Fig N°02: “Salto ondular”, la superficie libre
Fig N°03: “Salto débil”, la disipación de la
Fig N°04: “Salto Oscilante”, se produce efecto de
Fig N°05: “Salto PerPermanente”, Buena disipación
resenta ondulaciones ondulaciones..
ener ía es e ueño.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicio 01 Calcular la energía específica para un canal trapezoidal. Datos: Una sección trapezoidal de ancho de solera b=0.75 y talud z=1 Un caudal Q=0.40 m^3/s SOLUCIÓN
2
Para ello necesitamos el área, el caudal y hallaremos una ecuación para luego poder interpretar la gráfica a diferentes valores del tirante “y”.
0.0.75 50.40 2 9.8110.0.75 5 05082 0.0.0.75
Calculando E para diferentes valores de y y con un caudal Q=0.20, se obtiene la siguiente tabla:
y
E
y
E
0.075
0.6075
0.270
0.2969
0.080
0.5424
0.290
0.3124
0.090
0.4467
0.300
0.3205
0.100
0.3822
0.350
0.3638
0.110
0.3378
0.400
0.4096
0.130
0.2858
0.500
0.5052
0.150
0.2619
0.600
0.6031
0.180
0.2528
0.800
0.8013
0.200
0.2565
1.000
1.0007
0.250
0.2826
4.000
4.0000
Calculando E para diferentes valores de y y con un caudal Q=0.40, se obtiene la siguiente tabla: y
E
y
E
0.075
2.2051
0.270
0.3775
0.080
1.9296
0.290
0.3797
0.090
1.5168
0.300
0.3822
0.100
1.2287
0.350
0.4050
0.110
1.0213
0.400
0.4385
0.130
0.7531
0.500
0.5209
0.150
0.5975
0.600
0.6124
0.180
0.4710
0.800
0.8053
0.200
0.4259
1.000
1.0027
0.250
0.3805
4.000
4.0000
Calculando E para diferentes valores de y y con un caudal Q=0.60, se obtiene la siguiente tabla: y
E
y
E
0.075
4.8676
0.270
0.5119
0.080
4.2417
0.290
0.4917
0.090
3.3004
0.300
0.4849
0.100
2.6396
0.350
0.4738
0.110
2.1603
0.400
0.4867
0.130
1.5320
0.500
0.5470
0.150
1.1568
0.600
0.6280
0.180
0.8348
0.800
0.8119
0.200
0.7083
1.000
1.0060
0.250
0.5436
4.000
4.0001
Da como resultado la siguiente gráfica :
Ejercicio 02 En un canal rectangular, en cierto tramo de su perfil longitudinal y en la dirección de flujo, se produce una contracción y una elevación del fondo, de tal manera que el ancho de la solera se reduce de 2 a 1 m y el fondo se levanta 0.18 m. Considerando que: Aguas arriba de la contracción contracción el tirante es 1.20 m. En la zona contraída la superficie libre desciende 0.12 m. Las pérdidas son despreciables. Calcular el caudal en el canal.
SOLUCIÓN a )Graficando los datos del problema :
b) Aplicando la ecuación de la energía, energía, con respecto respecto al N.R., N.R., entre las secciones 1 y 2, se tiene:
Donde:
2 2 ℎ→→
Z_1=0 (es el niel de referencia)
h_(f_(1→2) )=0 (por condición del problema se considera despreciable) y_1=1.20m Z_2=0.18m y_2=y_1-0.12-0.18 y_2=1.20-0.30=0.90
CONCLUSIONES
Conocer qué es la Fuerza Específica y la Energía Específica nos ayudará a resolver algunos tipos de problemas para canales abiertos.
El número de Froude es de mucha importancia, ya que nos permite clasificar los regímenes de flujo, así como diferenciar distintos tipos de resalto hidráulico.
El flujo crítico es un estado muy inestable, por lo cual su estudio es un poco más detallado con respecto a lo estados subcrítico y supercrítico.
Para que se produzca un resalto hidráulico se requiere que aguas arriba el flujo sea supercrítico, es decir que tenga un número de Froude superior a 1.
El flujo supercrítico es condición necesaria mas no suficiente para que se produzca un resalto hidráulico.
Parte de la importancia de los resaltos hidráulicos radica en la disipación de energía que se ha debido a su existencia, esta es útil, por ejemplo, cuando aguas abajo se requiere que el agua llegue con energía menor para que no dañe el material del que está hecho el canal.
Cuando las fuerzas específicas de los frentes supercrítico y subcrítico del resalto se igualan, éste se estaciona en un tramo del canal.
XII.
CALCULO FLUJO CRITICO
El cálculo del flujo crítico comprende la determinación de la profundidad crítica y la velocidad cuando se conocen el caudal y la sección de canal. A continuación, se dan tres diferentes métodos para la resolución.
MÉTODO ALGEBRAICO Para una sección geométrica simple de canal, el flujo crítico puede determinarse mediante un cálculo algebraico con las ecuaciones básicas.
1.1.1 SECCIÓN RECTANGULAR
Fig Fi g ura 1.1: 1.1: s ección rect r ecta ang ular ular de un c anal nal a) Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario: unitario: Sustituyendo valores en:
Obtenemos:
Teniendo en cuenta
1.1 Agrupamos:
Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección rectangular.
b) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: En sustituyendo, en:
Se obtiene:
. 1.2
c) Relación entre la energía energía específica mínima mínima y el tirante crítico: La ecuación de la energía específica:
2 2 32 1.3
Para las condiciones críticas, se expresa:
Fig Fi g ura 1.2: 1.2: dis tribución ribuci ón de la energ energ ía especific a en en un canal canal rectang rectang ula ular Fuente: ROCHA. Hidráulica de tuberías y canales 1.1.2 SECCIÓN TRIANGULAR
Fig Fi g ura 1.3: 1.3: s ección triang triang ula ular de un canal canal Fuente: MAXIMO VILLON. Hidráulica de canales
a) Relación entre entre el tirante y el caudal Sustituyendo
Obtenemos:
2
en:
2.. . 2 .2. .. 1.4
Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección triangular.
b) Relación entre entre la velocidad velocidad y el tirante crítico: crítico: En 1.4 sustituyendo la ecuación de continuidad, resulta:
Pero
..
2.2.... , luego:
2.2. ... . 1.5
c) Relación entre entre la energía energía especifica mínima mínima y el tirante crítico: De la ecuación:
Reemplazando
2 2 2 .. 2. . 2 4.... 2 4 ,
, obtenemos:
La ecuación de la energía específica:
2
Para las condiciones críticas, se expresa:
54 1.6
Figura 1.4: distribución de energía específica para un canal de sección triangular Fuente: ROCHA. Hidráulica de tuberías y canales 1.1.3 SECCIÓN TRAPEZOIDAL
F ig ura 1.4: s ección ecci ón trapezoida trapezoidall de un canal canal Fuente: MAXIMO VILLON. Hidráulica de canales
a) Relación entre entre el tirante y el caudal Sustituyendo
se tiene:
. . 2. . 2. .. .. 1.7 .. . 2.. 1.8 ,
; valores en la ecuación
Como se observa en la ecuación 1.7, se tiene una ecuación en función de es decir:
,
Resolviendo la ecuación 1.8, se obtiene el tirante tir ante crítico
.
b) Relación entre la energía especifica especifica mínima y e l tirante crítico: Si expresamos el área del trapecio para las condiciones críticas de la siguiente manera:
2 ∗ 2 2 ∗ 2 ∗ 2 4 ∗ 2 4 ∗ 54 ∗ 54 ∗ 1.9
Reemplazando en la ecuación:
Se obtiene:
La ecuación de la energía específica:
Para las condiciones críticas, se expresa:
FIG FI G UR A 1.5: D is tribución ribuci ón de la la energ energía ía especifica especific a en en un ca c anal nal trap trapezo ezoida idall FUENTE: Hidráulica De Canales Y Tuberías, Arturo Rocha Felices
1.1 MÉTODO DE LA CURVA Y VS. Z (TIRANTE VS. FACTOR DE SECCIÓN) Para una sección de canal complicada o natural, por lo general se emplea un procedimiento gráfico para el cálculo del flujo crítico. Mediante este procedimiento se construye una curva de Y versus Z, (ver Figura). Luego se calcula el valor de /√ . A partir de la ecuación 7-8 se obtiene directamente la profundidad crítica de la curva, donde. = /√
FIG FI G UR A 1.6: Curva C urva de y vs . Z para para una s ección circula cir cular. r. Fuente: MÁXIMO VILLÓN. Hidráulica de Canales 1.2 MÉTODO GRÁFICO O DEL CUADRO DE DISEÑO Este método del cuadro de diseño es el más simplificado y rápido, ya que para la determinación de la profundidad crítica basta utilizar la Figura 1-7. De la ecuación:
O también:
1.10 ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ . ⁄⁄ . . . .. . .⁄⁄
Si analizamos las dimensiones del segundo miembro de la ecuación 1-10, se tiene:
Como se observa, , se tiene dimensiones , para que dé como resultado un valor adimensional, se debe dividir entre una longitud elevada a la 2.5, en este caso se puede dividir entre . Dividiendo ambos miembros de la ecuación 1-10 entre
, resulta:
/
Con este valor, en la Figura 1-7, como eje x, se entra por la parte superior hasta interceptar a la curva en Z, luego se encuentra , de donde se calcula .
⁄∅⁄. ⁄
La Figura 1-7 permite calcular el tirante crítico (conocidos Q y b ó Ø) para una sección rectangular, trapezoidal y circular. Para este último caso se entra con
FIGURA 1.7: Curvas para determinar el tirante crítico, en secciones rectang rectang ulares ulares , trapez trapezoidal oidales es Fuente: VEN TE CHOW. Hidráulica de Canales Abiertos 1.3.1 EL FACTOR DE SECCIÓN PARA EL CÁLCULO DE FLUJO CRÍTICO Al sustituir la ecuación de continuidad = / en la ecuación del criterio para flujo crítico 2/2 = /2 y simplificando se tiene:
2.. 2 √ √ 1.11
Cuando se supone que el coeficiente de energía no es igual a la unidad:
1.12
Donde = .√ , es el factor de sección para el cálculo del flujo crítico.
La ecuación 1-12 establece que el factor de sección para una sección de canal en estado crítico de flujo es igual al caudal dividido por la raíz cuadrada de / . Debido a que el factor de sección Z por lo general es una función de valor único de la profundidad, la ecuación indica que existe solo una profundidad crítica posible para mantener determinado caudal en un canal y, de manera similar, cuando se fija la profundidad, que puede existir solo un caudal que mantenga un flujo crítico y que haga crítica la profundidad en una determinada sección. Las ecuaciones 1-11 o 1-12 son herramientas muy útiles para el cálculo y el análisis del flujo crítico en un canal abierto. Cuando se conoce el caudal, la ecuación da el factor de sección crítico y, por consiguiente, la profundidad crítica . Por otra parte, cuando la profundidad y, los factores de sección son conocidos, el caudal crítico puede calcularse mediante la ecuación 1-11 de la siguiente manera:
1.12
O, mediante la ecuación 1-11, como sigue:
Algunas veces se utiliza un subíndice c para especificar la condición de flujo crítico. Para simplificar el cálculo del flujo crítico se han preparado curvas adimensionales que muestran la relación entre la profundidad y el factor de sección Z (Figura 1-7) para canales rectangulares, trapezoidales y circulares. II.
CALCULO FLUJO UNIFORME
2.1 DEFINICIÓN Un flujo es uniforme si la profundidad de un flujo es la misma en cada sección del canal.
Un flujo uniforme puede ser permanente o no permanente, según cambie o no la profundidad con respecto al tiempo. 2.1.1 FLUJO UNIFORME PERMANENTE: Es el tipo de flujo fundamental que se considera en la hidráulica de canales abiertos. La profundidad de flujo no cambia durante el intervalo de tiempo bajo consideración
FIGURA 1: Flujo Uniforme Permanente 2.1.2 FLUJO UNIFORME NO PERMANENTE: Requeriría que la superficie del agua fluctuara de un tiempo a otro, pero permaneciendo paralela al fondo del canal. En efecto, ésta es una condición prácticamente imposible.
FIGURA 2: Flujo Uniforme no Permanente El flujo es uniforme, si los parámetros hidráulicos (tirante, velocidad, área, etc.), no cambian con respecto al espacio, es decir, que las características: profundidad, área trasversal, velocidad y caudal en cada sección del canal son constantes, por lo cual la pendiente de la línea de energía, las pendientes del fondo del canal son numéricamente iguales y por lo tanto son paralelas. Llamando:
=Pendiente de la línea de energía. =Pendiente de la superficie libre de agua. =Pendiente del fondo del canal.
Se tiene: FIGURA 3: Pendientes: Línea de Energía, Superficie libre y Fondo de Canal
*El flujo uniforme no puede ocurrir a velocidades muy altas. Establecimiento del flujo uniforme.
El flujo uniforme ocurre ocurre en un volumen volumen de control cuando cuando la la fuerza de fricción es igual a la fuerza gravitacional. La profundidad del flujo uniforme se conoce conoce como profundidad normal. El tramo de aguas aguas arriba arriba que se requiere requiere para para el establecimiento del flujo uniforme se conoce como zona transitoria. En esta zona el flujo es acelerado y variado.
Pendiente Subcrítica: El agua en la zona de transición aparece ondulante. El flujo es uniforme en el tramo medio del canal pero variado en los dos extremos.
FIGURA 4: Establecimiento de Flujo Uniforme en un Canal largo con pendiente Subcrítica
Pendiente Crítica: La superficie del agua del flujo crítico es inestable. En el tramo intermedio pueden ocurrir ondulaciones, pero en promedio la
profundidad es constante y el flujo puede considerar uniforme FIGURA 5: Establecimiento de Flujo Uniforme en un Canal largo con Pendiente Crítica
Pendiente Supercrítica: La superficie de agua en la zona transitoria pasa del nivel subcrítico al nivel supercrítico a través de una caída hidráulica gradual. Después de
la zona de transición el flujo se aproxima al uniforme. FIGURA 6: Establecimiento de Flujo Uniforme en un Canal Largo con Pendiente Supercrítica La profundidad del flujo uniforme se conoce como profundidad normal. En todas las figuras la línea de trazos largos representa la línea de profundidad normal, abreviada como L.P.N., y la línea de trazos cortos representa la línea de profundidad crítica o L.P.C. La longitud de la zona transitoria depende del caudal y de las condiciones físicas del canal, como la condición de entrada, la forma, la pendiente y la rugosidad. Desde un punto de vista hidrodinámico, la longitud de la zona de transición no deberá ser menor que la longitud requería para el desarrollo completo de la capa límite bajo las condiciones dadas
Expresión de la Velocidad del flujo uniforme En general, la velocidad media del flujo uniforme se describe por la siguiente fórmula: Donde:
. .
=Coeficiente de fricción =Radio hidráulico , = Exponentes de R y S respectivamente = Radio hidráulico: = Pendiente de energía. Formula de Chezy
La fórmula se originó en 1768 cuando el ingeniero francés Antoine Chezy recibió el encargo de diseñar un canal para el suministro de agua a París. Las experiencias realizadas por Chezy le permitieron establecer la primera fórmula de flujo uniforme, para el cálculo de la velocidad media en un conducto, la cual se expresa como:
. × × Donde: v = Velocidad media del canal en, m/s C = Coeficiente de Chezy que depende de las características del escurrimiento y de la naturaleza de las paredes r = Radio hidráulico, en m s = Pendiente de la línea de energía para flujo uniforme, es también la pendiente de la superficie libre de agua y la pendiente del fondo del canal, en m/m.
2.2 DEDUCCIÓN DE DE LA FÓRMULA DE CHEZY Esta fórmula se obtiene del balance de fuerzas, que ocurren en un elemento fluido no sometido a acciones de aceleración. Considerando un tramo de una canal, de longitud L y cualquier sección
como se ilustra en la figura7 FIGURA 7: Definición esquemática de las variables para la derivación de la Ecuación de Chezy De la figura 7 se tiene:
ℎ ℎ ℎ
sen =
/
Como en la práctica la pendiente en los canales es pequeña ( entonces: a) sin = tan = S = Donde
/
es la disipación de la energía en el tramo
b) También
= cos (
= =
<< 5”)
)
Si el flujo es uniforme, el tirante y la velocidad media permanecen constantes, de ese modo, en las caras perpendiculares a la dirección del flujo, separadas entre sí por la longitud . actúan las fuerzas hidrostáticas iguales y de sentido contrario. Las fuerzas que completan la condición de equilibro son: la componente del peso en la dirección del movimiento; = sin , y la de rozamiento ’, entre el fluido y el contorno sólido. Esta última fuerza es directamente proporcional al área 2, de contacto ( . ) y al cuadrado de la velocidad ( 2), es decir, ′ = siendo el coeficiente de fricción.
Luego la ecuación de equilibrio será:
ℎ ′′ 2 …………………. … . . ( )
sen =
Donde = =
(
)
Es decir = … … … … .……………. . ( ) Además sen = … .… ….. ………………. ( ) Sustituyendo (
) y ( ) en ( ), ), resulta:
2
=
Despejando
2
Pero
Además, haciendo
Constante que depende del fluido y de las condiciones de rugosidad del canal.
Resulta 2 = ′
Extrayendo la raíz cuadrada, se tiene: 2 =
′.
Haciendo: = √ ′. √
Extrayendo la raíz cuadrada, se tiene:
√ ′= Se obtiene finalmente = √
(
)
ECUACIÓN DE MANNING Robert Manning presentó una fórmula cuyo uso se ha extendido a casi todas las partes del mundo. Proviene de considerar en la fórmula de Chezy un coeficiente C igual a:
Como: Donde:
1 / √ √ ∗ 1 // 1 // 1 87√ √ 1 87√ √ ∗ √ √
El caudal por la fórmula de Maning es:
= Caudal o gasto, en 3/ . = Coeficiente de rugosidad de la pared. = Área hidráulica de la sección transversal en = Radio medio hidráulico, en . = Pendiente del canal.
ECUACIÓN DE BAZIN
2
Henry Bazin en 1897 de acuerdo con sus experiencias, presento en el sistema métrico, la siguiente expresión para :
Luego:
Donde
= velocidad media, / = radio hidráulico, = pendiente de la línea de energía, / = coeficiente que depende de las características de rugosidad de la pared del canal.
Bazin de forma experimental, determino algunos valores de , los cuales son:
• = 0.06 para paredes de plancha metálica, cemento liso o madera cepillada
• • • • •
= 0.16 para paredes de ladrillo, o madera sin cepillar = 0.46 para paredes de mampostería = 0.85 para canales en tierra = 1.30 para canales en tierra ordinarios = 1.75 para canales en tierra muy rugosas, cubiertos con maleza y cantos rodados
2.3 CÁLCULO DE FLUJO UNIFORME El gasto de flujo f lujo uniforme en un canal puede expresarse como el producto de la velocidad y el área mojada. Las fórmulas que se aplican para el diseño de canales con flujos uniforme conocida y utilizadas son:
• Continuidad: Q = V. A • Manning:
./// /
… … … … … … … Sistema Métrico … … … … … … … Sistema Inglés
• Chezy:
. × × // / /
Donde:
= Velocidad media, en / . = Radio Hidráulico, en . = Pendiente longitudinal del canal, adimensional. = Factor de resistencia, adimensional. = Área hidráulica del canal, en 2. = Gasto, en 3/ .
Expresándola en función de la velocidad:
2.1.1 2.3.1 FACTOR DE SECCIÓN, PARA EL CÁLCULO DE UN FLUJO UNIFORME:
• Cuando se conoce
, , :
- Existe una profundidad para mantener el flujo uniforme.
- El factor de sección debe aumentar con la profundidad. - Esta profundidad es la profundidad normal. • Cuando se conoce
, , :
-Nos da el factor de sección.
METODO CLASICO PARA EL DISEÑO DE CANALES 2.1 FÓRMULAS CLÁSICAS CLÁSICAS PARA EL DISEÑO DE CANALES
FÓRMULA DE CHEZY
√ √ 3.1
FÓRMULA DE KUTTER
100 √ √ 3.2 √ √ + √ √ 3.3
Así:
Donde:
/ + 3.4 + √ √ 3.5
= velocidad media, en = radio medio hidráulico en = pendiente del canal = coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las paredes del canal
FÓRMULA DE BAZIN
Por tanto: Donde:
= velocidad media, / = radio hidráulico, = pendiente de la línea de energía, / = coeficiente que depende de las características de rugosidad de la pared del canal.
FÓRMULA DE MANNING
1 3.6
Donde: Q = Caudal o gasto, en m3/S n = Coeficiente de rugosidad de la pared A = área hidráulica de la sección sección transversal en m2 R = radio medio hidráulico, en m S = pendiente del canal
2.2 METODO CLASICO 2.2.1 APLICANDO LA FÓRMULA MANNING El procedimiento consiste en agrupar en un solo miembro de la fórmula de Manning, los valores conocidos y en el otro las variables que estarán en fundón del tirante normal y cuyo valor podría determinarse a través de un proceso de tanteos. Simbólicamente el procedimiento a seguir es el siguiente: De la fórmula de Manning, se tiene:
1
Los valores conocidos para el diseño: Q, n, S y Z Los valores desconocidos son: A, R, Y, T y P. Luego agrupando los valores conocidos, tenemos:
3.7
Como A y R son funciones del tirante “Y” Entonces:
El valor normal “Y” “ Y” puede determinarse por tanteos.
III.
METODO MODERNO PARA EL DISEÑO DE CANALES
3.1 FÓRMULA MODERNA MODERNA EN EL DISEÑO DE CANALES Hasta ahora hemos considerado las fórmulas clásicas, que son aplicables a la zona del flujo rugoso; sin embargo, trabajos más recientes desarrollados en la década de 1930 y basados en las experiencias de Darcy, puede utilizarse para cubrir la zona de flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición, así como en la zona rugosa utilizando el diagrama de Moody o de fórmulas
empíricas para el factor de fricción “f” Recordando que la fórmula general de la velocidad para el flujo uniforme es:
Entonces:
88 4.1 ∗ ∗ 88 4.2
Que es la fórmula moderna para el diseño de canales o fórmula de Darcy por contener al factor de fricción “f”, Donde: Q = Caudal, en m3/S A = área hidráulica de la sección sección transversal, en m2 g = aceleración de la gravedad, en m/s2 f = factor de fricción (adimensional) R = radio medio hidráulico, en m S = pendiente del canal 3.2 METODO MODERNO 3.2.1 APLICANDO LA FÓRMULA DE DARCY El procedimiento consiste en calcular primero f. Luego determinamos la velocidad mediante la ecuación 4-3. Se calcula el número de Reynolds del flujo utilizando la expresión:
4 4.3
Donde: R = radio medio hidráulico de la sección, en m. V = Velocidad media en la misma, en m/s
= Viscosidad cinemática del agua en m2/s, se calcula “f” con las fórmulas empíricas de Colebrook modificada.
1 1,142log3,71 9,3 5 4.4
Si este f no coincide con el cálculo original, se continúa con una segunda iteración, utilizando el f que se calculó. Se procede de esta forma hasta que se alcanza buena concordancia entre el f insertado y el calculado. Si desean utilizarse ecuaciones para calcular f, debe conocerse en que zona del flujo se está. Para flujo en tuberías existen los siguientes criterios que pueden aplicarse al flujo en canales.
< 4 4≤≥10≤ 10
Zona de flujo hidráulicamente
0
Zona de flujo de transición
0
Zona de flujo rugoso
Donde: V= velocidad de corte = rugosidad promedio v= viscosidad Cinemática del agua
Conocida la zona de flujo, el coeficiente f puede determinarse por ecuaciones que son análogas a las presentadas para el flujo en tuberías. Allí tenemos que: Para la zona de flujo hidráulicamente liso podemos aplicar la fórmula de Blasius, Si:
Si:
< 10 > 10
0.3..16 4.5
es recomendable la ecuación de Von Karman
1 2log2,5 1 4.6
Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse una modificación de la ecuación de Colebrook
1 2,162log 30 4.7 1 2,16log 4.8
Finalmente, en la zona de flujo rugoso, se tiene:
SECCION DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA (M.E.H) Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen las ecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme. Como normalmente los datos son Q, n, z y S, S, hay muchas combinaciones de las incógnitas b e
, que
satisfacen la fórmula de Manning. Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo, el Ancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bien al revés. También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y el tirante. En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica. Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la m isma área, Pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para el mismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima. La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fór mula de Manning
1
Donde: n, A y S son constantes Luego, la ecuación del caudal puede expresarse como:
5.1 /
En (ecuación 5.1), observamos que el caudal será máximo si el radio hidráulico en máximo, o sea que es máximo.
5.2
En (ecuación 5.2), como es constante, será máximo si es mínimo. Resumiendo, el caudal será máximo si el perímetro es mínimo, es decir: es máximo si es mínimo.
3.1 RELACIONES GEOMÉTRICAS
S E C C IÓN IÓ N TR A P E ZOID ZOI D A L : 1.
considerando un talud talud Z conocido (constante)
→− 5.3 2√ √ 2 1 5.4 − 2 1 5.5 0 > 0 − 2 1 0 0 11 −22 1 0 1 2√ √ 1 … 5.5.6 2 1 Sabemos que:
Sustituyendo (5.3) en (5.4), se tiene:
Sabemos que si:
2.
si
, y:
y
Luego, derivando derivando (3) en función del tirante, se tiene:
Sustituyendo (1) en (4), resulta:
2 1 2 1 2 2√ √ 2 1 √ √ 1 5. 7 en función de θ:
Calculo de De la figura: 3.
θ
1
cotθ θcotθ 1cot 11cot √ √ √ √ 11 √ √ √ √ 1 θcotθ 11 cscθcotθ 1senθ cosθθ − √ √ 1 1cosθ2sen− θ2 θ2 cos θ2 θ2sen √ √ 1 θ s e n 1 cos θ22 √ √ 1 tan 5.8
ángulo de inclinación de las paredes del canal con la horizontal
Luego:
Expresando en función del ángulo mitad, se tiene:
Luego
4.
Relación entre entre el ancho de solera y el tirante:
Reemplazado (6) en (5) se obtiene:
2tan θ2
Relación entre el ancho de solera y tirante en un canal trapezoidal para una sección de máxima eficiencia: En un canal rectangular:
2
1 θ90→ 45→tan 2
, luego:
Relación entre el el radio hidráulico y el tirante: Sabemos que: 5.
5.9 2 1 2 1 √ √ 2√ √ 1 2√ √ 2 1 5.10 2√ √ 2 1 2√ √ 2 1 22√ √ 22 1 5.11 2√ √ 2 1 22√ √ 22 1 Donde:
De (5-7): Luego:
Y:
Sustituyendo (5.10) y (5.11) en (5.9), resulta:
Lo que indica que en una sección de máxima eficiencia hidráulica de forma trapezoidal o rectangular (para cualquier valor de Z) el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante.
Condición de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.
22√ √ 22 1 0 22√ √ 2 1 0 2 2 1 0 2 12 10 1 1 √ √ 22 √ √ 1 431 1 √ √ 33
En este caso se busca de todas las secciones trapezoidales variables, cual es el “talud más eficiente”, para ello lo consideramos constante.
De (5.11), se tiene: si:
Luego:
TABLA DE SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA SECCION
AREA
A
√ √ 33 √ √
TRAPECIO (Mitad de un hexágono) RECTANGUL 2 2 O (mitad de un cuadrado) 2 TRIANGULO (Mitad de un cuadrado) SEMICIRCUL O PARABOLA CATENARIA
PERIME TRO MOJAD O
2
T
y/2
√ √
4y
y/2
2y
y
2
(1/4)
2y
0.5y
2y
0.5y
2
TIRANTE FACTOR HIDRAUL HIDRAUL ICO IC
d
1.3958 2.9836y 0.46784y 1.917532y 6 2 (Fuente: libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
Z
34 12 √ √ 4 23 √ √
5/2
2
√ √ 22 √ √ 22 √ √ √ √ 22 2
2
R
2√ √ 3 P
2
RADIO ANCHO HIDRAUL SUPERFI ICO CIAL
y
2
5/2
5/2
5/2
0.72795y
5/2
1.19093y 5 /2
EJERCICIOS RESUELTOS 1. En la figura mostrada se tiene una sección de canal trapecial con un ancho de 3 m y un talud de 1.5:1 pendiente longitudinal s=0.0016 y un coeficiente de rugosidad de n=0.013, calcular el gasto si el tirante normal = 2.60m. SOLUCIÓN: Datos:
: 2.6
= 3
= 0.0016 = 0.013
= 1.5: 1
a) Calcular área hidráulica y perímetro mojado: mojado:
2
= × +
= 3(2.6) + 1.5 × 2.62 = 17.94
2
= + 2 √1 +
2
= 3.0 + 2(2.6) √1 + 1. 52 = 12.37
b)
Radio Hidráulico:
c)
A partir de la ecuación 1:
d)
Velocidad Normal:
17.12.9347 1.45 // 17.0.09134 1.4590.0016 70.66≅71/ 17.7194 → 3/
2. Un canal trapecial tiene un ancho de 6m, talud = 2: 1 y rugosidad = 0.025 , determinar la pendiente normal ( ) para una profundidad normal de 1.02 m, cuando el gasto vale 11.32 3/ .
a) Calcular Área, Perímetro y radio hidráulico: A partir de los datos que tenemos se procede a calcular el: Área hidráulica;
. 610.10.022 21. 21.02
Perímetro;
2 . 1 622. 1 02 1 2 10.8.2506 . / / 8.11.2 320.70.76025/ . 52 / 20° 1.6%
Radio;
Pendiente;
Considerando que = / y sustituyendo en la expresión anterior queda:
3. A travez de un canal rectangular de concrto pulido, fluye un caudal de de agua, a una temperatura de , el canal tine una plantilla de . y una pendiente de . Determine el tirante normal: a. Aplicando el método clásico clásico
b.
Aplicando el método clásico
/ 5 1. 26% −/ 20° 1. 0 07∗10 0. 0 12 001 ? Solución
. ; ;
a. Aplicando el método clásico clásico De la formula de Manning, se tiene que:
2 2 222 1 5∗0.0.0016012/ 21 // / 0.75 1// : 1.15 0.02 8 8 / / ... // 0.9965 1 1. 3 2 25 1.89/ ó
Donde:
Sustituyendo los valores en
.
b. Aplicando el metodo moderno Asumimos para determinar la velocidad
……….(1)
Resolviendo por tanteos, resulta:
Determinamos
/ 4 1.8941.32/11.32 1.00710− 4. 2 710 1.32/11. 0.001 32 0.00176 1 2.162logg0.0.00176 4.271030√ √ 0.0.02 0.0171 8 9 . 8 1 0 . 0 016 52 0.02 1 // 0.8520 1 1. 2 4 5 2.016/ 2 .24/11.− 24 4 2.01641.010710 4.43310 1.24/11. 0.001 24 0.00181 1 2.162logg0.0.00181 4.4331030√ √ 0.0.0171 0.0172 0.0171 1.24 y
Ahora corregimos el valor de f aplicando la ecuacion modificada de Colebrook
Calculamos el nuevo valor de “y”: En (1)
Resolviendo por tanteos:
Verificamos el valor de :
Como este valor es muy próximo al , entonces daremos por aceptado al valor de “y” obtenido anteriormente es decir: Ahora determinaremos a que zona pertenece el flujo, para ello
1. 2 4 9. 9 . 8 1 ∗ 11.1.020710 40.0−0160.001 ∗ 92. 5 <100 : zona de flujo de transición
Luego la formula de Manning no es aplicable en esta zoan, así mismo para este problema el tirante obtenido por el método clásico es un 7.25% menor con respecto al metodo moderno.
0.025
4. un canal de riego de sección trapezoidal, construido en tierra , se usa para regar una superficie de 80 Has. El módulo de entrega máximo fijado por el distrito de riego es de Determinar la sección de máxima eficiencia hidráulica y la pendiente del canal, para una velocidad en el canal de y un talud
Solución Datos
2 /. 0.75/ 1
0. 0 25 80 2 0. 8705/ 1600.16/ 2tan 2 2
Sección de máxima eficiencia
Se pide:
,, →?
a. calculo de b e y: y: De la ecuación de continuidad:
. 0.0.1765 0.2133 1 0.2133 2tan 2 1→45°, 1→45°, 2t0.8a284n22.5° 0.8284 Por condición geométrica:
Para Luego:
:
……….(1)
De la condición de máxima eficiencia:
Para
luego:
……………(2)
0.81.2848284 0. 0.21332133 0.1.0.28133284 0.3416 0.0.82840. 3 416 2829
Sustituyendo (2) en (1), resulta:
Reemplazando en (2), se tiene:
b. calculo de : De la fórmula de Manning, se tiene que:
1 // ../ 0.0.75/ 0 25 2 0.32416 0.1708 0.0.00..7150.70800370/25 3.7%
Despejando , resulta:
Donde:
Luego:
z
