UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA- ENERGÍA
PROYECTO DE INVESTIGACION “ELABORACION DE UN LIBRO TEXTO DE MECÁNICA DE FLUIDOS II”
JEFE DEL PROYECTO
ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ
CRONOGRAMA (31-01-2001 Al 30-01-2003)
RESOLUCION RECTORAL 0!-2001-R
INDICE RESUMEN INTRODUCCI"N
C#$%&'l I 1.1
CONCEPTOS F UNDAMENTALES.
T%F$*l+',.
1
1.1.1
Flujo Uniforme.
1
1.1.2
FlujoPermanenteoEstacionario.
1
1.1.3
FlujoNoPermanenteoNoEstacionario.
2
1.1.4
Flujo Ideal.
1.1.5
Flujo Real. 1.1.6 Flujo Interno.
2 2 3
1.1.7
Flujo Eterno.
3
1.1.!
Flujo Rotacional.
3
1.1."
Flujo Irrotacional.
4
1.1.1# Flujo Isoentr$%ico.
4
1.1.11 Flujo &dia'(tico.
4
1.1.12 Flujo Unidimensional.
4
1.1.13 Flujo )ridimensional. 1.1.14 Flujo *aminar.
5 5
1.1.15 +i,er-encia. *a
5
1.1.16 El Renold /r0tico.
6
1.2
M%%+/&*+'/El++/&Fl'%*. 1.2.1
/inem(ticadeunaPart0culaFluida.
1.2.2
Rotaci$n.
1.2.3
*a /irculaci$n.
1.2.4
+eformaci$n&n-ulardeunFluido.
1.2.5
elocidad de +eformaci$n olumtrica Estiramiento.
6 " 12 13 14
1.2.6 elocidad &celeraci$n en /oordenadas de *0neas /orriente. de 1.3
LF# '/%/*C + %+/&+.
1.!
P&+/%#*lV + +l%*#*+.
C#$%&'l I I 2.1
15 14 20
FLUJOS N O VISCOSOS Y VISCOSOS.
R+l#%/+ D%5++/%#l+ $## '/# P#&6'l# Fl'%*#.
2!
2.1.1 /onser,aci$ndeasa.
24
2.1.2 /antidaddeo,imiento.
27
2.2
Fl',I/$+%7l+NV%.
30
2.3
Fl',I/$+%7l+V%.
3!
2.3.1 *a*edeiscosidad deNa,iertoes.
37
C#$%&'l III 3.1
AN8LISIS DIMENSIONAL Y TEOR9A DE MODELOS.
A/:l%%D %+/%/#l.
!1
3.1.1 +efinici$n.
41
3.1.2 todos.
41
3.1.3 etodolo-ia del etodo de 8ucin-9am.
3.2
T+%#*+M*+lS%%l%&'*
!;
3.2.1 odelo.
45
3.2.2 Prototi%o.
45
3.2.3 Escala.
45
3.2.4 )i%osdeimilitud.
46
3.2.4.1 imilitud:eomtrica.
46
3.2.4.2 imilitud /inem(tica.
46 3.2.4.3 imilitud+in(mica.
47
3.2.5 Princi%aes:ru%os&dimensionales.
4!
3.2.6 :ru%os &dimensionales en )ur'$ma;uinas
4"
3.2.7 /oeficientes &dimensionales
C#$%&'l IV
5#
ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO INCOMPRESI
!.1
Fl',L#%/#=T'7'l+/&.
;1
!.2
Fl',I/&+/=C%+/&+E>&+%.
;!
!.3
A$l%#%/+ *+ l# E'#%/+ *+ N#%+-S&?+ #l Fl' , L#%/# C$l+&#+/&+D+#ll#*.
4.3.1 PlacasPlanassino,imiento.
;
56
4.3.2 Placa u%erior o,indose con elocidad /onstante.
5!
4.3.3 &m'as Placas o,indose con elocidad U en entidos <%uestos. 4.3.4 &m'as Placas o,indose con elocidad U en entidos I-uales. 4.3.5 Flujo*aminaren)u'er0as/irculares. 4.3.5.1 ecci$n&nular.
61 62 63 66
UNIERI+&+ N&/I
4.3.5.2 EnPlacasPlanasParalelas.
In-. >aime Flores (nc9e?
67
2
!.!
C+l#%/+ S+%+$%%# *+ l E5'+@ T'7'l+/& = B /&#/&+.
4.4.1 edia)em%oraldeRenolds.
6!
4.4.2 Flujo)ur'ulento/ercadelaPared.
7#
4.4.3 *edela/a%a*o-ar0tmica.
7#
4.4.4 EfectosdelaRu-osidadenlaPared.
75
4.4.5 +ia-rama de ood @ +ia-rama de Perdidas de /ar-a. !.;
76
P*%*#*E +/+6#.
4
4.5.1 PerdidasPrimarias.
7!
4.5.2 Perdidas ecundarias. 7" 4.5.3 +i(metroE;ui,alente.
!#
4.5.4 istemade)u'er0as.
!1
4.5.5 Es;uema 8(sico de un istema de 8om'eo.
!2
4.5.6 En,ejecimientode)u'er0as.
!4
4.5.7 )u'er0as Ramificadas +e%$sitos Interconectados.
!6
4.5.! Perdidas %or Fricci$n en Elementos de )u'er0as.
!!
4.5.!.1 Procedimiento Iterati,o %ara /alcular A +escar-as ∀ i
C#$%&'l V ;.1
!"
TEOR9A DE LA CAPA L9MITE.
L ##L$6#%&+.
5.1.1 Es%esordela/a%a*imiteReal.
!
"5
5.1.2 Es%esor de la /a%a *imite &%arente o &%roimado. 5.1.3 u'=/a%a*0mite.
"5 "5
UNIERI+&+ N&/I
5.1.4 Ra?$n de /recimiento de la /a%a *0mite.
In-. >aime Flores (nc9e?
"6
2
5.1.5 Es%esor de la /a%a *0mite %or +es%la?amiento.
"6
5.1.6 Es%esor de la /a%a *0mite %or /antidad de o,imiento.
"7
5.1.7 Es%esor de la /a%a *0mite %or Ener-0a /intica. ;.2
"7
E'#%/ *+ M +/& *+ C#/ &%*#* *+ M%%+/& *+ V/ ##/ (C#$L#%%&L+#%/#).
5.2.1 &l-unas Relaciones o're la /a%a *imite *aminar o're Una /a%a Plana
1##
;.3
T#/%%/P##+lFl',+/'/#Pl##Pl#/#.
101
;.!
C#$#L6%&+T'7'l+/&#+/T'7+6#.
102
;.;
C#$#L6%&+T'7'l+/&#+/'/#Pl##L%#.
103
;.
C/&*l +l#C#$#L%%&+.
;.4
D+$+/*%%+/&*+l#C#$#L%%&+.
10;
5.7.1 Estela.
1#6
;.
LPl*+#=++*.
;.
P+5%l+*+V+l%*#**+l#L+=*+P&+/%#.
;.10
E'#%/+*+l#C#$#L%%&+<%*%+/%/#l.
C#$%&'l VI
10 10 110
FLUJO ALREDEDOR D E C UERPOS S UMERGIDOS.
.1F l',E>&+/I/$+%7l+=E&#%/#%. .2 F'+@#7+'+$+/%%+/&.
6.2.1 Fuer?adearrastre. 6.2.2 Fuer?adesustentaci$n. 6.2.3
10;
112 113
115 117
)endencia del /&.
.3
E $+l 5%l$l+.
.!
D%$%&%%$+'&+/&#*+
125 12 13
C#$%&'l VII
FLUJO COMPRESI
4.1
Fl',$+%7l+.
1!0
4.2
Fl',%+/&$%.
1!2
7.2.1 Pro%iedadesdeestancamiento
142
7.2.2 Relaciones entre las %ro%iedades de estancamiento las %ro%iedades est(ticas. 144 7.2.3 /ondici$ncritica.
145
7.2.3.1 Relacionescr0ticas. 4.3
D'&*++%/#%#7l+.
146
7.3.2 +ifusor.
147
7.3.3 +uctocon,er-enteBdi,er-ente.
14!
7.3.4 )o'eracon,er-ente =di,er-ente.
14!
7.3.6 Relacionesentreflujomasico'lo;ueo. 4.!
Fl',+/'/#&7+#/++/&+
4.;
Fl',+/'/#&7+#/++/&+*%++/&+.
C#$%&'l VIII
.2
1!
7.3.1 )o'eras.
7.3.5 Relacionesentre&C&.
.1
145
14" 14" 1;0 1;!
FLUJO EN DU CTOS DE SE CCION CONSTANTE SIN
TRANSFERENCIA DE CALOR Fl', +/ *'& *+ +%/ /&#/&+ / 5%%/.
1;
!.1.1 Ecuaciones '(sicas%araflujoadia'(tico.
15"
Fl'F,#//.
11
!.2.1 *0neas de Fanno.
161
!.2.2 EstadosdereferenciaenflujoFanno
162
!.2.3 *on-itudm(imaolon-itudcritica.
164
!.2.4 Relaciones'(sicas%araelflujoFanno.
165
C#$%&'l I
FLUJO EN D UCTOS DE S ECCION C ONSTANTE CO N TRANSFERENCIA DE CALOR
.1
E&'*%*+5ll',R#=l+%.
1
.2
L6/+*R #+#=l+%.
1
".2.1 Par(metrosdereferencia.
167
".2.2 /omentarios. .3
R+l#%/+7:%#$##+l5l',R#=l+%.
.!
O/**#+ K'+.
16" 140 142
".4.1
173
".4.2 Relaciones %araondasdec9o;uenormal.
C#$%&'l 10.1
174
INTRODUCCION A LA AERODINAMICA
D+5%/%%/.
14
1#.1.1 &nal0tica.
17"
1#.1.2 +escri%ti,a.
17"
1#.1.3 E%erimental.
17"
10.2
PK ''+l#'/#%/
10
10.3
'+l#'&+/&#%/
10.!
A$l%#%/+ *+ l# A+ *%/:%# / +$+& # l# M+:/%# *+ Fl'%*.
1#.4.1
11 13
Fuer?as momentos ;ue actuan so're la aerona,e. 1#.4.1.1
Peso.
1!4 1!5
1#.4.2
1#.4.1.2
*e,antamientoosustentaci$n.
1!6
1#.4.1.3
Resistencia o resistencia al a,ance.
1!7
1#.4.1.4
)racci$noem%uje.
1!!
Interacci$ndelasfuer?as. 1#.4.2.1
10.;
11.2
/entrode-ra,edad.
1"#
1#.4.3
Ejes de ,uelo.
1#.4.4
Esta'ilidadde,uelo.
1"3
1#.4.5
Elementosdecontrolde,uelo.
1"4
1"2
L$+5%l+*#+l#.
1
1#.5.1
:eometr0adelos%erfiles.
1#.5.2
+efiniciones utili?adas %ara los %erfiles.
2#1
1#.5.3
Utili?aci$ndeloscat(lo-osde%erfiles.
2#3
C#$%&'l I 11.1I
1!!
1""
1#.5.3.1
*asustentaci$n.
2#4
1#.5.3.2
*a resistencia al a,ance sus consecuencias.
2#5
1#.5.3.3
*a relaci$n / D /.
1#.5.3.4
El des%la?amiento del centro de em%uje.
2#5 2#6
FLUJO EN CANALES A
/&*'%/. C/%*+#%/*+l$+5%l*++l%*#*.
11.3 Fl'/, #l.
211 211 212
11.!
Fl',/#lM&**+/.
21
11.;
S+%/%*:'l%#+/&+$&%#.
221
11.
O/*##%&#%/#l+.
222
11.4
E/+6#+$+%5%#5l',%&%.
22;
11.
Fl',#%#*+/#/#l++&#/'l#+.
233
11.
Fl', #*'#l+/&+ #%#* 7+ #/#l+ l#.
11.10
23
Cl#%5%#%/ *+ l $+5%l+ '$+5%%#l+ $## 5l', #*'#l+/&+
#%#*
2!!
11.11 Fl', :$%*#+/&+ #%#* +l +#l& %*:'l%.
2;0
METODOS Y MATERIALES RESULTADOS DISCUSION
RESUMEN *os temas tratados en este li'ro teto se dan en orden l$-ico de acuerdo a los contenidos de ec(nica de Fluidos II im%artidos en nuestra facultad. En el %rimer ca%itulo se aclara los %rinci%ales conce%tos fundamentalesG lue-o un enfo;ue detallado del an(lisis diferencial de las ecuaciones de continuidad de cantidad de mo,imientoG %ara o'tener la a%licaci$n de la ecuaci$n de Na,ier=toes. e-uido se estudia el an(l isis dimensional la teor0a de modelos con su a%licaci$n en la determinaci$n de ciertos %ar(metros de diseHo. En lo concerniente a flujo interno incom%resi'le se anali?a con todas las %rdidas usando m(s las ecuaciones anal0ticas ;ue ser,ir(n %ara resol,er %ro'lemas con auda del com%utadorG so're todo en tu'er0as en serieG %aralelo redes. En la teor0a de la ca%a l0mite trata los %rinci%ales casos como retardar su des%rendimiento ;ue es el %unto anterior %ara el an(lisis de cuer%os sumer-idosG con sus casos m(s resaltantes. /on el estudio de flujo com%resi'le tanto desde flujo isentr$%ico 9asta las ondas de c9o;ue normalG %asando %or el flujo en tu'er0as de secci$n constante adia'(ticas dia'(ticas. En la %arte de a%licaci$n de cuer%os sumer-idos enfoco los %rinci%ios de la aerodin(micaG %ara finalmente concluir con el estudio de flujo en canales a'iertos.
INTRODUCCI"N *a forma en ;ue se desarrolla el li'ro teto es en forma sim%leG clara con conce%tos de l$-ica correlaci$n %ara ;ue el estudiante o %rofesional %ueda anali?ar sin muc9a dificultadG es decir encontrar( un material de a%oo acadmico ;ue le facilitar( las a%licaciones de la mec(nica de los fluidos. El %resente li'ro teto llena los ,ac0os ;ue se tiene en la literatura ,ariada mu 'uena %ero ;ue en ciertos as%ectos dejan en la duda al lector en el %resente encontrar(n los conce%tosG ecuaciones sus a%licaciones en la in-enier0a mec(nica. En el sla'us de nuestra curr0cula actual se toca todo el contenido tem(tico con la suficiente am%litudG %rofundidad el ri-or ei-idoG e%uestas de una manera 'astante sencilla e interesanteG acadmica como tecnol$-icamente. *os alumnos ;ue cursan la asi-natura de ec(nica de Fluidos I II ser(n ca%aces de resol,er %ro'lemas tcnicos en las diferentes a%licaciones ;ue se %resentan en nuestro medioG so're todo en lo ;ue es instalaci$n de 'om'as 9idr(ulicasG tur'inas 9idr(ulicasG as0 como redes de tu'er0as en una ciudad o en una fa'rica en %articular. Podr( a%licar sus conocimientos en la rama de in-enier0a aeron(utica la identificaci$n de %erfiles aerodin(micosG las %rinci%ales fuer?as ;ue se %resentan en a,ionesG 9elic$%terosG alasG etc. cam%o ;ue es mu im%ortante %ara el futuro In-eniero ec(nicoG tanto %rofesionalmente como econ$micamente. *a %arte de termodin(mica a%licada es com%lementada con los flujos com%resi'lesG en sus mJlti%les a%licaciones en to'erasG difusoresG ductos de secci$n constante con sin fricci$nG con transferencia de calor o no el fen$meno de la onda de c9o;ue ;ue ocurre frecuentemente cuando se su%era la ,elocidad s$nica. *a %arte de las a%licaciones %r(cticas se %resentar(n en el tra'ajo de in,esti-aci$n %osteriorG ;ue ser,ir( de com%lemento a toda la e%osici$n te$rica descritaG como %arte fundamental a%licati,a tanto en lo acadmico como en lo tecnol$-ico= industrial.
/&PI)U*< I
/
UNIERI+&+ N&/I
1.1 TIPOS DE FLUJO 1.1.1 FLUJO UN IFORME.- Es a;uel en donde la ,elocidad del fluido en
ma-nitudG direcci$n sentido no ,aria de un %unto a otroG es decir el des%la?amiento no tiene un %erfil de ,elocidad del ti%o cuadr(tico %or ejm. el des%la?amiento del aire en el medio am'iente sin la %resencia de nin-Jn cuer%o etraHo. /ual;uier %ro%iedad del fluido con res%ecto al des%la?amiento se mantiene constanteG es decir@
∂.V =# ∂.S
V
1.1.2 FLUJO PERMANENTE O ESTACIONARIO.- Es a;uel en donde la
,elocidad del fluido no cam'ia con res%ecto al tiem%o KtLG es decir no 9a ,ariaci$n de ,elocidad con res%ecto al tiem%o $ ;ue la aceleraci$n del fluido res%ecto al tiem%o es i-ual a cero. /ual;uier %ro%iedad del fluido %ermanece constanteG con res%ecto al tiem%o.
∂V ∂t
=#
El %erfil de ,elocidades es el mismo %ara el tiem%o t %ara el t 2G %ara........ t n
In-. >aime Flores (nc9e?
1
UNIERI+&+ N&/I
1.1.3 FLUJO NO PER MANENTE O NO ES TACIONARIO.- Es a;uel en
;ue eiste ,ariaci$n de ,elocidad de fluido res%ecto al tiem%oG es decir eiste aceleraci$n ejem%lo el flujo de li;uido a tra,s de tu'er0as en una instalaci$n industrial %ara diferentes re-imenes de car-a.
∂V ∂t
≠#
Perfil de ,elocidades Para el tiem%o t 1
%ara t 1 %ara t 2
%ara t 3 Perfil de ,elocidades Para el tiem%o t 2
1.1.! FLUJO IDEAL.- Es a;uel donde no se considera el efecto de la ,iscosidadG %or lo tanto no eisten %rdida s %ara el trans%orte del fluidoG
no se considera e;ui%o de 'om'eo %ara trans%ortar el fluido de un %unto a otro.
Q0
1.1.; FLUJO RE AL.- Es a;uel en donde se toma en cuenta el efecto de la ,iscosidad mediante el cual el fluido tiende a ad9erirse o %e-arse a la
%ared de cual;uier cuer%o. e %resenta en todos los casos de la mec(nica de los fluidosG %or;ue la ,iscosidad como %ro%iedad %uede ser -rande aceites o mu %e;ueHas aire.
Q In-. >aime Flores (nc9e?
2
UNIERI+&+ N&/I
1.1. FLUJO I NTERNO.- /uando se considera al fluido en su des%la?amiento
encerrado entre %aredes ejem%lo. &-ua en sistema de tu'er0asG a-ua aceite en intercam'iadores de calorG aire en dJctos de aire acondicionado. V0 VV#>
1.1.4 FLUJO E TERNO.- /uando el fluido ;ue se des%la?a en,uel,e a un
cuer%o o cuando el cuer%o se des%la?a dentro de un flujo. Ejem%lo. *os a,iones en el aireG su'marinos 'arcos en el a-ua.
o
o
ALA DE AVI"N
1.1.
FLUJO ROTACIONAL.- /uando las %art0culas del fluido tienen un -iro
o rotaci$n alrededor de un eje ;ue %asa %or un centro de -ra,edadG traendo como consecuencia c9o;ues entre las %art0culas de fluido ocasionando %rdida de ener-0a ejem%lo@ a-ua ;ue in-resa a una 'om'a sale %ara %asar %or una tu'er0a. *0nea de /orriente e tiene@ 1 ω = ∇× 2 donde
rot∇ × V
In-. >aime Flores (nc9e?
= rotV ≠ # 3
UNIERI+&+ N&/I
1.1. FLUJO IRROTACIONAL. = /uando no se consideran el efecto de la
,elocidad an-ular en la rotaci$n ;ue tiene la %art0cula alrededor de su ejeG es decir la ,elocidad an-ular es cero. ω=# ⇒
e tiene@
wx
rotV
=#
= w y = wz = #
∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u # − = − = − = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
1.1
1.1.10 FLUJO ISO TRMICO. = /uando en el flujo de fluido se mantiene la
misma tem%eratura %roceso isotrmico )Mcte.
1.1.11 FLUJO ADI A<8TICO.= +onde no eiste transferencia de calor desde el
fluido al medio am'iente o ,ice,ersa se coloca un material aislante de las tu'er0asG m(;uinasG etc. ejem%lo. a%or circulando %or una tu'er0aG en una %lanta de ,a%or.
1.1.12 FLUJO UNIDIMENSIONAL.- /uando se considera la traectoria de
una %art0cula de fluido en una sola dimensi$nG con determinada direcci$n sentidoG es decir a tra,s de una lima de corriente.
∀
∀ V' 0
In-. >aime Flores (nc9e?
4
UNIERI+&+ N&/I
1.1.13 FLUJO TRIDIMENSIONAL.- Es a;uel en el cual se considera la
traectoria de la %art0cula con res%ecto a sus tres dimensiones al tiem%o. V = f ( uG vG wG t )
Z
*0neas de corriente
r
Y 1.1.1! FLUJO LAMINAR (R+ 2300).-
∂
∂
1.1.1; LA DIVERGENCIA.- se llama as0 al %roducto escalar del o%erador con la
,elocidad del fluido. +i, = ∇ •
%ara fluidos incom%resi'les +i, = #
NOTAS a El flujo es@
IRR<)&/I
In-. >aime Flores (nc9e?
UN
∇ ×V = # ∂V =# ∂t
= ctte µ = ctte ρ
∂V =# ∂s
5
UNIERI+&+ N&/I
' RELACIONES MATEM8TICAS ∇.V =
∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z
∇.V =
∂V ∂V i+ ∂x ∂y
2
∂V ∂z
1.3
k
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2
.V
∇ DV Dt
j+
1.2
1.4
= u ∂V + v ∂V + w ∂V + ∂V = (V .∇ ).V + ∂V ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t
1.5
1.1.1 EL REYNOLDS CRITI CO (R+ 2300 2;00).- Es el ,alor en el cual
se o'ser,a la infracci$n del mo,imiento laminar %ara %oco a %oco con,ertirse en mo,imiento tur'ulento. & condiciones es%eciales se 9a lle-ado a o'tener flujos laminares con Re M41#4
1.2
%ara -ases@ Re crM51#5O.1#6
MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE FLUIDO
1.2.1 CINEM8TICA DE UNA PART9CULA DE FLUIDO
El mo,imiento de un fluido de'e considerarse ,elocidadG aceleraci$nG rotaci$n deformaci$n. /onsideremos una %art0cula cJ'ica %e;ueHa de un fluido en un flujo 'idireccionalG 'idimensional no estacionario. Y
Y
Y
Y R<)&/I
)R&*&/I
In-. >aime Flores (nc9e?
E)IR&IEN)< < +EF
6
+EF
UNIERI+&+ N&/I
El cam%o de ,elocidad est( dado %or@
=
( G G )?G(t
En el tiem%o KtL es@
V
= V ( xG y G z G t )
= u) ( G G ?G) t i( + , ) G G ?G t j + A
P t
G G ?G t
1.6
= ( G G ?G t )
En el tiem%o Kt ∆tL la %art0cula se mue,e a una nue,a %osici$n con coordenadas@ dG dG ?d?. Q su ,elocidad es P t +dt = ( + dG + dG ? + d?G t + dt ) lue-o@ P
=
∂ ∂ ∂ ∂ d + d + d? + dt ∂ % ∂ % ∂? % ∂t
*a aceleraci$n total de la %art0cula esta dada@ ∂V ∂x
aP
=
dV P dt
=
aP
=
dV P dt
=u
dx p dt
+
∂V ∂y
dy p dt
+
∂V ∂z
dz p dt
+
∂V ∂t
∂V ∂V ∂V ∂V +v +w + ∂x ∂y ∂z ∂t
*a deri,ada sustancial o material de la %art0cula@ + +t
= a P = u ∂ + , ∂ + A ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂? ∂t
1.7
+onde@
In-. >aime Flores (nc9e?
7
UNIERI+&+ N&/I
ac
=u
∂ ∂ ∂ ∂ +, +A + ∂ ∂ ∂? ∂t
*a
aceleraci$n
*a aceleraci$n local
con,ecti,a a*
=
∂ ∂t
&celeraci$n local a l @ es a;uella ;ue sufre una %art0cula
de fluido como consecuencia de la ,ariaci$n del tiem%o. i el flujo es %ermanente la aceleraci$n local es i-ual a cero. &celeraci$n con,ecti,a a c@ es a;uella ;ue sufre una %art0cula de fluido como consecuencia de su ,ariaci$n de %osici$n en el es%acio. i el flujo es uniforme su ,alor es cero.
i un cam%o de flujo es INE)&8*EG una %art0cula de fluido e%erimentar( una aceleraci$n KlocalL adicionalG de'ida a ;ue el cam%o de ,elocidades funci$n de t. Em%leando la notaci$n ,ectorial@ + +t
≡ a P = ( .∇ ). +
∂ ∂t
1.!
Para un flujo 'idimensional@ V = V ( xG y G t ) se reduce a@ + +t
=u
∂ ∂ ∂ +, + ∂ ∂ ∂t
1."
Para un flujo UNI+IENI
=u
∂ ∂ + ∂ ∂t
1.1#
Para un flujo E)&8*E en tres dimensiones se transforma en@ + P +t
=u
∂ ∂ ∂ +, +A ∂ ∂ ∂?
1.11
En com%onentes escalares com%onentes rectan-ulares se tiene@ a XP In-. >aime Flores (nc9e?
=
Du Dt
=u
∂u ∂ ∂ ∂ +v u +w u + u ∂x ∂y ∂z ∂t
!
UNIERI+&+ N&/I
a YP
=
Dv Dt
a ZP
=
Dw Dt
= u ∂v + v ∂v + w ∂v + ∂v ∂x ∂y ∂z ∂t
1.12
w w w w =u ∂ +v ∂ +w∂ + ∂ ∂x ∂y ∂z ∂t
Es una descri%ci$n Euleriana. 1.2.2 ROTACI"N ( )
*a rotaci$n de una %art0cula de fluido es la ,elocidad an-ular %romedio de dos cuales ;uiera elementos de l0nea mutuamente %er%endiculares de la %art0cula. Una %art0cula ;ue se mue,e en un cam%o de flujo tridimensional %uede rotar alrededor de los tres ejes de coordenadas. En -eneral@ 1.13
ω = ω i + ωQ j + ω D
∆ξ Y
7
∆β ∆y ∆α #
∆x
O
∆η #
7
*as dos l0neas mutuamente %er%endicularesG # 7 rotan a las %osiciones mostradas durante el inter,alo ∆tG solo si las ,elocidades en los %untos a ' son diferentes a la ,elocidad en KoL.
/onsideremos la rotaci$n de la l0nea #G de lon-itud ∆G la rotaci$n de sta l0nea se de'e a las ,ariaciones de la com%onente KL de la ,elocidad. i sta
In-. >aime Flores (nc9e?
"
UNIERI+&+ N&/I
com%onente en el %unto KoL se toma como , oG entonces la com%onente KL de la ,elocidad en el %unto K#L %uede escri'irse serie )alor
v
= v# +
∂v ∆x ∂x
*a ,elocidad an-ular de la l0nea # est( dada %or@
ωoa = lim ∆α = lim ∆η ∆ /omo ∆η = ∂v ∆x∆t ∂x t t ∆t →o ∆t → # ∆ ∆ ( ∂, ∂ ) ∆∆t ∆ ⇒ ω = ∂, ⇒ ωoa = lim oa ∆t ∂ ∆t → #
*a rotaci$n de la l0nea o'G de lon-itud SG es %roducto de las ,ariaciones de la com%onente de la ,elocidadG lue-o an(lo-amente u
= u# +
∂u ∆ ∂
*a ,elocidad an-ular de la l0nea o' est( determinada %or@
∆β ∆ξ ∆ ωo' = lim = lim Puesto ;ue ∆t ∆t →o ∆t ∆t →# e tiene@ ⇒ ωo' = lim ∆t →#
∆ξ = − ∂u ∆y∆t ∂y
− ( ∂u ∂) ∆∆t ∆ ∂u ⇒ ωo' = − ∆t ∂
S+W/ /'+&# /+/%/ *+ %/X l# &#%/ #/&%#% + $%&%#.
*a rotaci$n de un elemento de fluido alrededor del eje KDL es la ,elocidad an-ular %romedio de dos elementos de l0nea mutuamente %er%endicularesG oa o' en el %lano = Entonces
1 ∂, ∂u ω D = − 2 ∂ ∂
1.14
Q en los %lanos =? en =? se tiene@ ∂, ∂?
1.15
1 ∂u ∂A ωQ = − 2 ∂? ∂
1.16
ω =
In-. >aime Flores (nc9e?
1 ∂A 2 ∂
−
1#
UNIERI+&+ N&/I
Finalmente@ ω = ωi + ωQ j + ωD ω=
1 ∂A i 2 ∂
−
∂, ∂u ∂A ∂, ∂u + j − − + ∂? ∂? ∂ ∂ ∂
El ,alor entre %arntesis es el
rot V
1.17 1
= ∇ ×V ⇒ W = ∇ ×V
1.1!
2
/omo el esfuer?o cortante es %ro%orcional a la relaci$n de deformaci$n an-ularG entonces una %art0cula ;ue se encuentra inicialmente sin rotaci$n no desarrollar( una rotaci$n sin una deformaci$n an-ular mediante la ,iscosidad. *a %resencia de fuer?as ,iscosas si-nifica ;ue el flujo es R<)&/I
ζ
como el do'le de la rotaci$n.
≡ 2W = ∇ × V
1.1"
Es una medida de la rotaci$n de un elemento de fluido conforme esto se mue,e en el cam%o de flujo. En un flujo tridireccional tridimensionalG la ,elocidad an-ular la ,orticidad tienen tres com%onentes. ζ = 2ω =
∂A ∂, − ∂ ∂?
ζ Q = 2ωQ =
∂u ∂A − ∂? ∂
ζ D = 2ω D =
∂, ∂u − ∂ ∂
1.2#
U/ 5l', +/ +l '#l l# +l%*#* #/'l# = l# &%%*#* / CERO + *+/%/# FLUJO IRROTACIONAL.
In-. >aime Flores (nc9e?
11
UNIERI+&+ N&/I
1.2.3 LA CIRCULACI"N ) se define como la inte -ral de l0nea de la
com%onente de la ,elocidad tan-encial alrededor de una cur,a cerrada fija Γ=
en el flujoG +onde
ds
∫ V .d s c
es un ,ector elementalG de lon-itud
ds
tan-ente a la cur,a.
Un sentido %ositi,o corres%onde a una traectoria de inte-raci$n alrededor cur,a en sentido contrario al de las manecillas del reloj. *a fi-ura anterior lo redi'ujamos. u+
∂u y ∆ ∂y
7
∆y
v+ v
u
∆x
∂v ∆x ∂x
#
*as ,ariaciones de la ,elocidad indicados son con-ruentes con las utili?adas al determinar la rotaci$n del fluido. En la cur,a cerrada #7@ dΓ
∂v ∂u = u∆x + v + .∆x ∆y − u + ∆y ∆x − v∆y ∂x ∂y
dΓ
∂v ∂u = − ∆x∆y ⇒ dΓ = 2W Z ∆x∆y ∂x ∂y
Γ = ∫ V .d s = ∫A 2W Z dA ⇒ Γ = c
∫
&
( ∇ × ) D d&
1.21
Enunciado del teorema de toes en dos dimensiones NOTA.= Un flujo irrotacional se cum%le cuando ω = # ∇ × V = # X se cum%le@
a'iendo ;ue In-. >aime Flores (nc9e?
∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u − = − = − =# ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
1.22
ω = ω i + ωQ j + ω D G en la ecuaci$n 1.17 12
UNIERI+&+ N&/I
En coordenadas /I*TN+RI/&. *a condici$n de irrotacionalidad
∇× =
1 ∂D
∂θ
r
−
∂θ ∂r ∂D 1 ∂rθ 1 ∂r = − = − =# ∂? ∂? ∂r r ∂r r ∂θ
1.23
1.2.! DEFORMACI"N ANGULAR DE FLUIDO.∆ξ ∆β
Y 7 ∆y #
∆α O
∆x
∆η #
7
*a deformaci$n an-ular de un elemento del fluido im%lica cam'ios en el (n-ulo entre dos l0neas mutuamente %er%endiculares *a relaci$n de deformaci$n an-ular est( dada %or@ −
dγ dt
=
dα dt
+
dβ
1.24
dt
a'iendo ;ue@ dα dt dβ dt
= lim
∆η ∆x ( dv dx) ∆x∆t ∆x = ∂v = dφ1 ∆α = = lim t ∆t lim ∆ ∆t ∂x dt t t ∆ →# ∆ →#
= lim
( du dy ) ∆y∆t ∆y ∂u dφ 2 ∆β ∆ξ ∆y = lim = lim = = ∆t ∆t →# ∆t ∆t ∂y dt ∆t →#
∆t →#
∆t →#
*ue-o la deformaci$n an-ular en el %lano es dα dt
+
dβ dt
In-. >aime Flores (nc9e?
=−
dγ dt
=
∂, ∂u + ∂ ∂
1.25
13
UNIERI+&+ N&/I
En un flujo ,iscosoG es altamente im%ro'a'le ;ue
NOTA
∂v sea ∂x
∂u
i-ual o%uesto a ∂y %or todo el cam%o de flujo.
1.2.; VELOCIDAD
DE
DEFORMACI"N
VOLUMTRICA
(ESTIRAMIENTO)
Una %art0cula de fluido se %uede *%l#&# /&#+G lo cual %ro,ocaG un cam'io de ,olumen de la %art0cula. *a ra%ide? de cam'io de ,olumen di,idido entre el mismo ,olumen se denomina +l%*#* *+ *+5#%/ l'&%#
∆ d ⋅ δ∀ ∂∀ dt VELOCIDADES
δ δ
T%+$ &[\&
T%+$ &
En un flujo 'idireccional 'idimensionalG la %art0cula se estira $ se contrae en am'as direcciones. d( δ ) dt
= ( δ?)( δ)
iendo@
d ( δx ) dt
d( δ ) dt
+ ( δ?)( δ)
d( δ )
1.26
dt
= elocidad relati,a de entre las dos caras
d( δ ) dt
= u cara derec9aG.... − u cara i?;uierda
$
( ) = u + ∂u δx − u − ∂u δx
d δx dt
∂x
d ( δx ) dt
In-. >aime Flores (nc9e?
2
=
∂u .( δx ) ∂x
∂x
2
1.27
14
UNIERI+&+ N&/I
d ( δy ) dt
&n(lo-amente
= ∂v .( δy ) ∂y
1.2!
*ue-o la ,elocidad de deformaci$n ,olumtrica es@ 1
δ
.
d ( δ ) dt
=
∂u ∂, + ∂ ∂
1.2"
Para un flujo tridimensional tridimensional@ +ilataci$n ,olumtrica 1
δ
.
d ( δ ) dt
=
∂u ∂, ∂A + + ∂ ∂ ∂?
ectorialmente@
1 d ( δV ) . δV dt
1.3#
= ∇.V
1.31
1.2. VELOCIDAD Y ACELERACI"N EN COORDENADAS DE L9NEAS DE CORRIENTE
)omemos un flujo 'idimensional 'idireccional. En un sistema de coordenadas intr0nsecasG las coordenadas son las l0neas de corriente del flujo un sistema de l0neas normales a ellas. *as l0neas coordenadas son las l0neas s las l0neas normales n. *as l0neas n son %er%endiculares a los de corriente a%untan 9ac0a su centro de cur,atura. L LC
Y
/
Y
)/ +# / L6
6/ +# )
)
S
V
*a ,entaja %rinci%al del sistema de coordenadas s=n es ;ue en cual;uier %unto la ,elocidad. iem%re es %aralela a la direcci$n s
In-. >aime Flores (nc9e?
=
sU + n n U = s sU
1.32
15
UNIERI+&+ N&/I
Qa ;ue si el flujo es estacionarioG cual;uier %art0cula de fluido se mue,e siem%re a lo lar-o de la misma l0nea s. entonces *a aceleraci$n en la direcci$n s es@ aS
=
( s)G n G t .......... ( )n
=
ds dt
dn
)am'in@
= VS a
=
dt
=
aS
=
n
≡ # %aralelas a
DVS
1.33
Dt
∂VS ∂VS ds ∂VS dn + + ∂t ∂s dt ∂n dt
n sG n G t
= V n = # %or lo tanto
∂ ∂ + ∂t ∂s
1.34
i n M oG(en un instante! no se des%rende ;ue Ka nL sea ceroG de'ido a ;ue la direcci$n n %uede cam'iar con el tiem%o o con el mo,imiento a lo lar-o de una l0nea de corriente la aceleraci$n en la direcci$n n es@ DVn
an
=
an
∂V ∂V ds ∂V dn = n + n + n ∂t ∂s dt ∂n dt
Dt
WX
R
RWR Vs
W
WX
Wn
an
=
∂n ∂ + n ∂t ∂s
1.35
i eaminamos la fi-uraG %ara una l0nea de corriente en flujo estacionario la ecuaci$n anterior 1.35 se %uede sim%lificar m(s. *a ,ariaci$n de ,elocidad normal δV n G de'ido al mo,imiento a lo lar-o de la l0nea de corriente desde s a sδs es δVn ≈ Vs tan( δθ) ≈(V)s δθ e %uede escri'ir δn ≈
In-. >aime Flores (nc9e?
∂n ( δs ) ⇒ δθ ≈ δs ∂s R
16
UNIERI+&+ N&/I
/am'iando las ecuaciones anteriores
∂V n V s ≈ G lue-o en 1.35@ ∂s " δVn V V 2 ≈ VS s = s ∂s " "
en limite cuando
Vs
s → #
la aceleraci$n
normal es@ an
1.3
=
∂Vn Vs2 + " ∂t
1.36
LA FUNCI"N DE CORRIENTE (])
Es un dis%ositi,o matem(tico ;ue relaciona las l0neas de corriente la de ,elocidades en un flujo nos %ermite eliminar la ecuaci$n de continuidad resol,er la ecuaci$n de la cantidad de mo,imiento directamente %ara una Jnica ,aria'le Y. Es a%lica'le solo si la ecuaci$n de continuidad se %uede reducir a dos sumandos ∂ρ # = se tiene %ara un flujo 'idimensional ∂t
consideremos flujo estacionario@
en el %lano >-= a la ,e? incom%resi'le@ ∂u + ∂v = # ∂x ∂y
)eniendo ;ue@ Y es funci$n de (>X=X&) +efinimos@
u
= ∂Ψ ∂y
v
u
1.37 = u xG y G t G
v = v xG y G t
= − ∂Ψ ∂x
1.3!
*a ecuaci$n de continuidad 1.37 satisface eactamente@ ∂u + ∂v = ∂ 2 Ψ − ∂ 2 Ψ = # ∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y V
$
= i ∂Ψ − j ∂Ψ truco matem(tico %ara reem%la?ar ,aria'les uG, %or ∂y ∂x
una Jnica funci$n Y.
In-. >aime Flores (nc9e?
17
UNIERI+&+ N&/I
*a
∇ 2Ψ =
rotV
= #WZ = − #∇ 2 Ψ
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + ∂x 2 ∂y 2
1.3" 1.4#
i d r es un elemento de lon-i tud a lo lar-o de unas l0neas de corriente la ecuaci$n de esta se determina %or@ V
× d r = # = (iu +() jv × idx ) +
jdy
= k ( udy − vdx ) = #
1.41
Zue un flujo 'idimensional la ecuaci$n de las l0neas de corriente es udy
− vdx = #
1.42
ustituendo 1.3! en la ecuaci$n de Y se tiene@ ∂Ψ ∂Ψ ⋅ dx + ⋅ dy = # = dΨ ∂x ∂y
1.43
Entonces el cam'io de Y a lo lar-o de las l0neas de corriente es /ER
1.44
Por tantoG el cam'io de [ a tra,s del elemento es numricamente i-ual al flujo ,olumtrico este entre dos %untos cuales;uiera del cam%o de flujo es i-ual a la diferencia de ,alores de la funci$n de corriente@
/onsiderando el elemento de su%erficie de control ds de %rofundidad unitaria. In-. >aime Flores (nc9e?
1!
UNIERI+&+ N&/I
d
=
∂Ψ ∂Ψ d + d = dΨ ∂ ∂
•
∴ 1 − 2 =
∫
2
1
( .n ) d& ⇒
•
=
1 − 2
∫
2
1
dΨ
= Ψ2 − Ψ1
1.45
En coordenadas cil0ndricas@ dr
r z VZ Vθ
Vr o
1 ∂ ( r)ρr r
∂r
( 1 )∂ ρθ + ∂ρ + ∂ρ = #
+
?
r
∂θ
∂?
∂t
dz
1.46
Para flujo incom%resi'le@ ? M # G \ M cte 1 ∂ 1 ∂ ⋅ rVr + ⋅ Vθ = # r ∂r r ∂θ
∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ + − =# ∂r ∂θ ∂θ ∂r
+onde finalmente@ Vr
= ⋅ ∂Ψ r ∂θ 1
Vθ
= − ∂Ψ ∂r
1.47
Para flujo incom%resi'le &IIE)RI/<@ In-. >aime Flores (nc9e?
1"
UNIERI+&+ N&/I
in ,ariaciones circunferenciales@ 1 ∂ ∂ ⋅ rr + ? r ∂r ∂?
Por analo-0a@
Vθ
=#⇒
= ∂ = # G ;ue al final se o'tiene@ ∂θ
∂ ∂ r + r = # ∂r r ∂? ?
1.4!
∂ ∂ψ ∂ ∂ψ − + − = # G +onde@ ∂r ∂z ∂z ∂r Vr VZ
= − 1 ⋅ ∂ψ r ∂z 1 ∂ψ = ⋅ r ∂r
1.4"
o
1.5#
∀1− 2 = 2π( ψ 2 − ψ1 ) Para flujo 'idimensional com%resi'le esta'le@ ρu
=
∂ψ ∂y
ρ, = =
∂ψ ∂x
1.51
1.! POTENCIAL DE VELOCIDADES *a irrotacionalidad da lu-ar a una funci$n escalar ] es decir se tiene ;ue un ,ector con R<)&/I
φ u
= φ xG yG z G t G denominado %otencial de ,elocidadesG con
=
∂φ ∂x
v
=
∂φ ∂y
w=
∂φ ∂z
1.52
*as l0neas o su%erficies φ constantes se denominan *TNE& P<)EN/I&*E +E* F*UI+< es tridimensional no esta limitada a dos coordenadas. e
∂
e
1
∂
k
∂
En coordenadas cil0ndricas si ∇ = r ∂r + θ ⋅ r ⋅ ∂θ + ∂z
1 ∂φ +onde@ Vθ = ⋅ r
∂θ
Vr
= ∂φ ∂r
Vz
= ∂φ ∂z
1.53
NOTAS In-. >aime Flores (nc9e?
2#
UNIERI+&+ N&/I
la funci$n de corriente YG satisface la ecuaci$n de continuidad %ara flujo incom%resi'le.
*a fun ci$n de cor riente irrotacional.
ustituendo@
u
=∂ ∂x
φ
_ no est a sujeta a la restricci$n de flu jo
v
φ =∂ ∂y
u
= ∂Ψ ∂y
v=−
∂Ψ ∂x
1.54
∂v ∂u En la condici$n de irrotacionalidad@ ∂x − ∂y = # G o'tenemos@
∂2Ψ ∂ 2Ψ + = # ..................Ec. de *&P*&/E ∂x 2 ∂y 2
1.55
∂u ∂v Q en la condici$n de continuidad@ ∂x + ∂y = # G resulta@
∂ 2φ ∂ 2φ + = # ......................Ec. de *&P*&/E ∂x 2 ∂y 2
1.56
i un flujo es IRR<)&/I
u
=
..............Ec. de /&U/`Q=RIE&NN
1.57
Una l0nea _ constante ser( tal ;ue a lo lar-o de ella el cam'io de _ es NU*<@ dφ
+e donde@
dy dx φ = $te
=
∂φ ∂φ d + d = # = ud + ,d ∂ ∂
=−
u v
=−
1 dy dxφ = $te
G condici$n de orto-onalidad.
NOTA
/ual;uier funci$n de [ $ ] ;ue satisface la ecuaci$n de *&P*&/E re%resenta un %osi'le cam%o de flujo 'idimensionalG irrotacional e incom%resi'le.
In-. >aime Flores (nc9e?
21
UNIERI+&+ N&/I
)oda funci$n ] ;ue satisfa-a la ecuaci$n de *&P*&/E es un caso %osi'le de flujo IRR<)&/I
En la ecuaci$n de continuidad tenemos@
∂ 2φ + ∂ 2φ + ∂ 2φ = # ⇒ ∇ ⋅V = −∇ ⋅ ∇φ = −∇2φ = # 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
1.5!
*as funciones [ $ ] corres%ondientes a cinco flujos 'idimensionales elementales ;ue se tienen son@ a Fl', U/%5+ de M cte . %aralelo al eje G sa tisface la ec. +e continuidad e irrotacionalidad. Para un flujo con M cte. ;ue forma un (n-ulo con el eje @ [M V$os y%VSen x ]M =
VSen y%V$os x
1.5" 1.6#
' F'+/&+ S%$l+ es un %atr$n de flujo en el %lano G con el flujo des%la?(ndose radialmente 9acia fuera a %artir del eje ? simtricamente en todas direcciones. *a intensidad & de la fuente es la relaci$n de flujo ,olumtrico %or unidad de %rofundidad. & cual;uier rG la ,elocidad X M # la ,elocidad radial V r =
& 2πr
1.61
c S'%*+ S% $l+ el flujo se des%la?a radialmente 9acia dentroG un sumidero es una fuente ne-ati,aG las funciones [ $ ] son las ne-ati,as de las funciones corres%ondientes %ara un flujo de fuente. El ori-en de una fuente o sumidero es un %unto sin-ularG %uesto ;ue la ,elocidad radial se a%roima a infinito conforme el radio se acerca a /ER<.
d V&%+ es a;uel en donde un %atr$n de flujo en el ;ue las l0neas de corriente son c0rculos concntricos en un ,$rtice li're irrotacional In-. >aime Flores (nc9e?
22
UNIERI+&+ N&/I
las %art0culas de fluido no rotan cuando se mue,en alrededor del centro del ,$rtice. 1
Por Euler@ en un %lano 9ori?ontal@ ρ d% = − θ dθ *a ecuaci$n normal Euler a la *./. es@
1 d%
ρ
⋅
dr
=
1.62
θ2
1.63
r
/om'inando 1.62 1.63@ dp
ρ
= −Vθ dVθ =
Vθ2 r
dr ⇒ Vθ dr + rdVθ
=#
1.64
Inte-rando@ X.r M cte. *a intensidad b del ,$rtice se define como
k
= 2πrVθ
1.65
• El ,$rtice irrotacional es una a%roimaci$n ra?ona'le al cam%o de flujo en un tornado. e D7l+&+ este flujo se %roduce matem(ticamente dejando ;ue se com'inen una fuente un sumidero de intensidades numricas i-uales. En el limiteG cuando la distancia 'S G entre ellos se a%roima a /ER
&
δS 2π
G tienden a un ,alor finito ;ue
se denomina la intensidad del do'lete.
In-. >aime Flores (nc9e?
23
/&PI)U*< II
F*U>< N< I/<< Q I/<<
UNIERI+&+ N&/I
2.1
RELACIONES
DIFERENCIALES
PARA
UNA
PARTICULA FLUIDA 2.1.1. CONSERVACI"N DE MA SA
./
=
ρu + ∂ ( ρu ) dx dydz ∂x
ρudydz
*= @
> *@
*>
Por la ecuaci$n de conser,aci$n de masa #
) SA+ ( − )∑ ρiAiVi = ∫∫∫ ∂ρ dV + ∑ ( ρiAiVi ∂t vc
()*
2.1
/omo el elemento es tan %e;ueHo se reduce al trmino diferencial@ ∂ρ
∫∫∫ ∂t dV ≈ vc
∂ρ ∂t
dx.dy.dz
2.2
&%areciendo en la seis caras los trminos de flujo m(sico 9aciendo uso del trmino de /
ρ G G ?G t
In-. >aime Flores (nc9e?
24
UNIERI+&+ N&/I
lue-o@ CARA
FLUJOMASICODE
FLUJO MASICO DE
ENTRADA
SALIDA
ρudd?
ρu + ∂( ρu ) dx dydz ∂x
Q
ρ,dd?
∂ ( ρv ) dy ρv + ∂y dxdz
D
ρAdd
ρw + ∂( ρw) dz dxdy ∂z
Reem%la?ando en 2.1 ∂ρ ∂t
⇒
dxdydz +
∂ρ ∂t
+
∂ ( )ρu ∂x
()
dxdydz +
∂ ρv ( ) ∂ ρw dxdydz + ∂y ∂z
dxdydz = #
∂( ρ)u ( ∂) ρ(v) ∂ ρw + + =# ∂x ∂y ∂z
2.3
Ecuaci$n ,(lida %ara flujo estacionario o noG ,iscoso o sin fricci$nG com%resi'le o incom%resi'le. ∂ ∂ ∂ El o%erador -radiente ∇ = i ∂x + j ∂y + k ∂z nos %ermite escri'ir la ecuaci$n de
continuidad en un una forma com%acta@ ∂ ( ρ)u ( ∂) ρ(v) ∂ ρw + + ≡ ∇.( ρV ) ∂x ∂y ∂z
iendo la forma ,ectorial com%acta@
2.4 ∂ρ + ∇.( ρV ) = # ∂t
2.5
EN COORDENADAS CILINDRICAS In-. >aime Flores (nc9e?
25
UNIERI+&+ N&/I
V PUNTO(X X@)
V
V@
*@
LINEA DE REFERENCIA
EJ E
ELEMENTO INFINITESIMAL TIPICO
DE LC ILI ND RO
*
*
Z *a di,er-encia de cual;uier ,ector transformaci$n de coordenadas@ r
=
x2
+ y2
θ
y
= arctan G
,( r G θ G zG t )
se o'tiene 9aciendo la
? M ? reem%la?ando se tiene@
x
V ., =
1 r
∂( r, r ) 1 ∂( ,θ ) ∂( , Z ) + + ∂r r ∂θ ∂z
iendo la ecuaci$n de continuidad la si-uiente@
∂ρ 1 ∂( rρV) r ( 1 ∂) ρ( Vθ ) ∂ ρVZ + + + =# ∂t r ∂r r ∂θ ∂z
2.6
im%lificando@ a.= Flujo /om%resi'le Estacionario ∂ρ ∂t ≡ # ⇒
∂( ρ)u ( ∂) ρ(v) ∂ ρw + + =# ∂x ∂y ∂z
2.7
e sa'e@ 1
r
⋅
∂( r)ρVr 1( )∂ ρ( Vθ) ∂ ρVZ + ⋅ + =# r ∂r ∂θ ∂z
In-. >aime Flores (nc9e?
2.!
26
UNIERI+&+ N&/I
'.= Flujo Incom%resi'le ∂ρ ≈ # G inde%endientemente de ;ue el mo,imiento sea estacionario o no la \ ∂t
%uede factori?arse fuera de la di,er-enciaG dando@ ∇.V = # ⇒ ∂u + ∂v + ∂w = # ∂x ∂ y ∂z 1
r
2."
1 V rV V ⋅ ∂( ) r + ( ⋅)∂( θ ) + ∂ Z = # ∂r r ∂θ ∂z
2.1#
Para un flujo estacionario o no.
2.1.2. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
a'emos@ ∑ . =
d dt
∫∫∫ ρV dV + ∑ ( - V) i
( − )∑
i SA+
/omo el elemento de ,olumen es tan %e;ueHo@
CARA
iV i
2.11
()*
V$
d dt
∂
∫∫∫ ρV dV ≈ ∂t ( ρV ) dxdydz V$
FLUJO D E CANT. DE M OV.
FLUJO DE CANT. DE MOV.
A LA ENTRADA
A LA SALIDA
ρuV dydz
ρuV + ∂ ( ρuV ) dx dydz ∂x
ρuV dxdz
∂ ρ, + ∂ ( ρ, ) d dd?
?
ρuV dydx
ρA + ∂ ( ρA ) d? dd ∂?
&%arecen flujos de cantidad de mo,imiento en loas seis cara s del elemento diferencial cu'o anterior lue-o se tiene@
In-. >aime Flores (nc9e?
27
UNIERI+&+ N&/I
*ue-o en 2.11 se tiene@ ∑. =
∂ ∂ ( ρ)V +( ) ∂x ∂t
uρ ( V)
dxdydz
+ (∂ v) ρV + ∂ ∂y ∂z
w ρV
2.12
;ue se sim%lifica@ ∂ ( ) +( ∂) ρV ∂t ∂x
uρ( V ) +
∂( ) ∂ vρV + ∂y ∂z
wρ V
∂ρ = V + ∇. ρV + ρ ∂V + u ∂V + v ∂V + w ∂V ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t
*ue-o en 2.12 se con,ierte en@ ∑. =
ρ
Fuer?as (sicas u%erficiales
dxdydz
+onde las fuer?as m(sicas es la -ra,edad
d.0
2.13
= ρ /dxdydz → / = − /kU
2.14
*as fuer?as de su%erficie son de'idas a los esfuer?os en las caras de la su%erficie de controlG siendo estos esfuer?os la suma de la %resi$n 9idrost(tica de los esfuer?os ,iscosos ij@ σ ij
=
− p + τ xx
τ yx
τ zx
τ xy
− p + τ yy
τ zy
τ
xz
τ
yz
−
2.15
p + τ zz
σ yy τ zx
−
∂τ zx dz ⋅ ∂z 2
τ
yx
+
∂τ yx ⋅ ∂y
dy 2
τ yz τ xy
σ xx
−
∂σ xx dx ⋅ ∂x 2
τ xz
τ zy
σ zz τ zx
τ yx
−
+
σ xx
+
∂σ xx dx ⋅ ∂x 2
∂τ zx dz ⋅ ∂z 2
∂τ yx dy ⋅ ∂y 2
No son estos esfuer?osG sino sus -radientes o diferencias los ;ue ori-inan una fuer?a neta so're la su%erficie total del ,olumen de control infinitesimal. In-. >aime Flores (nc9e?
2!
UNIERI+&+ N&/I
i los esfuer?os en el centro del elemento diferencial se toman como G G ? lue-o en la direcci$n G so're cada cara del elemento diferencial se tiene@ Eje @ ∂τ dy ∂σ dx ∂σ dx = σ xx + xx ⋅ dydz − σ xx − xx ⋅ dydz + τ yx + yx ⋅ dxdz − ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂τ yx dy ∂τ zx dz ∂τ zx dz τ yx − ⋅ dxdz + τ zx + ⋅ dxdy − τ zx − ⋅ dxdy ∂y 2 ∂z 2 ∂z 2 d.x
im%lificando@ d.x
∂τ ∂σ ∂τ = xx + yx + zx dxdydz x y ∂ ∂ ∂z
2.16
*a fuer?a neta en la direcci$n tomando las fuer?as m(sicas@ = d.0X + d.SX
d.X
d.X
∂σ ∂τ ∂τ = ρ/ X + XX + YX + ZX ∂x ∂y ∂z
dxdydz
dF
∂τ Q ∂σ QQ ∂τ DQ = ρ- Q + ∂ + ∂ + ∂? ddd?
dF?
∂τ ∂τ ∂σ = ρ- D + D + QD + DD ddd? ∂ ∂ ∂?
2.17
Reem%la?ando en 2.13@ −
∂σ ∂τ ∂τ ∂u ∂p ∂u ∂u ∂u + ρ/ X + XX + YX + ZX = ρ + u + v + w ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂t
−
∂τ ∂σ ∂τ ∂, ∂% ∂, ∂, ∂, + ρ- Q + Q + QQ + DQ = ρ + u + , + A t ∂ ∂ ∂ ∂? ∂ ∂ ∂ ∂?
2.1!
∂τ XZ ∂τ YZ ∂σ ZZ ∂w ∂p ∂w ∂w ∂w dρ/ ρ u v w Z − ∂z + + ∂x + ∂y + ∂z = ∂t + ∂x + ∂y + ∂z
ectorialmente@
In-. >aime Flores (nc9e?
ρ/
− ∇p + ∇τ ij =
ρ
DV Dt
2.1"
2"
UNIERI+&+ N&/I
Fuer?a -ra,itatoria %or unidad de ,olumen fuer?a de %resi$n %or unidad de ,olumen fuer?a ,iscosa %or unidad de ,olumen M densidad aceleraci$n.
2.2. FLUJO INCOMPRESI
< IN FRI//I^N. E'#%/ *+ E'l+ ρ- −
∂u ∂% ∂u ∂u ∂u = ρ + u + , + A ∂ ∂ ∂ ∂? ∂t
ρ- −
∂, ∂% ∂, ∂, ∂, = ρ + u + , + A ∂ ∂ ∂ ∂? ∂t
ρ- ? −
∂A ∂% ∂A ∂A ∂A = ρ +u +, +A ∂? ∂ ∂ ∂? ∂t
2.2#
como ecuaci$n ,ectorial tenemos@ ∂∇ ∂∇ ∂∇ ∂∇ ρ- − ∇% = ρ +u +, +A ∂ ∂ ∂? ∂t
ρ- − ∇ % = ρ
+ +t
2.21
i KDL se diri-e ,erticalmente ⇒ ∇ Z = kU ⇒ ρ / = − ρ/kU = − ρ/∇ Z *a ecuaci$n de EU*ER se escri'e@ − /∇ Z −
1
ρ
In-. >aime Flores (nc9e?
∇p =
DV Dt
=
∂V + (V .∇ )V ∂t
2.22 3#
UNIERI+&+ N&/I
En coordenadas /il0ndricas@ ∂V ∂V V ∂V ∂V V 2 ∂p = a r = r + Vr r + θ r + V z r − θ ρ ∂r r ∂θ r ∂t ∂r ∂z ∂Vθ ∂Vθ Vθ ∂Vθ ∂Vθ VrVθ 1 ∂p − ⋅ = aθ = + Vr + + Vz − ρ ∂θ r ∂θ r ∂t ∂r ∂z
/r /θ /Z
−
1
⋅
−
1 ρ
⋅ ∂p ∂z
= az =
∂V z ∂t
+ Vr ∂V z ∂r
+ Vθ r
∂V z ∂θ
2.23
+ V z ∂V z ∂z
/omo el eje KDL se diri-e 9acia arri'aG - r M -X M # -? M =*a ecuaci$n de EU*ERG %ara una %art0cula ;ue se encuentra so're una l0nea de corriente.
/onsideremos flujo 'idimensional 'idireccional M # a En la direcci$n s a lo lar-o de la l0nea de corriente a'emos@ ∑ d.S = d-.aS ⇒ d- = ρdV = ρδsδnδx )am'in@a = In-. >aime Flores (nc9e?
∂ ∂ ∂ ∂ + ⇒ δm.a = ρ + δsδnδ ∂t ∂s ∂s ∂t
2.24 2.25 31
UNIERI+&+ N&/I
i des%reciamos el G las Jnicas fuer?as ;ue actJan so're la %art0cula son la de %resi$n de la -ra,edad de la fi-ura se tiene@ ∂p ∂s ∂p ∂s ∑ d.S = p − δnδx − p + δnδx − δ WSenθ s 2 ∂ ∂s 2
2.26
donde ∂W = /d- = ρ/δsδnδx
2.27
En 2.26@ ∑ d.S = − ∂∂ps − ρ/Senθ δsδnδx
2.2!
Reem%la?ando 2.26 2.2! en 2.24G di,idiendo entre Ws.Wn.W en el limite cuando WnG Ws W se a%roimen a cero se o'tiene@ −
−
∂V ∂V ∂p − ρ/Senθ = ρ S + VS S ∂s ∂s ∂t
1
⋅
p
∂s
− /Senθ =
VS
+ VS
∂t
VS
∂s
2.2" +e la fi-ura
δz
≈ δsSenθ ⇒ en el limite@
∂∂zs = Senθ G lue-o en 2.2" ∂VS ∂V 1 ∂p ∂z + VS S = − ⋅ − / ρ ∂s ∂t ∂s ∂s VS t
+ VS
VS
∂s
+
1
⋅
p
∂s
+/
z
∂s
=
2.31
Ecuaci$n de EU*ERG en direcci$n de la l0nea de corriente. M #
' Para la direcci$n n@ ∑ d.n = d-an
)am'in sa'emos ;ue lue-o@
d.n
2.32 an
de la %resi$n@
In-. >aime Flores (nc9e?
=
∂Vn VS2 + " ∂t
d.n
2.33
∂p ∂n ∂p ∂n = p − ⋅ − p + ⋅ δsδx ∂n 2 ∂n 2 32
UNIERI+&+ N&/I
d.n
=−
∂p δnδsδx ∂n
2.34
*a fuer?a de la -ra,edad@ ∂Wn = −∂W$osθ = − ρ/$os θ ∂n∂x∂s
2.35
Reem%la?ando 2.33G 2.34 3.35 en 2.32 9aciendo las sim%lificaciones res%ecti,as se o'tiene@ 2
− ∂∂pn − ρ/$osθ = ρ ∂∂Vtn + V"S ∂Vn VS2 1 ∂p + + ⋅ + /$osθ = # ∂t " ρ ∂n
+e la fi-ura@
∂z ∂z = lim = $osθ ∂n ∂n→# ∂n
Finalmente se tiene@ ∂Vn VS2 1 ∂p ∂z + + ⋅ +/ =# " ρ ∂n ∂t ∂n
2.36
Ecuaci$n de NeAton en direcci$n normal a la l0nea de corriente τM#. Para flujo E)&/I
2.3
∂VS + ∂s
∂p ∂z +/ =# ∂s ∂s 1 ∂p ∂z + ⋅ +/ =# ρ ∂n ∂n 1 ρ
⋅
2.37
FLUJO INCOMPRESI
D+5%/%%/
Es el ca%itulo ;ue se encar-a del estudio de los fluidos incom%resi'les en mo,imiento ;ue relaciona el cam%o de ,elocidades con la deformaci$n total ;ue se %resenta en el fluido. En el flujo ,iscoso se tiene@ In-. >aime Flores (nc9e?
33
UNIERI+&+ N&/I
Flujo Interno
Flujo Incom%resi'le Flujo /om%resi'le
FLUJO VISCOSO
Flujo Eterno
Flujo /om%resi'le Flujo /om%resi'le
Flujo iscoso Flujo Real µ ≠ # .$
Recordando ;ue τ =
A
⇒ τ .∞.θ → τ = µθ = µ
d
2.3!
d
donde@
τ @ Esfuer?o cortante θ
@ Ra%ide? de deformaci$n an-ular
µ @ iscosidad din(mica
)am'in@ DV
) ∑ .* = -.a = dρ ( dxdydz
(
Dt
=) dρ
dxdydz
∂V + (V .∇ )V ∂t
∑ .ext + ∑ .int = -a* .p
+ .V + .e + .$ +
∑ ." =
./
2.3" + .- = ( a1 + a$ ) -
2.4#
∂V + V .∇ V ∂t
dρdxdydz
2.41
τ +
En el cu'o diferencial anterior@
∂τ d . ∂ 2
τ + ∂τ . ∂
d 2
d d? In-. >aime Flores (nc9e?
?
d
∂τ d τ? + ? . ∂ 2
34
UNIERI+&+ N&/I
a. /alculamos la resultante de las fuer?as normales@ RFn
= σ d?d − σ d?d
Pero M σ = σ +
".ny
= σ yy
dzdx +
∂ σ ∂ σ ⋅ d → σ d?d = σ d?d + ⋅ ddd? ∂ ∂ .
∂ σ yy ⋅ dydxdz − σ yy ∂y
dzdx
an(lo-amente@ ".
∂ σ yy
dydxdz
= ∂y ⋅ ∂(σ xx ) ".nx = ⋅ dydxdz ∂x ∂(σ zz ) ⋅ dydxdz ".nz = ∂z ny
2.42
τ ?
/alculamoslaresultante
de las fuer?as
tan-enciales@ eje
GG?
τ
d
τ d?
In-. >aime Flores (nc9e?
d ?
τ ?
35
UNIERI+&+ N&/I
RFτ
= RFτ + RFτ?
RFτ
= τ d?d − τ
Pero@
= τ xy +
τ xy
d?d
∂(τ xy ∂x
+ τ ? dd − τ ?
dx
dd
τ zy = τ zy +
∂ τ zy ∂z
dz
lue-o@ RFτ
∂τ ∂τ = τ + d d?d − τ d?d + τ ? + ? d? dd − τ ? dd ∂ ∂ ?
an(lo-amente@ ".τy ".τx ".τz
∂τ xy ∂ xy dxdydz + ∂x ∂z ∂τ yx ∂ zx = dxdzdy + ∂y ∂z ∂ yx ∂τ xz = dxdydz + ∂x ∂y =
dzdxdy
2.43
dzdxdy dzdxdy
reem%la?ando 2.43 2.42 en 2.41 @ F8 ddd? +
∂σ ddd? + ∂τ ∂ ∂
ddd? +
∂τ ? ddd? = dρ ddd? ∂ + .∇ ∂? ∂t
Por unidad de ,olumen@ .0y
+
∂σ yy ∂τ xy ∂τ zy ∂V + + = dρ y y + V .∇V ∂y ∂x ∂z ∂t
In-. >aime Flores (nc9e?
36
UNIERI+&+ N&/I
F8
+
∂σ ∂τ ∂τ ? ∂ + + = dρ + .∇ ∂ ∂ ∂? ∂t
F8?
+
∂σ ?? ∂τ ? ∂τ ? ∂ + + = dρ ? ? + .∇ ∂? ∂ ∂ ∂t
2.44
2.3.1 LA LEY DE LA VISCOSIDAD DE NAVIER-STOES Relaciona el cam%o de ,elocidades con la ma-nitud de la ra%ide? de deformaci$n an-ular. &sume este modelo matem(tico@ ;ue la deformaci$n es consecuencia %rinci%almente del des%la?amiento de una %art0cula %or efecto de una fuer?a cortante la cual es %ro%orcional al -radiente de ,elocidades.
Es una ecuaci$n 'idimensional.
i τ .∞.θ* → τ.∞.θ 1 + θ 2 a'emos ;ue @ τ
τ
= µ ∂∂Vy G la e%resi$n anterior se con,ierte en@
• • = µ θ 1 + θ 2
lue-o se tiene@
In-. >aime Flores (nc9e?
τ zx
∂u ∂w = τ xz = µ + ∂z ∂x
37
UNIERI+&+ N&/I
τ yz
∂v ∂w = τ zy = µ + ∂z ∂y
2.45
∂u ∂, τ = τ = µ + ∂ ∂
i el fluido es NeAtoniano tam'in I<)R^PI/< Pro%iedades del fluido inde%endientes de la direcci$nG es %osi'le relacionar las com%onentes del esfuer?o los -radientes de ,elocidad em%leando la ,iscosidad el se-undo coeficiente de ,iscosidad g. &l relacionar esfuer?o=,elocidad=-radienteG se o'tiene las ecuaciones /
= − p + 2µ
∂u + λ∇.V ∂x
σ yy
= − p + 2µ
∂v + λ∇.V ∂y
σ zz
= − p + 2 µ ∂∂z + λ∇.V
2.46
w
El se-undo coeficiente de ,iscosidad esta relacionado con la ,iscosidad@ λ
2
`i%$tesis de )
=− µ 3
1 a'iendo@ σ = ( σ + σ + σ ?? ) 3
Entonces@
de donde
σ xx
∂u 2 = − p + µ 2 − ( ∇.V ) ∂x 3
σ yy
= − p + µ 2 ∂v − 2 ( ∇.V ) ∂y 3
σ zz
∂w 2 = − p + µ 2 − ( ∇.V ) ∂z 3
2.47
σ = −%
2.4!
• Utili?ando 2.46 2.47 se demuestra ;ue siem%re se cum%le %ara l0;uidos o -ases@ ∇ ⋅ V = # In-. >aime Flores (nc9e?
3!
UNIERI+&+ N&/I
&l sustituir la ec. 2.4! en las diferenciales de momento 2.44 se o'tiene %ara un fluido 9omo-neoG sa'iendo ;ue@ Du
ρ
Dt Dv
ρ
Dt Dw
ρ
Dt
=−
d.0
= ρ/dxdydz
∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u µ ∂ ∂u ∂v ∂w ∂p + + + ρ/ x + µ 2 + 2 + 2 + ∂x ∂x ∂y ∂z 3 ∂x ∂x ∂y ∂z
2 2 2 p v v v µ u v w = − ∂ + ρ/ y + µ ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ ∂ + ∂ + ∂ 3 y x y z ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y ∂ z
=−
2.4"
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w µ ∂ ∂u ∂v ∂w ∂p + + + ρ/ z + µ 2 + 2 + 2 + ∂z ∂y ∂z 3 ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x
Para flujo IN/<PREI8*E@ E'#%/ *+ N#%+= S&?+ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p + u + v + w = − + ρ/ x + µ 2 + 2 + 2 t x y z x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z
ρ
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p + u + v + w = − + ρ/ y + µ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z
ρ
2.5#
∂2w ∂2w ∂2w ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p + u + v + w = − + ρ/ z + µ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂t ∂x
ρ
si@
∂% i + ∂% j + ∂% = ∇ % ∂ ∂ ∂?
∇ 2 uiU + ∇ 2 vUj + ∇ 2 wkU = ∇ 2 V 2
2
2
adem(s usando el *&P*&/I&N<@ ∇ = ∂∂x + ∂∂y + ∂∂z 2
2
2
2
las ec. de Na,ier=toes se transforma en@ ∂V + V .∇ V = ∂t
ρ
In-. >aime Flores (nc9e?
.0
− ∇ p + µ∇ 2 V +
µ ∇.V 3
2.51
3"
UNIERI+&+ N&/I
&l-unas consideraciones@ 1. i el flujo es uniforme@
ac
=#
2. i el flujo es incom%resi'le@ ∇.V = # 3. i el flujo es %ermanente@
a1
=#
4. i el flujo est a dentro de un ducto 9ori?ontalG su estructura molecular no cam'ia@
.0
=#
5. i el flujo es isotrmico@
µ
= cte.
ECUACI"N DE NAVIER-STOES EN COORDENADAS CIL9NDRICAS
Para@ 2 M cte. 3 M cte. a. /om%onente r@ 2 ∂ ∂ ∂ 2 ∂ ∂2 ∂% ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ ρ r + r r + θ r − θ + ? r = ρ- r − + µ [ rr ] + 2 2 r − 2 θ + 2 ∂r r ∂θ r ∂? ∂r ∂r r ∂r r ∂θ r ∂θ ∂? ∂t
'. /om%onente X@ 2 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂% 1 ∂ θ 2 ∂ ∂ ρ θ + r θ + θ θ + r θ + D θ = ρ- θ − . + µ ⋅ [ rθ ] + 2 + 2 r 2 ∂r r ∂θ r ∂? r ∂θ r ∂θ r ∂θ ∂t ∂r r ∂r
c. /om%onente ?@
∂ ∂ ∂ ∂% 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 D ∂ 2 ? ∂ ρ D + r D + θ D + D D = ρ- D − + µ r D + 2 + 2 ∂r r ∂θ ∂? ∂? r ∂r ∂r r ∂θ 2 ∂? ∂t
In-. >aime Flores (nc9e?
4#
/&PI)U*< III
&Nh*II +IENI
UNIERI+&+ N&/I
3.1 AN8LISIS DIMENSIONAL 3.1.1 DEFINICI"N
e denomina as0 al %roceso ;ue %ermite e,aluar un determinado fen$menoG con una reducci$n de las ,aria'les ;ue 9acen %osi'le su ocurrencia '(sicamente consiste en a-ru%ar con,enientemente todas las ,aria'les %rinci%alesG %resentes en un fen$meno. Es un %rocedimiento al-e'raico ;ue %ermite a-ru%ar ,aria'les inde%endientes en -ru%os adimensionales los cuales 9acen ;ue el tiem%o de mani%ulaci$n de datos se redu?ca el tratamiento del fen$meno sea m(s f(cil. El an(lisis dimensional tiene dos des,entajas@ a Para a%licar se re;uiere el conocimiento %re,io del fen$meno a
reali?arseG ello %ermite seleccionar adecuadamente las ,aria'les im%ortantes %ara la ocurrencia del fen$meno. ' El an(lisis dimensional no %ermite conocer directamente el ti%o de
funci$n ;ue relaciona a dos o mas -ru%os adimensionalesG ello solo es %osi'le mediante la e%erimentaci$n.
3.1.2 METODOS
Para 9allar los -ru%os adimensionales eisten dos mtodos 1.=E)<+< +E R<**Q 2.=E)<+< +E 8U/bIN:`& < :RUP< @ Permite 9allar los denominados -ru%os adimensionales NUER< .
In-. >aime Flores (nc9e?
41
UNIERI+&+ N&/I
3.1.3 METODOLOG9A DEL METODO DE
1.= e seleccionan adecuadamente las ,aria'lesG ;ue a nuestro criterio sean las m(s im%ortantesG en la ocurrencia del fen$meno. u%on-amos las ,aria'les@ 1G 2G 3G 4G 5G 6G 7. 2.=e eli-e el sistema de ma-nitudes fundamentalesG en funci$n del fen$meno ;ue se estudiaG como %or ejem%lo@ *)G F*)G *)X G *)XZG *)XZ. En fluidos se toman -eneralmente las dimensiones *) F*) 3.= e calcula el numero de -ru%os adimensionales a o'tenerse mediante la relaci$n@
M m Bn .
@Numero de -ru%os adimensionales.
m @Numero de ,aria'les seleccionadas. M ! n Numero de ma-nitudes fundamentales. M 3
M!B3M5
4.= e escri'en las ecuaciones dimensi$nales de las ,aria'les seleccionadas@ 1 k M a1 *'1 )c1 . 2 k M a2 *'2 )c2 . 3 k M a3 *'3 )c3 . . . ! k M a! *'! )c! .
5.= e construe la matri? dimensional del sistema de la si-uiente manera@ En la columna ,ertical las ma-nitudes fundamentales en la l0nea 9ori?ontal las ,aria'les seleccionadas se rellena con los e%onentes. In-. >aime Flores (nc9e?
42
UNIERI+&+ N&/I
6.= +e la matri? se esco-e el maor su'conjunto cuadrado cuo determinante sea diferente de cero. *a condici$n anterior ase-ura ;ue las ,aria'les ;ue conforman un numero son inde%endientesG sea@ a1 a3 a7 '1 '2 '7
#
c1 c3 c7 u%on-amos ;ue esta conformado %or@ 1 G 3 G 7 .
7.= e construen los -ru%os adimensionales de la si-uiente forma@ 1
M 11 3Q1 7D1 2
2
M 12 3Q2 7D2 4
3
M 13 3Q3 7D3 5
4
M 14 3Q4 7D4 6
5
M 15 3Q5 7D5 !
+esarrollando se tiene@ # * # ) # M a1 *'1 )c1 1 a3 *'3 )c3 Q1 a7 *'7 )c7 D1 a2 *'2 )c2 4 ⇒ # = X 1 × a1
+Y ×a + Z ×a + a 1
3
1
7
2
+
⇒ # = X ×5 +Y ×5 + Z ×5 + 5
*
⇒ # = X ×c +Y ×c + Z ×c + c
1
In-. >aime Flores (nc9e?
1
1
1
1
1
3
3
1
1
7
7
2
2
43
UNIERI+&+ N&/I
Resol,iendo se tiene@ 1 M α1 Q1 M D1 M +e la misma manera se tiene@ 2
M V1
α2
3
M V1
α3
4
M V1
α4
5
M V1
α5
×V ×V ×V β2
3
×V ×V ×V β3
α1
×V ×V ×V β1
3
γ1
7
2
1
4
γ3
7
5
×V ×V ×V β4
3
V1
γ2
7
3
1 1
γ4
7
6
×V ×V ×V β5
3
γ5
7
!
N<)&@ *os nJmeros 1G2G3G4G5. son inde%endientes de un sistema %articular de unidadesG ra?$n %or la cual se les %uede multi%licarG di,idir ele,ar a cual;uier %otenciaG %ara dar la forma ;ue uno re;uiere.
N<)& @ 1.=El an(lisis dimensional mtodo solo se a%lica cuando se tiene 5 o m(s ,aria'les en estudio. 2.=El &n(lisis +imensional no %ermite conocer el ti%o de funci$n ;ue relaciona a los -ru%os adimensionales %ara reconocer el ti%o se re;uiere la e%erimentaci$n. 3.=*a maor des,entaja de &n(lisis +imensional radica en ;ue la selecci$n de las ,aria'les de%ende eclusi,amente del conocimiento ;ue se ten-a del fen$meno.
In-. >aime Flores (nc9e?
44
UNIERI+&+ N&/I
3.2
TEORIA DE MODELOS O SIMILITUD
Es a;uella ;ue esta'lece los %untos ;ue relacionan los fen$menos de un modelo los de un %rototi%o. El &n(lisis +imensional es una 9erramienta ;ue em%lea la )E
Es una re%roducci$n a escala adecuada del %rototi%o no solo el modelo esta referido a la re%roducci$n de o'jetos sino tam'in a la re%roducci$n de fen$menosG todo ello mediante la simulaci$n. 3.2.2 PROTOTIPO
Es la re%roducci$n a escala 1@1 del o'jeto ;ue ser( sometido a condiciones reales de tra'ajo. 3.2.3 ESCALA
e denomina as0 a la relaci$n ;ue eiste entre la ma-nitud de una misma %ro%iedad en el modelo en el %rototi%o. Eisten escalas de lon-itudesG su%erficiesG ,olJmenesG ,elocidadesG fuer?asG etc. Fm
F%
a%
am
-m
In-. >aime Flores (nc9e?
m
-%
%
45
UNIERI+&+ N&/I
3.2.! TIPOS DE SIMILITUD. a imilitud :eomtrica. ' imilitud /inem(tica. c imilitud +in(mica. d imilitud )rmica. e imilitud Elctrica. f imilitud Zu0mica.
3.2.!.1 SIMILITUD GEOMTRICA
Es a;uella ;ue esta'lece la %ro%orcionalidad de dimensiones de lon-itudes 9omolo-as del modelo del %rototi%o. )am'in de las su%erficies ,olJmenes. m
%
*m *%
=λ
+- +× +p +p
∀- = λ ∀p
= λ × λ ⇒ m = λ
2
%
3
MODELO F1 PROTOTIPO F2 3.2.!.2 SIMILITUD CINEM8TICA
*lamada tam'in similitud de mo,imientoG esta'lece la %ro%orcionalidad entre las ,elocidades aceleraci$n de %art0culas 9omolo-as ;ue recorren lon-itudes corres%ondientes en tiem%os %ro%orcionales. VVp
⇒
=# =
V∀p
+*+p *p
= +- × *p = λ × 1 ξ +p × *-
=φ
3.2.!.3 SIMILITUD DIN8MICA In-. >aime Flores (nc9e?
46
UNIERI+&+ N&/I
Es a;uella ;ue esta'lece la %ro%orcionalidad entre las fuer?as ;ue actJan en masas 9omolo-as del modelo del %rototi%o. .1 .2
=ϕ
N<)&@ i se cum%le la similitud din(mica autom(ticamente se cum%le la -eomtrica la cinem(tica. *a semejan?a total o ideal se cum%le cuando se ,erifican todos los -ru%os adimensionalesG ello se cum%le cuando@ 1.= Rem M Re% 2.= Eum M Eu% 3.= Frm M Fr% 4.= em M e% 5.= m M % F = -× a ⇒ ρ a .
=
m
∀
⇒ - = ρ ×∀
× = ρ × A×V ⇒ F = ρ ×∀ t 2 2 ρ × × + = fuer?a de inercia
= ρ ×∀× =
a'emos@ Fr Fσ
F %
F Fm
Fe
F% Fu Fe Fm F- OOO Fi1
3.2.; PRINCIPALES GRUPOS ADIMENSIONALES
a Numero de Renolds.= )odo ti%o de Flujo In-. >aime Flores (nc9e?
47
UNIERI+&+ N&/I
Re M
6nercia
M
Viscocidad
ρ
×V × + µ
M
×+
V
ν
' Numero de ac9.= Flujos com%resi'les M /M
Ve1ocidad de .1ujo Ve1ocida de Sonido
#
( ρ
× "×* =
V $
M
=
∆P ∆ρ
c Numero de Froude.= Flujos con su%erficie li're Fr M
6nercia /ravedad
V2
M+× /
d N de e'er.= Para flujo en su%erficie li're 6nercia
e M *encion Superficia 1 M
ρ ×V 2 σ
×+
e Numero de Euler.= Para %rue'as aerodin(micasG cuando eiste ca,itaci$n Eu M
Pr esion
6nercia
M
ρ
∆P ×V 2
f Numero de Ecert.= Para disi%aci$n Ec M
(ner/ia $inetica (nta1pia
V2
M $p × *o
- Numero de /auc9.= /u M
In-. >aime Flores (nc9e?
4odu1o Vo1u-etrico 6nercia
ε
M ρ ×V 2
4!
UNIERI+&+ N&/I
9 Numero de Prandtl.= Para con,enci$n de calor Pr M
Disipacion $onduccion
M
µ
× $p #
i Numero de trou9al.= Flujos oscilatorios t M
7sci1acion Ve1ocidad
w.+
M
V
3.2. GRUPOS ADIMENSIONALES EN TUR
=
2× / × 8
+i
V2
' /ifra de /audal.=
ρ=
π × +2 × 4
c Numero es%ecifico de re,oluci$n del caudal.= N; =
N× `
3
4
d Numero Es%ecifico de la Potencia.= Ns =
N × Pot 5
`
4
3.2.4 COEFICIENTES ADIMENSIONALES a /oeficiente de Resistencia.=
In-. >aime Flores (nc9e?
4"
UNIERI+&+ N&/I
/+ M
F& 1 2
× ρ × 2 × &
' /oeficiente de ustentaci$n.= F
/ M
1 2
× ρ × 2 × &
c /oeficiente de Presi$n
/P M
∆P 1 × ρ× 2 2
d /oeficiente de Fricci$n.=
/f M
1 2
In-. >aime Flores (nc9e?
τA × ρ× 2
5#
/&PI)U*< I
E)U+I< +E* F*U>< IN)ERN< IN/<PREI8*E
UNIERI+&+ N&/I
!.1
FLUJO LAMINAR TUR
No eiste un an(lisis -eneral del mo,imiento de los fluidos 9a ,arias docenas de soluciones conocidas %articularesG soluciones con ordenador -ran cantidad de datos e%erimentalesG tam'in una teor0a adecuada %ara el caso ;ue se des%recien la la com%resi'ilidad. Pero no 9a una teor0a -eneral o ;ui?(s no la 9aa nunca. *a ra?$n es ;ue a moderados Re se %roduce un cam'io %rofundo com%licado en el com%ortamiento de los flujos. El mo,imiento deja de ser sua,e laminar se con,ierte en fluctuante a-itado tur'ulentoG este %roceso se denomina transici$n. *a tur'ulencia %uede ser detectada con medidas mediante el &NE<E)R< o con un )R&N+U/)
u
u
*as %e;ueHas %ertur'aciones se amorti-uan r(%idamente
a
u
8rotes de tur'ulencia
t
'
)ur'ulencia continua
t
t
c
F%'# !.1 T%$ *+ 5l',
In-. >aime Flores (nc9e?
51
UNIERI+&+ N&/I
*as fluctuaciones ,alores entre 1 2# de la ,elocidad mediaG no son estrictamente %eri$dicasG sino aleatorios distri'uidos en un am%lio ran-o de frecuencias. En un tJnel aerodin(mico t0%ico a altos Re el ran-o de frecuencia ,a de 1 a 1#### `D el de lon-itudes de onda de #.#1 a 4## cm. *os flujos con %erdida li're la tur'ulencia es o'ser,ada directamenteG en la fi-ura el c9orro de a-ua a la salida de un tu'o a 'ajo Re es sua,e laminar alto Re es no estacionario e irre-ularG %ero estacionario %redicti'le en medir.
a
'
iscosidad altaG 'ajo Re Flujo laminar
i
"e
=
9+
iscosidad 'ajaG Re ele,ado Re ele,ado Flujo tur'ulento
G donde U M ,elocidad media
υ
* M anc9o o lon-itud caracter0stica trans,ersalG de la ca%a de cortadura )enemos@ #
p Re p
1
⇒
mo,imiento laminar KlentoL altamente ,iscoso
1
p Re p
1##
⇒
laminarG fuerte de%endencia del Re
⇒
laminarG es Jtil la teor0a de ca%a limite
1##
p Re p
1#3
p
1#4
⇒
transici$n a la tur'ulencia
1#4
p Re p
1#6
⇒
tur'ulentoG moderada de%endencia del Re
1#6
p Re p
q
⇒
tur'ulentoG d'il de%endencia del Re
1#3 p Re
In-. >aime Flores (nc9e?
52
UNIERI+&+ N&/I
on ran-os indicati,os ;ue %ueden ,ariar con la -eometr0a del flujoG ru-osidad ni,eles de fluctuaci$n de la corriente de entrada. En 1!3" `&:EN indico %or %rimera ,e? la eistencia de dos re-imenes de flujo ,iscosoG midi$ la ca0da de %resi$n de un flujo de a-ua en tu'os lar-os de lat$n dedujo@ +V
∆p = #
r
4
4.1
+ (.($*7 D( +A ()*"ADA
%ero no se dio cuenta de ;ue la b era %ro%orcional a la del fluido En 1!!3 <8
&-ua
8aja ,elocidadG mo,imiento a
laminar
<a ,elocidadG mo,imiento '
c
tur'ulento
Foto-raf0a instant(nea del flujo en la condici$n '
El ,alor ace%tado %ara transici$n en tu'os es@
Re≈23##
4.2
alor fia'le %ara tu'os comerciales %ero teniendo cuidado en redondear la entradaG %oner %aredes lisas con la corriente de entrada li're de %ertur'aciones el Re/R %uede lle,arse a ,alores a mas altos.
In-. >aime Flores (nc9e?
53
UNIERI+&+ N&/I
*a teor0a de flujo laminar esta desarrolladaG con muc9as solucionesG %ero no 9a un an(lisisG ni soluci$n de ordenador ;ue %uedan simular las fluctuaciones aleatorias de escala %e;ueHa del flujo tur'ulento todo es semiem%iricoG 'asado en an(lisis dimensional ra?onamientos f0sicosG refirindose a %ro%iedades medias a las ,arian?as de las fluctuaciones.
!.2
FLUJO INTERNO Y CORRIENTE ETERIOR
Un flujo interno esta confinado %or %aredes las ca%as flui das sometidas a los efectos ,iscosos crecer(n se encontraran ocu%ando todo el flujo.
/&P& *TI)E /RE/IEN)E
NU/*E< N< I/<<
UNI
PERFI* +E E*
r urG
*on-itud de entrada *e Perfil de desarrollo
Re-i$n de flujo desarrollado
P /&I+& +E PREI
#
In-. >aime Flores (nc9e?
*e
>
54
UNIERI+&+ N&/I
En la fi-ura las ca%as limites ,iscosas crecen a-uas a'ajoG frenando el flujo aial urG en la %ared acelerando el nJcleo central %ara mantener el re;uisito de continuidadG ;ue en un flujo incom%resi'le es @ V
= ∫ udA = constante
4.3
& una distancia finita de la entradaG las ca%as limites se unen el nJcleo no ,iscoso desa%areceG el flujo en el tu'o es entonces com%letamente ,iscoso la ,elocidad aial se ,a ajustando 9asta M *e en ;ue a no cam'ia %r(cticamente con G se dice ;ue el flujo esta totalmente desarrollado u ≈ u( r) . El an(lisis dimensional indica ;ue el Re es el Jnico %ar(metro ;ue determina la lon-itud de entrada. i *eMfdG,GρG de donde @ +e d
ρV d = / ( Re) = / µ
4.4
Para flujo laminarG la correlaci$n ace%tada es@ +e d
≈ #.#6 Re
4.5
*a lon-itud m(ima de entrada de entradaG a Re m(ima %osi'le.
/R
M23## es *eM13!d ;ue es la
En flujo tur'ulento las ca%as limites crecen mas de %risa *e es relati,amente mas cortoG si-uiendo la e%resi$n@ +e d
≈ 4.4 Re
4.6
1 6
teniendo en cuenta al-unas lon-itudes de entrada
R+ L+^*
4### 1!
1#4 2#
1#5 3#
1#6 44
1#7 65
1#! "5
Una lon-itud corta %uede ser Jtil si se desea mantener un nJcleo no ,iscoso. Por ejem%lo un tJnel aerodin(mico Klar-oL seria rid0culo a ;ue el flujo seria ,iscoso en todas %artesG lo ;ue in,alida la simulaci$n de condiciones de corriente li're. In-. >aime Flores (nc9e?
55
UNIERI+&+ N&/I
Uno t0%ico mide 1m φ 5m de lar-oG 9asta la secci$n de ensaos con M 3#msG tomando ν = 1.51x1# − - s ⇒ ReM 1.""1#6 de la ecuacion 4.6G la secci$n de ensaos esta a *dM5 ;ue es muc9o menor ;ue la lon-itud de entrada. 5
!.3
2
APLICACI"N DE LAS ECUACIONES DE NAVIER
STOES AL FLUJO DESARROLLADO
LAMINAR
COMPLETAMENTE
!.3.1 PLACAS SIN MOVIMIENTO
/uando el es%acio entre %lacas es 'astante %e;ueHoG el cam%o de ,elocidades resultante se %uede su%oner como si fuera el ;ue se da entre dos %lacas %aralelas infinitas. Q 9
d
d
/
/onsideraciones@ 1. e consideran constantes las %ro%iedades del fluido en la direcci$n ? 2. El flujo es estacionario e incom%resi'le M constante ρ M constante. 3. No eiste com%onente de la ,elocidad en las direcciones KL o KDL. 4. *a ,elocidad solo es funci$n deLQL no de KL G %or ;ue el flujo es com%letamente desarrollado. 5. *as fuer?as ,olumtricas se des%recian.
*a ecuaci$n de Na,ier toes@ ρa
=
ρ0
In-. >aime Flores (nc9e?
− ∇p + µ∇
2
V
56
UNIERI+&+ N&/I
se deduce a@
∂p ∂ µ ∂ µ ∂ µ + + + ∂x ∂x ∂y ∂z 2
−
2
∂p ∂u ∂ u ∂p 1 ∂ ∂u ∂p 1 ∂ ∂u ∂p ∂y =µ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∂x ∂y ∂y ∂x µ ∂y∂y ∂x µ ∂y ∂x ∂µ 2
∴
2
2
2
2
2
Inte-rando@ ∂∂uy = ∂∂px
y µ
+ $ inte-rando nue,amente 1
∂p y . +$ ∂x 2µ 2
u
=
y + $2
1
%or condici$n de contorno@ si y
=#→u =#⇒$ = #
si y
= :→u =#⇒$ = −
2
1
∂p : ∂x 2µ
%or lo tanto@ ∂p y 2 µ . ∂x : :2
u
=
2
y − :
+istri'uci$n del esfuer?o cortante@ τ
du
=µ
dy
∂p 2 y ∂p : ∂p y 1 = µ . − . ⇒ τ = : − ∂x : 2 ∂x 2 µ ∂x 2µ
El caudal@ V
:
:
= ∫ u.5.dy = 5∫ #
#
∂p 1 ∂p 5: . ( y − :y ) dy ⇒ V = − . ∂x 2 ∂x 12µ 3
2
*a ,elocidad media@ V-
=
V A
=
V 5:
∂p : . ∂x 12µ 2
⇒V = − -
Punto de m(ima ,elocidad@ du dy
=
∂p 1 ( . 2 y − :) = # ⇒ ∂x 2µ
In-. >aime Flores (nc9e?
y
=
: 2
57
UNIERI+&+ N&/I
la ,elocidad m(ima se da en la l0nea central del flujo Vma
: : − ⇒ V 2µ y 2 2
k
2
=−
ma
k: 2 !µ
⇒
Vma
3
=
2
V-
/a0da de %resi$n@ V-
−
∂p
:2
x 12
∂
µ
6nte/rando
!.3.2 PLACA
⇒
∂p x
=−
12V- µ
∂ 12V ∆p = −
:2 -µ
:2
SUPERIOR
⇒ dp = −
12V- µ :2
dx
.+
MOVIENDOSE
CON
VELOCIDAD
CONSTANTE
Un se-undo caso de F*U>< *&IN&R en la %r(ctica es el flujo en una c9umacera cojinete en una c:u-acera. *a c9umacera -ira dentro de un miem'ro estacionario. & car-as 'ajasG los centros de los dos miem'ros coinciden la %e;ueHa se%araci$n es simtrica. *ue-o se %uede Kdesdo51arL el cojinete modelar el cam%o de flujo como flujo entre %lacas %aralelas infinitas. u%on-amos ;ue la %laca su%erior se mue,e con ,elocidad constante UG con condiciones de frontera@ u ; < en y ; < u M U en M 9
U
h
∀.C.
dy
y dx
x
*a distri'uci$n de ,elocidades esta dada %or@ u=
1 ∂p 2 y 2µ ∂x
In-. >aime Flores (nc9e?
+
c1 y + c2 µ
5!
UNIERI+&+ N&/I
y ; < ⇒ u ; < ⇒ /2 M #
*ue-o@ en
y;: ⇒ u;U⇒ ∂p : 2 + c1 : ⇒ c = Uµ − 1 ∂p : 1 µ : 2 ∂x ∂x 1 ∂p 2 U 1 ∂p U 1 ∂p ∴u = y + y − :y = y + ( y 2 − :y ) 2µ ∂x : 2µ ∂x : 2µ ∂x U=
1 2µ
u
=
U : 2 ∂p y y+ : 2 µ ∂x :
2
y − :
a
C +istri'uci$n del esfuer?o cortante@ 2 a'emos@ τ yx = µ ∂u ⇒ τ yx = µ U + : ∂p 2 y − 1 : 2 ∂x : : ∂y τ yx
U :
=µ
∂p y 1 + : − ∂x : 2
'
C Flujo ,olumtrico@ •
V
= ∫ V .dA G
%ara una %rofundidad de
' en la direccion ?
A
•
V 5
U = ∫ y+ : :
#
*ue-o@
1 ∂p 2 ( y 2 µ ∂x
− :y ) dy
•
V 5
=
U 1 :− 2 12 µ
∂p : 3 ∂x
c
Celocidad media@ m
In-. >aime Flores (nc9e?
V-
=
V-
=
• V
A 9 2
9 1 ∂p 3 :− : 2 12 µ ∂x = 5
5.:
−
∂p : 2 12 µ ∂x 1
d 5"
UNIERI+&+ N&/I
CPunto de m(ima ,elocidad@ El %unto de m(ima ,elocidad es cuando d u=dy M #G lue-o en 1 2
du dy
=9 + :
: 2µ
2
∂p 2 y2 − 1 ⇒ ∂x : : y
=
du dy
=# ⇒
: 9 : + 2 (1 )(u ∂p ) ∂x
#=9 :
+
: 2µ
∂p 2 y2 − 1 ∂x : :
e
Nota@ no 9a relaci$n sim%le entre la ,elocidad m(ima u m( la ,elocidad mediaG mG %ara este caso de flujo. *os e%erimentos indican ;ue este flujo se ,uel,e tur'ulento %ara dp=dx;<! a un ReM15##G donde ReM\U9 C/a0da de %resi$n@ ∆p =
12 µ 9 : 2 2
− V- +
f
3.3.; AM
U h
Y
U X In-. >aime Flores (nc9e?
6#
UNIERI+&+ N&/I
/ondiciones de contorno@ i M # ⇒ u M =U i M 9 ⇒ u M U u
1 ∂% 9 = 2U − + − 1 9 2 ∂ 2µ 9
τ=
2 Uµ 9
=−
m
∂% 1 − 9 − ∂ 9 2
∂% '9 3 . ∂ 12µ
=−
∆% = −
∂% 9 2 . ∂ 12µ
12 m µ * 92
!.3.! AM
U
EN
IGUALES
U h
y x
U /ondiciones de contorno@ In-. >aime Flores (nc9e?
61
UNIERI+&+ N&/I
i M # ⇒ u M U i M 9 ⇒ u M U u
=
τ =
U
∂% . ∂
U9'
=
U
∆% = −
−
−
9
∂% ∂
−
9 2µ
9
=
m
∂% ∂
+
∂% ∂
12 µ
.
1 2
'9 3 12µ 92
12µ
(
#
92
− 1
9
−
m
) .*
3.!.; FLUJO LAMINAR EN TU
y
Volumen de control anular
R x
r
τ
rx
dr d x
dr
&;u0 el flujo es &IIE)RI/
./. el anillo
diferencialG consideremos flujo esta'le. a'emos ;ue las fuer?as normales f> de presi?n actJan so're los etremos i?;uierdo derec9o del In-. >aime Flores (nc9e?
./. 62
UNIERI+&+ N&/I
mientras ;ue las tan-enciales f> corte actJan so're las su%erficies cil0ndrica interior eterior. En el lado i?;uierdo la fuer?a de %resi$n es@ p − ∂p ⋅ ∂x .2πrdr ∂x 2
En el etremo derec9o la fuer?a de %resi$n es@ p x − p + ∂ ⋅ ∂ .2πrdr ∂x 2
*a fuer?a cortante so're la su%erficie cil0ndrica interior es@ ∂τ dr dr − τ rx − rx ⋅ .2π r − dx ∂r 2 2
*a fuer?a cortante so're la su%erficie cil0ndrica eterior es@
τ + ∂τ ⋅ dr .2π r + dr dx ∂r 2 2 rx
rx
*a suma de las com%onentes de la fuer?a ;ue actJa so're el ∀./. de'e ser cero@ −
∂τ rx ∂p 2πrdrdx + τ rx 2πdrdx + 2π rdrdx = # ∂x ∂r
+i,idiendo entre 2πrdrdx se o'tiene@ ∂p = τ rx + dτ rx ∂x r dr entonces ∂p 1 d rτ rx = a ∂x r dr /omo τr es funci$n de r entonces la ecuaci$n a se cum%le %ara toda r x solo si cada lado de a es constante.G lue-o %odemos escri'ir@ 1 d rτ rx r dr
Inte-rando@ In-. >aime Flores (nc9e?
rτ rx
=
∂p = cte. ⇒ ∂x
=
r 2 ∂p
d rτ rx dr
=r
∂p ∂x
r ∂p + c1 ⇒ τ rx = + c1 2 ∂x 2 ∂x r
63
UNIERI+&+ N&/I
/omo
τ rx
=µ
Finalmente@
du
⇒
dr
r ∂p = + c1 2 ∂x r
du
µ
dr
r 2 ∂p c1 + ln r + c 2 4 µ ∂x µ
u=
5
/ondiciones de frontera@ r M R ⇒ u M #! a'emos ;ue en r M # la ,elocidad es finitaG lue-o %ara ;ue se cum%la esto c1 M # u
=
#=
r 2 ∂p + 4µ ∂x c2 "2 4µ
G
%ara r M R
"2 ∂p + ⇒ =− c2 c 2 4µ x ∂
uM#
∂p ∂x
*ue-o tenemos@ u
=
r2 4µ
∂p − " 2 ∂p ⇒ ∂x 4µ ∂x
u
=
1 ∂p 2 r 4 µ ∂x
(
− "2 )
c
+e la ecuaci$n c %odemos o'tener ,arias caracter0sticas del flujo@ C +istri'uci$n de los esfuer?os de corte@ =µ
τ rx
du dr
r ∂p = 2 ∂x
d
C Flujo ,olumtrico@ •
V
"
= ∫ V .dA = ∫#
u 2πrdr
A
•
V
=−
"
= ∫#
π" 4 !µ
1 4µ
∂p ( r 2 − " 2 ) 2πrdr ∂x
∂p ∂x
e
(*) Flujo con ca0da de %resi$n@
En un flujo com%letamente desarrolladoG el -radiente de %resi$n constante.G lue-o@ ∂p p2 − p1 ∆p = = − G lue-o en e ∂x + + •
− ∆p = π∆p" 4 !µ + ! µ+
In-. >aime Flores (nc9e?π"
V
=−
4
•
V
= π∆pD
4
12!µ+
∂p es ∂x
64
UNIERI+&+ N&/I
f
C elocidad media@ V-
•
•
=V =
V π" 2
A
V-
⇒
V-
2 = − " ∂p !µ ∂x
p" 2 =∆
/
! µ+
C elocidad m(ima@ *a m(ima ,elocidad se o'tiene cuando du dr u
=# ⇒
du dr
=
1 2µ
∂p r ⇒ ∂x
du dr
=#
en r
=#
4 ∂ = u-@x = − " p = 2V4µ ∂x 4 u = ∆p" -@x
:
4 µ+
2
u
u -@x
r = 1 − "
i
!.3.;.1 SECCI"N ANULAR
/onsiderando flujo laminar estacionario en un conducto de secci$n anular entre dos cilindros concntricosG no 9a desli?amiento ni en el radio interior r;5 ni en el eterior r;aG como u;u(r solamenteG la ecuaci$n ;ue -o'ierna el mo,imiento es@ r=a r u(r) r=b
u(r)
In-. >aime Flores (nc9e?
65
UNIERI+&+ N&/I
Inte-rando dos ,eces@
1 2 k r + c1 ln r + c2 4 µ 1 2 k + c1 ln a + c2 /./.1. → r = a → u = # ⇒ # = a µ 4 /./.2. → r
u
=
= 5 → u = # ⇒ # = 1 52 4
k µ
+ c1 ln 5 + c2
iendo el %erfil de ,elocidades@ 1 d a2 − 52 a = − p + ρ/z a 2 − r 2 + ln 4 dx ln5 a r
u
El flujo ,olumtrico@ •
V
r
= ∫5 u 2πrdr =
2 − d p + ρ/z a 4 − 5 4 − ( a 2 − 5 2 ) dx ln5 a
π !µ
a
'
*a ,elocidad m(ima ocurre en el radio@ r =
a 2 − 52 2 lna 5
1 2
c
El +` M 2a=' Finalmente@
f
=
64ξ Re D8
G ξ
(a − 5 ) (a − 5 ) −
( a − 5)
=
a4
− 54
2
2
2
2
2 2
lna 5
!.3.;.2 EN PLACAS PARALELAS #=−
µ
dp dx
d 2u dy 2
=
+ ρ/x +
dτ dy
=µ
du dy
=−
ky 2 2µ
d p + ρ/z = k dx
Inte-rando dos ,eces@ /./.1. → y In-. >aime Flores (nc9e?
τ lam
: 2
u
= − →u = #⇒# = −
+ c1 y + c2
k 2µ
•
:2 4
−
c1: + c2 2
66
UNIERI+&+ N&/I
/./.2. → y =
: k →u = #⇒ # = − 2 2µ
•
:2 4
+
c1: + c2 2
*ue-o@ u
•
V
=
1 !µ
− d ( p + ρ/z ) ( : 2 − 4 y 2 ) dx
:2
= ∫−: 2 u 5dy =
5:3 d − ( p + ρ/z ) 12µ dx •
*a ,elocidad media@
V
=
V 5:
µ
du dy
=
2 u ma 3
El esfuer?o en la %ared@ τw
=
!.! CORRELACIONES
= y =± : 2
: 2
− d ( p + ρ/z ) dx
SEMIEMPIRICAS
DE
LOS
ESFUERZOS TUR
∂u + ∂v + ∂w = # ∂x ∂y ∂z
cantidad de mo,imiento ρ
dV dt
= −∇p + ρ/ + µ∇ 2V
4.7
in efectos trmicos sujetos a la condici$n de no desli?amiento en la %ared condici$n de entrada salida conocidas. !.!.1 MEDIA TEMPORAL DE RE YNOLDS
En un flujo tur'ulentoG de'ido a las fluctuaciones cada trmino de %resi$n o ,elocidad a ,aria r(%ida aleatoria mente en funci$n de la %osici$n del tiem%oG con ,alores %romedios de@ V! p!τ! etc> In-. >aime Flores (nc9e?
67
UNIERI+&+ N&/I
u(x! y! z! t se define
*a media tem%oral u de una funci$n tur'ulenta como@
u
=
1 *
∫
*
#
4.!
udt
donde@ ) M es un %eriodo %romedio ;ue de'e ser maor ;ue cual;uier %eriodo si-nificati,o de las fluctuacionesG ,er Fi-ura u
p
u = u + u’
u’
p = p + p’
u
p p’
(a)
t
5%'# ! .3
#%#%/ * + l # +l%*#*
t
(a)
Para flujos tur'ulentos como a-ua o -ases en )M5s es un %rinci%io adecuado.
*a fluctuaci$n uv se define como la des,iaci$n de u de su ,alor medio@ u ; u B u
4."
Por definici$n la media de la fluctuaci$n es cero
u =
1 *
*
∫
#
( u − u)dt = u − u = #
4.1#
in em'ar-o la media del cuadrado de la fluctuaci$n no es cero es una medida de la IN)ENI+&+ de la tur'ulencia u2
4.11
= *1 ∫#* u 2 dt ≠ #
En -eneral nin-uno de los %roductos de la forma uv up es /ER< en un flujo tur'ulento. Renolds se%ar$ cada %ro%iedad en sus medias m(s las fluctuacionesG es decir@ u In-. >aime Flores (nc9e?
= u + u G
v
= v + v G
w
= w + w G
p
=
p + p
4.12 6!
UNIERI+&+ N&/I
i sustituimos en 4.7 tomamos los medios tem%oralesG la ecuaci$n de continuidad se reduce a@ ∂u + ∂v + ∂w = # ∂x ∂y ∂z
4.13
Idntica a la e%resi$n laminar@ En flujosG en conductos en ca%as l0mite la ecuaci$n de cantidad de mo,imiento lon-itudinal %uede ser a%roimada con finalidad %or@ ρ
du dt
≈ − ∂p + ρ/ X + ∂τ ∂x ∂y
4.14
τ
= µ ∂u − ρ u v = τ 1a- + τ tur5 ∂y
4.15
donde@
er fi-ura
u M ,alor medio tem%oral y U(x)
y y = δ(x)
τ = (x,y) τ
τ
(a) %&'U%R CR%
Reg!n exteror
(#) V%-C// Capa de "olape
u(x,y) tur#.
Reg!n
lam.
τ
$
(x)
F%'# !.!
(a)
o
(#)
nteror
S'7#$# +/ l# $#+* *+ 5l', &'7'l+/&
!.!.2 FLUJO TUR
In-. >aime Flores (nc9e?
6"
UNIERI+&+ N&/I
El τlam es dominante cerca de la %ared re-i$n de la %ared los esfuer?os tur'ulentos lo son en la re-i$n eterior. `a una re-i$n intermedia de transici$n denominada ca%a de sola%eG donde los τlam
τtur' son
im%ortantes. En la re-i$n eterior τtur' es 2 a 3 maor ;ue τlam .
!.!.3 LEY DE L A CAPA LOGAR9TMICA En el flujo tur'ulento cerca a la %ared encontramos@ *EQ +E *& /&P&
*<:&RT)I/& 1. Re-i$n interior@ EFUERD< I/<< +<IN&N)E. 2. Re-i$n eterior@ EFUERD<. )UR8U*EN)< +<IN&N)E. 3. /a%a de sola%e@ am'os ti%os de esfuer?os son im%ortantes. ea τA el esfuer?o en la %ared sean δ U el es%esor la ,elocidad en el 'orde de la re-i$n eteriorG M δ. u $ u ⇒ u M u
Para la re-i$n interior Prandtl dedujo ;ue u de'0a ser inde%endiente del es%esor de la ca%a l0mite.
⇒ u M f C! τw! 2! y
4.16
Por an(lisis dimensional esto e;ui,ale a@ u+
=
u uC
C = . yu ν
1 2
G uC
= τ w ρ
4.17
*a ecuaci$n 4.17 es denominada *EQ +E *& P&RE+ uC es una E*
In-. >aime Flores (nc9e?
7#
UNIERI+&+ N&/I
;ue %or an(lisis dimensional se lle-a a @ 9 −u uC
y = δ
4.1! *a ecuaci$n 4.1! se denomina *EQ +E* +EFE/)< +E *& E*
=
1 yuC ln k ν
+0
4.1"
donde@ M#.41G 8M5 En la fi-. 4.4 los cuatro %erfiles de la re-i$n eterior tienden sua,emente a la su'ca%a lo-ar0tmica la diferencia entre ellos resulta de diferencias en el -radiente de %resiones eteriores. *a le de %ared es Jnica o'edece a la relaci$n@ u+
=
u uC
=
yuC
ν
= y+
4.2#
desde la %ared 9asta a%ro. M5 se des,0a des%us %ara alcan?ar la recta lo-ar0tmica %ara ,alores de M3# *a ecuaci$n 4.1" es una a%roimaci$n ecelente %ara resol,er casi todos los %ro'lemas de este tema.
In-. >aime Flores (nc9e?
71
UNIERI+&+ N&/I
41
32
Reg!n :"co"a lneal
31 C6 -7R8C 02 &olape logar9tmco
/ato" expermentale"
01
2 Reg!n nteror 1 0
01
015
0111
011
Fi-ura 4.5 ariaci$n e%erimental de las lees interiorG eterior de aco%lamiento en el %erfil de ,elocidades en un fluido tur'ulento %arietal Por ejem%lo en un conducto circular dr r
R
Usando la le lo-ar0tmicaG %ara y;"%r ! ;ue la ec. 4.1" re%resente fia'lemente el %erfil de ,elocidad medida ur a tra,s del conducto@
la ,elocidad media ser(@• In-. >aime Flores (nc9e?
V-
=V = A
u r uC
= 1 ln " − r u + 0
1 π" 2
∫
C
ν
k
"
#
1 " − r u C ln + 0 2πrdr ν k
uC
4.21 72
UNIERI+&+ N&/I
4.22 Introduciendo k;#.41 G 0M5 o'tenemos@ VuC
C
≈ 2.44 ln "u + 1.34
4.23
ν
muE se relaciona directamente con el coeficiente de +&R/Q 1 2 1 2 V- ρV-2 = ! = C u τw f )am'in el -radiente del lo-aritmo es 1 "uC
ν
2
=
V- .d
ν
•
uC
ν
=
1 2
4.24
1 2
f !
4.25
Re
4.24 4.25 en la ecuaci$n 4.23 G cam'iando a 'ase decimal el lo-aritmo ordenando se tiene@ 1 f
≈ 1>"" lo-Re
f − 1>#2
4.26
Prandtl tam'in dedujo la ecuacion 4.26 ,ariando li-eramente las constantesG en los datos e%erimentales@ 1 f
= 2 lo-Re
f − #.!
4.27
e%resi$n %ara ductos de %aredes lisas.
R+ 4### 5
#.#3""
1#4
1#5
1#6
1#7
1#!
#.#3#"
#.#1!
#.#116
#.##!1
#.##5"
)am'in@ In-. >aime Flores (nc9e?
73
UNIERI+&+ N&/I
f
≈ #.316 " −1 4
f
≈ 1.#2lo- " −2.5 →
4### < Re
< 1# 5 → 8*&IU
F. `I)E 1"74 •
1.75
4.2!
∆P ≈ #.241+ρ 3 4 µ 1 4
N<)&@
• Para un V dadoG la K%L disminue con el KdL m(s aun en RE:IEN *&IN&R. • Para reducir m(s la %resi$n de 'om'eo es %oner tu'os de maor KdLG aun;ue los costos se ele,a. • +u%licando el KdLGL ∆%L disminueG en a%roimadamente un factor de 27. • *a ,elocidad m(ima en flujo tur'ulento en conducto ,iene dada %or ecuaci$n 4.21G %articulari?ada en r ;< uma C
≈
u
1
"uC
ln
k
+0
4.2"
ν
/om'inando esta ecuaci$n En 4.24G o'tenemos la relaci$n@ Vuma
∴ N<)& @
≈ 1 + 1.33
u
=
uma
=
1
−
4µ
d d
f −1
4.3#
( % + ρ-? ) R 2 − r 2 4.31
Para flujo *&IN&R@
•
"2 4µ
− d p + ρ/z dx
1 u maπ" 2 2
=
=
"2 !µ
− d p + ρ/z dx
a
'
•
VIn-. >aime Flores (nc9e?
=
A
= 1 u ma 2
4.32 74
UNIERI+&+ N&/I
•
Para la tu'er0a 9ori?ontal ∆? M# se tiene de a +e 4.22 se tiene
f
=
!τ w ρV 2
f
=
64µ Re
= !!
µV D ρV 2
∆p =
! µ+ V π" 4
64µ ρVD
=
4.33
D
)am'in@
•
: f1a-
= 12!µ+ V 4 πρ/D
τw 1 ρV 2 2
= $f =
f 4
4.34
/f M coeficiente de fricci$n %ara fluidos totalmente desarrollados. factor de fricci$n de fannin-
!.!.! EFECTO DE LA RUGOSIDAD EN LA PARED *a fi-ura 4.5 re,ela tres re-imenes res%ecto a la ru-osidad εu C ν
5<
εu C ν
<5 εu C ν
Pared 9idr(ulicamente lisaG sin efecto de la ru-osidad en la fricci$n. < 7#
> 7#
Ru-osidad de transici$nG moderado efecto del Re.
Flujo dominado %or la ru-osidadG la su'ca%a ,iscosa no eiste la fricci$n es inde%endiente de Re.
/uando el flujo es dominado %or la ru-osidadG wx7#G los datos de la fi-ura 4.5 si-uen la l0nea ,iscosa la le lo-ar0tmica ;ueda modificada %or la forma@ + 1 1 y + + u
=
k
ln y
VuC In-. >aime Flores (nc9e?
+ 0 − ∆0 ⇒
= 2.44 ln
D
ε
u
=
+ 3.2
k
ln
ε
+ !.5
4.35 75
UNIERI+&+ N&/I
1 f
ε D 3.7
= −2 lo-
4.36
!.!.; DIAGRAMA DE MOODY DIAGRAMA DE PRDIDAS DE CARGAS.
• Formas alternati,as.= se %resentas los casos@ a. +ados +G *G $ ∀G \G -G calcular las %erdidas de car-a :f (477DY. '. +ados +G *G :f G \G -G calcular o ∀. c. +ados ∀G *G :f G \G -G calcular el + del tu'o.
a D%### *%5%#* *+ MOODY (#l'l *+V )
u%on-amos ;ue nos %iden calcular ⇒ eliminamos de f ? "eG lue-o α
=1
2
f . Re 2
=
/D 3: f
a
+ν 2
&l introducir el ,alor de α en la ecuaci$n de /ole'rooG se tiene@ ε D + 3.7
Re = − !α lo-
2.51 2α
'
*a ecuaci$n +e `&:EN=P
α 32
c
7) D%### *%5%#* *+ MOODY (#l'l *+l D) In-. >aime Flores (nc9e?
76
UNIERI+&+ N&/I
+e @
Re
=
V .D ν
f
)am'in@
⇒
2 /.D +V 2
= :f
4 π+ν
Re =
⇒
f
=
π 2 -9 f +5 •
!
2
π+ 1 2
β
Eliminando + se tiene@
)am'in@
εν •
V
=
4.ε D π . Re
=f
5 12
Re
• 3 f = 12!-9 3 5 π +ν
d
;uedando
Para %aredes *I&@Re = 1.43β
#.416
e
c P## /*'& / %'l#+ + &# +l #*% *%:+&
%*:'l% ":
A* P-oj
=
d E/ $l## $##l+l#
=
f D:
D:
!τ w ρV 2
=
=
4 A* P-oj
4!µ ρV:
⇒
f
f
=
4! Re :
= 2:
- 9
donde@ 9 M distancia entre %lacas *ue-o@
)am'in@
"6µ 2:ρV
f pp
=
⇒
1 f 1 2
≈ 2 lo-ReD8
f pp
=
"6 Re 8
f 1 2 − 1.1"
i
+` M 29 Esta ecuaci$n i en tu'os se con,ierte@ 1 f
!.;
≈ 2 lo-#.64 Re D8
f − #.!
j
PERDIDAS D E ENERG9A
In-. >aime Flores (nc9e?
77
UNIERI+&+ N&/I
!.;.1 LAS PRDIDAS PRIMARIAS
El factor de fricci$n se determina mediante las si-uientes ecuaciones anal0ticas 1.= i el flujo es laminarG con Re p 23##. f
=
64
Ec. +e `a-en = Poiseuille
Re
2.= i la tu'er0a es lisa un r-imen tur'ulentoG 23## p Re p 1# 5 f
=
#.316
Ec. +e 8*&IU
Re1 4
3.= Para la tu'er0a lisa con Re x 1# 5 f
=
#.316
Ec. +e PR&N+)=b&R&N
Re1 4
4.= Para tu'er0a lisaG con Re x 1# f
=
#.221 Re #.237
5
+ #.##32 Ec. +e Niuradse
5.= Para tu'er0a lisaG con r-imen tur'ulento@ 7C1# 4 p Re p 2C1#6 f
= #.##54 +
#.3"6 Re #.!
Ec. de `ER&NN
6.= Para la ?ona de K)ra nsici$nL e inicio del flujo tur'u lento alores confia'les 1 f
( = −2 lo- + 3.71
2.51
f Re
Ec. +e /ole'ro B9ite
(
=
( D8
7.= Para tu'er0as altamente ru-osas 1 f
"8 = 2 lo- ε + 1.74
/omentario de la ecuaci$n de /<*E8RZZb= `I)E
a 0 el sumado & tien de a cero si-n ifica ;ue el aca 'ado su%erficial interno de la tu'er0a es mu 'uenaG en consecuencia el factor de fricci$n so1o depende de "e. In-. >aime Flores (nc9e?
7!
UNIERI+&+ N&/I
' i el sumando 8 tiende a cero si-nifica ;ue el ReG es mu -rande entonces el factor de fricci$n de%ende de la ru-osidad relati,aG %ara flujos %lenamente desarrolladosG Re 1#6.
!.= Para flujos con Re 51#3 x2 1#! 1 f
= 2 lo- " + 1.74 ε 8
Ecuaciones de &EE Q >&IN
)&N)
!.;.2 PRDIDAS SE CUNDARIAS
on todas a;uellas ;ue se ori-inan cuando el fluido %asa a instrumentos de medidaG cam'ios de secci$nG cam'ios de direcci$nG etc. u ma-nitud se calcula mediante la si-uiente e%resi$n@ :s
=#
V2 2/
En unidades de lon-itud
+onde b M/oeficiente de %erdidas del accesorioG +e%ende de la -eometr0a el aca'ado u%erficial interno del accesorio. Una manera de e,aluar con relati,a facilidad la ma-nitud de una %erdida secundaria en una red de tu'er0as es a%licando el conce%to de l/%&'* +K'%#l+/&+@ es la lon-itud de una tu'er0a de secci$n circular ;ue -enera la misma ca0da de %resi$n ;ue un accesorioG asumiendo i-ual fluido e i-ual ,elocidad %romedio.
∆:
∆:P
P
&
7"
In-. >aime Flores (nc9e?
9s M 9%
*e;ui,alente
UNIERI+&+ N&/I
#v
2
2/
2
=
f
+e& V . D8 2 /
⇒# =
f
+e& D8
# ⇒ +e& = D8 f
!.;.3 DI8METRO EUIVALENTE (D+K )
Es el di(metro de una tu'er0a de secci$n circular ;ue -enera la misma ca0da de %resi$n ;ueG otra tu'er0a de secci$n no circular siem%re cuando sea de i-ual fluidoG lon-itud caudal. Ejem%lo@ `allar el +e; de una tu'er0a de secci$n cuadradaG cuo lado es KaL
*□
*○
a a ○
□
9%o M 9% y
9%o M
f
9%o M
f
)am'in@
9%o M 1o
f
1.V 2 D8 2 /
+○
ZM & MZ& M
, π 2 Do 4
16, 2 2
Do π Do 4 2 /
1 o !, 2
a
2
π Do 5 2 /
9% y M
f
+` M 4z%m M 4 a2 4a M a
1.V 2 D8 2 /
M Z&
M Za 2
+` M a.
*ue-o@ In-. >aime Flores (nc9e?
!#
UNIERI+&+ N&/I
9% y M +e a ' @
f
16a 5 + M π 2
1 , 2
f
1 o !, 2 2
'
a 5 2/
5
π Do 2 /
M
f
1 , 2 a 5 2/
16a5 M π 2 +o5
y
1 5
o
5
o
+ M +e; M a.
16
π2
!.;.! SISTEMAS DE TU
1
2
/aracter0sticas@
a 1 M2 M3 ' 9% &8 M 9% tot M 9%1 9%2... 9%n
<.- S%&+# *+ &'7+6# +/ P##l+l 1 &
8
2 3
a V = V = V + V + V
/aracter0sticas@
A
0
1
2
' :p = :p = :p = :p A0
1
2
3
3
!.;.; ESUEMA <8SICO DE UN SISTEMA DE
In-. >aime Flores (nc9e?
9-
!1
UNIERI+&+ N&/I
9s M altura est(tica de succi$n 9d M altura est(tica de descai-a `s M altura din(mica de succi$n `d M altura din(mica de descar-a *ue-o@
`sM9s{9
%s
`% M 9% { 9 %s `s `d M9s 9d { 9
8
=: +: /
p siste-a
⇒8 =: + /
f
+ V2 D 2/
%s
{ 9 %d
+∑#
V2
4.37
2/
//)
`
P'/& *+ O$+#%/
2
`2 1
`1
9P2
9P1 9 -
N
N
V 1
In-. >aime Flores (nc9e?
1
2
V
V 2 !2
UNIERI+&+ N&/I
//) M una caracter0stica del sistema de tu'er0as 8
= :/ + #V
2
P&+/%# H%*:'l%# Pot (F(
=
P&+/%# #l E,+
γ V 8
Pot 8
$*( n 0
=
γ V 8
$*(
donde@ γ V
= #/f -
3
3
=- s 8 =$*( = 76 ⇒ Pot = 8P $*( = 75 ⇒ Pot = $V $*( = 1#2 ⇒ Pot = #W
Nota@ eiste una relaci$n em%0rica ;ue ese em%lea muc9o en el (m'ito industrialG la formula de `&DEN= I**I&G %ara sistemas de a-ua con di(metro maores a 2L menores de 6 %ieG con ,elocidades de flujos maores de 1# %iess.
En el sistema 8rit(nico@ +onde@
| M 1.32 /R`#.36#.54
4.3!
| M ,elocidad %romedio de flujo %ies s / M coeficiente de `&DEN= I**I& R` M radio 9idr(ulico %ies M /oeficiente 9%*@ %erdida de ener-0a entre lon-itud.
*os conductos m(s lisos tienen ,alores m(s altos de /G en com%araci$n con los m(s ru-osos.
In-. >aime Flores (nc9e?
!3
UNIERI+&+ N&/I
!.;. ENVEJECIMIENTO DE TU
& tra,s de los aHos una tu'er0a de a-ua %uesta en ser,icios sufre el fen$meno de las incrustaciones de los s$lidos en sus%ensi$nG ra?$n %or la cual es necesario tener en cuenta el efecto corrosi,o %ara recalcular las %erdidasG de'ido a ;ue la secci$n se reduce %ara un mismo caudal la ,elocidad aumenta en consecuencia la %erdida tam'in. I/'&#%/+ (#l%+)
ε εf
ε# f
= ε # + α .t
w f M Ru-osidad finalm wo M Ru-osidad inicial m M esta en funci$n de %9 de la sustancia )asa de incrustaciones m &Ho t M tiem%o de ser,icio aHo
Para el a-ua@
In-. >aime Flores (nc9e?
%`
m aHo
5.5
#.##35
6.#
#.##2#3
6.5
#.##113
7.#
#.###63
7.5
#.###3!
!.#
#.###2# !4
UNIERI+&+ N&/I
` T'7+%# V%+,# T'7+%# N'+#
N
V
!.;.4 TU
92 *1 D1 *2
D1
D 2
D2
*3 93 D3
In-. >aime Flores (nc9e?
!5 D 3
UNIERI+&+ N&/I
No se conoce la direcci$n de los flujos. 1
e calcula la dir ecci$n de la * & en cada su%erficie li're de cada tan;ueG sin E/`d
2
e considera ;ue el tan;ue ;ue ten-a la maor altura motri? *& ` + G es el tan;ue desde el cual de'e salir el fluido.
3
u%on-amos @ en la direcci$n el
∀1
,a 9acia 2 3 si la altura de la
ener-0a total estimada en >G ` +j ecede a `+2 `+3 ⇒
∀1
4
M∀
a
∀3
2
No se %uede su%oner ;ue `
+j G
ten-a un ,alor %ara el cual ` +1 p `+2 Q
`+1p `+3G a ;ue el fluido de'er0a salir desde 2 3 desde al-o im%osi'le. 5
Por otro ladoG si `
∀
∀
+1
1
∀
1
∀
p `+2 o si `+1p `+3G se tiene@
M
2 3
M
∀
∀
'.1
3
'.2
2
6
i su%onemos ;ue ` +1 x ` +2 `+1x`+3 G lue-o el caudal de'e satisfacer la ecuaci$n a .
7
Para com%ro'ar la ,alide? del estimado ` +1G se usa la ecuaci$n de 8ernoulli %ara cada tramo de tu'er0a %rimero la i @ %1
γ
+
2 1 2-
+ D1 =
%>
γ
+
2 1
γ
+ D j + 9f1
c
se %uede deducir las %erdidas secundarias. In-. >aime Flores (nc9e?
!6
UNIERI+&+ N&/I
!
)omar 8ernoulli entre la su%erficie li're la entrada a la tu'er0a@ %1
γ
%1
+ 91 + D1 =
ustituendo en c@ %1
γ
p1
+
γ
2 1
+
V12 2/
+ 91 + D1} +
γ
iendo ;ue 91 Z 1} M D1 /i2 M
"
2 p1 − pi + V12 ρ
⇒
γ
%1
γ
%1
=
2 1 2-
+9 − 1
γ
d
+ Zj = 8 DF se tiene@ 2 1 2-
−
2 1 2-
Q
= ` +> + 9f
1
p1 γ
2 − 3Vi 2 − f aα
D
entonces@
+ Z1 = 8 D1 G i
∑[ n − - − 1]
2
- =1
`+1 = `+2 M 9f2
e1
`+1 = `+3 M 9f3
e2
Para una %erdida %ositi,a de altura ` +1 x `+2 `+j x `+3 G se tiene ;ue e in,ertir el orden de las alturas %ara los tu'os 2 Q 3 .
1# & %artir de las ecuaciones e se calculan las ,elocidades los caudales %ara la %rimera estimaci$n.
•
si
∀1
x ∀
2
∀
3G
eiste un caudal mu -rande en la uni$nG
entoncesG se de'e esco-er `+j maor ;ue el de la %rimera estimaci$n.
si
•
de lle,arse los c(lculos 9asta ;ue se cum%lan las ecuaci$n a '.
∀1
p∀
•
2
∀
3G
de'e disminuir la estimaci$n `+>
!.;. PERDIDAS POR FRICCI"N EN ELEMENTOS DE TU
Es Jtil e%resar en forma e%onencial@ 9% M R In-. >aime Flores (nc9e?
∀
4.3" !7
UNIERI+&+ N&/I
+onde@9% M %erdida de car-a en un tramo de tu'er0a de lon-itud * R M coeficiente de resistenciaG es funci$n de as%ere?aG del ReG * +9. *ue-o reem%la?ando en la ecuaci$n de +arc B eis'ac9G %ara M2 f
+V 2 D2 /
2
= "∀ "=
2 M
∀
2
& 2
f .+.!
4.4#
Π 2 /D85
*on-itud ;ui,alente@ *e i M +idi
∑#
reem%la?ando@
p p 2 γ + Z − γ + Z = ( "i ) ∀i A 0
donde Ri M
! fi[ +i + +ei ]
4.41
/π 2 Di 5
Ri M coeficiente de resistencia a la tu'er0a modificada.
p p M γ + Z − γ + Z
En 4.41 lle,ando
A
∀
eliminamos
∀
v "i
iM
i entonces@
) ⇒ W = ∀ ∑ i =1
4.42 )
∀
1 "i
0
∑ i =1
W "i
4.43
!.;..1 PROCEDIMIENTO ITERATIVO PARA CALCULAR (_) Y DESCARGAS
1.=
∀
%
su%oner ;ue los flujos en ca da l0n ea est(n en la ?on a totalmente (s%era calcular una estimaci$n inicial de los factore s de fricci$n en cada l0nea em%leando la ecuaci$n 4.43.
In-. >aime Flores (nc9e?
!!
UNIERI+&+ N&/I
•
2.=
calcular Ri %ara cada tu'er0a con la ecuaci$n 4.42
3.=
calcular i en cada tu'er0a con la ecuaci$n 4.42
4.=
actuali?ar las estimaciones de los factores de fricci$n en cada l0nea usando los ,alores actuales de i.
5.=
Re%etir los %asos 2 a 4 9asta ;ue las inc$-nitas i no ,ar0en mas
all( de cierta tolerancia. Para el factor de fricci$n &EE >&IN dedujo@ f
#." E 1 = 1.325ln #.27 + 5.74 + Re
−2
4.44
#.#1 x w+ x 1#=6
*a ecuaci$n 4.44G es ,alida si@
1#! x Re x 5###
En un r-imen totalmente (s%eroG en el ;ue el f es solo funci$n de w +9G su ,alor esta dado %or@ f M 1.235 { ln[ #.27 ( D:] } −2
•
4.45
*a ecuaci$n de /`EDQ B &NNIN: se %uede asociar comJnmente a los flujos en canales a'iertos alcantarillado drenaje en condiciones %resuri?adasG esto es@
∀
M /1n R 23 ~ ⇒
/1 M 1 en .I. M 1.4" en . in-les
n M constante de annin-. "=
donde@ %ara@
1#.2"n 2 +
4.46
# 2 D85.33
b
2
M 1 en .I. M 2.22 en . in-les.
Reem%la?ando la ecuaci$n 4.4#@ f
=
1.2!-b1 1.!5
c
In-. >aime Flores (nc9e?
+#.#2 Re ν. #.15
4.47
!"
UNIERI+&+ N&/I
VALORES NOMINALES DE C DE HAZEN- `ILLIAMS.
)IP< +E )U8ERI&
/
etremadamentelisaGa'ierto=cemento
14#
`ierrocoladonue,ooliso9ormi-$n
13#
9ierro colado ordinario acero recin remac9adoG &rcilla ,itrificada.
12#
9ierro colado o acero remac9ado des%us de al-unos aHos de uso.
"5=1##
tu'er0as ,iejas deterioradas.
6#=!#
*a ecuaci$n 4.47 %ara a-ua a 2#• / en el .I. se reduce@ f
=
1#56
4.4!
c 1.!5 D #.#2 Re . #.15
!.;. REDES DE TU
VD
+
6
F
7
2 1
3
&
E
5 8
4
/
V$ *a red de los tan;uesG una 'om'a siete tu'osG se su%one ;ue se conoce con las l0neas de decli,e 9idr(ulico en & F llamados NODOS DE DECLIVE FIJO los nodos /G +G EG 8 son IN)ERIaime Flores (nc9e?
"#
UNIERI+&+ N&/I
1 8alance de ener-0a %ara cada tu'er0a@ M
8A
− 80 + 8 p
80
− 8 D = ( " 2 ) ∀2 2
80
− 8 c = ( " 4 ) ∀4 2
8c
− 8 D = ( " 3 ) ∀3 2
8$
− 8 ( = ( " 5 ) ∀5 2
8.
− 8 ( = ( " 7 ) ∀7 2
∀i
( "i ) ∀ i
2
2 'alance de cantidad %ara cada nodo interior = ∀ =
∀3
=
∀
∀1
∀
∀
2
2
=
4
∀
5
=
3
=
3
=
∀
6
=
∀
∀
∀
∀
M#
4
M
5
M
7
M#
∀
+
∀
/
3 la cur,a de la 'om'a@ +onde
`
%
∀
1
M a # a 1
∀
1
a2
∀
1
a # G a 1G a 2 constantes conocidas.
*as inc$-nitas son@
∀1
GO..
∀
7G
`8G `/GOOOO. `E `8OO.12
inc$-nitas *as doce inc$-nitas Pueden reducirse en un nJmero si se cam'ian las ecuaciones de ener-0a a lo de las l0neas es%eciales denotemos con i la ca0da en la l0nea de decli,e 9idr(ulico %ara cual;uier elemento de tu'er0a. i ⇒
i M ( "i )
∀i
2
)omamos dos ciclos anterioresG como flujo %ositi,o.
In-. >aime Flores (nc9e?
"1
UNIERI+&+ N&/I
Pseudo ciclo
+ F
6
7
E
2 I
1
II
3
8
5
4
&
/
*os 'alances de la ener-0a en los ciclos I II son@ 6 5 = 3 M # 3 2 = 4 M # Para el flujo de n los tu'os 1 7 %odemos definir(n camino a lo lar-o de los nodos &G 8G +G EG F lue-o el 'alance de ener-0a de & 9acia F es@ `& `P = 1 = 2 6 7 M `F
PSEUDOCICLO.= un tu'o ima-inario con resistencia infinita sin flujo
conecta los dos de%$sitos. &l sustituir la ecuaci$n de la 'om'a la fricci$n en las ecuaciones de ener-0a anteriores se o'tiene.
="3∀
2
3
" 5 ∀2
="1∀
2
" 6 ∀2
2
="2∀ 1 a # a 1
5
4
M#
2
∀
M#
2
" 3 ∀ 3 " 4∀ 1 a 2 1 = " 2 ∀ 2 2
6
2
∀
" 6 ∀2
6
" 7 ∀2
7
`& B `F M #
∀
1
∀
In-. >aime Flores (nc9e?
2
=
∀
2
=
∀
3
∀
4
M#
∀
6
M# "2
UNIERI+&+ N&/I
∀
4=
∀
∀
∀
5
3
=
6
∀
5
∀
7
M# M#
7 Ecuaciones 7
Inc$-nitas
In-. >aime Flores (nc9e?
"3
/&PI)U*<
)E
UNIERI+&+ N&/I
;.1
LA CAPA LIMITE
*a ca%a l0mite es a;uella ?ona adacente a un contorno s$lidoG en donde los efectos ,iscosos resultan im%ortantes fuera de ella el efecto ,iscoso es des%recia'le el fluido %uede considerarse como no ,iscoso. *a ca%a limite es el lu-ar -eomtrico en ,olumen ;ue ocu%an cierta cantidad de fluidoG en las cercan0as de un contorno s$lidoG como consecuencia del efecto ,iscoso es en esta re-i$n en donde el -radiente de ,elocidad es diferente de /ER< tam'in no eiste un ,alor Jnico %ara el Re corres%ondiente a la transici$n del flujo *&IN&R & )UR8U*EN)< en la /a%a *imiteG el cual se ,e afectado %or@ el -radiente de %resi$nG wG transferencia de calor G fuer?as ,olumtricas las %ertur'aciones eistentes en la corriente li're.
δ) δ*
2
1
1
∂V ≠ # ∂x 2
∂V ≠ # ∂x
/.*. *&IN&R
S+ x
= k Re−x1 2 G
In-. >aime Flores (nc9e?
S* x
= k# Re−x1 5 ⇒
Contorno de la c a p a li )m * it e
δ#
/.*. +E )R&NI/I
i @ #
δ xδ
U8=/&P& *&IN&R
/.*. )UR8U*EN)&
> ε ⇒ )U8ERI&*I&@ Re = Re*
"4
UNIERI+&+ N&/I
5.1.1
ESPESOR DE LA CAPA L9MITE REAL ( )
Es a;uella distancia res%ecto de un contorno s$lido a %artir de la cual la %art0cula recu%era la ,elocidad de corriente li're. )am'in se dice ;ue es a;uella altura a %artir de la cual el flujo res%onde a un com%ortamiento similar al de un flujo %otencial o ideal. )am'in se define como a;uella altura a %artir de un contorno s$lidoG 9asta donde son im%ortantes los
#
δ
δa
M #.""#
efectos ,iscosos.
5.1.2
ESPESOR DE LA CAPA LIMITE APARENTE O APROIMADO ( #)
Es a;uella altura a %artir de la cual se su%one ;ue las %art0culas recu%eran el "" de la ,elocidad de corriente li're. M #.""#. Es el lu-ar -eomtrico de los %untos en donde la ,elocidad %aralela a la %laca alcan?a el "" del ,alor de la ,elocidad de corriente li're
;.1.3 SU<-CAPA LAMINAR ( 0)
Es el lu-ar -eomtrico ;ue ocu%an todas las %art0culas fluidas en una ?ona adacente a un contorno s$lido dentro de una ca%a l0mite tur'ulento en donde los efectos ,iscosos son im%ortantes.
In-. >aime Flores (nc9e?
"5
UNIERI+&+ N&/I
;.1.! RAZ"N DE CRECIMIENTO DE LA CAPA LIMITE ( ^>)
e denomina as0 al cociente ;ue eiste entre el es%esor de la /a%a *imite la distancia `
δ1
x1
= R././.*.
δ1 1
;.1.; ESPESOR DE LA CAPA LIMITE POR DESPLAZAMIENTO ( a)
e denomina as0 a la altura 9i%ottica ima-inaria a la cual de'erla de des%la?arse un contorno s$lidoG %ara ;ue todo el flujo res%onda un com%ortamiento ideal es decir sea un flujo sin ro?amiento en el cual el flujo m(sico sea el mismo en cual;uier secci$n. 5l', :% %*+#l (K'+ % $##) ρV0 b a 5l', :% %*+#l (K'+ / $##) b ρ(V0 -V) 7.*= •
•
P /&%/'%*#* ms = m N δ
ρ# 'δC = ∫# ρ# − 'd δ
δC = ∫# 1 −
δC = ∫#
# − d # #
d #
5.1 V
d
V
7
V
δ
δC /
In-. >aime Flores (nc9e?
δ
S
"6
UNIERI+&+ N&/I
;.1. ESPESOR DE LA CAPA LIMITE POR CANTIDAD DE MOVIMIENTO ( )
Es a;uella altura 9i%ottica 9asta la cual se de'er0a de des%la?ar el contorno s$lido %ara ;ue la cantidad de mo,imiento transferido sea semejante al de un fluido ideal. $4 1
= $4 2 ⇒
$4 S
= ρVo 5Sθ Vo
ρVo 5Sθ Vo
= $4 ) G
$4 S
•
a'iendo ;ue /
$4 )
= ∫#
ρ ( Vo
= ∫# ρ (VVo) − V 2
5dy
⇒ ( Sθ ) =
δ
δ
Sθ
δ
= ∫#
= m
− V ) 5dy V 1 V#2
∫
δ
#
VVo
−V 2
V 1 − V dy V# V#
dy
5.2
;.1.4 ESPESOR DE LA CAPA LIMITE POR ENERG9A CINTICA ( ) )omando el conce%to E b
ρ5S kV#3 δ
δ
= ∫#
(
ρ V#V 2
= E bN ⇒
− V 3 )5dy ⇒
E b
= ρV#5SkV#2
E bN
= ∫# ρ (V# − V ) 5dyV 2
δ
δ
V V 2 V 3 = # 3 − 3 dy V# V#
2 3 δ V V = ∫# − dy V# V#
S#
δ = ∫# V V#
Para Recordar@ Sn
δ
= ∫#
2
V 1 − dy V#
a n (1 − a ) dy
⇒
5.3
a
=
#
i n ; # ⇒ δn M δC i n ; 1 ⇒ δn M δθ i n ; G ⇒ δn M δ In-. >aime Flores (nc9e?
"7
UNIERI+&+ N&/I
;.2
ECUACI"N DE MOMENTO DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO DE VON ARMAN (C#$# L%%&+ L#%/#) Es a;uella ecuaci$n modelo matem(tico ;ue se ,erifica dentro de una ca%a limite *&IN&RG se su%one ;ue el -radiente de %resiones es /
c
'
/.*. *aminar
c
#
+e la fi-. @ •
m cd
./.
'
•
•
= m a' + m 'c .......... .......... .. a
El modelo su%one @
d% d
=#
)am'in @
⇒δ
c
a
• • =m a' + ∂ m a' .d .......... .. ' ∂ • • • ∂ • ' en a @ m a' + m a' .d = m a' + m 'c ∂ • ∂ • ⇒ m a' .d = m 'c .......... .... c ∂
⇒
• m cd
d •
a'emos @ m a' am en @ Pero @
/omo @
F τ= & τ'.d
δ
= ∫# ρ'd ⇒ =
⇒
⇒ τ& = F
el
•
m 'c
=
=
∂ δ ρ'd d .......... d ∂ ∫# cd − a' − 'c
τ ←G & = '.d
= / cd − / a' − / 'c ∂ / cd = / a' + ( / a' ) d ∂ En e @
.......... ..... e
⇒ = τ'.d = / a' +
∂ ( / a' ) d − / a' − / 'c ∂
= ∂ ( / a' ) d − / 'c .......... .. f ∂ • δ δ %ero @ / a' = m a' . ⇒ / a' = ∫ ρ'd = ∫ ρ 2 'd ......... - # # • ∂ δρ +e d @ / 'c = m 'c .# ⇒ / 'c = 'd # d .......... .... 9 ∂ ∫# = τ'.d
In-. >aime Flores (nc9e?
"!
UNIERI+&+ N&/I
∂ δ ∂ δ ρ' 2d d − ∫# ρ'#d d ∂ ∫# ∂ δ ∂ δ 2 =τ = ρ d − ∫# ρ#d ∂ ∫# δ ∂ δ 2 ∂ =τ = ρ − d ⇒ τ = ρ∫# # − 2 d # ∂ ∫# ∂
- G 9 en f @ = τ'd
=
ulti%licando +i,idiendo %or #2 se tiene @
τ=
δ ∂ 2 δ # 2 ∂ ρ − d ⇒ τ = ρ#2 ∫# 1 − d ∂ # ∫# #2 #2 ∂ # #
τ = ρ#2
i
∂ δ 1 − d ∂ ∫# # #
E/U&/I^N +E
τ m2 = entonces @ ρ s2 τ = ρ
elocidad de Fricci$n o de /orte
C
5.6
*a C olo se denomina as0 %or ser dimensionalmente idntica a la ,elocidadG es en realidad un cam'io de ,aria'le relaci$n creada %or el 9om'reG N< E PUE+E E+IR. C =
τ ρ
lue-o en la Ec. de on barman @
τ ∂ δ = 1− d ρ#2 ∂ ∫# # #
C2 ∂ δ = 1− d #2 ∂ ∫# # #
⇒
2 C ∂ δ # = ∂ ∫# # 1 − # d Ec. &dimensional de on barman
∴ τ = ρ#2
∂ δθ ∂
lue-o@ 2
C = ∂ δθ ∂ #
In-. >aime Flores (nc9e?
5.7
""
UNIERI+&+ N&/I
;.2.1 ALGUNAS RELACIONES DE LA CAPA LIMITE LAMINAR SO
δ
= a + ' + c 2 + d 3 ⇒
=
τ =
−
4.64R e1 2
#.323ρ 2 R −1 2
#
'
=
&en π
δ
⇒
=
c
=
a
+ ' ⇒
δ δC
d
=
#
−1 2 4.7"5R e
−1 2 3.46 R e
−1 2 = #.646R e
δC 5.! = 1.74R −1 2
e
/f
e
−1 2 = #.656R e
−1 2 #.325ρ#2 R e
τ# =
/f
δ C 5." −1 2 = 1.74R e
−1 2 = #.57!R e
/f
−1 2 = 1.73R e
5.1#
oluciones Eactas de 8*&IU @
δ
δθ −1 2 = = 4."6R e −1 2 τ # = #.332ρ#2 R e
−1
#.664R e /f
δC
2
−1 2 = #.664R e
/ + = 1.32!R e−1 2 → /oeficiente de &rrastre iscoso
−1
= 1.73R e
5.11
*a resistencia so're una %laca de lon-itud * anc9o unitarioG %ara flujo laminar + M HI>dx! lue-o el coeficiente de resistencia o arrastre ,iscosa@ /+ $D
In-. >aime Flores (nc9e?
=
1 +
∫
+
#
$f .dx
5.12
1##
2
UNIERI+&+ N&/I
;.3
TRANSICI"N PARA EL FLUJO EN U NA PLACA PLANA
+e%ende de@ = Re M Ux = ν = )ur'ulencia de la corriente li're = Ru-osidad de la %laca = )ransferencia de calor 9acia la %laca desde ella. El %roceso es intermitente com%uesto %or %e;ueHos 'rotes de tur'ulencia en %e;ueHas re-iones de la /a%a *imite. +e'e ser e,idente ;ue no %uede %rescri'irse un Re es%ec0fico %ara la transici$nG de'ido a los efectos de muc9os factores in,olucrados en ese %rocesoG resulta mejor es%ecificar un ran-o de R+ 6&%X los cuales %ueden darse@ R+3.210; #&# 10
El ,alor de 1# 6 se alcan?a cuando se tiene tur'ulencia de corriente li're mu %e;ueHaG una %laca mu lisaG etc.G -eneralmente se usa el R+;10; NOTA
=
*a w de la su%erficie -enerar( una transici$n mu tem%rana.
=
/alentar la %la ca en la re -i$n laminar acelerara la tra nsici$n a Flujo )ur'ulento.
=
El -radiente de %resi$n ejerce una influencia si-nificati,a en la %osici$n del %uerto de transici$n.
=
Una %resi$n decreciente tiende a demorar la transici$n de Flujo *aminar a Flujo )ur'ulento.
In-. >aime Flores (nc9e?
1#1
UNIERI+&+ N&/I
;.!
CAPA L9MITE TUR
Para 9allar la ra?$n decrecimiento de la /a%a *imite )UR8U*EN)&G el modelo su%one las si-uientes consideraciones@ 1. = El fluido se des%la?a a tra,s de un tu'o de se cci$n circular cuo di(metro es el do'le del es%esor de la ca%a limite + M 2δ. 2. = *a su%erficie del tu'o es li?a@ f ; #.316Re=14 . 3. = El flujo res%onde a la le s%tima de ,elocidades n M 7 4. = *a cantidad de ene r-0a ;ue se in, ierte como %resi$n VP es i-u al a la ma-nitud del ;ue se manifiesta con una fuer?a de sentido contrario al del flujo.
/.*.). ⇒ δx M #.4#5Re=15
N<)&@
5.13
/R& M #.#72Re=15 → coeficiente de &rrastre &nal0tico =15
/RE M #.#74Re
→ coeficiente de &rrastre E%erimental
i@ m ma
β=
α=
=
2n 2
5.14
n + 12n + 1
n + 12n + 1 2
Factor de /orrecci$n de /antidad de o,imiento
4n 2 n + 2 n + 1 3 2n + 1 2
2n 2 n + 32n + 3
n J K
In-. >aime Flores (nc9e?
Factor de /orreci$n de la Ener-0a /intica
5 1.#37 1.1#6
6 1.#27 1.#77
7 1.#2# 1.#5!
! 1.#16 1.#46
" 1.#13 1.#37
1#2
UNIERI+&+ N&/I
;.;
CAPA L9MITE TUR
Para el flujo so're una %laca lisaG el Re de transici$n se toma como@ Re .tr =
# tr ≈ 5 × 1#5 υ
5.15
N<)&@ *a /a%a *imite corriente a'ajo del %unto de transici$n es )UR8U*EN)&. i usamos el %erfil de la le de %otencia @
V V#
1 n
y ≈ δ
= z1 n
iendo la elecci$n mas comJn %ara n M 7 Em%leando la correlaci$n de 8*&IU@
f
≈ #.316 Re −1 4
Re < 1#5
i sa'emos@ f + τ = ρ 2 Re = υ !
2δ = +
2n 2 # = n + 12n + 1
e tiene@
υ τ = #.#225ρ#7 4 δ
1 4
5.16
8*&IU@ Para su%erficie *isa )ur'ulenta en tu'erias
δ ≈ #.37 Re −1 5
5.17
emos ;ue δ ∼ 45 crece en la ca%a limite )ur'ulenta Zue la laminar δ ∼ 12 crece en la ca%a limite laminar. /f
≈ #.#577 Re −1 5
5 × 1# 5 < Re < 1# 7 P*&/& *I&
Finalmente@
δC 1 δ ≈ = #.#463 Re −1 5 !
In-. >aime Flores (nc9e?
5.1!
1#3
UNIERI+&+ N&/I
N<)&@ En la ca%a limite *&IN&R@ %ara la transici$n se calcula@
/+ # tr
υ
1 = ∫# *
tr
/ f lam .d +
∫
*
tr
/ f tur' .d
≈ 5 × 1#5
reem%la?ando e inte-rando se o'tiene@ / + = #.#72R * −1 5 −
*&IN&R
17## R*
)R&NI/I
5.1"
)UR8U*EN)<
#
V
V
P
V
P
$
).. `&Q)E
$
determin$ @
δθ 2 = δθ# 2 =
#.45υ #
δθ = #.671Re −1 2 −1 2
/f
= #.671Re
∫
#
5
V
# d laminarG #
= # → δθ #
5.2#
µ# τ# = δθ )
) ≈ λ + #.#"#.62 ` `
≈ 2.61 − 3.75λ + 5.24λ2 ≈
#.#731 #.15 + λ
+ 2.#!!
λ > # λ < #
F ≈ #.41 − 6.#λ In-. >aime Flores (nc9e?
1#4
UNIERI+&+ N&/I
;.
CONTROL DE LA CAPA L9MITE
e denomina as0 a todos los mecanismos cuo o'jeti,o es retardar el des%la?amiento de la /a%a *imite o en todo caso des%la?ar el %unto de inicio del des%rendimiento 9acia el denominado 'orde de fu-a. En realidad lo ;ue sucede es@ disminuir el contraflujo ;ue se %resenta cuando un fluido se des%la?a a tra,s de una su%erficie roma.
;.4
DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA L9MITE
Es un fen$meno ;ue se %resenta cuando el flujo %rinci%al incrementa su %resi$n esto im%lica una disminuci$n de la ener-0a cintica en las cercan0as de la %aredG %or ello se %roduce un /
C#$# l%%&+ +/ '/ %l%/* %'l#
In-. >aime Flores (nc9e?
1#5
UNIERI+&+ N&/I
;.4.1 ESTELA
Es el lu-ar -eomtrico ;ue ocu%an todos los ,$rtices su anc9o es directamente %ro%orcional a la ma-nitud de la fuer?a de arrastre.
o o
!1 !1
!1o !1o
ESTELA LAMINAR
11#o
TUR
11#o
*a se%araci$n se %roduce a causa de una in,ersi$n del flujo en la /a%a *imite como resultado de un -radiente de %resi$n &+ER< im%uesto so're la /a%a *imite %or el flujo %rinci%alG es decir %ara d% d x # . /omo se ,e en la fi-ura ;ue %ara un -radiente de %resi$n ad,erso de'e eistir un %unto de inflei$n en los %erfiles. Este modelo esta 'asado en un conce%to denominado LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL < *
V0
δ
= Es%esor de la /a%a *imite. = ∞ = elocidad de corriente li're.
#
Vx
= y + 1 = Vxy + ∆Vxy G
Vx
= y − 1 = Vxy − ∆Vxy
1ue/o @ Vx Vx
In-. >aime Flores (nc9e?
%ero
∆Vxy =
∂Vx .1 ∂y
= y + 1 = Vxy + ∂Vx .1 ∂y 1 ∂ = y − 1 = Vxy − Vx .1 ∂y 1#6
UNIERI+&+ N&/I
∆1 = + l − ∆2 = − − l ∴ ∆1 = +
∂ .l − ∂
∂ .l ∂ ∂ ⇒ ∆2 = ∂ .l ⇒ ∆1 =
τ) =
2
∂ ( µ + &) ∂
Pero eiste una relaci$n entre l e @ 1
= ay 2
= − ρ ∂Vx a 2 y 2 ∂y 2 = τ # ∂y 12 → ∂Vx = ρ y a
(n β @ τ # ∂Vx 2
τ# ρ
∂y 1 y a
inte-rando @
= ∫ C ⋅
d 1 ⋅ a
⇒
=
C ln + c a
3
Ec. de distri'uci$n de ,elocidad %ara r-imen tur'ulento. ∴ =
=
C a
ln
C ln a #
In-. >aime Flores (nc9e?
a
= constante de NIbUR&+E = #.4
5.21
1#7
UNIERI+&+ N&/I
;.
LEY DE LA PARED
e denomina *e de la Pared a la ecuaci$n ;ue se ,erifica en la su'ca%a laminarG da ori-en a lo ;ue se conoce como PERFI* *<:&RT)I/<. i @
= δ# →
=#
lue-o en 5.21
δ C 1 C − ln # C = ln a υ υ C = 2 . 5 ln υ − 5.75 C
5.22
)am'in en la re-i$n de la U8/&P& *&IN&RG en donde se asume una ,ariaci$n lineal de ,elocidad el esfuer?o cortante a%arente a% es i-ual al esfuer?o cortante en la %ared #.
=
C2
. + c1
υ
*a constante c1 de'e ser /ER
C2 # + c1 ⇒ c1 = # υ
lue-o @ =
C 2 . υ
C = . C υ
*EQ +E *& P&RE+
5.23
δ C ε C )am'ien de δ ln # se toma el δ# como el ε ⇒ ln υ υ donde @ ε = ru-osidad a'soluta C *as %rdidas de +&R/Q se tiene@
τ# f = /f = 1 2 4 ρ 2
5.24
Flujos totalmente desarrollados denominados F&/)aime Flores (nc9e?
1#!
UNIERI+&+ N&/I
;.
PERFILES DE VELOCIDAD DE LA LEY DE POTENCIA
uma
u FLUJO LAMINAR
R
FLUJO TUR
FLUJO LAMINAR
r
R FLUJO TUR
I-ual ,elocidad K%romedioL
I-ual ,elocidad Km(imaL
*os %erfiles de ,elocidad tur'ulenta se %ueden re%resentar %or medio de una funci$n lo-ar0tmica. Por la le de %otencia %ara flujo )UR8U*EN)< se tiene@ u u ma
≈ R
1 n
5.25
+onde @ M distancia medida desde la %ared 9acia la l0nea central o tam'in@ u u ma
1 n R − r ≈ R
5.26
Ecuaci$n ;ue se ajusta a la maor %arte del %erfil %ero no es satisfactoria cerca de la %ared en la l0nea centralG con frecuencia el n M 7 %ero un solo ,alor de n no %uede re%resentar todas las condiciones del Re w. Para tu'er0as lisas o ru-osas se tiene n L M=Nf ! %ara ,arios Re en una tu'er0a se tiene@
R+ !c103 2.3c10! 1.1c10; 1.1c10 2c10 3.2c10 /
.
4
.
10
10
El %erfil de la *EQ +E P<)EN/I& se %uede em%lear %ara e,aluar los factores de correcci$n de cantidad de mo,imiento ener-0a cintica %ara flujo tur'ulento totalmente desarrollado en tu'er0as.
In-. >aime Flores (nc9e?
1#"
UNIERI+&+ N&/I
NOTA
e dice ;ue se %resenta el fen$meno de des%rendimiento de la ca%a limite G cuando el flujo se des%la?a so're una su%erficie cur,a o roma esta %resenta la %osi'ilidad del K:R&+IEN)E &+ER< +E PREI
= #.#74Re*−1 5 − &Re* −1
/`*I/`)IN: dedujo @ /f
"e+ A
=
#.455 lo- Re* 2.5!
QM
RQM
I 5 × 1#5 < Re* < 1#7 Re*
> 1#7
M< <<
5.27 5.2!
QM< UT<<
;..1 ECUACIONES DE LA CAPA LIMITE
/onsideremos flujo 'idimensional estacionarioG ,iscosoG de un fluido incom%resi'le des%reciando la -ra,edadG se-Jn la ecuaci$n de cantidad de mo,imiento continuidad. +e las ec.@
∂u ∂v + =# ∂x ∂y
2 2u u P u v ∂y = − ∂ x + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂ 2v ∂ 2 v ∂v ∂v ∂P + v = − + µ 2 + 2 ρ u ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y
u
ρ u ∂x
In-. >aime Flores (nc9e?
11#
UNIERI+&+ N&/I
+es%us de muc9as sim%lificaciones PR&N+)* lle-o a @ ∂u + ∂, = # ∂ ∂ u
continuidad
∂u + , ∂, ≈ U dU + 1 ⋅ ∂τ ∂ ∂ d ρ ∂
τ=µ
τ=µ
de donde @
∂u ∂
F*U><*&IN&R
5.3"
∂u − ρu , ∂
F*U><)UR8U*EN)<
5.4#
In-. >aime Flores (nc9e?
111
/&PI)U*< I
F*U>< &*RE+E+
UNIERI+&+ N&/I
.1
FLUJO
ETERNO
INCOMPRESI
Y
ESTACIONARIO *a corriente de fluido en la cual el cuer%o est( inmersoG con frecuencia se considera como infinita en etensi$n. *os as%ectos im%ortantes son las FUERD& Q <EN)< ;ue el fluido ejerce so're el cuer%o en menor -radoG los detalles del %atr$n de flujo cerca del cuer%o. *a e%erimentaci$n es la lla,e %ara tratar estos flujos con auda del com%utador el tJnel de ,iento. e %resentan los si-uientes casos@ 1.= Resistencia de cuer%os 8idimensionales )ridimensionales a.= /uer%os Romos '.= /on Formas Fuseladas 2.= &ctuaciones de cuer%os ustentadores a.= Perfiles &,iones '.= Proectiles /uer%os con &letas c.= P(jaros e Insectos
. In-. >aime Flores (nc9e?
112
UNIERI+&+ N&/I
.2
FUERZAS SO
Un cuer%o 'idimensional tiene la forma en todos los %lanos %er%endiculares a un eje infinitamente lar-o en la fi-ura 6.1 el eje infinito es %er%endicular al %a%el. Uno tridimensional es infinito en todas direcciones fi-. 6.2. PLACA PLANA PERFIL
CILINDRO CIRCULAR
F%'# .1
C'+$ 7%*%+/%/#l+
# CILINDRO DE LON. FINI!A
AVIÓN
"
.
CILINDRO DE LON. FINI!A
CUBO
E$FERA
(a)
CONO
CO%E!E
(b)
F%'# .2 (#) C'+$ &%*%+/%/#l+ (7) C'+$ / %+&6# #>%#l
/uando un cuer%o est( inmerso en una corrienteG la 'idimensionalidad direccionalidad del flujo est(n determinados %or la dimensionalidad del cuer%o %or la alineaci$n entre el flujo ;ue los a%roima el cuer%o mismo. Para un cuer%o con simetr0a aialG la fuer?a resultante est( en el %lano definido %or el eje del cuer%o el ,ector del flujo ;ue se a%roima la com%onente de la fuer?a en la direcci$n del flujo ;ue se a%roima se conoce como REI)EN/I& < &RR&)RE el com%onente de la fuer?a %er%endicular al flujo ;ue se a%roima se conoce como U)EN)&/I^N. In-. >aime Flores (nc9e?
113
UNIERI+&+ N&/I
FS
R FS: fuerza de sustentación
α FA
V0
FA: fuerza de arrastre R: fuerza resultante
α : ángulo de ataque
*os e%erimentos 9an demostrado ;ue cual;uier cuer%o colocado en una corriente m$,il e%erimenta una resistenciaG si el cuer%o se mue,e en relaci$n con el fluido en re%osoG la fuer?a de resistencia resiste al mo,imiento el ,ector de fuer?a de resistencia siem%re a%unta corriente a'ajo. *as fuer?as F no necesariamente se %resentan en todos los flujos solamente ocurren si eiste &IE)RT&. En el caso 'idimensional@ 1.= Fuer?a de arrastre %aralelo al eje@ F& M ~./&.2 #2&%
6.1
2.= Fuer?a de sustentaci$n %er%endicular al flujo@ F M ~./.2 #2&%
6.2
FA
FS &
R
ρ
@ (n-ulo de ata;ue N @ com%onente normal R @ fuer?a resultante de F F
€
&
&P@ (rea %roectada 2 @ densidad del fluido
V
d
In-. >aime Flores (nc9e?
114
UNIERI+&+ N&/I
.2.1 FUERZA DE ARRASTRE
e de'e fundamentalmente a la fricci$n entre el cuer%o el fluido ;ue se reali?a en la ?ona de la ca%a l0mite. #) F'+@# *+ A#&+ $ 5%%/ (FA5)
e de'e al efecto de la ,iscosidad so're el cuer%oG formaci$n de la ca%a limite 3G F&f M ~./f.2>2.
6.3
donde@ /f @ coeficiente total de arrastre %or fricci$n @ su%erficie del cuer%o
Para $l## $l#/# = l%# se tiene@ /a%a limite laminar
/f = 1.327Re −1 2 8*&IU Re < 5 ×1# 1 2 /f = 1.46#Re − E. EF&/)& +E
5 ×1#5
#.#74 17## < Re < 2 ×1#7 / f = 1 5 − 1 2 Re Re
'(.)* '(.+*
'(.(*
/a%a limite tur'ulenta@ #.#74 < Re < 2 ×1#" / f = 1 5 Re #.455 Re > 2 × 1#" / f = ln Re 2.5!
2 × 1#7
In-. >aime Flores (nc9e?
'(.,* '(.-*
115
UNIERI+&+ N&/I
7) F'+@# *+ A#&+$ 5# (FAC)
+e%ende de la forma del cuer%o o su confi-uraci$nG en el cual es im%ortante el fen$meno de se%araci$n de la ca%a l0mite los ,$rtices ;ue se forman en la %arte %osterior del cuer%o lo ;ue disminue la %resi$n en dic9a ?ona. AP V0 1 .A$ = $ D ρV#2 AP 2 Punto de estancamiento P# = %resi$n total o de estancamiento
Para cuer%os afilados /+ no de%ende de R+ a ;ue el %unto de se%araci$n es %r(cticamente fijo. Para cuer%os R<< si de%ende de R+. F& M F&f F&/
6."
L# +%&+/%# &&#l + l# '# *+ l# +%&+/%# *+ 5#X l# '#l #'+/&# # +*%*# K'+ +l '+$ + #+ # '+X = l# +%&+/%# *+ 5%%/X K'+ #'+/&# /5+ +l '+$ + #l##.
CUERPO
Esfera
/ilindro eje a la ,elocidad
tc
F
A5
+es%recia'le +es%recia'le
FAC
Im%ortante Im%ortante
+iscos %lacas del-adas a la V
+es%recia'le
Im%ortante
Placas del-adas ^^ a la V
Im%ortante
+es%recia'le
/uer%os fluidos +in(micos.
Im%ortante
Pe;ueHa o +es%recia'le
In-. >aime Flores (nc9e?
116
UNIERI+&+ N&/I
Nota@ %ara un a,i$n @
FS
> → +es%e-ue = → elocidad `ori?ontal Fs < → &terri?aje Fs
.S
=
W
=
1 $ S ρV 2 AP 2 1 $ S ρV 2 AP 2
Fs
min
W
2 /ρ& P
=
=
6.1#
&P / ρ 2
+onde @
= /ar
a ala
.2.2 FUERZA DE SUSTENTACI"N
V0
p/1/ F$
2
pL1L F
= 'ρ#Γ
.S"
&nc9o unitario 'M1 x* Efecto PpP* rotaci$n
)eorema de butta = >ouoAs
= .S − W
= Fuer?a de sustentaci$n resultante = Peso del cuer%o Γ = /irculaci$n FR
Una circulaci$n rotaci$n ori-ina una fuer?a de sustentaci$n %er%endicular a la direcci$n del flujo con sentido en este caso 9acia arri'a conforme se muestra en el es;uema de'ido al sentido de rotaci$n.
r d0 r
In-. >aime Flores (nc9e?
V d/
Γ = ∫ .ds = rdθ 5 → 5 = 1 = .r ∴ Γ = 2πωr 2
/IR/U*&/I
ds
6.11
117
UNIERI+&+ N&/I
En un cuer%o tridimensionalG donde la maor0a tiene al menos un %lano de simetr0a. i el ,ector ,elocidad del flujo es %aralelo al %lano de simetr0aG la fuer?a resultante so're el cuer%o est( en el %lano de simetr0aG lue-o tiene dos com%onentes@ Fuer?a de arrastre sustentaci$n fi-. 6.3.a. i el flujo es com%letamente asimtrico cuer%o no tiene %lano de simetr0a o el flujo no es %araleloG la fuer?a resultante tiene tres com%onentesG llamada@ arrastreG sustentaci$n fuer?a lateral fi-.6.3.'.
FA
F$
Plano de simetria
F$
FA
FL ector de flujo de a%roimaci$n %aralelo al %lano de simetr0a. (a)
Figura !"#
(b)
Flu$o alrededor de cuer%os tridi&ensionales
Un %erfil aerodin(mico es un cuer%o 'idimensional lar-o del-ado ;ue se diseH$ %ara %roducir una -ran sustentaci$n %oco arrastre o resistencia fi-.6.4. *a ma-nitud de la %resi$n en un %unto de la su%erficie del %erfil se indica %or la lon-itud de una flec9a %er%endicular a la su%erficie. *a %resi$n se %resenta en relaci$n a la %resi$n en la corriente de a%roimaci$n no %ertur'ada. *os esfuer?os cortantes en la su%erficie del %erfil se indican %or medio de flec9as %aralelas a la misma.
In-. >aime Flores (nc9e?
11!
UNIERI+&+ N&/I
FS (3) ,-trados +orde de fuga
(2) F'* Vo +orde de ataque Figura !".
(3)
1ntrados FS (2)
/erfil Aerodiná&ico Asi&trico
*a fuer?a neta so're el %erfil aerodin(mico se %uede calcular inte-rando la $ el so're la su%erficie@ F
= − ∫ %.n d& + ∫ τ A . i d&
+onde / & ,ectores unitarios %er%endicular tan-ente a la su%erficie del %erfil. A es si la fuer?a cortante seHala la misma direcci$n ;ue %. /on auda de la si-uiente fi-ura se 9alla la fuer?a de arrastre@ F&
= ∫ − %en θ + τ A /os θd&
la fuer?a de sustentaci$n@ F
= ∫ −%/osθ + τ A enθd&
N<)&@ /omo X ‚ "#o so're la maor %arte su%erior del %erfil ‚ 27# o so're la maor %arte inferior del mismoG la F es ocasionada so're todo %or la %resi$n G mientras ;ue la F& es causada %rinci%almente %or el .
In-. >aime Flores (nc9e?
11"
UNIERI+&+ N&/I
*os coeficientes de arrastre sustentaci$n se determinan %or@ /&
=
F&
) (1 2 ρ#2 &
+onde @ o
)(
/
=
F 1 2 ρ#2 &
= elocidad del fluido relati,a al o'jeto.
El (rea se toma como el cuadrado de una sola lon-itud de referencia. & M l 2G en stas tenemos las mas comunes como@ hRE& FR
/
= f αG ReG G eG Fr
En casos %r(cticos los efectos de -ra,itacionales son irrele,antes. /&
= f αG ReG
/
= f αG ReG
%ara flujo incom%resi'le p#.3 los efectos de son irrele,antes. /&
= f αG Re
In-. >aime Flores (nc9e?
/
= f αG Re
12#
UNIERI+&+ N&/I
tam'in@ $A $S
coeficiente de %resi$n@ /% =
% = %o 12ρ#2
A = ∫ −$ P$osθ +$ f Senθ d S = ∫ −$ P Senθ −$ f $osθ d A S
6.12
4rea %ro5ectada A/67"'"
4rea frontal A6t"l
+orde de fuga
L C
Figura !"8
P.&. &I)RI/<
C3 c4erda L 3 en1er5ad4ra
Area de un % erfil a erodiná&ico
)am'in el (rea es de tres ti%os@ 1. = hrea frontal@ (rea ;ue se ,e mira ndo en direcci$n de la corriente a%ro%iada %ara cuer%os -ruesos como@ EFER&G /I*IN+R<G /
es una EFER&. )anto el cilindro como la esfera tienen i-uales (reas frontales %roectadas al flujo e%erimentan tanto F& de forma como de fricci$n. `I)E su-iere @ / & cilindro≈ 1 + Re=#.67
/ & esfera ≈
In-. >aime Flores (nc9e?
Re < 2 × 1#5
24 6 + + #.4 Re < 2 × 1# 5 Re 1 + Re
6.13
121
UNIERI+&+ N&/I
No se %uede dejar de resaltar la im%ortancia ;ue tiene /&REN&R o FUE*&R los cuer%os %ara reducir su resistencia a R+ %or encima de 1##. (a)
(b)
Vo
Vo
7A6
(c)
Vo
7A69"9
(d)
Vo 7A60"98
Figura ! "!
Reducción de l os 7
A
En la fi-. 6.6.' se reduce la F& alrededor de 45 al redondear su %arte frontal de fi-. 6.6.aG %ero /& es toda,0a alto. &l fuselar la %arte %osterior fi-. 6.6.c se reduce su resistencia en otro !5G como contraste el cilindro circular fi-.6.6.d ;ue tiene la misma F & ;ue en la fi-ura 6.6.c tiene un es%esor ! ,eces mas %e;ueHo un (rea trans,ersal 3##,eces menor ;ue en la fi-ura 6.6.c. N<)& @ )
le................. de )
= 3πµ+o
6.14
*a F& no s$lo es de fricci$n 13 es de %resi$n 23 son de fricci$n lue-o
/& =
/ & %ara Re mu 'ajos %ara la esfera es @
24µ 24 = ρo + Re
6.15
El coeficiente de arrastre iscosa se define como @
/ &f
= /+ =
F. &rrastre F. ,iscosa
/+ = 3π G es constante
In-. >aime Flores (nc9e?
⇒
/+
=
F&
µo l
como @
l=+
6.16
122
UNIERI+&+ N&/I
N<)&@ El coeficiente de arrastre ,iscosa %ara cual;uier cuer%o en un flujo a un R+ mu 'ajo es una /
T#7l# .2 C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# $## *%+ '+$ &%*%+/%/#l+
In-. >aime Flores (nc9e?
123
UNIERI+&+ N&/I
T#7l# .3 C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# $## *%+ '+$ 7%*%+/%/#l+
T#7l# .! C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# $## 7,+& / %+&6# #>%#l
In-. >aime Flores (nc9e?
124
UNIERI+&+ N&/I
.2.3 TENDENCIA DEL C A
1. = REp1G se %roduce arrastre %or fricci$nG el arrastre si-ue la le de )
FA
ρ
a
ρ
.(
c
F, W6&g
In-. >aime Flores (nc9e?
= 4 πD 3 ρ a / 3
/uando la esfera est( sus%endida en el aire @ = F& + FE
125
UNIERI+&+ N&/I
♦ *a Fuer?a de arrastre se %resenta en todos los flujos eternos la sustentaci$n
solo se %resenta si eiste &IE)RT&. En -eneral no siem%re la resistencia es indesea'le lle,a a aumentar el consumo de com'usti'le en los ,e90culos@ la car-a del ,iento so're las estructuras fen$menos %arecidos.
♦ *a sustentaci$n es 'eneficiosaG %or ejem%lo en las alas de un a,i$n le %ermite ,olar. *a Fuer?a de sustentaci$n tam'in reali?an la maor %arte del tra'ajo Jtil en el flujo so're las %alas o ala'es de 9lices de %ro%ulsi$nG com%resoresG tur'inas.
F%'# .4
C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# $## '+$ #%&%
/+
In-. >aime Flores (nc9e?
126
UNIERI+&+ N&/I
F%'# .
C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# $## '+$ 7%*%+/%/#l+
F%. . C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# *+ '/ '+$ l% *+ +%/ &#/+#l %'l# +/ 5'/%/ *+l /W+ *+ R+=/l*
In-. >aime Flores (nc9e?
F%. .10 C+5%%+/&+ *+ +%&+/%# 5'/%/ *+l /'+ *+ M#
127
UNIERI+&+ N&/I
F%. .11
E5+& *+ l# '%*#* 7+ C
D
$## '/ %l%/*
F%. .13 C+5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ = +%&+/%# $## %l%/* %#&% +/ '/ 5l', '/%5+ F%. .12 C+5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ = +%&+/%# $## +5+# %#&%# +/ 5ll', '/%5+
In-. >aime Flores (nc9e?
12!
UNIERI+&+ N&/I
.3
EL PERFIL SIMPLE
:eneralmente los %erfiles son del-adosG con una relaci$n es%esor a lon-itud menor ;ue #.2. *a l0nea ;ue une la %arte frontal con la %osterior es la l0nea de cuerdaG su lon-itud es la cuerdaG es la medida '(sica del tamaHo del %erfil. *a l0nea a la unidad entre las su%erficies su%erior e inferior es la l0nea media o l0nea de cur,atura. Un %erfil con una l0nea de cur,atura ar;ueada es &I)RI/< se dice ;ue esta ar;ueada o cur,ada. El arco 9 en cual;uier %unto es la distancia entre la l0nea de cuerda la de cur,atura. El arco el es%esor t de miden %er%endiculares a la l0nea de cuerda. Re-i$n de es%esor m(imo *0nea de cur,a media
Radio del 'orde de ata;ue <*+ *+ #&#K'+
Es%esor m(imo S'$+5%%+ '$+% (+>&#*) /ur,atura m(ima *inea de la cuerda
Re-i$n de cur,atura m(ima
<*+ *+ #l%*#
S'$+5%%+ %/5+% (%/&#*) C'+*#
F%'# .1!
P+5%l #+ *%/:%
*a sustentaci$n en un %erfil fundamentalmente es le resultado de la %resi$n su%erficialG %or lo ;ue la ,iscosidad del fluido %arecer0a tener %oco efecto. *a / medidos muestran mu %oca de%endencia del R+ los c(lculos de sustentaci$n son %recisos siem%re cuando se tomen en cuenta un efecto de K,iscosidadL.
In-. >aime Flores (nc9e?
12"
UNIERI+&+ N&/I
i se fuer?a a ;ue el %unto de se%araci$n %osterior se encuentra en el 'orde de salidaG se %uede -enerar un %atr$n de flujo estacionarioG sta condici$n si-nifica ;ue el fluido Ksu%eriorL de'e tener en %romedio una ,elocidad maor ;ue el fluido KinferiorL.
NOTA
♦ Un %erfil I)RI/< con un (n-ulo de ata;ue cero no -enera U)EN)&/I^N. ♦ Para ;ue se -enere sustentaci$n se re;uiere un %erfil cur,ado o un KL o am'os. ♦ Un %erfil cur,ado %roduce una sustentaci$n con un KL cero. ♦ &l aumentar el KL se incrementan la simetr0a del flujo la sustentaci$n. Para %erfiles del-ados la teor0a del flujo sin ,iscosidad %redice ;ue@ /
29 m( ≈ 2π α + /
I
donde @ α en radianes
29 m( α + / < #.3 9 m( es el m(imo arco
♦ El aumento de / %ersiste 9asta 15 oG cuando el %erfil entra en %erdida la sustentaci$n decrece r(%idamente. *a entrada de %erdida ocurre cuando el %unto de se%araci$n su%erior se mue,e del 'orde de salida 9acia la %arte frontal. Fi-.6.! ♦ Por ser el 'orde de ata;ue redondeado se e,ita el des%rendimiento de la corriente en sta re-i$nG %ero el 'orde de salida &FI*&+< ori-ina el des%rendimiento ;ue -enera la sustentaci$n. (a)
(b)
(c)
(d)
13#
In-. >aime Flores (nc9e?
F%'# .1;
S+$##%/ *+ l# #$# l%%&+ +/ '/ $+5%l
UNIERI+&+ N&/I
Inmediatamente des%us del arran;ue fi-.6.15.a el mo,imiento es irrotacional no ,iscoso. u%oniendo un %ositi,oG el %unto de remanso %osterior est( en la su%erficie su%erior no 9a sustentaci$nG %ero la corriente no %uede 'ordear el 'orde de salida afiladoG se des%rende se forma un tor'ellino de arran;ue como en fi-.6.15.'. En fi- 6.15.c fi-.6.15.d ste tor'ellino de arran;ue es arrastrado %or la corriente a-uas a'ajoG donde se forma una corriente so're el ala con l0neas de corriente ;ue ,ar0an -radualmenteG saliendo el fluido del %erfil en una direcci$n a%roimadamente %aralela a la cuerda. Es a;u0 donde la sustentaci$n se 9a -enerado %or com%leto el tor'ellino de arran;ue est( *E>< corriente a'ajo. i usa la corrienteG se ori-ina un tor'ellino de %arada de sentido o%uesto fi-.6.15.c ;ue tam'in es arrastrado %or la corrienteG durante el ,ueloG el aumento o disminuci$n de sustentaci$n ori-inara tor'ellinos de arran;ue o %aradaG siem%re con el efecto de mantener un flujo %aralelo sua,e en el 'orde de salida. & %e;ueHos KL en la %arte %osterior del %erfil 9a un -radiente &+ER< de %resi$nG %ero no lo suficiente %ara ;ue se des%renda la /a%a *imite. El flujo alrededor del %erfil es sua,eG fi-.6.15.d G la resistencia es 'aja la sustentaci$n ecelente. /uando se aumenta el KLG el -radiente ad,erso en la su%erficie su%erior se 9ace mas intensoG donde -eneralmente se forma una 'ur'uja de se%araci$n ;ue crece etendindose a-uas arri'a so're el E)R&+<. & M 15 a 2#o G la corriente est( com%letamente des%rendida del etrad$s. e dice ;ue el %erfil est( en PR+I+&@ la sustentaci$n decae muc9oG la resistencia F & aumenta considera'lemente el %erfil no funciona aerodin(micamente. *a fi-.6.16 muestra la sustentaci$n resistencia de un %erfila &I)RI/aime Flores (nc9e?
131
UNIERI+&+ N&/I
sustentaci$n de este %erfil a KL /ER< es nula cuando no tiene F*&P. `asta los 12o el / aumenta linealmente con una %endiente de #.1 %or -rado o 6 %or radi(n.
/ G teor0a ≈ 2πen α +
29 m( /
El %erfil N&/& ###" no tiene cur,atura /
= 2πenα ≈ #.11 α en -rados
F%'# .1 C+5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ = +%&+/%# *+l $+5%l %&% NACA 000 *+ +/+#*'# %/5%/%&#X %/l'=+/* +l +5+& *+ l# *+5l+>%/ *+l 5l#/ *+ %/&#* (&/#/+ +/ '+/&# K'+ l# '%*#* $'+*+ %/++/&# CD +/ '/ 100 #&# 300 $ 100)
En el des%e-ue o aterri?aje se aumenta la sustentaci$n considera'lemente deflectando un F*&PG 9aciendo ;ue el %erfil sea no simtrico o con cur,a efecti,aG com'inando el (n-ulo de sustentaci$n nula a M =12 o. & causa del fla% de intrad$s tam'in aumenta la F &G %ero la reducci$n de las distancias de des%e-ue
In-. >aime Flores (nc9e?
132
UNIERI+&+ N&/I
aterri?aje 'ien %ueden justificar la necesidad de una %otencia adicional de los motores. *os a,iones ,uelan en re-0menes de crucero a KL %e;ueHosG en cuo caso la sustentaci$n es muc9o maor ;ue la resistencia G siendo los ,alores m(imos de la relaci$n sustentaci$n=resistencia. Para %erfiles corrientes entre 2# 5#.
En la fi-. 6.17 se re%resenta la P<*&R o dia-rama de *I*IEN)`&* del %erfil N&/&###" a %artir de los datos de la fi-.6.16 del N&/&63=##" del mismo es%esor. El %erfil laminar tiene un r-imen de 'aja resistencia a %e;ueHos KLG %ero tam'in entra en %erdida a KL menores / m(ima mas 'ajo. F%'# .14 Pl# *+ l $+5%l+ +&:/*# (000) = l#%/# (3-00) *+l NACA
*os datos de la fi-uras anteriores son %ara en,er-adura infinitaG es decir 'idimensional alrededor de alas sin 'ordes laterales el efecto de la en,er-adura In-. >aime Flores (nc9e?
133
UNIERI+&+ N&/I
finita se %uede correlacionar con el cociente adimensional llamado &*&R:&IEN)< &R. &R
=
'2 &P
=
' c
c @ cuerda media
Para en,er-adura finitaG la %endiente de la cur,a de sustentaci$n disminueG %ero el (n-ulo de sustentaci$n disminueG %ero el (n-ulo de sustentaci$n nula no se modifica la resistencia aumentaG %ero sino cam'iar la resistencia cuando la sustentaci$n es nula el (n-ulo de ata;ue efecti,o aumentaG en la cantidad@
∆α ≈
/
π&R
*a sustentaci$n %ara en,er-adura finita toma la forma@ /
≈
2πen α + 29 c 1 + 2 &R
El corres%ondiente aumento de resistencia aumento de resistencia es@ ∆/ & ≈ /en∆α ≈ / ∆α $ /& ≈ /&∞ +
/2
6.17
π&R
*a eistencia de un coeficiente de sustentaci$n m(imo im%lica la eistencia de una fuer?a@ F
1 = = /G m( ρ2& P 2 1 2
+onde @
2 = G m( P / ρ&
6.1!
En a,iones s 2#=6# ms de%endiendo del %eso del ,alor del / ma el %iloto de'e mantener la ,elocidad %or encima de 1.2s con o'jeto de e,itar las inesta'ilidades a la entrada en %rdida %lana. El F*&P de intrad$s es uno de los mJlti%l es mecanismos ;ue se utili?an %ara o'tener una sustentaci$n ele,ada a 'ajas ,elocidades . *a fi-.6.1".a muestra seis In-. >aime Flores (nc9e?
134
UNIERI+&+ N&/I
de estos mecanismos cuos efectos sustentadores mostrados en la fi-.6.1".' o%erando con un %erfil E)hN+&R & *&IN&R 8 . /on el F*&P de do'le ranura se alcan?a un / sGma ‚ 3.4 com'inando con el fla% de 'orde de ata;ue %uede %ro%orcionar /sGma ‚ 4.
El 8
F%'# .1 #&'#%/+ *+ $+ 5%l+ / *%$ %&% %$+'&+/&#*+ A NACA 000 < NACA 3-00 C P+5%l *+ l%/+ Fl+#/ +/ (#) + '+&#/ l $+5%l+ D # I (#) &%$ *+ *%$%&% %$+'&+/&#*+ (7) +5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ *+ #l'/ *%$%&%.
135
In-. >aime Flores (nc9e?
a
'
UNIERI+&+ N&/I
.!
DISPOSITIVOS HIP ERSUSTENTADORES
on todos a;uellos dis%ositi,os destinados a 'rindar se-uridad tanto en el aterri?aje como en el des%e-ueG los m(s comunes@ F*&P FLAPS Es a;uel %erfil u'icado en el 'orde de ata;ue o en el de fu-aG ;ue ,ar0a la
-eometr0a del %erfil %rinci%alG -eneralmente est( u'icado en la %arte central del ala.
F'A/ S,<71''*
F'A/ ;, 1<=RA;*S F'A/ F'*W,R F'A/ A7>AR<,'A;* F'A/ ;, 1<=RA;*S A7>AR<,'A;* (?A/)
F%'# .20
M+#/% *+ FLAPS
7S /,RF1' 7*< F'A/ /,RF1' 7*@<
d F%'# .21
In-. >aime Flores (nc9e?
E5+& '&+/&#*+ *+ l FLAPS
136
UNIERI+&+ N&/I
F%'# .22 C+5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ = +%&+/%# $## * 5# *+ $+5%l+ NACA (#) $+5%l 2!1; (7) $+5%l 32 - 1;
F%'# .23 E5+& *+ l# +l#%/ *+ #$+& 7+ l +5%%+/&+ *+ '&+/&#%/ = +%&+/%# 7+ '/ #l# &6$%#. T*# l# #l# &%+/+/ l# %# 5# *+ $+5%l ($+5%l #+*%/:%)
In-. >aime Flores (nc9e?
137
UNIERI+&+ N&/I
F%'# .2!
In-. >aime Flores (nc9e?
C'# $l# $## '/ #l# / #l##%+/& ;.
13!
UNIERI+&+ N&/I
F%'# .2; C'# $l# $## +l $+5%l *+ #l# +&#/'l# Y *+ Cl#? *+ $%+ *+ '+*# = 3 $%+ *+ +/+#*'#.
In-. >aime Flores (nc9e?
13"
/&PI)U*< II
F*U>< /<PREI8*E EN +U/)< +E E//I
UNIERI+&+ N&/I
4.1
FLUJO COMPRESI
El flujo com%resi'le es a;uel en el cual la densidad ,aria ante cual;uier ,ariaci$n de la %resi$n o tem%eratura. *os -ases o fluidos com%resi'les tienen una -ran ca%acidad el(stica %or;ue sus es%acios intermoleculares son K-randesL esto le %ermite modificar su ,olumen ante cual;uier cam'io de la fuer?a ;ue actJa so're ellos. Para anali?ar a los flujos com%resi'les contamos con el /W+ *+ # (M)@ 4
=
V
donde @
$
@ ,elocidad relati,a del fluido / @ ,elocidad del sonido
$
=
(
ρ
∆P ∆ρ
=
l0;uidos $
=
bR)
#P
=
ρ
p1
Flujo u's$nico
M1
Flujo $nico
1≈
-ases
/s$lido x /l0;uido x /-as
Flujo )rans$nico
x1
Flujo u%ers$nico
x2
Flujo `i%ers$nico
Recordando@ ∆ u = $v ⋅ ∆*
#
∆ : = $p ⋅ ∆*
"
=
$p $v
>
1
= $p − $v
" "
= $v # − 1
"
= $p −
$p #
In-. >aime Flores (nc9e?
"=
$v
=
#
$p b = 1 b
− 1
$p
=
#⋅" b =1
14#
UNIERI+&+ N&/I
donde@ ) @ tem%eratura a'soluta R @ constante %articular del -as
"=
"u 4
Ru @ constante uni,ersal de los -ases
P## +l #%+ b M 1.4 2 /% M 6#1# %ie
2 /, M 42"3 %ie
2 R M 1717 %ie
/ M 4"
* • R
2 M 1##5.#3 m
• " . s2
M 716.5
• " . s2
>
• # . s2
#/. • b
M 2!7 > #/. • b
• " . s2 pies
M 2#.#4
s
-
* • b
s
P## #+
onoat$micos@
#
=
+iat$micos@
#
=
Poliat$micos@
$p
5
3
7
= 2.5
5
=4
$p
"u 4
$p
= 3.5
"u 4
"u 4
2 Ru M 1."!6 bcalbmol . • # M 4"72# %ie M !.3143 b> #-o1 . • b • " . s2
En un flujo isoentr$%ico @
In-. >aime Flores (nc9e?
*2 *1
P = 2 P1
# −1 #
ρ = 2 ρ1
# −1
141
UNIERI+&+ N&/I
El cam'io de entro%0a %ara %rocesos re,ersi'les @ i el %roceso es irre,ersi'le@ s2 − s1
)am'in @
∆s >
d& *
"(V
∂; )
* P = $p ⋅ +n 2 − " ⋅ +n 2 * 1 P1
*a transmisi$n de calor %ara un FEE @
4.2
∆s = s2 − s1 = ∫
1
&2
= :2 − :1
FLUJO ISOENTR"PICO
Es a;uel ;ue cum%le la condici$n de ser adia'(tico adem(s siem%re esta asociado a %rocesos re,ersi'les interna eternamente. 4.2.1 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO
Pro%iedades de remanso o %ro%iedad del %unto sin-ular. on las %ro%iedades ;ue o'tendr0a el fluido si se le lle,ara a una condici$n ceroG con una ele,aci$n cero en un %roceso re,ersi'le sin transferencia de calor ni reali?aci$n de tra'ajo. P# %resi$n de estancamiento )# tem%eratura de estancamiento
ρ# densidad de estancamiento 9#
ental%0a es%ecifica de estancamiento
NOTA ♦ El %unto de estancamiento es el lu-ar -eomtrico ;ue ocu%an todas a;uellas
%art0culas ;ue carecen de ener-0a cintica.
♦ )odas las %ro%iedades de estancamiento siem%re %ermanecen constante en un flujo isoentr$%ico.
In-. >aime Flores (nc9e?
142
UNIERI+&+ N&/I
a" TEMPERATURA DE ESTANCAMIENTO (T0)
Es la tem%eratura ;ue alcan?a una %art0cula fluida cuando es frenada adia'(ticamente. )odo instrumento mide tem%eratura de estancamiento. Punto de estancamiento 1
Part0cula
2
.
.
a'emos ;ue %or la %rimera le de la termodin(mica@ 1
&2
:2
=
w2
1
= :1 +
$p ⋅ *2
+
:2
V22
− :1 +
V12 2
2
−
V12
%ero@
= $p ⋅ *1 +
V12 2
*#
+
2 :
/ Z 2
− Z1
= $p ⋅ *
= *1 +
V12
7.1
2 ⋅ $p
Para cual;uier %unto@ *#
=* +
V2
7.2
2 ⋅ $p
b" PRESI"N DE ESTANCAMIENTO (P0)
Es la %resi$n ;ue alcan?a la %art0cula cuando es frenada isoentr$%icamente. Por 8ernoulli@ P1
γ
+
V12
2/
+ Z1 =
P2
γ
+
V22
2/
P2
%ara cual;uier %unto @
In-. >aime Flores (nc9e?
+ Z2
= P1 + ρ P#
V12
γ
=
P1
γ
+
V12 2/
7.3
2
=P +ρ
P2
V2
2
7.4
143
UNIERI+&+ N&/I
4.2.2 RELACIONES
ENTRE
LAS
PROPIEDADES
DE
ESTANCAMIENTO Y LAS PROPIEDADES EST8TICAS
#) R+l#%/ +/&+ T0 = T
Recordamos @ *# *
=
* *
+
V2
⋅
1
*#
2 ⋅ $p *
tenemos ;ue @
*#
entonces @
*# *
*
= 1+
*
= 1+ = 1+
V 2 # 2/ #
V 2 #
− 1
como @ $ =
2)b R
− 1
%ero @
2
− 1 2
4
=
bR)
V $
7.5
2
7) R+l#%/ +/&+ P0 = P
Recordamos@ #
P# P1
* # −1 = # *1 P# P
entonces@
) R+l#%/ +/&+
= # *
P# P
0
= 1 +
*
# # −1
#
#
− 1 2 # −1 2
7.6
=
Recordamos @ *2 *1
ρ = 2 ρ1
# −1
1
*# # −1 = *
ρ# ρ
1
entonces @
ρ# ρ
= 1 +
#
− 1 2 # −1 2
7.7
4.2.3 CONDICI"N CR9TICA
In-. >aime Flores (nc9e?
144
UNIERI+&+ N&/I
Es a;uella ;ue se alcan?a cuando el fluido es s$nico la secci$n o re-i$n donde ello ocurre se denomina secci$n critica se desi-na como &CG todas las %ro%iedades ;ue eisten en dic9a re-i$n son %ro%iedades criticas@ PCG )CG 9CG CG ρC.
4.2.3.1 RELACIONES CR9TICAS R+l#%/ +/&+ T0 = Ta
a'emos @
*# *C
=
*# *
= 1+
# + 1
#
como @ M 1
2
2
− 1 2 *C *#
=
2
entonces@ 7.!
# + 1 #
R+l#%/ +/&+ P0 = Pa
PC P#
2 # −1 = # +1
7."
1
R+l#%/ +/&+
0
=
a
ρ C = 2 ρ# # + 1
# −1
7.1#
Para el aire @ b M 1.4 *C *# PC P#
= #.!33 = #.52!
7.11
ρ C = #.633"4 ρ#
In-. >aime Flores (nc9e?
145
UNIERI+&+ N&/I
4.3
DUCTOS D E SECCI"N VARIA
4.3.1 TO
e denomina as0 a los dis%ositi,os o ductos cortos de secci$n ,aria'le ;ue transforma la ener-0a ent(l%ica en ener-0a cinticaG es decir es un acelerador de flujo. )odos los %rocesos de e%ansi$n est(n asociados aeste dis%ositi,o eistiendo to'eras su's$nicas su%ers$nicas e inclusi,e la s$nica. 1 2 2 M1
1
Me1
T7+#S'7/%#
T7+#S'$+/%#
2 x 1 P1 x P2 P$%+*#*
G
PG )Gρ L/%&'*
NOTA
El m(imo numero de ac9 ;ue se %uede o'tener a la salida de una to'era su's$nica es 1G jamas un ,alor su%erior a este. /uando el ac9 a la salida de la to'era es i-ual a 1G se dice ;ue la to'era esta 'lo;ueadaG c9ocadaG a9o-ada o estran-ulada.
In-. >aime Flores (nc9e?
146
UNIERI+&+ N&/I
4.3.2 DIFUSOR
+is%ositi,o o ducto corto de secci$n ,aria'le ;ue transforma la ener-0a ent(l%ica en ener-0a de %resi$n. Es decir todos los %rocesos de com%resi$n est(n asociados a este dis%ositi,o eistiendo difusores su's$nicos su%ers$nicos. 2
1
1
M1
2 Me1
D%5' S'7/%
1 x 2
D%5' S'$+/%
P2 x P1
P$%+*#*
PG )Gρ
G L/%&'*
NOTA
*a -eometr0a del dis%ositi,o no determina el nom're. El nom're lo determina el ti%o de r-imen con el cual in-resa el flujo al dis%ositi,o.
In-. >aime Flores (nc9e?
147
UNIERI+&+ N&/I
4.3.3 DUCTO CONVERGENTE DIVERGENTE
Es un dis%ositi,o ;ue %ermite solamente acelerar el flujoG es el caso de un tu'o de ,enturi en la secci$n m0nima nunca se alcan?a el estado s$nico. 4.3.! TO
Es un dis%ositi,o de secci$n ,aria'le ;ue %ermite o'tener a la salida una condici$n su%ers$nica del flujoG si al in-reso el flujo es su's$nico en la secci$n m0nima siem%re se alcan?ara el estado s$nico.
M1
4.3.; RELACI"N ENTRE Aa Y A
ecci$n m0nima
1 M1 1
2 M2 1
ecci$n m0nima
1
2
M1 M2 e M1
M1 1
M2 e 1
AaX TaX Pa #
a'emos ;ue @ tam'in@
#
41
4C
=
=
V1 $
VC $
ρ11&1 M ρCC&C
-1 = -C
41
1=
=
V1 b R )1
VC
b R )C
V1
=
VC =
4
b R )1
b R )C
adem(s@ In-. >aime Flores (nc9e?
14!
UNIERI+&+ N&/I
1 &1
=
&C
ρ CC ρ1 1
= ρ *
ρ C * C # −1
#
1
ρ1 ρ#
* # −1 = 1 *#
#
Reem%la?ando@
1
*C 1 1 1 A1 *# 1 *C2 *C 23 14 1 = ×× = × #−
#+
#−
1
AC * #−1 41 *1 *1 41
1 *#
# +1
2 + # − 1 12 2 # −1 = A C 41 # +1 A1
entonces@
1
# +1
A1
4 2 2 + # − 1 22 2 # −1
A C = 41 2 + # − 1 12
7.12
4.3. RELACIONES DEL FLUJO M8SICO Y
a'emos@
In-. >aime Flores (nc9e?
#
-
=
ρ .V . A
14"
UNIERI+&+ N&/I
Para -ases ideales @
ρ
=
P R)
= ./ =
bR)
*ue-o@ #
=
#
P. A.4 *
a
"
i sustituimos @ %
= % # 1 +
b −1 2
−b
b −1
2
)
b −1 2 = )# 1 + 2
−1
Rem%la?ando en a@ − # +1
#
=
#
P# A # − 1 4 2 2 # −1 4 1 + 2 "*#
'
i M1 & M &C la ecuaci$n ' se transforma@ # +1
P# A C
#
--ax
=
"*#
2 2 # −1 # # + 1
7.13
Por lo tanto el fen$meno de 'lo;ueo ocurre en el flujo com%resi'le en un conductoG cuando el local lle-a a 1 en el (rea m0nima del conducto cuando ste ocurre no se %uede aumentar el flujo m(sico a tra,s del conductoG a menos ;ue la relaci$n de la %resi$n de +&#/#%+/& entre la ra0? cuadrada de )o se aumente.
4.!
FLUJO EN UNA TO
*a fi-ura muestra una to'era con,er-ente ;ue etrae -as desde un tan;ue -rande 9acia una re-i$n de %resi$n ,aria'le su%ondremos ;ue la %resi$n la tem%eratura en el tan;ue son constantes. *a %resi$n en la re-i$n de salida /&#$+%/ se %uede ,aciar %or medio de una ,(l,ula de control ;ue conecta esta re-i$n con una 'om'a de ,ac0o a-uas a'ajo. )am'in su%ondremos ;ue no eiste fricci$n en las %aredes ni transferencia de calor o tra'ajo. `aciendo ciertas o'ser,aciones %reliminares al flujo en la to'era@ In-. >aime Flores (nc9e?
15#
UNIERI+&+ N&/I
a /omo la to'era es con,er-enteG el flujo no %uede %asar # &# de M 1. ' El flujo a la entrada de la to'era e,identemente es '7/% ( ≈ # )X lue-o en toda ella lo ser( tam'inG con la %osi'le ece%ci$n a la salida.
c El flujo no %uede ser '$+/% en la to'eraG %or lo ;ue no %ueden eistir ondas de c9o;ueG lue-o el flujo ser( %+/+&% e %+/&$% en toda la to'era. d *as %ro%iedades de remanso son constantes e i-uales a las %ro%iedades del -as en el tan;ue. e El ma %osi'le es 1G ocurriendo solamente en la salida (rea m0nima. f `a un flujo m(sico m(imo ;ue %uede ocurrir se determina %or los ,alores de b R del -asG de las %ro%iedades de estancamiento en el tan;ue el (rea de salidaG el m(imo ocurre cuando el es 1 en la salida de la to'era. En la fi-ura se muestran estos cam'ios de las %ro%iedades a tra,s de la to'era@ :as
/(mara de etracci$n & la 'om'a de ,ac0o
)an;ue de alimentaci$n
)o'era con,er-ente
N&# Fl', %+/&$% + %+/+&% '#/* +l 5l', + %+/&$% %/ #,.
• *as cur,as %untos # corres%onden a la ,(l,ula de control +#*# no 9a flujo. *a %resi$n en todo lu-ar es la del tan;ue el M #. • /aso 7 %e;ueHa a'ertura de la ,(l,ulaG la contra%resi$n es menor ;ue la %resi$n suministrada eiste flujo. In-. >aime Flores (nc9e?
151
UNIERI+&+ N&/I
• El -as se acelera del tan;ue 9acia la salida de la to'era la %resi$n decrece. *a Pmin ma ocurren en la salida. *a %resi$n en la salida de la to'era es i-ual a la contra%resi$n. i P8Po se conoce@ Psal P#
=
P8
sal
P#
= f
Psal P#
• El a la salida se %uede determinar. • /aso similar a K'LG %ero a una a'ertura maor de la ,(l,ulaG con una contra%resi$n menorG maor m . El ma ocurre a la salida de la to'era es menor ;ue 1. a 1
P8 P# )# # ≈ #
Pe P#
M#l
Pe•
&sal
' f
e
d
•
•
•
Psal
P P#
5 c PC P#
II N E M I G S R
d e 7/al 8 6
c •
•
PC P#
I N E IM G S R
a
1
P8 P# <
m f
e
d
•
•
• • ' •
c
a
f -ar-anta
x
PC P#
• /aso *G la ,(l,ula se 9a a'ierto lo suficiente %ara lle,ar a M1G con una % M %C tam'in i-ual a la contra%resi$n.
In-. >aime Flores (nc9e?
•
152
1•
P8 P#
UNIERI+&+ N&/I
• /aso + se a're la ,(l,ula mas ;ue el caso KdL se nota ;ue no 9a cam'ios en la to'eraG se alcan?a el limite de la ca%acidad de la to'eraG el no %uede eceder de 1 a la salida la P salida no %uede caer %or de'ajo de la cr0ticaG el m no %uede eceder el ,alor de 'lo;ueo.
El 5+/+/ *+ 7lK'+ '+ '#/* M l#l ll+# # 1 +/ +l :+# 6/%# #
*+l /*'&X / + $'+*+ #'+/&# +l m .
*a Jnica deferencia entre KdL LeL es ;ue la contra%resi$n la %resi$n de salida a no son i-uales. El flujo *+$' de salir de la to'era se de'e ajustar al ,alor de la contra%resi$n ;ue es menor. El flujo corriente a'ajo es multidimensionalG %or lo ;ue la cur,a de %resi$n se muestra como una l0nea ondulada. &'rir mas la ,(l,ula con una maor disminuci$n de la contra%resi$n no cam'ia el flujo. En una to'era sim%leG eisten dos re-0menes de flujo 5l', / 7lK'+#* = 5l', 7lK'+#* esto de%ende de los ,alores relati,os de la contra%resi$n la Pcr0tica.
• i P8P# x PCP#
El 5l', +&# / 7lK'+#*.
• i P8P# Mp PCP#
El 5l', +&# 7lK'+#*.
El flujo a tra,s de la to'era %uede di,idirse en dos re-0menes@ 1. En el r-imen I@ P 8P# ≥ PCP# G el flujo en la -ar-anta es Isoentr$%icoG P e M P8. 2. En el r-imen II@ P 8P# p PCP#G el flujo en la -ar-anta es Isoentr$%icoG %ero ocurre una e%ansi$n no isoentr$%ica en el flujo ;ue a'andona la to'eraG Pe M PC x P8. P# En el r-imen II de flujo se muestra en el ) dia-rama ) B s.
)#
PC
∆s ≠ < In-. >aime Flores (nc9e?
)C P8 p PC 153
s
UNIERI+&+ N&/I
4.;
FLUJO
EN
UNA TO
CONVERGENTE
DIVERGENTE *a fi-ura muestra una to'era con,er-ente=di,er-ente ;ue em%uja un -as desde un tan;ue -rande a P ) constantes 9acia una re-i$n de salida de %resi$n ,aria'le. *a contra%resi$n se %uede ,ariar a'riendo o cerrando la ,(l,ula. )am'in se su%ondr( ;ue no eiste fricci$n en la %aredG ni flujo de calor ni de tra'ajo. *as o'ser,aciones %reliminares son@ a. /omo la to'era con,er-ente = di,er-enteG el flujo %uede %asar a tra,s de un M 1 el flujo %uede ser su's$nico. '. i 1 M 1G en todos ladosG de'e serlo tam'in en la -ar-anta. c. En la %orci$n di,er-ente %odr0a eistir el flujo su%ers$nico en consecuencia %odr0a 9a'er ondas de c9o;ue en el flujo. i stas eistenG el flujo / es com%letamente %+/&$% aun;ue si %+/+&%.
In-. >aime Flores (nc9e?
154
UNIERI+&+ N&/I
d. i no 9a ondas de c9o;ueG el fl ujo es %+/&$%. i las 9aG el flujo del tan;ue 9asta la %rimera onda es isoentr$%ico. El flujo corriente a'ajo de una onda de c9o;ue tam'in es isoentr$%ico %ero con ,alores diferentes de entro%0aG P# (rea critica.
e. El m(imo %osi'le ;ue %ue de ocurrir en cual;uier lado del conducto corres%onde a la aceleraci$n del fluido en un %roceso isoentr$%ico del tan;ue a la salida de la to'era. El ma %osi'le s$lo %uede ocurrir en la salida se :as
/(mara de etracci$n
P# & la 'om'a de ,ac0o
)# )an;ue de alimentaci$n
)o'era con,er-ente = di,er-ente
determina con la relaci$n de &salida con el &-ar-anta. f. El flujo m(imo %osi'le en la to'era esta determinado %or las corrientes del -asG las %ro%iedades del -as en el tan;ue el (rea m0nimaG la cual se %resenta en la -ar-anta. *as cur,as de com%ortamiento las ,emos en la si-uiente fi-ura@ 1. Para el c aso #G la ,(l,ula est( com%letamente cerrada no 9a flujoG la %resi$n es uniforme el M #. 2. Para el caso 7G la ,(l,ula est( li-eramente a'ierta en la %arte con,er-ente el -as se acelera la %resi$n decrece. El en la -ar-anta es considera'lemente menor ;ue 1 su's$nico. En la %arte di,er-ente de la to'eraG el flujo se desacelera la %resi$n aumenta. No 9a ondas de c9o;ue a ;ue el flujo en todos lados es su's$nico.
In-. >aime Flores (nc9e?
155
UNIERI+&+ N&/I
En la salida el flujo es su's$nico la %resi$n de salida la contra%resi$n son i-uales el se %uede encontrar en la salida %or@ P sal P#
=
P8 P#1
3. /aso G la ,(l,ula a'ierta li-eramente maor ;ue K'L con flujo m(sico maor. *as distri'uciones de %resi$n si-uen siendo casi simtricas con res%ecto a la -ar-anta. El ma ocurre en la -ar-anta. 4. /aso *G la ,(l,ula esta a'ierta %ara lle,ar el en la -ar-anta a 1 donde el flujo si-ue siendo su's$nico en todos lados ece%to en la -ar-anta. El flujo es %+/&$%G %ero a9ora@ Pt M PC &t M &C El flujo m(sico 9a alcan?ado su ,alor m(imo %osi'le se 9a 'lo;ueado. /orriente a'ajo de la -ar-anta la %resi$n aumentaG ori-inando ;ue la contra%resi$n a la cual la to'era con,er-ente=di,er-ente se 'lo;uea es maor ;ue PCP#.
*a relaci$n de %resiones ;ue ori-ina ;ue el 'lo;ueo ocurra en %rimera instancia en la to'era se denomina %rimera relaci$n de %resi$n cr0tica r%c 1 se calcula@
r%c1
=
P & & sal = G < 1 P# & C & t
1
es decirG encontrando la relaci$n de %resi$n corres%ondiente al ,alor su's$nico de &&C. i la ,(l,ula se a're m(sG como la -ar-anta esta 'lo;ueada el m no se %uede aumentar las condiciones corriente de'ajo de ella no se %ueden afectar. 5. /aso +G re%resenta el flujo %ara una a'ertura li-eramente maor ;ue KdL. En la %orci$n con,er-ente el flujo se aceleraG alcan?a la ,elocidad s$nica en la -ar-anta se acelera a una ,elocidad su%ers$nica corriente de'ajo de la -ar-anta. *a aceleraci$n su%ers$nica termina en una onda de c9o;ueG lue-o corriente de'ajo de esta onda el flujo e%erimenta una *+#+l+#%/ In-. >aime Flores (nc9e?
156
UNIERI+&+ N&/I
su's$nica sale del conducto con un M#l 1. *a %resi$n de salida contra%resi$n son i-uales. El m e es el mismo ;ue el m d 6. /aso 5G al a'rir la ,(l,ula disminuir la contra%resi$n %ro,oca ;ue la onda de c9o;ue se mue,a corriente a'ajoG el flujo no se ,e afectado al disminuir la contra%resi$n. & medida ;ue la ,(l,ula se a're cada ,e? m(sG se lle,a la onda de c9o;ue 9asta la salida de la to'era. El flujo se acelera %+/&$%#+/&+ desde el tan;ue 9asta la salida. El -as sale de la to'era su%ers$nicamente con un sal corres%ondiente a la relaci$n de (reas de la salida con la de -ar-anta. *a P s se determina solamente %or la %resi$n de remanso P#1 el sal es diferente de la contra%resi$n. El flujo se acelera %+/&$%#+/&+ %or todo el caminoG desde el tan;ue 9asta la onda de c9o;ue a la salida. 7. /aso G eactamente a la salidaG la %resi$n salta 9asta la contra%resi$n conforme el fluido sale a tra,s de la onda en ste la %resi$n de salida du%lica su ,alor.
In-. >aime Flores (nc9e?
157
UNIERI+&+ N&/I
!. /aso G al disminuir m(s la contra%resi$n causa ;ue la onda de c9o;ue sal-a de la to'era se con,ierta en multidimensional tri.
&t
P8 M#l
/0 =0 V0
0
P1
P2
M1
M2
•
Psal &sal
P P# 1
a '
PC P# @C9 @69
onda
@B9 Psal P#1
a c' • d e •
1
• - f •• •
j
•
• • • • -
i 9 r%c3
r%c2 r%c1 1 P P 8 #
cd ...... r %c1 e f - ...... r%c2 9 i ...... r%c3 j lon-itud
<
m j i 9 -fe d
c
• a
1
r%c1
". /aso %G la %resi$n de salida alcan?a la contra%resi$nG no 9a ajuste de %resi$n en el -as ;ue sale. In-. >aime Flores (nc9e?
'
• • • • •• • •
15!
•
UNIERI+&+ N&/I
1#. /aso ,G se alcan?a al disminuir m(s la %resi$nG lo ;ue re;uiere ajustes de %resi$n eternos de e%ansi$nG %ero no afecta al flujo. En resumen en una to'era con,er-ente=di,er-ente 9a 4 re-0menes de flujo@
• R:IEN EN)URI casos a = d .= El flujo en todos lados es su's$nico e isoentr$%icoG aceler(ndose en la %orci$n con,er-ente se desacelera en la di,er-ente. El ma Pmin ocurren en la -ar-anta.
• R:IEN +E /`
r%c1
=
P & & sal = G < 1 P# & C & t P
P
r%c2 M P12 sal P# sal ......2
cuando 9a onda de c9o;ue en la
salida.
P +onde@ 2 P1
es funci$n de la relaci$n de %resiones est(ticas de la onda de
c9o;ueG entonces@ sal M &&C M &sal&t. In-. >aime Flores (nc9e?
15"
UNIERI+&+ N&/I
R%c3 M
P
&
P# & C
In-. >aime Flores (nc9e?
=
& sal &t
G > 1......3
16#
/&PI)U*< III
F*U>< EN +U/)< +E E//I
.1
FLUJOS E N DU CTOS DE SE CCI"N CO NSTANTE CO N FRICCI"N
En el flujo com%resi'le la fricci$n no se %uede calcular con la ecuaci$n de +arc= eis'ac9G sta a%arece e%l0citamente en la ecuaci$n de cantidad de mo,imiento. &l em%lear la ecuaci$n de ener-0aG se de'e 9acer una su%osici$n e%l0cita acerca del tra'ajo calor. *a transferencia de tra'ajo se KconcentraL en tur'inas com%resores no ocurre en tramos lar-os de ductos. i el ducto es ra?ona'lemente cortoG se su%one flujo adia'(tico. El flujo isotrmico ocurre en tu'er0as lar-as e%uestas a una tem%eratura am'iente constanteG ejem%lo las l0neas de trans%orte su'terr(neo de -as naturalG el cual des%us de ,iajar unos cientos de metros a lo lar-o de la tu'er0a alcan?a la tem%eratura de los alrededores %ara mantener constante la tem%eratura se transfiere calor 9acia el -as o desde l.
.1.1 ECUACIONES <8SI CAS PARA FLUJO ADIA<8TICO
&%licaremos las ecuaciones '(sicas %ara flujo uniforme esta'le a un -as idealG con calores es%ec0ficos constantesG en un ,olumen de control finito fi-ura@
1.c. P1 )1 ρ1
P2 )2 ρ2
R
1
= >
2 (1)
(2)
Por continuidad %ara flujo esta'le uniforme en cada secci$n@ %11
= %22 = : → : =
m &
a
Por ecuaci$n de momento@ R
+ %1 & − % 2 & = 1 ( −
R
+ %1& − % 2 & = m 2 − m 1
+ 2 ( % 2 2 &
%1 1 &
'
R M fuer?a de fricci$n de la %ared del ducto so're el flujo. Por %rimera le de la termodin(mica@ e = u +
2
c
2
*ue-o@
# = U1 +
2
1
2
2
91 +
1
2
= 92 +
+ %11 −
( %) &
2
1
1
2 + U 2 + 2 + %22 − 2
( )
% 2 2 &
2
d
2
/on la se-unda le de la termodin(mica@ s2
− s1 = /%.*n )2 − R.*n %2 )1 %1
Por la ecuaci$n de estado@
%
= ρ.R .)
e f
i se conocen las %ro%iedades en el estado1 tendr0amosG en el estado 2 siete inc$-nitas si conocemos las condiciones de estado en 1 tendr0amos en 2 un nJmero infinito de estados %osi'lesG ori-inando un lu-ar -eomtrico de todos estos estados 2 %osi'lesG alcan?a'les desde el estado 1 siendo una cur,a continua ;ue %asa %or el estado 1G llamada L6/+# *+ F#//.
.2
FLUJO FANNO
/onsideraciones@ 1. )odas las condiciones de estado son consecuencia de la fricci$n. 2. iem%re re%resentan un %roceso adia'(tico ) #M#. 3. *a tu'er0a es de secci$n constante. 4. e ,erifica la ecuaci$n de continuidad. 5. El cam'io de entro%0a siem%re es %ositi,o. 6. El fluido se com%orta como -as ideal.
.2.1 L9NEA DE FANNO
Es el lu-ar -eomtrico ;ue ocu%an todos los estados ;ue ,erifican la ecuaci$n de continuidad la de ener-0a. i@
:
=
m
Q
9o
=9+
2
&
=
2 2
:.,
9#
=9+
: , 2
2
Ecuaci$n de la l0nea Fanno
!.1 T M1
G1 e G2
) #
M1
G1 G2
Me1 #>
• En el %unto de m(ima entro%0aG el M 1. • En la rama su%erior de la cur,aG el siem%re es menor ;ue 1 aumenta mon$tonamente conforme nos mo,emos a la derec9a a lo lar-o de cur,aG siendo en la cur,a inferior el maor a 1 disminue el cuando nos mo,emos 9acia la derec9a.
.2.2 ESTADOS DE REFERENCIA PARA FLUJO FANNO
P# disminue %ara todo flujo de la l0nea de F&NN<. T
P02 P02
P01 P01
P0a
T0 C
1 M1 2
Pa
C 2 2/%
Ta M1 2
Me1
1
PaXTaXT0aXVaXCaX aX P0a C L# +l#%/+ 6&%# / b +1
)
!.2
) C = 2 + b − 12 1
2 b +1 = 2 P C 2 + b − 1 P
1
!.3
1
ρ C 1 2 + b − 1 2 2 = = ρ C b + 1
!.4
b +1
2 + b − 1 2 2 b −1 = P# C b +1 P#
f
1
C − +
=
1 1 b
!.5
b + 1 2 b +1 − 1 + ⋅ *n 2 2b 2 + b − 1
!.6
P C − = ⋅ P
s sC R *n
#
!.7
#
Estas relaciones se encuentran ta'uladas en la ta'la G %ara nJmeros de ac9 desde cero a die?.
E/ l# +%/ S'7/%# P01
T
P02
P03
P0a T0 C
1
2
M 1 2/%
T1 T2 T3
2
2 2/%
1
3 2 2/%
2
P1
P2
C 2 2/%
3
P3 Pa Ta M1
1-2
2-3
E/ l# +%/ S'$+/%# T
P02
P01
P0a T0 C
2
2
1 2/%
2 2/%
Pa
C 2 2/%
Ta M1
T2 T1
2 1 Me1
.2.3 LONGITUD M8IMA O LONGITUD CRITICA (L #>X La)
Es a;uella lon-itud de tu'er0a ;ue %ermite alcan?ar a la salida el estado s$nicoG se %uede %artir de un estado su%ers$nico o de un su's$nico. N&# i a la salida el estado es s$nico a-re-amos una lon-itud de tu'er0aG el flujo se reacomoda a-uas arri'aG disminuendo su densidad de esta manera su : en la salida nue,amente es s$nico denomin(ndose a esto +&#/'l#%+/&. M1
M1
*ma1
1 *ma2
*1=2
2
+onde@
*1=2 M *ma2 B *ma1
!.!
R+'+/ *+ +5+& *+ l# P$%+*#*+ +/ +l Fl', FANNO
PR
ρ P
U8
.2.! RELACIONES <8SICAS PARA EL FLUJO FANNO 1
1 2 + b − 1 22 2
ρ2 = ρ1
2 2 + b − 112
)2
2 + b − 112
)1
=
P
)
!."
2 1 =) ⋅P
2
1
!.1#
2 + b − 1 221 1
P2 P1
=
1 2 + b − 112 2
!.11
2 2 + b − 1 22 b +1
P# 2 P#1
= e −[ (
2
−1 ) R ]
=
Perdidas = f * ma +`
1 2 + b − 1 22 2 b −1
2 2 + b − 112
=
1 1 − 1 + b + 1 ⋅ *n b + 112 2 + b − 12 b 12 2b 1
!.12
!.13
/&PI)U*< I
F*U>< EN +U/)< +E E//I
.1
ESTUDIO D EL FLUJO RAYLEIGH
/&R&/)ERT)I/&@ 1. Eiste transferencia de calor calentamiento o enfriamiento. 2. El ducto es de secci$n constante. 3. )odos los cam'ios de estado son consecuencia de la transferencia de calor. 4. El flujo tiene un com%ortamiento semejante al de un -as %erfecto. 5. *os %rocesos internos se consideran re,ersi'les.
.2
L9NEA DE RAYLEIGH
Es el lu-ar -eomtrico de todos los estados ;ue cum%len la ecuaci$n de cantidad de mo,imiento la de continuidad. )
/ondici$n de Estancamiento x1 p1 Z p1
Z =
M1
Z Z =
x1 *0nea de Ralei-9 ma
s
.2.1 PAR8METROS DE REFERENCIA PC# P#
) )#3
)C#
3
P#
)& )<2 )<1
2
P<1
)2 )1
PC 2
1
M1
P2
P1 3
)3
P 3
P P ) ) 1 5I I # I I # I P C P C )# C ) C 1# C P
91
92
93
(-)
([)
*0nea de Ralei-9
)C
El calor no esta en funci$n de la tem%eratura est(ticaG sino de la tem%eratura de estancamientoG es decir@ #
#
".1
Z = m ⋅ /% ⋅ ∆)#
E/ l# @/# '7/%#
)&
)<3 P<3
Me1
2
2&
32
2/ P
2/ P
2/ P
TMA
8 & M1
3 G
.2.2 COMENTARIOS
1. En el flujo Ra lei-9 los esta dos su's$nicos ocu%an el ramal su% erior los su%ers$nicos el ramal inferior. 2. En el flujo su's$nico un calentamiento im%lica #+l+#%/ del flujo un enfriamiento *+#+l+#%/. 3. En el flujo su%ers$nicoG un calentamiento im%lica *+#+l+#%/ un enfriamiento #+l+#%/. 4. *os estados de estancamiento no son constantes %or;ue eiste transferencia de calorG las %ro%iedades ;ue %ermanecen constantes son@ PCG )CG P #CG )#CG ma Zma. 5. El Z ma es un conce%to an(lo-o al de la lon-itud cr0ticaG re%resenta la cantidad de calor m(ima ;ue se %uede a-re-ar a %artir de un estado su's$nico %ara alcan?ar la condici$n s$nica a la salida. 6. No siem%re el calentamiento Z im%lica un aumento de la tem%eratura est(ticaG Qa ;ue %ara los ,alores 1 b < < 1 la tem%eratura est(tica disminue este fen$meno se e%lica %or ;ue el calentamiento 9ace ;ue ) # siem%re se incremente en el tramo 8=& fi-ura anterior la ener-0a cintica se incrementa a costa de la disminuci$n de ) tem%eratura est(tica. 7. `a'indose alcan?ado la condici$n s$nica a %artir de otra su's$nicaG cual;uier calor adicional im%lica un a disminuci$n en la densidad esto esG se %asa a un : menor la salida es s$nica. !. Partiendo de una condici$n su%ers$nica eiste el Z ma ;ue %ermite alcan?ar la condici$n s$nica a la salida. /ual;uier Z adicional ,a a -enerar la %resencia de ondas de c9o;ueG con flujo de salida s$nico. ". & tra,s de una onda de c9o;ue siem%re se %asa de un estado su%ers$nico a un estado su's$nico la onda de c9o;ue se encuentra en el %unto de intersecci$n de la l0nea Fanno con la l0nea Ralei-9.
)
L6/+# F#//
\Se0
L6/+# R#=l+%
s
1#. anteniendo un ,alor constante de : la condici$n su's$nicaG es %osi'le alcan?ar la condici$n su%ers$nica si se instala una to'era con,er-ente= di,er-ente. N&# *a l0nea de Ralei-9 se construe %ara cada ,alor de :.
.3
RELACIONES <8SICAS PARA EL FLUJO RAYLEIGH 1
2
P1
P2
1
2
)1
)2
Ener-0a@
91 +
1
2
+1 ; 2 = 9 2 +
2
9 #1 +1 ; 2
= 9 #2
omentum@
% + ρ 2
:ases ideales@
%
) )C
)(1 + b 5 %
=
I
1+ b
=
2
2
2
= % 2 2 = cte.
%11
= % + : 2 , = cte.
= ρR)
ds =
b +)1(
% C 1 + b52
I
∂; )
)# )# C
=
b + 1 5 2 E 2 + 3b − 145 2 31 + b52 4 2
ρ C 31 + b45 2 ρ 2 1 512 1 + b5 2 2 = = I = = ρ C 1 + b5 2 ρ1 2 5 2 2 1 + b512 )# 2 )#1
=
2
2
2
2
2 1 + b1 2 2 + b − 1 2
[
1 1 + b2 2 2 + b − 11
".2
".3
2
2
".4
]
b
%#2 % #1
)2 )1
2 + b − 1 2 2 b −1 = 2 2 1 + b 2 2 + b − 11 1 + b1
2
2
=
2
2 1 + b1 2 2 1
2 2
1 + b 2
%2 %1
".5
=
1 + b1
2
1 + b 2
2
".6
b
2 + b − 12 b −1 = 2 P# C 1 + b b +1 P#
b +1
2b b −1 2 1 + )# = 3 b 1 b 1 − + )# C isot
".7
".!
2
; ma
=
/%.)1 1 − 1 2
"."
2
21 b + 1
− C =
bR b +1 *n 2 b −1 1 + b 2
b +1 b
".1#
N&#
1. En el flujo su% ers$nico el incre mento de calor im%lica un incremento de la %resi$n est(tica Q de )#G as0 como la disminuci$n de la % #G el . *a ) # siem%re aumenta. 2. Partiendo de la condici$n x1 es %osi'le lo-rar M 1 mediante el denominado #l :>%G cual;uier calor adicional ,a a -enerar un cam'io 'rusco en las %ro%iedades del flujo %rinci%almente de la %resi$nG dic9o cam'io es la
.!
ONDAS DE CHOUE
e denominan as0 a las %ertur'aciones o a las ondas de %resi$n cua intensidad es muc9o maor ;ue una /*# /#. & tra,s de la onda de c9o;ue la %resi$n se incrementa la ,elocidad del flujo disminueG %ero la fuer?a de arrastre se incrementa. *as ondas de c9o;ue %ueden ser@
#. ONDAS DE CHOUE NORMAL
on a;uellas cuo frente de onda es %er%endicular a las %aredes del ductoG s$lo a tra,s de este ti%o de ondas se %asa de una condici$n '$+/%# a otra '7/%#. Es en realidad un cam'io 'rusco en la ma-nitud de las %ro%iedades del flujo. Nota@ )odas las %ro%iedades ;ue se %resentan antes de la ocurrencia de la onda se desi-nan con el '76/*%+ > todas a;uellas %ro%iedades %osteriores a las ondas con el '76/*%+ =.
7. ONDAS DE CHOUE O
on a;uellas ;ue se %resentan al i-ual ;ue el caso anterior en estado su%ers$nico cuando el flujo sufre un cam'io de direcci$n. El flujo su%ers$nico ,ar0a su ,elocidadG %ero continua siendo su%ers$nico. . ONDAS DE CHOUE CONICAS
on a;uellas ;ue se %resentan cuando un flujo es su%ers$nico encuentra en su traectoria al-Jn o'jetoG o cuando el o'jeto tiene ,elocidad su%ers$nica se des%la?a en un medio -aseoso. El ori-en de este ti%o de ondas est( en el 're,e tiem%o ;ue tienen las %art0culas %ara acomodarse a la forma -eomtrica del o'jetoG %roducindose as0 un c9o;ue ,iolento entre las %art0culas entre las %art0culas con el s$lido se les llama tam'in ondas de e%ansi$n c$nica.
.!.1 ONDA DE C HOUE NORMAL
/&R&/)ERI)I/&@ 1. Es un %roceso irre,ersi'le. 2. E adia'(tico ) # M )#. 3. *a secci$n de onda es constante & M &.
4. El ac9 des%us de la onda siem%re es menor ;ue el ac9 antes de la onda x . 5. iem%re se %resenta cuando el flujo es su%ers$nico a tra,s de ella se da de un estado su%ers$nico a un estado su's$nico. 6. e asume un flujo esta'le unidimensional. 7. /um%len con las ecua ciones de continuidadG cantidad de mo,imiento ener-0a. !. & tra,s de una ond a de c9o;ue normal la %resi$n est(tica siem%re se incrementaG asi como su densidad.
". *os %untos de inicio del final de una on da de c9o;ue nor mal se encuentran en la intersecci$n de las l0neas de Fanno de Ralei-9 en el dia-rama )=s. ) P
)< )
P< )Q
)< PQ
Y *0nea Fanno
*0nea Ralei-9
P )
SQ
P ∆s = − R *n # P#
p1
x1 M1
)# = )# P# > P# P > P > > / < / ρ > ρ ∆s > #
p1 Q
.!.2 RELACIONES PARA ONDAS DE CHOUE NORMAL
2
=
2
+
2b b −1
2 b −1
.
2
".11
−1
1
C =
".12
C ) )
2
2
=
2 b +1
".13
)#
2 b −1 b −1 2 2 1 + = 1 + 2 2 b − 1
Intensidadde c9o;ue @ I
=
% = % %
=
2b b −1
2
− 1
".14
".15
Notas@ −
i
% << 1 → los c9o;ues son d'iles ∆ %
⇒
∆% %
= i
⇒
≈
∆% b%
∆% %
∆) )
≈
b − 1 ∆% . b %
".16
es alto → los c9o;ues son fuertes
ρ b +1 ≈ ρ b −1
) )
≈
b −1 % b + 1 %
".17
/on $ se %uede in-resar a las ta'las de flujo Isentr$%icoG FannoG Ralei-9 de
R+'%+/* + &%+/+
FLUJO
/ontinuidad
\0
T 0
FLUJO FANNO
Ec.ener-ia
/antidad de /ontinuidad RAYLEIGH mo,imiento
\e0
T01/ontinuidadT02 ONDA DE CHOUE NORMAL
F.I
Ec. ener-ia
/antidad de F.F mo,imiento
1. En un flujo su's$nico Fanno la %resi$n est(tica la %resi$n de estancamiento siem%re disminuen al i-ual ;ue la tem%eratura est(tica.
2. Eiste la denominada lon-itud m(ima o lon-itud critica ;ue se define como a;uella lon-itud de tu'er0a necesaria a %artir de una secci$n cual;uiera ;ue %ermite alcan?ar a la salida la condici$n s$nica.
3. El cam'io de entro%0a ;ue im%lica un cam'io de estado es funci$n del aca'ado su%erficial del ducto un ducto mu ru-oso re;uiere menor lon-itud. 4. En el flujo Fan no su's$nico o su%e rs$nico se de'e de tene r en cuenta los si-uientes %ar(metros de referencia@ %ermanecen constantes ) #G )CG %CG % #C *ma. 5. i %artiendo de una condici$n su's$nica se lo-ra alcan?ar la condici$n s$nica a la salidaG cual;uier incremento de lon-itud -enera@ a. Una disminuci$n en el flujo de masaG como consecuencia de la disminuci$n de la densidad como cum%le la ecuaci$n de continuidad no se alcan?a la condici$n su%ers$nica a la salidaG se %resenta un reacomodo molecular a-uas arri'a con la intenci$n de cum%lir@ ∆s > # consecuencia de la fricci$n. '. *a disminuci$n del flujo m(sico im%lica la disminuci$n del :G el flujo a la salida nue,amente es s$nico la %resi$n cr0tica a disminuido. +ic9a caracter0stica se a%lica en los sellos la'er0nticos %ara e,itar fu-as de ,a%or.
• i se alcan?a el estado s$nico se adiciona una lon-itud de tu'er0a el flujo sufre un estran-ulamiento el , aumenta lue-o el m disminue al i-ual ;ue el :. T T0 P!a 1
P;a
Pa
2 3 ! G1
G2
;
G3
6. i el flujo es inic ialmente su%ers$nico se alcan?a la condici$n s$nica a la salidaG cual;uier lon-itud ;ue se adicione -enera una onda de c9o;ue normalG %as(ndose del estado su%ers$nico al su's$nicoG siendo a la salida nue,amente s$nico. 7. & tra,s de una onda de c9o;ue normal la ,elocidad disminue su densidad se incrementa como consecuencia de ello la fuer?a de arrastre se incrementa. !. En un flujo su%ers$nico Ralei-9 el incremento de calor im%lica un aumento de la %resi$n est(tica de la tem%eratura de estancamiento con disminuci$n de la %resi$n de estancamientoG el ac9 la ,elocidad la tem%eratura de estancamiento siem%re aumenta. ". %artiendo de la condici$n su%ers$nica es %osi'le lo-rar la condici$n s$nica mediante el denominado /alor (imo cual;uier calor adicional ,a a -enerar un cam'io 'rusco en las %ro%iedades del flujo %rinci%almente la %resi$n. +ic9o cam'io es la onda de c9o;ue normalG el flujo alcan?a a la salida la condici$n s$nica nue,amente.
/&PI)U*<
IN)R<+U//I^N & *& &ER<+IN&I/&
10.1. DEFINICI"N Es la rama de la mec(nica de fluidos ;ue se ocu%a del mo,imiento del aire otros fluidos -aseososG de las fuer?as ;ue actJan so're los cuer%os ;ue se mue,en en dic9os fluidos. /oncretamente forma %arte de la 9idrodin(micaG la ;ue en su momento se di,idi$ en una %arte dedicada a los fluidos l0;uidos la otra a los fluidos -aseososG %or lo ;ue se transform$ en fluidodin(micaG ra?$n %or la cual muc9os de los %rinci%iosG lees teoremas ;ue inicialmente fueron enunciados %ara la 9idrodin(micaG son ado%tados %or la aerodin(mica como el caso del teorema de 8ernoulliG NJmero de RenoldsG etc. +esde el %unto de ,ista del %rocedimientoG metodolo-0a elementos utili?ados %ara su estudioG la aerodin(mica %uede di,idirse en@ anal0ticaG descri%ti,a e%erimental. 10.1.1 ANAL9TICA /onsiste en ;ue todos los estudios est(n 'asados en demostraciones matem(ticas. 10.1.2 DESCRIPTIVA
e 'asa en la demostraci$n %r(ctica de los resultados o'tenidos anal0ticamente. 10.1.3 EPERIMENTAL
/onsiste en reali?ar ensaos en tJneles aerodin(micosG demostrando o no los resultados o'tenidos anteriormente. e deduce ;ue el tJnel aerodin(mico tJnel de ,iento es un im%ortante elemento %ara los diferentes ensaos a los ;ue de'en someterse una aerona,eG a ;ue %ermite o'tener resultados similares a los ;ue se o'tendr0a directamente en ,uelo sin los consi-uientes ries-os. *a aerodin(mica tam'in %uede definirse en aerodin(mica de alta de 'ajaG tam'in llamadas su' su%ers$nicas. )al es la diferencia entre estas 2 aerodin(micasG ;ue %roducen distintos conce%tos matem(ticosG diferentes e%resiones matem(ticas del mismo teoremaG utili?aci$n de distintas formas de %erfiles alaresG distintos re;uisitos de esta'ilidadG etc...
*a di,isi$n de estas 2 aerodin(micas est( dada %or la ,elocidad del sonidoG ;ue en la atm$sfera standard al ni,el del mar e;ui,ale a@ 66# bt a%ro. 34# ms o 1224 bm9. i 'ien el l0mite entre la 'aja la alta ,elocidad est( dada %or la ,elocidad del sonidoG em%ie?an a e,idenciarse cam'ios en el com%ortamiento de la aerona,e a ,alores inferiores a dic9a ,elocidadG finali?ando a ,alores su%eriores. Esto da lu-ar a una aerodin(mica trans$nica ;ue en trminos -enerales comien?a o a'arca un ran-o com%rendido entre .!5 1.2 de la ,elocidad del sonido. /uando en cual;uier %arte de la aerona,e se alcan?a la ,elocidad del sonido sin la necesidad de ;ue se est ,olando a dic9a ,elocidadG se dice ;ue se 9a alcan?ado el ac9 cr0tico. +esde el %unto de ,ista del diseHo aerodin(mico las aerona,es destinadas a ,uelos a ,elocidad su's$nica tienen como l0mite m(imo el ,alor corres%ondiente al mac9 cr0tico.
10.2. POR UE VUELA UN AVI"N Un a,i$n es un a%arato m(s %esado ;ue el aire sin em'ar-o se ele,a. Para ;ue esto suceda de'en ejercerse so're el mismo diferentes fuer?as. Estas fuer?as son ejercidas so're las alas de los a,iones. *as alas tienen un diseHo aerodin(mico ;ue 9acen ;ue 9aa una diferencia de fuer?as entre la %arte inferior la %arte su%erior de las mismas. Esto determina la llamada sustentaci$n. ista en un corte trans,ersalG ,emos como se com%orta el ,iento ;ue so're ellas %asan@
Un ala „o %lano aerodin(mico„ est( diseHada de forma ;ue el aire flua m(s r(%idamente so're la su%erficie su%erior ;ue so're la inferiorG lo ;ue %ro,oca una disminuci$n de %resi$n en la su%erficie de arri'a con res%ecto a la de a'ajo. Esta diferencia de %resiones %ro%orciona la fuer?a de sustentaci$n ;ue mantiene el a,i$n en ,uelo. & este fen$meno se lo conoce como Princi%io de 8ernoulli. *a diferencia de %resi$n %roduce la fuer?a neta de sustentaci$n
10.3. U ES LA SUSTENTACION *a fuer?a del ,iento en el ala %rinci%al de un a,i$n se %uede %ensar ;ue esta di,idida en dos %artes@ un com%onente ;ue em%uja el a,i$n 9acia arri'a un com%onente ;ue em%uja el a,i$n %ara atr(s. *a fuer?a ascendenteG la fuer?a de sustentaci$n o ele,aci$nG es lo ;ue mantiene el a,i$n en el aire. *a fuer?a lateral ;ue disminue la ,elocidad del a,i$n es lo ;ue se llama resistencia aerodin(mica. En realidadG el %iloto %uede cam'iar la fuer?a de sustentaci$n@ necesita muc9a sustentaci$n durante el des%e-ue %ara acelerar el a,i$n 9acia arri'aG menos sustentaci$n durante el crucero s$lo se necesita su%erar el %eso del a,i$n. &ntes de em%e?ar con la causas de sustentaci$nG es una 'uena idea definir al-unas %artes del ala@ <*+ *+ #&#K'+ la %arte del ala ;ue ,e %rimero al aire mira 9acia la direcci$n de mo,imiento <*+ *+ #l%*# el 'orde trasero de un ala o 'orde de fu-a
L6/+# *+ '+*# la l0nea uniendo el 'orde de ata;ue el 'orde de salida. A/'l *+ #&#K'+ el (n-ulo entre la l0nea de cuerda el ,iento ;ue ,iene de
frente.
/uando el aire flue so're la su%erficie su%erior del ala del a,i$nG necesita tomar una forma cur,a. Para 9acer estoG la %resi$n ;ue -enera el ,iento relati,o ;ue %asa %or encima de la su%erficie alar es li-eramente menor ;ue la %resi$n ;ue %asa %or de'ajo de la misma. En consecuencia esta diferencia de %resiones -enera la sustentaci$n. /uando la cur,atura so're la %arte su%erior del ala se 9ace m(s -rande de'ido a la rotaci$n de la nari? del a,i$n 9acia arri'aG 9a una %resi$n diferencial m(s -rande %or lo tanto una maor fuer?a de sustentaci$n. in em'ar-oG si la cur,atura se 9ace demasiado -randeG el flujo se se%ara del ala termina con una %rdida de sustentaci$n. /on esta %rdidaG 9a un cam'io dr(stico en la cur,atura el flujo %r(cticamente no se cur,a %ara se-uir al ala %or lo tanto la sustentaci$n es muc9o menor. *a %rdida de sustentaci$n -eneralmente le causa al %iloto %erder un %oco del control del a,i$n 9asta ;ue disminue el (n-ulo de ata;ue recu%era la maor %arte de la sustentaci$n todos los a,iones tienen sirenas ;ue suenan cuando las alas %ierden la sustentaci$nG lo ;ue se denomina comJnmente entrar en %rdida. Prdida de sustentaci$n@ un (n-ulo de ata;ue demasiado alto reduce la sustentaci$n la cur,atura.
10.! APLICACIONES
DE
LA AERODIN8MICA
CON
RESPECTO A LA MEC8NICA DE FLUIDOS &nali?a el com%ortamiento traectoria de las l0neas de corriente al ser interce%tadas %or un cuer%o. )am'in anali?a la ,ariaci$n de los %rinci%ales %ar(metros de dic9a masa fluidaG relacionados con la aerodin(micaG tales como@ ,ariaci$n de la traectoria de las l0neas de corrienteG de su ,elocidadG fricci$nG etc. Una de las conclusiones m(s im%ortantes %ara la aerodin(mica desde el %unto de ,ista de la o%eraci$n de la aerona,e es el com%ortamiento del %erfil aerodin(mico ante ,ariaciones de su actitud o %osici$n dentro de dic9a masa fluida en consecuencia su influencia en las fuer?as aerodin(micas * +. En los inicios del an(lisis del com%ortamiento de las l0neas de corrienteG se recurri$ a la 9idrodin(mica teniendo en cuenta la maor facilidad %ara la ,isuali?aci$n de dic9as l0neas en se-undo lu-ar a la ,alide? de los resultadosG osea ;ue %odr0an ser a%licados %ara la aerodin(mica. Podemos considerar ;ue una masa fluida est( constituida %or una serie de l0neas de corriente ;ue se mue,en en conjunto con dic9a masa ;ue entre ellas eiste una cierta 9omo-eneidad en sus %ar(metros como %or ejem%lo@ tem%eraturaG ,elocidadG traectoriaG etc...
10.!.1 FUERZAS Y MOMENTOS UE ACTfAN SO
Un a,i$n es un cuer%o tridimensional ;ue se mue,e en el es%acio alrededor de sus 3 ejes ;ue son@ *on-itudinal M )rans,ersal $ *ateral M Q ertical M D
E>E *E ER)I/&* M D Es una l0nea ,ertical ima-inaria ;ue atra,iesa el centro del a,i$n. *a rotaci$n en torno al eje ,ertical se denomina -uiHada se controla mediante el tim$n de direcci$n. E>E *&)ER&* ^ )R&NER&* M Q Es una l0nea ima-inaria desde la %unta de un ala 9asta la otra. El mo,imiento en torno al eje lateral se denomina ca'eceo se controla con el tim$n de %rofundidad. Fuer?as ;ue actJan so're la aerona,e@ = Peso = *e,antamiento = Resistencia al a,ance = )racci$n o Em%uje
*as fuer?as en o%osici$n se e;uili'ran mutuamente en el ,uelo esta'leG ;ue inclue el ,uelo en l0nea recta ni,elado as0 como el ascenso o el descenso esta'les a una ,elocidad constante. e %uede asumir ;ue las cuatro fuer?as actJan en un %unto Jnico denominado centro de -ra,edad /:.
10.!.1.1 PESO (`)
Una de las cuatro fuer?as '(sicas ;ue actJan so're un a,i$n en ,uelo. *a sustentaci$n es la fuer?a o%uesta al %eso m(s eactamenteG la suma de todas las fuer?as 9acia a'ajo ;ue actJa siem%re en direcci$n al centro de la )ierraG esto es ;ue la redonde? de la tierra el %eso de un cuer%o se considera ,ertical. En la maor0a de los c(lculosG los in-enieros aeron(uticos %arten del su%uesto de ;ue todo el %eso del a,i$n se concentra en un %unto denominado centro de -ra,edad. En la %r(cticaG se %uede entender ;ue el %eso actJa so're una l0nea situada entre el centro de -ra,edad del a,i$n el centro de la tierra. En %rinci%ioG se %uede %ensar ;ue el %eso s$lo cam'ia a medida ;ue se consume el com'usti'le. +e 9ec9oG a medida ;ue un a,i$n manio'raG e%erimenta ,ariaciones en el factor de car-a o fuer?as :G ;ue cam'ia la car-a ;ue so%ortan las alas. Por ejem%loG un a,i$n ;ue reali?a un ,iraje de ni,el con un ladeo de 6# -rados e%erimenta un factor de car-a de 2.
i este a,i$n %esa 2.### l' "#7 - en estado de re%oso en tierraG su %eso efecti,o se con,ierte en 4.### l' 1.!14 - durante el ,iraje. Para conser,ar el e;uili'rio entre la sustentaci$n el %eso en las manio'rasG de'e ajustar el (n-ulo de ata;ue. +urante un ,iraje lateral cerradoG %or ejem%loG de'e le,antar el morro li-eramente aumentar el (n-ulo de ata;ue %ara -enerar maor sustentaci$n as0 e;uili'rar el aumento de %eso. 10.!.1.2 LEVANTAMIENTO " SUSTENTACI"N (L)
*a sustentaci$n es la fuer?a ;ue 9ace ,olar a un aero%lano. *a maor %arte de la sustentaci$n de un aero%lano %rocede de sus alas. *a sustentaci$n ;ue crea un ala se controla mediante el ajuste de la ,elocidad aerodin(mica el (n-ulo de ata;ue &+&G es decirG el (n-ulo en ;ue el ala se encuentra con el ,iento de frente. En -eneralG a medida ;ue aumenta la ,elocidad aerodin(mica o el (n-ulo de ata;ue de un a,i$nG se incrementa la sustentaci$n -enerada %or las alas. & medida ;ue aumenta la ,elocidad del a,i$nG de'e reducir el (n-ulo de ata;ue 'ajar el morro li-eramente %ara mantener una altitud constante. & medida ;ue disminue la ,elocidadG de'e aumentar el (n-ulo de ata;ue su'ir el morro li-eramente %ara -enerar maor sustentaci$n mantener la altitud. Recuerde ;ueG incluso en un ascenso o descensoG la sustentaci$n se i-uala al %eso. El 0ndice de ascenso o descenso de un a,i$n est( relacionado %rinci%almente con el em%uje -enerado %or sus motoresG no %or la sustentaci$n -enerada %or las alas
10.!.1.3 RESISTENCIA O RESISTENCIA AL AVANCE (D)
*os a,iones se ,en afectados %or dos ti%os de resistencia ;ue son @ Par(sita e Inducida. #. R+%&+/%# P# :%&#
*a resistencia %ar(sita es la fricci$n entre el aire la estructura de un a,i$n como son@ tren de aterri?ajeG su%erficieG antenas dem(s a%ndices. Es una resistencia al mo,imiento en el aireG com%uesta %or la resistencia de forma de'ido al tren de aterri?ajeG las antenas de radioG la forma de las alasG etc.G %or el ro?amiento o fricci$n su%erficial la interferencia de la corriente de aire entre los com%onentes del a,i$n como %or ejem%loG la uni$n de las alas con el fuselaje o del fuselaje con la cola. *a resistencia %ar(sita aumenta de manera %ro%orcional al cuadrado de la ,elocidad del a,i$n. i se do'la la ,elocidadG se cuadru%lica la resistencia %ar(sita 7. R+%&+/%# I/*'%*#
*a resistencia inducida es una consecuencia de la sustentaci$nG ;ue se -enera %or el des%la?amiento del aire desde el (rea de alta %resi$n situada 'ajo un alaG 9acia el (rea de 'aja %resi$n situada so're ella. /uando el aire de alta %resi$n de'ajo del ala o rotor se arremolina en torno al etremo del (rea de 'aja %resi$n situada encima de estos elementos se crean ,$rticesG ;ue tienen %or efecto a'sor'er la ener-0a del a,i$n. Esta ener-0a %erdida es la resistencia inducida se incrementa a medida ;ue disminue la ,elocidad aerodin(mica. Este efecto es m(s %ronunciado en ,elocidades aerodin(micas 'ajasG donde es necesario un (n-ulo de ata;ue alto %ara -enerar sustentaci$n suficiente e;uili'rar el %eso. *a resistencia inducida ,ar0a de forma in,ersamente %ro%orcional al cuadrado de la ,elocidad.
i reduce la ,elocidad aerodin(mica a la mitadG la resistencia inducida aumenta cuatro ,eces.
10.!.1.! TRACCI"N O EMPUJE (T)
El em%uje ;ue %ro%orciona el motor de un a,i$n lo im%ulsa a tra,s del aire. El em%uje se o%one a la resistencia en un ,uelo esta'le am'as fuer?as son i-uales. i se aumenta el em%uje se conser,a la altitudG el %rimero su%era de forma moment(nea la resistencia el a,i$n acelera. in em'ar-oG la resistencia tam'in aumenta %ronto se e;uili'ra con el em%ujeG el a,i$n deja de acelerar continJa el ,uelo esta'le con una ,elocidad aerodin(mica su%erior %ero constante. El em%uje tam'in es el factor m(s im%ortante a la 9ora de determinar la %osi'ilidad de ascenso del a,i$n. +e 9ec9oG la ,elocidad de ascenso o ascensional m(ima de un a,i$n no est( relacionada con la fuer?a de sustentaci$n ;ue -eneran las alasG sino con la %otencia dis%oni'le des%us de la necesaria %ara mantener el ,uelo ni,elado.
10.!.2
INTERACCI"N DE LAS FUERZAS.
En un ,ueloG las fuer?as %ermanecen e;uili'radasG %or ejem%lo %odr0a %ensarse ;ue en un ascenso la sustentaci$n su%era al %eso %ero no es as0G estos %ermanecen e;uili'rados el ascenso se reali?a le,antando el morroG de%endiendo de la %otencia del motor el 0ndice de ascenso. &l-o similar ocurre con los descensos. i se le da mas %otencia al motor se rom%er( el e;uili'rio entre tracci$n resistencia moment(neamente de esta forma la na,e aumentara su ,elocidad en %ro%orci$n a esta aumentara el ro?amiento con el aire resistencia 9asta ;ue se e;uili'ren las fuer?as nue,amente. i se ,uela recto ni,elado se li'eran los mandosG al dar -as se ,era %rimero un aumento de ,elocidad lue-o el morro se le,anta %ara finalmente alcan?ar
la ,elocidad ;ue ori-inalmente tenia el a%arato %ero con un incremento en la altura. i se reduce el -as se descender(. Es un error %ensar ;ue el %eso solamente disminue se-Jn se consuma com'usti'leG en el ,ueloG 'ajo ciertas circunstancias este aumentara. *a -ra,edad es una fuer?a ;ue nos atrae 9acia la su%erficie terrestre %ro,ocando una aceleraci$n constante de "G! ms2 en realidad no es constanteG ,aria con la altura la %osici$n %ero %ara las altitudes ;ue se utili?an en aeron(utica la diferencia es des%recia'leG a esta fuer?a se la conoce como K:L.Para ;uienes estamos en la su%erficie la : es constanteG %ero dentro de una aerona,e no siem%re lo es. /uando se reali?a un ,iraje cerradoG la na,e todo dentro de ella se ,era sometido a la acci$n de una fuer?a centr0fu-aG fuer?a ;ue tiende a alejar del eje a los cuer%os ;ue -iren en torno a el esta los Ka%lastaraLcontra el %iso de la aerona,e o de%ende la manio'raG los des%e-ara.
*a relaci$n entre la aceleraci$n dic9a fuer?a la -ra,edad es el coeficiente de car-a se mide en cantidades de K:L %ueden ser %ositi,as o ne-ati,as se-Jn tiendan a em%ujarnos contra el %iso o a des%e-ue del mismo. Por ejem%loG si un a,i$n ;ue %arado en tierra %esa'a 1###-. inicia un ,iraje con un ladeo de 6#• e%erimentara una fuer?a de 2: mientras dure esa manio'ra su %eso e;ui,aldr( a 2###-G como no desea %erder altura de'er( ele,ar el morro %ara com%ensar con sustentaci$n este incremento. Es f(cil intuir ;ue estas fuer?as de'en ser consideradas antes de cada manio'ra. En %rinci%io %or moti,os tcnicosG %uesto ;ue se ele,a la car-a so're las alas las solicitudes en la estructura del a%arato. )odas las
aerona,es est(n diseHadas %ara so%ortar una cantidad m(ima de K:L menores en los a,iones de -ran %orte 9elic$%terosG maores en %e;ueHos a,iones acro'(ticos o interce%tores ca?as militares. Este es un limite su%era'leG siem%re se %ueden diseHar estructuras ;ue so%orten esas solicitudes sin %ro'lemas el ,erdadero limite es el 9umano. *a irri-aci$n san-u0nea se ,e afectada %or las K:L ante un fuerte incremento %ositi,o fuerte atracci$n 9acia el suelo como cual;uier li;uidoG ir( 9acia el fondoG es decir aumentara el flujo 9acia las %iernas en detrimento del flujo 9acia la ca'e?a con la consecuente disminuci$n de irri-aci$n cere'ral. Esta demostrado ;ue una aceleraci$n de 7: causa ,isi$n de tJnel %erdida de ,isi$n %erifrica con ": se %ierde el conocimiento desmao. &l disminuir las K:L la irri-aci$n se recu%era todo se normali?aG si se sostiene la situaci$n en el tiem%o %uede tener consecuencias En la actualidadG esto se trata de mejorarG con la utili?aci$n de trajes es%eciales una mejor %osici$n del %iloto mas reclinado como en el F16 F&*/
10.!.2.1 CENTRO DE GRAVEDAD.
&un;ue en realidad el %eso se distri'ue en todo el ,olumen de un cuer%oG %ara fines de calculoG estimaciones estudio se lo considera como una fuer?a a%licada so're un %unto determinado Fi-ura 1#.! del cuer%o de no 9acerlo as0 9a'r0a ;ue 9acer c(lculos %unto %or %unto lo ;ue resultar0a com%licadoG tedioso casi im%osi'leG este %unto es conocido como /entro de :ra,edad.
o're este %unto se considera ;ue actJan todas las fuer?as ;ue tienen relaci$n con dic9o cuer%o tracci$nG resistenciaG %esoG etc en el se interce%tan todos los ejes de rotaci$n es adem(s es un %unto de e;uili'rioG ,ale decir ;ue si el cuer%o se col-ara de dic9o %unto %ermanecer0a en e;uili'rio. u %osici$n se determina com%oniendo rotando los di,ersos %esos ;ue forman %arte del cuer%o antedic9oG %or lo ;ue se deduce f(cilmente ;ue se-Jn ,ar0en los %esos ,ariar( su %osici$n. *a %osici$n del centro de -ra,edad es determinante %ara la esta'ilidad del cuer%o e intentaremos e%licar %or;u. eamos ;ue %asa con dos cuer%os de i-ual material e i-ual anc9o %ero con distinta altura lo ;ue ele,a su centro de -ra,edad al inclinarse los dos de i-ual formaG como se ,e en la fi-ura.
En el m(s 'ajoG la recta de acci$n del %eso recta ;ue contiene la fuer?a %eso se mantiene dentro de la 'ase del cuer%oG recu%erar( su %osici$n ori-inal mientras ;ue en el mas alto dic9a recta cae fuera de la 'ase lo ;ue %ro,ocar( la ca0da del cuer%o. i %or al-Jn medio se lo-rase 'ajar el /entro de :ra,edad a-re-ando %eso en su %arte inferior lle,arlo a la altura del mas 'ajoG los dos tendr(n el mismo com%ortamientoG inde%endientemente de la altura. Esto es lo ;ue sucede cuando se car-a el %ortae;ui%aje en el tec9o de un autom$,il es %or eso ;ue se aconseja no a'usar del mismo a ;ue im%lica una -ran %erdida en la esta'ilidad del ,e90culoG mas el ries-o de des%rendimiento de la car-a. 8ajo este conce%to se reali?an la maor0a de los c(lculos en mec(nicaG %or ejem%loG a%licado a una %alancaG conociendo los 'ra?os una fuer?a se %odr( calcular la otra.
El fa'ricante %re, en el diseHo un ran-o de des%la?amiento del /entro de :ra,edadG de'iendo el %iloto cuidar ;ue el mismo no se eceda.
10.!.3
EJES DE VUELO.
En todas las aerona,es encontraremos tres ejes ;ue se cortan en el centro de -ra,edadG so're los cuales ella rotaraG ellos sonG eje lon-itudinalG eje trans,ersal eje ,ertical
E,+ l/%&'*%/#l so're este eje la na,e rotara %or acci$n de los alerones
u'icados en los etremos de las alas. Un ala se ele,ar( mientras lo otra descender(G este mo,imiento se lo conoce como ala'eo. E,+ T#/+#l so're este eje se %roduce el ca'eceo del a,i$nG %or
acci$n del tim$n de %rofundidad ele,ara o 'ajara el morro o nari? de la na,e. E,+ +&%#l El mo,imiento so're este eje es controlado %or el tim$n de direcci$n %ro,oca la rotaci$n de la na,e a derec9a o i?;uierda so're el %lano 9ori?ontalG a este mo,imiento se lo llama -uiHada.
10.!.!
ESTA
8(sicamente la esta'ilidad nos da una idea de c$mo se com%ortar( un cuer%o al ser afectado %or una fuer?a. +e acuerdo a este com%ortamiento %odemos tratarlas como esta'ilidad %ositi,aG cuando tiende a retomar un ,uelo esta'le tras el cam'io de una fuer?a. i en cam'io tras la acci$n de una fuer?a el a%arato ado%ta una nue,a %osici$n se mantiene en ellaG su esta'ilidad es neutra. En cam'io si se des,0a de su %osici$n ori-inal el ,uelo ser( inesta'le o de esta'ilidad ne-ati,a. En -eneral todas las aerona,es se las diseHa %ara tener esta'ilidad %ositi,aG la ece%ci$n son los ca?as militares de ultima -eneraci$nG con tecnolo-0a F*Q 8Q IRE ,uelo %or ca'lesG a estos se los diseHa inesta'les a fin de no %oder antici%ar el com%ortamiento en com'ate areo. En este caso la esta'ilidad esta dada %or las com%utadoras de a'ordoG las ;ue res%onden a las ordenes del %iloto %ero controlan esta'ili?an la na,e tras las manio'ras. *a esta'ilidad tam'in se la %uede tratar como est(tica din(micaG la %rimera es la tendencia a ,ol,er a la %osici$n inicial la se-unda a la amorti-uaci$n de las oscilaciones. /omo se trat$ anteriormenteG la %osici$n del centro de -ra,edad es ,ital %ara la esta'ilidad en lo ;ue al control de ca'eceo se refiere. i el centro de -ra,edad se des%la?a 9acia atr(s el a,i$n tiende a ele,ar el morroG si el des%la?amiento es ecesi,o ser( im%osi'le controlarlo. Por el contrario si se des%la?a 9acia delante en forma ecesi,a se %ondr( %esado el morro 'ajara dificult(ndose el endere?amiento. e de'er( distri'uir los %esos de tal forma ;ue los l0mites %ara el des%la?amiento del centro de -ra,edad no se su%eren. Para ase-urar la esta'ilidad a los a,iones adem(s de las alas se les instala un conjunto de alas mas %e;ueHas en la cola em%enaje de cola formada %or un %lano ,ertical o esta'ili?ador ,ertical el %lano 9ori?ontal o esta'ili?ador 9ori?ontal.
*as alas funcionan correctamente cuando ,uelan en forma uniforme en l0nea recta recto ni,eladoG %ara lo-rar esto el centro de sustentaci$n %unto en el cual se considera se a%lica la fuer?a de sustentaci$n de'e u'icarse detr(s del centro de -ra,edadG a;u0 ocurre un efecto de ,eletaG %or el cual las alas tienden a u'icarse am'as frente al ,iento %ro,ocando la rotaci$n del a,i$n so're su eje ,ertical -uiHadaG %ara controlar estoG en el em%enaje de cola se instala un %lano ,ertical conocido como deri,a o esta'ili?ador ,ertical. *a sustentaci$nG al actuar detr(s del centro de -ra,edad %ro,ocar( la rotaci$n so're el eje trans,ersalG ele,ando la cola 'ajando el morro ca'eceo %ara com%ensar esto se instalan dos %lanos 9ori?ontales en la cola esta'ili?ador 9ori?ontal encar-ados de o'tener la fuer?a %ara com%ensar el ca'eceo.
10.!.;
ELEMENTOS DE CONTROL DE VUELO A. FLAPS
*os fla%s tienen como fin cam'iar la su%erficie la cur,atura alar aumentando as0 la sustentaci$n a 'aja ,elocidad. on su%erficies secundarias %uesto ;ue ellos no sir,en %ara reali?ar manio'rasG solo incrementan la sustentaci$n. e des%lie-an %or detr(s %or de'ajo del 'orde de fu-a aumentando la sustentaci$n la resistenciaG ,ale aclarar ;ue no son frenos solamente se los des%lie-a cuando se tiene una ,elocidad inferior a la o%erati,a de los mismosG en caso contrario %odr0an sufrir daHos. /omo se dijo los fla%s aumentan la sustentaci$n la resistenciaG normalmente entre #• 2#• crece en maor medida la sustentaci$n
menos la resistenciaG mientras ;ue %or so're los 2#• el incremento es maor en lo ;ue a la resistencia se refiere. Por esto en los des%e-ues suelen des%le-arse entre 5• 15•G lo ;ue %ermite disminuir la distancia de des%e-ueG %ara retraerlos al alcan?ar la altitud de se-uridad.
Un 8=737 de &erol0neas &r-entinas con sus fla%s s%oiler com%letamente des%le-ados.
En contra%osici$n el mismo a,i$n con fla%s s%oiler com%letamente retra0dos.
&l etender o retraer los fla%s de'e tenerse en cuenta el cam'io en la actitud ca'eceoG a ;ue 9a'r( una tendencia a su'ir o 'ajar la %roa res%ecti,amenteG es decirG al etenderlos el a,i$n le,antara el morro de'indose com%ensar em%ujando el 'ast$n de mandos %ara mantener el 9ori?onte lue-o des%us accionar el mando de centrado %ara disminuir la %resi$nG al retraerlos el caso es el o%uesto. Eisten ,arios ti%os de fla%s@ Fl#$ %$l+ montados so're 'isa-rasG el 'orde de fu-a sim%lemente
%i,ota 9acia a'ajoG son los mas comunes en a,iones de %e;ueHo %orte. Fl#$ *+ %/&#* cuel-an en el 'orde de fu-aG %ero la su%erficie su%erior
no ,aria. Fl#$ #/'#* Funcionan i-ual ;ue los sim%lesG %ero tienen una ranura
entre el ala el fla%G %ermitiendo ;ue %ase el aire del intrad$s a la su%erficie su%erior del fla% lo-rando un incremento im%ortante en la sustentaci$nG es%ecialmente a 'ajas ,elocidades. Fl#$ *+ +>&+/%/ F_l+ on los mas com%lejos eficacesG -eneralmente usados en reactores comerciales. e des%la?an 9acia atr(s 9acia a'ajo aumentando la su%erficie la cur,atura alarG en ,uelo crucero est(n com%letamente %le-ados escamoteados en el ala.
<. ESTA
/omo se dijoG en el em%enaje de cola se encuentra una su%erficie montada ,erticalmente conocida como esta'ili?ador ,ertical o deri,a. &'isa-rada a esta actuando como 'orde de fu-a se encuentra una su%erficie m$,il denominada tim$n de direcci$n. El tim$n de direcci$n controla la -uiHada de la na,eG es decirG su rotaci$n %or el eje ,ertical.
ientras se manten-an centrados los %edalesG el tim$n de direcci$n tam'in lo estar(G no 9a'r( -uiHada.
&l %isar el %edal derec9oG el tim$n se des%la?ar( 9acia ese ladoG la cola se des%la?ar( 9acia la i?;uierda la nari? a la derec9aG -uiHando a estri'or.
&l %isar el %edal i?;uierdoG el tim$n se des%la?ar( 9acia ese ladoG la cola se des%la?ar( 9acia la derec9a la nari? a la i?;uierdaG -uiHando a 'a'or.
/omandado %or la %edalera del a,i$nG el tim$n -irar( a derec9a o a i?;uierda en otras %ala'rasG si se %isa el %edal i?;uierdoG el tim$n de
direcci$n -irar( 9acia la i?;uierdaG esto %ro,ocara una fuer?a aerodin(mica so're la deri,a en sentido o%uesto es decir 9acia la derec9aG como consecuencia la cola se des%la?ara en sentido de la fuer?a -irando el a,i$n %or su eje ,ertical el morro -irar( 9acia la i?;uierdaG en este ejem%loG de esta forma el a,i$n esta -uiHando a la i?;uierda. En cam'io se %isa el %edal derec9o -uiHar( a la derec9a.
10.; LOS PERFILES DEL ALA `acia el 1!## :eor-e /aleG 'rit(nicoG diseH$ una cometa como la de la si-uiente fi-uraG a la ;ue le coloc$ unos %lanos como los de las flec9as de arco sin nin-Jn 9ilo ;ue tirara de ellaG consi-uiendo ;ue el artefacto ,olara 9aciendo al-unas ca'riolas.
/ale se %ercat$ de ;ue con una cuidada colocaci$n de los em%enajes una distri'uci$n de %esos %ara ;ue el centro de -ra,edad ocu%ara una %osici$n 'ien determinadaG %od0a o'tener un ,uelo esta'le. El ,uelo mejora'a al dar a las alas un diedro adecuado. Qa se 9a mencionado ;ue cur,ando el %lano se o'tiene un ala m(s -ruesa ;ue mejora la sustentaci$nG como sucede con los %erfiles de ala de al-unos U.*. actuales.
)am'in en los or0-enes de la a,iaci$n tu,ieron inters los %erfiles de las alas de los %(jaros. +e estosG se deri,aron una serie de %erfiles de a,iones ;ue durante una decena de aHos %ermitieron %erfiles de ecelentes cualidades de sustentaci$n resistencia como los de los a,iones de la %rimera -uerra mundial. Fu la a%arici$n del ala mono%lano sin ca'lesG la ;ue 9a o'li-ado a en-rosar los %erfiles %ara o'tener resistencia. Esta tendencia aJn 9a sido ea-erada %or los constructores de %laneadores %l(sticos ;ue utili?an %erfiles mu -ruesos.
10.;.1 GEOMETR9A DE LOS PERFILES
Utili?aremos la clasificaci$n N&/& National &dmisor /ommittee for &eronautics ;ue %ermite clasificar todos los %erfiles conocidos %or ,enir. El sistema N&/& considera ;ue un %erfil est( siem%re constituido %or dos %ar(metros@ a Un %erfil de 'ase 'icon,eo simtrico. ' Una l0nea media ;ue %uede ser@ =Recta %ara el %erfil de 'ase. =/ur,a %ara los %erfiles deri,ados del %erfil de 'ase. /onociendo estos elementosG se %ueden o'tener todos los %erfiles ;ue se ,en en la si-uiente fi-ura . 1. ariando la forma de la l0nea media %or una cur,atura m(s o menos %ronunciada una flec9a m0nima m(s o menos alejada del 'orde de ata;ue. 2. +e otra %arte montando alrededor de esta l0nea media %erfiles de 'aseG de diferente -rosor con el es%esor m(imo m(s o menos alejado del
'orde de ata;ueG con radio del 'orde de ata;ue m(s o menos -rade m(s o menos %untia-udo con el 'orde de fu-a m(s o menos a-udo.
Por ejem%loG %erfiles salidos de una misma l0nea media de un %erfil de 'ase de la misma -eometr0a %ero de es%esor diferenteG tiene caracter0sticas idnticas en ,arios detalles.
En resumen recordemos ;ue 9a tres cate-or0as de %erfiles@ 1. *os de l0nea media rectaG 'icon,eos simtricos ;ue sir,en de %erfiles de 'ase %ara otras construcciones. 2. *os de l0nea media c$nca,aG ;ue en-lo'an a todos los otros@ 'icon,eosG disimtricosG %lanos c$nca,os. 3. Perfiles con l0nea media con do'le conca,idad o autoesta'les %ara a%licaciones en alas ,olantes. El %erfil %lano es un caso %articular del %erfil normal con el intrad$s %lano %ara facilitar la construcci$n del ala. Para la difusi$n tra?ado de los %erfilesG se utili?an fic9as tcnicas donde se facilitan datos %ara su tra?ado -r(fico cur,as con %ar(metros ;ue descri'en sus caracter0sticas aerodin(micas.
10.;.2
DEFINICIONES UTILIZADAS PARA LOS PERFILES
Un %erfil se tra?a a %artir de una l0nea recta ;ue %uede estar dentro o fuera de l.
*a inclinaci$n de la l0nea de 'ase con res%ecto a la l0nea ;ue si-ue la direcci$n del a,i$nG da la incidencia. o're esta l0nea de 'aseG se encuentran los %untos & 8 corres%ondientes a la cuerda del %erfilG como se ,e en la si-uiente fi-ura.
*a cur,a su%erior es el etrad$s la inferior el intrad$s. )ra?ando en ,arias ?onas los %untos medios de las distancias entre el intrad$s el etrad$sG o'tenemos la l0nea media cuando se les une. Esta
l0nea es de -ran influencia en las caracter0sticas del %erfil. e %uede considerar como el es;ueleto del %erfil.
*a flec9a m(ima se tra?a entre la l0nea de 'ase la maor distancia de esta a la l0nea media. e da en %orcentaje de la cuerda. El es%esor m(imo se da tam'in en %orcentaje de la cuerda. im%lificando %ara maor claridadG los %erfiles se clasifican %or familias as0@ /$nca,os. Intrad$s c$nca,oG etrad$s con,eo. *0nea media c$nca,a. Planocon,eos. *lamados %lanos %or su intrad$s rectil0neo en -ran %arte ce la cuerda. Etrad$s con,eoG l0nea media c$nca,a. 8icon,eos asimtricos. Intrad$s etrad$s con,eosG %ero m(s marcado en el etrad$s. *0nea media c$nca,a aun;ue a ,ecesG %oco marcada. 8icon,eos simtricos. intrad$s etrad$s i-uales con,eos. *a l0nea media es recta.
10.;.3
UTILIZACI"N DE LOS CAT8LOGOS DE PERFILES
10.;.3.1 LA SUSTENTACI"N
*as cur,as ;ue se muestran en la fi-ura anterior sacadas del *i'ro de los %erfiles %ara %e;ueHos a,iones de .. Rice 'asadas en documentos de N&/& %ara el %erfil 'icon,eo simtrico )=/QR 171 nos audar(n a com%render lo ;ue si-ue@ `ori?ontalmente en la 'ase del -r(ficoG ,emos los (n-ulos de incidencia en -radosG (n-ulo de ata;ue de B12• a 22• es decirG el (n-ulo ;ue forma la l0nea de referencia del %erfil con la direcci$n del aire. Para un a,i$n ;ue ,uela 9ori?ontalmente so're un llanoG ser0a el (n-ulo de la citada l0nea con res%ecto al 9ori?onte. & la derec9a de la ta'laG ,erticalmente ,emos dos escalas la ;ue est( m(s a la derec9aG %ertenece al coeficiente de resistencia al a,ance / +racoefficient mu em%leado 9o %or los diseHadores de autom$,iles. & su i?;uierdaG est( la escala del coeficiente de sustentaci$n /D a;u0 lift coefficient lue-o est(n otras escalas ;ue ,eremos lue-o. Fij(ndose en la l0nea de a'ajo donde est(n los (n-ulos de incidencia en la %ro%ia cur,a del /D ,emos lo ;ue a todos sa'emosG ;ue a #• el coeficiente de sustentaci$n es # cero en este caso de %erfil simtrico ;ue a ,alores ne-ati,os del (n-uloG la sustentaci$n es ne-ati,a lo contrario %ara los ,alores %ositi,os. El (n-ulo de sustentaci$n nula en el ;ue /? M # ser( a;uel en ;ue no sustenta el %erfil es ,aria'le %ara los distintos %erfil es a;u0 es # -rados como ,emos. /on un (n-ulo de 14G3• se o'tiene la m(ima sustentaci$nG #G"4 a %artir de este (n-uloG la sustentaci$n cae con m(s o menos ,iolencia se-Jn el ti%o de %erfilG las dimensiones la ,elocidad del ,elero. `a'lamos del fen$meno de des%rendimiento de las ca%as de aire. &delantemosG ;ue si se %roduce el des%rendimiento %or ejem%lo a los 15 -rados de incidencia de'er0amos de 'ajar este (n-ulo a 1# -rados se-uimos con un ejem%lo %ara ,ol,er a entrar en el r-imen laminarG es decirG a 'astante menos del %unto donde comien?a el %ro'lema. Recordemos tam'in ;ue en este %unto se %roduce a la %ar ;ue el
des%rendimiento 'rutal una %rdida de ,elocidad ;ue es im%ortante so're todoG en el aterri?aje donde necesariamente no 9emos de 'ajar de una cierta ,elocidad el aumento de incidencia %uede %ro,ocar el des%rendimiento.
10.;.3.2 LA RESISTENCIA AL AVANCE Y SUS CONSECUENCIAS
/uando un %erfil %enetra en el aire con una incidencia de sustentaci$n nulaG no %or eso deja de encontrar resistencia al a,anceG ,emos ;ue el / no es nulo %uesto ;ue el aire 9a de %asar ro?ando desde el 'orde de ata;ue al de fu-a con toda la cuerda del ala en toda su lon-itud %or eso ,emos ;ue en el caso del ejem%loG se tiene a%ro. un / de #G#1 a un (n-ulo de #•.
10.;.3.3 LA RELACI"N C@^C>
& la i?;uierda de nuestro -r(ficoG ,emos una escala llamada ratio of lift to dra- al-o as0 como@ /oeficiente de sustentaci$n en relaci$n a la resistencia. Esta escala ;ue no se %resenta normalmente en los -r(ficosG %uede ser di'ujada con facilidad a %artir de las cur,as de am'os coeficientes di,idiendo en cada %unto los ,alores de estos coeficientes. *a cur,a *+ re%resenta estos resultados ;ue dan lo ;ue se llama finura de un %erfilG es decirG su ca%acidad %ara %enetrar en el aire. /uanto m(s fino sea un %erfilG menos em%uje de motores necesitar( %or ejem%lo. No ol,idemos no o'stanteG ;ue la fine?a del a%arato lo da la com'inaci$n de otros elementos como el fuselajeG el motorG el tren de aterri?ajeG los em%enajesG etc. etc. No de'emos de o'sesionarnos demasiado %or eso con las caracter0sticas del ala solamente.
10.;.3.! EL DESPLAZAMIENTO DEL CENTRO DE EMPUJE
*a sustentaci$n la resistencia al a,anceG no son las Jnicas cualidades t0%icas de un %erfilG deseada la %rimera ne-ati,a la se-undaG sino ;ue la maor %arte de los %erfiles tienen tam'in otro defecto@ *a inesta'ilidad. En efectoG un ala es inca%a? de ,olar sola de manera esta'le aun;ue el centro de -ra,edad est con,enientemente situado. e necesita utili?ar un em%enaje 9ori?ontal o esta'ili?ador %ara mantener una traectoria correcta. )ienden a la inesta'ilidad o son sistem(ticamente inesta'les la maor0aG con inde%endencia de los llamados %erfiles autoesta'les de a%licaci$n mu conocida en las alas ,olantes. Estas alasG no %ueden ado%tarse con car(cter -eneral %or;ue no tienen una -ran sustentaci$nG %resenta maor resistencia al a,ance no %uede a%lic(rseles dis%ositi,os 9i%ersustentadores o aerofrenos %retendiendo ;ue si-an con sus caracter0sticas de autoesta'ilidad. ol,iendo a los %erfiles normalesG …a ;u es de'ido su inesta'ilidad† emos en esta fi-ura el caso de un %erfil ;ue ,uela en 9ori?ontal con el %eso la sustentaci$n a%licados en el mismo %unto. *a resistencia no inter,iene en este caso %uesto ;ue no tiene influencia. emos ;ue el ala estar0a en e;uili'rio. No 9a esfuer?os ;ue tiendan a enca'ritar ni a %icar el ala ni %or tantoG a ,ariar el (n-ulo de incidencia. 8astar( no o'stante la %resencia de una tur'ulencia o fen$meno similarG ;ue 9a-a ,ariar moment(neamente la incidencia del alaG %ara ;ue comience el dese;uili'rio al ;ue %odr( %onerse final se-Jn la maor o menor tendencia del %erfil en cuesti$n.
)am'in conocemos la eistencia de un momento de -iro o %icado ;ue tiende a 9acer ;ue el ala comience a rotar. Un a,i$n %odr0a salir de esta situaci$n de dese;uili'rio de ;ue estamos 9a'lando si tiene tendencia a recu%erar la %osici$n de ,uelo 9ori?ontal. `ar0a falta %ara eso ;ue en %resencia de un aumento del (n-ulo de incidencia consecuentemente de la sustentaci$nG el centro de em%uje se des%la?ara 9acia atr(s tirase del ala desde ese %unto de retraso consi-uiera as0 una disminuci$n del (n-ulo de ata;ue. i disminuera la incidenciaG el centro de em%uje se des%la?ar0a 9acia delante en un momento dado so're%asar0a el centro de -ra,edad %ro,ocar0a de nue,o un aumento de la incidencia. )endr0amos a;u0 un ala esta'le ;ue reacciona a cada cam'io 'uscando el e;uili'rio siem%re ;ue el centro de -ra,edad est con,enientemente situado. *a maor0a de los %erfiles 'icon,eos simtricos tienen un centro de em%uje ;ue no se des%la?a o se des%la?a %oco ;ue se encuentra 9acia el 25 de la cuerda desde el 'orde de ata;ue e trata de %erfiles con un e;uili'rio indiferente. ni esta'les ni inesta'les. *a maor0a de los 'icon,eos disimtricos tienen un centro de em%uje ;ue se des%la?a como el de los %erfiles %lanos -ruesos ;ue son mu inesta'les. & menudoG se 'usca ;ue al-unos %erfiles 'icon,eos disimtricos manten-an su centro de em%uje al-o m(s fijo como en los simtricos. El ejem%lo m(s conocido el del N&/& 23#12 *a inesta'ilidad de los %erfiles disimtricos %lanos -ruesos es talG ;ue el centro de em%uje se des%la?a en el sentido in,erso al ;ue lo 9ar0a en un %erfil autoesta'le. )odo aumento de la incidencia de la sustentaci$n 9ace mo,erse el centro de em%uje /% 9acia adelante aumentando as0 la incidenciaG la sustentaci$nG etc... Feli?menteG si se utili?a un esta'ili?ador adecuadoG todo se arre-la.
En las cur,as ;ue si-uenG se 9an re%resentado 3 %erfiles@ El 474 'icon,eo simtricoG el 2#7 'icon,eo disimtrico el 1!6 %erfil autoesta'le de do'le cur,atura. )odos de la familia EPP*ER.
+e'ajo de ellos se encuentran las cur,as ;ue muestran el des%la?amiento del centro de em%uje. El centro del 474 a /moM# ;ueda al 25 a%ro. de la cuerdaG %unto ;ue se conoce como foco del %erfil. )odos los %erfiles
tienen el foco al 25 de la cuerda el centro de em%uje se des%la?a con relaci$n a ese foco@ =Por delante de lG %ara los autoesta'les como el 474. =Por detr(s de lG %ara todos los inesta'les como el 2#7. N$tese ;ue el centro de em%uje %uede salir fuera del ala %ara ,ol,er a sustentaciones d'iles@ =En la %arte delantera %ara un %erfil autoesta'le =+etr(s %ara uno inesta'le. Para ;ue el /- el /% coincidan 9an de estar@ =`acia el 2# de la cuerda %ara un ala ,olante. =`acia el 3# en un a,i$n cl(sico. Fij(ndonos de nue,o en el -r(fico el del t /r 171 ,emos ;ue tiene una escala a la i?;uierda ;ue traduciendo su enca'e?amiento ,iene a decir@ /entro de em%uje en tanto %or ciento de la cuerda@ a %artir del 'orde de ata;ue. e trata de una cur,a mu e%l0cita %or su forma. Re%resenta el des%la?amiento del centro de em%uje en funci$n de la sustentaci$n %or tanto de la incidencia. En este ejem%loG la %osici$n del /% ;ueda entre el 22=24 de la cuerda %ara incidencias com%rendidas entre 5•=14•. &,an?a 9acia el 2# cuando la sustentaci$n es d'il. El des%la?amiento del /% no o'edece a tendencias an(r;uicas sino ;ue m(s 'ienG se muestra mu disci%linado lo 9ace se-Jn una le matem(tica sim%le %ero suficientemente ri-urosa. Por esta ra?$n no suelen darse estas cur,as aun;ue son una manera mu clara de ,er de un solo -ol%e de ,ista las caracter0sticas del %erfil. En sustituci$n de las cur,asG se suele dar el llamado /m o /mo ;ue %ermite calcular la %osici$n del centro de em%uje. En -eneralG si se o'ser,a la cur,a del ejem%lo a%licada a otros %erfiles dentro siem%re de las incidencias normalesG tenemos@
=Perfiles indiferentes@ )ramo de cur,a 9ori?ontal =Perfiles inesta'les@ *a cur,a desciende 9acia la i?;uierda. =Perfiles esta'les@ *a cur,a se ele,a %or la i?;uierda. En el -r(fico ;ue si-ue %odemos ,er el des%la?amiento del /% en un %erfil normal del ti%o inesta'le %ara distintas incidencias.
/&PI)U*< I
F*U>< EN /&N&*E &8IER)<
11.1 INTRODUCCI"N Usualmente el flujo a su%erficie li're se refiere a a;uel flujo de l0;uidos en ;ue una %orci$n de la frontera del flujoG conocida como su%erficie li'reG est( sometida Jnicamente a ciertas condiciones de %resi$n %rescritas. El mo,imiento de los ocanos de los r0os as0 como el flujo de l0;uidos en tu'er0as %arcialmente llenas son flujos a su%erficie li're donde actJa la %resi$n so're la su%erficie de la frontera. & %esar de ;ue la maor %arte del material ;ue se considerar( %udiera %arecer a %rimera ,ista como de inters Jnicamente %ara los in-enieros 9idr(ulicos ci,ilesG m(s adelante se ,er( ;ue las ondas de a-ua el resalto 9idr(ulico son an(lo-osG res%ecti,amente a las ondas de %resi$n a las ondas de c9o;ue estudiadas en el flujo com%rensi'le.
11.2 CONSIDERACI"N DEL PERFIL DE VELOCIDAD En el flujo en canales a'iertosG adem(s de las dificultades en la su%erficie li'reG en canales lar-os se aHade la dificultad de ;ue la fricci$n de'e tenerse en cuenta de'ido a la %roimidad de las fronteras mojadas al flujo %rinci%al. &simismoG es usual considerar en tales canales flujo tur'ulento com%letamente desarrollado.
Fi-. 11.1 elocidad en un canal an-osto
Zue %uede decirse acerca de los %erfiles de ,elocidad en el flujo en canales. Eisten al-unas ecuaciones a%roimadas semi te$ricas desarrolladas %ara un flujo en canales cua anc9ura es maor en com%araci$n con la %rofundidad. )ales estudios %ueden encontrarse en tetos mas es%eciali?ados. El caso de canales an-ostos es aJn m(s dif0cil en la fi-ura 11.1 se muestra un %erfil comJn de los mismos. N$tese ;ue la ,elocidad m(ima no ocurre en la su%erficie li're. ino al-o %or de'ajo de estaG como se muestra en el dia-rama. *a su%erficie li're secci$n de flujo tam%oco est( ni,eladaG como a%arece en forma a%roimada en el dia-rama. En lu-ar de estoG eistir( una le,e ele,aci$n cerca del centro esta re-i$n se conoce como l0nea de ,elocidad m(ima. En este ca%itulo se considera un modelo de flujo unidimensional en el ;ue se tienen en cuenta la fricci$n la tur'ulencia %ara canales lar-osG mediante un esfuer?o cortante %articular en las %aredes del canal.
11.3 e FLUJO NORMAL consideran canales rectos ;ue mantienen constantes sus secciones trans,ersalesG a lo lar-o de toda su lon-itud. Estos se conocen como canales %rism(ticos. e considera el flujo de un l0;uido cua su%erficie mantiene una %rofundidad constante %or encima del lec9o del canal fi-ura 11.2. *a %endiente del lec9o del canal de'e tener cierto ,alor %ara mantener esta clase de flujo %ara un caudal Z dado. )al flujo se conoce como flujo normal uniformeG f(cilmente %uede demostrarse ;ue eiste un e;uili'rio entre las fuer?as -ra,itacionales ;ue aceleran el flujo a lo lar-o las fuer?as fricci$nales so're el %er0metro mojado ;ue retardan el flujo. Para l0;uidos como el a-uaG la %endiente del canal de'e ser %e;ueHa. /on esta su%osici$n la %endiente del lec9o del canal se tomar( i-ual al (n-ulo de inclinaci$n α en radianes fi-ura 11.2 se denotar( como #. *a %rofundidad N se denomina %rofundidad normal.
Fi-. 11.2 Flujo normal en un canal %rism(tico /on el fin de anali?ar el flujoG se usa un modelo de flujo unidimensional so're el cual actJan las fuer?as de fricci$n en la frontera mojada. *as l0neas de corriente son %aralelas se considera ;ue la %resi$n es 9idrost(tica en la direcci6n %er%endicular al lec9o. En la fi-ura 11.2 se %resenta un %e;ueHo sistema de fluido con lon-itud ∆. &l a%licar la le de NeAton a este sistema en la direcci$n G se o'tiene@ W
× sen α − . = #
donde se notar( ;ue las fuer?as 9idrost( ticas se cancelan. Utili?ando P como el %er0metro mojado de una secci$n trans,ersal del canalG la ecuaci$n anterior se con,ierte en ρ/A∆x sen α
P
= ∆x ∫ τ
P
dP
11.1
#
donde & es la secci$n tra ns,ersal del %risma l0;uido. El ,alor de ) %G el esfuer?o constante en la %aredG ,ar0a a lo lar-o del %er0metro mojado de una secci$n sin em'ar-oG usualmente esta ,ariaci$n %uede i-norarse. Por consi-uienteG )% %uede considerarse constante en una secci$n. &9ora se define el radio 9idr(ulico R` como "8
=
A P
11.2
Por tanto el di(metro 9idr(ulico D8 es i-ual a 4R `. e utili?aran tanto "8 como +`. &l inte-rar la %arte derec9a de la ecuaci$n 11.1G se o'tiene@ ρ/" sen α = τ 11.3 8
P
Para el esfuer?o constante % de la ecuaci$n 11.3 se utili?a la ecuaci$n de +arc= eis'ac9 con un factor de fricci$n em%0rico f como se 9i?o en el caso del flujo tur'ulento en tu'er0as. τP
=
f 4
ρ
V2
11.4
2
&l sustituir % de esta Jltima ecuaci$n en la ecuaci$n 11.3G lue-o de des%ejar se tiene@ V
!/ = f
1
2
( " 8 sen α )
1
2
11.5
&9ora se considera el caso de canales lisos. Puede eistir un Flujo laminar com%letamente desarrollado a un flujo tur'ulento com%letamente desarrollado. En la fi-ura 11.3 se muestra una -r(fica del factor de fricci$n f ,ersus Re ` relacionando los resultados e%erimentales con ciertos resultados te$ricos. N$tese ;ue en el ran-o laminar se tiene el resaltado te$rico f M "6Re` %ara canales anc9os fM 56Re ` %ara canales trian-ulares do "#. +entro do las 'anda formada %or estas dos cur,as caer( el factor de fricci$n ="e8 del flujo laminar en tu'er0as. En la ?ona tur'ulenta se usa %ara Re p 1##G### se usa la ecuaci$n de Prandtl %ara la fricci$nG %ara el flujo en tu'er0as. *os %untos ;ue se muestran corres%onden a flujos en canales lisos. Esta -r(fica muestra la similitud entre el flujo de tu'er0as lisas el flujo de canales lisos. *ue-oG al i-ual ;ue en el caso de las ca%as l0mitesG %odr(n am%liarse muc9os resultados del tra'ajo en tu'er0as. &9oraG el factor de fricci$n -eneralmente de%ende del nJmero de Renolds Re` del flujoG la ru-osidad del lec9o del canalG la forma el tamaHo de la secci$n del canal.
Fi-ura 11.3 :r(fica del factor de fricci$n f ,ersus Re` El lector %odr( recordar ;ue cuando se anali?$ el flujo en tu'er0as con ru-osidad artificial utili?adas en el tra'ajo de NiuradseG sin em'ar-oG %ara nJmeros de Renolds ele,ados factores de ru-osidad -randes el factor de fricci$n f era indiferente de Re solo de%end0a del factor de fricci$n f. Esto ocurre en muc9os flujos en canales ;ue usualmente se encuentran en las %r(cticas de cam%o. Por consi-uienteG %uede decirse ;ue@ ! / f
1
2
=$ =
funcio n de1 factor de ru/osidad
11.6
El trmino / se conoce como coeficiente de /9?. Reem%la?ando sen α %or o en la ecuaci$n 11.4 utili?ando la ecuaci$n 11.6 %ara introducir /G la ecuaci$n 11.4 %uede escri'irse como si-ue@
V = $ "8 S #
11.7
)a'la 11.1 alores %romedios del n de annin- la ru-osidad e %romedio aterial &sfalto *adrillo /analdeconcreto Pulido in%ulir )u'o de concreto )ierra 8uena condici$n ale?a%iedras )u'o de 9ierro Fundici$n `ierro forjado &cero /orru-ado eRmac9ado adera /e%illada
n eG%ies e. #.##16 #.#1! #.##54 #.##16 #.##12 #.##37 #.#12 #.##32 #.##1 #.#15 #.##! #.##24 #.#15 #.##! #.##24 #.#25 #.#35
#.12 #.!
#.#37 #.24
#.#15 #.##51 #.##16 #.#15 #.##51 #.##16 #.#22 #.#12 #.#37 #.#15 #.##12 #.##37 #.#12
#.##32
#.##1
Esta es la mu conocida f$rmula de /9e?. Utili?ando datos e%erimentalesG el coeficiente de /9e? %uede e%resarse como si-ue@
1 1.4!6 "8 6 n 1 1.### $= "8 6 n 1 k ∴ $ = "8 6 n
$=
para unidades 9S$S para unidades S6
11.!
+onde ‡nvG conocido como el n de annin-G de%ende %rimordialmente de la ru-osidad relati,a donde e;ui,ale a 1.4!6 $ 1.### se-Jn el sistema de unidades. En la ta'la 11.1 se dan ,alores comunes de n. *a de%endencia de en la forma tamaHo del canal se inclue en el radio 9idr(ulico. Utili?ando las ecuaciones anterior %ara /G se tiene@ V
= kn "
S#
23
8
11."
PosteriormenteG al multi%licar la ecuaci$n 11." %or &G se o'tiene el caudal Z@
k " n
,=
2
S# A
3
8
11.1#
FinalmenteG al des%ejar o en la ecuaci$n 11."G se o'tiene@
S#
n = k
2
1
2
4 "8 3 V
n = k
2
1 ,2 4 2 "8 3 A
11.11
&;u0 se ,e ;ue %ara un flujo uniforme Z dado en un canal %rism(tico como una determinada secci$n trans,ersal del flujo eiste Jnicamente una s$lo una %endiente o %ara el flujo normal. Para un canal rectan-ular anc9oG %uede reem%la?arse R ` %or Qn & %or n' donde ' es el anc9o Z' %or ;G el caudal %or unidad de anc9o. *ue-o de des%ejar N en la ecuaci$n 11.1# se o'tiene@ Y)
= n& k S
3
5
11.12
#
&l des%ejar o %ara el flujo normal se tiene@ S#
n = k
2
&2 Y)
1# 3
11.13
&;u0 se 9a relacionado la %endiente del canal con la %rofundidad normal del flujo. Es necesario tener %resente ;ue la %endiente de la su%erficie li're es %aralela a la su%erficie del lec9o #.
11.! FLUJO NORMAL METODOS MODERNOS `asta a9ora se 9an considerado ecuaciones anti-uas %ero son JtilesG ;ue son a%lica'les a las ?onas del flujo ru-osoG como en tu'er0as .Esto se a%lica a la maor %arte de los %ro'lemas de r0os de canales. )ra'ajos m(s recientes desarrollados en la dcada de 1"3#G %ueden utili?arse %ara cu'rir la ?ona de flujo 9idr(ulicamente liso la ?ona de flujo en transici$n as0 como el flujo en la ?ona ru-osaG utili?ando el dia-rama de ood %ara tu'er0as o 9aciendo uso de las f$rmulas em%0ricas %ara el factor de fricci$n f. Estas f$rmulas son an(lo-as a las %resentadas en el ca%0tulo %ara el flujo en tu'er0as.
/on el fin de esclarecer estoG considrese nue,amente el flujo %ermanente en el canal a'ierto de la fi-ura 11.2 esta ,e? tomando la re-i$n som'reada como un ,olumen de control estacionario. +entro de este ,olumen de control se muestra un tu'o de corriente. &l utili?arse la %rimera le de la termodin(mica %ara este tu'o de corrienteG el resultado es la ecuaci$n ;ue rescri'e a9ora utili?ando la referencia vv@ ∆P ρ/
= y −
2
y 1 + 8 1
+onde `l es la %rdida de altura %or unidad de %eso de fluido. En este caso
∆% es ceroG de manera ;ue se o'tiene@
3 y u1 − y u 2 4 = 38 1 4
11.14
in em'ar-o 1 B 2G es lo mismo ;ue #∆ G %or consi-uienteG se tiene@ S # ∆x
=
81
=
:1 /
11.15
Esto es cierto %ara todo el ,olumen de control de'ido a ;ue cada tu'o de corriente %roduce el mismo resultado. &9ora %uede reem%la?arse 9l %or la ecuaci$n de +arc= eis'ac9G introduciendo de esta forma el factor de fricci$n fG en lu-ar del di(metro interno + de la tu'er0aG se utili?a 4R ` %ara el canal con el fin de o'tener@ S # ∆x
= V ∆x f 2 4" / 2
8
∴
V
! /S " = f #
8
1
2
11.16
El %rocedimiento consiste en calcular %rimero f. *ue-oG des%us determinar G se calcula el nJmero de Renolds del flujo utili?ando 4R ` como %ar(metro de lon-itud. /on este nJmero de Renolds con la relaci$n de ru-osidad relati,aG e4R `G se encuentra f en el dia-rama de ood. i este f no coincide con el c(lculo ori-inalG se continJa con un se-undo ciclo de %asos utili?ando el f ;ue se c(lculo. e %rocede de esta forma 9asta ;ue se alcan?a 'uena concordancia entre el f insertado el f calculado. i desean utili?arse las ecuaciones %ara fG de'e conocerse en ;u ?ona de flujo se est(. e dar( los si-uientes criterios ;ue %ueden a%licarse al flujo de canales@ VC e ν
4
≤
VC e ν
VC e ν
<4
?ona de flujo 9idr(ulicamente liso
≤ 1## ?ona de flujo de transici$n > 1## ?ona de flujo ru-oso
+onde C es la ,elocidad de corte entonces@
11.17
VC
=
τP ρ
ρ/"8 sen α ρ
=
=
11.1!
/"8 S #
Para flujo 9idr(ulicamente lisoG se tiene la f$rmula de 8lasius ;ueG %ara Re` p 1#5 es@
=
f
#.316
11.1"
( Re ) 14 8
&l utili?ar la ecuaci$n 11.6 el coeficiente de /9? %uede darse %ara este flujo como@ 1 $ = 2!.6(Re 8 ) !
unidades 9S$S
11.2# 1 $ = 15.76(Re 8 ) !
unidades S6
Para Re ` x 1#5 se recomiendan las si-uientes ecuaciones %ara flujo en canales 9idr(ulicamente lisos@ 1 f $
Re f = 2.# lo- 8 2.51 Re 8
2 / lo-
=4
11.21a
!/
2.51$
11.21'
Para flujo en la ?ona de transici$nG %uede utili?arse en modificaci$n de la ecuaci$n de /ole'roo. 1 f
$
e 3# = 2.16 − 2 lo- + "8 Re 8
f
e 3# = 2.16 − 2 lo- + "8 Re 8
f
11.22a
!/
FinalmenteG en la ?ona de flujo ru-oso donde el R ` xx 3# Re ` la ecuaci$n anteriorG de las Jltimas ecuaciones se tiene ;ue 1 f
$
e = 2.16 − 2 lo- "8
e = 2.16 − 2 lo- "8
!/
11.22' f
k en
11.23a
11.23'
En los %ro'lemas ;ue tienen flujo 9idr(ulicamente liso o donde se tiene flujo en la ?ona de transici$n tendr( ;ue calcularse una ,elocidad %ara o'tener Re` lue-o f. & continuaci$n se calcula el / de /9? finalmente se o'tiene de la ecuaci$n 11.7. i la encontrada es diferente de la su%uestaG se toma la calculada como ,alor %ara iniciar otro ciclo de c(lculos. er( necesario reali?ar 3 o 4 ciclos %ara o'tener la eactitud re;uerida. En el caso de ;uerer encontrar f se tendr( ;ue utili?ar un %rocedimiento de ensao error o una calculadora %ro-rama'le.
11.; SECCI"N HIDR8ULICAMENTE "PTIMA &9ora se considera la si-uiente %re-unta@ …/u(l es la secci$n trans,ersal 9idr(ulicamente $%tima %ara un canal ;ue -eneralmente corres%onde a la secci$n trans,ersal ;ue %ara un Z dado re;uiere la menor secci$n trans,ersal &† /on esto en menteG se eamina la ecuaci$n 11.1#. &l e%resar R` como &P se tiene@ 2
,
=
S
3
k A nP
S# A
5
=
k n
#
P2 5
=
#P
A
3
&l des%ejar &G se o'tiene@ A
,n = k S#
3
5
Para los %ro%$sitos de este caso Zn
2
11.24
5
S #1 2 k
35
es una constante bG de
maneraG ;ue se ,e ;ue si & se minimi?a entonces el %er0metro mojado P tam'in se minimi?a. *ue-oG se ,e ;ue la cantidad de eca,aci$n determinada %or & al i-ual ;ue la cantidad de recu'rimiento re%resentada %or P se minimi?ar(n simult(neamente %ara la secci$n trans,ersal 9idr(ulicamente $%tima. Esto da %or resultado un costo m0nimo.
11. ONDAS GRAVITACIONALES &9ora se utili?an consideraciones de momentum %ara estudiar las caracter0sticas de las ondas de a-ua formadas al mo,er un o'jeto a tra,s de la su%erficie li're de un l0;uido a una ,elocidad ra?ona'lemente alta.
Estas ondas se %ro%a-an lejos de la %ertur'aci$n tienen la naturale?a de ondas trans,ersalesG como se estudia en f0sica elementalG donde la forma de la onda se mue,e esencialmente %er%endicular al mo,imiento de las %art0culas de fluido en la onda. i en tales ondas la tensi$n su%erficial es insi-nificanteG stas se conocen como ondas -ra,itacionales. *os in-enieros 9idr(ulicos los matem(ticos 9an estudiado %or m(s de 1## aHos la celeridad ,elocidad la forma de las ondas -ra,itacionales. +e'ido a la -ran com%lejidad del fen$menoG los estudios se 9an restrin-ido en -eneral a ondas de a-uas llanasG lo ;ue im%lica ;ue las ondas tienen una lon-itud de onda λ 'astante maor ;ue la %rofundidad dG como se muestra en la fi-ura 11.7G las llamadas ondas de a-ua %rofundaG donde d es 'astante -rande com%arada con cual;uier dimensi$n de la onda. *a teor0a de a-uas llanas conduce a resultados ;ue %ueden ser ,(lidos %ara canalesG r0os %laas la teor0a de a-ua %rofunda encuentra sus a%licaciones en las olas oce(nicas.
Fi-ura 11.7
Fi-ura 11.! /eleridad de onda c.
Es este teto s$lo se %resentar( un eamen mu elemental de las ondas de a-ua. +e acuerdo con estoG considrese una onda solitaria en a-ua llana mo,indose con una celeridad c en el canal de la fi-ura 11.!. &;u0 no
interesa la forma de la ondaG sino la condici$n de ;ue la distancia l sea -rande com%arada con ;ue∆ sea %e;ueHa com%arada con G como se
muestra en la misma fi-ura. &simismoG se su%one ;ue la forma de la onda es esencialmente constante con res%ecto al tiem%o. /on estas restriccionesG es ra?ona'le considerar ;ue eiste una distri'uci$n 9idrost(tica de %resiones %or de'ajo de la su%erficie li're. Por consi-uienteG %uede formarse un flujo %ermanente al dar a todo el conjunto una ,elocidad c. *ue-o se esta'lece un ,olumen de control estacionario de es%esor unitario %ara incluir una %orci$n de la onda ;ue em%ie?a es su %ico termina es su %arte frontalG como se muestra en la fi-ura 11.". /laramente ste es un ,olumen de control de tamaHo finitoG as0 ;ue se calcula al-unos ,alores %romedios no ser( necesario un conocimiento detallado de la forma de la onda. &l su%oner flujo uniforme a tra,s de las caras ,erticales del ,olumen de controlG la ecuaci$n de continuidad se con,ierte en@ cy = ( c − ∆)(V y + ) ∆y 11.25 +onde ∆ es el cam'io en la ,elocidad de'ido al aumento de tamaHo de la
secci$n trans,ersal del flujo en el ,olumen de control. &l des%ejar ∆G se o'tiene@ ∆V =
c ∆y y + ∆y
11.26
*ue-oG al utili?ar ,ariaciones 9idrost(ticas de %resi$n en los lados ,erticales del ,olumen de control sin tener en cuenta la fricci$n en el fondo resultante de la ,ariaci$n de ,elocidad de'ida a la %resencia de la ondaG %ara la ecuaci$n de momentum linealG se tiene − γ
y
y + γ
y + ∆y
2
( y +) ∆y = ρ c( 2 y )− ρcy c − ∆V
2
&l efectuar los %roductos en esta ecuaci$n sim%lificar los resultadosG se lle-a a
γ y∆y +
γ ( ∆y ) 2
2
= ρ cy∆V
Fi-ura 11."
&l di,idir %or ρ utili?ar la ecuaci$n 11.26 %ara reem%la?ar ∆ en el miem'ro derec9o de esta ecuaci$nG se o'tiene@
/ y∆y +
( ∆y ) 2
k=
2
c 2 y∆y y + ∆y
&l cancelar ∆ multi%licar %or ∆G se o'tiene@
/ y +
∆y ( y + ∆y ) = c 2 y 2
&l desarrollar el %roducto en el miem'ro i?;uierdo de esta ecuaci$n eliminar el trmino ;ue tiene ∆2G %or ser mu %e;ueHoG lue-o de des%ejar c se o'tiene@ c
=
/ y 1 +
3 ∆y 2 y
1
2
=
/ y 1 +
3 ∆y 4 y
11.27
En la cual se 9an utili?ado los %rimeros dos trminos de una e%ansi$n 'inomial %ara la a%roimaci$n de la derec9a. /uando ∆ es mu %e;ueHo com%arado con G se o'tiene el resultado conocido c
=
/ y
11.2! Zue es la celeridad de una onda con una am%litud mu %e;ueHa una lon-itud de onda -rande com%arada con la %rofundidad. R(%idamente se ,er( el conce%to de onda %e;ueHa jue-a un %a%el im%ortant0simo a medida ;ue se continJa el estudio del flujo a su%erficie li're en las secciones si-uientes.
11.4 ENERG9A ESPEC9FICA FLUJO CR9TICO +e nue,o el an(lisis si-uiente se restrin-e a flujo com%letamente desarrollado e incom%rensi'le a lo lar-o de un canal donde la %endiente del lec9o es %e;ueHa. &l i-ual ;ue antesG se su%one ;ue en el flujo %re,alece una distri'uci$n 9idrost(tica de %resiones. &dem(sG ste toma como unidimensionalG donde es esencialmente %aralela al lec9o del canal es constante a tra,s de una secci$n %er%endicular a ese lec9o. En la fi-ura 11.1# se muestra una %orci$n de un flujo como ste. N$tese ;ue la ele,aci$n %er%endicular al lec9o del canal 9asta un elemento de fluido est( dada %or n 9asta la su%erficie li're esta dada %or . *as secciones %er%endiculares al lec9o se locali?an mediante la %osici$n medida a lo lar-o de ste. *a distancia ,ertical desde un elemento 9asta el lec9o est( dada %or H desde la su%erficie li're 9asta el lec9o %or .
Fi-ura 11.1# Flujo en canales
Utili?ando 9 como ele,aci$n ,ertical desde un ni,el de referencia 9ori?ontal con,eniente 9asta un elemento fluidoG se tiene ;ue la altura ` + m esta %osici$n es@
8D
=
V2 2/
+
p γ
+:
11.2"
En la fi-ura 11.1# %uede reem%la?arse 9 %or 9o n cos αG ;ue %ara una %endiente del lec9o del canal %uede darse como 9o n. &simismoG la %resi$n % %uede e,aluarse a %artir de la ,ariaci$n 9idrost(tica en la si-uiente formaG considerando ;ue cosα M 1 % M γ B n &9ora se reem%la?a % en la ecuaci$n 11.2" utili?ando el resultado anterior reem%la?ando %or 9o n %ara o'tener@ 8D
=
V2
2/
+ ( y −) n( + ):# + n
∴ 8D =
V2 2/
+ y + :#
11.3#
N$tese ;ue la altura `+ es constante %ara todas las %art0culas en cada secci$n %er%endicular al lec9o. &9ora se define la ener-0a es%ec0fica E es% de la si-uiente forma@ (esp
=
8D
− :#
11.31
e ,e ;ue la ener-0a es%ec0fica realmente es la altura mec(nica con res%ecto al lec9o del canal como ni,el de referencia. &l sustituir %ara ` + utili?ando la ecuaci$n 11.31 en la ecuaci$n 11.3# se encuentra ;ue E es% es (esp
=
V2 2/
+
y
11.32
Fi-ura 11.11@ :r(ficas de ,ersus ener-0a es%ec0fica %ara diferentes caudales ;
&l i-ual ;ue ` + %uede decirse ;ue E es% es constante %ara todos los elementos fluidos en cual;uier secci$n del flujo %er%endicular al lec9o del canal. &9ora se eamina la ener-0a es%ec0fica %ara el caso de un flujo en un canal rectan-ularG donde ; es el caudal %or unidad de anc9o del canal. EntoncesG es claro ;ue &
=V
11.33
y
Para este flujo la ener-0a es%ec0fica se con,ierte en (esp
=
&2 2 y2/
+
y
11.34
/onsidrese la situaci$n en la cual ; se mantiene constante en donde E es% es ,aria'le. En la ecuaci$n 11.34G %ara cual;uier ,alor %articular de E es% 9a'r( una ecuaci$n cJ'ica en . Una de las ra0ces de ser( ne-ati,aG de manera ;ue eisten dos %rofundidades de flujo %osi'les %ara una E es% dada o nin-unaG como se muestra en la fi-ura 11.11G en la ;ue se 9a -raficado ,ersus E es% %ara diferentes ,alores de ;. & medida ;ue ;. la ecuaci$n 11.34 tiende 9acia una l0nea rectaG E es%MG ;ue se muestra como #a en el dia-rama. N$tese ;ue %ara cada ,alor de ; eiste un %unto de ener-0a es%ec0fica m0nima. *as %rofundidades %ara este %unto en cada una de las cur,as se indica como crG es decirG la %rofundidad cr0tica %ara un caudal ; %articular. Esta %rofundidad %uede encontrarse f(cilmente tomando la deri,ada %arcial de Ees% con res%ecto a e i-ual(ndola a cero. *ue-o@
∂(esp &2 = # = − 3 +1 ∂y / ycr Por consi-uienteG ycr
&2 = /
1 3
11.35
*a ,elocidad %ara esta condici$n de flujo cr se denomina f(cilmente al sustituir ; en la ecuaci$n anteriorG utili?ando la ecuaci$n 11.33. +e esta manera se o'tiene@ Vcr
=
/ y cr
11.36 N$tese ;ue la ,elocidad cr0tica cr es la celeridad de una %e;ueHa onda -ra,itacional en un l0;uido %oco %rofundo. Esta ecuaci$n %uede escri'irse como@ Vcr2 / ycr
=1
11.37
En el flujo de canales esta e%resi$n se toma como el cuadrado del nJmero de Froude. &simismoG de lo anterior se nota ;ue en la condici$n cr0tica el nJmero de Froude es i-ual a la unidad. *a %rofundidad cr0tica en el flujo en canales jue-a el mismo %a%el ;ue el (rea cr0tica en una 'o;uilla con,er-ente en el flujo com%rensi'le. En este Jltimo el nJmero de ac9 es an(lo-o al nJmero de Froude %ara el flujo en canales. En la 'o;uillaG la ,elocidad del fluido es i-ual a la celeridad de una %e;ueHa onda de %resi$n ;ue da M 1 en el (rea de -ar-anta. En el canalG el fluido corres%ondiente a la %rofundidad cr0tica se mue,e a la misma ,elocidad ;ue la celeridad de una %e;ueHa onda -ra,itacionalG ;ue da un nJmero de Froude i-ual a la unidad de acuerdo a la ecuaci$n 11.37. En una 'o;uillaG un cam'io de %resi$n a-uas a'ajo del (rea de -ar-anta no %uede afectar el flujo a-uas arri'a de sta cuando M1 en la -ar-anta. Esto es el resultado del 9ec9o de ;ue el fluido en la -ar-anta se mue,e a-uas a'ajo tan r(%ido como una %ertur'aci$n de %resi$n %uede mo,erse 9acia a-uas arri'a. +e manera an(lo-aG cuando la %rofundidad cr0tica se alcan?a en un flujo a su%erficie li'reG loa cam'ios de a-uas de'ajo de la %rofundidad cr0tica no %ueden transmitirse 9acia a-uas arri'a de staG de'ido a ;ue el fluido se mue,e 9acia a-uas 'ajo tan r(%ido como las ondas su%erficiales se mue,en 9acia a-uas arri'a en la secci$n cr0tica.
N$tese ;ue la cur,a de ener-0a es%ec0fica %ara un ,alor dado de ; es an(lo-a a la l0nea de Fanno. in em'ar-oG los efectos causados %or la fricci$n difieren entre el flujo com%rensi'le descrito %or la l0nea de Fanno la -r(fica de ener-0a es%ec0fica. +e'ido a la se-unda leG la entro%0a siem%re de'e incrementarse como resultado de la fricci$n en la direcci$n del flujo %ara el flujo adia'(tico de la l0nea de Fanno. Por consi-uienteG el nJmero de mac9 siem%re de'er0a tender 9acia M 1 como resultado de la fricci$n. No o'stante en el flujo normal en canalesG ;ue inclue la fricci$nG se tiene una ener-0a es%ec0fica constante en la direcci$n del flujo G %or consi-uienteG %uede %ermanecer en un %unto de la cur,a de ener-0a es%ec0fica. i el flujo normal no eiste en el canalG entonces el flujo tender( 9acia la direcci$n del flujo normal necesariamente 9acia el %unto cr0tico de la cur,a de ener-0a es%ec0fica. En consecuenciaG los efectos de la fricci$n son diferentes %ara flujos adia'(ticos com%rensi'les de (rea constante %ara flujo en canales. +e la ecuaci$n 11.32G %ara las condiciones cr0ticas se o'tiene@ ( (esp) min =
Vcr2 2/
+
ycr
11.3! &l reem%la?ar cr utili?ando la ecuaci$n 11.36 des%ejar %ara Qcr se o'tiene@ ycr
=
2 ( (esp ) min 3
11.3"
i se tiene flujo normalG ;ue simult(neamente es flujo cr0ticoG entonces la %endiente de lec9o del canal es i-ual a la %endiente de la su%erficie li're G asimismoG %uede utili?arse la ecuaci$n de /9?. Por consi-uiente se tiene@ V
=$
"8 S cr
11.4#
+onde cr es la %endiente del canal %ara flujo normal cr0tico. Para canales rectan-ulares anc9os en la ecuaci$n 11.4# %uede tomarse R`M cr'2cr ' ≅ cr.
*ue-o se multi%lica la ecuaci$n 11.4# %or el (rea de un anc9o unitario del canalG es decir 1 crG se o'tiene ; en el lado i?;uierdo de la ecuaci$n. *ue-oG %uede decirse ;ue@ 3 1 & = $ ycr Scr ( ycr ) = $ ycr2 Scr2
11.41
&9ora se des%eja ; en la ecuaci$n 11.35 %ara flujo cr0tico se sustitue en la ecuaci$n 11.41 1
1 y3 / 2 = $ y3 2S 2 cr cr cr
&l des%ejar crG se o'tiene@ Scr
/ = 2 $
11.42
*ue-o utili?ando la ecuaci$n 11.6 %ara reem%la?ar / en funci$n del factor de fricci$n fG se o'tiene@ f
= ! 11.43 Utili?ando el di(metro 9idr(ulico en el nJmero de Renolds %uede S cr
o'tenerse la %endiente %ara flujo cr0tico. FinalmenteG n$tese ;ue las ecuaciones ;ue si-uen a la ecuaci$n 11.32 con ece%ci$n de le ecuaci$n 11.4# Jnicamente son ,(lidas %ara canales rectan-ulares. N$tese nue,amente ;ue des%us de definir E es% en la ecuaci$n 11.32G con ece%ci$n de la ecuaci$n 11.4#G se 9an considerado canales rectan-ulares s$lo %ara deducir las ecuaciones 11.33 a 11.43. &9ora se esta'lecen ecuaciones ,(lidas %ara un canal %rism(tico con secci$n trans,ersal ar'itraria. Para 9acer estoG se em%ie?a con la ecuaci$n 11.32 se e%resa como si-ue@
(esp
=
V2 2/
+
y
=
,2 2 /A2
+y
+onde Z es el caudal %ara la secci$n com%leta. &9ora de'e o%timi?arse Ees% %ara un Z dado con el fin de o'tener la %rofundidad cr0ticaG %ero al 9acer esto de'e tenerse en cuenta ;ue & ser( una funci$n de . Por consi-uienteG se tiene@ d (esp dy
,2 = ( − 2) 2/
1 dA A3 dy
+1 = #
En la fi-ura 11.12 se o'ser,a d& es un cam'io infinitesimal del (rea de la secci$n trans,ersal est( dado %or ' dG donde ' es el anc9o de la su%erficie li're. *ue-oG des%us de reem%la?ar d&d %or ' en la ecuaci$n anterior se o'tiene@ 5, 2 =1 11.44 /A3 cr
+onde a9ora &cr es el (rea cr0tica corres%ondiente a FrM 1. Para encontrar la %rofundidad cr0tica en una secci$n trans,ersal com%leja %uede ela'orarse la -r(fica del ,alor de 'Z2-&3 %ara un Z dadoG ,ersus .
Fi-ura 11.12 /anal con secci$n trans,ersal ar'itraria /uando el ,alor sea 1G se o'tiene la %rofundidad cr0tica cr %ara ese Z. Una ecuaci$n %ara encontrar la ener-0a es%ec0fica m0nima E es%min %uede o'tenerse al des%ejar Z 2 en la ecuaci$n 11.44 sustituir el resultado en la ecuaci$n 11.43G %ara lle-ar a 11.45 ( (esp )min = Acr + ycr 25
Para tener un flujo normal cr0tico se utili?a la ecuaci$n de /9? con el fin de calcular Z. *ue-oG utili?ando la ecuaci$n 11.4# se tiene@ ,
=$
"8 S cr Acr
+e la ecuaci$n 11.44G se des%eja Z se sustitue en la ecuaci$n anterior /Acr3 5
1
2
=$
"8 S cr Acr
Utili?ando la ecuaci$n 11.6 %ara reem%la?ar /G lue-o de ele,ar los trminos al cuadradoG se tiene@ 3 /Acr 5
!/ = ( "8 S cr ) Acr2 f
&l des%ejar cr notar ;ue &cr R` M PcrG el %er0metro mojado se o'tiene@ Scr
=
Acr f !5"8
=
fPcr !5
11.46
+e esta manera se tienen las ecuaciones necesarias %ara una secci$n trans,ersal -eneral. +e la ecuaci$n ,alida %ara canales rectan-ulares se des%eja ;@
(
& = 2 / y (esp − y
)
1 2
11.47 e desea encontrarseG %ara un ,alor fijo de E es%G la %rofundidad corres%ondiente a un ,alor m(imo de ;. )omando la deri,ada %arcial con res%ecto a e i-ual(ndola a ceroG en la ecuaci$n 11.52 se o'tiene@ ∂&
=#=
( )− y
2 / (esp
1
∂y
2
−(
)
2/ y
1
(esp
−y
−1
2
2
&l des%ejar G se o'tiene@ y
=
2 (esp 3
11.4!
11. FLUJO VARIADO EN CANALES RECTANGULARES CORTOS &9ora se considera el flujo %ermanente a lo lar-o de distancias cortas en canales rectan-ulares dondeG a diferencia del flujo normalG la %rofundidad del flujo ser( una funci$n de . /orno en la secci$n %re,iaG la %endiente del lec9o de canal es %e;ueHa %ero %uede ,ariar a lo lar-o del lec9o ,er fi-ura 11.13. e considera un flujo unidimensional de'ido a la restricci$n de distancias %e;ueHas se i-norar(n los efectos de la fricci$n la tur'ulencia. *ue-o. *a altura total ` + de'e %ermanecer constanteG de'ido a ;ue no %uede 9a'er disi%aci$n de la ener-0a mec(nica. & %esar de ;ue las l0neas de corriente no son rectas como en el caso del flujo uniformeG aJn se considera ;ue %ersiste la %resi$n 9idrost(tica %er%endicular al lec9o en el flujo. Fi-ura 11.13 Flujo ;ue muestra la %rofundidad critica
Fi-ura 11.14 `acia la derec9a de & son %osi'les dos %rofundidades
/onsidrense a9ora las fi-uras 11.13 11.14 donde se su%ondr( ;ue en la %osici$n & se 9a alcan?ado la %rofundidad cr0tica. …Zu %odr0a es%erarse 9acia la derec9a de & donde el ,alor de 9o disminue† i no eiste un
cam'io de HD en el flujo a-uas arri'a de &G se mantendr( un caudal %or unidad de anc9o ; constante cuando se 9acen cam'ios a-uas a'ajo. Esto se de'e a la eistencia del flujo cr0tico en &G ;ue no %ermite ;ue las ondas -ra,itacionales se %ro%a-uen 9acia a-uas arri'a. Por consi-uienteG se %ermanecer( en una de las cur,as de la fi-ura 11.11 a medida ;ue el o'ser,ador se mue,e 9acia a-uas a'ajo de &. N$tese ;ue al disminuir 9 oG necesariamente Ees% se incrementar( %or consi-uienteG el o'ser,ador de'e mo,erse 9acia la derec9a del %unto cr0tico en la cur,a de ,ersus Ees%. Para cual;uier ,alor es%ec0fico de 9 o locali?ado a la derec9a del %unto cr0ticoG %ara cual;uier ,alor es%ec0fico se 9a locali?ado a la derec9a de & en la fi-ura 11.14 se ,e ;ue %ueden eistir dos %rofundidades %osi'les Q 8 Q1 Qc %ara las con diciones dadas. Esto es similar a la 'o;uilla con,er-ente =di,er-ente en la cualG %ara unas condiciones iniciales dadasG %odr0a eistir flujo su's$nico o flujo su%ers$nico a-uas a'ajo de la -ar-anta. *a clase de flujo en la 'o;uilla de%ende de las condiciones a-uas a'ajo en la c(mara de contra%resi$n. El flujo con %rofundidad 8 de la fi-ura 11.14 o',iamente es m(s r(%ido ;ue el corres%ondiente a cr G %or consi-uienteG ecede la celeridad de una onda -ra,itacional Fr x 1. ste se conoce como flujo ultrarr(%ido o su%ercr0tico es o',io ;ue corres%onde al flujo su%ers$nico en la 'o;uilla. El flujo en / es m(s lento ;ue el flujo cr0tico Fr p 1 ste se conoce como flujo tran;uilo o su'cr0tico. En la fi-ura 11.15 se muestran estas dos %osi'ilidades. El flujo %articular ;ue se alcance de%ende de los controles a-uas a'ajo de &.
Fi-ura 11.15 +os flujos son %osi'les des%us de la secci$n cr0tica &
Fi-ura 11.16 ertedero de cresta anc9a flujo no ,iscoso
/omo ejem%loG considrese el caso del ,ertedero de cresta anc9a ;ue se muestra es;uem(ticamente en la fi-ura 11.16. &l utili?ar la su%erficie su%erior del ,ertedero como ni,el de referencia e i-norar la transferencia de calor la fricci$nG como se 9i?o en el flujo anterior. Puede su%onerse ;ue se conser,a la ener-0a mec(nica almacenada %ara el flujo en la %arte su%erior del ,ertedero. /omo esta %orci$n del ,ertedero es 9ori?ontalG tam'in %uede decirse de la ecuaci$n 11.31k ;ue se conser,a la ener-0a es%ec0fica. Puede sim%lificarse aJn m(s el %ro'lema ima-inando ;ue el flujo inmediatamente antes ;ue la cresta del ,ertedero es un flujo unidi= mensional so're la %rolon-aci$n 9ori?ontal 9i%ottica de la cresta. /omo se muestra en el dia-rama. *ue-oG con %ro%$sitos de c(lculoG se tiene un flujo en un canal de anc9o infinitoG donde la ener-0a es%ec0fica es constante a lo lar-o del flujo. /on una ca0da li're desde el ,ertederoG es decirG sin o'strucciones sin fricci$nG %uede es%erarse el caudal & m(imo %ara una ener-0a es%ec0fica dada. En consecuenciaG de'ido a ;ue ; es m(imo %ara una ener-0a es%ec0fica dadaG se conclue ;ue se tiene flujo cr0tico con una %rofundidad cr0tica cr (la fi-ura 11.16 %ara el caso ideal. ustituendo la ecuaci$n 11.4! en la ecuaci$n 11.47G %uede encontrarse & en la si-uiente forma@ &
=
2 ( ( − 2 ( esp esp esp 3 3
2/
1
2
2 = (esp 3
2
3
/
11.4"
i 5 es el anc9o del ,ertedero de cresta anc9aG el caudal total Z es ,
= 5 2 (esp 3
2
3
/
11.5#
&9ora de'e calcularse esp> Para estoG es necesario conocer la altura o de la su%erficie li're a-uas arri'a del ,ertederoG como se muestra en la fi-ura 11.16 Por consi-uiente %uede deducirse ;ue la altura total 8D de las %art0culas de fluido en el canal %uede calcularse considerando las %art0culas del fluido en la su%erficie li're a-uas arri'a lejos del ,ertedero. Puede i-norarse la altura de ,elocidad si se utili?an %resiones manomtricasG como es el %rocedimiento usualG en la ecuaci$n 11.2" es claro ;ue la altura total con res%ecto al ni,el de referencia del %ro'lema es
o. Utili?ando la ecuaci$n 11.34 con 9 o M < %uede utili?arse este ,alor como una a%roimaci$n %ara la ener-0a es%ec0fica. +e acuerdo con estoG sustituendo en la ecuaci$n 11.5# se o'tiene lo si-uiente %ara Z@ ,
2 = 5 y# 3
3
2
/
11.51
Para lle-ar a esta ecuaci$n no se 9a tenido en cuenta la fricci$nG en realidad. *a fricci$n %roduce una disminuci$n en la ener-0a es%ec0fica a lo lar-o del flujo. in em'ar-oG %ara un ; dado a lo lar-o de la crestaG la ener-0a es%ec0fica no %uede ser menor ;ue la ener-0a es%ec0fica corres%ondiente a la %rofundidad cr0tica %ara ese ,alor de ; ,ase la fi-ura 11.14. Por consi-uiente. El %erfil de la su%erficie li're se ajusta %or s0 mismo de manera ;ue al final de la cresta se ten-a la ,elocidad cr0tica ,ase la fi-ura 11.17 en forma 'astante %arecida al flujo com%resi'le unidimensional %ara la condici$n estran-ulada en %roductos de (rea constante. Puede se-uir utili?(ndose la ecuaci$n 11.5# %ara el flujo. Pero E es% ser( menor ;ue o. +e manera ;ue Z ser( menor ;ue el caso ideal. En la fi-ura 11.1! se muestra lo ;ue %uede suceder cuando el lec9o del canal cam'ia %ara diferentes caudales. N$tese ;ue en el dia-rama del medio se 9a mostrado una cur,a %unteada %ara la %osi'ilidad de ;ue el flujo su%ercr0tico se ,uel,a su'cr0tico mediante un resalto 9idr(ulico.
Fi-ura 11.17 Flujo critico a la salida
Fi-ura 14.1! +iferentes re-imenes de flujo
11. FLUJO
GRADUALMENTE
VARIADO
SO
CANALES LARGOS `asta a9ora se 9a considerado el flujo normal %ermanente en canales %rism(ticosG donde es tu,ieron en cuenta la fricci$n la tur'ulencia. Reacurdese ;ue la %rofundidad es constante %ara estos flujos. *ue-o se consideraron flujos %ermanentes en canales rectan-ulares no %rism(ticos so're distancias cortas. En este casoG se i-noraron com%letamente la fricci$n la tur'ulencia. &9ora se consideran el flujo %ermanente en canales no %rism(ticos a lo lar-o de distancias -randes. +e'ido a estas distancias -randes de'e tenerse en cuenta la fricci$n la tur'ulenciaG como se 9i?o %ara el flujo en tu'er0as lar-asG a ;ue estos dos factores afectan definiti,amente el flujo. El estudio se restrin-e a los dos casos donde la %endiente del lec9oG la ru-osidad el (rea de la secci$n trans,ersal cam'ian mu lentamente a lo lar-o del canal. Por esta ra?$nG estos flujos se conocen como flujos -radualmente ,ariados. +e acuerdo con lo anteriorG en la fi-ura 11.2# se considera un ,olumen de control infinitesimal en un flujo no uniforme %ermanenteG se e%resa la %rimera le de la termodin(mica %ara un flujo unidimensional %ermanentemente en este ,olumen de control. &l utili?ar %resiones manomtricas la ecuaci$n 11.3# %ara calcular la altura total ` +v se tiene@ V2 2/
V 2 V 2 + y + :# = + d + y + dy + :# + d:# + d 81 2 / 2 /
Fi-ura 11.2# olumen de control infinitesimal %ara flujo -radualmente ,ariado
11.52
donde `1 es la %erdida de altura dada %or 81
1 d, = u2 − u1 − = d- /
:1 /
Fi-ura 11.21 Flujo -radualmente ,ariado /ancelando trminos en la ecuaci$n anteriorG se o'tiene V 2 + dy + d:# + d81 = # 2/
d
N$tese ;ue d9# %uede e%resarse como #d. &dem(sG la %erdida en altura total `+ es la disminuci$n en la ele,aci$n de la l0nea de ener-0a total ,er fi-ura 11.21G de manera ;ue d` 1 %uede rem%la?arse %or dG donde es la %endiente de la l0nea de ener-0a total. &l rem%la?ar d9 # %or d`1 como se indico lue-o de di,idir %or dG en la ecuaci$n anterior se o'tiene@ V 2 dy + − S# + S = # dx 2 / dx d
11.53
&9ora se considera la ecuaci$n de continuidad %ara el ,olumen de control fi-ura 11.2#. Notando ;ue se tiene un flujo %ermanenteG ;ue %uede decirse ;ue Z M & ∴
d, dx
= # =V
dA dx
+A
dV dx
11.54
*a e%resi$n d& %uede rem%la?arse %or 'dG donde ' es el anc9o de la su%erficie li're. &l des%ejar ddG se tiene@ dV dx
=−
V5 dy A dx
11.55
Por consi-uienteG %ara el %rimer termino de la ecuaci$n 11.53 %uede decirse ;ue d V 2 dx 2 /
V = /
dV dx
=−
V 25 dy A/ dx
donde %ara este ultimo %aso se 9a utili?ado la ecuaci$n 11.55. &9oraG utili?ando este resultado en la ecuaci$n 11.53 al des%ejar ddG se tiene@ dy dx
=
S# − S 2 1−V 5
11.56
A/
*a e%resi$n 2'&- es adimensional se considera en el caso de flujo de canales como el cuadro del nJmero de FraudeG FrG se-Jn se anoto anteriormente. Por consi-uienteG dd %uede darse como dy dx
S −S = # 2 1 − .r
11.57
Esta ecuaci$n es Jtil %ara esta'lecer el si-no de la %endiente de la su%erficie li're. /laramente de%ende del numero de Froude es decirG si el flujo es su'cr0tico o su%ercr0tico de los ,alores relati,os de la %endiente del lec9o # de la %endiente de la l0nea de ener-0a total.
En este %unto se 9ar( una su%osici$n mu im%ortante so're la %endiente de la l0nea de ener-0a total en cual;uier %osici$n a lo lar-o del canalG se dir( ;ue esta %endiente es i-ual al la %endiente del lec9o %ara la misma %rofundidad del canal %ara el mismo caudal ZG %ero %ara el cual el flujo es normal. En esenciaG se dice ;ue los efectos de fricci$n en el canal corres%onden ala la fricci$n ;ue se %resenta en el mismo canal %ara un flujo normal corres%ondiente al mismo Z. &l retomar la ecuaci$n 11.11
2 2 %uede rem%la?arse en al ecuaci$n 11.57 %or ( n k ) 1 4 V . *ue-o 3 "8
se tiene@
dy dx
2 2 S# − ( n k ) V 4 3 "8 = 2 V 1 − 5 /A
Puede rem%la?arse %or Z& %ara lle-ar a la ecuaci$n si-uiente@
dy dx
( k ) , 2
S# − n
=
, 25 1−
2
"83 A2 4
11.5!
/A3
)eniendo en cuenta ;ue 'G R` & son funciones de mientras ;ue # es una funci$n de G %uede considerarse ;ue se tiene una ecuaci$n diferencial de la forma dy dx
=
f xG y
Por a9ora es %resenta un %rocedimiento sim%le %ara calcular la %rofundidad ,ersus a lo lar-o de un flujo -radualmente ,ariado. *a ecuaci$n 11.5!%uede e%resarse en unaforma de diferencias finitas como si-ue@ ∆+ = S# −
2 1− , 5
( k) n
2
/A3
,2
"843
∆y A2
11.5"
+onde ∆* es la lon-itud medida a lo lar-o del lec9o del canal ,alida %ara # %e;ueHa ∆ es el cam'io en la ele,aci$n de la su%erficie corres%ondiente a un cam'io ∆* en la %osici$n a lo lar-o del canal. Puede utili?arse la ecuaci$n 11.57 de ,arias maneras. e su%ondr(n ;ue se conocen todas las condiciones en la secci$n 1inicial. &9ora se estudiara la soluci$n a diferentes ti%os de %ro'lemas. 1. +esea conocrsela distancia a-uas de'ajo de una %osici$n donde la %refundida tiene un ,alor conocido 2. i # no ,aria muc9o si 2 es cercano a 1G %uede em%learse la ecuaci$n 11.5! una ,es %ara determinar ∆* utili?ando el ,alor %reesta'lecido en ∆ as0 como tam'in los ,alores conocidos de 'G R `G & # corres%ondiente a ala secci$n 1. Un %rocedimiento mas eacto es calcular los ,alores de 'G R ` & entre la secciones 1 2. &l utili?ar estos ,alores el ,alor %romedio de # %uede irse a la ecuaci$n 11.5" %ara determinar ∆*. 2.
3. El si-uiente caso donde se desea el %erfil de la su%erficie li're a lo lar-o de una distancia ∆* maorG o donde se desea un c(lculo m(s eacto de ∆* %ara un 2 dado caso 1 oG finalmenteG donde se desea un c(lculo m(s eacto de
2
%ara
un ∆* dado caso 2. En todos estos casosG %ara tra'ajar se esco-en incrementos de∆ %e;ueHos. /uanto menor sea el ,alor de ∆G mas eactos ser(n los resultadosG aun;ue estos incrementa el tra'ajo de manera considera'le. &9oraG %ara el %rimer ∆ al ir de la secci$n 1 al la secci$n 2G donde se consideran ;ue determinar el %rimer ∆G se %rocede como se descri'e en el caso 1 calculando ∆*1=2 entre las secciones 1 2. *ue-o se 9ace lo mismo %ara el si-uiente ∆G ;ue ,a desde la secci$n 2 9asta la secci$n 3 %ara calcular ∆*2=3. e %rocede 9asta ;ue se 9aa utili?ado todos los incrementos. *ue-o %uede 9acerse una -rafica de ,ersus * utili?ando los ,alores calculados de ∆ ∆* en cada secci$n %ara formar el %erfil. i se resuel,e el caso 1 %or medio de este %rocedimiento mas detalladoG 'astara utili?ar ∆ suficientemente %e;ueHos %ara alcan?ar la %rofundidad final deseada. *a suma de los ∆* %e;ueHos es la distancia total ∆*total deseada %ara la %rofundidad final esti%ulada. En el caso 2G se lle,a a ca'o los c(lculos utili?ando ∆ %e;ueHos sucesi,os 9asta ;ue la suma de los ∆* sea i-ual a la distancia total ∆*total esti%ulada. /uando se tiene flujo critico en al ecuaci$n 11.44 el numerador en al ecuaci$n 11.5" es cero. Esto indica ;ue ∆* M # %ara cam'ios finitos en la %rofundidadG lo cual no tiene sentido en este %unto del an(lisis. Puede concluirse ;ue la ecuaci$n 11.5" no tiene si-nificado %ara condiciones cercanas al flujo critico. *as su%osiciones '(sicas de ,ariaci$n -radual de flujo no se a%lican cerca del flujo cr0ticoG de'ido a ;ue la a%roimaci$n 9acia o desde el flujo cr0tico es a'ru%ta. *a tendencia 9acia flujo normalG %or otro ladoG es -radual. &9ora se consideran un canal mu anc9oG donde la %endiente # del canal es cero. En este caso el radio 9idr(ulico es i-ual a del canal. &9ora %uede e%resarse la ecuaci$n 11.5! en la si-uiente forma inte-ral@
1−
y
x
=− ∫
( , 5y ) 2 /y
()
( )
y n k 2 1 y 4 3 , 5y 2 1
dy
Utili?ando Z' M ;G donde ; es el caudal %or unidad de anc9oG esta ultima ecuaci$n se con,ierte en 1−
y
x
=− ∫
& 2 /y 3
y 1 n k 2 &2
(
)
y1# 3
2
dy
Esta inte-ral %uede calcularse f(cilmente. e o'tiene@
x
x
2 k 1 = − 2 n &
2 k 3 ( y4 3 − = n 4 /
y1
y13 3
43
)−
3 13
y
−
1
3 13&
1 43 3 y / 4 y
2
( y13 3 − y113 3 )
11.6#
11.10 CLASIFICACI"N DE LOS PERFILES SUPERFICIALES PARA FLUJOS GRADUALMENTE VARIADOS Nue,amente se consideraran canales rectan-ulares anc9osG anali?ando la %endiente de la su%erficie li'reG %ara cierto conjunto de condiciones ;ue in,olucran@ 1. /ual es la %endiente del lec9o del canal 2. i el flujo es su'cr0tico o su%ercr0tico 3. i la %rofundidad es maor o menor ;ue la %rofundidad normal NG considerada en la secci$n 11.3 &9ora se ,uel,e a la ecuaci$n 11.67. &l rem%la?ar R` %or G Z %or ;' & %or ' en el numerador Z %or & lue-o & %or ' en el denominadorG se o'tiene@
n& 2 S# − k 1 1# 3 dy y = 2 dx 1 − V /y
a
e nota ;ue 2- es el cuadro de nJmero de FroudeG FrG con %rofundidad como la dimensi$n lon-itudinal. Por consi-uienteG se tiene@
dy dx
2 S# − n& k = 1 − .r 2
1 y
1#
3
'
&l di,idir multi%licar %or #G se o'tiene@ 2
S# 1 − 1
n& S# k dy = 1 − .r 2 dx
1 y
1#
3
11.61
*ue-o utili?ando la ecuaci$n 11.11 se rem%la?ara # dentro de los corc9etes %or la corres%ondiente a un flujo normal 9i%ottico con el mismo caudal Z del an(lisis. e rescri'e la ecuaci$n 11.11 como
n S# = k
2
2 1 V 4 "83
Para el canal anc9o en estudioG %uede rem%la?arse R` %or N %or ; NG donde N es la %rofundidad normal %ara el flujo normal corres%ondiente a la %endiente del lec9o #. *ue-o se tiene@
S#
n =
2
k
1 & 4 y2 3 ) y )
n =
k
2
&2 1# y 3 )
11.62
&l sustituir en la ecuaci$n 11.61 cancelando trminosG se o'tiene
dy dx
S# 1 −
=
y)
1# 3 y
1 − .r 2
11.63
e utili?a la ecuaci$n 11.76 %ara esta'lecer ciertos %erfiles en diferentes flujos. PrimeroG se considera una %endiente del lec9o 9ori?ontal ,er fi-ura 11.22a. En este casoG la %rofundidad normal N es infinita %ara un caudal & ≠ # . +e'ido a ;ue # M#G en este caso es mejor utili?ar la ecuaci$n a. Para flujo su'cr0ticoG Frp1. *a %endiente del %erfilG identificada en le dia-rama como `1G %or consi-uienteG es ne-ati,aG Para flujo su%ercr0ticoG Frx1 as0G la %endiente del %erfil ` 2 es %ositi,a. En el dia-rama se muestra estos %erfiles %or encima %or de'ajo de /rG res%ecti,amente. En la %rofundidad criticaG FrM1 la %endiente de la su%erficie li're se ,uel,e infinita.
Fi-ura 11.22 Perfiles ejem%los de flujo
Fi-ura 11.23 Pendiente ad,ersa # ne-ati,a
&9ora se considera una %endiente del lec9o del canalG %ara la cual la %rofundidad normal N es maor ;ue la %rofundidad critica cr El canal 9ori?ontal %ara el cual
y)
→ ∞ es un caso es%ecial. *a %endiente %ara
este canal de'e ser %e;ueHa G %or consi-uienteG se dice ;ue el canal tiene una %endiente sua,e ,er fi-ura 11.22'. i la %rofundidad x NG el flujo es su'cr0tico Frp1 en la ecuaci$n 11.63 se ,e ;ue la %endiente es %ositi,a se tiene una cur,a 1. PosteriormenteG si la %rofundidad p N %ero si-ue siendo su'cr0tica Frp1G la ecuaci$n 11.63 esta'lece ;ue la %endiente es ne-ati,a se tiene la cur,a 2. i p N el flujo es su%ercr0tico Frx1G la ecuaci$n 11.63 da una %endiente %ositi,a como se indica 'ajo la cur,a 3. Nue,amenteG al a%roimarse a la %rofundidad cr0tica las %endientes de las cur,as 2 3 de'en ser %er%endiculares a la l0nea de %rofundidad cr0tica FinalmenteG se consideran el caso %ara el cual el flujo normal es su%ercr0ticoG Esto si-nifica NpcrG e dice ;ue %ara tales circunstancias la %endiente em%inada. /uando la %endiente del canal es tal ;ue el lec9o aumenta su ele,aci$n en la direcci$n del flujo ,er fi-ura 11.23G se tiene una %endiente ad,ersa # es ne-ati,a. &l considerar la le de neAton es e,idente ;ue no %uede eistir flujo uniforme. En la fi-ura 11.22 se muestra los %erfiles %osi'lesG los cuales se denotan como &2 &3. /omo se recordaraG los diferentes %erfiles ;ue a%arecen en las fi-uras 11.22 11.23 se dedujeron utili?ando la ecuaci$n 11.63G ;ue es ,alida %ara canales rectan-ulares. En realidad estos %erfiles son ,alidos %ara
todos los canales ;ue ten-an secciones trans,ersales constantes. El canal rectan-ular se utili?o Jnicamente %ara sim%lificar los c(lculos. +e'e indicarse ;ue %ar resol,er el %erfil de la su%erficieG como se 9acen en la secci$n 11.!G es mu Jtil esta'lecer al %rinci%io la forma -eneral del %erfil a%ro%iado utili?ando las fi-uras 11.22 11.23 %ara ello es necesario conocer N cr. Por con,eniencia de acuerdo con estoG a9ora se %resentan las ecuaciones a%ro%iadas %ara lle,ar a ca'o estos c(lculos. Para canales rectan-ulares anc9os y)
n& = k S #
ycr
&2 = /
3
5
11.64
1 3
11.65
Para el caso -eneral #. Fl', /#l
,
2 k = "83 n
S# A)
11.66 En este caso el ,alor de N entrara en esta e%resi$n en R` &N 7. Fl', %&% 5, 2 3 /Acr
En este caso cr a%arecer( en Z &
=1
11.67
11.11 FLUJO R8PIDAMENTE VARIADO EL RESALTO HIDR8ULICO *a similitud de ciertos as%ectos del flujo a su%erficie li're con el flujo com%resi'le %or consi-uienteG %uede es%erarse una acci$n en el flujo de su%erficie li're an(lo-a a la onda de c9o;ue ;ue el flujo com%resi'le. Esta acci$n se conoce como resalto 9idr(ulicoG del cual en la fi-ura 11.24 se muestra un es;uema ;ue ilustra un flujo en un canal 9ori?ontal con anc9o '. El resalto 9idr(ulico %uede ocurrir cuando 9a flujo su%ercr0tico en un canal con una o'strucci$n o un cam'io 'rusco en el (rea de la secci$n trans,ersal. El resalto se %resenta cuando el flujo cam'ia de su%ercr0tico a su'cr0tico con una %rofundidad maor. Para estudiar el resalto 9idr(ulico se considera un flujo %ermanente dentro del cual el resalto 9idr(ulico %ermanece fijo en una %osici$nG como se muestra en la fi-ura 11.24. En esta se a di'ujado un ,olumen de control %ara indicar las condiciones de flujo a-uas arri'a secci$n 1 a-uas a'ajo secci$n 2 del resalto 9idr(ulico. En estas secciones 1 2 estn ra?ona'lemente cerca del resaltoG %uede eliminarse la fricci$n entre el lec9o del canal sin cometer un error -ra,e. &l utili?ar las ecuaciones de continuidad de momentumG %ara este ,olumen de controlG %ueden relacionarse las %rofundidades 1 2 antes des%us del resalto. Por consi-uienteG la ecuaci$n de continuidad %ara flujo incom%resi'le en canales rectan-ulares arroja 5y1V1 = 5y 2 = , 11.6! donde Z es el caudal totalG una constante %ara los %ro'lemas. Utili?ando distri'uciones 9idrost(ticas de %resi$n en las secciones 1 2 del flujoG la ecuaci$n de momentun lineal en la direcci$n del flujo es γ y1 γ y2 5y1 − 5y2 2 2
=
ρ,V2
− V1
11.6"
Primero se di,ide %or ρ lue-o en el miem'ro derec9o de la ecuaci$n se rem%la?ara 2 %or Z' 2 1 %or Z' 1G de acuerdo con la ecuaci$n 11.6! lue-o. /5y12
−
/5y22
2
=
,2 1
2
− y2
5
1
y1
11.7#
&l reunir trminos en el miem'ro i?;uierdo de la ecuaci$n com'inar las fracciones del miem'ro derec9o de la mismaG se o'tiene@
(y 2
/5
2 1
− y22 ) =
, 2 y1 − y2 5
y1 y2
11.71
Fi-ura 11.24 olumen de control unido a un resalto 9idr(ulico Por consi-uienteG se tiene una relaci$n entre 1 2. /laramenteG si 1 M 2G la ecuaci$n se satisface se tiene la soluci$n tri,ial se no resalto 9idr(ulico. *ue-oG se cancela 1=2 de la ecuaci$n %ara alcan?ar una forma ;ue de una res%uesta no tri,ial. Por consi-uiente. /5 y1 2
+
y2
=
,2 1 5 y1 y2
c
ulti%licando esta ecuaci$n %or 2 2-' lle,ando todos los trminos al miem'ro i?;uierdo de la ecuaci$n se o'tiene@ y22
+ y1 y2 −
2, 2 1 /5 2 y1
=#
11.72
&l des%ejar 2 en funci$n de 1 mediante el uso de la formula cuadr(ticaG se o'tiene@
− y1 ± y2
!,2 2 /5
y12 +
=
1
y1
11.73
2
Es claro ;ue de'e tomarse la ra0? %ositi,a %ara ;ue le ,alor de 2 sea %ositi,o &9ora se esta'lece ;ue condicionesG si eistenG son necesarias %ara ;ue la %rofundidad del flujo se incremente a tra,s del resalto 9idr(ulico. Es decir Q2 x 1 &l utili?ar la ecuaci$n 14.73 %ara 2G esta desi-ualdad se con,ierte en 1
− y1 + 2
y12
!, 2 /52 y1
>
y1
umando 12 a am'os miem'ros de la desi-ualdad lue-o ele,ando al cuadrado am'os miem'rosG se o'tiene@ 1
2 y12 + !,2 > " y12 4 /5 y1 4
( )
2 Restando 1 y1 a am'os miem'ros de la desi-ualdad se o'tiene@ 4
2, 2 /5 2 y1
> 2 y12
&islando 1 en el miem'ro derec9o de la desi-ualdadG %uede decirse ;ue , 2 /5 2
1 3
>
11.74
y1
i en la ecuaci$n 11.65 se rem%la?ara ; 2 %or Z2'2G se ,e ;ue el miem'ro i?;uierdo de la desi-ualdad anterior es la %rofundidad cr0tica. +e esa manera se conclue ;ue 1 de'e ser menor ;ue la %refundida critica. *ue-oG si la %rofundidad 2 de'e eceder a 1 es decirG si el flujo de'e e%erimentar un aumento en la %rofundidad como resultado del resalto 9idr(ulicoG el flujo de'e ser su%ercr0tico a-uas arri'a del resalto 9idr(ulico. Para maor informaci$n acerca del resalto 9idr(ulico considrese la %rimera le de la termodin(mica %ara el ,olumen de control de la fi-ura 14.24 lue-o V12 2/
+ y1 =
V22 2/
d, 1 + y2 + ( u2 − u1 ) − d- /
en esta ecuaci$n Z re%resenta la transferencia de calor /omo el flujo en tu'er0asG la ultima e%resi$n de la ecuaci$n %uede considerarse como la %erdida de altura ` 1 oG en otras %ala'rasG la %erdida de ener-0a Jtil %or unidad de %eso del sistema. &l rem%la?ar 1 %or ;)'1 2 %or ;)'2 ordenar la ecuaci$nG se o'tiene@ &*2 1 2 /5 2 y12
−
1 + ( y1 − y2 ) y22
= 81
11.75
;) M caudal total &9ora se com'inan las fracciones de la %rimera e%resi$n de la ecuaci$n anterior@ &*2 y22 − y12 2 2 2 /5 y1 y22
+ ( y1 − y2 ) = 81
d
& %artir de la ecuaci$n cG %uede encontrarse &*2 y15 2
=
(y
/
2 2
2
+ y1 y2
&*2 y15 2 G
o'teniendo@
)
11.76 &9oraG al sustituir esta ultima e%resi$n en la ecuaci$n dG se o'tiene@
(y 4y 1
2 2
+ y1 y2
1
) y y− y 2 2
2 1
2 2
+ ( y1 − y2 ) = 81
11.77
*os trminos del miem'ro i?;uierdo de esta ecuaci$n %ueden com'inarse de manera ;ue y23
− y13 + 3 y1 y2 y1 − y2 4 y1 y2
= 81
11.7!
&9oraG un resalto 9idr(ulico es un %roceso irre,ersi'le donde eisten %erdidas de ener-0a mec(nica en ener-0a cal$rica en ener-0a interna. Para resaltos 9idr(ulicos con nJmeros de Fraude maores ;ue 2#G la %rdida de ener-0a macanita %uede lle-ar desde 45 9asta el !5 increment(ndose esta disi%aci$n con el aumento en el nJmero de Fraude inicial. *ue-oG la %erdida de altura en la ecuaci$n anterior de'e ser %ositi,a. e conclue ;ue %ara 2 x 1 %ara todos los resaltos 9idr(ulicosG como aca'a de mostrarseG el flujo a-uas arri'a de un resalto 9idr(ulico tiene ;ue ser su%ercr0tico. En la ecuaci$n 11.6" se di,ide %or ' lue-o se rem%la?a Z %or ';G donde Z es el caudal %or unidad de anc9o del canal finalmenteG se rem%la?a %or ; utili?ando consideraciones de continuidad. *ue-o de ordenar la ecuaci$nG se o'tiene@
γ y12 2
+
ρ& 2 y1
=
γ y22 2
+
ρ& 2 y2
11.7"
*ue-oG se ,e ;ue la cantidad γ y 2 2 + ρ& 2 y ;ue es la suma de fuer?a 9idrost(ticas %or unidad de anc9o en una secci$n m(s el flujo de
momentun lineal de anc9o en la secci$n %ermanecen constantes a lo lar-o del flujo del canal. Para un caudal ;G %uede ela'orarse la -rafica
γ y 2 2 + ρ& 2 y
conocido
como fuer?a es%ecifica ,ersus . En la fi-ura 14.25 se muestra una -rafica de esta clase. El ,alor m0nimo
γ y 2 2 + ρ& 2 y
ocurre a cierta %rofundidad
G la cual %uede determinarse r(%idamente minimi?ando con res%ecto 9a se o'tiene@ ∂ γ y 2 + ∂y 2 ∴y −
ρ &2 y2
∴ y y −
ρ &2 y
γ y 2 2 + ρ& 2 y
=#
=#
ρ &2 y3
= #
1
e o'tiene M # y = ( & 2 / ) 3 . En la ecuaci$n 14.65 se ,e ;ue el ,alor encontrado de y ≠ # es realmente la %rofundidad criticaG donde el numero de Fraude es la unidad. Por consi-uienteG la %arte de la cur,a locali?ada %or encima de cr de'e corres%onder a flujo su'cr0ticoG mientras ;ue la %orci$n inferior corres%onde a flujo su%ercr0tico. *ue-oG %ara un flujo su%ercr0tico inicial & necesario %ara el resalto 9idr(ulicoG el flujo 8 de'e ser su'cr0tico des%us del resalto con el fin de mantener el mismo ,alor de
γ y 2 2 + ρ& 2 y .
Por consi-uienteG se ,e ;ue el resultado
9idr(ulico es mu %arecido a una onda de c9o;ue normal.
MATERIALES Y METODOS
El material 'i'lio-r(fico em%leado es mu am%lio ,ariado desde a;uellas a%licaciones ;ue tratan li-eramente los temas te$ricos mencionados 9asta a;uellos ;ue lo 9acen con mas %rofundidad ;ue se encuentran en una industriaG con conce%tos tcnicos de acorde al a,ance tecnol$-ico actual.
*a forma como se %resenta este tra'ajo de in,esti-aci$nG constitue un intento %or llenar el ,ac0o en un solo li'roG con mtodo %eda-$-icoG deducti,o un an(lisis en los res%ecti,os temas de la ec(nica de Fluidos.
RESULTADOS
*a in,esti-aci$n ;ue se 9a reali?ado nos %ermite contar con un material de ec(nica de FluidosG en donde las materias a%licadas si-uen un orden l$-ico. *os estudiantes o cual;uier %ersona interesada %ueden encontrar en el una ,ista %anor(mica de la ec(nica de Fluidos en un marco te$rico mu am%lio.
*os temas tratados en el li'ro se e%lican de manera clara sencilla a la ,e? ri-urosa con la ei-encia ;ue re;uiere un estudiante o %rofesional de la rama de in-enier0aG so're todo de la mec(nica. *os temas %ueden ser com%rendidos %or el lector con un %e;ueHo esfuer?oG sin necesidad de audaG no o'stante siendo necesaria la del %rofesor.
DISCUSION *a ela'oraci$n de un li'ro de cual;uier materiaG en %articular de un li'ro te$rico de la ec(nica de FluidosG es un %roecto %or dem(s am'icioso dif0cil donde no se %odr( satisfacer a %lenitud las as%iraciones ei-encias del lector no o'stante el %resente li'ro constitue un intento %or llenar el ,ac0o eistente en la maor0a de o'ras de la ec(nica de Fluidos de esta manera com%lementar am%liar los a eistentesG %ara contri'uir en la formaci$n de nuestros alumnos o %rofesionales interesados en el (rea.
`I)EG Fran. ec(nica de fluidosG ico@ ed. c :raA=`ill de
ico . &. de /. .G se-unda edici$nG 1"!3. F<G Ro'ert c+
ico@ ed. c :raA=`ill Interamericana de ico. . &. de /. .G cuarta edici$nG 1""5. <))G Ro'ert. ec(nica de fluidos a%licadaG ico@ ed. Prentice=`all
`is%anoamericanaG . &. cuarta edici$nG 1""6. `&EG Ir,in. ec(nica de fluidosG /olom'ia@ ed. c :raA=`ill
Interamericana de ico. . &.G no,ena edici$nG 2###. 8<ERG :. ec(nica de fluidosG Estados Unidos de &mrica@ ed
&ddison=esle I'eroamericanaG . &.G %rimera edici$nG 1""4. `I+R<)&*. 8om'as de alta eficienciaG PerJ@ ed. Industrial :rafica .
&.G %rimera edici$nG 1""4. :ER`&R)G P9ili%. ec(nica de fluidosG ico@ ed. &ddison=esle
I'eroamericanaG . &.G se-unda edici$nG 1""5. <)E*
edici$nG 1"!2. P<))ERG erle. ec(nica de fluidosG ico@ ed. Prentice=`all
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Interamericana. . &.G %rimera edici$nG 1""!. &)&IG /laudio. ec(nica de fluidos ma;uinas trmicasG ico@ ed.
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DIMENSIONES DE TU
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