Cuaderno Mecanica de Fluidos II

´ MECANICA ´ FACULTAD DE INGENIERIA

´ MECANICA DE FLUIDOS II Cuaderno de Mec´ Mecanica a´ nica de Fluidos II

PhD. Esteban Valencia

´ Indice Pagina a´ gina ´ 1. DEFINI DEFINICIO CIONES NES BASICAS 1.1. 1.1. Defini Definici ción o´ n de Mec´ Mecanica a´ nica de Fluidos . . . . . 1.2. 1.2. ¿Qu´ ¿Qué es un fluido? . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3. Propie Propiedad dades es de un Fluid Fluido o . . . . . . . . . . 1.4. 1.4. Clasifi Clasificac caciion o´ n de los Fluidos . . . . . . . . . 1.4. 1.4.1. 1. En func funci´ ión on de la densidad: . . . . . 1.4. 1.4.2. 2. En func funciion o´ n del n´ numero u´ mero de Mach . . 1.5. 1.5. Continu Continuum um . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Esfuerzos Esfuerzos Cortantes Cortantes en un fluido . . . . . . 1.7. Fluidos Newtonian Newtonianos os y No No Newtiano Newtianoss . . . 1.8. Representac Representaciones iones Matem´ Matematicas a´ ticas . . . . . . . 1.8.1. 1.8.1. Herram Herramien ientas tas Matem´ Matemáticas aticas . . . . . 1.8.2. 1.8.2. Campo Campo Escala Escalarr . . . . . . . . . . . 1.8.3. Campo Vectorial ectorial . . . . . . . . . . 1.8.4. 1.8.4. Operad Operador or Nabla Nabla . . . . . . . . . . . 1.8.5. Gradiente Gradiente de un campo escalar escalar . . . 1.8.6. Diverge Divergencia ncia de un un campo campo vectorial vectorial . 1.8.7. Rotacional Rotacional de un campo vectorial vectorial . ´ 2. ESTATICA DE FLUIDOS 2.1. 2.1. Pres Presi´ ión on . . . . . . . . 2.2. 2.2. Campo Campo de de Pres Presion iones es . . 2.3. Campo Gravitato Gravitatorio rio . . 2.4. Fuerzas Fuerzas Viscosas iscosas . . . 2.5. 2.5. Proble Problemas mas . . . . . . . 2.6. 2.6. Resu Resume men n . . . . . . .

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´ 3. DINAMICA DE FLUIDOS 3.1. 3.1. Descri Descripci´ pción on del movimiento movimiento del fluido: . . . . . . . . . . . . . 3.2. Caracteriz Caracterizaci ación o´ n del fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. 3.2.1. Modelo Modeloss de Flujo Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Path Lines (L´ (L´ıneas ıneas de trayectoria) . . . . . . . . . . . . 3.2.3. 3.2.3. Trace race Lines Lines (L´ (L´ınea ınea de traza) . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. 3.2.4. Stream Stream Line Line (L´ (L´ınea ınea de corriente) . . . . . . . . . . . . . 3.3. Derivada Derivada Material Material o Substancia Substancial: l: . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ecuaciones Ecuaciones que Rigen Rigen a los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4.1. 1. Ecua Ecuaci ción o´ n de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5. Ecua Ecuaci´ ción on de la conservación on de momentum . . . . . . . . . . . 3.5.1. 3.5.1. Fuerza Fuerzass extern externas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. 3.6. Ecua Ecuaci´ ción on de la conservación on de d e la energ´ ene rg´ıa. ıa. . . . . . . . . . . . . 3.6.1. 3.6.1. Formas Formas de presen presentac taci´ ión on de la ecuación on de la energ´ıa. ıa. . . 3.7. Ecuaciones Ecuaciones fundamentales fundamentales en t´ terminos e´ rminos de la derivada material: . 3.8. 3.8. Ejerci Ejercicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. 3.9. Resu Resume men n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ Indice Pagina a´ gina ´ 1. DEFINI DEFINICIO CIONES NES BASICAS 1.1. 1.1. Defini Definici ción o´ n de Mec´ Mecanica a´ nica de Fluidos . . . . . 1.2. 1.2. ¿Qu´ ¿Qué es un fluido? . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3. Propie Propiedad dades es de un Fluid Fluido o . . . . . . . . . . 1.4. 1.4. Clasifi Clasificac caciion o´ n de los Fluidos . . . . . . . . . 1.4. 1.4.1. 1. En func funci´ ión on de la densidad: . . . . . 1.4. 1.4.2. 2. En func funciion o´ n del n´ numero u´ mero de Mach . . 1.5. 1.5. Continu Continuum um . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Esfuerzos Esfuerzos Cortantes Cortantes en un fluido . . . . . . 1.7. Fluidos Newtonian Newtonianos os y No No Newtiano Newtianoss . . . 1.8. Representac Representaciones iones Matem´ Matematicas a´ ticas . . . . . . . 1.8.1. 1.8.1. Herram Herramien ientas tas Matem´ Matemáticas aticas . . . . . 1.8.2. 1.8.2. Campo Campo Escala Escalarr . . . . . . . . . . . 1.8.3. Campo Vectorial ectorial . . . . . . . . . . 1.8.4. 1.8.4. Operad Operador or Nabla Nabla . . . . . . . . . . . 1.8.5. Gradiente Gradiente de un campo escalar escalar . . . 1.8.6. Diverge Divergencia ncia de un un campo campo vectorial vectorial . 1.8.7. Rotacional Rotacional de un campo vectorial vectorial . ´ 2. ESTATICA DE FLUIDOS 2.1. 2.1. Pres Presi´ ión on . . . . . . . . 2.2. 2.2. Campo Campo de de Pres Presion iones es . . 2.3. Campo Gravitato Gravitatorio rio . . 2.4. Fuerzas Fuerzas Viscosas iscosas . . . 2.5. 2.5. Proble Problemas mas . . . . . . . 2.6. 2.6. Resu Resume men n . . . . . . .

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´ 3. DINAMICA DE FLUIDOS 3.1. 3.1. Descri Descripci´ pción on del movimiento movimiento del fluido: . . . . . . . . . . . . . 3.2. Caracteriz Caracterizaci ación o´ n del fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. 3.2.1. Modelo Modeloss de Flujo Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Path Lines (L´ (L´ıneas ıneas de trayectoria) . . . . . . . . . . . . 3.2.3. 3.2.3. Trace race Lines Lines (L´ (L´ınea ınea de traza) . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. 3.2.4. Stream Stream Line Line (L´ (L´ınea ınea de corriente) . . . . . . . . . . . . . 3.3. Derivada Derivada Material Material o Substancia Substancial: l: . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ecuaciones Ecuaciones que Rigen Rigen a los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4.1. 1. Ecua Ecuaci ción o´ n de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5. Ecua Ecuaci´ ción on de la conservación on de momentum . . . . . . . . . . . 3.5.1. 3.5.1. Fuerza Fuerzass extern externas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. 3.6. Ecua Ecuaci´ ción on de la conservación on de d e la energ´ ene rg´ıa. ıa. . . . . . . . . . . . . 3.6.1. 3.6.1. Formas Formas de presen presentac taci´ ión on de la ecuación on de la energ´ıa. ıa. . . 3.7. Ecuaciones Ecuaciones fundamentales fundamentales en t´ terminos e´ rminos de la derivada material: . 3.8. 3.8. Ejerci Ejercicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. 3.9. Resu Resume men n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. FLUJO NO VISCOSO VISCOSO E INCOMPRESI INCOMPRESIBLE BLE 4.1. Vorticidad orticidad y Rotacionalid Rotacionalidad: ad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.2. Circul Circulaci´ ación on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4.3. Func Funciion o´ n Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Potencial Potencial de Veloci Velocidades dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4.5. Flujos Flujos Potenci Potenciale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. 4.6. Ecua Ecuaci ción o´ n de Laplace Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. 4.7. Tipos Tipos de flujo flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Flujo uniforme: uniforme: Primer flujo elemental elemental . . . . . . . . . 4.7.2. Flujo de de fuente fuente (Source (Source flow): flow): Segundo Segundo flujo element elemental al . 4.7.3. Flujo de doblete (Doublet (Doublet flow): flow): Terce Tercerr flujo elementa elementall . 4.7. 4.7.4. 4. Fluj Flujo o de vórtice ortice (Vortex flow): Cuarto flujo elemental . . 4.8. 4.8. Ejerci Ejercicio cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. 4.9. Resu Resume men n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. FLUJO FLUJO VISCOS VISCOSO O 5.1. Esfuerzo Esfuerzo cortante cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. 5.2. Sepa Separa raci´ ción on de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Flujo laminar laminar y turbul turbulento ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. 5.3.1. Flujo Flujo Lamina Laminarr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Flujo Turbul Turbulento ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. 5.3.3. 3. L´ınea ınea de flujo y perfiles de velocidad velocidad para flujo laminar y turbulento turbulento . . . . . . . . 5.3.4. Caracter´ısticas ısticas que fomentan la transici´ transicion o´ n de un flujo laminar a uno turbulento . . 5.4. Números umeros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. 5.4.1. Proble Problemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Ecuaciones Ecuaciones de Navier Navier Stokes Stokes (Conserv (Conservaci´ ación on de la cantidad de movimiento) . . . . . . . . 5.6. 5.6. Obte Obtenc nciion o´ n de la ecuaci on o´ n de Navier Stokes para fluidos reales . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. 5.7. Flujos Flujos Especi Especiale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. 5.7.1. Fluido Fluido de Couette Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. 5.7.2. Fluido Fluido de Poiseu Poiseuill illee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. 5.8. Ley Ley de de Suth Sutherl erland and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. 5.9. Lubric Lubricaci´ ación on Hidrodinámica amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. CAPA CAPA LIMITE LIMITE 6.1. 6.1. Defini Definici ción o´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. 6.1.1. Interp Interpret retaci ación o´ n 1. . . . . . . . . . 6.1.2. 6.1.2. Interp Interpret retaci´ ación on 2. . . . . . . . . . 6.2. Cuerpo Efectivo Efectivo . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Espesor Espesor de la cantidad cantidad de movimient movimiento o θ . 6.4. Estudio de capa l´ımite ımite sobre placa plana .

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´ 7. INTEGRAL INTEGRAL DE VON VON KARMAN KARMAN PARA PARA CAPA CAPA L IMITE

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8. ANEX ANEXO O 8.1. Metdos ´ de correlación on para pa ra integrales integr ales de capa l´ımite ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85

´ Indice de figuras 1.1. Esfuerzos cortantes en un elemento diferencial del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comportamiento reológico de varias sustancias: Gráfica Esfuerzo-Deformación . . . . . . . . 2.1. Equilibrio de un fluido en estado de reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Elemento diferencial de un fluido bajo la acción de un campo de presiones . . . . . . . . . . . 3.1. Descripción Euleriana y Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Path Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Trace line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Stream line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Elemento del fluido moviendosé a través de un campo de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Volumen de control en el espacio [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Evolución del volumen de control en el tiempo [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Representación de un columen de control y sus entradas y salidas de flujo . . . . . . . . . . . 3.9. Globo desinflándose (Ejemplo de variaci o´ n del volumen de control en el tiempo) . . . . . . . 3.10. Ejemplo de las fuerzas ejercidas por un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Aspersor: Aplicacio´ n del torque ejercido por un fluido en movimiento. . . . . . . . . . . . . . 4.1. Rotación y distorción de un elemento de un fluido [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Flujo rotacional e irrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Flujo irrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Flujo rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Definición de Circulación [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Relación entre vorticidad y circulacio´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Flujo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Flujo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Caudal de aire desde una fuente de l´ınea [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Flujo de fuente y sumidero [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Superposición de un flujo uniforme y una fuente: flujo semi infinito [1] . . . . . . . . . . . . . 4.12. Superposición de un flujo uniforme y una fuente: flujo sobre un o´ valo de Rankine [1] . . . . . 4.13. Flujo funte-sumidero se acerca a un flujo de doblete en caso de limitación [1] . . . . . . . . . 5.1. Mapa de ruta del capitulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Efecto de viscosidad sobre un cuerpo en un fluido moviéndose: esfuerzo cortante y separaci o´ n de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Separación del fluido inducida por un gradiente de presi o´ n adversa. Uno de los flujos separados de la superfie entre el punto 2 y 3, la figura del fluido elemental en S 3 es en realidad diferenre que en la S 1 y S 2 porque los flujos primarios se mueven por medio de la superficie . . . . . . . 5.4. Flujo Laminar y Flujo Turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Cuerpo Delgado y Cuerpo Redondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Fluido viscoso sobre una placa plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Comportamiento del fluido en superficies diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Elemento infinitesimal moviendose en un l´ıquido (fuerzas en la direcci o´ n x) [1] . . . . . . . . 5.9. Flujo de Couette (general)[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Flujo de Couette (detallado)[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Flujo de Poiseulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de un fluido viscoso . . . . . . . . . . . 5.13. Flujo a través de dos placas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. División del tubo en elementos diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Elemento cil´ındrico en movimiento a través de una tuber´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Mapa de ruta para el Cap´ıtulo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 7 8 17 18 19 19 21 23 24 25 26 28 29 37 38 39 39 39 40 44 45 46 47 49 50 51 56 56

57 58 59 59 60 64 66 66 67 69 70 72 72 75

6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 7.1. 7.2.

Borde de la capa l´ımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite. . Cuerpo Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluido sobre superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafica función n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripción Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capa l´ımite deformándose en x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punto de estancamiento y estela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

76 77 78 79 81 82 83 84

´ ESCUELA POLITECNICA NACIONAL ´ ´ MECANICA FACULTAD DE INGENIERIA ´ MECANICA DE FLUIDOS II

1. 1.1.

´ DEFINICIONES BASICAS Definicio´ n de Meca´ nica de Fluidos

La Mecá nica de Fluidos estudia el comportamiento del fluido tanto si está en movimiento (Dinámica de Fluidos) como si está en reposo (Estática de Fluidos), incluyendo su comportamiento con las fronteras que lo limitan. Los estados de la materia como tal se conoce que son: solido, ´ l´ıquido y gaseoso; a pesar de ello, tanto el l´ıquido y el gas se consideran fluidos. Por lo tanto los estados de la materia se reducen a s o´ lido y fluido.

1.2.

¿Qué es un fluido?

Una sustancia se la considera como un fluido cuando al aplicarse un esfuerzo cortante (tangencial) sobre su superficie, este empieza a fluir seg u´ n sea el tiempo de aplicaci o´ n. Es decir, no resiste al esfuerzo y se precipita un movimiento. A diferencia de un sólido, este resiste el esfuerzo y en consecuencia ocurre una deformación. Un fluido en reposo está en un estado donde el esfuerzo cortante es igual a cero y se conoce como Hydrostatic Stress Condition (Condición de esfuerzo Hidrostático).En so´ lidos la deformacio´ n (Strain) es proporcional al esfuerzo, mientras que en un fluido la tasa de deformación (Strain rate) es proporcional al esfuerzo.

1.3.

Propiedades de un Fluido

Un fluido posee propiedades termodinámicas caracter´ısticas como temperatura, presi o ´ n y densidad. Además de estas, existen otras propiedades que caracterizan el comportamiento de un fluido y la m a´ s importante de ellas es la viscosidad, que relaciona los esfuerzos locales en un elemento del fluido en movimiento con la tasa de deformación del mismo elemento. La viscosidad se la conoce también como una propiedad de transporte. Considerando que las propiedades termodinámicas definen el estado de un sistema, en el caso de fluidos, el sistema será un elemento diferencial del fluido y sus propiedades se asumen como continuum. La presión además de ser una propiedad termodinámica, es la variable más dinámica junto con la velocidad, en el análisis del fluido. Esto debido a que en ductos o tuber´ıas el fluido se mueve por la diferencia del gradiente de presión.

1.4. 1.4.1.

Clasificaci o´ n de los Fluidos En función de la densidad:

a) Incompresible: Se considera una densidad constante y por lo general los liquidos corresponden a esta clasificación. L´ıquidos: Presentan fuerzas cohesivas fuertes, es decir sus moléculas se encuentran más cerca unas de otras. Tienden a retener su volumen y forman una superficie libre en un campo gravitacional, por lo que están dominados por efectos gravitacionales. b) Compresible: Su densidad no es constante y por lo general los gases corresponden a esta clasificación. Gases: Sus moléculas están muy separadas y sus fuerzas cohesivas son consideradas pr a´ cticamente nulas. Un gas es libre de expandirse hasta encontrar paredes que lo delimiten, caso contrario se mezcla con los gases de la atmosfera. No forma superficies libres, por lo que no presenta efectos gravitacionales.

1.4.2.

En funció n del numero ´ de Mach

El número de Mach es una relaci o´ n entre la velocidad del fluido u objeto respecto a la velocidad del sonido en dicho medio. a) Incompresible: Tiene un valor inferior a 0.3. 1


b) Subsónico: Su valor oscila entre 0.3 y 0.8. c) Transónico: Se encuentra entre valores de 0.8 y 1.2. d) Supersónico: Su valor está en el rango de 1.2 a 3.0, se presentan “shock waves”. e) Hipersónico: Su valor es superior a 3.0, los efectos de “shock waves” son fuertes.

1.5.

Continuum

Sirve como una aproximación importante en el an a´ lisis de los efectos de fluidos a nivel macrosc o´ pico, considerando al fluido como un medio continuo. A un fluido se lo llama continuum, lo que significa que la variaci´ on de sus propiedades es tan pequeña que para su análisis se puede usar cálculo diferencial.

1.6.

Esfuerzos Cortantes en un fluido

Figura 1.1: Esfuerzos cortantes en un elemento diferencial del fluido

δ θ δ t δ u δ t tan δ θ = δ y τ ∝

Usando l´ımites para este cambio infinitesimal, la ecuación se reduce a la siguiente expresión. d θ dt

=

du dy

Se puede observar que la deformacio´ n del elemento del fluido tiene relación con el gradiente de velocidad

τ = µ

dθ d y

= µ

du d y

(1.1)

Teniendo en cuenta la primera expresi o´ n, la constante de proporci o´ n para esta relaci o´ n linear es la viscosidad. Siendo esta considerada como una medida de la resistencia a fluir. Por ejemplo, moverse a través de agua es 2


má s fácil que hacerlo a través de aceite, debido a que la viscosidad en el segundo caso es mucho mayor. Se debe tomar en cuenta que la viscosidad aumenta bajo la influencia de temperatura y no lo hace en presencia de una variación de presión para el caso de gases. En l´ıquidos es lo contrario. Otro concepto importante para el estudio del comportamiento del fluido es la “condición de no deslizamiento” (No slip condition). Esta condici o´ n indica que el esfuerzo que retrasa el movimiento del fluido es m a´ ximo junto a las paredes, por lo que no hay movimiento relativo del fluido en los puntos que están junto a una superficie. De manera que, esta condici o´ n se debe tener en cuenta al dibujar los perfiles de velocidad para un fluido que circula por tuber´ıas o por un álabe.

1.7.

Fluidos Newtonianos y No Newtianos

Los Fluidos Newtonianos son aquellos que cumplen con la ecuacion 4 del apartado anterior. Es decir siguen una relacion lineal entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformacion. La mayoria de fluidos que se estudian pueden ser considerados Newtonianos. Los Fluidos No Newtonianos, por el contrario presentan una tendencia no lineal. El estudio de este tipo de fluidos se enfoca mas en aplicaciones especificas que requiera una empresa o un proyecto de investigación.

Figura 1.2: Comportamiento reológico de varias sustancias: Gráfica Esfuerzo-Deformación

3


1.8.

Representaciones Matem a´ ticas

El comportamiento del flujo se describe mediante las propiedades del flujo:

Escalares: presión, temperatura, densidad, energ´ıa. Vectoriales: velocidad, fuerza, aceleraci o´ n, rotacio´ n. Tensoriales: esfuerzo, deformación, vorticidad. Estas están gobernadas por las leyes de conservacio´ n (masa, momentum, energ´ıa).

1.8.1.

Herramientas Matemáticas Sistemas coordenados (en tiempo y espacio). Operaciones matemáticas escalares y vectoriales. Operadores diferenciales: gradiente, divergencia, rotacional. Operadores integrales: Integral de superficie, l´ınea y de volumen.

1.8.2.

Campo Escalar

Función coordenada en tiempo y espacio. Es cualquier valor que pueda adquirir una cantidad f ´ısica que no posee ninguna propiedad direccional. Por ejemplo, la presión, la temperatura o la densidad. Estas se pueden escribir en distintos sistemas coordenados. P = p 1 ( x, y, z, t ) = p 2 (r , θ , z, t ) = p 2 (r , θ , ϕ , t )

1.8.3.

(1.2)

Campo Vectorial

Tienen una determinada magnitud y direccio´ n. Pueden ser expresados en distintos sistemas de4 referencia con componentes vectoriales. La velocidad, aceleración y fuerza son vectores.

−→ → − −→ −→ V = V i + V j + V k x

y

z

(1.3)

V x = V x ( x, y, z, t )

, V y = V y ( x, y, z, t )

, V z = V z ( x, y, z, t )

1.8.4.

Operador Nabla

El vector nabla es un operador diferencial de tipo vectorial, se denota:

∇=

    ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z

4

(1.4)


1.8.5.

Gradiente de un campo escalar

El gradiente en cada punto muestra la direcci o´ n en la que la propiedad aumenta con mayor rapidez, y su magnitud indica cuán rápido aumenta la propiedad en dicha dirección. Por ejemplo, el gradiente de presión se expresa:

        ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z

∇ p =

Coordenadas cartesianas:

∇ p =

Coordenadas esf e´ ricas: ∇ p =

1.8.6.

p =

∂ p ∂ p ∂ p i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z

∇ p =

Coordenadas cil´ındricas:

∂ p ∂ x ∂ p ∂ y ∂ p ∂ z

(1.5)

1 ∂ p ∂ p ∂ p er + eθ + e z ∂ x ∂ z r ∂ y

(1.6)

1 ∂ p 1 ∂ p ∂ p er + eθ + eϕ ∂ x r ∂ y r sin θ ∂ z

(1.7)

(1.8)

Divergencia de un campo vectorial

Mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial, esto se mide en la superficie que encierra el volumen de control. Matem a´ ticamente es el producto punto entre el campo vectorial y el operador Nabla. Coordenadas cartesianas:

div (V ) = ∇.V =

Coordenadas cil´ındricas:

 

∇.V =

Coordenadas esféricas: ∇.V =

1.8.7.

∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z

     .

1 ∂ (rV r ) r

V x V y V z

∂ r

+

=

1 ∂ (rV θ ) r

∂ r

∂ V x ∂ V y ∂ V z + + ∂ x ∂ y ∂ z

+

(1.9)

∂ V z ∂ z

(1.10)

1 ∂ (r 2V r ) 1 ∂ (V θ sin θ ) 1 ∂ Vϕ + + r 2 ∂ r r sin θ r sin θ ∂ ϕ ∂ r

(1.11)

Rotacional de un campo vectorial

Como su nombre lo indica, se utiliza para determinar si el fluido tiende a rotar. La rotacionalidad se evalúa en elementos diferenciales del fluido no en el conjunto. La rotación es un efecto de la viscosidad de fluido, por lo que los fluidos ideales son irrotacionales. Matem a´ ticamente es el producto punto entre el campo vectorial y el operador Nabla. Coordenadas cartesianas:

curl (V ) = ∇

     ×      ×  

× V =

Cil´ındricas: ∇

∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z

V =

1

r

V x V y V z

=

er

reθ

e z

∂ ∂ r

∂ ∂ θ

∂ ∂ z

V r

rV θ

V z

5

− ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

∂ V z ∂ y ∂ V x ∂ z ∂ V y ∂ x

V y z V z x V x y

 

(1.12)

(1.13)


Esféricas: overline∇

1 × V = r sin θ 2

 

6

er

reθ

(r sin θ )eϕ

∂ ∂ r

∂ ∂ θ

∂ ∂ ϕ

V r

rV θ (r sin θ )V ϕ

 

(1.14)


2.

´ ESTATICA DE FLUIDOS

Muchas ocasiones el estudio de un fen o´ meno no involucra un movimiento del fluido, en cambio se concentra en la distribución de presión en un fluido estático y sus efectos sobre superficies s o´ lidas y cuerpos sumergibles.

2.1.

Presi o´ n

El esfuerzo normal en cualquier plano a través de un elemento del fluido en reposo es igual a un u´ nico valor llamado Presio´ n (Se toma como sentido positivo el sentido de compresión).

Figura 2.1: Equilibrio de un fluido en estado de reposo En el grafico se tiene un elemento diferencial del fluido, el cual al ser un l´ıquido forma una superficie libre y los efectos gravitacionales son apreciables. Se plantea una sumatoria de fuerzas tanto en dirección z como en x. Y para que cumpla la condici o´ n de equilibrio estatico deben igualarse a cero.

∑ Fx = 0

∗ ∗ − p ∗ sin θ ∗ ∆s ∗ b = 0

p x ∆ z b

n

∑ Fz = 0

∗ ∗ − p ∗ cos θ ∗ ∆s ∗ b − 12 ρ ∗ g ∗ b ∗ ∆ x ∗ ∆ z = 0

p z ∆ x b

n

Usando relaciones trigonométricas. ∆s cos θ = ∆ z

∗ ∆s ∗ sin θ = ∆ x 7


Al simplificar términos de ambas sumatorias, se obtiene lo siguiente. p x = p n

(2.1)

1 p z = p n + ρ g ∆ z 2

∗ ∗

(2.2)

Estas dos ecuaciones indican dos principios muy importantes de Hidrostática: No hay cambio de presión en la dirección horizontal. Hay un aumento en la direccio´ n vertical de la presi o´ n proporcional a la densidad, gravedad y cambio de profundidad. Si se calcula el l´ımite cuando ∆ z tiende a cero, y se sabe que el a´ ngulo theta es arbitrario, se concluye que la presión p en un punto del fluido estático es independiente de la orientaci o´ n del mismo. p x = p z = p n = p

(2.3)

Cuando la velocidad del fluido es cero, se conoce como condici o´ n Hidrostática. Donde la variaci o´ n de presio´ n se debe solo al peso del fluido. Al dar movimiento a un cuerpo r´ıgido, como un tanque lleno de l´ıquido que ha estado rotando por cierto intervalo de tiempo. La presio´ n puede ser calculada porque el fluido está libre de esfuerzos cortantes.

Figura 2.2: Elemento diferencial de un fluido bajo la accio´ n de un campo de presiones

8


2.2.

Campo de Presiones

−→

−→

∑ F = m. a F press = Pdydz

∂ P dx ∂ x

− (P +

)dydz

   −   

incremento de presiones

F press =

∂ P dxdydz ∂ x

∀

d

f press =

2.3.

F press

∀

d

=

− ∂ ∂ Px

f press =

−∇P

(2.4)

f grav =

−ρ g

(2.5)

(2.6)

Campo Gravitatorio

Actúa en una u´ nica direccio´ n (hacia abajo).

2.4.

Fuerzas Viscosas

−→

f visc = µ ∇2 V

De todo lo anterior resulta:

−→ = f

∑ F = ρ a

press +

f visc + f grav

 0

− −∇P + ρ −→g → − ∇P = ρ (−→a − −→g ) ρa =

9

(2.7)


2.5.

Problemas

1. Determinar el campo de presiones de un l´ıquido que se encuentra en un tanque de transporte como se indica en la figura. Abierto a la atmosfera

ay=4g L

Z

Y

Boundary conditions

⇒z=L ; P=Pman=0 ; (P=Patm) ; y=0 −∇ p = ρ (−→a − −→g ) − ∂ p −→i − ∂ p −→ j − ∂ p −→k = 4ρ g−→ j + ρ g−→k ∂ x

∂ y

∂ z

− ∂ ∂ px = 0 − ∂ ∂ yp = 4ρ g − ∂ ∂ pz = ρ g Integrando se obtiene lo siguiente.

−4ρ gy + f ( z) p = −ρ gz + f ( y) p = −4ρ gy − ρ gz + C p =

Utilizando boundary conditions se obtiene la constante C.

⇒

pman =

4ρ gy ρ gL + C

  −   − 0

0

C = ρ gL

Por lo tanto, el campo de presiones es. p = ρ gL

− 4ρ gy − ρ gz

10


2. Determinar el campo de presiones de un gas que se encuentra en un tanque de transporte como se indica en la figura.

ay=0 L

z

y

−∇ p = ρ (−→a − −→g ) − ∂ ∂ py = 0 − ∂ ∂ px = 0 − ∂ ∂ pz = ρ g ⇒

Boundary conditions z=0 ; P=Patm ; y=0 (Movimiento rectil´ıneo uniforme) La presi o´ n es igual a la presión atmosférica en el fondo del tanque de transporte debido a que un fluido gaseoso no experimenta efectos gravitacionales y por lo tanto esta presi o´ n se mantendrá en todos los puntos del gas. Un fluido gaseoso puede comportarse como un gas ideal. p ρ = Gasideal RT o

⇒

Sabiendo que T o es la temperatura a nivel del mar. g − ∂ p p = RT ∂ z o

Integrando se obtiene lo siguiente. p = Ce

− RT gzo

Utilizando boundary conditions se obtiene la constante C. 0

−  gz

p = Ce RT o

⇒ C = p Por lo tanto, el campo de presiones es.

atm gz

p = p atm e− RT o

*Ejercicio de repaso: Usar una temperatura que vari e´ con respecto a la altura: T ( z) = T o

11

− Bz


3. Determinar el campo de presiones del fluido ideal en el tanque que gira con una velocidad angular constante constante ω y su funcio´ n de l´ınea.

H

Z

Zo

r w

−∇ p = ρ (−→a − −→g ) − ∂∂ θ p = 0 − ∂ ∂ pz = ρ g − ∂ ∂ pr = ρ a ⇒ − ∂ ∂ Pr = ρ ω r 2

c

Integrando: p =

ρω 2 r 2 2 p =

+ f (r ), p = ρ ω 2 r 2 2

−gρ z + f (r )

− ρ gz + C

Boundary conditions: z = z0 p = Patm

→ P tm =

ρω 2 r 2

a

− ρ gz + C 0

2

En dichas condiciones condiciones, r=0: 2 2

C = Patm

− ρω 2 r +ρ gz

0

   0

C = Patm + ρ gz0

Por lo tanto el campo de presiones es: p =

−ρ gz +

ρ ω 2 r 2 2

12

+ Patm + ρ gz0


Ahora, para obtener la función de l´ınea del fluido, que es una parábola desde el punto de vista dimensional. Sabemos que la presión a lo largo de esta l´ınea es igual a la presi o´ n atmosf e´ rica, as´ı que reemplazamos esta condición en la función de campo de presiones. 2 2

Patm =

−ρ gz + ρ ω 2 r + P

atm + ρ gz0

z =

ρω 2 r 2

+ z0 2 4.Determinar el campo de presiones del fluido con una tapa que tiene una abertura en un extremo y una compuerta con bisagra. Además, determinar la fuerza que actúa sobre la tapa y el momento ejercido sobre la compuerta. Patm

L/8 L/4 Z ay

Y L

−∇ p = ρ (−→a − −→g ) − ∂ ∂ px = 0 − ∂ ∂ yp = ρ a

y

− ∂ ∂ pz = ρ g Integrando p = ρ a y y + f ( z), p = p = ρ (a y y

−ρ gz + f ( y)

− gz) + C

Boundary Conditions z = L/4 p = 0 y = 0

⇒ C = ρ4gL Por tanto, el campo de presiones es: p = ρ (a y y

− gz) + ρ 4gL 13


Para la fuerza: dF = PdA dF = P e dy

 1

  F

L

dF =

7/8 L

0

ρ a y ydy

   y2

L

F = a y ( ) 2 F =

15

128

ρ a y

7/8 L

L2

2

El momento aplicado en la compuerta: dM = dF ( y M = ρ a y

− 7/8 L)

 −  y3

3

M =

71 y2 16

L

7/8 L

23 L3 ρ a y 3072

5. Un molino de agua de 6 ft de radio se usa para elevar agua con sus paletas semicil ´ındricas de 1 ft de diámetro. Si el molino rota a 10 rev/min y se asume un movimiento de cuerpo r´ıgido, cual es el a´ ngulo de la superficie del agua en la posici o´ n A?

10 r/min Ɵ A 6 ft

1 ft

∗ 260π ) ∗ 6 = 6,5797 R  r

ar = ω 2 r = ( 10

2

Al ser el radio del molino mucho más grande que el radio de la paleta, se desprecia el radio de la paleta y para el c a´ lculo de la aceleraci o´ n radial solo se toma en cuenta el radio mayor. Aceleraci o´ n que será constante. Boundary conditions z=0 P=Pman=0 r=0

−∇ p = −ρ (−→a − −→g ) 14


− ∂ ∂ pr = −ρ a

r

− ∂ ∂ pz = ρ g Integrando ambas expresiones se obtiene. p = ρ ar r + f ( z) p =

−ρ gz + f (r )

Al combinar ambas expresiones se obtiene el campo de presiones, sin embargo a los términos f(z) y f(r) se los puede combinar en una u´ nica constante C. p = ρ ar r

− ρ gz + C

Usando boundary conditions, se obtiene el valor de C. 0 = ρ ar r

ρ gz +C

 −  0

0

C = 0

Por lo tanto el campo de presiones final queda expresado asi. p = ρ ar r

− ρ gz

Para obtener la ecuaci o´ n de la superficie libre se iguala a cero la ecuaci o´ n del campo de presiones 0 = ρ ar r ρ gz

−

ρ gz = ρ ar r z =

ar g

r

De la ecuacio´ n de recta se tiene que z=b+mx, donde b indica el corte con el eje de las ordenadas y m representa la pendiente. Y nuevamente usando el concepto de pendiente, se obtiene el ángulo de inclinación de la superficie libre del agua en las paletas ar m = tan θ = g

θ = tan−1

  6,5797 32,2

15

= 11,55◦


2.6.

Resumen Presión: El aumento de presi o´ n sobre un liquido depende del cambio de profundidad, densidad y de la gravedad. Por otro lado, la presión se mantiene constante en dirección horizontal. 1 pz = pn + ρ g∆ z 2 px = p

Campo de Presiones:

Campo de Fuerza:

−∇P = ρ (−→a − −→g ) − ∂ ∂ xp −→i − ∂ ∂ yp −→ j − ∂ ∂ pz −→k = ρ (−→a − −→g )

   dF =

pdA =

p

dxdy

 − −

campo de presiones

Campo de Momento:

   dM =

L´ınea de accio´ n:

Y LA =

1

F

ydF

ydF

Como se puede ver la fuerza viscosa no se la toma en cuenta en los cálculos del campo de presiones debido a la suposición de un fluido ideal. Es decir, un fluido steady (estacionario), no viscoso e irrotacional.

16


3. 3.1.

´ DINAMICA DE FLUIDOS Descripci o´ n del movimiento del fluido:

Las descripciones lagrangiana y euleriana son dos formas de ver la mec a´ nica de medios continuos. La descripción lagrangiana consiste en hacer un seguimiento de las part´ıculas materiales, mientras que la descripci o´ n euleriana consiste en medir lo que pasa en puntos fijos del espacio. Ambas descripciones son equivalentes y a veces una es más c o´ moda de usar que la otra.

Descripción Eureliana y Lagrangiana: A continuación se desarrolla las descripciones fundamentales del movimiento de un fluido, que nos permitira analizar de una mejor manera el mismo. Lagrangiana: Cualquier punto dentro de un fluido, se puede identificar mediante su posición inicial, la trayectoria de la part´ıcula y su evolución en el tiempo, como se muestra en la figura 1.2(a), en donde los puntos de fluidos se representan por las letras A ,B, C.

Euleriana: En lugar de seguir un punto material del fluido (evoluci o´ n en el tiempo), se define un volumen finito denominado volumen de control, figura 1.2(b). Volumen de control: Es un volumen fijo donde el fluido se mueve hacia afuera y dentro del mismo.

V A VB VC (x,y,z)

Figura 3.1: Descripcio´ n Euleriana y Lagrangiana Se definen las variables de campo (cinemáticas y fluidas) Campo de presiones  P= P(x,y,z,t) Campo de velocidad  V =  V (x,y,z,t) Campo de aceleraciones  a =  a(x,y,z,t) Flujo tridimensional no estacionario

−→ ( x, y, z, t ) 17


3.2.

Caracterizacio´ n del fluido:

Uno de los objetivos principales de la Mecánica de Fluidos es la caracterizaci o´ n del fluido. Para este fin se utilizan distintas herramientas que facilitan la descripción del flujo y representan una determinada propiedad. Las más utilizadas son: Path lines (L´ıneas de camino), Trace lines (L´ıneas de Traza), Stream lines (L´ıneas de corriente). Para nuestro estudio las Stream Lines son las m a´ s u´ tiles.

3.2.1.

Modelos de Flujo

Los modelos de flujo son representaciones matemáticas de un fluido real, estas involucran suposiciones y simplificaciones que facilitan el estudio; debido a esto los modelos tienen un rango limitado de aplicaci o´ n, por ejemplo: Flujo molecular libre Fluido viscoso Fluido compresible

vs vs vs

Flujo como Continuum Fluido no viscoso Fluido incompresible

Las l´ıneas de flujo son un aspecto importante en el estudio de los fluidos ya que nos permiten describir algunas propiedades, a continuacio´ n estudiaremos las l´ıneas de flujo fundamentales en la mencánica de fluidos .

3.2.2.

Path Lines (L´ıneas de trayectoria)

Es la trayectoria real seguida por una part´ıcula fluida durante alg u´ n periodo de tiempo. Además, las l´ıneas de trayectoria son las mismas que el vector posici o´ n material. Esto se representa en la Figura 3.2.

Figura 3.2: Path Line Se pueden calcular las l´ıneas de trayectoria en forma num e´ rica para un campo de velocidades conocido mediante la ecuación (3.1)



t

x  = x  i +

3.2.3.

t o

 V dt

·

(3.1)

Trace Lines (L´ınea de traza)

Es el lugar geométrico de las part´ıculas de fluido que pasan de manera secuencial por un punto determinado en el espacio. Estas l´ıneas se obtienen en el transcurso del tiempo de manera experimental y se pueden calcular al 18


saber el campo de velocidades.

Figura 3.3: Trace line Además, las part´ıculas del fluido tienden a acelerarse al encontrarse con un objeto que trata de sacarles de su camino y acorta el espacio de la secci o´ n por donde circulan, como se puede observar en la Figura 3.3

3.2.4.

Stream Line (L´ınea de corriente)

Las l´ıneas de corriente nos indican la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Es la curva tangente al vector de la velocidad instant a´ nea representado en la Figura 3.4

VA Punto (x+dx, y+dy)

y

x

v

dr

dy

Línea de corriente

u

dx Punto (x, y) Figura 3.4: Stream line

En la ecuacio´ n (3.2) se tiene la longitud infinitesimal de una l´ınea de corriente:

 = dx i + dy dr j

(3.2)

Donde dr es paralelo al vector de velocidad local, entonces, la ecuación para calcular una l´ınea de corriente es: dr

=

dx

=

dy

=

dz

(3.3) dV u v w La familia de curvas que satisfacen la ecuaci o´ n (1.3) representan las l´ıneas de corriente del campo de flujo. Para un campo de flujo estacionario, las tres l´ıneas son idénticas y sus propiedades en cualquier punto no cambian con el tiempo; no as´ı cuando el flujo es no estacionario. 19


Ejemplo Ejercicio tomado del MIT opencourseware Determinar las Streamlines en 2D para el siguiente campo de velocidades. u=-x; v=x. V = (u, v)

− → → −V = u−→i + v−→ j dy v dy − x = ⇒ = dx

u

dx

y

Integrando y2

2

2

=

− x2 + C

x2 + y2 = C

Es decir que las streamlines describen una trayectoria circular, como se muestra en el siguiente gr a´ fico. Y

X

3.3.

Derivada Material o Substancial:

Cuando consideramos una cantidad escalar q o bien podemos escribir esta cantidad con respecto a puntos fijos en el espacio, X, o con respecto con un sistema de coordenadas que se mueve con el flujo. Obviamente x, será una función del tiempo , x (t )

20


y 1

V1

Fluid element at time t=t 1

j

x k

i 2

V2

Same fluid element at time t=t2 z

Figura 3.5: Elemento del fluido moviendosé a través de un campo de flujo En el primer caso tenemos la siguiente derivada de tiempo. dq dt

( X 1 , X 2 , X 3 , t ) =

∂ q ∂ t

(3.4)

En el segundo caso tenemos dq dt

( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), t ) = = u

dx 1 ∂ q dt ∂ x1

+

dx2 ∂ q dt ∂ x2

+

d x3 ∂ q dt ∂ x3

+

∂ q ∂ t

∂ q ∂ q ∂ q ∂ q +v +w + ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ t

(3.5)

(3.6)

Ahora tenemos la nueva derivada del tiempo Dq Dt

= u

∂ q ∂ q ∂ q ∂ q +v +w + ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ t

(3.7)

La ecuacio´ n (3.7) es la derivada material y se puede escribir como

 

∂ q V q = + ∇ ∂ t Dt

Dq

(3.8)

Ahora presentamos un ejemplo de la utilización de la derivada material para la aceleración, donde el vector  V es la velocidad por lo tanto la aceleraci o´ n en términos de la derivada material ser a´ definida en dos términos como se muestra a continuación.

Aceleración local: relacionado a la variaci o´ n de propiedades en un punto en el tiempo.

∂  V ∂ t

(3.9)

Aceleración convectiva: referida a la variación de las propiedades debido al movimiento del fluido.

 

V  V ∇

21

(3.10)


3.4.

Ecuaciones que Rigen a los Fluidos

En esta secci o´ n se estudiaran las ecuaciones fundamentales con las que estudiaremos a los fluidos. Son ecuaciones que describen el comportamiento de los fluidos para su entendimiento y aplicaciones. Para este fin se utilizarán tres enfoques. Los primeros dos enfoques son de tipo integral, lo que quiere decir que hacen un análisis del feno´ meno como un todo, encerrado dentro de un volumen de control el cual es una región en el espacio de interés para el estudio del fluido y sus propiedades. Este enfoque se utiliza en problemas con geometr´ıa simple, que puedan ser evaluadas a mano. El enfoque A hace uso de integrales m u´ ltiples y es en general producto de derivaciones de distintas leyes f ´ısicas aplicadas al campo de los fluidos. El enfoque B es conocido como el Teorema de Transporte Reynolds y es matemáticamente equivalente al enfoque A. Sin embargo, en este se har a´ un mayor énfasis debido a que facilita la resoluci o´ n de problemas y su comprensión. Este a diferencia del anterior hace uso de integrales cerradas. Y el tercer enfoque: Enfoque C, es un estudio diferencial. Este tiene gran importancia en el desarrollo de software de simulación (CFD). Puede abordar geometr´ıas m a´ s complejas y realizar aproximaciones a problemas que no pueden ser resueltos de forma anal´ıtica.

3.4.1.

Ecuación de la continuidad

La Ecuacio´ n de la continuidad no es mas que un caso particular del principio de la conservaci o´ n de la masa “La masa no puede ser creada ni destruida”. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción. ENFOQUE A Volumen = (V n dt )S

(3.11)

Masa = ρ (V n dt )S

(3.12)

˙ = ρ V n S m

(3.13)

Se considera un campo de flujo en el que todas las propiedades var´ıan con la ubicación y el tiempo espacial, por ejemplo, ρ = ρ ( x, y, z, t ). Aplicando a este volumen de control (Figura 3.5), los principales medios f ´ısicos anteriores se obtiene: (3.14) B = C B = flujo de masa neta de volumen de control a trav e´ s de la superficie ”S” C = tasa momento de la disminuci o´ n de masa dentro del volumen de control ”V”

22


ds

V

dS

∀ S

d∀

Figura 3.6: Volumen de control en el espacio [1] El flujo másico es la magnitud que expresa una variacio´ n de la masa en el tiempo a través de una área espec´ıfica ds , se expresa:

 ρ V n dS = ρ V dS

·

(3.15)

El flujo de masa neta de toda la superficie de control S, es la sumatoria de S de los flujos de masa elementales. En el l´ımite, esto se convierte en una integral de superficie, que es f ´ısicamente el lado izquierdo de las ecuaciones (3.15); es decir, B =



 ρ V .dS

(3.16)

SC

Consideremos ahora el lado derecho de la ecuaci o´ n (3.15). La masa contenida dentro del volumen elemental dV es: (3.17) ρ dV Por lo tanto, la masa total dentro del volumen de control es:



ρ dV

(3.18)

VC

La tasa de aumento de la masa en el interior V es entonces: d dt



ρ dV

(3.19)

VC

Entonces la masa que inside en el volumen de control esta basada en la siguiente ecuación:



 = ρ V dS

·

SC

d ρ dt

d

− dt



ρ d

∀C

· ∀

+ ∇ (ρ V ) = 0

·

(3.20)

(3.21)

Ecuación de la continuidad queda definida por: 0 =

d dt



∀C

ρ d +

· ∀

Donde: SC: Superficie de control. VC: Volumen de control.

23



SC

 ρ V dS

·

(3.22)


ENFOQUE B Para derivar las ecuaciones de conservaci o´ n, partimos del siguiente planteamiento, el cual relaciona el cambio de un propiedad extensiva en un sistema con el cambio de la propiedad intensiva, y la variación del volumen de control en el tiempo. A este planteamiento se lo conoce como el teorema de Transporte de Reynolds

Figura 3.7: Evolución del volumen de control en el tiempo [2]

N )C ∀ = N )sys N )sys = N II + N II I N II = N C ∀ )t +dt N I

−

N sys )t +dt = N II I + N C ∀ )t +dt N I dN )sys dN )sys dt

−

∆t

∆t

→0

= l´ım ∆t

→0

dN )sys dt

N sys )t +dt N sys )t

= l´ım

dt

N C ∀ )t +dt N C ∀ )t

−

∆t

=

−

+ l´ım ∆t

→0

N II I N I ∂ N )C ∀ + l´ım ∆t →0 ∂ t ∆t

−



N =

η dm

m

dm

∀ = ρ ⇒ dm = ρ d ∀ N = ηρ d ∀ ∀

d

 

N III =

ηρ d

∀

24

∀

−

N II I N I ∆t


d = LdA

∀

L ∆t

= V n

⇒ L = V ∆t n

d = ∆tV n dA

∀

N III =

     AIII

N III = ∆t N I =

−→−→

ηρ V dA

AIII

−→−→

ηρ V dA

t

AI

∂ N C ∀ ∆t = + l´ım ∆t →0 ∆t ∂ t dt

dN sys

−→−→

ηρ ∆t V dA

−→−→ ηρ V dA −

AIII

∂ N C ∀ = + ∂ t dt



dN sys



AI



−→−→ ηρ V dA

→ − −→

ηρ V dA

A

(3.23)

  

Entradas y salidas (Flujo)

En el siguiente ejemplo la masa es la propiedad extensiva, por tanto:

V2

V1

dA1

dA2

Figura 3.8: Representación de un columen de control y sus entradas y salidas de flujo

N = m; η =

dm

∂ m)C ∀ = + ∂ t dt

dm dm dt

=

= 1

dm

∂ m)C + ∂ t

∀

  

 −→−→  −→−→ ρ V dA

A

ρ V dA

(3.24)

A

0

Abrimos la integral, en todas las a´ reas que encierran el volumen de control y analizamos a trav e´ s de cuáles de estas existe flujo. En el a´ rea tres por ejemplo no existe flujo que la atraviese, el vector n es un vector unitario normal a la superficie, este tiene la misma direcci o´ n que el diferencial de área. dm dt

=



A1

−→→n dA + ρ V −



A2

−→→n dA + ρ V −



A3

−→−→

ρ V n dA

   0

Ahora efectuamos el producto punto en cada integral. dm dt

=

dm dt

 −

ρ V dA +

A1



ρ V dA

A2

= (ρVA ) A2

25

− (ρVA )

A1


1 dm

ρ dt

= (VA ) A2

− (VA )

A1

Si consideramos al sistema como steady, es decir invariante en el tiempo sabemos que: dm dt

= 0

Entonces, 0 = (VA ) A2

(VA ) A2

− (VA ) d ∀ = ( A) = = ∀˙ A1

A1

dt

(3.25)

Lo que representa un flujo volumétrico o Caudal.

dA1

V1

Figura 3.9: Globo desinflándose (Ejemplo de variaci o´ n del volumen de control en el tiempo) Un ejemplo en el que existe de un cambio del volumen de control es un globo. En este ejemplo el globo se está desinflando a un ritmo constante, los l´ımites del volumen de control son reales y se están reduciendo por lo que la ecuacio´ n que rige este fen o´ meno ser´ıa:

 −→−→  − −→−→

∂ m)C ∀ 0 = + ∂ t ∂ m)C ∀ = ∂ t

ρ V dA

A

ρ V dA

(3.26)

A

El término de la izquierda rige la variaci o´ n de las dimensiones del volumen de control, mientras que la de la derecha mide el flujo, en este caso, u ´ nicamente de salida.

3.5.

Ecuación de la conservaci o´ n de momentum

La segunda Ley de Newton dice: La velocidad con que varia el impulso de un punto material es igual a la fuerza  F que actúa sobre él . d (m V ) (3.27) = F ∑ ext dt Donde m, es la masa y V la velocidad Principio f ´ısico: Fuerza = tasa de cambio de momento lineal.

26


3.5.1.

Fuerzas externas

El efecto de una Fuerza, depende de su valor, de la direcci o´ n y sentido, y del tamaño de la superficie sobre la que actúa. A partir de la definición de Fuerza de la ecuación (3.27) d (m V )  F =

(3.28)

dt

la fuerza  F en un fluido está compuesta de :

Fuerzas de cuerpo.- Asociadas con el propio cuerpo en estudio, se distribuyen en toda la amplitud del mismo. No son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y se especifican en t e´ rminos de fuerzas por unidad de volumen y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas entre otras.



 ρ d f

· ∀

V

(3.29)

Fuerzas de presi o´ n.- El volumen que ocupa el fluido disminuye al aumentar la presió n. Aún sin fuerza externa, el peso del l´ıquido ejercerá una presio´ n hidrostática sobre sus capas inferiores. Esta presi o´ n genera una fuerza que act u´ a desde el interior del l´ıquido hacia fuera y perpendicularmente a todas las superficies en las que se encuentre el fluido.

 −

 PdS

(3.30)

S

Fuerzas viscosas.- Les da la propiedad caracter´ıstica de cada sustancia y da idea de lo pesado de los a´ tomos que la forman y de lo juntos que están: una misma masa de distintas sustancias ocupa distinto volumen.  (3.31) F viscosa Entonces el vector fuerza  F queda definido en la ecuaci o´ n (2.13) como la suma vectorial de cada una de las anteriores:  +   ρ dV  (3.32) F = f PdS F viscosa

 V

ENFOQUE A

·

 − S

Es una ecuación vectorial. Al igual que en el caso de la forma integral de la ecuación de continuidad, la ecuación (3.29) tiene la ventaja de relacionar fen o´ menos en una región de espacio limitado sin preocuparse de lo que est a´ ocurriendo en algu´ n punto distinto en el flujo.

 V

 · ∀−

 ρ d f

S

d  +  PdS F viscosa =

dt

 V

ρ V d +

· ∀



 V ) V dS (ρ

S

·

(3.33)

Consideraciones importantes de la ecuaci o´ n de momentum: La ecuacio´ n de momento es una ecuación vectorial. De hecho, se debe separar la ecuaci o´ n en las direcciones x , y, z. La ecuaci o´ n integra es válida para flujos viscosos, compresibles o incompresibles y también inestables. La fórmula integral solo provee información sobre cantidades integrales, más no valores de densidad, presión y temperatura. ENFOQUE B Derivaci o´ n de una ecuación para la fuerza que ejerce un fluido en movimiento.

− L ) →v d (m−→v ) d (→ d − −→ ⇒ Momentum F = m = = dt

dt

dt

27


Figura 3.10: Ejemplo de las fuerzas ejercidas por un fluido

−v ) −→ d (m→ − → N = L ; η = = v dm → −F = ∂ (m−→v ) = ∂ (m−→v ) ∀ + −→v ρ → → −v .−dA ∂ t ∂ t → −→ →v ρ −→v .−dA F = −



C

A

 A

−→ F =

 −→ −→ −→  −→ −→ −→ v ρ v . dA +

A1

−→ → F = −(V ρ A )− e + (V ρ A 2 1

1

x

v ρ v . dA

A2

2 2

−→

→ −

2 2 cos θ ) e x + (V 2 ρ A2 sin θ ) e y

Tomamos u´ nicamente la fuerza en x, ya que es esta la que mueve el carro y asumimos un área constante 2 1

2 2

−V ρ A + V ρ A cos θ F = −V ρ A(1 − cos θ )

F x = x

1

2

2 1

Derivaci o´ n de una ecuación que describa el torque aplicado por un fluido en movimiento.

→v ) d (−→r × m−→v ) d (m− −→ → − → − T = r × F = r × = dt dt −→ →r × −→v )] d H d [m(− ⇒ Momentum Angular = dt dt −→ d H →r × −→v ; η = − N = dt 28

(3.34)


Figura 3.11: Aspersor: Aplicacio´ n del torque ejercido por un fluido en movimiento.



→ ∂ −→ →r × −→v )] + ρ (−→r × → −v )−→v −dA T = [m(− ∂ t −→ → → T = ( r v ρ A )− e + (r v ρ A )− e −→ → T = (rv ρ A)− e

(3.35)

A

2 1 1

1

z

2

2 2 2

2

z

z

ENFOQUE C Ahora procedemos a una ecuaci o´ n diferencial parcial que relaciona las propiedades de flujo de campo en un punto en el espacio. d (ρ u) dp (3.36) V ) = + ∇(ρ u + ρ f x + (F x )viscosa dt dx

−

La ecuacio´ n (3.36) es la componente x de la ecuacio´ n de momento en forma diferencial; de igual manera se obtiene para las componentes y, z. (ecuaci o´ n (3.37),(3.38)) d (ρ u) dt d (ρ u) dt

V ) = + ∇(ρ u

− ddyp + ρ f + (F )

(3.37)

+ ∇(ρ u V ) =

− ddzp + ρ f + (F )

(3.38)

y

z

y viscosa

z viscosa

donde los sub´ındices y, z en f y F indican las componentes en ” y”, ” z”de las fuerzas de cuerpo y las fuerzas viscosas respectivamente. Las ecuaciones (3.30), (3.31) y (3.32) son los escalares de ” x”, ” y”, ” z”de la ecuaci o´ n de momento; que son las ecuaciones diferenciales parciales que relacionan las propiedades de flujo de campo en cualquier punto en el flujo. Estas ecuaciones se puede aplicar a cualquier fluido tridimensional, compresible o incompresible, viscoso o no viscoso.

3.6.

Ecuación de la conservaci o´ n de la energ´ıa.

La ley de la conservación de la energ´ıa afirma que la cantidad total de energ´ıa en cualquier sistema f´ısico aislado (sin interaccio´ n con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energ´ıa puede transformarse en otra forma de energ´ıa. Es decir, la ley de la conservaci o´ n de la energ´ıa afirma que la energ´ıa no puede crearse ni destruirse, s o´ lo se puede cambiar de una forma a otra,

29


3.6.1.

Formas de presentación de la ecuaci o´ n de la energ´ıa.

De la misma manera la ecuacio´ n de la conservación de la energ´ıa se puede presentar de las siguientes formas. ENFOQUE A Principio f´ısico: la energ´ıa no se crea ni se destruye, solo se transforma

 V

˙ q˙ρ dV + Qviscoso

  −   p V .d  S +

S

V

d

V 2

ρ (e +

dt

2

V

 . ˙ = ρ ( f V )dV + W viscoso ρ (e +

)dV +

S

V 2

2

V .d  S )

(3.39)

La ecuacio´ n (3.33) es la ecuaci o´ n de la energ´ıa en forma integral es esencialmente la primera ley de la termodinámica aplicada a un flujo de fluido. La energ´ıa potencial no aparece expl´ıcitamente en la ecuación (3.33); los cambios en la energ´ıa potencial se encuentran en el término fuerza de cuerpo, cuando la fuerza de gravedad esta incluido en  f . ENFOQUE B Partimos de definiciones básicas del Teorema de Trabajo y energ´ıa, para luego aplicar el Teorema de Transporte de Reynolds. dQ

dW dE = − dt dt dt

E = E k + E p + U E k =

1 mV 2 ; E p = mgz 2 N = E

     P. Extensiva

η = Q˙ Q˙

˙ − (W

˙

−

dE dm

∂ E C ∀ ˙ = W + ∂ t ˙

1 2

= mV 2 + gz + u

A

˙

shaft +W friction + W pump +W others ) =

  ejes

 −→−→  −→−→  

1 mV 2 + gz + u ρ V dA 2

  

∂ E C ∀ + ∂ t

bomba

1 2 V + gz + u ρ V dA 2

A

De esta ecuaci o´ n se pueden derivar muchas más para distintos casos. ˙ p = d W

pd ˙

˙ p = W

 −

− ∀⇒ d ∀ = LdA; L = ∆tV d ∀ = ∆tVdA d ∀ ∆t = V dA

pd ˙

∀

∆t ∆t ˙ d = V . dA

−→∀ −→ −→ −→ → ˙ = − p− W V . dA p

 A

30

(3.40)


Ingresamos la densidad en la integral, multiplicando y dividiendo para no alterar la expresión.

 −  

p

˙ p = W

A

 → − −→ − −   −→−→    −→−→       −    −   

Q˙

˙ shaft W

˙ ζ = W

pérdidas

Q˙

1

− W ˙ − W ˙ ζ = shaft

Q˙

− W ˙

shaft

Si m ˙ 1 = m ˙ 2 , entonces tenemos:

[q

2

A1

Q˙

−w − shaft

A

1 2

2

V 2 + gz + u

= q ;

1

2

˙ shaft W m

2

˙ ζ W m

 −

shaft

2

V 2 + gz + u ρ V dA

V 2 + gz + u

ρ VA 1

1

m2

= wshaft ;



1

1

ρ VA 2

1 2 wζ = V + gz + u 2

2

1

V + gz + u ρ V dA

A2

− (u − u )] + 12 V + gz − w − wζ = 2

2

V 2 + gz + u ρ V dA +

1

˙ ζ = W

m q

ρ

−→ −→

ρ V . dA

2

m1

= wζ 1 2 V + gz + u 2

− P2

P1

ρ

ρ



1

1 2

+ V 2 + gz1

− w − wζ shaft

(3.41)

Si consideramos un sistema aislado sin cambio de la energ´ıa interna, entonces obtenemos la siguiente ecuacion ´ la cual es conocida como ecuación de Euler. 1 2

2

V + gz1

1

2

2

− w − wζ = 2 V + gz + shaft



2

1

P2

ρ

(3.42)

El caso ideal de esta ecuación se conoce como la ecuación de Bernoulli, esta se utiliza para flujo irrotacional e incompresible. 1 2 1 P2 P2 = V 22 + gz2 + (3.43) V 1 + gz1 + 2 2 ρ ρ ENFOQUE C Podemos obtener una ecuación diferencial parcial para la energ´ıa total de la forma integral aplicando el teorema de la divergencia de las integrales de superficie, obtenemos; d dt

       ρ e+

V 2

2

+ ∇. ρ e +

V 2

2

 V = ρ ˙ q

− ∇.( p V ) + ρ ( f  . V ) + Q˙ 

˙



viscoso + W viscoso

(3.44)

 ˙ donde Q˙ viscoso y W ´ rminos viscosos. La ecuacio´ n (3.34) es una viscoso representan las formas propias de los t e ecuación diferencial.

3.7.

Ecuaciones fundamentales en t e´ rminos de la derivada material:

Hemos descrito las ecuaciones fundamentales de los fluidos, las cuales pueden ser expresadas en términos de la derivada material para la simplificación de cálculos.

Conservación de masa:

Dρ Dt

+ ρ ∇. V = 0

31

(3.45)


Conservación de momentum:

ρ

D V Dt

=

− ∂∂ ρx + ρ f  +  F

visc

(3.46)

Conservación de energ´ıa:

 

D e +

ρ

3.8.

V 2

Dt

2

    −

  ˙ viscoso V + ρ f V + Q˙ viscoso + W = ρ ˙q  ∇ P

(3.47)

Ejercicios

1. El siguiente fuelle es accionado desde un estado de reposo. La válvula a la izquierda está cerrada mientras se presionan los extremos. Si es fuelle tiene un espesor n, derive una expresión para el flujo má sico m ˙ 0 de salida como función de θ (t ). L

h (t)

m0

(t)

d<
h Stroke

Definir la propiedad extensiva. N = m

η =

d (m) dm

= 1

El volumen que ingresa en el soplador (fuelle) es.

∀ = b ∗ h ∗ L ∀ = mρ Al tomar la parte superior del fuelle como un triángulo rectángulo se obtiene una expresión para la altura en función del ángulo. L h = tan θ (t ) Por lo tanto el volumen es.

2

∀ = tanLθ (t ) ∗ L ∗ b = ρ1 tanbLθ (t ) Se aplica la conservaci o´ n de masa. dm dt

= 0

∂ m)C ∀ = + ∂ t dt

dm

32

 −→ −→ ρ V .dA

A


∂ m)C ∀ = ∂ t bL2

1

ρ tan θ (t ) bL2

1

ρ tan θ (t )

 − −→ −→  − −→ −→ ρ V .dA

A

ρ V .dA

=

A

=

o 1 1 cos (0 )

− ρV A

     m˙0

1

2

m˙0 =

− ρ1 tanbLθ (t )

2.En algunos túneles de viento la zona de pruebas es perforada para succionar el fluido y proveer una capa l´ımite viscosa más delgada. La zona de pruebas del modelo mostrado en la figura tiene 1200 agujeros de 5 mm de diámetro por cada metro cuadrado de pared. La velocidad de succi o´ n en cada agujero es de V s = 8m/s, y la velocidad de entrada a la zona de pruebas es V 1 = 35 m/s. Asumiendo un flujo steady e incompresible a 20o C. Calcular (a) V o , (b) V 2 , y (c) V f , en m /s. Test section Ds=0.8m Uniform suction

D f =2.2 m

Vf

D0=2.5 m

V0

V1

V2

L=4m

V suc = 8(m/s) V 1 = 35(m/s) d agu jero = 5mm

→ A

agu jero =

π d 2

Asuccion = 4π Ds = 0,8π

4

= 1,96

× 10− m 5

× 4 = 10,05m

2

2

#agu jeros = Asuccion

× 1200 = 12063,72 A = A = 0,236m ×# π 0,8 Q = V A = 35 × = 17,59m /s 4 Q = V A = 8 × 0,236 = 1,888m /s tsuccion

agu jeros

agu jeros

2

1

3

1 1

s

s

2

3

s

Balance de caudal que entra con el que sale. Q1 = Q2 + Qs Q2 = Q f

2

→ A V = 15,702 →

Q0 = Q 1

f f

→

3

→ Q = Q − Q = 15,702m /s

A0V 0 = 17,59

→

s

1

π 2,22 4

π 2,52 4 33

× V = 15,702 → V = 3,19m/s f

f

× V = 15,702 → V = 3,58m/s 0

0


Q2 = A2V 2

→ 15,702 =

π 0,82 4

× V → V = 31,23m/s 2

2

REVISAR: (WHITE, Fluid Mechanics, 7ed. Pg 181 Ejemplo 3.18)[3] 3. Se deposita grava sobre la banda transportadora a una tasa de 650 N /s, como se muestra en la figura. La grava después cae por el extremo de la banda. Las ruedas de transmisión tienen un diámetro de 80 cm y rotan en sentido horario. Despreciando la fricci o´ n y el arrastre, estime la potencia requerida para mover la banda.

La velocidad de la banda es igual a la velocidad de salida de la grava, y esta se puede determinar usando la velocidad angular de las ruedas.



V b = V s = ω r = 150

r 2π rad .min

.

r .s

min 60



(0,4m) = 6,28

m s

Podemos traducir la tasa de fuerza dada a un flujo m a´ sico dentro del volumen de control, ˙ = m

˙ F g

=

650 kg 9,81 s

= 66,26

kg s

El producto de un flujo másico por una velocidad da como resultado una fuerza, entonces la sumatoria de fuerzas en el eje x sobre la banda ser´ıa: ˙ s = ∑ F x = F = mV La potencia entonces ser´ıa:



   

66,26

kg s

P = FV b = ( 416 N) 6,28

6,28

m s

m s

= 416,11 N

= 2,613kW

4.Para el canal mostrado en la figura, h1 = 1,5 m, H = 4 m, y V 1 = 3 m/s. Despreciando las pérdidas y asumiendo un flujo uniforme entre las secciones 1 y 2, encontrar la profundidad h2 y demostrar que existen dos soluciones posibles. El fenómeno cumple con las ecuaciones de continuidad, y asumiendo un flujo irrotacional sabemos que cumple la ecuación de Bernoulli en todos sus puntos. El ancho del canal debe ser uniforme.

34


h1

V1

V2

V 2 = V 1 V 12

2g V 12

2g

h1

=

h2

+ h1 + H =

3(1,5) h2

( 4,5/h2 )2

+ 1,5 + 4 =

2g

( 4,5/h2 )2 2g

+ h2 + h2

Dejamos todo en función de la altura h 2 , lo que resulta en una ecuaci o´ n de tercer orden: h32

Las tres ra´ıces son:

 

2 2

− 5,959h + 1,032 = 0

1)

h2 =

−0,4 m ( Se descarta )

2)

h2 = 5,93 m

3)

h2 = 0,43 m

35


3.9.

Resumen Descripción del movimiento: En el presente texto se usa el enfoque Euleriano (volumen de control) para describir la mecánica de medio continuo. Streamline (L´ınea de corriente): Es la curva tangente al vector velocidad instant a´ neo y es la curva m a´ s importante para caracterizar un fluido. Se puede calcular la streamline de acuerdo a la siguiente ecuación: dr

dx

=

dV

u

=

dy v

=

dz w

Ecuación de la continuidad (conservación de la masa): Forma integral A dm dt

=

∂ m )C ∀ ∂ t

+

Forma integral B

 −→ · −→ A ρ V

 ∀

d dt C

0 =

dA

→ = VndA = V dA cos θ −V · −dA →

ρ d +

· ∀

Forma diferencial

− · −→ → ds



SC ρ V

Dρ Dt

· −→

+ ∇ ρ V = 0

Condición

Ecuación de continuidad

Fluido real (unsteady, densidad no es constante)

Dρ Dt

Fluido ideal (steady, densidad constante)

∇ V = 0

· −→

+ ∇ ρ V = 0

· −→

Ecuación de la conservación de momentum:

−→ d (m V )

Forma integral A

dt

=

−→

∂ ( m V ) ∂ t



∀+

C

 −→ −→ · −→ A

V ρ V dA

 −→ · ∀ −  −→

Forma integral B

f ρ d

V

d (ρ u) dt

Forma diferencial

−→

S PdS + F viscosa =

−→ −

= ∇(ρ u V ) =

d dt

 −→ · ∀  −→ −→ · −→ V ρ

S (ρ V ) V

dS

V 2 V ρ (e + 2 ) dV +

 

V d +

dp + ρ f x + (F x )viscosa dx

Ecuación de la conservación de energ´ıa:

Forma integral A Q˙

− W ˙ − W ˙

 

losses = A

s haft

Euler

1 2 V + gz1 2 1

Bernoulli

p 1 2 V + gz1 + ρ1 2 1

p 1 2 V + gz + u + ρ 2

−w

shaft

 −→ · −→ ρ V dA



2 dp 1 2 losses = 2 V 2 + gz2 + 1 ρ

−w

= 12 V 22 + gz2 + pρ2

Forma integral B

  

˙

˙ρ dV + Qviscoso V q

d dt



2

 ·

ρ (e + V 2 ) + ∇

−

  −→ · −→    S p V

2

dS +

→ −

ρ (e + V 2 ) V = ρ ˙q

−→

d ˙ V ρ ( f .V )dV + W viscoso = dt

Forma diferencial

−→ → − − ∇ · (ρ −→ V ) + ρ ( f · V ) + Q˙ 36

  

˙

viscoso + W viscoso

→ −

V 2 S ρ (e + 2 ) V . dS


4.

FLUJO NO VISCOSO E INCOMPRESIBLE

En esta sección tratamos con el flujo de un fluido con densidad constante, flujo incompresible. Esto se aplica al flujo de l´ıquidos, como el flujo de agua y a flujo de gases con baja velocidad.

4.1.

Vorticidad y Rotacionalidad:

En esta secci o´ n, examinamos la orientaci o´ n de un elemento y su cambio en la forma cuando se mueve a lo largo de una l´ınea de un flujo. En el proceso, introducirá el concepto de Vorticidad. Pero antes estudiaremos las deformaciones que se produce en un elemento de fluido, que nos permitirá llegar a la ecuación de vorticidad. Consideramos flujo bidimensional en el plano xy. También, consideramos un elemento infinitesimal de fluido en este flujo, que al tiempo t la forma de este elemento es rectangular, como se muestra a la izquierda de la figura 4.1 y que el elemento se mueve hacia arriba y hacia la derecha; su posici o´ n y forma en el tiempo t + ∆t aparecen a la derecha en la Figura 4.1 Tenga en cuenta que durante el incremento de tiempo t, los lados AB y AC han girado a través del desplazamiento angular θ 1 y θ 2 , respectivamente.

y (u/y)dy t B 1

dy A

C

k 2

u+(u/y) dy

(v/x)dx t

dx dy v

v+(v/x) dx u dx x

Figura 4.1: Rotación y distorción de un elemento de un fluido [1]

Puesto que la l´ınea AB se muestra con una rotaci o´ n a la derecha en la Figura 4.1, el desplazamiento angular es negativo, ( ∆θ ).La l´ınea AC ha girado durante el incremento de tiempo ∆t . Considerado la velocidad en la dirección y, el punto A en el tiempo t, esta velocidad es v, como se muestra en la Figura 4.1 El punto C es un distancia dx desde el punto A; por lo tanto, en el tiempo t es la componente vertical de la velocidad del punto ∂ v C está dada por v + dx . ∂ x El desplazamiento neto se deducir a´ de la geometr´ıa de la Figura 4.1

−



tan∆θ 2 =

  

∂ v dx ∆t ∂ x dx

∆θ 2 =

∂ v ∆t ∂ x

37

=

∂ v ∆t ∂ x

(4.1)

(4.2)


Ahora consideremos la l´ınea AB. La componente x de la velocidad en el punto A en el tiempo t es u, como se muestra en la Figura 4.1 El punto B está a una distancia dy desde el punto A, la componente horizontal de la ∂ u velocidad del punto B al tiempo t es u + dy . Por razonamiento similar a lo anterior, el desplazamiento ∂ y neto en la dirección x de B en relacio´ n con A sobre el incremento de tiempo ∆t es:

 

∆θ 1 =

− ∂ ∂ uy ∆t

(4.3)

Considerar las velocidades angulares de las l´ıneas AB y AC, definidas d θ1 /dt y d θ2 /dt , respectivamente, tenemos. ∂ u d θ1 (4.4) = ∂ y dt

−

d θ2

=

∂ v ∂ x

(4.5) dt Por definición, la velocidad angular del elemento de un fluido en el plano xy es el promedio de las velocidades angulares de las l´ıneas AB y AC. Por lo tanto, por definici o´ n,

   −    −   d θ1

1 w z = 2 w z =

dt

1

2

+

∂ v ∂ x

d θ 2

dt

∂ u ∂ y

(4.6)

(4.7)

La velocidad angular en tres dimensiones ser a´ : 1 w =  2



∂ w ∂ y

−

∂ u  ∂ u i+ ∂ z ∂ z

∂ w  ∂ v j + ∂ x ∂ x

−



∂ u  k ∂ y

(4.8)

La ecuación 4.8 expresa la velocidad angular de un elemento de fluido la cual desempeña un papel importante. Sin embargo aparece la expresi o´ n 2w que se define como el vector vorticidad.

ξ = 2 w

(4.9)

Teniendo en cuenta que ( x, y, z) son las componentes de la velocidad , podemos escribir la ecuación de vorticidad como: ξ = ∇  (4.10) V

×

En la figura 4.2 se observa dos tipos flujos y en base al vector vorticidad se puede determinar si se tiene flujo irrotacional o flujo rotacional:

Figura 4.2: Flujo rotacional e irrotacional 38


Si el vector vorticidad es igual a cero ∇

×  V = 0, en ese punto el flujo es irrotacional (Figura 4.3).



-



-





+(- )=0

Figura 4.3: Flujo irrotacional Si el vector vorticidad es diferente de cero ∇

× V = 0, en ese punto el flujo es rotacional (Figura 4.4).

Figura 4.4: Flujo rotacional

4.2.

Circulacio´ n

La circulaci o´ n es una herramienta fundamental para el c a´ lculo de la sustentaci o´ n aerodinámica. La circulaci o´ n fue utilizada de forma independiente por Frederick Lanchester (1878-1946) en Inglaterra, Wilhelm Kutta (18671944) en Alemania, y Nikolai Joukowski (1847-1921) en Rusia para crear avances muy significativos acerca de la teor´ıa de sustentacio´ n aerodinámica. El objetivo principal de la circulación es relacionarla con la vorticidad, para ello se considera una curva cerrada C en un campo de flujo como se observa en la figura 4.5.

C

ds V

Figura 4.5: Definicio´ n de Circulación [1] 39


Donde: V es la velocidad y d S es el segmento dirigido al punto C . La circulación se denota por: Γ =

 − ·

V dS

(4.11)

C

La circulaci o´ n es el negativo de la integral de l´ınea de la velocidad alrededor de la curva cerrada en el flujo; esta es una propiedad cinemática que depende solamente del campo de velocidades y de la curva C elegida. La circulaci o´ n se relaciona con la vorticidad por la siguiente ecuaci o´ n: Γ =

 − ·

V dS =

C

 −

(∇ V )dS

×

S

(4.12)

Con esta relación se asume que la superficie está en el campo de flujo y la velocidad en el punto P es V , donde P es un punto sobre la superficie,como se observa en la Figura 4.6 (incluyendo el punto sobre la curva C ). ∇xV

(∇xV)=-d /dS n

dS

P

C

Figura 4.6: Relacio´ n entre vorticidad y circulaci o´ n La circulaci o´ n alrededor de la curva C es igual a la vorticidad integrada sobre cualquier superficie abierta delimitada por C . Cuando ∇ V = 0 el flujo es irrotacional en todos lados dentro del contorno de integraci o´ n, por lo tanto Γ = 0 cuando relacionamos este resultado en forma infinitesimal, tenemos un diferecial de circulación d y un diferencial de a´ rea de la curva C , denotado por:

×

d Γ =

−(∇ × V ) × dS = −(∇ × V )ndS (∇ V )n =

×

d Γ dS

(4.13) (4.14)

Ejemplo: y Para el campo de velocidad dado por u = x2 + , encontrar la circulación alrededor de una trayectoria circular y2 de radio r = 5cm Solución Como se trata de una trayectoria circular es mejor trabajar en coordenadas polares, donde: x = rcosθ y = rsinθ x2 + y2 = r 2 V r = ucosθ + vsinθ 40


V θ =

−usinθ + vcosθ u = v = V r = V θ =

y x2 + y2

− x

x 2 + y2

sinθ r

rsinθ

= =

r 2

rcosθ r 2

=

sinθ r

− cosr θ

−  −  cosθ

cosθ +

− sinr θ sinθ +

=

r

cosθ r

sinθ = 0

cosθ =

− 1r − 1r )d θ = −d θ

V ds = (V r er + V θ eθ ) (d r er + rd θ eθ ) = V r d r + V θ d θ = 0 + r (

·

·

   − · − 2π

Γ =

d θ = 2π

V dS =

C

4.3.

0

  m2

s

(4.15)

Funcio´ n Corriente

En la sección de l´ıneas de corriente definimos que: dy

=

dx

v

(4.16)

u

Si u y v son funcio´ n de x,y ; se puede integrar para obtener una funci o´ n algebraica. f ( x, y) = C

(4.17)

Donde C es una constante de integració n con valores diferentes a las l´ıneas de corriente , en la ecuación siguiente se denota f ( x, y) con el s´ımbolo ψ ψ ( x, y) = C (4.18) La ecuacio´ n (4.18) es llamada función corriente Donde la función de corriente bidimensional para el flujo incompresible en coordenadas cartesianas esta dado por las ecuaciones (4.19) y (4.20):

∂ ψ ∂ y

(4.19)

− ∂∂ ψ x

(4.20)

∂ ψ ∂ y

(4.21)

− ∂∂ ψ x

(4.22)

u =

v =

Para flujo compresible será:

ρ u =

ρ v =

41


La función corriente es una herramienta poderosa en la mecánica de fluidos por dos razones principales.

ψ = constant obtenemos la ecuación de una l´ınea de corriente. La velocidad de un fluido puede obtenerse distinguiendo ψ dado por las ecuaciones (4.21) y (4.22) para flujo compresible y ecuaciones (4.19) (4.20) para flujo incompresible.

4.4.

Potencial de Velocidades

Un flujo irrotacional se define como un fluido donde la vorticidad es cero en cualquier punto. ∇

×  V = 0

(4.23)

Considerando el siguiente vector identidad: Si φ es una función escalar, entonces.

 V = ∇φ

(4.24)

La ecuación (4.24) sen˜ ala que para un flujo irrotacional, existe una función escalar φ tal que la velocidad está dada por el gradiente de φ . Denotamos φ como la velocidad potencial. φ es una función de las coordenadas espaciales; es decir, φ = φ ( x, y, z) tenemos, de la ecuación. u i + v j + w k =

∂ φ  ∂ φ  ∂ φ  i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z

(4.25)

en coordenadas cartesianas se puede escribir como: u =

∂ φ ∂ x

(4.26)

v =

∂ φ ∂ y

(4.27)

w =

∂ φ ∂ z

(4.28)

Cuando un campo de flujo es irrotacional, por lo tanto permitiendo una velocidad potencial, hay una simplificación enorme. En lugar de abordar los componentes de la velocidad (digamos, u, v y w) como incógnitas, que se requieren tres ecuaciones para las tres inc o´ gnitas, podemos abordar la velocidad potencial como una incógnita, por lo tanto, que requiere una sola soluci o´ n para la ecuaci o´ n del campo de flujo. Una vez conocido φ para un problema dado, las velocidades se obtienen directamente de las ecuaciones (4.26), (4.27) y (4.28). Por esta razo´ n los flujos irrotacionales se pueden describir por la velocidad potencial φ , tales flujos se denominan flujos potenciales.

4.5.

Flujos Potenciales

Son flujos viscosos incompresibles que se rigen al concepto matemático de función potencial y pueden ser estudiados mediante la teor´ıa de flujo potencial, la cual es aplicable para flujos alejados de superficies s o´ lidas. La teor´ıa de flujo potencial intenta describir el comportamiento cinem a´ tico de los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial, asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido. Podemos definir una función potencial, como una función continua que satisfaga las leyes b a´ sicas de la mec a´ nica de fluidos como: conservación de la masa y cantidad de movimiento, asumiendo un fluido incompresible, no viscoso e irrotacional. Existe una identidad vectorial que se establece para cualquier escalar, φ , ∇

× ∇φ 42

(4.29)


Por definición, para un flujo irrotacional, ∇

×  V = 0

(4.30)

Por lo tanto

 V = ∇φ

(4.31)

donde φ = φ ( x, y, z, t ) es la funcio´ n potencial de velocidad. Tal que, el componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, como las funciones del tiempo y el espacio, son u =

4.6.

d φ dx

v =

d φ dy

w =

d φ

(4.32)

dz

Ecuación de Laplace

El principio de conservaci o´ n de masa para un flujo incompresible puede tomar la forma de la ecuaci o´ n (4.33) V = 0 ∇

(4.33)

Tambien sabemos que:

 V = ∇φ

(4.34)

Por lo tanto combinando las ecuaciones (4.33) y (4.34), obtenemos. ∇2 φ = 0

(4.35)

Ecuación (4.35) es la ecuaci o´ n de Laplace, una de las ecuaciones m a´ s famosos y ampliamente estudiadas en la f ´ısica matemática. Soluciones de la ecuaci o´ n de Laplace se denominan funciones arm o´ nicas, para lo cual existe una gran cantidad de bibliograf´ıa.

4.7.

Tipos de flujo

Ahora presentamos los diferentes tipos de flujo los cuales son fundamentales para el estudio de los fluidos no viscosos e incompresibles.

4.7.1.

Flujo uniforme: Primer flujo elemental

Un flujo uniforme es aquel que se tiene lejos de fuentes o superficies de contacto, y es el m a´ s f a´ cil a ser estudiado ya que consta solo de l´ıneas de corriente unidireccionales y continuas.

43


Figura 4.7: Flujo Uniforme Para encontrar la ecuación del flujo uniforme se parte de la fución de corriente, donde se considera la función de flujo incompresible ψ de la anterior figura y de esa manera tenemos las siguientes ecuaciones:

∂ ψ = u = V ∞ ∂ y ∂ ψ = ∂ x

(4.36)

−v = 0

(4.37)

Al integrar la ecuació n (4.36) respecto a y y la ecuació n (4.37) con respecto a x obtenemos el siguiente resultado.

ψ = V ∞ Xy

(4.38)

Esta ecuacio´ n es la funcio´ n de corriente para un fluido incomprensible uniforme orientado en el eje positivo x. Considerar un flujo uniforme con velocidad V ∞ en la dirección positiva de las X, mostrado en la figura 4.7. Se conoce de antemano que un flujo uniforme es un flujo f´ısicamente incompresible (∇ V = 0) y es irrotacional ( ∇

·

× V = 0). Entonces una velocidad potencial se puede obtener de manera que ∇ · Φ = V .

De la figura 4.7 se tiene:

∂ φ = u = V ∞ ∂ x ∂ φ = v = 0 ∂ y

(4.39) (4.40)

Integrando respecto a x , y respecto a y respectivamente se obtiene:

φ = V ∞ x + f ( y)

(4.41)

φ se emplea para encontrar la velocidad mediante, ∇ Φ = V , pero el valor de Φ es muy pequeño. Por lo

·

que la ecuacio´ n 4.41 se reduce a:

φ = V ∞ x

(4.42)

La ecuacio´ n 4.42 es la velocidad potencial para un flujo uniforme que tiene una velocidad V ∞ hacia el eje positivo de las x , y su derivada no depende de la suposici o´ n que el flujo sea incompresible o no. Considerando la función corriente incompresible Ψ se obtiene:

∂ ψ = u = V ∞ ∂ y ∂ ψ = ∂ y

−v = 0

(4.43) (4.44)

Al realizar el anterior an a´ lisis, derivando respecto a x y y respectivamente, se compara y resulta:

ψ = V ∞ y

(4.45)

La ecuación 4.45 es la función de corriente a un flujo uniforme incompresible en la dirección de las x. Se conoce de antemano que la ecuaci o´ n de una l´ınea de corriente es ψ = cte . Entonces la ecuacio´ n 4.45 resulta: Ψ = V ∞ = cte. As´ı las l´ıneas de corriente se dan por la constante y. Esto corresponde con la figura 4.7, donde las l´ıneas de corriente son horizontales, adem a´ s las l´ıneas equipotenciales, también son constantes, y perpendiculares. Tanto la ecuación 4.42 como 4.45 se pueden expresar en coordenadas polares, con x = r cos θ y y = r sin θ , resultando: (4.46) φ = V ∞ r cos θ

ψ = V ∞ r sin θ 44

(4.47)


4.7.2.

Flujo de de fuente fuente (Sourc (Sourcee flow): flow): Segundo Segundo flujo flujo elemental elemental

Consideramos a un flujo bidimensional incompresible, donde todas las lineas son rectas que se desprenden de un punto central O, como el indicado en la figura 4.8 Ademas que la velocidad a lo largo de una de las l´ l´ıneas ıneas de corriente var´ var´ıan ıan inversamente con la distancia desde el punto O. La velocidad en todos los puntos a una distancia dada de la fuente es el mismo.

Figura 4.8: Flujo fuente fuente El sistema de coordenadas en la Figura 4.8 es un sistema de coordenadas cil´ cil´ındricas, ındricas, con el eje z perpendicular a la pagi pagina na.. Se obser observa va que los comp compone onent ntes es de la velo veloci cida dad d en las las dire direcc ccio ione ness radia radiall y tange tangenci ncial al respe respect ctiv ivam amen ente te son:

V r r =

c r

V θ θ = 0

(4.48) (4.49)

Donde c es una constante relacionado con con el flujo de volumen de la fuente. Examinando la Figura 4.8 un flujo fuente es un flujo incomprensible ∇. V = 0 en todos los puntos excepto en el origen donde ∇. singular, interinterV es infinito, es as´ı que a este punto lo denominamos como un punto singular, pret´ pretaandolo ´ ndolo como un discreto, fuente o sumidero de una fuerza dada, con un campo de flujo inducido, ( similar a un campo magn´ magnetico). e´ tico).

45


Figura 4.9: Caudal de aire desde una fuente de l´ l´ınea ınea [1] [1]

 del cilindro como se muestra en la Figura 4.9 es Considere el flujo de masa a trav través e´ s de la superficie dS  = = ρ V r r (rd θ )(l ) ρ θ )( V .dS Para V r r es el mismo valor en cualquier ubicación on θ para el radio r fijo,el flujo total de masa a través e s de la superficie del cilindro. 2π

˙ = m

 0

2π

ρ V r r (rd θ θ )) ))l = ρ rlV r r

 0

θ = d θ = 2π ρ rlV r r

(4.50)

como la masa masa por unidad unidad de volume volumen n y m˙ es la masa por segundo, segundo, entonce entoncess m ˙ /ρ es el flujo de ρ se define como volumen volumen por segundo. segundo. Denotada esta tasa de flujo volum´ volumetrico e´ trico por v˙ v˙ =

˙ m

= 2π rlV rlV r r

ρ

(4.51)

Si dividimos el flujo de volumen por la longitud del cilindro definimos una nueva variable Λ intensidad de la fuente, fuente, es f ´ısicamente ısicamente la tasa de flujo de volumen de la fuente, fuente, por unidad de profundidad. Λ=

˙ V l

= 2π rV rV r r

V r r =

Λ

(4.52) (4.53)

2π r r

Para encontrar la funci on o´ n de corriente para un flujo de fuente bidimensiones , se parte de lo siguiente: 1 ∂ ψ r ∂ θ

= V r r =

Λ

2π r r

∂ ψ = V θ θ = 0 ∂ r 46

(4.54) (4.55)


Al integrar la ecuaci on o´ n 4.54 con respecto a θ se se obtiene:

= ψ =

Λ

θ + f (r )

(4.56)

= const + + f (θ ) ψ =

(4.57)

2π

Y al integrar la 4.55 con respecto a r se se obtiene:

´ ltimas ecuaciones se obtiene la ecuaci on Y de esta manera al comparar comparar la dos u ultimas o´ n del funcion o´ n de corriente corriente para un flujo fuente bidimensiones es:

ψ = =

Λ

θ (4.58) 2π Considere un flujo incompresible bidimensional donde las lineas de corriente son rectas que salen desde un punto central O, como se muestra en la figura 4.10 Además as la velocidad a lo largo de cada l´ınea ınea de corriente var´ var´ıa ıa inversamente con la distancia al punto O. A esto se le conoce como flujo de fuente. Los componentes de velocidad radial y tangencial son respectivamente V r r y V θ θ respectivamente con V θ θ = 0. Se conoce que un Source Flow (flujo de fuente), al igual que uno uniforme, es incompresible ∇ V = 0. Esto ocurre en todo punto excepto en el origen donde ∇ V = ∞ y que un flujo de fuente es irrotacional. En este

×

·

Figura 4.10: Flujo de fuente y sumidero [1 [1] tipo de flujo las lineas de corriente se alejan del origen como en la figura 4.10-a. El caso opuesto en un flujo de sumidero, donde las lineas de corriente van hacia el origen, como en la figura 4.10-b. Para un flujo de sumidero la velocidad varia inversamente con la distancia hacia el origen O. Es decir, un flujo de sumidero es un flujo de fuente en sentido negativo. La velocidad es inversamente proporcional a la distancia debido a ∇ V = 0, además as esto se mantiene para el flujo radial. Entonces: C (4.59) V r r = r (4.60) V θ θ = 0

·

La constante C se relaciona relaciona al volumen volumen del flujo desde la fuente. fuente.

47


La velocidad potencial para un flujo de fuente puede obtenerse partiendo de ecuaciones de la velocidad potencial para la velocidad radial y tangencial respectivamente:

∂ φ Λ = V r = 2π r ∂ r 1 ∂ φ = V θ = 0 r ∂ r

(4.61) (4.62)

Al integrar la ecuaci o´ n (4.61) respecto a r, obtenemos: Λ

φ =

ln (r ) + f (θ ) 2π

(4.63)

Al integrar la ecuaci o´ n (4.62) respecto a θ , obtenemos:

φ = const + f (r )

(4.64)

Comparando las ecuaciones (4.63) y (4.64), el valor de f (r ) = ( Λ/2π )ln (r ) y el de f (θ ) = constant . Como lo mencionado en la sección de flujo uniforme , se puede despreciar la constante por su valor tan pequeño, resultando en la ecuación:

φ =

Λ

ln (r ) 2π

(4.65)

La ecuación (4.65) representa la velocidad potencial para un flujo de fuente bidimensional. La funcio´ n de corriente se puede obtener de la siguiente manera. Tomando en cuenta ecuaciones de cap´ıtulos anteriores. 1 ∂ ψ r ∂ θ

= V r =

Λ

(4.66)

2π r

− ∂∂ ψ r = V θ = 0

(4.67)

Al integrar la ecuaci o´ n (4.66) respecto a θ , obtenemos:

ψ =

Λ

θ + f (r )

2π r

(4.68)

(4.69)

Al integrar la ecuaci o´ n (4.67) respecto a r, obtenemos:

ψ = const + f (θ )

Comparando las ecuaciones (4.68) y (4.69), descartando el pequeno ˜ valor de la constante, obtenemos:

ψ =

Λ

θ

2π r

(4.70)

Esta es la ecuación de corriente (ecuación (4.70)) para un flujo de fuente bidimensional. La ecuación de la lineas de corriente se obtiene de al igualar la ecuaci o´ n (4.70) a una constante:

ψ =

Λ

θ = const

2π r

48

(4.71)


De la ecuación on (4.71) se observa que el valor de θ es constante, formando, en coordenadas polares, una linea recta partiendo desde el origen; correspondiendo con la figura 4.10 de un flujo de fuente. Adem as a´ s describe una linea equipotencial con r=constante, es decir, un circulo con el centro en el origen, nuevamente correspondiente a la figura 4.10 Y, una vez m´ mas, a´ s, las lineas de corriente y equipotenciales son perpendiculares una de otra.

Ejemplo: Combinacion o´ n de flujo uniforme con una fuente y un sumidero Considere un sistema de coordenadas polares con una fuente de fuerza Λ localizada en el origen. Al sobreponer sobre esta corriente uniforme con velocidad V ∞ en direcci on o´ n de izquierda izquierda a derecha, derecha, como se observa en le figura 3.6.

= V ∞ rsinθ + + ψ =

  Λ

2π

θ

(4.72)

s t o n = c

A

D Corriente uniforme =V r sin

Fuente

C Flujo de Fuente =(A/2pi)

Figura 4.11: Superposici´ Superposicion o´ n de un flujo uniforme y una fuente: flujo semi infinito [1] [1]

= V ∞ rsinθ + + ψ =

  Λ

2π

= constante θ =

(4.73)

Las l´ıneas ıneas de corriente resultantes se observan en la figura 4.11 en la parte derecha. La fuente est á en el punto D. El campo de velocidad se obtiene mediante una ecuaci on o´ n diferencial, tanto para la velocidad radial como transversal: V r r =

1 ∂ ψ

(

r ∂ θ

= V ∞ cosθ + +

Λ

V θ θ =

2π

− 

∂ ψ = V ∞ sinθ ∂ r

−

(4.74)

Se conoce que la velocidad desde la fuente resulta en Λ/2π r r y la componente de la velocidad de la corriente libre en la direcci on o´ n radial es V ∞ cosθ . Entonces la ecuaci on o´ n (4.74) (4.74) es solo la suma de los dos campos de velocidades. Los puntos de estancamient estancamiento o en el fluido se pueden obtener obtener al igualar igualar las ecuaciones ecuaciones a cero. V ∞ cosθ + +

Λ

2π

49

= 0V ∞ sinθ = = 0

(4.75)


Al resolver para θ y r , se observa que los puntos de estancamiento están an en ( r , θ ) = (Λ2π rV rV ∞ , π ), marcado en la figura 4.11 en el punto B. Entonces el punto de estancamiento es una distancia (Λ2π rV rV ∞ ) directamente sobre la fuente. De este resultado, la distancia DB crece muy poco si V i n f t y aumenta, y aumentar´ aumentara´ mucho m´ mas a´ s si Λ se incrementa. Si los puntos de estancamiento en el punto B se sustituyen en la ecuacion o´ n (4.75), (4.75), obtenemos: obtenemos:

ψ = =

Λ

2π V V∞

sinπ + +

= ψ =

Λ

2

Λ

π = = constante

2π

= constante

(4.76)

Enton Entonce cess las las l´ınea ı neass de corr corrie ient ntee que atra atravi vies esan an el punto punto de esta estanc ncam amie ient nto o se desc descri ribe ben n media mediante nte Ψ = Λ/2. Esta l´ınea ınea de corriente se muestra en la curva ABC de la figura 4.11. 4 .11.

Analizando la figura 4.11 se sabe que la l´ l´ınea ınea ABC contiene al punto de estancamiento y divide las l´ l´ıneas ıneas de corriente, es decir, separa el flujo que llega del flujo libre y del que sale de la fuente. Todo el fluido fuera de ABC viene desde la corriente libre y todo el fluido dentro de ABC es por el flujo de fuente. Cuan mas lejos de la corriente libre se encuentre, la regi on o´ n interna dentro de ABC podr´ podr´ıa ıa reemplazarse con un sólido de la misma m isma geometr´ geo metr´ıa ıa y flujo externo. La l´ınea ınea de corriente Ψ = Λ/2 se extiende por abajo la corriente al infinito formando un cuerpo semi infinito. Si queremos construir el flujo a trav es e´ s de una solida o´ lida cuerpo cuerpo semi- infinita infinita descrito por la curva curva de ABC como se muestra en la figura 4.11 necesitamos necesitamos tomar una corriente con velocidad V ∞ y anadir n˜ adir una fuente de fuerza Λ al punto D. La superposición on resultante representa representa el flujo sobre el s olido o´ lido semi infinito de geometr´ geometr´ıa ıa ABC.

0 =

Ψ

R r

C

A

B

D

Figura 4.12: Superposici´ Superposicion o´ n de un flujo uniforme y una fuente: flujo sobre un ovalo o´ valo de Rankine Rankine [1 [ 1]

Considere un sistema de coordenadas polares con una fuente y sumidero a una distancia b a la izquierda y derecha del origen respectivamente como se muestra en la figura 4.12. Las fuerzas de la fuente y sumidero sumidero son Λ . Además as superponer superponer una corriente corriente uniforme con velocidad velocidad V ∞ , como se ve en la figura 4.12. La funci on o´ n de corriente para el flujo combinado en un punto P con coordenadas (r , θ ) se obtiene las ecuaciones del caso anterior:

= V ∞ rsinθ + + ψ = 50

Λ

θ 1 2π

− 2Λπ θ 2

(4.77)


= V ∞ rsinθ + + ψ =

Λ

( θ 1

2π

− θ 2)

(4.78)

El campo de velocidades se obtiene mediante una ecuaci on o´ n diferencial acorde a ecuaciones vistas en cap´ cap´ıtulos ıtulos anteriores. En la figura 4.12 se observa que θ 1 y θ 2 son funciones de r , θ y b . Tomando en cuenta los puntos de estancamiento (A y B), se pueden localizar mediante: OA = OB =



b2 +

bΛ

V ∞ π

(4.79)

La ecuación on de las l´ıneas ıneas de corriente resulta en:

ψ = = V ∞ rsinθ + +

Λ

( θ 1

2π

− θ 2) = constante

(4.80)

La ecuaci´ ecuación on de las l´ıneas ıneas de corriente espec´ıficas ıficas atravesando los puntos punto s de estancamiento se obtiene notando que θ = en el punto A y θ = l ´ınea ınea = θ 1 = θ 2 = π en = θ 1 = θ 2 = 0 en el punto B. Esto sugiere que la l´ de corriente, toma el valor de cero para su constante. Resultando en la siguiente ecuaci on: o´ n:

+ V ∞ rsinθ +

Λ

( θ 1

2π

− θ 2) = 0

(4.81)

Esta es la ecuaci on o´ n de un ovalo, o´ valo, la ecuacion o´ n (4.79) es tambi´ tambien e´ n una l´ l´ınea ınea de corriente divisora; el flujo desde la fuente se consume por el sumidero y es contenido enteramente dentro del óvalo, ovalo, mientras que el flujo fuera del ovalo o ´ valo ha originado flujo uniforme.

4.7.3.

Flujo de doblete doblete (Doublet (Doublet flow): flow): Terce Tercerr flujo elemen elemental tal

Hay un caso especial entre un flujo fuente-sumidero que es llamado doblete, en esta sección on se estudiará sus propiedades. Consideremos una fuente Λ y un sumidero igual (pero opuesto), Λ, separados por una distancia l como se observa en la figura 4.13 Por lo tanto la función on corriente es.

−

= ψ =

Λ

(θ 1 2π

− θ ) = − 2Λπ ∆θ

2

P

P

Δθ

dθ r

θ1

Fuente Fuente A

l

t 0 tA=const

a

θ2

b

θ

Superficie -A

(a) Superficie de Fuente Par

A

l

-A

(b) Caso límite de doblete

Figura 4.13: Flujo funte-sumider funte-sumidero o se acerca acerca a un flujo de doblete en caso de limitaci´ limitacion o´ n [1]

51

(4.82)


La función corriente para un flujo de doblete es obtenida de la ecuación (4.83)

ψ = l´ım l

→0

−  Λ

d θ 2π

(4.83)

Obteniendo la función corriente para un flujo de doblete es, la ecuación (4.84).

− 2k π sinr θ

ψ =

(4.84)

En similar forma la velocidad potencial para un flujo de doblete es, la ecuación (4.85)

φ = 4.7.4.

k cosθ

(4.85)

2π r

Flujo de vórtice (Vortex flow): Cuarto flujo elemental

La suposición de la velocidad angular nula del fluido, o irrotacionalidad, conduce a simplificaciones muy u ´ tiles. Vamos a mostrar aqu´ı que la velocidad angular está asociada al rotor de la velocidad local de un fluido. Las relaciones diferenciales para la deformaci o´ n de un elemento fluido pueden obtenerse analiz a´ ndola. Dos l´ıneas fluidas AB Y BC, perpendiculares entre s´ı en el instante t, se mueven y se deforman de modo que en el instante t+dt tienen longitudes ligeramente diferentes ( A )( B ) y( B )(C  ), y el a´ ngulo que forman difiere de 90◦ en los a´ ngulos (.al f a) y(.beta). Tales deformaciones aparecen de un modo cinemático a consecuencia de que A,B y C tienen velocidades ligeramente distintas cuando el campo de velocidades V no es espacialmente uniforme. Estos cambios diferenciales en el movimiento de A, B y C se indican. Las superposiciones involucran flujos, con vórtices dirigidos con elevación finita. Consideramos un flujo donde todas las l´ıneas de corriente son c´ırculos concéntricos alrededor del punto dado Por definició n el vórtice de un fluido.

Γ =Fuerza de el flujo vortex.

V 0 =Velocidad tangencial.

r =radio. V 0 =

Se evalu´ a la constante en C

const r



=

C r

 V d s = V θ (2π r )

Obteniendo la ecuación) de flujo de v o´ rtice.

−

V θ =

− 2Γ π r

(4.86)

La ecuacio´ n de la velocidad potencial en un flujo de vórtice es.

φ =

− 2Γ π θ

(4.87)

La función de corriente para un flujo de vórtice es.

ψ =

Γ

ln (r ) 2π

52

(4.88)


4.8.

Ejercicio

Determine la variaci o´ n C p a lo largo de la direcci o´ n x y + y

−

a)Freestream V ∞ source of strength Λ. b)Freestream V ∞ vortex of strength Γ . b)Freestream V ∞ doublet of strength k . A grandes distancias. ¿De d o´ nde viene la perturbaci o´ n mas fuerte de un perfil aerodinámico de elevación(medida por el C p), arriba o abajo de la propela?, Explicar. C p = 1

V 2

− V

2 m

= 1

−  −   2

u

v

V ∞

2

(4.89)

V ∞

a)Fuente Λ

x

u = V ∞ +

∗ 2π x

Λ

x

v =

∗ 2π x

2 + y2

(4.90)

2 + y2

(4.91)

A lo largo de: x, y = 0

−

C p = 1

u2

− V

2

= 1

−

V ∞ V ∞

Λ

− 2π V

∞

 ∗ 1

2

=

x

Λ

π V∞

1

∗ x

−  ∗ 2

Λ

2π V∞

1

x2

(4.92)

A lo largo de: y , x = 0 C p = 1

−  −   ∗ V ∞

2

2

Λ

2π V∞

V ∞

1 y2

=

−  ∗ Λ

2

2π V∞

1

y2

(4.93)

(b)Vórtice

v =

Γ

y ∗ 2π x + y Γ ∗ − x

u = V ∞ +

2

2

(4.94)

2π x2 + y2

(4.95)


−

C p = 1

−  −   ∗ V ∞

2

2

Γ

2π V∞

V ∞

1 x2

=

−  ∗ Γ

2π V∞

2

1

x2

(4.96)


u2

− V

2

= 1

−

V ∞ V ∞

Γ

− 2π V

∞

 ∗ 1

y

(c)Doblete

53

2

=

Γ

π V∞

1

∗ y

−  ∗ Γ

2π V∞

2

1 y2

(4.97)


ϕ = V ∞ x +

k

∗ 2π x

x

2 + y2

∂ ϕ k y2 x2 = V ∞ + u = 2π ( x2 + y2 )2 ∂ x

−

∗

v =

(4.98)

∂ ϕ 2 xy k = 2π ( x2 + y2 )2 ∂ y

∗ −

(4.99)

(4.100)


−

C p = 1

−  − 

V ∞ V ∞

− 2π V ∗ x

−  − 

V ∞

k

u

2

= 1

V ∞

1

k

∞

2



2

=

k

π V∞

1

∗ x

2

−  ∗ k

2

2π V∞

1 x4

(4.101)

(4.102)


u

V ∞

2

= 1

V ∞

+

1

2π V∞

∗ y

2



2

=

−k ∗ 1 −

π V∞ y2

 ∗ k

2π V∞

2

1 y4

A lo lejos los términos x1 y y1 son dominantes ( x1 y y1 desaparecen mas rápido). Una superficie de sustentación de elevación tiene un valor distinto de cero Γ lo que se ve sobre todo como un vórtice muy lejos, el C p es grande hacia arriba.

54


4.9.

Resumen Vorticidad y Rotacionalidad:

− → −→ ξ = ∇ × V ξ = 2 w

Rotacional ∇

Circulación: Γ =

Irrotacional

= 0 × −→ V 

∇

 − ·

V dS =

C

× −→ V = 0

− 

(∇ V )dS

S

×

Stream Function (Funcio´ n corriente):

ψ ( x, y) = C u = v =

∂ ψ ∂ y

− ∂∂ ψ x

Velocity Potential (Potencial de Velocidades): Solo si el fluido es irrotacional puede calcularse el potencial de velocidades

−k → −V = ∇φ = u→ −i + v−→ j + w−→k = ∂ φ −→i + ∂ φ −→ j + ∂ φ → ∂ x

∂ y

Ecuación de Laplace: Solo si el fluido es irrotacional e incompresible ∇2 φ = 0

55

∂ z


5.

FLUJO VISCOSO FLUJOS VISCOSOS

Aspectos Cuantitativos

Aspectos Cualitativos

Números adimensionales

Esfuerzo cortante

Ecuaciones de Navier Stokes

Separación de flujo

Flujos especiales

Flujo laminar y turbulento

Figura 5.1: Mapa de ruta del capitulo 5

5.1.

Esfuerzo cortante

La superficie siente un arrastre o una fuerza en la direcci o´ n del flujo, siendo esta una fuerza tangencial a la superficie, es decir por unidad de área.

n n

V

V

Insert (b)

Insert (a)

τ

g ion Separa ted re

S

Separation point d s

w f l o

Re ver s e d

Figura 5.2: Efecto de viscosidad sobre un cuerpo en un fluido movi e´ ndose: esfuerzo cortante y separaci o´ n de un fluido

56


5.2.

Separación de Flujo

El movimiento del elemento es ya retardado por el efecto de fricci o´ n, en adicio´ n, este trabajo se produce a lo largo del flujo en contra de los incrementos de presión, tiende a reducir esta velocidad, observando que V 2 < V 1 . El flujo continua su movimiento con la corriente, esto puede completarse sin la fase de vapor, viniendo a detenerse y entonces bajo la acción de gradientes de presiones adversas, actualmente opuestas a esta dirección y volviendo al movimiento inicial. Entonces el flujo inverso es el causante de la separaci o´ n de flujos de la superficie y crea una larga pared de flujo re irculando hacia arriba de la superficie. dv El punto de separación sobre la superficie ocurre donde dn = 0 en la superficie. Además en este punto, este flujo ocurre inversamente, por lo tanto, en adici o´ n a la generacio´ n de esfuerzo cortante, la influencia de la fricción puede causar que el flujo sobre un cuerpo se separe de la superficie, como cuando ocurre sepracio´ n de flujos, la presi o´ n sobre la superficie es muy alterada.

p3

p p2

Adverse pressure gradient

p1

s3

s2

s1

V2

V3

V1

Fluid element

Reversed flow

s

s2 s3

s1

Figura 5.3: Separacio´ n del fluido inducida por un gradiente de presión adversa. Uno de los flujos separados de la superfie entre el punto 2 y 3, la figura del fluido elemental en S 3 es en realidad diferenre que en la S 1 y S 2 porque los flujos primarios se mueven por medio de la superficie

5.3.

Flujo laminar y turbulento

Cuando entre dos part´ıculas en movimiento existe gradiente de velocidad, o sea que una se mueve m a´ s rápido que la otra, se desarrollan fuerzas de fricción que actúan tangencialmente a las mismas. Las fuerzas de fricci o´ n tratan de introducir rotacio´ n entre las part´ıculas en movimiento, pero simultáneamente la viscosidad trata de impedir la rotaci o´ n. Dependiendo del valor relativo de estas fuerzas se pueden producir diferentes estados de flujo.

57


5.3.1.

Flujo Laminar

Se llama flujo laminar al tipo de movimiento de un fluido, cuando e´ ste es perfectamente ordenado, estratificado, suave, de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse. Las capas adyacentes del fluido se deslizan suavemente entre s´ı, el mecanismo de transporte es exclusivamente molecular y se dice que este flujo es aerodinámico esto ocurre a velocidades relativamente bajas o viscosidades altas como veremos.

5.3.2.

Flujo Turbulento

Se denomina flujo turbulento, cuando un fluido se hace más irregular, caótico e impredecible, las part´ıculas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las part´ıculas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos. Aparece a velocidades altas o cuando aparecen obstáculos abruptos en el movimiento del fluido.

5.3.3.

L´ınea de flujo y perfiles de velocidad para flujo laminar y turbulento

La figura 5.4 muestra el comportamiento de las l´ıneas de flujo laminar (a) y las l´ıneas de flujo turbulento (b).

Figura 5.4: Flujo Laminar y Flujo Turbulento. La velocidad promedio del un flujo cercano a la superficie de un solido es mayor para un flujo comparado con un flujo laminar. Se observa que inmediatamente sobre la superficie, la velocidad del flujo turbulento es mucho mayor que los valores de flujo laminar.

   δ V δ n

>

n=0 Turbulento

   δ V δ n

(5.1)

n=0 Laminar

Es preferible flujo laminar dependiendo de la forma del cuerpo. Por ejemplo: El arrastre por fricci o´ n ( D f ) es mayor que el arrastre por presi o´ n ( Dp). D = D f + Dp

58

(5.2)


Dp >> D f

Df >> Dp

Turbulent flow desirable

Laminar flow desirable

V

V

Slender body

Blunt body

Figura 5.5: Cuerpo Delgado y Cuerpo Redondo. El flujo turbulento es mucho más desordenado que el flujo laminar. La naturaleza siempre estar a´ a favor del aparecimiento del flujo turbulento.

Por ejemplo: La figura 5.6 muestra los perfiles de velocidades para un flujo laminar y flujo turbulento de un para un fluido viscoso.

Transition Region Turbulent

Laminar

Xcr

Transition point

Figura 5.6: Fluido viscoso sobre una placa plana.

5.3.4.

Caracter´ısticas que fomentan la transici o´ n de un flujo laminar a uno turbulento

A continuación se describen las caracter´ısticas que fomentan el cambio de un flujo laminar a uno turbulento:

Incremento de la rugosidad de la superficie. Este caso podemos ver en la figura 5.7 con los hoyuelos en la superficie de una pelota de golf. Incremento en la turbulencia de la corriente libre , por ejemplo, pruebas en el t u´ nel de viento con diferentes niveles de corriente libre.

Gradiente de presi o´ n adversa. Fuertes gradientes favorables de presión (donde p decrece en la dirección de la corriente) tiende a preservar inicialmente un flujo laminar. Calentamiento de un fluido por la superficie. Una pared fr´ıa tenderá a fomentar el flujo laminar. 59


Separación

Capa Límite Laminar Capa Límite Turbulento Separación

Transición

Capa Límite Laminar Figura 5.7: Comportamiento del fluido en superficies diferentes.

´ Numeros de Mach y Reynolds. Altos valores del n u´ mero Mach y bajos valores de Reynolds tienden a fomentar el flujo laminar. Numero ´ de Reynolds cr´ıtico. ReCR =

ρ∞V ∞ X CR µ ∞

(5.3)

Como regla de oro, en aplicaciones pr a´ cticas nosotros frecuentemente usamos. ReCR

5.4.

≈ 500000

(5.4)

Numeros ´ adimensionales

Son métodos para reducir una serie de variables dimensionales en un número mas reducido de grupos adimensionales. El método a utilizar es el teorema de π de Buckingham. El término pi significa un producto de variables. Los parámetros adimensionales encontrados con el teorema son productos de potencias denominadas π 1 , π 2 , π 3 , con este método determinamos los parámetros en orden secuencial sin necesidad de recurrir a exponentes libres. Tomando el caso espec´ıfico de la fuerza sobre un cuerpo sumergido , contiene 5 variables F,L, U, ρ , y u, descritas por 3 dimensiones (MLT). Por lo tanto , n=5 y j=3, con lo que se puede reducir el problema a k par a´ metros adimensionales, con K=n j=5-3=2. Esto es exactamente lo que hemos obtenido: 2 variables adimensionales π 1 = C y π 2 = F . En algunas ocasiones aparecen más parámetros adimensionales que este m´ınimo.

60


Como segunda parte se encuentra los parámetros adimensionales. Para la reducci o´ n de j, se seleccionan j variables que no puedan formar un parámetro adimensional entre ellas. Cada parámetro adimensional deseado estará formado por el producto de potencias de estas j variables con una variable adicional a la que se le asigna un exponente conveneiente no nulo. Todos los grupos adimensionales as´ı determinados son independientes. Se establece una relacio´ n entre 5 variables: u1 = f (u2 , u3 , u4 , u5 ) Supongamos que hay 3 dimensiones (MLT) y despu e´ s de una inspección adecuada encontramos que j=3. Entonces, k=5-3=2 y por lo tanto, habrá dos, y sólo dos, grupos adimensionales. Elegimos 3 variables por ejemplo u2, u3, u4, que no puedan formar un grupo adimensional. Seg u´ n esto, lo 3 grupos adimensionales estarán formados por 3 variables más una variable adicional distinta para cada uno, u1 y u5 , respectivamente: π 1 = ( u2 a )(u3 b )(u4 c )(u1 ) = ( M 0 )( L0 )(T 0 ) π 2 = ( u2 a )(u3 b )(u4 c )(u5 ) = ( M 0 )( L0 )(T 0 ) Se ha escogido arbitrariamente, exponente unidad para u1 y u5 , agrupando los exponentes de las distintas dimensiones e igualándolas a acero, el teorema π garantiza un valor u´ nico de a, b, c para cada grupo adimensional. Además son independientes, porque u 1 solo aparece en π 1 , y u 5 solo en π 2 . Es un procedimiento claro y sistemático una vez que uno se ha acostumbrado al mismo. Lo ilustraremos con varios ejemplos. Hacer una lista de las n variables que aparecen en el problema. Si se omite alguna variable importante, fallará el análisis dimensional. Escribir las dimensiones de cada variable de acuerdo con el sistema utilizado (MLT) O (FLT). Se realiza una lista. Determinación de j. Elija inicialmente j igual al número de dimensiones diferentes que aparecen en el problema y busque j variables que no puedan formar un grupo adimensinal. Si no lo encuentra reduzca j en una unidad y búsquelas de nuevo. Con cierta práctica, encontrará j rápidamente.

Selecciones un grupo de j variables que no pueda formar un grupo adimensional, tratando de que le parezcan satisfactorias y, a ser posible, que tengan bastante generalidad, porque aparecerán el la mayor´ıa de grupos admensionales. Elija la densidad, la velocidad o longitud. No elija la tensión superficial, por ejemplo, ya que en caso contrario obtendr´ıa varios nu´ meros de Weber independientes, lo que va a ser molesto.

Añada una variable adicional a sus j variables y forme un producto de potencias. Determine algebraicamente los exponentes que hacen al producto adimensional. Intente disponerlo de forma que las variables dependientes (fuerza, incremento de presiones, par, potencia) aparezcan en el numerador, de modo que su representacio´ n gráfica sea mas sencilla. Repita esto secuencialmente, con una variable nueva cada vez y encontrará todos los n3j=k grupos adimensionales buscados. Escriba la funcio´ n adimensional resultante y compruebe que todos los grupos son realmente adimensionales.

5.4.1.

Problemas

Problema 1 Una aleta rectangular de acorde a c y lapso b esta funcionando en un flujo de baja velocidad. Su arrastre depende de los siguientes parámetros:

61


D = f ( α , ρ∞ , V ∞ , µ ∞ , b, c)

Determine los parámetros adimensionales (producto pi) que determina el coeficiente de arrastre CD.

Datos: D = f ( α , ρ∞ , V ∞ , µ ∞ , b, c)

o g = ( D, α , ρ , V , µ , b, c) = 0

7-3=4 Pi Productos Π1 =

D

0,5ρ V 2 bc

= C D

Π2 = α = α Π3 =

(5.6)

ρV c = Re µ

Π4 =

b

= AR

c

(5.5)

(5.7)

(5.8)

Por lo tanto: C D = f ( α , Re, AR)

Alternativa Π Productos D

Π1 =

0,5ρ V 2 b2

Π3 =

=

C D

ρV b = Re AR µ

Π4 =

∗

c b

=

(5.9)

AR

1 AR

(5.10) (5.11)

Por lo tanto: C D = f (α , Re, AR)

Estos son los parámetros alternativos válidos que determinan C D aunque un poco convencional.

Problema 2 Un cierto avión opera normalmente a 8 km de altitud donde las propiedades del aire en comparación con los valores del nivel del mar nos da de la siguiente manera:

ρ = 0,50ρSL a = 0,95aSL

µ = 0,95µ SL Datos: 62


ρ = 0,50ρSL a = 0,95aSL

µ = 0,95µ SL l = 4lSL

Solución: Para Mach M ∞ , se debe tener:

V a

=

V SL aSL

→ V = 0,95V

SL

(5.12)

También para Reynolds Re, se debe tener:

ρ V L ρSLV SL LSL = µ µ SL o también

ρ ρSL

∗ V V ∗ LL SL

=

SL

(5.13)

µ µ SL

(5.14)

No puede coincidir simultáneamente match M ∞ y Re sin ser capaz de ajustar otro parámetro(como ρ ).

5.5.

Ecuaciones de Navier Stokes (Conservaci o´ n de la cantidad de movimiento)

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre a Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la a´ tmosfera terrestre, las corrientes oce a´ nicas y el flujo alrededor de veh´ıculos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservaci o´ n de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulaci o´ n integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relaci o´ n lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulaci o´ n diferencial que generalmente es más u´ til para la resolucio´ n de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Cuando se impone la incompresibilidad y se supone ρ = 1, el sistema de Navier-Stokes toma la forma d (ρ V ) dt

 + F  + ( V ) V =  ∇ ρ ∇ p + ρ f visc

·

(5.15)

Esta ecuación es llamada ecuación de Navier-Stokes. Consiste de un fluido más realista que incluye efectos de viscocidad. Esta ecuacio´ n conecta localmente las variables y sus cambios. Si el flujo es estacionario, las fuerzas viscosas son nulas, y no hay fuerzas de cuerpo entonces se obtiene las ecuaciones estacionarias de Euler: d (ρ u2 ) dx

+

d (ρ uv) dy

+

d (ρ uw) dz

=

− ddxp

(5.16)

La ecuación (5.16) representa la ecuación de Euler respecto a la variable x. d (ρ vu) dx

+

d (ρ v2 ) dy

+

63

d (ρ vw) dz

=

− ddyp

(5.17)


La ecuación (5.17) representa la ecuación de Euler respecto a la variable y. d (ρ wu) dx

+

d (ρ wv) dy

+

d (ρ w2 ) dz

=

− ddzp

(5.18)

La ecuacio´ n (5.18) representa la ecuaci o´ n de Euler respecto a la variable z. Estas ecuaciones representan las ecuaciones de Euler que son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresio´ n corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes.

Figura 5.8: Elemento infinitesimal moviendose en un l´ıquido (fuerzas en la direccio´ n x) [1]

5.6.

Obtencio´ n de la ecuaci o´ n de Navier Stokes para fluidos reales

”La ecuaci o´ n (5.19) proviene de la segunda ley de Newton de la forma F = ma y por ahora solo consideramos la componente x.”

F x =

−

dp dx

+

d τ xx dx

+

d τ yx dy

+

d τ zx dz



dxdydz

(5.19)

En la ecuacio´ n (5.19) la masa del fluido, es fijo e igual a: m = ρ dxdydz

(5.20)

Ademas, la aceleraci o´ n del fluido esta dada por la variaci o´ n de la velocidad en la direcci o´ n x con respecto al tiempo y es igual :

64


a x =

Du

(5.21)

Dt

Combinando las ecuaciones, obtenemos:

ρ

Du Dt

=

− ddxp + d dxτ

xx

+

d τ yx dy

+

d τ zx

(5.22)

dz

Las ecuaciones (5,20), (5,21), (5,22) representan las ecuaciones completas de Navier-Stokes para flujos viscosos de tres dimensiones.

Ecuación de Navier-Stokes en el eje X

ρ



d dx

du

λ ∇ V + 2 µ

·

dx

du dt

  +

d

µ

dy

+ ρu dv dx

+

du

dx du dy

+ ρv

dv

+ ρw

dy d

du

dz du

   +

dz

µ

− ddxp +

=

+

dz



dw dx

(5.23)

(5.24)

(5.25)

Ecuación de Navier-Stokes en el eje Y

ρ d dy



dv

λ ∇ V + 2µ

·

dy

dv dt

  +

d

µ

dx

+ ρu dv dx

+

dv

dx du dy

+ ρv

dv

+ ρw

dy d

dv

dz dv

   +

dz

µ

=

dz

− ddyp +

+

dw dy



Ecuación de Navier-Stokes en el eje Z

ρ d dz



dw

λ ∇ V + 2µ

·

dz

dw dt

+ ρu

  +

d

dx

µ

du dz

dw

+ ρv

dx dw

+

dx

dw dy

+ ρw

dw

dz dw

   +

d

dy

µ

=

dy

− ddzp +

+

d v dz



Para analizar flujos viscosos incomprensibles estas ecuaciones y la ecuación de continuidad son suficientes.

5.7.

Flujos Especiales

Ahora describimos flujos especiales que nos permitirá analizar de mejor manera la mecánica de fluidos.

5.7.1.

Fluido de Couette

El fluido de Couette es un fluido viscoso que esta contenido entre dos placas paralelas separadas una distancia y = D. La placa superior tiene una velocidad u e y la placa inferior se encuentra est a´ tica ( u = 0). Debido a la condición de no desplazamiento, no existe movimiento relativo entre el fluido y las placas. q˙w =

  − K

65

δ T δ y

(5.26) w


Figura 5.9: Flujo de Couette (general)[1]

Figura 5.10: Flujo de Couette (detallado)[1]

En la ecuacio´ n (5.26) se puede hacer la siguiente consideración donde el flujo solo será en la direcci o´ n del eje x. du dT dp (5.27) = = =0 dx dx dx La ecuacio´ n (5.27) de continuidad, es directamente proporcional con la derivada parcial de la temperatura y la presión con respecto al desplazamiento. La ecuación (5.28) es la ecuación de momento con respecto a y:



       dp dy

=0

(5.28)

En ecuacio´ n (5.29) se tiene la ecuacio´ n de la energ´ıa, las cuales est a´ n en función de los parámetros (T,u) d

dy

dT k dy

+

d

dy

u

du dy

=0

(5.29)

La ecuacio´ n (5.30) representan las ecuaciones de Navier-Stokes que se reducen a una multiplicaci o´ n de diferenciales. d du (5.30) u =0 dy dy

   66


  d 2 u dy 2

=0

(5.31)

De esta manera las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a la siguiente expresi o´ n en la ecuaci o´ n (5.31) Donde la derivada total sustituye la derivada parcial, porque u es solo funció n de y. Integrando dos veces obtenemos la siguiente ecuación (5.32) (5.32) u = ay + b Las condiciones dadas se determinan como las condiciones de frontera en las ecuaciones (5.33) y (5.34). y = 0, u = 0, b = 0 y = D, u = ue , a =

(5.33)

ue

(5.34) D El tensor de esfuerzos esta dado en funci o´ n del parámetro D. Se observa en la ecuaci o´ n (5.35) que τ es independiente de la posición. ue τ = µ (5.35) D y (5.36) u = ue D

 

5.7.2.

Fluido de Poiseuille

El f ´ısico Jean Poiseuille (1799-1869) hab´ıa medido con exactitud el flujo en tubos capilares para m u´ ltiples fluidos En el fluido de Poiseuille se considera un fluido viscoso que se encuentra entre dos placas paralelas estacionarias que están separadas una distancia D. En este caso, el fluido se mueve debido a un gradiente de presiones. Ecuación del momentum en X du dx

Ecuación del momentum en Y

+

dv

dp dy

dy

=0

(5.37)

=0

(5.38)

Figura 5.11: Flujo de Poiseulle

La presión es constante a través de todo el campo de flujo dp

d

− dx + dy

 

67

du

µ

dy

=0

(5.39)


Las derivadas parciales en las ecuaciones se pueden escribir en derivados como ordinarias. dp

=

dx

Cuando u es constante

du

µ

dy

1 2µ

u =

      −   −  d

= cte

dy

dp

y2 + ay + b

dx

(5.40)

(5.41)

b = 0

a =

Reemplazando: 1

u =

2µ

1

dp

2 µ

dx

dp

y2

dx

du

dy

=

1

  dp

2 µ

D

(5.43)

Dy

(5.44)

=0

dy du

(5.42)

dx

(5.45)

(2 y D) = 0

−

(5.46)

Derivada parcial respecto a y de la ecuaci o´ n (5.46) se tiene: 1 umax = 2µ

  dp

D2

dx

4

−

D2

2



=

D2

− 8µ

  dp

dx

(5.47)

Separando las variables de la ecuación (5.47)

   − du

τ w = µ du dy

=

1 2 µ

dp dx

w

dy

(5.48)

(2 y D)

(5.49)

 

(5.50)

Asumiendo y como constante se obtiene:

 du dy

w =

D

− 2µ

dp dx

Finalmente se obtiene la ecuaci o´ n de Poiseuille

τ w = µ

5.8.

 du dy

w =

D

− 2µ

  dp dx

(5.51)

Ley de Sutherland

William Sutherland (24 agosto 1859 - 5 octubre 1911) fue un f´ısico teorico ´ de origen escocés australiano, publicó una relacio´ n entre la viscosidad dinámica y la temperatura absoluta, de un gas ideal. Esta f órmula, es llamada ley de Sutherland y se basa en la teor´ıa cinética de los gases ideales La ley de Sutherland se puede expresar como: 3/2 ˙ T T 0 + E µ (5.52) = ˙ ˙0 µ T + E T 0

  ∼

68

·


Donde E es una temperatura efectiva llamada constante de Sutherland, el cual es caracter´ıstico de cada gas. La precision de esta ecuació n es mejor que la aproximació n de la ley potencial realizada por Maxwell - Rayleigh que esta dada por la ecuación (5.52). n µ T (5.53) = ˙ ˙0 µ T 0

  ∼

Donde n esta en el orden de 0.7 y los valores de temperatura y viscosidad son valores referenciales. En la Tabla 1 existen valores de n para varios tipos de gases, la exactitud depende del rango de temperaturas.

Gas

Parametros para gases Ley Potencial y Ley de Sutherland ˙0 ˙0 n Error Rango de temperatura T µ

Aire Argon CO2 CO N 2 02 H 2 Vapor

273 273 273 273 273 273 273 273

1,716 10− 5 2,125 10− 5 1,370 10− 5 1,657 10− 5 1,663 10− 5 1,919 10− 5 8,411 10− 5 1,12 10− 5

× × × × × × × ×

0.666 0.72 0.79 0.71 0.67 0.69 0.68 1.15

±4 ±3 ±5 ±2 ±3 ±2 ±2 ±3

210 - 1900 200 - 1500 209 - 1700 230 - 1500 230-1500 230 - 2000 80 - 1100 280 - 1500

S 111 144 222 136 107 139 97 1064

Cuadro 1: Parámetros para las ecuaciones 5.52 y 5.53 Estas f o´ rmulas son estrictamente válidas para substancias de un solo componente; sin embargo el aire se encuentra tabulado porque sus dos componentes principales, ox´ıgeno y nitrógeno son moléculas diato´ mica casi idénticos. Para la mezcla de gases de diferentes substancias, la viscosidad de la mezcla var´ıa fuertemente con la concentracio´ n de las substancias.

5.9.

Lubricaci o´ n Hidrodina´ mica y

Δx τw

P

Δy

X

τ

P+

dP x dx Δ

dτw w+ dy Δy g

Figura 5.12: Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de un fluido viscoso

∑ F = 0 p∆ y∆ z + (τ w +

∂ τ w )∆ x∆ z + g x ρ ∆ x∆ y∆ z ∂ y

− τ ∆ x∆ z − ( p + ∂ ∂ xp ∆ x)∆ y∆ z = 0

∂ τ w ∆ x∆ y∆ z + g x ρ ∆ x∆ y∆ z ∂ y 69

w

− ∂ ∂ Px ∆ x∆ y∆ z = 0


∂ τ w ∂ P + g x ρ = ∂ y ∂ x

(5.54)

Para el caso de un fluido newtoniano, es decir de viscosidad constante se tiene: V x = u ; V y = v ; V Z = w



∂ u ∂ v + τ w = µ ∂ y ∂ x



⇒ τ = µ ∂ ∂ uy w

∂ 2 u ∂ p µ 2 + g x ρ = ∂ y ∂ x

(5.55)

En el siguiente ejemplo se analiza el flujo a trav e´ s de dos placas planas.

h Y

X P1

P2

L 2

1

Figura 5.13: Flujo a través de dos placas planas

Para este caso el campo gravitatorio no se toma en cuenta en el flujo.

∂ 2 u ∂ p µ 2 = ∂ y ∂ x Procedemos a integrar la ecuaci o´ n diferencial.

∂ 2 u 1 ∂ p = 2 ∂ y µ ∂ x 1 ∂ p ∂ u = y + A ∂ y µ ∂ x u =

1 ∂ p 2 ya + Ay + b µ ∂ x

Planteamos las siguientes condiciones de borde, para obtener el valor de las constantes de integraci o´ n.

→ τ → u = 0 y = h → τ → u = 0 −1 d p h B = 0 ; A = y = o

max max

2 µ dx

70

(5.56)


Por tanto, la velocidad en dirección x es: 1 dp 2 [ y 2 µ dx

u =

− hy]

(5.57)

Para tal direcci o´ n de flujo la presió nen 1 debe ser mayor a la de 2;y suvariació n respecto a x quedar´ıa expresada de la siguiente manera. dp P1 P2

=

dx

1

⇒ u = 2µ

− L− P −P

  1

2

L

[hy y2 ]

−

(5.58)

Para encontrar la velocidad m a´ xima, sabemos que se encuentra en el punto medio entre las dos placas. umax

1 umax = 2µ

→ y = h2

 −  −  − P1

P2

h2

h2

2

4

L

umax =

h2

P1

8µ

P2

L

(5.59)

Finalmente, el flujo volumétrico se obtiene con el siguiente proceso.

∀˙ = V . A d ˙ = udy dz

∀

  ∀    − ∀ −    − ∀ −    − ∀   − ∀ e

h

˙=

eudy

0

h

˙=

e

0

1

P1

2 µ

˙ = e 1 2µ

L

P1

˙ = e 1 2 µ

P2

P2

L

P1

[hy y2 ]dy

hy2

y3

2

3

6

P1

71

0

h3

P2

L

3 ˙ = eh 12 µ

h

P2

L

(5.60)


r 2 r 1

Figura 5.14: División del tubo en elementos diferenciales

r

R

dr

r Ƭ2πrdx

dr

(2πrdr) P

(P + (dP) dx) (2πrdr) dx

(Ƭ + dƬ dr) 2π (r + dr)dx dr

dx

Figura 5.15: Elemento cil´ındrico en movimiento a través de una tuber´ıa

∑ F x = 0



p(2π rdr ) + τ +

d τ dr



dr [2π (r + dr )dx ]

− τ (2π rdx)

−

p +

d p dx

dx



(2π rdr ) = 0

Simplificando la expresión anterior obtenemos:

τ d τ ∂ P + = ∂ x r dr

   1 d (r τ ) r dr

=

72

∂ P ∂ x

(5.61)


r τ =

τ =

r 2 ∂ p r ∂ p

2 ∂ x

τ = µ du

µ

dr

du dr u =

=

+ A

2 ∂ x

+

dr

2 ∂ x

r ∂ p

2 µ ∂ x

r 2 ∂ p

4µ ∂ x

r

du

r ∂ p

=

A

+

+

A r A

µ r

+ A ln(r ) + B

Planteamos condiciones de borde para obtener los valores de las constantes. r = R

→ u = 0 ; r = 0 → u = u → τ = 0 max

2

A = 0 ; B = u =

− R4µ ∂ ∂ xp

1 ∂ p 2 (r 4 µ ∂ x

2

− R )

(5.62)

2

umax =

− R4µ ∂ ∂ xp

 ( )

−

73

(5.63)


5.10.

Resumen Navier-Stokes:

−→

d (ρ V ) dt

ρ

−→ −→

· −→ −→

+ (∇ ρ V ) V = ∇ p + ρ f + F viscosa

Du Dt

=

− ddxp + d dxτ

xx

+

d τ yx dy

+

d τ zx dz

La ecuación Navier-Stokes se la puede escribir para las 3 dimensiones, a continuación se muestra para el eje X.

ρ

du dt

+ρu

du dx

+ρv

dv dy

+ρw

du dz

=

dp

d

− dx + dx



du

λ ∇ V + 2µ

·

dx

  +

d

dy

µ

dv dx

+

du dy

   +

d

dz

µ

du dz

+

dw

Flujo de Couette: El fluido es incompresible, y su velocidad es independiente del eje x. Solo var ´ıa en el eje y. El movimiento del fluido se debe al movimiento de la placa que interactúa con el fluido.

τ = µ

 

u = ue

ue

D

y

D

Flujo de Poiseuille: Se le considera como un tubo infinito, el movimiento del fluido se debe al gradiente de presión. Su velocidad var´ıa en el eje y. 1 u = 2µ

τ =

  −   − dp dx

( y2 Dy)

D

dp

2µ

dx

74

dx




6.

CAPA LIMITE CAPA LIMITE

Definición

Tipos Cuerpo Efectivo

Espesor de la cantidad de movimiento

Estudio de la capa límite sobre placa plana Figura 6.1: Mapa de ruta para el Cap´ıtulo 6. La capa l´ımite es la zona donde el movimiento del fluido es perturbado al entrar en contacto con un s olido, ´ en esta zona se tiene una variaci o´ n de la velocidad del fluido respecto al s o´ lido en movimiento de 0 hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada. Puede ser laminar o turbulenta.

6.1.

Definicio´ n El espesor de la capa l´ımite se define por:

δ ∗ =

  −  y1

1

0

ρ µ ρe µ e

dy.

(6.1)

Esta propiedad tiene dos interpretaciones f´ısicas:

6.1.1.

Interpretaci o´ n 1.

δ ∗ es un ´ındice proporcional a la ”falta de flujo de masa debido a la presencia de la capa l´ımite”. La figura 6.2 nos ayuda a entender la definición de la ecuación 6.2 y representa la capa l´ımite de un fluido en contacto con una placa plana, donde ρe y µ e es la densidad y velocidad en el borde da la capa l´ımite respectivamente, y ρ y µ es la densidad y velocidad dentro de son una función de y, dentro de la capa l´ımite. En base a la figura 6.2, considere el punto y1 por encima de la capa l ´ımite. Tenga en cuenta también el flu jo de masa a través de la l´ınea vertical que conecta y = 0 e y = y1. Entonces:

A=Flujo másico real entre 0 y Y 1 . A =



y1

0

75

(ρ µ )dy

(6.2)


Figura 6.2: Borde de la capa l´ımite. B=Flujo másico hipotético entre 0 y Y1 si la capa l´ımite no estuviera presente. B =



y1

0

ρe µ e dy

(6.3)

B-A= Decremento en el flujo m a´ sico debido a la presencia de la capa l´ımite, es decir, falta de flujo de masa. y B A =

−



1

0

(ρe µ e

− ρ µ )dy

(6.4)

Expresando esta falta de flujo másico como el producto de ρe µ e y una altura δ . La falta de flujo másico

ρe µ e δ ∗ = δ ∗ =

= ρe µ e δ ∗

(6.5)

(4) = ( 5)

(6.6)



y1

0

(ρe µ e

− ρ µ )dy

  −  y1

1

0

ρ µ ρe µ e

dy

(6.7) (6.8)

Claramente δ ∗ es una altura proporcional al flujo de masa perdida. Si esta falta de flujo de masa fue metida en un tubo de corriente, donde las propiedades de flujo fueron constantes en ρe y µ e , entonces la ecuación (6.5) dice que δ ∗ es la altura de este tubo de corriente hipotético.

6.1.2.

Interpretacio´ n 2.

δ ∗ es el espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite

76


Figura 6.3: Espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite. Considere el flujo sobre una superficie plana como esbozado en la figura 6.3. La imagen de la izquierda es un flujo no viscoso hipotético sobre la superficie; una l´ınea de corriente a trav e´ s del punto y 1 es recta y paralela a la superficie. El flujo viscoso real se muestra en la parte derecha de la figura 6.3; aqu´ı, el flujo retrasado dentro de la capa l´ımite act u´ a como una obstrucción parcial al flujo de corriente libre. Como resultado, la l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite pasa por el punto y1 es desviado hacia arriba a través de una distancia δ ∗ . Ahora demostramos que este δ ∗ es precisamente el espesor de desplazamiento definida por la ecuación (6.1).

El flujo másico en la estacio´ n 1 entre la superficie y la l´ınea de corriente externa es: ˙ = m



y1

0

ρe µ e dy

(6.9)

El flujo másico en la estacio´ n 2 entre la superficie y la l´ınea de corriente externa es: ˙ = m



y1

0

(ρ µ )dy + (ρe µ e δ ∗ )

(6.10)

El flujo de masa a trav e´ s de la estaci o´ n 1 y la estación 2.



y1

0

   −  y1

ρe µ e dy = δ ∗ =

0

(ρ µ )dy + (ρe µ e δ ∗ )

y1

1

0

ρ µ ρe µ e

dy

(6.11)

(6.12)

En conclusión debido a la conservación de la masa se va a dar una deformaci o´ n de la linea de corriente.

6.2.

Cuerpo Efectivo

En la ecuaci o´ n (6.12) se da lugar al concecto de cuerpo eficaz. El cuerpo eficaz, es igual a la forma del cuerpo real, más la distribución del espesor de desplazamiento. Tenga en cuenta la forma aerodinámica esbozado en la figura 6.4. El contorno real de la cuerpo es dado por la curva AB. Sin embargo, debido al efecto de desplazamiento de la capa l´ımite. La forma del cuerpo eficaz visto por la corriente libre no se da por la curva ab; más bien, la corriente libre ve un cuerpo eficaz dado por la curva ac.

77


Figura 6.4: Cuerpo Efectivo

6.3.

Espesor de la cantidad de movimiento θ

El espesor de la cantidad de movimiento se analiza sobre un volumen de control para una capa l´ımite de placa plana. Dado que el fondo del volumen de control es la placa misma, ninguna masa o cantidad de movimiento puede cruzar esta superficie. La parte superior del volumen de control se toma como una l´ınea de corriente del flujo exterior. Dado que ningu´ n flujo puede cruzar una l´ınea de corriente, no puede haber flujo de masa o de cantidad de movimiento a trav e´ s de la superficie superior del volumen de control. Cuando se aplica la ley de conservación de masa a este volumen de control se encuentra que el flujo de masa que entra al volumen de control desde la izquierda (en x = 0), debe ser igual al flujo de masa que sale de la derecha (en alguna posici o´ n arbitraria x a lo largo de la placa). El espesor de la cantidad de movimiento se define como:

 ≡

y1

θ

0

− 

ρ ρe µ e 1 µ

µ dy µ e

(6.13)

Considere el flujo másico a través de una segmento dy, dada por: dm = ( ρ µ )dy

(6.14)

A es igual al Flujo de Momento a trav e´ s del segmento A = dmµ = ρ µ 2 dy

(6.15)

B es igual al flujo de momento en la velocidad de la corriente libre asociado con la masa d m B = dmµ e = ( ρ µ )dy µ e

(6.16)

Por lo tanto, operando la funci o´ n B-A obtenemos el decremento en el flujo de momento (P e´ rdida del flujo de momento)asociado con una masa dm B A = ρ µ (µ e

−

− µ )dy

(6.17)

El decremento total en el flujo de momento o p e´ rdida del flujo de momento a través de la l´ınea vertical para y = 0 a y = y 1, como se puede observar en la figura 6.2, es igual a la integral de la ecuación(6.17), obteniendo y

 0

1

ρ µ (µ e 78

− µ )dy

(6.18)


Asumiendo que la pérdida de flujo es igual a el producto de ρe µ e2 y θ , entonces se tendr´ıa que la p e´ rdida de flujo es igual a ρe µ e2 θ . Entonces igualando las ecuaciones:

(16) = ( 17) Obtenemos

ρe µ e2 θ =



y1

0

ρ µ (µ e

− µ )dy

(6.19)

(6.20)

(6.21)

Pasando ρe µ e2 al otro lado de la ecuación llegamos a

θ =

  −  y1

0

ρ µ ρe µ e

1

u

ue

dy

Note que θ = θ ( x) , evaluando θ en una estación dada x = x1 siendo proporcional al coeficiente de resistencia de fricci o´ n integrado desde el borde de ataque de x 1 ; eso es:

θ ( x1 ) α

1

x1

=



x1

c f d x = C f

(6.22)

0

Donde c f es el coeficiente de fricción de la capa local y C f es el coeficiente de fricción de arrastre en la capa total.

6.4.

Estudio de capa l´ımite sobre placa plana

Un cuerpo que este en el interior de un flujo experimenta una fuerza resultante debido a la acción entre el flujo y el cuerpo. Esta es la fuerza resultante de los esfuerzos de corte en la pared del cuerpo y de los esfuerzos normales a la superficie. La magnitud de las fuerzas resultantes dependerá de la forma que tome el flujo alrededor del cuerpo y por lo tanto de la forma del cuerpo, de las condiciones del flujo y de la posici o´ n relativa del cuerpo con respecto al flujo. La influencia sobre el flujo para el caso de la placa plana delgada paralela al flujo es m´ınima y las l´ıneas de corriente tenderán a ser paralelas a la placa. Considerar un fluido incompresible y bidimensional sobre una placa plana con un ángulo de ataque igual a 0, tal como el bosquejo siguiente. Tal que el fluido ρ = constante , d pe mu = constante , dx = 0

Figura 6.5: Fluido sobre superficie plana

Deduccio´ n de la capa l´ımite Las ecuaciones de la capa limite se reducen a las siguientes tres ecuaciones:

∂ u ∂ v + =0 ∂ x ∂ y 79

(6.23)


∂ u ∂ u ∂ 2 u +v = v 2 u ∂ x ∂ y ∂ y

∂ p =0 ∂ y

(6.24) (6.25)

Transformemos las variables independientes de: ( x, y) a ( ξ , η ),donde;

ξ = x

η = y

,



V ∞ vx

Entonces; Derivada parcial respecto a x:

∂ ∂ ∂ ξ ∂ ∂ η = + ∂ x ∂ ξ ∂ x ∂ η ∂ x

(6.26)

∂ ∂ ∂ ξ ∂ ∂ η = + ∂ y ∂ ξ ∂ y ∂ η ∂ y

(6.27)

Derivada parcial respecto a y:

Sin embargo:

∂ξ = 1 ∂

∂ξ = 0 ∂

∂η = ∂ y



V ∞ vx

Sustituyendo dentro de de las derivadas, obtenemos:

∂ ∂ ∂ η ∂ = + ∂ x ∂ ξ ∂ ∂ η Reemplazando segu´ n definición anterior:

∂ = ∂ y Elevando al cuadrado:

∂ 2 ∂ y2



V ∞ ∂ vx ∂ η

=

V ∞ ∂ 2 vx ∂ η 2

(6.28)

(6.29)

(6.30)

También, definiendo una ”función de corriente”ψ como:

ψ =

√ vxV f (η ) ∞

Dónde: f ( η ) está estricta y solamente en función de η . Esta expresio´ n satisface la ecuaci o´ n de continuidad. De la definicio´ n de ”funcio´ n de corriente”, y usando ecuaciones, tenemos:

∂ ψ u = = ∂ y v =

−

∂ ψ = ∂ x

−



V ∞ ∂ ψ vx ∂

= V ∞ f  (η )

 − 

∂ ψ ∂ η ∂ ψ + = ∂ξ ∂ x ∂ η

1 2

xV ∞ x

f

− √ vxV

∞

∂η  f ∂ x

La función f ( η ) tiene la propiedad donde e´ sta es derivada dando el componente de la velocidad como: f  (η ) =

80

u V ∞

(6.31)


Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, vamos a llegar a tener una ecuación de la forma:

∂ u ∂ u ∂ 2 u + = 2 u v ∂ x ∂ y ∂ y

(6.32)

Escribiendo cada término expl´ıcitamente, tal que podamos ver que está pasando, tenemos: V ∞ f  =



V ∞

∂ η  f ∂ x

 −   1 2

vV ∞ x

√ f + vxV

∞

Simplificando:

∂ η   V 2 ∞ f f ∂ x

1 V 2 ∞

−2

x

f f 

2

− V

Ecuación de Blasius:

∞

 

∂η  f V ∞ ∂ x

V ∞ vx

f  = vV ∞

 

∂η V 2 ∞  f  f  = f x ∂ x

2 f  + f f  = 0

V ∞ vx

f 

(6.33)

(6.34)

(6.35)

Fue la primera aplicación práctica de la capa l´ımite hipotética de Prandtl desde su anuncio en 1904. A causa de ser una ecuaci o´ n diferencial ordinaria simple, es simple para resolver la ecuaci o´ n original de capa l´ımite. Debe ser resuelta num e´ ricamente, teniendo en cuenta las transformaciones de las condiciones de borde. At η = 0 : At η

f = 0,

f  = 0

f  = 1

→∞:

Una tercera condición de borde, nombrada, algún valor para f  (0), debe ser asumida. Entonces dicho valor está integrado frente a la capa l´ımite hacia un gran valor de η .

7 6 5 )

x

V /

∞

V(

4 3

√ y = n

2 1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

ƒ’(n)=u/V

∞

Figura 6.6: Grafica funcio´ n n Notar que la curva del perfil de velocidad y ésta curva es funcio´ n de η solamente. Claramente, la variaci o´ n de la normal u cambiará conforme disminuya el flujo. Sin embargo, cuando graficamos VS η , miramos el perfil, u = u(η ) es. Los valores numéricos de f,f’y f”’VS η son tabulados C f =

τ ∞ 0, 5ρ∞V 2 ∞ 81

(6.36)


Figura 6.7: Descripción Lagrangiana Y el esfuerzo de deformación:

    ∂ u ∂ y

τ ∞ = η Entonces:

∂ u ∂ f  = V ∞ = V ∞ ∂ y ∂ x

Combinando ecuaciones para n=0 C f =

V ∞ ∂ f  vx ∂ η

2 f  (0)

√ Re

= V ∞

V ∞ vx

f 

(6.37)

(6.38)

(6.39)

x

Re x es el numero de Reynolds local. Desde f ( 0) = 0,332 desde la solución numérica de la ecuación de Balsius , entonces la ecuación quedar´ıa como. 0, 664 (6.40) c f = Re x

√

82


7.

´ INTEGRAL DE VON KARMAN PARA CAPA L IMITE

Este enfoque debido a Karman conduce a una técnica de solucio´ n aproximada muy u´ til para los efectos de capa l´ımite. Forma la base de los métodos utilizados en la capa l´ımite . La idea básica es integrar las ecuaciones de capa l´ımite y para reducirlas a una EDO en x. Como se aprecia en la Figura 6.1.

Figura 7.1: Capa l´ımite deformándose en x. Para las ecuaciones de capa l´ımite se adiciona ( ρ µ ) x de la ecuación de la continuidad más x-momento, como se muestra en la ecuación (6.1).

ρ µ (

∂ u ∂ v ∂ u ∂ v ∂ µ e ∂ 2 u + ) + ρ (µ + ν ) = ρ µ e + 2 ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ρ(

∂ u2 ∂ (vu) ∂ µ e ∂ . ∂ u + ) = ρ µ e + (u ) ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ y

(7.1)

(7.2)

Por lo tanto se procede a integrar la ecuacio´ n (6.1) desde 0 a y1

ρ



y1

0

(

∂ (u2 ) ∂ µ e )dy + puv = ρ µ e y1 + τ ∂ x ∂ x

Note que puv se puede expresar como se muestra en la ecuación (6.3) puv = pu e v( y1 ) = ρ µ e



y1

0

∂ v dy = ∂ y

−ρ µ

e



y1

0

∂ u dy ∂ x

(7.3)

Entonces se reemplaza la ecuaci o´ n (6.3) en la ecuaci o´ n (6.1), se obtiene la ecuacio´ n (6.4):

ρ



y1

0

∂ (u2 ) ( )dy pue ∂ x

−



y1

0

∂ u ∂ µ e dy = ρ µ e y1 + τ ∂ x ∂ x

(7.4)

Después de manipular la ecuacio´ n (6.4), además de llevar y 1 al infinito esta puede ser escrita como la ecuacio´ n (6.5): ∂ . ∂ ue τ w = (7.5) ( pu2e θ ) + pue δ ∗ ∂ x ∂ x Donde θ espesor de momento:

≡

  −  ∞

0

ρ µ ρe µ e

1

ρ µ ρe µ e

(7.6)

De la ecuación (6.6) para la forma incompresible se tiene que:

  −  ∞

0

u

ue

1

u

ue

(7.7)

Se integra la ecuación 12.5 desde el punto de estancamiento a lo largo del flujo de aire hasta la estela, como lo muestra la Figura 6.3. 83


Figura 7.2: Punto de estancamiento y estela.



∞

0

τ w dx = pu 2e θ +



∞

0

pue δ ∗

∂ ue dx ∂ x

(7.8)

Pero u e = 0 en el punto de estancamiento (x=0)y mediante Bernoulli se tiene la ecuación 6.9.

− ∂ ∂ d x = pu

e

∂ ue ∂ x

(7.9)

Obteniéndose la expresión de el arrastre que se expresa en la ecuaci o´ n 6.10. pu2e θ =



∞

0



∞

τ w dx +

0

δ ∗

∂ p dx ∂ x

(7.10)

La ecuación de arrastre se representa como D en la ecuación 6.11, cuyo primer término es la arrastre por fricción y el segundo el arrastre por forma. D =



∞

0



∞

τ w dx +

0

δ ∗

∂ p dx ∂ x

(7.11)

Otra forma común de la integral de la ecuación de momento se puede expresar como se muestra en la ecuación 6.12. ∂ . ∂ ue ( pe u2e θ ) + pe u2e δ ∗ τ w = ∂ x ∂ x

τ w pe u2e

Donde H =

δ ∗ θ

=

∂ θ θ ∂ ue + (2 + H ) ∂ x ue ∂ x

se conoce como el ”parámetro de forma”

84

(7.12)


8. 8.1.

ANEXO Métdos de correlaci o´ n para integrales de capa l´ımite

Este método simple se le atribuye a Thwaites en 1949. Thwites correlaciona un n u´ mero de soluciones de la integral de momento de la capa l´ımite y se encontr o´ que el espesor de desplazamiento puede ser predicho bastante cerca al resultado por aproximaciones. A partir de la ecuación de la capa l´ımite, ecuaci o´ n 7.1.

τ w pe u2e

=

d θ dx

Se utiliza un arreglo matemático, ecuación 7.2

+ (2 + H )

du e θ

(8.1)

dx ue

ue θ

(8.2)

v Al multiplicar la ecuaci o´ n 13.1 y 13.2 se obtiene la ecuación 7.3.

τ w θ ue θ d θ θ 2 du e = + (2 + H ) µ ue v dx v dx

(8.3)

En base a la ecuaci o´ n 7.3 se define a λ como una función de θ y v

λ =

θ 2 du e

(8.4)

v dx

Al reemplazar la ecuaci o´ n 13.4 en la ecuaci o´ n 7.3 resulta la ecuacio´ n 7.5 ue

d dx

   λ du e /dx

τ w θ = 2 µ ue



− λ (2 + H )

(8.5)

Thwaites asume una correlación que solo depende de λ . La Correlaci o´ n del factor de Forma se deduce de la ecuaci o´ n 7.5. H = H (λ )

(8.6)

A partir de la ecuaci o´ n 7.5 se deduce la Correlacio´ n de Cizallamiento.

τ w θ = S (λ ) µ ue

(8.7)

A partir del reemplazo en la ecuación 7.6 y 7.7 en la ecuación 7.5 se obtiene: d

⇒ u dx e

 ∼ λ du e /dx

= 2(S (λ )

− λ (2 + H (λ ))

(8.8)

Thwaites determin o´ a partir de la ecuaci o´ n 7.8. d

⇒ u dx e

  λ du e /dx

= 0,45

− 6λ

(8.9)

Se integrando la ecuación 7.9 para encontrar: 2

θ =

0,45v u6e



x

0

u5e dx

Donde se asume θ ( x = 0) = 0 para resolver la ecuaci o´ n 7.10 85

(8.10)

Cuaderno Mecanica de Fluidos II

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