Formulario de Calculo I
Números Reales
Números Reales 1. Clasificación. Existe toda una teoría de los números. Pero se distinguen los siguientes tipos de números:
Nat u r a l e s : ℕ 0 Ent e r o s: ℤ Raci o nal e s: ℚ Complejos:ℂ Reales:ℝ Ir racionales:ℚ′ Fr a cci onar io s :ℤ′ Ent e r osNegativos:ℤ Imaginarios: +∙ ==∙ + +∙ ∙ += =∙+ ∙ + +∙ 0 += = ∙ + ∙ +∙ 1=−− = 0 ∙ = 1 = ∙ ∙ veces∙ … ∙ ==1 ≠ 0 −−−−= = − == ∙ ±== ± = = ∙ + = + ! + ! + !∙ = ∙+⋯+ = =⟹ = = ⟹ =
2. Suma y Producto.
Conmutatividad respecto a la suma Conmutatividad respecto al producto Asociatividad respecto a la suma Asociatividad respecto al producto Distributividad Existencia del Elemento Neutro en la suma Existencia del Elemento Neutro en el producto Existencia del Elemento Opuesto en la suma Existencia del Elemento Inverso en el producto
3. Potenciación.
Ley Fundamental de la potenciación
Exponente unidad Exponente nulo Exponente par de un número negativo Exponente impar de un número negativo Exponente inverso
Exponente negativo
Suma de potencias Producto de potencias
División de potencias
Potencia de una potencia Potencia de un binomio (Binomio de Newton) Potencia de un producto Potencia de un cociente Igualdad de exponentes Igualdad de potencias
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4. Radicación. Ley fundamental de la radicación Radical par de un número negativo Radical impar de un número negativo Radical inverso Radical negativo Suma de radicales Producto de radicales División de radicales Radical de una potencia Potencia de un radical Radical de un radical Radical de un producto Radical de un cociente Exponente negativo inverso Igualdad de la radicación Igualdad de una potencia doble Igualdad de potencias infinitas Igualdad de potencias radicales infinitas
5. Logaritmación.
√ −−=√ =√ −√ = − √ √ √ =− √ = √ √ √ ∙ ±√ √ =∙=√ ± √ √ √ = ∙√ √ = √ √ √ ==∙√ √ ∙ = √ ∙ √ = √ √ ==⟹√ = √ =. = ⟹⟹ = =√ √ . √ √ √ = √ ⟹ =
Notación de logaritmos:
lloogg ==llgog lloogg == llbn Sistema
Base a
10 e
2
Ley fundamental de la logaritmación Logaritmo de la unidad Logaritmo de un número e igual base Logaritmo de una potencia Logaritmo de un radical Logaritmo de un producto
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Denominación Logaritmo de base a Logaritmo común o decimal Logaritmo natural natural o neperiano Logaritmo binario
log1==0 lloogg ==1 ∙ log lloogg √ ∙ ==∙lloogg +log 2
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Logaritmo de un cociente Logaritmo con base como potencia Logaritmo con base como radical Cambio de base Logaritmo inverso Logaritmo negativo Producto de logaritmos inversos Productos sucesivos de logaritmos inversos Igualdad de exponentes Igualdad de potencias logarítmicas Igualdad del cociente de logaritmos Cologaritmo Antilogaritmo Antilogaritmo de un logaritmo Logaritmo de un antilogaritmo
6. Productos Notables
Números Reales
lloogg ==log∙log−l og lloogg√ ==∙log l−logog = =log lloogg ∙l∙∙l∙ lloogg ∙=lo1g = log = =∙ col=og =⟹log=√ =−l− log antantiilloogglo=g= logantantilog =
+− == +− 22 ++ +− == +− 33 ++ 33 +− == +− +3 + −3 − − = − + + = + − + − = − + + + + = + + + 2 + 22 +2+ 2 ++ ++ == ++ ++ ++ 33+ + ++ 3++ + 3 + +6 + + = + + +
Binomio al cuadrado:
Binomio al cubo:
Diferencia de cuadrados:
Suma de cubos:
Diferencia de cubos:
Trinomios al cuadrado:
Trinomios al cubo:
Producto de Binomios:
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++ +− −− == 42 + + + 1 − + 1 = + + 1 + + − = + + √ − √ √ + + == − √ −− = + + +⋯+ ∀ ∈ ℕ ++ = − + −⋯+ ∀:Impar +− = − + −⋯− ∀:Par −+ = DiDivisiónnoexacta ∄
Identidades de Legendre:
Identidad de Argand:
Identidad de Lagrange:
Ecuación General de Segundo Grado: ax
2
+
bx + c
=
0
7. Cocientes Notables
8. Desigualdades.
Leyes: Ley de Tricotomía:
eesscperosoitivo => 00 noespositivo < 0 >> 0,0, >> 00 ⟹⟹ +∙+>>00 >< ,, −− >< 0,0,0,0, −− ∈∈ ℝℝ ≥≤ ,,,, >< ∨∨ ==
Leyes de Monotonía:
Definiciones: Si: Si: Si: Si:
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>> , ⟹ >+⟹ > >+ >> 0 ⟹⟹ −>0> − >< 0 ⟹⟹ − ><0− ∙> ;>; 0>⟹0 ⟹ >< 00⋅ ∧∧> ><⋅00 >> ;;;; >< 0 ⟹⟹ ⋅+<>⋅ + < ;; < ⟹ + < + ≤≤ ≤< ≡≡ ,,,, ≡ ,, << ≤< ≡≡ ,,,, ≡≡ ,,,, : ≤ ≤ ; : ≤ ≤
Teoremas: Si: Si: Si: Si: Si: Si: Si: Si: Si: Si: Si:
9. Intervalos.
Intervalo Cerrado
•,•
Intervalo Semicerrado
•,o
Intervalo Semiabierto
o
Intervalo Abierto
o o
,• ,
10. Operaciones entre Intervalos. Sea:
∞
− ∞
Unión: Intersección: Diferencia: Complemento:
11. Métodos de resolución. -
∪∩ ∖∖
≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ −∞−∞ << << ;;;; << << ∞∞
Método de la Regla de los signos Método del Análisis de posibilidades Método de los Cuadrados Método Triangular
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12. Tipo de Inecuaciones. -
Inecuaciones lineales Inecuaciones dobles lineales Inecuaciones de n-ésimo orden: Inecuaciones algebraicas Inecuaciones dobles algebraicas Inecuaciones trascendentales
13. Valor absoluto. Definición:
> 0 || = 0− <= 00 || ++ || ≤≥ |||| +− |||| || −− || ≥≤ |||| −+ |||| |∙ =||=||| ∙ || || =||| | |||−=+| = | − | |||| >< ⟹⟹ −−∞<<<<−− ∧∧ < < ∞ |||| ≤≥≤≥ || ∑|≤≥| ≤≥ℎℎ ≤≥
Desigualdades Triangulares:
Teoremas:
Si: Si:
14. Tipo de Inecuaciones con Valor Absoluto: -
Inecuaciones tipo Inecuaciones tipo Inecuaciones tipo
-
Inecuaciones tipo
-
Inecuaciones tipo
-
Inecuaciones dobles Inecuaciones variadas
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15. Definiciones. Cuerpo de los Números Reales. Cortaduras. Es una partición del conjunto de los números reales en dos clases que son subconjuntos de los números reales, si: a) la unión de las clases comprende todo el conjunto de los números reales, b) cada una de las clases no es vacía y c) cada número de la clase inferior es menor que cualquier número perteneciente a la clase superior. es el conjunto de todos los Vecindades. Una vecindad de radio delta, o , de un punto puntos tales que donde es cualquier número positivo dado. Conjunto Abierto. Un conjunto abierto es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores. Conjunto Cerrado. Un conjunto se dice que es cerrado si cada punto límite de pertenece a , esto es, si contiene todos sus puntos límites. Conjunto Acotado. Un conjunto se dice que es acotado si podemos encontrar una constante tal que para cada punto de en . Conjunto Ilimitado. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Conjunto Compacto. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto compacto. Punto Inferior. Llamado también ínfimo o extremo inferior y se denota por , si cualquier cumple la desigualdad para cualquier , existe tal que . Punto Mínimo. Si el extremo inferior o ínfimo pertenece al conjunto se llama punto mínimo o mínimo del conjunto. Punto Superior. Llamado también supremo o extremo superior y se denota por M , si todo cumple la desigualdad para cualquier , existe tal que . Punto Máximo. Si el extremo superior o supremo pertenece al conjunto se llama punto máximo o máximo del conjunto. se llama punto inferior de un conjunto si podemos Punto Interior. Un punto encontrar una vecindad de cuyos puntos pertenecen todos a . Punto Frontera. Si cada vecindad de de contiene puntos pertenecientes a y también puntos no pertenecientes a , entonces se llama un punto frontera. Punto Exterior. Si un punto no es punto inferior ni punto frontera de un conjunto , es un punto superior de Punto de Acumulación. Llamado también punto límite de un conjunto de números un número tal que todo entorno reducido de contiene elementos del conjunto.
| − | < | | < ∈ ≥ ; > 0 < + = ∈sup > −∈ ≤ ;
=∈ inf >0
16. Teoremas. Teorema de Dedekind (1872). Continuidad de la Recta, hay un correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. Teorema de Bolzano-Weiertrass. Bolzano-Weiertrass. Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto límite. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Heine-Borel-Lebesgue. Si el intervalo cerrado es recubierto por una familia de intervalos abiertos , entonces un número finito de intervalos abiertos de la familia se puede elegir de tal manera que recubren a
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,, = ,, .
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