COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 1 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
COMPARACIÓN CUANTITATIVA En cada situación se dan dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. El objetivo es determinar la relación que existe entre ambas cantidades y luego escribir la clave A, B, C ó D. A = si la cantidad en A es mayor que en B. B = Si la cantidad en B es mayor que en A. C = Si ambas cantidades son iguales. D = Si falta información para determinarlas. determinarlas. Estrategia:
* Lee la SITUACIÓN (que en otras palabras palabras es la condición). condición). * La COLUMNA A, es lo que se debe calcular respecto a la SITUACIÓN, lo mismo la COLUMNA B. * Luego compara ambos resultados resultados para determinar su clave.
Nº
SITUACIÓN
1
Si (R ∩ S) ≠∅
2
Si n(A)=10 y n(B)=10
3
Sea: M= {3x-1; 6; 2y-5} un conjunto unitario
4
Dado el conjunto A= {a, b, c, d}
A 10
5
5
3 8
Si:
7 8 9
Si: y
COLUMNA B
n (R)
n (S)
n (A∪ B)
n (A ∩ B)
x
y
n (P(A))
Cuadrado de n(A)
CLAVE
B
4 6
6
2
COLUMNA A
n ( A B) B
n( AUB ) n(C B)
C
Q= {1;2;3,5;7} R = {3;5;7,9;12}
n(P(Q)) + n((R))
n (P(Q ∩ R))
Si: A= {23; 34 } y B= {32;43}
n(A) + n(B)
n (A-B)
n (B)
n (P(A))
a
b
A= {2; 2; 3} B= {1;2;3,4}
Si el conjunto T es unitario.
T= {3a+5; 4b-3; 17}
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 2 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1. En el diagrama, ¿cuál es operación que corresponde a la región sombreada? a) (A - B)' b) (AUB)' c) (B - A)' d) B' e) (A∩ (A∩B)' 2. En el diagrama, ¿cuál es operación que corresponde a la región sombreada? a) b) c) d) e)
(A U B) – B) – C (A ∩ B) – B) – C A' U B' (A ∩ B) - C' C' – C' – (A ∩ B)
3. Observa el siguiente diagrama e indica qué expresiones son verdaderas y cuáles son falsas? I. II. III. IV.
Algunos elementos de A pertenecen a B. Todos los elementos de C pertenecen a D. Ningún elemento de A pertenece a C. Todos los elementos de D pertenecen a C.
a) VFVV
b) VVVV
c) FFVV
A
B
C D
d) FVFV
e) FVVF
4. observa las siguientes porciones de un círculo, con los cuales se harán operaciones de unión, intersección, planteándose las siguientes proposiciones: I. E U F = C B C E II. C ∩ D = D F D III. E – A = F IV. C – B = D V. F – D = E VI. A – F = E ¿Qué proposiciones son verdaderas? a) I, II y III b) II, III y IV
c) II, IV y VI
d) IV, V y VI
5. Observa los diagramas de conjuntos y completa los enunciados con las palabras todos, algunos o ninguno. a) b) c) d)
……………… los triángulos son polígonos. ……………… polígonos son triángulos. ……………… los números pares son naturales. ……………… múltiplos de 3 son múltiplos de 2.
POLÍGONOS TRIÁNGULOS
IN Múltiplos de 2 Múltiplos de 3 1 1 / 2
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 3 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 6. Qué operación corresponde a la región sombreada?
7. A partir del siguiente gráfico, determina cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. Existen números reales que no son pares. Hay números pares que son reales.
Números reales
Todos los números impares son reales.
Números pares
Números impares
Algunos números pares no son reales. Todos los números pares son reales. Algunos números reales son impares. Todos los números reales son impares impares o son impares. Algunos números no impares son pares.
8. Dado los siguientes conjuntos, determina el valor de verdad (V ó F) de cada ca da afirmación. P = {x/x es un profesional}
M= {x/x es un médico}
I = {x/x es un ingeniero}
A ={x/x es un abogado}
M∩A=x/x es un médico o abogadoA U I ={x/x es ingeniero y abogado} A – M = {x/x es un abogado, pero no médico} M∩I∩A=x/x es un médico, ingeniero y abogadoA-(M U I) = {x/x es sólo abogado}
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 4 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 9. Para cada diagrama, escribe una proposición verdadera usando los cuantificadores algunos, todos, ninguno. Por ejemplo: “algunos números enteros son números naturales ” Números racionales
Números pares Números primos
Múltiplos de 3
Números impares
Números enteros
Números pares
Números naturales
10. Pinta la porción de conjunto que represente cada operación siguiente: (A - B) U C A
A – (B U C) B
C
A
(AUBUC) – (AUBUC) – (A∩ (A∩B∩C) B
A
C
(A U B) - C
B
A
C
(A∩ (A∩B)U(B∩ B)U(B∩C)U(A∩ C)U(A∩C) B
C
A
A
A
B
B
C
C
11. Colorea la parte que representa al conjunto indicado. (AUB) – (AUB) – (A∩ (A∩B) (A U B) – B) – (B ∩ C) A
(AΔ (AΔB)U(BΔ B)U(BΔC)U(AΔ C)U(AΔC)
A – (B ∩ C) B
A
B
B
C
C
12. En cada caso indica la operación operación entre los conjuntos conjuntos representado por las zonas sombreadas.
13. Construye una gráfica con diagramas de Venn, donde se verifique que de un grupo de deportistas:
Todos los que practican atletismo practican natación.
Algunos de los que practican f útbol practican atletismo.
Algunos de los que practican fútbol practican natación.
Algunos de los que practican f útbol no practican natación.
Hay atletas que no practican fútbol.
Hay futbolistas que no practican atletismo.
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 5 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 14. Observa los diagramas de conjuntos y elabora dos enunciados por cada gráfico, utilizando los cuantificadores todos, algunos o ninguno. Números pares
Números primos
Números enteros Números naturales
15. Plantea 4 proposiciones verdaderas con los siguientes conjuntos, usando operaciones de unión (U), intersección (∩), diferencia (-) o complemento ('). C
B
D
E
F
16. Escribe lo que representa cada gráfico respecto a la preferencia de los alumnos por el ceviche y los anticuchos
17. Marca la operación que representa el siguiente gráfico de conjuntos. Usa el procedimiento de asignar un elemento a cada zona para demostrar tu respuesta. a) b) c) d)
B - [(A – [(A – C) U ( C – C – A)] C - [(B - A) ∩ (A – B) ] (B – (B – A) ∩ *(A - B)' ∩ C+ (A – (A – B) ∩ *C ∩ (B – A)' ]
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 6 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 18. Determina por extensión los siguientes conjuntos. . R={5 + x2 /x N, 2x < 7}
P = {x + 3 / x N, x < 6}
X= P=
X= R=
19. Representa gráficamente las siguientes relaciones entre los conjuntos A, B y C
20. Por observación directa, colorea la parte que representa la operación de conjuntos indicado.
A – B
B-A
A
A
B
(A ∩ B) A
B
A – B
(A∩B) U (B∩C) B
A
A∆B
A
B
B
(A ∩ B)' B)' C
A
B
(A ∩ B ∩ C )
(A ∩ B) B
A
B
A
A
B C
(A U B)'
(A ∆ B)' B
A
C
C' A
A
(A∩C) U (B ∩ C) A
B
(AUBUC) – (AUBUC) – [(A∩B)U(B∩C)U(A∩C)]
(A U C) - B A
B
C
A
(B ∩ C) - A A
B
C
B
C
B
B
C
C
[(A∩B) U (B∩C) U (A∩C)] - (A∩B∩C )
(C - A) U (B ∩ C)
A
B
C
A B
C
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 7 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 21. Colorea el resultado de la operación de conjuntos. Usa el procedimiento de asignar un elemento a cada zona. (A – (A – E)'
(AUB) – (B∩ (AUB) – (B∩C) A
A E
U
(CUB) – (CUB) – (A∩ (A∩B) A
C
B
A
A' ∩ B' B
B U
A
(AUBUC) – (AUBUC) – [(A∩ [(A∩B) U (B∩ (B∩C)] B C
(E- B)' B)' ∩ (E-A)' (E-A)' A
E
B
22. En cada caso indica la operación entre los conjuntos representado representado por las zonas sombreadas.
23. Construye una gráfica con diagramas de Venn, donde se verifique que de un grupo de deportistas:
Todos los que practican atletismo practican natación.
Algunos de los que practican f útbol practican atletismo.
Algunos de los que practican f útbol practican natación.
Algunos de los que practican fútbol no practican natación.
Hay atletas que no practican fútbol.
Hay futbolistas que no practican atletismo.
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 8 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 24. Escribe lo que representa cada gráfico respecto a la preferencia de los alumnos por el ceviche y los anticuchos.
25. Dados los siguientes conjuntos, F= {futbolistas}, A={ajedrecistas}, B={basquetbolistas} B={basquetbolistas} y U={deportistas}, ¿qué características tienen los elementos de los conjuntos indicados? CONJUNTO CONJUNTO características características F – A A∩B F' B'
(F U A)' (F U A U B)' (F – A)' (F – f' ∩ A'
26. Si A = {a, {b}, c, d, e, f} ; B = {b, d}; C={a, e}; D={b, D={b, c, d}. Escribe según corresponda. b …..A
{{b}} ….. A
{b,d} ….. B
B …..D
C ….. D
….. B
B
d ….. C
B ….. A
A ….. A
e ….. D
{a} ….. C
A …..
27. Determina por extensión los siguientes conjuntos P = {x + 3 / x N, x < 6} Q = {x - 2 / x N, 2x 6}
{b} ….. A {c} ….. A B ….. B C ….. A
R={x2 /x N, x < 3}
{b} ….. B f ….. D {f} ….. D b .….. A
S = {3x – {3x – 8 / x N, 3 < x 5} 1 1 / 8
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 9 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 28. Elabora una representación gráfica de los conjuntos que cumplan las siguientes relaciones.
29. ¿Qué afirmación es verdadera? si A = {p} ; B = {{p}} {{p}} A
{ }
= {0}
A=B
= {}
pA
{p} B
pB
{} = {}
{ }
{p} B
{{}}
I. Resuelve: 1. Los conjuntos A ={n; n; n+2; n+2} y B = {m; m; 10; 2. Halla el valor de m, sabiendo que el conjunto A = 10} tienen los mismos elementos. Calcula m + n, si {m+1; 5} es unitario m y n son diferentes 3. Sean los conjuntos unitarios: P ={a3; 8; b-2}; A ={8d- 4. Si el conjunto G={3m – 2; m+2n; n2+p; 10} es unitario, halla los valores de m, n y p. Da como c; 3c; 6} y Z = {5; 2e+1; e+f}, halla respuesta la suma de dichos valores. 5. De 36 científicos distribuidos como se muestra en el M diagrama, 6 son solo físicos (F); 15 químicos (Q); 14 biólogos (B); 6 físicos y químicos; 4 físicos y biólogos; 3 químicos y biólogos y solo uno es físico- químicoF Q biólogo. Si el resto es solo matemáticos (M), ¿Cuántos matemáticos hay? ....... B ¿Cuántos científicos son únicamente químicos? …….. 6. En un concurso de 3 danzas hay 65 participantes, unos bailan marinera (M); 31 festejo (F) y 36 huaylarsh. 26 bailan solo dos de las tres danzas, 6, las 3 danzas; 13 marinera y festejo; y 16 festejo y huaylarsh. ¿Cuántos bailan una sola danza? ………. ¿Cuántos bailan marinera? ………. ¿Cuántos bailan solo festejo? ……… ¿Cuántos bailan marinera y huaylarsh? ………. ¿Cuántos bailan solo marinera y festejo? ………
7. D 100 personas, 55 estudian inglés; 44 estudian francés; 20 estudian ambos idiomas. ¿Cuántos no estudian inglés ni francés? 8. 40 deportistas se reúnen en un club; 25 de ellos practican ciclismo y 30, natación. Si hay quienes practican ambos deportes, ¿cuántos son estos? 9. En el comedor hay 30 personas. 20 toman jugo de piña; 10, jugo de papaya y 8, ningún jugo. ¿cuántas personas toman ambos jugos?, ¿cuántas toman un solo tipo de jugo?
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 10 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 10.En 10.En un grupo de 20 niños, 18 tienen mascotas. Las mascotas son perros o gatos. Si el número de los que tienen solo perros es igual al de los que tienen solo gatos e igual a los que tienen ambos, ¿cuántos niños tienen solo un tipo de mascota? 11.En 11.En un grupo de 57 turistas se encontró que, 25 hablan inglés; 32, francés; 33, alemán; y 6, los tres idiomas. Además se sabe que, 8, solamente hablan inglés; 10, solamente francés; y 12 solamente alemán. ¿Cuántos hablan solo dos de estos idiomas? 12.En 12.En un centro comercial se realizó una encuesta a 80 comerciantes para saber que artículos vendían y se encontró que, 23 venden zapatos; 38, ropa; 41, juguetes; 13 zapatos y ropa; 9, zapatos y juguetes; 15, ropa y juguetes; 5, zapatos, ropa y juguetes. ¿Cuántos no venden juguetes, ni zapatos, ni ropa? 13.Identifica 13.Identifica la operación que representa la zona A sombreada: a) (A-B) ∩ *C∩ (B – A)] b) B - [(A – [(A – C) U (C – (C – A)] c) C - [(B – [(B – A) ∩ (A – B)] C d) (B – (B – A) ∩*(A - B)' ∩C] ∩C] 14.Si 14.Si los elementos de los conjuntos F y G son 89 en total, n(F∩ n(F∩G) = 35 y n(F) = 54. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto G? 15. Si M y P tienen en total 22 elementos, n(M∩ n(M ∩P) = 10 y n(M) = 22, ¿cuántos elementos tiene el conjunto M – M – P? 16.Sean 16.Sean A, B y C conjuntos diferentes. ¿Cuántas afirmaciones son son verdaderas? I. Si A es un conjunto, entonces A A II. Si x A y A B, entonces x B III. Si A B, entonces B A IV. Si A B y B C, entonces A C V. Si todos los elementos de A son elementos de B, entonces A B VI. Si A B y B , entonces A B
B
II. Construye una gráfica con diagramas de Venn, donde se verifique que de un grupo de estudiantes:
Todos los que prefieren la pintura, prefieren matemática.
Algunos de los que le gusta atletismo, les gusta la pintura.
A ninguno de los que les gusta la historia, les gusta la matemática.
Algunos de los que le gusta el atletismo les gusta la historia.
A los que le gusta la pintura no le gusta la historia.
Los que prefieren historia, no prefieren matemática. 1 1 / 0 1
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COLEGIO MILITAR “ELÍAS AGUIRRE” – Pimentel 11 1° AÑO – REPASO DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO III. Plantea 6 operaciones con los siguientes conjuntos, usando la unión (U), intersección (∩ (∩), diferencia (-)
IV. Coloca los siguientes datos en el diagrama, luego menciona los elementos de cada conjunto:
2M ; 2S ; 2T 1T ; 1M ; 1S 3S ; 3M ; 3T 4T ; 4M ; 4S M ={ S ={ T ={
0S ; 0T ; 0M 5S ; 5T ; 5M 6S ; 6M ; 6T
V.
REPRESENTA GRAFICAMENTE LA SIGUIENTE SITUACIÓN, LUEGO RESPONDE: 210 personas, al ingresar a la “ feria del libro” , fueron consultadas sobre la revista que más leen, de los cuales 120 leen la revista A, 131 la revista B y 107 la revista C. Si además 42 leen las tres revistas, 37 leen A y B pero no C, 21 leen B y C pero no A y 18 leen A y C pero no B, ¿cuántas personas leen solo una revista?, ¿cuántas personas no leen alguna de las tres revistas?
I.
Dados los siguientes conjuntos, M={médicos}, P={profesores} y U={peruanos}, ¿qué características tienen los elementos de los conjuntos indicados? CONJUNTO características CONJUNTO características
M – P M∩P M' P'
Médicos que no son profesores
(M U P)' P – M M ∩ P' M' ∩ P'
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