Material de Estudio 2015-2

Calidad que se acredita internacionalmente

MATEMÁTICA FINANCIERA

Matemática Financiera

VISIÓN Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en la formación

integral,

con

perspectiva

global;

promoviendo la competitividad del país.

MISIÓN Somos

una

universidad

privada,

innovadora

y

comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, íntegras y

emprendedoras, con visión internacional; para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo experiencias

de

sus de

comunidades, aprendizaje

impartiendo

vivificantes

e

inspiradoras; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés.

Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Distribución gratuita Cuarta edición Huancayo 2014 - II

Pág. 2

Exigencia académica para grandes cambios


PRESENTACIÓN Las operaciones financieras son parte de la gestión empresarial así como de la vida social y familiar de lo cotidiano, su conocimiento y dominio no solo corresponde a la rigurosidad de lo académico y empresarial sino que involucra la racionalidad financiera personal que cada uno de nosotros desarrollamos en nuestra vida. El material de trabajo está diseñado para orientar al estudiante al desarrollo de problemas de manera ordenada y secuencial de cada uno de los temas contenidos en la sumilla de la asignatura. La competencia a desarrollar es, que el estudiante debe resolver problemas aplicando modelos matemáticos en operaciones financieras, demostrando seguridad, perseverancia, criticidad y valorando la importancia de la matemática financiera. En general, el material de trabajo contiene ejercicios correspondientes a cada unidad, para ser desarrollado por los estudiantes con el apoyo del docente. Para ello, se ha dividido la asignatura en nueve unidades que comprende: nociones preliminares de algebra, el interés simple, el interés compuesto, el descuento, las tasas en el sistema financiero, las series uniformes, los sistemas de amortización de deudas, la depreciación y la evaluación de inversiones. Siguiendo el orden de las unidades propuestas, el material de trabajo tiene la siguiente estructura: Modelos matemáticos, ejercicios resueltos, ejercicios propuestos para desarrollar en clase y tareas domiciliarias. Además, aun cuando el sílabo de la asignatura y la programación de sesiones de clase no hacen mención, se hará uso intensivo del MS Excel para la comprobación y verificación de los resultados, además durante todo el ciclo se utilizará también, el aula virtual. El contenido tiene como fuente a Carlos Aliaga Valdés, profesor peruano de reconocida trayectoria, además se trata de un texto didáctico y sobre todo aplicable a nuestro contexto. Agradecemos al Mg. Percy Peña Medina y al Mg. James Monge Jurado que trabajaron en la elaboración del presente material de trabajo, quien con sus aportes y sugerencias han contribuido a mejorar la presente edición, que sólo tiene el valor de una introducción al mundo de las estrategias de aprendizaje.

Los autores

Pág. 3


Los Compiladores


ÍNDICE

Contenido Presentación

Página 03

Unidad I Elementos algebraicos

05

Unidad II El interés simple

09

Unidad III El interés compuesto

22

Unidad IV El descuento

38

Unidad V Las tasas en el sistema financiero

60

Unidad VI Las series uniformes

67

Unidad VII Los sistemas de amortización de deudas

88

Unidad VIII Depreciación

95

Unidad IX Evaluación de inversiones

100

Bibliografía

103

Pág. 4



ASIGNATURA : Matemática Financiera Docentes

Escuelas académicas

- Mg. Percy Peña Medina - Mg. James Monge Jurado

-

Administración Contabilidad y Finanzas

INSTRUCCIONES: - Antes de resolver los ejercicios revise los modelos matemáticos. - Observe el procedimiento de los ejercicios resueltos. - Resuelve los ejercicios propuestos con apoyo del docente.

UNIDAD I Tema: ELEMENTOS ALGEBRAICOS Semana 1

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Efectué:





1

E  63  22 x 1  62  3  2    20 x32  2 E  216  4x 1  36  1.5   1x9  2 1

E  216  4x  36.5    3 E  216  146  3 E  70  3 E  73

2.

Efectúe: 1

  0.25x3   3  1  0.80.3    W    2 3      50.5    1

  0.75   3  1  0.94    W   3   2     2.24    1

1

 1  0.80  3  0.2  3 W    0.66   2  1.34    1

W   0.30 3  0.67

Pág. 5


Matemática Financiera 3.

Efectúe: 128 2187

Q  5 3125  7 Q  5  7 0.06

Q  5   0.67  Q  4.33

4.

Halle el valor de E, si: 1 512   4 2 1 64   8

E  log 2

E  log 2

E  log 2

5

22.63  0.25   1  64    64 

5

22.63  0.000977  1

E  log 2 0.02 E  5.64

5.

Resuelve: 0.05x 2  0.1x  2  0 x

  0.1 

 0.1  4  0.05  2  2  0.05  2

0.1  0.01  0.4 0.1 0.1   x 0.1 0.1  0.64 0.1  0.64 x1  ; x2  0.1 0.1 x1  7.4 ; x 2  5.4 x

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Efectúe:  1  10 E  100    5  0.05 1  0.04   Respuesta: 1 178.07

2.

Efectúe:





3 E   22  1   1   3x2  6  5  22  5  1 Respuesta: 7.2  

Pág. 6



Efectúe:  30.8 25  S  53   3  5x  4  Respuesta: 85.80  27

4.

Efectúe: 49

 0.24  1   1 360  Respuesta: 0.04 V 2 1  0.04  5.

Efectúe:

X  1.032 1.043 1.052   2 Respuesta: -1.21 3

6.

Efectúe:

0.05   5  1  3.2   2  Y  125  .   2  3.5       7.

4096 1296

Respuesta: -12.78

Efectúe: 2

S

 2  

2  2

9.

Respuesta: 45 869.69

Efectúe:

S  3 1331  8.

 0.8

  

2

2

2

2

Respuesta: 0.92

Halle el valor de T, si:

T  log 4

3

8 Respuesta: -1.5 16

10. Halle el valor de E, si: 3  7 E   log 7   log 4 0.25  Respuesta: 1.67 49  

11. Halle el valor de S, si: 5

S  log 3

Pág. 7

2 16   3 3 4 4  7

4

Respuesta: -3.76


Matemática Financiera 12. Resuelve:

F  0.1x 2  0.03x  5 Respuesta: 7.22 ; -6.92 13. Resuelve:

T  0.09x 2  2x  0.1 Respuesta: 22.27 ; -0.05 14. Resuelve:

1 2 S  x 2  x  0.09 Respuesta: -0.24 ; -3.36 9 5

TAREA DOMICILIARIA 1.

Efectúe: 1

 0.08  2 23    1  0.08  E 2 103 1  0.04   1   2.

Efectúe: 1  0.2  3 2 2x3 4   T4  5   0.032 5   

3.

Halle el valor de A, si: 3  1  log 3  4 625x      3    A 2 log 2 3 18



4.



Resuelve:

2.5x 2  3.001x  5.

3 4

Halle el valor de M, si: 4

M  log 2

Pág. 8

1 20   4 2 5 5  6

3



UNIDAD II Tema: INTERÉS SIMPLE Semana 2

MODELOS MATEMÁTICOS INTERÉS SIMPLE Modelo matemático

I  p jn

I  p  j1n1  j2n2  j3n3  .....

El valor del interés simple con principal constante y tasa nominal variable

I  j  p1n1  p2n2  p3n3  .....

El valor del interés simple con principal variable y tasa nominal constante

s  p(1  jn)

El valor del monto con principal y tasa nominal constantes

s 1 p j n

El valor de la tasa nominal en función del monto con principal y tasa nominal constantes

s 1 p n j  1  I  s 1    1  jn 

s  p 1  j1n1  j2n2  j3n3  ..... I.

Se obtiene El valor del interés simple con principal y tasa nominal constante

El tiempo en función del monto con principal y tasa nominal constantes El valor del interés en función del monto El valor del monto con principal constante y tasa nominal variable

INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE


Una persona depositó S/. 1 800.00 a una tasa de interés nominal del 12% anual durante 3 años, halle el interés producido bajo un régimen de interés simple. SOLUCIÓN: I  1800  0.12  3 I  s / . 648.00

2.

Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/. 12 000.00 y cobra una TNA de 9% para ser devuelto dentro de 120 días. ¿A cuánto ascienden los intereses?

Pág. 9


Matemática Financiera SOLUCIÓN:  120  I  12000  0.09     360  I  s / . 360.00

3.

Michelle me prestó cierta cantidad de dinero durante 15 meses. Si el interés fue de S/. 245.00, halle la cantidad de dinero prestado, si la TNA fue de 8 %. SOLUCIÓN:  15  245  P  0.08     12  P  s / . 2450.00

4.

Calcule la TNT que se aplicó a un principal de S/. 8 750.00, que durante el plazo comprendido entre el 12 de enero y 26 de octubre del mismo año produjo un interés simple de S/. 1 000.00. SOLUCIÓN:  287  1000  8750  TNT     90  TNT  3.58%

5.

Calcule el plazo al cual estuvo depositado un principal de S/. 9 780.00. que generó una TNM del 3% y rindió un interés simple de S/. 634. 00 SOLUCIÓN:

634  9780  0.03  n  n  2.16 n  2 meses y 5d ías


Halle el interés simple que generó un principal de 4000um, colocado en un banco a una TNA de 36% durante 6 días. Respuesta: 24 um

2.

¿Cuál es el interés simple que generó un principal de 3000 um, en el plazo de 8 meses, colocado a una TNA de 48%?. Respuesta: 960 um

3.

¿Qué interés simple devengó un principal de 10000um, en 1 año, 2 meses y 26 días, colocado a una TNM de 2%?. Respuesta: 2 973.33 um

4.

¿Qué interés simple puede disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril del mismo año se invirtió un principal de 5000um, a una TNA de 24%?. Respuesta: 110 um

5.

Calcule el interés simple que produjo un principal de 2000um, colocado desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo año. En esta operación se aplicó una TNT de 7,5%. Respuesta: 158.33 um

Pág. 10



¿Qué principal colocado a una TNA de 24% produce 300um de interés simple, al término de 18 semanas?. Respuesta: 3 571.43 um

7.

¿Cuál es el importe de un principal que, colocado en un banco durante 7 trimestres a una TNA de 26%, produjo un interés simple de 800um?. Respuesta: 1 758.24 um

8.

Si deseo ganar un interés simple de 3000um, en el período comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo del mismo año, ¿qué principal debo colocar en un banco que paga una TNM de 2%?. Respuesta: 78 947.37 um

9.

¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un principal de 8000um, colocado a 2 años y 6 meses, haya ganado 6000um de interés?. Respuesta: 2.5%

10. Un principal de 2000um produjo un interés simple de 60um en el plazo de 36 días. ¿Cuál fue la TNA que se aplicó a esa operación?. Respuesta: 30% 11. ¿Durante cuántos días estuvo un principal de 15000um, colocado a una TNA de 28%, si el interés simple que produjo fue 350um?. Respuesta: 30 días 12. Un principal de 12000um, colocado a una TNA de 12,5%, generó 541.68um de interés simple. Determine el tiempo de la operación. Respuesta: 130 días 13. ¿Por cuánto tiempo se impuso un principal de 10000um, que a la TNM de 2% produjo un interés simple de 2000um?. Respuesta: 10 meses 14. Calcule el interés simple incluido en un monto de 4000um obtenido de un principal que se colocó en un banco a una TNA de 24% durante 90 días. Respuesta: 226.42 um

II. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

El 2 de julio se apertura una cuenta con un principal de S/. 5 000.00 bajo un régimen de interés simple. La TNA fue del 12%, la misma que bajó al 10% el 15 de julio y volvió a bajar al 7% el 16 de setiembre. Calcule el interés en la fecha de cierre, que fue el 30 de setiembre del mismo año. SOLUCIÓN:

D=5000

TNA 12%

TNA 10%

63d

13d 02-jul

I  5000 (0.12 x

TNA 7%

15-jul

14d 16-set

30-set

13 63 14  0.10 x  0.07 x ) 360 360 360

I  s / . 122.78

Pág. 11



Tracy realizó un depósito, en una cuenta a interés simple, de S/. 12 560.00, el 08 de febrero con una TNA de 13%, luego se efectuaron los siguientes cambios: FECHA

TASA

15 de abril

TNS 1.75%

24 de mayo

TNT 2.85%

01 de agosto

TNA 11%

Calcule el interés simple hasta el 29 de agosto del mismo año. SOLUCIÓN:

D=12560

TNA 13% 66d

08-feb

I  12560 (0.13x

TNS 1.75%

TNT 2.85%

TNA 11%

69d

28d

39d 15-abr

24-may

01-ago

29-ago

66 39 69 28  0.0175 x  0.0285x  0.11x ) 360 180 90 360

I  s / . 728.86


¿Qué interés simple devengó una inversión de 2000um, colocada del 3 de marzo al 28 de junio del mismo año, a una TNM de 3%, que varió el 16 de Abril a 2,8% y a 2,6% el 16 de junio?. Respuesta: 222.27 um

2.

Se suscribió un contrato de crédito por 8000um para pagarlo dentro de 12 meses con interés simple, a una TNA de 36% y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las TNAs fueron 36% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34,5% durante 3 meses, ¿qué interés deberá cancelarse al vencimiento del contrato?. Respuesta: 2 783.33 um

3.

Una deuda de 2000um, contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio del mismo año y pactada originalmente a una TNA de 2.4%, sufre variaciones a partir de las siguientes fechas: 12 de junio, 2.5% mensual; 24 de junio, 9% trimestral y 3 de julio, 21% semestral. ¿Qué interés simple se pagará al vencimiento?. Respuesta: 55 um

Pág. 12



III. INTERÉS CON PRINCIPAL VARIABLE Y TASA NOMINAL CONSTANTE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

El 1ro de junio se apertura una cuenta con S/. 8 000.00 con una TNA del 10%. A partir de esa fecha se realizan los siguientes movimientos:

FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE (S/.)

09 de junio

Depósito

2000.00

21 de junio

Retiro

4500.00

01 de julio

Cancelación

----

Halle el interés simple que se generó hasta el 1ro de julio del mismo año. SOLUCIÓN:

D=8000

R=4500

D=2000

TNA 10%

12d

8d 01-jun

I  0.10 (8000 x

10d

09-jun

21-jun

10000

5500

01-jul

8 12 10  10000 x  5500 x ) 360 360 360

I  s / . 66.39 2.

Tracy depositó, el 01 de junio, S/. 12 890.00 en una entidad financiera con una TNA del 12.5%, luego realizó las siguientes transacciones: FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE (S/.)

15 de junio

Retiro

3 980.00

29 de agosto

Depósito

5 765.00

12 octubre

Retiro

10 542.00

02 de diciembre

Cancelación

---------

Halle el interés simple que se generó hasta la fecha de cancelación.

Pág. 13


Matemática Financiera SOLUCIÓN:

D=12890 R=3980 TNA 12.5% 0

D=5765 75d

14d 01-jun

I  0.125(12890 x

R=10542 51d

44d

15-jun

29-ago

12-oct

8910

14675

4133

02-dic

14 75 44 51  8910 x  14675 x  4133 x ) 360 360 360 360

I  s / . 592.08


Una cuenta de ahorros abierta el 4 de abril con un depósito inicial de 500um tuvo en ese mes el siguiente movimiento: día 8, depósito de 100um; día 17, retiro de 400um; día 23, depósito de 500um, día 27, retiro de 200um. ¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril si se percibió una TNA de 24%?. Respuesta: 8.07 um

2.

Una cuenta de ahorros se abrió el 11 de julio con un depósito de 2000um y se canceló el 31 de octubre. Un ese plazo se registró el siguiente movimiento: FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE

11/07 DEPÓSITO 2000um 25/07 RETIRO 800um 15/08 RETIRO 500um 01/09 DEPÓSITO 300um Se requiere calcular el interés simple que generó la cuenta de ahorros que devengó una TNA de 10% hasta la fecha de su cancelación. Respuesta: 34.75 um

IV. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL VARIABLES PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Maribel apertura una cuenta de ahorros el 02 de enero de 2008 y luego se efectuaron los siguientes movimientos y los siguientes cambios:

Pág. 14


Matemática Financiera FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE (S/.)

02 de enero

Depósito

8 800.00

18 de febrero

Retiro

3 000.00

TASA TNA 11%

07 de marzo

TNS 6%

26 de abril

Depósito

12 de mayo

Cancelación

6 755.00

TNA 9.68%

Se requiere calcular el interés simple que devengó la cuenta en todo el plazo de la operación. SOLUCIÓN:

D=8800

TNA 11% 47d

02-ene



TNS 6% 18d

TNA 9.68% 16d

50d

18-feb

07-mar

5800

5800

26-abr

12-may

12555

47 18  5800 x )  S/ . 158.28 360 360

Del 07 de marzo al 26 de abril:

 50  I  5800  0.06     180  

D=6755

Del 02 de enero al 07 de marzo (principal variable y tasa nominal constante):

I  0.11(8800 x 

R=3000

S / . 96.67

Del 26 de abril al 12 de mayo:

 16  I  12555  0.0968    360 

S / . 54.01

TOTAL DE INTERESES S/. 308.96


El 2 de junio se abrió una cuenta de ahorros con 2000um y se efectuaron depósitos de 500um y 300um los días 8 y 16 y un retiro de 200um el 26 de junio. La TNA pactada fue 28%, que bajó a 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál es el saldo disponible al 1 de julio?. Respuesta: 54.50 um;2 654.50 um

Pág. 15



Una cuenta de ahorros abierta el 11 de julio con 1500um tuvo los siguientes movimientos: Fecha

Operación

Importe

Tasa

11/07

Depósito

1500

TNA 14%

20/07

Retiro

200

01/08

TNA 13%

23/08

Depósito

600

24/09

Retiro

100

01/10

TNM 1%

09/10

Retiro

400

03/11

Depósito

300

30/12

Cancelación

Se requiere conocer el saldo y los intereses simples que recibirá en la fecha de la cancelación de la cuenta. Respuesta: 1 700 um ; 96.92 um

INTERÉS SIMPLE (Monto) I. MONTO CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTES PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Una persona depositó S/. 4 812.00 a interés simple, con una TNB de 2%, desde el 8 de setiembre al 15 de octubre del mismo año. Ahora dicha persona necesita saber cuánto retirará el 15 de octubre. SOLUCIÓN:

37   S  4812 1  0.02x   S / . 4871.35 60   2.

Cierto capital produjo un monto final de S/.5 875.00. El depósito se realizó con una TNM de 0.85% durante 6 trimestres. Halle el valor de dicho capital. SOLUCIÓN:

5875  P 1  0.0085x18  S / . 5095.40

Pág. 16



Una persona compró mercaderías por el valor de S/. 12 590.00, pero se acordó cancelarlo, con una letra, dentro de 60 días por el monto de S/.13 160.00. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada en esta operación? SOLUCIÓN:

13160 1 TNM  12590  2.26% 60 30 4.

S/. 9 810.00 se depositaron con una TNM de 0.755% y se convirtió en S/. 15 050.00, ¿durante cuántos años estuvo depositado dicha cantidad de dinero? SOLUCIÓN:

15050 1 9810 n  71meses  6 años 0.00755 5.

Determine el interés simple acumulado al 28 de noviembre, de una cuenta cuyo monto a la fecha ascendió a S/. 9 762.00. Desde la apertura de la cuenta, el 20 de agosto del mismo año, si la TNA se ha mantenido en 12% y el principal no ha sufrido variación. SOLUCIÓN:

    1   S / . 314.90 I  9762 1   1  0.12  100       360  


Si se colocaron en una cuenta de ahorros 3 000 uní, a una TNA de 24%, ¿cuánto se habrá acumulado a interés simple al cabo de 46 días?. Respuesta: 3 092 um

2. Un señor debía 1000um y pactó con su acreedor retrasar dicho pago por 14 días, en cuyo plazo la deuda generaría una TND de 0,25%. ¿Qué monto simple deberá cancelar al final de dicho plazo?. Respuesta: 1 035 um 3.

¿Cuál es el monto simple que produjo un principal de 5000um, colocado a una TNM de 2%, desde el 6 de abril hasta el 26 de junio del mismo año?. Respuesta: 5 270 um

4.

El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue 5000um. Calcule su monto simple al 30 de setiembre del mismo año, con una TNM de 3%. Respuesta: 5 485 um

5.

Una máquina tiene un precio al contado de 5000um. La empresa Ricky pacta con su proveedor pagar por la máquina una cuota inicial de 2000um y el saldo dentro de 45 días con un recargo de 3% de interés simple mensual sobre el precio al contado. ¿Cuál fue la verdadera tasa de interés mensual de interés simple que pagó Ricky?. Respuesta: 5%

Pág. 17



El 23 de mayo se adquirió un paquete accionado en 24000um y se vendió el 18 de junio del mismo año; en esta fecha se recibió un importe neto de 26800um. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación. Respuesta: 13.46%

7.

Un electrodoméstico tiene un precio al contado de 3000um, pero puede adquirirse a crédito con una cuota inicial de 1000um y con una letra de 2 200 uní a 60 días. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple cargada en este financiamiento?. Respuesta: 60%

8.

¿A qué tasa de interés mensual un importe de 10000um se habrá convertido en un monto de 11125um, si se colocó a interés simple durante 3 meses?. Respuesta: 3.75%

9.

Con tarjeta de crédito se vendió un artículo cuyo precio al contado es 120, para pagar 127.20um dentro de 45 días. ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito?. Respuesta: 4%

10. ¿A qué tasa de interés mensual se invirtió un principal de 2000um, colocado a interés simple el 20 de abril y cuyo monto simple al 2 de diciembre del mismo año fue 2500um?. Respuesta: 3% 11. Un principal de 5000um, colocado a interés simple a una TNA de 24%, se incrementó en 15%. Se requiere hallar el plazo de la operación. Respuesta: 0.25 años 12. ¿En cuántos días una inversión de 7000um se convertirá en un monto simple de 7 933.34um y percibirá una TNA de 24%?. Respuesta: 200 días 13. ¿En cuántos días se duplicará un importe si se coloca a interés simple, a una TNA de 24%?. Respuesta: 1 500 días 14. ¿En qué tiempo se triplicará un importe colocado a interés simple, a una TNM de 5%?. Respuesta: 40 meses 15. ¿Qué principal debe invertirse hoy a una TNA de 24% para formar un monto simple de 5000um dentro de 45 días?. Respuesta: 9 386.67 um 16. La suma de un principal y su interés simple, generado por una TNM de 2%, fue 20000um en el período comprendido entre el 30 de junio y el 31 de diciembre del mismo año. Determine el importe del principal. Respuesta: 5 091.39 um 17. ¿Qué importe se colocó a una TNA de 20%, si al cabo de 38 días se convirtió en 5000um, en una operación a interés simple?. Respuesta: 1 265.20 um 18. Encuentre el principal que invertido a una tasa de 4% bimestral durante 87 días produjo un monto simple de 500um. Respuesta: 4 854.37 um 19. Cierto principal colocado durante 6 meses y su interés hacen un total de 2000um. Si la tasa nominal cuatrimestral aplicada fue el 4%, ¿cuál es el importe del principal y del interés simple?. Respuesta: 17 814.73 um 20. ¿Cuánto debe invertirse hoy en una operación a interés simple para acumular 20000um dentro 120 días, en una institución de crédito que paga una TNA de 36%?. Respuesta: 4 896.63 um

Pág. 18



II. MONTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Una persona depositó S/. 15 671.00, desde el 02 de abril al 10 de setiembre del mismo año. En ese periodo, la TNA fue 11.55% hasta el 20 de julio y a partir de esa fecha varió a una TNB de 1.95% hasta el término del plazo de la operación. Se requiere calcular el monto simple producido por dicho depósito. SOLUCIÓN:

D=15671

TNA 11.55%

TNB 1.95% 52d

109d 02-abr

20-jul

10-set

109 51   S 156711  0.1155x  0.0195x  360 60   S  S / . 16 483.87


Una inversión de 8000um, colocada durante 5.5 meses a interés simple, rindió una TNM de 3% durante; los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió una TNA de 40% y la última quincena rindió una TNT de 12%. ¿Cuál fue el monto acumulado?. Respuesta: 9 386.67 um

2.

Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de 5000um colocado el 9 de agosto y cancelado el 11 de setiembre del mismo año. Las TNAs son, 30% a partir del 9 de agosto, 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre. Respuesta: 5 127.5 um

3.

Un artículo cuyo precio de contado es 2000um se vende con una cuota inicial de 800 y sobre el saldo cancelable dentro de 60 días, se cobran las siguientes tasas: TNA de 24% durante 7 días, TND de 0,1% durante 13 días, TNS de 14% durante 15 días, TNT de 9% durante 25 días. ¿Qué monto simple deberá cancelarse al vencimiento del plazo?. Respuesta: 1 249.64 um

Pág. 19



UNIDAD II Tema: ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE Semana 3


El contador de la empresa “Ya Fuimos SAC”, informa el día de hoy, 09 de julio que tienen dos deudas con un banco de S/. 13 500.00 y de S/. 9 000.00 que vencen el 20 de octubre y el 13 de diciembre respectivamente y como no están en la posibilidad de cancelar ambas deudas, el gerente de dicha empresa renegocia con el banco y consolida sus deudas en una sola cuenta con vencimiento el 30 de diciembre del mismo año con una TNA constante de 18%. ¿Cuánto cancelará la empresa el 30 de diciembre? Solución 71d 17d

TNA 18%

13500 09-jul

20-oct

9000 13-dic

30-dic

71  17    S 13500 1  0.18x   9000 1  0.18x  360  360    S  S / . 23055.75 2.

El día 24 de mayo, una empresa tiene tres deudas con un banco por S/. 4 920.00; S/. 7 500.00 y S/. 11 000.00, que vencerán el 19 de junio; 25 de julio y 12 de agosto del mismo año respectivamente. Si la empresa negocia con el banco consolidar sus tres deudas en una sola cuenta con una TNA de 16% y cancelarla con un pago único de S/. 26 000.00 en una fecha posterior al 12 de agosto, ¿en qué fecha deberá efectuar dicho pago? Solución Xd TNA 16%

24-may

Pág. 20

54d

Xd Xd

18d

4920

7500

11000

19-jun

25-jul

12-ago

??



    54  x    18  x    x  4920 1  0.16     7500 1  0.16     11000 1  0.16     26 000  360    360    360      x  231días RPTA  31de marzo


El día 24 de setiembre una empresa tiene una deuda de 8000um, la misma que vencerá el 3 de octubre y otra deuda de 12000um, que vencerá el 21 de noviembre del mismo año. Se propone a su acreedor cancelarlas con dos pagos iguales en las fechas 8 de noviembre y 23 de diciembre respectivamente. ¿Cuál es el importe de cada pago si el acreedor requiere una TNA de 24% y la evaluación a interés simple debe efectuarse el 23 de diciembre como fecha focal?. Respuesta: 110 um10 120.20

2.

El 26 de mayo la empresa Mozu SA solicitó un préstamo de 5000um que devenga una TNA de 24%, y debe cancelarse el 24 de agosto. El 16 de junio amortizó 2000um y el 11 de julio amortizó 1 500. ¿Qué monto deberá cancelar al vencimiento del plazo?. Respuesta: 1 664 um

3.

Se colocaron dos principales iguales: el primero en el Banco del Norte, a una TNA de 24% durante 85 días; el segundo en el Banco del Sur, a una TNA de 28% durante 60 días. Por ambas operaciones se recibió un interés simple de 500um. ¿Cuál lite el importe de cada principal?. Respuesta: 4 838.71 um


Una deuda de $15480.00 se liquidó con un cheque por el importe de $16498.00. Si el préstamo se concedió con una TNA tasa de 9,5%, ¿durante cuánto tiempo se tuvo prestado dicho dinero?

2.

S/. 10900.00 fue depositado desde el 24 de abril hasta el 30 de noviembre del mismo año. Durante este periodo, dicho principal produjo un interés simple de S/. 1051.50. Calcule la TNC que se aplicó en dicha operación.

3.

Una deuda de S/. 10500.00 que vence el 18 de diciembre, debe descontarse el 10 de agosto del mismo año. En ese plazo se utilizará como tasa de descuento una TNA de 9% desde el 10 de agosto hasta el 30 de octubre y a partir de esa fecha hasta el vencimiento del plazo una TNA de 13%. Halle el importe recibido después del descuento.

4.

Una persona desea saber cuánto recibirá de interés simple el 23 de diciembre, de una cuenta cuyo monto a la fecha ascendió a S/. 23 155.50. Desde la apertura de la cuenta, el 02 de enero del mismo año, si la TNA se ha mantenido en 7.05% y el principal no ha sufrido variación.

Pág. 21



UNIDAD III Tema: INTERÉS COMPUESTO Semana 4

MODELOS MATEMÁTICOS INTERÉS COMPUESTO Modelo matemático

s  p 1  i  in

Se obtiene El valor del monto con principal y tasa efectiva constante

n

s 1 p

El valor de la tasa efectiva con principal y tasa efectiva constante

s log    p n log 1  i 

El tiempo con principal y tasa efectiva constante

n1 n2 n3 S  P 1  i 1  1  i 2  1  i 3  ...  

j  s  p 1    m

n

El valor del monto en función de la tasa nominal

n I  p 1  i   1  

I  p 1  i 1  

n1

El valor del monto con principal constante y tasa efectiva variable

1  i  1  i  n2

2

El valor del interés compuesto con principal y tasa efectiva constantes n3

3

I  s 1  1  i  

n

 

...  1 

El valor del interés compuesto con principal constante y tasa efectiva variable El valor del interés compuesto en función del monto

INTERÉS COMPUESTO (MONTO) I. MONTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTES PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/. 8 500.00 para que lo devuelva dentro de dos años con una TEA de 11%. ¿cuánto se pagará al vencimiento del plazo? Solución

S  8500 1  0.11

2

S  S / . 10 472.85 Pág. 22



Una persona depositó S/. 7 899.00 en un banco con una TEM de 1.02%, ¿cuánto recibirá dicha persona, si dicho depósito fue por 1080 días? Solución: 1080 30

S  7899 1  0.0102  S  S / . 11382.49 3.

Cierto capital fue depositado en un banco, desde el 08 de mayo al 25 de octubre del mismo año, con una TES de 4.05%, logrando acumular un monto de S/.5 099.50 Calcule el valor de dicho capital. Solución: 170

5099.50  P 1  0.0405  180 P  S / . 4911.83 4.

Una persona desea depositar S/. 15 000.00 para acumular un monto de S/. 17 425.00, un banco le ofrece remunerar este depósito con una TEA de 8%. Ahora dicha persona necesita saber en cuánto tiempo su capital acumulará el monto antes mencionado. Solución:

 17425  log    15000  n log 1  0.08  n  1año11meses y12 días 5.

¿A qué tasa efectiva trimestral, un capital de S/. 12 085.00 se convirtió en un monto de S/. 13 790.00, si se depositó en un banco desde el 05 de febrero del 2012 al 15 de diciembre del mismo año? Solución:

TET 

314

90

13790 1 12085

TET  3.86%


¿Qué monto compuesto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 4 al 16 de octubre del mismo año, si percibe una TEM de 3% y su depósito inicial fue 2 500um?. Respuesta: 2 529.73 um

Pág. 23



¿Qué monto debe dejarse en letras de cambio con vencimiento dentro de 38 días, si después de descontarlas en un banco se requiere disponer de un importe de 20000um, a sabiendas que el banco cobra una TEM de 3,5%?. Respuesta: 20m890.77 um

3.

Si la población de un país es 24 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento anual es 2,01%, ¿cuántos habitantes habrá dentro de un año y medio?. Respuesta: 24 727 millones

4.

El 1 de abril el precio de una materia prima fue 20000um por tonelada; 45 días después se incrementó a 22000um. ¿Cuál es el precio por pagar por el nuevo stock que se renovará dentro de 180 días contados a partir del 1 de abril, si el proveedor manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días), en el mismo porcentaje original?. Respuesta: 29 282 um

5.

En el último semestre el precio de la gasolina se incrementó en 2% cada 18 días en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuánto costará un galón de gasolina dentro de un ano, si el precio de hoy es 3.50um?. Respuesta: 5.20 um

6.

Hace 4 meses se colocó en un banco un capital a una TEM de 3%, lo que permitió acumular 2000um. ¿Cuál fue el importe de ese capital?. Respuesta: 1 776.97 um

7.

Encontrar el capital que, colocado a una TEM de 3% durante 87 días, ha producido un monto de 500um. Respuesta: 458.93 um

8.

Después de 3 meses de haber abierto una cuenta con un principal de 3000um se obtuvo un monto de 3500um. ¿Cuál fue la TEM?. Respuesta: 5.27%

9.

Se adquirió una máquina cuyo precio de contado es 6000um, se pagó una cuota inicial de 2000um y el saldo fue financiado con una letra a 45 días por el monto de 4150.94um. ¿Cuál fue la TEM cargada en esta operación?. Respuesta: 2.5%

10. Calcule la TEM que rindió un bono comprado en 2000um y vendido al cabo de 90 días en 2315.25um. Respuesta: 5% 11. ¿A qué TEM una inversión de 10000um se convirtió en un monto de 10915.44um, si se colocó durante 67 días?. Respuesta: 4% 12. La población de una ciudad se triplica cada 40. años dado que un crecimiento exponencial, ¿qué tasa de crecimiento promedio anual tiene?. Respuesta: 2.78% 13. Una persona deposita 2000um en el barco Norsur y percibe una TEM percibe una TEM de 4%. En la misma fecha deposita 5000um en el banco Surnor y percibe una TNA de ,48% con capitalización trimestral. Calcule la TEM promedio que devengó por ambos depósitos durante 8 meses. Respuesta: 3.89% 14. ¿En qué tiempo podrá triplicarse un capital colocado a una TEA de 20,1%?. Respuesta: 6 años 15. Después de colocar un capital de 1000um a una TEM de 3% se obtuvo un monto de 1 425.76um. ¿A qué tiempo se colocó el capital?. Respuesta: 12 meses 16. ¿En cuántos años se triplicará y cuadruplicará un capital colocado a una TEA de 18%?. Respuesta: 6.64 ; 8.38

Pág. 24


Matemática Financiera 17. ¿En cuántos meses se acumularán 5341.18um si se coloca un capital de 5000um en un banco que paga una TET de 2%?. Respuesta: 10 18. Hace 4 meses una persona depositó 1101.12um en una cuenta de ahorros que percibe una TEM de 2%, hoy se efectuó un segundo depósito de 1500um. ¿Qué tiempo adicional debe transcurrir para que la cuenta acumule un monto de 4000um?. Respuesta: 20 meses 19. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un capital sean iguales al mismo capital colocado en un banco a una TEM de 2%?. Respuesta: 35 meses 20. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la relación entre un capital de 8000um colocado a una TEM de 4% y su monto, sea 4/10?. Respuesta: 23.36 meses

II. MONTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Un capital de S/. 9 000.00 se depositó en un banco el 03 de junio con una TEA de 8.8% que varió a 11% el 12 de julio. Esta operación se canceló el 20 de setiembre del mismo año. Calcule el monto compuesto que generó dicho depósito. Solución:

D=9000

TEA 8.8%

TEA 11% 70d

39d 03-jun

12-jul

20-set

39 70   S  9000 1  0.088  360 . 1  0.11 360   

S  s / . 9 268.80 2.

Cierto capital se depositó en un banco el 12 de enero con una TEA de 9%, dicha tasa cambió a una TES 4.5% el 20 de marzo y volvió a cambiar a una TEB de 1.95% a partir del 12 de junio. Calcule el valor del depósito inicial, si se obtuvo un monto compuesto de S/. 23 450.99 y la cuenta se canceló el 31 de agosto. Solución:

P

TEA 9%

TES 4.5% 84d

67d 12-ene

Pág. 25

20-mar

TEB 1.95% 80d

12-jun

31-ago


Matemática Financiera 67 84 80   23450.99  P 1  0.09  360 . 1  0.045 180 . 1  0.0195  60   

P  s / . 22 033.92

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Se requiere calcular el monto compuesto que produjo una cuenta abierta con un principal de 7000um, la cual se mantuvo vigente del 11 de julio al 24 de setiembre del mismo año. La TEA que originalmente fue 24% y se redujo a 22% el 28 de agosto y se mantuvo en esto valor hasta el término horizonte temporal. Respuesta: 7 311.92 um 2. El 11 de julio se suscribió un contrato de crédito por 80000um que devenga una 1EM de 1,5% y que puede variar durante el plazo del crédito cuyo horizonte temporal es 120 días. La TEM varió a 1,4% el 26 de agosto y a 1,3% el 5 de setiembre. ¿Cuál es el monto por cancelar al vencimiento del crédito?. Respuesta: 84 524.78 um 3. El 20 de setiembre debe cancelarse una deuda de 1000um. Al vencimiento del plazo la deuda en mora devengará una TEM de 5%, la misma que se incrementará a 6% el 1 de octubre y a 7% el l de noviembre. ¿Qué monto debe pagarse el 19 de noviembre fecha en que el cliente canceló la deuda?. Respuesta: 1 126.03 um 4. Calcule el monto que será necesario invertir para fabricar 5 000 artículos dentro de 6 meses cuyo costo unitario de fabricación hoy es 20um, y se prevé que en ese plazo los costos se incrementen 2% mensual durante el primer trimestre y 3% mensual durante el segundo trimestre. Respuesta: 115 961.06 um 5. El día 11 de julio se requiere calcular el valor representante de un título valor que vence el 30 de diciembre cuyo valor nominal es 5000um, con una TEA de 18% a partir del 11 de julio y una TEA de 20% a partir del 30 de setiembre hasta el vencimiento del plazo. Respuesta: 4 600.25 um 6. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco que percibió una TEM de 2%, la cual varió a 2,2% el 16 de octubre y a 2,5% el 11 de noviembre. El día 25 de noviembre el saldo de la cuenta es 6500um. ¿Qué t importe se deposite) originalmente? ¿Cuál fue la tasa de interés acumulada?. Respuesta: 3 858.55 um 7. Calcule el valor presente de un monto de 15000um que se recibirá dentro 30 días, si la vigencia de la TEM es 8 días a 2% y 22 días a 1,5%. Respuesta: 6 214.57 um

III. MONTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA VARIABLES PROBLEMAS RESUELTOS 1.

El 24 de febrero se apertura una cuenta bancaria con S/. 9 500.00 con una TEA de 12%, a partir de esa fecha se efectuaron los siguientes cambios:

Pág. 26



FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE (S/.)

15 de marzo

Retiro

4 900.00

20 de mayo

TASA

TEA 9%

08 de julio

Retiro

1 000.00

14 de agosto

Cancelación Se

requiere calcular el monto en la fecha de cancelación de la cuenta. Solución: D=9500

R=4900

R=1000 TEA 9%

TEA 12% 24-feb

66d

19d 15-mar

37d

49d 20-may

9557 4900 4657

08-jul

14-ago

4 8 1 0.8 7 1 0 0 0.0 0 3 8 1 0.8 7 19

S1  9500 1  0.12  360  S / . 9557.00 66 49   S 2  4657 1  0.12  360 . 1  0.09  360   S / . 4810.87  

37

S3  3810.87 1  0.09  360  S / . 3844.77


El 11 de julio se colocó en el Banco del Éxito un importe de 5000um y a partir de esa fecha se depositaron 1000um y 500um el 2 de octubre y 15 de noviembre, respectivamente; el 18 de noviembre se g retiraron 800um. El 24 de noviembre del mismo año se cancela la cuenta. Calcule el monto si al inicio de 8) la operación la TEM fue 3%, y a partir del 1 de noviembre cambió a 3,2%. Respuesta: 14 758.97 um

2.

Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectados por la empresa Agroexport S.A. se muestran en la siguiente tabla:

Pág. 27



Flujo de Caja % de Inflación

0 2000

MES 1 2000 2,00%

MES 2 2200 1,18%

MES 3 2400 1,60%

MES 4 2500 1.65%

Calcule el valor presente de dichos flujos y utilice como tasa de descuento la tasa de inflación. Respuesta: 10 685.71 um 3.

En cuánto tiempo (contado desde el momento 0) un monto de 6000um sustituirá deudas cuyos importes son: 2000um, 1000um y 2 997.83um, las cuales vencen dentro de 30, 60 y 90 días, respectivamente. Utilice como costo de oportunidad del dinero Una TEM de 3%?. Respuesta: 65 días

IV. MONTO EN FUNCIÓN DE LA TASA NOMINAL PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Calcule el monto compuesto devengado en un trimestre por una inversión de S/. 10 000.00 colocada a una TNA de 12.5% con capitalización bimestral. Solución:  3  

 0.125   2  S  10000 1   6   S  s / . 10314.12 2.

Cierta cantidad de dinero se depositó en un banco que después de 90 días se convirtió en un monto de S/. 12 045.00. Si dicho depósito devengó una TNA de 9% capitalizable mensualmente. Halle el valor de este depósito. Solución:  90   

 0.09   30  12045  P 1   12   S  s / . 11778.00 3.

Una persona depositó S/. 23 550.00 en un banco y después de 350 días obtuvo monto compuesto de S/. 25 800.00 días. Halle el valor de la TNA capitalizable mensualmente que se aplicó en esta operación. Solución:  350   

 TNA   30  25800  23550  1   12   TNA  9.42% Pág. 28



Fransheska realizó un depósito de S/. 18 124.00 que devengó una TNM de 0.65% capitalizable trimestralmente, lo canceló y recibió en total S/. 20 429.50. ¿Durante cuántos días estuvo girada la cuenta? Solución:

   0.0065  20429.50  18124 1  1    3  

n

n  558 días


Calcule el monto por pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de 50000um, que devenga una TNA de 24%, con capitalización mensual. Respuesta: 55 204.04 um

2.

Calcule el importe capitalizado de un depósito a plazo de 20000um, colocado en un banco durante 6 meses, a una TNA de 36% capitalizable a diario. Respuesta: 23 942.19 um

3.

El 6 de junio la empresa Agroexport S.A. compró en el Banco Platino un certificado de depósito a plazo (CDP) a 90 días, por un importe de 20000um, el cual devenga una TNA de 11,16% con capitalización diaria. Si el 1 de julio del mismo año la TNA bajó a 10,8% (con la misma capitalización), ¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP?. Respuesta: 20 552.41 um

4.

Se requiere conocer el valor presente de un título que tiene un valor nominal de 2000um, y vence dentro de tres meses, si se ofrece al mercado con descuento y se le aplica una TNA de 24% capitalizable mensualmente. Respuesta: 1 884.64 um

5.

¿Cuánto debe invertirse hoy para acumular 20000um dentro 120 días en una institución que paga una TNA de 12% con capitalización trimestral?. Respuesta: 19 227.10 um

INTERÉS COMPUESTO (INTERÉS) I. INTERÉS COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTES PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Una empresa solicitó un préstamo de S/. 5 000.00 para que lo devuelva dentro de dos años, el banco acepta la solicitud y le cobra una TEA de 13%, halle el interés compuesto que pagará dicha empresa en el vencimiento de dicho plazo.

Pág. 29


Matemática Financiera Solución: 2 I  5000 1  0.13  1  

I  S / . 1384.50 2.

Raúl realiza un depósito de S/. 9 750.00 en una institución financiera que devenga una TEM de 1.05%. ¿Qué interés compuesto habrá acumulado en 250 días? Solución: 250   I  9750 1  0.0105  30  1  

I  S / . 886.71 3.

Halle el capital depositado en una cuenta con una TET de 2.1%, si desde el 12 de junio hasta el 24 de noviembre del mismo año produjo un interés compuesto de S/. 960.00. Solución: 165   960  P 1  0.021 90  1  

P  S / . 24 719.02 4.

Se apertura una cuenta de ahorros con S/. 9 875.00, el cuál durante el plazo comprendido entre el 02 de febrero y el 27 de diciembre del mismo año, produjo un interés compuesto de S/. 510.00. Halle la TEB que se aplicó en dicha cuenta de ahorros. Solución: 328   510  9875 1  TEB  60  1  

TEB  0.93% 5.

Se depositó S/. 8 701.00 con una TEM de 1,19% y rindió un interés compuesto de 805.00. ¿durante cuánto tiempo se depositó dicho capital?

S/.

Solución: n 805  8701 1  0.0119   1  

n  7.48 meses  7 meses 14 días Pág. 30




¿Cuánto interés se pagará por un préstamo de 6000um que devenga una TET de 2%? El crédito se ha utilizado durante 17 días. Respuesta: 22.49 um

2.

Calcule el interés producido por un capital de 7000um, colocado en un banco a una TEM de 1%, por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año. Respuesta: 150.18 um

3.

Calcule el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de 5000um, colocado a una TNA de 24%, capitalizable trimestralmente. Respuesta: 198.05 um

4.

Si deseo devengar un interés de 1000um en el plazo de 2 meses, ¿qué capital debo colocar en un banco que paga una TEM de 1,5%?. Respuesta: 33 085.19 um

5.

Una inversión efectuada en la bolsa de valores produjo un interés de 1300um durante 77 días; en ese lapso de tiempo la tasa de interés efectiva acumulada fue 5,4%. ¿Cuál fue el importe original de la inversión?. Respuesta: 24 074.07 um

6.

La rentabilidad en 23 días que produjo un paquete accionario adquirido en la bolsa fue 500um; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa efectiva de interés de 3,9%. ¿Cuál fue su precio de adquisición hace 23 días?. Respuesta: 16 797.64 um

7.

¿Cuánto capital debe colocarse en un banco que ofrece una TNA de 12% capitalizable mensualmente para ganar un interés compuesto de 500um, en un plazo de 45 días?. Respuesta: 33 250.35 um

8.

¿Qué TEM debe aplicarse a un capital de 5000um colocado en un banco para que produzca una ganancia de 800um durante 4 meses?. Respuesta: 3.78%

9.

¿A qué TEA debe colocarse un capital para que se duplique en 42 meses?. Respuesta: 21.9%

10. Calcule la TEA a la que se colocó un capital de 5000um, que en el lapso de 88 días produjo un interés compuesto de 269.95um. Respuesta: 24% 11. El 18 de enero la compañía Maris compró en la bolsa un paquete accionario en 90000um, que vendió el 26 de febrero del mismo año y obtuvo una rentabilidad neta de 6500um. Calcule la TEM que obtuvo Maris en esa operación. Respuesta: 5.51% 12. Un depósito de ahorro de 5000um produjo un interés compuesto de 194.43um durante 78 días. Se requiere conocer la TNA capitalizable trimestralmente que se aplicó en esta operación. Respuesta: 18% 13. ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de 10000um produzca un interés de 1000um a una TNA de 24,07% capitalizable mensualmente?. Respuesta: 4.8 meses;144días 14. ¿En cuántos trimestres un capital de 5000um habrá ganado un interés de 630.81um colocado en un banco a una TNA de 24% con capitalización mensual?. Respuesta: 2

Pág. 31



II. INTERÉS COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Halle el interés compuesto, si se depositó S/. 12 345.00 el 02 de enero con una TET de 2,85%, el 23 de marzo la tasa cambió a una TEA de 11% y a una TEC de 2.17% el 04 de mayo. Dicha operación se canceló el 30 de mayo del mismo año. Solución:

D=12345 02-ene

TET 2.85% 80d

TEA 11%

TEC 2.17%

42d 23-mar

26d 04-may

30-may

80 42 26   I  12345 1  0.0285 90 . 1  0.11 360 . 1  0.0217 120  1  

I  s / . 527.03


El 24 de setiembre se efectuó un depósito de 1800um en un banco que remunera los ahorros con una tasa variable que en la fecha es una TEA de 15%.Si el 15 de octubre la TEA disminuye a 14%, ¿cuál es el interés que se acumuló hasta el 23 de diciembre del mismo año fecha en que se canceló la cuenta?. Respuesta: 1 860.25 um

2.

El 11 de julio una deuda de 4000um contraída con el Banco de Crédito se convirtió en deuda vencida y fue cancelada el 9 de octubre del mismo año; en ese plazo la TEM de mora, que fue de 2%, se incrementó a 2,3% el 1 de agosto y a 2,5% el 16 de setiembre. Se requiere conocer el importe del interés de mora que deberá pagarse el 9 de octubre. Respuesta: 4 280.01 um

III. INTERÉS COMPUESTO CON PRINCIPAL VARIABLE Y TASA EFECTIVA CONSTANTE PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Una persona apertura una cuenta de ahorros el 13 de marzo con S/. 25 000.00, bajo un régimen de interés compuesto, por dicho depósito percibe una TEA de 11% y a partir de esa fecha realiza los siguientes movimientos:

Pág. 32


Matemática Financiera FECHA

OPERACIÓN

IMPORTE (S/.)

05 de abril

Depósito

10 990.00

17 de mayo

Retiro

9 750.00

02 de junio

Depósito

7 600.00

30 de julio

Cancelación

Se requiere calcular el interés que se devengó en dicho horizonte temporal. Solución: D=25000

D=10990

D=7600

R=9750

TEA 11% 13-mar

23d 05-abr

42d

58d

16d 17-may

02-jun

25000.00 + 167.24 25167.24 + 10990.00

36157.24 + 442.92 36600.16 9750.00

26850.16 + 124.83 26974.99 + 7600.00

36157.24

26850.16

34574.99

30-jul

23   I1  25000 1  0.11 360  1  S / . 167.24  

42   I 2  36157.24 1  0.11 360  1  S / . 442.92  

16   I 3  26850.16 1  0.11 360  1  S / . 124.83  

58   I 4  34574.99 1  0.11 360  1  S / . 586.24  

I total  167.24  442.92  124.83  586.24  S / . 1321.23


Una persona abre una cuenta de ahorros el 14 de abril con 10000um y percibe una TED de 0.05%. El 2 de mayo retira 400um, el 15 de mayo retira 200um, el 3 de junio deposita 100um y el 24 de junio del mismo año cancela la cuenta. Se requiere calcular:

Pág. 33


Matemática Financiera a) El interés compuesto que se generó durante todo el plazo de la operación. b) El saldo acreedor en la fecha de la cancelación de la cuenta de ahorros. c) El saldo del principal y el saldo del interés que compone el saldo acreedor Respuesta: 347.63 um; 9 847.56 um; 9 653.56 um; 194 um 2.

El movimiento que se generó en una cuenta de ahorros es el que se presenta a continuación: 16/03

Depósito

15000um

08/04

Depósito

800um

20/07

Retiro

2000um

16/08

Cancelación

Se requiere calcular el saldo de la cuenta en la fecha de la cancelación, desagregado por saldo del principal y saldo de interés. La TEM es 1%. Respuesta: 14 958.10 um; 14 467.96 um; 130.15 um 3.

EL Sr. José Salinas recibió de un banco un préstamo 5000 uní que devenga una TNM de 2,5% con capitalización diaria, para devolverlo dentro del plazo de 180 días. Si durante dicho período amortiza 2000um el día 35 y 1000um el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda?. Respuesta: 2 481.36 um

UNIDAD III Tema: ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE Semana 5


Una empresa tiene deudas que cumplir con un banco de S/. 9 000.00 que vence el 09 de junio, otra de S/. 11 800.00 que vence el 24 de julio y S/. 16 445.00 que vence el 28 de setiembre. Dicha empresa no va a poder cumplir con las obligaciones y por lo tanto renegocia sus deudas con el banco y se decide que éstas se cancelen en una sola cuenta a interés compuesto el 02 de diciembre del mismo año con una TEA de 11%. ¿Cuánto se cancelará en la fecha pactada? Solución: 176d 131d

Pág. 34

65d

9000

11800

16445

09-jun

24-jul

28-set

02-dic


Matemática Financiera 176

131

65

S  9000 1  0.11 360  11800 1  0.11 360  16445 1  0.11 360 S  S / . 38485.63 2.

Una empresa solicitó un préstamo de S/. 40 000.00 con una TES 5.75% para cancelarlo dentro de 840 días. Durante este tiempo la empresa realiza un negocio importante y recibe una fuerte cantidad de dinero, por lo tanto decide adelantarse al vencimiento del préstamo y paga S/. 9 800.00 el día 240, S/. 10 500.00 el día 410 y S/. 9 050.00 el día 780. ¿Cuánto pagará en la fecha de vencimiento, para cancelar toda su deuda? Solución: 600d 430d

60d

40000

9800

10500

9050

0

240

410

780

840

600

430

840

60

40000 1  0.0575 180  9800 1  0.0575 180  10500 1  0.0575 180  9050 1  0.0575180  x S  S / . 18895.91 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

La empresa Alpha desea adquirir una máquina industrial, en cuyo proceso fueron preseleccionadas las siguientes propuestas de las empresas A y B; a) Empresa A: plazo de 2 meses; la cuota inicial y cuota mensual es 2000um. b) Empresa B: plazo de 3 meses; la cuota inicial y cuota mensual es 1520um. ¿Cuál es la mejor oferta si se considera como costo de oportunidad una TEM de 3%?. Respuesta:b; VP=5 819.49 um

2.

La empresa Indutrust está evaluando las siguientes opciones para adquirir un grupo electrógeno: Opción A: 8000um al contado. Opción B: a crédito con una cuota inicial de 2000um y financiación en medio año con cuotas mensuales de 1200um. Dado que Indutrust tiene como tasa de rentabilidad una TEM de 6% ¿qué opción le conviene?. Respuesta: B; VP=7 900.79um

3.

¿Qué tiempo debe transcurrir para que un capital de 5000um, colocado en un banco a una TEM de 6%, iguale al monto producido por otro capital de 8000um, colocado a una TEM del 4%?. Respuesta: 25 meses

4.

Una persona deposita 1000um en una institución financiera que paga una TEM de 5% con el objeto de retirar 1102.81um dentro de 2 meses. A los 24 días después de efectuado el depósito, la TEM baja a 4%. ¿Qué tiempo adicional tendrá que esperar para retirar el monto requerido?. Respuesta: 9 días

Pág. 35



La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. tiene una serie de deudas vencidas y por vencer que se representan en el siguiente diagrama. (s/.)

200

800

- 3

- 2

400 - 1

0

200

250

200

1

2

3

En las condiciones de refinanciación efectuadas con su acreedor se estableció que la empresa cancele hoy (momento 0) el valor equivalente al total de sus deudas, para lo cual a las vencidas se les aplicará una TEM de 5% y a las deudas por vencer se les aplicará una TEM de 2%. Con estas condiciones se requiere calcular el importe de cancelación para hoy. Respuesta: 2 158.36 um 6.

Las deudas de 20000um y 30000um qué vencen dentro de 2 y 4 meses, respectivamente, serán sustituidas por un único pago que vencerá dentro de 3 meses. Se necesita calcular el importe que sustituirá ambas deudas, con una TNA de 18% capitalizable mensualmente. Respuesta: 49 856.65 um

7.

El 18 de abril, el gerente financiero de la Empresa Sur S.A. estaba revisando los compromisos de pago para el mes de mayo, y encontró la siguiente información de vencimientos pendientes con el Banco Indufin: día 20, 2500um; día 21, 1800um; día 24, 6300um y día 28, 3500um. Según reporte del flujo de caja proyectado durante el mes de mayo, el saldo será negativo, por lo que solicita al banco diferir los pagos que vencerán en el mes de mayo para el 16 de junio. Si el banco Indufin acepta lo solicitado y capitaliza las deudas con una TEM de 5%,-¿cuál es el importe que deberá cancelar la Empresa Sur S.A. en esa fecha?. Respuesta: 14 639.93 um

8.

En la fecha se depositan 10000um con el objeto de acumular 20000um dentro de 8 meses. El banco paga una TNA de 36% con capitalización mensual. ¿Qué importe deberá depositarse al final del segundo mes para cumplir con el objetivo propuesto?. Respuesta: 6 140.69 um

9.

El 26 de mayo el Banco Fin-Norte, aprobó un crédito para consolidar un conjunto de deudas vencidas y por vencer de la empresa Aquarium, cuyo estado de cuenta a esa fecha era: a) Créditos vencidos: el 10, 14 y 19 de mayo por los importes de 2500um, 3100um y 1800um, respectivamente. b) Créditos por vencer: el 29 de mayo, 7 y 11 de junio por los importes del 700um, 500um y 4500um, respectivamente. Dado que el Banco cobra una TEM de 3% para los créditos vencidos y aplica una TEM de 2% para descontar los créditos por vencer, ¿qué importe financiará Fin-Norte el 26 de mayo si exige que Aquarium amortice 40% de la deuda total (vencida y por vencer)?. Respuesta: 8 480.68 um

10. Un préstamo de 10000um concedido a una TEM de 2% debe cancelarse en el plazo de 4 meses con cuotas uniformes que vencen cada 30 días. Calcule el importe de las cuotas. Respuesta: 2 626.24 um 11. La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en 10000um pero debido a un préstamo que obtuvo del extranjero, está planeando efectuar ventas a crédito con una cuota inicial de 4000um y financiar el saldo en dos meses con cuotas uniformes que

Pág. 36


Matemática Financiera vencen cada 30 días. La TEA por cargar al financiamiento es 25%. Calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo. Respuesta: 3 084.72 um 12. El banco Fin-Oriente le concedió a la empresa Tubos S.A un préstamo de 5000um, por el cual le cobra una TEM de 2%. El reembolso debe efectuarse en el plazo de 5 meses con cuotas que vencen cada 30 días. Si las cuatro primeras cuotas son de 1000um cada una, ¿cuál será el importe de la quinta cuota?. Respuesta: 1 316.36 um 13. Una empresa que efectúa ventas sólo al contado está evaluando opciones para realizar ventas a crédito. Actualmente la máquina X se vende en 10000um, y se estudia la posibilidad de ofrecerla a una cuota inicial de 2500um y el saldo financiarlo en el plazo de medio año con cuotas mensuales uniformes. Dado que la TEM del (mandamiento es 3% sobre el saldo deudor ¿cuál debería ser el importe de la cuota constante?. Respuesta: 1 384.48 um 14. La compañía Electrodomésticos S.A. está vendiendo refrigeradoras al contado en 900um. A crédito las ofrece en el plazo de 5 meses con una cuota inicial de 207.28um y cuotas mensuales de 160um. El cliente Z desea adquirir el artefacto al crédito y acepta las condiciones generales del financiamiento, pero propone pagar en la cuarta cuota sólo 100um y la diferencia cancelarla al vencimiento del plazo. ¿Cuál sería el importe de dicho pago si se considera que el saldo del crédito genera una TEM de 5%?. Respuesta: 223 um 15. El día de hoy una empresa se dispone a pagar una deuda de 5000um vencida hace tres meses y otra deuda de 2000um que vencerá dentro de dos meses. Las deudas vencidas generan una TEA de 36% y las deudas por vencer pueden descontarse con una TNA de 24% con capitalización trimestral. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa?. Respuesta: 7 323.31 um

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcule la TET que se aplicó a S/. 7 435.50, el cual durante el plazo comprendido entre el 25 de junio y el 01 de noviembre del mismo año, produjo un interés compuesto de S/. 478.00 2. El 06 de agosto se deposita S/. 15 679.00 con una TEA de 9% y el 20 de setiembre se realiza un depósito, a la misma cuenta, de S/. 8 070.00. A partir del 30 de setiembre la tasa cambió a una TET de 2.05%. El 17 de octubre se paga con cheque una deuda de la misma cuenta que asciende a S/. 9 780.00 y finalmente se realiza un nuevo depósito de S/. 2 561.00 el 28 de noviembre con una TEM de 0.6%, se pide calcular el monto al 15 de diciembre del mismo año. 3. Un sobregiro bancario de S/. 8 765.00 que devenga una TNA de 9% capitalizable mensualmente, se canceló con un importe de S/. 9 431.50. ¿Durante cuántos días estuvo girada la cuenta?

Pág. 37


Matemática Financiera 4. El 20 de abril se depositó S/. 20 000.00 con una TEA de 9.05% y luego se observó los siguientes cambios: FECHA

TASA

02 de junio

TEM 0.73%

27 de agosto

TET 2.05%

19 de octubre

TEA 8.63%

09 de noviembre

TEB 1.85%

Calcule el interés compuesto que se generó hasta el 30 de noviembre del mismo año. 5. Una empresa decide depositar cierta cantidad de dólares en un banco, pero tiene las siguientes condiciones:  Desea obtener un monto de $ 35 670.00  Los intereses devengados conseguidos debe llegar a $ 2 050.00  El banco debe trabajar con una TEA de 12% ¿Durante cuántos días debe depositarse el dinero para cumplir con dichas condiciones?

UNIDAD IV Tema: DESCUENTO RACIONAL Semana 6

I. DESCUENTO RACIONAL SIMPLE MODELOS MATEMÁTICOS Descuento Racional Simple Modelo matemático

sjn D 1  j n 

s  p 1  j n 

Z

El valor del descuento racional simple El valor nominal del descuento racional simple

j

D s  D n

La tasa de descuento del descuento racional simple

n

D s  D j

El tiempo del descuento racional simple

  1 D  S 1    1  j1n1  j2 n2  j3n3  ...  Pág. 38

Se obtiene

El valor del descuento racional simple con tasa variable




Una persona descontó una letra de cambio de S/. 3 200.00, en un banco, cuando faltaban 120 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectuó el banco, si aplicó una TNM de 1.5% como tasa de descuento. Solución:

D



3200  0.015  120



1   0.015  120

30

30





D  S / . 181.13 2.

Halle el valor nominal por el cual deberá aceptarse un pagaré que vence el 01 de julio, si dicho pagaré será sometido a un descuento racional simple el 05 de marzo del mismo año, en un banco que aplica una TNA de 8.05% y el descontante requiere que se le abone S/. 12 000.00 en la fecha de descuento Solución:

118   S  12000 1  0.0805x  360   S  S / . 12316.63 3.

Una letra de S/. 3 400.00, tuvo un descuento racional simple de S/. 405.50, dicha letra fue descontada con un una TNM de 0.85%, ¿con cuántos meses de anticipación se descontó la letra? Solución:

n

405.50  3400  405.50  0.0085

S  16 meses 4.

Una persona vendió una letra de S/. 7 890.00 y tuvo un descuento racional simple de S/. 455.00. Dicha persona vendió la letra 100 días antes de su vencimiento. Halle la TND que se aplicó en el descuento. Solución:

TND 

455  7890  455100 

TND  0.06% Pág. 39



Encuentre el valor del descuento racional simple que se efectuará a un pagaré de S/. 12 850.00 con fecha de vencimiento el 29 de octubre que se descontará en un banco el 05 de agosto del mismo año. En la fecha que se realizará el descuento se trabajará con una TNA del 12%, la cual cambiará a 10.5% a partir del 01 de setiembre y a 8% a partir del 15 de setiembre. Solución: S=12850.00

TNA 12%

TNA 10.5% 14d

27d 05-ago

TNA 8%

01-set

44d 15-set

29-oct

      1   D  12850 1   27 14 44   1  0.12x 360  0.105x 360  0.08x 360      D  S / . 287.20


Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré el 26 de abril y cuya fecha de vencimiento es el 30 de mayo del mismo año. Su valor nominal es 10000um y el banco que efectúa el descuerno aplicará una TNA de 30%. Respuesta: 275.53 um

2.

Dos letras de 5000um y 8000um cada una con vencimiento dentro de 30 y 45 días respectivamente, se descuernan en un banco, con una TNA de 12% y 15% respectivamente. Calcule el importe total del descuerno racional simple. Respuesta: 196.74 um

3.

Cuando fallan 50 días para su vencimiento, se descuenta en un banco una letra cuyo valor nominal es 7200um. Calcule el importe del descuento racional simple, con una TNA de 24%. Respuesta: 232.26 um

4.

El día 15 de enero se descuentan 3 letras cuyos valores nominales son 7200um, 6000um y 8300um .Las lechas de vencimiento son el 16,20 y 22 de febrero del mismo año respectivamente. Calcule el importe total del descuento racional simple, con una TNA de 24% anual. Respuesta: 469.09 um

Pág. 40



Un pagaré con valor nominal de 10800um se descuenta racionalmente el 6 de junio, y se obtiene un valor presente de 10000um. Halle la fecha de vencimiento del pagaré al cual se le aplicó una TNM de 4%. Respuesta: 05 de agosto

6.

Un pagaré con valor nominal de 6000um, que vence el 14 de abril, se descuenta el 1 de marzo del mismo año. ¿Qué importe se recibirá en esta fecha si se aplica el descuento racional simple con una TNA de 24% anual?. Respuesta: 5 829.02 um

7.

Un pagaré cuyo valor nominal es 6500um y vence el 24 de setiembre se descuenta en el Banco Industrial el 11de julio del mismo año. En el descuento racional simple que efectuó el banco aplicó una TNT de 4%. Se requiere calcular el importe del valor presente del pagaré en la techa del descuento. Respuesta: 6 290.32 um

8.

Una empresa tiene una línea de crédito de descuento de letras y pagarés con el Banco Oriente. El 30 de agosto le descontarán un pagaré, el cual vencerá el 3 de noviembre del mismo año. ¿Por qué valor nominal deberá aceptar el pagaré, que será sometido al descuento racional simple, con una TNA de 18% si la empresa requiere que le sea abonado un importe de 15000um?. Respuesta: 15 487.50 um

9.

Una empresa descontó el 11 de julio un pagaré con valor nominal de 7000um, el mismo que vencerá el 9 de octubre del mismo año. El banco que efectuará el descuento racional simple aplicará una tasa vencida nominal que cambiará conforme al siguiente cronograma: Tasa A partir del TNA 18,0% 11/07 TNT 5,0% 16/08 TNM 1.8% 1/10 Se requiere calcular el importe del descuento racional simple. Respuesta: 322.88 um

10. Calcule el valor presente de un pagaré con valor nominal de 12500um. que tiene como fecha de vencimiento el 9 de octubre. El pagaré será sometido a un descuento racional simple por el Banco Sur el 11 de julio del mismo año, con una tasa vencida nominal, sujeta a las variaciones que se producirán en las siguientes fechas: Tasa A partir del TNA 16.00%

11/07

TNM 1.5%

30/08

Respuesta: 11 993.60 um 11. Se está evaluando una propuesta de financiamiento a través del descuento racional simple de un pagaré que tiene corno fecha de vencimiento el 30 de diciembre. El banco que dará el financiamiento aplica tasas vencidas nominales que variarán en las siguientes fechas:

Pág. 41


Matemática Financiera Tasa

A partir del

TNT 4,0%

30/08

TNM 1,5%

10/11

¿Cuál sería el valor nominal del pagaré si el descuento se realizará el 30 de agosto del mismo año, fecha en la cual se requiere disponer un importe de 8 000um?. Respuesta: 8 453.33 um

II. DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO MODELOS MATEMÁTICOS Descuento Racional Compuesto Modelo matemático

D  S 1  1  i  

S  P 1  i   D i  1   s 



1 n

n

 

n

1

 D log  1   s  n  log 1  i 

  1 D  S 1   n1 n2  1  i1  . 1  i2  ....  n   j  D  S 1  1      m  

Se obtiene El valor del descuento racional compuesto El valor nominal del descuento racional compuesto La tasa de descuento del descuento racional compuesto

El tiempo del descuento racional compuesto

El valor del descuento racional compuesto con tasa variable El descuento capitalizable

racional

compuesto

con

tasa


Una letra de S/. 18 020.00 fue girada el 02 de abril y descontada el 29 del mismo mes, por un banco con una TEA de 13.56%, tiene como fecha de vencimiento el 30 de setiembre del mismo año. Calcule:  El importe del descuento racional compuesto  El importe que abonó el banco en la cuenta corriente del descontante

Pág. 42


Matemática Financiera Solución: 154   D  18020 1  1  0.1356  360   

D  S / . 954.05 Depósito  S / . 17 065.95 2.

Un pagaré, que vence el 03 de diciembre será sometido a un descuento racional compuesto el 12 de octubre del mismo año, en un banco que aplica una TEA de 12.50%, si el descontante requiere que le abonen S/. 16 000.00 en la fecha de descuento. Halle el valor nominal de dicho pagaré. Solución: 52

S  16000 1  0.1250  360 S  S / . 16 274.54

3.

Una letra de cambio de S/. 9 762.00 se descontó en un banco cuando faltaban 225 días para su vencimiento. Dicho documento tuvo un descuento compuesto de S/. 872.00 efectuado por un determinado banco. ¿Con que tasa de descuento mensual trabajó dicho banco? Solución: 1

872  225/30  TEM  1  1   9762  TEM  1.26%

4.

Una letra de cambio de S/. 12 000.00 se descuenta en un banco con una TEA de 16%, si dicho descuento racional compuesto fue de S/. 322.12, ¿con cuántos días de anticipación se descontó dicho documento? Solución:

Pág. 43



 322.12  log  1   12000   n  log 1  0.16  n  0.18años  65días

5.

Un pagaré de S/. 19 085.00 tiene como fecha de vencimiento el 15 de julio y se descontará en un banco el 01 de febrero del mismo año con una TEA del 11%, a partir del 02 de marzo la tasa cambiará a una TES de 4% y a una TET de 3.5% a partir del 22 de junio. Encuentre el valor del descuento racional compuesto que se efectuará a dicho pagaré Solución: S=19085.00

TEA 11% 01-feb

TES 4%

TET 3.5%

112d

29d 02-mar

23d 22-jun

15-jul

 1 D  19085 1  29 112 23  360 . 1  0.04 180 . 1  0.035  90 1  0.11   

   

D  S / .777.69 6.

Una letra de cambio de S/. 7 056.00 se descontó en un banco cuando faltaban 120 días para su vencimiento con una TNA de 1.65% capitalizable mensualmente. Halle el valor del descuento racional compuesto que efectuó dicho

Solución: 120   30 0.0165   D  7056 1  1      12    

D  S / . 38.67

Pág. 44




Calcule el descuento racional compuesto por practicar hoy, a una letra de cambio cuyo valor nominal es 15000um y vence dentro de 12 días. El banco que descuenta la letra de cambio aplica una TEM de 1,5%. Respuesta: 309.42 um

2.

Calcule el descuento racional compuesto que se realizará a un pagaré el 15 de abril y cuya lecha de ven cimiento es el 11 de julio del mismo año. Su valor nominal es 6500um y el banco que descuenta el pagaré aplica una TEA de 20%. Respuesta: 280.18 um

3.

Dos letras de 3000um y 5000um cada una, con vencimiento dentro de 87 y 95 días respectivamente, se descuentan en un banco, con una TEA de 14% y 15% respectivamente. Calcule el importe total del descuento racional compuesto. Respuesta: 253.32 um

4.

Cuando faltan 80 días para su vencimiento, se descuenta en un banco una letra de cambio cuyo valor nominal es 300um. Calcule el importe del descuento racional compuesto, con una TEA de 24%. Respuesta: 294.07 um

5.

Una letra de cambio con valor nominal de 50000um se descontó en un banco, cuando faltaban 45 días para su vencimiento; en este descuento racional compuesto se aplicó a una TEB de 4%. Si la letra de cambio puede cancelarse 15 días antes de su vencimiento, ¿cuál es el monto por pagar en esa fecha?. Respuesta: 49 512.14 um

6.

Se descontó en el Banco Este una letra de cambio con valor nominal de 3000um, la cual vence dentro de 38 días: en el descuento racional compuesto se aplicó una TEM de 2%. ¿Cuál es valor presente de dicha letra de cambio?. Respuesta: 2 925.69 um

7.

El 8 de agosto el Banco Continental descontó a EXTA S.A. un pagaré con valor nominal de 9000um y con vencimiento el 7 de setiembre del mismo año. Si la TEA durante ese período fue de 15%, ¿qué importe abonó el Banco Continental en la cuenta corriente de EXTA S.A. el 8 de agosto por este descuento racional compuesto?. Respuesta: 8 895.79 um

8.

¿Cuánto podré disponer hoy, si el banco me ha descontado un paquete de 4 letras de cambio cuyos importes son: 2000um, 6500um, 8000um y 7500um. y vencen dentro de 15. 30. 45 y 60 días respectivamente? La TEQ que cobra la entidad financiera en este descuento racional compuesto es 1%. Respuesta: 23 324.20 um

9.

El Banco Interamericano descontó a una empresa dos letras de cambio cuyos valores nominales fueron de 10000um y 20000um, las cuales vencen dentro de 25 v 35 días respectivamente ¿Cuál el valor presente de ambas letras dado que el banco aplicó una TET de 9% en este descuerno racional compuesto?. Respuesta: 29 104.30 um

10. El 26 de mayo, la compañía Pegaso SA descontó en un banco un pagaré con valor nominal de 20000um y con vencimiento ti 10 de julio del mismo año. En éste descuento racional compuesto se aplicó una TEM de 5%. ¿Cuánto deberá cancelar Pegaso S.A. al vencimiento del pagare, si los días 8 y 21 de junio amortizo 5000um y 7000um respectivamente?. Respuesta: 7 513.22 um 11. Una empresa descontó el 1 de junio un pagaré con valor nominal de 1200um, el cual vencerá el 19 de Octubre del mismo año. El banco que efectuará el descuento racional compuesto aplicará una tasa vencida efectiva que cambiará conforme al siguiente cronograma:

Pág. 45


Matemática Financiera Tasa TEA 18.0%

A partir del 01/06

TET

5,0%

16/08

TEM

1,8%

1/10

Se requiere calcular el importe del descuento racional compuesto. Respuesta: 306.67 um 12. Calcule el valor presente de un pagaré con valor nominal de 10000um. que tiene como fecha de vencimiento el 24 de setiembre. El pagaré será sometido a un descuento racional compuesto por el Banco Sur el 11 de julio del mismo año, con una tasa vencida efectiva sujeta a las variaciones que se producirán en las siguientes fechas. Tasa

A partir del

TEA 16,00%

11/07

TEM 1,5%

30/08

Respuesta: 9 675.18 um 13. Se está evaluando una propuesta de financiamiento a través del descuento racional compuesto de un pagaré que tiene como fecha de vencimiento el 30 de diciembre. El banco que dará el financiamiento aplica tasas vencidas efectivas que variarán en las siguientes fechas: Tasa

A partir del

TET 4,0%

30/07

TEM 1,5%

16/11

¿Cuál sería el valor nominal del pagaré si el descuento se realiza el 30 de julio del mismo año, fecha en la cual se requiere disponer un importe de 7900um?. Respuesta: 8 467.20 um 14. Calcule el importe del descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré cuyo valor nominal es 8000um y vence dentro de 4 meses, si se descuenta con una TNA de 18% capitalizable mensualmente. Respuesta: 462.53 um 15. Calcule el importe total del descuento racional por practicar hoy a dos pagarés con vencimiento dentro de 30 y 60 días cada uno, y cuyos valores nominales son 4000um y 5000um respectivamente. la institución financiera que efectúa el descuento aplica una TNA de 12%, con capitalización trimestral. Respuesta: 136.78 um

Pág. 46


Matemática Financiera 16. Calcule el descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de 5000um. El banco que aplica una TNA de 36% capitalizable mensualmente descontará el pagaré el 5 de marzo y su vencimiento será el 4 de mayo del mismo año. Respuesta: 287.02 um


Una persona descontó una letra de cambio de S/. 5 600.00, en un banco, cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectuó el banco, si aplicó una TNM de 0.98% como tasa de descuento.

2.

Encuentre el valor del descuento racional simple que se efectuará a un pagaré de S/. 25 000.00 con fecha de vencimiento el 30 de noviembre que se descontará en un banco el 03 de setiembre del mismo año. En la fecha que se realizará el descuento se trabajará con una TNA del 10%, la cual cambiará a 9.5% a partir del 03 de octubre y a 8% a partir del 12 de octubre.

3.

Un pagaré, que vence el 23 de diciembre será sometido a un descuento racional compuesto el 05 de octubre del mismo año, en un banco que aplica una TEA de 9.50%, si el descontante requiere que le abonen S/. 20 135.00 en la fecha de descuento. Halle el valor nominal de dicho pagaré.

4.

Un pagaré de S/. 20 000.00 tiene como fecha de vencimiento el 20 de agosto y se descontará en un banco el 09 de marzo del mismo año con una TEA del 8%, a partir del 09 de abril la tasa cambiará a una TES de 3.5% y a una TET de 3.02% a partir del 20 de julio. Encuentre el valor del descuento racional simple que se efectuará a dicho pagaré

5.

Una letra de cambio de S/. 8 000.00 se descontó en un banco cuando faltaban 150 días para su vencimiento con una TNA de 12.65% capitalizable mensualmente. Halle el valor del descuento racional compuesto que efectuó dicho

Pág. 47



UNIDAD IV Tema: DESCUENTO BANCARIO Semana 7

I. DESCUENTO BANCARIO SIMPLE MODELOS MATEMÁTICOS Descuento Bancario Simple Modelo matemático

Se obtiene

DSdn

El valor del descuento bancario simple

P  S 1  d n 

El valor líquido del descuento bancario simple

S

P 1 d n

El valor nominal del descuento bancario simple

D  S  d1n1  d 2 n2  d3n3  .....

El descuento bancario simple con tasa nominal variable

P  S 1   d1n1  d 2 n2  ... 

El valor líquido del descuento bancario simple con tasa nominal variable

  1 S  P  1   d1n1  d 2 n2  .... 

El valor nominal del descuento bancario simple con tasa nominal variable


Una letra de cambio de S/. 16 000.00 que fue girada el 12 de febrero y descontada el 05 de marzo por un banco, con una tasa anticipada nominal de 13.5% anual, tiene como fecha de vencimiento el 17 de junio del mismo año. Calcule el importe del descuento bancario simple. Solución:



D  16000  0.135  104

360



D  S / . 624.00

Pág. 48



Un pagaré de S/. 16 579.00 tuvo un descuento de S/. 805.00 en un periodo de 90 días. Calcule la tasa anticipada nominal mensual de descuento bancario simple aplicado a dicho pagaré.

Solución:



805  16579  TNM  90

30



TNM  1.62%

3.

Una empresa efectuó, el 16 de abril, un descuento bancario simple en un determinado banco, de un pagaré de S/. 5 000.00 con fecha de vencimiento el 17 de agosto del mismo año. Calcule el valor líquido que abonó el banco en de la cuenta corriente de la dicha empresa, si se aplicó una tasa anticipada nominal de 14% anual

Solución:

123   P  5000 1  0.14x  360   P  S / . 4 760.83

4.

Una empresa descontó un pagaré de S/. 12 000.00 el 21 de mayo, cuya fecha de vencimiento será dentro de 120 días, el banco aplica una tasa de descuento anticipada nominal de acuerdo al siguiente cronograma:  Tasa nominal anual 13.5% a partir del 21 de mayo  Tasa nominal semestral 5% a partir del 15 de agosto  Tasa nominal mensual 2% a partir del 05 de setiembre. Calcule el valor del descuento bancario simple que se aplicará al pagaré Solución: S=12000.00 TNA 13.5%

TNS 5% 21d

86d 21-may

TNM 2%

15-ago

13d 05-set

18-set

86 21 13   D  12000  0.135x  0.05x  0.02x  360 180 30   D  S / . 561.00

Pág. 49



El gerente de una empresa solicitó a un determinado banco, un préstamo de S/. 50 000.00. dicho préstamo será otorgado con el descuento bancario de un pagaré con las siguientes tasas:  Tasa nominal trimestral 4% a partir del 15 de agosto  Tasa nominal cuatrimestral 3.05% a partir del 26 de setiembre Halle el valor nominal de dicho pagaré, si el descuento bancario simple se realizará el 15 de agosto, fecha en la que se quiere disponer la cantidad solicitada y el pagaré vence el 20 de noviembre del mismo año. Solución:

TNT 4% 15-ago

42d

TNC 3.05% 26-set

55

20-nov

    1   S / . 51687.38 S  50000  1   0.04x 42  0.0305x 55      90 120   


Una letra de cambio con valor nominal de 5000um. se descuenta y se le aplica como tasa de descuento una tasa anticipada de 12% nominal anual, cuantío faltan 38 días para su vencimiento. halle el descuento bancario simple. Respuesta: 63.33 um

2.

El descuento bancario simple de un título valor. cuando faltan 43 días para su vencimiento fue 425um, con una tasa anticipada nominal de 15% anual. ¿Cuál fue su valor nominal?. Respuesta: 23 720.93 um

3.

El descuento bancario simple de una letra de cambio que vence dentro de 72 días es 230um, con una lasa anticipada nominal de 1% mensual. Halle el valor nominal de la letra de cambio. Respuesta: 9 583.33 um

4.

A una letra de cambio cuyo valor nominal es 5000um y que vence dentro de 52 días se le efectuó un descuento bancario simple de 260um. Calcule la tasa anticipada nominal mensual de descuento aplicada. Respuesta: 3%

5.

Una letra de cambio presentada a descuento sufrió una disminución de su valor nominal de 3,5%, cuando faltaban 60 días para su vencimiento. ¿Cuál fue la tasa anticipada nominal anual de descuento bancario simple aplicada?. Respuesta: 21%

6.

¿Por cuántos días se efectuó el descuento bancario de una letra de cambio cuyo valor nominal es 5000um, y por la cual se recibió un importe líquido de 860um? La tasa anticipada nominal de descuento simple fue 2% mensual. Respuesta: 42

Pág. 50



¿Cuántos meses faltan para el vencimiento de una letra cambio de 4000um, si se recibió un importe líquido de 3910um. Después de haberla descontado a una tasa anticipada nominal de descuento simple de 18% anual?. Respuesta: 1.5

8.

La empresa Inka recibió 5000um el 24 de junio por el descuento de un pagaré con valor nominal de 5500um. El banco que efectuó el descuento bancario aplicó una tasa anticipada nominal de 24% anual. ¿Cuál fue la fecha de vencimiento?. Respuesta: 07 de noviembre

9.

Calcule el valor líquido de un pagaré cuyo valor nominal es 9000um, al cual se le efectuará un descuento bancario simple cuando falten 65 días para su vencimiento, con una tasa anticipada nominal de descuento simple de 12% anual. Respuesta: 8 805 um

10. Un banco aplica una tasa anticipada nominal de descuento bancario simple de 12% anual en sus operaciones. Si la empresa Horizonte S.A. acepta un pagaré con valor nominal de 6000um y vencimiento dentro de 70 días, ¿qué importe líquido se recibirá al descontar el pagaré?. Respuesta: 5 860 um

11. ¿De cuánto importe líquido podrá disponerse al efectuar el descuento bancario simple de un pagaré con valor nominal de 5000um, con una tasa anticipada nominal de 2% mensual, 3 meses antes de su vencimiento?. Respuesta: 4 700 um

12. ¿Por cuánto valor nominal deberá girarse una letra de cambio que vence el 27 de febrero, para obtener un importe líquido de 5000um el 19 de enero, después de efectuar un descuento bancario simple, con una tasa anticipada nominal de 18% anual?. Respuesta: 5 099.44 um

13. ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré, cuyo descuento bancario simple realizado 37 días antes de su vencimiento, con una tasa anticipada nominal de 2% mensual, permitió obtener un valor líquido de 700um?. Respuesta: 6 869.45 um

14. Se requiere calcular el descuento bancario simple que debe efectuarse a un pagaré que tiene un valor nominal de 6000um, vence el 24 de setiembre y se descontará por el Banco Norte el 14 de abril del mismo año. fin la fecha del descuento, la tasa anticipada nominal fue de 20% anual, la cual cambiará a 21% a partir del 15 de julio y a 22% a partir del 16 de setiembre esta última tasa anticipada nominal anual se mantendrá hasta el vencimiento del plazo del descuento. Respuesta: 556.50 um

Pág. 51


Matemática Financiera 15. Una empresa descontó el IS de junio un pagaré con valor nominal de 8 000 uní, el cual vencerá el 9 de octubre del mismo año. Hl banco que efectuará el descuento bancario simple aplicará una tasa anticipada nominal que cambiará conforme al siguiente cronograma: d nominal

A partir del

Anual 18.0% Trimestral

5,0%

16/06 16/08

Se requiere calcular el importe del descuento banca rio simple. Respuesta: 484 um

16. Calcule el valor líquido de un pagaré con valor nominal de 6300um que tiene como fecha de vencimiento el 15 de diciembre. El pagaré será sometido a un descuento bancario simple por el Banco Sur el 11 de julio del mismo año, con una tasa anticipada nominal sujeta a las variaciones que se producirán en las siguientes fechas: d nominal

A partir del

Anual 16.0%

11/07

Mensual 1,5%

15/08

Respuesta: 5 817.70 um

17. Se está evaluando una propuesta de financiamiento a través del descuento bancario simple de un pagaré que tiene como fecha de vencimiento el 30 de junio. El banco que dará el financiamiento aplica lasas anticipadas nominales que variarán en las siguientes fechas d nominal

A partir del

Trimestral 4,0%

30/04

Mensual 1,5%

16/06

¿Cuál sería el valor nominal del pagare si el descuento se realiza el 30 de abril del mismo año, lecha en la cual se requiere disponer un valor líquido de 6000um?. Respuesta: 6 172.13 um

Pág. 52



II. DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO MODELOS MATEMÁTICOS Descuento Bancario Compuesto Modelo matemático n D  S 1  1  d e      D d e  1  1   s   D log  1   s  n log 1  d e



P  S 1  d e 

1 n



n

  1  S  P n  1  d   e  

Se obtiene El valor del descuento bancario compuesto El valor de la tasa del descuento bancario compuesto

El tiempo del descuento bancario compuesto

El valor líquido des descuento bancario compuesto El valor compuesto

nominal

del

descuento

bancario

n n n D  S 1  1  d1  1 . 1  d 2  2 . 1  d3  3 ... El valor del descuento bancario compuesto con   tasa efectiva variable

n n n P  S 1  d1  1 . 1  d 2  2 . 1  d3  3 ...  

  1 S  P  n1 n2  1  d1  . 1  d 2  ... 

  d n n  D  S 1  1    m    

El valor líquido del descuento bancario compuesto con tasa efectiva variable El valor nominal del descuento compuesto con tasa efectiva variable

bancario

El valor del descuento bancario compuesto con una tasa anticipada nominal capitalizable


Determine el valor nominal de un pagaré, cuyo descuento bancario compuesto fue S/. 720.00, al aplicar una tasa anticipada efectiva de descuento de 2.50% mensual. La fecha de descuento del pagaré fue el 16 de octubre y su fecha de vencimiento el 29 de diciembre del mismo año. Solución: 74   720  S 1  1  0.025  30   

S  S / . 11892.86 Pág. 53



Calcule la tasa anticipada efectiva mensual de descuento bancario compuesto aplicada a un pagaré cuyo valor nominal fue S/. 16 025.00 y su descuento fue S/. 800.00 en un periodo de 70 días. Solución:

800   d e  1  1    16025 

1

70 30

d e  2.17% 3.

El 25 de mayo, un pagaré será sometido a un descuento bancario compuesto con una tasa anticipada efectiva de 13% anual. Si el descontante requiere que se le abone un valor líquido de S/. 10 000.00, ¿cuál debe ser el valor nominal del dicho pagaré, si vence el 31 de agosto? Solución:

  1   S  10000 98    1  0.13 360  S  S / . 10386.38 4.

Una persona necesita saber cuál será el descuento bancario compuesto que le efectuaran a un pagaré de S/. 18 799.00, que vence el 25 de octubre y será descontado por un banco el 01 de marzo. En la fecha de descuento la tasa anticipada efectiva será de 13.5% anual, la cual cambiará a 2% mensual a partir del 18 de abril y a 5% trimestral a partir del 22 de julio. Solución: S=18799.00

TEA 13.5%

95d

48d 01-mar

TET 5%

TEM 2%

95d

18-abr

 D  18799 1  1  0.135  

48 360

22-jul

25-oct

 . 1  0.02  . 1  0.05    95 30

95 90

D  S / . 2414.29

Pág. 54




Calcule el descuento bancario compuesto efectuado a una letra de cambio con valor nominal de 2500um, cuando faltan 37 días para su vencimiento. A este título valor se le aplicó una tasa anticipada efectiva de 1,5% mensual. Respuesta: 46.17 um

2.

Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra de cambio con valor nominal de 5000um. A esta letra se le efectuó un descuento bancario compuesto. con una tasa anticipada efectiva de 1% mensual, y produjo un valor líquido de 4938.40um. Respuesta: 37 días

3.

calcule el valor líquido que se obtendrá después de efectuar el descuento bancario compuesto a una letra de cambio con valor nominal de 5000um, con una lasa anticipada efectiva de 1,5% mensual cuando fallan 52 días para su vencimiento. Respuesta: 4 870.72 um

4.

calcule el valor liquido de que puede disponerse hoy (19 de enero) después de haberse efectuado el desálenlo bancario compuesto de dos letras de cambio, cuyos valores nominales son 4500um y 7800um, las cuales vencen el 20 y 26 de febrero del mismo año respectivamente. El banco descontó las letras de cambio, con una tasa anticipada efectiva de 2% mensual. Respuesta: 12 006.99 um

5.

En el financiamiento de un automóvil, cuyo precio al cornado es 10000um, la institución financiera exige al cliente una cuota inicial de 4000um. un pago adelantado de 1000um y una letra de cambio con vencimiento dentro de 90 días con valor nominal de 5312.41um, a la cual se le aplicó una tasa anticipada efectiva de 2% mensual. Si el cliente solicita que el importe de las 1000um se incluya en la letra a 90 días. ¿Cuál será el nuevo valor nominal de la letra de cambio?. Respuesta: 6 374.89 um

6.

El precio de venta original de un artículo es 1750um. ¿Por cuánto tendría que ofrecerse para promocional un descuento de 10% sobre el nuevo precio, de modo que después del descuento se obtenga el misino importe del precio de venta original?. Respuesta: 1 944.44 um

7.

Una empresa descontó el 8 de abril un pagaré con valor nominal de 11500um. el cual vencerá el 19 de agosto del mismo año. 1-1 banco que efectuará el descuento bancario compuesto aplicará una tasa anticipada electiva que cambiará conforme al siguiente cronograma d efectiva

A partir del

Anual 18.0% Trimestral 5,0% Mensual 1,8%

08/04 15/05 01/08

Se requiere calcular el importe del descuento banca rio compuesto. Respuesta: 838.94 um 8.

Calcule el valor líquido de un pagaré con valor nominal de 12000um, que tiene como fecha de vencimiento el 24 de octubre. El pagaré será sometido a un descuento bancario compuesto por el Banco Sur el 11 de julio del mismo año. Con una tasa anticipada efectiva, sujeta a las variaciones que se producirán en las siguientes fechas:

Pág. 55


Matemática Financiera d efectiva Anual 16.00% Mensual 1,5%

A partir del 11/07 30/08

Respuesta: 11 392.81 um 9.

Se está evaluando una propuesta de financiamiento a través del descuento bancario compuesto de un pagaré que tiene como fecha de vencimiento el 30 de diciembre, el banco que dará el financiamiento aplica lasas anticipadas efectivas que variarán en las siguientes fechas: d efectiva A partir del Trimestral 4,0% 30/06 Mensual 1,5% 16/11 ¿Cuál sería el valor nominal del pagaré si el descuento se realiza el 30 de junio del mismo año, fecha en la cual se requiere disponer un valor líquido de 3000um?. Respuesta: 3 266.85 um

10. ¿Cuál será el importe de! descuento bancario compuesto de un pagaré con valor nominal de 7000um. el cual vence dentro de 110 días? la tasa anticipada nominal fue 12% anual capitalizable trimestralmente. Respuesta: 255.80 um 11. A un pagaré con valor nominal de 5000um. que vence dentro de 4 meses, se le efectuó un descuento bancario compuesto, con una tasa anticipada nominal anual capitalizable mensualmente de 36% para el primer mes y de 48% para los últimos 3 meses. ¿Cuál fue su valor líquido?. Respuesta: 4 290.97 um 12. ¿Cuál debe ser el valor nominal de un pagaré que será descontado el 11 de julio y vencerá el 9 de setiembre del mismo año. si se requiere obtener un importe líquido de 20000um? En el descuento bancario compuesto se aplicará una tasa anticipada nominal de 9% anual capitalizable mensualmente. Respuesta: 20 303.41 um


Una empresa efectuó, el 20 de mayo, un descuento bancario simple en un determinado banco, de un pagaré de S/. 13 400.00 con fecha de vencimiento el 27 de setiembre del mismo año. Calcule el valor líquido que abonó el banco en de la cuenta corriente de la dicha empresa, si se aplicó una tasa anticipada nominal de 11% anual

2.

Una empresa descontó un pagaré de S/. 34 500.00 el 15 de junio, cuya fecha de vencimiento será dentro de 180 días, el banco aplica una tasa de descuento anticipada nominal de acuerdo al siguiente cronograma: Tasa nominal anual 10.5% a partir del 15 de junio Tasa nominal semestral 4% a partir del 20 de setiembre Tasa nominal mensual 1.08% a partir del 01 de octubre. Calcule el valor del descuento bancario simple que se aplicará al pagaré

   3.

Calcule la tasa anticipada efectiva mensual de descuento bancario compuesto aplicada a un pagaré cuyo valor nominal fue S/. 20 150.00 y su descuento fue S/. 1 200.00 en un periodo de 90 días.

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El 05 de junio, un pagaré será sometido a un descuento bancario compuesto con una tasa anticipada efectiva de 9% anual. Si el descontante requiere que se le abone un valor líquido de S/. 7 800.00, ¿cuál debe ser el valor nominal del dicho pagaré, si vence el 01 de octubre?

5.

Una persona necesita saber cuál será el descuento bancario compuesto que le efectuaran a un pagaré de S/. 35 000.00, que vence el 20 de octubre y será descontado por un banco el 06 de marzo. En la fecha de descuento la tasa anticipada efectiva será de 12.5% anual, la cual cambiará a 2.05% mensual a partir del 22 de abril y a 5.03% trimestral a partir del 27 de julio.

UNIDAD IV Tema: DESCUENTO COMERCIAL Semana 8

MODELOS MATEMÁTICOS Descuento Comercial Modelo matemático

Dc  PV  d 

PR  PV 1  d  Dc  PV 1  1  d1 1  d 2  ... 1  d n  

d  1  1  d1 1  d 2  ... 1  d n   PRn  PV 1  d1 1  d 2  ... 1  d n  

Se obtiene El valor del descuento comercial unitario El valor del precio rebajado del descuento unitario El descuento comercial sucesivo total El valor de la tasa de descuento acumulada El último precio rebajado


Una persona decide comprar un auto del año 2014 cuyo precio es de $ 18 500.00. Esta persona se da cuenta que sus ahorros no le alcanzan, pero tampoco quiere solicitar un préstamo al banco, así que decide solicitar un descuento. Luego de conversar con el Gerente, éste le ofrece un descuento del 7.25%, lo cual es aceptado. Calcule: a) ¿Cuánto es el descuento que se hará? b) ¿Cuánto se pagará ahora por el auto? c) ¿Cuánto le quedará a dicha persona, si tenía $ 17 500.00 de ahorros?

Solución:

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a) Dc  18500  0.0725   S / . 1341.25 b)S/ . 18500  S / .1341.25  S / . 17158.75 c)S / .17500.00  S / .17158.75  S / .341.25 2.

Por campaña de fin de mes una farmacia ofrece un descuento de 8% más 11%, en todo lo que es antibióticos. Una persona decide aprovechar la oportunidad y hace una compra por el valor de S/. 580.00. Dicha persona necesita que le ayuden a calcular: a) El descuento comercial total b) La tasa de descuento comercial acumulado c) El precio rebajado por pagar

Solución:

a) Dc  580 1  1  0.08 1  0.11   105.10 b) d  1  1  0.08 1  0.11   18.12% c) PRn  580 1  0.08 1  0.11   S / . 474.90


Calcule el descuento comercial por efectuar sobre el precio de venta de un artículo, si éste es de 1000um y se concede una rebaja de 5%. Respuesta: 50 um

2.

Calcule el importe de los descuentos comerciales que se efectuarán en una venta a plazos, amortizable con pagos mensuales de 100um que vencen el 1 de cada mes, que otorga los siguientes descuentos: a) 5% por adelantarse al vencimiento, b) 2% si los pagos se efectúan el día 7 de cada mes. Respuesta: a) 5 um ; b) 2 um

3.

La empresa El Buen Vestir S.A. adiciona a la venta de sus artículos un margen de utilidad de 20% sobre el costo de la mercancía. Por cambio de temporada piensa rematar el stock de chompas cuyo costo unitario es 50um, lo que significa rebaja su margen de 20% a 5% sobre el costo ¿Cuál es el nuevo importe de la utilidad bruta?. Respuesta: 7.50 um

4.

¿Cuál es la tasa de descuento comercial total si una tienda concede sobre el precio de venta de su mercadería una rebaja de 10% + 8% +5%?. Respuesta: 21.34%

5.

Por aniversario, los supermercados únicos están concediendo descuentos de 20% +. 15% + 5% sobre los precios de venta de sus productos. Si la familia Martínez efectúa una compra de 320um. a) ¿Cuál será el descuento total en unidades monetarias? b) ¿Cuál es la tasa de descuento acumulada?. Respuesta: a) 113.28um ; b) 35.4%

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Con los datos del problema anterior, calcule directa mente el precio de venia rebajado. Respuesta: 206.72 um

7.

Calcule el equivalente de un aumento de 20% en el precio de venta y una rebaja de 15% realizados de forma sucesiva. Compruebe su respuesta con una supuesta liquidación. Respuesta: -2% um

8.

¿Cuál debe ser el precio de venia de una mercadería que fue adquirida a un precio de 20um. Al que se le .aplicó un descuento comercial de 15% + 10%, con el objeto de obtener una utilidad de 30% sobre el costo?. Respuesta: 19.89 um


Una persona desea comprar un departamento valorizado en $145 500.00, pero sólo tiene $ 93 500.00. El gerente de la inmobiliaria le da un plazo de 30 días para cancelarlo ofreciéndole un descuento del 7.50% si lo cancela dentro de esos días. La persona acude a un banco y solicita un préstamo por la diferencia para cancelar el departamento, su sectorista le ofrece entregarle el dinero al día siguiente de firmado el contrato, pero por un plazo mínimo de 2.5 años con una TNA de 9% capitalizable trimestralmente.  ¿Es favorable para dicha persona prestarse el dinero del banco?  ¿Cuánto ahorrará en realidad, si decide prestarse el dinero del banco?

2.

Por campaña de quincena, una tienda ofrece un descuento de 8% más 6.5% en todos los artículos para automóviles. Si un cliente compra un determinado producto, cuyo precio de lista es S/. 2 165.00, calcule:  El descuento comercial total  La tasa de descuento comercial acumulado  El precio rebajado por pagar

3.

Un equipo electrodoméstico tiene un precio de S/. 1 600.00. En la fecha que un cliente acude para su compra, encuentra que el equipo se incrementó en 7%, pero sobre este precio se otorga un rebaja de 3.05%, halle:  ¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en qué porcentaje total?  ¿Cuál es el importe de la facturación?

4.

Un artefacto esta de oferta sólo por hoy, por un precio de S/. 2 000.00. Una persona decide comprarlo dos días después y se da con la sorpresa que el precio se incrementó en 10%, después de consultarlo, el vendedor decide hacerle una rebaja de 4%, ahora necesita que le ayuden a calcular:  ¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en qué porcentaje total?  ¿Cuál es el importe de la facturación?

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UNIDAD V Tema: TASAS EN EL SISTEMA FINANCIERO Semana 10

MODELOS MATEMÁTICOS TASAS EL SISTEMA FINANCIERO Modelo matemático

𝑻=

𝑪𝒏 −𝟏 𝑪𝟎

Tasa

𝒋 𝒏 𝒊 = (𝟏 + ) − 𝟏 𝒎 𝒇

𝒊′ = (𝟏 + 𝒊)𝑯 − 𝟏 𝒋=

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝒏

𝒋(𝒎) = 𝒎 [(𝟏 +

𝒇 𝑯 𝒊)

Se obtiene

− 𝟏]

Tasa efectiva a partir de una tasa nominal

Tasa efectiva equivalente de otra tasa efectiva dada Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto

Tasa j capitalizable m veces a partir de una i

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

¿Cuál será la tasa proporcional de 20 días correspondiente a una TNS de 10%? Solución:

10% 𝑇𝑁𝑆 … … … … … … … … 𝑇𝑁20 𝐷 10%

𝑇𝑁 1𝑆 [ ] 𝑆 9 (20𝐷)

10 ( ) % 𝑇𝑁20 𝐷 9

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Calcule la TEA equivalente a una TNA de 20% capitalizable trimestralmente. Solución: 20% 𝑇𝑁𝐴 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑇𝑅𝐼𝑀𝐸𝑆𝑇𝑅𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 … … … … … … … … … … . . 𝑇𝐸𝐴 5% 𝑇𝐸𝑇 … … … … … … … … … … . . 𝑇𝐸𝐴 360

𝑖 ′ = [(1 + 0.05) 90 − 1] 𝑥100 𝑖 ′ = 21.550625% 𝑇𝐸𝐴 3.

Calcule la TEQ a partir de una TEA de 18%. Solución: 18% 𝑇𝐸𝐴 … … … … … … … … … … . . 𝑇𝐸𝑄 15

𝑖 ′ = [(1 + 0.18)360 − 1] 𝑥100 𝑖 ′ = 0.69202701% 𝑇𝐸𝑄 4.

Si la TEA es 24%, ¿Cuál es su correspondiente TNA con capitalización trimestral? Solución: 𝑥 % 𝑇𝑁𝐴 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑇𝑅𝐼𝑀𝐸𝑆𝑇𝑅𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 … … … … … 24% 𝑇𝐸𝐴 𝑥 % 𝑇𝐸𝑇 … … … … … … … … … … . .24% 𝑇𝐸𝐴 … … … … . . 𝑇𝐸𝑇 4 90

𝑖 ′ = [(1 + 0.24)360 − 1] 𝑥100 𝑥 % 𝑇𝐸𝑇 4 Entonces:

………………………….. 𝑥 4

= 5.52501469

5.52501469% 𝑇𝐸𝑇

→ 𝑥 = 22.1

22.1 % 𝑇𝑁𝐴 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑇𝑅𝐼𝑀𝐸𝑆𝑇𝑅𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 24% 𝑇𝐸𝐴 5.

Un préstamo de 1000um devenga una TEM de 5%, si este préstamo se utilizó durante 17 días, ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse? Solución: 5% 𝑇𝐸𝑀 … … … … … … … … … … . . 𝑇𝐸17 𝐷 17

𝑖 ′ = [(1 + 0.05)30 − 1] 𝑥100 𝑖 ′ = 2.8033% 𝑇𝐸17𝐷

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EJERCICIOS PROPUESTOS Tasa 1. Las ventas de la compañía Alpha en el año 1 y año 2 fueron 334505um y 271410um respectivamente. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento o decrecimiento de las ventas? Tome como base el año 1 y luego el año 2. Respuesta: -18.86% 2. En el presente mes las ventas de una empresa fueron 85000um, lo que representa un crecimiento de 20% con relación al mes anterior. ¿Cuánto se vendió en el mes base?. Respuesta: 70 833.33 um 3. Si en el presente año se tuvo una producción de 17000 unidades, lo que representa una disminución del orden de 12.82% con relación al año anterior, ¿cuánto fue la producción del año base?. Respuesta: 19 500 unidades Tasa vencida 4.

Un capital de 1200um produce un interés de 240um en 28 días, ¿cuál fue la tasa de interés devengada en ese periodo?. Respuesta: 20%

5.

¿Qué tasa de interés se aplicó a un capital de 18750um, que redituó un interés de 1500um?. Respuesta: 8%

Tasa nominal y proporcional 6.

Si una TNA es 24%, ¿Cuánto es la tasa proporcional: a. mensual; b. trimestral?. Respuesta: a) 2% ; b) 6%

7.

Si una TNM es 1.5%, ¿Cuánto es la tasa proporcional: a. trimestral; b. de 8 meses y c. anual?. Respuesta: a) 4.5% ; b) 12% ; c) 18%

8.

Si una TNS es 12%, ¿Cuál es la tasa proporcional cuatrimestral?. Respuesta: 8%

9.

¿Cuál será la tasa proporcional de 46 días correspondiente a una TNA de 20%?. Respuesta: 2.55%

10. Calcule las tasas proporcionales con los siguientes datos: Tasa nominal Plazo Valor Anual 18.00% Semestral 9.00% Mensual 2.00% Anual 12.00% 85 días 2.83% 95 días 3.00% Bimestral 6.00% Mensual 2.50%

Tasa proporcional Plazo Valor Bimestral RESPUESTA: 3% Anual RESPUESTA: 18% Trimestral RESPUESTA: 6% 85 días RESPUESTA: 2.83% Anual RESPUESTA: 11.99% Mensual RESPUESTA: 0.947% 45 días RESPUESTA: 4.5% 123 días RESPUESTA: 10.25%

11. La tasa nominal aplicada al cálculo de un interés simple por 36 días es 2.4%. ¿Cuál fue la TNA cobrada en esa operación? Compruebe la tasa con un capital supuesto. RESPUESTA: 24%

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Matemática Financiera 12. Por un préstamo de 2000um se cobró al término de 42 días una tasa de interés simple de 2.8%. ¿Cuál es la tasa proporcional de 90 días?. RESPUESTA: 6% Conversión de una tasa nominal en una tasa efectiva 13. Calcule la TEA equivalente a una TNA de 24% capitalizable trimestralmente. RESPUESTA: 26.24% 14. Calcule la TET a partir de una TNA de 36% capitalizable mensualmente. RESPUESTA: 9.27% 15. Si la TNM es 2% y el periodo de capitalización mensual, ¿Cuál es la tasa efectiva: a. trimestral; b. de 8 meses y c. anual?. RESPUESTA: a) 6.12% ; b) 17.17% ; c) 26.82% 16. Calcule la TEA que producirá una TNM de 2% que se capitaliza trimestralmente. RESPUESTA: 26.25% 17. Calcule la TEA que producirá un depósito de ahorro por el cual se percibe una TNA de 18% con capitalización mensual. RESPUESTA: 19.56% 18. ¿Cuál será la tasa efectiva devengada sobre un depósito a plazo pactado a una TNA de 18% con capitalización diaria durante 128 días?. RESPUESTA: 6.61% 19. ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse a un capital de 1000um, colocado durante 6 meses en un banco que paga una TNA de 24%, capitalizable a diario?. RESPUESTA: 12.75% 20. ¿Cuál será la TET si la TNA para los depósitos a plazo que pagan los bancos es 24% y la frecuencia de capitalización es diaria?. RESPUESTA: 6.18% 21. ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse a un sobregiro de 1500um que concedió el Banco Latinoamericano por el plazo comprendido entre el 20 y 25 de marzo al aplicar una TNA de 36% con capitalización mensual?. RESPUESTA: 0.49% 22. Se requiere determinar la tasa efectiva que debe aplicarse a un préstamo de 2000um, que se concedió el 5 de mayo y se canceló el 10 de junio del mismo año. El banco que concedió el préstamo aplica una TNA de 36% capitalizable bimestralmente. RESPUESTA: 3.56% 23. Calcule las tasas efectivas semestrales a partir de una TNA de 24% capitalizable cada 18, 22, 30, 35, 40 y 45 días respectivamente. RESPUESTA: 12.67% ; 12.65% ; 12. 62% ; 12.59% ; 12.57% ; 12.55% 24. Calcule la TEM que devengo un depósito de ahorro, desde el 3 de mayo al 8 de junio del mismo año. Durante ese periodo la TNA capitalizable mensualmente fue 48% hasta el 16 de mayo y a partir de esa fecha bajó a 42%. RESPUESTA: 4.43% 25. Un capital colocado durante 6 meses a una TNA con capitalización trimestral, produce el mismo interés que si hubiera estado durante 7 meses a la misma TNA a interés simple. Calcule la TNA. RESPUESTA: 133.33% Conversión de una tasa efectiva a otra tasa efectiva de diferente plazo 26. Las acciones de la compañía Omega han tenido una tasa de rentabilidad de 17% durante 15 días, calcule la tasa de rentabilidad mensual si la tendencia de crecimiento se mantiene en la segunda quincena. RESPUESTA: 36.89%

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27. Una operación financiera produjo una tasa de rentabilidad efectiva de 1.5% en 10 días. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad proyectada efectiva mensual?. RESPUESTA: 4.57% 28. Las acciones de la compañía Gamma, adquiridas el 3 de mayo y vendidas en la Bolsa de Valores de Lima el 11 de agosto del mismo año, tuvieron una tasa de rentabilidad de 26% durante ese periodo. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual. RESPUESTA: 7.18% 29. Calcule la TEM a partir de una TEA de 30%. RESPUESTA: 2.21% 30. Calcule las tasas efectivas mensuales de los créditos sujetos al sistema de reajuste de deudas, si sus respectivas TET son 8%, 8.5% y 9%. RESPUESTA: 2.60% ;2.76% ; 2.91% 31. Una acción en el periodo de un año acumuló una tasa efectiva de rentabilidad de 800%. ¿Cuál fue su tasa equivalente semestral de rendimiento?. RESPUESTA: 200% 32. Si se concertó un préstamo a 90 días, el cual devenga una TET de 8% y se canceló 73 días después, ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse por ese periodo?. RESPUESTA: 6.44% 33. Un préstamo de 1000um devenga una TEM de 5%, si este préstamo se utilizó durante 17 días, ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse?. RESPUESTA: 2.80% 34. La compañía El Sol sobregiro su cuenta corriente en 3800um, del 2 al 6 de setiembre. Si se considera que el banco cobra una TEA de 20%, ¿Qué tasa efectiva debe aplicarse por este periodo?. RESPUESTA: 0.20% 35. Una empresa bancaria pública en un diario de la capital el siguiente aviso: “Por sus ahorros de 10000um pagamos intereses de 500um en un mes; 1010um, en dos meses; 1550um, en tres meses; 2100um, en cuatro meses”. Si usted dispone de 10000um y los puede ahorrar, ¿Qué opción escogería? Fundamente su respuesta. RESPUESTA: depósito mensual porque rinde una TEM del 5% 36. ¿A qué TEB debe colocarse un capital para que rinda en un semestre el mismo monto que si se hubiese colocado a una TET de 15%?. RESPUESTA: 9.77% 37. Una empresa coloca los 4/5 de un capital P a una TEA de 36% anual durante 9 meses y el saldo a una TNA de 36% con capitalización semestral durante el mismo periodo de tiempo. Calcule el monto o capital final. RESPUESTA: 1.263859563P 38. Una parte de un capital de 4000um se colocó a una tasa nominal anual de 24% con capitalización trimestral y el saldo a una tasa de interés efectivo mensual de 2%, lo que iguala sus montos al cabo de 8 meses. Calcule el importe de cada una de las partes del capital. RESPUESTA: 2 003.04um ; 1 996.96um 39. Hoy se coloca un capital que devenga una tasa nominal anual de 24% capitalizable trimestralmente. Transcurrido un año, la tasa nominal anual capitalizable trimestralmente disminuye a 20%, lo que motiva el retiro de 50% del capital colocado originalmente. Transcurridos seis meses de esta segunda operación, se retira el monto total, que asciende a 20000um. Calcule el capital inicial. RESPUESTA: 23 791.66um 40. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de 10000um que vence dentro de 48 días y devenga una TEM de 3%. Además, tiene en ese banco otra deuda de 15000um que devenga una TEM de 4% y vence dentro de 63 días. Jacobs propone pagar hoy ambas deudas con el descuento de un pagaré con valor nominal de 27033um, el mismo que

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Matemática Financiera vencerá de 90 días. ¿Qué TEM está pagando el banco por esta operación?. RESPUESTA: 5% Conversión de una tasa efectiva en una tasa nominal 41. Calcule la TNA capitalizable trimestralmente equivalente a una TEA de 12%. RESPUESTA: 11.49% 42. Si la TEA es 30%, ¿Cuál es su correspondiente TNA con capitalización mensual?. RESPUESTA: 26.53% 43. Por las ventas a crédito a 60 días una empresa carga una tasa efectiva bimestral de 12.36%. ¿Qué tasa nominal bimestral con capitalización mensual debe cargar al precio de contado?. RESPUESTA: 12% 44. Convierta la TEM de 2% en TNA, para un préstamo que se amortiza trimestre vencido. RESPUESTA: 24.48% 45. Calcule las TNAs para aplicar a créditos que se amortizan cada 30, 60 y 90 días, cuyas respectivas TEAs deben ser de 40%. RESPUESTA: 34.12% ; 34.61% ; 35.10% Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto 46.

Calcule la tasa de interés simple mensual que producirá el mismo interés que una TEM de 2% durante el plazo de 3 meses. RESPUESTA: 2.04%

Equivalencia entre tasas anticipadas y vencidas 47. ¿Qué tasa anticipada efectiva anual es equivalente a otra tasa efectiva anual de 12%?. RESPUESTA: 10.71% 48. ¿Qué porcentaje sobre el precio facturado se ganará en una venta si aumenta 50% al precio de costo? Compruebe su respuesta a través de una facturación supuesta. RESPUESTA: 33.33% 49. ¿Cuál es la tasa mensual adelantada equivalente a una tasa vencida de 5%?. RESPUESTA: 4.76% 50. Si la tasa i correspondiente a 26 días es 3%, ¿Cuál es la tasa d para ese mismo periodo?. RESPUESTA: 2.91% 51. Prepare los factores de descuento para los 30 primeros días del año a partir de una TEA de 25%. RESPUESTA: día 1: 0.00062% ; día 2: 0.012% ; día 3: 0.0019% ; etc 52. ¿A qué TEA equivale una tasa anticipada de 12% efectivo anual?. RESPUESTA: 13.63% 53. ¿Qué porcentaje tendría que aumentarse al costo de un producto para ganar 33.33% del precio de venta? Compruebe su respuesta a través de una facturación supuesta. RESPUESTA: 50% 54. ¿Cuál es la TEM equivalente a una tasa anticipada de 4.7619% efectiva mensual?. RESPUESTA: 5% 55. Si la tasa d correspondiente a 26 días es 2.9126%, ¿Cuál es la tasa i para ese mismo periodo?. RESPUESTA: 3%

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Matemática Financiera 56. Calcule el factor de descuento que debe aplicarse a una letra con valor nominal de 15000um, que vence dentro de 24 días. En el descuento racional se utiliza una TEA de 25%. RESPUESTA: 0.0147661 57. El descuento bancario compuesto de un pagaré de 20000um, con vencimiento a 90 días, produjo un valor líquido de 18823.84um, con una tasa anticipada efectiva mensual. Calcule la tasa anticipada nominal anual que se aplicó al descuento bancario. RESPUESTA: 24% Tasa compensatoria y moratoria 58. Un pagaré con valor nominal de 8500um, que venció el 23 de marzo, se canceló el 4 de abril del mismo año, ¿Cuál es el pago total por efectuar en esta fecha si el pagaré devenga una TEM de 5% y la tasa de mora es una TEM de 0.75%?. RESPUESTA: 8 692.96um 59. La empresa Gasoil S.A. obtuvo un préstamo de 20000um que devenga una TEM de 5% para amortizarlo en 12 cuotas uniformes de 2256.51 cada 30 días. Si Gasoil se atrasa dos cuotas y en la fecha de vencimiento de la tercera cuota cancela su deuda vencida, ¿Cuál es el pago total que debe efectuar dado que la tasa de interés de mora es una TEM DE 0.75%? Para efectuar la liquidación, separe el importe de las cuotas vencidas, el interés compensatorio y el interés moratorio. RESPUESTA: 7164.55um 60. Calcule el interés total en mora producido por una deuda bancaria de 2000um, vencida el 12 de abril y cancelada el 4 de mayo. La TEM compensatoria es 4% y la TEM moratoria es 0.6%. RESPUESTA: 67.15um 61. Un pagaré con valor nominal de 5000um descontado en el Banco Exterior venció el 3 de mayo y se canceló el 1 de junio del mismo año; durante ese periodo la TEM compensatoria fue de 6% hasta el 16 de mayo, y a partir de esa fecha hasta el vencimiento de la obligación disminuyó a 5%; asimismo, la TEM moratoria aplicable representa 15% de la TEM compensatoria. ¿Cuál es el interés total por pagar?. RESPUESTA: 302.53um 62. Calcule el interés total en mora generado por una deuda de 1000um vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0.75%. RESPUESTA: 34.20um TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX 63. Un avance en cuenta corriente de US$ 50000 que devenga un TAMEX de 18%, se mantuvo vigente dese el 5 de julio hasta el 17 de julio del mismo año. Calcule el interés que generó esa operación. RESPUESTA: $276.62 Tasa discreta y continua 64. Se requiere conocer la TNA que capitalizada continuamente genera una TEA de 20%. RESPUESTA: 18.23% Tasa explícita e implícita 65. Se colocó un capital en un banco el 11 de julio y se retiró el 22 de diciembre del mismo año, fecha en la cual el capital se duplicó. ¿A que TEM se colocó?. RESPUESTA: 13.52% 66. Se compró un paquete accionario el 14 de abril en 5000um y vendido el 28 de mayo del mismo año en 5850um. ¿Cuál fue su tasa efectiva de rendimiento mensual?. RESPUESTA: 11.30%

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TAREA DOMICILIARIA 1. ¿Cuál es la tasa de interés nominal capitalizable cada mes equivalente a la tasa nominal del 38% capitalizable trimestralmente? 2. Obtenga la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa del 27.4% capitalizable cada bimestre. 3. Calcule la tasa anual de interés con capitalización cada 14 días equivalente a la tasa del 18% capitalizable cada 91 días. Utilice año natural. 4. ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada semana, produce igual monto que el 11% capitalizable cada mes? 5. Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario, si la tasa nominal es del 11.84% capitalizable cada semana.

UNIDAD VI Tema: ANUALIDADES VENCIDAS Semana 11

MODELOS MATEMÁTICOS ANUALIDADES VENCIDAS Modelo matemático

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑺 = 𝑹[ ] 𝒊 𝑹 = 𝑺[

𝒏=

𝒊 ] (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝑺𝒊 𝐥𝐨𝐠 ( 𝑹 + 𝟏) 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊)

Valor futuro de una anualidad simple vencida

Renta uniforme vencida en función de S

Número de periodos de renta de una anualidad simple vencida en función de S.

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑷 = 𝑹[ ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

Valor presente de una anualidad simple vencida

𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑹 = 𝑷[ ] (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

Renta uniforme vencida en función de P

𝑷𝒊 𝐥𝐨𝐠 (𝟏 − 𝑹 ) 𝒏=− 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊)

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Se obtiene

Número de periodos de renta de una anualidad simple vencida en función de P




¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 10 meses consecutivos, se depositó 600um en un banco que paga una TEA de 18%? Solución: 𝑺 = 𝑹[

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝒊

𝑺 = 𝟔𝟎𝟎 [

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑)𝟏𝟎 − 𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑

𝑺 = 𝟔𝟑𝟖𝟗. 𝟐𝟐 𝒖𝒎 2.

Una máquina se vende con una cuota inicial de 2000um y 18 cuotas de 250um cada una apagarse cada fin de mes. Calcule su respectivo valor presente equivalente con una TET de 9%. Solución: 𝑷 = 𝑹[

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

𝑷 = 𝟐𝟓𝟎 [

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟒𝟐𝟒𝟕)𝟏𝟖 − 𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟒𝟐𝟒𝟕(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟒𝟐𝟒𝟕)𝟏𝟖

𝑷 = 𝟑𝟒𝟔𝟑. 𝟒𝟒 𝒖𝒎 Por lo tanto el precio de la máquina es: 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟒𝟔𝟑. 𝟒𝟒 = 𝟓𝟒𝟔𝟑. 𝟒𝟒 3.

Se plantea reemplazar una máquina dentro de 6 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será 10000um. ¿Qué importe constante a fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM de 3.5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados? Solución: 𝑹=

𝑺𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝑹=

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟑𝟓) (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑𝟓)𝟔 − 𝟏

𝑹 = 𝟏𝟓𝟐𝟔. 𝟔𝟖 4.

Se compró un automóvil cuyo precio de contado fue 15000um, se pagó una cuota inicial de 3500um y el saldo amortizable en el plazo de 6 meses es con cuotas mensuales vencidas iguales. ¿Cuál es el importe de la cuota uniforme si el costo del financiamiento es 2% efectivo mensual? Solución:

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𝑹=

𝑷𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝑹=

(𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎)(𝟎. 𝟎𝟐)(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)𝟔 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)𝟔 − 𝟏

𝑹 = 𝟐𝟎𝟓𝟑. 𝟎𝟓 𝒖𝒎 5.

¿Cuántas cuotas mensuales vencidas de 850um son necesarias para cancelar un préstamo de 12000um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 24% anual con capitalización trimestral. Solución: 𝑹 𝒍𝒐𝒈 [ ] 𝑹 − 𝑷𝒊 𝒏= 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝟖𝟓𝟎 𝒍𝒐𝒈 [ ] 𝟖𝟓𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟏𝟐𝟖𝟐) 𝒏= 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟏𝟐𝟖𝟐) 𝒏 = 𝟏𝟔. 𝟔𝟗 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

PROBLEMAS PROPUESTOS Monto de una anualidad simple vencida 1.

Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante de 2000um. ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años si percibe una TNA de 24% capitalizable trimestralmente?. RESPUESTA: 19 794.94 um

2.

¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos si se depositan 1000um cada fin de mes y se percibe una TNA de 24% con capitalización mensual?. RESPUESTA: 51 994.37 um

3.

¿Cuál será el importe capitalizado al final del sexto mes, al efectuar depósitos de 1000um al final de cada 30 días en una institución bancaria que paga una TNA de 36% con capitalización trimestral?. RESPUESTA: 6 454.50 um

4.

¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 8 meses consecutivos se depositó 800um en un banco que paga una TEA de 12%?. RESPUESTA: 6 616.63 um Valor presente de una anualidad simple vencida

5.

En el proceso de adquisición de una maquinaria se recibieron las siguientes propuestas: a. Al contado por 10000 b. A crédito con una cuota inicial de 4000um y seis cuotas mensuales de 1100um. ¿Qué opción aceptaría si el costo del dinero es efectivo mensual y no tiene restricciones del capital?. RESPUESTA: b) 9 766.35 um

6.

Un crédito bancario que devenga una TNA de 36% capitalizable trimestralmente se pactó para cancelarse en el plazo de 5 años con cuotas trimestrales uniformes vencidas de 250um. El cliente cumplió puntualmente con sus pagos, y al vencimiento de la duodécima

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Matemática Financiera cuota decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, con la condición que éstas sean descontadas con la misma tasa pactada. ¿Cuál es el importe por pagar en esa fecha?. RESPUESTA: 1 633.70 um 7.

Una máquina se vende con una cuota inicial de 2000um y 12 cuotas de 300um cada una apagarse cada 30 días. Calcule su respectivo valor presente equivalente con una TET de 9%. RESPUESTA: 5 001.55 um

8.

Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uniformes vencidas de 2000um cada una, con una TEM de 4%. La primera renta se pagará dentro de tres meses y las siguientes en periodos de 3 meses cada una. RESPUESTA: 14 494.80 um

9.

La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 años por una merced conductiva de 3000um por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un único pago de 17000um al inicio del contrato por cinco años. Dado que Alfa puede invertir el importe de los alquileres que percibirá a una TEM de 5%, ¿le conviene la alternativa propuesta?. RESPUESTA: no, ya que el VP de los alquileres es 18 013.60 um

10. Un departamento se oferta para su venta con las siguientes opciones: a. 17500um al contado b. 10000um de cuota inicial y un pago de 7700um dentro de 60 días c. 8000um de cuota inicial y pagos de 6000um y 3680um, y cada uno se realizará dentro de 30 días y 60 días, respectivamente. d. 6000um de cuota inicial y pagos de 4000um dentro de 30, 60 y 90 días, respectivamente. ¿Cuál es la mejor alternativa para un cliente cuyo costo de oportunidad es una TEM de 2%?. RESPUESTA: d) 17 535.53 um Renta uniforme en función de S 11. Calcule el importe de la renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4 años permite constituir un monto de 20000um. La TNA aplicable es de 36% con capitalización mensual. RESPUESTA: 592.08 um 12. La empresa Productos Industriales S.A. planea adquirir dentro de seis meses un equipo de comunicación interconectado para toda su empresa a un precio de 10000um. Con este objetivo, la gerencia financiera puede colocar sus excedentes mensuales de caja (estimados en 3000um) en una institución financiera que paga una TEM de 2%. ¿Qué importe constante a fin de mes deberá ahorrar para acumular los $10000 al final del sexto mes?. RESPUESTA: 1 585.26 um 13. Se plantea reemplazar una máquina dentro de 4 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será 5000um. ¿Qué importe constante a fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM de 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?. RESPUESTA: 1 160.06 um 14. Un préstamo de 5000um se contrata en el Banco del Oriente para devolver el principal dentro de un año y pagar trimestralmente solo los intereses, con una TET de 8%. El prestatario, para cancelar el principal a su vencimiento, desea acumular un fondo y para ello efectúa depósitos constantes trimestrales en el Banco del Sur, con una TEM de 2%. Calcule la cuota trimestral total que le permita acumular el fondo y pagar los intereses trimestrales. RESPUESTA: 1 540.91 um

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Matemática Financiera Renta uniforme en función de P 15. Un préstamo de 5000um debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales, con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de esa cuota constante. RESPUESTA: 502.31 um 16. La empresa Equipos S.A. vence sus máquinas al contado por 10000um, pero debido a que consiguió un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas a crédito con una cuota inicial de 5000um y seis cuotas uniformes con vencimiento a 30 días cada una. Si la TEA por cargar al financiamiento es 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo. RESPUESTA: 888.93 um 17. Se compró un automóvil cuyo precio de contado fue 12000um, se pagó una cuota inicial de 2000um y el saldo amortizable en el plazo de 4 meses es con cuotas mensuales iguales. ¿Cuál es el importe de la cuota uniforme si el costo del financiamiento es 2% efectivo mensual?. RESPUESTA: 2 626.24 um 18. Prepare una alternativa de financiamiento para una máquina que se vende al contado a un precio de 4000um. A crédito se otorgará con una cuota inicial equivalente a 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes pagaderas cada 30 días. Se cargara una TEM de 5% sobre el saldo deudor. RESPUESTA: 591.05 um 19. En la adquisición de una máquina, una empresa recibe las siguientes propuestas: Propuestas Vida útil (años) Precio de contado (um)

A 10 5000

B 12 5800

¿Cuál es la propuesta más conveniente dado un costo de oportunidad de 15% efectivo mensual?. RESPUESTA: A) con un costo anual equivalente a 996.26 um 20. Una empresa solicita a una entidad financiera un préstamo de 20000um para ser reembolsado en 2 años con cuotas uniformes cada 90 días, con una TEM de 2%. Durante el primer año, las cuotas deben ser equivalentes a 40% del préstamo, y durante el segundo año deben ser equivalentes a 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas durante el primer y segundo año. RESPUESTA: 2 315.12 um ; 4 404.20 um 21. Una deuda de 10000um se pactó para devolverse en 4 pagos bimestrales proporcionales a 2, 4, 6 y 8. Calcule el importe de cada pago con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. RESPUESTA: 1 191.94 um ; 2 383.89 um ; 3 575.83 um ; 4 767.77 um Cálculo de n en una anualidad vencida 22. ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de 2000 si se efectúan depósitos de 150um cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA de 24% con capitalización mensual?. RESPUESTA: 12.58 quincenas 23. ¿Por cuantos meses una persona debe depositar 250um cada fin de mes en un banco para acumular un monto de 2000um en la fecha del último depósito, si percibe una TEM de 3%?. RESPUESTA: 7.28 24. ¿En cuántas cuotas de 1576.14um pagaderas cada fin de mes podrá amortizarse un préstamo de 8000um? La entidad financiera cobra una TEM de 5%. RESPUESTA: 6

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Matemática Financiera 25. ¿Cuántas cuotas mensuales vencidas de 1650um son necesarias para cancelar un préstamo de 8500um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 24% anual con capitalización trimestral. RESPUESTA: 5.48 26. Con el objeto de retirar 800um cada 30 días, una persona deposita 10000um en un banco y gana una TEM de 2%. ¿Cuántos retiros podrá efectuar?. RESPUESTA: 14.53 27. Una máquina cuyo precio al contado es 5000um se compra a crédito. El 26 de mayo paga al contado 2000um y las cuotas de amortización de 1000um se pagan cada 30 días. ¿En qué fecha quedará cancelada totalmente la máquina, si se supone que los pagos se efectúan puntualmente y que la empresa que concedió al crédito carga una TEM de 5% sobre los saldos pendientes de pago?. RESPUESTA: 03 de setiembre Cálculo de i en una anualidad vencida 28. Por campaña escolar una casa comercial ofrece paquetes escolares en productos, por un importe de 1200um y cobra una cuota inicial de 200um y 11 cuotas mensuales de 120um. ¿Cuál es la tasa mensual de interés cargada?. RESPUESTA: 4.94% 29. Calcule la TEM de una anualidad de 20 rentas trimestrales vencidas de 4000 um cada una, cuyo valor presente es 28989.61um. RESPUESTA: 4% 30. Un préstamo de 3545.95um debe amortizarse con cuotas constantes mensuales vencidas. Se cuenta con las siguientes opciones: a. 4 cuotas de 1000um b. 6 cuotas de 698.61um ¿Qué TEM se aplicó en cada alternativa?. RESPUESTA: 5% 31. Una persona depositó 100um en su cuenta de capitalización de una administradora de fondos de pensiones (AFP), cada fin de mes durante 10 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informó que su fondo acumulado era 16247.34um. ¿Cuál fue la tasa efectiva anual que rindió sus depósitos?. RESPUESTA: 6% 32. Un préstamo de 15925.67um se reembolsa con doce cuotas: la primera de 8000um, al vencimiento del cuarto mes, y la segunda de 10000um, al vencimiento del octavo mes. Calcule la TEM aplicada al préstamo. El cálculo debe efectuarlo directamente, sin tantear ni interpolar. RESPUESTA: 2% 33. Un electrodoméstico tiene un precio al contado de 800um y a crédito lo ofrecen con una cuota inicial de 300um y el saldo amortizable en dos meses con cuotas mensuales de 300um. ¿Qué TEA está cargando en el financiamiento?. RESPUESTA: 336.51% 34. La compañía SIGA S.A. vende un artículo al contado en 150um, pero a crédito si se “carga a cuenta” lo ofrece para pagarlo sin cuota inicial y dos cuotas iguales de 90um que deben cancelarse dentro de 15 y 45 días cada una. ¿Qué TEM está cargándose en el programa de crédito?. RESPUESTA: 20.52%

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Matemática Financiera 35. Un automóvil Hyundai tiene un precio al contado de 11690um. A crédito puede adquirirse con una cuota inicial de 4642um y cuotas mensuales de 360um. Dado que el programa de crédito sea de 24 cuotas ¿Cuál es el efectivo mensual y anual del financiamiento?. RESPUESTA: 1.70% ; 22.39% 36. ¿Cuál es la TEM que está cargando el Banco Mercante por el financiamiento de un préstamo de 20000um, que debe cancelarse en el plazo de 4 meses con cuotas uniformes mensuales de 5380.54um?. RESPUESTA: 3%


¿Cuál es el monto y el interés ganado al depositar $1000 cada mes durante 10 años, en una cuenta bancaria que da el 8% anual capitalizable cada mes?

2.

Una familia desea empezar a ahorrar para realizar un viaje a Hawai. Se tiene pensado realizarlo dentro de 2 años. Con este fin se depositan $2700 cada fin de quincena en una cuenta que genera intereses a una tasa del 1.5% mensual capitalizable cada quincena. Obtenga el monto y los intereses ganados.

3.

Santiago depositó $5000 al final de cada trimestre durante 3 años. Si no realizó ningún retiro en todo este tiempo y su banco le abonaba el 1% mensual capitalizable cada trimestre, ¿cuál fue el valor futuro de la anualidad al cabo de 3 años? ¿Qué tanto de esa cantidad son intereses?

4.

Se depositan 3500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante ocho años y medio. Si no se realiza ningún retiro, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de interés es del 5.5% semestral capitalizable cada semestre.

5.

¿Qué cantidad se acumulará en 15 meses si se depositan $300 al finalizar cada semana en una cuenta bancaria que paga el 10% capitalizable cada semana?

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UNIDAD VI Tema: ANUALIDADES ANTICIPADAS Semana 12

MODELOSMATEMÁTICOS

ANUALIDADES ANTICIPADAS Modelo matemático

Se obtiene

𝑅 𝑅𝑎 = 1+𝑖

Renta anticipada en función de una renta vencida

𝑅 = 𝑅𝑎(1 + 𝑖) (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑆 = 𝑅𝑎(1 + 𝑖) [ ] 𝑖 𝑆 𝑖 [ ] 1 + 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑅𝑎 =

log [ 𝑛=

𝑆𝑖 + 1] 𝑅𝑎(1 + 𝑖) 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃 = 𝑅𝑎(1 + 𝑖) [ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝑅𝑎 =

𝑃 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 [ ] 1 + 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃𝑖 ] 𝑅𝑎(1 + 𝑖) 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

log [1 − 𝑛=−

Renta vencida en función de una renta anticipada

Valor futuro de una anualidad simple anticipada

Renta uniforme anticipada en función de S

Número de periodos de renta de una anualidad simple anticipada en función de S Valor presente anticipada

de

una

anualidad

simple

Renta uniforme anticipada en función de P

Número de periodos de renta de una anualidad simple anticipada en función de P


¿Qué monto puede acumularse durante 5 años consecutivos si se depositan 800um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos depósitos con una TNA de 20% capitalizable mensualmente? Solución:

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𝑺 = 𝑹𝒂 (𝟏 + 𝒊) [

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝒊

𝑺 = 𝟖𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕) [

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕)𝟔𝟎 − 𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕

𝑺 = 𝟖𝟐𝟕𝟔𝟑. 𝟑𝟒 𝒖𝒎 2.

Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 18 rentas uniformes trimestrales anticipadas de 2500um cada una, aplicando una TEM de 2%. Solución: 𝑷 = 𝑹𝒂 (𝟏 + 𝒊) [

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

𝑷 = 𝟐𝟓𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖) [

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖)𝟏𝟖 − 𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖)𝟏𝟖

𝑷 = 𝟐𝟖𝟒𝟔𝟕. 𝟎𝟕 𝒖𝒎 3.

Calcule el importe de la imposición uniforme anticipada que colocada cada mes en un banco, con una TEM de 2,5% durante el plazo de 5 años, permita acumular un fondo para reemplazar una máquina cuyo precio se estima al finalizar ese período en 36000um. Solución: 𝑹𝒂 =

𝑺𝒊 (𝟏 + 𝒊)[(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]

𝑹𝒂 =

𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟐𝟓) (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓)[(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓)𝟔𝟎 − 𝟏]

𝑹𝒂 = 𝟐𝟓𝟖. 𝟐𝟔 𝒖𝒎 4.

Un préstamo de 15000um debe cancelarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales anticipadas. El préstamo devenga una TEA de 18%. Calcule el importe de la cuota anticipada. Solución: 𝑹𝒂 =

𝑷𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 (𝟏 + 𝒊)[(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]

𝑹𝒂 =

𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑)(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑)𝟏𝟐 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑)[(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑)𝟏𝟐 − 𝟏]

𝑹𝒂 = 𝟏𝟑𝟒𝟔. 𝟗𝟖 𝒖𝒎 5.

¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de 2000um serán necesarias para cancelar un préstamo de 60000um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 20%, con capitalización trimestral.

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Matemática Financiera Solución: 𝒍𝒐𝒈 [ 𝒏=

𝒍𝒐𝒈 [ 𝒏=

𝑹𝒂(𝟏 + 𝒊) ] 𝑹𝒂(𝟏 + 𝒊) − 𝑷𝒊 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝟐𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟑𝟗𝟔𝟑𝟔) ] 𝟐𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟑𝟗𝟔𝟑𝟔) − 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟑𝟗𝟔𝟑𝟔) 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟑𝟗𝟔𝟑𝟔)

𝒏 = 𝟒𝟎. 𝟔𝟕 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

PROBLEMAS PROPUESTOS Monto de una anualidad simple anticipada 1.

En un cuatrimestre se efectúan depósitos de 1000um al inicio de cada mes, en un banco que remunera esos depósitos con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. ¿Qué monto se acumulará al final del cuarto mes?. RESPUESTA: 4 309.14 um

2.

El primer día útil de cada mes la compañía Prodinsa coloca en un banco 20% de sus excedentes de caja que ascienden a 500um. Si por dichos depósitos percibe una TEM de 3%, ¿Cuánto habrá acumulado al término del sexto mes?. RESPUESTA: 3 331.23 um

3.

Una persona deposita en una cuenta de ahorros a inicios de cada trimestre un importe constante de 2000um. ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años si percibe una TNA de 24% capitalizable trimestralmente?. RESPUESTA: 20 982.63 um

4.

¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos si se depositan 1000um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos depósitos con una TNA de 24% capitalizable mensualmente?. RESPUESTA: 53 034.25 um

5.

¿Cuál será el importe del monto al final del sexto mes, si se efectúan depósitos de 1000um a inicios de cada mes en una institución bancaria que paga una TNA de 36% con capitalización trimestral?. RESPUESTA: 6 642.60 um

6.

¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a inicios de mes y durante 8 meses consecutivos se depositó 800um en un banco que remunera a esos ahorros con una TEA de 12%?. RESPUESTA: 6 679.41 um

Valor presente de una anualidad simple anticipada 7.

El alquiler de un local comercial es 500um, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueño del local le propone al arrendatario efectuar un descuento en las cuotas mensuales, con una TEM de 4% en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un año. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados. RESPUESTA: 4 880.24 um

8.

Un crédito mutual que devenga una TNA de 36% capitalizable trimestralmente fue contratado para amortizarse con 20 imposiciones trimestrales uniformes de 250um. Al vencimiento de la imposición 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las

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Matemática Financiera cuotas insolutas. ¿Cuál es el importe total por cancelar en esa fecha?. RESPUESTA: 1 633.70 um 9.

¿Cuál es el pecio de contado equivalente de una máquina que se vende a crédito con 12 cuotas mensuales anticipadas de 200um cada una? El costo de oportunidad es una TEM de 2%. RESPUESTA: 2 157.37 um

10. Calcule el importe total del interés por pagar en la amortización d un préstamo pactado a un TEM de 4% durante medio año con imposiciones iguales mensuales de 500um. RESPUESTA: 274.09 um 11. Para la adquisición de una máquina se dispone de 20% de su precio de contado. El saldo será financiado por el mismo proveedor con 12 imposiciones iguales mensuales de 500um cada uno, con una TEM de 3%. Calcule el precio de contado equivalente de la máquina. RESPUESTA: 6 407.89 um 12. Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uniformes trimestrales anticipadas de 2000um cada una, aplicando una TEM de 1,5%. RESPUESTA: 27 045.03 um Renta uniforme anticipada en función de S 13. La compañía Jacobs tomó la decisión de adquirir, dentro de seis meses, una nueva camioneta para distribuir sus productos (se estima que el precio de la camioneta será 13000um). Para este efecto, decide ahorrar mensualmente, en ese plazo, una determinada cantidad uniforme al inicio de cada mes. Calcule el importe de la cuota constante anticipada que le permita formar dicho fondo a fines del sexto mes, sí sus ahorros perciben una TEM de 2%. RESPUESTA: 2 020.43 um 14. Se estima que dentro de 4 meses deberá adquirirse una máquina cuyo precio será 5000um. Si se empieza hoy, ¿Qué cantidad uniforme deberá depositarse cada 30 días durante ese período de tiempo, en un banco que paga una TEM de 1% a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?. RESPUESTA: 1 219.21 um 15. Calcule el importe de la imposición uniforme que colocada cada mes en un banco, con una TEM de 1,5% durante el plazo de 4 años, permita acumular un fondo para reemplazar una máquina cuyo precio se estima al finalizar ese período en 32000um. RESPUESTA: 453.20 um 16. Calcule el importe de la renta constante que colocada al inicio de cada trimestre durante 4 años permita constituir un monto de 20000um. La TEA aplicable es 12%. RESPUESTA: 974.15 um Renta uniforme anticipada en función de P 17. Un préstamo de 5000um debe cancelarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales anticipadas. El préstamo devenga una TEA de 24%. Calcule el importe de la cuota anticipada. RESPUESTA: 458.96 um 18. La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en 10000um, pero debido a que consiguió un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas a crédito con una cuota inicial y seis cuotas mensuales uniformes, todas iguales. Si la TEA que se piensa

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Matemática Financiera cargar al financiamiento es 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo. RESPUESTA: 1 509.49 um 19. La empresa Eletrofax dedicada a la venta de grupos electrógenos, con un precio al contado de 3000um, está planeando efectuar ventas al crédito sin cuota inicial y seis cuotas mensuales uniformes anticipadas cargando una TEM de 4%. ¿Cuál será el importe de cada cuota?. RESPUESTA: 550.27 um Cálculo de n en una anualidad anticipada 20. ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de 2000um, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de 150um? El banco paga una TNA de 24% capitalizable mensualmente. RESPUESTA: 12,47 quincenas 21. ¿Cuántos depósitos mensuales anticipados de 250um deben efectuarse en un banco para acumular un monto de 2000, si se percibe una TEM de 3%?. RESPUESTA: 7.09 22. ¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de 1650um serán necesarias para cancelar un préstamo de 8500um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 24%, con capitalización trimestral. RESPUESTA: 5.37 23. Un electrodoméstico tiene un precio de 1200um al contado. Para incrementar las ventas se piensa ofrecer a crédito sin cuota inicial y con cuotas mensuales iguales anticipadas de 100um. ¿Cuántas cuotas debe tener ese programa de crédito al que se le carga un TEM de 4%?. RESPUESTA: 15.78 Cálculo de i en una anualidad anticipada 24. Por campaña escolar, una casa comercial ofrece “paquetes escolares” por un importe de 1200um, que se amortizará en el plazo de un año con cuotas mensuales anticipadas de 120um cada una. ¿Cuál es la TEM cargada?. RESPUESTA: 3.5% 25. Una máquina puede adquirirse de contado en 2500um y a crédito con 6 cuotas iguales mensuales anticipadas de 450um. Calcule la TNA. RESPUESTA: 38.23%


¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros? La tasa de interés es del 7.35% anual capitalizable cada dos meses. Calcule el total de intereses ganados.

2.

¿Cuánto gana de intereses el señor Moreno si realiza 50 depósitos semanales anticipados de $300 cada uno, los cuales ganan un interés del 6.86% capitalizable cada semana?

3.

José Luis renta su departamento en $2500 mensuales anticipados. En cuanto recibe el dinero, lo invierte a una tasa de interés del 15% capitalizable en forma mensual. Si el arrendatario siempre pagó la renta por mes vencido, ¿qué pérdida le significo a José Luis en un año?

4.

Obtenga el precio de contado de cierta pieza de maquinaria por la que se hicieron 10 pagos mensuales consecutivos de $3559.80 cada uno. El primer pago fue de inmediato y la tasa de interés de la operación fue del 25.44% capitalizable cada mes. ¿Cuánto se pagó de intereses?

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UNIDAD VI Tema: ANUALIDADES DIFERIDAS Semana 13

MODELOSMATEMÁTICOS ANUALIDADES DIFERIDAS ANUALIDADES DIFERIDAS VENCIDAS Modelo matemático

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑆 = 𝑅[ ] 𝑖 𝑖 𝑅 = 𝑆[ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑛=

𝑆𝑖 log ( 𝑅 + 1) 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 𝑃 = 𝑅[ ][ ] 𝑛 (1 + 𝑖)𝑘 𝑖(1 + 𝑖) 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝑅 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑘 [ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑅 log [ ] 𝑅 − 𝑃𝑖(1 + 𝑖)𝑘 𝑛= 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖) 𝑅 1 log {𝑃𝑖 [1 − ]} (1 + 𝑖)𝑛 𝑘= 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

Valor futuro de una anualidad simple diferida vencida Renta uniforme diferida vencida en función de S Número de periodos de renta de una anualidad simple vencida en función de S. Valor presente vencida

(1 + 𝑖) − 1 𝑆 = 𝑅𝑎(1 + 𝑖) [ ] 𝑖 𝑆 𝑖 𝑅𝑎 = [ ] 1 + 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

log [ 𝑛=

𝑆𝑖 + 1] 𝑅𝑎(1 + 𝑖) 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 1+𝑖 𝑃 = 𝑅𝑎 [ ][ ] 𝑛 (1 𝑖(1 + 𝑖) + 𝑖)𝑘 (𝑖 + 𝑖)𝑘 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝑅𝑎 = 𝑃 [ ] [ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 + 𝑖 𝑅𝑎 log [ ] 𝑅𝑎 − 𝑃𝑖(1 + 𝑖)𝑘−1 𝑛= 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖) 𝑅𝑎[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] log { } 𝑃𝑖(1 + 𝑖)𝑛−1 𝑘= 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

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de una anualidad simple diferida

Renta uniforme diferida vencida en función de P Número de periodos de renta de una anualidad simple diferida vencida en función de P Número de periodos diferidos de una anualidad simple vencida en función de P

ANUALIDADES DIFERIDAS ANTICIPADAS Modelo matemático 𝑛

Se obtiene

Se obtiene

Valor futuro de una anualidad simple diferida anticipada Renta uniforme diferida anticipada en función de S Número de periodos de renta de una anualidad simple anticipada en función de S Valor presente de una anualidad simple diferida anticipada Renta uniforme diferida anticipada en función de P Número de periodos de renta de una anualidad simple diferida anticipada. Número de periodos diferidos en una anualidad simple diferida anticipada.




¿Cuál será el importe de un préstamo solicitado a un banco hoy, si el compromiso es pagar 1500um durante 10 trimestres, y se empieza a amortizar el préstamo dentro de medio año? El préstamo devenga una TEM de 1.5%. Solución:

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝟏 𝑷 = 𝑹[ ] [ ] (𝟏 + 𝒊)𝒌 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑷 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 [

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟑𝟕)𝟏𝟎 − 𝟏 𝟏 ][ ] 𝟏𝟎 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟑𝟕)𝟏 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟑𝟕(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟑𝟕)

𝑷 = 𝟏𝟏𝟑𝟏𝟐. 𝟖𝟑𝟔 2.

Al final de un horizonte temporal de 12 semestres, de los cuales, 4 son trimestres diferidos, se requiere acumular un monto de 20000um con cuotas uniformes trimestrales anticipadas. Estas cuotas uniformes serán depositadas en un banco que remunera los ahorros con una TEA de 12%. Calcule el importe de la cuota uniforme anticipada. Solución:

𝑹𝒂 =

𝑺𝒊 (𝟏 + 𝒊)[(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]

𝑹𝒂 =

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟕𝟑𝟕𝟑𝟒) (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟕𝟑𝟕𝟑𝟒)[(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟕𝟑𝟕𝟑𝟒)𝟐𝟎 − 𝟏]

𝑹𝒂 = 𝟕𝟑𝟐. 𝟖𝟔𝟐𝟒𝟑𝟔 3.

Calcule el importe de la cuota fija trimestral vencida a pagar en un financiamiento de 20000um, otorgado por una entidad financiera a una TEA de 18%, que debe amortizarse en 4 periodos trimestrales, de los cuales los dos primeros son diferidos. Solución:

𝑹=

𝑷𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 (𝟏 + 𝒊)𝒌 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝑹=

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟐𝟒𝟔𝟔𝟒)(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟐𝟒𝟔𝟔𝟒)𝟐 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟐𝟒𝟔𝟔𝟒)𝟐 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟐𝟒𝟔𝟔𝟒)𝟐 − 𝟏

𝑹 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓. 𝟗𝟎𝟏 4.

Si hoy se efectúa un depósito de 15000um, calcule el número de periodos diferidos mensuales a partir del cual podrá percibirse una renta vencida de 1200 mensual durante a 36 meses, a una TEM de 2.5%.

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Matemática Financiera Solución: 𝑹[(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏] ] 𝑷𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑳𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊)

𝑳𝒐𝒈 [ 𝑲=

𝑳𝒐𝒈 [ 𝑲=

𝟏𝟐𝟎𝟎[(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓)𝟑𝟔 − 𝟏] ] 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟐𝟓)(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓)𝟑𝟔 𝑳𝒐𝒈(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓)

𝑲 = 𝟐𝟓. 𝟔𝟔 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔

PROBLEMAS PROPUESTOS Monto de una anualidad simple diferida 1.

En la fecha se acordó acumular un monto durante el plazo de ocho meses, mediante depósitos en un banco de seis cuotas uniformes mensuales de 500um cada una, que devengaran una TEM de 3%. La primera de las seis cuotas uniformes se depositará dentro de tres meses y cada depósito posterior tendrá una periodicidad mensual. Calcule el monto de esa anualidad. RESPUESTA: 3 234.20 um Valor presente de una anualidad simple diferida

2.

Calcule el valor presente de una anualidad cuyo horizonte temporal se compone de 24 trimestres, de los cuales los 4 primeros son diferidos. El importe de cada renta uniforme trimestral vencida es 2500um, y la TEA aplicada es 15%. RESPUESTA: 30 741.09 um

3.

El proceso de fabricación e instalación de una máquina tendrá una duración de 5 meses. A partir del fin del sexto mes producirá una ganancia neta mensual de 500um durante 24 meses. ¿Cuál será el valor presente de dichos flujos, si se considera una TEM de 3% durante los primeros 5 meses y de 4% para los meses restantes?. RESPUESTA: 6 576.08 um

4.

El Hotel Maranga Inn estará terminado dentro de un año, fecha a partir de la cual se proyecta por 10 años tener ingresos netos mensuales de 2000um. Calcule el valor presente de esos flujos, una TEA de 20%. RESPUESTA: 91 282.76 um

5.

Calcule el importe mínimo con el que hoy debe abrirse una cuenta a una TEM de 2% que permitirá retirar nueve rentas mensuales consecutivas de 500um, la primera de las cuales se retira 90 días después de abrirse la cuenta. RESPUESTA: 3 922.64 um

6.

¿Cuál será el importe de un préstamo solicitado a un banco hoy, si el compromiso es pagar 1000um durante ocho trimestres, y se empieza a amortizar el préstamo dentro de medio año? El préstamo devenga una TEM de 1%. RESPUESTA: 6 804.60 um

7.

Calcule el precio de contado de una máquina que se vende a crédito con una cuota inicial de 30% y el saldo amortizable en 8 cuotas constantes mensuales vencidas de 800um, cuyo primer vencimiento será dentro de 3 meses. La TEM aplicable es 1.5%. RESPUESTA: 8 304.34 um

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Calcule de nuevo el valor presente del problema 7, si la ganancia neta mensual empieza a percibirse a inicios del sexto mes. RESPUESTA: 6 839.13 um

9.

Para cubrir las pensiones que demandarán la instrucción superior de su hijo, un padre de familia decide colocar hoy determinado capital con el objeto que dentro de tres años, al comienzo de cada mes, durante 5 años, le permita retirar 200um. SI la TEA que puede percibir en una entidad bancaria es 20%. ¿Cuál debe ser el importe del capital por colocar?. RESPUESTA: 4 591.08 um

10.

En una transacción comercial, un cliente conviene con su acreedor cancelar su deuda mediante un pago inicial de 2000um y 1000um al comienzo de cada mes empezando a inicios del sexto mes y durante 10 meses consecutivos. Si el cliente decidiese efectuar todo el pago al contado. ¿Qué importe debería cancelar si el acreedor ofrece aplicar como tasa de descuento una TEM de 3%?. RESPUESTA: 9 578.97 um

11.

Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 4 trimestres diferidos y 12 rentas trimestrales uniformes anticipadas con una TEM de 3%. La renta diferida anticipada debe ser equivalente a 2/3 de la renta vencida que se obtenga de un valor presente de 8000um, amortizable con 8 rentas uniformes semestrales vencidas, con una TEA de 24%. RESPUESTA: 5 681.72 um Renta uniforme diferida en función de S

12.

Al término de un horizonte temporal de 10 trimestres, de los cuales, 4 son trimestres diferidos, se requiere acumular un monto de 20000um con cuotas uniformes trimestrales vencidas. Estas cuotas uniformes serán depositadas en un banco que remunera los ahorros con una TEA de 12%. ¿Calcule el importe de la cuota uniforme?, RESPUESTA: 3 101.77 um

13.

Al final de un horizonte temporal de 12 semestres, de los cuales, 4 son trimestres diferidos, se requiere acumular un monto de 10000um con cuotas uniformes trimestrales anticipadas. Estas cuotas uniformes serán depositadas en un banco que remunera los ahorros con una TEA de 8%. Calcule el importe de la cuota uniforme anticipada. RESPUESTA: 406.03 um Renta uniforme diferida en función de P

14.

Calcule el importe de la cuota fija trimestral vencida a pagar en un financiamiento de 10000um, otorgado por una entidad financiera a una TEA de 20%, que debe amortizarse en 4 periodos trimestrales, de los cuales los dos primeros son diferidos. RESPUESTA: 5 863.28 um Cálculo de k y n en una anualidad simple diferida

15.

Calcule el número de periodos diferidos mensuales por otorgar en un financiamiento de 11166.33um, que genera una TEM de 5% para reembolsar con 8 cuotas mensuales vencidas de 2000um cada una. RESPUESTA: 3

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Si hoy se efectúa un depósito de 10000um, calcule el número de periodos diferidos mensuales a partir del cual podrá percibirse una renta vencida de 1000 mensual durante a 36 meses, a una TEM de 4%. RESPUESTA: 16

17.

Si hoy se efectúa un depósito de 10000um en un banco, calcule el número de periodos diferidos mensuales para percibir una renta mensual anticipada de 1000um durante 12 meses. Aplique una TEM de 2%. RESPUESTA: 4 Cálculo de i en una anualidad diferida

18.

Un préstamo de 10000um debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes trimestrales de 5544um. Si el primer pago debe efectuarse dentro de 9 meses. ¿Cuál es la TET cargada en el financiamiento?. RESPUESTA: 3%


Calcule el valor presente de una renta trimestral de $25000 durante 5 años, si el primer pago trimestral se realiza dentro de 2 años y la tasa de interés es del 3.35% trimestral capitalizable cada trimestre.

2.

¿Cuál es el valor actual y el monto de una serie de 10 pagos semestrales consecutivos de $150000, el primero dentro de un año y medio, si la tasa de interés es del 20% capitalizable cada semestre?

3.

Con el fin de construir un edificio destinado a renta de oficinas, el señor Saucedo obtiene un préstamo por $150000000, que se va a liquidar mediante 100 pagos mensuales vencidos, después de un periodo de gracia de un año y medio en el cual los intereses serán capitalizados. Calcule el pago mensual sabiendo que la tasa de interés es del 16% con capitalización mensual.

4.

Un rancho valuado en $3800000 se vende mediante un enganche de $1000000. El comprador acuerda pagar el saldo mediante 20 pagos bimestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses. Encuentre el valor del pago bimestral si la tasa de interés es del 17% capitalizable cada bimestre.

5.

Raimundo tiene actualmente 15 años de edad y es el beneficiario de un seguro de vida por $600000. Según las condiciones estipuladas en la póliza, el dinero lo recibirá en 6 pagos semestrales iguales, el primero de ellos cuando cumpla 18 años. Si el dinero se encuentra invertido al 12% capitalizable cada semestre, calcule el valor del pago semestral.

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UNIDAD VI Tema: ANUALIDADES PERPETUAS Semana 14

MODELOS MATEMÁTICOS PERPETUIDADES Modelo matemático

1 𝑃 = 𝑅[ ] 𝑖 𝑅 = 𝑃𝑖 1 𝑃 = 𝑅𝑎(1 + 𝑖) [ ] 𝑖 𝑖 𝑅𝑎 = 𝑃 [ ] 1+𝑖 1 𝑃 = 𝑅𝑎 + 𝑅 [ ] 𝑖 1 1 𝑃 = 𝑅[ ][ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑘 1 1+𝑖 𝑃 = 𝑅𝑎 [ ] [ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑘

Se obtiene Valor presente de una perpetuidad simple vencida Valor de la renta perpetua vencida Valor presente anticipada

de

una

perpetuidad

simple

Valor de la renta perpetua anticipada Valor presente de una perpetuidad simple anticipada cuya renta inicial es distinta de las demás. Valor presente de una perpetuidad simple vencida diferida k periodos. Valor presente de una perpetuidad anticipada diferida k periodos.

simple


Una empresa decidió efectuar la donación de una renta perpetua mensual de 500um a una institución religiosa. Para estos efectos adquirió un determinado importe en bonos del tesoro que redimen indefinidamente una TEA de 8% con pago de interés cada fin de mes. ¿A cuánto debe ascender la inversión en dichos bonos para que los intereses mensuales cubran el importe de la donación? Solución:

𝟏 𝑷 = 𝑹[ ] 𝒊 𝑷 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 [

𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟒𝟒𝟓𝟏𝟒

𝑷 = 𝟖𝟎𝟑𝟓𝟐. 𝟔𝟔𝟓𝟏 2.

Calcule el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestral anticipada es de 800um. La TEA aplicable es 24%. Solución:

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Matemática Financiera 𝟏 𝑷 = 𝑹𝒂 (𝟏 + 𝒊) [ ] 𝒊 𝑷 = 𝟖𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟓𝟐𝟓𝟎𝟏𝟓) [

𝟏 ] 𝟎. 𝟎𝟓𝟓𝟐𝟓𝟎𝟏𝟓

𝑷 = 𝟏𝟓𝟐𝟕𝟗. 𝟓𝟗𝟗𝟓 3.

Calcule el importe de la renta perpetua anticipada mensual que puede adquirirse con un capital de 30000um que devenga una TEA de 18%. Solución:

𝑹𝒂 =

𝑷𝒊 𝟏+𝒊

𝑹𝒂 =

𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑) 𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟖𝟖𝟖𝟒𝟑

𝑹𝒂 = 𝟒𝟏𝟎. 𝟗𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐 4.

Calcule la TEA aplicada a una perpetuidad cuyas rentas mensuales vencidas son de 1200um y su valor presente es 35000um. Solución:

𝒊=

𝑹 𝑷

𝒊=

𝟏𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎

𝒊 = 𝟑. 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟑%𝑻𝑬𝑴 𝟑𝟔𝟎

𝟑. 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟑 𝟑𝟎 𝒊 = [(𝟏 + ) − 𝟏] 𝒙𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 ′

𝒊′ = 𝟒𝟗. 𝟖𝟔𝟎𝟐𝟎𝟐𝟐%𝑻𝑬𝑨

PROBLEMAS PROPUESTOS Valor presente de una perpetuidad simple vencida 1.

La garita de peaje a Pucusana recauda mensualmente el importe de 10000um en promedio ¿Cuál es el valor presente de esas rentas perpetuas si se descuentan con una TEM de 0,5%?. RESPUESTA: 2 000 000 um

2.

La banca de inversiones ofrece una tasa de rentabilidad efectiva mínima anual de 8% por sus captaciones de recursos. Con el fin de obtener esa tasa de rentabilidad, un empresario ofrece en venta su empresa a un precio base de 100000um. El promedio

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Matemática Financiera de las utilidades netas rendidas por esa empresa en los 5 últimos años fue 6000um anual. Si usted fuera inversionista, con la información proporcionada, ¿Hasta qué precio pagaría por la empresa que se encuentra en venta?. RESPUESTA: 75 000 um 3.

Calcule el valor presente de una renta perpetua trimestral vencida de1000um, con una TEM de 1%. RESPUESTA: 33 002.21 um

4.

Una empresa decidió efectuar la donación de una renta perpetua mensual de 500um a una institución religiosa. Para estos efectos adquirió un determinado importe en bonos del tesoro que redimen indefinidamente una TEA de 8% con pago de interés cada fin de mes. ¿A cuánto debe ascender la inversión en dichos bonos para que los intereses mensuales cubran el importe de la donación?. RESPUESTA: 77 711.72 um

5.

Un hostal que en la fecha se piensa vender, desde hace varios años viene produciendo una renta neta mensual de 2000um. Se espera que esta renta se mantenga estable por muchos años más. Un grupo económico interesado en adquirirla exige a sus inversiones una tasa efectiva de rentabilidad anual de 20%. Con una información, ¿hasta cuánto podría ofrecerse para adquirir el hostal?. RESPUESTA: 130 638.09 um Valor presente de una perpetuidad simple anticipada

6.

calcule el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestral anticipada es de 300um. La TEA aplicable es 20%. RESPUESTA: 6 732.91 um Valor presente de una perpetuidad simple anticipada cuya renta inicial es distinta de las demás

7.

Las entidades perceptoras de donaciones pueden emitir certificados de donación, cuyos importes se consideran como pago a cuenta de impuestos. Para acogerse en este beneficio, el directorio de la fundación GBM y asociados decidió donar en la fecha al Instituto Americano de Dirección de Empresas, una suma de 8000um y de allí en adelante un importe anual de 5000um, de forma indefinida. ¿Cuál será el valor presente de la donación, con una TEA de 12%?. RESPUESTA: 49 666.67 um

8.

El testamento de una persona recién fallecida establece una donación para un asilo de ancianas de 3000um, inmediatamente después de su deceso, y de allí anualmente 2000um, de forma indefinida ¿Cuál es el valor actual de la donación, si se considera una TEA de 10%?. RESPUESTA: 23 000 um Valor presente de una perpetuidad simple diferida vencida

9.

Una compañía dueña de un pozo petrolero con reservas de explotación probadas para un plazo mayo de 100 años tiene una utilidad neta que en promedio asciende a 84000um anualmente. Calcule el valor presente del pozo con el objeto de venderlo, dado que en los próximos tres años no habrá ingresos por utilidad debido a que en ese plazo se renovara sus equipos. La compañía percibe por sus inversiones una TEA de 15%. RESPUESTA: 368 209.09 um Valor presente de una perpetuidad simple diferida anticipada

10.

Un asilo de ancianos consiguió una donación de 8000um anual, de forma indefinida, la misma que se percibirá a inicios de cada año, pero después de haber transcurrido 48 meses contados a partir de hoy. ¿Cuál es el valor presente se esa donación, si se considera una Tea de 8%?. RESPUESTA: 79 383.22 um

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Matemática Financiera Valor presente de una perpetuidad simple cuyas rentas se realizan cada cierto número de periodos de tasa 11.

El tramo de la carretera Costa Verde que une San Miguel con Magdalena tuvo un costo original de 100000um. Se estima que el carril de la pista pegada al mar deberá remplazarse cada 5 años a un coto de 40000um. Calcule el importe que debió depositarse en una institución que paga una TEA de 8% en la fecha en que se inauguró el tramo San Miguel-Magdalena, para asegurar a perpetuidad los remplazos futuros de la pista que el mar permanentemente erosiona. RESPUESTA: 85 228.23 um

12.

Un molino de viento que se utiliza en el bombeo de agua para el regadío de tierras de sembradío tuvo un costo de 90000um. Se estima que será necesario remplazarlo cada 10 años con un costo de 30000um. Calcule el importe que habrá que depositarse en un fondo a una Tea de 6% para asegurar indefectiblemente los remplazos futuros del molino. RESPUESTA: 37 933.98 um Rentas de una perpetuidad Rentas de una perpetuidad vencida

13.

Con una TEM de 4%, convierta una renta perpetua vencida mensual de1000um en una reta constante vencida temporal de 20 meses. RESPUESTA: 1 839.54 um

14.

Calcule el importe de la renta perpetua mensual vencida que puede comprarse en Bonos de Gobierno con un importe de 10% con pago mensual de intereses. RESPUESTA: 159.48 um

15.

El valor presente de una perpetuidad compuesta de rentas mensuales vencidas es 10000um. Calcule el importe de cada renta, con una Tea de 20%. RESPUESTA: 153.09 um Renta perpetua anticipada

16.

Calcule el importe de la renta perpetua anticipada mensual que puede adquirirse con un capital de 25000um que devenga una Tea de 6%. RESPUESTA: 121.10 um

17.

Con una TEM de 4%, convierta una renta perpetua anticipada mensual de 1000um en una anualidad equivalente cierta temporal de 20 rentas constantes bimestrales vencidas. RESPUESTA: 2 679.77 um Calculo de i en una perpetuidad

18.

Calcule la TEA aplicada a una perpetuidad cuyas rentas mensuales vencidas son de 100um y su valor presente es 8000um. RESPUESTA: 16.08%

19.

Calcule la Tea que debe aplicarse a un capital inicial de 10000um para que rinda una renta perpetua trimestral anticipada de 300um. RESPUESTA: 12.96%


El testamento de la señora Julia Gómez establece que una parte de su fortuna se invertirá de modo que el centro de investigación de fenómenos paranormales reciba a perpetuidad, la cantidad de $150000 cada fin de año. Si la tasa promedio de interés en el mercado financiero es del 11.4%, halle el valor actual de la donación.

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¿Cuánto puede retirar cada bimestre y por tiempo indefinido el señor Rizo, si se le depositan $500000 en un banco que paga un interés del 12% anual?

3.

¿Qué cantidad de dinero es necesario depositar en un fideicomiso con el fin de otorgar una beca perpetua para estudios de maestría, que cuesta $45000 al semestre, suponiendo una tasa de interés del 10.2% anual?

4.

Cierta persona legó $720000 a un asilo de ancianos para que cada fin de trimestre reciba una cantidad fija para su mantenimiento. Si la tasa de interés es del 3% trimestral, ¿cuánto recibirá trimestralmente el asilo?

5.

¿Cuál es la renta mensual que se debe cobrar por una casa que tiene un valor de $378000, si se desea obtener una tasa de rendimiento del 8% anual?

UNIDAD VII Tema: SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE DEUDAS Semana 15

FONDO DE AMORTIZACIÓN FONDOS DE AMORTIZACIÓN Modelo matemático  1  i  n  1 SR  i    1  i  n  1 S  Ra 1  i    i  

Se obtiene El valor del fondo de amortización con cuotas vencidas El valor del fondo de amortización con cuotas anticipadas


En un plazo de 360 días se necesita acumular un fondo de 30000um con cuotas trimestrales anticipadas uniformes. Prepare la tabla de acumulación si el fondo devenga una TET de 0.02. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo? Solución:

𝑹𝒂 =?

𝑰 =?

𝑺 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒊 = 𝟎. 𝟎𝟐

𝑹𝒂 =

𝑺𝒊 (𝟏 + 𝒊)[(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]

𝑹𝒂 =

𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟐) = 𝟕𝟏𝟑𝟓. 𝟗𝟗 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)[(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)𝟒 − 𝟏]

Pág. 88

𝒏=𝟒

𝑰 = 𝑺 − 𝑹𝒂 . 𝒏


Matemática Financiera 𝑰 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟕𝟏𝟑𝟓. 𝟗𝟗(𝟒) = 𝟏𝟒𝟓𝟔. 𝟎𝟑 La tabla de amortización es:

M 0 1 2 3 4

N° 1 2 3 4

TOTAL 2.

CUOTA 7135.99 7135.99 7135.99 7135.99

INT. DEV 0.0 142.7 288.3 436.8 588.2

28543.96

C+INT DEV 7136.0 7278.7 7424.3 7572.8 588.2

FONDO 7136.0 14414.7 21839.0 29411.8 30000.0

1456.03

Prepare la tabla de acumulación de un fondo de amortización para formar un monto de 10000um con depósitos uniformes vencidos mensuales en el plazo de 4 meses; estos depósitos perciben una TEM de 0.01. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo? Solución:

𝑹 =?

𝑰 =?

𝑺 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑹=

𝑺𝒊 [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]

𝑹=

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟏) = 𝟐𝟒𝟔𝟐. 𝟖𝟏 [(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏)𝟒 − 𝟏]

𝒊 = 𝟎. 𝟎𝟏

𝒏=𝟒

𝑰 = 𝑺 − 𝑹𝒂 . 𝒏

𝑰 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟒𝟔𝟐. 𝟖𝟏(𝟒) = 𝟏𝟒𝟖. 𝟕𝟔 La tabla de amortización es:

M

N° 0 1 2 3 4

CUOTA 0 1 2 3 4

TOTAL

INT. DEV

2462.81 2462.81 2462.81 2462.81

24.63 49.50 74.63

9851.24

148.76

C+INT DEV 2462.81 2487.44 2512.31 2537.44

FONDO 2462.81 4950.25 7462.56 10000.00

PROBLEMAS PROPUESTOS FONDO DE AMORTIZACION CON CUOTAS ANTICIPADAS 1.

En un plazo de 2 años se necesita acumular un fondo de 50000um con cuotas trimestrales anticipadas uniformes. Prepare la tabla de acumulación si el fondo devenga una TET de 2.5%. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo?

Pág. 89



En un plazo de año y medio se requiere acumular un fondo de 70000um con cuotas trimestrales anticipados uniformes. Prepare la tabla de acumulación si el fondo devenga una TEM de 0.01 ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo? FONDO DE AMORTIZACIÓN CON CUOTAS ANTICIPADAS Y TASA NOMINAL CAPITALIZABLE.

3.

Un fondo de amortización devenga una TNA de 0.08 capitalizable mensualmente. Prepare la tabla de acumulación de un fondo de 50000um en el periodo de 540 días con cuotas trimestrales anticipadas. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo? FONDO DE AMORTIZACIÓN CON CUOTAS VENCIDAS

4.

Prepare la tabla de acumulación de un fondo de amortización para formar un monto de 20000um con depósitos uniformes vencidos mensuales en el plazo de 4 meses; estos depósitos perciben una TEM de 2%. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo?

5.

Un fondo de amortización cuya fecha de inicio es el 15 de marzo debe acumular un monto de 40000um con 8 cuotas vencidas, cada una de las cuales vence cada 30 días. Prepare la tabla de acumulación del fondo si este devenga una TET de 0.03. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por las cuotas del fondo?

6.

Una empresa de arrendamiento financiero decidió redimir dentro de dos años los bonos emitidos en su cuarta serie, que implicará un desembolso de 800000um. Para cumplir este objetivo durante dos años efectuará depósitos bimestrales vencidos a un fondo de amortización que devenga una TET de 0.03. Calcule la cuota uniforme del fondo y prepare su tabla de acumulación.

7.

La compañía Cursi emitirá bonos por 500000um redimibles al término de dos años, los mismos que devengarán una TEA de 0.04 con pagos de interés al final de cada trimestre. a) Calcule el importe del capital que depositado en un banco permitirá cubrir el pago de los intereses trimestrales de la emisión de los bonos hasta que se rediman. Este depósito devenga una TEA de 0.07. b) Para redimir los bonos en la fecha de su vencimiento, se acumulará un fondo de 500000um con cuotas uniformes trimestrales vencidas durante el plazo de dos años. Prepare la tabla de acumulación del fondo que devenga una TEA de 0.06.

8.

Una empresa desea acumular un fondo de 19510.76 con un depósito inicial de 8000um al que adicionará 500um cada 30 días durante el plazo de un año. ¿Cuánto es el saldo del último pago si decide que el fondo que devenga una TEA de 0.07 debe acumularse al final del mes 12? Formule la tabla de acumulación del fondo. FONDO DE AMORTIZACIÓN CAPITALIZABLE

9.

CON

CUOTAS

VENCIDAS

Y

TASA

NOMINAL

Prepare la tabla de acumulación de un fondo de amortización para formar un monto de 60000um con depósitos uniformes vencidos mensuales en el plazo de medio año; estos depósitos devengan una TNM de 0.01 capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto es el importe del interés devengado por el fondo en el último período de cuota?

Pág. 90


Matemática Financiera 10. Para un programa de financiamiento con la emisión de bonos por importe de 1000000um que devenga una TNA de 0.08 con capitalización y pago de interés trimestral, redimibles dentro de 5 años, se requiere conocer: a) El importe del principal que colocado en el momento cero en una cuenta a una TEA de 0.1 asegure el pago de intereses trimestrales de los bonos hasta la fecha en que sean redimidos. b) EL importe de las cuotas uniformes semestrales vencidas que colocadas durante un plazo de 5 años, en una cuenta a una TEA de 0.09 acumulará el fondo necesario para redimir los bonos a su vencimiento. CALCULO DE n EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN CON CUOTAS UNIFORMES ANTICIPADAS. 11. ¿Cuántas cuotas uniformes mensuales anticipados de 5000um deben depositarse en un fondo de amortización que devenga una TEM de 0.01; para acumular un monto de 52834.17um? Formule la tabla de acumulación del fondo. 12. Un fondo de amortización devenga una TEA de 0.06. ¿Cuántos depósitos anticipados bimestrales de 4000um deben realizarse para que ese fondo ascienda a 29114.58? Formule la tabla de acumulación del fondo. CALCULO DE n EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN CON CUOTAS UNIFORMES VENCIDAS. 13. Para comprar una maquina cuyo precio está previsto en 4093.96um, una empresa decidió acumular un fondo con depósitos mensuales vencidos de 500um en un banco que los remunera con una TET de 0.02. ¿Cuántos depósitos serán necesarios para acumular dicho monto? Prepare la tabla de acumulación del fondo. 14. Una empresa mayorista cuyas ventas de mostrador son al contado, ha recibido una proforma para comprar una máquina cuyo precio al contado es 4014.68um con una vigencia de tres meses. La empresa para tal fin puede generar flujos de caja de 400um cada seis días y depositarlos en un banco que remunera esos ahorros con una TEA de 0.05. ¿Con cuántas cuotas podrá acumular un importe igual al precio de contado de la máquina? Formule la tabla de acumulación.

TAREA DOMICILIARIA 15. Un industrial mayorista confeccionista textil, compró al crédito 3 máquinas por las que debe pagar en el plazo de medio año cuotas mensuales de 6800um. Todas las ventas de su producción diaria se efectúan al contado, por lo que decidió depositar en un banco cada tres días un importe uniforme que le permita cancelar las cuotas mensuales. Calcule el importe de cada depósito y formule la tabla de acumulación del fondo; utilice una TEA de 0.05. 16. En el plazo de dos años se requiere acumular un monto de 3000um con depósitos quincenales vencidos, en un fondo que devenga una TEA de 0.08. calcule el importe de la cuota uniforme que acumulará ese fondo y determine cuánto se acumuló al vencimiento del octavo mes. 17. ¿Cuántos pagos quincenales vencidos de 370um serán necesarios para acumular un fondo de 3362.56um que devenga una TEA 0.06? Formule la tabla de acumulación del fondo cuya fecha de inicio es el 15 de julio.

Pág. 91


Matemática Financiera 18. Una empresa uniformes S.A. decidió acumular un fondo para cambiar sus máquinas manuales por otras automatizadas cuyos precios serán de 12017.33um. En la planeación financiera realizada se determinó que dicha empresa generará para ese fin, flujos de caja mensuales vencidos de 800um que depositados en un banco devengarán una TEA de 0.06 y; además estima que el valor de remate de sus actuales máquinas en la fecha que decida renovarlas no serán inferior a 3000um, ¿en qué fecha podrá renovar su maquinaria textil si el fondo de amortización se inicia el 20 de marzo?

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS MODELOS MATEMÁTICOS AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Modelo matemático  i 1  i  n  RP   n  1  i   1 

A k  R 1  i 

k 1 n

 

 i 1  i  n  k 1 n  Ik P   1  1  i  n    1  i   1 

Ra 

Valor de la cuota uniforme vencida Valor de la cuota principal en función de la cuota uniforme

k 1 n

 i 1  i  n  k 1 n A k  P  1  i  n  1  i   1  I k  R 1  1  i  

Se obtiene

n P  i 1  i     1  i  1  i  n  1

n 1   i 1  i  PB  PN 1   n 1  1  i   1

Valor de la cuota principal en función del préstamo Valor de la cuota interés en función de la cuota uniforme Valor de la cuota interés en función del préstamo Valor de la cuota uniforme anticipada Valor del préstamo bruto

PROBLEMAS PROPUESTOS SISTEMA DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS CON CUOTAS UNIFORMES VENCIDAS EN PERIODOS UNIFORMES 1.

2.

Prepare la tabla de amortización de un préstamo de 50000um que devenga una TEA de 0.17, se desembolsa el 23 de agosto y se amortiza en el plazo de un año con cuotas uniformes que vencen cada 60 días. Prepare la tabla de amortización de un préstamo de 8000um que devenga una TNA de 0.24 capitalizable mensualmente y se amortiza en el plazo de un año con cuotas uniformes que vencen cada 45 días.

Pág. 92



Una empresa solicita a un banco un préstamo de 20000um que devenga una TEM de 0.02, para amortizar en el plazo de dos años con cuotas uniformes trimestrales vencidas. La suma de las cuotas principal debe ser: en el primer año igual al 40% del préstamo y durante el segundo año igual al 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas uniformes durante el primer y segundo año y formule la tabla de amortización.

CUOTA PRINCIPAL EN FUNCIÓN DE R 4.

Calcule el importe de la sexta, séptima y octava cuota principal de un préstamo que devenga una TEM de 0.01 amortizable en el plazo de 3 años con cuotas uniformes trimestrales vencidas de 2000um. Prepare la tabla de amortización y compruebe su respuesta.

5.

Un préstamo que devenga una TEM de 0.01 debe ser amortizado en el plazo de dos años con cuotas uniformes de 5000um que deben pagarse cada 60 días. Calcule el importe de la cuota principal correspondiente a la décima cuota. Compruebe su respuesta con la formulación de la tabla de reembolso.

6.

Calcule la cuota uniforme de un préstamo que devenga una TET de 0.03 amortizable en el plazo de año y medio con cuotas uniformes trimestrales vencidas, cuya quinta cuota principal es 2000um. Compruebe su respuesta con la formulación de la tabla de reembolso.

7.

Un préstamo que se amortiza con cuotas uniformes mensuales vencidas de 82424.08 devenga una TEM de 0.01. calcule el número de cuotas de ese préstamo si su cuarta cuota principal asciende a 80000um. Prepare la tabla de amortización del préstamo.

CUOTA PRINCIPAL EN FUNCIÓN DE P 8.

Calcule la duodécima cuota principal de un préstamo de 10000um que devenga una TEA de 0.24 y se amortiza en el plazo de año y medio con cuotas uniformes mensuales vencidas. Compruebe su respuesta con la formulación de la tabla de amortización

9.

Obtenga la sexta cuota principal de un préstamo de 6000um que devenga una TNM de 0.02 capitalizable bimestralmente durante el plazo de 2 años amortizable con cuotas uniformes que vencen cada 90 días. Compruebe su respuesta con la formulación de la tabla de amortización.

10. Se requiere conocer el importe de la quinta cuota principal de un préstamo; para obtener este dato se tiene la siguiente información: préstamo 40000um; TNM de 0.18 capitalizable trimestralmente; el número de cuotas uniformes semestrales vencidas es 8. Compruebe su respuesta con la tabla de amortización del préstamo. 11. La sexta cuota principal de un préstamo amortizable en el plazo de 2 años con cuotas uniformes trimestrales vencidas es 2000um. Calcule el importe del préstamo que devenga una TNA de 0.24 con capitalización diaria. Compruebe su respuesta con la tabla de amortización del préstamo.

Pág. 93


Matemática Financiera 12. La tercera cuota principal de un préstamo que se amortiza con cuotas uniforme mensuales vencidas de 51515.05um, asciende a 50000um. Calcule el número de cuotas de ese préstamo que devenga una TEM 0.01. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN DE DEUDAS CON CUOTAS UNIFORMES ANTICIPADAS EN PERIODOS UNIFORMES CONVERSIÓN DE UN SISTEMA DE CUOTAS UNIFORMES VENCIDAS EN ANTICIPADAS 13. Un préstamo que devenga una TEM de 0.01 se cancela con cinco cuotas mensuales uniformes vencidas de 2000um cada una. Convierta ese préstamo en un sistema de cuotas uniformes anticipadas y formule su tabla de amortización. 14. Un préstamo que devenga una TEM de 0.01 se cancela con cinco cuotas mensuales uniformes anticipadas de 1980.20um cada una. Convierta ese préstamo en un sistema de cuotas uniformes vencidas y formule su tabla de amortización. CUOTAS UNIFORMES ANTICIPADAS EN PERÍODOS UNIFORMES 15. Un préstamo de 38454.44um desembolsado el 18 de marzo devenga una TEM de 0.01 y se amortiza con cinco cuotas uniformes bimestrales. a) ¿Cuánto es el importe de la cuota anticipada y el importe neto que recibió el prestatario? b) ¿En qué fecha quedará cancelado el préstamo? c) Prepare la tabla de amortización del préstamo con cuotas uniformes anticipadas y compare los resultados con el sistema de cuotas uniformes vencidas. 16. Calcule el importe de la cuota uniforme anticipada mensual de un préstamo de 4000um que genera una TEM de 0.01 y se amortiza con 8 cuotas anticipadas; ¿en cuántos días se cancela el préstamo? Prepare la tabla de amortización del préstamo. PRÉSTAMO BRUTO CON CUOTAS UNIFORMES ANTICIPADAS Cálculo del préstamo bruto 17. Una empresa necesita un financiamiento de 10000um el cual puede obtenerlo de una institución crediticia bajo el sistema de cuotas uniformes mensuales anticipadas con una TEM de 0.01. Si el préstamo debe cancelarse con 12 cuotas anticipadas: a) ¿Cuánto es el importe del préstamo bruto que permite obtener el importe neto de 10000um? b) ¿Cuánto es el importe de la cuota uniforme? c) ¿En cuántos días y en qué fecha se cancela el préstamo si fue otorgado el 3 de abril? Elabore la tabla de amortización de la deuda.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUOTAS UNIFORMES ANTICIPADAS

Pág. 94


Matemática Financiera 18. ¿Con cuántas cuotas mensuales anticipadas de 6000um se amortiza un préstamo de 46369.17um que devenga una TEM de 0.01? Formule la tabla de amortización del préstamo que fue otorgado el 20 de marzo. ¿Cuántos días de duración tiene el préstamo? 19. Un préstamo de 70000um que fue otorgado el 20 de marzo devenga una TEM de 0.01. a) ¿Con cuántas cuotas uniformes anticipadas de 8000um se amortiza el préstamo? b) ¿Cuánto es el importe de la última cuota? Con este dato formule su tabla de amortización y especifique la fecha de vencimiento del préstamo.

UNIDAD VIII Tema: DEPRECIACIÓN Semana 16

MODELOS MATEMÁTICOS DEPRECIACIÓN LÍNEA RECTA Depreciación total

𝐷𝑡 = 𝐶 − 𝑆 𝐷𝑡 𝐷= 𝑛 𝐶−𝑆 𝐷= 𝑛

Depreciación anual C: Costo inicial del activo S: Valor de salvamento n: vida útil del activo

UNIDADES PRODUCIDAS

𝐵 =𝐶−𝑆 𝐷⁄𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣 =

𝐵 𝑛

𝐷𝑎 = 𝑈𝑛𝑖𝑑. 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑. 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 × 𝐷⁄𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣.

Base de depreciación C: Costo inicial del activo S: Valor de salvamento 𝐷 ⁄𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣: Depreciación por unidad o servicio. 𝑛 : Vida útil del activo para efectos de producción o servicio. Depreciación anual (𝐷𝑎)

SUMA DE DIGITOS

∅=

𝑛(𝑛 − 1) 2

𝐷𝑘 = [

𝑛−𝑘+1 ] (𝐶 − 𝑆) ∅

Pág. 95

Suma de dígitos de la vida útil del activo (∅) 𝑛 : Vida esperada del activo. 𝐷𝑘 : Cargo anual o depreciación anual 𝑛 : Vida esperada del activo 𝑘 : Año en que se calcula el cargo anual 𝐶 : Costo original del activo 𝑆 : Valor de salvamento ∅ : Suma de dígitos de la vida útil del activo




Se compra una máquina en $530000.00 y se calcula que su vida útil será de 6 años. Si se calcula que tendrá un valor de desecho de $53000.00, encuentre la depreciación total, la depreciación anual y elabore la tabla de depreciación. Solución: a) Depreciación total 𝐷𝑡 = 𝐶 − 𝑆 = 530000 − 53000 = 477000 b) Depreciación anual 𝐷𝑎 =

𝐷𝑡 477000 = = 79500 𝑛 6

c) Tabla de depreciación

DEPRECIACIÓN - LÍNEA RECTA Costo de adquisición ( C )

530000.00

Valor de salvamento ( S )

53000.00

Vida útil ( n )

2.

6

Fin de año

Depreciación

Depreciación

Valor en

(h)

Anual

acumulada

libros

0

0.00

0.00

530000.00

1

79500.00

79500.00

450500.00

2

79500.00

159000.00

371000.00

3

79500.00

238500.00

291500.00

4

79500.00

318000.00

212000.00

5

79500.00

397500.00

132500.00

6

79500.00

477000.00

53000.00

Una compañía arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla, con un costo de $152000.00. La empresa calcula que la vida útil del automóvil para efectos de arrendamiento es de 60000 km y que, al cabo de ellos, el valor de desecho de la unidad será de $62000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3 primeros años fue: Año Kilómetros 1 24000 2 22000 3 14000 a) Determinar el monto de depreciación por kilómetro recorrido. b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente. Solución: a) Depreciación por unidad o servicio 𝐷 ⁄𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 =

Pág. 96

𝐶 − 𝑆 152000 − 62000 = = 1.5 $/𝑘𝑚 𝑛 60000


Matemática Financiera b) Tabla de depreciación DEPRECIACIÓN - UNIDADES DE PRODUCCIÓN Costo de adquisición (C)

152000.00

Valor de salvamento (S)

62000.00

Base de depreciación

Vida útil en unidades producidas o servicio (n)

60000 km

Depreciación

Depreciación

Valor en

(h)

Unid / Servicio

Depreciación por Unid / Servicio

anual

acumulada

libros

0

0

0

1

24000

2

22000

3

14000

Fin de año

3.

1.500000

0.00

0.00

152000.00

1.5000000

36000.00

36000.00

116000.00

1.5000000

33000.00

69000.00

83000.00

1.5000000

21000.00

90000.00

62000.00

Un camión para el transporte urbano que cuesta $1280000.00 se espera que tenga una vida útil de 7 años y un valor de salvamento de $150000.00 al final de ese tiempo. Elabore la tabla de depreciación usando el método de la suma de dígitos. Solución: Tabla de depreciación

DEPRECIACIÓN - SUMA DE DÍGITOS Costo de adquisición (C)

1280000.00

Valor de salvamento (S)

150000.00

Vida útil ( n )

1130000.00

Denominador de la fracción

28

7

Fin de año

Pág. 97

Base de depreciación

(h)

Fracción

0

0

1

Depreciación

Depreciación

Valor en

anual

acumulada

libros

0.00

0.00

1280000.00

0.25

282500.00

282500.00

997500.00

2

0.214285714

242142.86

524642.86

755357.14

3

0.178571429

201785.71

726428.57

553571.43

4

0.142857143

161428.57

887857.14

392142.86

5

0.107142857

121071.43

1008928.57

271071.43

6

0.071428571

80714.29

1089642.86

190357.14

7

0.035714286

40357.14

1130000.00

150000.00



PROBLEMAS PROPUESTOS MÉTODO DE LÍNEA RECTA 1. Una máquina que cuesta $925000 tiene una vida útil estimada de 8 años. Al final de ese tiempo, se calcula que tenga un valor de salvamento de $100000. Calcule la depreciación total, la depreciación anual y elabore la tabla de depreciación. Utilizando una gráfica como la mostrada en el ejemplo 10.3, ¿en qué tiempo la depreciación acumulada es igual al valor en libros? 2. Calcule la depreciación anual de un automóvil que cuesta $354000, considerando una vida útil de cinco años y un valor de salvamento igual al 20% del costo del automóvil. Elabore la tabla de depreciación. 3. Se compró un equipo de cómputo en $21300 y se espera que tenga una vida útil de 3 años; al final de este tiempo será reemplazado por un equipo más moderno. Si su valor de desecho será igual a cero. Determine: a) La depreciación total b) La depreciación anual c) La tabla de depreciación 4. Una empresa compró un automóvil nuevo en $143750, para uno de sus agentes de ventas. Si a vida útil del automóvil es de 4 años y la depreciación anual es de $31625, encuentre el valor de salvamento del automóvil. 5.

El señor Ortiz compra un minibús en $674600 de contado. Si el minibús se deprecia en $46216.67 cada año y su valor de desecho es de $120000, encuentre la vida útil del minibús.

6.

¿Cuál es el valor de reposición de un equipo industrial que tuvo un costo de $314700, tiene una vida útil de 12 años y la inflación promedio esperada es del 3% anual?

7.

¿Cuál es el valor de reposición de una máquina cuyo costo inicial fue de $400000, si tiene una vida útil de 4 años y la inflación esperada por año es la siguiente? Año 1 2 3 4

Tasa de inflación anual 3.5% 3.2% 3.0% 2.7%

8.

Una empresa compra 6 camionetas en $2838000. Se estima que tendrán una vida útil de 6 años después de los cuales deben ser reemplazados por unidades nuevas. ¿Cuál es el valor de desecho si la depreciación anual es de $425700 y se considera una tasa de inflación del 4.3% anual?

9.

Resuelva el problema anterior si no se toma en cuenta la inflación.

10. ¿Cuál es el valor de salvamento de un horno para la elaboración de pizzas, que costó $175000, se deprecia $22150 cada año y aumenta su valor con inflación del 7.2% anual? La vida útil del horno se considera de 7 años. 11. El gerente de un hotel compró un calentador solar para la alberca, el cual tiene una vida útil de 10 años y un valor de desecho del 8% de su costo inicial. Si el calentador costó

Pág. 98


Matemática Financiera $175000, encuentre la depreciación anual considerando una tasa de inflación del 5% anual. 12. El departamento de finanzas de una universidad compró un equipo de video para ser utilizado por los profesores del área. Su costo fue de $95800 y se considera un valor de desecho de $5000. Si la vida útil de este equipo se considera de 5 años, calcule la depreciación anual utilizando una tasa de inflación del 10% anual.

UNIDADES DE PRODUCCIÓN 13. Una empresa compra un molde para producir un juguete de plástico. El molde tiene una vida útil estimada en 200000 piezas y su costo fue de $160000 con un valor de desecho de cero. Elabore la tabla de depreciación, si la producción de juguetes fue la siguiente: Año Producción anual 1 32000 2 54000 3 57000 4 57000 14. La bomba de un pozo agrícola tiene un costo de $100000 y de acuerdo con el fabricante, una vida útil de 40000 horas de trabajo. Elabore la tabla de depreciación, si la bomba tiene un valor de salvamento de $10000 y trabajó 8100 horas en el primer año; 7800 horas en el segundo año; 6700 horas el tercer año; 6000 el cuarto año; 5700 el quinto año y 5700 el sexto año. 15. Una copiadora se compró en $12000 y se estima una capacidad productiva de 2000000 de copias. Su valor de desecho es de 20% de su costo y el número de copias obtenidas durante 5 años de operación fue el siguiente: 310000, 415000, 480000, 425000 y 370000. Determine la depreciación por copia y elabore la tabla de depreciación.

SUMA DE DÍGITOS 16. Un agricultor compró un tractor en $640000. Tiene una vida estimada de 6 años y un valor de desecho del 18% del costo. Elabore la tabla de depreciación. 17. Un despacho de abogados renueva el mobiliario de la oficina con una inversión de $175000. Suponiendo una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de 0, elabore la tabla de depreciación. 18. Calcule la depreciación anual de una laptop que cuesta $19400, su valor de desecho es de $2500 y tiene una vida útil de 4 años. 19. Un edificio de oficinas cuesta $5000000 y se le estima una vida útil de 60 años, con un valor de salvamento del 20% de su costo inicial. Determine la depreciación anual para los primeros 3 años y para los últimos 3. 20. Un hospital adquiere un equipo de rayos X con valor de $1465000. La vida útil de este equipo es de 18 años y su valor de salvamento se calcula en $300000. ¿Cuál es la depreciación acumulada y el valor en libros después de 10 años? 21. La cafetería de una universidad compró mobiliario y equipo por $970000. Se estima una vida útil de 5 años y un valor de desecho de $50000. Sin elaborar la tabla de depreciación, determínese la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 3 años.

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FONDO DE AMORTIZACION 22. Un equipo industrial tiene un costo de $435000 y un valor de salvamento de $50000, siendo su vida útil de 5 años. Elabore la tabla de depreciación, tomando en cuenta que los depósitos anuales producen el 12% de interés anual. 23. Una escuela adquiere equipo de cómputo con valor de $240000. Su vida útil esperada es de 3 años y su valor de desecho de $45000. Elabore la tabla de depreciación, considerando una tasa de interés del 10%. 24. La construcción de una bodega ha costado $634000, tiene una vida útil de 20 años y se estima que no tendrá valor de desecho. Considerando una tasa de interés del 9% anual, calcule: a) La depreciación anual b) La depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 15 años. 25. Una empresa embotelladora de refrescos compró 10 camiones para el reparto de los refrescos a las tiendas de autoservicio y tiendas de abarrotes, a un costo de $6350000. A los camiones se les estima una vida útil de 6 años y un valor de desecho del 10% de su costo. Calcule la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 4 años. Considere que los depósitos anuales se invierten en un fondo al 11.5%. 26. Un taller automotriz compra una compresora de aire con valor de $98640. La vida útil de dicho aparato es de 12 años y su valor de salvamento es de $5000. a) Obtenga el depósito anual al fondo de depreciación si la tasa de interés es del 9.2%. b) Si el dueño del taller desea vender la compresora al cabo de 3 años a un precio igual a su valor en libros, ¿cuánto deberá pedir? 27. Una compañía adquiere una máquina en $1260000, la cual tiene un valor de salvamento de $150000. Si la aportación anual al fondo de depreciación es de $69647.39 y la tasa de interés es del 10%, ¿cuál es la vida útil de la máquina?

UNIDAD IX Tema: EVALUACIÓN DE INVERSIONES Semana 17


Se presenta las siguientes alternativas de inversión, de la empresa El Tigre S.A. Detalle Inversión Inversión “A” “B” Inversión inicial 01.01.2011 s/. 6500000 s/. 6500000 Cobros al 31.12.2011 1000000 1800000 Cobros al 31.12.2012 2000000 3000000 Cobros al 31.12.2013 2500000 5000000 Cobros al 31.12.2014 4000000 Tasa de interés anual 16%

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Matemática Financiera Se pide: a) Determine el VAN en ambas inversiones b) ¿Cuál de las inversiones es beneficiosa para la empresa? 2.

Se presenta las siguientes alternativas de inversión, de la empresa Marzal SAC Detalle Inversión Inversión inicial 01.01.2011 s/. 650000 Cobros al 31.12.2011 250000 Cobros al 31.12.2012 250000 Cobros al 31.12.2013 250000 Tasa de interés anual 14% Se pide: a) Determine el VAN en ambas inversiones b) Indique si es aconsejable, invertir.

3.

Se tiene una inversión inicial de s/. 700000.00 de la cual se obtendrán s/. 300000.00 anual, durante 3 años. Determine la TIR.

4.

Se presenta las siguientes alternativas de inversión: Detalle Inversión Inversión “A” “B” Inversión inicial 01.01.2011 s/. 900000 s/. 900000 Cobros al 31.12.2011 295000 560000 Cobros al 31.12.2012 295000 560000 Cobros al 31.12.2013 295000 Se pide: c) Determine la TIR de ambas inversiones d) ¿Qué inversión, es la más recomendable para la empresa?

5.

Una Maquina tiene un costo inicial de $1100 y una vida útil de 6 años, al cabo de los cuales su valor de salvamento es de $100. Los costos de operación y mantenimiento son de $30 al año y se espera que los ingresos por el aprovechamiento de la maquina asciendan a $300 al año ¿Cuál es la TIR de este proyecto de inversión?

6.

Considere los dos siguientes planes de inversión: Plan A, tiene un costo inicial de $25000 y requiere inversiones adicionales de $5000 al final del tercer mes y de $8000 al final del séptimo mes. Este plan tiene 12 meses de vida y produce $10000 mensuales de beneficios a partir del primer mes. Plan B, tiene un costo inicial de $20000 y requiere una inversión adicional de $10000 al final del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce $8000 mensuales de ingresos, $12000 al término del proyecto. Suponiendo una TREMA del 3% mensual, determine cuál de los dos planes es más conveniente.

7.

Al hacer el análisis de un proyecto se ha encontrado que la TREMA es igual al 12%. Los ingresos y egresos estimados se dan en la tabla. Calcular el VAN, el TIR y la relación B/C y decidir si se invierte o no mediante un análisis de estos tres indicadores.

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8.

Proyecto Crianza de Cerdos: La cooperativa "Hoynil Ltda.” quiere tomar la decisión de invertir en un proyecto de crianza de cerdos, donde la planificación de ejecución del proyecto, que se realiza el año cero, tiene el siguiente cronograma: ACTIVIDAD Gestiones previas y negociaciones Obras civiles Instalación de equipos Montaje y pruebas

TIEMPO (meses) 4 6 1 1

COSTO ($) 200 9000 200 200

Para lograr el financiamiento adecuado, se propone que todos los activos diferidos serán financiados por la Cooperativa, mientras que lo restante tendrá una estructura 20% de aporte propio y 80% de crédito, donde las condiciones de crédito son a un plazo de cinco años, 1 de gracia y un interés del 5% semestral. Los desembolsos del crédito para las inversiones fijas serán dados el cuarto mes de inicio de la construcción, justo para iniciar las operaciones del proyecto. Se prevén las siguientes inversiones: Terreno $15000, Obras Civiles $9000, Maquinarias y semovientes $17500. El costo del estudio asciende a $1000. El programa de producción previsto es del 80% el primer año de producción y el 100% los años restantes. Según la proyección de producción, se ha previsto que producirán 19 ton/año al 100% de producción; el precio del Kilogramo de cerdo, puesto en venta es de $1.5. Tres años después de las operaciones, se prevé un ingreso por venta de sementales equivalente a $5000. Los costos de operación anuales del proyecto están distribuidos de la siguiente manera: Sueldos y Salarios $4500, Alimento balanceado $4000; materiales $350, Gastos Generales $250, Publicidad y Propaganda $200; Transporte $300; e imprevistos 5%. Los meses de cobertura estimados están dados por: cuentas por cobrar 1 mes, todos ellos deducidos del costo de operaciones. Con esta información elaborar:  El cuadro de Estados y Resultados, para analizar la Liquidez.  El cuadro de Flujos netos y calcular el VAN, TIR y relación B/C.  El periodo de Recuperación.  ¿Qué recomendaría a la cooperativa Hoynil después de su evaluación?

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA 

ALIAGA, Carlos. MATEMÁTICA FINANCIERA UN ENFOQUE PRÁCTICO. Bogotá: Pearson Educación. Bogotá: 2005. UBICACIÓN : Biblioteca UCCI 511.8 A42

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ALIAGA, Carlos. MANUAL DE MATEMÁTICA FINANCIERA. Editorial Universidad del Pacífico. Lima: 2004. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 A42 2004



COURT – ACHING - ACHING. MATEMÁTICA FINANCIERA. Cengage Learning. Lima 2009. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 5110 C86 2009

COMPLEMENTARIA 

DI VINCENZO, Osvaldo N. MATEMÁTICA FINANCIERA. Editorial Kapeluz. Buenos Aires 2001.UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 D66

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ALVAREZ, Alberto. MATEMÁTICA FINANCIERA. Editorial Mc Graw Hill. Bogotá 2003. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 A49

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AYRES, Frank. MATEMÁTICA FINANCIERA. Editorial Mc Graw Hill. Bogotá 2001. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 A94

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PORTUS, Lincoyan MATEMÁTICA FINANCIERA. Mc Graw Hill. México 1982. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 V63 2008

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VIDAURRI, Héctor. MATEMÁTICA FINANCIERA. Mc Graw Hill. México 2008, UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 P78 1982

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DIAZ, Alfredo / AGUILERA, Víctor. MATEMÁTICA FINANCIERA. Editorial Mc Graw Hill.- México 2008. UBICACIÓN: Biblioteca UCCI 511.8 D69 2008

RECURSOS DIGITALES       

Héctor VA. Portal Financiero/ Interés. Mural 2002 Apr 15:2-2. http://search.proquest.com/docview/374110490?accountid=146219 Héctor VA. Portal Financiero/ Mas de interés simple. Mural 2002 May 27:2-2. http://search.proquest.com/docview/374122778?accountid=146219 Héctor VA. Portal Financiero/ Capital y valor presente. Mural 2002 Jun 24:2-2. http://search.proquest.com/docview/374132530?accountid=146219 Héctor VA. Portal Financiero/ Ahorro, inversión y crédito. Mural 2002 May 13:2-2. http://search.proquest.com/docview/374058418?accountid=146219 Ricardo AM. La Alcancía/ Interés compuesto en los negocios. Mural 2002 Aug 12:2-2. http://search.proquest.com/docview/373810478?accountid=146219 Ricardo AM. La Alcancía / Los negocios con interés compuesto. Mural 2003 Jul 07:2-2. http://search.proquest.com/docview/373893179?accountid=146219 Enlace a libros o textos https://sites.google.com/site/cesarachingguzman/matematicas-financieras http://aulavirtual.utp.edu.pe/file/20101/CA/A4/04/M300/20101CAA404M300T010.pdf http://www.eduni.uni.edu.pe/1er_concurso_6_mate_financiera.pdf

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Material de Estudio 2015-2

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