Vibración Forzada

CAPÍTULO 3 VIBRACIÓN FORZADA Todo componente móvil de una máquina genera una fuerza mecánica durante su operación normal. Estas fuerzas surgen de los cambios en las condiciones mecánicas de las máquinas debido a factores como fricción, desgaste, cambios en las condiciones ambientales, variación de las cargas. El conocimiento de las condiciones dinámicas de las máquinas, y cómo estas fuerzas crean componentes de vibración a una frecuencia determinada, es la clave para entender la fuentes de la vibración. La vibración surge debido a una causa física, referida a una fuerza, y cada componente de la vibración es debida a una fuente que produce la fuerza. Un sistema mecánico o una estructura se encuentran bajo vibración forzada cuando se suministra externamente energía al sistema durante la vibración. Esta energía suministrada puede ser armónica, no armónica pero periódica, no periódica o aleatoria. La respuesta de un sistema ante una excitación armónica es llamada respuesta armónica. Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes comunes de excitación armónica son máquinas rotatorias desbalanceadas, desalineamiento, fuerzas producidas por máquinas reciprocantes. En algunos casos, la excitación puede ser debido a un desplazamiento, tal como ocurre con los vehículos debidos a las irregularidades de la carretera, o debido a la vibración transmitida al piso por una fuente cercana. 3.1 VIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA En la figura 3.1 se representa el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo de masa m, sometido a una fuerza armónica, F (t ), ), con un amortiguador de constante c, y un resorte de rigidez k . El sistema solo tiene movimiento horizontal. xeq x(t ) k

FR

= k⋅x

F (t )

m

m

c

FD

F (t )

= c ⋅ x

Figura 3.1 Vibración forzada

Para obtener la ecuación diferencial del movimiento sistema, es necesario utilizar la segunda ley de Newton: m ⋅ x(t ) + c ⋅ x (t ) + k ⋅ x (t ) = F (t )

Ec 3.1

Se considera la fuerza como una función armónica de frecuencia ω F (t ) = F0 cos(ω t )

Ec 3.2

La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria, que es la solución homogénea, y la solución particular. La respuesta en estado estable es una función armónica de igual frecuencia con diferente amplitud y desfasada. x (t ) = A cos(ω t − ϕ)

Ec 3.3

CAPÍTULO 3. VIBRACIONES FORZADAS

Un método para encontrar la amplitud A de la vibración de la respuesta del sistema en estado estable, y el ángulo de fase ϕ de la respuesta en estado estable, evitando el tratamiento de la solución de la ecuación diferencial, consiste en la representación de los fasores de la ecuación del sistema, la cual se representa en la figura 3.2. Im .. m x (t)=-m (t)=-m ω2 x (t )

. c x (t )=i )=i c ω x (t )

b

F (t )

ω t k x x (t )

ϕ ω t t -- ϕ

a O

Re

Figura 3.2 Fasores del sistema forzado

La relaciones entre la magnitud de la fuerza, F 0, y la magnitud de la amplitud de la vibración, A, y su ángulo de fase, ϕ, se obtienen de las relaciones rel aciones geométricas del triángulo oab: F0

( k − mω2 )

=

2

+ (cω)2 ⋅ A Ec 3.4

cω

ϕ = atan

2

k −mω

Se define el parámetro r como la relación entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural del sistema: r =

ω ωn

Ec 3.5

Reemplazando en la ecuación anterior la definición de la frecuencia natural, ωn = k/m, y la relación de amortiguamiento ζ = c /4km, y después de simplificar términos, se obtiene la magnitud y el ángulo de fase de la amplitud de la vibración en función de los parámetros r y y ζ: A =

F0 / k 2 2

(1 − r ) ϕ = atan

Ec 3.6

+ (2ζ r )

2

2ζ r 1 − r 2

Ec 3.7

A la expresión G

=

1 2 2

(1 − r )

Ec 3.8

+ ( 2ζ r )

2

se le denomina ganancia. En la figura 3.3 se representan la variación de la ganancia y el ángulo de fase, para diferentes valores de la relación de amortiguamiento, en función de la relación de frecuencias. Se observa en los gráficos de la respuesta en frecuencia, que para altas relaciones de la frecuencia, la amplitud de la vibración disminuye sin importar la relación de amortiguamiento. Para relaciones de frecuencia alrededor de la unidad se observa la alta respuesta de la vibración cuando la relación de amortiguamiento es pequeña.

3.2

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

Para pequeñas relaciones de amortiguamiento, lo cual es valido para la mayoría de sistemas, se observa el gran cambio del ángulo de fase cuando hay pequeñas variaciones de la frecuencia, cuando se opera cerca de la frecuencia natural del sistema. Esta característica es muy utilizada en la detección de resonancia en el diagnóstico de vibraciones mediante el análisis del ángulo de fase. π

5

ζ=0,05 ζ=0,15

ζ=0,05

4 ζ=0,15

3

ζ=0,2

G

2

ϕ

ζ=0,3 ζ=0,4

ζ=0,707

1 ζ=2

0 0

0,5

π 2

ζ=2 ζ=0,4 ζ=0,3

0 1

ζ=0,707

ζ=0,2

1,5 2 r = ω/ω n

2,5

3

0

0,5

1

a) Ganancia

1,5 2 r = ω/ω n

2,5

3

b) Fase

Figura 3.3 Respuesta en frecuencia de la vibración forzada

Se observa que el pico de la vibración ocurre en diferentes relaciones de frecuencia a medida que varía la relación de amortiguamiento. La respuesta pico se determina encontrado el máximo de la ganancia, G, en función de la relación de frecuencias, r : dG d = d r r =r P d r

2 2

(1 − r )

1 2 (1 − r ) ( −2r ) + 2(2ζ r )(2ζ ) =− 3/ 2 2 2 (1 − r 2 ) + (2ζ r )2 2

1

+ (2ζ r )

2 r = r P

(

)

=0

Ec 3.9

r = r P

Simplificando el numerador se obtiene la siguiente relación:

− (1 − r p2 ) + 2ξ 2 = 0

Ec 3.10

La frecuencia, r p, en la que ocurre la respuesta r espuesta pico es r p

= 1 − 2ξ2 ; 0 ≤ ξ ≤

1 2

Ec 3.11

Para amortiguamientos mayores a 1/ √2, la amplitud de la vibración disminuye a medida que aumenta la frecuencia. Al reemplazar esta relación de frecuencias en la ganancia, se obtiene el pico de la ganancia: Gmáx

=

1 2ξ 1 − ξ

2

; 0≤ξ≤

1 2

Ec 3.12

TEOREMA DE ENERGÍA De manera similar al estudio de las vibraciones libres, se presenta un método basado en la diferencial de la energía para formular la ecuación diferencial del sistema: d ( E + E ) = ∑ P dt C P donde E C y E P son, respectivamente, la energía cinética y potencial, P es la potencia asociada a las fuerzas y a los pares.

3.3


La potencia asociada a una fuerza es dada por el producto escalar entre la fuerza, F, y la velocidad del punto de aplicación F ⋅ v ; la potencia de un par se obtiene mediante el producto escalar entre el par y la velocidad angular del eslabón sobre el que actúa el par, T ⋅ ω . En el análisis de vibraciones, la fuerza y el par son colineales, similarmente lo son el par y la velocidad angular, por lo que se tiene potencias positivas o negativas. La potencia es positiva si la fuerza o el par contribuyen al accionamiento del eslabón, y es negativa si se opone al movimiento. Ejemplo 3.1 En la figura 3.4 se representa un sistema con los siguientes valores: r = = 100 mm, m = 8 kg, J 0 = 0,1 kg m2, k 1 = 10 kN/m, k2 = 15 kN/m, c = 80 N s/m, que es sometido a una excitación armónica dada por: F (t ) = 20 sin ( 30t ) + 50 sin ( 75 t + 0, 4 ) − 100 sin(90 t + 0, 3) , N

Encuentre la respuesta en estado estable del sistema y determine la máxima amplitud de la vibración del sistema en estado estable. Para determinar la ecuación diferencial del sistema, se utilizará la formulación Lagrangiana. Esta formulación es muy útil para sistemas de varios grados de libertad con un conjunto de coordenadas generalizadas qi. El Langragiano, L, se define basado en la energía cinética, ci nética, T , y la energía potencial, V : L = T – V

Ec 3.13 y(t )

J 2 r

θ(t )

k 2

r

F (t ) = F 0 sin ω t

m

x (t )

k 1

c

Figura 3.4 Ejemplo 3.1

La ecuación del sistema se obtiene mediante la siguiente relación d ∂ L ∂ L − = Qi dt ∂ qi ∂ qi

Ec 3.14

donde Qi es la fuerza generalizada asociada con la coordenada qi. En el ejercicio propuesto, el sistema es de un grado de libertad, ya que las diferentes variables son linealmente dependientes. En el ejercicio propuesto se tomara a la variable x(t ) como coordenada generalizada. La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de traslación t raslación de la masa m y la de rotación del disco de momento de inercia J : T

= 12 m x 2 (t ) + 12 J θ 2 (t )

Asumiendo pequeños desplazamientos ésta se puede aproximar mediante la siguiente expresión T

2

= 12 m x 2 + 12 J ( x / 2 r ) 3.4


La energía potencial, se obtiene mediante la siguiente si guiente expresión: V

= 12 k1 x2 (t ) + 12 k2 y2 (t ) ≅ 12 k1 x2 + 12 k2 ( x / 2)

2

Después de reemplazar la energía cinética y potencial en el lagrangiano, se obtiene L = T

− V = 12 ( m + J / 4r 2 ) x 2 (t ) − 12 ( k1 + k2 / 4 ) x2 (t )

La fuerza asociada con la variable x(t ) es la suma de la fuerza externa, F (t ), ), y la fuerza debida al amortiguador, Q x = F (t ) − c ⋅ x(t ) d ∂ L ∂ L − = Qx d t ∂ x ∂ x

∂ L = ( m + J / 4r 2 ) x (t ); ∂ x

d  ∂L 



 = ( m + J / 4r

2

d t  ∂ x 

) x(t)

∂ L = − ( k1 + k2 / 4 ) x(t ) ∂ x La ecuación del sistema es:

( m + J / 4r 2 ) x(t ) + ( k1 + k2 / 4 ) x(t ) = F (t) − c ⋅ x (t) Organizando términos, se obtiene la ecuación diferencial del sistema:

( m + J / 4r 2 ) x(t) + c ⋅ x (t ) + ( k1 + k2 / 4 ) x(t) = F ( t) En esta ecuación se tiene el término común x que puede ser simplificado; después de organizar términos, se obtiene:

( m + J / 4r 2 )⋅ x + c ⋅ x + ( k1 + k 2 / 4 ) x = F

La frecuencia natural del sistema se obtiene mediante la siguiente expresión

ωn =

k eq meq

=

k1 + k 2 / 4 2

m + J / 4r

=

10kN/ 0kN/m + 15kN 5kN/m/ 4 = 36,19rad/s 2 2 8 kg kg + 0,1 kg m / 4 ⋅ ( 0,1 m )

La relación de amortiguamiento se obtiene mediante:

ζ=

c

2 ωn meq

=

80Ns/m = 0,105 2 ⋅ 36,19rad/s ⋅10, 5kg

Para determinar la respuesta en estado estable, se requiere determinar la amplitud y el ángulo de fase para cada una de las funciones armónicas. Las expresiones de estas variables son: A i =

Fi / k eq

(1 − ri2 )

2

+ (2ζ r i )2

ϕi = atan

2ζ r i 1 − r i 2

donde i se refiere a las variables de una componente con una frecuencia específica. Para la fuerza de frecuencia ω1 = 30 rad/s, la relación de frecuencias es: r 1 = ω1 ωn = 30 36,19 = 0, 83 83 . La amplitud es:

3.5


A1

=

20N/13,75N/mm

(1 − 0, 832 )

2

4,06 mm = 4,06

+ (2 ⋅ 0,105 ⋅0, 83) 2

ϕ1 = atan

2 ⋅ 0,105 ⋅ 0,83 ,83 = 0, 51rad 2 1 − 0, 83

Para la fuerza de frecuencia ω2 = 75 rad/s, la relación de frecuencias es: r 2 = ω2 ωn = 75 36,19 = 2, 07 07 . La amplitud es: A2

=

50N/13,75N/mm

(1 − 2, 072 )

2

= 1,09mm

+ (2 ⋅ 0,105 ⋅2, 07) 2

ϕ2 = atan

2 ⋅ 0,105 ⋅ 2, 07 07 = 3, 01 rad 2 1 − 2, 07

Para la fuerza de frecuencia ω2 = 90 rad/s, la relación de frecuencias es: r 3 = ω3 ωn = 90 36,19 = 2, 49 49 . La amplitud es: A3

=

100N/13,75N/mm

(1 − 2, 492 )

2

= 1,39mm

+ (2 ⋅ 0,105 ⋅2, 49) 2

ϕ 3 = atan

2 ⋅ 0,105 ⋅ 2, 49 49 = 3, 04 rad 2 1 − 2, 49

La respuesta del sistema en estado estable es: x (t ) = 4, 06 sin ( 30t − 0, 51) + 1, 09 si n ( 75 t + 0, 4 − 3, 01) −1, 39 sin(90 t + 0, 3 − 3, 04)

x (t ) = 4, 06 sin ( 30t − 0, 51) + 1, 09 sin ( 75t − 2, 61) − 1, 39 sin(90t − 2, 74)

El valor eficaz de la señal se obtiene mediante: xef

=

2 2

2

x1

+ x22 + x32 =

2 4, 062 + 1, 09 2 + 1, 392 = 3,13 mm 2

En la figura 3.5 se representa la respuesta en estado estable del sistema. x (t ) [mm]

6 4 2 0 -2 -4 -6 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 t [s]

Figura 3.5 Respuesta en estado estable del sistema

Ejemplo 3.2 Un cuerpo de masa 6 kg soportado por un resorte de rigidez 1500 N/m es forzado a vibrar por una fuerza armónica de 10 N. Asumiendo A sumiendo un amortiguamiento amortiguamiento viscoso de 100 N s /m, determine i) la frecuencia de resonancia, ii) la amplitud en resonancia, iii) el ángulo de fase a la frecuencia de resonancia, iv) la frecuencia correspondiente con la amplitud pico, v) la amplitud pico, y vi) el ángulo de fase correspondiente con la amplitud pico

3.6


De la información del ejercicio, se puede obtener la frecuencia natural del sistema, que se corresponde con la frecuencia convencionalm c onvencionalmente ente denominada frecuencia de resonancia: k

ωn =

m

1500N/m = 15,81rad/s 6 kg

=

La relación de amortiguamiento, se obtiene mediante:

ζ=

c

2 m ωn

=

100Ns/m = 0,527 2 ⋅ 6 kg ⋅15, 81rad/s

La amplitud a la frecuencia natural, se obtiene considerando una relación de frecuencias unitaria, r = = 1, mediante la expresión 3.6: F0 / k

A =

(1 − r 2 )

2

=

+ (2ζ r ) 2

10 N / 1, 1, 5 N/ N/mm = 6,33mm 2 ⋅ 0, 52 527

El ángulo de fase, se obtiene mediante la expresión 3.7. En el caso que la frecuencia de la excitación coincida con la frecuencia natural, el ángulo de fase es de 90º. La amplitud en la que se obtiene la respuesta pico, ωp, según normas ISO se corresponde con la frecuencia de resonancia, se obtiene mediante la expresión 3.11; ésta depende únicamente de la relación de amortiguamiento, ζ. Reemplazando valores, se obtiene la relación de frecuencias pico: r p

=

ωp = 1 − 2ξ2 = 1 − 2 ⋅ 0, 0, 527 2 = 0, 67 ωn

Con lo que se puede calcular la frecuencia pico:

ωp = r p ⋅ ωn = 0,67 ⋅ 15,81ra ,81radd/s = 10,59ra 10,59rad/ d/ss Utilizando la expresión 3.6, se calcula la amplitud de la respuesta a esta frecuencia: Ap

=

F0 / k 2 1 − rp2

(

)

=

+ (2ζ r p )

2

10 N / 1, 5 N/ N/mm 2 2

(1 − 0, 67 )

+ (2 ⋅ 0, 527 ⋅ 0, 67)

= 7,44mm 2

El ángulo de fase se obtiene mediante:

ϕ = atan

2 ⋅ 0, 52 527 ⋅0, 67 67 = 0, 91 rad ó 52º 2 1 − 0, 67

3.2 RESPUESTA DE UN SISTEMA NO AMORTIGUADO ANTE UNA FUERZA ARMÓNICA Es importante analizar un poco el caso no amortiguado. El sistema no amortiguado es útil para sistemas en los que se puede despreciar el amortiguamiento. La ecuación diferencial de la vibración forzada no amortiguada de un sistema sobre que actúa fuerza armónica se determina mediante: m ⋅ x(t ) + k ⋅ x(t ) = F0 cos(ωt)

Ec 3.15

La frecuencia natural del sistema depende de la rigidez del sistema, k , y de su inercia, m; ωn = k/m. En caso que la frecuencia de la excitación sea diferente de la frecuencia natural la respuesta particular del sistema es una función armónica de frecuencia ω y la respuesta de estado estable es una función armónica de frecuencia ωn:

3.7


  

x(t ) =  x0

−

 v0 F0 / k sin ( ωn t ) + cos ( ω t )  cos ( ωn t ) + 2 ωn 1 − ( ω / ωn )  1 − (ω / ωn ) F0 / k

Ec 3.16

2

En la figura 3.6 se representa la respuesta de un sistema no amortiguado ante una excitación armónica con una frecuencia natural ωn = 1 rad/s y una frecuencia de excitación ωdr = 3 rad/s. x

0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 0

10

20

30

40

50

60 t

Figura 3.6 Respuesta de un sistema no amortiguado con

Si la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia natural del sistema se presenta un incremento de amplitud de la vibración a medida que incrementa el tiempo, este fenómeno es conocido como resonancia. La respuesta del sistema es: F / k ωn t sin ( ωn t ) x (t ) = 0

Ec 3.17

2

En la figura 3.7 se presenta la respuesta del sistema. Se observa en la respuesta del sistema, que en resonancia, la respuesta del sistema se incrementa indefinidamente. Acorde con la Ec 3.17, se tiene una función seno en la que la amplitud crece linealmente con el tiempo. x (t ) m

/ k F k 2

ω n t 

t s

-

/ k F k 2

ω n t 

Figura 3.7 Respuesta del sistema al ocurrir la resonancia

Si la frecuencia de excitación es cercana, aunque no exactamente igual, a la frecuencia natural del sistema, se presenta un fenómeno conocido como modulación, ver figura 3.8. En esta clase de vibración, la amplitud aumenta y disminuye regularmente.

3.8


x((t ) x

4π ωn-ω

t

4π ωn+ω

Figura 3.8 Fenómeno de pulsación

Si se analiza la solución del sistema con condiciones iniciales iguales a cero, ésta se puede resumir mediante la expresión Ec 3.18: F0 / m

x(t ) =

ω2n − ω2

( cos ( ωt ) − cos ( ωn t ) )

Ec 3.18

Utilizando relaciones trigonométricas, se obtiene x(t ) =

F0 / m 

ω2n

2 sin − ω  2

ω + ωn ω −ω  t ⋅ sin n t  2 2 

Ec 3.19

En esta respuesta se tiene el producto de dos funciones armónicas. Si la frecuencia de excitación es muy cercana a la frecuencia natural del sistema, se tiene que el argumento ( ωn − ω) es muy pequeño, y

( ωn + ω) es grande comparado con el primer argumento. El término sin ( ωn − ω) t / 2  oscila con un periodo mayor que el periodo con que oscila sin ( ωn + ω) t / 2  . El movimiento resultante es una rápida oscilación con una amplitud variando lentamente. 3.3 MASA DESBALANCEADA El desbalanceo en máquinas rotativas es una de las principales causas de vibración. Un modelo simplificado de una máquina es mostrada en la figura 3.9. El modelo consiste de una máquina de masa, M , con una masa desbalanceada, m, girando con velocidad angular constante, ω. La masa desbalanceada produce una fuerza armónica lo que genera una vibración en la máquina. La ecuación del sistema se obtiene al utilizar la segunda ley de Newton en el sistema s istema mostrado: ( M − m) x(t ) + m

d2 ( x(t ) + e sin ω t) = − k ⋅ x( t) − c ⋅ x ( t ) d t 2

Ec 3.20

Simplificando términos se obtiene la ecuación del sistema: M ⋅ x(t ) + c ⋅ x(t ) + k ⋅ x(t ) = me ω2 sin ω t

3.9

Ec 3.21


M - m

M - m m

m

e

x (t )

ω t

k

c

. c x

k x

Figura 3.9 Masa desbalanceada

La frecuencia natural del sistema es ωn = ( k/M )1/2. La solución se encuentra al considerar la fuerza como F = = meω2, después de algunas operaciones algebraicas se obtiene: M A me

( ω / ωn )

=

2 2

(1 − ( ω / ωn ) )

2 2

= ( ω / ωn ) 2 ⋅ G (ω)

Ec 3.22

+ ( 2ζ ( ω / ωn ) ) M x

En la figura 3.10 se presenta la l a relación adimensional

me

basado en la ecuación 3.22.

5 ζ=0,05

4 ω2 G(ω) ωn2

ζ=0,15

3 ζ=0,2

2

ζ=0,3 ζ=0,4

1

ζ=0,707 ζ=2

0 0

0,5

1

1,5

2

3 r = = ω/ωn

2,5

2

Figura 3.10 Factor ( ω / ωn ) ⋅ G (ω)

De manera similar a la vibración debida a una fuerza sinosoidal, la relación de frecuencias en el que se presenta el pico de la respuesta depende del coeficiente de amortiguamiento. Derivando la relación adimensional dada por la Ec 3.23 con respecto a r e e igualando a cero, se obtiene este valor pico, r P:

 d   d r  

 2  r =  2  2 2 (1 − r ) + ( 2ζr ) r =r P

2rP

2 1 − rP2

(

)

+ ( 2ζ rP )

(

2

− rP2 2

⋅

2 ( −2 rP ) (1 − rP2 ) + 4ζ 2 r P

2

2 (1 − rP2 ) + ( 2ζr P )

2 (1 − rP2 ) + ( 2ζ r P )

2

)

Simplificando términos, y multiplicando el numerador por el radical, se obtiene:

3.10

2

=0


rP

2 2 P

( (1 − r

2

)

(

)

+ ( 2ζrP ) − rP2 ( − rP + rP3 + 2ζ 2 rP ) =0 3/ 2 2 2 2 (1 − rP ) + ( 2ζr P )

)

Esta igualdad se cumple si el numerador es cero. Simplificando términos se obtiene: rP

− r P3 (1 − 2ζ 2 ) = 0

Despejando la relación de frecuencias en la que se obtiene el valor pico, se obtiene: 1

=

r P

1 − 2ζ

, 0≤ζ≤

2

1 2

La ganancia pico es dada por: M AP

=

m0 e

r = r p

1 2ζ 1 − ζ

2

, 0≤ζ≤

1 2

Ejemplo 3.3 Una máquina industrial de 500 kg es soportada por resortes con una deflexión estática de 5 mm. Si la máquina tienen una masa desbalanceada de 254 g m, determine: i) la fuerza transmitida al piso a una frecuencia de giro n = 1200 min-1, y ii) la amplitud de la vibración a esta velocidad. Si la máquina es montada sobre un bloque de concreto de 1250 kg, y la rigidez de los resortes debajo del bloque se incrementa tal que la deflexión estática continúe en 5 mm, cuál es la amplitud de la vibración? Con los datos del ejemplo, se puede determinar la rigidez equivalente: k =

mg

∆ est

=

500k 500kgg ⋅ 9,81m 9,81m/s /s2 = 981kN/m 5 mm

Con el cálculo de la rigidez ri gidez equivalente, se puede calcular la frecuencia natural:

ωn =

k m

=

g

∆ est

=

9,81m/s 2 = 44,29rad/s 5 mm

La frecuencia de excitación se obtiene mediante

ω = 1200 ⋅

2π = 125, 66 rad/s 60

La amplitud de la vibración se obtiene mediante la ecuación 3.22, y considerando que el amortiguamiento del sistema es despreciable:

( ω / ωn )

2

2

(125,66/44,29 ) 0,254kgmm = ⋅ = 580 µm x = 2 2 M 500kg 1 − (125,6 5,66/44 /44,29 ,29 ) 1 − ( ω / ωn ) me

La amplitud de la fuerza transmitida al bastidor se corresponde con la fuerza transmitida por los resortes elásticos: Ftransm

981kN/ N/m m ⋅ 580 580 µm = 569 N = k ⋅ X = 981k

3.11


En el segundo caso, la frecuencia natural no varía, ya que existe modificación de la masa y de la rigidez del sistema:

ωn =

g

∆ est

=

9,81m/s 2 = 44,29rad/s 5 mm

En este caso, la modificación consiste en el aumento de la masa del sistema, por lo que se obtiene una amplitud de la vibración dada por:

( ω / ωn )

2

2

(125,66/44,29) 0,254kgmm = ⋅ = 165, 7 µm x = 2 2 M 1750kg 1 − (125,66 ,66/44 /44,29 ) 1 − ( ω / ωn ) me

3.4 CABECEO EN UN EJE Los ejes tienen a arquearse a ciertas velocidades y cabecear de una manera complicada; este comportamiento se debe a que el eje de rotación es más ligero que los componentes que conducen (rotores, discos, ruedas dentadas, etc) lo que induce alguna deflexión debido a las cargas desbalanceadas. El cabeceo es la rotación del plano formado por el eje flexionado y la línea de centros de los cojinetes. El fenómeno es el resultado de varias causas como desbalance de masa, amortiguamiento de histéresis en el eje, fuerzas giroscópicas, fricción fluida en los cojinetes, etc. El cabeceo del eje pude tener lugar en la misma dirección del rotación del eje o en la dirección contraria, la velocidad del cabeceo puede ser o no igual a la velocidad de rotación. En la figura 3.11 se muestra un rotor desbalanceado montado sobre un eje flexible apoyado entre cojinetes. Debido a la excentricidad del eje, e, se producen fuerzas centrifugas que causan un pandeo del eje, lo cual es conocido c onocido como cabeceo del eje.

O

O S

ω

r e

G

Figura 3.11 Cabeceo en un eje

El cabeceo del eje puede ser considerado en la misma dirección que gira el eje, y el cabeceo puede ocurrir a velocidad diferente de la velocidad del eje. Para un análisis simplificado del comportamiento del eje, se puede considerar un cabeceo sincrónico. El sistema consiste de un disco de masa m localizado simétricamente sobre el eje soportado por dos rodamientos. El centro de masas G del disco está sobre una distancia radial e desde el centro geométrico S del disco. La línea de centros de los rodamiento intersecta el plano del diseco en O y el centro del eje está deflectado por r . Despreciando el efecto de la fricción y la gravedad, el disco se encuentra bajo la acción de: i) la fuerza centrifuga en dirección radial y hacia afuera, y aplicada en el centro de gravedad; ii) la fuerza de recuperación del eje dirigida desde S hacia O. Estas fuerzas son colineales, iguales en magnitud, y opuestas en dirección, por lo que los puntos O, S y G se encuentran ubicados sobre una línea recta. La fuerza de restitución del eje es el producto de la rigidez equivalente del eje y la deflexión del eje. La fuerza de inercia es igual a m ( r + e ) ω2 . Igualando la fuerza de restitución del eje y la fuerza de inercia se obtiene: kr

= m ( r + e ) ω2

3.12

Ec 3.23


Por lo que se obtiene 2

2

( ω / ωn ) e = r = 2 2 k − mω 1 − ( ω / ωn ) me ω

Ec 3.23

donde ωn es la frecuencia natural de las vibraciones laterales del eje y el disco. La expresión 3.23 indica que la velocidad crítica del eje es igual a la frecuencia natural de la vibración lateral del sistema eje - disco. La deflexión r es es positiva si la velocidad del eje es menor a la velocidad crítica, y negativa si la velocidad es mayor que ωn. Esto quiere decir que si ω es menor que ωn el sistema gira con el lado pesado por fuera del punto S, en el caso que ω es mayor que ωn el lado pesado G se encuentra interior a S, figura 3.12. Para velocidades muy altas, ω >> ωn, la amplitud r empieza empieza a ser igual a –e, y el punto O coincide con G; es decir, el disco gira sobre su centro de gravedad. ω > ωn

ω < ωn

O

S G

O G S e

r

e

r

Figura 3.12 Posibles relaciones de la fase de sistemas sin amortiguamiento

Si el sistema presenta amortiguamiento, debido a fuerzas como la fricción del aire que se oponen al cabeceo, se puede representar por una fuerza y un momento sobre el eje, por lo que se requiere un par conductor adicional sobre el eje, figura 3.13.

ω G

r O

m ω2 ρ

ρ e

φ α k r k r S c r r ω ω

Figura 3.13 Relación vectorial de las fuerzas sobre s obre el eje, incluyendo la fricción Por simplicidad, la fuerza de amortiguamiento actuando en S puede ser asumido como viscosidad natural y, por lo tanto, proporcional a la velocidad tangencial r ω. La presencia de la fuerza de fricción produce que la línea de la excentricidad e no coincida con la línea de la deflexión r , con un desfase del ángulo φ, tal como se observa en la figura fi gura 3.13. Para la condición de fuerzas del sistema presentado, se requiere establecer la condición de equilibrio del rotor. Obteniendo la suma de fuerzas sobre la dirección r , se obtiene:

− k r + m ω2ρ cos α = 0 −c r ω + m ω2ρ sin α = 0 Analizando la figura 3.13 se obtienen las siguientes relaciones geométricas para los ángulos α y φ

3.13

Ec 3.24


ρ sin α = e sin φ ρ cos α = r + e cos φ

Ec 3.26

Reemplazando la Ec 3.26 en la Ec 3.25, se obtiene: m ω2 ( r + e cos φ ) = k r

Ec 3.27

2

m ω e sin φ = c rω

Organizando términos se obtiene:

(

2

2

m ω e cos φ = r k − m ω

)

Ec 3.28

2

m ω e sin φ = c rω

Organizando la anterior ecuación se obtiene la ecuación diferencial en ambos ejes:

( m ω2 e )

2

2 2 = r 2 ( k − m ω2 ) + ( c ω ) 



Ec 3.29



La deflexión del eje se obtiene mediante: 2

me ω

r =

2 2

(1 − ( ω / ωn ) )

/ k

e ( ω / ωn )

=

+ ( 2ζ ( ω / ωn ) )

2 2

2

(1− (ω / ωn ) )

2

Ec 3.30 2

+ ( 2ζ (ω / ωn ) )

El ángulo de fase tiene la misma solución:

ϕ = atan

2ξ ( ω / ωn ) 1 − ( ω / ωn )

2

Ec 3.31

2

La relación x / e = ( ω / ωn ) ⋅ G (ω) se presenta en la figura 3.10. Ejemplo 3.4 Un eje de acero de 2 m de longitud y diámetro 38 mm, soportado por dos rodamientos, tiene un rotor de 30 kg de masa instalado en el punto medio. El rotor, que gira a 1200 min -1, tiene una excentricidad de 2 mm. Determine la amplitud en estado estable del cabeceo del eje, y la máxima amplitud durante la condición de arranque del sistema. Asuma que el factor fact or de amortiguamiento externo es ζ = 0,1. El primer paso consiste en la evaluación de la rigidez equivalente del eje. De los conocimientos de los cursos de resistencia de materiales, la rigidez equivalente para el ejemplo estudiado es dado mediante la siguiente expresión: 4 4 64 48 E I 48 E ( π d / 64 ) 48 ⋅ 200 GPa ⋅ π ⋅ ( 0, 038m ) / 64 = = = 122,8kN/m k = 3 3 3 L L ( 2m )

En el cálculo de la frecuencia de la frecuencia natural se tendrá en cuenta la masa del eje. Esta masa se determina mediante la siguiente expresión: mEje

2

= ( π 4 d 2 ⋅ L ) ρAcero = π 4 ⋅ ( 0, 03 038 m) ⋅ 2m ⋅ 7800kg/m 3 = 17, 69 69 kg kg

La frecuencia natural del sistema eje rotor, incluyendo la masa del eje, puede ser determinada tal como se estudia en el ejemplo 2.5:

3.14


k red

ωn =

mred

k red

=

17

35 mEje

+ mr

=

122,8kN/m = 56,41rad/s 69 kg k g + 30 kg 35 17, 69

17

El cabeceo del eje se obtiene mediante la expresión 3.30: 2

30kg ⋅ 2 mm ⋅( 40π rad/s ) / 12 122, 8k 8 kN/m

x =

2 2

(1 − ( 40π / 56, 41) )

+ ( 2 ⋅ 0,1(40 4 0 π / 56, 41) )

= 3,9mm 2

Para determinar la máxima amplitud, se requiere determinar la relación de frecuencias, ωP / ωn, en la que se obtiene la máxima amplitud, xp. Esta frecuencia se obtiene derivando la expresión 3.30 respecto con la frecuencia ω e igualando a cero. Después de realizar estas operaciones algebraicas, se obtiene:

ωP =

1 1 − 2 ζ2

1

ωn =

1 − 2 ⋅ 0,12

56,41ra ,41rad/s d/s = 56,98r 56,98rad ad/s /s

Reemplazando este valor en la expresión 3.30, se obtiene la respuesta pico, xP: 2

x =

30kg ⋅ 2mm 2mm ⋅(57,28 ,28rad/s ) /12 /122,8kN ,8kN/m 2 2

56, 41) ) (1 − ( 64, 71 / 56

= 15,6mm

+ ( 2 ⋅ 0,1( 57, 28 / 56, 41) )

2

Ejemplo 3.5 Un ventilador de un sistema de ventilación tiene una velocidad de operación de 3600 min -1. Las aspas del ventilador pesan 20 kg y es montado en el punto medio de un eje relativamente liviano apoyado en sus extremos por rodamientos lubricados. La rigidez a la flexión del eje en el sitio en que se instala el ventilador es de 4 MN/m. MN/m. El coeficiente de amortiguamiento relativo que actuando sobre el eje es 0,05. Debido a un error de fabricación, el centro de masas del ventilador tiene una excentricidad de 10 mm medidos desde el eje de rotación del eje. Determine a) la velocidad crítica del sistema eje ventilador y la deflexión del eje en el punto de ubicación del eje; b) la deflexión del ventilador a la velocidad de operación. Suponga que existen dos opciones de balancear el eje, adicionando una masa de 5 kg, y quitando una masa de 3 kg; en ambos casos, la excentricidad se reduce a 2 mm. Determine la nueva deflexión del ventilador a la velocidad de operación. El sistema tiene un pequeño amortiguamiento, por lo tanto, la velocidad crítica del eje se puede tomar como la frecuencia natural no amortiguada:

ωn =

k m

4MN/m = 447,2rad/s 20kg

=

La deflexión del eje correspondiente es:

= r =

e

2ξ

=

10mm = 100mm 2 ⋅ 0, 0, 05

La deflexión del eje a la velocidad de operación ω = (3600 / 60 60) ⋅ 2π = 377 ra rad/s se determina mediante:

= r =

10m 10mm ( 377/ 377/ 447,2 ) 2 2

(1 − (377 / 447, 2 ) )

2

+ ( 2 ⋅ 0, 05 ( 377 / 447, 2 ) )

3.15

= 23,6mm 2


Si se realiza el balanceo adicionando la masa de 5 kg, se tiene: k

ωn =

m

4MN/m = 400rad/s 25kg

=

2mm 2mm ( 377/ 400 400 )

= r =

2 2

(1 − (377 / 400 ) )

2

= 12,16mm

+ ( 2 ⋅ 0, 05 ( 377 / 400 ) )

2

Si se realiza el balanceo quitando la masa de 3 kg, se tiene:

ωn =

k m

4MN/m = 485,1rad/s 17kg

=

2mm 2mm ( 377/ 485,1 85,1)

= r =

2 2

(1 − ( 377 / 485,1) )

2

= 3 mm

485,1) ) + ( 2 ⋅ 0, 05 (377 / 48

2

En este ejemplo se observa que en el segundo caso de balanceo se reduce la vibración hasta un factor de 8, en el primer caso solo se reduce en un 50%. Esto se debe a que al restarle masa, se aumenta la velocidad crítica del sistema. Otras alternativas como aumentar rigidez, tiene el inconveniente de requerir realizar varias modificaciones en el sistema, con lo que se incrementa el costo. El aumento del amortiguamiento tiene el inconveniente de generar calor, que puede causar problemas a los rodamientos, y también reducir la velocidad de operación. La alternativa de cambiar la velocidad de operación puede estar limitada por condiciones de proceso. 3.5 MOVIMIENTO DE LA BASE Algunas máquinas pueden sufrir una vibración de la base de apoyo lo que produce vibraciones en la máquina. En los vehículos ocurre una situación similar al transitar por una carretera que presenta oscilación en su perfil produciendo vibraciones en el vehículo que pueden afectar a los pasajeros. La figura 3.12 se presenta un modelo para el estudio de la vibración generada en estos casos.

x (t )

m

m

k

c

.

y(t )

.

Figura 3.12 Movimiento de la base

La vibración de la base se considera como un movimiento armónico de frecuencia ω: y (t ) = Y cos ( ω t )

Ec 3.31

Para evitar el tratamiento matemático que se obtiene al determinar la solución de la ecuación diferencial en el tiempo, se considera el análisis en frecuencia. El movimiento de la base puede representarse mediante un fasor: j ω

Y (ω) = Ye

;

Y (ω) =

3.16

jωY e jω = jω Y (ω)

Ec 3.32


Al aplicar la segunda ley de Newton, N ewton, se obtiene la ecuación diferencial del sistema: m x(t ) = − k ⋅ ( x − y) − c ⋅ ( x − y )

Ec 3.33

m x(t ) + c x + k x = c y + k y

Ec 3.34

La respuesta en estado estable para la vibración del sistema es también una función armónica de frecuencia ω, su representación fasorial es: jω

-ω2 X (ω )

Ec 3.35

−mω2 X (ω) + j cω X (ω) + k X (ω) = j c ω Y (ω ) + k Y (ω )

Ec 3.36

X (ω) = X e

X (ω) =

;

jω X (ω);

 (ω) = X

Reemplazando en la ecuación del sistema se obtiene:

Separando términos se obtiene: X (ω) =

j c ω + k Y (ω) ( k − m ω2 ) + j cω

Ec 3.37

La relación de amplitudes y el ángulo de fase son, respectivamente, la amplitud y el argumento de la ganancia: H (ω) =

j c ω + k ( k − mω2 ) + cω

Ec 3.38

La amplitud de la vibración se obtiene de la norma del complejo dada por la expresión 3.38. Utilizando las propiedades de los números complejos, se obtiene: X (ω)

=

(c ω)2 + k 2 1 + (2ζ r )2 ( ) ω = Y Y (ω) (k − mω2 )2 + (cω)2 (1 − r 2 ) 2 + (2ζ r )2

Ec 3.39

El argumento se obtiene de la resta de los argumentos del numerador y del denominador

ϕ = atan(2ζ r ) − atan

2ζ r 1 − r 2

Ec 3.40

La respuesta de la vibración es: x (t ) = Y

1 + (2ζ r ) 2 cos(ω t + ϕ) (1 − r 2 )2 + ( 2ζ r )2

Ec 3.41

La relación entre las máximas amplitudes de los desplazamientos es denominada como transmisibilidad Y ), = X / Y ), y es utilizada para describir como se transmite el movimiento desde la base hasta la masa en función de la relación de frecuencias y de la relación de amortiguamiento. En la figura 3.13 se representa esta relación. Observe que cerca de la relación de frecuencias unitaria, o resonancia, se transmite la mayor cantidad de movimiento al desplazamiento de la masa

de desplazamientos (TR

De la observación de la figura 3.13, para r < < 2 la relación de transmisibilidad es mayor que 1, indicando que en este rango de frecuencias se amplifica el movimiento de la base. Es importante resaltar que en este rango de frecuencias, el incremento en la relación de amortiguamiento atenúa la amplificación. Para relaciones de frecuencia r > > 2 la relación de transmisibilidad es menor que 1 y el movimiento de la masa es menor que la amplitud de la base, observe también que el incremento de la relación de amortiguamiento incrementa la amplitud del movimiento de la masa.

3.17


Figura 3.13 Magnitud y argumento de H (ω) =

j c ω + k ( k − m ω2 ) + j cω

De manera similar a los temas anteriores, la respuesta pico se obtiene derivando la expresión de la transmisibilidad con respecto a la relación r elación de frecuencias d TR d 1 + (2ζ r ) 2 =0 ( r = r P ) = dt d t (1 − r 2 )2 + (2ζ r ) 2 2 2 2 (2ζ rP )2 ) − (1 + (2ζ rP )2 ) ⋅ ( −4rP (1 − rP2 ) + 8ζ2 rP ) d TR 1 8ζ rP ⋅ ( (1 − rP ) + (2 = ⋅ =0 2 dt 2 ⋅ TR ( (1 − r 2 )2 + (2ζ r )2 ) P

P

Esta condición se cumple haciendo el numerador igual a cero; simplificando si mplificando términos se obtiene: 1 − rP2 − 2ζ 2 r P4 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática para r P2 , considerando solo la respuesta positiva, se obtiene 1/ 2

 1 + 8ζ 2 − 1  1 − 1 + 8ζ 2 2   ó r P = = r P 2   −4ζ 2 ζ 4  

Otra cantidad de interés en el estudio de la excitación de la base es la fuerza transmitida a la masa como resultado del desplazamiento armónico de la base. La fuerza transmitida es calculada mediante F (t ) = k ( x − y ) + c ( x − y )

Ec 3.42

Esta fuerza debe ser igual a la fuerza de inercia de la masa m; así: F (t ) = − m x(t )

Ec 3.43

En estado estable, esta fuerza puede ser calculada mediante 1 + (2ζ r ) 2 F ( t ) = m ω x( t ) = m ω Y cos(ω t + ϕ ) (1 − r 2 ) 2 + (2ζ r )2 2

2

donde la amplitud de la fuerza transmitida puede ser determinada mediante:

3.18

Ec 3.44


FT

1 + (2ζ r ) 2 (1 − r 2 ) 2 + (2ζ r ) 2

= k Yr 2

Ec 3.45

Esta ecuación es utilizada para definir una transmibilidad tr ansmibilidad de fuerzas dado por F T kY

= r 2

1 + (2ζ r ) 2 (1 − r 2 )2 + (2ζ r ) 2

Ec 3.46

La relación de la transmisibilidad de fuerza, F T / k Y , representa como el desplazamiento de la base de amplitud Y produce produce una fuerza aplicada sobre la masa. En la figura 3.14 se representa la transmisibilidad de la fuerza en función de la relación de frecuencias para unas relaciones de amortiguamiento. F T _ _ __ k Y 100

ζ = 0,01

10

ζ = 0,1

ζ = 2

ζ = 0,2

ζ = 1

2

1

0,1

0,01 0

1

r

1,4142

2

3

4

Figura 3.14 Fuerza transmitida a la masa

Observe que a diferencia de la transmisibilidad de movimiento, la fuerza transmitida decrece para > 2 ; adicionalmente, el amortiguamiento tiende a incrementar la fuerza transmitida en este rango de r > frecuencias. Ejemplo 3.5 Una máquina pulidora de precisión es soportada por un aislador que tiene una rigidez de 1 MN/m y una constante de amortiguamiento viscoso de 1kN s/m. El piso sobre el cual está instalada la máquina es sujeto a una perturbación armónica, a una 100 Hz, debido a la operación de una máquina desbalanceada en la vecindad de la máquina herramienta. Encuentre la máxima amplitud de desplazamiento del piso si la amplitud resultante debido a la vibración del disco de corte de la máquina está restringido a 1 µm. Asuma que la máquina herramienta es un cuerpo rígido de 5000 N. La frecuencia natural de la máquina herramienta es:

ωn =

k m

=

1MN/m = 44,29rad/s 000/ 9,81) kg ( 5000/

La relación de amortiguamiento se determina mediante:

3.19


c

ζ=

2 m ωn

=

1kNs/m = 0,022 2 ⋅ ( 5000 / 9, 81) kg ⋅ 44, 29 rad/s

La relación de frecuencias es: r =

ω 200 π rad/s = = 14,185 ωn 44,29rad/s

La relación entre las amplitudes de los l os desplazamientos de la base, Y, y de la máquina, X, es dado por: 1/ 2

 1 + 2ζ r 2  ( ) X   = 2 Y  (1 − r 2 ) + ( 2 ζ r ) 2   

Por lo que se obtiene el desplazamiento máximo para garantizar el nivel permisible de la amplitud de la vibración en la máquina: 1/ 2

 (1 − r 2 )2 + ( 2ζ r ) 2   Y = X   1 + ( 2ζ r ) 2   

1/ 2

2 2  (1 − 14 14,1852 ) + ( 2 ⋅ 0, 0221 ⋅14,185 )   = 1µm ⋅  2   1 + ( 2 ⋅ 0, 0221 ⋅14,185 )  

= 169, 5 µm

Ejemplo 3.6 Una barra uniforme de masa m está pivotada en el punto O y soporta en sus extremos dos resortes, tal como se muestra en la figura 3.15. El resorte derecho está sujeto en un extremo a un desplazamiento sinosoidal x(t ) = x0 sin ω t . Encuentre la amplitud del desplazamiento angular en estado estable de la barra para los siguientes valores: L = 1 m, k = = 1 kN/m, c = 500 N s/m, m = 10 kg, x0 = 10 mm, y ω = 100 rad/s. L /4

L /2

L /4

m k

k

c

x (t ) = x 0 sin ω t

a) Configuración

L /4

x 1

L /2 m

x 2 .

k x 1

c x 2

L /4

Ο

θ

x 3 k ( x 3- x x (t ))

b) viga desplazada Figura 3.15 Ejemplo

Este problema se resolverá utilizando la segunda ley de Newton. En la figura b se presenta la viga desplazada de su posición de equilibrio y las reacciones de los resortes y del amortiguador. Tomando la suma de momentos alrededor del punto O, considerando positivo en sentido horario, se obtiene

3.20


∑ M 0 = J 0 θ ( t ) − ( k ⋅ x1 ) ⋅ 3L / 4 − ( c ⋅ x2 ) ⋅ L / 2 − ( k ⋅ ( x1 − x(t )) ) ⋅ L / 4 = J 0 θ  Organizando términos y asumiendo pequeños desplazamientos tal que se cumplan las siguientes relaciones: x1 ≅ θ ⋅ 3L / 4, x2 ≅ θ ⋅ L / 2, x3 ≅ θ ⋅ L / 4, se obtiene: J 0 θ + c ( L / 2 )

2

⋅ θ + k ( 5 L2 / 8) θ = k ( L / 4 ) ⋅ x(t )

La rigidez equivalente del sistema asociado con la coordenada θ, es k ( 5 L2 / 8) , el amortiguamiento 2

equivalente es c ( L / 2) y la amplitud de la fuente que genera la vibración es: k ( L / 4) ⋅ x0 . La frecuencia natural del sistema, se obtiene mediante: J 0

2

2

= 11210 kg ⋅ (1m ) + 10kg ⋅ ( 0, 25 m ) = 1, 4583 kg m 2

ωn =

k ( 5L2 / 8 ) J 0

1 kN/m ⋅ ( 5 ⋅ (1 m ) / 8 ) 2

=

1,4583kgm 2

= 428, 57 rad rad / s

La relación de amortiguamiento del sistema es:

ζ=

c ( L / 2 )

2

2 J 0 ωn

2

500 Ns/m ⋅ ( 0,5 0, 5 m) = = 0,1 2 2 ⋅ 1, 4583kg m ⋅ 428, 57 rad/s

La relación de frecuencias es: r = ω

ωn = 100/ 428,57 ,57 = 0,23 ,233

La amplitud en estado estable del sistema siste ma se obtiene:

θ0 =

( k ⋅ L / 4 ⋅ x0 ) 2 2

( k ⋅ (5L2 / 8))

(1 − r ) + ( 2ζ r )

2

x0

=

5L / 2

2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r )

2

10mm / ( 5 ⋅ 500 mm mm )

=

2 2

(1 − 0, 233 ) + ( 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0, 233)

2

21⋅10−3 rad = 4, 21

3.6 FUERZA TRANSMITIDA Si se tiene una fuente que genera una fuerza F (t ), ), el sistema transmite una fuerza a través del resorte y del amortiguador a la base. En la figura 3.16 se presenta los fasores que permiten obtener la relación entre la fuerza que produce la vibración y la fuerza transmitida. Im .. m x (t ) = -m -m ω2 x (t )

. c x x((t ) = i c ω x (t )

F T

F (t )

ϕ

k x x (t )

O

Re

Figura 3.16 Fasor de la fuerza transmitida

De la figura se obtiene la ecuación ec uación vectorial

3.21


−mω2 X (ω) + j cω X (ω) + k X (ω) = F (ω) j cω X (ω ) + k X (ω) = FT (ω)

Ec 3.47

Al dividir las dos ecuaciones se obtiene la relación buscada: FT (ω) F (ω)

=

k + j c ω 2

k − mω

+ j cω+ k

Ec 3.48

La relación entre las amplitudes de la fuerza se denomina Transmisibilidad : TR =

FT F

=

(cω)2 + k 2 1 + (2ζ r ) 2 = (k − mω2 ) 2 + (cω)2 (1 − r 2 )2 + (2 (2ζ r )2

Ec 3.49

La relación entre la fuerza que produce la vibración y la fuerza transmitida a la base es idéntica a la relación entre las relaciones de amplitudes del tema movimiento de la base. 3.7 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB En la figura 3.17 se muestra un sistema de un grado de libertad, correspondiente con el movimiento horizontal, con amortiguamiento de Coulomb o fricción seca, sometido a una fuerza armónica dada por F (t ) = F 0 sin ω t . x mg k m

µ

F (t )

a) Modelo del sistema x

x

mg k x

mg k x

F (t )

F (t )

µ N

µ N N

N

b) Diagrama de cuerpo libre Figura 3.17 Sistema de un grado de libertad con fricción seca

La ecuación de equilibrio del sistema es dada por: m x(t ) + k x(t ) ± µ N

= F0 sin ω t

Ec 3.50

donde el signo de la fuerza de fricción es positivo cuando la masa se mueve desde la izquierda hacia la derecha, y negativo cuando se mueve en sentido contrario. La solución de la ecuación diferencial es bastante complicada. Sin embargo, si la fuerza de fricción es pequeña comparada con la amplitud de la fuerza aplicada, F 0, la respuesta en estado estable es muy cercana a una fu nción armónica. En este caso, se prefiere determinar el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente. La determinación de este coeficiente se obtiene al evaluar la energía disipada por ciclo debido a la fricción seca. Si la amplitud de la vibración es denotada por A, la energía disipada en un cuarto de ciclo es µ NA . Por lo tanto, la energía disipada en todo ciclo es

∆ E = 4 µ NA

3.22

Ec 3.51


Al igualar a la energía disipada por el amortiguador equivalente, se obtiene:

∆ E = 4 µ NA = π ceq ω A2

Ec 3.52

Simplificando términos, se obtiene: ceq

=

4 µ N

Ec 3.53

π ω A

La respuesta en estado estable es dada por: x (t ) = A sin ( ω t − φ )

Ec 3.54

donde la amplitud A puede ser determinada mediante F0

A =

2 2

2

F0 / k

=

2

 ω   ω  1 − 2  +  2ζ eq ωn   ωn  

( k − mω ) + ( c ω )

2

eq

2

Ec 3.55

donde

ζ eq =

ceq ccr

=

ceq

2m ωn

=

4µ N 2µ N = 2 mωn π ω A mωnω π A

Ec 3.56

Reemplazando este resultado en la ecuación de la amplitud de la l a vibración en estado estable, se obtiene: F0 / k

A =

2 2

(1 − r ) + ( 4µ N π k A)

2

Ec 3.57

De la solución de esta ecuación se obtiene la amplitud A =

F 0

1 − ( 4µ N π F 0 )

k

1 − r 2

2

Ec 3.57

Si la fuerza de fricción es pequeña comparada con la amplitud de la fuerza armónica, F 0, entonces se puede utilizar el reemplazo del amortiguador equivalente. El valor límite se obtiene del numerador del radical, tal que evite valores imaginarios de la amplitud 2

 4µ N   >0 π F 0  

1− 

ó

F 0

>

4µ N π

Ec 3.58

Ejemplo 3.7 Un sistema de masa 10 kg y rigidez 20 kN/m desliza sobre una superficie seca con un coeficiente de fricción µ = 0,1. La masa es conducida por una fuerza armónica de 100 N a un frecuencia de 18 Hz. Determine la amplitud de la vibración vi bración y el coeficiente de amortiguamiento equivalente. Para utilizar el concepto del amortiguador equivalente, se requiere comparar la fuerza con la fuerza de fricción, F0 > 4µ N π . En el ejemplo planteado, la magnitud de la fuerza es 100 N. La fuerza de fricción de comparación es dada por: 4µ N π = 4 ⋅ 0, 0 ,1 ⋅ 98 98,1 N / π = 12, 5 N , que es menor que la magnitud de la fuerza.

3.23


La frecuencia natural del sistema es: 00N/m 10kg = 44,72ra ,72rad/s ωn = k m = 20000N/m Con una relación de frecuencias r =

ω 2π ⋅18 ra rad/s = = 2,53 ωn 44,72rad/s

La amplitud de la vibración se determina mediante A =

F 0

1 − ( 4µ N π F 0 )

k

1 − r 2

2

2

1 − ( 4 ⋅ 0,1 ⋅ 98,1 N/π ⋅10 1 00 N ) 100N = = = 918, 5µm 20N/m 1 − 2, 532

El coeficiente de amortiguamiento equivalente se obtiene mediante

ceq

=

4 ⋅ 0,1 ⋅ 98,1N 481kN s/m s/m = 481kN −6 π ω A π ⋅ 36π r ad/s ⋅ 918, 5 ⋅10 m 4 µ N

=

3.8 INSTRUMENTOS PARA LA MEDICIÓN DE LA VIBRACIÓN Un instrumento que cambia un movimiento mecánico en una señal de voltaje es conocido como un transductor. En la figura 3.18 se representa el esquema de los acelerómetros, los cuales generan una señal de voltaje proporcional a la aceleración.

k V 0

.. m x x((t )

x((t ) x m

m y((t ) y

c

. . c[ x x((t ))- y( y(t )] )] k [ x x((t ))- y( y(t )] )]

Figura 3.18 Diagrama esquemático de un acelerómetro

La ecuación de movimiento de un sistema con la excitación de la base es estudiada en el apartado 3.5. De la ecuación de equilibrio sobre la masa m se obtiene: m x(t ) = − c ( x − y ) − k ( x − y )

Ec 3.59

En este modelo, se asume que el acelerómetro es montado sobre una estructura con movimiento armónico, y(t ) = Y sin ωt . El movimiento de la masa del acelerómetro relativo a la base es denotado por z(t ), ), definido mediante: z (t ) = x(t ) − y(t )

Ec 3.60

Ecuación del movimiento en función del movimiento relativo puede ser expresado mediante: m z + c z + k z

= m ω2 Y sin ωt

Ec 3.61

La solución en estado estable es dado por z ( t ) =

m ω2 Y k 2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r ) La relación de amplitudes es dado por

3.24

2

sin ( ωt − φ )

Ec 3.62


Z Y

r 2

=

2

(1 − r 2 ) + ( 2ζ r )

Ec 3.63

2

El ángulo de fase es obtenido mediante la siguiente expresión: tan φ =

2 ζ r 1 − r 2

Ec 3.64

En la relación de amplitudes, amplit udes, están involucrados la relación de amplitudes y el factor de amortiguamiento. La figura 3.19 muestra relación en función de ambas variables. El tipo del instrumento está determinado por el rango útil de frecuencias con c on respecto a la frecuencia natural, ωn, del instrumento. Cuando la frecuencia natural del instrumento, ωn, es baja respecto con la frecuencia de la vibración, ω, la relación de frecuencias toma valores altos y la relación de amplitudes se aproxima a la unidad para cualquier relación de amortiguamientos: lim Z lim = r → ∞ Y r → ∞

r 2 2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r )

2

=1

Ec 3.65

Estos instrumentos se denominan Sismógrafos. Una de las desventajas de los sismógrafos es su gran tamaño. Ya que la relación de amplitudes es unitaria, el movimiento relativo de la masa sísmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la l a vibración que se va a medir. Sismógrafos / Y Z Y 3,0

2,5

ζ = 0 2,0 s o r t e m ó r e l e c A

1.5

ζ = 0,25

ζ = 0,5

1,0

ζ = 0,75 0,5

ζ = 1

0 0

0.5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

r

Figura 3.19 Respuesta de un instrumento medidor de vibraciones

Cuando la frecuencia natural del instrumento es alta comparada con la frecuencia de la vibración que se va a medir, el instrumento indica aceleración. De la expresión 3.63, es posible obtener la siguiente expresión:

ω2n Z =

1 2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r )

3.25

2

ω2Y

Ec 3.66


1

Para relaciones de frecuencia pequeñas, el termino

2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r )

2

tiende a la unidad, por lo que el

valor de la amplitud del movimiento relativo, Z , tiende a ser proporcional a la aceleración del movimiento que se va a medir. En la figura 3.20 se presenta el termino ω2n Z / ω2Y , en función de la relación de frecuencias y de la relación de amortiguamiento. Es importante conocer el rango de frecuencias que se requiere medir con un acelerómetro, por que tal como se muestra en la figura 3.20, se requiere de relaciones de frecuencias muy bajas para disminuir el error en la lectura. Algunos autores recomiendan que la relación entre la frecuencia de la vibración a medir y de la frecuencia natural del instrumento se encuentre en el límite: l ímite: 0 < ω ωn < 0, 2 Z ω n2 Y ω 2

1,20 1,15 1,10

ζ = 0,5 ζ = 0,6

1,05 1,0

ζ = 0,65 0,95

ζ = 0,75 ζ = 0,7

0,90

ζ = 0,8

0,85 0,80 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 r

Figura 3.20 Influencia de la relación de frecuencias en un acelerómetro

Ejemplo 3.8 Calcule el coeficiente de amortiguamiento y la rigidez para un acelerómetro con una masa de 40 g tal que el acelerómetro esté en capacidad de medir vibración entre 0 y 50 Hz con un error máximo de 1%. Para el diseño del acelerómetro, se puede tomar como relación de frecuencias límite la recomendación dada por ω ωn = 0,2 0, 2 , en su frecuencia máxima. Por lo tanto, se obtiene una relación de frecuencias:

ωn = 5 ω = 5 ( 2 π 50 ) = 1570, 8 rad/s De la relación entre la lectura del instrumento y la aceleración medida es posible obtener del factor de amortiguamiento del instrumento, evaluando el error cuando se toman lecturas a una frecuencia de 50 Hz:

ω2n Z = (t ) y

1 2 2

(1 − r ) + ( 2ζ r )

2

= 1,01

Reescribiendo esta ecuación se obtiene una expresión para el factor de amortiguamiento: 3.26


2

2 (1 − r 2 ) + ( 2ζ r ) = 0, 98

Con lo que es posible obtener

ζ=

0, 91 − (1 − r 2 ) 2r

2

2

=

0, 98 − (1 − 0, 2 2 ) 2 ⋅ 0, 2

= 0,606

Con lo que es posible calcular la l a rigidez equivalente y la constante del amortiguador: k c

= m ω n2 = 40g ⋅1570,8rad ,8rad/s = 98,7kN/ ,7kN/m

6 06 ⋅ 40g ⋅1570 ,8 rad/s = 76 ,15 15 N s/m = 2 ζ m ωn = 2 ⋅ 0 ,60

3.9 EJERCICIOS VIBRACIÓN GENERAL 3.1 Un sistema de masa equivalente de 30 kg, que tiene una frecuencia natural de 50 rad/s y una relación de amortiguamiento de 0,12, es sujeta a una excitación armónica de amplitud 2000 N con frecuencia 150 rad/s. Determine la amplitud de estado estable de la vibración y el ángulo de fase. R: A0 = 3,33mm φ = 3,0518rad 3.2 Un componente de una máquina tiene una masa m de 2 kg excitado por una fuerza armónica de amplitud F = = 25 N está en resonancia, f = = 5 Hz, con un desplazamiento de amplitud xP = 10 mm. Determine el coeficiente de amortiguamiento del sistema. Si la frecuencia de la fuerza de excitación pasa a ser f = 4 Hz y se prescinde del elemento amortiguador, cuál es la amplitud del desplazamiento en régimen estacionario? R: a) ζ = 0,6332 , b) Se presenta un aumento del 258% de la vibración 3.3 El comportamiento vibratorio de una bancada en el que se instala un motor se puede describir con suficiente aproximación como un sistema de 1 GDL con movimiento vertical. La frecuencia de rotación del motor es f = = 50 Hz y la vibración es debida al desequilibrio del rotor. Se determinó experimentalmente que para este sistema la frecuencia propia es f n = 40 Hz, la relación de amortiguamiento es ξ = 0,025, y que excitado a esta frecuencia con una fuerza de amplitud F = = 100 N el desplazamiento tiene una amplitud x = 1 mm. Determine a) La separación temporal entre dos máximos consecutivos y el decremento logarítmico de la respuesta libre b) La masa m, la constante de rigidez ri gidez y la constante de amortiguamiento del sistema Se pone en funcionamiento el motor y se observa que la vibración de la bancada es de amplitud x1 = 0,1 mm y se decide modificar la bancada b ancada duplicando la masa total. Determine c) La fuerza de excitación provocada por el funcionamiento del motor d) La vibración x2 de la bancada y la fuerza transmitida transmiti da a la base después de la modificación Repita el apartado d) si la l a modificación consiste en duplicar la rigidez. R: a) T d = 25ms , b) k = 69 kN kN/m m = 2,8kg c = 35,15Ns/m , c) = 176, 69 3.4 Un motor eléctrico de 68 kg de masa está montando en un bloque aislante de 1200 kg y, la frecuencia natural de todo el sistema es ωn = 16 rad/s con un factor de amortiguamiento ζ = 0,1. Sí existe un desbalance en el motor que origina una fuerza armónica de amplitud 100 N a una frecuencia de 31 rad/s, determine la amplitud de la vibración del bloque y la fuerza transmitida al piso R: A0 = 111µm

3.27


3.5 Determine la amplitud de vibración torsional en estado estable del sistema mostrado en la figura P 3.5. El momento de inercia de masas del volante es J = = 0,8 kg m2; el eje es de acero, de un 1,2 m de longitud, con un momento de inercia de áreas I P = 3,8 10-6 m 4. La excitación en el extremo puede ser representado por una función armónica dado por φ = 0 ,3sin20 rad. ( θ = 0,02 026 rad) 3sin2000 00t ra θ(t )

0,3 sin 2000 t , rad

I P, G J

L

Figura P 3.5 3.6 Un cuerpo de masa 6 kg soportado por un resorte de rigidez 1500 N/m es forzado a vibrar por una fuerza armónica de 10 N. Asumiendo un amortiguamiento viscoso de 100 N s /m, determine i) la frecuencia de resonancia, ii) la amplitud en resonancia, iii) el ángulo de fase a la frecuencia de resonancia, iv) la frecuencia correspondiente con la amplitud pico, v) la amplitud pico, y vi) el ángulo de fase correspondiente con la amplitud pico. R: a) ωn = 15,81rad/s , b) A0 = 6,33mm , c) π /2, d) ωP = 10,54rad/s , e) A0 = 7,44mm , f) ϕ = 0,902rad 3.7 Un compresor de 30 kg es instalado sobre un sistema de aislamiento de rigidez k = 600 kN/m. Cuando es excitado por una fuerza armónica de 350 N de magnitud y 100 rad/s, la diferencia de fase entre la fuerza y la vibración en estado estable es de 24,3°. Determine el amortiguamiento equivalente del sistema y la amplitud de la l a vibración en estado estable. R: ζ = 0,16 , A0 = 1,06mm 3.8 Encuentre la amplitud de la oscilación angular en estado estable para el sistema mostrado en la figura P.3.8. Considere los siguientes datos: ω = 1,5 rad/s, k 1 = 1,5 kN/m, k 2 = 800 N/m, c = 200 N s/m, 2 m = 13 kg, R = 60 mm, J 0 = 1,5 kg m , F 0 = 15 N, θ(t )

J 2 R

k 1

R

k 2

m F (t )

Figura P.3.8

c

R: θ0 = 0,1303rad 3.9 Determine la amplitud de la vibración angular del sistema mostrado en la figura P.3.9. La fuerza de excitación es armónica con frecuencia de 100 rad/s y una amplitud de 800 N, la viga es de 2 m de longitud y 15 kg, la constante del amortiguador es c = 120 N s/m, y el resorte tiene una rigidez k = = 7 kN/m. Figura P.3.9

R: θ0 = 0,00 ,0098ra 8rad = 0,56 ,56° 3.28


3.10 Un rotor uniforme y delgado de 6 kg y radio 125 mm, está unido a un amortiguador torsional de coeficiente c = 4 N m s/rad, y a un eje solido de acero con diámetro 12,7 mm y 450 mm de longitud. El disco es excitado por un par de 200 N m, a una frecuencia de 50 Hz. Cuál es la amplitud de la rotación en estado estable del rotor? R: θ0 = 0, 04 0459 ra rad = 2, 63 63° 3.11 En la respuesta en estado estable del sistema mostrado en la figura P.3.11, la relación entre amplitudes sucesivas es 2,8:1. Determine la respuesta de la máquina cuando es sometido a una fuerza de magnitud 2800 N a una frecuencia de 1800 min-1. Figura P.3.11 R: A0 = 1,0954mm 3.12 Una masa de 300 kg es instalada sobre un soporte de masa despreciable, soportado por un resorte de rigidez k = = 40 kN/m, y un amortiguador de coeficiente de amortiguación desconocido. Se observa que la masa vibra con una amplitud de 10 mm cuando el soporte está vibrando con una amplitud máxima de 2,5 mm en resonancia. Calcule la constante del amortiguador y la amplitud de la fuerza sobre la base. R: c = 894,43Ns/m , F T = 400N 3.13 El propulsor de un lancha, de 10000

kg y momento de inercia de masa J = = 20 m 30 m 2 10000 kg m , es conecta a una máquina mediante un eje propulsor 0,6 m 0,4 m 0,4 m escalonado hueco de acero, tal como Máquina se muestra en la figura P.3.13. A Asumiendo que el agua provee una relación de amortiguamiento equivalente de 0,1, determine la 0,3 m respuesta torsional vibratoria en estado estable del propulsor cuando la Eje propulsor escalonado hueco máquina induce un desplazamiento angular armónico de 0,05 sin 314,16 t rad en la base, punto A, del eje del R: La-4 respuesta en estado estables es: 8 10 sin (314,16 t – 1,9127) propulsor. Figura P.3.13 MASAS DESBALANCEADAS 3.14 Una turbina desbalanceada de 1000 kg es montada sobre un sistema de resortes y amortiguadores. Cuando la velocidad de operación es 20 Hz, la amplitud de la vibración en estado estable es 0,08 mm. Cuando se incrementa la frecuencia, aumenta la amplitud hasta 0,25 mm a 40 Hz y con 0,5 mm a altas velocidades. Determine la rigidez equivalente y el amortiguamiento equivalente del sistema. R: k = = 93,076MN/m , c = 48,832kNs/m 3.15 Una máquina de masa m = 450 kg está instalada sobre unos elementos elásticos que se deforman -1 xest = 5 mm debido al propio peso. Si la máquina tiene una un rotor que gira a n = 1200 min con un desequilibrio de 0,25 kg m, determine la amplitud de la fuerza transmitida a la base y la amplitud del movimiento de la máquina. ( F T = 560 N, A = 634 µm) Si la máquina se monta sobre una losa de hormigón de 1200 kg y la rigidez de los elementos elásticos aumenta para mantener la deformación estática en 5 mm, cuáles son las nuevas amplitudes? (F T = 560 N, A = 173 µm) 3.16 Un motor, con una masa desbalanceada equivalente a m0e = 706 g m, está montado sobre un sistema aislador compuesto por un resorte y un amortiguador. Determine: a) la amplitud de la vibración sí la

3.29


frecuencia de operación es de 20 Hz, b) la fuerza transmitida al bastidor. Datos: m = 450 kg, k = A = 1,8 mm, F T = 1,63 kN) 903,7 kN/m, c = 500 Ns/m. ( A 3.17 Un disco circular que gira alrededor de su centro geométrico tiene dos agujeros A y B. el diámetro y posición de los agujeros son: d A = 25,4 mm, r A = 76,2 mm, θA = 0°, d B = 12,7 mm, r B = 50,8 mm, θB = 90°. Determine el diámetro y la posición de un tercer agujero a un radio de 25,4 mm para balancear el disco. R: θC = 189, 5°; d C = 44, 3 mm 3.18 Una viga de acero doblemente empotrada, de longitud 5 m, inercia I = 0,0015 m4, soporta en su punto medio un motor eléctrico de 75 kg y velocidad 1200 min -1, tal como se muestra en la figura P.3.18. Se conoce que existe un desbalance m0e = 0,2 kg m en el rotor del motor. Encuentre la amplitud de la vibración en estado estable debido al motor. m0e

δest

Figura P.3.18

Recuerde: la deflexión estática de una viga doblemente empotrada, debido a una f uerza P, es dada por: 3

δest =

PL

192 E I

R: A0 = 6, 9 µm 3.19 Una máquina industrial de 500 kg es soportada por resortes con una deflexión estática de 5 mm. Si la máquina tienen una masa desbalanceada de 254 g m, determine: i) la fuerza transmitida al piso a 1200 min-1, y ii) la amplitud de la vibración a esta velocidad. Si la máquina es montada sobre un bloque de concreto de 1250 kg, y la rigidez de los resortes debajo del bloque es incrementa tal t al que la deflexión estática continúe en 5 mm, cuál es la amplitud de la vibración? R: i) F T = 569 N, ii) A = 0,58 mm, iii) A = 0,167 mm CABECEO DE EJES 3.20 Un rotor está localizado en el centro de un eje simplemente apoyado de longitud 508 mm y diámetro 50,8 mm. El rotor tiene una excentricidad de 254 µm y una masa de 7000 kg. Determine: a) La velocidad crítica del eje, b) la amplitud de la separación del centro del eje y la línea de centros de los apoyos si opera a n = 1800 min-1, c) la fuerza variable sobre los apoyos. ( ωc = 58,48 rad/s, r = = 281 µm, F T = 3,36 kN). 3.21 Un eje de acero de 25 mm de diámetro y una longitud de 1 m es soportado en los extremos por rodamientos. El eje conduce a una turbina, de masa 29 kg y excentricidad 5 mm, en el punto medio y opera a 6000 min -1. El amortiguamiento del sistema es equivalente a un amortiguador viscoso con ζ = 0,01. Determine la amplitud del cabeceo del disco a: a) la velocidad de operación, b) velocidad crítica, y c) 1,5 veces la velocidad crítica. Determine las reacciones en los apoyos para cada velocidad mencionada. R: a) r = 5,1mm , F T = 467N , b) r = = 250mm , F T = 23kN ,c) r = 9 mm , F T = 828N MOVIMIENTO DE LA BASE 3.22 Una lengüeta de control del elevador de un aeroplano es pivotado sobre un eje en el elevador, mostrado como O en la figura P.3.22, el cual es activado por un eslabón de control que se comporta como un resorte torsional de rigidez k t. El momento de inercia de la lengüeta de control es J 0 tal que la frecuencia natural del sistema es ωn = kt / J 0 .

3.30


Elevador J 0

Lengueta

k T

k 1

k 2

L X 0 sin ωt

Figura P.3.22

Debido a que la rigidez torsional no puede ser calculada exactamente, es necesario obtener la frecuencia natural experimentalmente. Con este fin el elevador es fijado y la lengüeta es excitada armónicamente por medio del resorte de rigidez k 2 a la vez que es restringido por el resorte de rigidez k 1, tal como se muestra en la figura P.3.22. La frecuenta de excitación es variada hasta que la frecuencia de resonancia, ωr, del sistema completo es alcanzada. Calcule la frecuencia natural ωn de la lengüeta de control en términos de ωr y los parámetros del experimento. R: ωn = ωr2 −

k1 L2

+ k2 L

J 0

3.23 Una masa de 300 kg es instalada sobre un soporte de masa despreciable soportado por un resorte de rigidez 40 kN/m y un amortiguador de coeficiente de amortiguación desconocido. Se observa que la masa vibra con una amplitud de 10 mm cuando el soporte está vibrando con una amplitud máxima de 2,5 mm en resonancia. Calcule la constante del amortiguador y la amplitud de la fuerza sobre la base. R: c = 894,43Ns/m , F T = 400N 3.24 Se instalará un instrumento delicado de masa m = 110 kg, sobre una superficie que vibra a f = = 20 Hz con una aceleración de amplitud aP = 0,15 m/s2. Si entre la superficie y el instrumento se intercala un elemento elástico de rigidez k = 300 N/mm y un amortiguador c = 500 N s/m, determine la amplitud de la aceleración transmitida al instrumento. (32 mm/s2). 3.25 En un modelo de una suspensión de una motocicleta de 250 kg, se considera la suspensión como un resorte de rigidez 70 kN/m y un coeficiente de amortiguamiento de 0,15. La motocicleta mot ocicleta viaja por un camino que es aproximadamente sinosoidal con una distancia entre picos de 10 m y una distancia entre el pico y el el valle de 100 mm. Cuál es la amplitud de de la aceleración que siente el pasajero si viaja a 30 km/h, y a 120 km/h. R: X1 = 72 mm; X 2 = 118 mm 3.26 Un vehículo tiene una frecuencia natural al movimiento vertical de 1,33 Hz. El vehículo transita por una carretera con un perfil con variación de elevación dado aproximadamente por una función sinusoidal. La distancia desde el pico y el valle es de 100 mm y la distancia entre picos sobre la carretera es de 3,22 m. Asuma que el vehículo se puede representar por un sistema de un solo grado de libertad: a) cuál es la velocidad crítica del vehículo si éste no tiene tie ne absorbedor de impacto, b) cuál es la amplitud de la vibración vertical sí el vehículo se desplaza a 56 km/h? ( vc = 15,42 km/h, A = 4,1 mm). 3.27 La vibración sobre el piso de un laboratorio es dada por un movimiento armónico simple a un frecuencia en el rango de 15 – 60 Hz, dependiendo de la velocidad de una planta reciprocante cercana. Se desea instalar en el laboratorio un instrumento sensible que requiere aislamiento de la vibración del piso. El instrumento está instalado sobre una plataforma soportada por tres resortes iguales que descansan sobre el piso, organizados para soportar cargas iguales. El movimiento es restringido para tener solo movimiento vertical. La masa combinada de la plataforma y el instrumento es de 40 kg; la masa de los resortes puede ser despreciada y la relación de amortiguamiento de 0,2. Calcule el valor máximo para la rigidez de los resortes, si la amplitud de la

3.31


vibración transmitida debe ser menor al 10% de la vibración del piso en el rango de frecuencias dadas. (k = = 5,4 kN/m). 3.28 En la figura P.3.28 se representa un sistema en el que un componente soporta una vibración u(t ) el cual puede ser representado por una función armónica, u(t ) = U sin ω t . Encuentre: a) la ecuación diferencial del sistema, b) la amplitud de la vibración en estado estable de la masa m, c) la amplitud de la fuerza transmitida a la estructura. Considere los siguientes valores, U = = 3 mm, ω = 50 rad/s, = 10 kN/m, c = 300 N s/m m = 10 kg, k = x (t )

Estructura

u(t )

c

k

c m

componente con vibración

k

Figura P.3.28

R: a) m x + 2 c x + 2 k x = c y + k y , b) F T = 32,06N 3.29 Una esmeriladora de precisión es soportado por un sistema aislador de rigidez 1MN/m con coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente de 1 kNs/m. El piso sobre la que máquina es instalada, es sujeta a una perturbación debido a la operación de una máquina desbalanceada cercana a la esmeriladora. Encuentre la máxima amplitud de desplazamiento aceptable para el piso si la amplitud resultante de la rueda esmeriladora debe ser restringido a 1 µm. Asuma que la máquina esmeriladora y la rueda son un cuerpo rígido con peso de 5000 N. R: Y = = 0, 04 043µm 3.30 Durante un temblor de tierra el marco de la estructura de un almacén de un piso, mostrado en la figura P.3.30, es sujeto a una amplitud de aceleración de 45 m/s2 a una frecuencia de 92 Hz. Determine la amplitud de la vibración de la viga. Asuma que la viga es rígida y tiene una relación de amortiguamiento de 0,04. La rigidez equivalente de cada columna es k = = 1 MN/m Figura P.3.30 R: A0 = 0, 87 µ m FUERZA TRANSMITIDA 3.32 Una máquina de masa 250 kg produce una fuerza vertical que oscila sinusoidalmente con una frecuencia de 25 Hz. Se desea que la fuerza transmitida al piso sea menor a 0,4 veces la fuerza oscilante en la máquina. Para este propósito, se utilizan unos elementos elásticos, los cuales se consiguen en unidades, cada uno de estos tiene una rigidez equivalente de 359 kN/m y un coeficiente de amortiguamiento de 2410 N s/m. Cuántas unidades se necesitan para este propósito?. FRICIÓN 3.33 Determine la amplitud de vibración del bloque de 10 kg del sistema mostrado en la figura P.3.33. El coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es µ = 0,15, el resorte tiene una rigidez de = 10,5 kN/m. La amplitud de la vibración es Y = = 3 mm a una frecuencia ω = 50 rad/s. k =

3.32


x((t ) x

y((t ) = Y sin y sin (ω (ωt )

k

m

Figura P.3.33 R: A = 1,746mm 3.34 Un bloque de 18 kg está unido a un resorte de rigidez 120 kN/m, y puesto sobre una superficie que forma un ángulo de 25° con la horizontal. Una fuerza armónica de 250 N y frecuencia 12 Hz actúa sobre el bloque y produce una amplitud de la vibración de 13,7 mm. Cuál es el coeficiente de fricción entre la superficie y el bloque?. R: µ = 0,3 ACELERÓMETROS 3.35 En la figura P.3.35 se presenta una barra uniforme rígida de masa 8 kg y 2 m de longitud, sobre la que actúa una fuerza periódica dada por la expresión: F (t ) = 500 si sin(60t) + 350 si sin(45t) . En el punto A se tiene un acelerómetro de frecuencia natural 90 Hz y un amortiguamiento de 0,7. Determine el valor rms de la señal del acelerómetro en estado estable. Considere los siguientes valores k 1 = 50 kN/m, k 2 = 60 kN/m, c = 150 N s/m. L /4

L /4

L /4

F (t ) L /4

A k 1

R: Valor rms del acelerómetro: 25,65 m/s 2

k 2 c

Figura P.3.35

3.36 Un acelerómetro, utilizado para para medir la vibración en estado estable a 60 Hz, registra una amplitud de 127 µm. La características del instrumento son: masa 9,23 g, constante de rigidez 588,7 N/m, coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente 0,232 Ns/m. Cuál es la aceleración real dada en múltiplos de g?. ( y = 1,02 g ) 3.37 Un sistema masa resorte, en el que se observa una deflexión estática de 10 mm y amortiguamiento despreciable, es utilizado como instrumento para medir vibraciones. Cuando el sistema es instalado sobre una máquina que opera a 4000 min-1, la amplitud relativa es de 1 mm, Encuentre los valores máximos de desplazamiento, velocidad y aceleración de la máquina. R: Y = = 0,99mm , y máx = 414,7mm/s , ymáx = 173,7m/s2 3.38 Un acelerómetro tiene una frecuencia natural de 80 Hz y un coeficiente de amortiguamiento de 8 N s/ m. Cuando es instalado a una estructura vibrando, tiene una lectura de 8 m/s 2 a una frecuencia de 50 Hz. La verdadera aceleración de la estructura es 7,5 m/s 2. Determine la masa y la rigidez del acelerómetro. MISCELANEA 3.39 Una barra uniforme de masa m = 12 kg, es pivotada en el punto O y soportada en sus extremos por dos resortes de rigidez k 1 = 5 kN/m y k 2 = 3 kN/m, y por un amortiguador con una constante de amortiguamiento c = 600 N s/m, tal como se muestra en la figura 1. El resorte PQ en el extremo P es sujeto a un desplazamiento sinusoidal con una amplitud de 30 mm a una frecuencia de 3 Hz. Determine la amplitud de desplazamiento angular de la barra en estado esta do estable

3.33


L /4

L /4

L /2 Q

k 1

O

k 2

c

P x((t ) = A x = A sin( sin(ω t )

Figura 1 3.40 Un disco sólido de acero, de diámetro 125 mm y espesor 25 mm, es soportado en el punto medio por un eje de acero; el disco de acero tiene una excentricidad de 4 mm. El eje de acero está simplemente apoyado, el eje es de 500 mm de longitud y 12 mm de diámetro. Determine la amplitud del cabeceo del eje cuando opera al 50 % de la velocidad crítica y al 90 % de la velocidad crítica. Considere que el eje tiene una relación de amortiguamiento viscoso equivalente ζ = 0,035. 3.41 La barra rígida y uniforme de 5 kg y 2,5 m de longitud, mostrada en la figura 1, es instalada en posición horizontal soportado por un resorte de constante k 1 = 700 N/m y por otro de constante k 2 desconocida, adicionalmente se dispone de un amortiguador de constante c desconocida; en esta configuración los resortes no están deformados. Después de instalarse la viga, se observa que empieza a oscilar angularmente debido al peso de la viga; se observa que la respuesta se atenúa con una relación de amplitudes de 2:1 entre dos amplitudes consecutivas. La viga se estabiliza bajo su propio peso en una configuración girada 2° de la configuración horizontal en sentido horario. E n su configuración de equilibrio, es excitada por una fuerza armónica de 30 N a una frecuencia de 2 Hz, tal como se muestra en la figura. Determine la amplitud de las vibraciones alrededor de la posición de equilibrio estático del sistema. (25 puntos). L /4

L /4 O

L /4

L /4

m c

k 1

F (t )

k 2

Figura P 3.41 Ayuda: represente el diagrama de cuerpo libre en su configuración de equilibrio estátic o. Delta = 0,6931 Zita = 0,1097

3.34

Vibración Forzada

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