Soci edad Matem´ atica Peruana
´ tica (ONEM 2013) X Olimpiada Nacional Escolar de Matematica a Primera Fase - Nivel 2
23 de agosto de 2013 - La prueba prueba tiene una duraci´ duracion o´n m´ axima axima de 2 horas. - No est´ a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco blanco y los reversos reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´ alculos. alculos. - Entre Entrega ga solamen solamente te tu hoja de respue respuesta stass tan pront prontoo consid considere eress que has termin terminado ado con la prueba. En caso de empate se tomar´ a en cuenta la hora de entrega. - Puedes Puedes llevarte llevarte las ho jas con los enunciado enunciadoss de las preguntas. preguntas. MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Una empresa empresa que se dedica al remate de propiedade propiedadess y autom´ oviles oviles public´ o en el peri´odico odico un anuncio de remate de un autom´ovil ovil a un precio base de $ 3270. Al momento del remate, como el precio base no interes´o mucho al p´ ublico, se tuvo que reducir en $ 350. El primer postor ublico, ofreci´ o $ 50 m´ as del precio base, el segundo postor ofreci´ as o $ 20 m´ as que el primer postor, el as tercero $ 30 m´ as que el segundo postor, y finalmente se adjudica el remate un cuarto postor as que paga un total de $ 3170. ¿Cu´ anto anto m´ as que el tercer postor ofreci´o pagar el cuarto postor? as A) $ 150
B) $ 90
C) $ 210
D) $ 130
E) 200
2. Pedro Pedro tiene tiene 85 billet billetes es entre entre billete billetess de S/. 50 y S/. 20 nuev nuevos os soles, soles, si en total total Pedro Pedro tiene tiene S/. 2300 nuevos soles. ¿Cu´ antos antos billetes hay m´ as de un tipo que del otro? as A) 10
B) 20
C) 45
D) 65
E) 40
3. La cuarta cuarta parte parte de una cuadril cuadrilla la de obrero obreross puede puede realizar realizar la sexta sexta parte de una obra en 4 d´ıas. ıa s. ¿Cu´ ¿C u´antos antos d´ıas le tomar´ıa ıa a la l a cuadril c uadrilla la completa complet a realiza r ealizarr dicha di cha obra? ob ra? A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 12
´ 4. Carlit Carlitos os estudi estudiaa en el Instit Instituto uto de Matem´ Matem´ atica. La nota final del curso de Algebra es el promedio de las siguientes tres notas: el examen parcial, el examen final y el promedio de pr´ acticas. acticas. Carlitos obtuvo obtuvo 13 en el examen parcial y 12 como promedio promedio de pr´ acticas. Sabiendo que en el Instituto de Matem´atica atica se aprueba aprueba con nota m´ınima 14, ¿cu´ antos puntos como m´ınimo debe obtener Carlitos en el examen final para poder aprobar este curso? A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
5. Sean Sean m y n n´umeros umeros enteros positivos, con m > n, para los cuales definimos los polinomios: P (x) = x
m
Q(x) = x
+ 2x + 1 ,
+n
m
n
−
x
m
+ 1.
Si al sumar los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 7, y al multiplicar los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 12, halla m2 + n2 . A) 17
B) 29
C) 34 1
D) 13
E) 20
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Primera Fase - Nivel 2
6. Si x y t son n´ umeros reales positivos tales que umeros
1 x
−
1 t
= 42, determine el valor de:
x(60t + 1) − t . t(3x + 1) − x
A)
3 5
B)
3 4
C)
1 5
D)
2 3
E)
2 5
7. Cuando Cuando se deja caer un objeto, la relaci´ relaci´ on on entre la distancia d que recorre recorre el ob jeto y el tiempo transcurrido t viene dada por d = 4,9 · t2 , donde d est´ a expresada en metros y t en segundos. Javier dej´o caer una pelota desde un malec´ on. on. La pelota tard´o 1,1 segundos en llegar al agua. ¿Cu´ antos antos metros viaj´ o la pelota? Redondea tu respuesta al entero m´as as cercano. A) 5 m
B) 6 m
C) 7 m
D) 8 m
E) 9 m
8. En un colegio colegio de 200 alumnos alumnos el 60 % son varon varones. es. En una encuest encuestaa se revel´ revel´ o que el 78% del total de alumnos recibe ayuda para hacer sus tareas y el resto no, adem´as, as, el n´ umero umero de mujeres que recibe ayuda para hacer sus tareas es igual a 4 veces el n´ umero umero de varones que no lo l o hacen. ha cen. ¿Qu´e porcenta p orcentaje je de las mujeres hacen solas su tarea? A) 36 %
B) 40 %
C) 44 %
D) 48 %
E) 60 %
9. El nutricionista ha puesto a Ricardo a un r´egimen egimen de adelgazamiento y ha hecho esta gr´ afica afica para explicarle lo que espera conseguir en las 12 semanas que dure la dieta.
¿Cu´ al al de las siguientes siguientes alternativ alternativas as expresa expresa el peso P de Ricardo en funci´on on del n´ umero umero x de semanas, si consideramos solamente la primera etapa del r´egimen egimen (6 semanas)? A) P = − 53 + 80 B) P = − 56 + 80 C) P = 53 + 80 D) P = 70 + 53 E) P = 70 − 53 x
x
x
x
x
2
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10. Si p y q son dos n´ umeros primos tales que p + q + 4 y pq − 12 tambi´en son n´ umeros umeros umeros primos. Halla p + q . A) 7
B) 10
C) 8
D) 12
E) 9
11. Dos n´ umeros umeros naturales nat urales consecutivos con secutivos cumplen cum plen que la diferencia dif erencia positiva p ositiva de sus ra´ ra´ıces cuadradas cuad radas 1 es menor que . Halla el menor valor que puede tomar la suma de esos dos n´ umeros umeros naturales. 10 A) 11 B) 49 C) 51 D) 99 E) 101 12. Sean Sean M un n´ umero umero de 4 d´ıgitos ıgito s y N el n´ umero umero de 3 d´ıgitos ıgito s que resulta al eliminar elimi nar el d´ıgito de las unidades de M . Si M + N = 2013, halla la suma de los d´ıgitos de N . A) 15
B) 14
C) 13
13. Sean Sean a y b dos reales positivos. Al dividir 2x4 x2 − x − a se obtiene 72 de resto. Halla a + b. A) 6
B) 8
−
D) 12 3x3 + (4b + 1)x2
C) 9
E) 11
−
(a + 4b)x + 2b2 entre
D) 12
E) 18
14. En cada casilla del siguiente siguiente tablero est´ a escrito uno de los n´ umeros umeros 1, 2, 3 o´ 4, pero s´ olo olo se muestran cuatro. Adem´ as, en cada subtablero de 2 × 2 todos los n´ as, umeros que aparecen son umeros distintos. distinto s. ¿Determinar ¿Determ inar qu´e n´ umeros pueden estar en la casilla marcada con una x? umeros x
1 4 3 2
A) 1 ´o 4
B) so´lo 2
C) so´lo 4
D) 2 o´ 4
E) 1, 2 o´ 4
15. En la figura figura mostrada mostrada ABC es un tri´angulo angulo equil´ atero atero y P es un punto exterior al tri´angulo angulo tal que ∠AP C = 80 y el tri´ angulo angulo AP C es is´osceles. osceles. Determine la medida del ´angulo angulo ∠AP B . ◦
B
P
C
A) 60
◦
B) 80
◦
C) 75
◦
3
D) 85
◦
E) 70
◦
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16. Sean Sean A > B > C tres divisores del n´ umero umero P = 2013 × 2014 tales que A + B + C es un A+B m´ ultiplo ultiplo de P . Halla . C
A) 5
B)
9 2
C) 4
D) 3
E) 2
17. Cinco cuadrad cuadrados os peque˜ nos nos est´ an en el interior de un cuadrado mayor, como muestra la figura. an Si el ´area area de cada cuadrado peque˜ no no es 5, determina el area a´rea del cuadrado mayor.
A) 25
B) 45
C) 49
D) 50
E) 64
18. Un n´ umero umero de cuatro cua tro d´ıgitos ıgito s es llamado llama do conjeturable si todos sus d´ıgitos ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres. Por ejemplo, el 2013 es conjeturable. ¿Cu´ antas antas de las siguiente siguientess afirmaciones afirmaciones son correctas? correctas? El menor n´ umero conjeturable es el 1203. umero El mayor n´ umero conjeturable es el 9810. umero Existe un entero positivo N tal que N y 5N sean conjeturables. Existe un n´ umero conjeturable que es m´ umero ultiplo ultiplo de 11. Hay menos de 1800 n´ umeros umeros conjeturables. A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
19. Sean Sean a,b,c tres n´ umeros reales, cada uno de ellos distinto de 0, tales que: umeros a c b , + = 2a c b
b a 3c + = a c b
y
c b a + = N · , b a c
halla el valor de N . A) 5
B) 6
C) 11 4
D) 12
E) 15
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20. Un torneo de tenis se realiza de la siguiente forma: En cada ronda,si el n´ umero de participantes es par se forman parejas con los participantes. En cambio, si el n´ umero de participantes es umero impar, se hace un sorteo y uno de los participantes pasa directamente a la siguiente ronda, luego, se forman parejas con los participantes. Los participantes de cada pareja se enfrentan, y el ganador de cada partido pasa a la siguiente ronda. El torneo acaba cuando hay un ganador absoluto (recuerde que en el tenis no hay empates). Sea f (n) el n´ umero de rondas que habr´a umero en un torneo de n participantes. Por ejemplo, f (3) = 2 y f (5) = 3. Determine la suma de los d´ıgitos ıgito s del d el menor entero positivo posit ivo m que satisface la igualdad f (m) = f (2013). A) 9
B) 5
C) 6
D) 7
´ GRACIAS POR TU PARTICIP ARTICIPACI ACION
5
E) 8
