PROFESORES DE SECUNDARIA MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
0. Introducción 1. Problemas
www.e-ducalia.com Los derechos de edición están reservados a favor de www.educalia.com. Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor
Tels.: 963273517 610 900 111 / 610 888 870
PROFESORES DE SECUNDARIA-MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
CENTRO DE OPOSICIONES
0. INTRODUCCIÓN El supuesto práctico de la prueba históricamente, ha consistido en la realización de una serie de problemas. En un primer momento consistía en la realización de 10 u 8 problemas en dos sesiones de unas cuatro horas de mañana y tarde. En las últimas convocatorias se ha reducido a una única sesión de cuatro horas con 4 o 5 problemas. La variedad de problemas que se pueden plantear, es cómo la matemática en si enorme. Normalmente hay un problema de cada bloque de contenidos es decir: un problema de números o álgebra, uno de análisis, uno de geometría y uno del bloque de estadística y probabilidad. Aunque los problemas no siempre utiliza conocimientos de un mismo bloque, si no que se interrelacionan. Hay que tener claro, que para la mayoría de los opositores está es la parte más dura, no hay que desesperarse durante el examen se ha de intentar hacer aquello que se sabe, normalmente siempre hay un problema de los que podríamos llamar tipo, algún estudio de una función, o algún problema de estudiar endomorfismos, o ecuaciones diofánticas. O simplemente algún apartado sencillo. Es muy importante en esta prueba el procedimiento de resolución, es decir si no se encuentra la solución del problema, realizar un esquema de lo que se está buscando y porqué. A la hora de estudiar podéis seguir la siguiente clasificación de tipos de problemas que a grandes rasgos han salido a lo largo de las oposiciones. Números/ Congruencias/ Divisibilidad/Ecuaciones diofánticas Números Reales Números complejos Teoría de conjuntos Aplicaciones lineales/ matrices Ecuaciones reales y complejas Polinomios divisibilidad Resolución de triángulos Geometría del espacio: ecuaciones de la recta y el plano Plano y espacio afín. Lugares geométricos. Funciones Sucesiones /Series Problemas de máximos y mínimos Volumen e integrales Probabilidad, probabilidad geométrica Funciones de distribución y densidad Para finalizar os dejo unos problemas resueltos que han salido durante las oposiciones de secundaria, a veces hay suerte y se repiten. Autora: Lidia Santágueda Ruiz, ISBN: 978- 84- 92655- 89- 2
www.e-ducalia.com Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor.
Pág. 1
PROFESORES DE SECUNDARIA-MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
CENTRO DE OPOSICIONES
Encontrar un número abcd de 4 cifras en base 12, que sea cuadrado perfecto y además los números ab y cd sean consecutivos en base 12.
abcd12) n2 12 3 n2 12 4 1728 n2 20376 .
Como
42 n 144 Como cd es consecutivo ab cd a b 1 , busco poner el número de la forma abcd aba b 1 abcd 1 abab n2 1 abab n
2
n 1 n 1 abab 1 n 1 n 1 ; n 1 n 1 a12 3 b12 2 a12 b ; n 1 n 1 1728a 12 a 144b b n 1 n 1 1740 a 145b n 1 n 1 5·3· 4·29 a 5·29b n 1 n 1 5·29 12 a b
Como 29 es primo sólo tenemos dos posibilidades 29|n 1 además los múltiplos de 29 comprendidos entre 42 y 144 son: 58,87,116. Si 29|n 1 entonces analizamos las tres posibilidades de múltiplos
29|n 1 ,
n 1 n 1 5·29 12 a b n 1 58 n 57 con lo que llegamos a una 58·59 5·29 12 a b
contradicción ya que 5 no divide a 59. n 1 n 1 5·29 12 a b n 1 87 n 88 89·87 5·29 12 a b
llegamos
a
la
misma
contradicción ya que 5 no divide a 89 n 1 n 1 5·29 12 a b n 1 116 n 117 es la misma contradicción. 118·116 5·29 12 a b
Luego necesariamente 29|n 1 , analizamos las posibilidades
Autora: Lidia Santágueda Ruiz, ISBN: 978- 84- 92655- 89- 2
www.e-ducalia.com Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor.
Pág. 2
PROFESORES DE SECUNDARIA-MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
CENTRO DE OPOSICIONES
n 1 58 n 57 n 1 56
5 | 56
n 1 87 n 86 n 1 85 5|85 , luego parece que lo hemos encontrado 87·85 5·29 12 a b 12 a b . 3· 29·5·17 5·29
Como
el
sistema
de
numeración
es
el
12
51 12 a b 51 48 3 con a 12 b 12 a 4; b 3 . Luego el número buscado es el 4344. Veamos si es un cuadrado perfecto 4·12 3 3·12 2 4·12 4 7396; 7396 86 .
En el caso que hemos dejado n 1 86 n 85 n 1 84
Sea
consideramos
M2
a b 2c b 2c L ; 0 2c
5 |84 los
subespacios
1 1 1 0 0 1 M , , 0 0 0 1 0 1
Determinar L M y comprobar que L L M , decir si la suma es directa 1 1 1 0 1 1 L tal que Sea BL u ,v ,w una base de L y f : L 0 0 0 1 0 1 f u v; f v u; f w w . Halla la matriz de f respecto de dicha base y Kerf e
Im f . a. Veamos las 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1 a b c a b 2c . 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1
bases
1 0 1 1 1 1 Sean u1 ; u2 b ; u3 . Veamos si el conjunto es sistema 0 1 0 0 0 1 generador y linealmente independiente , obviamente es sistema generador. a b 2c 0 luego es una base de L . b 2 c 0 2c 0 c 0 b 0 a 0 Sea M e1 , e2 , e
veamos si es base.
Autora: Lidia Santágueda Ruiz, ISBN: 978- 84- 92655- 89- 2
www.e-ducalia.com Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor.
Pág. 3
