OPOSICIONES OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 3
TEMA 3: ESPERANZA MATEMÁTICA: PROPIEDADES. VARIAN VARIANZA ZA:: PROPIE PROPIEDAD DADES. ES. FUNCIÓ FUNCIÓN N CARACT CARACTERÍ ERÍSTI STICA CA Y FUNC FUNCIÓ IÓN N GENE GENERA RATR TRIZ IZ DE MOME MOMENT NTOS OS.. ACOT ACOTAC ACIÓ IÓN N DE TCHEBYCHEV. INTRODUCCIÓN Las medidas de sínesis em!í"i#as $%asadas en &a '%se"(a#i)n* +sadas !a"a dis"i% dis"i%+#i +#i'ne 'ness de ,"e#+ ,"e#+en# en#ias ias $medid $medidas as de !'si# !'si#i)n i)n-- dis!e" dis!e"si) si)nn- ,'"ma ,'"ma** se !+e !+ede denn "as&ada" a &as (a"ia%&es a&ea'"ias #'m' medidas e)"i#as. Esas #'nsanes si"(en !a"a es+dia" #'m!a"a" dis"i%+#i'nes.
ESPERANZA MATEMÁTICA Es &a /ene"a&i0a#i)n de& #'n#e!' de media a"im1i#a de +na dis"i%+#i)n de ,"e#+en#ias. P'" es' am%i1n se den'mina (a&'" medi'- es!e"ad' ) !"'%a%&e.
Definii!n:
Cas' dis#"e': dis#"e': Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n dis"i%+#i)n dis#"ea- es de#i"'ma &'s (a&'"es 2 i #'n !"'%a%i&idades ! i P 2 i $,+n#i)n de #+anía*. Se de,ine &a es!e"an0a maemi#a de #'m': 2 i ! i siem!"e 4+e 2 i ! i i
i
si &a s+ma es se"ie- de%e se" a%s'&+amene #'n(e"/ene. #'n(e"/ene.
Cas' Cas' #'n #'nin in+': +': Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n dis"i%+#i)n #'nin+a #'n ,+n#i)n de dis"i%+#i)n , $ 2 * . Se de,ine &a es!e"an0a maemi#a de #'m':
2 , $2*d2 4+e e2ise siem!"e 4+e 2 , $2 *d2
Si"nifi#$% $e &# e'(e)#n*#: e'(e)#n*#:
C'm' (a&'" medi' e)"i#' de 'd's &'s (a&'"es 4+e !+ede 'ma" &a (a"ia%&e. Re!"esena +na medida de #en"a&i0a#i)n. C'm' #en"' de /"a(edad de &'s !+n's 4+e #'""es!'nden a &'s (a&'"es de &a (a"ia%&e- asi/nnd'&es +na #anidad de masa !"'!'"#i'na& a &a ,+n#i)n de #+anía ) de densidad de #ada !+n'.
E'(e)#n*# E'(e)#n*# $e +n# f+ni!n $e ,#)i#-&e #&e#%)i#: Sea
/$* +na ,+n#i)n "ea& de +na (a"ia%&e a&ea'"ia
. Se de,ine /$* #'m':
P /$* 5 /$ 2 i * P 2 i Cas' dis#"e': /$* 5 /$* 5
/$2 i * !i i
si
i
/2 i ! i i
$#'n(e"/e a%s'&+amene* a%s'&+amene*
6
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/$2*, $2*d2
Cas' #'nin+': /$*
si
/$2* , $2*d2
Si es #'nin+a !e"' /$* dis#"ea- &a !"'%a%i&idad de #ada (a&'" de /$* !+ede #a&#+&a"se ine/"and' &a ,+n#i)n de densidad , en &'s ine"(a&'s #'""es!'ndienes.
P)%(ie$#$e':
La es!e"an0a n' iene !'" 4+1 e2isi". Si es +na (a"ia%&e a&ea'"ia a#'ada en'n#es e2ise &a es!e"an0a.
Si e2ise
Si a % a %
Si 7 7
Si a a a
Si
/6 $* / 8 $*
/6 $* / 8 $*
9 9 - siend' 9 +na #'nsane N'a: C'nside"a" +na #e #'m' (.a "e#i%e e& n'm%"e de de/ene"ada ) #a+sa& $'da s+ masa de !"'%a%i&idad es #'n#en"ada en e& !+n' 9*.
a % a % - #'n
7
a - % #'nsanes.
Si es sim1"i#a "es!e#' a
2 7 e2ise
Si es dis#"ea 'ma (a&'"es en
2 7
6 $n*
n 7
Definii!n "ene)#& $e e'(e)#n*# /0 1i2#: Dada +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n ,+n#i)n de dis"i%+#i)n /$* +sand' &a ine/"a& !"'!ia de Riemann;Sie&5es:
$ 2 * se
de,inen
2d$2 *
/$*
/$2*d$2*
Esa de,ini#i)n #'in#ide #'n &as dadas !a"a e& #as' dis#"e' #'nin+' $a%s'&+amene #'nin+'*. Pa"a +na (a"ia%&e a&e/a'"ia #'n dis"i%+#i)n mi2a $ #'nsa de (a&'"es dis#"e's e ine"(a&'s #'nin+'s* enem's 4+e &a ,+n#i)n de dis"i%+#i)n es:
8
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7 6 , , .d.de &a !a"e #'nin+a 6 , 8 , .de #+ania !a"e dis#"ea
2
$ 2 *
, 6 $ *d 6 22, 8 $2 i *
#'n
i
S+ es!e"an0a se #a&#+&a:
2, 6 $2*d2 6 i 2 i , 8 $2 i *
$an&'/amene se dee"mina /$* *.
MOMENTOS DE UNA VARIAB4E A4EATORIA L's m'men's s'n medidas 4+e si"(en !a"a #a"a#e"i0a" (a"ia%&es a&ea'"ias !e"mii"n
5. M%1en% $e %)$en ) )e'(e% #& %)i"en: " "
" " Cas' dis#"e': " 2 i ! i
siem!"e 4+e
i
Cas' #'nin+': " "
2 i" ! i i
2 , $2*d2 "
siem!"e 4+e
6
Cas's !a"i#+&a"es: 7 6
8 8
= " ? > = "
6. M%1en% $e %)$en ) )e'(e% # &# 1e$i#:
2 " , $2*d2
#'n = ?>
" Cas' dis#"e': " " 2 i ! i siem!"e 4+e i
2 i " !i i
Cas' #'nin+': " 2
"
"
Cas's !a"i#+&a"es: 7 6
, $ 2 *d2 siem!"e 4+e
6 7
" 2 , $ 2 *d2
8 8 7 @a" $ *
N'a: Si sim1"i#a 9 im!a" 9 7 . Si 7 " " ; Si es sim1"i#a "es!e#' a& '"i/en 7 " 7 - " im!a". ; Si es sim1"i#a "es!e#' a "es!e#' a 7 " 7 - " im!a".
3. Re&#i!n en)e &%' 1%1en%': " "
"
# !" " i 6i 6i " i i 7 "
# !" " i 6i " i i7
8 8 68 3 3 3 36 8 86 A B 8 3 A A 6 3 8 6 6 A
Te%)e1#: ( E2isen#ia de - s - - s #'n s * Si e2ise e2isen 'd's &'s s #'n s . P'" #'nsi/+iene !'" &a "e&a#i)n en"e &'s m'men's- e2isi" 'd's &'s s #'n s . 3
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VARIANZA: L&amam's dis!e"si)n de +na (a"ia%&e a&ea'"ia a &a ma'" ' men'" (a"ia%i&idad de &a (a"ia%&e a&ea'"ia a&"eded'" de s+ (a&'" medi' ) es!e"an0a - &' 4+e ma"#a" e& /"ad' de "e!"esenai(idad de . Una ,'"ma de medi" &a dis!e"si)n es a "a(1s de &a des(ia#i)n media "es!e#' a &a media: D Si D es "e&ai(amene !e4+ea en'n#es &a "e!"esenai(idad de se" /"ande a& se" &a dis!e"si)n !e4+ea. La me5'" ,'"ma de medi"&a es a "a(1s de &a (a"ian0a 4+e se de,ine #'m' e& m'men' de '"den 8 "es!e#' a &a media: dis#"e' 2 i 8 ! i @ $ 8 8 8 #'nin+' 2 8 , $ 2 *d2 Si &a (a"ian0a es /"ande &a dis!e"si)n es /"ande &a media de - - n' se" "e!"esenai(a. La (a"ian0a !e"mie am%i1n &a #'m!a"a#i)n en"e dis"i%+#i'nes.
P)%(ie$#$e':
@ $ 8
7
@ 7
% $s)&' '#+""e en ,en)men's #a+sa&es ' dee"minisas*
Te%)e1# $e 89nin": La dis!e"si)n #+ad"i#a media en '"n' a +n '"i/en #+a&4+ie"a 9 se
@ 9 7 - #'n 9 #'nsane
@ 9 @ - #'n 9 #'nsane
@ a % a 8 @ - #'n a - % #'nsanes
@ ' & @ @ & ' 8C'( - & . Si - & s'n inde!endienes C'(- & 7 @ ' & @ @ &
De',i#i!n (i# % e';n$#): La (a"ian0a iene e& in#'n(eniene de ene" +nidades de medida e&e(adas a& #+ad"ad' !'" es' se +sa &a des(ia#i)n í!i#a ' esnda":
$ $ 8 8 8
P"'!iedades: S'n &as mismas 4+e &as de &a (a"ian0a- !+es se ded+#en de e&&a.
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Ti(ifi#i!n $e +n# ,#)i#-&e #&e#%)i#: Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n - @ $ 8 . De,inim's &a n+e(a (a"ia%&e a&ea'"ia i!i,i#ada ) n'"ma&i0ada: D N$7-6* $ d'nde: @ $ 8 D 7 @ D 8 6 8 $ $ $ $ Si"(e !a"a #'m!a"a" +na misma ma/ni+d en disinas dis"i%+#i'nes.
C%efiiene' $e #'i1e)# 0 +)%'i':
A'i1e)#: La (a"ia%&e a&ea'"ia !"esena +na dis"i%+#i)n sim1"i#a "es!e#' a +n e5e !e"!endi#+&a" a& de a%s#isas en e& !+n' s si: P s 2 P s 2 (2 . Si es #'nin+a #'n ,+n#i)n de densidad , $ 2 * di"em's 4+e es sim1"i#a si: , $s 2 * , $s 2 * ( x N'"ma&mene se mide &a sime"ía 'mand' s . E& #'e,i#iene de asime"ía es: 3 $3 Si es sim1"i#a )6 7 )6
Asim1"i#a !'" &a de"e#
A(+n#1ien% % +)%'i': Se "e,ie"e a& ma'" ) men'" a!+namien' de +na dis"i%+#i)n #'m!a"nd'&' #'n &a n'"ma&. E& #'e,i#iene de a!+namien' es: ) 8 AA 3 $ Si ) 8 7 mes'#"i#a $#'m' &a n'"ma&* Si ) 8 * 7 &e!'#"i#a $ms a!+nada* Si ) 8 7 !&ai#"i#a $men's a!+nada*
DESIGUA4DAD DE TCHEBYCHEV: De'i"+#&$#$ $e M#)<%,: Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia / +na ,+n#i)n de #'n / * 7 - en'n#es: P/ 9
/ 9
- 9 * 7
Dem: Des#'m!'nem's e& #am!' de (a"ia#i)n de en d's #'n5+n's #'m!&emena"i's: F(a&'"es de #'n / 9 G F(a&'"es de #'n / 9 G. H
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/$2*, $2*d2 /$*/9 $2*, $2*d2
/
*7 7 / $ 2 *, $ 2 *d2
/ $ * 9
/ $ * 9
/ $ *9
/$2*, $2*d2
/ $ * 9
9 , $2*d2 9 , $2*d2 9 P/ 9
De'i"+#&$#$ $e T=e-0=e,: Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n - @ $ P 9 8
$8 9 8
- #'n 9 * 7 .
Dem: Basa 'ma" en &a desi/+a&dad de Ma"9'(- / 8 9 9 8 8 8 / P 8 9 8 8 8 $ 8 9
9
9
O%se"(a#i'nes:
P'dem's 'ma" e& s+#es' #'n"a"i':
P
P 9 9 6
Si 'mam's
9 R $
$
8
9 8
P
P
R $ 6
9 6
$8 8
9
- 9 * 7
- 9 * 7
R $ 6 R 8
6 R 8
-
R * 7
- R * 7
C'nse#+en#ias:
es +na %+ena medida de &a dis!e"si)n $si 9 - P , ' 9 $ + *- es de#i"es !'#' !"'%a%&e 4+e 'me (a&'"es ,+e"a de& ine"(a&'. Se +sa #+and' se des#'n'#e &a dis"i%+#i)n de !"'%a%i&idad de &a (a"ia%&e a&ea'"ia se dee"mina"n #'as de !"'%a%i&idad $si es !'si%&e asi/na" (a&'"es a $ * @ $ 8 -
FUNCION CARACTERISTICA: Es +na ,+n#i)n as'#iada a s+ dis"i%+#i)n de !"'%a%i&idad
Re&#i!n en)e &%' 1%1en%' 0 &# f+ni!n #)#e)'i#:
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Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n ,+n#i)n #a"a#e"ísi#a . de"i(a%&e e2ise 9 - en'n#es: 5 6 9 . 2 3 9 0 34 6 01 7 . 9 * $ * 7 9 9 9 9 i
9 (e#es
4+e
i
P)%(ie$#$e':
Siem!"e e2ise a 4+e
e i2
.7 6 . 6
. . $*
. +ni,'"memene #'nin+a
#'s$ 2 * isen $2 * 6
Si & a % . & e i% . a
O)#' ()%(ie$#$e' $e &# f+ni!n #)#e)'i#:
Si 6 - - n s'n (a"ia%&es a&ea'"ias esadísi#amene inde!endienes & 6 ⋯ n en'n#es: . ⋯ . . & . 6 ⋯n e i6 ⋯ e in inde! 6 n . Si i es inde!endiene e id1ni#amene dis"i%+ida #'n dis"i%+#i)n . & . i &
D - en'n#es
Te%)e1# $e in,e)'i!n: Sea +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'n ,+n#i)n de dis"i%+#i)n $ 2 * 2 6 2 8 $d's !+n's de #'nin+idad* en'n#es: 2 8 26 P 26
28
6
T
&im 8 7 T
e i26
e i2 8 i
T
. d
si . ine/"a%&e !a"a ( 8 / . Si"(e !a"a #a&#+&a" !"'%a%i&idades. Si +na (a"ia%&e a&ea'"ia #'nin+a , $ 2 *
6
e i2 . d 87
O%se"(a#i)n: Se &i/a &a ,+n#i)n de dis"i%+#i)n &a ,+n#i)n #a"a#e"ísi#a en e& senid' in(e"s' a& de s+ de,ini#i)n- ideni,i#and' &a dis"i%+#i)n de si #'n'#em's $ 2 * . $) en e& #as' #'nin+'- , $ 2 * . *. Si es dis#"ea (a&'"a en &'s ene"'s en'n#es se !+ede !'ne"
, $n *
6
7
e in . d 87 7
Te%)e1# $e +nii$#$: A 'da ,+n#i)n #a"a#e"ísi#a . &e #'""es!'nde +na s)&' +na ,+n#i)n de dis"i%+#i)n $ 2 * .
J
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Te%)e1# $e %nin+i$#$ % 4e,i>C)#1e). Sea 6 - - n - +na s+#esi)n de (a"ia%&es a&ea'"ias #'n ,+n#i'nes de dis"i%+#i)n 6 $ 2 *- - n $ 2 *- ,+n#i'nes #a"a#e"ísi#as . 6 - - . n - di"em's 4+e :n $ 2 *9 #'n(e"/e a +na ,+n#i)n de dis"i%+#i)n $ 2 * % . n $ * #'n(e"/e a +na ,+n#i)n #a"a#e"ísi#a . $4+e !'" e& e'"ema de +ni#idad se" &a de $ 2 * * O%se"(a#i'nes: Si"(e !a"a #a&#+&a" !a"me"'s de dis"i%+#i'nes. La ,.D es &a 4+e des#"i%e %si#amene #)m' se a#+m+&a &a !"'%a%i&idad en &a "e#a "ea&.
FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS dis#"e' : e 2 i !$ 2 i * e 2 i !$ 2 i * i i / e 2 #'nin+' : e , $ 2 *d2 P'dem's '%ene" &a ,+n#i)n #a"a#e"ísi#a sin ms 4+e
P)%(ie$#$e':
/ 7 e 7
6
Si e2ise !'dem's '%ene" #+a&4+ie" m'men' "es!e' a& '"i/en " : 5 6 " /$ * 2 " * " / 7 3 " 0 43 6 10 7 Si e2ise / se !+ede e2!"esa" #'m': / e
Si & a % - #'n
a - % 8 / #'nsanes:
8
3
3 ⋯
8K 3K % / & e / a
Si 6 - - n s'n (a"ia%&es a&ea'"ias inde!endienes #'n ,+n#i)n /ene"a"i0 de m'men's
/ - - / . Sea 6
n
/ &
6 6
8
e
&
n
a i i - #'n a i 8 / #'nsanes- en'n#es: i 6
&
inde!.
n
n
< e < / a i i 6
a i i
i 6
i
Si 6 - - n s'n iid #'n / !a"a 'das: / & /$ *& Uni#idad: Si / e2ise es ni#a dee"mina #'m!&eamene &a dis"i%+#i)n de !"'%a%i&idad de &a (.a. #'""es!'ndiene. Es de#i"- si d's (a"ia%&es a&ea'"ias
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ienen &a misma ,+n#i)n /ene"a"i0 &as #'""es!'ndienes dis"i%+#i'nes de !"'%a%i&idad am%i1n s'n i/+a&es. La in(e"sa am%i1n se (e"i,i#a.
O-'e),#i%ne': Tan'
, $ 2 * - $ 2 * - .$ * !"esenan (ena5as e in#'n(enienes en s+ +s'. $ 2 * es &a 4+e des#"i%e %si#amene #)m' se a#+m+&a &a !"'%a%i&idad en
/ !e"' !'" s+ es#asa '!e"ai(idad es !"e,e"i%&e +i&i0a" , $ 2 * ) !$ 2 * #+as "e!"esena#i'nes /",i#as des#"i%en #'n #&a"idad &a dis"i%+#i)n de !"'%a%i&idad. .$ * ni iene si/ni,i#ad' e(idene ni s+ "e!"esena#i)n $#+"(a en "es dimensi'nes* di#e m+#<' de &a dis"i%+#i)n. Sin em%a"/' s+ '!e"ai(idad &a
FUNCIÓN CUMU4ATIVA: = &n . P'" de"i(adas s+#esi(as se /ene"a #+m+&anes ' semi;in(a"ianes $,+n#i'nes !'&in)mi#as de m'men's !'en#ia&es*. 9 7 7 9 6 6
9 8 8 68 8 Si e2ise 3 9 3 3 3 8 6 86 3 ⋮
9 "
9 "
5 6 9 = 2 3 0 34 6 " 01 7 i "
