G-1
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Sea z = f(x,y) una función de x y y tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente de f, denotado por f(x,y), es el vector
se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es gradf(x,y). Para cada (x,y, el gradiente
es un vector en el plano (no un vector
en el espacio.
!
(x,y,f(x,y
((x
y
x
E grad!"#$" d" f "% &# '"$r "# " *a# xy
E+"* -
"allar el gradiente de f(x,y # ylnx $ xy% en el punto (&,%.
G-2
S&!#
FOR/A ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferencia'le de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario & es
D&f(x,y) =
E+"* 0 "allar la derivada direccional de f(x,y # )x %* %y % en
P
a +(,&.
S&!# -alculamos un vector unitario U en la dirección de P a +
#
# /xi 0 1y2
en la dirección de
G-3
D&f(x,y) =
3uf(
, #
TEORE/A. 1RO1IEDADES DEL GRADIENTE
Sea f diferencia'le en el punto (x,y
-.2 Si
, entonces D&f(x,y) = 3 para todo &.
0.2 4a dirección de m5ximo incremento de f est5 dada por m5ximo de D&f(x,y) es
. El valor
.
4.2 4a dirección de m6nimo incremento de f est5 dada por valor m6nimo de D&f(x,y) es 2
.
E+"* 4
4a temperatura en grados -elsius en la superficie de una placa met5lica es 7(x,y # % 0 1x% 0 y%
. El
G-4
donde x y y se miden en cent6metros. 8En qu9 dirección a partir de (%,*) aumenta m5s r5pido la temperatura:. 8-u5l es la tasa o ritmo de crecimiento:.
S&!# El gradiente es
4a dirección del m5ximo incremento estar5 dada por
4a tasa o el ritmo de incremento es
Podr6amos di'u2ar las curvas de nivel o curvas de contornos de la función 7(x,y # % 0 1x% 0 y%, ;aciendo % 0 1x% 0 y% # c
< Si c #
% 0 1x% 0 y% #
1x% $ y% # %
< Si c # 1
% 0 1x% 0 y% # 1
1x% $ y% # &/
< Si c # =
% 0 1x% 0 y% # =
1x% $ y% # &%
< Si c # &%
% 0 1x% 0 y% # &%
1x% $ y% # =
G-5
< Si c # &/
% 0 1x% 0 y% # &/
1x% $ y% # 1
y -urvas de nivel
4a dirección del m5ximo incremento de la
7(x,y # % 0 1x% 0 y%
temperatura en (%,*) est5 dada por 0 &/i $ /2
x (%,*)
El gradiente proporciona una solución local para encontrar un incremento relativo de la temperatura en el punto (%,*). na ve! que se a'andona esa posición, la dirección de m5ximo incremento puede cam'iar.
TEORE/A. EL GRADIENTE ES NOR/AL A LAS CURVAS DE NIVEL
Si f es diferencia'le en (xo,yo y
, entonces
mal (ortogonal a la curva de nivel que pasa por (xo,yo.
E+"* 5
Si a 3etermine el gradiente de f en >(1,).
es nor*
G-6
' tilice el gradiente para calcular la derivada direccional. 3e f en > en la dirección de > a +(?,/. c 3i'u2e las representaciones de los vectores
yv
punto inicial en >.
S&!# a)
6) 4a fórmula que de'emos usar es D&f(x,y) = de'emos calcular un vector unitario & en la dirección de v v
# (? * 1i $ (/ * )2 # i $ )2
u#
luego
D&f(x,y) = D&f(5,4) =
c >epresentación grafica
y
+(?,/
que tienen su
G-7
>(1,)
v
x # i $ )2
GRADIENTE 1ARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES
Sea f una función de x, y y !, con derivadas parciales de primer orden continuas. El gradiente de f se define como
4as propiedades del gradiente son &.* 3uf(x,y,! # f(x,y,!.u %.* Si f(x,y,! # , entonces 3uf(x,y,! # para toda u ).* 4a dirección de m5ximo incremento de f est5 dada por
f(x,y,!. El valor
m5ximo de 3uf(x,y,! es
1.* 4a dirección de m6nimo incremento de f est5 dad por 2 f(x,y,z). El valor m6nimo de 3uf(x,y,! es
2 es normal a la superficie de nivel a trav9s de
E+"* 7
.
G-8
"allar
para la función dada por f(x,y,! # x% $ y% 0 1!
y ;allar la
dirección de m5ximo incremento de f en el punto (%,*&,&.
S&!#
4a dirección del m5ximo incremento en (%,*&,& es
E8ERCICIOS 1RO1UESTOS
-.2 "allar el gradiente de la función @ # )x%y 0 ?y! $ !% en el punto (&,&,*%. >esp. /i $ &)2 0 AB.
0.2
tili!ar el gradiente para ;allar la derivada direccional de la función
f(x,y # e*xcosy en P(, en la dirección de +(%,&. >esp.
4.2 -alcule el gradiente de
. >esp.
5.2 3ada la función f(x,y # x% 0 1y calcule a El gradiente de f en P # (*%,% ' 4a tasa de variación del valor de la función en la dirección de en P # (*%,%. c 3i'u2e las curvas de nivel o curvas de contornos de la función f, para =, 1, , * 1 y 0 =. 7am'i9n muestre la representación de Cnicial es (*%,%. >esp. (a (* 1,* 1D (' * % * %
.
cuyo punto
(TRABA8O)
G-9
7.2 -alcule 3uf en el punto P # (),&,* % para el cual u es un vector unitario en la dirección de P+, siendo + # (&,,1. 7am'i9n en P # (),&,* %, calcule 3 uf si u es un vector unitario para el cual 3uf es un m5ximo. >esp.
D
