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EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES VARIABLES
EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS
Considerando la función continúa f de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los R. Los valores f(a,b) y f(c,d) tales que:
Para todo (x,y) en R se conocen como el mínimo y máximo de máximo de f en la región R, como se muestra en la figura !s im"ortante recordar que una región en el "lano es cerr! si cerr! si contiene todos sus sus "unt "untos os front fronter era# a# y una una regi región ón en el "lan "lano o se llama llama co"! co"! si es una subregión de un disco cerrado en el "lano Teorem !e# $#or ex"remo $ea f una función continua de dos variables x y y definida en una región %cotada cerrada R en el "lano xy. xy. %.& !xiste "or lo menos un "unto en R, en el que ' toma toma un valor mínimo. (.& !xiste "or lo menos un "unto en R, en el que ' toma toma un valor máximo.
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% un m&nimo tambi'n se le llama mínimo )*o#+"o y a un mximo tambi'n se le llama un máximo )*o#+"o
De'inici,n !e ex"remo re#"i$o
$ea ' una función definida en una región R que contiene (xo,yo) %.& La función ' tiene un mínimo re#"i$o en (xo,yo) si '-xy/
'-xoyo/
"ara todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo) * La función ' tiene un +ximo relativo en (xo,yo) si '-xy/≤'-xoyo/ "ara todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo)
Para localiar los extremos relativos de ' , se "ueden investigar los "untos en los que el gradiente de ' es cero -0/ o los "untos en los cuales una de las derivadas "arciales no exista -ales "untos se llaman 1+n"o* crí"ico* de f De'inici,n !e 1+n"o* crí"ico*
$ea ' definida en una región abierta R que contiene (xo,yo) !l "unto (xo,yo) !s un 1+n"o crí"ico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: %.& ' x-xoyo/ 2 0 y ' y-xoyo/ 2 0 (.& ' x-xoyo/ o ' y-xoyo/ NO EXISTE
Recu'rdese que si ' es diferenciable y
entonces "o! !eri$! !ireccion# en
debe ser cero -0/
TEOREMA. Lo* ex"remo* re#"i$o* *e 1re*en"n *o#o en 1+n"o* crí"ico*. $i ' tiene un extremo relativo en -xoyo/ en una región abierta R entonces es un "unto cr&tico de f
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E3em1#o % .allar los extremos relativos de f(x,y) / x 0 y 0 1x * 2y 0 3 So#+ci,n f x(x,y) / 4x 0 1
(est definida "ara todo x y y)
f y(x,y) / y 5 2
(est definida "ara todo x y y)
Para determinar los "untos cr&ticos se 6acen f x / 3 y f y / 3 f x(x,y) / 4x 0 1 / 3
x/
f y(x,y) / y 5 2 / 3
y/
"or tanto, el único "unto cr&tico es (*,7) f(*,7) / (*) 0 (7) 0 1(*) 5 2(7) 0 3 / 1 0 8 5 92 5 91 0 3 / 7 "ara determinar si tiene un extremo relativo en (*,7) se toma un "unto cualquiera distinto del "unto cr&tico (*,7) o se com"leta cuadrado en la ex"resión "ara f(x,y) f(x,y) / x 0 y 0 1x * 2y 0 3 / x 0 1x 0 y 5 2y 0 3 / (x 0 4x *4 04) 0 / (x 0 4x *4 04) 0 (y 5 2y 0 8 5 8) 0 3 / (x 0 ) 0 (y 5 7) 0 7 %s&, si (x,y) (*,7), entonces f(x,y)
7, en consecuencia "or la definición de
ex"remo re#"i$o f(*,7) / 7 es un valor mínimo re#"i$o.
E3em1#o ( ;eterminar los extremos relativos de f(x,y) / 9* (x 0 y)9<7
So#+ci,n
f x(x,y) /
(x 0 y)*<7x /
est definida "ara todo "unto en el "lano xy exce"to "ara (3,3)=
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f y(x,y) /
(x 0 y)*<7y /
est definida "ara todo "unto en el "lano xy exce"to "ara (3,3)=
$e "uede observar que el único "unto en el cual las derivadas "arciales no existen es el "unto (3,3), "or tanto, (3,3) es un "unto cr&tico f(3,3) / 9 5 (3 0 3)9<7 / 9 %s&, si (x,y) (3,3), entonces f(x,y)
9, "or tanto "or la definición de ex"remo
re#"i$o f(3,3) / 9 es un valor máximo re#"i$o.
Teorem. Cri"erio !e #* *e4+n!* !eri$!* 1rci#e* $ea f una función con segundas derivadas "arciales continuas en una región abierta que contiene un "unto (a,b) "ara el cual ' x-)/ 2 0
y
' y-)/ 2 0
Para buscar los extremos relativos de f, consid'rese la cantidad ! 2 ' xx-)/.' yy-)/ 5 6' xy-)/7 ( %.& $i !
0 y ' xx-)/
0, entonces f tiene un mínimo re#"i$o en (a,b)
(.& $i !
0 y ' xx-)/
0, entonces f tiene un máximo re#"i$o en (a,b)
8.& $i !
0 entonces > a,b, f(a,b)= es un 1+n"o *i##.
9.& $i ! 2 0 el cr&tico no lleva a ninguna conclusión
?n recurso conveniente "ara recordar la formula de ! en el criterio de las segundas derivadas "arciales lo da el determinante (X(.
!2
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donde f xy(a,b) / f yx(a,b)
E3em1#o 8 @dentificar los extremos relativos de f(x,y) / * x7 0 4xy 5 y 0 9
So#+ci,n f x(x,y) / * 7x 0 4y f y(x,y) / 4x 5 4y
(est definida "ara todo x y y) (est definida "ara todo x y y)
:+n"o* crí"ico*; * 7x 0 4y / 3 4x 5 4y / 3
4x / 4y
* 7x 0 4y / 3
x / y, sustituyendo en la otra ecuación
7x * 4x / 3
x(7x 5 4) / 3
x/3 7x 5 4 / 3
x / 4<7
Luego los "untos cr&ticos son: (3,3) y (4<7,4<7) f xx(x,y) / * 2x f yy(x,y) / * 4 f xy(x,y) / 4
A
:r e# 1+n"o crí"ico -00/
f xx(3,3) / * 2(3) / 3#
f yy(3,3) / * 4#
f xy(3,3) / 4
! 2 ' xx-)/.' yy-)/ 5 6' xy-)/7 ( 2 f xx(3,3)f yy(3,3) 5 >f xy(3,3)= 2(3)(* 4) 5 (4) / / 3 5 92 / * 92
3
f(3,3) / * (3)7 0 4 (3)(3) 5 (3) 0 9 / 9 Por criterio de las segundas derivadas "arciales, se "uede concluir que (3,3,9) es un 1+n"o *i##.
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A
:+n"o crí"ico -9<89<8/
f xx(4<7,4<7) / * 2
/ * 1#
f yy(4<7,4<7) / * 4#
f xy(4<7,4<7) / 4
! 2 ' xx-)/.' yy-)/ 5 6' xy-)/7 ( 2 f xx(4<7,4<7)f yy(4<7,4<7) 5 >f xy(4<7,4<7)= / / (* 1)(*4) 5 (4) / 7 5 92 / 92
3
Luego "or el criterio de las segundas derivadas "arciales si f xx(4<7,4<7) / * 1
!
0
y
3, entonces ' tiene un máximo re#"i$o en (4<7,4<7)
!s im"ortante resaltar que con el criterio de las segundas derivadas "arciales "ueden no 6allarse los extremos relativos "or dos raones $i algunas de las "rimeras derivadas "arciales no existe, no se "uede a"licar el criterio si ! 2 ' xx-)/.' yy-)/ 5 6' xy-)/7 ( 2 0 !l criterio no es concluyente !n tales casos, se "ueden tratar de 6allar los extremos mediante grafica o mediante algún otro m'todo
E=ERCICIOS :RO:UESTOS %.& @dentificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma des"u's de com"letar cuadrados Berificar los resultados em"leando derivadas "arciales "ara localiar los "untos cr&ticos y "robar si son extremos relativos a) f(x,y) / (x 5 9) 0 (y 5 7) Res" (9,7,3) m&nimo relativo b) f(x,y) /
Res" (3,3,9) m&nimo relativo
c) f(x,y) / x 0 y 0x 5 2y 0 2 Res" m&nimo relativo
(.& !xaminar la función "ara localiar los extremos relativos a) f(x,y) / x 0 xy 0 y 0 x 5 7 Res" m&nimo relativo (* 9,7,* 4) b) f(x,y) / * x 0 4xy 5 y 0 92x 093 Res" m&nimo relativo (1,92,D4) c) / x 0 7y 5 4x 5 9y 0 97 Res" m&nimo relativo (9,,* 9) d) f(x,y) /
0 7 Res" m&nimo relativo (3,3,7)
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