H-1
PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE
DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
Sea F diferenciable en un punto P(xo,yo,zo) de la superficie S dada por F(x,y,z) = 0 tal que
1.- Al plano que pasa por P y es normal a
se llama PLANO
TANGENTE AS EN P. 2.- A la recta recta que pasa por P y tiene tiene la dirección de
se le lama
RECTA NORMAL A S EN P
TEOREMA. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Si F es diferenciable en (xo,yo,zo), entonces una ecuación del plano tan!ente A la superficie dada por F(x,y,z) F(x,y,z) = 0 en (xo,yo,zo) es"
H-2
Fx(xo,yo,zo)(x-xo) + Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo)(z-zo) ! E"#$%&o 1
#allar la ecuación del plano tan!ente al $iperboloide z % & %x% & %y% = '% en el punto (',',)
So&'* z% & %x% & %y% = '%
z% & %x% & %y% & '% = 0
*efiniendo" F(x,y,z) = z% & %x% & %y% & '% = 0 + Fx(x,y,z) = x Fx(',',) = (') = + Fy(x,y,z) = y Fy(',',) = (') = + Fz(x,y,z) = %z Fz(',',) = %() =
Fx(xo,yo,zo)(x-xo) + Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo) ! Fx(',',)(x ') - Fy(',',)(y - ') - Fz(',',)(z ) = 0 (x & ') - (y - ') - (z & ) = 0 x - - y - - z & .% = 0 x - y - z & % = 0
x & y & %z - / = 0
Para $allar la ecuación del plano tan!ente en un punto a una superficie dada por z (x,y), se define la función F mediante F(x,y,z) (x,y) z, entonces la ecuación del plano tan!ente en el punto (xo,yo,zo) es"
x(xo,yo)(x xo) + y(xo,yo)(y yo) (z zo) !
E"#$%&o 2
H-3
#allar la ecuación del plano tan!ente al paraboloide z = '
en el
punto (',','1%)
So&'*
*e z = '
f x(x,y) =
f y(x,y) =
, se tiene"
f x(',') =
f y(',') =
2mpleando" x(xo,yo)(x xo) + y(xo,yo)(y yo) (z zo) !
E"#$%&o
#allar un con3unto de ecuaciones sim4tricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = '% en el punto (%,%,.)
So&'* + #aciendo" F(x,y,z) = xyz'% + 5radiente =
+
=(%)(.)i - (%)(.)3 - (%)(%)6 = /i & /3 & 6
H-4
+ 7a recta normal en el punto (xo,yo,zo) = (%,%,.) tiene n8meros de dirección o directores /, / y y el con3unto de ecuaciones sim4tricas est9 dada por"
E/ $%o0# /3#0 4'# #& 506##
#/ o0$& & /'%#0#
F(x,y,z) ! %#0$# 0#/o&7#0 67#0/o/ %0o3&#$/ 0#&o6o/ o /'%#0#/ y '07/ # #& #/%o.
E"#$%&o 8
2ncontrar la recta tan!ente a la cur:a de intersección de las superficies" x% - %y% - %z% = %0 (elipsoide) y x% - y% - z = (paraboloide) en el punto (0,',.)
So&'* + x% - %y% - %z% = %0 (elipsoide) #aciendo" 2(x,y,z) = x% - %y% - %z% & %0 5radiente = = %xi - y3 - z6
+ x% - y% - z = (paraboloide) #aciendo" P(x,y,z) = x% - y% - z & 5radiente = = %xi - %y3 - 6
E& %0o6'o 7#o0& 6# #/o/ 6o/ 506##/ #/ ' 7#o0 5## $3/ /'%#0#/ # #& %'o (!,1,).
H-5
=
=
= (')i - '%(0)3 -0(%)6 & 0()6 & %('%)i & '(0)3= %0i
Po0 o, & 0# 5## & '07 6# #0/#* 6# &/ 6o/ /'%#0#/ # #& %'o (!,1,) #/ ' 0# %0&#& & #"# x y 4'# %/ %o0 #& %'o (!,1,).
ANGULO DE INCLINACIÓN DE UN PLANO z
Plano 0 y
x
2l 9n!ulo de inclinación de un plano se define como el 9n!ulo
(
entre el plano dado y el plano xy 2l 9n!ulo de inclinación de un plano con :ector normal esta dado por"
95'&o 6# &* 6# ' %&o
E"#$%&o :
H-6
#allar el 9n!ulo de inclinación del plano tan!ente al elipsoide en el punto (%,%,')
So&'* #aciendo" F(x,y,z) =
2l !radiente"
=
=
(')6 =
Por ser el !radiente
normal al plano tan!ente y 6 es normal al plano
xy, se tiene que el 9n!ulo de inclinación del plano tan!ente esta dado por"
o
TEOREMA. E& GRADIENTE ES NORMAL A LAS SUPERFICIES DE NI;EL. Si F es diferenciable en (xo,yo,zo)
y
es normal a la superficie de ni:el que pasa por
, entonces
H-7
E
1.- #allar una ecuación del plano tan!ente a la superficie z = %; & x % & y % en el punto (.,',';)
2.- #allar la ecuación del plano tan!ente a la superficie z = ex(seny - ') en el punto (0, %)
.- #allar una ecuación del plano tan!ente y $allar ecuaciones sim4tricas para la recta normal a la superficie xy & z = 0 en el punto (%,.,/)
8.-
#allar el 9n!ulo de inclinación
del plano tan!ente a la superficie
.x% - %y% & z = '; en el punto (%,%,;)
