SESIÓN 02: PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
I) Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación fabricació n de cada cartucho es de $12.92. $ 12.92. Los costos fijos mensuales son de $8000.Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿Cuántos cartuchos como mínimo debe d ebe vender el fabricante para obtener utilidades? Precio c/u= 19.95 Costo c/u= 12.92 Costo fijo mensual= 8000
19.95 x " 12.92 x 8000 7.03 x " 8000 703 x " 800000 x " 1137.98 2. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los d istribuidores es de $1.4 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los d istribuidores por todos los ejemplares ejempla res vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que la compañía obtenga ganancias? Costo=1.5x Ingreso1=1.4x Ingreso2= 0.1( x 10000)1.4
I 1 I 2
"
C
1.4 x 0.10( x 10000)1.4 " 1.5 x 1.4 x (0.1 x 1000)(1.4) " 1.5 x 1.4 x 0.14 x 1400 " 1.5 x 1.54 x 1400 " 1.5 x 0.04 x " 1400 x
"
35000
3. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el área sea más de 600m2. Area ! L. A A " 600 m
2
2( L A) ! Perimetro
50 A A " 600
2( L A) ! 100
50 A A 2
L A ! 50
A
2
"
600
50 A 600 0
( A 20)( A 30) 0 A
A20;30?
L
!
50 A
4. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 metros de cerca disponibles. Encuentra las dimensiones del terreno si el área delimitada debe ser de al menos 2100 m2 Area ! L. A L. A
2100m 2
2( L A) ! Perimetro
100 A A 2100
2( L A) ! 200
100 A A2
L A ! 100
A
2
2100
100 A 2100 " 0
L
!
100 A
( A 70)( A 30) " 0 A
A g;30? A70;g?
5. La compañía manufacturera fabrica un producto que tiene un precio unitario d e venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $20 000, determine el número mínimo de unidades que la compañía debe fabricar y vender para obtener ganancias. Precio c/u= 20 Costo c/u= 15 Costo fijo mensual= 20000
20 x " 15 x 20000 5 x " 20000 x " 4000 6. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra es de $4,00; el gasto general sin importar el volumen de ventas es de $ 5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidos para que la compañía obtenga ganancias. Precio para un mayorista= 7.4 Costo de materiales c/u= 2.5 Costo de mano de obra c/u= 4 Costo fijo mensual= 5000
7.4 x " 2.5 x 4 x 5000 0.9 x " 5000 9 x " 50000 x " 5555 .56
7. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Si se puede rentar un automóvil por $ 400 mensuales (con una base anual), bajo este plan, el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $ 0,10. Si comprase el vehículo, el gasto fijo anual sería de $ 3 000 más $ 0,18 por kilómetro. ¿Cuál es el máximo número de kilómetros que deberá recorrer al año para que la compra sea más barata que la renta? C R
R ANUAL
!
4800 n (0.10)
C ! 30000 n(0.18)
3000 0.18n 4800 0.1n 0.18n 01n 4800 3000 0.08n 1800 8n
1800 100 8n 180000
n 22500 8. Un distribuidor de licores compra whisky a $ 2 la botella y la vende a $ p. El volumen de ventas x (en cien-tos de miles de botellas a la semana) está dado por x = 24 2p, cuando el precio es p. (Obteniendo ingresos, costos y utilidades en cientos de miles de dólares) a) ¿Qué valor de p genera ingresos superiores a $ 7 000 000 a la semana? b) ¿Qué valores de p genera al distribuidor una utilidad superior a $ 1 80 0 000 a la semana? I ( x )
!
( x) P ! (24 2 p )( p)
I ( x )
!
24 p 2 p 2
a)
7000000 24 p 2 p
2
2 p 2 24 p 7000000 0 2
p 12 p
3500000
( p 6) 2 36 3500000 P ! 6
b)
U ( x )
! I ( x )
U ( x )
!
(24 p 2 p ) 2(24 2 p )
U ( x )
!
24 p 2 p 2 48 4 p
2 p
2
C ( x ) 2
28 p 48 " 1800000
2 p 2 28 p 48 1800000 p
2
14 p 24 900000
p
2
14 p 90002 4
( p 7) P !
7
2
0
49 90002 4
0
9. Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es de p dólares están dadas por p = 200 - 3 x . El costo de producir x unidades al mes del artículo es d e C = 650 + 5 x dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2050 dólares? x ( 200 3 x) (650 5 x ) u
200 x 3 x 3 x
3 x
2
2
2
650 5 x u
2050
2050
195 x 2700 u 0
195 2700 e
2
x 65 x 900 e
0
0
( x 45)( x 20) e 0 x ?20; 45A
10. Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobús para que los lleve al concierto es de $450, lo c ual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que l leguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente $50 cada uno, pero se reducen 10 céntimos de dólar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (capacidad máxima del autobús es 60). ¿Cuántos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo total por estudiante sea menor a $54?
(50 0.1 x)
450
x
54
(50 0.1 x)( x) 450 54 x 2
0.1 x 4 x 450 0
0.1 x 2 x
2
4 x 450 0
40 x 4500
"
0
( x 90)( x 50) " 0 x A50;60A
11. Un constructor debe decidir si ha de comprar o rentar una máquina excavadora. Si la rentara tendría que pagar $4800 al mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceite y conductor) sería de $480 por cada día que se utilizara; si la comprara, su costo fijo anual sería de $32,000 y los costos diarios de operación serían de $640 por día. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que utilizar la máquina para justificar el comprarla en vez de rentarla? C R
R ! 4800(12) (480 x ) C ! 32000 (640 x)
32000 640 x 57600 480 x 160 x 25600 x 160 x
A0;160?
12. Una planta de empaque desea diseñar cajas con un volumen de no más que 400 cm3. Se cortan cuadrados de las esquinas de una pieza de cartón de 12 por 15 cm, y luego se doblan las solapas hacia arriba para construir una caja sin tapa. ¿Cuál es el tamaño máximo que deben cortarse los cuadrados de la pieza de cartón?
(15 2 x)(12 2 x)( x ) e 400 (15 2 x)(12 x 2 x 2 ) e 400 3
2
4 x 54 x
3
2
2 x 3
2
4 x 24 x
x
27 x
2 -27 90 -200
10 2
20 -70 200 -7 20 0
( x 10)(2 x 2 7 x 20) e 0 ( x 10) e 0 x A0;10?
2
180 x 30 x
e 400
180 x 400 e 0
90 x 200 e 0
13. Jhon, gerente de una empresa de agro exportación, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de un producto nuevo desde Perú. El proyecta que por la venta de x cajas de ese producto, el precio por cada una es p ! 5000 2 x en nuevos soles. Además el costo total es C ! 360000 1000 x 2 x
2
¿Cuántas cajas debe vender-se para obtener utilidades de S/. 640 000?
5000 2 x x ! 360000 1000 x 2 x 2 640000 5000 x 2 x 2
!
360000 1000 x 2 x 2 640000
0 ! x 2 1000 x 250000 0 ! ( x 500 )( x 500 ) 0 ! ( x 500 ) 2 0 ! x 500 x
!
500
14. María, gerente de una cadena de cines virtuales analiza que cada sala de cine atienden un promedio de 500 clientes por película y les cobra S/.7 por entrada. María desea tener más ingresos en la película de estreno y analiza lo siguiente: Por cada incremento de S/.0.50 en la tarifa, se pierde 25 clientes. a) Exprese el ingreso que dependa del precio por corte b) ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos sean mayores que él de por una tarifa de S/. 7? a)
500 25 x 7 0.5 x " 5007 2520 x 7 0.5 x " 500 7 20 x 7 0.5 x " 207 140 10 x 7 x 0.5 x 2 1
2
3 x 0 2 2 x 6 x 0
x
x x 6 0 x A0;6?
"
1 40
b)
x
!
3
