EXAMEN FINAL 2010-2
θε + senθεθ , evalúe ∫A.d
4.- Si A= rcos
alrededor de la trayectoria que es el contorno de un trapecio circular en el primer cuadrante formado por dos circunferencias concéntricas concéntricas cuyos radios miden 2u y 3u, y los rayos trazados desde el origen de coordenadas formando ángulos agudos de medidas 3 contrario a las manecillas del reloj. r
0⁰ y 60⁰ con el eje de las abscisas. El sentido de la trayectoria es
Mediante el teorema de Stokes: 1)
∮A.dS =∬xA)d θε
dS = rdrd
z
xA = ε [(1/r) Az/θ-Aθ/t] +εθAr/t-Az/r) + εz1/r[rAθ/r-Ap/θ] 2) xA=(0-0ε + (0-0εθ + 1+rsenθε , . = ∬ , ∬ r
r
z
=
∫ ∫ 1 +
1/]7/2 √ 1/]
=[(
1
5: demuestre el teorema de la divergencia Sea S una superficies cerrada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en dos puntos. Suponiendo que las ecuaciones de las superficies limites inferior z=
y superior con
, = , respectivamente y
llamando R a la proyección de la superficie sobre el plano xy, se tiene
, = = ,, ,
,, ,, En la cara superior ,= = ya que la normal Agudo En la cara superior ,= = ya que la normal Obtuso Por lo tanto
,, =
,, =
∬ ,,-∬ ,, = ∬ +∬ 2
= ∬ S Luego :
∭ = ∬ S Analogamente
= = + + =̂ + ̂ + =
6:
= 0es una condicion necesaria y suficiente para ∮ ̅ =0 alrededor de
Demostrar que
cualquier curva suave simple cerrada c Si
= 0
Luego por el teorema de Stokes
̅ = =0
7:
,, . ̅ = ̂ + ̂ + = + + = = + / 3
Luego :
⃗= + + +() + + /
∬ ̅ ̅ = +, + + = 6 8:
̅ = 6 = 1/
0
Luego
∬ + +6/3 =45/4
9.-Usando transformaciones T(u,v) determine el volumen del solido acotado por un octaedro regular cuya arista mide l.
4
l=a
Sea P el plano que limita la cara superior derecha P: AX + BY +CZ = 0… P*: u + v + w + a = 1 Una vez hecho el conveniente cambio de variable se procede con una simple integral triple:
V = 2 ʃʃʃ J (u,v,w) dudvdw =2 a2ˆ(1/2)/3
10.- Use el teorema de Green, determine el área acotado por la curva” ҫ” Denominado evoluta de una cardioide.
5
θ
r=a(1+cos )
ρ
r*=r+ N … evoluta de “r”
θ/
r*=a(1-cos
X= acosθ Y= asenθ
S = 0.5 ʃ XdY-YdX
6
= a/24
