1. CONDUCTA DE ENTRADA 1.1. TALLER. PARTE A. Responda falso (F) o verdadero (V) frente a cada una de las afirmaciones siguientes y justifique. 1. ____ El lim f ( y ) siempre es igual a f ( y 0 ) . y → y0
2. ____ Si lim f ( y ) siempre es igual a f ( y 0 ) decimos que la función f es continua en y0 . y → y0
3. 4. 5. 6.
____ ____ ____ ____
Las funciones polinómicas son continuas en todo número real. Las funciones racionales son continuas en todo número real. Las funciones irracionales son continuas en todo número real. Las funciones logarítmicas son continuas en todo número real.
7. ____ La definición de derivada de la función g en el punto z 0 es lim
g ( z 0 + k ) − g ( z 0 ) k
k → 0
8. ____ La derivada de la función g ( z ) = e z 9. ____ La derivada de la función g ( z ) = e
es z
es
.
g ' ( z ) = z e z −1 . '
g ( z ) =
e
z
2 z
.
10. ____ La derivada de la función h(u ) = f (u ) g (u ) es h ' (u ) = f ' (u ) g ' (u ) . PARTE B. 1. Determine la ecuación de la recta paralela a la recta con ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 y que pasa por el Resp. 2 x − 3 y + 1 = 0
punto P (4, 3).
2. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta con ecuación 4 x + 3 y + 6 = 0 y que pasa por Resp. 3 x − 4 y + 18 = 0
el punto P (− ( −2, 3). 3).
♦ La distancia d de una recta Ax + By + C = 0, a un punto P1 ( x1 , y1 ) viene dada por: d =
3. Determine la distancia al origen de la recta con ecuación 4 x − 3 y = 6.
Ax1 + By1 + C A2 + B 2 Resp.
6 / 5
4. Los vértices de un triangulo son A (1,1), B ( −1,2) y C (− ( −2,− 2,−1). Obtenga el valor de la altura del triangulo Resp. 7 / 13
sobre el lado AC.
5. Determine la ecuación de la circunferencia en la cual los puntos A (2, 5) y B (6, −3) es uno de sus 2
2
Resp. x + y − 8 x − 2 y − 3 = 0
diámetros.
6. Determine la ecuación de la parábola con foco en F (0,2), directriz la recta y + 2 = 0.
2
Resp. x = 8 y
7. Dibuje la parábola cuya ecuación viene dada por y 2 + 8 x − 6 y + 25 = 0. Determine el vértice y el foco. Resp. ( Resp. (− −2, 3); (− ( −4,3) 2 2 2 2 8. Grafique la elipse con ecuación ecuación 36 x + 20 y = 720 y la hipérbola con ecuación 49 y − 16 x = 196.
1
PARTE C. Verifique que:
A. Si y( x) = 3 3 x 2 −
B. Si z ( y ) =
C. Si y( x) =
1 5 x
3 ( a 2 − y 2 ) 2
3 − 2 x 3 + 2 x
⇒ y , ( x) = 3
⇒ z , ( y ) =
2 9 x
+
1 2 x 5 x
12 y
K. Si y( x) = ln( x + 3) 2
L. Si y( x) = ln 2 ( x + 3) ⇒ y , ( x) =
( a 2 − y 2 ) 3
D. Si y( x) =
2
4 − x 2
⇒ y ( x) = ,
2 x + 3
2 ln( x + 3) x + 3
M. Si y( x) = ln(sec x + tgx) ⇒ y , ( x) = sec x
− 12 ⇒ y ( x) = (3 + 2 x) 2 ,
x N. Si y ( x ) = e
x
⇒ y , ( x) =
2
⇒ y , ( x) = 2 xe x
2
2
⇒ y , ( x ) = 6 xa 3 x . ln a
8 x − x 3 2 3 / 2
(4 − x )
O. Si y ( x ) = a 3 x
2
− 2 cos( 2 / x ) 2 E. Si y( x) = sen ⇒ y , ( x) = 2 x x
P. Si y ( x) = x 2 .3 x ⇒ y , ( x) = x.3 x ( x. ln 3 + 2)
F. Si y( x) = sen( px).sen p x ⇒ y , ( x) = p.senp−1 x.sen[( p + 1) x]
e Q. Si y ( x ) = e
G. Si y( x) = tgx.sen 2 x ⇒ y , ( x) = 2sen 2 x
x R. Si y ( x ) = x
H. Si y( x) = x 2 .senx + 2 x. cos x − 2senx ⇒ y , ( x) = x 2 .cos x
I.
x
Si y( x) = x a 2 − x 2 + a 2 .arcsen( x / a) ⇒ y , ( x) = 2 a 2 − x 2
b arctg ( tgx) 1 a J. Si y( x) = ⇒ y , ( x) = 2 2 2 2 ab a cos x + b sen x
S. Si y ( x) = x ln x
x
⇒ y , ( x ) = e ( x+e
)
⇒ y , ( x ) = x x (1 + ln x) ⇒ y , ( x) = 2 x (ln x−1) . ln x
T. Si x 2 − xy + y 2 = 3 ⇒ y , ( x) =
2 x − y x − 2 y
U. En x 3 y + xy 3 = 2 para x = 1, y´= −1
V. La curva x 2 + 3 xy + y 2 = 5 en el punto A (1, 1), tiene como tangente la recta x + y = 2 y como normal la recta y = x.
2
PARTE C. Verifique que:
A. Si y( x) = 3 3 x 2 −
B. Si z ( y ) =
C. Si y( x) =
1 5 x
3 ( a 2 − y 2 ) 2
3 − 2 x 3 + 2 x
⇒ y , ( x) = 3
⇒ z , ( y ) =
2 9 x
+
1 2 x 5 x
12 y
K. Si y( x) = ln( x + 3) 2
L. Si y( x) = ln 2 ( x + 3) ⇒ y , ( x) =
( a 2 − y 2 ) 3
D. Si y( x) =
2
4 − x 2
⇒ y ( x) = ,
2 x + 3
2 ln( x + 3) x + 3
M. Si y( x) = ln(sec x + tgx) ⇒ y , ( x) = sec x
− 12 ⇒ y ( x) = (3 + 2 x) 2 ,
x N. Si y ( x ) = e
x
⇒ y , ( x) =
2
⇒ y , ( x) = 2 xe x
2
2
⇒ y , ( x ) = 6 xa 3 x . ln a
8 x − x 3 2 3 / 2
(4 − x )
O. Si y ( x ) = a 3 x
2
− 2 cos( 2 / x ) 2 E. Si y( x) = sen ⇒ y , ( x) = 2 x x
P. Si y ( x) = x 2 .3 x ⇒ y , ( x) = x.3 x ( x. ln 3 + 2)
F. Si y( x) = sen( px).sen p x ⇒ y , ( x) = p.senp−1 x.sen[( p + 1) x]
e Q. Si y ( x ) = e
G. Si y( x) = tgx.sen 2 x ⇒ y , ( x) = 2sen 2 x
x R. Si y ( x ) = x
H. Si y( x) = x 2 .senx + 2 x. cos x − 2senx ⇒ y , ( x) = x 2 .cos x
I.
x
Si y( x) = x a 2 − x 2 + a 2 .arcsen( x / a) ⇒ y , ( x) = 2 a 2 − x 2
b arctg ( tgx) 1 a J. Si y( x) = ⇒ y , ( x) = 2 2 2 2 ab a cos x + b sen x
S. Si y ( x) = x ln x
x
⇒ y , ( x ) = e ( x+e
)
⇒ y , ( x ) = x x (1 + ln x) ⇒ y , ( x) = 2 x (ln x−1) . ln x
T. Si x 2 − xy + y 2 = 3 ⇒ y , ( x) =
2 x − y x − 2 y
U. En x 3 y + xy 3 = 2 para x = 1, y´= −1
V. La curva x 2 + 3 xy + y 2 = 5 en el punto A (1, 1), tiene como tangente la recta x + y = 2 y como normal la recta y = x.
2
2. INCREMENTOS/DIFERENCIA INCREMENTOS/DIFERENCIALES LES En la función y = f ( x) :
• El
incremento de de una variable x, es el cambio en x, cuando x pasa del valor inicial x 0 al valor final
x1, (creciendo o decreciendo): Incremento en x: ∆ x = x1 − x0 : ∆x (“delta x”). • Si x experimenta experimenta un incremento ∆x = x1 − x0, entonces
y presentará un cambio o incremento
(positivo o negativo) ∆ y = f ( x1 ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) : ∆ y (“delta y”). Graficar en − 2 ≤ x ≤ 2, y = 4 − x , determinar ∆y si: 2
a. x0 = 1, ∆x = 0.2.
b. x0 = −1, ∆x = −0.2.
c. Determinar en los casos anteriores el valor de la razón ∆ y / ∆ x e interpretar geométricam geométricamente. ente. 2.1. TALLER. Graficar en 0 p x ≤ 2, y =
2 x
. Determine el valor de
∆ y 16 , si x cambia de 0.75 a 0.5. Resp. − ∆ x 3
2.2. TAREA. 1. Graficar en 1 ≤ x ≤ 4, y = 2 x − 3. Determine el valor de
∆ y , si x cambia de 3.3 a 3. ∆ x
2. Graficar en 0 ≤ x ≤ 1, y = x 2 + 4 x. Determine el valor de
∆ y , si x cambia de 0.7 a 0.85 Resp. 5.55 ∆ x
En la función y = f ( x ) :
•
dx, se llama la diferencial de x , viene dada por la relación dx = ∆ x.
•
dy, se llama la diferencial de y , viene dada por la relación dy = f ' ( x ) dx.
3
Resp. 2
Dada y =
x 2
2
+ 3 x, verificar que para x = 2, dx = 0.5, ∆y = 2.625, dy = 2.5. Interpretar gráficamente.
El área A de un cuadrado de lado L está dada por
A = L2. Suponga que L tiene un incremento ∆L. Ilustre gráficamente ∆A, dA, ∆A − dA.
2.3. APROXIMACIÓN POR LA RECTA TANGENTE Como puede verse en la gráfica, la tangente a una curva se aproxima a la curva cerca del punto
P de
tangencia: La recta tangente puede proporcionar una aproximación para la curva .
•
Aproximar mediante diferenciales
f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + dy = f(x0) + f´(x0).dx 3
124 , para obtener 4.9867
La arista de un cubo es de 6 cm con un posible error en su medida de 0.05 cm. Determinar que
5.4 cm 3 es el error posible en el cálculo de su volumen.
Se define el error porcentual aproximado de una función f como:
df f
* 100%
El radio de un círculo se incrementa de 10 mts a 10.1 mts. Determine que 2% es el cambio porcentual
aproximado en la medida del área.
2.4. TALLER. I.
Aproximar mediante diferenciales sen 46°, para obtener 0.7194.
II.
Supóngase que la tierra es una esfera perfecta y que su radio es 3959 ± 0 .1 millas. Determinar que
9950 millas 2 , sería la aproximación en el cambio del área de la superficie de la tierra.
III. La arista de un cubo se mide con un error del 1%. Determine que 3% es el cambio porcentual aproximado en la medida del volumen.
4
2.5. TAREA. 1. Si y = x 2 − 3, encuentre los valores ∆y, dy si
x = 2, ∆x = 0.2
Interprete estos resultados en una gráfica ampliada.
Resp.
x = 1.5, ∆x = −0.1.
0.84, 0.8
; −0.29, −0.3.
2. Aproxime por diferenciales:
4
17
Resp.
2.03125
5
1020
Resp.
3.99688
cos 59°
Resp. 0.5151
tan 44°
Resp.
0.9651
3. Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor de manera que su radio pasa de 5 a 5.06 cm. Halle Resp. 1.88 cm 2
el crecimiento aproximado del área.
4. Una esfera metálica de radio exterior 1 mt, se cubre con una película protectora de espesor 0,01 cm. Calcular el volumen de protector anticorrosivo de la película.
Resp. 1256,63 cm 3
5. La arena que sale de un recipiente forma un montículo cónico cuya altura siempre es igual al radio. Estime el incremento del radio correspondiente a un cambio de 2 cm 3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10 cm.
0.00637
Resp.
6. Determine el incremento de la recta tangente para los cambios dados en el volumen de:
Una esfera cuando el radio cambia una cantidad ∆r.
Resp. 4πr2∆r
Un cubo cuando la longitud de la arista cambia una cantidad ∆a.
Resp.
Un cilindro circular recto cuando el radio cambia una cantidad ∆r y la altura permanece constante. Resp. 2πrh∆r
3a2∆a
7. 8.
Un cono circular recto cuando el radio cambia una cantidad ∆r y la altura permanece constante. Resp. 2πr h∆r /3 b b 2 Determine el origen de las fórmulas aproximadas: a +b ≈ a+ ; 3 a 3 + b ≈ a + 2 , donde 2a 3a b es un número pequeño en comparación con a. Determine en forma aproximada el cambio en el área de la superficie de un cubo, cuando la longitud de su arista L cambia de Lo a Lo + dL.
Resp. 12LdL
9. Con que precisión debe medirse el lado de un cuadrado, para estar seguro de calcular el área con un margen de error del 2%.
Resp. 99%
10. Hay un tanque en forma cónica de 1 mt de radio superior y 4 mt de altura, estando el nivel de agua que contiene el tanque a la altura de 3 mt, se vierten en el tanque 2 cm 3 de agua. Calcular aproximadamente el incremento de la altura.
Resp. El nivel del agua sube 0,0001132 cm.
11. Un tanque tiene la forma de un cilindro con el extremo superior esférico. Si su altura es de 5 mt. y con un radio de 1 mt. Determine en forma aproximada la pintura necesaria para pintar la parte exterior del tanque Resp. 0.028π m2
con un espesor de 2mm.
12. Con un alambre metálico de 2 mm. de diámetro, se dobla para formar una circunferencia de 2 mt. de diámetro interior. El alambre así doblado se coloca sobre una superficie plana horizontal. Calcular el Resp. 125,663 cm 2
área cubierta por el metal.
5
3. FORMAS INDETERMINADAS
x 2 − 4 0 , f (2) da como resultado , una expresión sin sentido , una forma En la función f ( x ) = 0 x − 2
indeterminada , es necesario determinar que lim f ( x) = 4 . GRAFIQUE. x → 2
Otras formas indeterminadas:
∞ ∞ , ∞ − ∞, 0.∞, 0 0 , ∞ 0 , 1 . Estos símbolos son sólo notaciones ∞
para expresiones que carecen de sentido .
♦
Regla De L’Hôpital. (Guillaume de L’Hôpital , matemático francés 1661 − 1704) • Si las funciones f ( x), g ( x) son ambas derivables en el intervalo abierto (a, b) que contiene a c y si f (c) = g (c ) = 0, si además g ' (c) ≠ 0 en (a , b), excepto quizás en c , entonces:
lim x → c
f ( x ) g ( x )
= lim x → c
f ´( x ) g´( x )
Si este límite existe o es infinito.
3.1. TALLER. Analizar la demostración:
lim x →c
f ' ( x) g ' ( x)
=
f ' (c) g ' (c)
lim x →c
= im x →c
f ( x) − f (c)
f ( x) − f (c)
f ( x) − f (c) f ( x) x − c x − c = lim x →c = lim x← c = lim x →c g ( x) − g (c) g ( x) − g (c) g ( x) − g (c) g ( x) x − c x − c
Verificar:
x 2 A. lim x = 0 x → 0 e − 1
1 − cos x B. lim =0 2 x → 0 + x x
3.2. TALLER. Verificar: sen x A. lim =1 x → 0 x
e x − 1 − x 1 = B. lim 2 x → 0 x 2 6
La regla de L’ Hôpital se aplica también a la forma
∞ . ∞
Verificar:
e x A. lim = ∞ x → ∞ x
ln x = 0 B. lim x → 0 x csc +
3.3. TALLER. Verificar: x 2 A. lim x = 0 x → ∞ e
ln x B. lim =0 x → ∞ x
Formas indeterminadas:
∞ , ∞ − ∞, 0.∞, 0 0 , ∞ 0 , 1∞. ∞
3.4. TALLER. Verificar:
Verificar:
A.
1
1
lim+
ln( x + 1)
x → 0
− = x
1
A.
2
π x → 2
−
(sec x − tan x ) = 0
B. lim ( x ln x ) = 0
−1 B. lim x 3 ln x = 0 x → ∞
x → 0 +
C. lim ( x ) x = 1
C. lim (sen x ) = 1 x
x → 0
lim
x → 0 +
+
x
1 D. lim = 1 x → 0 x
2 x
D. lim ( x + 1) = 1
+
x → ∞
E. lim ( x ) +
x → 1
1
x −1
E. lim (1 + sen 4 x )cot x = e 4
=e
x → 0 +
Determinar el error en el procedimiento: lim x →0
e x − 1 x
2
= lim x→ 0
e x
2 x
= lim x →0
e x
2
=
1 2
3.5. TALLER. Determine el error en el procedimiento: 3
lim x → 2
2
x − x − x − 2 3
2
x − 3 x + 3 x − 2
= lim x → 2
3 x 2 − 2 x − 1 2 3 x − 6 x + 3
= lim x → 2
7
6 x − 2 6 x − 6
= lim x→ 2
6 6
= 1 (La respuesta es 7/3).
3.6. TAREA. Verificar: sen x 2
1. lim
=0
x
x → 0
sen x
2. lim
x → 0
2
4. lim
x − 2 cos π x x 2 − 4
x → 2 3
5. lim
= 1 / 4
1 + x − 1 − x x
sen
6. xlim →∞
tg
1 x
−1 1
x
ln x
20. lim
x
x → ∞
1
x
x → 0
= ln 3
x p − a p
23. lim tgx
ln(sen x)
=−
(π − 2 x )2
2
q
x − a
e2
11. lim
x
−1
sen 2 x
x → 0
= 1 / e
1 8
t n − 2 n t − 2
t → 2
26. lim
1− e x → + ∞ 3
12. lim
−
13. lim x → 0
x
3
tan x
x →
5 x 5 −e 1
14. lim
x → + ∞
2
x
=
5
x → 0
1 x = −2
− 2 tan −1
−
ln(tan x) sen 2 x
sen x 5
29. lim
x →0 3
x
30. lim
x → π
8
p − q
,
1 6
= −1
2
28. lim
ln(5) − 1
1
π
=
ln(cos x )
27. lim
3
x
x
x
1
=
q
a
= nt n−1
x − sen x
x → 0
1
p
=2
x − sen( x )
x → 0
=2
=
q
tan ( x) − x
24. lim 25. lim
2
=0
22. lim+ (ln x + ) = ∞
9. lim x→π / 2 (senx − cos x ) x →
cot x
x → 0
=1
=0
ln x
21. lim+
x → a
10. limπ
2
=0
=0
x
x → 0
x
x
e x − 1
19. lim
= 2 / 3
1 1 7. lim 2 − 2 = 1 / 2 x → 0 x x sec x
8. xlim →0
e
x → ∞
=1
3senx − 1
x 3
18. lim
3
x → 0
sen x
x →1
=2
1 − cos x
=∞
2
x − 1
17. lim
x tg x
x → 0
x
x → 0
−1
3. lim
cos x
16. lim
1
=
ln(2e x − 1)
x → 0
15. lim sen −1 x. cos ecx = 1
2
=1
1 + x − 5 1 − x 1 + x − 3 1 − x
1 + cos 2 x 1 − sen x
=2
=
3 5
af0
4. LUGARES GEOMÉTRICOS Si F(x, y) = 0 es una ecuación de dos variables, al conjunto de puntos P(x, y) y solamente de aquellos
puntos que satisfacen la ecuación, se denomina la gráfica de F(x, y) = 0, ó su
LUGAR GEOMÉTRICO.
Si un punto P(x, y) se mueve de tal forma que sus coordenadas deban siempre satisfacer una ecuación
dada (una condición), la curva trazada por P se denomina el
LUGAR GEOMÉTRICO de la ecuación.
Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que:
1. El cuadrado de su distancia a (4,1) es siempre igual a su distancia al eje Y. 2
2
Resp. x + y − 9 x − 2 y = −17
2. Su distancia a (2,4) es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. 2
Resp. y − 8 y − 10 x = −11
3. El producto de las pendientes de las rectas que los unen a ( −2,1) y a (6,5) es siempre − 4. 2
2
Resp. 4 x + y − 16 x − 6 y = 43
4. Su distancia a (−1,2) es el doble de su distancia al eje X.
2
2
Resp. x − 3 y + 2 x − 4 y = −5
4.1. TALLER. Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que: A. Que equidisten de los puntos fijo ( −3, 1) y (7, 5).
Resp. 5 x + 2 y = 16
B. La suma de distancias a los ejes coordenados es igual al cuadrado de sus distancias al origen. Resp. Circunferencia con centro en C (½, ½) y radio
2 2
4.2. TAREA. Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que: 1. La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (3,5) y ( −4,2) es siempre 30. 2
2
Resp. x + y + x − 7 y = −12
2. Su distancia a la recta x + 3 = 0, es siempre 2 unidades mayor que su distancia al punto (1,1). 2
Resp. y − 4 x − 2 y = −1
3. Su distancia a (3,2) es la mitad de la distancia a la recta x + 2 = 0. 2
2
Resp. 3 x + 4 y − 28 x − 16 y = −48
4. Su distancia a (0,6), sea 3/2 de su distancia a la recta y = 8/3.
2
2
Resp. 5 y − 4 x = 80
5. El producto de las pendientes de las rectas que los unen a ( −2,1) y a (3,2) es. siempre 4. 2
2
Resp. 4 x − y − 4 x + 3 y = 26
6. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A ( −1,3) y B (5,1). Determine la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es Resp . xy + x + 7 y = 17
siempre el doble de la del lado BC.
9
5. ROTACIÓN DE EJES ♦ Sean
X, Y un conjunto de ejes coordenados con origen en (0, 0), y sea U, V un segundo conjunto de
ejes coordenados con el mismo origen pero girados o rotados un ángulo θ alrededor del origen.
Mostrar que todo punto P en el plano tendrá dos pares de coordenadas: (x, y), (u, v), relacionados
x = u cosθ − vsen θ , y = usenθ + v cos θ
entre sí por:
2
2
Transformar a x − 2 xy + y = 0, por rotación de los ejes un ángulo de θ = 45° .
Resp. V = 0
5.1. TALLER. Transformar la ecuación 6 xy = 7, por rotación de los ejes un ángulo de θ = 45°. 2
2
Resp. 3U − 3V = 7
5.2. TAREA. Halle la ecuación de las siguientes curvas si los ejes coordenados giran el ángulo indicado.
A. x 2 − 2 xy + y 2 = 2, θ = 45°
DIBUJE:
Resp. V 2 = 1
B. 3 x 2 − 2 3 xy + 5 y 2 = 12, θ = 30°
Resp. U 2 + 3V 2 = 6
C. 2 x + 5 y − 3 = 0, θ = tan −1 (2.5)
Resp.
10
29 U = 3
5.3. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 2
2
Determinar que la ecuación Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, puede transformarse en otra de la
forma A' u 2 + C ' v 2 + D' u + E ' v + F ' = 0, donde U , V es el sistema de ejes obtenido al rotar los ejes X , Y un ángulo positivo agudo θ, tal que:
tan 2θ =
B A − C
, si A ≠ C ; θ = 45o , si A = C
Clasificación:
= 0, la gráfica de la ecuación es una parábola Si el discriminante B2 − 4AC
< 0, la gráfica de la ecuación es una elipse > 0, la gráfica de la ecuación es una hipérbola
Clasificar la gráfica de la ecuación. Rote / Traslade / Grafique:
I.
16 x 2 − 108 xy − 29 y 2 + 260 = 0
II.
Resp. 5U 2 − 4V 2 = 20
7 x 2 − 6 3 xy + 13 y 2 − 4 3 x − 4 y − 12 = 0 Resp. U 2 + 4V 2 = 4
11
5.4. TAREA. Clasificar la gráfica de la ecuación. Rote / Traslade / Grafique: 1. 52 x 2 − 72 xy + 73 y 2 − 104 x + 72 y − 48 = 0
4. 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 + 20 x − 140 y = 300
Resp. U 2 + 4V 2 = 4
Resp. V 2 = 4U
5. 2 x 2 − 12 xy + 18 y 2 + x − 3 y = 6
2. 29 x + 108 xy − 16 y − 66 x − 356 y = 339 2
2
2
Resp.
Dos rectas paralelas
2
Resp. 5U − 4V = 20
6. x 2 − 3 xy + 2 3 x − 3 y = 3
3. 5 x + 6 xy + 5 y − 4 x + 4 y = 4 2
2
12
6. CÓNICAS
Definición: Sea D una recta fija (directriz) y F un punto fijo (foco), en el plano XY. Al conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano tales que la razón de la distancia al foco y a la directriz es una constante positiva e (excentricidad), se denomina cónica .
Determinar que la ecuación de la cónica con directriz el eje Y, foco en F(a, 0) y excentricidad la
constante positiva
e es: (1 − e ) x 2
2
− 2ax + y 2 + a 2 = 0.
6.1. TALLER. Determine que la ecuación de la cónica con directriz el eje X, un foco en el punto con coordenadas F (0, a) y la excentricidad la constante positiva
e , es: (1 − e ) y 2
2
− 2ay + x 2 + a 2 = 0.
Si
e = 1, (1 − e 2 ) = 0, la ecuación representa una __________________
Si
e p 1, (1 − e 2 ) f 0, los coeficientes de las variables cuadráticas son ambos
positivos y diferentes, la ecuación representa una _________________
(
Si e f 1, 1 − e
2
) p 0,
los coeficientes de las variables cuadráticas son de signos
opuestos, la ecuación representa una __________________
13
Determinar el valor de la excentricidad, el tipo de cónica, la directriz y el foco y determinado por:
•
7 x 2 + 16 y 2 − 128 x + 256 = 0.
• x 2 − 4 y 2 + 16 x − 16 = 0.
Resp.
3 4 5
Resp.
2
6.2. TALLER. Determinar la excentricidad y el tipo de cónica determinado por y 2 − 4 x + 4 = 0. Resp. 1 6.3. TAREA. 1.
Determinar el valor de la excentricidad, el tipo de cónica, la directriz y el foco determinado por:
A. y 2 + 4 x + 1 = 0.
Resp. 1 , parábola
B. 3 x 2 + 4 y 2 − 16 x + 16 = 0.
Resp.
C. 9 x 2 − 7 y 2 − 72 y + 144 = 0.
Resp.
En el caso donde
e ≠1
La excentricidad
la excentricidad es equivalente a la razón:
e , en la elipse,
2
a −b a
e =
2
1 2
4 3
, hipérbola
c a 2
a +b
; en la hipérbola ,
, elipse
2
a
2. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol. Si el semieje mayor tiene un valor de 1.485 x 10 8 kilómetros y la excentricidad vale 1/62, determine que la máxima distancia de la tierra al sol es 1.508 x 10 8 Kilómetros y que la mínima distancia es 1.461 x 108 Kilómetros.
Determine la ecuación de la cónica: 2
A. Directriz x = −1, foco F (4,−3), excentric. e = .
2
3
B. Directriz x = 2 y, foco (1, − 2), excentric. e =
5 3
2
Resp. 5 x + 9 y − 80 x + 54 y + 221 = 0
Resp.
.
8 x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 18 x + 36 y + 45 = 0
6.4. TAREA. Determine la ecuación de la cónica: A. Foco (0, 0), directriz x + 2 y + 2 = 0, e = 1.
Resp. 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 4 x − 8 y − 4 = 0
B. Foco (3, 3), directriz x + 3 y − 3 = 0, e = 2.
Resp. 3 x − 12 xy − 13 y − 18 x + 6 y + 72 = 0
2
14
2
7. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA n
∑ x
♦ El símbolo
, denotará la suma de todos los x k , desde k = 1, 2, 3,....... hasta k = n:
k
k =1
n
∑ x
k
= x1 + x 2 + x3 + x 4 + ....... + x n .
k =1
♦ Los xk son los términos de la suma, la variable k es el índice de la sumatoria y es “ficticia”, sirve cualquier letra. 1 es el límite inferior y n es el límite superior. 8
6
10
∑(2i +1), ∑sen(2π j), ∑5 .
Desarrollar:
i =1
j =2
Resp. 80, 0, 35
k =4
7.1. TALLER. 1. Si x1 = 2, x2 = −5, x3 = 4, x4 = −8, y1 = −3, y 2 = −8, y3 = 10, 4
4
∑
∑
1
1
x i = −7,
4
y i = 5,
∑
4
∑
( x i ) 2 = 109,
1
y 4 = 6, verifique que:
4
4
∑
( y i ) 2 = 209,
1
4
∑ ∑y
x i . y i = 26,
x i
1
1
i
= −35
1
2. Determine si es falso (F) o verdadero (V): n
n
n
∑ x y = ∑ x ∑ y i
i
i
i =1
i =1
i
_____________
i=1
3. Expresar con notación sigma: A. ( x 4 + y 4 ) + ( x5 + y 5 ) + K + ( x15 + y15 ) = 10
12
100
B. f 5 ( y5 ) + f 6 ( y6 ) + K + f 50 ( y50 )
=
7.2. TAREA. 1. Si U 1 = 3, U 2 = −2, U 3 = 5, V 1 = −4, V 2 = −1, V 3 = 6, verifique que: 2
3 2 U V U V U V U = = = . 20 , ( ) 226 , / 25 / 12 , . ∑1 i i ∑1 i i ∑1 i i ∑1 i ∑1 V i = 6 3
3
3
3
2. Expresar con notación sigma. (Las respuestas pueden no ser únicas) A. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ..... + 199 B. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ..... + 200 C. 2 − 4 + 6 − 8 + 10 − 12 + 14 − ..... − 200 D. senα + E.
2 1
+
2
sen2α
4
2
2
+
2
+
sen3α
9
3
3
+ ........... +
+ ......... + 2
50
50
sen25α
625
F. 1 +
1
+
1 x 2
1 1 x 2 x3
2
+ ........... +
1 1 x 2 x3 x....... x100
2
2 3 35 G. + + + ............ + 3 5 7 71 1
H. 1 + I.
15
1 3
+
senπ +
1 4
1 5
+ .......... +
sen
π 2
+
1 9
sen
2
1 55
π 3
+ ......... +
1 10000
sen
π 100
LINEALIDAD: Verificar que
n
∑
n
(aX k + bY k ) = a
k =1
n
∑
∑ Y
k =1
k =1
X k + b
k
con a, b constantes reales.
n
Verificar que
∑= k = nk , con k cualquier constante real. i 1 n
Verificar que
∑= ( X
j
100
k
∑ k + 1 −
− X j −1 ) =Xn − X 0 , aplicar en:
j 1
1
k − 1
100
= k 101
7.3. TALLER. Verificar:
A.
571
1
319
∑ 3 =
3
253
B.
100
1
1
1
2575
∑ k (k + 1) − (k + 1)(k + 2) = 5151
n
∑= i =
Si n es un entero positivo:
i 1
n(n + 1)
2
n
∑= i
;
2
=
n(n + 1)(2 n + 1)
6
i 1
Calcule:
A.
20
∑ 3i(i
2
+ 2)
i =1
B. − 12 + 2 2 − 32 + 4 2 − 5 2 + 6 2 − ..... − 99 2 + 100 2 = 5050 7.4. TALLER. Verificar:
7
∑ (i
2
+ 1) = 147
i =1
7.5. TAREA. Calcule: A.
25
∑ 2i(i − 1)
Resp. 104000
i =1 n
B.
∑ 4i i =1
2
(i − 2)
Resp.
4
n −
2n 3
3
− 3n 2 −
16
4n 3
n
;
∑= i i 1
3
=
n 2 ( n + 1) 2
4
8. ÁREA BAJO UNA CURVA 8.1.
Regla del punto medio.
f(ci) f(x)
a
N
A ≈
∑
f (ci ) ∆xi =
I =1
b−a n
ci
b
( f (c1 ) + f (c2 ) + +.... + f (cn )) ,
Aproximar el valor del área bajo la curva
y = 3 x 2 , las rectas
con ci =
2
x = 0, x = 1. Utilizando la regla del
punto medio con n = 4. 8.2.
xi −1 + xi
Resp. 0.984375
Regla del Trapecio. yn-1 f(x)
yn
a
A ≈
b−a
2n
Xn-1
Xn
b
( y0 + 2 y1 + 2 y 2 + ....... + 2 y n −1 + y n ), n sub int ervalos de igual longitud
Aproximar el valor del área bajo la curva
y = 3 x 2 , las rectas
x = 0, x = 1. Utilizando la regla
trapezoidal con n = 4. Aproximar el valor del área bajo la curva
Resp. 1.03125
y = 3 x 2 , las rectas
x = 0, x = 1. Utilizando la regla de
Simpson (Thomas Simpson matemático inglés 1720 − 1761) con n = 4.
17
Resp. 1
8.3.
Regla de Simpson. h
Nota: El área bajo la parábola y = Ax 2 + Bx + C , el eje x, las rectas x = −h, x = h es (2 Ah 2 + 6C ). 3
A ≈
b−a
3n
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + ......... + 2 yn−2 + 4 yn−1 + yn ), n par
Aproximar el valor del área bajo la curva y =
medio, trapezoidal, Simpson, con n = 4.
1 x
, las rectas x = 1, x = 3. Utilizando la regla del punto Resp.
1.089, 1.116, 1.1
8.4. TALLER. Aproximar el valor del área bajo la curva y = x 2 + 1 las rectas medio, trapezoidal, Simpson, con n = 4.
x = 0, x = 1. Utilizando la regla del punto Resp.
1.328, 1.343, 1.333
8.5. TAREA. A. Aproximar el área bajo la curva y =
1 4
1 + x medio, trapezoidal y Simpson , con n = 6.
, las rectas x = 0, x = 3. Utilizando la regla del punto Resp. 1.098004, 1.098709, 1.109031
B. Aproximar el área bajo la curva y = 35 + x , las rectas x = 1, x = 5. Utilizando la regla del trapecio y Resp. 24.654, 24.655 Simpson , con n = 4. C. Utilizando la regla Simpson , con n = 4 aproximar el área bajo las curvas: a) y = senx , las rectas x = 0, x =π.
Resp. 2.2845
2
b) y = e − x , las rectas x = 0, x = 2.
Resp. 0.881
18
9. INTEGRAL DEFINIDA ♦ Sea f una función sobre [a, b], no necesariamente continúa ni positiva en él.
• Una partición P de [a, b] es una colección de sub-intervalos:
[ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], [ x3 , x4 ], K, [ xn−1 , xn ],
con a = x0
p
x1
♦ Cada sub-intervalo [ xi −1 , xi ], tiene por longitud xi − xi −1 = ∆xi , y sea
p
x 2
pK p
x n = b.
∗
xi un punto cualesquiera en él.
(llamado punto de evaluación).
La
suma de RIEMANN , ( Bernhard Riemann matemático alemán 1826 – 1866) para la función n
R =
f ( x ) determinada por la partición P de [a, b] es:
∑ f ( x )∆x ∗
i
i
i =1
Si f definida en [a, b] es continua no negativa , el área A bajo la curva y = f ( x) en [a, b] es el límite n
A = lim n→∞
de sus Sumas de Riemann:
∑ f ( x
∗ i
)∆x i
i =1
• Use sumas de Riemann, utilizando los puntos extremos de la derecha de cada subintervalo [xi−1, x i], ∗
como puntos de evaluación xi y determínese el valor del área pedida: 3
Bajo la curva y = x , las rectas x = 0, x = 2. 2
Bajo la curva y = 4 − x , las rectas x = 1, x = 2.
9.1. TALLER. Determine el valor del área bajo la curva y = 2 x, las rectas x = 0, x = 1.
Resp. 1
9.2. TAREA. Determine el valor del área bajo la curva: 1. Bajo la curva y = x 2 , las rectas x = 0, x = 2.
Resp.
2. Bajo la curva f ( x) = x (1 + x )2 , las rectas x = 1, x = 3.
Resp.
8 3 124 3
n
DEFINICIÓN: La integral definida de la función f desde a hasta b es el número I = lim n→∞ ∑ f ( xi )∆xi , ∗
i =1
Siempre que exista , entonces se dice que f(x) es integrable en [a, b], y se nota I =
♦
Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en [ a, b ] , entonces I =
b
∫ f ( x)dx a
b
∫ f ( x)dx = Área bajo la curva en [ [a, b ] ]]. a
Use sumas de Riemann, utilizando los puntos extremos de la derecha de cada subintervalo [ xi −1 , xi ], ∗
como puntos de evaluación xi , verificar que:
3
∫ ( x
3
0
19
− 6 x)dx = −6.75
9.3. TALLER. Verificar que: 2
∫ ( x
2
− 2 x )dx = −
0
4 3
9.4. TAREA. Verificar que: A. B.
3
4
2
3
∫
( x2 − 2 x)dx =
3
∫ ( x
2
0
− 2 x)dx = 0
TEOREMA. Si f y g son integrables en [a, b], y k una constante real se satisface:
∫
a
a
∫
b
a
∫
f ( x) dx = 0
b
a
∫
k dx = k (b − a)
b
∫
a
f ( x)dx = − f ( x)dx b
∫
b
a
b
∫
a
∫
b
f ( x) dx ≤
∫
b
Si en [a, b],
Si en [a, b], m, M son números tales que
f ( x) ≤ g ( x) :
a
a
b
∫a [ f ( x) + g ( x)] dx =∫ a f ( x) dx + ∫a
k f ( x) dx = k f ( x) dx
b
b a
f ( x) dx ≤
∫
b a
g ( x) dx
f ( x) dx
g( x) dx m ≤ f ( x) ≤ M : m (b − a ) ≤
Si f es continúa en [a, b], y c es un número entre a y b,
∫
b
a
f ( x) dx =
∫
c a
∫
b
a
f ( x) dx ≤ M (b − a )
∫
b
f ( x) dx + f ( x ) dx c
9.5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si f es continúa en [a, b],
existe un número c entre a y b tal que : 2
Ilustrarlo en
∫ x 0
3
∫
b
a
f ( x ) dx = f (c ).(b − a ) .
dx .
Sea f continúa en [a, b]:
Si I ( x) =
x
∫ f (t ) dt , se verifica la igualdad I’(x) = f(x) a
• Un Teorema Fundamental Del Cálculo
20
10. INTEGRAL INDEFINIDA Si en todos los puntos del intervalo [a, b] se verifica que la función f(x) es la derivada de la función F(x),
es decir se verifica la ecuación
F´(x) = f(x), F(x) se denomina la PRIMITIVA de f(x) sobre ese intervalo.
• Si F 1 ( x) y F 2 ( x) son dos primitivas de f ( x) en [a, b], su diferencia es una constante. Si F(x) es una
función primitiva de f(x) la expresión F(x) + C se llama la INTEGRAL INDEFINIDA de f(x).
♦ Se nota
∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,
corresponde a un conjunto de funciones
representada en
una
familia de curvas paralelas desplazadas verticalmente y satisface:
Hallar la Familia de curvas correspondientes a:
∫ 2 x dx
Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene una función primitiva.
No toda función primitiva puede expresarse mediante funciones elementales, algunos ejemplos son:
∫
e
− x2
1
∫ ln x
dx ,
dx,
∫
senx x
dx ,
∫
cos x
dx ,
x
∫
2 1 − k senx dx, con k ≠ 1.
10.1. TALLER. Complete la siguiente TABLA:
f ( x) =
f ( x)
f ' ( x)
x n +1
f ' ( x) = x n
, n ≠ −1 n +1 f ( x ) = − cos x
∫ f ( x) dx ∫ x dx = n
f ' ( x) = sen x
f ( x) = sen x
f ' ( x ) = cos x
f ( x) = tan x
f ' ( x) = sec 2 x
f ( x) = − cot x
f ' ( x) = csc x
f ( x ) = sec x
f ' ( x) = sec x tan x
f ( x) = − csc x
f ' ( x) = csc x cot x
f ( x) = e x
f ' ( x) = e
x
f ' ( x) = a
f ( x) =
a
2
x
∫ sen x dx = ∫ cos x dx = ∫ sec x dx = ∫ csc x dx = 2
2
∫ sec x tan x dx = ∫ csc x cot x dx = ∫ e dx = ∫ a dx = x
x
x
ln a
f ( x) = ln x f ( x) = arcsen x f ( x ) = arctan x
f ' ( x) = f ' ( x ) = f ' ( x) =
1
1
∫ x dx =
x
1 1 − x 1
2
1 + x 2
21
∫
1 1 − x 1
∫ 1 + x
2
2
dx = dx =
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 11.INTEGRACIÓN DIRECTA
Evaluar:
I. ∫ (2 x 2 − 5 x + 3 ).dx
II. ∫ (1 − x ). x dx III.
∫
x
3
+ 5 x 2 − 4 x
2
dx
IV.
11.1. TALLER. 1.
∫ ( x − 1) x .dx
2.
∫ (s
2
=
s
− 1 ) .ds =
5
3
2s 3
−
5
2 x 3
−
4
2
2
4
x
+
x
2
+ C
2
+ s + C
3
2 2 x 3 / 2 x 2 x 3. ∫ x − + − + 4 x 1 / 2 + C .dx = 2 3 4 x
4.
4 2 −1 −4 − + 7 ∫ x5 x 2 dx = 7 x − 2 x + x + C
5.
∫ (a + x ) .dx 2
6. ∫ x 7. 8.
∫
∫
3
2
=
+ 4 x − 4 x
x − 3 3
x
dx =
2
( a + x ) 3
dx =
3
Evaluar:
3
I.
3
2
x
5
x
2
− 8 x 4 + 3 x 2 + 9 3 x
+ C
3
2
5
2
+
8
x
3
3
2
− 8 x + C
− 9 3 x + C
4 2 3 −2 dx = − x + ln x − x + C 3 2
dx
∫ 2 x − 3
x . dx
∫ x
II.
2
− 3
III.
11.2. TALLER. x 2
ln 1 − x 3
1.
∫ 1 − x
2.
∫ 2 x − 1 − 2 x + 1 = ln
3. 4.
3
dx = −
dx
∫ x ∫
x + 1 2
+ 2 x + 2
x 2 + 2 x + 2 x + 2
dx
3
dx =
dx =
+ C 2 x − 1 2 x + 1
ln x 2 + 2 x + 2 2
x 2
2
+ C
+ C
+ 2 ln x + 2 + C
22
x + 2
∫ x + 1 dx
∫ (3 s + 3 )
2
.ds
V. ∫ ( x + 1) ds
I.
Evaluar:
∫ 10
x
II. ∫ (e + 1) . dx
.dx
III. ∫ (e
2
x
− x
+e
3 x
+3
2x
).dx
IV.
e x
∫ 10 + e
dx
x
11.3. TALLER. 1.
∫ (e
4 x
2.
∫ (e
x
3.
∫ x e
4.
I.
∫e
+a
− x
4 x
e
).dx
) dx
− x 2 + 2
=
dx = −
2 x
+2
dx =
e +1 2
2 x
+ C
+2
+ C
2
ln e
+ C
4 ln a
x e +1
x
e − x
a 4 x
+
4
=e −
x
e2
e 4 x
+2
+ C
2
Evaluar:
∫ (cos 7 x + sen ( 2 x − 6 ) ).dx
V. ∫ sec 2 2 ax . dx VI.
∫
II. ∫ tgx .dx III.
senx + cos x
cos x
dx
VII. ∫
∫ sec x .dx seny
cos 2 y
11.4. TALLER. 1.
∫ cot x .dx
2.
∫ cos ecx .dx
3.
∫ (1 + tgx )
4.
∫ senax . cos axdx
5.
= ln senx + C
2
= ln cos ecx − cot x + C
.dx = tgx + 2 ln sec x + C
= −
cos 2 ax 4a
+ C
sec x
∫ tan x + cot x dx = − cos x + C sec x .tgx
ln a + b sec x
6.
∫ a + b sec x
7.
∫
8.
∫ (cos x − senx )
9.
∫ cot x (1 + tan x) dx = − cot x + C
dx =
b sec ax .tgaxdx =
2
2
b b sec ax a
. dx = x +
+ C
+ C
cos 2 x 2
+ C
2
23
dx
VII.
∫ (cos
IV. seny
∫ cos
2
y
dy
2
x − sen 2 x ).dx
VIII.
sen 2 y
∫ 1 + cos
2
y
dy
12. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
I.
Evaluar:
∫ ( x
3
+ 2 ) . 3 x .dx II. ∫ x . x + 2 .dx III. ∫ 5
2
2
8 x 2
3
( x
3
IV. ∫
.dx
+ 2)
3
x 2 4
V.
. dx
3
x + 2
e
1
∫ x
x
2
dx
12.1. TALLER.
2.
∫
3.
∫
3
2
x
dx =
3( x 2 + 6 x ) 2 / 3
(1 − 2 x 2 ) 3 / 2
4
x − 2 x . dx = − x + 1 x 2 + 2 x − 4
(1 + x ) 4
∫
5.
∫ ( x
x 2
∫
5 3
4
2
+ 2 x )
3
2
x + 3 x + 1
dx =
11 2
+ C
x 2 + 2 x − 4 + C
2 (1 + x ) 5
− 4 x + 4) 3 dx =
( x
6
dx =
dx =
+ C
4
+ 6 x
2
4.
6.
( x + 3 )
∫
1.
+ C
11
( x − 2 ) 3 + C x 3 + 3 x 2 + 1 + C
3
Evaluar:
I. ∫ e x . cos e x .dx II.
∫
VI. En
∫
sen x . cos x . dx III. 2
2senx. cos x.dx = 2
sen 2 x
2
+ C ;
cos x
∫ sen ∫
2
x
IV. ∫ cos 4 x . senx .dx V.
.dx
∫
2senx. cos x.dx = sen2 x.dx = −
cos 2 x
∫ cos
+ C
2
dx 2
x ( 3tgx + 1)
EXPLIQUE , el
,
porque de las respuestas “diferentes”, si los dos procedimientos son correctos.
12.2. TALLER. 1. 2. 3.
4.
senx
∫ cos
3
x
2
1 2 cos 2 x
x
tg x
dx =
2
sen 2 x
∫ (1 + cos 2 x ) ∫
5. ∫
+ C
dx
cos x 2 senx + 1
2
+ C
dx =
dx =
6. 1
2 (1 + cos 2 x )
+ C
2 senx + 1 + C
7. 8. 9.
24
sen 2 x
∫ ∫
1 + sen 2 x sen 3 x 3
1 3
cos 3 x
∫ sen
4
x
dx =
1 senx
2 3 x cos( x − 2 ) 2
3
tgx − 1 + C
dx = 2 1 + sen 2 x + C
dx =
4
cos 3 x
∫
=2
cos 2 x tg x − 1
2
tgx
∫ cos
dx =
sen ( x − 2 )
+ C
cos 3 x
−
1 3 sen 3 x
dx = −
1 3
+ C
csc( x 3 − 2 ) + C
Evaluar:
I. ∫ e senx . cos x . dx
e x − 1
∫e
II.
x
+1
. dx
III.
dx
∫
x (1 −
dx
IV. ∫
x)
V.
x . ln x
∫
csc 2 (ln x ) x
.dx
12.3. TALLER. 1.
∫a
2.
∫5
x
x
x .dx =
.e .dx =
∫e ∫
4.
∫
5.
∫
6.
2 x
x x (a − b ) x
7.
+ C
5 x .e x 1 + ln 5
8.
+ C
.dx = ln( e 2 x + 3) 2 / 3 − x / 3 + C 9.
+3
a b
x 2
2 ln a
x
e 2 x − 1
3.
a
2
2
.dx =
x
sec 3 x + e senx
x x ( a / b ) − (b / a )
− 2x + C
ln a − ln b
dx = tgx + e senx + C
sec x
1 1+ 2 = − 1 + 3 x x 2 3 x 1 dx
3
10.
dx
∫ x +
3
=
x
∫
1 + ln x
∫
1+
∫
x x
x
3 ln(1 +
dx =
dx =
+ C
2 (1 + ln x ) 3
+ C
3 4 (1 +
x ) 3
+ C
3
= 4 1 + x + C
1+ 3
2
x )
2
dx x
3
x 5
t 2 − 1 2 1 2 2 dt = t + + C 5 t t
11.
1 ∫ t + t
12.
x e e e ∫ e 2 3 dx = 6 ln 6 + C
2
2
+ C
x
x
x
13. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
I.
Evaluar:
∫
dx
4−x
dx
II. ∫
2
25 − 16 x
2
III. ∫
x 2 dx
1− x
6
IV.
13.1 TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
∫
( x + 3 )
∫
( 2 x − 7 )
dx = − 1 − x 2 + 3 arcsenx + C
1 − x 2 x 2 + 9 e 2 x
∫1+ e
4 x
dx = ln( x 2 + 9 ) −
dx =
sen 8 x
∫ 9 + sen ∫ ∫ x
4
4x
sec 2 x 2
arctg ( e 2 x )
2 dx =
dx =
1 − 4 tg x dx
4 − 9 ln 2 x
=
7 arctg ( x / 3 ) 3
+ C
+ C
2 arctg ( sen 4 x / 3)
12 arcsen ( 2 tgx )
2
+ C
arcsen (ln x 3 / 2 )
3
+ C
+ C
25
dx
∫ 9 + 4x
2
V.
xdx
∫ 3+ x
4
VII.
sec x .tgx
∫ 9 + 4 sec
2
x
dx
14. HIPERBÓLICAS INVERSAS Recuerde que: senh x =
e x − e
− x
cosh x =
,
2
e x + e
− x
tanh x =
,
2
senh x
cosh x
Verifique que:
senh −1 x = ln x + x 2 + 1 , con x cualquier real . Y que su derivada es
14.1. TAREA. Verifique que: −1 2 cosh x = ln x + x − 1 , con x ≥ 1. Y que su derivada es
tanh −1 x =
1 2
1 + x , con x 1 − x
ln
Evaluar:
I.
∫ x
dx 2
− 4
dx
∫
II.
1. Y que su derivada es dx
∫
A.
De lo anterior determinar:
p
x − 1
2
dx
III. ∫
4 x + 9
2
9 x − 25
14.2. TALLER.
1. 2.
∫ 9 x
∫
dx 2
− 16
4 x
2
3.
∫ 5 − x
4.
∫
6.
6
b 2 x 2 − a 2 dx 2
2
b + a x
∫ a x 2
dx 2
− c2
2
=
3 x + 4
+ C 4 x 2 − 25 + C
3
6 5
dx
3 x − 4
ln 2 x +
2
1
=
ln
1
=
− 25
x dx
∫
24
dx
2
5.
1
=
=
=
ln
x + 5 3
x −
1 b
1 a
1 2 ac
5
+ C
2
2
− a 2 + C
ln bx +
b x
ln ax +
b + a x
ln
ax − c ax + c
2
x − 1 dx
1− x2
B.
=
2
dx
2
2
2
+ C
+ C
26
dx
∫1− x
IV.
∫
2
=
x + 2 2
x + 9
dx
dx 2
x + 1
15. CONTIENEN TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C Evaluar:
I.
∫ x
II.
∫
III. IV.
dx 2
+ 10 x + 30 dx 2
20 + 8 x − x
∫ 4 x
2 − x 2
dx
+ 4 x − 8 x + 3
∫
5 − 4 x − x
dx
2
15.1. TALLER. dx
1.
∫
2.
∫ 2 x
3. 4. 5. 6.
2 28 − 12 x − x
∫ 9 x
∫ ∫
dx 2
+ 2 x + 5 2 x + 3
2
− 12 x + 8
x + 2
4 x − x 2
x
2
3
1 9
dx =
8
2 x + 1
arctg
dx =
x + 6
3
+ C
+ C
ln( 9 x 2 − 12 x + 8 ) +
x
2
2
+ 4 arcsen
13 18
x − 2
2
arctg
3 x − 2 2
+ 4 x − 3
dx = −
1 8
+ C
+ C
+ 2 x − 3 + ln x + 1 + x 2 + 2 x − 3 + C
+ 2 x − 3
2 − x 2
1
dx = − 4 x − x
x + 2
∫ 4 x
=
= arcsen
ln 4 x 2 + 4 x − 3 +
5 16
ln
2 x − 1 2 x + 3
27
+ C
16. INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u, v funciones derivables de x:
⇒ u.dv = d (u.v) − v.du
d (u.v) = u.dv + v.du
∴
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Evaluar:
I. ∫ x.senx.dx
II. ∫ x.e x dx III. ∫ x 2 senx.dx IV. ∫ sec 3 x.dx
∫ ln
VII. Determine una formula de recurrencia para
n
V. ∫ arcsenx.dx
x dx, y aplíquela a
∫ ln
3
VI. ∫ x n . ln x.dx
x dx.
16.1. TALLER. 1.
∫ x. cos x.dx = xsenx + cos x + C
2.
∫ arctgx.dx = xarctgx − ln
3.
∫
4.
∫ x.arcsenx
5.
∫ x sec x tan xdx = x sec x − ln sec x + tan x + C
6.
∫ cos
7.
∫ ln( x
8.
∫
9.
∫e
ax
10.
∫e
ax
11.
∫ cos
12.
∫ (ln x )
x.arctgx.dx =
2
2
2
2
( x + 1)arctgx − x / 2 + C 1
2
2
.dx = x arcsenx + 2
x dx = 2
1
2
1 + x + C
1 − x 4 2
+ C
1
1 senx cos x + x + C 2 2
+ 1).dx = x ln( x 2 + 1) − 2 x + 2arctgx + C
sen (ln x ).dx =
x ( sen (ln x ) − cos ln( x ))
2
cos bx.dx =
+ C
e ax (bsenbx + a cos bx )
+ C
a 2 + b2 ax
senbx.dx =
e ( a.senbx − b cos bx ) a 2 + b2
+ C
x dx = 2 x sen x + 2 cos x + C 2
2
dx = x (ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C
∫
m
n
13. Muestre que x . ln x dx =
x
m+1
. ln n x
m +1
−
n m +1
∫
x m . ln n−1 x dx, con m ≠ −1
1 1 1 • Aplicarla parar calcular ∫ x 5 ln 2 x dx = x 6 ln 2 x − ln x + + C 6 3 18
28
17. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Evaluar:
x + 1
I.
∫ x
II.
∫ x
III. IV.
∫
3
+ x 2 − 6 x
dx
3 x + 5 3
− x 2 − x + 1
4
dx
3
x − x − x − 1
∫
3
x − x 3
2
dx
2
x + x + x + 2 4
2 x + 3 x + 2
dx
17.1. TALLER.
1. 2. 3.
4.
5. 6. 7. 8.
∫ x
x 2
− 3x − 4
x
4
∫ (1 − x) ∫ ∫
dx =
dx = −
3
4
3
1 5
x
ln ( x + 1)( x − 4) 4 + C
2
− 3 x − ln(1 − x ) 6 −
2
2
x − 2 x + 3 x − x + 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x
4 x 3 − x
∫e
2 x
− 3e x
3 2 x dx
∫ ( x
2
+ 1) 2
5 x − 2
∫ x
2
−4
=
4 1 − x
2
+ ln
2
+
1 3e x
+
1
2(1 − x ) 2
x 2
x − 2 x + 3
9
x
ln
= ln( x 2 + 1) +
e −3 e x
1 x 2 + 1
+ C
+ C
dx = 3 ln ( x + 2 ) + 2 ln( x − 2 ) + C
senx .dx
∫ cos x (1 + cos
1
(2 x + 1)3 dx = ln x + ln 4 2 x − 1 + C
6 x 2 − 2 x − 1
dx
dx =
x
2
x )
= ln
2 1 + cos x
cos x
+ C
29
+ C
+ C
18. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES
Evaluar: I.
∫
x + 4
dx
x
II.
∫2
dx 3
x +
x
III.
∫
1 − x dx . 1 + x x 2
18.1. TALLER. 1. 2.
∫
x 4
dx =
3
1 − 2 x
3.
∫ x
4.
∫ ( x − 2)
5.
∫
5
1
dx = −
2
+ C
3
x + 1 x3
∫
44 x 3 − 4 ln( 4 x 3 + 1)
4
3
1 − x dx = − dx x + 2
dx
2
2
+
1
2
12
45
2
x + 2 − 2
ln
x + 2 + 2
3
(1 − 2 x )
22 (1 − x 3 ) 3 (2 + 3 x 3 )
1
=
1
(1 − 2 x )
2
+ C
+ C
+ C
= 2 x + 1 − 4 4 x + 1 + 4 ln(1 + 4 x + 1) + C
4
x + 1 + x + 1
6.
∫
1 − x dx 1 − x 1 + x − 1 − x . = 2arctg + ln + C 1 + x x 1 + x 1 + x 1 − x
7.
∫
1 − 4 y dy = −
8.
∫
9.
( y + 3) ∫ (3 − y )2 3
10. 11.
x x + 1 dx =
2r
∫ (1 − r )
2
∫
x
2
6
2 5
dy =
dr = 3
3 − 2 xdx = −
1
3 4
3
3
4
2
2
5
( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + C
3
3
3
(1 − 4 y ) 2 + C
4
1
(3 − y ) 3 − 18 (3 − y ) 3 + C 4
1
(1 − r ) 3 − 6(1 − r ) 3 + C 3 2
3
5
2
(3 − 2 x) + (3 − 2 x) − 10
1
7
(3 − 2 x) 2 + C
28
30
19. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Productos de senos y cósenos
I.
♦
∫ sen x. cos m
n
∫ sen
19.1. TALLER.
Con m ó n impar.
Con m y n ambos pares.
∫ sen
x.dx
3
4
2 x. cos 2 x.dx = −
∫ sen
cos 5 2 x 10
2
+
2
x . cos x .dx
cos 7 2 x 14
,
+C
∫ sen
2
5
x . cos x .dx
4
2
x . cos x .dx
SIGUIENDO INSTRUCCIONES:
II.
De:
Realice:
sen ( A + B) = sen A cos B + sen B cos A + , y obtenga sen A cos B = [sen ( A + B) + sen ( A − B)] / 2
sen ( A − B) = sen A cos B − sen B cos A − , y obtenga cos A sen B = [sen ( A + B) − sen ( A − B)] / 2
cos ( A + B) = cos A cos B − sen A sen B + , y obtenga cos A cos B = [cos ( A + B) + cos( A − B)] / 2
cos ( A − B) = cos A cos B + sen A sen B
∫ sen(mx). cos(nx).dx ∫
19.2. TALLER. III.
− , y obtenga sen A senB = [cos ( A − B) − cos( A + B)] / 2
Con m ≠ n senx
sen 3 x .sen 2 x .dx =
−
2
sen 5 x
10
+ C
OTRAS POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS
∫ tg
m
∫ tg
19.3. TALLER.
x.dx 6
∫ cot
m
x.dx
xdx
∫
∫ sec
19.4. TALLER.
,
3
4
c o t 3 x.d x = −
m
x.dx
,
9
+
cot 3 x
+ x + C
3
∫ cos ec xdx
∫ cos ec x.dx 6
cot 3 x
∫ sec
Con m par
Con m impar
m
= − cot x −
2 cot 3 x 3
−
31
cot 5 x 5
+ C
4
xdx
∫ sec
5
xdx
∫ tg
m
n
x. sec x.dx
19.5. TALLER.
∫ cot
,
∫ cot
3
m
n
x. cos ec .dx
5
x cos ec x .dx = −
cos ec 7 x 7
+
∫ tg x. sec x.dx 5
4
Con n par
Con m y n impares
Con m par y n impar
cos ec 5 x 5
∫ tg x. sec x.dx 5
∫
3
tg 2 x. sec x.dx
+ C
19.6. TAREA. 1 1 2 1. ∫ cos xdx = x + sen 2 x + C 2 4
1 1 4 4 7 5 13. ∫ tan x sec x dx = tan x + tan x + C 7 5
1 1 3 3 2. ∫ sen 2 x dx = cos 2 x − cos 2 x + C 6 2
1 1 4 3 14. ∫ csc 2 x dx = − cot 2 x − cot 2 x + C 2 6
3 1 1 4 3. ∫ sen 2 x dx = x − sen 4 x + sen8 x + C 8 8 64 1 2 1 2 5 3 5 7 4. ∫ sen x cos x dx = sen x − sen x + sen x + C 3 5 7
1 3 2 15. ∫ cot x dx = − cot x − ln ( sen x ) + C 2 4 1 1 sec x dx 16. ∫ = − − + C 3 x x tan tan 3tan x
1 1 3 2 5 3 5. ∫ sen x cos x dx = cos x − cos x + C 5 3
1 1 3 3 5 3 17. ∫ cot x csc x dx = − csc x + csc x + C 5 3
1 1 4 4 − + x sen x sen8 x + C 6. ∫ sen x cos x dx = 3 4 128 8 7. ∫ sen 2 x cos 4 x dx =
1 4
8. ∫ cos3 x cos2x dx =
1
senx +
9.∫
dx = sen x +
1 − senx 10. ∫
3 cos x 4 sen x
1
20. Aplicar la integracion por partes para deducir las formulas
sen5 x + C
de reduccion
10 1
a. ∫ sec
2 sen x + C
1
m
m
u du = −
3 csc x + C
sec
1 m −1
3
)
1
u du =
m−2
u tan u +
m−2
m −1 b. ∫ csc
∫ sec
m−2
u du
m −1
csc
m−2
u cot u +
m−2
∫ csc
m−2
u du
m −1
21. Aplicar las formulas de reduccion por partes del problema 20
1 3 2 3 2 2 2 senx + cos x 11. ∫ x cos x − sen x dx = 12
(
19. ∫ tan x sec x dx = 2 sec x + C
cos6x + C
2 dx = csc x −
dx = − sen x − csc x + C
csc x
12
2 3 cos x
1
cos 2 x −
18. ∫
3 cot x
(
)( 4 + sen2 x2 ) + C para resolver
1 1 3 a. ∫ sec x dx = sec x tan x + ln (sec x + tan x ) + C 2 2
1 3 2 12. ∫ tan x dx = tan x + ln ( cos x ) + C 2
1 3 3 5 3 b. ∫ csc x dx = − csc x cot x − csc x cot x + ln (csc x − cot x ) + C 4 8 8
32
IV.
SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS Expresiones de la forma Sustitución
Ejemplo
x = a sen t
a 2 − x 2
x = a tan t
a 2 + x 2
∫
∫ x
x = a sec t
x 2 − a 2
2 6 − x dx
∫
dx 2
2
x + 4 2
x − 9 x
dx
19.7. TALLER. A.
∫ x
dx
9 + 4x
2
=
1 3
9 + 4x2 − 3
ln
x
(16 − 9 x )
3
2
∫
B.
+ C
2 x
(16 − 9 x ) 6
2
dx = −
80 x 5
19.8. TAREA. 1.
2.
∫
dx
(4
∫
4.
∫
6. 7.
∫
x 2
(a
9.
∫
10.
11.
2
− x
x
2
+ a
∫
5/2
)
∫ ∫
3/2
)
9 − x2 x 2
x
2
2
x
=
− 16
− 4 x + 13
( 4 x − x
2
3/2
)
+
a2 + x2
9 − x 2
= −
dx
+ a
2
1 2 (4 − x 2
a2
dx x
2
x
dx =
− a rc sen
2
a
2
9 x 1 2
a
1
+ C
x 2 − 4 + C
a2 + x2 + a
)
+ C
+ C
5/2
(a 2 5
) + C
+ C
− x2)
(
x − 2
4
x
x 2 − 1 6 + 8 ln x +
x
+ C
3/2
= ln x − 2 +
=
x2 + 4
a2 + x2 − a
ln
x3
a 2 − x 2 dx =
2
− x
(x +
x 2 − 4 − 2 ln x +
x
dx =
dx 2
1
dx =
(a 2 + x 2
∫
14.
a
dx
∫ x
x 2
2
x 2
1 2 . x 2 13.
)
x
( 4 − x 2
x 2 + 4 + 2 ln
x
2
25 − x 2 + C
+
+ C
a2 x
dx =
3/2
2
x 2 − 4 d x =
∫ ∫
1
x a2 − x2
= −
a2 − x2
25 − x2
5 −
d x = 5 ln
dx 2
4 − x 2
4
x 2 + 4 d x =
∫
8.
)
x
∫ x
x
=
3/2
2 5 − x 2
3.
5.
− x
2
4 x − x 2
33
−
a2
3
(a 2
x 2 − 16 + C
− x2
x 2 − 4 x + 13
+ C
3/2
)
) + C
+ C
5
+ C
V.
Si el integrando contiene expresiones racionales de sen x, cos x :
∫ R(senx, cos x)dx ,
x = 2 arctan z , la convierte en una integral de una función racional de la forma:
2 z 1 − z 2 dz . 2∫ R , 2 2 2 z z + + 1 1 1 + z
dx
∫ 1 + 2 cos x
19.9. TALLER.
dx
∫ 1 + senx
tg ( x / 2 )
= ln
− cos x
+ C
1 + tg ( x / 2 )
19.10. TAREA. 1.
2.
3.
dx
3
∫ 1 − 2 sen x = dx
3
tan ln tan 3 tan
1
∫ 3 + 5 sen x = 4 ln
dx
4.
∫ 1 + sen x + cos x
5.
∫ sen x − cos x − 1 = ln
6.
7.
∫ 1 + sen dx
2
x
∫ 2 − cos x
dx =
=
2 3
−2+
+ C +3
5 tan
2 4
tan
x
2
tan 2 ln tan
3
+1
x
2 4
= ln 1 + tan
dx
sen x
x
3
+ C
2
2
∫ 5 + 3 sen x = 2 arc tan
−2−
2 x
2 x
tan
1
dx
x
+3 +C x
2
+ C
− 1 + C x
2 2 x 2
+3−2
2
+ C +3+2
x 3 tan + C 2
arc tan
34
2
sec x
∫ 2tgx + sec x − 1 dx
la sustitución
20. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Sea f continúa en [a, b]:
Si F(x) es una antiderivada de f(x):
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) a
b a
• Un Teorema Fundamental Del Cálculo
Evaluar:
2
∫
Si F ( x ) =
0
∫
2 x − 1.dx x
1
∫
Si F ( x ) =
2 (t − 2t + 3)dt , determine F’(x).
x
1
Resp. 5/2 Resp. x2 − 2x + 3
2
cos t .dt , determine F’(x).
Resp. 2x.cosx2
x 2
4 2 2 20.1. TALLER. Si F ( x) = ∫ t + 1.dt , determine F’(x). Resp 2 x x + 1 − 2 4 x + 1 2 x
20.2. TAREA. 1. Evaluar 2. Evaluar 3.
∫
4 0
x 2 − 4 x + 3 .dx
8
∫ (6 − x − 2 ) dx 0
Resp. 4 Resp. 28
Hallar la ecuación de la recta tangente a F ( x) =
∫
x 2 4
3 ln(t + 4)dt , en x = 2. Resp. y = 4.ln68. (x − 2)
20.3. DETERMINAR EL ÁREA DE LAS REGIONES LIMITADAS POR:
y = x , y = x 2 ; Re sp.1 / 3
35
y = sen x , x en 0, π ; Re sp. 2
Determine c en [0, π], que satisfaga el T.V.M para integrales.
y = 3 − 2 x , y = 6 − x 2 ; Re sp. 32 / 3
y = x + 6 , y = x 3 , y = −
x
2
; Re sp. 22
36
Resp. ≈ 0.690 , ≈ 2.451
y = 4 − x 2 y el eje x ; Re sp. 32 / 3
y = x 3 , y = x ; Re sp.1 / 2
20.4. TALLER. x = 2 y
2
y = x 3 , y = x 4 , Re sp. 1 / 20
− 4 , x = y 2 , Re sp. 32 / 3
20.5. TALLER.
x = y , x = 2 − y , eje x , Re sp. 5 / 6 37
y = x , y = 3 x , x + y = 4 , Re sp. 2
y = e x , y = x 2 + 1
20.6. TALLER.
(
)−
1
, x = 1, Re sp. e − 1 − π / 4
A. y = e x , y = e − x , x = 1 , Re sp. − 2 + e + 1 / e. 1
B. y = x (4 − x 2 ) 2 y el eje x , Re sp. 16 / 3.
38
20.7. TAREA. 1. Determine el área que queda definida entre las curvas h( x) = x 2 − 6 x − 1 y m( x) = 6 x − x 2 − 11 . Resp. 64/3
2. Determine el área que queda definida entre las curvas f ( x) = x − x 2 y g ( x) = − x . Resp. 4/3
3. Determine el área de la región que queda definida entre las dos curvas con ecuaciones f ( x ) = 3 x 3 − x 2 − 10 x y g ( x ) = − x 2 + 2 x.
Resp. 24
39
4. Determine el área que queda definida entre las curvas
x
2
2
2
+ ( y − 1) = 1; y =
x
2
+1
. Re sp. 2 − π / 2.
5. Calcular el área de la región R que se encuentra dentro de la circunferencia unitaria x 2 + y 2 = 1, y Re sp. π / 4 − 1 / 2.
bajo la recta y = x − 1 .
6. Encontrar el área encerrada por las gráficas de y = x 2 − 4 x y y = x 3 − 6 x 2 + 8 x . Resp. 71/ 6
40
20.8. TAREA. Determine el área de la región indicada
1. x + y + 1 = 0 y los ejes, Re sp. 1 / 2.
7. Un arco de y = sen 2 3 x, Re sp. π / 6.
2. x = 1 − y 2 , el eje y, Re sp. 4 / 3
8. y = sen x , con 0 ≤ x ≤ π 2 , Re sp. 2π .
3. x = y 2 , x = 2 − y 2 , Re sp. 8 / 3
9. Un circulo de radio r , Re sp. π r 2 .
4. y = 1 / x , y = 0, x = 1, x = 4, Re sp. 2.
10. y = x 3 , y = 2 x − x 2 , Re sp. 37 / 12
5. y = x 2 , y = 2( x 2 + 1) , Re sp. π − 2 / 3.
11. x = y 2 , x = 3 − 2 y 2 , Re sp. 4.
6. y = e x / (1 + e x ), x = 0 , x = 1, Re sp. 0.620.
12. y =
−1
x
( x
2
+ 1)
, x = 0, x = 3, Re sp. 1.151
20.9. VOLUMEN DE SÓLIDOS CON SECCIÓN CONOCIDA Determine: 2
Que el volumen de una pirámide cuya altura es h y su base un cuadrado de lado a es a h / 3 .
Que el volumen del sólido que tiene base circular de radio 4 y toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero es 256 / 3 unidades cúbicas.
Que el volumen del sólido que tiene como base un triángulo equilátero de lado 10 unidades con vértice en el origen, una altura sobre el eje X y toda sección perpendicular a su base es un cuadrado con uno de sus lados en la base del sólido es 500 / 3 unidades cúbicas.
Que el volumen de la cuña que se forma al cortar un cilindro circular recto de radio 1 y altura 1, por un plano que pasa por un diámetro de la base del cilindro y por un punto de la circunferencia de su tapa es 2/3 unidades cúbicas.
41
El volumen del sólido que tiene como base la región en el primer cuadrante formada por la parábola y 2 = 4ax y x = a y toda sección perpendicular su base son semicírculos.
El volumen del sólido que tiene como base la región formada por y = sec x, x = π / 4, x = 0, y = 0 y toda sección perpendicular a su base son cuadrados.
El volumen del sólido que tiene como base la región triangular limitada por y = 1 −
x
2
, y = −1 +
x
2
, el
eje Y y toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero, con un lado en la base del sólido.
20.10. TALLER. 1. Verifique que el volumen del sólido que tiene como base la región situada entre el eje X y la curva y = sen x, entre x = 0, x = π y toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero con un lado en la base del sólido, es π 3 / 8 unidades cúbicas.
2.
Determine el volumen del sólido que tiene como base la región situada en el primer cuadrante de la curva y = 1 −
x
2
4
, el eje x y el eje y. Toda sección perpendicular a su base son cuadrados. Resp . 16/15 unidades cúbicas.
42
20.11. TAREA. 1. Determine el volumen del sólido cuya base está limitada por el círculo x 2 + y 2 = 4, usando las secciones perpendiculares a su base indicadas:
Resp .
a) 128/3 b) 32 / 3
c) 16π / 3
d) 32/3
2. Determine volumen del sólido que tiene como base la región: A. Triangular, con vértices en (0,0), (2,0) y (0,1) y toda sección perpendicular al eje X son triángulos isósceles con altura igual a la base.
Resp. 1/3
B. Elíptica, 9 x 2 + 4 y 2 = 36 y toda sección perpendicular al eje X son triángulos rectángulos isósceles con al hipotenusa en la base.
Resp 24
2 2 2 2 C. Elíptica x / a + y / b = 1 y toda sección perpendicular al eje X son triángulos equiláteros. 2
Resp. 4 3 ab / 3
D. Parabólica {( x, y ) / x 2 ≤ y ≤ 1 } y toda sección perpendicular al eje Y son cuadrados. 2
2
E. Entre x = y , x = − 2 y + 3 y toda sección perpendicular al eje X son cuadrados.
Resp. 2 Resp. 6
3. Determine que (2 / 3) R 3 tan (α ) es el volumen de la cuña que se forma al cortar un cilindro circular recto de radio R por dos planos, uno perpendicular al eje del cilindro y el otro que forma un ángulo α con el primero y lo corta en el centro del cilindro.
43
20.12. VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN DISCOS Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar :
El segmento de recta y = 1 + x / 3, x ε [0, 12] alrededor del eje X.
El arco de parábola y = 2 − x / 4, en el primer cuadrante alrededor del eje Y.
El arco de parábola y = 8 x, en el primer cuadrante alrededor de la recta x = 2. Resp .128π / 15
2
Resp . 124π Resp . 8π
2
3
El arco de y = x en el primer cuadrante, x = 0, y = 3, alrededor del eje y.
Resp .
9
3
5
9
π
20.13. TALLER. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar : 1. El arco de parábola y = x , x ε [0, 4] alrededor del eje X
2. La región R limitada por y = x 2 + 1 , x ε [ – 1, 1] alrededor del eje X.
44
Resp . 8π
Resp . 56π / 15
20.14. TAREA. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 1. La región R limitada por y = 4 − x 2 , y = 0, entre x = −1, x = 2, alrededor del eje X. Resp. 9π 2. La región R limitada por y = 4 x + 1 , y = 0, x = 0, x = 2, alrededor del eje X.
Determine el volumen de:
Resp. 10π
Un cono circular recto de radio r y altura h
20.15. TALLER. Una esfera de radio R 20.16. TAREA. Un cilindro circular recto de radio r y altura h. ARANDELAS
Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar:
2
La región R limitada por y = x , y = 8 x
alrededor del eje X.
45
Resp . 48π / 5
2
La región R limitada por el eje y, 2 y − x − 2 = 0, y = x + 2, x = 1 alrededor del eje X. Resp .
3
La región R limitada por y = 2 x, y = x / 8 alrededor del eje Y.
79π / 20
Resp . 512π / 15
20.17. TALLER. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 1.
2
La región R limitada por y = x, y = x alrededor del eje X, alrededor de y = 2. Resp . 2π / 15, 8π / 15
2.
La región R limitada por y = x , y = x
2
alrededor del eje X.
Resp . 3π / 10
20.18. TAREA. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 1. La región R limitada por y = 2 − x, y = 2 − x 3 / 4 alrededor del eje Y. 2. La región R limitada por y = x 2 + 1, x = 0, x = 2, y = 0, alrededor de x = −1
46
Resp . 64π / 15 Resp . 64π / 3
CILINDROS
Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 2
La región R limitada por y = 2 x − x y por el eje x, alrededor del eje Y.
La región R limitada por y = x , y = x + 2, alrededor de x = 3.
La región R limitada por y = x, y = x , alrededor del eje X.
La región R limitada en el primer cuadrante por y = x , y = 2 − x
2
Resp .
2
2
47
Resp . 8π / 3
Resp. 2
alrededor del eje Y.
45π / 2
2π / 15 Resp. π
3
4
La región R limitada por x = 2 y − y , y є [0, 2] , alrededor del eje x.
El círculo x + y = 4 alrededor de la recta x = 3 (TORO).
2
Resp . 64π / 15
2
Resp . 24π
2
20.19. TALLER. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 1.
La región R limitada por y = sec x, y =
2 , − π / 4 ≤ x ≤ π / 4 alrededor del eje X. 2
Resp . π − 2π
2.
2
3
La región R limitada por y = 2 x − x , x = 0, x = 2, alrededor del eje Y.
Resp . 16π / 5
20.20. TAREA. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 1. La región R limitada por y = x , y = 1 alrededor del eje X.
Resp . 4π / 3
2. La región R limitada por y = sen x, y = cos x, 0 ≤ x ≤ π / 4, alrededor del eje X.
Resp . π / 2
48
Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar: 2 20.21. TALLER. La región R limitada por y = 4 − x , y = 0 A. Alrededor del eje Y. B. Alrededor de y = −3 C. Alrededor de la recta y = 7 D. Alrededor de la recta x = 3
2
La región R limitada por y = x , x = 0, y = 1
Resp. 8π Resp . 1472π / 15
Alrededor del eje Y
Resp . π / 2
Resp . 576π / 5
Alrededor del eje X
Resp . 4π / 5
Alred. de la recta y = 2
Resp . 64π
Resp . 28π / 15
20.22. TAREA. I. Plantee una integral para el volumen del sólido obtenido cuando la región R gira entorno a cada recta: A.
B.
El eje de las X
El eje de las Y
El eje de las Y
El eje de las X
La recta x = a
La recta y = 3
La recta x = b
II. Obtenga el volumen de: 1. Un tronco de cono que se obtiene al girar el segmento rectilíneo que va de (0, b) a (h, a) alrededor 2 2 del eje X. Resp. π h a + ab + b / 3 2. Del giro alrededor del eje X de la región en el cuadrante Ι acotada por y = sec x, x = π / 4 . Resp. π 3. Del giro alrededor de X de la región acotada por la mitad superior de x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 y el eje X Resp.
4π ab 2 / 3
4. Del giro alrededor de y = 1, de la región en el primer cuadrante acotada por y = sen x, x = π
2
Resp. 4π − π / 2
5. Del giro alrededor de x = −4, la región acotada por x = − 4, x = 4 + 6 y − 2 y 2 . Resp. 1250π / 3 6. Del giro alrededor de y = −3, de la región acotada por y = x 2 , y = 1 + x − x 2 .
Resp. 261π / 32
7. Del giro alrededor de x = p (p>0), de la región acotada por x = p, y 2 = 4 px. Resp. 32π p 3 / 15 8. Del giro alrededor de X de la región en el primer cuadrante acotada por x = y , x = y 3 / 32. Resp. 64π / 5 9. Del giro alrededor del eje X de la región en el cuadrante Ι acotada por la curva y = sen x 2 , x = π / 2, x = π . Resp. 2 + 2 )π / 2 10. Del toro resultante del giro alrededor de x = a, de la región circular x 2 + y 2 = r 2 , a > r. 2
2
Resp. 2π ar
49
20.23. LONGITUD DE ARCO L
Determinar que la longitud del arco de una trayectoria es L
∫
2
= ds , donde ds = (dx ) + (dy )
2
Si A( a, f (a )) y B(b, f (b)), son dos puntos sobre y = f ( x), con f ( x ) y f ' ( x ) continuas en [a, b], b
la longitud del arco
2 AB viene dada por: L = ∫a 1 + ( f ' ( x )) dx
Verifique que la longitud de y = x
2
3
entre x = −1 y x = 8 es ≈ 10.4 unidades.
Si C ( g (c), c) y D( g (d ), d ), son dos puntos sobre x = g ( y ), con g ( y ) y g ' ( y ) continuas en [c, d ], la longitud del arco CD viene dada por: L =
Verifique que la longitud de x = 3 y
3
2
∫
d
c
1 + ( g ' ( y )) 2 dy
− 1 , entre y = 0 y y = 4 es ≈ 24.41 unidades.
20.24. TALLER. Verifique que: La longitud de x y = 1 entre x = 1 y x = 2 es ≈ 1.1321 unidades. (Aplicar la Regla de Simpson).
20.25. TAREA. Determine la longitud del arco indicado: A. 6 x y = x 4 + 3 , x ε [1, 2] Resp. 17/12 B. y = ln x, x en 1, 2 2
Resp. ≈ 2.1205
1
1
1
2
4
2
C. y = x 2 − ln x, x ∈ [1, e] Resp.
π π D. y = ln (cos x ), x ∈ , 6 4
50
2
e −
Resp. ≈ 0.33
1 4
20.26. ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN S
Determinar que si ρ ρ ρ es la distancia entre el eje de revolución y la curva generadora, el área de
superficie S, del sólido de revolución es
∫ 2πρ .ds .
Si A(a, f (a )) y B(b, f (b)), son dos puntos sobre y = f ( x), con f ( x) (que no cambia de signo) y f ' ( x) continuas en [a, b], el área de la superficie generada al hacer girar el arco
∫
b
AB en torno al eje X viene
2
dada por: S = 2π y 1 + ( f ' ( x)) dx a
Verifique que el área de la superficie del paraboloide obtenido al hacer girar y = x , 0 ≤ x ≤ 2 , alrededor del eje X es 13π / 3 unidades cuadradas.
20.27. TALLER. 3
Verifique que el área de la superficie del sólido obtenido al hacer girar la curva x = y , 0 ≤ y ≤ 1 , alrededor del eje Y es ≈ 3.563 unidades cuadradas.
20.28. TAREA. Determine el área de la superficie generada en la rotación del arco dado, alrededor del eje que se indica:
A. y = mx, x∈[0, 2]; eje x. 3
B. y = x / 3 , x ε [0, 3]; eje X. C. y =
x
3
3
+
1 4 x
(
2 Resp. 4mπ 1 + m
, x ∈ [1, 3]; eje y = −1.
)
1
2
Resp. 258.84 Resp.
1823π 18
51
D. y = ln x, x∈[1, 7]; eje y.
Resp. ≈ 156.58
E. 4 x 2 + 16 y 2 = 64; eje X. 1
3
F. y = ( x 2 + 2) , x ∈ [0, 3]; eje y. 3
2
Resp. ≈ 85.9 Resp.
99 π 2
20.29. INTEGRALES IMPROPIAS X y las rectas indicadas.
Determinar el valor del área entre la curva dada el eje
1
A. y =
1 − x
2
;
x = 0, x = 1.
B. y =
1
; x = 1 , x = 2
x − 1
C. y = 3
1 x − 1
, x=0, x=4
b
♦ Si f(x) tiene puntos de discontinuidad en a ≤ x ≤ b, la integral definida
f(x) es discontinua en x = b, continua en a ≤ x < b ,
∫
b
a
f ( x ) dx = lim t →b −
existe, la integral es
∫
∫
t
a
f ( x ) dx, si
a
a
f ( x ) dx = lim t → a +
existe, la integral
f ( x )dx = lim t →c −
∫
t
a
f ( x) dx + lim t →c + 2
dx
0
2 − x
∫
∫
b
t
∫
b
t
f ( x )dx, si
este
f ( x)dx Converge
Converge
diverge
y que
si
lim b→ ∞
∫
a
f ( x ) dx
dx
0
x
∫
=2
infinito , también es integral impropia.
∫
b
1
b
−∞
f ( x)dx Converge
si
lim a → −∞
b
∫ f ( x)dx a
existe y el valor de la integral es el valor de este
existe y el valor de la integral es el valor de este
límite.
límite.
Determinar que:
∫
∞
1
dx x
limite
f ( x) dx , si estos limites existen, la integra Converge
♦ Si por lo menos uno de los límites de integración es
∫
b
f(x) es discontinua en el punto x = c, continua en a < c ; c < b
20.30. TALLER. Determinar que
∞
a
f(x) es discontinua en x = a, continua en a < x ≤ b ,
∫
limite
Convergente.
b
a
este
∫ f ( x )dx se dice impropia
, diverge y que
∫
0
2x
e dx =
−∞
1
20.31. TALLER.
2
∫ 52
∞ 0
dx
( x 2 + 4 )
=
π 4
y que
−1
dx
−∞
x
∫
diverge
♦
∫
∞ −∞
∫
f ( x ) dx = lim a →−∞
c
f ( x )dx + limb →∞
a
∫
b c
f ( x )dx ,
si estos límites existen.
Determinar que:
∫
e x dx
∞
−∞
e
2 x
+1
=
π 2
20.32. TALLER. Verificar que: ∞
∫−∞
e
− x
dx = 2
20.33. TAREA. 1. Verifique que: a. b. c. d. e. f.
∫
4
dx
0
4− x
∫
2
∫
1
dx
−2
4 − x 2 dx
g.
=4
h.
= π
i.
, div
−1 x 4 1
∫ x. ln x.dx = −1 / 4
j.
0
∫
∞
x.e
− x2
−∞
∫
∞
0
dx = 0
dx
( x − 1)
2
k. l.
div
dx
∞
∫
0
( x − 1)
3
dx
∫ ( x − 1) 0
∫
∞
∫
∞
x
1
p
dx x
1
p
=
1 − x
0
, si p f 1
= ∞, si p ≤ 1
0
2
= 3 + 33 2
3
p − 1
1 + x
π
div
1
1
∫ ∫
dx
2
2
dx =
π 2
+1
tan x dx div
2. Determine que el área en el primer cuadrante limitada por y = e −2 x , es ½ y que el volumen al rotarla alrededor del eje X es π / 4 .
3. Hállense los valores de p para los cuales convergen las integrales siguientes: a.
2
dx
∫ x (ln x) 1
, p
b.
∞
dx
∫ x (ln x )
p
2
.
Resp.
a. p < 1 b. p > 1.
4. Hállese el volumen obtenido al girar alrededor del eje Y, la región en el primer cuadrante limitada por el eje X, y la curva y = e − x .
Resp.
2π
5. Determine que el volumen al rotar alrededor del eje X, el área limitada por xy = 9, y a la derecha de la recta x = 1 es 81π y que el área de la superficie es infinita. ( La
53
trompeta de Gabriel )
21. COORDENADAS POLARES
El marco de referencia en el plano consiste en un
punto fijo O (polo) y una recta dirigida (eje polar).
La posición de un punto P está determinada por una dirección (θ θ, respecto al eje polar) y una distancia (r, respecto al polo):
P(r,θ).
Representar en el plano: P (2,2π /3), Q (−2, 5π /3), R (−2,−π /3), S (2,−4π /3). Determinar la distancia entre los puntos P1 ( r 1 , θ 1 ) y P2 ( r 2 , θ 2 ). Hallar el área del triángulo con vértices (0,0), (6,π /6), (9,π /3).
21.1. TALLER. A. Determine otros tres pares de coordenadas polares con θ p 2π , y que representen el mismo punto: P (6, 7π /6).
B. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el polo y (−5,−120º), (4,150º).
Resp . 10
21.2. COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CARTESIANAS
x = r cos θ ,
y = r senθ
y con x ≠ 0 x
r 2 = x 2 + y 2 , tan θ =
Transformar:
I.
r = 5 cos θ , a una ecuación en coordenadas cartesianas.
II.
x 2 + 2 y 2 = 8 , a una ecuación en coordenadas polares.
54
21.3. TALLER. Halle una ecuación
2 2 X - Y correspondiente a r = 3senθ y una r - θ θ correspondiente a y − x = 4.
Resp.
x 2 + y 2 = 3 y , r = ±2 − sec 2θ
21.4. TAREA. 1. Determine otros tres pares de coordenadas polares con θ p 2π , y que representen el mismo punto: Q (−4, −4π /3). 2. Exprese las siguientes ecuaciones: 1. En forma polar
A. 2 x + 3 y = 2.
Resp. r =
B. y = 4 x.
Resp .
D. x 2 − y 2 = 1. E. x + 4 xy + y = 7. F. x 2 + y 2 = 9.
Resp . x 2 + y 2 = 2 y
2 cosθ + 3senθ tan θ = 4
B. r 2 =
1 sen 2θ
2 xy = 1
Resp .
.
r = 9 cot θ csc θ
C. r 2 = tan 2θ .
Resp . x 4 − y 4 = 2 xy
r 2 = sec 2θ
D. r = 4sen2θ .
Resp . ( x 2 + y 2 ) = 64 x 2 y 2
Resp . 2
A. r = 2 senθ .
2
Resp .
C. y 2 = 4 x.
2
2. En forma cartesiana
Resp . r =
E. r = a cos θ + bsenθ .
7
2
3
2
2
Resp x + y = ax + by
1 + 2sen 2θ
Resp .
r = 3
F. r =
1 2 + 3senθ
Resp . 4 x 2 − 5 y 2 + 6 y = 1
21.5. ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA
L es una recta a una distancia ρ del polo y α el ángulo que forma el eje polar con una perpendicular a ella desde el polo. Su ecuación viene dada por: r =
ρ . cos (θ − α )
55
En particular: ρ : recta perpendicular al eje polar. Ubicada a la derecha del polo. cos θ
si α = 0, r =
si α = π, r = −
ρ : recta perpendicular al eje polar. Ubicada a la izquierda del polo. cos θ
si α = π /2, r =
ρ : recta paralela al eje polar. Ubicada arriba del polo. senθ
si α = 3π /2, r = −
θ = β, donde β es un ángulo en radianes: recta que pasa por el polo.
ρ : recta paralela al eje polar. Ubicada abajo del polo. sen θ
Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas:
I.
Pasa por (2,π /6) y es perpendicular al eje polar.
II.
Paralela al eje polar y 4 unidades por debajo de él.
III. Pasa por (4,π /6) y forma un ángulo de 5π /6 con el eje polar. 21.6. TALLER. Halle la ecuación de la recta que pasa por (4, 2 π /3) y es perpendicular a la recta que une dicho punto con el origen.
Resp.
r cos (θ − 2π / 3) = 4.
21.7. TAREA. Determine las ecuaciones polares de las siguientes rectas: 1. Pasa por (4,2π /3) y es perpendicular al eje polar.
Resp.
r cos θ = −2.
2. Pasa por (3,−π /6) y es paralela al eje polar.
Resp .
2rsen θ = −3.
3. Pasa por (2,2π /3) y por el polo.
Resp .
θ = 2π / 3.
4. Pasa por (3,0) y forma un ángulo de 3 π /4 con el eje polar.
56
Resp .
2 r cos (θ −π / 4 ) = 3.
21.8. ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA Determinar la ecuación polar de la circunferencia con centro en C (3, 2 π /3) y radio 2.
21.9. TALLER. Hallar la ecuación de la circunferencia con Centro en C (r 1,α) y radio a.
Si r 1 = 0, entonces el
a = r − 2r r 1 cos (θ − α ) + r 1 . 2
2
2
Círculo tiene centro en el polo, y la ecuación queda r = a : Circulo con centro en
el polo y radio a.
Si r 1 = a, entonces el
Círculo pasa por el polo , y la ecuación adopta la forma más sencilla:
r = 2a cos (θ − α ) : Circunferencia de radio a y centro en C (a,α).
Hallar ecuación circunferencia con centro en C (a, 0) y radio a.
21.10. TALLER. Hallar ecuación circunferencia con: 1. Centro en C (a, π /2) y radio a. 2. Centro en C (a, π) y radio a. 3. Centro en C (a, 3π /2) y radio a. 21.11. TALLER. Determinar las ecuaciones polares de las siguientes circunferencias: A. Centro en el polo y radio 5.
Resp.
r = 5
B. Centro en (4,0) y radio 4.
Resp.
r = 8 cos θ
C. Centro en (4, 30º) y radio 5.
Resp.
r 2 − 8r cos (θ − π / 6 ) = 9
21.12. TAREA. Determine las ecuaciones polares de las siguientes circunferencias: 1. Centro en (5,0) y radio 5.
Resp .
r = 10 cosθ
2. Centro en (−4,0) y radio 4.
Resp .
r = −8 cosθ
3. Centro en (5,0) y radio 4.
Resp .
r 2 − 10r cosθ + 9 = 0
4. Centro en (5,π /4) y radio 4.
Resp .
r 2 − 10r cos (θ − π 4) + 9 = 0
57
21.13. ECUACIÓN POLAR DE UNA CÓNICA DE EXCENTRICIDAD Determinar la ecuación de la cónica con foco en el polo, excentricidad
ecuación r =
e,
e
y directriz la recta L con
ρ . cos (θ − α )
La ecuación de la cónica viene dada por: r =
e ρ
1 + e cos (θ − α )
En particular: e ρ
Si α = 0, r =
Si α =π, r =
Si α = π /2, r =
1 + e cos (θ ) e ρ
1 − e cos (θ )
, eje polar el eje focal, directriz r =
ρ ubicada a la derecha del polo. cos θ
, eje polar el eje focal, directriz r = −
e ρ
1 + e sen (θ )
ρ ubicada a la izquierda del polo. cos θ
, eje focal el eje perpendicular al polar en el polo, directriz r =
ρ ubicada senθ
arriba del eje polar.
Si α = 3π /2, r =
e ρ
1 − e sen (θ )
, eje focal el eje perpendicular al polar en el polo, directriz r = −
ubicada debajo del eje polar. Identificar y dibujar:
A. r =
21.14. TALLER. Identificar y dibujar:
4
B. r =
3 − cos θ r =
6 3 + 2 cos θ
58
4 1 − senθ
ρ senθ
21.15. TAREA. 1. Determine que clase de cónica representa la siguientes ecuaciones y dibújelas: A. r = B. r = C. r =
3
Resp . Elipse
2 + cos θ
12
Resp . Hipérbola
2 + 3 cosθ 5
Resp . Parábola
1 − cosθ
2. El foco de una parábola está en el polo y su directriz es la recta r = −
4 cosθ
. Hallar la ecuación polar Resp . r =
de la parábola.
1
8
4
cosθ
3. Un foco de una elipse de excentricidad e = , está en el polo. La directriz es r = coordenadas del otro foco, la ecuación de la elipse y dibújela.
4 1 − cosθ
. Hallar las
Resp . (−16/15, 0), r =
8
4 + cosθ 4. Escriba la ecuación polar de una elipse con un foco en el polo, el otro foco en F (2, 0) y un vértice en 8 V (4, 0). Resp . r = 3 − cosθ
21.16. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR La gráfica de una ecuación r = f (θ ) es SIMÉTRICA con respecto:
Al eje polar, si la ecuación no varía al cambiar θ por (− θ).
Al polo, si la ecuación no varía al cambiar
Al eje de π /2, si la ecuación no varía al cambiar θ por (π − θ), ó también r por (−r) y θ por (− θ).
A.
Graficar:
r = 4senθ
r por (−r), o también θ por (π + θ).
Circunferencia
B. r =θ
Espiral de Arquímedes.
.
Hallar el lugar geométrico de los puntos P(r, θ) cuyo producto de sus distancias a dos puntos fijos A( −a, 0)
y B(a, 0) sea siempre a2.
Resp.
r 2 = 2a 2 cos 2θ . (Lemniscata).
Determine el Dominio, Valores Máximos, Simetrías. Elabore en Coordenadas Rectangulares la gráfica de
un Ciclo y con base en esto obtenga la gráfica en Coordenadas Polares de:
•
r = 2 + 2 cos θ
Cardioide.
•
r = 2 + senθ
Fríjol
•
r = 1 + 2 cos θ
Limaçons con rizo
•
r = 9 cos 2θ
2
Lemniscata.
59
Algunas Curvas:
Si b > a, con rizo r = a ± b cos θ y r = a ± bsenθ . Limaçons
Si b = a, cardioide Si b < a, fríjol
r 2 = ± a cos 2θ y r 2 = ± a sen 2θ . Lemniscatas (forma de ocho).
r = a cos nθ y r = asen nθ . Rosas con n pétalos si n es impar y 2n pétalos si n es par.
r = k θ . Espiral de Arquímedes.
r =
k θ r = e . Espiral logarítmica.
k . Espiral recíproca.
θ
21.17. TALLER. Determine el Dominio, Valores Máximos, Simetrías, Elabore en Coordenadas Rectangulares la gráfica de un Ciclo y con base en esto obtenga la gráfica en Coordenadas Polares de la curva r = sen 2θ .
21.18. TAREA. Dibuje las siguientes curvas. 1. r = e 2θ , θ ≥ 0. Espiral logarítmica
5. r = 2 − cosθ . Fríjol
2. r = 2(1 − cosθ ). Cardioide
6. r = 4 cos 2θ . Rosa de cuatro pétalos
3. r = 3(1 + sen θ ). Cardioide
7. r = 3sen 3θ . Rosa de tres pétalos
4. r = 2 + 4 senθ . Limaçon con rizo
8. r 2 = −16sen 2θ . Lemniscata
21.19. PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LAS GRÁFICAS EN POLARES Para hallar todos los puntos de intersección de las gráficas de r = f (θ ) y r = g (θ ), se deben seguir los pasos: 1. Se fija f (θ ) = g (θ ) y se resuelve para θ . Esto podría dar todos los puntos de intersección. Ciertamente, producirá aquellos puntos P(r , θ ) que son iguales para las dos gráficas. 2. Si ambas curvas pasan por el polo, entonces aquél será un punto de intersección. 3. Se hace la gráfica de ambas ecuaciones y se observa que no se haya omitido ningún punto. Hallar todos los puntos de intersección de:
a. r = 2 sen θ y r = 2 cosθ .
Resp.
b. r = a (1 − cosθ ) y r = a (1 + sen θ ).
Resp.
2 , π / 4 y el Polo.
(a(1 +
)
2 / 2), 3π / 4 y el Polo.
21.20. TALLER. Hallar todos los puntos de intersección de: 1. r = 1 y r 2 = 2 sen 2θ . 2. r = senθ y r = 1 − senθ .
Resp. Resp.
60
(1, π /12), (1, 5π /12), (1, 13π /12), (1, 17π /12). (1/2, π /6), (1/2, 5π /6) Y el Polo.
21.21. RECTAS TANGENTES La pendiente
m de la recta tangente a la gráfica de r = f (θ ) en el punto P (r , θ ) es: m tangente =
dy
=
f (θ ) cos θ + sen θ f ' ( θ )
− f (θ ) senθ + cos θ f ' ( θ ) Determinar la ecuación de la recta tangente a la rosa de tres pétalos r = sen 3θ en θ = π /6. dx
Hallar los puntos donde r = a (1 + cos θ ) tiene tangentes horizontales y verticales. ( OJO con θ =π).
21.22. TALLER. 1. Hallar la pendiente de la tangente a la limaçon con rizo r = 1 − cosθ en P (2, 2π /3).
Resp. −
3
9 2. Hallar los puntos donde r = 1 + senθ tiene tangentes horizontales y verticales. ( OJO con θ = 3π /2). Resp.
Tangentes Horizontales en (2, π /2), (1/2, 7π /6), (1/2, 11π /6) Tangentes Verticales en (3/2, π /6) (3/2, 5π /6) y el Polo.
21.23. TAREA. 1. Halle los puntos de corte de r = 1 − 2 senθ , r = 2 cos θ . 2. 3.
Resp. (0,0), (0.3386, -0.75), (1.6614, -0.75) Halle la pendiente de la recta tangente a r = cos 2θ en θ = 0. Resp. Indefinida Halle los puntos donde en que |r| es máximo en r = 2 − 4 sen 2θ y muestre que allí la tangente es perpendicular a r. Resp.
(3
)(
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
r = 1 − 2 sen θ , r = 2 cos θ .
r = cos 2θ
r = 2 − 4 sen 2θ
61
)
2, − 3 2 , − 3 2, 3 2 .
ÁREA, LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIES EN COORDENADAS POLARES 21.24. ÁREA DE REGIONES ♦ Si r = f (θ ) es continúa y no negativa en el intervalo [α,β], el área de la región limitada por la gráfica de la función y las rectas θ = α y θ = β, es:
A=
1 2
β
∫
α
2
[ f (θ )] d θ
Verificar que el área interior del círculo con
Verificar que el área interior de la rosa con
2
ecuación r = 2a cos θ es π a .
ecuación r = sen 2θ es π / 2.
Verificar que el área interior a la Circunferencia
r = 6a cos θ
Verificar que el área interior del rizo de la curva
y exterior a la Cardioide con
r = 1 + 2 cosθ es π −
ecuación r = 2a (1 + cosθ ) es 4πa . 2
62
3 3 2
.
21.25. TALLER. 1. Verificar que el área interior de la circunferencia r = 3 y exterior a la cardioide r = 1 + senθ es 15π /2. 2. Verificar que el área de un pétalo de r = sen 3θ es π / 12. 21.26. TAREA. 1. Calcular el área de la región encerrada por las 2. Calcular el área de la región R que esta curvas r = 4 senθ y r = 4 cosθ .
encerrada por la curva r 2 = 2 cos 2θ y fuera del Resp . 2(π - 2).
circulo r = 1.
Resp .
3 − π / 3.
3. Calcular el área de la región R que se encuentra
4. Determinar el área común de la limaçon o fríjol con
fuera de la curva r = 3 cosθ y dentro de la curva con
ecuación r = 3 + 2 cosθ y el circulo r = 2.
ecuación r = 1 + cosθ .
Resp . π /4. Resp .
63
19 π 3
−
11 3 2
.
21.27. LONGITUD DE ARCO L ♦ Si r = f (θ ) es continúa y su derivada también en el intervalo [α,β], la longitud de arco de la gráfica
de la función
desde el ángulo θ = α a θ = β es:
L =
∫
β
2
2
[ f (θ )] + [ f '(θ )]
α
d θ
Verificar que la longitud de la cardioide r = 2 − 2 cosθ es 16.
21.28. TALLER. Verificar que la longitud de la espiral r = e 2θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , es 5 (e 4π − 1) / 2.
21.29. ÁREA DE SUPERFICIE S El área superficial
S = 2π
S = 2π
β
∫α
β
∫α
S, del sólido de revolución es 2
2
2
2
f (θ ) sen θ
( f (θ ) ) + ( f ´(θ ) )
f (θ ) cos θ
( f (θ ) ) + ( f ´(θ ) )
∫ 2πρ .ds . Pero, en coordenadas polares viene dada por: rotación alrededor del eje polar. dθ . Con
dθ . Con rotación alrededor del eje π /2.
Verificar que el área e la superficie al girar la mitad superior de la cardioide r = 1 − cos θ alrededor del
eje polar es 32π /5.
21.30. TALLER. Verificar que el área de la superficie al girar r = 4 cosθ alrededor del eje polar es 16π.
21.31. TAREA. 1.
Determine el valor del área de la región:
2.
A. Una hoja de r = cos 3θ .
Resp . π /12
B. Limitada por r = 2 cosθ .
Resp . π
A. r = θ 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 3.
E. Común a r = 3 cosθ y r = 1 + cosθ .
Resp . 5π /4
F. Interior a r = 2 sen2θ y exterior a r = 1. Resp .
2π 3
+ 3
3.
Resp . 16 Resp . 2a
Determine el área e la superficie al girar la lemniscata r 2 = cos 2θ .
A. Alrededor del eje polar B. Alrededor del eje transverso Resp .
64
Resp . 56/3
B. r = 2 − 2 sen θ . θ C. r = a sen 2 , 0 ≤ θ ≤ π . 2
C. Interior a la cardioide r = a (1 − cosθ ). Resp . 3πa2 /2 D. Del rizo interior de r = 1 + 2 cosθ . Resp . π − 3 3 / 2
Determinar la longitud de la curva:
2π 2 − 2 , 2 2π
22. SUCESIONES INFINITAS DE NÚMEROS REALES RE ALES
Una sucesión es una función de valores reales con dominio de definición en el conjunto de los números naturales. f : N → R, n → f ( n) = a n
{(1, a1 ), (2, a2 ), (3, a3 ),K, (n − 1), (n, an ), (n + 1 , a n+1 ),K}, an
donde {a n } es su tér min o general.
• •
•
•
• •
•
1 2 3 4 5
n-1 n n+1 • •
•
• •
• •
Expanda y grafique
{a n } = {n sen(n π 2)}
Creciente , si a n
No decreciente , si a n ≤ a n +1 , para cada n natural
Sucesiones
Decreciente , si a n
monótonas
No creciente , si a n ≥ a n +1 , para cada n natural natural
p
a n +1 , para cada n natural
f
a n+1 , para cada n natural
2n Muestre que es decreciente para n f 1 n! n + 3 22.1. TALLER. Muestre que es decreciente n + 2 .
22.2. TAREA. Determine la monotonía de las siguientes sucesiones.
A.
n! n Resp . creciente (n ≥ 2) e n 2n + 1
D.
Resp . creciente
e n B. Resp . Creciente (n ≥ 2) n n2 E. n Resp . Decreciente (n ≥ 3) 2
65
10 n C. Resp . No n ! 1 F. cos nπ Resp . No 3
•
Sea S un conjunto no vacío de números reales, si:
Existe B real tal que para todo x de S, B ≥ x, B es cota
superior de S.
es el máximo de S, B = MaxS. Si B es la menor de las cotas superiores, B es el extremo superior de de S, B = SupS.
Si B es cota superior de S y pertenece a S, B
Completar:
S
Gráfica
Cotas Superiores
Max S
Sup S
5} {xεR / −2 ≤ x ≤ 5} {xεR / −2 ≤ x < 5} 5} {xεR / −2
22.3. TALLER. Complete las siguientes definiciones definiciones:: • Sea S un conjunto no vacío de números reales, si: Existe A real tal que para todo x de S, A __ x, A es cota inferior de S.
Si A es cota inferior de S y pertenece a S, A es el __________ __________de de S, A = MinS. Si A es la ________de las cotas ___________, A es el extremo _________ _________ de S, A = InfS.
22.4. TALLER. Complete: S
Grafica
Cotas Inferiores Inferiore s
{xεR / −2 ≤ x ≤ 5} 5} {xεR / −2 ≤ x < 5} 5} {xεR / −2
66
Min S
Inf S
Si S, subconjunto de los reales, posee cotas superiores e inferiores, inferiores , se dice
ACOTADO.
22.5. TALLER. Grafique las siguientes sucesiones y complete el cuadro: Cotas Superiores
{a n }
Cotas Inferiores
Acotada
Max
Min
Sup
Inf
Monótona? Monótona?
1 n
{(− 1) } n
{(− 1)
n
n
2
}
2n + 1, si n impar 2n, si n par nπ sen( ) 2
La sucesión {a n }, se dice
ACOTADA si existe un número M f 0, para el cual se cumple que: a n ≤ M , para
todo
n.
3 − 4n 2 sen(n 2 ) Demostrar que las sucesiones 2 y son acotadas. 1 n + n + 1
22.6. TAREA. 3n 2 − 2 Demuestre que las sucesiones 2 y n + 1
{ e } son acotadas. 1/ n 1/ n
22.7. TAREA.
Demuestre que si r f 1, la sucesión {r n } crece sin tener ninguna cota. (Sugerencia : suponga que M es una cota superior)
22.8 TAREA. Demuestre que la siguiente sucesión
n1
n
es decreciente para valores de n > 3, determinando donde
f ' ( x) es negativa, con f ( x) = x1 x .
67
si
El límite de una sucesión {a n }, cuando n tiende a ser infinitamente grande es el número real L,
∀ ∈> 0, ∃ N ∈ N, tal que ∀ n > N ⇒ a n − L <∈ . Una sucesión es converge si tiene límite Se nota: Lim n →∞ a n
Las siguientes proposiciones son ciertas,
= L
JUSTIFICARLAS.
• Toda sucesión monótona acotada es convergente. • Toda sucesión no acotada es divergente. • Toda sucesión convergente es acotada.
• La acotación no implica convergencia
22.9. TALLER. Los siguientes enunciados son falsos. De un contraejemplo.
Toda sucesión acotada es convergente.
Toda sucesión divergente es no acotada.
Si 0 ≤ a n ≤ bn , para todo n, y {bn } converge, entonces {a n } converge
Si {a n } y {bn } divergen ambas, entonces {a n + bn } diverge
1 Demostrar que 2 converge a 0 y determine N para ε = 0.001 n an =
3n 2 2n 2 + 2
, demostrar que si n → ∞ , {a n } →
3 2
.
Demostrar que si r p 1, entonces lim ( r n ) = 0 n→∞
n 22.10. TALLER. Dada la sucesión {a n } = , demuestre que converge a 1 y que en el intervalo n + 1 1 − a n < 0.01 están contenidos todos los términos de la sucesión, menos los 99 primeros.
(−1) n 22.11. TAREA. Demuestre que • →0 n
n → 1 / 2 y determine N para ε = 0.001 2n + 2
•
22.12. TAREA. Se sabe que lim (0.8) = 0. Que valor debe tener n para que (0.8) n
n
n →∞
68
p
0.000001.
Resp. 62
Si f ( x) : [1, ∞ ) → R, y lim f ( x ) = L, y si {a n } = f (n),
entonces lim a n = L.
x →∞
Las reglas para el cálculo de límites de funciones de variable real,
n →∞
SE APLICAN para el cálculo de
límites de sucesiones.
Evaluar: 2
6n + 7
A. lim n →∞
B. lim n→∞
2n − 5
n +7
C. lim n →∞
2n − 5
cos n e
D. lim n → ∞ n −1 3 ln ( n )
n
n2 n2 22.13. TAREA. Determine que las sucesiones y son divergentes, pero que la n 3 n 4 + + 2 n2 n − sucesión es convergente. + + 3 4 n n 22.14. TAREA. Verifique que: n 2 − 1 • 2 →1 1 n +
π n • n → ∞ 3
• {cos(nπ / 2)} diverge
ln(n) →0 n
n + 1 →0 n e
•
cos n →0 2 n
•
•
• {n n }→ 1
• { n + 2 − n }→ 0
• {n.sen(π / n)} → π
22.15. TAREA. Encuentre fórmulas para las sucesiones:
•
2 4 8 16 32 {an } = , , , , ,....
•
{an } = 1,
1 3
5
2
2 −1 2
2
7
,
3 2
9
3 −2
2
,
Converge ?
4 2
4 −3
2
,
5 2
5 −4
2
,...... Converge ?
Fibonacci , matemático italiano del siglo XIII, al resolver el siguiente problema: Una población
de conejos comienza con un par de recién nacidos, durante un mes los conejos crecen y maduran. Al segundo mes tienen un par de conejos bebes recién nacidos. Cuente el número de pares de conejos. Hasta aquí a1 = 1, a 2 = 1, a3 = 2. Las parejas de conejos adultos dan un par de recién nacidos todos los meses, los recién nacidos toman un mes para madurar y ningún conejo se muere. Así que a 4 = 3, a5 = 5 y en general a n = a n −1 + a n− 2 , para n ≥ 3,
la sucesión de Fibonacci :
{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, K } 22.16. TAREA. Parta de dos cuadrados de lado 1, uno al lado del otro. Ahora construya un cuadrado sobre el lado largo del rectángulo resultante. Este cuadrado tiene de lado 2. Continué construyendo cuadrados sobre los lados largos de los rectángulos y así sucesivamente. Determine que los lados de los cuadrados están determinados por la
sucesión de Fibonacci :
69
23. SERIES INFINITAS ∞
10
Desarrolle:
∑
∑3.(0.1)
k =0
k =0
3.(0.1)k ,
k
Las series son sucesiones de tipo especial, en las cuales el término n-ésimo es la suma de los n primeros términos de una sucesión relacionada. ∞
∑a
k
= a1 + a2 + a3 + a4 + K + an−1 + an + an+1 + K Es una Serie Infinita de números reales.
1
Con: Se obtiene la sucesión:
S 1 = a1
{S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,K, S n−1 , S n , S n+1 ,K} = {S n }
S 2 = a1 + a2 S 3 = a1 + a 2 + a3
∞
:
Sucesión De Sumas Parciales De La Serie:
S n = a1 + a 2 + a 3 + K + a n
∑a
k
1
S n +1 = a1 + a 2 + a3 + K + a n + a n +1
: n
Si la sucesión de sumas parciales S n =
∑a
k
converge a S , lim n →∞ S n = S se dice que la
k =1
∞
serie
∑a
k
converge a S
k =1
n 1 1 En ∑ k , su sucesión de sumas parciales es {S n } = 1 − n , lim ∑ k = 1, su suma . 2 n→∞ k =1 2 k =1 2 ∞ n(n + 1) ∞ En ∑ K , su sucesión de sumas parciales es {S n } = , ∑ K diverge. 2 k =1 k =1 ∞ 1 1 En ∑ , serie telescópica , su sucesión de sumas parciales es {S n } = 1 − , converge a 1 k =1 k ( k + 1) n + 1
∞
1
23.1. TALLER. Muestre que
∞
∞
∑ k
2
diverge y que
k =1
∞
∑
∑ {arctg (n + 1)
− arctg (n)} =
n =1
a(1 − r n ) − r 1
a.r n −1 , es la Serie Geométrica, su sucesión de sumas parciales es {S n } =
n =1
∞
∑ a.r
n −1
converge a
n =1
∞
∑ a.r
n −1
diverge
a
1 − r
SI
SI
r ≥ 1
n =1 ∞
Determinar el valor de:
∑3.(0.1)
k
k =0
π Determinar el valor de: ∑ 2 cos 3 k =1 ∞
π 4
k
70
r p 1, Siendo
a
1 − r
su suma
TEOREMAS. ∞
♦ Si
∑a
∞
= A,
k
k =1
∞
∑b
k
= B,
k =1
∑
k
± bk ) = A ± B , y para c una constante,
k =1
∞
♦ Si
∑ (a
∞
∑
) = c. A
∞
bk diverge ,
∑ (a
k =1
k =1
k
k =1
∞
a k converge , y
∑ (c.a
k
± b k ) diverge.
k =1
23.2. TAREA. Determine si las siguientes series convergen o divergen, en caso de que convergen determine su suma:
1 2 e k − k + k A. ∑ k k ( 2 )( 3 ) + + 3 π k =1
Resp. Converge, su suma es
1 5 k B. ∑ k + k =1 5 2
Resp. Diverge
∞
1 3
−2+
e
π − e
∞
∞
C.
∑ k
2
k =1
D.
4
+ k
∞
−
6 2 k
Resp. Converge, su suma es -2
1
∑ n(n + 1)(n + 3)
Resp. Converge, su suma es 7/36
1
23.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES
Criterio o Condición necesaria, PERO no suficiente, para convergencia de series: ∞
•
∞
Si
∑a
n
converge, entonces lim a n = 0 •
∞
Muestre que la serie
∑
∞
n
7(−1.01) y
n =1
∑ n =1
n →∞
n →∞
n =1
Si lim a n = 0, no implica que la serie converge. n →∞
n +1 n
∞
divergen y
NO se sabe de
∑ n =1
23.4. TALLER. Muestre que las series:
1 A. ∑ 1 + n n =1 ∞
n
∞
Diverge.
∑a
diverge.
n →∞
n =1
Si lim a n ≠ 0 o si lim an no existe, entonces
B.
∑ n=1
71
1 n sen n
Diverge.
1 n
n
Criterios De Convergencia Y Divergencia De Series De Términos Positivos:
Sea f ( x) continúa, decreciente y positiva en [1, ∞ ), con a n = f (n) :
Criterio De La Integral: ∞
∑a
n
∫
Converge o diverge según
1
n =1
La p − erie: −s
∞
1
∑n
p
∞
f ( x ) dx exista o no.
converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1,
1
La Serie Armónica ,
∞
1
∑ n diverge , y , lim
1 n→∞
1
∞
Mostrar que la serie
1
∑ (n + 1) ln(n + 1)
n
=0 ∞
n
∑e
diverge y
1
n
converge
1
23.5. TALLER. Muestre la convergencia o divergencia de las serie dadas: A.
∞
∑n 1
n
2
3
+1
B.
diverge.
∞
1
∑ n(n + 1) converge.
C.
1
D. Demuestre que la serie
∞
1
∑ n (ln(n))
∞
1
∑n
ln (n )
2
diverge.
D.
∞
∑
(ln n) 2 n
2
3
converge
es convergente si y solo si p f 1.
p
2
Criterio De Comparación: Si 0 ≤ ak ≤ bk , para todo k, (excepto un número finito de términos) ∞
♦ Si
∑b
∞
k
converge ,
k =1
∑a
∞
k
♦ Si
converge
k =1
∞
Muestre que la serie
∑
k
diverge ,
∞
diverge
y
n
∑
(1 + 1 / n) n 2
1
n
∑b
k
diverge
k =1
k =1
1
n =1
∑a
∞
converge.
23.6. TALLER. Muestre que la serie: A.
∞
∑2 1
k
5 +1 k
−1
diverge.
B.
∞
∑3 1
4 k
+1
C.
converge.
∞
∑ 1
72
3 k − 1
diverge.
D.
∞
∑ 1
2
sen n n
2
converge
Criterio de comparación por Paso al límite: ∞
Sean
∑a
∞
y
n
n =1
i)
∑b
n
n =1
an
Si lim
∞
an
Si lim
= 0, y si
bn
n →∞
an
Si lim
iii)
= c, con c f 0, entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.
bn
n →∞
ii)
dos series de términos positivos.
bn
n →∞
∑b
converge, entonces
n
∑a
n =1
converge.
n
n =1
∞
∑b
= +∞, y si
∞
∞
∑a
diverge, entonces
n
n =1
∞
3n + 1
∑ 2n
Muestre que la serie
diverge.
n
n =1
2
n =1
+5
∞
diverge,
n + 100
∑n
3
+2
n =1
converge.
23.7. TALLER. Muestre que las siguientes series: A.
∞
∑2 n =1
1 n
−1
B.
converge.
∞
∑ 5n
n 2
+3
n =1
C.
diverge.
∞
∑ n =1
n2 e
−2 n
2
n +1
converge.
D.
∞
1
∑ ln (n) diverge. n =2
Series De Términos Positivos Y Negativos:
Son series cuyos términos no son todos positivos. ∞
Asociada con cada serie está la serie cuyos términos son los valores absolutos de ella:
∑a
k
k =1
∞
Una serie
∑
∞
a k es absolutamente convergente si
k =1
∑a k =1
∞
La serie
∑a
es convergente.
k
∞
k
se llama condicionalmente divergente si
∑a
k =1
∞
k
converge pero
k =1
∑a
k
diverge.
k =1
Una serie es Absolutamente Convergente es una serie convergente . ∞
Mostrar que la serie
∑ (−1) 1
23.8.
1
n
es absolutamente convergente.
3n
∞
∑
TALLER. Mostrar que la serie
cos( nπ / 3) n2
1
En una
Serie Alternada:
converge.
∞
∑ (−1) .a n
n
si se cumple que an +1
p
an y lim an = 0, la serie converge. n→∞
1
∞
Mostrar que la serie
∑
(−1) k .(k + 3)
1
23.9. TALLER. Muestre que la serie
k (k + 1)
∞
(−1) n
1
n
∑
∞
converge y
( −1) n
∑ ln(n + 1)
es condicionalmente divergente.
n =1
es condicionalmente convergente.
73
Criterio De La Razón: ∞
∑
Si en
a k , a n ≠ 0, para todo n y lim n→∞
k =1
a n +1 an
= ρ
Si ρ ρ ρ < 1, la serie es absolutamente convergente.
si ρ ρ ρ > 1, la serie diverge.
Si ρ ρ ρ = 1, el criterio no dice nada
Criterio De La Raíz: ∞
∑a
Si en
k
lim n→∞ n a n = ρ
,
k =1
∞
Mostrar que
( 2n)!
∑n
100
3n
∞
diverge y
1
∑2 1
2n
(n + 1)3
converge.
23.10. TALLER. Mostrar que la serie: A.
2n
∞
∑ n! converge. 1
B.
∞
n!n!
∑ (2n)! converge. 1
C.
∞
∑
2n + 5 3n
0
diverge. ∞
Mostrar que la serie
∑ 1
2 n −1 n
n
∞
converge y
∑n
n
1
23.11. TALLER. Mostrar que: A.
∞
1
∑n
n
converge.
1
B.
3n
∞
∑ 2
n
1
C.
∞
2
∑n
n
arctan n
converge.
n
3
diverge.
1
74
n 2 sen diverge. n
23.12. TAREA. (−3) n −1 1 1. Determine la suma de ∑ n + 2.(0.1) n + (0.2) n + n(n + 2) 4 1 ∞
2. Sea a n =
2n 3n + 1
∞
es {a n } convergent e ?
,
Resp. 1/7 +17/36 + 3/4
,
∑a
es
Resp. Si, No
convergent e ?
n
1
3. La siguiente serie es telescópica, determine que
∞
∑ 4n
2 2
1
4. Que decimal periódico se obtiene de la serie
∞
∑ 1
−1
=1
8 1 . 10 2 10 2
n
Resp. 8/99.
5. Aplique la condición necesaria para la convergencia de series y determine que son divergentes: 1
A.
+
2
3
+
+
4
∞
n!
+K
B.
∑ 2n!+1
+K
B.
∑ ( −2)
3 5 7 9 1 6. Aplique el criterio para la convergencia de series alternadas y determine que convergen: ∞ n 1 1 1 1
A.
2
− + 5
7. Muestre que sen α +
−
10 17 sen 2α sen 3α
+
n −1
1
+
sen 4α
+ ..... es absolutamente convergente. 4 9 16 8. Aplique el criterio de la razón y determine que: 2 3 4 1 1 1 2 2 2 2 A. 1 + B. + + + + ........ converge + + + ........ Diverge. 1 x2 1 x 2 x3 1 x 2 x3 x4 1 2 3 4 2
2
2
2 3 4 9. Aplique el criterio de la raíz y determine que + + + + ........ converge. 3 5 7 9 1
10. Porque no es aplicable el criterio de la raíz en 1 + 11. Aplique el criterio de la integral y determine que: A. 1 + C.
ln 2 2
1 3
+
+
1 5
ln 3 3
+
+
1 7
ln 4
+
4
1 22
13. Determine que
∑ 1
+
32
1 42
π
4
2
ln 5
D.
5
+ .... diverge.
∞
n k −
∑n
k
+c
1 9
sen
π 3
5
+
1 16
sen
π 4
+ ..... converge.
Con k un entero positivo, diverge.
2
n − 10
∑n
+
1
1
∞
+ ........
1
B. sen π + sen
1
( −1)
1
+ ...... diverge.
12. Aplique criterio de comparación y determine que ∞
+
+ n2
∞
, converge y que
∑ 1
n 3
diverge.
n +1
n ( n +1) / 2
3n
, converge.
14. Aplique criterio del cociente en
∞
∑
( −1) n n
∞
∑
e
2n
, el de la raíz en y determine que convergen. n n n + 1 1 1 15. Se suelta una pelota desde una altura de 6 metros y empieza a rebotar, alcanzando en cada bote ¾ de la altura del bote anterior. Halle la distancia total que recorre la pelota. (Sugerencia: Exprese la distancia como una serie geométrica) Resp. 42 metros. ∞ 1 + 16. Use el criterio de la integral y determine la convergencia de , p ∈ R justificando las p 2 n(ln n) respuestas.
∑
75
23.13. SERIES DE POTENCIAS EN (x −a) ∞
Hemos tratado hasta ahora series de términos constantes de la forma
∑a
n
, ahora consideraremos series
n =1
∞
cuyos términos son funciones de x, de la forma
∑ a ( x). n
n =1
Las Series de Potencias son series de la forma: ∞
C 0 + C 1 ( x − a ) + C 2 ( x − a) 2 + C 3 ( x − a ) 3 + K =
∑ C ( x − a)
n
n
Series de Potencias en ( x − a ).
0
El objetivo es hallar todos los valores de x para los cuales converge la serie de potencias. Para determinar estos valores se utiliza el criterio de la razón y en algunos casos el de la raíz. ♦
Teorema . Sea
∞
∑ C ( x − a)
n
n
, se presentará solo uno de los siguientes casos:
0
La serie converge solo para x = a.
La serie converge para todo x real.
Existe un R, (Radio de Convergencia ), tal que la serie converge solo para x − a para x − a
f
R. (Los extremos x − a = R, se estudian caso por caso). ∞
Determinar que
∑ 1
∞
Determinar que
∑
x
n
converge en − 1 ≤ x p 1.
n
(−1) n .( x + 1) n n
2 .n
1
2
converge en − 3 ≤ x ≤ 1.
∞
Determinar que
∑ n! x
n
converge solo en x = 0.
0
23.14. TALLER. Determine que
∞
(−1) n x n
0
n!
∑
converge en R.
23.15. TALLER. Determine que:
A.
∞
∑
(−1) n .n! x n 10 n
0
B.
converge solo en x = 0.
∞
∑ n x 2
n
3n converge en − 1 / 3 p x p 1 / 3.
0
C.
∞
∑ 0
(−1) n ( x − 3)
n
(n + 1)
converge en 2 p x ≤ 4.
76
p
R, diverge
∞
Si la serie
∑ C ( x − a) n
n
converge para x − a
p
R, entonces para cada x en ese intervalo la serie tiene
0
una suma. Sea f(x) esa suma, que se puede escribir como: ∞
•
2
3
4
5
f ( x ) = C 0 + C 1 ( x − a ) + C 2 ( x − a) + C 3 ( x − a) + C 4 ( x − a ) + C 5 ( x − a ) + K =
∑ C ( x − a)
n
n
0
∞
•
f ' ( x) = C 1 + 2C 2 ( x − a ) + 3C 3 ( x − a ) 2 + 4C 4 ( x − a ) 3 + 5C 5 ( x − a ) 4 + K =
∑ nC ( x − a)
n −1
n
1
∞
•
2
3
f ' ' ( x) = 2C 2 + 2.3.C 3 ( x − a ) + 3.4.C 4 ( x − a ) + 4.5.C 5 ( x − a) + K =
∑ n(n − 1)C ( x − a)
n−2
n
2
∞
•
f ' ' ' ( x ) = 2.3.C 3 + 2.3.4.C 4 ( x − a ) + 3.4.5.C 5 ( x − a ) 2 + K =
∑ n(n − 1)(n − 2)C ( x − a)
n −3
n
3
: : f (a ) = C 0 ; f ' (a ) = C 1 ; f ' ' (a ) = 2.C 2 ; f ' ' ' (a ) = 2.3.C 3 ; f ( 4 ) (a ) = 2.3.4.C 4 ; De donde C n =
∞
f ( x ) =
∑ 0
∞
n
C n ( x − a ) =
∑ 0
f
(n)
(a)
f (n) (a) n!
( x − a) n , x ∈ (a − R, a + R ) una expansión de la
n!
Serie de Taylor para f ( x) . ∞
f ( x ) =
Si es un desarrollo de series de potencias de x, (a = 0),
∑
f
0
( n)
(0 ) n x Serie de Maclaurin . n!
Construir la expansión en serie de Maclaurin de:
x n
∞
x
f ( x) = e =
∑ n! , para todo x . 0
Construir la expansión en serie de Taylor alrededor de x = 1 de la función:
f ( x) = ln ( x ) =
∞
∑
(−1) n +1 ( x − 1) n n
1
, en 0 < x < 2.
Construir la expansión en serie de Maclaurin de: ∞
f ( x) = sen x =
∑ 0
(−1) n x
2 n +1
(2n + 1)!
, para todo x.
Mediante desarrollo en serie de potencias de x, determine el valor de:
1
lim x → 0
sen x
−
1
=0
x
Con un polinomio de grado 5, determine un valor aproximado para:
∫
1
senx
0
x 77
dx
23.16. TALLER. A. Construir la expansión en serie de Maclaurin de: ∞
f ( x) = cos x =
∑
(−1) n x 2 n
, para todo x. n ( 2 )! 0 B. Mediante desarrollo en serie de potencias de x, determine el valor de:
1 − cos 2 x = −2 lim x → 0 ln (1 − x ) + sen x
23.17. TALLER. Obtener la expansión en serie de Maclaurin de: x
A. f ( x) = senh x =
Efectuar
1
e −e
− x
=
2
x
2 n +1
∑ (2n + 1)! , para todo x
x
B. f ( x) = cosh x =
e +e
− x
2
0
, obtener
1+ u
∞
∞
=
x
2n
∑ (2n)! , para todo x. 0
∞
1 1+ u
=
∑ (−1)
n
n
U .
0
Aplicar la expansión anterior en
∞
1 1 + x 2
, integrar y obtener arctan x =
∑
(−1) n x 2 n+1
0
2n + 1
.
23.18. TALLER. Expanda
∞
1 1 + x
, integre y obtenga
ln (1 + x) =
∑
n n (−1) −1 x
n
1
, en (−1,1].
23.19. TALLER. Mediante desarrollo en serie de potencias de x, verifique que: x
A. lim x →0
e −e
−x
senx
B. El área limitada por el eje X y la curva y = sen ( x 2 ), con 0 ≤ x ≤ 1
=2
es aproximadamente 0.3103.
Teorema de Taylor: Sea f(x) una función con derivadas de todos los ordenes continuas en (a − R, a + R ), una condición suficiente y necesaria para que la serie de Taylor: ,
,,
f (a ) + f (a )( x − a ) + f (a )( x − a ) / 2! + ....... f
(n)
n
( x − a ) / n! + R n ( x ) , R n ( x) =
f
( n +1)
(c )
(n + 1)!
( x − a ) n +1
el RESTO , represente a f ( x) en ese intervalo es que lim Rn ( x ) = 0, con c ∈ (a − R, a + R ). n →∞
x
Determinar el grado del polinomio en la expansión de series de potencias de x, de la función f ( x) = e ,
para obtener e 0.8 con un error menor de 0.001.
Rn ( x) =
f
( n +1)
(c )
(n + 1)!
( x)
n +1
=
e
0.8
( n + 1)!
(0.8) n+1 p
3 ( n + 1)!
78
1 p 0.001 ; ( n + 1)! f
3 0.001
= 3000 ; n = 6
