Martı 7. Sınıf Matematik Pratik Defter

MATEMATİK ÖĞRETMEN DEFTERİ

7.

sınıf

Bu defter, siz değerli öğretmenlerimize özel olarak boşlukları doldurulmuş, örnekleri çözülmüş şekilde basılmıştır. Mavi renkli bölümler öğrencilerinize yazdırabilmeniz amacıyla öğrenci defterinde boş bırakılmıştır.

Bu kitap Martı Okul Yayınları San. Tic. Ltd. Şti.’nin özgün bir yayınıdır. Kitabının tamamının ya da bir kısmının kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Yayın Yönetmeni Süleyman GÜNGÖRMEZ Ürün Koordinatörü Volkan ALTINOK Editör

Danışma Kurulu Taha ŞAHİN Emine KARAKUŞ Firdevs ÖZŞAHİN Ziya KURCAN

Murat ÜNLÜ Dizgi Martı Okul Yayınları Dizgi Birimi

Baskı Tarihi

Baskı Yeri

2016 / ANKARA

Grup Çağ Web Ofset Matbaacılık

Martı Okul Yayınları Alınteri Bulvarı No: 27 Ostim / ANKARA Tel: 0.312 385 83 95

Faks: 0.312 385 83 96

www.martiokul.com

SUNUŞ Saygıdeğer Öğretmenlerimiz, Martı Okul Yayınları olarak siz değerli öğretmenlerimizin işini kolaylaştırmak, yükünü azaltmak ve daha iyi bir öğrenme ortamı sunabilmek için pratik defterleri hazırladık. Pratik defter ile dersleri daha hızlı işleyebileceksiniz. Anlatacağınız her şey tahtada ve öğrencilerinizin defterinde hazır olarak bulunacak. Görsel ögelerle kalıcı öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konular, tamamı renkli ve yüksek çözünürlüklü içeriklerle öğrencilerinizin zihnine tam olarak yerleşecek, kalıcı öğrenme gerçekleşecektir. Her alt başlıkla ilgili test ve pekiştirme çalışmaları ile tam öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konu anlatımının içindeki örnek soru ve çözümler, planlanmış testler ve pekiştirme çalışmaları ile öğrenemeyen öğrenci kalmayacak. Eğlenceli bir ders ortamı oluşturabileceksiniz. Öğrenciler uzun uzun not tutmaktan kurtulacak; daha verimli, eğlenceli ve öğrenci katılımlı bir ders işleme imkânına kavuşacaksınız. Mavi renkle yazılmış kısımlar, soruların çözümleri ve cevap anahtarları öğrencinin defterinde yer almayacaktır. Mavi renkle yazılmış kısımlar dijital tahta içeriğinde de yer almayacak ancak soruların çözümleri üzeri perdelenmiş olarak tahtada yer alacaktır. Dijital akıllı tahta içeriklerinin indirilme şekli ürünün arka kapağında anlatılmıştır. Pratik defter, defter ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. Pratik defterde her sayfanın altında bulunan boş kısımlar ve her ünitenin sonunda bulunan üç ya da dört adet boş sayfa defter ihtiyacını fazlasıyla karşılayacaktır. Pratik defter hem bir ders işleme materyali hem bir defter hem bir soru bankası hem de bir ödev materyali olarak öğretmen ve öğrencilerimizin tüm ihtiyaçlarını karşılayacaktır. Öğretmen defteri, öğrenci defteri ve dijital akıllı tahta içeriğinden oluşan pratik defterlerimizin öğrencilerimizin başarısını arttırarak siz değerli öğretmenlerimizin memnuniyetini kazanmamıza vesile olması dileğiyle… Martı Okul Yayınları

İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE

Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri.........................................................................................................8 Çarpma İşlemi.......................................................................................8 Bölme İşlemi........................................................................................11 Problem Çözme...............................................................................13 Üslü Nicelikler...................................................................................14 Konu Testi..............................................................................................18

Rasyonel Sayılar..........................................................................20 Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme.................................................................................................23 Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimleri........................................................................................29 Devirli Olmayan Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayı Olarak İfade Etme ....................35 Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama....................................................................................................37 Konu Testi..............................................................................................42

Rasyonel Sayılarla İşlemler...........................................44 Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi..............................................................................................................44 Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi.......................53 Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi...........................58 Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri.................61 Adımlı İşlemler ve Problemler....................................64 Problem Çözme...............................................................................66 Konu Testi..............................................................................................69 Etkinlikler...............................................................................................71 Ünite Testi.............................................................................................76

2. ÜNİTE

Eşitlik ve Denklem......................................................................82 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denlemleri Kurma.......................................................................82

Denklemlerde Eşitliği Koruma...................................85 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözme....................................................................88 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerle Çözülebilen Problemler..............97 Konu Testi..........................................................................................103

Doğrusal Denklemler............................................................104 Koordinat Sistemi .................................................................104 Doğrusal Denklemler ve Grafikleri..................112 Doğrusal Denklemlerin Grafiğini Çizme...114 Konu Testi...........................................................................................123 Etkinlikler...........................................................................................125 Ünite Testi.........................................................................................130

3. ÜNİTE

Oran ve Orantı.............................................................................136 Birbirine Oranı Verilen İki Çoklukta Verilmeyeni Bulma.................................................................137 Çokluklardan Birisinin “1” Olması Durumu...................................................................................................141 Orantılı mı?.......................................................................................144

Orantı.................................................................................................................. 148 Orantı Problemleri............................................................................ 159 Konu Testi..................................................................................................... 163

Yüzdeler........................................................................................................... 164 Çokluğun Belirtilen Yüzdesini Bulma...................... 164 Yüzdesini Hesaplama..................................................................... 170 Bir Çokluğu Yüzde ile Araştırmak Veya Azaltmak......................................................................................................... 172 Yüzde Problemleri.............................................................................. 175 Konu Testi..................................................................................................... 179

Etkinlikler...........................................................................................180 Ünite Testi.........................................................................................183

İÇİNDEKİLER 4. ÜNİTE

Doğrular ve Açılar............................................................................ 188 Eş Açılar......................................................................................................... 189 Bir Açının Eş Bir Açı Çizme.............................................. 190 Açıortay........................................................................................................... 193 Üç Doğrunun Bir Düzlemde Birbirine Göre Durumları....................................................................................................... 196 Paralel İki Doğrunun Bir Kesen İle Oluşturduğu Açılar............................................................................ 197 Konu Testi..................................................................................................... 208

Çember ve Daire.................................................................................. 211 Çemberde Merkez Açı................................................................ 211 Çember ve Çember Parçasının Uzunluğu.......... 217 Dairenin Alanı......................................................................................... 225 Daire Diliminin Alanı...................................................................... 230 Konu Testi..................................................................................................... 234

Veri İşleme.................................................................................................... 236 Daire ve Çizgi Grafiği.................................................................. 236 Merkezi Eğilim Ölçüleri............................................................. 243 Konu Testi..................................................................................................... 252


5. ÜNİTE

Çokgenler....................................................................................................... 260 Düzgün Çokgenler.............................................................................. 260 Çokgenlerde Köşegen.................................................................... 265 Çokgenlerde Açılar........................................................................... 267 Özel Dörtgenlerimiz......................................................................... 272 Eşkenar Dörtgensel Bölgenin Alan Hesabı.................................................................................................................. 285 Yamuksal Bölgenin Alan Hesabı...................................... 285 Dikdörtgensel Bölgelerde Alan-Çevre İlişkisi.................................................................................................................... 291 Konu Testi...................................................................................................... 301

Dönüşüm Geometrisi...................................................................... 304 Eş Şekiller..................................................................................................... 304 Öteleme............................................................................................................. 308 Yansıma............................................................................................................. 314 Ötelemeli Yansıma veya Yansımalı Öteleme............................................................................................................. 317 Konu Testi..................................................................................................... 321

Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri......... 323 Üç Boyutlu Cisimlerin Farklı Yönlerden İki Boyutlu Görünümlerini Çizme........................................... 323 Farklı Yönlerden Görünümleri Verilen Üç Boyutluyu Çizme.................................................................................. 324 Konu Testi..................................................................................................... 329


1.

ÜNİTE

KO N ULA R * Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri * Rasyonel Sayılar * Rasyonel Sayılarla İşlemler

1. Ünite

Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ÇARPMA İŞLEMİ Ömer’in 5 arkadaşına 2’şer lira borcunu gösteren matematik ifadesini ................. şeklinde yazarız. Örneklerle çarpma işleminin yapılışını öğrenelim. Aynı işaretli olanlar; (+3) . (+2) = + 6

Zıt işaretli olanlar; (–1) . (+7) = –7

(+10) . 8 = 80

(–3) . (–2) = + 6 (–60) . (–1) = + 60 Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.

+ . + =+

+ . – =–

– . – =+

– . + =–

ÖRNEK

Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.

ÖRNEK

Aşağıdaki çarpma işlemlerini yaparak sonuçlarını bulalım. 8

(+3) . (–10) = –30

(–3) . (+5) = (–2) . (–8) =

Aşağıdaki işlemleri yapalım. 0 . (–5) = 0

1 . 13 =

13

124 . 0 = 0

1 . (–125) = – 125

–15 + 16

(+10) . (–7) = – 70 500 . 4 =

2000

(–11) . 11 =

– 121

7. Sınıf Matematik

1. Ünite


ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yapalım. a) [(–2) + (–4)] . (-12) = (–6) . (–12) = + 72 b) 14 – (–13) . (20) = 14–(–260) = 14 + 260 = 274 + c) (–8) . (–11) . (–5) = (+88) . (–5) = (–440)

ÖRNEK

CÖZÜM

(–13) , (+1) , (+75), (–145) sayılarını –1 ile çarparak sonuçlarını bulalım.

(–13) . (–1) = +13 (+1) . (–1) = –1 (+75) . (–1) = –75 (–145) . (–1) = +145

Bir tam sayının (–1) ile çarpımı aynı tam sayının zıt işaretlisidir.

ÖRNEK (+2) . (–3) işlemini sayı doğrusunda modelleyerek gösterelim.

CÖZÜM

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

9

1

ÖRNEK –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

CÖZÜM [(+4) . (–2)] + 5 = (–8) + 5 = –3


1

sayı doğrusunda modellenen işlemi yazalım.

1. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

x

CÖZÜM

+

–8, +3, –2 sayıları yukarıdaki semboller yerine hangisindeki gibi yerleştirilirse elde edilen işlemin sonucu en büyük olur?

A) B) C) D)

–8 +3 –2 –8

+3 –8 +3 –2

+,+=+ –,–=+ D seçeneğinde (–8) . (–2) + 3 = 16 + 3 = 19 Cevap: D

–2 –2 –8 +3

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki işlemleri yapınız. a

(–1) . (+2) . (–3) = (–2) . (–3) = + 6

b

(–2) . (–5) =

+ 10

(–2)

10

c

(75) – [24 . (–4)] = 75 – (–96) = 75 + 96 = 171 +

ç

(–2) . (+5) =

– 10

d

(–10) . (–2) . (–5) . (–3) = (+20) . (+15) = + 300 (+20) (+15)

e

(–6) . (–1) =

+6

f

421 . (–762) . 4 . 0 =

0

g

(+9) . (–11) = –99

ğ

(–3) . (+6) + (–18) =

(–18) + (–18) = –36

h

(–11) . (+9) = –99

(–18) ı

(–85) . [+1 – 2001] = (–85) . (–2000) = + 170 000

i

(–217) . (–1) = + 217

j

[(75) – (24)] . (–4) = (51) . (–4) = – 204

k

765 . (+1) =

765

51 l

(–8) . (+4) = – 32

→ 5 . (–2) (Sayfa 8)


1. Ünite


BÖLME İŞLEMİ (–24) .

= – 192 verilen çarpma işleminde

değerini bulmak için ........................... işlemini yaparız.

Örneklerle bölme işleminin yapılışını öğrenelim. Aynı işaretli olanlar;

Zıt işaretli olanlar;

(+8) : (+2) = +4 (–8) : (–2) = +4 Aynı işaretli iki tam sayının birbirine bölümü pozitiftir.

(–10) : (+2) = –5 (+10) : (–2) = –5 Zıt işaretli iki tam sayının birbirine bölümü negatiftir.

+ : + =+

– : + =–

– : – =+

+ : – =–

ÖRNEK Aşağıdaki bölme işlemlerini yaparak işlemlerin sonuçlarını bulalım. a) (+6) : (–2) =

3

b)

70 : (–5) = –14

c) (–6) : (–2) =

+3

ç)

82 : (+ 2) = +41 11

d) (–48) : (+6) = – 8

e)

(–24) : (–6) : (–2) =

(+4) : (–2) = (–2)

(+4) f) (–64) : (+4) = –16

g)

(- 36) = –6 (+ 6)

ğ) (+ 18) = (+ 2)

h)

(- 75) : (- 3) = (–15) : (–3) = +5 (+ 5)


+9

1. Ünite


ÖRNEK Aşağıdaki bölme işlemlerini yapalım. a) (–13) : (+1) = –13

b) (+17) : 0 = tanımsız

c) (84) : (+1) = + 84

ç) 0 : (–5) = 0

Her tam sayının (+1)’e bölümü tam sayının kendisine eşittir. 0’ın tam sayıya bölümü 0, tam sayının 0’a bölümü tanımsızdır.

ÖRNEK

CÖZÜM (–5) : (–1) = +5 (+12) : (–1) = –12

(–5) ve (+12) sayılarını (–1)’e bölelim.

Bir tam sayının (–1)’e bölümü o tam sayının zıt işaretlisine eşittir.

ÖRNEK

CÖZÜM

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

-6 =- 2 3

sayı doğrusunda modellenen bölme işlemini yazalım.

–6

12


(–100) : (+5) = –20

b

79 : 0 = Tanımsız

c

(–81) : (–9) = 9

ç

0 : (–151) = 0

d

(–13) : (–1) = 13

e

(+612) : (+1) = 612

f

[(–64) : (–2)] : (+16) = (32) : (+16) = 2 32

g 15 – 15 : (–3) =

ğ

15 – (–5) = 15 + 5 = 20 +

(–2) . (–6) – (–144) : (+12) = (+12) – (–12) = 12 + 12 = 24 (+12)

(–12)

h

(–48) : (–4) = +12 192 →(Sayfa:11) - 24 7. Sınıf Matematik

1. Ünite


PROBLEM ÇÖZME Bir problemi çözebilmek için önce anlamak gerekir. Verilenler ve istenen belirlenir sonra işlem yapılır.

ÖRNEK Ara tatilinde Ağrı’ya giden Duygu bir hafta orada kaldı. Kaldığı ilk günden itibaren Ağrı’da ısı her gün 2’şer derece düştü. Son o gün 3 C yükseldi. o İlk gittiği gün –1 C olan sıcaklık bir haftanın sonunda kaç derece olur?

ÖRNEK

CÖZÜM Verilenler : Bir hafta (7 gün) kalacak o 1. gün –1 C o 6 gün 2 C düşüyor. (her bir gün için) o Son gün +3 C artıyor. İstenen: Son günkü hava sıcaklığı (–1) + [6 . (–2) + 3] = (–1) + [–12 + 3] = (–1) + (–9) – o = –1 – 9 = –10 C olur.

Kredi kartına ¨2500 borcu olan Mahir 5 taksite böldürdüğü borcunun ilk üç ayını ödedikten sonra ¨225 daha ödüyor. Mahir’in son durumdaki mali durumu nedir?

CÖZÜM ¨2500 Her ay ödenen taksit: = ¨500 dir. 5 3 aylık ödeme: 3 . ¨500 = ¨1500 ödemiştir. Kalan borç: ¨2500 – ¨1500 = ¨1000 dir. Son ödemeden sonra kalan borç: ¨1000 – ¨225 = ¨775 dir. Mahir’in 775 borcu kalmıştır.

Veya; Borcu, negatif (–) sayı olarak, alacağı pozitif (+) sayı olarak alırsak;

- 2500 =- 500 5 (–500) . 3 = – 1500 (–2500) – (–1500) + = (–2500) + 1500 = (–1000) + 225 = – 775 Sonuç negatif çıktığı için; ¨775 borcu var.


13

1. Ünite


ÜSLÜ NİCELİKLER Murat aklından bir sayı tuttu. Tuttuğu sayıyı kendisi ile 5 kez çarptı. Matematikte bu işlem; .................................... olarak adlandırılır. üs (kuvvet) Üslü sayı; a = a . a . a . . . sayısına üslü sayı denir. “a” üssü n veya “a” sayısının n. kuvveti n tane taban diye okunur. “a” taban, “n” üstür. Taban, üs kadar kendisiyle çarpılarak sonuç bulunur. n

Tam sayıların üslü niceliklerini inceleyelim. 1

(–2) = –2

1

2

(–2) = (–2) . (–2) = + 4

3

(–2) = (–2) . (–2) . (–2) = – 8

4

(–2) = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16

n

(–2) = (–2) . (–2) . . . . (–2) m tane

3 =3

2

3 =3.3=9

3

3 = 3 . 3 . 3 = 27

4

3 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

m

3 =3.3.3.3. . .3 n tane

ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yapalım. 14

2

2

a) (+3) = 3 = 9

3

3

b) (+5) = 5 = 125

c) (+1)

100

100

= 1

=1

5

5

ç) (+2) = 2 = 32

Pozitif tam sayıların tek kuvvetleri de çift kuvvetleri de pozitiftir.


1. Ünite



a) (–3) = +9

3

b) (–5) = –125

c) (–1)

100

5

= +1

ç) (–2) = –32

Negatif tam sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

ÖRNEK

CÖZÜM

2

–3 işlemini yapalım.

–(3,3) = –9

Üs, sadece sayının üzerinde olduğu için işaret aynı kalır. Sayı , üs kadar kendisi ile çarpılır.


a) (–1) = –1

1

1

b) (+8) = + 8

1

c) (313) = 313

ç) (–24) = –24

Her tam sayının 1. kuvveti kendisine eşittir.


a) 0 = 0

1

15

4

b) 0 = 0

c) 0 = 0 o

Sıfırın kaçıncı kuvveti olursa olsun sonuç “0”dır. Sıfırıncı kuvveti hariç, 0 = tanımsızdır. 0

0

0

0

3 = 1, (–7) = 1 , 1 = 1 , (–1) = 1 dir. “0” hariç, hangi sayı olursa olsun sıfırıncı kuvveti “+1” dir.


1. Ünite

Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme işlemleri

ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yapalım. a) (–1) = –1

1

b) (–1) = +1

2

3

ç) (–1) = +1

4

c) (–1) = –1

(–1)’in tek kuvvetleri (–1), çift kuvvetleri ise (+1)’dir.


b) 10 = 100

2

4

d) 10 = 100000

a) 10 = 10

3

c) 10 = 1000

5

ç) 10 = 10000

10’un kuvvetlerini alırken 10’un üssü kadar 1’in sağına “0” yazılır.

ÖRNEK - 3 2 + (- 3) 2 - (- 3) 2 - (+ 3 2) - (- 3 2) işlemini yapalım. 16

CÖZÜM 2

–3 = –(3.3) = –9 2

(–3) = (–3) . (–3) = + 9

(kare sadece 3’ün üzerinde “–” işaretini etkilemez.) (kare (–3)’ün üzerinde)

2

+3 = + (3.3) = + 9 (–9) + (+9) – (+9) – (+9) – (–9) = –9 + 9 – 9 – 9 + 9 = – 9’dur. –9

+9

–9

–9

+9


1. Ünite


ÇIKMIŞ SORU 3

CÖZÜM

2

2 . 3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 2

A) 2 . 6

B) 2 . 5

5

C) 5

D) 6

6

6

3

2 =2.2.2=8 2 3 =3.3 =9 8 . 9 = 72 2

A) 2 . 6 = 2 . 36 = 72 6 B) 2 . 5 = 2 . (15 625) = 31 250 5 C) 5 = 3 125 6 D) 6 = 46 656 Cevap: A

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini hesaplayınız. 2

1

a) 8 = 64

b) (–35) =

o

3

d) (713) = 1

e) 10 = 15

3

h) 1

ğ) (–6) = –216

–35

1000

= 1

9

c) (–1) = –1 2

f)

(–10) = 100

ı)

2 = 32

5

2

ç) (–8) = 64 75

g) 0 i)

= 0 10

(–2)

= 1024

20

j) –1 = –1 2) Aşağıdaki işlemleri yapınız. 8

2

a) (–1) + 7 = 3

1 + 49 = 50 17

4

b) 0 . (–5) + (–1) = 0 – 1 = – 1 – 0 2

4

2

c) 10 + (–3) – (5) = 20

ç) (–1)

20

100 + 81 – 25 = 156 20

– (+1)

– (–1)

2

104

d) [(–2) . (+4)] . (–1)

=

1 – (+1) – (+1) = 1 – 1 – 1 = –1 – – 2

= (–8) . 1 = 64 . 1 = 64

2

(–8) 3

2

e) (–10) . (10) = 3

–1000 . 100 = –100000

1

f) 5 : (–5) + 105 = 125 : (–5) + 105 = (–25) + 105 = + 80 (–25) → Üslü ifadeler (Sayfa:14) 7. Sınıf Matematik

1. Ünite


KONU TESTİ 1. [–(–7) – (+7)] – [–45 : 9] . 2 işleminin sonu-

cu kaçtır? A) 10

2.

–2 –1

4.

B) 11

0

1

C) –10

2

3

4

5

D) –11

6

7

Yukarıdaki sayı doğrusunda modellenen işlem hangisidir? A) 6 . (–1) – 7

B) 6 . (1) – 7

C) 1 . 6 + 7

D) (–7) . 1 + 6

–8 < a < 4,

–2 < b < 5

a – b’nin en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7

B) 4

C) 9

D) 3

5. Tek basamaklı en büyük pozitif tam sayı ile, tek basamaklı en büyük negatif tam sayının çarpımı kaçtır? A) 81

B) –81

C) +9

D) –9

18

3. –124 ile +65 arasında kaç tam sayı vardır? A) 58

B) 59

C) 189

D) 188


1. Ünite


6. x = –3 , y = –1 , z = 4 ise 3x – 2y + z

9. a < b < 0 < c a, b ve c birer tam sayı olmak üzere aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman negatif sayı belirtir? a.b a A) B) c b+c

işleminin sonucu kaçtır? A) 15

B) 6

C) –3

D) –1

C)

n

a.c b

D) b . c (+1)

2

7. (–2) = 64 ise (–n) üslü ifadesinin sonucu nedir? A) –36

B) 36

C) 25

D) –25 2

3

10. a = –1 ise a – a . a işleminin sonucu kaçtır? A) 2

B) 1

C) 0

D) –1

19

8.

- 2 4 + (- 2 ) 4 2

0

A) 0

işleminin sonucu nedir? B) 1

1- A 7. Sınıf Matematik

C) –1

D) 32

2- B

4- B

3- D

5- D

6- C

7- B

8- A

9- D

10- C

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILAR

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 7 4 2

Sıfır başlangıç noktasından zıt yönde aynı doğru boyunca hareket edecek iki karıncadan kırmı7 zı olanı, sağa doğru yürüyerek nin olduğu yere geliyor. Mavi karınca da sola doğru aynı uzunluk2 ta yürüdüğüne göre ulaştığı noktanın sayı değeri ......................... olur. Rasyonel Sayı: a b

a b şeklinde yazılabilen tüm sayılara rasyonel sayı denir. Q sembolü ile

Pay Kesir Çizgisi

“a” bir tam sayı, “b” de sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere

Payda

gösterilir.

3 , 4 , 8 , 0 , 1 , 308 , 14 , 1, ... gibi sayılar rasyonel sayılardır. 5 1 3 10 2 1613 1 4 =4, 1

0 =0, 1

14 = –14 gibi tüm tam sayılar paydası “1” olan rasyonel sayılardır. 1 Doğal Sayılar: N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... Tam Sayılar: Z = ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... Yani tam sayılar, doğal sayıları içinde bulundurur. Rasyonel sayılar da tam sayıları içinde bulundurur.

20

ÖRNEK Aşağıda verilen tam sayıları, rasyonel sayı olarak yazalım. a) 10 = 10 = 20 = 30 = .......... 1 2 3 c) 0 =

0 0 0 0 = = = = .......... 1 2 124 –18

d) –1 =

–1 –2 –3 = = = .......... 1 2 3

b) –25 =

–25 –50 = = .......... 1 2

ç) 108 =

108 216 = = .......... 1 2


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki tabloda verilen sayıların tam sayı veya rasyonel sayı olanların yanındaki kutulara örnekteki gibi işaretleyiniz. Sayı

Tam Sayı

Rasyonel Sayı

–612 –

4 7 5 1 0 8

–1

4 2

17 100 25 7 2 12

2015 10 21

2 5 20 0 →“Sayı” tanımsız olduğu için payda “0” olmaz. 0


7 (Sayfa: 20) 2

1. Ünite

Rasyonel Sayılar +

Pozitif Rasyonel Sayı: İşareti “+” olan rasyonel sayılara denir. Pozitif rasyonel sayılar “Q ” ile gösterilir. –

Negatif Rasyonel Sayı: İşareti “–” olan rasyonel sayılara denir. Negatif rasyonel sayılar ise “Q ” ile gösterilir.

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayılarda pozitif ve negatif rasyonel sayıları belirleyelim.

763 25 Pozitif rasyonel sayılar, + 1, 1000 27 dır.

–3 , 25 , 763 , + 1, – 1002 4 27 1000

–3 , – 1002 4

ÖRNEK a rasyonel sayısının pozitif rasyonel sayı ola7 bilmesi için a değerinin alabileceği, 3 ten küçük 22

CÖZÜM

Negatif rasyonel sayılardır.

CÖZÜM a < 3 ve a > 0 olduğu için a’nın alabileceği tam sayılar “2” ve “1” olmak üzere 2 tanedir.

kaç tane tam sayı değeri vardır?

b ≠ 0 olmak üzere; –a = a = – a dir. “–” nin pay veya paydada olması kesrin işaretini değiştirmez. b –b b Böyle durumlarda kesrin işareti “–” dir.


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

–4 4 = =– 4 5 –5 5

eşitliklerinin doğru olup olmadığını inceleyelim.

–4 =– 4 5 5 –4 ün +5 e bölümünde önce işaretler bölünür. “–” nin “+” ya bölümü “–” dir. “4”, “5” e tam bölünemediğinden aynen kalır. 4 =– 4 –5 5 “+” nın “–” ye bölümü “–” dir. “4”, “5” e tam bölünemediğinden aynen kalır.

PEKİSTİRELİM – 3 rasyonel sayısına eşit olan rasyonel sayıları yanındaki kutulara işaretleyiniz. 91 –

–3 –91

91 3

91 3

3 –91

–3 91

– 3 –91 23

RASYONEL SAYILARI SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterebilmemiz için önce hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmamız gerekir. Bunun için; “ a ” basit kesir ve ”k” bir tam sayı olmak üzere; b a → b

0” ile “1” arasındadır.

–a → b

“–1” ile “0” arasındadır.

ka → b

“k” ile “k+1” arasındadır.

–k a → “–(k + 1)” ile “–k” arasındadır. b 7. Sınıf Matematik

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayıların hangi ardışık iki tam sayı arasında olduğunu bulalım. “0” ile “1” arası

1 b) 2 5

5 c) – 7

“–1” ile “0” arası

ç) –13

1 9

“–14” ile “–13” arası

1 d) – 8

“–1” ile “0” arası

e) 119 5 11

“119” ile “120” arası

a)

2 3

“2” ile “3” arası

ÖRNEK 1 rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim. 3

CÖZÜM –3

–2

–1

0

1

2

3

1 3 1 rasyonel sayısı “0” ile “1” arasındadır. Bu aralığı üç eşit parçaya (paydası “3” olduğu için) 3 böleriz. “0” dan başlayıp pozitif yönde 1 aralık (payı “1” olduğu için) ilerleriz. 24

ÖRNEK 1 rasyonel sayısını sayı doğrusunda 3 gösterelim. –

CÖZÜM –3

–2

–1

0 –

1

2

3

1 3

–1 ile 0 arası 3 eş parçaya bölünür, 1 bölme negatif yönde ilerleriz.


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK 3 rasyonel sayısını sayı doğrusunda 5 gösterelim. 2

CÖZÜM –3

–2

–1

0

1

2

3

3 5 2 ile 3 arasındadır. 5’e böler 3 bölme sağa ilerleriz. 2

–a = a = – a aynı rasyonel sayı oldukları için bu sayılar sayı doğrusunda – a nin olduğu b –b b b yerlerdir.

ÖRNEK –5 rasyonel sayısının sayı doğrusundaki 6 yerini bulalım.

CÖZÜM –5 = – 5 nın olduğu yerdir. 6 6 –2

–1

0

1

2

–5 6

ÖRNEK 1 ün yerini sayı doğrusunda gösterelim. –4

25

CÖZÜM –2

–1

0

1

1 1 =– –4 4


2

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

CÖZÜM

ÖRNEK 15 rasyonel sayısını sayı doğrusunda 4 gösterelim.

I. Yol Ardışık tam sayılar arasını “4” eşit aralığa (Payda kadar) böleriz. Pozitif olduğu için “0” ın sağına 15 aralık (Pay kadar) gideriz. –2

–1

0

1

2

3

4 15 4

II. Yol 15 = 3 3 4 4 (3 ile 4 arasında) –2

–1

0

1

2

3

4 3

ÇIKMIŞ SORU

3 15 = 4 4

CÖZÜM A B 4 3 2 1 0 - - - 3 5 3 3 3

26 Verilen sayı doğrusunda işaretlenen ardışık noktalar arası aynı uzunluktadır.

C 1 3 Cevap: B

4 1 ve - sayıları ile eşleşti3 3 ğine göre, C noktası aşağıdakilerden hangisi ile eşleşir?

A ve B noktaları -

A) 0

1 B) 3

C) 1

D)

5 3


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM 21 sayýsýný 4

21 Yukarıdaki sayı doğrusunda, sayısına karşı4 lık gelen nokta aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) K

B) L

C) M

5

21 20 1

4 1 5 4

1 , 5 ile 6 arasında 5’e yakın “M” noktası = 4 olabilir. Cevap: C

D) N

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki eşit aralıklara bölünmüş sayı doğrusunda, gösterilen yerlere gelmesi gereken rasyonel sayıları bulunuz. a

–2

–1

0

1

b

2 1

–2

1 2

–1

0

–

–2 –1 0 1 2

3

–1

–31 –28


2 7

–26

1

ç

–4

d

2

3 4

0 c

1

5 7

27

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

2) Aşağıda verilen rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösteriniz. a

1 4

1 4

–2

–1

0 –1

b

–

5 4

–1

1 4

–3

–3

c

–3

6 7

–2

1

2

1 4

–1

0

1

4 ve

–4

0 9

-1

–3

–2

–1

0

1

–3 –

27 7

–3

6 7

–5

13 –10

–1

3 10

–3

1

2

3

4

5

–3

–2

–1

0

1

6 7

–4

–1 e

2

4

0

28

d

3

6 7

0 9 ç

2

3 10

–2

–1

0

1

2

–1

0

1

2

3

–2 1 f

–2 1

–2

–2


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMLERİ 1. Paydası “10”un Kuvveti Olan Rasyonel Sayılar Ondalık gösterimmlerini bulmayı örneklerle öğrenelim.

* 1 = 0,1

10 10 10 0,1 00

* 2 = 0,02

* 75 = 7,5

75 10 70 7,5 50 50 00

* 213 = 100

10

10

100

2,13

200 100 200 0,02 000 213 100 200 2,13 130 100 300 300 000

35 3500 1000 * 1000 = 0,035 3000 0,35 5000 5000 0000 Yukarıdaki örneklerden de gördüğümüz üzere k bir doğal sayı ve e, m, n birer rakam ise, e k = k, e 10 em k = k, em 100 emn k = k, emn 1000 eşitlikleri vardır.

Negatif rasyonel sayıların ondalık gösterimleri de negatiftir.


29

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazalım. a)

3 = 0,3 10

b) –2

14 = –2,14 100

ç) 1 213 = 1000

c) 7 = 0,07 100

1,213

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız. –3 = –0,3 10

a

–100

ç

5 = –100,005 1000

b

35 = 100

d

75

0,35

c

3 = 75,003 1000

e

5

1 = 5,1 10

–75

3 = –75,003 1000

2. Paydası “10”un Kuvveti Olmayan Rasyonel Sayılar Ondalık gösterimlerini bulmayı örneklerle öğrenelim.

* 1=

* 3 7 =

3

7.2 = 3 14 = 3,014 500.2 1000

* – 3 = – 3.4 = – 12 = –0,12

* –2 3 =

2

3.5 15 = –2 = –2,15 20.5 100

* 15 =

* –3=

2

30

1.5 5 = = 0,5 2.5 10

25

50

25.4

100

15:5 3 = = 0,3 50:5 10

500

20

8

–

3.125 375 =– = – 0,375 8.125 1000

Paydası “10”un kuvveti olmayan rasyonel sayılar, önce paydası “10”un kuvveti (10, 100, 1000, ---) olacak şekilde uygun sayı ile genişletilir veya sadeleştirilir. Sonra ondalık gösterim olarak yazılır.


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız. a)

1 = 5

b) – 65 = 25

c)

1,2 = 2 = 0,2 5,2 10 – 65,4 = – 260 = – 26 = –2,6 25,4 100 10

34 = 34:2 = 17 = 0,017 2000 2000:2 1000

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimini yazınız.

a

3= 30

3:3 = 1 = 0,1 30:3 10

b

17 = 20

17,5 = 85 = 0,85 20,5 100

c

1 = 50

1,2 = 2 = 0,02 50,2 100

ç

–1= 50

– 1,2 = – 2 = – 0,02 50,2 100 31

d

31 = 2

3 1,5 = 3 5 = 3,5 2,5 10

f

71 = 4

7 1,25 = 7 25 = 7,25 4,25 100


e

–4 3 = 5

–4 3,2 = –4 6 = –4,6 5,2 10

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

2.) Aşağıdaki rasyonel sayılara karşılık gelen ondalık gösterimleri birinci örnekte olduğu gibi

32

eşleştiriniz. 3 10

A) 0,18

H

1)

–2

B)

2)

9 18 = 500 1000

B) 0,018

Ğ

3)

1 2

C) –7,5

A)

4)

9 = 50

Ç)

5)

– 1 1000

G)

6)

–

C)

7)

D)

8)

F)

9)

1 = 125 80 10000

Ğ) 0,5

E)

10)

7602 1000

H) –2,3

18 100

D) 67,5

113 100 – 15 = 2

Ç) –0,001

E) –7,602

– 75 10

67 1 2

F) 0,0125

G)

–1,13


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

Rasyonel Sayıların Devirli Ondalık Gösterimi Ondalık gösterimlerini bulmayı örneklerle öğrenelim. 2 rasyonel sayısının ondalık gösterimi; 3 20 3 – 18 0,666… = 0,6 20 18 20 18 2 h

67 rasyonel sayısının ondalık gösterimi; 33 67 33 66 2,030303 … = 2, 03 100 99 100 99 100 99 1 h

Devirli Ondalık Gösterim: Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde tekrar eden sayılarla bölünmeye devam ediyorsa, sürekli tekrar eden sayının üstü çizilerek devamındaki tekrar eden kısım yazılmaz. Rasyonel sayıların böyle gösterimine devirli ondalık gösterim denir.

ÖRNEK Aşağıdaki devirli ondalık gösterimlerin yazılımlarını ilk örnekteki gibi yaparak inceleyelim. 3, 012 = 3, 012222222 - - 3,012 = 3, 012121212 - - 3,012 = 3,012012012 - - 33

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayıların devirli ondalık gösterimlerini yazalım. a) 7 = 9

– 0,7

b) 71 = 0,71 99

ÖRNEK 29 = 3,a– eşitliğini sağlayan a değeri 9 2 için a – a’nın değerini bulalım.


CÖZÜM 29 9 – 27 3,22--- = 3,2 20 – = 3,2– ise 18 3,a 20 a = 2 olur. 18 2 2 a – a = 2 –2 = 4 –2 = 2 dir. 2 h

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki rasyonel sayıların devirli ondalık gösterimlerini yazınız. – 71 = 7,8 9

a

b

64 = 0,71 90

c

41 = 1, 24 33

ç

56 = 1, 24 45

Tam Sayıya veya Doğal Sayıya Eşit Olan Rasyonel Sayılar Örneklerle öğrenelim. 18 = 3 6 –

8 = –1 8

0 = 6

Hem doğal sayı hem de tam sayıdır. Tam sayıdır.

0

Hem doğal sayı, hem de tam sayıdır. Bazı rasyonel sayılarda payı paydaya böldüğümüzde tam sayı veya doğal sayı olabilirler.

ÖRNEK Aşağıdaki rasyonel sayılardan tam sayı ve doğal sayı olanları belirleyelim. 34

Sayı

Tam Sayı Doğal Sayı

15 5 14 5 –8 2 600 100 1 3 4 2 –5 3 0 51


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

DEVİRLİ OLMAYAN ONDALIK GÖSTERİMLERİ RASYONEL SAYI OLARAK İFADE ETME

* 0,3 ondalık gösterimini modelleyelim.

Şimdi bu modeli kesir olarak gösterelim. 3 10

* 1,09 ondalık gösterimini modelleyelim.

Şimdi bu modeli kesir olarak gösterelim. 1

9 109 = 100 100

+

100 = 1 tam 100

9 100

Devirli olmayan ondalık gösterimler rasyonel sayı olarak şu şekilde yazılır;  Ondalık gösterimlerde virgülün solunda kalan kısım tam sayı olarak yazılır.  Virgülün sağındaki sayı paya yazılır.

35

 Virgülden sonraki basamak sayısı kadar “0” da paydada “1” in sağına yazılır.  İşareti aynen kalır.  Pay ve payda arasında sadeleşme varsa yapılır.

0,2 =


2:2 1 2 = = 10 10 : 2 5

Doğruluğunu kontrol edelim.

10 5 10 0,2 0

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK Aşağıdaki ondalık gösterimlerin rasyonel sayı olarak yazalım. a) 0,13 =

13 100

c) –5,4 = –5 d) 75,10 =

4 4:2 2 = –5 = –5 10 10 : 2 5

75

10 1 = 75 100 10

b) 3,143 =

143 3 1000

ç) –3,05 =

–3

5 5:5 1 = –3 = –3 100 100 : 5 20

Yani 75,10 = 75,1 dir.

Virgülden sonra en sağda kalan sıfırların herhangi bir değeri yoktur.

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çeviriniz. 4 4:2 2 = = 10 10 : 2 5

a

0,4 =

c

–500,13 = –500

d

–0,002 = –

13 100

1,2 =

1

ç

0,75 =

75 75 : 25 3 = = 100 100 : 25 4

e

20,02 =

20

g

5,5 =

5

36 2 2:2 1 =– =– 1000 1000 : 2 500

f –101,101 = –101

ğ

101 1000

2 2:2 1 =1 =1 10 10 : 2 5

b

2 1 2:2 = 20 = 20 100 50 100 : 2

5 5:5 1 =5 =5 10 10 : 5 2

60,017 = 60 17 1000


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILARI KARŞILAŞTIRMA VE SIRALAMA “<” , ......................... “>” “=” Karşılaştırmada ................... ve .......................... sembolleri kullanılır. Kesirlerde sıralamada kullandığımız yöntemler burada da geçerlidir.

1. Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılarda Sıralama büyür küçülür Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayı ..................................... , sola gidildikçe sayı .................................. –1

0

1 3 4

–3 –9 3

–2

2 6 4

–1 –4 3

11 4 0

–2 3

3 3 < 6 < 11 4 4 4

1 –9 < –4 < –2 3 3 3

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar karşılaştırılırken; Yukarıda verilen iki örnekten de anlaşılacağı gibi paydaları eşit olan rasyonel sayıları karşılaştırırken payı büyük olan rasyonel sayı daha büyük, payı küçük olan rasyonel sayı daha küçüktür.

Negatif rasyonel sayıların paydaları eşit ise “–” işareti paya alınarak pozitif kesirlerdeki gibi sıralama yapılır. 37

ÖRNEK 12 3 1 19 11 , – , ,– , rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 5 5 5 5 5 12 –3 1 –19 11 , , , , ve –19 < –3 < 1 < 11 < 12 olduğu için – 19 < – 3 < 1 < 11 < 12 olur. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

PEKİSTİRELİM “<” , ......................... “>” “=” işaretlerinAşağıdaki rasyonel sayıları karşılaştırarak noktalı yere ....................... ve ....................... den uygun olanı yerleştiriniz. a

< 1 ............. 3 2 2

b

> – 83 – 14 ............. 21 21

c

< 5 – 5 ............. 6 6

ç

0 ............. > –10 75 75

d

< 10 0 ............. 75 75

e

8 ............. > –11 7 7

f

2 ............. = –2 5 –5

g

9 ............. 1 = 2 4 4

ğ

3

h

–83

1 ............. < –82 1 3 3

7 ............. 3 < 4 12 12

Paydalar eşit ise tam kısmı küçük olan daha küçüktür.

2. Payı Eşit Olan Rasyonel Sayılarda Sıralama Pozitif rasyonel sayılarda sıralama: –1

0

1 2 9

38

2 3

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi pozitif kesirli sayıları karşılaştırırken paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Negatif rasyonel sayılarda sıralama: –1

0

1

– 3 –3 8 4 Yukarıdaki örnekte görüldüğü kesirli sayıları karşılaştırırken önünde düşünülür. (– 3 = 3 , – 4 –4

gibi negatif “–” paydanın 3 = 3) 8 –8

Bu durumda paydası küçük olan kesir daha büyüktür.


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK

CÖZÜM

13 , 13 , 13 rasyonel sayılarını küçükten 14 1 7 büyüğe doğru sıralayalım.

14 > 7 > 1 olduğu için

ÖRNEK

13 13 13 olur. < < 14 7 1

CÖZÜM

25 25 25 ,– ,– rasyonel sayılarını büyükten 4 27 5 küçüğe doğru sıralayalım. –

25 , 25 , 25 olmak üzere –27 < –5 < –4 olur. –4 –27 –5 25 25 25 O hâlde – >– >– bulunur 27 5 4

PEKİSTİRELİM 1) – 107 , – 107 , 107 , 107 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 13 100 75 104 107 , 107 , 107 , 107 –13 –100 75 104 –13 > –100 ve 104 > 75 olduğu için; Negatif rasyonel sayılar her zaman pozitif rasyonel sayılardan küçüktür.

107 107 107 107 < < < –13 –100 104 75

39 2) Aşağıdaki rasyonel sayıları karşılaştırınız ( < , > , = ).

a

– 14 7

ç

77 = –77 –177 177


<

14 9

b

5 11

>

5 75

c

105 103

d

1 11

>

1 101

e

–

<

500 < 13

105 13 –

500 27

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

3. Payı veya Paydası Eşit Olmayan Rasyonel Sayıların Sıralanması Payı veya paydası eşit olmayan rasyonel sayıları sıralamadan önce, pay veya paydadan eşitlemeye uygun olanı genişleterek veya sadeleştirerek birbirlerinin pay veya paydasını eşitleriz. Sonra paydaları eşitlediysek paydaları eşit olanlara göre, payları eşitlediysek payları eşit olanlara göre sıralama yaparız.

ÖRNEK 3 , 4 , 7 5 3 15 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

CÖZÜM Paydaları eşitleyelim. 3 3, 3 9 = = 5 5, 3 15

(3)

4 4,5 20 = = 3 3,5 15

(5)

7 15

ÖRNEK – 10 , 2 , 5 , – 1 3 5 12 4 rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım. 40

7 < 9 < 20 olduğu için 7 < 9 < 20 bulunur. 15 15 15 7 < 3 < 4 15 5 3

olur.

CÖZÜM Payları eşitleyelim. – 10 = 10 3 –3 (1)

2 = 10 5 25

(5)

5 = 10 12 24

(2)

10 10 10 10 > ve > olduğu için 24 25 –40 –3 10 10 > > 10 > 10 bulunur 24 25 –40 –3 5 2 1 10 > >– > – olur. 12 5 4 3

– 1 = – 10 = 10 4 40 –40 (10)

Yukarıdaki örneği paydalarını eşitleyerek de çözebiliriz.


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

ÖRNEK 2 ile 9 arasında 3 tane rasyonel sayı yazalım. 5 10

CÖZÜM 2 … 9 5 10

(2)

4 … 9 10 10 5 , 6 , 7 , 8 10 10 10 10 arasındaki sayılardır. 4 9 Daha çok rasyonel sayı bulmak istersek ve ’u aynı sayı ile genişletiriz. 10 10

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazınız. a

3 < 4

7 < 8

8 8

<

9 8

b

18 17 16 > > > 25 25 25

3 5

ç

1 3 10 11 < .......... < < < 3 5 15 15

c

d

9 26 25 > > 30 90 90 3 10 11 12 13 < < < < 4 12 12 12 12

6 , 7 , 8 15 15 15 f

–


5 9 8 < – < – 3 6 6

Rasyonel sayıları genişleterek daha farklı cevaplarda bulabiliriz.

41

1. Ünite

Rasyonel Sayılar

KONU TESTİ 1. a. Sayı doğrusunda soldan sağa doğru ras

yonel sayılar büyür. b. Negatif rasyonel sayılar “0” dan küçüktür. c. Tam sayılar, rasyonel sayı olmaz. d. Ardışık iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı bulunur. Yukarıda maddeler hâlinde verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) a

B) b

C) c

4.

D) d

–2

–1

0

1

2

K L Yukarıda eşit aralıklara bölünerek verilmiş sayı doğrusunda K ve L noktalarına karşılık gelen rasyonel sayılar aşağıdakilerden hangisidir? K L A) 3 –1 2 2 B) 1 –3 2 2 C) 1 –1 2 2 D) 3 –3 2 2

2. Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı ola5. Aşağıdaki sayıların karşılaştırmaları arasın-

maz? A) 7 2

B) 8 0

C) 0 11

dan doğru olan hangisidir?

D) 4

1 5 A) –3 < –2,11 < – < –1 4 7 – 8 B) –3,1 < – = –2 < –0,13 4 – 3 2 C) –4 > –2,6 > = 1,5 3 2 5 6 D) – < = 2 < 5 2 2

42

3. 3 rasyonel sayısının sayı doğrusunda göste7 rimi aşağıdakilerden hangisidir?

A)

B) C) D)

3 0

3 7

4

3 7

1

6.

3

3 7

4

0

3 7

1

–3

–2

–1

0

–a bc

Yukarıdaki sayı doğrusunda verilen bilgilere göre a + b + c aşağıdakilerden hangisidir? b c basit kesit m c A) 10

B) 9

C) 6

D) 5


1. Ünite

Rasyonel Sayılar

7. Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi –4,12

11. Aşağıdaki ondalık gösterimlerden hangisi – 14 rasyonel sayısından daha büyüktür? 3 A) –4,6 B) –4,67 C) –5,5 D) –5

ondalık gösterimine eşittir? A) –4 12 10 C) –4 2 10

B) –4 1 2 D) –4 12 100

12. 2 8. 0,17 = a olduğuna göre a nin değeri aşa-

B) 289

C) 170

D) 49

1 7 1 . . . – . . . –2 3 3 4

Yukarıda verilen negatif rasyonel sayılar arasına sırası ile aşağıdaki işaretlerden hangisi gelir? A) < , >

100 ğıdakilerden hangisidir? A) 1700

–2

B) = , >

C) = , =

D) = , <

13. K = –5 1

9. 5 = 0, abc eşitliğini sağlayan a, b ve c de8 2 3 ğerleri için a + b + c değeri aşağıdakiler-

den hangisidir? A) 128

B) 133

C) 135

D) 137

10. –1,121313131..... ondalık gösteriminin devirli

5 2 L=1 5 11 M= 7 N = –5 Yukarıda verilen K, L, M ve N sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakiler43 den hangisidir? A) K < N < L < M

B) N < K < M < L

C) K < N < M < L

D) N < K < L < M

14. 3 < a < 23 olduğuna göre, a rasyonel sa-

14 14 14 14 yısının basit kesir olabilmesi için “a” yerine yazılabilecek en büyük tam sayı ile en küçük

ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) –1,12

B) 1,121

tam sayının çarpımı kaçtır?

C) –1,1213

D) –1,1213

A) 52

1- C 7. Sınıf Matematik

2- B

3- D

4- B

5- B

6- A

7- D

8- B

9- C

B) 88

C) 56

10- C 11- A 12- D 13- A 14- A

D) 84

1. Ünite

Rasyonel Sayılarla İşlemler

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ o

o

Şubat 2015’te Ankara’da hava sıcaklığı yaklaşık –3 C iken, Bursa Uludağ’da 14,5 C daha düşüktü. b o C dir. c y o C’dir. x z

Aynı gün, Uludağ’daki hava sıcaklığı a İki ildeki toplam hava sıcaklığı ise,

Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan rasyonel sayılarla toplama çıkarmanın nasıl yapıldığını örneklerle öğrenelim. 2 5

1 5

2+1

=

5

=

2 1 - + = 5 5

-2 + 1

2

2-1

5

44

+

-

1 5

5

=

5

2 1 - - = 5 5

=

-2 - 1 5

3 5

=-

1 5

1 5

=-

3 5

2 1 c- m - c- m = - + 5

5

2

1

5

5

=

-2 + 1 5

=-

1 5

+ Paydası eşit rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken kesirlerin işareti pay’ın önüne gelir. Paylar kendi arasında istenen işlem yapılır payda aynen kalır.


1. Ünite


ÖRNEK Aşağıda sayı doğrusunda gösterilen işlemleri önce yazalım sonra yapalım. a)

–2

b)

–1

–2

c)

0

–1

–2

1

0

–1

0

2

1

1

c- m + c- m =

2

3

6

-3 - 6

5

5

5

2

c1 m + c m = 1

3

c- m + c m =

1

2

3

5

5

5

=-

4

11

- 4 + 11

5

5

5

=

9 5

7 5

=- 1

=1

4 5

2 5

Sayı doğrusunda sola gidilince “–” işareti, sağa gidilince “+” işaretini alır.

ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yapalım. a)

7 1 + = 10 10

b) -

13

+

15

2 15

-

8 10 7 15

=

=

4 5 - 13 + 2 - 7 15

=

- 20 + 2 15

=

- 18 15

=- 1

3 15 45

c) c -

1 11

4

1

1-4+Y 1 -Y

11

11

11

m - c m - c- m =

=

-4 11

+ 2 3 ç) c - 5 m - c1 m = 7 7


2 3 2+3 5 =- 6 - 5 - 1 = ^- 5 - 1h 7 7 7 7

1. Ünite


PEKİSTİRELİM Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız. 3

a

10 -

b

c

+

65 91

5 10

-

3+5 8 = 10 10

=

20

85 - 65 - 20 =91 91

=

91

c- m - c- m + c- m = 1

1

1

7

7

7

+ -2

ç

12

d

23

3 75 +

–

-5

7 23

1 -1 + 1 - 1 =7 7

+

2 75

+

14 23

22 75

(- 2 - 5 + 0 )

=

12 + 7 + 14

=

23

3 + 2 + 22 75 =

33 23

9

=- 7

27 75 25

=1

=- 7

9 25

10 23

b 1 a =- 17 c 2 y 1 x =- 20 (Sayfa :44) z 2

Paydası Eşit Olmayan Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi 46

Paydası eşit olmayan rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken önce paydaları eşitler sonra istenen işlemi yaparız. Paydası eşit olmayan rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemini örneklerle öğrenelim.

ÖRNEK Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. a)

7 6

(4)

+

3 8

=

28 + 9 24

(3)

=

37 24

=1

13 24

b) -

1 13 5 8 2 - 13 + 5 = ==- c- m = - + 20 4 20 20 20 20 5

13

+

(5)

1 4 7 12 7 + 12 19 = (- 5 + 0 ) =-5 c) c - 5 m - c m = - 5 3 7 21 21 21 21 (7)

(3)


1. Ünite


3+

1 4

işlemini yapalım. 3+

1 4

3

=

1

(4)

+

1 4

=

12 + 1 4

(1)

13

=

3

4

1 4

tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim. 3

a, b, c pozitif tam sayı olmak üzere

b

b

ac = a+ c

1 9

4

=

^3.4h + 1 12 + 1 13 =

4

=

4

4

dir.

CÖZÜM

ÖRNEK 7+

1

işlemini yapalım.

ol I. Y

ol II. Y

7 1

+

(9)

7+

1 9

=

(1)

1 9

=7

1 9

63 + 1 9

=

64 9

=7

1 9

olduğundan direk yazabiliriz.

ÖRNEK

3 Dağda bulunan bir dağcının deniz seviyesinden yüksekliği rasyonel sayı olarak, 2000 m dir. Aynı 5 1 anda bir dalgıç ise deniz seviyesinin 50 m altındadır. 3 Dağcı ile dalgıç arasındaki mesafeyi bulalım.

CÖZÜM 2000

3 5

+ 50

(3)


1 3

(5)

= 2000

9 15

+ 50

5 15

= 2050

14 15

m dir.

47

1. Ünite


ÖRNEK

Cumali ile Talha şekildeki gibi bisikletleri ile zıt yönde aynı anda hareket ediyorlar. 5 9 1 km yolun Talha ’sini, Cumali ise, ’sini gidiyor. 12 12 a) Aralarındaki uzaklığın kaç kilometre olduğunu bulalım. b) Her ikisinin de başlangıç noktasına olan uzaklıklarının kaçar kilometre olduğunu

hesaplayalım.

CÖZÜM a)

5 9 14 km (Toplam gidilen yol) + = 12 12 12 Kalan yol;

48

1-

b) 1 1-

12 14 12 14 1 = - ==12 12 12 6 126

Cumali

Talha

(Negatif ise birbirlerini

1 km 6

1 km kadar geçmiştir.) 6

13 9 12 9 1 = - = = km (Cumali) 12 12 12 12 4 4

5 12 5 7 km (Talha) = - = 12 12 12 12


1. Ünite


ÇIKMIŞ SORU 1 ile toplandığında elde edilen sayı –1 ile 0 arasında yer alır? 2 1 B) - C) –1 D) 1 3

Aşağıdakilerden hangisi 1 A) - 4

CÖZÜM Her şıkkı ayrı ayrı toplayıp sonuçlarını bulalım. 1 1 1 2 -1 + 2 1 + =- + = = (0 ile 1 arasýnda) 4 2 4 4 4 4

A) -

(2)

1 1 2 3 -2 + 3 1 + =- + = = (0 ile 1 arasýnda) 3 2 6 6 6 6

B) -

(2)

C) -

(3)

1 1 2 1 -2 + 1 1 + =- + = = - (- 1 ile 0 arasýnda) 1 2 2 2 2 2

(2)

D)

1 1 2 1 3 1 + = + = = 1 (1 ile 2 arasýnda) 1 2 2 2 2 2

Cevap: C

(2)

PEKİSTİRELİM Ayşe Nur ile Yasin renkli baloncuk oyunu oynuyorlar. Baloncukların üzerinde içerisinde rasyonel sayılar yazıyor. Yasin, seçtiği iki baloncuk üzerindeki sayıları seçtiği sıraya göre çıkarıyor. Ayşe Nur ise aynı sayılar aynı sıra ile topluyor. Verilen sıraya göre Ayşe Nur ve Yasin’in işlem sonuçlarını bulunuz. Yapılan işlemler sonucunda en büyük tam sayıyı bulan baloncuk oyununu kazanıyor ise kazanan kimdir? 4 11


2 3 5

11 15

-

1 2

–4

7 40

-6

1 2

-

9 22

49

1. Ünite


CÖZÜM

Yasin

Ayşe Nur

1. Seçimler 11 15

–

1. Seçimler 2 3 5

11 17 11 - 51 - = = 15 5 15 (3) 40 8 =- =15 3

2. Seçimler

-

1 2

–

4 11

–4

1 -1 +4 = - - ^- 4h = 2 2 + = -1 + 8 =- 7 2 2

9 – - 22

–

3

2 5

=

11 17 11 + 51 62 = + = 15 15 5 15 (3)

-

1 2

+

1 -1 -4 = - + ^- 4h = 2 2 – = -1 - 8 =- 9 2 2

–4

3. Seçimler

=

4 9 8+9 - c- m = 11 22 22 (2) 17 + = 22

4. Seçimler 7 40

+

2. Seçimler

3. Seçimler 50

11 15

4 11

+

-

9 22

=

1 2

=

4 9 8-9 + c- m = 11 22 22 (2) – 1 =22

4. Seçimler -6

1 2

7 13 7 + 260 - f- p = = 40 2 40 (20)

+

=

267 40

7 40

+

-6

7 13 7 - 260 + f- p = 40 2 40 (20) 253 =– 40 267 Kazanan: Yasin c 40 m


1. Ünite


Rasyonel Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri Rasyonel sayılarla toplama işleminin özelliklerini örneklerle öğrenelim. Aşağıdaki toplama işlemlerini yaparak, değişme özelliği olup olmadığını inceleyelim.

c-

13 2 ? 2 13 + + = 20 20 20 20

6 1 ? 1 6 m + c- m = c- m + c- m 13 13 13 13

15 15 = 20 20

-

7 7 =13 13

İki rasyonel sayının toplamı, yerleri değiştirildikten sonraki toplama eşit olduğundan, rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Aşağıdaki kutu içlerine eşitliği bozmayacak şekilde uygun sayıları yazarak rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı olup olmadığını bulalım. -5 + 7

=-

0

5 7

19 + 27

0

=

19 27

Bir rasyonel sayı ile “0”, topladığımızda, toplam rasyonel sayının kendisine eşit olacağı için, rasyonel sayılarla toplama işleminin etkisiz elemanı “0” dır.

Aşağıdaki kutu içlerine hangi sayıyı yazarsak, sonucun etkisiz eleman “0” olacağını bularak rasyonel 51 sayıların toplama işlemine göre terslerini belirleyelim. 1 - + 3

+

1 3

=0

5 5 + 14 14

=0

a Toplamları “0” etkisiz eleman olan rasyonel sayılar birbirinin toplama işlemine göre tersi’dir. ’nin a b tersi - ’dir. b


1. Ünite


ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yaparak rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği olup olmadığını bulalım. 3 2 1 2 (- 2) + ; + E = (- 2) + ; + E 9 9 3 9 (3) 2 5 = f- p + ; E 1 9

2 1 2 6 1 2 =e - o + G + = ;- + E + 1 3 9 3 3 9 (3)

=

-5 2 + 3 9

(9)

(3)

18 5 15 2 =- + + 9 9 9 9 13 13 ==9 9 Her iki işlemin de sonuçları eşit olduğundan rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği vardır. =-


2 3 + = 3 4

8 + 9 17 = 12 12

b

(4) (3)

c

2 3 c- m + = 3 4 (4)

52 d

ç

(3)

e

–

8-9 1 =12 12

17 -8 - 9 2 3 =c- m + c- m = 12 12 3 4 (4)

9 + 20 - 7 22 3 4 7 = + + c- m = 15 15 5 3 15

(3) (5)

f

-8 + 9 1 = 12 12

2 3 + c- m 3 4 (4) – (3)

– (3)

1 9 4 + = 5 5

1+9 10 2 4 =4 = 4+2=6 5 51

2 1 4 7 4+7 11 3 + 2 = 3 + 2 = (3 + 2) =5 7 2 14 14 14 14 (2)

(7)

– g

4 2 5 - 4 + (- 2) + 5 2 1 5 - 1 + c - 5 m + = - 1 + c - 5 m + = ^- 1 + (- 5)h + c m 6 6 6 6 3 3 6 (2)

(2)

–

– 37 -4 - 2 + 5 -1 = ^- 1 - 5h + c m =- 6 + c m =6 6 6


1. Ünite


RASYONEL SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ Yandaki şekilde hem yeşil hem kırmızı ile taralı bölgeyi ........................ matemetiksel ifadesi ile gösterebiliriz. a, b ve c birer sayı olmak üzere; a.c = b d

a . c ‘dir. b . d

1 a) 7 . c - m = 2

Yani;

3.4 = 5 7

7 1 - =- 3 2 2

3 . 4 12 = 'tir. 5 . 7 35 b) c -

5 11 5 m . c- m = + 11 9 99

1 3 11 23 253 3 c) c 2 m . c - 4 m = c m . c - m == - 10 5 5 5 5 25 25

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi Yaparken;  İşaretler çarpılır tek işaret olarak konur.  Pay ile pay çarpılır paya yazılır.  Payda ile payda çarpılır paydaya yazılır.  Tam sayılı kesir ise önce bileşik kesre çevrilir.  Sonra aynı işlem yapılır.

ÖRNEK

2 2 ’ini harcadınız. Geriye kalan kısmın ’ü ile sinemaya gittiniz. Sinema için 5 3 kullandığınız kısım tüm harçlığınızın kaçta kaçıdır?

Haftalık harçlığınızın

CÖZÜM 1 2 5 2 3 - = - = 1 5 5 5 5 (5)

3 . 2 6 sadeleştirersek 6 2 ’i ile sinemaya gitmiştir. = = 5 3 15 15 5


53

1. Ünite


CÖZÜM

ÖRNEK 3 5 . c - m işlemini sayı doğrusunu kullanarak 4 çözelim.

–4

3 3 3 3 3 - 4 4 4 4 4 –3

–2 3 -3 4

–1

0

+1

3 15 3 5 . c - m = - = - 3 'tür. 4 4 4

CÖZÜM

ÖRNEK 2 15 c - m . c m işlemini yapalım. 3 22

2 15 5 5 5 = - 1. = - . 3 22 11 11 11 1 Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken, pay ve paydalar arasında sadeleşme varsa önce sadeleşme yapıldıktan sonra çarpma işlemi yapılırsa daha basit bir çarpım elde edilir.

Çarpma İşleminin Özellikleri 1) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, değişme özelliği olup olmadığını örnekle inceleyelim. 1. 7 ? 7 1 c- m = c- m . 2 10 10 2 54

-

7 7 = 20 20

İki rasyonel sayı çarpımında; çarpanların yerleri değiştirilerek işlem yapıldığında sonuçlar aynı a c c a olduğundan değişme özelliği vardır. . = . dir. b d d b 2) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, birleşme özelliği olup olmadığını örnekle inceleyelim. 15 2 5? 2 =c - m . 4G . = c - m . ;4 . E 3 8 3 8 2

1Y Y 81 5 2 5 . = c- m . 3 Y 81 3 Y 21 5 5 - =3 3 İkiden fazla rasyonel sayıyı farklı farklı ikişerli gruplandırarak çarptığımızda sonuçlar aynı çıkar. Bu durumda “Rasyonel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” deriz.

-


1. Ünite


3) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin, yutan elemanı olup olmadığını örneklerle inceleyelim. .

1 = 3

0.

1 =0 3

2 . c- m = 7

2 0 . c- m = 0 7

1 . c- 5 m = 4

1 0 . c- 5 m = 0 4

“0” sayısı ile bir rasyonel sayının çarpımı her zaman “0”’dır. Rasyonel sayılarda çarpma işleminin yutan elemanı “0” dır.

4) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanı olup olmadığını örneklerle inceleyelim. a)

.

5 5 = 13 13

b) –7 .

1.

= –7

5 5 = 13 13

–7 . 1 = – 7

(+1) sayısı ile hangi rasyonel sayıyı çarparsak çarpalım. Sonuç rasyonel sayının kendisidir. Bu nedenle (+1) rasyonel sayılarda çarpma işleminin “etkisiz elemanı” (+1) dır.

5) Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi olup olmadığını örneklerle inceleyelim. 3 3 . . = +=1 + 1 a) 4 4 b)

1

11

1

1

1

Y Y 34 Y 4 3 Y . . = +=1 + 1 Y 31 4 Y 341 Y 1

3 . -. - 3= =+ 1+ 1 77

1

Y Y 7 3 - . - = +1 Y Y 3 71

Bir rasyonel sayı ile tersini çarptığımızda etkisiz eleman olan (+1)’e eşit olur. Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre, tersi pay ve paydasının yer değişmiş b a halidir. ’nın tersi a ’dir. b

1

6) Rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği olup olmadığını inceleyelim. a) 2 . c - 2 + 1 m = 3 4 4 b)

2 1 5 . c - m= 3 7 7

-

Y 21 1 =6 12 6

2 4 8 . c- m = 3 7 21

Y 4 2 2 1 2 -2 1 .c + m = c- m + c m = - = 12 12 6 12 3 4 4 2 1 5 = .c - m 3 7 7

2 10 8 - =21 21 21

Dağıtarak yaptığımızda işlem sonucu değişmediğinden rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.


55

1. Ünite


ÖRNEK

7 3 , - , 4 rasyonel sayılarını –1 ile çarparak, rasyonel sayılar ile sonuçlarını karşılaştıralım. 10 7

CÖZÜM 7 . 7 (- 1 ) = 10 10 3 3 c - m . (- 1) = + 7 7 4 . (- 1) = - 4

Bir rasyonel sayıyı –1 ile çarpmakla o rasyonel sayının zıt işaretlisini elde ederiz.

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda satır ve sütunların çarpımı ile ilgili verilen tabloyu örneklerdeki gibi çarpım sonuçlarını yazarak doldurunuz.

7 10 1

56

7 10

0

2 5

9 4 9 4

–3

75 8

25 2

9 4

3

0

2 5 5 3

-

2 5

-

1 -4 6

-

35 12

0

-

–1

-

7 10

0

-

–3

2 9

91 18

0

26 9

65 4

5 3

7 6

0

2 3

15 4

7

-

65 3

–5


1. Ünite


2) Aşağıdaki kutulara gelmesi gereken rasyonel sayıları yazınız. a

5 7 1 5 . c + m = c . 7 m+c 7 10 9 7 10

b

5 3 4 5 c - m. =c . 4 7 11 4

c

5 7 1 7 - .c . m=c . 7 10 9 10

ç

5 -3 . 6

d

-

127 . 126

5 7

4 - 3. m c 7 11 -5 7

m .

1 . m 9 4 11

m

1 9

–1

=

23 6

4 11

=

4 127 . cm 11 126

3) Aşağıdaki rasyonel sayıların, çarpma işlemine göre tersleri varsa karşılarına yazınız. 1 3

a

3

b

-

1 7

–7

c

4

3 8

8 35

ç

-

17 11

-

d

0 41

57

11 17

Çarpma işlemine göre tersi yoktur. Çünkü a . 0 = 1 olacak şekilde “a” rasyonel sayısı yoktur. 3 . 4 (Sayfa :53) 4 6


1. Ünite


RASYONEL SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ 3 ’ünü 3 arkadaşına eşit olarak paylaştırmak 4 istiyor. Her bir arkadaşına ...................... miktarda kurabiye düşer.

Leyla, okula getirdiği kurabiyelerinin

2 21 : c - m bölme işlemini iki yolla yapabiliriz. 5 6

ol I. Y

Ortak payda kullanarak bölme; 12 4 2 21 12 105 12: 105 12: 105 = -^12: 105h = =: c- m = : c=m=35 5 6 30 30 30: 30 1 105 (6)

ol II. Y

(5)

Bölüneni bölenin çarpma işlemine göre tersi ile çarparak bölme; 2 21 2 : c - m = . c - 6 m = - 12 = - 4 'tir. 5 6 5 35 105 21

ÖRNEK

Aşağıdaki bölme işlemlerini yapalım. 7 1 7 7 3 b) - : = c - m . = 9 3 27 9 1

a) 13 : 21 = 13 . 4 = 52 15 4 15 21 315 58

13 3 21 3 21 2 7 3 5 1 13 6 14 = - . f - p = + 39 = 1 4 : c- m = . f - p = - = - 1 ç) c) 2 : - 1 = 8 2 4 4 8 3 8 2 5 5 35 35 14 1 4 7 6 Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir. Sonra bölme işlemi yapılır. 7

1

-

Aynı işaretli iki rasyonel sayının birbirine bölümü pozitif, farklı işaretli iki rasyonel sayının birbirine bölümü negatif’tir.


1. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

1 5 2

CÖZÜM 1 4 2 5 = 5 = 4 . 1 =2 2 2 5 21 5

1-

1-

işleminin sonucu hangisidir?

2 1 5 8 A) B) C) D) 5 2 2 5

Cevap: A

Rasyonel Sayılarda Bölme İşleminde 0, 1, –1 1) Bölme işleminde “0”ın etkisini örneklerle inceleyelim. a) 0 : 3 = 0 . 5 = 0 = 0 5 1 3 3 “0”ın “0” hariç başka bir rasyonel sayıya bölümü “0” dır. b) -

7 1 7 7 : 0 = - . = - = tanımsız. 10 0 0 10

c) 7 : 0 = 7 . 1 = 7 = tanımsız. 10 10 0 0 ç)

“O” hariç herhangi bir rasyonel sayının “0”a bölümü tanımsızdır.

0 = Belirsizdir. 0’ın 0’a bölümü belirsizdir. 0

2) Bölme işleminde (+1)’in etkisini örneklerle inceleyelim. a)

6 :1= 13

6 1 6 . = 13 1 13

Bir rasyonel sayının (+1)’e bölümü sayının kendisidir. b) 1 :

1 13 13 6 = . = 1 6 6 13 (+1)’in bir rasyonel sayıya bölümü, o sayının çarpma işlemine göre tersidir.


59

1. Ünite


3) Bölme işleminde (–1)’in etkisini örneklerle inceleyelim. 3 1 3 3 a) - : (- 1) = c - m . c - m = + 7 1 7 7 Bir rasyonel sayının –1’e bölümü sayının ters işaretlisine eşittir. 1 7 7 b) - 1 : c - 3 m = c - m . c - m = + 1 3 3 7 (–1)’in bir rasyonel sayıya bölümü, çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisidir.

CÖZÜM

ÖRNEK -

5 1 ? 1 5 : = : c - m eşit olup olmadığını bulalım. 27 2 2 27

-

5 1 5 2 10 : =. =27 2 27 1 27

1 5 1 27 27 : c - m = . c - m =2 27 2 5 10 -

10 27 = - 'dur. 27 10

Rasyonel sayılarda bölme işleminin birleşme ve değişme özelliği yoktur.

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. 60

a

c

d

-5 = - 5 . 4 = - 20 3 3 3 4 8 9 = 1 1 3

-1 : c

b

8 1 2 9 =8. 3=2 4 9 4 3 3 1 3

ç

29 29 - 25 m = - 1 . c- m = 29 25 25

e

;-

85 : ^- 1hE : ^- 1h = 101

c+

85 85 m : ^- 1h = 101 101

1

3 5 7 5 5 5 13 2 - 1 . c- m = 2 - . - = 2 - c- m = 2 + = 4 7 4 f 7p 4 4 4 1

1 7 2 c1 - m : = - c - mG = 2 3 5

1 7 2 = 1 : 35 + 6 : + E ; 15 2 >3 5H 2 (5)

=

(3)

1 41 1 . 15 15 : = = 2 15 2 41 82


1. Ünite

Rasyonel Sayılarla İşlemler 8

16 1 1 g - . 2 : c - m = - 16 . 13 . ^ - 5 h 15 6 5 15 6

5 65 0 = tanımsız - 13 : = - 13 . = 0 0 5

f

3

=+ 1 2 3 1 17 . 1 - 3 + 2 = 17 5 : 7 - f- + p = - c- m -c m 21 4 3 4 2 3 7 4

ğ

h

0:

3

8 . 13 . 1 104 = 33 9

25 19 =0 = 0. 19 25

(2)

=

17 1 + 21 4 (4)

=

(21)

68 + 21 89 = 84 84

a 1 " (Sayfa:58) b 4

RASYONEL SAYILARIN KARE VE KÜPLERİ a rasyonel sayısının karesi ve küpü aşağıdaki gibidir. b a a a a 3 . . 'dir. b l = b b b b

a ve b birer tam sayı ve b ! 0 olmak üzere, a a a 2 . 'dir. b l = b b b veya

a2

a.a 'dir. = 2 b . b b

veya

a3 b

3

=

a.a.a 'dir. b.b.b

ÖRNEK Aşağıdaki işlemleri yapalım. a) 1 c m = 2 2

c)

1 1 1 . = 2 2 4

1 1 1 1 2 c m = c - 2 m . c - 2 m =+ 4 2

b)

ç)

3 c m = 4 3

3

3

43

=

3.3.3 27 = 4.4.4 64

3 3 3 27 3 3 c - m = c - 4 m . c - 4 m . c - 4 m = - 64 4

2 d) 2 3 2 = 13 2 = 13 . 13.13 = 169 c m c m 5 25 5 5 2 5.5

3 3 3 3 3 27 e) 1 1 3 c m = c m = . . = 2 2 2 2 2 8

13 2 13 13 169 f) - 2 3 2 c m = c- m = c- m . c- m = + 5 5 5 5 25

3 3 3 3 3 27 g) - 1 1 3 c m = c - m = c - m . c - m . c - m =2 2 2 2 2 8

Pozitif rasyonel sayıların karesi’de küpü de pozitiftir. Negatif rasyonel sayıların karesi pozitif küpü negatiftir.


61

1. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM 24 3 4 4 4 2 3 . . = f p =c m 6 6 6 3 63

4 . 4 . 4 işleminin sonucu aşağıdakilerden 6 6 6 hangisine eşittir?

A)

3

Cevap: C

4 4 2 2 B) C) c m D) 3 6 3 6 33 3

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

4

(0,5) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)

62

1 1 B) 625 16

C) 16

0, 5 =

D) 625

10 2

=

1 2

1 4 14 1 c m = 4= 2 16 2

ÇIKMIŞ SORU

Cevap: B

CÖZÜM

c-

3 3 m ün değeri kaçtır? 10

A)

27 100

B) -

9 1000

D) -

C) -

15

3 1000

c-

3 3 3 3 3 27 m = c - m . c - m . c - m =10 10 10 10 1000 Cevap: D

27 1000


1. Ünite


PEKİSTİRELİM Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1 3 a c m = 4

1 1 1 1 c m.c m.c m= 4 4 4 64

b

2 3 c- 1 m = 4

3

63 3 3 3 f- 4 p = c- 2 m . c- 2 m . c- 2 m 2 =-

3 2 1 32 21 3.3 21 2 + = + c- m = m c c m c 5 10 10 5.5 10 52 9 21 = 25 10 (2)

=

d c- 3 m = c-

1 3

f c-

2

ç

27 8

2 2 2 8 2 3 c m = c - 3 m . c - 3 m . c - 3 m = - 27 3

(5)

18 - 105 87 =50 50

10 2 10 10 100 m = c- m . c- m = + 3 3 3 9

7 2 7 7 49 m = c- m . c- m = + 11 11 11 121

e

3 1 23 12 1 3 13 1 =c m G = > H = ; E = = 2 4 22 43 64

g

1 1 1 1 2 c m = c 5 m . c 5 m = 25 5 63

3 ğ ^- 8h2 . c - 1 m = 64 . c - 1 m = - 64

5

h

125

125

49 1 49 1 - 98 - 1 99 4 1 2 2 1 3 =^- 1h3 : c m + c - m = ^- 1h : + c - m = - 1 . 4 - 8 = - 4 - 8 = 8 8 49 8 7 2 (2) –


1. Ünite


ADIMLI İŞLEMLER VE PROBLEMLER Birden fazla işlemin olduğu ifadeler işlem önceliği kullanılarak yapılır. İşlem önceliğinde sıra; 1) Üslü ifadeler (varsa) 2) Parantez içi ( ( ) veya [ ] ayraçlarının olduğu) 3) Çarpma ve bölme işlemi (ikisi aynı işlemde varsa solda olan ilk yapılır.) 4) Toplama ve çıkarma işlemi

ÖRNEK

ÖRNEK

1 4 işlemini yapalım. 1 - =c - m + 3G . 2 7

1-

CÖZÜM

1-

(2)

1 6 4 = 1 - ;- + E . 2 2 7 5 4 = 1 -; E . 2 7 = 1-

1 3

4 5

işlemini yapalım.

CÖZÜM

1 3 4 1 - >c - m + H . 2 1 7

64

3-

3 1 1 3

(3)

4 5

9-1 =1 - 3 = 1 4 5

8 2 3 = 1 - f 8 . 5 p = 1 - 10 4 3 41 3 5 3 - 10 = 3 7 =3

36 20 14 - 20 3 = ==14 14 14 7 7

Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemini yapabilmek için önce pay ve paydada işlemler varsa yapılır sonra pay kısmındaki sayı payda kısmındaki sayıya bölünür.


1. Ünite


CÖZÜM

ÖRNEK

5 1 1+ 2

işlemini yapalım.

1+

1 1

=

5 2 10 =5. = 3 3 3 2

CÖZÜM

ÖRNEK

5 1 1+ 2

işlemini yapalım. 1+

1 1+ 3

1 1 1+

= 1 3

1 1 1+ 4 3

=

1 3 1 + 1. 4

=

= Alt alta kesirlerin olduğu işlemler:

1 3 1+ 4 1 4 4 = 1. = 7 7 7 4

Eşittirin yanındaki kesir (bölme) çizgisine kadar en alttan başlanarak yukarı doğru sıra ile yapılır. Pay kısımda da varsa aynı şekilde yapılır. Sonra pay paydaya bölünür.

ÖRNEK 2+

3 2+

2+

CÖZÜM

1 2+

3 5

2+ işlemini yapalım.

1 2

ÖRNEK 1 1 1 1 c1 - m . c1 - m . c1 - m g c1 - m 3 4 5 72 işlemini yapalım.


3

3 5 1 2+ 1 2+ 2 2+

3 13 5 = 1 2+ 5 2 2+

5 13 = 2 2 + 1. 5 2 + 3.

41 41 5 205 . = = 13 = 13 12 156 12 5

CÖZÜM 2 3 4 71 1 2 1 . . g = = 3 4 5 72 72 36 36

15 13 = 2 2+ 5 2+

65

1. Ünite


PROBLEM ÇÖZME Problem çözme stratejilerine dikkat edilerek problemleri çözelim. 1 Pazar günü okumaya başladığınız 210 sayfalık kitabınızın her gün 2 ’sini okudunuz.

em obl Pr

Hangi gün kitap biter? Son gün bu kitabın kaç sayfasını okursunuz?

7

CÖZÜM 30

210 .

2 = 60 sayfa 71

Pazar → 60 210 60 veya Pazartesi → 60 180 18 3 Salı → 60 30 (4. gün son 30 sayfa okunur.) Çarşamba → 210 – 180 = 30 sayfa Gün: Pazar, Pazartesi, Salı, Çarşamba Sayfa: 60 60 60 30

2 Ali amca dikdörtgen şeklindeki arazisine en büyük kare

em obl r P

3 2 hm 7

oluşturacak şekildeki bölümüne buğday, geri kalan kısma ise mısır ekiyor.

a) Buğday ektiği arazinin alanı kaç metrekaredir?

1 3 hm 2

b) Mısır ektiği araziyi 3 sıra telle çevirirse kaç metre tel gerekir?

CÖZÜM 1 3 hm 2 66

B1 15 hm 14

A1 3 2 hm 7

3 3 2 hm 7

1 3 7 6 1 15 hm = hm -2 = 3 -2 =1 2 7 14 14 14 14

(7)

(2)

3 17 17 1700 2 hm = hm = . 100 = m 7 7 7 7 a) Alan (A1) = c

1700 2 2890000 2 m m = 7 49 750

15 15 1500 750 b) hm = . 100 = m = m 14 14 7 14 7 Çevre (B1) = c =

1700 750 + m . 2 7 7

2450 . 2 7 700

4900 = = 700 m ise 3 sıra tel için 71 3.700 = 2100 m tel gerekir.


1. Ünite


em obl Pr

3 Bir sayı ile 14 ’ün toplamı 35 ’tür. Bu sayı kaçtır?

3

3

CÖZÜM Sayı +

14 35 35 14 21 ise ters işlem yapılarak; Sayı = = - = = 7'dir. 3 3 3 3 3

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki işlemleri yapınız. a

1

5-

1

5-

5+

b

2 5 1 310 1+

c

1 c m 3 = ^- 2h3

ç

1 2


1 16 3

= 5-

1 5 - 1.

3 16

1

= 5-

5-

3 16

= 5-

1 16 = 5 - 1. 77 77 16 16 369 = = 577 77

2 5 10 17 7 1 + 2. 1+ 7 = 7 = 7 = 17 . 10 = 170 5 = 29 29 29 29 7 29 203 10 10 10 10

1+ =

67

2

1 1 . 3 3 = ^- 2h . ^- 2h ^- 2h

1 2-

5-

1 3

2

1+

1

= 5-

1 2

=

1 9 = 1 . - - 1 =- 1 c m 8 9 8 72 1

1 1 1 2 1 2 3-4 1 =- = - 1. = - = 2 3 2 3 2 3 6 6 (3) (2) 2

1. Ünite

d

e


R3 V2 S W S 5 . - 7W = S3 7 W SS W 10 W T X

2 2 5 - f- + p = 3 5 (5) (3)

f

-2 -1 31 1 10 1 2 >f 5 . p . e - 7 . oH = >e o . a - 10 kH = ^- 2h = (- 2) . (- 2) = 4 31 71 51 + 2

5 - c-

2 1 -4 =c1 - m - G : c m= 5 2 5

2

10 6 4 4 79 + m = 5 - c- m = 5 + = 15 15 15 15 15 +

1

3 1 4 6-5 4 1 f 5p 1 > 5 - 2 H : c- 5 m = ; 10 E : c- 5 m = 10 . - 4 = - 8 (2)

(5)

2

3 5 2) Aşağıdaki problemlerin çözümlerini bulunuz. a Fadime Hanım’ın arabasının deposu 30 litre benzin alıyor. Fadime Hanım arabasının deposunu

tam doldurduktan bir süre sonra boşalan kısmı tekrar doldurtuyor. Sonradan boşalan kısma 6 litre benzin koydurduğuna göre deponun kaçta kaçı boşmuş? 1 6 1 = ini kullanmış. O hâlde deponun ’i boşmuş. 5 30 5

68

1 ’ünü gitti. Geriye kalan kısmını sabit hızla 6 dakikada gittiği4 ne göre 1. dakikada kalan yolun kaçta kaçını gitmiştir?

b Eray bisikleti ile gideceği yolun

1-

1 1 3 = ise 3 : 6 = 3 . 1 = 1 'ini gitmiþtir. 4 4 4 4 62 8


1. Ünite


KONU TESTİ 1.

7 5 3 + c - m işleminin souncu aşağıdakiler2 3 4 den hangisidir? 53 47 43 37 A) B) C) D) 12 12 12 12

2. 1 - c + m işleminin sonucu aşağıdakiler1 3 4 2 4 3 den hangisidir? 25 7 A) B) 12 12

C) -

7 12

D) -

25 12

11 10 12 . c . m işleminin sonucu aşağıdaki5 3 22 lerden hangisidir? 3 1 5 A) - B) - C) - D) –4 5 4 3

4. -

11 10 15 . c + m işleminin sonucu aşağıdaki5 3 22 lerden hangisidir? 35 35 53 53 A) B) - C) D) 6 6 6 6

5. -

69

3.

12 in toplama işlemine göre tersi aşağıdaki8 lerden hangisidir? 2 3 2 3 A) B) - C) - D) 3 2 3 2


3 5 7 14 işleminin sonucu aşağıdaki+ : 4 6 2 9 lerden hangisidir? 13 7 7 1 A) B) C) D) 8 8 4 2

6. - .

1. Ünite


4 . 7 5 c - m 1 13 3 4 7. 3 : işleminin sonucu aşağı2 4 3 dakilerden hangisidir? A) –13

B) 13

1

8. 3: 1-

1

C) 14

1 2 hangisidir? 1 A) - B) –3 3

D) 26

işleminin sonucu aşağıdakilerden

1-

1+

2 9

11. 180 paketlik bir kargonun her saat ’u araca yükleniyor.

1 C) 3

2 5 olmak üzere 2 15 3 2 A . B işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 147 49 49 147 A) B) - C) D) 8 4 4 8

1 10. A = - 1 ve B = 2

D) 3

Yükleme başladıktan 4 saat sonra araca yüklenmesi gereken kaç paket kargo kalmıştır? A) 40

B) 30

C) 20

D) 10

70 2 sayısının bulunduğu aralık aşağıdaki 5 seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

9. - 3

A) 2 ile 3 arasında

12. Kenar uzunlukları 15 cm ve 18 cm olan bir

1 dikdörtgenin uzun kenarını oranında kı3 1 saltır, kısa kenarını oranında uzatırsak 3 dikdörtgenin çevresi kaç santimetre ve na-

B) 3 ile 4 arasında

C) –3 ile –4 arasında D) –2 ile –3 arasında

1- A

2- C

3- B

4- D

5- D

6- A

sıl değişir?

7- C

A) 4 cm artar.

B) 4 cm azalır.

C) 2 cm azalır.

D) 2 cm artar.

8- B

9- C

10- A 11- C 12- C 7. Sınıf Matematik

1. Ünite

ETKİNLİKLER 1) a < [85 : (–5) + (–18)] koşuluna uyan en büyük tam sayıyı bulunuz. a < (–17) + (–18) a < – 35 a = (–36) dır.

2) [–2 + l–10l . (–5)] : (–13) = A ise verilenlere göre, A . (–1) in değerini bulunuz. [–2 + 10 . (–5) ] : (–13) = [–2 –50] : (–13) = [–52] : (–13) = + 4 A = 4 bulunur. A . (–1) = 4 . (–1) = –4’tür.

3)

6 a+2

işleminin sonucunun bir tam sayı olabilmesi için a’nın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

6 a+2 71

4 1 0 –1 –3 –4 –5 –8 4) 2 . (–4) – 1 işlemini sayı doğrusunda modelleyerek gösteriniz.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1


0

+1 +2

1. Ünite

5)

–3,

14 0 0 0 –13 1 121 101 1 13 , , , – 1, , , + 100 , ,0,– , 3, – , – 1001, –2 , +1 15 500 0 –1 0 2 5 5 2 15

Sayılarını aşağıdaki tablolardan uygun olanına yerleştiriniz.

CÖZÜM Pozitif Rasyonel Sayı

Negatif Rasyonel Sayı

İşareti Olmayan Rasyonel Sayı

+ 100

–3 1 – 2

0 0 500

101 – 5 –1001 13 –2 15 –1

0 –1

121 5 3 1 2 14 +1 15

Rasyonel Olmayan Sayı 0 0

Belirsiz

–13 0

Tanımsız

6) Aşağıdaki sayı doğrusunda A, B, C, Ç ve D harflerinin yerine gelmesi gereken sayıları bulunuz.

CÖZÜM 72

–6

–5

A = –7 B = –5

–4 5 8

–3

–2

C = –3 1 3

–1 Ç = –1

0 1 2

1 D=

3 5

7) –1, 2 ondalık gösterimini rasyonel sayıya çevirerek sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

CÖZÜM –1, 2 = –1

2 2:2 1 = –1 = –1 10 10 : 2 5

–2

–1

0

1

2

–1 1 5


1. Ünite

8) 5,ab = 5,2323232 . . . eşitliğini sağlayan a ve b değerleri için –a + b değeri kaçtır?

CÖZÜM 5,2323232 . . . = 5,23 olduğu için a = 2 ve b = 3 tür. –a + b = –2 + 3 = 1 dir. 9) Aşağıdaki rasyonel sayıları karşılaştırarak, noktalı yerlere “<” , “>” ve “=” işaretlerinden uygun olanı yerleştiriniz. a)

d)

1 4 < ......... 8 8

0 > –141 ......... 1001 1001

ğ) 5 4 < 5 7 13 ......... 13

b)

7 > 5 6 .... . . . . . 6

e)

2 12 = 2 ...... . . . 5 5

17 –17 h) =. . . ...... 41 –41

–11 c) 18 . . . > . . . . . . 5 5

f) –8

3 1 <. . . . . –4 . . . . 7 7

ç) –2 . . . .<. .... 4 11 11

g) 4

1 13 = . . . ...... 3 3

İki kesrin tam kısımları aynı ise sadece kesir kısmına göre karşılaştırma yapılır.

10) Murat, Özgür ve Halil bir araba fabrikasında üretilen arabaları boyuyorlar. Boyadıkları araba 73 sayısı iş 1 ayda Murat’ın 13 3 , Özgür’ün 10 2 , Halil’in ise 10 7 dir. 4 5 20 Murat, Özgür ve Halil’in boyadıkları araba sayısını azdan çoğa doğru sıralayınız.

CÖZÜM 13

3, 2 7 10 , 10 4 5 20 (5)

13

(4)

(1)

15 , 8 7 10 , 10 20 20 20

Halil’in < Özgür’ün < Murat’ın Yaptığı Yaptığı Yaptığı İş İş İş


1. Ünite

11) - 2

3 sayısının toplama işlemine göre tersinden, çarpma işlemine göre tersini çıkartınız. 5

3 13 -2 = 5 5 -

13 13 ’in toplamaya göre tersi ’tür. 5 5

-

13 5 ’in çarpmaya göre tersi - ’tür. 5 13

13 5 13 5 169 + 25 194 + = = - c- m = 5 13 5 13 65 65 (13)

(5)

+

12)

3 2

+ -

3 2

+ 4 = 5 2

=

1 3

0

+

3 2

=

11 6

=

B

+

–

11 4

=

A

74

-

1 4

5 6 = 7 6

– -

4 3

5 2 2

Yukarıdaki kutucukların içine verilen işlemi sağlayan doğru rasyonel sayılar yazıldığında A+B nin kaç olduğunu bulunuz. 5 2 25 -1 ve B 2 = c m = 4 2 4 1 25 24 A + B2 = - + = =6 4 4 4 A=

ise


1. Ünite

4 3 ve M = olmak üzere, E sayısının üç tanesinin yan yana çarpımını M sayısının iki 3 2 tanesinin yan yana çarpımına bölüp çıkan sonucu bulunuz.

13) E =

4 3 64 E . E . E = E3 = c m = 3 27 3 2 9 M . M = M2 = c m = 2 4 64 E = 27 2 9 M 4 3

=

64 4 256 . = 27 9 243

14) Emine, Murat’a aşağıdaki dört soruyu soruyar. Murat’ta bulduğu cevapları karışık olarak karşısına yazıyor. Murat’ın kaç sorunun cevabını doğru olarak yazdığı bulunuz. 1 3 1 2 C 1) c - m : c1 m 2 4 3

A) 1

4 1 D 2) 3 . c 2 + 5 m

B)

3) Toplama işleminin etkisiz elemanı kaçtır? 1

B 4) 1 + 2-

3+

C) -

D)

1

19 12 9 64

22 3

1 2

Murat 1, 2 ve 4. soru cevaplarını doğru bulmuştur. 3. soru cevabını “1” bulmasına rağmen toplama işleminin etkisiz elemanı “0” olacağından 3. soruya yanlış cevap vermiştir.


75

1. Ünite

ÜNİTE TESTİ 1.

(- 1) . (+ 1) işleminin sonucu aşağıdakiler(- 1) den hangisidir? A) –1

B) 0

C) 1

D) –2

l 8l . (- 1) 2 4. - işleminin sonucu aşağıda2 -2 kilerden hangisidir? A) –2

B) 2

C) 8

D) –4

2. Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi 7,1 ondalık sayısına eşittir? 71 71 71 A) B) C) 100 50 25

71 D) 10

5. - 5 # a < 12 ve a, bir tam sayı olduğuna

göre 2a – a3 + 1000 işleminin en büyük sonuca ulaşması için a’nın alması gereken değer kaçtır? A) 12

B) 11

C) –6

D) –5

76

3. 6(+ 18) + (- 105) - (- 10)@ . 1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 77

B) –133

C) –77

D) 133

6. Rakamları farklı en küçük üç basamaklı tam sayı ile rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayının toplamı kaçtır? A) 0

B) –1

C) 1089

D) 1974


1. Ünite o

C = 04 E = –1101 verilenlere göre A, B, C ve E tam sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

10. Funda Hanım oğulları Atalay ile Çağatay’a

A) A > B > C > E C) B = A = E > C

7. A = l–1l B = 5

B) B = A > C > E D) E > A = B > C

haftalık 40’ar lira veriyor Atalay her gün 4’er lira harcıyor. Çağatay ise hafta içi 5’er lira hafta sonu ise 3’er lira harcıyor. Çağatay ile Atalay’ın bir hafta sonundaki mali durumları hakkında aşağıdaki bilgilerden hangisi doğrudur? A) Atalay’ın ¨9, Çağatay’ın ¨11’si kalır. B) Çağatay’ın Atalay’dan ¨3 fazla parası kalır. C) Çağatay, Atalay’a ¨2 verirse kalan paraları eşit olur.

8.

3

4 a

b c

5

D) Funda Hanım, Çağatay’a hafta başında ¨43 vermiş olsaydı hafta sonunda Atalay ile eşit miktarda paraları kalacaktı.

Yukarıdaki sayı doğrusunda verilen bilgilere göre a, b ve c tam sayı üçlüsü aşağıdakilerden hangisi olabilir? a b c A) 5 5 6 B) 4 6 4 C) 4 4 6 D) 5 6 5

11. a > b > 0 > c olmak üzere aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir? A) a – b C) c2

9. K =

7 7 7 , L = , M= 5 11 8

rasyonel sayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde doğru şekilde verilmiştir? A) M > K > L

B) K > M > L

C) K > L > M

D) M > L > K


B) 2c – a b-a D) c

77

1. Ünite

12. c1 + m . c1 + m . c1 + m g c1 + 1 3

1 4

1 5

1 m 27

15.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 4 4 28 3 A) B) C) D) 27 28 27 3

1 2 + 3 4 13. 5 3 . 12 işleminin sonucu kaçtır? 17 170 7 A) B) C) - 15 123 15

5 rasyonel sayısının ondalık gösterimi aşa3 ğıdakilerden hangisidir? A) 1, 7

B) 2, 1

C) 1, 16

3 2 1 3 m + c- m 2 16. 10 1 2 c1 - m 2 işleminin sonucu kaçtır? 27 13 7 A) B) C) - 800 800 50

D) 1, 6

c

1-

D)

15 12

D)

28 50

78

14. K =

11 9 1 , L =- , M =- 3 4 4 4

rasyonel sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde doğru şekilde verilmiştir? A) K < M < L

B) M < L K

C) M < K < L

D) K < L < M

1- C

2- D

3- C

4- B

5- D

6- A

7- B

8- C

9- B

10- D 11- B 12- C 13- A 14- C 15- D 16- C 7. Sınıf Matematik

1. Ünite

79


1. Ünite

80


2.

ÜNİTE

KO N ULA R * Eşitlik ve Denklem * Doğrusal Denklemler

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

EŞİTLİK VE DENKLEM Aklımdan bir sayı tuttum. Tuttuğum sayının, 3 1 katının 15 fazlasının ’ü 24 ise, tuttuğum sayı 4 - - - - dir.

Bilinmeyen: Eşitlik içeren, cebirsel ifadedeki değişkene denir. Denklem: Eşitlik içeren, bilinmeyenin bulunduğu cebirsel ifadelere denir. Denklemler içindeki bilinmeyenlerin sayısına ve bilinmeyenlerin en büyük üssüne göre isimlendirilirler. Örneklerle inceleyelim. 3x + 1 = 7

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem.

5x + y = 1

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem.

2x 2 =5 3 2

5x + 3y – z = 13

İkinci dereceden üç bilinmeyenli denklem.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİ KURMA Aşağıda verilen problemlerin denklemlerini kuralım. m1

82

e obl Pr

1. Bir sayının

2. 5 fazlası

3. 7 ise

bu sayı kaçtır?

Bilinmeyen = x dersek sıra ile matematiksel ifadesini yazalım. → x + 5 = 7 m2

e obl Pr

1. Bir sayının x

m3

e obl Pr

2. 3 katı .

1. Bir sayının a

3

3. 15 ise =

2. 1 eksiği –

1

15 3. 9 ise

=

bu sayı kaçtır?

bu sayı kaçtır?

9


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

m4

e obl Pr

1. Bir sayının b

m5

e obl Pr

2. yarısı :

2

3. 4 ise =

bu sayı kaçtır?

4

Bir sayının 2 katının 5 fazlası 11 ise bu sayı kaçtır? x . 2 + 5 = 11 veya 2x + 5 = 11

m6

e obl Pr

Bir sayının 5 fazlasının 2 katı 11 ise bu sayı kaçtır? ( x + 5) . 2 = 11 veya 2 (x + 5) = 11

7

Bir sayının yarısının 6 fazlası 41 ise bu sayı kaçtır? a + 6 = 41 2

m8

Bir sayının 6 fazlasının yarısı 41 ise bu sayı kaçtır? a+6 = 41 2

em obl r P

e obl Pr

m9

e obl Pr

Hangi sayının 3 katının, 2 fazlasının 3x + 2 = 20 4

1 ’ü 20 eder? 4

0 m 1 Feyza pazara gidiyor ve 2 kg portakala ¨12 ödüyor. 1 kg portakalın fiyatı nedir? e l ob Pr 1 kg portakalın fiyatına x dersek; 2x = 12

em obl r P

11

Süleyman’ın yaşına x dersek. Cumali’nin yaşı (x + 5) tir. x + (x + 5) = 21 yani 2x + 5 = 21


Süleyman ve Cumali iki kardeşler. Cumali, Süleyman’dan 5 yıl önce doğmuştur. Bugün yaşları toplamı 21 ise, Süleyman’ın şimdiki yaşı kaçtır?

83

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen problemlerin denklemlerini kurunuz. a

Hangi sayının 10 katı 90’dır?

b

10 x = 90 c

x + 10 = 90

Hangi sayının 10 eksiği 90’dır? x – 10 = 90

d

Hangi sayının 10 fazlasının 1 eksiği, aynı sayının toplamaya göre tersine eşittir?

ç

e

x + 10 –1 = – x f

Hangi sayının 7 katının yarısı (–11)’dir?

x

84

g

2. sayı

h

1 Hangi sayının 8 eksiğinin ’ünün 3 4 katı 33 eder?

+ (x + 1) + (x + 2) = 99

Selenay okuluna yürüyerek gidip geliyor ve hep aynı yolu kullanıyor. Okula gidip gelirken bir haftada toplam 6 km yol yürümüştür. Selenay’ın evi ile okula arasındaki mesafe kaç metre’dir? 6 km = 6000 m Aradaki mesafeye “a” dersek; 1 günde : 2a (Gidilen yol) 5 günde : 5 . (2a) = 10a 10a = 6000

İki sayının toplamı 11, farkı 1 ise, bu sayıları bulunuz. Küçük sayý x

3. sayı

Büyük sayý 11 - x

Farkı: (11 – x) – x = 1 11 – 2x = 1

3x + 3 = 99

ı

Hangi sayının 3 katı ile 11 katının toplamı (–24)’e eşittir?

x-8 . 3 = 33 4

Ardışık üç sayının toplamı 99 ise bu sayılardan en küçüğü kaçtır? 1. sayı

1 Hangi sayının ’i 90’dır? 10 x = 90 10

3x + 11x = –24

7x =- 11 2

ğ

Hangi sayının 10 fazlası 90’dır?

i

Nur’un kumbarasında 1 liralıklar ve 50 kuruşluklar var. 1 liralıklar 50 kuruşluklardan 7 tane fazladır. Nur’un kumbarasında toplam ¨34 olduğuna göre, kaç tane 50 kuruşluk ve kaç tane 1 liralık vardır? 50 kuruşluk → “a” tane ise 1 lira = 100 kuruş 1 liralık → a+7 tane 34¨ = 3400 kuruş Toplam : 50a + 100 (a+7) = 3400


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

j

2

Çevresi 440 m olan kare şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğu bulunuz. b Çevre = 4b Bir kenar uzunluğuna “b” dersek b b 4b = 440 b

DENKLEMLERDE EŞİTLİĞİ KORUMA

2 kg

1 kg 1 kg

Yanda; terazinin sağ bölmesi ile sol bölmesi dengededir. Yani sağdaki malzeme ile soldaki malzemenin kütlesi eşittir.

ÖRNEK Yandaki terazinin dengede olabilmesi için, şekildeki verileri kullanarak ne yapabiliriz?

1 kg 1 kg

→ 0,5 kg,

→ 2 kg,

→ 1,5 kg

CÖZÜM Terazinin sağ kefesine yandaki seçeneklerden herhangi biri konabilir.

1) 2) 3) 4)

+

85

+ +

ÖRNEK Talha ile Hayrünnisa’nın babaları haftalıklarından tasarruf yapmaları ve biriktirmeleri için onlara kumbara alarak içine eşit miktarda para atıyor. Kumbaralarındaki paraların eşitliğinin bozulmaması için Talha ile Hayrünnisa aşağıdaki durumlarda ne yapmalılar? a) Talha kumbarasına ¨5 eklerse; Hayrünnisa da,

¨5 eklemeli

b) Hayrünnisa kumbarasından ¨1.50 çıkarırsa,

Talha da ¨1.50 çıkarmalı

c) Talha kumbarasındaki paranın yarısını harcarsa,

Hayrünnisa da yarısını harcamalı

ç) Hayrünnisa kumbarasındaki paranın 3 katını eklerse

Talha da parasının 3 katını eklemeli


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

ÖRNEK Aşağıdaki eşitliklerin bozulmaması için

yerine gelecek sayıları bulalım.

7+2= 6 +3

8–5=3– 0

10 =2+ 3 2

4 . 3 = 2 – (–10)

– –2 + [3 . (–2)] = –4

81 = 9

2

ÖRNEK Aşağıdaki eşitliklerin bozulmaması için 10 + 2 = 10 + 2

yerine gelecek sayıları bulalım.

10 – 5 = 10 –5

10 10 = 5 5

10 . 3 = 10 . 3

Denklemlerde eşitlik şu durumlarda bozulmaz; 1) Eşitliğin her iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması. 2) Eşitliğin her iki tarafının aynı sayı ile çarpılması veya bölünmesi.

86

ÖRNEK (7 + 2) . = (6 + 3) . 7 eşitliğinde yerine hangi sayıyı yazarsak eşitlik bozulmaz.

CÖZÜM (7 + 2) . 9. 9.

= (6 + 3) . 7 = 9, 7 = 63

7 yazılırsa 63 = 63 olur. Yani; (7 + 2) .

= (6 + 3) . 7’dir. 7


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen eşitliklerin bozulmaması için harflerin yerine gelmesi gereken sayıları karşılarındaki sayılardan bularak yazınız. 5 –3 = a + 10

3 . 7 = (–21) . b c = (–8) + 4 3

5

–12 0

5000 . 7 = ç . 5000

7,5

95 7

45 45 = d 5

–7

6

2

27 – 2 = e – (–45) 2

–8

2

(–1) + (–1 ) = 512 . f

–1

-

3 4 –22

713

g 2 +5=2.4 100 – 95 = 100 – h

1255 + ı = 1255 + 713


a = –8 b = –1 c = –12

ç = 7 d = 5 e = –22

f = 0 g=6 h = 95

ı = 713

87

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİ ÇÖZME Denklemi Çözme: Denklemlerde bilinmeyeni bulmaya denir. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler : a ≠ 0 olmak üzere ax+b = c şeklindeki denklemlere denir. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözmek için aşağıdaki kuralları kullanırız.

1. Toplama - Çıkarma Kuralı Denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz. Örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK x – 5 = 10 denklemini, toplama-çıkarma kuralını kullanarak çözelim.

ÖRNEK x + 2 = 24 denklemini, toplama - çıkarma kuralını kullanarak çözelim.

88

ÖRNEK 17 = a + 13 denklemini toplama - çıkarma kuralını kullanarak çözelim.

2. Çarpma - Bölme Kuralı

CÖZÜM x – 5 = 10 (Her iki tarafa 5 ekleyelim.) x – 5 + 5 = 10 + 5 O x – 0 = 15 x = 15

CÖZÜM x + 2 = 24 (Her iki taraftan 2 çıkaralım.) x + 2 – 2 = 24 – 2 O x + 0 = 22 x = 22

CÖZÜM 17 = a + 13 17 – 13 = a + 13 – 13 O 4=a+0 4=a

(Her iki taraftan 13 çıkaralım.)

Denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayıya bölmekle veya çarpmakla eşitlik bozulmaz. Örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK x = 3 denklemini, çarpma-bölme kuralı2 nı kullanarak çözelim.

CÖZÜM x =3 2

(Her iki tarafı 2 ile çarpalım.)

x 1 . 2=3.2 21 x=6 7. Sınıf Matematik

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

CÖZÜM

ÖRNEK 6x = 18 denklemini çarpma-bölme kuralını kullanarak çözelim.

6x = 18 16 x 18 = 16 6 x=3

CÖZÜM

ÖRNEK 3x = 6 denklemini çarpma-bölme kura5 lını kullanarak çözelim.

3x =6 5 3x 1 . 5=6.5 51 3x = 30 1 3x

=

31 x = 10

ÖRNEK 8x –1 = (–13) denklemini çözelim.

(Her iki tarafı 6’ya bölelim.)

(Her iki tarafı önce 5 ile çarpıp sonra 3’e bölelim.)

30 3

CÖZÜM 8x – 1 = (–13) 8x - 1 + 1 =- 13 + 1 81x 123 =81 82 3 x =- 'dir. 2

(Toplama-Çıkarma kuralına göre; Her iki tarafına 1 ekleyelim.)

(Çarpma-Bölme kuralına göre; Her iki tarafı 8’e bölelim.)

PRATİK YÖNTEM

89

En çok kullanılan yöntemdir. Denklemde bilinmeyenlerin bulunduğu terimler eşitliğin bir tarafına, kalan terimler ise eşitliğin diğer tarafına alınarak yazılır. Eşitliğin bir tarafında bulunan terim, eşitliğin diğer tarafına ters işlem olarak geçer. Ters işlem; ✓ Toplamanın tersi çıkarma ✓ Çıkarmanın tersi toplama ✓ Çarpmanın tersi bölme ✓ Bölmenin tersi çarpma’dır.


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

Örneklerle nasıl yapıldığını görelim.

ÖRNEK x + 5 = 10 denklemini çözelim.

ÖRNEK 2x + 3 = 17 denklemini çözelim.

CÖZÜM x + 5 = 10

Toplama işlemi, eşitliğin diğer tarafına x = 10 – 5 çıkarma işlemi olarak geçer. x = 5’tir.

CÖZÜM 2x + 3 = 17 sıra ile ters işlem yapılır x yalnız bırakılır. 2x + 3 ‘de en son toplama işlemi yapılmış. O zaman ilk olarak toplama işlemi karşı tarafa çıkarma işlemi olarak geçer. çıkarma 2x + 3 = 17 2x = 17 –3 2x = 14 Burada x ile 2 çarpılmış, karşı tarafa 2 bölme olarak geçer x yalnız kalır. 2x = 14 bölme 14 x= 2 x = 7’dir.

90

ÖRNEK x –10 = –4 denklemini çözelim. 5

CÖZÜM toplama x –10 = –4. 5 x = –4 + 10 5 x =6 5 çarpma x=6.5 x = 30’dur.


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

ÖRNEK a – 21 = 45 denklemini çözelim.

CÖZÜM a – 21 = 45

Çıkarma işlemi, eşitliğin diğer tarfına a = 45 + 21 toplama işlemi olarak geçer. a = 66’dır.

Eşitlikte, yer değiştiren terimin işareti tersine çevrilir.

ÖRNEK 2x + 5 = 17 denklemini çözelim. 3

CÖZÜM 2x + 5 = 17 3 çarpma 2x+5 = 17 . 3 2x + 5 = 51 çıkarma 2x = 51 – 5 2x = 46 bölme 46 2 x = 23’tür. x=

ÖRNEK 8x – 4 = 2x + 8 denklemini çözelim.

CÖZÜM Denklemde, bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına bilinenler diğer tarafına alınır. +4 8x – 4 = 2x + 8 –2x 8x – 2x = 8 + 4 Benzer terimlerle işlem yapılır. 6x = 12 bölme 12 x= 6 x = 2’dir.


91

2. Ünite

ÖRNEK 6 (x – 3) = 54 denklemini çözelim.

Eşitlik ve Denklem

CÖZÜM Çarpım durumundaki 6, parantez içindeki terimlerle tek tek çarpılır. 6 (x – 3) = 54 6x – 18 = 54

(Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği) Toplama

6x = 54 + 18 6x = 72 Bölme 72 x= 6 x = 12’dir.

ÖRNEK x+

92

1 = 2x denklemini çözelim. 3

CÖZÜM Bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler diğer tarafına alınarak çözülür. –2x 1 x + = 2x 1 3 3 1 x – 2x = – 3 1 (–x)’in katsayısı (–1) dir. –x = – 3 1 x = c - m : ^- 1h = (Çarpım durumundaki (–1) 3 karşı tarafa bölme olarak geçer.) 1 x = + ’tür. 3


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

ÖRNEK 2x .

1 3 denklemini çözelim. = 5 4

CÖZÜM ol 1. y

Önce çarpma işlemini yapıp sonra içler dışlar çarpımı yapabiliriz.

ol 2. y

2x 1 3 . = 1 5 4 2x 3 = 5 4

2x =

ÖRNEK

CÖZÜM 1 2 2x c - m . ^x + 2h = . 3 7 1 x 2 4x - - = 3 3 7

-

x 4x 2 - = 3 7 3

(7)

(3)

1

1

–19x = 14

çarpmaları yaparız.

(Bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler diğer tarafına getirilir.) (Payda eşitlenir.)

(7)

- 7x - 12x 14 = 21 21 19x 14 = 21 21

(Paydalardan birini diğer tarafa aldığımızda sadeleşeceği için almadan da sadeleştirebiliriz.

bölme 14 14 x= = - 'dur. 19 - 19


3 1 : 4 5

3.5 4 1 15 2x = 4 bölme 15 x= :2 4 15 1 x= . 4 2 15 x = 'dir. 8

2x . 4 = 3 . 5 8x = 15 bölme 15 x = 'dir. 8

1 . 2 ^x + 2h = . 2x denklemini çözelim. 3 7

bölme

2x =

2x 3 = 5 4

–

1 3 = 5 4

2x .

93

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

ÖRNEK –2(a–1) + 2(a+1) = 3a – 1 denklemini çözelim.

CÖZÜM Çarpmanın çıkarma işlemi ve toplama işlemi üzerine dağılma özelliklerini kullanalım. –2(a–1) + 2(a + 1) = 3a –1 –2a + 2 + 2a + 2 = 3a –1 +4 = 3a – 1 4 + 1 = 3a 5 = 3a 5 = a olur. 3

ÖRNEK -c y - 1

3 m = 11 denklemini çözelim. 14

CÖZÜM Parantezin önündeki –, işareti (–1) demektir. (–1)’i parantezin içindekilerle dağılma özelliğini kullanarak çarparız.

^- 1hc y - 1

3 m = 11 14

^- 1hc y 94

17 m = 11 14 17 - y + = 11 14 17 - y = 11 14 137 -y = 14 137 : ^- 1h y= 14 137 y=14 11 y = - 9 'tür. 14


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözünüz. a

x+1=2

b

2x + 5 = 13

d

e

x : 3 + 6 = 12

8 2 x=4

3(x–7) = 24 3(x–7) = 24

x : 3 = 12 – 6 x:3=6

x – 7 = 24 : 3 x–7=8

12x –3 = –27

x=6.3 x = 18 g

12x –3 = –27

24 12 x = –2

6(3x–17) = 0 18x–102 = 0 18x = 102 102 17 183 17 x= 3 x=


ğ

5+10 = 2x+3x 15 = 5x 15 =x 5 3=x

3 -5 3 x=5

x=

ı

9(5–2x) + x = –15

–3x + 5 = 2x –10 –3x+5 = 2x–10

2x – 7x = 3 –5x = 3

x=

6(3x–17) = 0

2x –3 = 7x

x=8+7 x = 15

2x – 3 = 7x

12x = –27 + 3 12x = –24

h

10 2 a=5 a=

x=

f

x : 3 + 6 = 12

2a = 10 2a = 10

x=2+1 x=3

2x + 5 = 13 2x = 13 – 5 2x = 8

c

x–1=2

x+1=2 x=2–1 x=1 ç

x–1=2

i

3(x–2) = 5(x+2)

9 (5–2x) + x = –15 45–18x + x = –15

3(x–2) = 5 (x+2) 3x – 6 = 5x + 10

45 – 17x = – 15

–10 –6 = 5x –3x –16 = 2x 16 – =x 2 –8 = x

45 + 15 = 17x 60 = 17x 60 =x 17

95

2. Ünite j

Eşitlik ve Denklem

15x–14–13x–12 = –11x–10

27 – (13–x) = 3x

k

15x–13x + 11x = 14 + 12 –10 13x = 16 16 x= 13

m

4x + 3 =3 x-1

1 11 = y 15

n

4x + 3 = 3x –3

y=

4x – 3x = –3 –3 x = –6

b 1+ 2

=2

2x + 1 x = 3 2

o

2x + 1 x = 3 2

1 11 = y 15 11y = 15

4x+3 = 3 . (x–1)

4

2a 1 = a. a 4 2 1 = a 4 a=8

27 – (13 – x) = 3x 27 – 13 + x = 3x 14 = 3x–x 14 = 2x 14 =x 2 7=x

4x + 3 =3 x-1

ö

a+a 1 = a.a 4

l

ol 1. y

96

4

4x + 2 = 3x

15 11

4x – 3x = –2 x = –2

ol 2. y

=2

b 1+ 2 2 olursa 4 = 2 olur. 2 4 = 2 b 1+ 2 1 olursa 1+1 = 2 olur. 4 =2 b 1+ 2 2 olursa 2 = 1'dir. 2 4 1+

2 2

4.

=2

2 =2 2+b

8 2 = 2+b 1 4 + 2b = 8 2b = 8 – 4

4 =2 1+1

4 =2 2

b 1+ 2

4 =2 2+b 2

=2

4 =2 2

4

2b = 4 b=

2=2

2 = 2 olduğundan b = 2’dir.

b=

4 2

4 2

b=2 7. Sınıf Matematik

b=2

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERLE ÇÖZÜLEBİLEN PROBLEMLER Problemi çözmek için önce probleme uygun denklem kurulur. Genelde sorulara x, y, z, a, ... gibi harfler verilir. Sonra denklemi çözerek problemde istenilenler bulunabilir.

Daha önceden denklemlerini kurduğumuz problemleri çözelim: em obl r P

1 Bir sayının 5 fazlası 7 ise bu sayı

kaçtır?

em obl r P

m 3 Bir sayının 1 eksiği 9 ise bu sayı

kaçtır?

m 4 Bir sayının 2 katının 5 fazlası 11

e obl Pr

a–1=9 a = 9 +1 a = 10

em obl r P

5 Bir sayının 5 fazlasının 2 katı 11

ise bu sayı kaçtır? (x+5) , 2 = 11 2x + 10 = 11 2x = 11 – 10 2x = 1 1 x= 2


kaçtır? 3x = 15 15 x= 3 x=5

x+5=7 x=7–5 x=2 e obl Pr

2 Bir sayının 3 katı 15 ise bu sayı

ise bu sayı kaçtır?

2x + 5 = 11 2x = 11 – 5 2x = 6 6 x= 2 x=3 em obl r P

6 Feyza markete gidiyor ve 2 kg

portakal alıyor. ¨12 ödüyor. 1 kg portakalın fiyatı kaç liradır?

2x = 12 12 x= 2 x = ¨6

97

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

m 7 Süleyman ve Cumali iki kardeş.

e obl Pr

Cumali, Süleyman’dan 5 yıl önce doğmuştur. Bugün yaşları toplamı 21 ise, Süleyman’ın bugünkü yaşı kaçtır? Süleyman’ın yaşı = x dersek Cumali’nin yaşı = x + 5’tir. x + x + 5 = 21 2x + 5 = 21

2x = 21 – 5 2x = 16 16 x= 2 x = 8 Süleyman 8 yaşındadır.

9 İki sayının toplamı 11 farkı ise lem b o 1’dir. Bu sayıları bulalım. Pr

1. sayı x

m 8 Ardışık üç tam sayının toplamı 99

e obl Pr

ise bu sayılardan en küçüğü kaçtır?

1. sayı x

2. sayı x+1

3. sayı x+2

x + x + 1 + x + 2 = 99 3x + 3 = 99 3x = 99 – 3 3x = 96 96 x= 3 x = 32 1. sayı 32

2. sayı 32+1 = 33

3. sayı 32 + 2 = 34

2

e obl Pr

0 Çevresi 440m m1

olan resimdeki kare şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğunu bulalım.

2. sayı 11– x

Farkı: (11 – x) – x = 1 11 – x – x = 1 98

11 – 2x = 1 11 – 1 = 2x 10 = 2x 10 =x 2 5=x

b dersek

Ç = 4b 4b = 440 440 b= 4 b = 110 m’dir.

1. sayı = 5 2. sayı = 11 – x 11 – 5 = 6 dır.


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

1 Selenay okuluna yürüyerek gidip

m1

e obl r P

geliyor ve hep aynı yolu kullanıyor. Okula gidip gelirken, bir haftada toplam 6 km yol yürümüştür. Selenay’ın evi ile okulu arasındaki mesafe kaç metre’dir?

2 Nur’un kumbarasında 1 liralıklar

m1

e obl r P

ve 50 kuruşluklar var. 1 liralıklar, 50 kuruşluklardan 7 tane fazladır. Nur’un kumbarasında toplam ¨34 olduğuna göre, kaç tane 50 kuruşluk ve kaç tane 1 liralık vardır?

6 km = 6000 m (Aradaki mesafeye “a” dersek, 1 günde gidilen yol uzunluğu = 2a olur.) 5 günde gidilen yol uzunluğu = 5 . 2a = 10a

50 kuruşluk → a tane ise, 1 liralık → a + 7 tanedir. 1 lira = 100 kuruş ¨34 = 3400 kr

10a = 6000 6000 a= 10 a = 600 m

Toplam: 50a + 100 (a+7) = 3400 50a + 100a + 700 = 3400 150a = 3400 – 700 150a = 2700 a=

2700 150

a = 18 tane → 50 kr’luk 18 + 7 = 25 tane 1 liralık var. → 27’dir. (Sayfa: 82)

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

16 üyesi bulunan Sağlıklı Yaşam Derneğine haftada 2 üye, 4 üyesi bulunan Kitap Sevenler Derneğine ise haftada 6 üye kaydedilmektedir. Bu iki derneğin üye sayıları kaç hafta sonra eşit olur? A) 2


B) 3

C) 6

D) 8

99

Hafta sayısına x dersek, Problemin denklemi; 16 + 2x = 4 + 6x 16 – 4 = 6x – 2x 12 = 4x 12 x= 4 x=3

Cevap: B

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM Çevre = 2 . 63.k + 3. (k + 2)@ Çevre = 2 . 63k + 3k + 6@ Çevre = 2. (6k + 6) Çevre = 12k + 12 Cevap: B

Şekildeki yapboz, kenar uzunlukları k santimetre ve (k+2) santimetre olan eş dikdörtgensel parçalardan oluşmuştur. Bu yapbozun çevresinin uzunluğunun kaç santimetre olduğunu veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) 18k + 18

B) 12k + 12

C) 9k + 9

D) 6k + 6

ÇIKMIŞ SORU

100

CÖZÜM

Kısa kenarı a santimetre, uzun kenarı b santimetre olan dikdörtgen şeklindeki bir perdenin uzun kenarı 8 cm kısaltılıyor.

1

B) 8b

C) b – 8

D) ab – 8b

A =a.b

a cm

A = a . (b–8)

1

b cm

Bu perdenin kısa kenarının uzunluğu aynı kaldığına göre, alanı kaç santimetrekare azalmıştır? A) 8a

a cm

2 (b–8) cm

2

= ab – 8a

A –A =? 1

2

ab – (ab – 8a) = 8a

Cevap: A


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen problemleri denklem kurarak çözünüz. a Hangi sayının 7 katı ile 3 katının toplamı 130 eder?

7x + 3x = 130 10x = 130 130 10 x = 13 x=

b Hangi sayının 5 katının 3 eksiği aynı sayının 4 katına eşittir?

5x – 3 = 4x 5x – 4x = 3 x=3

c 18 Mart’da okulunuzun düzenlediği Çanakkale gezisine katılacak öğrencilerden kızların sa-

yısı; erkeklerin sayısının 2 katının 4 eksiğidir. Öğretmenlerin sayısı erkeklerin sayısının 15 eksiğidir. Bu geziye toplam 101 kişi katılacağına göre; kaç erkek öğrenci, kaç kız öğrenci ve kaç öğretmen katılacaktır? Erkek Öğrenciler E

Kız Öğrenciler

Öğretmenler

2E – 4

E – 15

E + 2E – 4 + E – 15 = 101 2E – 4 = 2 . 30 –4 4E – 19 = 101 = 60 – 4 4E = 101 + 19 = 56 (Kız öğrenci) 4E = 120 120 E= 4 E = 30 (Erkek öğrenci)


E – 15 = 30 – 15 = 15 (Öğretmen)

101

2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

Hangi sayının 18 fazlasının yarısı aynı sayının 5 fazlasına eşittir?

ç

a + 18 a + 5 = 2 1 a + 18 = 2a + 10 18 - 10 = 2a - a 8=a d Seyit Onbaşı Orta Okuluna yeni yazılan bir grup 5. sınıf öğrencisi 3 sınıfa eşit olarak dağıtılsay-

dı, her sınıfın 18’er öğrenci mevcudu olacaktı. Öğrenciler sınıflara rastgele dağıtıldıktan sonra okulun 5-C sınıfı öğrenci mevcudu, 5-A sınıfı öğrenci mevcudunun 6 öğrenci eksiği, 5-B sınıfının öğrenci mevcudu, 5-A sınıfının öğrenci mevcudundan 3 öğrenci eksiğidir. Bu durumda Seyit Onbaşı Ortaokulunun 5. sınıf öğrenci mevcutlarını bulunuz. 5-A sınıfı mevcudu = S dersek 5-C sınıfının mevcudu = S-6’dır. 5-B sınıfının mevcudu = S–3’tür. Toplam: 3 . 18 = 54 öğrenci vardır. 5/A + 5/B + 5/C = 54 S + (S–3) + (S–6) = 54

102

3S – 9 = 54

3S = 54 + 9

3S = 63 63 S= 3 S = 21

Öğrenci mevcutları sıra ile; 5/A = 21 5/B = 21 – 3 = 18 5/C = 21 – 6 = 15’tir.


2. Ünite

Eşitlik ve Denklem

KONU TESTİ 1. Bir sayının 3 fazlasının 2 katı kendisinin 13

5.

fazlasına eşittir. Bu sayıyı bulabilmek için aşağıdaki denklemlerden hangisi kullanılır?

1 TL

A) (x+3) . 2 = x + 13 B) 2x+3 = x+13 C) (x+2) , 3 = x+13 D) x + 3 . 2 = x+13

2. Ardışık 3 tek tam sayının toplamının 69 olduğunu gösteren denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) Şeker C) Süt

A) a + (a+1) + (a+4) = 69 B) b + (b+2) + (b+3) = 69 C) c + (c+1) + (c+3) = 69 D) d + (d+2) + (d+4) = 69

2,5 TL

3 TL

B) Çikolata D) Futbol topu

6. 4x – 5 = 2x + 11

?

3.

= 1 kg

2 TL

Bir bakkal; şeker, çikolata, süt ve basketbol topunu yukarıdaki fiyatlara satıyor. Bu bakkala ceplerinde aynı para ile gelen Rasime ve Furkan alışveriş yapıyor. Rasime tüm parasıyla 2 süt 1 şeker alıyor. Furkan ise aynı üründen 3 tane alıyor. Alışveriş sonunda Rasime ve Furkan’ın cebindeki paralar eşit ise Furkan bakkaldan hangi ürünü almıştır?

Çikolata

= 2 kg

= 3 kg

olarak veriliyor. Yukarıdaki terazinin dengede kalabilmesi için “?” yerine aşağıdakilerden hangisi konmalıdır? A) B) C) D)

Cahit Öğretmen Ömer 103 Cahit Öğretmen sınıfındaki öğrencilerine tahtadaki denklemi yazar ve x’in değerini sorar. Ömer soruya doğru cevaplandırdığına göre, aşağıdaki cevaplardan hangisini söylemiştir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

7. Esra kedisi Uğur’a aşı yaptırmak için vete

4.

1 + 8 eşitliğinin sağlanması için 2 2 yerine aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 +7 =


2- D

3- C

rinere götürüyor. Giderken ve eve dönerken farklı yol kullanıyor. Dönüşteki yol; gidişteki yolun 2 katının 750 m fazlası olduğuna ve toplamda 4950 m yol gittiklerine göre gidişteki yolun uzunluğu kaç metredir? A) 1400 C) 1500

4- B

5- B

6- C

B) 21 D) 850 7- A

2. Ünite

Doğrusal Denklemler

DOĞRUSAL DENKLEMLER KOORDİNAT SİSTEMİ –4 –3 A 0 2 B 4 Yukarıdaki d doğrusunda A noktası –1’in, B noktası +3’ün olduğu yerdedir. Yani; A (–1), B(+3)‘tür. Sayı doğrusunda bir noktanın yeri o naktanın koordinatıdır. Düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını bulalım. Dik koordinat sistemi : İki sayı doğrusunun başlangıç noktalarından dik bir şekilde kesişmesi ile oluşur. Koordinat Düzlemi :

Sayı doğrularının üzerinde bulunduğu düzleme denir. Koordinat düzlemine analitik düzlem de denir.

Apsis: Yatay eksendir. Koordinat düzleminde x eksenine denir. Ordinat:

Dikey eksendir. y eksenine denir.

Orijin: Kesiştikleri nokta; x ekseninde 0 ve y ekseninde 0’ın olduğu noktaya denir. Sayı doğruları kesiştirilirken; pozitif sayılar yukarı ve sağa yazılır, Negatif sayılar aşağı ve sola yazılır. y ekseni (ordinat) 3 2 1

104

–3 –2 –1

0 1 2 3 –1 Orijin –2 –3

x ekseni (apsis)


2. Ünite


ÖRNEK Aşağıda koordinat düzleminde verilen noktaların koordinatlarını bulalım. y (Ordinat)

a

–3 –2 –1

2 A (2, 1) 1 ijin) r (O x (Apsis) 0 1 2 3 –1 –2 A noktasının koordinatı

A (x , y) → A ( 2 , 1) dir.

Sıralı ikili: (x , y) şeklinde koordinat düzlemindeki ikililere denir.

y

b

E (–3, 1) –4 –3 –2 –1

2 1 0 1 –1 –2

2

3 M (2, – 2)

–3 Koordinatları; E(x, y) = E (–3, 1) M(x, y) = M(2, –2) dir.


x

105

2. Ünite


ÖRNEK

Hacer’in evi E

H Hacer’in arabası

1 br = 10 m’dir.

Heykel

O

80

– A(

0)

7 ,–

Songül’ün evi ve

106

M Mustafa’nın çalıştığı mobilya atölyesi

yolları x ve y ekseni olarak kabul edersek;

a) Hacer’in evinin koordinatını bulalım. b) Mustafa’nın çalıştığı mobilya atölyesinin koordinatını bulalım. c) Heykel’in koordinatını bulalım. ç) Hacer’in arabasının koordinatlarını bulalım. d) Hacer’in arkadaşı Songül’ün evinin koordinatını A(–80, –70) olduğuna göre, Songül’ün evinin yerini şekilde belirtelim.

CÖZÜM a) b) c) ç)

E (90 , 60) M(20 , –50) H(0 , 0) O(–90 , 0 ) → x ekseni üzerinde


2. Ünite


ÖRNEK Koordinatları verilen aşağıdaki sıralı ikililerin yerlerini koordinat düzleminde gösterelim. A (1, –3) B (7, 3) C (0, –2) Ç (–2, 0) y

CÖZÜM

B(7, 3)

3 2 1 –4

–3

–2

x

0 1 –1

–1

2

3

4

5

6

7

8

–2 –3 A(1, –3)

x y A (1 , –3) B (7 , 3)

y 3 2

Ç noktası x ekseni üzerindedir.

1

Ç (–2, 0) –5 x y C (0 , –2) Ç(–2 , 0)


–4

–3

–2

107

0

–1

–1 –2 –3

x 1

C(0, –2)

2

3

4

5

6

C noktası y ekseni üzerindedir.

2. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM y

5 4 3 2 1

C

A

-6 -5 -4 -3 -2 -1

A

0

T

B K 1 2 3

-1 -2

Aşağıdakilerden hangisi, bu paralelkenarın dördüncü köşesinin koordinatı olabilir? A) (–6, 0)

B) (2, 5)

C) (0, 4)

D) (3, –2)

ÇIKMIŞ SORU 108

x

D

-3 -4 -5

Koordinat düzleminde çizilecek bir paralelkenarın köşe noktalarından üçü şekilde işaretlenmiştir.

4 5 6

Noktaları koyduğumuzda; ancak A seçeğindeki noktayla diğer noktaları birleştirdiğimizde paralelkenar elde ederiz. Cevap: A

CÖZÜM

Aşağıdaki adımlar izlendiğinde koordinat düzleminde hangi harf oluşur? 1. adım: Uç noktaları A(3,1) ve B(3,–1) olan doğru parçasını çiziniz. 2. adım: C(4,3) noktasını A noktası ile birleştiriniz.

D

C A B

3. adım: D(2,3) noktasını A noktası ile birleştiriniz. A)

B)

C)

D) Cevap: C 7. Sınıf Matematik

2. Ünite


PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda koordinat düzleminde verilen noktaların sıralı ikililerini bulunuz. y

a

4 3 2 1

H (3, 2)

2) –3,

0

–5

y

ç

2

3

1 –3

–2

0

–1

x

5

–4

y

L(

3

, 0)

–3

A(

x

0 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

c

y

b

1

2

–1 –2

3

x –4

–1

0

5

x

–2 –3 İ (8, –5)

y

d

–3 –2 –1

3 2 1

0 –1 1 2 3 –2 –3 L (0, –5)


109

x

2. Ünite


2) Aşağıda verilen sıralı ikilileri koordinat düzleminde gösteriniz. a

y

M (0, 0)

b U (1, 1)

y U(1, 1)

1 –2

M(0, 0) O

0

–1

x

x 1

y

c R(–11, –11)

–11

x

O

110 –11

R(–11, –11)

ç

A (2, 0)

–3

–2

d

–1

T (–3, –1)

y

y

2

2

1

1

0 –1

A(2, 0) 1

2

x

–3

–2

T (–3, –1)

–1

0 1 –1

x 2

–2 7. Sınıf Matematik

2. Ünite


Koordinat düzleminde bölgeler bulunur. y 2. Bölge (– , +)

1. Bölgedeki noktaların apsisleri ve ordinatları pozitiftir.

1. Bölge (+ , +)

2. Bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitiftir.

x 3. Bölge (– , –)

4. Bölge (+ , –)

3. Bölgedeki noktaların apsisleri ve ordinatları negatiftir. 4. Bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.

ÖRNEK A(–51 , 17) noktası koordinat düzleminde hangi bölgededir?

CÖZÜM A noktasının; apsisi negatif, ordinatı pozitif olduğundan koordinat düzleminde 2. Bölgededir.

PEKİSTİRELİM 111

Aşağıdaki noktaların koordinat düzleminde hangi bölgede olduklarını yazınız. C(8 , 3)

1. Bölge

U (–8 , –3)

3. Bölge

M(8 , –3)

4. Bölge

A(–8 , 3)

2. Bölge

L(–8 , 0)

x ekseni üzerinde

P(0 , +3)

y ekseni üzerinde

K(0 , 0)

Orijinde


2. Ünite


DOĞRUSAL DENKLEMLER VE GRAFİKLERİ Aşağıdaki grafikler arasındaki farkı inceleyelim.

Doğrusal grafik

Doğrusal olmayan grafik

Doğrusal Denklemler ve Grafiklerini örnekle inceleyelim.

ÖRNEK Ömer, arabası ile seyahate çıkıyor. Ömer’in arabası 1 km’de 40 kr’luk benzin yakıyor. Ömer’in gittiği yolla harcadığı para arasındaki ilişkiyi tablo ile gösterip grafiğini çizelim.

CÖZÜM Tablo: Ömer’in arabasının km’de yaktığı benzin miktarı (kr)

112

Gidilen yol (km)

Harcanan benzin fiyatı (kr)

Aralarındaki ilişki

Gidilen Harcanan yol benzin fiyatı

1 2 3 4

40 80 120 160

1.40 2.40 3.40 4.40

(1 , 40) (2 , 80) (3 , 120) (4 , 160)

x

40x

x.40

(x , 40x)


2. Ünite


Grafik: Ömer’in arabasının km’de yaktığı benzinin tutarı y Yakılan benzin miktarı (kr) D

200

Ç

160

A(1, 40)

C

120

1

2

C(3, 120)

D(5, 200)

Sıralı ikililer (x, 40x)’tir.

A

40

B(2, 80)

Ç(4, 160)

B

80

Grafiğe baktığımızda gidilen yol arttıkça harcanan para miktarı artmaktadır.

3

4

5

x Gidilen yol (km)

ÇIKMIŞ SORU x 3 4 5 6

y 10 12 14 16

Aşağıdaki doğrusal denklemlerden hangisi, yandaki tabloda verilen x ve y değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar? A) y = 2x + 4

B) y = 3x + 1

C) y = x + 7

D) y = 3x – 2

CÖZÜM A) x yerine 3 verdiğimizde x = 3 için y=2.3+4 y=6+4 y = 10 x = 5 için y=2.5+4 y = 10 + 4 y = 14 y = 14

B) x = 4 için y=3.4+1 y = 12 + 1 y = 13 y ≠ 12

C) x = 4 için y=4+7 y = 11 y ≠ 12

D) x = 6 için y=3.6–2 y = 18 – 2 y = 16 y = 16

113

x = 3 için y=3.3–2 y=9–2 y=7 y ≠ 16

x için verilen değerlerin hepsi için y değerini doğruldağından doğru cevap A’dır. Cevap: A


2. Ünite


DOĞRUSAL DENKLEMLERİN GRAFİĞİNİ ÇİZME Doğrusal Denklemler: ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere denir. Katsayı ax + by + c = 0 Değişken

Sabit sayı

a = 0 iken b ≠ 0’dır. b = 0 iken a ≠ 0’dır.

Grafik çizimlerini örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK y = x denkleminin grafiğini çizelim.

CÖZÜM 1) Önce sıralı ikili tablosunu oluşturalım. x –1 , 0 , 1 y –1 , 0 , 1 A

B C

114

x’e farklı değerler vererek y değerini buluruz. x = –1 için; y = x denkleminde x yerine –1 koyar, y değerini buluruz. y = –1’dir.

x = 0 için; y = 0’dır.

x = 1 için; y = 1 dir.

2) Bulduğumuz her (x,y) sıralı ikilisini belirleyelim A(–1, –1)

B(0, 0)

C(1, 1)


2. Ünite


3) Bu noktaları koordinat düzleminde gösterelim. y 3 2 1

C

B –3

–2

0

–1

x 1

2

3

–1

A

–2

4) Belirlediğimiz noktaları bir doğru ile birleştirelim. y 115

3 y=x 2 1

C

B –3

–2

–1 A

0 –1 –2


x 1

2

3

Sıralı ikililerin oluşturduğu noktalar aynı doğru üzerinde oldukları için doğrudaştırlar. Çizilen doğru y = x denkleminin doğsudur.

2. Ünite


Değişkenlerden birine “0” verdiğimizde diğeri de “0” çıkıyorsa, bu denklemin doğrusu orijinden geçiyordur.

ÖRNEK 3x + 2 = y denkleminin grafiğini çizelim. y

CÖZÜM Değer verelim. x = 0 için; 3.0+2=y 0+2=y 2 =y’dir. x 0 , -2 3 y 2 , 0 A

B

A 2

y = 0 için; 3x + 2 = 0 3x = –2 -2 x= 3 A(0 , 2)

1

2 B( - , 0) 3

–2

–1 B 3x + 2 = y

0

1

2

–1 –2

116 Değişkenlere verilen değerlerde x’e “0” değerini verdiğimizde y ekseninde kestiği noktayı, y’ye “0” değerini verdiğimizde x ekseninde kestiği noktayı buluruz.


x

2. Ünite


ÖRNEK x– 3 = 0 denkleminin grafiğini çizelim.

CÖZÜM x–3=0 Denklemde y olmadığı için, y’nin tüm değerleri için x = 3’tür. x – 3 = 0 denklemix = 3 tür. nin doğrusu x = 3 noktasından geçer ve y eksenine paraleldir. y 2 1 –3

–2

–1

–1

1

2

3

x

4

–2 –3 x = 3 doğrusu

ÖRNEK 5y = 1 denkleminin grafiğini çizelim.

y 2

CÖZÜM

117 1

5y = 1 1 5 Denklemde x, olmadığı için x’in tüm 1 değerleri için y = noktasından 5 geçer. Doğru x eksenine paraleldir. y=

–2

–1

O

1 5 –1 –2


y= 1

2

1 doğrusu 5 x

2. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

Koordinat sisteminde denklemleri x = 3 ve –x + y = 1 olan doğrular ile x ve y eksenlerinin sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A)

15 11 5 B) C) 2 2 2

D)

3 2

x = 3 doğrusunun grafiği çizilir. –x + y = 1 y=1+x x = –1 için; x = 0 için; x = 1 için; x = 3 için; y = 1 + (–1) y = 1 + 0 y = 1 + 1 y = 1 + 3 y=1–1 y=1 y=2 y=4 y=0 x –1 ,

0 , 1 , 3

y 0 ,

1 , 2

A

B

, 4

C

D

Noktalarından geçen doğru grafiği çizilir. –x + y = 1

y 4

A

B

4 br 1 br

x

3 br 118

x=3 (4 + 1) . 3 2 5 = . 3 2

Yamuk Alaný =

=

15 br2 2 Cevap: A


2. Ünite


PEKİSTİRELİM Aşağıdaki denklemlerin grafiklerini çiziniz. a

y = –3x x = 0 için; y = –3,0 y=0

x = –1 için; y = (–3) . (–1) y =3

x 0 ,

–1 , 1

y 0 ,

3 , –3

A

B

x = 1 için; y = (–3) . 1 y = –3

y B

3 2

A(0 , 0) B(–1 , 3) C(1 , –3)

C

1 A –3

–2

0

–1

1

2

x

3

–1 –2 –3

C y = –3x

y = x–2

b

y x = 0 için; y = 0–2 y = –2 x 0 ,

2

y –2 ,

0

T

R

y = 0 için; 0 = x–2 2=x

3

T(0 , –2) R(2 , 0)

119

1 R –2

–1

0 –1 –2 T


y = x–2

2

1

2

x

2. Ünite c


2x – 2y + 1 = 0

x = 0 için, 2 , 0 – 2y + 1 = 0 –2y + 1 = 0 –2y = –1 -1 y= -2 1 y= 2

y = 0 için, 2x – 2, 0 + 1 = 0 2x + 1 = 0 2x = –1 1 x=– 2

x

,

-

y

1 2

,

0

S

1 Sc 0 , m 2 1 Uc- , 0m 2

1 2

0

U

y 3

2x –2y + 1 = 0

2 S –3

–2 –1

1

U –1

1

2

3

x

–2 –3

ç

y = –4

y 3

120

2 1 –3

–2

–1

0 1 –1

2

3

x

–2 –3 –4

y = –4


2. Ünite


d

x=4

x=4

y 4 3 2 1

–4

–3

–2

0 1 –1

–1

2

3

4

x

5

–2 –3

e

3y + 1 = 0 3y = –1 y=-

1 3

3y + 1 = 0

y 121

2 1

–2

–1

1 0 3 –1 –2


1

2

x

2. Ünite f


x – 2y = –1 + 5x denklemini düzenleyiniz. x – 5x + 1 = 2y – 4x + 1 = 2y - 4x + 1 =y 2

x = 0 için

y = 0 için

- 4, 0 + 1 =y 2 1 =y 2

- 4x + 1 0 = 2 1

x

0

,

1 4

y

1 2

,

0

– 4x + 1 = 0 – 4x = –1 -1 x= -4 1 x= 4

y

M

1 Mc0 , m 2 1 Üc , 0m 4

Ü

1 M Ü –2

1

–1

x – 2y = – 1 + 5x

–1

122 g

y

y–x=0

y=x x = –2 y = –2

x

2

4

y–x=0

3 x=0 y=0

x=3 y=3

x –2 ,

0 , 3

y –2 ,

0 , 3

M M(–2 , –2) A(0 , 0) T(3 , 3)

A

T

2 1 A –5

–4

–3

–2

T M

–1

0 1 –1

2

3

4

5

–2 –3 –4


x

2. Ünite


KONU TESTİ 1.

3. 3x–2 = 13 ve –y + 6 = 2y verilen denklemler-

y

de bulunan x ve y değerleri; E(x, y) dir.

3

0 –1 –2

–5

5

x

E noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) Apsisi 5, ordinatı –2 B) Apsisi 2, ordinatı –5 C) Apsisi 5, ordinatı 2

A

D) Apsisi 2, ordinatı 5

Yukarıdaki koordinat sisteminden A(x, y) sı2 ralı ikilisine göre; x + 2y işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 16

B) –8

C) –16

D) –9

4. 5x – A = y denkleminin grafiğinin orijinden geçebilmesi için A, değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? 1 1 A) - B) C) 1 D) 0 2 2 123 y

2.

0

x

5. 5x – 13 = 2y denkleminin grafiğinde x

Yukarıda çizilen grafik aşağıdaki denklemlerden hangisine aittir? A) y = 2x

B) x = 2y

C) x = –y

D) –x = –2y


eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir? 5 13 13 C) – 2 A)

13 5 13 D) 2 B)

2. Ünite


6. K(4, 0), A(–1, 0), R(–1, –6) noktalarının yer-

9. Aşağıdaki denklemlerin grafiklerinden han-

lerini koordinat düzleminde bularak, ardışık & ’nin ikişer ikişer birleştirdiğinizde oluşan KAR alanı aşağıdakilerden hangisidir? 2

B) 20 br

2

D) 30 br

gisinin grafği x eksenine pareleldir?

2

A) 15 br C) 25 br

A) x = 1

B) 3x–1 = x

C) 2y + 1 = 2y–x

D) 3y + 1 = 2

2

7. y = 5x denkleminin grafiği aşağıdaki nokta-

10. Aşağıdaki noktalardan hangisi koordinat düzleminin 4. bölgesindedir?

ların hangisinden geçmez? A) (1 , 5)

B) (0 , 0)

C) (–1 , –5)

D) (–2 , 10)

A) (1 , 2)

3 B) c 4, - m 5

C) (0 , –4)

1 1 D) c - , - m 2 2

124

8. x = –7 , y = + 1 doğrularının kesişim noktalarının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (–7 , 1)

B) (1 , 7)

C) (–7 , –1)

D) (–1 , 7) 1- B

2- C

3- C

4- D

5- B

6- A

7- D

8- A

9- D

10- B 7. Sınıf Matematik

2. Ünite

ETKİNLİKLER 1) Okul

Emine’nin evi

(x + 60) m

xm (3x – 50) m

Park Yukarıdaki şemada Emine’nin bugün yürüdüğü yol görünmektedir. Evinden çıkan Emine önce okuluna gidiyor. Öğlen arası parka gidip okuluna geri dönüyor. Okul bitince tekrar parka gidip parktan evine dönen Emine bu gün 570 metre yol yürüdüğüne göre ev ile okul arası kaç metredir?

CÖZÜM Ev → Okul → Park → Okul → Park → Ev x x x (x+60) (3x–50) 570 m 7x + 10 = 570 7x = 570 – 10 7x = 560 560 x= 7 = 80


O hâlde Emine’nin evi ile okulu arası x + 60 = 80 + 60 = 140 metredir.

125

2. Ünite

2) Aşağıdaki soruların doğru ya da yanlış olduğunu işaretleyip aşağı doğru doldurduğumuzda çıkan şifreyi bulunuz.

126

Doğru

Yanlış

T

Ç

3x = 9 ise x = 6'dýr.

A

Ü

2x + 1 = 5 ise x = 2'dir.

N

R

5x - 7 = 18 ise x = 5'tir.

K

A

4x + 1 = 3 ise x = 1'dir. 3

İ

K

5 = 4x - 7 ise x = 2'dir.

K

Y

7x + 5 = 2x ise x = - 1'dir.

E

A

8x + 11 = 5x - 5 ise x = 3'tür.

L

İ

9 - 12x = 3x + 4 ise x =

E

S

T

G

A

E

Ç

N

B

İ

U

L

22y - 4 =- 4 + y ise y = 0'dýr. 0 t = için, 3 - 3 += 0'dýr. 71 5 x = için; 2x - 3 =- x'tir. 2

L

M

y = - 2 için; 5y - 8 = - 3y + 4'tür.

E

M

z=2

Z

E

1 'tür. 3

8a : 2 = 16 ise x = 4'tür. 3x + 5 5 = 2x ise x = - 'dur. 6 9 7 + 2y 3y - 5 ise y = 17'dir. = 2 4

1 için; 2z + 7 = 4 (4z - 7) 'dir. 2 1 6a + 2 21 a = - 1 için; 'tür. = 3 2 3a - 3

Cevap: Ç A N A K K A L E

G E Ç İ

L M E Z


2. Ünite

3) D

y Sokak E

3 2 C

–3

–2

1 –1

O

2

1

F 3

x Cadde

–1 –2 A

B

K

H

G

–3 I

Giriş

Çıkış

Gazeteci Murat’ın gazete dağıtırken cadde ve sokaklarda izlediği rota kuş bakışı şekildeki gibidir. Gazeteci Murat’ın yolu üzerinde harflendirilmiş noktaların adreslerini dik koordinat sistemindeki sıralı ikilileri kullanarak belirleyiniz. A B C D E

(–3, –3) (–2,–3) (–2, 1) (–1, 3) (3, 3)


F G H I K

(3, 0) (3,–2) (1, –2) (1, –3) (–1, –3)

127

2. Ünite

4) y

M L A

X

B Y Z

T x N

C

D

K

Yukarıdaki dik koordinat sistemine çizilmiş planda mavi renkli K, L, M ve N okçuları, kırmızı olan X, Y, Z ve T noktalarının birinden geçerek yeşil olan A, B, C ve D hedeflerine ok atıyor. Okların dümdüz gittiği bir ortamda;

128

a) Dik koordinat sistemine çizilmiş bu noktaların koordinatlarını yazınız. b) Hangi okçu, hangi nokta üzerinden attığı okla hangi hedefi vurur? c) Okçu, okun geçtiği nokta ve hedeften herhangi ikisi seçildiğinde, apsisler arasındaki fark ile ordinatlar arasındaki farkın oranları yapıldığında aralarında bir bağıntı oluşur mu?

CÖZÜM a) K (–6, –6), L(–4,5), M(5,7), N(6,–2) X(–3, 2), Y(2,0), Z(–2,–2), T(3,1) A(–2,2), B(0,0), C(–1,–4), D(1,–5) b) Okçu (Mavi) K L M N

Nokta (Kırmızı) Z X T Y

Hedef (Yeşil) B C D A

c) Okçu, okun geçtiği nokta ve hedef aynı doğru üzerinde olduğu için, doğru üzerine seçilen herhangi iki noktanın apsislerinin farkının ordinatları farkına oranı eşittir.


2. Ünite

y

5)

2

C

A

1

–2

–1

0 –1

T

L

N x 1

2 B

–2

a) Yukarıda verilen altıgenin köşe noktalarının koordinatlarını bulunuz. b) C, A ve N noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? c) B, L ve T noktalarının ordinatları toplamını bulunuz. ç) O(1 , 0) , K(–1, 0) noktaları ile A ve C noktalarının ardışık ikişerli birleşmesi ile oluşan dikdörtgen alanını hesaplayınız.

CÖZÜM a) C c - 1, 1 2 m 3 2 A c1, 1 m 3 2 N c 2, m 3 c) B’nin ordinatı –1 L’nin ordinatı –2 T’nin ordinatı –1


B ^2, - 1h

2 L c- , - 2m 3

b) C’nin apsisi –1 A’nın apsisi +1 N’nin apsisi 2

T ^- 2 , - 1h

(–1) + (–2) + (–1) = –4

ç) A = 2 . 1 2 3 5 =2 . 3 10 2 = br 'dir. 3

129 (–1) + (+1) + 2 = 2

2. Ünite

ÜNİTE TESTİ 1. –x = 1 denklemine göre x’in değeri kaçtır? A) 1

B) –1

C) 0

D) 2

5. Aşağıdaki grafiklerden hangisi doğrusal

değildir? y A)

B)

y

x C)

y

x D)

y

2. Her gün yürüyüş yapan Fadime 1. gün, 2. gü

nün iki katı, 3. gün ise 2. günün 200 m fazlası kadar yol yürümüştür. Fadime 3 günde toplam 3308 m yol yürüdüğüne göre, ikinci gün kaç metre yol yürüdüğünü aşağıdaki denklemlerden hangisini çözerek buluruz? A) 3x–200 = 3308 B) 4x = 3308 + 200 C) 2(2x+100) = 3308 D) 4x+100 = 3308

x

6.

x

y 3 2 1 –3 –2 –1

130

O –1 –2

1 2 3

x

3. 17 + 2a = a + a + 1 +

Yukarıdaki eşitliğin bozulmaması için yerine aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) 16

B) 2a

C) –a

D) 18

4. Koordinat dözlemindeki P(x, 3x–1) ve P

noktasının apsisi (–2) olduğuna göre ordinatı kaçtır? A) –2

B) 3

C) –6

D) –7

Koordinat düzleminde grafiği verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x + 1 B) y = 2x – 1 C) y + 1 = x D) y = 3x

7. Koordinat düzlemindeki T(7, –1) noktasının yeri hangi seçenekte doğru verilmiştir? A) 1. Bölge

B) 2. Bölge

C) x ekseni

D) 4. Bölge 7. Sınıf Matematik

2. Ünite

8. Engin ile Didem kızları Derin’e 23 Nisan

11. x

Ulusal Egemenlik ve Çocuk Bayramı için, bir bebek ve fiyatları aynı iki tanede zekâ oyunu alıyorlar. Zekâ oyunu, bebeğin fiyatından ¨2,30 daha ucuzdur. Toplamda ¨29,60 ödemişlerdir. Engin ile Didem eğer aynı oyuncaklardan iki bebek, 3 zekâ oyunu alsalardı, ne kadar öderler? A) ¨50.10 C) ¨40

3x–1 14 a b c

5 –1 0 10

A) –38

Tabloya göre 2a + b – c işleminin sonucu kaçtır?

B) 38

C) –28

D) 28

B) ¨29,60 D) ¨60,20

12. İrem ve Berna girdikleri sınavda yaptıkları

T

E

(2x–1) br

U

S

br

A

2x

(x+2) br

2x

br

9. K

(x+9) br Z

A) 0

KASE dikdörtgeninin çevresi ile TUZ üçgeninin çevresi eşittir. Şekildeki verilere göre KASE dikdörtgeninin alanını hesaplayınız. A) 117 br2 C) 97 br2

B) 206 br2 D) 174 br2

diğini gördükleri ayakkabılardan alıyorlar. Seda’nın aldığı ayakkabının fiyatı, Azra’nın aldığı ayakkabı fiyatının 3 katının ¨18 eksiğidir. İki ayakkabıya toplam ¨70 ödediklerine göre, Azra ayakkabıya kaç lira ödemiştir? A) ¨48 C) ¨100 1- B


3- A

4- D

D) 3

131

Okulun camlarına cam boyutu ile aynı perde diktirilecektir. 13 tane sınıfın cam boyutları

Toplamda 368 m2 kumaş kullanıldığına göre küçük sınıflara kaç metrekare kumaştan perde dikilmiştir? A) 23

5- A

C) 2

aynıdır. Sadece 2 sınıfın cam boyutları di3 ğer sınıfların katı kadardır. 2

B) ¨22 D) ¨58 2- C

B) 1

13.

10. Seda ile Azra alışerişe gidiyor. İndirime gir-

her doğru cevap için 5 puan kazanmış, yanlış cevapları için ise 1 puan kaybetmişlerdir. İrem, hiç boş soru bırakmamış, Berna ise 2 soruyu boş bırakmıştır. 40 soruluk sınavda İrem’in doğru cevap sayısı yanlış cevap sayısının 10 katından 7 soru fazladır. Bu durumda Berna, en fazla kaç yanlış yaparsa İrem’in aldığı puandan fazla puan alır?

6- B

7- D

8- A

9- A

B) 42

C) 26

10- B 11- A 12- B 13- A

D) 20

2. Ünite

132


2. Ünite

133


2. Ünite

134


3.

ÜNİTE

KO NU LA R * Oran ve Orantı * Yüzdeler

3. Ünite

Oran ve Orantı

ORAN VE ORANTI

Süleymaniye Cami

136

Selimiye Cami

Mimar Sinan Koca Mimâr Sinân Âğâ, Osmanlı başmimarı (1489 Kayseri / Ağırnas – 1588 İstanbul) 99 yaşında vefat etmiştir. Yıkılmayan hâlâ her bir bölümünü hayranlıkla izlediğimiz büyük eserlerin sahibi I. Süleyman, II. Selim ve III. Murat döneminin baş mimarı o büyük eserlerinin yapımında; Oran ve Orantıyı kullanmıştır. Ünlü yapıtları Süleymaniye ve Selimiye Camii'nde de altın oran görülmektedir. Altın Oran; matematik ve sanatta bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği düşünülen geometrik ve sayısal bir orandır.


3. Ünite

Oran ve Orantı

BİRBİRİNE ORANI VERİLEN İKİ ÇOKLUKTA VERİLMEYENİ BULMA a a "a" sayısının, "b" sayısına oranı 'dir. oranı a/b ve a : b sembolleri ile de gösterilir. "a" sayısının, "b" b b a x sayısına oranı = dir. b y a 3 ise "a" sayısı 3'ün katı (3k), "b" sayısı da 5'in katı (5k), aynı sayı katı olarak alınır. = b 5

Örneklerle inceleyelim:

ÖRNEK 2 ’dir. Yiğit 7 10 yaşında olduğuna göre, Emel kaç yaşındadır? Yiğit’in yaşının Emel’in yaşına oranı

CÖZÜM Yiðit'in yaþý 2 = Emel'in yaþý 7 5 katı 10 2 = Emel'in yaþý 7 5 katı olur. 7 . 5 = 35

35 (Emel’in yaşı)

137

ÖRNEK Gülnaz’ın arabasının fiyatının Serkan’ın arabasının 4 fiyatına oranı ’tür. Serkan’ın arabası ¨30 000 oldu3 ğuna göre Gülnaz’ın arabası kaç liradır?

CÖZÜM G.A 4 = S.A 3

10 000 katı olur. G.A 4 = 30 000 3 10 000 katı G.A = 4 . 10 000 G.A = ¨40 000’dır.


3. Ünite

Oran ve Orantı

ÖRNEK

CÖZÜM

Yağmur ve Samet ertesi günkü matematik yazılısı için ders çalışıyorlar. Yağmur’un ders çalışma sü7 resinin, Samet’in ders çalışma süresine oranı ’tür. 3 Samet, 42 dakika çalıştığına göre, Yağmur kaç daki-

Y.D.S 7 = S.D.S 3 14 katı olur. YDS 7 = 42 3

ka ders çalışmıştır?

14 katı Y. D. S 7 . 14 = 98 dakikadır.

ÖRNEK

CÖZÜM

Üzüm ile leblebiyi karışık yemeyi seven Alperen kuruyemişciye gidip bir miktar üzüm ve leblebi alıyor. Aldığı üzüm mik4 tarının leblebi miktarına oranı, ’tir. 15 Alperen 330 g leblebi aldığına göre, kaç gram üzüm

Üzüm miktarý 4 = Leblebi miktarý 15 22 katı olur. Üzüm miktarý 4 = 330 gr 15 22 katı 330 : 15 = 22 4 . 22 = 88 Üzüm miktarı = 88 g’dır.

almıştır?

138

ÖRNEK Şeker Kırtasiye'de bulunan kalemlerin sayısının silgilerin sayısına oranı Şeker kırtasiye'de toplam 280 silgi vardır. Bu kırtasiye de toplam kaç kalem olduğunu bulalım.

13 ’tür. 14

CÖZÜM ol 1. y

K 13 = S 14 20 kat K 13 = 280 14 20 kat 280 : 14 = 20 katı 13 .20 = 260 kalem var

ol 2. y

K 13 = 280 14 14 K = 13 . 280 20

13. 280 K= 141 K = 260’tır. İçler dışlar çarpımı yaparakta bulabiliriz.


3. Ünite

Oran ve Orantı

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a

2 ’dur. 9 a, değeri 28 ise b değeri kaçtır? a’nın b’ye oranı

b

a 2 = b 9 14 katı 28 2 = b 9

Bir bardak karışık meyve suyunun içindeki portakal suyunun havuç suyuna 4 oranı ’tür. 3 Bir bardakta 80 mL portakal suyu olduğuna göre, kaç mililitre havuç suyu vardır? P.S 4 = H.S 3 20 kat

28 : 2 = 14 katı 9 . 14 = 126 b = 126'dır.

80 ml 4 = H.S 3 20 kat olur. 80 : 4 = 20 katı H.S. = 3.20 = 60 mL’dir.

c

Süleyman Bey’in oğluna hediye aldığı halıda mavi renkli kısmın pembe renkli 5 kısma oranı ’dir. 2 2 Pembe renk 80 cm olduğuna göre, bu halıdaki mavi renk kaç metrekaredir? m 5 = p 2

40 katı olur. m 5 = 2 2 80 cm 40 katı

80 : 2 = 40 katı 2 2 m = 5.40 = 200 cm = 2 m ’dir.


ç

Yandaki torbada kırmızı ve sarı renklerde 50 tane misket vardır. Kırmızı misketlerin sayısının, sarı misket- 139 3 lerin sayısına oranı ’dir. 7 Bu torbada kaç sarı, kaç kırmızı misket vardır? K 3 = S 7 K = 3’ün katı 3k diyelim S = 7’nin katı 7k olur. 3k + 7k = 50 10 k = 50 50 ise k = 5'tir. k= 10 K = 3k = 3 . 5 = 15 tane S = 7k = 7 . 5 = 35 tanedir.

3. Ünite

d

Oran ve Orantı

7. sınıflardaki kız öğrenci sayısının erkek 7 öğrenci sayısına oranı ’dur. 7. sınıflar10 da toplam 42 kız öğrenci olduğuna göre,

e

toplam kaç öğrenci vardır?

x’in y’ye oranı

5 ’dir. y = 66 ise, x kaçtır? 11

x 5 = y 11 6 katı olur. x 5 = 66 11

7 K = 10 E 6 kat

6 kat

7 42 = 10 E

66 : 11 = 6 katı x=5.6 x = 30'dur.

6 katı olur. 42 : 7 = 6 katı E = 10 . 6 = 60 E + K = Toplam 60 + 42 = 102 öğrenci vardır.

f

140

1. kitap

Yanda iki kitap verilmiştir. 1. kitabın sayfa sayısının 2. kitabın sayfa sayısına 23 oranı ’tir. 2. 25 kitabın sayfa sayısı 525 ise, 1. kitabın sayfa sayısı kaçtır? 2. kitap

1. kitap 23 = 2. kitap 25 1. kitabın sayfa sayısına x dersek; x 23 = 525 25 25 . x = 23 . 525 x=

23. 525 21 251

g

x inç

y inç

x 4 = ’tir. y = 40 inç ise, x kaç inç’tir? y 5

x 4 = 40 5 5x = 4.40 5x = 160 160 5 x = 32 inç'tir.

x=

x = 483 sayfadır.


3. Ünite

Oran ve Orantı

ÇOKLUKLARDAN BİRİSİNİN “1” OLMASI DURUMU 5x = 10 denkleminde 1 tane x’in değerini 10’u 5’e bölerek buluruz. x = 10 : 5 x = 2 dir.

Örneklerle inceleyelim:

CÖZÜM

ÖRNEK 20 dakikada 10 soru çözebiliyorsanız, 1 soruyu kaç dakikada çözersiniz?

20 dk 20 : 10 2 dk = = 10 soru 10 : 10 1 soru 1 soruyu 2 dakikada çözebiliriz.

CÖZÜM

ÖRNEK 6 litre su ile 30 su bardağı doluyor ise, 1 litre su kaç su bardağını doldurur?

6L 6:6 1L = = 30 bar. 30 : 6 5 bar 1 litre su 5 su bardağı dolusu suya eşittir.

CÖZÜM

ÖRNEK Begim’in 6 ayda 12 cm saçı uzamaktadır. Begim’in 1 ayda saçlarının kaç santimetre uzadığını bulalım.

6 ay 6 : 6 1 ay = = 12 cm 12 : 6 2 cm 1 ayda 2 cm uzar.

CÖZÜM

ÖRNEK Bir haftada 21 L su içen Melek, bir günde kaç litre su içer?

1 hafta = 7 gün 7 gün 1 gün 7:7 = = 21 L 21 : 7 3L 1 günde 3 L su içer.


141

3. Ünite

Oran ve Orantı

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a

Her gün aynı miktarda ekmek yiyen bir aile 30 günde 120 ekmek yediğine göre bir günde kaç ekmek yer?

120 ekmek 120 : 30 4 ekmek = = 30 gün 30 : 30 1 günde 1 günde 4 ekmek yer.

2

Ürün miktarları eşit olan 2000 dm araziden 6000 ton buğday elde edilmiştir.

b

2

Bu arazinin 1 dm sinden kaç ton buğday elde edilir?

2000 dm 2 2000 : 2000 1 dm 2 = = 6000 ton 6000 : 2000 3 ton 2

1 dm 'sinden 3 ton buğday elde edilir.

Y

c

R

A

U Ğ

142

ç

x

M

Yukarıda; “YAĞMUR” düzgün altıgeninin çevresi 48 cm’dir. YAĞMUR altıgeninin bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?

Bir kenar uzunluğuna “x” dersek. Düzgün altıgenin tüm kenarları x’tir. Çevre = 6x olur. 6x = 48 cm 6x 6x : 6 x = = 48 cm 48 : 6 8 cm

x = 8 cm dir. Bir kenarı 8 cm’dir.

Elif Hanım pazardan 3 kg çilek alıyor ve ¨ 10,50 ödüyor. Eğer Elif Hanım 1 kg çilek alsa idi kaç lira öderdi?

3 kg 1 kg = x ¨ 10.50 1 kg 3:3 = 10 , 50 : 3 ¨3, 50 1 kg çilek için ¨3,50 ödemesi gerekir.


3. Ünite

Oran ve Orantı

d

f

Yusuf Bey’in aldığı tasarruflu 5 ampul 1 günde toplam 100W enerji harcıyor bu durumda 1 ampul kaç watt enerji harcar?

e

12 dakikada 36 sayfa kitap okuyan Yunus 1 dakikada kaç sayfa kitap okur?

5amp 1amp 5: 5 = = 100W 100: 5 20W

12 dk 12 : 12 1 dk = = 36 sayfa 36 : 12 3 sayfa

1 ampul 20W enerji harcar.

1 dakikada 3 sayfa kitap okur.

Bir düzine kalem ¨14,40 ise 1 adet kalem kaç liradır?

1 düzine → 12 adet 12 tane 1 adet 12 : 12 = = 14, 40 : 12 ¨14,40 ¨1,20 1 adet kalem ¨1,20'dir.


g

Berke hafta sonu simit satıyor. Sabah 50 tane simidi ¨40’ye satmıştır. 1 simidin fiyatı kaç liradır?

50 adet 1 50 : 50 = = 40, 00 : 50 ¨40,00 ¨0,80 1 simidin fiyatı 80 kr'tur.

143

3. Ünite

Oran ve Orantı

ORANTILI MI? Aşağıdaki tabloyu ve buna ait grafiği inceleyelim. Tablo: Gün-Saat Gösterimi GÜN

1

SAAT

2

24

3

48

72

4 96

5

............

............

x

120

............

............

x . 24

Grafik: Gün-Saat Gösterimi Saat

Grafiği incelediğimizde 1 günlük süre 24 saat iken gün 2.24 saat 3 gün; ...................... 3.24 sayısı arttıkça 2 gün; ............................

120 96 72

saat şeklinde, aynı miktarda arttığını görüyoruz. Verilerden biri artarken diğeri de aynı oranda ar.....................................................................................................................................................................

48 24

tıyor veya biri azılırken diğeri de aynı oranda azalı..................................................................................................................................................................... 1

2

3

4

5

6

Gün

yorsa bu veriler doğru orantılıdır. ..................................................................................................................................................................... Çizilen grafikte doğru orantı grafiğidir. .....................................................................................................................................................................

144 O gün 0.24 = 0 saat olduğundan, çizilen doğru orantı grafiği orijinden geçer.


3. Ünite

Oran ve Orantı

ÖRNEK Tabloda verilen çoklukların orantılı olup olmadığını inceleyelim. Tablo: A fırınında hamur gramına göre üretilen ekmek adeti 2,5 kat Hamur

200 g

400 g

1 2 kat 2

Ekmek

Tablo: B fırınında hamur gramına göre üretilen ekmek adeti 4 kat

500 g

600 g

Hamur

3

4

Ekmek

200 g

400 g

600 g

800 g

3

4

1 2 kat 2

2 kat

2 kat 4 kat

3 kat A fırınının artış oranlarına baktığımızda 200 400 500 600 orantılı olmadığını ! ! = 1 2 3 4 görürüz.

B fırınının artış oranlarına baktığımızda 200 400 600 800 = = = 1 2 3 4 200 = 200 = 200 = 200 orantılı olduğunu görürüz.

ÖRNEK Aşağıdaki x, y grafiklerini inceleyerek orantılı olup olmadıklarını bulalım. A

y

B

y

24

400

18

300

12 8 6

200

150 100 50

100 14 2 3

3

4

x

C

y

7

14

21 28

x

2

4

6

x

CÖZÜM 1 A grafiğinde; x değeri 2 katına çıkarken y değeri katı olmuştur. x değeri 3 katına çıkarken y 2 1 değeri katı olmuştur. Yani x değeri belli bir oranda artarken, y değeri aynı oranda azalmıştır. 3 Sonuç olarak; x ve y orantılıdır. Ters orantı grafiğidir. B grafiğinde; x değeri 2 katına çıktığında y değeri de 2 katına çıkmıştır. x değeri 3 katına çıktığında y değeri aynı kalmıştır, sonuç olarak; x ve y orantılı değildir. C grafiğinde; x değeri 2 katına çıktığında y değeri de 2 katına çıkmıştır. x değeri 3 katına çıktığında y değeri de 3 katına çıkmıştır. x ve y değerleri aynı oranda artmıştır. Sonuç olarak; x ve y orantılıdır. Orijinden de geçmiştir. Doğru orantı grafiğidir.


145

3. Ünite

Oran ve Orantı

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki tablo ve grafiklerden orantılı olanları belirtiniz. Tablodaki boşlukları uygun sayılarla duldurunuz a

b

y

y

6000 2000

x a 3a Doğru orantılıdır. x değeri belli bir oranda artarken y değeri de aynı oranda artmıştır.

x

O

Orantılı değildir. y değeri artarken x değeri sabit kalmıştır. y

c 300 200 100 O

3

6

9

x

d

y

10

x

O

Orantılı değildir. x değeri ile y değerinin artışı aynı oranda değildir. 146

y

ç

Orantılı değildir. x artarken, y sabit kalıyor.

e

x y

3 1

9 3

27 9

81 27

........... ...........

Orantılıdır. x ve y aynı oranda artmıştır. Doğru orantılıdır. x 10 Orantılıdır. x değeri artarken aynı oranda y değeri azalmıştır. Ters orantılıdır. O


3. Ünite

Oran ve Orantı

f

x y

100 125

75 100

50 75

25 50

g

........... ...........

x

36 12

y

2

........... ...........

Orantılıdır. x belli bir oranda azalırken, y aynı oranda artmıştır. Ters orantılıdır.

Orantılı değildir. x ve y farklı oranlarda azalmıştır. ğ

x 2000 1000 500 250 y 250 500 1000 2000

4

4 ........... 3 18 54 ...........

6

Orantılıdır. x belli bir oranda azalırken, y aynı oranda artmıştır. Ters orantılıdır. h

Tablo: Portakalın kilogramından elde edilen portakal suyu miktarı Portakal (kg) Suyu (bardak)

ı

1 3

2 6

3 9

4 5 ........... x 12 15 ........... 3x

Doğru orantılıdır. Portakal (kg) arttıkça aynı oranda (3 kat) portakal suyuda artmıştır.

Grafik: Babanızın aldığı aylık maaş miktarı Maaş (TL) 14 000

Doğru orantılıdır. Örneğin; 1 ayda ¨3500 iken 4 ayda ¨14 000 yani 4 kat artmıştır, aynı oranda artış olduğu için doğru orantılıdır.

10 500 7000 3500 0 i

1

2

3

4

5

Ay

6

Grafik: Sebile’nin haftalık harçlığından cebinde kalanlar Para (TL) 12 10 8 6 4 2 0


Orantılı değildir. İlk üç gün para orantılı şekilde azalırken, 3. günden itiberen para miktarı sabit kalmıştır.

1

2

3

4

5

6

7

Günler

147

3. Ünite

Oran ve Orantı

ORANTI a c a c ve iki oran olmak üzere, = eşitliğine orantı denir. b d b d

ÖRNEK 1 2 oranlarının orantı oluşturup oluşile 2 4 turmadığını bulalım.

CÖZÜM 2 kat 1 2 = 2 4 2 kat 2 :1= 2

4 Pay ve payda 2 katına çıkmıştır. 4 : 2 = 2 Aynı oranda arttığı için bu iki oran, orantı oluşturur. 1 21 = 2 42 1 1 = 2 2

ÖRNEK 7 21 ile çoklukları orantı oluşturduğuna 11 a göre “a” değerini hesaplayalım.

CÖZÜM 7 21 olmalý = 11 a 7.a = 11.21 3

11. 21 a= 71

148

a = 33 eder.

ÖRNEK 3 27 eşitliğinin orantı oluşturabilmesi = 5x 45 için x’in alması gereken değeri bulalım.

CÖZÜM 3 27 içler dışlar çarpımı yaparız. = 5x 45 5x . 27 = 45 . 3 5x =

5

45.3 273

5.3 151 x= = = 1'dir. 5.3 151


3. Ünite

Oran ve Orantı

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki eşitliklerin orantı oluşturabilmesi için bilinmeyenlerin alacağı değerleri bulunuz. a

5 10 = 4 x

b

2

b+1 6 = 5 15 15 . (b + 1) = 6 . 5 30 b + 1= 15 b +1= 2 b = 2 - 1 = 1'dir.


a=

e

3

2 40 = 2y 48

2 3 40 = 2y 48 84 40 5 = 1 2y 486 4 5 = y 6 5y = 4 . 6 24 y = 'tir. 5

2x k = 11x 33

2 . x1 k = 11 . x1 33 k 2 = 11 33 2.33 = 11 . k

15 3 a = 5'tir.

410 . x= 51 x = 8'dir.

b+1 6 = 5 15

c

a 1 = 15 3 3a = 15 . 1

5 10 = 4 x 5x = 4.10

d

a 1 = 15 3

2.333 =k 111 6=k

f

x 14 = 7 7

x 14 = 7 7 7x = 7 . 14 71 . 14 x= 71 x = 14'tür.

g

a - 2 32 - 22 = 5 (- 5) 2

a-2 9-4 = 25 5 a-2 51 = 5 5 25 a-2 1 = 5 5 eşit olduğundan a – 2 = 1 dir. a = 1+2 a = 3’tür.

4 11 = y 5

ç

4 11 = y 5 11y = 4 . 5 11y = 20 y=

20 dir. 11

ğ

4 x = 5 1 8 2

4 x = 5 1 8 2 1 2 4 1 x. = . 1 5 82 2x 1 = 1 10 1 x = 'dir. 20

149

3. Ünite

Oran ve Orantı

Doğru Orantı İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar doğru orantı belirtir.

Orantı Sabiti Doğru orantılı iki çokluğun birbirine oranı “k” sabit sayısına eşittir. Bu sabit sayıya orantı sabiti denir. Doğru Orantıyı örneklerle inceleyelim:

ÖRNEK 5 kg domatesten 1 kg salça elde ettiğimize göre, 30 kg domatesten kaç kilogram salça elde edebileceğimizi bulalım ve orantıdaki k sabitini belirleyelim.

CÖZÜM Domates miktarına göre elde edilebilecek salça miktarını gösteren tabloyu oluşturarak bulabiliriz.

ol 1. y

Domates Miktarı (kg)

5

10

15

20

25

30

Salça Miktarı (kg)

1

2

3

4

5

6

1 5 10 15 20 25 30 = = = = = = 5 (Orantı sabitidir.) k = 5 veya 'tir. 5 1 2 3 4 5 6 150

ol 2. y artmış 5 kg domatesten

30 kg domatesten

D. O Çapraz çarpılarak eşitlenir.

1 kg salça artar x kg salça *Kullanılan domates arttıkça salça miktarı da artar.

5 . x = 30 . 1 30 . 1 5 x = 6 kg salça elde ederiz. x=


3. Ünite

Oran ve Orantı

ol 3. y

5 kg domatesten 1 kg salça elde ediliyor. 30 kg domatesten elde edilecek salça miktarına x dersek. Doğru orantıda; 5 = 5 orantý sabitidir. 1 30 5 x = 1 olmalý 5x = 30 . 1 5x = 30 30 5 x = 6 kg salça elde ederiz. x=

ÖRNEK 3 günde 8 ton kumaş üreten bir fabrika 1 ayda kaç ton kumaş üretir?

CÖZÜM ol 1. y

ol 2. y

1 ay = 30 gün

artmış 3 günde 30 günde

8 ton artar x ton

D. O Çapraz çarparız. 3 . x = 30 . 8 10

30 . 8 x= 31 x = 80 ton kumaþ üretir.


3 gün 30 gün = 8 ton x ton 3 . x = 30 . 8 10

30 . 8 x= 31 x = 80 ton kumaþ üretir.

151

3. Ünite

Oran ve Orantı

CÖZÜM

ÖRNEK Grafik: Kişi sayısına göre kahve miktarı Kişi sayısı

1 kaşık ∏ 2 kişi 2 kat 2 kaşık ∏ 4 kişi 3 kaşık ∏ 6 kişi

3 kat

10 8

2 kat

3 kat

İki çoklukta aynı oranda arttığı için doğru orantı vardır.

6 4 2 1

2

3

4

5

6

2 kiþi 4 6 8 10 = = = = =2 1 kaþýk 2 3 4 5

Kahve miktarı (kaşık)

1 orantı sabiti “2 veya "dir. 2 1 k = 2 veya k = 2

Verilen grafiğin orantı çeşidini ve orantı sabitini bulalım.

x a = ise x, a’nın belli bir sayı katıdır. y b y ise b’nin aynı sayıda katıdır. x’in y’ye oranı

ÖRNEK

152

7. sınıflarda kız öğrencilerin sayısının erkek 3 öğrencilere oranı tir. Kız öğrenciler 45 kişi 5 ise, erkek öğrenciler kaç kişidir?

CÖZÜM Kız Öğrenci → K Erkek Öğrenci → E dersek K 3 = E 5 K = 3’ün katı = 3k E = 5’in katı = 5k 3k = 45 ise k=

45 = 15'tir. 3

E = 5k E = 5 . 15 E = 75’tir.

ÖRNEK x’in y’ye oranı

11 ve x+y = 48 ise x-y kaçtır? 13

CÖZÜM x 11 = y 13 x = 11 k y = 13 k x + y = 11k + 13k = 24k 24k = 48 k=

48 = 2'dir. 24

x = 11.2 y = 13 k x = 22 y = 13.2 y = 26 x – y = 22 – 26 = –4 tür.


3. Ünite

Oran ve Orantı

ÖRNEK

CÖZÜM

A

Ç a

B

C

b

Yukarıdaki kısa kenar uzunluğunun uzun 1 kenar uzunluğuna oranı ’tür. Uzun kenar 3 uzunluğu 18 cm olduğuna göre, kısa kenar

a 1 = b 3 a=k b = 3k b = 3k = 18 18 k= 3 k=6 a = 6 cm'dir.

uzunluğu kaç santimetredir?

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda verilen soruları orantı sabitlerini bularak cevaplandırınız. a Bir bal üreticisi 1 senede ortalama 620 kg bal elde etmektedir. Aynı şartlarda 1860 kg balı kaç senede elde edebilir?

1 yýl x = 620 kg 1860 620 x = 1860 . 1 1860 620 x = 3 yýlda elde edebilir. x=

153 b Tablo: Salih Hoca’nın yürüdüğü yol uzunluğu (m) Zaman (dk) Yol (m)

20 40 60 80 2200 4400 x y

Aynı hızla yürüyen Salih Hoca’nın 60 ve 80 dakikada yürüdüğü yolu tablodan faydalanarak hesaplayınız.

Orantı sabitini bulalım. 20 40 1 dür. = = 2200 4400 110 60 1 dür. = x 110 İçler dışlar çarpımından x = 110 . 60 x = 6600 m yol yürür. 80 1 'dan = y 110 y = 80 . 110 y = 8800 m yol yürür.


3. Ünite

c

Oran ve Orantı

40 = 13, 3 tür. 3 40 (İşlem kolaylığı için alalým.) 3 40 günde 180 gün İçler dışlar = 3 kg x kg çarpımında

Derya biraz kilolu olduğu için diyet yapmaya karar veriyor. Yaptığı diyette düzenli olarak aynı miktarda kilo veriyor. 40 günde 3 kg veren Derya 180 günde toplam kaç kilogram verir?

Orantı sabiti

40 . x = 180 . 3 180 . 3 40 x = 4, 5 . 3 x=

x = 13, 5 kg verir. ç

Grafik: Sarıkız’ın verdiği süt miktarı 12 24 = = 6 orantý sabiti 2 4

Süt miktarı (L)

x 6 = 8 1 x=6.8

y 60 x

x = 48 L y 6 = 11 1 y = 6 . 11

24 12 154

O

2

4

6

8

10 11 12

y = 66 L

Zaman (gün)

x + y = 48 + 66 = 114 L'dir.

Sarıkız her gün aynı miktarda süt vermektedir. Yukarıdaki grafiğe göre 8. ve 11. günlerde verdiği toplam süt miktarını bulunuz. d

4 kg zeytin ¨42 ise 10 kg zeytin kaç liradır?

4 kg 10 kg = ¨42 ¨x Çapraz çarpımla

2

4 2 = = k (orantý sabiti) 42 21 21 10 2 ise = x 21

2 . x = 10 . 21 5

10 . 21 x= 21 x = ¨105'dir.


3. Ünite

Oran ve Orantı

2. Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a

süt miktarý 3 = ise yað miktarý 2

Bir tepsi pastada kullanılan süt miktarının 3 yağ miktarına oranı dir. Pastaneci yap2 tığı bir miktar pastada toplam 27 bardak

Süt miktarı. = 3k Yağ miktarı = 2k 3k = 27

süt kullandığına göre, aynı pasta için kaç bardak yağ kullanmıştır ve kaç tepsi pasta yapmıştır?

b

27 3 k = 9 katı yağ miktarı = 2 k =2.9 = 18 bardak yağ kullanılmıştır. 9 tepsi pasta yapmıştır. k=

c 2

Alan = 135,000 m

(x + 20) m 230 + 20 = 250 m

540 m

Yukarıdaki dikdörtgen şeklindeki bahçenin etrafına 5 sıra tel çevirmek isterseniz kaç metre tele ihtiyaç duyarsınız?

A = (x + 20) . 540 135 000 = 540x + 10 800 135 000 – 10 800 = 540x 124 200 = 540x 124200 =x 540 230 = x


Ç = 2 . (540 + 250) Ç = 2 . 790 Ç = 1580 m 1 sýra tel 5 = 1580 m y y = 5 . 1580 y = 7900 m tele ihtiyaç vardır.

U

Dikdörtgen şeklinde yapıK lan masanın kısa kenar uzunluğunun uzun kenar 5 uzunluğuna oranı ’dur. 9 Masanın uzun kenarı 189 cm ise kısa kenarı kaç santimetredir?

K 5 = U 9

K=5k U=9k

U = 9k = 189 ise 9k = 189 189 9 k = 21 K = 5k 5k = 5.21 K = 105 cm’dir. k=

155

3. Ünite

Oran ve Orantı

ç Deniz ve Ferdi’nin elinde ¨1, ¨5 ve ¨10’dan oluşan bir miktar para var. Deniz’in parasının Ferdi’nin parasına ora13 nı ’tir. Deniz ile Ferdi’nin toplam parası 15 ¨50 ile ¨70 arasında ise Deniz ve Ferdi’nin kaçar lirası olduğunu bulunuz.

5 x’in y’ye oranı ’tür. x–y = 24 ise x + y 3 kaçtır?

x 5 = y 3

D. P 13 = F. P 15 D. P = 13k F. P = 15k Toplam = 13k + 15k = 28k 28k = ? (28’in katı olan sayılar) 28 . 1 = 28 28 . 2 = 56

d

¨50 ile ¨70 arasındadır.

28 . 3 = 84 k = 2 olduğuna göre,

x = 5k y = 3k x – y = 5k - 3k = 2k 2k = 24 24 k= 2 k = 12’dir. x + y = 5k + 3k = 8k’dir. x + y = 8 . 12 = 96’dır.

D. P = 13 . 2 = ¨26 F. P = 15k = 15 . 2 = ¨30’dir.

e 156

7. sınıflarda matematik sınavında; 3 alan öğrencilerin sayısının 5 alan öğ1 rencilerin sayısının oranı ’tür. 5 alan 3

3 alanlara x, 5 alanlara y, 2 alanlara z dersek. y 3 x 1 = = imiþ y 3 z 2

öğrencilerin sayısının 2 alan öğrenci3 ’dir. 2 alan 2 14 öğrenci olduğuna göre 3 alan kaç lerin sayısına oranı ise öğrenci vardır?

2y = 3 . 14

y 3 ise çapraz çarpma ile = 14 2

314 . 7 y= 21 y = 21 kişi 5 almış. x 1 idi = y 3 1 x = ise çapraz çarpma ile 21 3 3 . x = 21 . 1 21 3 x = 7 kiþi 3 almýþtýr. x=


3. Ünite

Oran ve Orantı

Ters Orantı İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk Ters Orantı belirtir. Verilen iki çokluğun birbiri ile çarpımı bize sabit bir sayı verir. Bu sabit sayıya “k” diyebiliriz. Ters Orantıyı örneklerle inceleyelim:

ÖRNEK Tabak fabrikasında 100 koli tabak üretmek için kullanılan makine ile geçen süre arasındaki ilişkiyi gösteren tablo aşağıda verilmiştir. Tabloyu inceleyerek yorumlayalım. Tablo: 100 koli tabak üretmek için kullanılan makine sayısı ve geçen süre. Makine sayısı Süre (saat)

1 2 24 12

3 8

4 6

6 8 4 3

12 24 2 1

CÖZÜM 1 1. makine 24 saatte 2 2. makine 12 saatte 3 3. makine 8 saatte 4 4. makine 6 saatte 1 Şeklinde devam etmiş. Makine sayısı 2 katına çıktığında süre ’si olmuş, makine sayısı 3 katına 2 1 çıktığında ise süre ’üne düşmüş. Yani makine sayısının arttığı oranda süre azalmıştır. 3 Aynı zamanda;

Makine sayısı ve o makineye ait süre çarpıldığında hep aynı sonuç çıkıyor.

1.24 = 2.12 = 3.8 = 4.6 = 24’tür.

Yani k sabiti 24’tür.

Tablodan ve k sabitinden anladığımız üzere kullanılan makine sayısı ile geçen süre ters orantılıdır.


157

3. Ünite

Oran ve Orantı

ÖRNEK

Özgür inşaat mühendisi ve evinden işine bisikleti ile sabit bir hızla gidiyor. Özgür’ün işe giderken yaptığı hız ile geçen süre arasındaki ilişki tablodaki gibidir. Tabloya göre, orantı çeşitini ve “k” orantı sabitini hesaplayalım. Hız (m/dk) Zaman (dk)

90 20

180 10

360 5

CÖZÜM Özgür’ün işe giderken yaptığı hız iki katına çıktığında geçen zaman yarıya düşmüştür. Hız . zaman = 90 . 20 = 180 . 10 = 360 . 5 = 1800 k = 1800 (orantı sabiti) Tablodaki verilere göre hız arttıkça zaman aynı oranda azaldığı için bu iki çokluk ters orantılıdır.

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki çoklukların ters orantılı olup olmadıklarını bulunuz. a

x y

13 60

26 30

39 20

b

52 15

CÖZÜM

158

a b

50x 3y

10x 15y

2x 75y

CÖZÜM

13 . 60 = 26 . 30 = 39 . 20 = 52 . 15 = 780 = k eşitlik olduğundan ters orantı vardır.

50x . 3y = 10x . 15y = 2x . 75y = 150xy = k olduğundan ters orantılıdır.

c

ç

x y

8 40

32 10

40 8

CÖZÜM 8.40 = 32.10 = 40.8 ≠ 48.4 eşit olmadığından ters orantılı değildir.

48 4

Bir yatılı okulun kilerinde 120 öğrenciye 20 gün yetecek kadar yiyecek var. 40 öğrenci misafir gelse bu yiyecekler 15 gün yeter.

CÖZÜM 120 öğrenci Artmış 1 oranında160 öğrenci 3 artmış

20 gün yetiyor 15 gün yetiyor

Azalmış 1 oranında 3 azalmış

1 1 Öğrenci sayısı oranında artarken zaman oranında 3 azalmıştır. Ve 3 Orantı sabiti k = 120 . 20 = 160 . 15 = 240 Eşit çıktığından ters orantı vardır. 7. Sınıf Matematik

3. Ünite

Oran ve Orantı

d

Zafer Bey Ankara’dan İstanbul’a saatte 100 km hızla giderse 6 saatte gidiyor. Eğer saatte 120 km hızla giderse 5 saatte gidiyor.

CÖZÜM 6 sa azalmış artmış 100 km/sa 120 km/sa 5 sa hız artarken zamanda aynı oranda artmıştır. k = 100 . 6 = 120 . 5 = 600 eşitliğinden dolayı hız-zaman ters orantılıdır.

ORANTI PROBLEMLERİ

Problemleri çözerken önce problemi açıklayacak kadar anlayalım. Verilenleri ve isteneni not alalım. Planımızı yapıp çözüme geçelim.

Bu kurala uyarak aşağıdaki problemi çözelim.

em obl r P

1

3 işçinin 15 günde yaptığı bir işi, aynı kapasitede 9 işçi kaç günde yapar?

CÖZÜM artmış 3 işçi 9 işçi

15 günde azalır 159 x gün

Ters orantı x . 9 = 3 . 15 1

3 . 15 5 x= 9 31 x = 5 günde yapar.


3. Ünite

Oran ve Orantı

CÖZÜM

m2

e obl Pr

yarıçap azalmış 30 cm 20 cm 30 cm Cumali

Ters orantı 20 . x = 30 . 280

20 cm Nisa

14

30 . 280 x= 20

Cumali Bey'in bisikletinin tekerleri, 500 m yolda yaklaşık 280 kez tam tur dönüyor. Nisa’nın bisikletinin tekeri aynı yolda kaç tam tur döner?

m3

e obl Pr

7-A ve 7-B sınıflarındaki öğrenciler sinemaya gidecekler. 7-A sınıfından 25 öğrenci 7-B sınıfından 32 öğrencinin sinemaya gideceği biliniyor. 7-B sınıfı biletlere toplam ¨416 verdiğine göre 7-A sınıfı biletler için toplam kaç lira ödemiştir?

280 kez döner artar. x kez döner

1

x = 420 kez döner.

CÖZÜM azalmış

25 kişi 32 kişi

x lira azalır. 416 lira

D. O 32 . x = 25 . 416 25. 41613 321 x = 325 lira ödemiştir. x=

160

em obl r P

4

1 ölçeğine göre çizilen bir haritada, 500 000 gerçekte genişliği 25 000 m olan bir gölün haritadaki genişliği kaç santimetredir?

CÖZÜM Ölçeğe göre gerçekte 500 000 cm olan bir büyüklük haritada 1 cm olarak çiziliyor. Gölün genişliği 25 000 m = 2 500 000 cm 1 x = 500 000 2 500 000 500 000x = 2 500 000 x=

2500000 500000

x = 5 cm’dir.


3. Ünite

Oran ve Orantı

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki problemleri çözünüz. a

160 cm'lik bir tel 2, 3 ve 5 ile doğru orantılı olarak parçalara ayrılıyor. Her bir parçanın uzunluğunu hesaplayınız.

2k + 3k + 5k = 160 10k = 160 160 k= 10 k = 16

b 5 makine 16 günde 350 tane pantolon dikiyor. Aynı nitelikteki 8 makine 350 tane pantolonu kaç günde diker?

5 makine 8 makine T. O

16 gün x günde

8.x = 5.16 516 . 2 8 x = 10 günde diker x=

1. tel 2’nin katı 2. tel 3’ün katı 3. tel 5’in katı 1. tel → 2k = 2.16 = 32 cm 2. tel → 3k = 3.16 = 48 cm 3. tel → 5k = 5.16 = 80 cm’dir.

c

K

A

I

P

Verilen KAPI dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğu 4 ile uzun kenar uzunluğu 3 ile ters orantılıdır. Çevresi 70 cm olan bu dikdörtgenin alanını hesaplayanız.

k Kısa kenar uzunluğuna dersek. k k 70 + = 4 4 3 2 k (4) (3) Uzun kenar uzunluğu ’tür. 3 3k + 4k = 35 12 7k = 35 12 5

35.12 k= 71 k = 60

k 60 = = 15 cm 4 4 k 60 Uzun kenar uzunluğu = = 20 cm 3 3 Kısa kenar uzunluğu

2

Alan = 20.15 = 300 cm dir.


161

3. Ünite

ç

Oran ve Orantı 2

a ile b ters orantılıdır. a = 1 iken, b = 9 ise a = 9 iken b değeri kaçtır? a 1 9

b2

L

92 2 x

K

M

KLM üçgeninin iç açıları W, L V, X K M sırası ile 1, 3 ve 5 ile W ) , m (L V) doğru orantılıdır. m (K ve m (X M) bulunuz.

W) + m (L V) + m (X m (K M) = 180 o

k + 3k + 5k = 180 o 9k = 180 o 180 o k= 9

2

x = 1.81 81 9 2 x =9 x2 = b

d

k = 20 o W) = 20 o m (K

x2 = 32

V) = 3.20 o m (L

x = 3 t ür .

= 60 o m (X M) = 5.20 o = 100 o dir.

e

8,6 cm

162

Yandaki fotoğraftaki boyu 8,6 cm olan dolabın, gerçekteki boyu; 172 cm'dir. Bu dolabın gerçek genişliği kaç santimetredir?

8, 6 2, 15 = 172 x 8,6x = 396,8 369, 8 x= 8, 6 x = 43 cm’dir.

2,15 cm


3. Ünite

Oran ve Orantı

1. a ve b iki tam sayı olmak üzere a’nın b’ye

7 oranı ’dir. 8 Bu sayıların toplamlarının alacağı en küçük iki basamaklı sayı ile en büyük iki basamaklı sayının farkı kaça eşittir? A) 107

B) 105

C) 75

B) 207

C) –225

b = 12 ise A) 9

7.

D) –207

3. a ile b sıra ile 3 ve 2 ile ters orantılıdır.

nının bir kenar uzunluğu 12 cm olan karenin alanına oranı kaçtır? 14 3 9 16 A) B) C) D) 3 14 16 9

D) 89

x 1 y 3 2. = , = ve z = 8 ise x 2 + (- y3) işley 2 z 4 minin sonucu kaçtır? A) 225

6. Bir kenar uzunluğu 9 cm olan karenin ala-

8. Anneniz bir tepsi kek yapmak için 3 yumur-

2

a kaçtır? -1 B) –9 C) 64

3 sayısı ile hangi sayının eşitliği bir orantı 7 oluşturur? 7 3 9 A) B) C) D) 5 2 6 21

ta kullanıyor. D) -64

7 tepsi kek yapmak için kaç yumurta kullanır? A) 3

B) 7

C) 28

D) 21

4. 8 kişinin 2’şer bardak içebildiği bir termos dolusu çayı 4 kişi daha olursa kişi başı kaç bardak içer? 5 2 4 A) B) C) 1 D) 1 3 2 3

163

9. 250 g kıymadan 10 tane köfte çıkmaktadır.

1 köfte için kaç gram kıymaya ihtiyaç vardır? A) 25

B) 28

C) 20

D) 30

5. x ve y ters orantılı ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenemez? A) x artarken y, aynı oranda azalır.

10. Ayşe Teyze; 3 kaşık tarhanadan 2 kişilik

B) x azalırken y, aynı oranda artar.

çorba yapıyor. Ayşe Teyze’ye 10 kişilik misafiri gelecektir.

C) x; 5x olunca, y ; –5y olur.

D) x ile y değerlerinin çarpımı sabit bir sayıdır.

A) 10 1- C


Yapacağı tarhana çorbası için kaç kaşık tarhana kullanmalıdır?

2- D

3- D

4- A

5- C

6- A

7- B

B) 6 8- D

9- A

C) 15 10- C

D) 12

3. Ünite

Yüzdeler

YÜZDELER Dünyanın en pahalı benzinlerinden kullanan bize bir gün ülkemizde yakıtta %50 indirim var deseler hoş olmaz mıydı? % simgesi ile verilen sayı, sağdan iki basamak virgül ile ayrılır.

%15 = 0,15 =

15 dür. 100

ÇOKLUĞUN BELİRTİLEN YÜZDESİNİ BULMA a sayısının %b’sını bulmak için a’yı b ile çarpıp 100’e böleriz. Örneklerle inceleyelim

ÖRNEK 100’ün %20’si kaçtır?

ÖRNEK 40’ın %18’i kaçtır? 164

ÖRNEK 50’nin %120’si kaçtır?

CÖZÜM 100 .

20 = 20'dir. 100

CÖZÜM 40 .

18 72 = = 7, 2'tir. 100 10

CÖZÜM 50 .

120 = 60'týr. 100

50'nin %100'ü " 50

100 = 50'den büyüktür. 100


3. Ünite

Yüzdeler

ÖRNEK 100’ün %0,4’ü kaçtır?

ÖRNEK 20’nin %0,5’i kaçtır?

CÖZÜM 4 4 1 4 100 . 10 = 100 . . = = 0, 4 tür. 100 10 100 10

CÖZÜM 5 5 . 1 10 1 20 . 10 = 20 . = = = 0, 1 100 10 100 100 10 20'nin %1'i 20 .

ÖRNEK %5’i 80 olan sayı kaçtır?

1 2 = = 0, 2 dir. Yani %1'den küçüktür. 100 10

CÖZÜM %5’i %100’ü D. O

80 ise x’tir. 1

5 100 . x = 80 . 100 1001 5 100 16 100 x = 80 . 51 x = 1600'dür. x = 80 :


165

3. Ünite

ÖRNEK %12’si 48 olan sayının %30’u kaçtır?

Yüzdeler

CÖZÜM 12 si 100

48 ise

100 100

x

D. O 1

100 12 . x = 48 . 100 1001 12 x = 48 : 100 4 100 x = 48 . 121 x = 400 400 ün %30’u ise; 30 400 . = 120 eder. 100

ÖRNEK 299’un %40’ını tahmin edelim.

CÖZÜM 299 + 300'dür. 300 .

166

ÖRNEK 150 gr kahvenin %11,5 ile kahve yapacağız. 1 çay kaşığı yaklaşık 6 gr kahve aldığına göre, yapacağımız kahve için kaç çay kaşığı kahve kullanmamız gerektiğini tahmin edelim.

40 = 120 olarak tahmin edebiliriz. 100

CÖZÜM %11, 5 . %12 eder. 150 .

12 = 18 g 100 18 : 6 = 3 çay kaşağı kahve gerekir.


3. Ünite

Yüzdeler

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU Etiket fiyatı 550 TL olan bir televizyonun peşin ve taksitli satışlarındaki indirim yüzdeleri aşağıda verilmiştir.

18 990 Peşin fiyat = 550. = = 99 100 10 indirimi 550 – 99 = ¨451 (Peşin fiyatıdır.)

Etiket Fiyatı 550TL

6 330 Taksitli fiyat = 550. = = 33 100 10 indirimi 550 – 33 = ¨517 (Taksitli fiyatıdır.)

Peşin Fiyatı Etiket fiyatı üzerinden % 18 indirimli

Taksitli Fiyatı Etiket fiyatı üzerinden % 6 indirimli

Aradaki fark: 99 – 33 = ¨66 veya 517 – 451 = ¨66'dir. Cevap: B

Bu televizyondan taksitle alan bir müşteri, peşin alan bir müşteriden kaç TL fazla öder? A) 50

B) 66

C) 99

D) 132

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU Bir bisiklet, dört farklı mağazada, aynı fiyattan satılırken indirim yapılıyor. Sonra, indirimli fiyatlar üzerinden bir indirim daha yapılıyor. Yapılan bu indirimler sonucunda bisiklet, hangi mağazada en ucuz olur? A)

SEZER Mağazası

B)

% 50 % 10 C)

ELİF Mağazası

% 30 % 30 7. Sınıf Matematik

50 A) 100 = 50 100 100 - 50 = 50 50

YİĞİT Mağazası

% 40 % 20 D)

Bisikletin fiyatına ¨100 dersek;

ŞAHİN Mağazası

% 10 % 40

B)

10 =5 100

60

50 – 5 = ¨45

C)

30 = 30 100 100 - 30 = 70 100

30 = 21 100 70 – 21 = ¨ 49 70

40 = 40 100 100 - 40 = 60 100

20 = 12 100

60 – 12 = ¨48

D)

10 = 10 100 100 - 10 = 90 100

40 = 36 100 90 – 36 = ¨ 54

90

En ucuzu A seçeneği ¨45'dir.

Cevap: A

167

3. Ünite

Yüzdeler

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki sayıların belirtilen yüzdesine karşılık gelen miktarını bulunuz. a

140’ın %15’i

140 .

ç

15 = 21 100

250’nin %20’si

250 .

b

246’nın %200’ü

246 .

d

20 = 50 100

200 = 492 100

888’in %50’sinin %30’u

c

1400’ün %0,1’i

1 1 1 1400 . 10 = 1400 . . = 1, 4 100 10 100

e

50 = 444 100 30 1232 444 . = = 123, 2 10 100

42’nin %115’i

42.

888.

115 = 48, 3 100

2) Aşağıda belirli bir yüzdesi verilen sayıların tamamını bulunuz. a 168

%75’i 10 olan sayı

10.

ç

100 1000 = = 13, 3 75 75

%35’i 7 olan sayı 1

b

7.

100 = 20 35 5

%125’u 80 olan sayı

80 .

d

100 = 64 125

%21’i 42 olan sayı 2

c

42 .

100 = 200 211

% 5’i 40 olan sayı 8

40 .

e

100 = 800 5

%1,5’u 60 olan sayı 15 x. 10 = 60 100 15 1 x. . = 60 10 100 x 60 4 = 1000 151 x = 4 . 1000 = 4000


3. Ünite

Yüzdeler

3) Aşağıdaki tahmin sorularını yapınız. a

107 sayısının %11’ini tahmin ediniz. 107 + 100'dür. %11 + %10'dur. 100

b

10 , 10 eder. 100

¨20’ya mal ettiği bir gömlekten %47,5 kâr elde eden bir satıcının yaklaşık ne kadar kârı olduğunu tahmin ediniz. %47, 5 + %50'dir. 20 .

c

50 , 10 lira kâr elde eder. 100

Satış fiyatı üzerinden %58 indirim var diyen bir satıcı; satış fiyatı ¨220 olan bir malı ne kadara sattığını tahmin ediniz. %58 + %60'týr. 220 + 200'dür. 60 = 120 100 200 - 120 , 80 liraya satar. 200 -

ç

92’nin %7,7’si kaçtır, tahmin ediniz. 92 + 90 eder. %7, 7 +, %8 dir. 90 .


8 , 7, 2 dir. 100

169

3. Ünite

Yüzdeler

YÜZDESİNİ HESAPLAMA "a sayısı, b sayısının yüzde kaçıdır?" Sorusunun cevabını denklem kurarak çözebiliriz. b.

x = a denklemindeki x değeri bize istenen cevabı verir. 100

Örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK 100’ün yüzde kaçı 40’tır?

ÖRNEK 64’ün yüzde kaçı 44,8 eder?

CÖZÜM 100 .

x = 40 100 x = 40 " %40

CÖZÜM x = 44, 8 100 64x 448 = 100 10 448.10 x= 64 x = 70 " %70'i 64 .

170

ÖRNEK 290’ın yüzde kaçı 87 eder?

CÖZÜM 290 .

x = 87 100 3

87.10 x= 291 x = 30 " %30


3. Ünite

Yüzdeler

PEKİSTİRELİM Aşağıda istenen yüzdeleri bulunuz. a

440’ın yüzde kaçı 22 eder? 440 .

b

200’ün yüzde kaçı 25 eder? x = 25 100 25 x= = 12, 5 " %12, 5 2

x = 22 100

200 .

2

220 x= = 5 " %5 44 4

c

610’un yüzde kaçı 366 eder? x = 366 100 366.10 x= = 60 " %60 61

610

ç

1300’ün yüzde kaçı 13’eder? 1300 .

x = 13 100 13 x = = 1 " %1 13

171 d

8080’in yüzde kaçı 101 eder? x = 101 100 1 101 .10 x= 8088 10 x = = 1, 25 " %1, 25 8

8080 .


3. Ünite

Yüzdeler

BİR ÇOKLUĞU YÜZDE İLE ARTIRMAK VEYA AZALTMAK Bir sayıyı 1,a ondalık gösterimi ile çarpmakla, o sayı %a artar. Bir sayıyı 0,c ondalık gösterimi ile çarpmakla, o sayıyı (1,00 – 0,c = 0,b) %b kadar azalır.


ÖRNEK 100 sayısının 1,09 ile çarptığımızda sayıda nasıl bir değişim olur?

CÖZÜM 109 = 109 100 100'ün % kaç fazlasý 109 eder. Denklemi: x 100 + 100 . = 109 100

100.

100 + x = 109 x = 109 – 100 x=9 100’ün %9 fazlası 109 eder. Bu da 100’ün 1,09 ile çarpımıdır.

172

ÖRNEK 400’ü 0,90 ile çarptığımızda sayıda nasıl bir değişim olur?

CÖZÜM 400 . 0, 90 = 360'týr. 400’den % kaçını çıkarırsak 360 elde ederiz, bulalım: Denklemi: x 400 - 400 = 360 100 400 - 4x = 360 400 - 360 = 4x 40 = 4x 40 =x 4 10 = x 400 ile 0,90’ı çarpmakla 400' den %10 (1,00 – 0,90 = 0,10) azaltılmış olur.


3. Ünite

Yüzdeler

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki soruları çözünüz. a

60 ile 1,45’in çarpımı sonucunda 60 sayısında nasıl bir değişim olur? 60 . 1, 45 = 87 60 + 60 .

x = 87 100

6x = 87 - 60 10 3 6x

10

= 27

5

9

27 . 5 x= 31 x = 45 " %45 60 sayısının 1,45 sayısı ile çarparak 60 sayısına %45’ini eklemiş olduk.

b

200 sayısını 1,09 ile çarpmakla nasıl bir değişim olur? 200 . 1, 09 = 218 x 200 + 200 . = 218 100 2x = 218 - 200 2x = 18 x=9 %9 artar veya 109 - 100 = 9 %9 artar.


173

3. Ünite

c

Yüzdeler

1000 sayısını 0,75 ile çarpmak sayıda nasıl bir değişim yapar? 1000 . 0, 75 = 750 x = 750 100 1000 - 750 = 10x 250 = 10x

1000 - 1000 .

250 =x 10 25 = x → %25 azalır. veya 1.00 - 0,75 = 0,25 → %25 azalır deriz.

ç

700 sayısını 0,98 ile çarparsak 700 sayısında nasıl bir değişim olur? 700 . 0, 98 = 686 x = 686 100 7x = 700 - 686

700 - 700 .

7x = 14 14 7 x=2 x= 174

%2 azalmýþtýr veya 1,00 – 0,98 = 0,02 → %2 azalmıştır. d

1400 . 0,80 işleminin sonucunda 1400 sayısında olan değişim nedir? 1400 . 0, 80 = 1120 x = 1120 100 1400 - 1120 = 14x

1400 - 1400 .

280 = 14x 20

280 =x 141 x = 20

%20 azalmıştır. 1,00 – 0,80 = 0,20 → %20 azalmıştır. 7. Sınıf Matematik

3. Ünite

Yüzdeler

YÜZDE PROBLEMLERİ

Kâr, zarar, indirim, zam, iskonto, komisyon, faiz... hesaplama durumlarında yüzde işlemlerinden faydalanırız.

Örnek problemlerle inceleyelim. em obl r P

1

¨500 000’lık malını %30 kâr ile satan bir esnaf bu malını kaç liraya satmıştır? Hesaplayalım.

m2

e obl Pr

Yazarına %70 zam yapan bir yayınevi önceden 4 500 liraya yazdırdığı kitap, zamdan sonra kaç lira olur?

CÖZÜM 500 000 %30'unu hesaplayalým. 30 = ¨150 000 100 500 000 + 150 000 = ¨650 000 eder. 500 000 .

CÖZÜM 4 500

%70'i

70 = 3150 100 4500 + 3150 = ¨7650 olur. 4500 .

175

m3

e obl Pr

Satış fiyatı üzerinden %40 indirim yapan bir mağaza satış fiyatı ¨28 olan gömleği indirimden sonra kaç liraya satar?


CÖZÜM ¨28'nýn %40'ý 40 = ¨11, 20 indirim olmuþ 100 28.00 - 11.20 = ¨16.80'ya satar. 28 .

3. Ünite m4

e obl r P

Yüzdeler

CÖZÜM Perdenin kârsız (maliyet) fiyatına = x dersek.

%20 kâr ile satılan perdelerin metreka2 resi ¨48’dir. 12 m perdenin kârsız fiyatı kaç liradır?

20 = 48 100 x 2x + = 48 1 10

x+x.

(10)

10x + 2x = 48 10 12x = 48 10 4

48.10 x= 121 x = ¨40 40 . 12 = ¨480'dir.

m5

e obl Pr

Nihat Amca evini satışa çıkartıyor. Emlakçı evinin satışından %2 komisyon alacağını söyler ve evini ¨150 000’ya satar. Emlakçı ne kadar komisyon almıştır?

CÖZÜM 150 000 .

2 = ¨3000 komisyon almýþtýr. 100

176

m6

e obl Pr

Aylık faiz oranı %3 olan A bankasına aylık faizle ¨5000 yatıran Fevzi Dayı’nın 6 ayın sonunda kaç lirası olur?

CÖZÜM 3 = 150 100 150 . 6 = ¨900 (6 ayýn sonundaki faiz) 5000 .

5000 + 900 = ¨5900 (6 ayýn sonundaki tüm parasý)


3. Ünite

Yüzdeler

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki yüzde sorularını cevaplandırınız. a

¨22000 yıllık %60 faizle bankaya 5 ay süre ile yatırılıyor. Para çekilirken faiziyle birlikte ne kadar olur?

12 ay 5 ay

%60 faiz x

D. O 12x = 60.5 5

60.5 x= 12 x = 25 5 ayda %25 faiz 22000 .

25 = ¨5500 faiz 100

Anapara + faiz = Çekilen tutardır. 22000 + 5500 = ¨27500 eder.

b

İçerisinde %28 oranında süt bulunan yandaki kapta 5L süt-su karışımı vardır. Süt oranını %20 yapmak için ne yapılabilir?

5 L = 5000 mL 28 5000 = 1400 mL süt var. 100 Kaçýn %20 'si 1400 mL ettiğini hesaplayalım. 3 x x.

1 20

100

= 1400 mL

5

x = 7000 mL 7000 - 5000 = 2000 mL = 2 L su konulursasüt oranı %20 olur.


177

3. Ünite

c

Yüzdeler

%28 inin %2 si 14 olan sayı kaçtır?

%2'si 14 olan sayı; 14 :

7 100 2 = 14 . = 700 100 2

%28'i 700 olan sayı; 28 100 700 : = 700 . = 2500 100 28

ç

Kantinci Bahri Amca kutusunu ¨260 aldığı çikolataların, kutusunu ¨213,20 satıyor. Bahri Amca yüzde kaç zarar etmiştir?

260 - 213, 20 = 46, 80 ¨260'nın yüzde kaçı ¨46,80'dır? Bulalım; 260 .

178

x = 46, 80 100 46, 80.10 x= 26 x = 18 %18 zarar etmiþtir.

d

31 Mart 2015 tarihinde Türkiye’nin yaklaşık %97’sinde elektrikler kesilmiştir. Yaklaşık kaç ilde elektrikler kesilmemiştir? (Türkiye’de 81 il vardır.)

%100 – %97 = %3 81.

3 , 2 ilde elektrikler kesilmemiþtir. 100


3. Ünite

Yüzdeler

KONU TESTİ 1. ¨12000 yıllık %60’tan 4 yılda kaç lira faiz

7.

Yandaki kapta şeker oranı %25 olan 2 L su ve şeker oranı %15 olan 3 L su birlikte vardır.

getirir? A) 28 800

B) 16 800

C) 40 000

D) 20 880

5L

2. Bankaya yatırılan ¨14000 3 ay sonra

¨14 840 oluyorsa bu bankanın aylık faizi yüzde kaçtır? A) %1,5

B) %3

C) %20

Bu karışıma 2,6 L saf su ilave ediliyor. Son durumda kaptaki şeker oranı yüzde kaçtır? A) %20

B) %13,5 C) %12

D) %2

8.

Yanda tuz oranı %42,5 olan 15 L homojen tuzlu su karışımı vardır.

3. Yıllık %40’tan 50 günde ¨10 000 faiz kazanmak için bankaya kaç lira yatırmak gerekir? A) 200 000

B) 180 000

C) 72 000

D) 720 000

4. %30 zamlı satılmak istenen telefon satıla-

mayınca satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapılmıştır.

D) %12,5

Telefonun maliyet fiyatı ile son satış fiyatı arasında nasıl bir değişim vardır?

Bu karışımdan 4,5 L’sini boşaltıldığında, kalan karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? A) %35,7

B) %40

C) %42,5

D) %47

5x liraya satılmıştır. 4 Bu saatten yüzde kaç kâr edilmiştir? 179

9. x liraya alınan bir saat

A) %25 zamlı satılmıştır. B) %4 zamlı satılmıştır. C) %25 indirimli satılmıştır. D) %4 indirimli satılmıştır.

A) %50

B) %75

C) %25

D) %10

5. %1,5’u 15 olan sayının tamamı kaçtır? A) 15

B) 100

C) 1000

D) 150

10.

6. %2,5 komisyon ile çalışan Fatih sattığı arabanın parası ile komisyonunun toplamı ¨41 000’dır.

Fatih bu arabadan ne kadar komisyon almıştır?

CBM üçgeninde [CB]’nın uzunluğu üçgenin çevre uzunluğunun %30’u kadar, [BM]’nın B M uzunluğu çevre uzunluğunun %45’i kadar ve lCMl = 8 cm ise, lBMl - lCBl = kaç santimetredir? C

A) ¨1000

B) ¨2500

A) 9,6 cm

B) 4,8 cm

C) ¨3000

D) ¨3500

C) 14,4 cm

D) 24 cm


2- D

3- B

4- B

5- C

6- A

7- D

8- C

9- C

10- B

3. Ünite

ETKİNLİKLER 1)

S

I

M

I

A

R

A

V

1 ’tür. [AR]'nın 3 uzunluğu 90 cm olduğuna göre, SARI dikdörtgenin çevresi kaç santimetredir?

a) SARI dikdörtgeninde kısa kenar uzunluğunun, uzun kenar uzunluğuna oranı

b) SARI dikdörtgenin çevresinin MAVI karenin çevresine oranı nar uzunluğunu bulunuz. c) Verilenlere göre

2 ’tür. MAVI karesinin bir ke3

A (MAVI) nedir? A (SARI)

CÖZÜM a) Kýsa k 1 = Uzun k 3

180

30 katı olur. Kýsa k 1 = 90 cm 3 30 katı 90 : 3 = 30 katı Kısa kenar = 1.30 = 30 cm Ç(SARI) = 2 . (Kısa kenar + Uzun kenar) = 2 . (30 + 90) = 2 . (120) = 240 cm

b) Ç (SARI) 2 = Ç (MAVI) 3

240 2 = Ç (MAVI) 3

240 : 2 = 120 katı Ç(MAVI) = 120 . 3 = 360 cm Ç(MAVI) = 4 . |MA| = 360 360 : 4 = 90 cm (karenin bir kenar uzunluğu)

c) A(MAVI) = 902 = 90 . 90 = 8100 cm2 2

A(SARI) = 30 . 90 = 2700 cm

A (MAVI) 8100 3 81 = = = 3'tür. A (SARI) 2700 271


3. Ünite

7 ’tür. 13 Aşağıda x değerleri için y, y değerleri için x değerleri bulunmuştur. Yapılan hataları düzeltiniz. a) y = 8 için x=9

2) x’in y’ye oranı

b) x = 21 için 4 c) x = için 15 ç) x = –1 için

y = 28

d) y = 0 için

x=5

y = 24 y=6

CÖZÜM a)

x 7 = 8 13

13x = 7.8 56 x= 13

ç) - 1 = 7 y 13 7y = –13 13 y =dir. 7

b) 21 = 7 y 13

*

2 3 = y x

y x * 2=3 x 3 * y=2 y 2 * x=3


3

13. 21 y= 71 y = 39 d) x = 7 0 13 13x = 0 0 13 x = 0'dýr. x=

3) 2 . x = 3 . y eşitliğini veren orantıları yazınız.

CÖZÜM

7y = 13.21

4 7 c) 15 = y 13 7 4 .1 = 15 y 13 4 7 = 15y 13 105y = 52 52 y= 105

181

3. Ünite o

4) 4 arkadaş oyun oynuyorlar ve ellerinde içinde +4 C'de 4 L su bulunan kaplar var. Sıra ile yazılan işlemleri yapıyorlar. Karışımdaki tuz veya şeker oranı %25 olan oyunu kazanıyor. Oyunu kim kazanmıştır?

Ayşe

Yasin 1 kg %80 oranında şekerli su koyuyor.

Defne

Muhittin 5 kg %75 oranında şekerli su koyuyor.

4 kg 182

3 kg %20 oranında tuzlu su koyuyor.

4 kg %50 oranında tuzlu su koyuyor.

50 = 2 kg tuz 100

4 + 4 = 8 kg toplam 8.

x =2 100 2.100 x= 8 x = 25 → %25 (Muhittin kazanmıştır)


3. Ünite

ÜNİTE TESTİ 5. 18 tane ekmek ¨10,80 olduğuna göre, 1 tane

1. 100 ün % 30 u kaçtır? A) 100

B) 30

C) 70

ekmek ne kadardır?

D) 60

A) ¨1,10

B) 80 kr

C) 60 kr

D) 50 kr

2. Gamze ile Aslı kitap okuma yarışına giriyorlar ve bir saatte Gamze 320 sayfalık kitabının %25 ini okuyor.

Aslı 400 sayfalık kitabının aşağıdaki oranlardan en az hangisi kadarını okursa, Gamze’nin okuduğu sayfadan daha fazla sayfa kitap okumuş olur? A) %26

B) %28

C) %20

6. 5. ve 8. sınıflardan oluşan bir grup öğrenci okulun resim sergisi için 42 tane ebru yapmışlar.

Her öğrenci sergiye bir ebru çalışması ile katılmıştır katılan 5. sınıf öğrencilerinin sayısının 8. sınıf öğrencilerinin sayısına oranı

D) %21

3 olduğuna göre, sergiye ebru çalışması ile 4 katılan kaç tane 8. sınıf öğrencisi vardır? A) 24

3. Baha Ortaokulu yaptığı kermeste 1000 tane numaralı çikolatalardan satıyor. Toplam 120 hediye var.

C) 20

D) 18

7.

183

Her bir numaraya tek hediye çıkacağına göre, numaraların yüzde kaçına hediye çıkacaktır? A) %12

B) %120 C) %20

D) %24

4. Bahri Bey yaptığı 2 L limonata için 480 cL limon suyu kullanıyor.

B) 22

Bahri Bey 26 L limonata yapmak için kaç cL limon suyuna ihtiyaç duyar?

Yukarıdaki grafik için aşağıdakilerden hangisini söyleyemeyiz? A) Doğu orantı grafiğidir. B) Orantı sabiti 3 olabilir.

A) 840

B) 3120

C) Ters orantılı grafiğidir.

C) 6000

D) 6240

D) İki çokluğunun değerinin oranı sabittir.


3. Ünite

8. 30 m boyundaki binanın resmi çiziliyor.

1 ölçeğine göre 150

12. Mağazaya gittiğinizde ¨40'ya gördüğünüz pantolonun üzerinde % 50 + % 20 indirimli yazıyor.

Çizimdeki binanın boyu kaç santimetredir? A) 2,0

B) 2,5

C) 1,5

D) 1,8

İndirimden sonra pantolonun fiyatı ne kadar olmuştur? A) ¨ 12

B) ¨ 14

C) ¨ 16

D) ¨ 20

9. 2016 yılında ¨3000 olan öğretmen maaşlarını az bulan devlet % 37 zam yapmıştır.

13. Orantı sabiti 27 olan ters orantılı iki çokluk-

Zamdan sonra öğretmenlerin bir aylık maa-

tan birinin değeri 3 ise diğer çokluğun değe-

şı ne kadar olmuştur? A) ¨ 4110

B) ¨ 3111

ri kaçtır?

C) ¨ 3411

D) ¨ 4310

A) 81

x y

14. =

10. Bir sayıyı 1,07 ile çarpmakla ne yapmış

184

C) 9

D) 27

2 2x aşağıdakilerden hangisine ise 3 x+y

oluruz?

eşittir?

A) Sayı %107 artmıştır.

A)

B) Sayı % 7 artmıştır.

B) 3

3 4

B)

4 5

C)

5 6

D)

6 7

C) Sayı % 7 azalmıştır. D) Sayı % 93 azalmıştır.

15.

5L

3L

%3

%8

Kaplarda verilen kolonyaların alkol oranları altlarında verilmiştir.

11. 8 kişinin 51 günde yaptığı işi, aynı nitelikteki

17 kişi kaç günde yapar? A) 24

B) 42

İki kolonya tamamen karıştırıldığındaki alkol oranı aşağıdakilerin hangisine en yakın

C) 55

D) 12

olur? A) %1

1- B

2- D

3- A

4- D

5- C

6- A

7- C

8- A

9- A

B) %15

C) %9

D) %5

10- B 11- A 12- C 13- C 14- B 15- D 7. Sınıf Matematik

3. Ünite

185


3. Ünite

186


4.

ÜNİTE

KO NU LA R * Doğrular ve Açılar * Çember ve Daire * Veri İşleme

4. Ünite

Doğrular ve Açılar

DOĞRULAR VE AÇILAR

Yavuz Sultan Selim Türbesi

Konya Alaaddin Cami

188

İstanbul Boğaz Köprüsü Yukarıdaki mimari eserlerde doğru parçaları, açı, paralel doğru parçaları ve kesişen doğru parçaları modelleri olup olmadıını inceleyelim. 7. Sınıf Matematik

4. Ünite


Eş Açılar Eş açılar: Ölçüleri aynı olan açılara eş açılar denir. W) = x ise m (W W) 'dýr. m (W A) = x ve m (K A) = m (K

ÖRNEK Aşağıdaki çokgenlerde verilmeyen açıları bularak eş açıları belirleyelim. a

b

A

K

N

c

A

K

o

130

o

50

o

110

o

O

o

B

65

C

L

100

Y

M N

CÖZÜM a Üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı 180o olduğundan V) = 180 o m (W A) + m (W B) + m (C V) = 180 o 50 o + 65 o + m (C

V) = 180 o 115 o + m (C V) = 180 o - 115 o m (C V) = 65 o olduðundan m (C

V) (B açısının ölçüsü, C açısının ölçüsüne eşittir.) m (W B) = m (C b KLMN kareli kağıda çizimden anlaşılacağı üzere bir karedir. Karede de tüm açılar 90o’dir W ) = m (L W) 'dýr. V) = m (X ve eşlerdir. m (K M) = m (N c Beşgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı 540o’dir. KONYA beşgeninde V ) + m (N W) + m (O W) + m (Y W) + m (W m (K A) = 540 o W) + 110 o + 130 o = 540 o 90 o + 100 o + m (N W) + 430 o = 540 o m (N 7. Sınıf Matematik

W) = 540 o - 430 o m (N W) = 110 o olduğundan m (N

W ile Y W eþtir. N W) ile m (Y W) 'leri eþittir. m (N W) = m (Y W) bulunur. m (N

189

4. Ünite


BİR AÇIYA EŞ BİR AÇI ÇİZME 1 Kareli Kağıtta Eş Açı Çizme: % na eş bir açı çizelim. [AK üzerinde herhangi bir noktanın KAR A(başlangıç) noktasına göre konumunu bulalım. Mesela K noktası A noktasının 2 br sağ ve 4 br yukarısındadır. Başka bir ışının başlangıç noktasından başlayan ve başlangıç noktasının 2 br sağ 4 br yukarısındaki noktadan geçen bir ışın çizdiğimizde oluşan açı % ’na eşittir. KAR

K 4 br yukarı A

R

2 br sağa

Önce bir ışın çizelim ([TS) Sonra başlangıç noktasından (T) itibaren 2 br sağ ve 4 br yukarıda olan noktayı bulup işaretleyelim. Bu nokta P noktası olsun. Başlangıç noktasından başlayıp P noktasından geçen bir ışın çiz% ’nı oluşturduk. diğimizde PTS % 'na eþtir.) % , KAR (PTS

P 4 br yukarı T

S

2 br sağa

% ) olur. % ) = m (KAR m (PTS

2 Açı ölçer yardımı ile eş açı çizme A W nın ölçüsü açı ölçer yardımı ile ölçülür. Mesela 40o ABC olsun. 190 B

C M 40o R

T M

T

Şekildeki gibi bir ışın çizilir. Başlangıç noktasına (T) açı ölçerin orta noktası ışına düz bir şekilde hizalanarak yero leştirilir. 40 ’nin olduğu yer işaretlenir. İşaretli olan yerden geçecek şekilde başlangıç noktası T olan bir ışın daha çizip T açısını oluştururuz. W) olur. m (W B) = m (T

R 7. Sınıf Matematik

4. Ünite


3 Pergel yardımı ile eş açı çizme: Pergelin ağzını bir miktar açıp, ucu K noktasına sabitleyip bir yay çiziyoruz. Geçtiği noktaları L ve M gibi isimlendiriyoruz. L

K

M T

A

A

A

S

S

Ayrı bir ışın çizip pergelin açıklığını bozmadan ucu A noktasına sabitleyip bir yay çiziyoruz. Sonra pergeli LM uzunluğu kadar

T

açıyoruz. Ucunu S noktasına sabitliyoruz ve şekildeki gibi bir yay daha çiziyoruz. Yayların kesim noktasını “T” gibi isimlendi-

A

S

rip [AT’nı çiziyoruz. W) olur. m (W A) = m (K

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki açılara, istenen yöntemlerle eş açılar çiziniz. (Ö. V. C. İ)

191 Defter karelerini kullanarak çiziniz.

a 3 br 2 br

A

W) m (W A) = m (K

3 br 2 br K Defter karelerini kullanarak çiziniz.

4 br

b 3 br B


4 br V) olur. m (W B) = m (U

3 br U

4. Ünite


Cetvel ve Açı ölçer kullanarak çiziniz.

c

(Ö. V. C. İ) V) = m (C

C

o

44

Cetvel ve Açı ölçer kullanarak çiziniz.

ç

(Ö. V. C. İ) m (W D) = 93o

D

d

Pergel ve Açı ölçer kullanarak çiziniz. (Ö. V. C. İ)

192 E

e

V) = 150o m (E

Pergel ve Açı ölçer kullanarak çiziniz.

F W) = 85o m (F

(Ö. V. C. İ)


4. Ünite


f

Üç yöntemi de kullanarak çiziniz.

G

o

Karenin köşesi 90 dir.

o

Açı ölçerle ölçüm sonucu 90 dir.

(Ö. V. C. İ)

Pergel ve Açı ölçer kullanarak çiziniz. (Ö. V. C. İ)

AÇIORTAY Açıortay : Başlangıç noktası açının köşesi olan, açının iç bölgesinde açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. Aşağıda verilen örnekteki açının açıortayını cetvel ve pergel yardımı ile çizelim.

Pergeli şekildeki gibi açıp, ucu A noktasına gelecek şekilde bir yay çizilir. 193

L

K

A

Sonra pergelin açıklığını bozmadan pergelin ucunu L noktasına koyarak bir yay çizeriz. Sonra K noktasına koyarak bir yay çizeriz. İkisinin kesiştiği noktadan geçecek şekilde A noktasından çizilen ışın A açısının açıortayıdır.

L

A 7. Sınıf Matematik

K

4. Ünite


CÖZÜM

ÖRNEK % ’nın açıortayı olan ışını bulalım. Aşağıdaki RKZ

R

P

L

N M

o

Z

Eş açılarını yazıp hesapladığımızda % ) = 60 o olduğunu görüyoruz. m (RKZ 60 o : 2 = 30 o % nı iki eş açıya Açıölçer ile ölçtüğümüzde RKZ bölen ışın [KN dır. Açıortay [KN dır.

o

15

10 K

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen açılardaki ışınlardan hangilerinin açıortay olduklarını ve hangi açının açıortayı olduklarını bulunuz. a

T

K

o

30 o 30 194

S

P o

120

R

KR doğrusaldır. % ) = 30 o m (KPV % ) = 120 o m (RPC

V C % 6PT " KPR nın açıortayıdır.

180 o - (30 o + 120 o) = 30 o % ) = 30 o olduðundan m (VPC

6PV " KPC nýn açýortayýdýr. %


4. Ünite


b

K, B ve S doğrusal, A, B ve C noktaları doğrusal. % ) = 75 o m (ABS % ) = 30 o dir. m (TBC

S o

75

A

B

o

75

T

o

30

C

% ) = 180 o 75 o + 30 o + m (SBT

K

% ) = 75 o olduðundan m (SBT % 'nýn açýortayýdýr. 8BS " ABT

A

c

% ) = 70 o m (ABC % ) = 20 o m (EBD

E o

30 B

o

20

% ) = 30 o dir. m (ABE

D

% ) = 70 o % ) + m (DBE % ) + m (EBA m (CBD % ) + 20 o + 30 o = 70 o m (CBD

C

% ) + 50 o = 70 o m (CBD % ) = 70 o 50 o m (CBD % ) = 20 o m (CBD

A

ç

o

45

o

45

o

45 o 45

D

% ) = m (DBE % ) olduðundan m (CBD % 'nýn açýortayýdýr. 8BD " EBC

ABCD karesinde [AC] ve [BD] köşegendir. o

o

45 B

o

45

45

o

45

C

Bir karede köşegenler o köşede bulunan açıların açıortayıdır. V nın açıortayıdır. [AC] → W A ve C [BD] → W B ve W D nın açıortayıdır. 7. Sınıf Matematik

195

4. Ünite


ÜÇ DOĞRUNUN BIR DÜZLEMDE BIRBIRINE GÖRE DURUMLARI Bir düzlemde 3 doğru; 1)

2)

E

E

d

d

1

1

d

2

d

3

d

3

2

Tek noktada kesişebilirler.

Paralel olabilir. Yani kesişmezler. 3)

d

A

4)

E

d

d

1

E

3

d

1

d

2

d

d

3

2

İkişer ikişer kesişerek bir üçgen oluşturabilirler.

Doğrulardan ikisi paralel, diğeri paralel doğruları kesebilir.

E

d

3

d

196

1

d

2

Özel olarak; d doğrusu d ve d doğrularını dik 3 1 2 kesmiştir. d3 = d1 ve d3 = d 2 ’dir.


4. Ünite


ÖRNEK Aşağıdaki ifadeleri doğru veya yanlış olarak belirtelim. Bir düzlemde; a Bir noktadan en fazla üç doğru geçer.

Y

b

Farklı üç doğru aynı anda iki farklı noktada kesişir.

Y

c

Paralel iki doğrudan birini kesen doğru, diğerini de keser.

D

ç

Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine paralel olabilir.

Y

d Üç doğrunun ikişerli kesişerek oluşturduğu kapalı bölge bir üçgendir.

D

PARELEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESEN İLE OLUŞTURDUĞU AÇILAR d

3

a k

b l

x

Yöndeş açılar: Aynı yöne bakan açılara denir. d // d

d

1

d

y

d

c

2

d // d 1

2

1

ise; x=y

a=b

c=d

k=l

2

Yöndeş açıların ölçüsü birbirine eşittir.

d

197

3

c

d

1

a

d

1

a=b

d

2

d // d 1


2

ve ters yöne bakan açılara denir. d // d ise

İç bölge b

İç ters açılar: Paralel doğruların iç bölgesinde kalan

2

c=d

İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

4. Ünite


d

3

Dış bölge

y

z

Dış Ters Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesen ile yap-

x

d

d

t

Dış bölge

tığı açılardan dış bölgede olan ve ters yöne bakan açılara denir. x ile y, z ile t dış ters açılardır. x=y, z=t Dış Ters Açıların ölçüleri birbirine eşittir.

1

2

d // d 1

2

d

Ters Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesen ile yaptığı

3

k

a b

d

p

e

d

d

c f

açılardan köşeleri aynı olup ters yöne bakan 1

açılara denir. a ile b, k ile p, e ile f, c ile d ters açılardır. a=b,k=p e=f,d=c Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

2

d // d 1

2

Sonuç olarak; 198

İki paralel doğrunun bir kesen ile yaptığı açılar içinde tüm dar açılabirbirlerine eşittir. rın ölçüleri ..........................................................................

İki paralel doğrunun bir kesen ile yaptığı açılar içinde tüm geniş açıbirbirlerine eşittir. ların ölçüleri de .............................................................................

İki paralel doğrunun bir kesen ile yaptığı açılardan bir dar açı ile bir o 180 dir. Yani bir dar açı ile bir geniş açı birbigeniş açının toplamı .............................. bütünleri rinin ............................................................. dir.


4. Ünite


ÖRNEK

CÖZÜM

e

o

x ve 60 lik açı aynı yöne baktığı için yöndeş açılardır. o Yöndeş açılar birbirine eşit olduğundan x = 60 dir.

o

60

x

d

f

d // f ve e doğrusu d ve f doğrularını kesmiştir. Şekildeki verilere göre, x açısının ölçüsünü bulalım.

ÖRNEK

e f

y

f // g ve e doğrusu f ve g doğrularını kesmiştir. Şekildeki verilere göre, y açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulalım.

İç bölge

CÖZÜM

o

55

g

o

y açısı ve 55 lik açı iki paralel doğrunun iç bölgesindedir. Bu açılar ters yöne baktıklarından iç ters açılardır ve ölçüleri bu nedenden eşittir. 199 o y = 55 dir. e f

y

o

55

g

İç bölgelerin olduğu açılar belirtildiğinde z harfini andırdığı için iç ters açıların eşitliği kuralı Z kuralı olarak da adlandırılır.


4. Ünite


ÖRNEK

e

d

f

e // f ve d doğrusu e ve f doğrularını keser. Şekildeki verilere göre, x açısının ölçüsünü bulalım.

x

o

115

CÖZÜM o

x ve 115 ’lik açı iki paralel doğrunun dışında ters yöne bakan (dış ters) açılardır. Dış ters açıların o ölçüleri birbirlerine eşit olduklarından x = 115 ’dir.

ÖRNEK d

3

o

50

d

1

o

50 200

Verilenlere göre d , d ve d doğrularının bir1 2 3 birine göre konumlarını belirtelim.

d

2

CÖZÜM Verilen açı ölçüleri eşit ve aynı yöne bakmaktadır. Bu durum paralel iki doğrunun bir kesen ile yaptığı açılardan yöndeş açıların özelliğidir. Bu durumda d // d ve d doğrusu da, d ve d 1 2 3 1 2 doğrularını keser.


4. Ünite


ÖRNEK c

o

a // b ve c doğrusu a ve b’yi kesmektedir. Şekildeki verilere göre x + y ifadesinin değerini hesaplayalım.

110 x

a

y

o

70

b

CÖZÜM o

o

110 lik açı ile x açısı ters açılar olduğundan ölçüleri birbirlerine eşittir. x = 110 o

o

70 lik açı ile y açısı ters açılar olduğundan ölçüleri birbirlerine eşittir. y = 70 o

o

o

x + y = 110 + 70 = 180 dir. c x a

y

b 201 c x y

a

b x ve y açılarının bulunduğu açının kollarının iç bölgelerindeki açıların o toplamı her zaman 180 ’dir. Kollar U harfine benzediği için U kuralı da denir.


4. Ünite


CÖZÜM

ÖRNEK d

o

50 K

K

o

d

x

a x b

(iç ters açı) (iç ters açı)

d

2

K noktasından geçecek şekilde d ve d 1 2 doğrularına paralel bir doğru çizeriz. o o x + 50 = 95 o o x = 95 – 50 o x = 45 dir.

m

y

202

o

o 50 95 x

2

d // d ve şekildeki verilere göre, x’in kaç 1 2 derece olduğunu bulalım.

1

50

95

x

d

o

1

n

İki paralel doğru ve aralarında yandaki gibi oluşan açılarda ters yöne bakan açıların toplamı birbirlerine eşittir. a + b = x + y dir.

CÖZÜM

ÖRNEK o

d

3x x

d

30

1

2

d // d ve şekildeki verilere göre, x 1 2 değerini bulalım.

Yukarıda verilen özellikten; o o 30 + 3x = 90 + x o o 3x – x = 90 – 30 o 2x = 60 60 o x= 2 x = 30 o dir.


4. Ünite


PEKİSTİRELİM Aşağıdaki sorularda istenenleri bulunuz. A) = 115 o ve [AE // [CD , m (W

E

A

a

V) = 95 o ise m (C

o

115

D

C

x=?

o

95

o

85 = y

x

o

z = 65

d

[AE ve [CD’na paralel bir d doğrusu çizelim. o o * 115 + z = 180 dir. (U kuralýna göre) z = 180 o - 115 o

z = 65 o 'dir. *

95 o + y = 180 o dir. (U kuralýndan) y = 180 o - 95 o y = 85 o dir.

65 o + 85 o + x = 180 o dir. (Doðru açý) 150 o + x = 180 o x = 180 o - 150 o x = 30 o 'dir. d

b

3

2x + 45

o

d

1

x + 45 o + 2x = 180 o dir. (U kuralýndan) 3x + 45 o = 180 o 3x = 180 o - 45 o

x

3x = 135 o d

2

d // d ve d , d ve d doğrularını kesen ise, 1 2 3 1 2 şekildeki verilere göre x değeri kaçtır?


x=

135 3

x = 45 o dir.

203

4. Ünite


c

o

e

o

* 65 ’nin olduğu açı ile 2x-5 ’nin olduğu açılar ters açılar olduğu için birbirlerine eşittir.

o y A 2x-5 o 20 o 65

g

65 o = 2x - 5 o 65 o + 5 o = 2x 70 o = 2x

f

70 o =x 2

f, e ve g doğruları A noktasında kesişmiş2 tir. Şekildeki verilere göre x + y ifadesinin değerini bulunuz.

ç

D

B 204

o

* y ve 20 nin olduğu açılar ters açılardır. Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, o y = 20 dir. 2

x + y ise;

(35) + 20 = 1225 + 20 = 1245’tir.

2

% ile 114o lik W BCD D ’sı yöndeştir. Yöndeş açılar bir% ) = 114 o dir. birine eşit olduğundan m (BCD

o

114

A

35 o = x dir.

[CD] // [BA]’dir. % ) + m (BCD % ) = 180 o dir. (U kuralýndan) m (CBA % ) + 114 o = 180 o m (CBA

C

% ) = 180 o 114 o m (CBA % ) = 66 o dir. m (CBA

Yukarıdaki ABCD paralel kenarında % ) bulunuz. % ) ve m (CBA m (BCD

d

o

o

o

25 + 90 + a = 180 dir. (Doğru açı) o

A x

D

a

B

e

o

25

F C

AD // [BC’dır. Şekildeki verilere göre x değerini bulunuz.

o

a + 115 = 180

o

o

a = 180 – 115

a = 65 dir.

o

a ile x iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan,

x=a

x = 65 dir.

o


4. Ünite


e

A

B

o

C

kan açıların toplamına eşit olacağından; o

o

D

o

64

o

32

o

o

25 + x + 32 = 42 + 64 dir. o

x E

Sağ tarafa bakan açıların toplamı, sol tarafa ba-

25 o 42

o

x + 57 = 106

o

o

x = 106 – 57

x = 49 dir.

o

F

G

[BA // [FG’dır. Şekildeki verilere göre, x değerini hesaplayınız. o

d

f

4

o

50

d

1

o

b

x

a = 50 k

d

2

o

125

d

3

d // d // d ve d doğrusu kesendir. 1

2

3

a ile 50 lik açı yöndeş oludğundan ölçüleri eşittir. a ile b ters açı olduğundan ölçüleri eşittir. o o k + 125 = 180 dir. (U kuralından) o o k = 180 - 125 o k = 55 o k + b + x = 180 o o o 55 + 50 + x = 180 o o 105 + x = 180 o x = 180 – 105 o x = 75 dir.

4

Şekildeki verilere göre, x değerini bulunuz.

205

g LM Işınını uzattığımızda, o a = 5x–10 (yöndeş açılar)

K o

5x – 10

o

2x + 50 L

S

a M 5x – 10 T

o

R

[LK // [RS , [LM // [RT ve şekildeki verilere göre, x’in ölçüsü kaç derecedir?


o

o

o

5x–10 + 2x+50 = 180 (U kuralından) o

o

7x+40 = 180

o

7x = 180 – 40

7x = 140 140 o x= 7 o x = 20 dir.

o

o

4. Ünite

ğ


K

E

?

% iç ters açı% ile KLA [KE] // [AL] ise EKL lardır ve ölçüleri aynıdır. % ) = 38 o dir. m (EKL

o

38

A

L

Yukarıda verilen KALE dikörtgeninde, % ) kaç derecedir? m (LKE K

h

% yöndeştir ve ölçüleri eşittir. % ile KSR KLN o y = 42 o o 2y = 2 . 42 = 84 dir. & nin iç açıları toplamı KNL

x

y

R

2y N

o

S

o

42

o

o

42 + 84 + x = 180 o o 126 + x = 180 o x = 180 – 126 o x = 54 dir. L

Yukarıda verilen üçgenlerde [RS] // [NL] dır. Şekildeki verilere göre, x açısı kaç derecedir? 206

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM t

Verilenlere göre, aşağıdakilerin hangisinde

o

124

d // k’dır?

o

d

124 o k 56 o

o

o

124 + 56 = 180 d ve k doğruları paralel olursa bu iki açı bütünlerdir. Diğer seçenekler bu kuralı sağlamıyor. Cevap: B


4. Ünite


ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM o

33

Bo ru Ha t 3. sok tı ak

2. sokak

yöndeş açılar

o

33

Boru Hattı

1. sokak

Bir mahalledeki 3. sokak, birbirine paralel olan 1. ve 2. sokakları kesmektedir. Bu mahalleye, 1. ve 3. sokaklara paralel olacak şekilde krokideki gibi borular döşenecektir.

o

o

? + 33 = 180 (Komşu bütünler) o

? = 180 – 33

o

o

? = 147 dir.

o

Cevap: C

2. ve 3. sokakların oluşturduğu dar açı 33 olduğuna göre, boru hatlarının oluşturduğu geniş açı kaç derecedir? C) 147

D) 153

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

0o

o

1. C

70

3. Sokak

o

1. ve 4. sokaklar arasındaki açının ölçüsü 110 , o 2. ve 3. sokaklar arasındaki açının ölçüsü 50 olduğuna göre, 1. ve 2. cadde arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir? A) 20

B) 40

C) 50

D) 60

o

o

o

50

70

207

o

2. C

e add

Krokiye göre, 1. sokak ile 1. cadde, 2. sokak ile 2. cadde ve 3. sokak ile 4, sokak birbirlerine paraleldir.

o

50

e

k oka 1. S

4. Sokak

11

add

B) 123

2. S oka k

A) 114

?

o

180 – 110 = 70 (U kuralından) o

Z kuralından 50 ’dir. o

o

o

50 + 70 + ? = 180

(üçgenin iç açıları toplamı) o

o

120 + ? = 180

o

o

? = 180 – 120 o

? = 60 dir, Cevap: D


4. Ünite


KONU TESTİ 1. I. Paralel doğrular asla kesişmez. II. Paralel iki doğrudan biri ile tek noktada

A

kesişen doğru diğeri ile kesişmez.

B

III. Paralel iki doğrudan birine dik olan doğ-

T

A) Yalnız II

B) I ve II

C) I ve III

D) II ve III

Yukarıdaki birim karelere bölünmüş kağıtW ’nın eş açısını oluşturabilmek için ta ABC [KM’nin başlangıç noktasını hangi nokta ile birleştirmek gerekir? A) X

d

I.

150

d

2

o

75

d

d

1

2

o

100 k

E F

k

B o

d

D

C

2

IV.

1

100

110 o 110

o

x

d

1

2

Yukarıdaki şekillerde verilen açılara göre d

ve d doğruları hangi madde ya da madde-

lerde paralel olarak verilmiştir?

A) Yalnız II

B) I, II ve III

C) II ve IV

D) I ve II

1

2

O

A d

D) T

k

4.

d o

C) Z

o

105

o

30 k III.

B) Y

II.

1 o

208

M K

Yukarıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

2.

Z

C

ru diğerine de diktir.

XY

22

3.

G

AG doğrusu üzerinden alınan O noktasından bazı açı ve açıortaylar oluşturuluyor. V ’nın açıortayı [OC, AOE V ’nın açıortayı [OB, AOC V ) = m (EOF V ) = m (FOG V ) m (DOE

olduğuna göre, V ) = x açısı kaç derecedir? m (BOC A) 22

B) 28

C) 34

D) 56


4. Ünite


5.

x+40

k

8.

3x y

d

t

1

125

o o

45

2

açısı kaç derecedir?

d

1

2

C) 110

D) 105

A) 115

o

b

5a+40

e a

3 3

B) 115

C) 120

2

1

g

göre b açısı kaç derecedir? A) 110

D) 100

d

d

9.

2

d // d // d olmak üzere, şekildeki verilere 2

C) 105

1

d 1

B) 110

2a

d

d // d olmak üzere, şekildeki verilere göre x açısı kaç derecedir?

B) 120

6.

2

d

d // d olmak üzere şekildeki verilere göre y A) 130

d

x

k 1

1

o

2

d

D) 125

f d

b c

k

1

k

2

d // d ve k // k olmak üzere aşağıdaki 1

2

1

2

ifadelerden hangisi yanlıştır? A) e ile f ve a ile b yöndeş açılardır. B) c = e = f dir. C) c ile f ve f ile e dış ters açılardır. D) g = b = d = a dır.

A

7. o

B 40

x

d

o

1

150

C

d

2

d // d olmak üzere, şekildeki verilere göre 1

2

x açısı kaç derecedir? A) 25 7. Sınıf Matematik

B) 20

C) 15

D) 10

209

4. Ünite

10.


d

12.

x

1

y 30

d

o

d

1

d

2

3

2

147

y

d // d olmak üzere, şekildeki verilere göre x 1

d

o

2

açısının bütünleri olan y açısı kaç derecedir? A) 80

B) 75

C) 70

D) 60

d // d ve d doğrularının kesenidir.

Şekildeki verilere göre y değeri kaç

derecedir?

1

2

3

A) 33

210

11.

A

o

o

D

13.

x+11

3x+1

B) 147

C) 43

D) 50

S

K o

110 L

o

100

x

B C ABCD parelelkenarından verilere göre x değeri kaç derecedir? A) 35

B) 5

C) 71

M

D) 42

T

[KS // [MT ve şekildeki verilere göre x açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 150

1- C

2- D

3- A

4- B

5- B

6- A

7- D

8- D

9- C

B) 140

C) 130

D) 120

10- B 11- D 12- B 13- A 7. Sınıf Matematik

4. Ünite

Çember ve Daire

ÇEMBER VE DAİRE

211

ÇEMBERDE MERKEZ AÇI B Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir.

O

Merkez açı

A


4. Ünite

Çember ve Daire

Merkez açının kolları arasında ka-

B O A

Merkez açının gördüğü Yay

lan çember parçasına merkez açının % gördüğü yay denir. AB Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir. % m (AB)

Örneklerle merkez açının özelliklerini inceleyelim.

ÖRNEK

CÖZÜM B o

O

60

A

O merkezli çemberde; % % ) = 60 o ise, m (AB) kaç derecedir? m (BOA

ÖRNEK

CÖZÜM

O 212

% ‘nın köşesi çemberin merkezinde olduğu BOA için merkez açıdır. % % AB , BOA ’nın gördüğü yaydır. Yay ölçüsü gördüğü merkez açının ölçüsüne % eşit olduğundan m (AB) = 60 o ’dir.

L

a

Merkez açı gördüğü yay ölçüsüne eşit oldu( % ) = m (PUL ğundan a = m (POL ) dür. o a = 116 dir.

P U Yukarıdaki O merkezli çemberde ( m (PUL) = 116 o olduğuna göre, a kaç derecedir?

CÖZÜM

ÖRNEK L O

Merkez açı doğru açı olduğundan gördüğü yayın ( ölçüsü m (KAL) = 180 o dir.

o

K

180

A Yukarıdaki O merkezli çemberde [LK] çaptır. KAL yayının ölçüsü kaç derecedir? 7. Sınıf Matematik

4. Ünite

Çember ve Daire

Doğru açının gördüğü yaya “Yarım Çember Yayı” veya “Yarım Çember” denir.

ÖRNEK K

CÖZÜM

T o

2x+21

( % ) = m (PTK m (KOP ) olduğundan o o 2x + 21 = x + 55 2x - x = 55 o - 21 o x = 34 o dir.

P

O

Yukarıdaki O merkezli çemberde % ) = 2x + 21 o m (KOP ( m (PTK) = x + 55 o ise, x değeri kaçtır?

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

Eşit aralıklarla yerleştirilmiş 8 koltuktan birinde oturan Fırat, dönme dolap ok yönünde kaç derece döndüğünde Meriç’in bulunduğu en yüksek noktaya ulaşır?

8x = 360 o 360 o 8 x = 45 o x =

213

3x = 3.45 o

x dersek

= 135 o 'dir. Cevap: C

A) 90


B) 120

C) 135

D) 150

4. Ünite

Çember ve Daire

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen O merkezli çemberlerdeki verilere göre istenenleri bulunuz. a

L

T

b

K $ m (KL) = ?

o

75 O

o

28

R

$ % ) = m (KL m (KOL ) $ m (KL) = 75 o dir.

O

S

6RS@ çap ise,

% m (TR) = ?

% ) + m (SOT %) = 180 o (doðru açý) m (ROT % ) + 28 o = 180 o m (ROT % ) = 180 o m (ROT

- 28 o

% ) = 152 o m (ROT % % ) = m (TR m (ROT ) % m (TR) = 152 o dir.

214

T

c

x R

M

ç

N ) m (MKL) = 184 o

x Z

O

Ü K G % m (TR) = ? o

Tamamı 360 olduğundan 1 o o ’si → 360 : 12 = 30 dir. 12 % m (TR) = x = 30 o dir.

L

%) = x = ? m (LOM

o

Bir çember yayının ölçüsü 360 dir. ) ) m (MKL) + m (LNM) = 360 o olduðundan 184 o + x = 360 o x = 360 o - 184 o x = 176 o dir. ) % ’nın gördüğü yay; LNM LOM 'dir. % Ölçüleri aynı olduğundan m (LOM) = 176 o dir.


4. Ünite

Çember ve Daire

H d

x $ m (HA) = ?

$ 3 1 m (HA) = = 'tür. Tüm Yay Ölçüsü 12 4 1 360 . = 90 o dir. o 360 4 olduğu için tüm yay ölçüleri de x = 90 o dir o 360 ’dir.

İ

A

L

Merkez açı ile gördüğü yayın ölçüsü eşit olduğundan

e

4x = x 2 O

L 4x

K

2

x

$ m (KL) = x 2 % ) = 4x ise x = ? m (LOK

f

K

O merkezli çemberde [AO] // [CB] dır. ? A

O

x2 x x . x1 4= x1 4 = x'dir. 4=

% ) = 33 o ise, m (% m (CBK AK) = ?

o

B

33

C

% ile CBO % yöndeştir. Ölçüleri eşittir. KOA % ) = m (CBO %) m (KOA % ) = 33 o dir. m (KOA %, % KOA AK ný gördüðü için, % ) = m (% m (KOA AK) dür. % m (AK) = 33 o dir. 7. Sınıf Matematik

215

4. Ünite

Çember ve Daire o

77

D

g

o

A

% % ) = 77 o ise AB ve CD çap, m (CB) = 62 o ve m (EOD

E

62

o

77 O

B

o

62

o

62 C

$ m (AC) = ? % m (BE) = ? % m (ED) = ? % m (DA) = ?

% % * m (ED) = m (EOD) dür. (Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan) % m (ED) = 77 o % % * m (BOC) = m (CB) dür. % ) = 62 o dir. m (BOC % ile DOA % ters açılardır. Ölçüleri eşittir. BOC % ) = 62 o dir. m (DOA

% ) = m (% m (DOA DA) (Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan) % m (DA) = 62 o dir. o

216

* [AB] çap olduğundan ACB yayı yarım çember yaydır. Ölçüsü 180 dir. $ % m (AC) + m (CB) = 180 o $ m (AC) + 62 o = 180 o $ m (AC) = 180 o - 62 o $ m (AC) = 118 o dir. ( * [CD] çap olduğundan CBD yarım çember yayıdır. Ölçüsü 180o dir. % % % m (CB) + m (BE) + m (ED) = 180 o dir. % 62 o + m (BE) + 77 o = 180 o % m (BE) + 139 o = 180 o % m (BE) = 180 o - 139 o % m (BE) = 41 o dir.


4. Ünite

Çember ve Daire

ÇEMBER VE ÇEMBER PARÇASININ UZUNLUĞU Çemberin Çevre Uzunluğu Yandaki O merkezli, r yarıçaplı çemberin çevre uzunluğu Çevre = 2 . p . r r = yarıçap uzunluğu 22 p = 3,14 = 7

r

O

Örneklerle çemberin çevre uzunluğunu hesaplayalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

r = 4 cm

O

Çevre = 2pr Ç = 2.3.4 cm Ç = 24 cm’dir.

O merkezli çemberde yarıçap uzunluğu 4 cm olduğuna göre, çemberin çevre uzunluğunu bulalım. (p = 3 alınız.)

ÖRNEK

CÖZÜM

1 cm

O

r=1

O merkezli çemberde yarıçap uzunluğu 11 cm olduğuna göre, çemberin çevre uzunluğunu bulalım. (p = 3 alınız.)


Çevre = 2pr Ç = 2 , 3, 11 Ç = 66 cm’dir.

217

4. Ünite

Çember ve Daire

ÖRNEK

CÖZÜM R = 18 cm ise r = 18 : 2 = 9 cm dir. Ç = 2pr Ç = 2, 3, 9 Ç = 54 cm’dir.

O R = 18 cm

Çap uzunluğu 18 cm olan O merkezli çemberin çevre uzunluğunu bulalım. (p = 3 alınız.)

ÖRNEK

CÖZÜM A ?

Çevre uzunluğu 150 m olan, yukarıdaki havuzun merkezindeki sütuna tutunan Ayşe A noktasına gelmek istiyor. Ne kadar yüzmesi gerekir? (p = 3 alınız.)

Merkezin çevreye olan uzaklığı yarıçaptır. Ç = 2.p.r formülünden 150 = 2, 3, r 6 r = 150 150 r= 6 r = 25 m yüzmesi gerekir.

ÖRNEK 218

14 cm yelkovan ve 6 cm akrep’i olan saatte, akrep ve yelkovanın 3 saatte aldığı yolu hesaplayalım.

CÖZÜM

O

1 saatte yelkovanın aldığı yol, 1 tam tur: Çevre = 2 . p . r = 2 . p . 14 cm = 28p cm 3 saatte aldığı yol; 3.28 p = 84 p cm’dir.

1 1 saatte akrebin aldığı yol tur: 12 1 . 2 . p . 61= p cm 12 3 saatte aldığı yol 3 . p = 3p cm’dir. 7. Sınıf Matematik

4. Ünite

Çember ve Daire

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda yarıçap - çap uzunluğu verilen çemberlerin çevre uzunluklarını hesaplayınız. (p = 3 alınız.) a

r = 1 cm

b

Ç=2.p.r Ç = 2 . 3. 1 Ç = 6 cm

r = 75 br

c

Ç=2.p.r Ç = 2 . 3. 75 Ç = 6, 75 Ç = 450 br

R = 18 cm R 2 18 r= 2 r = 9 cm r=

Ç=2.p.r Ç = 2 . 3. 9 Ç = 54 cm ç

R = 84 cm

d

r = 3,1 cm

e

Ç=2.p.r Ç = 2 . 3. (3,1) Ç = 6, (3, 1) Ç = 18,6 cm

R 2 84 r= 2 r = 42 cm Ç=2.p.r Ç = 2 . 3. 42 Ç = 252 cm r=

r=

5 m 7

Ç = 2 . 3, Ç=6. Ç=

5 7

5 7

30 m 7

2) Aşağıda çevre uzunlukları verilen çemberlerin yarıçap uzunluklarını hesaplayınız. (p = 3 alınız.) a

Ç = 150 cm

b

Ç=2.p.r 150 = 2 . 3 . r 6r = 150 150 r= 6 r = 25 cm

ç

Ç = 888 cm Ç=2.p.r 888 = 2 . 3 . r 6r = 888 888 r= 6 r = 148 cm


Ç = 1242 br

c

Ç=2.p.r 1242 = 2 . 3 . r 1242 = 6r 6r = 1242 1242 r= 6 r = 207 br d

Ç = 600 m Ç=2.p.r 600 = 2 . p . r 600 = 2. 3. r 6r = 600 600 6 r = 100 m r=

Ç = 84 m Ç=2.p.r 84 = 2 . 3 . r 6r = 84 84 6 r = 14 m r=

e

Ç = 1266 km Ç=2.p.r 1266 = 2 . 3 . r 1266 = 6r 1266 r= 6 r = 211 km

219

4. Ünite

Çember ve Daire

Çember Parçasının Uzunluğu % lABl ifadesi, AB yayının uzunluğunu gösterir. Bir çemberde çember parçasının uzunluğu hesaplanırken; R

O

a M


o

Çember parçasının gördüğü merkez açının (x), tüm açıya (360 ) oranı bulunur. Çevre uzunluğunun aynı oran ile çarpımı, istenen çember parçasının a uzunluğuna eşittir. Formülle; Çember parçasının uzunluğu = o . çevre 360 uzunluğu’dur. & Yani lMOl = a o 2pr dir. 360

CÖZÜM

ÖRNEK

O r = 9 cm A o 20

% lBAl = ? (p = 3 alınız.)

B

ÖRNEK 220

Çevre = 2 . p . r Ç = 2, 3, 9 Ç = 54 cm % lBAl =

20 o

1

360 o

3

, 54

181 % lBAl = 3 cm'dir.

CÖZÜM Çevre = 2 . p . r (1 saatte aldığı yol) Ç = 2, 3, 12 Ç = 72 cm 20ý 60

ý

=

1 3

1 = 24 cm (20 dakikada aldığı yol) 3 Toplam Yol: 144 + 24 = 168 cm’dir.

72 . Uzunluğu 12 cm olan yelkovanın 1 saat 20 dakikada aldığı yolu hesaplayalım. (p = 3 alınız.)


4. Ünite

Çember ve Daire

ÖRNEK

CÖZÜM O merkezli yarım çemberin uzunluğu; 1

% 180 o 1 2.3.3 lBAl = 360 o 1

r = 1,5 cm

O A

r = 3 cm 1

1

21

2

= 9 cm O merkezli yarım çemberin uzunluğu;

B

O

2

2

& 180 o 1 lBO1l = . 2 . 3. ^1, 5h o 360

O ve O merkezli iki yarım çemberin oluştur1

2

duğu şeklin çevresini hesaplayalım.

1

21

= ^4, 5h cm

(p = 3 alınız.)

& % Toplam çevre uzunluğu = lABl + lBO1l + r

1

ÖRNEK

=9+4,5+3

= 16, 5 cm’dir.

30 cm

A

117 cm

B

4,5 m

K

Bisikletin arka tekerinin K noktasına gelebilmesi için tekerin kaç tur dönmesi gerekir bulalım. (p = 3 alınız.)

CÖZÜM Tekerin çevresi = 2pr = 2, 3,30 = 180 cm 4,5 m = (4, 5).100 = 450 cm lAKl = 117 cm + 450 cm lAKl = 567 cm (Arka tekerin alacağı yol uzunluğu) 567 = 3, 15 tur atar 180


221

4. Ünite

Çember ve Daire

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM

D

D

C

C 4

4 O

4 A

B

A

K Şekildeki karenin köşeleri çember üzerindedir. Karenin bir köşegeninin uzunluğu 8 cm olduğuna göre, AKB yayının uzunluğu kaç santimetredir? (p yerine 3 alınız.) A) 6

B) 10

4

C) 18

D) 24

PEKİSTİRELİM

B K

( AKB , 90 o ’lik merkez açıyı gördüğünden; ( 90 o1 2.3.4 lAKBl = 360 o 4 1 = 2 . 3 = 6 cm Cevap: A

1) Aşağıda verilen O merkezli çemberlerde merkez açıları verilmiş olan çember parçalarının uzunluklarını bulunuz. (p = 3 alınız.)

O

o

30

cm

C

% lBAl = ?

% lDCl = ?

75

A

b

r=

a

O

o

120

r = 8 cm

222

B

D

% 130 o lBAl = .2.3. 8 4 = 4 cm o 1 360

% 120 o lDCl = .2.3.75 = 150 cm o 360 1

12 6 31

3

c

G

ç

O

20 br E F o 10

r=7

20 $ 10 o lFEl = .2.3. 720 = 120 br 360 o 1

361

o

$ lFEl = ?

100

O r = 36 cm

H

% lHGl = ?

1 % 100 o lHGl = .2.3.36 = 60 cm 360 o 1


4. Ünite

Çember ve Daire

d I r = 101

br

M

e

K & lKLIl = ?

O

R

o

240

) lMTRl = ?

O

r = 10 cm

T

L & 240 lKLIl = .2.3.101 = 404 br 360 2

360 o - 90 o = 270 o 5 ) 270 lMTRl = . 2.310 . = 45 cm 360 3

33

42 1

g

f

N

% lNPl = ?

O

o

$ lSRl = ? O

17 br

45

R

r = 108 cm P % lNPl =

S 145 o

360 o8

$ lSRl =

27 . 2.3.108 = 3. 216 = 81 cm 81

1

90 o 360 o 4 2

2.3.17 =

51 = 25, 5 br 2 223

U

ğ

B

R

=

14

24

cm

C

O

6AB@ çap ise,

h

' lVUTl = ?

( lBCAl = ?

O r = 360 cm T

o

V

177

A r =

R 1424 = = 712 cm olur. 2 2

( 180 o 1 lBCAl = . 2.3.712 = 2136 cm 360 o 1

21


360 o - 177 o = 183 o ' 183 o lVUTl = .2.3.360 o = 1098 cm 360 o

4. Ünite

Çember ve Daire

2) Aşağıda yarım ve çeyrek çember parçaları ile oluşan şekillerin, şekildeki verilere göre, çevre uzunluklarını hesaplayınız. (p = 3 alınız.) O merkezli yarım çember parçası için;

a

% 180 o 1 lBAl = . 2.3.4 = 12 cm 360 o 1

O r = 4 cm 2 O 2 2 O 2 B 2 1

A

2

O1 merkezli yarım çember parçası için; $ 180 o 1 lOBl = . 2.3.2 = 6 cm o 360 1

21

O2 merkezli yarım çember parçası için; % $ lBOl = lOAl'dir. $ lOAl = 6 cm $ $ % lBAl + lOBl + lOAl = 12 + 6 + 6 = 24 cm'dir.

O merkezli, yarım çember parçası için;

b B

r=

180 o

lAOl =

8 cm

O1

O

1

2.3.8 = 24 cm

360 o 21

A 224

O1 merkezli, yarım çember parçası için; 1 o

lAOl =

1

180

360 o

2.3.4 = 12 cm

21

$ % Çevre = lABl + lAOl + lOBl = 24 + 12 + 8 = 44 cm'dir. R

) 270 o3 . . . 20 5 .9 lMRTl = 2 3 10 = = 45 cm 41 360 o4

M

1

r

L

=1

0c

m

c

N

$ 4 .3 90 o 2 . 3 . 2= lLNl = = 3cm 4 360 o4 lTNl = lMLl = r1 - r2 = 10 - 2 = 8 cm ) $ Çevre = lMRTl + lLNl + lTNl + lMLl 1

O r = 2 cm 2

T O, merkezli çemberlerden, Büyük çember yarıçapı r = 10 cm 1 Küçük çeyrek çember yarıçapı r = 2 cm

= 45 + 3 + 8 + 8 = 64 cm dir.

2


4. Ünite

Çember ve Daire

DAIRENIN ALANI Dairenin alan hesabı formülü:

O

r

2

Alan: pr dir.

Örneklerle daire alanlarının nasıl hesaplandığını öğnenelim.

ÖRNEK

CÖZÜM Alan = pr

O

r = 3 cm

2 2

Alan = (3,14).3 Alan = (3,14).9

2

Alan = 28,26 cm dir. Yukarıdaki O merkezli dairenin alanını hesaplayalım. (p = 3,14 alınız.)

ÖRNEK

O

CÖZÜM Alan = pr

r

64p = pr

2

Alanı 64p cm olan yukarıdaki O merkezli dairenin yarıçap uzunluğunu hesaplayalım.


pr 64 = p 2 r = 64

2

2

2

8’in karesi 64 olduğu için r = 8 cm dir.

225

4. Ünite

Çember ve Daire

ÖRNEK 110 m

11 m

80 m

7m

Dikdörtgen şeklindeki bahçenin içine yandaki şekilde görüldüğü gibi daire şeklinde havuzlar yapılacaktır. Bahçeden geriye kalan alana da çim ekilecek. Büyük havuzda çevrenin merkeze olan uzaklığı 11 m, küçük havuzda çevrenin merkeze olan uzaklığı 7 m’dir. Bahçenin kısa kenar uzunluğu 80 m uzun kenar uzunluğu 110 m olduğuna göre çim ekilecek alanı hesaplayalım. (p = 3,14 alınız.)

T.A = ?

CÖZÜM 2

Büyük havuz = pr

2

= p . 11

= 121p m

2

2

Küçük havuz = pr

2

= p.7

= 49p m

2 2

Toplam = 121p + 49p = 170p m dir. = 170 . (3,14) = 533,8 m2 Bahçenin alanı

= 80 . 110

= 8800 m

2

Çim ekilecek alan = 8800 – (533,8) 226

2

= 8266,2 m dir.

PEKİSTİRELİM Aşağıda şekillerdeki verilere göre istenenleri hesaplayınız. a

Alan = pr O

r

2 2

Alan = 3,10

Alan = 3,100

2

Alan = 300 cm O merkezli dairenin yarıçap uzunluğu 10 cm ise alanı hesaplayınız. (p = 3 alınız.)


4. Ünite

Çember ve Daire

b

K

R 12 cm 6 cm

M E Yukarıda bir kenarının uzunluğu 12 cm olan KMER karesi ve O merkezli daire verilmiştir. Taralı alanı hesaplayınız. (p = 3 alınız.)

c

Elif ile Fevzi kardeşlere babası çilek dikmeleri için daire şeklinde iki bölüm veriyor. Elif’in çilek diktiği bölümün yarıçapının, Fevzi’nin çilek diktiği bö5 lümün yarıçapına oranı olduğuna 6 göre, Elif’in çilek diktiği alanın, Fevzi’nin çilek diktiği alana oranı kaçtır?

Taralı alan = Karenin alanı – Dairenin alanı 2 Karenin alanı = (12 cm) 2 K.A = 144 cm 2 Dairenin alanı = pr 2 D.A = 3.6 D.A = 3.36 2 D.A = 108 cm T.A = K.A – D.A 2 2 T.A = 144 cm – 108 cm 2 = 36 cm dir.

Elif’in bölgesine = A(E) Fevzi’nin bölgesine = A(F) diyelim 2

(rE) 2 rE 2 5 2 25 A (E) p(rE) dýr. = = = = e o c m = rF 6 36 A (F) p.(r )2 (r ) 2 F F

227 r = 8cm ç

r = 8cm

Yandaki silindir şeklindeki konserve kutusunun alt ve üst kapakları yarıçapı 8 cm olan dairelerden oluşmuştur. Bu kapakların alanlarının toplamını bulunuz. (p = 3 alınız.) 7. Sınıf Matematik

2

Bir kapağın alanı = pr 2 A = 3.8 A = 3,64 2 A = 192 cm 2 kapağın alanı = 2.192 2 = 384 cm dir.

4. Ünite

d

Çember ve Daire

K

E

37 cm

A

O

r = 6 cm

R

61 cm

Yukarıda uzun kenar uzunluğu 61 cm ve kısa kenar uzunluğu 37 cm olan KARE dikdörtgeninin içine yarıçapı 6 cm olan O merkezli daireden en fazla kaç tane sığdırılır?

60 cm

K

1 cm E

12 cm O 12 cm

1 cm

12 cm

36 cm

A

R

228 36 : 12 = 3 tam daire (Enine) 60 : 12 = 5 tam daire (Boyuna) 12 .3 = 36 cm ise eninde 37 – 36 = 1 cm boşluk kalır. 12 . 5 = 60 cm ise boyunda 61 – 60 = 1 cm boşluk kalır. Toplam 3, 5 = 15 daire sığar.


4. Ünite

Çember ve Daire

e

1 cm

2

Alan

Beyaz

3 cm 2 cm

Yanda O merkezli beyaz yeşil ve pembe daireler iç içe yerleştiriliyor. Görünen pembe kısmın alanının yeşil kısmının alanına oranını hesaplayınız.

= pr

2

A = p.3

= p,9

= 9p cm

B

2

Görünen Pembe = A

PYB

–A

YB

Y+B

= 36p – 25p

r = 3 + 2 = 5 cm

= 11p cm

Alan

Yeşil+Beyaz

2

= pr

Görünen Yeşil = A

2

YB

–A

B

2

= p.5

= 25p – 9p

= p.25

= 16p cm dir.

= 25p cm

A

YB

AP

2

AY

P+Y+B

2

=

11p 11 'dýr. = 16 p 16

r = 3 + 2 + 1 = 6 cm Alan

Pembe+Yeşil+Beyaz

A

= pr

2 2

= p.6

PYB

= p.36

= 36p cm

2

229

f O Yandaki gerçek boyutlu 1 liranın alanını yarıçapını cetvel ile ölçerek hesaplayınız. (p =3,14 alınız.)

Ölçtüğümüz zaman 1 liranın çapının 2,6 cm olduğunu gördük, r = 2

A = pr

A = ^3, 14h . ^1, 3h2

314 169 . 100 100 53066 = 10000 = 5, 3066 cm 2 dir. =


2, 6 = 1, 3 cm dir. 2

4. Ünite

Çember ve Daire

DAIRE DILIMININ ALANI Daire Dilimi: Yay ile merkez açının iç bölgesinde kalan kısım olarak adlandır a

rılır. Aynı zamanda sektör de denir.

Se

ktö r

O

Daire diliminin alan hesabı; Dairenin Tüm Alanının, merkez açının tam açıya oranı ile çarpımı kadardır. Yani; a 2 D. D. A = o pr dir. 360

Örneklerle daire dilimlerinin alanlarını hesaplayalım.

ÖRNEK

CÖZÜM

r = 2 cm O

o

60

a

D. D. A = T. A = ? (p=3,14 alınız.)

D.D.A =

o

360 60 o

2

pr dir.

. ^3, 14h .2 2

360 o 2 1 6, 28 D.D.A = . 3, 14 . 4 = , 2, 09 cm 2 dir. 3 6 3

230

ÖRNEK

CÖZÜM D. D. A =

O

T. A = ? r = 16 cm

a 360

2

pr dir.

3

270 2 D.D.A = . p . 16 360 4 4 3 D.D.A = . p 16 . 16 4 1

= 192 p cm 2


4. Ünite

Çember ve Daire

CÖZÜM

ÖRNEK

r1 =

1

2

A(O ) = pr

2

2 180 o1 . p. r2 A(O ) = o 2 360 2

2

A(O )= p.14

2

2

dairenin)

2

2

= 196p cm

[O B] çaptır (küçük dairenin) 1

R2

2 14 r2 = 2 r2 = 7 cm

1

O ve O merkezli dairelerde, [AB] çaptır (büyük 1

r2 =

2 28 r1 = 2 r1 = 14 cm

14 cm 7 cm 7 cm B O O

A

R1

A(O ) =

p.7

2

lABl = 28 cm ise taralı alanı hesaplayalım. T. A . = A(O ) – A(O ) 1

2

A(O ) = 49 p cm2 2 2

2

= 196p – 49p 2 2’ = 392p–49p = 343p cm dir. 2 2

ÖRNEK E

4 br

CÖZÜM K

5 br

S 3 br

E

N L 9 br

lEZl = lZGl = lGSl = lSEl = 9 br r = lEKl = lESl – lKSl = 9 – 5 = 4 br E

r = lGNl = lGSl – lNSl = 9 – 3 = 6 br G

Taralı Alan = Karenin Alanı - (Alan E + Alan G) G

M

Z

G 9 br

EZGS bir kare ise; T. A. = ?

6 br

Alan E =

90 o1

.p.4

2

360 o4 1 = . p . 16 4 4 = 4p br

Alan G =

90 o1

2 2

.p.6

360 o4 9 1 = . p . 36 4 = 9p br

2 2

Karenin alanı = 9 2 = 81 br Taralı Alan = 81 – (4p + 9p) = (81 – 13p) br2’dir. 7. Sınıf Matematik

231

4. Ünite

Çember ve Daire

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM r = 1 br A

Aşağıdaki şekilde, yarıçap uzunluğu büyük olan dairenin alanı, yarıçap uzunluğu küçük olan dairenin alanının kaç katıdır?

1

A =pr 2

1

1

O

1

1 2

= p1

A

=p

2

O

r = 2 br

2

2

A = pr 2 1 birim

2

= p2

1 birim

A) 2

B) 4

C) 8

2 2

= 4p 4p = 4 katıdır. p Cevap: B

D) 16

PEKİSTİRELİM Aşağıda O merkezli dairelerin, taralı olan daire dilimlerinin alanlarını hesaplayınız. (p = 3 alınız.) Not: DDA → Daire diliminin alanı; TA → Taralı alan; ÜA → Üçgenin alanı b

a

o

30 O r = 6 cm

O o 10 r=4 cm 232 D.D.A =

10 o 360

1

. 3 . 42

o

12 4

=

16

12

3

=

D.D.A =

O r = 12 cm

A

B

o

. 3 . 62

360 1 3 . 3 . 36 = 9 cm 2 = 361

4 , 1, 3 cm 2 3

c

30 o

6AB@ çap,

ç O

r = 113 cm o

120 1

D.D.A = =

180 o 360

o

. 3 . 12

2 72

. 3144 2

2

= 216 cm 2

1

D.D.A =

120 o 360 o

1

. 3 . 113 2 = 12769 cm 2

3


4. Ünite

Çember ve Daire

d

e O

D.D.A =

O r = 5 cm o 40

r = 10 cm

1 o

90

360

o

360 o - 40 o = 320 o . 3. 10 2

8

T.A. =

4

25

=

320 o 360 o 9

3.100 = 75 cm 2 4

f

N

L o

60 O o 60

cm

20 c

m

o

3.200 200 = 3 93 = 66, 6 cm 2

g 20

. 3.5 2 =

51

r=

O

r=

o

25

K

M

6KL@ ve 6MN@ çap,

% ile NOL % ters açýlardýr. KOM % ) m (NOL % ) dýr. m (KOM = % ) 60 o dir. 60 o 60 o 120 o m (KOM + = =

25 o + 20 o = 45 o 451o T.A. = . 3 . 20 2 o 360 8 10 5 1 . 3 . 20 . 20 = 150 cm 2 = 82

T.A. =

120 o 1 360 o 31

. 3 1. (51) 2 = 2601 cm 2 'dir. 233

ğ

h 5 cm 4 cm

T.A. =

90

o1

O

O

. 3 . 52 -

4 cm

90

o1

360 o 4 360 o 4 1 1 = . 3 . 25 - . 3 . 16 4 4 75 48 27 2 cm 'dir. = = 4 4 4

T.A. = D.D.A - Üçgen A. . 3.4 2

1

316 90 . 4 2 D.D.A = .3.4 = = 12 cm 2 41 360 4 4. 4 2 = 8 cm 2 2 T.A. = 12 - 8

Ü.A. =

T.A. = 4 cm 2 dir.


4. Ünite

Çember ve Daire

KONU TESTİ 1.

3.

B

D E

O

o

a

A

A

C ( Yukarıdaki şekilde m (ABC) = 275 o olduğu% ) = a merkez açısının ölçüsü na göre, m (AOC kaç derecedir? A) 75

B) 80

C) 85

D) 90

B

Şekildeki O merkezli çemberde; % ) m (DOC % ), m (% m (EOD AB) = 60 o = % ve şekildeki verilere göre m (CD) kaç derecedir? A) 80

B) 85

C) 90

B

A o

x+20

A

O

o

70

o O H 60 10 o o o 2 0 50 o o G 40 30 F D E

C 234

A)

90 o

40 p 9

10p

B)

80 o

80 p 9

10p

5p

90 o

80 p 9

D)

o

40 p 9

80

o

2x-30 B

Yukarıdaki O merkezli 20 cm çaplı pasta şekildeki açılarla 8 dilime bölünüyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? % ' %) CDE AH m (AOH

C)

D) 95

4. 2.

C

40 O o 100

5p

Şekildeki O merkezli çemberde; % ) x 20 o ve m (OBA % ) 2x 30 o m (OAB = + = % olduğuna göre, m (AB) kaç derecedir? A) 35

B) 40

5.

C) 45

O

D) 50

5cm

Yukarıdaki şapkada O merkez olmak üzere şapkanın üst bölgesine kurdela yapıştırılacaktır. Kurdela en az kaç cm olmalıdır?

(p =3,14 alınız.) A) 31,4

B) 28,26 C) 25,12

D) 15,7


4. Ünite

Çember ve Daire

6.

8

A

D

9.

F

A

G

Salon kapısı

D

8 4

B B

E

A) 2p

C

Yukarıdaki ABCD dikdörtgenine C merkezli çeyrek çember ve bu çembere teğet olan bir yarım çember yerleştirilmiştir. % % Şekildeki verilene göre, lBEl + lEDl kaç p cm dir?

7.

B) 3p

C) 4p

A

D

B

C

D) 5p


8

cm

D) 49

2- D

4- B

O S

2

45

D

2

6- C

C

Ali yukarıdaki dik üçgen şeklindeki ABC kartonuna O merkezli yarım daireyi çiziyor. Oluşan bölgeleri S ve S olarak isimlendirip 1 2 S - S alanını hesaplıyor. 1

2

Ali doğru sonucu kaç cm olarak bulmuştur? (p = 3 alınız.) A) 62

5- A

235

o

B

D) 4

A

1

C) 25 3- A

7 2

C)

S

D C O 5 A 2 B Yukarıdaki yarım simitle O merkez olmak üzere şekildeki verilere göre simidin kağıt 2 üzerindeki alanı kaç p cm dir?

1- C

B) 3

K

B) 24

5 2

10.

A) 12

C

Balkon kapısı

Yukarıda dikdörtgen şeklinde bir salonun kat planı görülmektedir. lFGl = 6 m ve şekildeki verilere göre eşit uzunluklu salon kapılarının ve balkon kapısının açılırken tarayabileceği en büyük alan 2 toplamı kaç p m dir? A)

Yukarıdaki ABCD karesinde [AD], [BC] ve [DC] çaplı yarım çemberler şekildeki gibi yerleştirilmiştir. 2 ABCD karesinin alanı 64 cm olduğuna göre, 2 taralı alan kaç cm dir? A) 32 – 8p B) 32 – 4p C) 64 – 16p D) 64 – 8p

8.

9

E

7- D

B) 64 8- A

9- A

C) 66 10- B

D) 68

4. Ünite

Veri İşleme

VERİ İŞLEME DAİRE VE ÇİZGİ GRAFİĞİ Daire grafik

Çizgi grafik

o

Isı( C) 39 38,5 38 37,5 37 36,5

Salı

Pazartesi

Pazar

Cumartesi

Perşembe Cuma

Çarşamba

36 Zaman (gün)

Daire Grafiği: Verileri bir daire içindeki dilimlerle göstermeye daire grafiği denir. Çizgi Grafiği:

Çizgi ile göstermeye ise çizgi grafiği denir.

Örneklerle daire ve çizgi grafiklerini çizip yorumlayalım:

ÖRNEK Tabloda verilen bilgilere uygun daire grafiğini çizelim. Grafiği inceleyerek yorumlayalım. 236

Tablo: Murat’ın 1 günlük programı Yaptığı İş Çalışma Yemek Dinlenme Kitap okuma Oyun Diğer

Zaman (saat) 6 2 8 1 1 a


4. Ünite

Veri İşleme

CÖZÜM Toplam zaman = 6 + 2 + 8 + 1 + 1 + a = 24 saat ise, a = 6 saat bulunur. o

Bir dairenin merkezi 360 dir. Çalışma; “x” dersek. 360

o

o

Yemek; “y” dersek 360 y

24 sa

360

2 sa

6 sa

x

D.O

D.O x=

o

24 sa

30

9 1

360 . 2 y= 24 12

4

y = 30 o

360 . 6 24

x = 90 o Dinlenme; “z” dersek

Kitap okuma; “t” dersek

o

o

24 sa

360

24 sa

360

8 sa

z

1 sa

t

D.O

60

D.O

2

60

360 . 8 z= 24 41

360 . 1 t= 24 4

z = 120 o

t = 15 o

Oyun; “k” dersek, “Kitap okumak için geçen süre “=” Oyun oynamak için geçen süre” olduğundan; k=t o k = 15 dir. Diğer; “d” dersek. “Çalışma için geçen süre “=” Diğer işler için geçen süre” olduğundan; d=x o d = 90 dir. Derecelere göre daireyi dilimlere ayıralım. Çalışma

Oyun

Diğer o

15 o o o 15 30 120

Kitap okuma Yemek


Dinlenme

Grafiğe baktığımızda; Murat en fazla dinlenmeye zaman ayırıyor. En az, kitap okuma ve oyun oynamaya zaman ayırıyor. 1 Murat’ın çalışma için ayırdığı zaman bir günün ’i 1 kadardır. Günün ’ini de diğer işlerine ayırmıştır. 4 4

237

4. Ünite

Veri İşleme

ÖRNEK Tablo: Berat Bebeğin vücut ısısı Zaman (gün) Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar Pazartesi Salı

o

Sıcaklık ( C) o 39 o 38 o 37 o 37 o 36,5 o 37 o 36,5

Berat bebek

Yandaki tabloda Berat bebeğin bir haftadaki günlük ateş ölçümleri verilmiştir. Tabloya göre, uygun çizgi grafiğini çizelim. Grafiği inceleyerek yorumlayalım.

CÖZÜM Grafik: Berat Bebeğin Vücut Isısı o

Isı( C) 39 38,5 38 37,5 37 36,5

Salı

Pazartesi

Pazar

Cumartesi

Cuma

Perşembe

238

Çarşamba

36 Zaman (gün)

Grafiğe baktıağımızda Berat bebeğin en yüksek vücut ısısı Çarşamba günüdür. Daha sonra giderek düşmüştür. Vücut ısısı Cuma gününden itibaren normal seviyelerdedir. o o Cuma, Cumartesi, Pazartesi aynı ısıdadır (37 ). Pazar ile Salı aynı ısıdadır (36,5 ). Berat’ın vücut ısısı en düşük Pazar ve Salı günlerindedir. o Berat’ın en düşük vücut ısısı ile en yüksek vücut ısıları arasındaki fark 2,5 C’dir.


4. Ünite

Veri İşleme

ÖRNEK Aşağıdaki tablolarda verilen verileri tek bir çizgi grafiğinde göstererek yorumlayalım. Tablo: Ankara’da 10-14/04/2015 hava durumu

Tablo: Mersin’de 10-14/04/2015 hava durumu

o

o

Gün Sıcaklık ( C) 10 6 11 7 12 11 13 13 14 17

Gün Sıcaklık ( C) 10 17 11 16 12 20 13 20 14 19

CÖZÜM Grafik: Ankara ve Mersin illerinin 10-14 /04 / 2015 tarihinde hava durumları. o Sıcaklık ( C) Mersin Ankara 20 18 16 14 239

12 10 8

14.04

13.04

12.04

11.04

10.04

6 Gün

* Belirtilen günlerde Mersin’deki hava sıcaklığı, Ankara’daki hava sıcaklığından fazladır. o * Mersin’de 10. 04. 2015 hava sıcaklığı ile Ankara’da 14. 04. 2015 hava sıcaklığı aynıdır (17 ). * Ankara’da 14’ünde hava sıcaklığı, Mersin’deki hava sıcaklığı ortalamasına yakındır. * Belirtilen tarihler arasında Mersin’deki en düşük hava sıcaklığı ile Ankara’daki en düşük hava o sıcaklığı arasındaki fark 10 C dir.


4. Ünite

Veri İşleme

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki verilere uygun a ve b’de daire grafiklerini, c’de ise çizgi grafiğini çiziniz. a

Türkiye’de Beyaz Kiraz üretimi yaklaşık olarak aşağıdaki gibidir. %90’ı Konya-Ereğli %10’u diğer yerler

Diğer yerler o

36 o

324

o

360

%100’ü

360

%90’ı

x

%10’ı

y

D. O 90 . 360 x= 100 x = 324 o

Konya-Ereğli

b

o

%100’ü

D. O 10 . 360 y= 100 y = 36 o dir.

Tadı marka gofret üretiminin aylara göre miktarı tablodaki gibidir. Tablo: Tadı Gofret Üretim Miktarları Aylar Ocak Şubat Mart

Miktarı (kg) 240 360 120

240

Ocak o 120

o

60

Mart

Toplam = 240 + 360 + 120 = 720 kg

o

180 Şubat Ocak o 720 kg 360

Şubat o 720 kg 360

Mart o 720 kg 360

240 kg

360 kg

120 kg

x

D. O

D. O 120

1

x=

y

360 . 240 720 21

x = 120

o

z

D. O 1

180

360 . 360 y= 720 y = 180

21 O

60

1

360 . 120 z= 720 2

z = 60

o


4. Ünite

Veri İşleme

c

Çeyrek altın fiyatları tablodaki gibidir. Tablo: 1-7 Nisan 2015 tarihinde Çeyrek altın yaklaşık fiyatları Günler 1 2 3 4 5 6 7

Fiyatı (¨) 166 169 168 167 167 167 169

Grafik: 1-7 Nisan 2015 Çeyrek Altın Fiyatları Miktar (¨) 171 170 169 168 167 166 1


2

3

4

5

6

7

Günler

241

4. Ünite

Veri İşleme

2) Grafikte A ve B esnaflarının yıllara göre mal satış miktarları verilmektedir. Grafiğe göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız. Miktar (Ton) 300

A

250

B

200 150 100

a

2015

2014

2013

2012

2011

50 Yıllar

Seneler arasında satışı en hızlı olan fabrika hangisi ve bu hız hangi yıllar arasındadır? A fabrikası 2011-2012 yılları arasında

b

Satış miktarı genelde yüksek olan fabrika hangisidir? A fabrikası

242

c

Satışın en hızlı düşüş gösterdiği fabrika ve zaman nedir? B fabrikası 2014-2015 yılları arası

ç

A fabrikasında satışın aynı olduğu yıllar hangi yıllardır? 2013 , 2014

d

B fabrikasında satışın en yüksek olduğu yıl hangisidir? 2014

e

A fabrikasının B fabrikasından düşük satış yaptığı yıl aralarındaki fark kaç tondur? 2011 yılında, 200 - 50 = 150 tondur.


4. Ünite

Veri İşleme

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Aritmetik Ortalama: Bir veri grubunun toplamının veri sayısına oranı aritmetik ortalamadır. Ortanca(Medyan):

Bir veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek olan grupta ortadaki veri ortanca (medyan)dır. Veri sayısı çift olan grupta ortadaki iki sayının ortalaması, ortanca (medyan)dır.

Tepe Değer (Mod):

Bir veri grubunda tekrar eden değerler varsa en çok tekrar eden tepe değeri (mod) dir. Tepe değer hiç olmayacağı gibi, birden fazla da olabilir.

Örneklerle merkezi eğilim ölçülerini inceleyelim.

ÖRNEK 5, 10, 12, 15, 20, 20, 20, 26 verilen verilerin a) Aritmetik ortalamasını b) Ortancasını (medyan) c) Tepe değerini (mod) hesaplayalım.

CÖZÜM a) Aritmetik ortalama = 5 + 10 + 12 + 15 + 20 + 20 + 20 + 26 = 128 = 16 dýr. 8 8 b) Ortanca; 5, 10, 12, 15, 20, 20, 20, 26 15 + 20 35 = = 17, 5'tir. 2 2 c) Tepe değeri : 20’dir. (En çok tekrar ettiği için)


243

4. Ünite

Veri İşleme

Veri grubundaki değerler birbirine yakın ise en uygun ortalama çeşidi

Aritmetik Ortalama’dır.

Veri grubunda çok büyük ve çok küçük değerler bulunuyor ise

Ortanca (medyan) en uygun ortalama çeşididir.

Veri grubunda tekrar eden veri sayısı fazla ise ortalama çeşidi olarak

Tepe değer kullanılır.

ÖRNEK Aşağıda 7A sınıfının matematik yazılısından aldığı notlar verilmiştir. Bu notların; aritmetik ortalamasını, tepe değerini ve ortancasını hesaplayarak bu veri grubuna en uygun ortalama çeşidini belirtelim. Notlar; 10, 10, 40, 45, 50, 50, 60, 60, 65, 100

CÖZÜM 10 + 10 + 40 + 45 + 50 + 50 + 60 + 60 + 65 + 100 10 490 = = 49'dur. 10

Aritmetik ortalama =

Ortanca: 50 + 50 = 50'dir. 2 244

Tepe değer 10, 50 ve 60’dır. En uygun ortalama çeşiti çok küçük ve çok büyük değerler olduğu için “ortanca” dır.


4. Ünite

Veri İşleme

Artış ve azalışların süreklilik gösterdiği durumlarda çizgi grafiği kul-

lanılır. Bir bütünün parçaları veriliyorsa daire grafiği, sabit değerlerin gösteriminde ise en uygun grafik sütun grafiği dir.

ÖRNEK 20 kişilik bir sınıfta; 5 kişi spor, 10 kişi zekâ oyunları, 5 kişi de müzik kursuna gidiyor. Her öğrenci sadece bir kursa gittiğine göre bu verilerle oluşturulabilecek en uygun grafik çeşidini belirleyerek grafiği çizelim.

CÖZÜM Bir bütünün parçalarını belirttiği için daire grafiği uygundur. Zekâ oyunları

Spor ve Müzik o

o

20 kişi

360

20 kişi

360

10 kişi

x

5 kişi

y

D.O

180

360. 10 20 x = 180 o x=


D.O 18 360 . 5 y= 20 y = 90 o

Zekâ oyunları

Sp

O

or

zik

Mü

245

4. Ünite

Veri İşleme

ÖRNEK Aşağıda Cemil’in kredi kartının Mart ayı kullanım oranları verilmiştir. Çizilen daire grafiğindeki verileri gösteren sıklık tablosunu oluşturarak çizgi grafiğini çizelim. Eğitim

o

150 O Gıda

zlik mi Te

o

60

o

60

Borç toplam ¨480.00 dır.

o

90

Giyim

CÖZÜM Temizlik

Giyim

o

360

o

480

o

60

Eğitim

360

480

o

x

90

D.O

y

D.O

x=

1

60 . 480 360

x = ¨80

80

4

30

61

Temizlik ile aynı olduğundan ¨80 derecede

Gıda o

480

o

z

360 150

D.O 4

50

90 . 480 y= 360

150. 480 z= 360

y = ¨120 o

z = ¨200

31

31

246 Grafik: Cemil’in Mart Ayı Kredi Kartı Ekstresi Miktar (¨) 200 160 120 80 40 Eğitim

Gıda

Giyim

Temizlik

Kullanım alanları


4. Ünite

Veri İşleme

ÖRNEK Aşağıdaki iki grafiği inceleyerek karşılaştıralım, benzer ve farklılıkları belirleyelim ve farklılıkların nedenlerini açıklayalım. Grafik: A kanalının günlere göre izlenme oranları

Grafik: B kanalının günlere göre izlenme oranları Yüzde oran (%)

Yüzde oran (%) 90 60 30 1.

2.

3.

4.

5.

Günler

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1.

2.

3.

4.

5.

Günler

CÖZÜM Sütunlara baktığımızda B kanalı A kanalından fazla izleniyormuş gibi görünüyor, fakat değerlere baktığımızda A kanalının daha fazla izlenildiğini görüyoruz. Nedeni ise; A kanalının grafiğinde değerler arasındaki fark 30’ar 30’ar alınmış. B kanalının grafiğinde değerler arasındaki fark 10’ar 10’ar alınmıştır. Bu farklılık grafiğe bakınca ilk etapta farklı yorumlanmasına neden olabilecektir.

Değerler arası fark arttıkça sütun büyüklüğü küçülür. Doğru bir karşılaştırma yapabilmek için grafik çizimleri sütunlar hariç aynı olmalı (başlangıç, aralıkları) aynı olmalı.


247

4. Ünite

Veri İşleme

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda verilen verilerin aritmetik ortalamalarını, ortanca ve tepe değerlerini hesaplayarak bu veri grubuna en uygun grafik çeşidini belirtiniz ve çiziniz. a

Esenay’ın 9 günde biriktirdiği para; 1. gün → 1,00 2. gün → 0,80 3. gün → 0,50 4. gün → 0,50 5. gün → 6. gün → 1,00 7. gün → 2,00 8. gün → 9. gün → 0,50

Aritmetik ortalama =

1, 00 + 0, 80 + 0, 50 + 0, 50 + 1, 00 + 2, 00 + 0, 50 6, 30 = = ¨0, 70 dir. 9 9

Ortanca = 0 / 0 / 0,50 / 0,50 / 0,50 / 0,80 / 1,00 / 1,00 / 2,00 Ortanca = 0,50 Tepe değer = 0,50 Çok küçük ve çok büyük değerler olduğu için “Ortanca” kullanmak daha uygundur.

248

b

Tablo: Okuldaki öğrenci yaş grupları Yaş 11-12 13-14 15-16 17-18

Öğrenci sayısı 65 40 58 45

A.O =

65 + 40 + 58 + 45 208 = = 52 4 4

Ortanca = 40, 45, 58, 65 45 + 58 103 = = 51, 5 2 2 Tepe değer yok En uygun ortalama; değerler birbirine yakın olduğundan aritmetik ortalamadır.


4. Ünite

Veri İşleme

c

Ali Baba’nın çiftliği ile ilgili bilgiler aşağıdaki gibidir. 100 keçi, 120 koyun, 60 tavuk, 5 horoz, 18 inek, 2 kedi ve 3 köpek vardır.

100 + 120 + 60 + 5 + 18 + 2 + 3 308 = = 44 tür. 7 7 Ortanca: 2, 3, 5, 18, 60, 100, 120 Ortanca = 18 dir. Tepe değeri yoktur. Aritmetik ortalaması =

* Çok küçük ve çok büyük değerler bulunduğundan kullanılabilecek en uygun ortalama çeşidi ortancadır.

ç

Ünlü Fabrikasının 5 haftalık ürettiği mobilya miktarları aşağıdaki sıklık tablosundaki gibidir. Tablo: Ünlü fabrikasının ürettiği mobilya miktarı Hafta 1. 2. 3. 4. 5.

Miktar (takım) 40 25 25 25 20 249

Aritmetik ortalama = 40 + 25 + 25 + 25 + 20 = 135 = 27 dir. 5 5 Ortanca : 20, 25, 25, 25, 40 Ortanca = 25’tir. Tepe değer = En çok tekrar eden = 25’tir. * Bu veri grubunda tekrar eden sayı çok olduğundan, kullanılabilecek en uygun ortalama çeşiti Tepe değerdir.


4. Ünite

Veri İşleme

2) Aşağıda verilen verilere uygun grafiği çiziniz. a

Bir ailede kullanılan ortalama elektrik miktarı ile geçen zaman arasındaki ilişki tablodaki gibidir.

Sürekli değişen bir veri olduğu için çizgi grafiği kullanılır. Miktar (bin w) 9 8 7 6 5 4 1 2 3 4 5 b

Zaman (gün) Miktar (W) 1 8.000 2 7.500 3 8.600 4 6.000 5 4.400

Zaman(gün)

Ahmet Baha İlkokulunda 7. sınıftaki kız-erkek öğrenci sayıları sıklık tablosundaki gibidir. Sınıflar Cinsiyet Kız Erkek

7-A

7-B

7-C

12 13

17 12

10 11

250

Öğrenci sayısı İki veriyi bir arada gösterebileceğimiz bu verilere en uygun grafik sütun grafiğidir.

Kız öğrenci Erkek öğrenci

18 15 12 9 6 3 7-A

7-B

7-C

Sınıflar


4. Ünite

Veri İşleme

c

Türkçe, Matematik ve Sosyal bilgiler sorularının olduğu bir test 60 soruluktur. 30 sorusu Matematik, 20 sorusu Türkçe’dir.

Bir bütünün bölümlerini göstereceğimiz için daire grafiğini çizeriz. Sosyal B. o

60

o

180

o

120

Matematik 30 + 20 = 50 60 - 50 = 10 (Sosyal Bilgiler sorusu vardır.)

Türkçe

Matematik

Türkçe o

o

Sosyal Bilgiler

o

60 soru

360

60 soru

360

60 soru

360

30 soru

x

20 soru

y

10 soru

z

D.O

6

360 . 30 x= 60 1 x = 180 o dir.

D.O

6

360 . 20 y= 60 1 y = 120 o dir.

D.O

6

10 . 360 z= 60 1 o z = 60 dir.

251


4. Ünite

Veri İşleme

KONU TESTİ

Aşağıda 1 aylık bir kursun 50 saatlik ders dağılımı daire grafiği ile verilmiştir.

Boy (cm)

Matematik

Sosyal Bilgiler

a

Erkek Kız

102

100

o

144

Aşağıda yeni doğan kız ve erkek bebeğin 5 yıldaki boy artışını gösteren çizgi grafik verilmiştir.

98 97 92

Türkçe (12 saat)

90 85 82

80 78

Fen Bilimleri

70 68

60

1, 2 ve 3. soruları yukarıdaki grafiğe göre cevaplayınız.

50

1

2

3

4

5

Yıl

1. Bu kursun %16’sı Sosyal Bilgiler dersinden oluştuğuna göre, Fen Bilimleri dersinin daire grafiğindeki merkez açısı (a) kaç derecedir? A) 57,6

B) 72

C) 80

D) 86,4

252

2. Matematik ile Fen Bilimleri dersinin 1 aylık kurstaki ders saati toplam kaç saattir? A) 28

B) 30

C) 32

D) 36

4, 5 ve 6. soruları yukarıdaki grafiğe göre cevaplayınız.

4. Doğduklarından itibaren 5 yılda kız ve erkek bebeğin boyları kaç cm uzamıştır? A) B) C) D)

Kız 48 31 31 48

Erkek 52 32 52 54

3. Matematik dersi, 1 aylık kursun yüzde kaçında görülmektedir? A) 24

B) 32

C) 40

D) 44 7. Sınıf Matematik

4. Ünite

Veri İşleme

5. 3. yılda kız ile erkek bebek arasındaki boy

9. İki fabrikanın yıllara göre üretim miktarları

farkı kaç cm dir? A) 8

hangi grafikte gösterilmesi daha uygundur?

B) 7

C) 6

D) 5

A) Sütun grafiği

B) Çizgi grafiği

C) Daire grafiği

D) Şekil grafiği

6. Erkeğin 5 yıllık boy artışının ortalaması kaç cm dir? A) 10,4

B) 10,8

C) 11,2

10, 20, 30, 40, a verilere göre 10 ve 11. soruları cevaplandırınız.

D) 11,5

10. Aritmetik ortalamanın 27 olabilmesi için “a” kaç olmalıdır? A) 30

B) 35

C) 40

D) 45

7. Bir veri grubundaki değerler birbirine yakın ise hangi ortalama çeşidi kullanılır? A) Ortanca B) Tepe değer C) Çizgi grafiği

253

D) Aritmetik ortalama

8. Aşağıdakilerden hangisi birden fazla sütun veya çizgi grafiğinin görsellikte bizi yanıltabileceği durumlardan değildir?

11. Tepe değerinin “20” olabilmesi için “a” değe-

A) Aralıkların farklı alınması

rinin kaç olması gerekir?

B) Başlangıç değerlerinin farklı olması C) Aralık mesafelerinin farklı olması

A) 10

D) Eksenlerinin yer değişmesi 1- B 7. Sınıf Matematik

2- B

3- C

4- A

5- D

6- A

7- D

8- D

B) 0

C) 20

9- A

10- B 11- C

D) 1

4. Ünite

ETKİNLİKLER 1) Geometri bilgi yarışmasına katılan Yusuf’a aşağıdaki sorular sorulmuştur. Yusuf bulduğu her cevabı bir sonraki soruda kullanarak doğru sonuca ulaşmıştır. Yusuf’un bulduğu sonucu bulunuz. a // b olmak üzere; a)

a

o

b)

130

x=

b

x

b y

o

x=?

x = 50

o

y=?

c)

ç)

o

145

z

a

o

50

a

o

50

a

y = 115o

y = 115

t o

o

100 – 70 = z-70o 254

b

b o

z=?

z = 100

d)

o

t=?

a

k

e)

t = 80

a

o 50 = x

t = 80o o

o

o

t-25 = 80 – 25 k=?

o

o

o o 100 –40 = z-40

b o 115 = y

k = 55

o

k = 55 m

o

65

b

m=? o o o 50 + 60 + m = 80 + 55 + 65 o m = 90 o

o


4. Ünite

2) Birimkarelere bölünmüş kağıtta verilenlere göre altındaki soru veya soruları cevaplayınız. a)

b)

c)

Çeyrek Çember

Tam Çember

(2p+8) br Çevre : ................................................

4p br Çevre : ................................................

2

A C A 2

f)

B 3 3

3

2 C

D o

55

4p br Taralı alan : .............................


2 F

E

A 2 B

D 2

4p br Taralı alan : .............................

A B

255

B

o

35

H

2

ğ) A

C

G

9p br2 4 Taralı alan : .............................

O

A

L

g) 4

8p br Alan : ................................................

e)

3

4p–4 br Taralı alan : .............................

2

4p br Alan : ................................................

d)

B

4p+8 br Çevre : ................................................

2

4p br Alan : ................................................

ç)

Yarım Çember

B

2

2A+2B=25 Taralı alan : ........................................ 25 2 A+B = br 2

2

12-3p br Taralı alan : .............................

4. Ünite

ÜNİTE TESTİ 1.

C

3.

B

a

O

K

3x

O b

A ( O merkezli çemberde m (ABC) = 260 o - x % ) kaç ve şekildeki verilere göre, m (AOC derecedir? A) 165o C) 150o

E

B) 160o D) 140o

4.

D

3b 3a

C

B A ' O merkezli çemberde m (EKA) = 200 o ( ve şekildeki verilere göre, m (DOB) kaç derecedir? A) 105o B) 110o C) 115o D) 120o

C O o

50

B

256 A

2.

Y

O merkezli çemberdeki verilere göre, ( m (ACB) kaç derecedir? A) 290o B) 280o C) 270o D) 260o

K O

A O merkezli yarım çemberde % % ) 2x 6 o m (AY) = x + 21 o ve m (KOY = + % ) kaç derecedir? olduğuna göre, m (AOY A) 72o B) 75o C) 77o D) 81o

5. Alanı 8p olan yarım dairenin çevre uzunluğu kaç birimdir? (p = 3,14 alınız.) A) 17,42 B) 18,14 C) 20,56 D) 23,7


4. Ünite

6.

8.

4x C

B

x

E

o

35

O

A

O

A

D

o

29

B

K O merkezli çemberde [CB] // [OA], % % ) x ve m (CB m (BCO ) = 4x = ( olduğuna göre, m (AKC) kaç derecedir? A) 225 B) 220 C) 215 D) 210

o

20

C O merkezli çemberde [AE] // [BC] ve şekil% deki verilere göre, m (DE) kaç derecedir? A) 24 B) 26 C) 30 D) 33

9. x O y

A

2 br L

O3 2 br

C) 24p

2 br

10.

B

O2

C E

O ve O merkezli yarım daire ve O mer1 2 3 kezli çeyrek dairenin merkezleri ABCO 3 karesinin üzerindedir. Şekilde verilere göre, taralı bölgenin çevresi kaç birimdir? A) 5p + 4 B) 3p + 4 C) 4p + 4 D) 2p + 4 1- C


257

D) 25p

K

O1

o

O merkezli dairede x + y + z = 240 ve r = 6 cm olduğuna göre, taralı alanların toplamı kaç cm2’dir? A) 12p B) 18p

7.

z

2- A

3- D

4- B

5- C

1 D 1

1 B 1 P

2 H G 1

3

1 C

ABC dik üçgeninde, A, B ve C noktaları bulundukları dairelerin merkezidir. Şekildeki verilere göre taralı alan kaç birimkaredir? A) 4,5

6- D

A1 L

7- A

B) 4,8 8- B

9- C

C) 5 10- A

D) 5,2

4. Ünite

258


5.

ÜNİTE

KO NU LA R * Çokgenler * Dönüşüm Geometrisi

* Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri

5. Ünite

Çokgenler

ÇOKGENLER

Doğrudaş (Doğrusal) Noktalar: A

B

C

A

B

gibi üç nokta; C

aynı doğru üzerinde olan noktalar olduğundan “doğrudaş (doğrusal) noktalar” dır.

Doğrudaş (Doğrusal) Olmayan Noktalar: A

A gibi üç nokta; B

B C

üçü aynı doğru üzerinde olmadığından 3 nokta doğrudaş (doğrusal) değildir.

C

260 Çokgen: Doğrudaş (Doğrusal) olmayan en az 3 noktanın ikişerli ardışık doğru parçaları yardımı ile birleşmesi sonucu oluşan kapalı şekillerdir.

DÜZGÜN ÇOKGENLER Düzgün Çokgenler: Bütün kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlerdir.


5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK Aşağıdaki çokgenleri inceleyerek düzgün çokgen olanları belirleyelim. a)

b)

K

4 cm

A

70

7 br

F

c) 7 br

130 70

L o

130

o

5 cm o

M

5 cm R

M

o

120

ç)

A

N

70

5 cm

o

70

L

o

5 cm

4 cm o

5 cm

K

S

5 cm

2 cm

D

7 br 2 cm

2 cm

İ

A 7 br

7 br D

B

2 cm

C

CÖZÜM

W) = 180 o - (70 o + 70 o) a) KLM üçgeninin; m (K W) = 180 o - 140 o m (K

W) = 40 o 'dir. m (K açı ölçüleri birbirinden farklı olduğundan düzgün çokgen değildir.

b) KARSNL kenar uzunlukları eşittir. Fakat açı ölçüleri eşit olmadığından düzgün çokgen değildir. c) FADİM beşgeni bütün kenar uzunlukları eşittir, fakat verilmeyen açıları açıölçer ile ölçtüğümüzde eşit olmadıklarını görüyoruz bu nedenle düzgün çokgen değildir. ç) ABCD karesi tüm açıları 90° her bir kenarı 2 cm ve kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan düzgün çokgen’dir.


261

5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK Aşağıdaki noktalardan hangilerini birleştirerek düzgün altıgen oluşturabileceğimizi bulalım.

CÖZÜM N F L

O

K M

FADİMN harflerini birleştirdiğimizde kenar uzunlukları 2’şer santimetre, iç açı ölo çüleri 120 olan düzgün altıgen elde ederiz.

T İ

A D

ÖRNEK Aşağıdaki kareli kağıda 4 tane düzgün dörtgen çizelim.

CÖZÜM

262 1.

2.

3.

4.

1, 2, 3 ve 4 numaralı dörtgenlerin iç açılarının ölçüleri eşittir. 1. numaralı dörtgenin; tüm kenar uzunlukları eşit ve 1 br’dir. 2 numaralı dörtgenin; tüm kenar uzunlukları eşit ve 2 br’dir. 3 numaralı dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşit ve 3 br’dir. 4 numaralı dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşit ve 4 br’dir.


5. Ünite

Çokgenler

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki çokgenler düzgün çokgen olduklarına göre verilen verilere göre istenenleri bulunuz. a

A

A

b

60

o

3 cm

3 cm

o

B

C

x

B

2x+10

o

C

o

2x+10 = 60 o o 2x = 60 – 10 o 2x = 50 50 o x= 2 o x = 25 ’dir.

x = 3 cm olmalı

c

o

60

ç

o

120

x+y

b+3

T

I

y–x=?

KI = a

2

a

3 –1

o +y 40

o

o


IT = b + 3 ise 2

3

a –b = ? A

40 + y = 120 o o y = 120 – 40 o y = 80 dir. o o y – x = 80 – 40 o = 40 dir.

TA = 3 2 - 1

o

x + y = 120 o o x + 80 = 120 o o x = 120 – 80 o x = 40 dir.

K 2

a = 3 – 1 a = 9 – 1 a = 8 br

2

3

2

a –b =8 –5 = 64 – 125 = (–61)’dir.

b+3=8 b=8–3 b = 5 br 3

263

5. Ünite

Çokgenler

K

Ç

d

P

e

m 3c

E

–y = ? C

)c

m

Ö

A

(x+ 47

&) & Ç (PAK - Ç (BCR) = ?

B

(x+2y–1) cm

5 cm

R

K

R

Kenar uzunlukları eşit olduğundan x+2y–1 = x+47 x – x + 2y = 47 + 1 2y = 48

&) 3 . 5 Ç (PAK = = 15 cm

& ) 3.3 Ç (BCR =

= 9 cm & ) Ç (BCR &) Ç (PAK -

48 2 y = 24 cm

y=

15 - 9 = 6 cm'dir.

–y = –24 ‘tür.

f

24 cm

24 cm Çevre = 5.24 cm = 120 cm’dir.

264

24 cm

24 cm

24 cm Yukarıdaki ev şeklinin çevresini hesaplayınız.


5. Ünite

Çokgenler

ÇOKGENLERDE KÖŞEGEN Köşegen: Çokgenlerin bir köşesinden kendisine komşu olmayan diğer köşelerine çizilen doğru parçalarıdır. E K [KR] ve [EA] köşegen dir. R

A

ÖRNEK Bir beşgen çizerek köşegenlerini belirtelim. Toplam kaç köşegen olduğunu bulalım.

CÖZÜM M

T

N

[NL] , [NT] , [MK] , [ML] , [TK] olmak üzere 5 köşegeni vardır.

L

K

ÖRNEK Yedigenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı kaç tanedir çizerek bulalım.

CÖZÜM

A

G

B F C D


E

4 tanedir.

265

5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK Aşağıdaki ABCD dikdörtgeni ve KLMN karesinin köşegenlerini çizerek karşılaştıralım. A

D

K

N

B

C

L

M

CÖZÜM A

D

K

N

B

C

L

M

[AC] ve [BD] köşegenleridir. |AC| = |BD|’dur. Dikdörtgenin köşegen uzunlukları eşittir.

[KM] ve [NL] köşegenleridir. |KM| = |LN|’dur. Karenin köşegen uzunlukları eşittir.

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki çokgenlerin köşegen sayılarını bulunuz.

266

a

Dörtgen = 2 tane vardır.

b

Altıgen =

c

Sekizgen = 20 tane köşegeni vardır.

9 tane köşgeni vardır.


5. Ünite

Çokgenler

ÇOKGENLERDE AÇILAR İç açılar: Çokgenin iç bölgesindeki açılardır.

A Dış bölge

Dış açılar: İç açıların komşu bütünleri olan ve çokgenin dış bölgesinde kalan açılardır.

İç bölge d

İç açı B

Dış açı C

ÖRNEK Aşağıdaki ABCD dörtgeninin iç açılarını gösterelim. W A

A D B

W B

V C

W D

C

ÖRNEK

267

Aşağıdaki KLMN dörtgeninin dış açılarını gösterelim. N K

M L


5. Ünite

Çokgenler

Bir çokgenin iç açıları toplamı; o çokgenin bir köşesinden çıkan köşegenlerin çizilmesi ile oluşan üçgenlerin iç açıları toplamı kadardır. n–3 n köşeli bir çokgende bir köşeden çıkan köşegen sayısı ............................... tanedir. (n – 3) + 1 Bu köşegenlerin çizilmesi ile oluşan üçgen sayısı da .................................................. n–2 yani ................................... tanedir.


ÖRNEK Bir beşgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

CÖZÜM A 3 o 180 B

1 o 180

2 o 180

E

D

Beşgenin bir köşesinden çıkan köşegenleri çizdiğimizde 3 tane üçgen oluştuğunu görüyoruz. o Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 olduğundan 3 üçgenin iç açıları o o toplamı 3.180 = 540 ’dir. o Yani beşgenin iç açıları toplamı 540 ’dir.

268 C

o

360 Bir çokgenin dış açıları toplamı ................................. dir.


5. Ünite

Çokgenler

K

ÖRNEK KLMNP beşgeninin dış açıları toplamının 360 olup olmadığını inceleyerek bulalım.

CÖZÜM c

o

o

d

105

N

M Kenarları uzattığımızda;

120

o

105

o

e

o

b

110

110

95

P

o

L

120

o

110

o

o

L

K

P

o

110

o

95

N

a

M

o

o

o

o

a + 105 = 180 o o a = 180 – 105 o a = 75 ’dir. d + 120 = 180 o o d = 180 – 120 o d = 60 ’dir.

o

o

o

b + 110 = 180 o o b = 180 – 110 o b = 70 ’dir. o

o

e + 95 = 180 o o e = 180 – 95 o e = 85 ’dir.

ÇIKMIŞ SORU

o

c + 110 = 180 o o c = 180 – 110 o c = 70 ’dir. Dış Açıları Toplamı = a + b + c + d + e o o o o o DAT = 75 + 70 + 70 + 60 + 85 o DAT = 360 ’dir.

CÖZÜM

Düzgün beşgensel bölgelerin oluşturduğu aşağıdaki şekilde a kaç derecedir? a

(n - 2) .180 10 (10 - 2) .180 = 10 8.180 = 10 = 144° ’dir.

Bir iç açısının ölçüsü =

269

Cevap: A A) 144

B) 140

C) 120

D) 108


5. Ünite

Çokgenler

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri uygun şekilde doldurunuz.

ÇOKGEN

İÇ AÇILARI TOPLAMI

DIŞ AÇILARI TOPLAMI

Üçgen

180°

360°

Beşgen

540°

360°

Altıgen

720°

360°

Yedigen

900°

360°

Ongen

1440°

360°

(n–2).180°

360°

Tüm çokgenler (Kenar sayısı n olsun)

2) Aşağıda verilen çokgenlerde istenenleri bulunuz.

K

a

o

o

72

x=?

o

68

L

270

x

M

o

o

72 + 68 + x = 180 o o 140 + x = 180 o o x = 180 – 140 o x = 40 ’dir.

L

b

o

x T

x=?

o

100

o

51

o

93 R c

Y x

N

L

Ç

o

o

S

K

A

o

100 + 93 + 51 + x = (4–2) . 180 o o 244 + x = 360 o o x = 360 – 244 o x = 116 ’dir.

YALÇNK düzgün altıgen ise x = ?

Altıgenin iç açıları toplamı. o o o (6 – 2) . 180 = 4 . 180 = 720 ’dir. Düzgün çokgenlerde tüm iç açılar eşit olduğundan; o o 720 : 6 = 120 (Bir iç açısının ölçüsü) o x = 120 ’dir.


5. Ünite

Çokgenler o

P

ç

T

100°

99°

R y x

98°

L

97°

[PL x=?

o

o

o

o

x + y = 180 (Bütünler açı) o o x + 146 = 180 o o x = 180 – 146 o x = 34 ’dir.

Ş

S F

d

o

y + 100 + 99 + 98 + 97 = (5 – 2) . 180 o o y + 394 = 540 o o y = 540 – 394 o y = 146 ’dir.

x o E 201 2 x B o o +3 o 87 115 o C 88 o 130 A

D

Yedigenin iç açıları toplamı: o o (7–2) . 180 = 5 . 180 o = 900 ’dir.

m (W A) = ? o

o

o

o

o

o

o

2x + 3 + x + 115 + 88 + 130 + 87 + 201 = 900 o o 3x + 624 = 900 o o 3x = 900 – 624 3x = 276

Ç

276 o 3 o x = 92 o m (W A) = 2x + 3 olduğundan o o = 2 . 92 + 3 o o = 184 + 3 o = 187 ’dir. x=

271 M

e

o

84

[HE

I. Yol

x=? o

46

y x T E

o

o

o

84 + 46 + y = 180 o o y + 130 = 180 o o y = 180 – 130 o y = 50 ’dir. o

x + y = 180 olduğundan o o x + 50 = 180 o o x = 180 – 50 o x = 130 ’dir.

H

II. Yol

Üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan; o o x = 84 + 46 o x = 130 ’dir. 7. Sınıf Matematik

5. Ünite

Çokgenler

ÖZEL DÖRTGENLERİMİZ Dikdörtgen

Bulaşık Makinesi

Plazma TV

Kitaplık

Buzdolabı

Günlük hayatta kullandığımız eşyalarımızın yüzeylerinde dikdörtgensel bölge şekillerine rastlarız.

Dikdörtgenin Özellikleri S 272

A

[SI] // [LA] ve [SA] // [LI]

N I

* Dörtgendir. * Karşılıklı kenarları pareleldir.

L

* Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. lSIl = lLAl ve lSAl = lILl * İç açıları diktir. * İki köşegeni vardır. Köşegen uzunlukları eşittir. [SL] ve [IA] için; lSLl = lIAl * Köşegenleri birbirini ortalar. lSNl = lNLl = lINl = lNAl


5. Ünite

Çokgenler

İç Ters Açı S b

SILA dikdörtgeninde; [SA] // [IL] ve [SI] // [LA] olduğundan, a = d (iç ters açı)’dır. o a + b = 90 olduğundan o c + d = 90 b = c’tir.

A

a

d

I

c

Not: Aynı zamanda b = c iç ters açıdır. & & 'de SIL 'de SLA

L

o

o

a + c + 90 = 180 o a + c = 90

o

o

b + d + 90 = 180 o b + d = 90 ’dir.

ÖRNEK K

o

30

a L

b

N KLMN dikdörtgeninde, % ) 30 o ’dir. a, b ve c açılarının ölçülerini m (KNL = hesaplayalım.

c

M

CÖZÜM % iç ters olduklarından eşittir. % ile NLM KNL o

b = 30 ’dir. % ları komşu tümler olduklarından % ile LNM KNL % ) 90 o 'dir. 30 o + m (LNM = % ) 90 o 30 o m (LNM = % m (LNM) = 60 o 'dir. o

c = 60 ’dir. o

a + b = 90 (Komşu tümler) o o a + 30 = 90 o

a = 60 ’dir.


273

5. Ünite

Çokgenler

A k

p

r t

 B

x O y

m

D ö

z n

o C

Dikdörtgende köşegenler birbirlerini ortalarlar. & , AOB & , BOC & ve COD & ikizkenar AOD üçgendir. k = 

r = p

o = ö

m=n

x = y z = t (ters açılar)

ÖRNEK K

o

x

40

N KLMN dikdörtgeninde, % ) 40 o ’dir. x, y ve z açılarının ölçülerini m (NKP = hesaplayalım.

k P

y z

L

M

CÖZÜM & ikizkenar üçgen olduğundan KPN o

x = 40 274

o

z = 40

(z kuralından) o

o

x + k + 40 = 180 o

o

o

o

o

40 + 40 + k = 180 80 + k = 180

o

k = 100

k = y (Ters açılar) o

y = 100 ’dir.


5. Ünite

Çokgenler

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki ABCD dikdörtgenlerinde istenen yerleri bulunuz. a

A

B

b

o

51

x

D o

x=?

x = 51 (İç ters açılar)

x=?

x = 100 (Ters açılar)

x=?

x + 110 = 180 (Komşu bütünler açılar) o o x = 180 – 110 o x = 70 ’dir.

C

A

D x K

o

o

100

c

B

C

A

D o

110 K

x

B

ç

A

x

o

D

o

x

49

x = 21 (İkizkenar üçgen) & (ikizkenar olduğundan) AKD

x=?

% ) 49 o (iç ters açılar) m (DAC =

D

o

x = 49 (ikizkenar üçgen) o


o

x=?

C

K B

275

21

B A

o

C

K

d

o

49

C

5. Ünite e

Çokgenler

A

D

o

x

o

x=?

o

88

K

x

B

f

C

A

D

o

40

x

K

o

2x + 88 = 180 (Üçgenin iç açıları toplamı)

[BC] // [KL] x=?

L

o

2x = 180 – 88 o

2x = 92 92 o x= 2 o x = 46 ’dir. % ) 40 o (iç ters açılar) m (BCA = x = 40 o (yöndeş açılar)

o

40

B

g

A

C

E

y

D

x

o

60

[EF] // [AC]

F x=?

B

276

ğ

o

o

x + 30 = 180 (U kuralı)

o

x = 180 – 30

y + 60 = 90

o

o

o

y = 30

o

o

x = 150 ’dir.

C

A

E

D x

G

y F

[EF] // [AC] , EGFD dikdörtgen x=?

o

x + y = 90

o

o

72 B

o

y = 72 (yöndeş açılar) o

x + 72 = 90 C

o

o

x = 90 – 72 o

x = 18 ’dir. h

A

o

65 x

D

y

o

y = 39 (iç ters açılar) x=?

o

o

o

o

o

o

x + y + 65 = 180 (doğru açı) o

x + 39 + 65 = 180 o

B

39

x + 104 = 180 C

o

x = 180 – 104

o

o

x = 76 ’dir. 7. Sınıf Matematik

5. Ünite

Çokgenler

Paralelkenar Paralelkenarın Özellikleri A

D

* Dörtgendir. * Karşılıklı kenarları paraleldir. [AB] // [CD] ve [AD] // [BC] * Karşılıklı kenarlarının uzunluğu birbirine eşittir. lABl = lCDl ve lBCl = lADl

K B

* Karşılıklı açı ölçüleri birbirlerine eşittir. % ) m (BCD % ) m (ADC %) % ) ve m (ABC m (BAD = =

C

* Köşegenler birbirlerini ortalarlar. lAKl = lKCl ve lBKl = lKDl * ABCD paralelkenarının komşu açıları bütünlerdir.

ÖRNEK K

CÖZÜM 7 cm

52° L

M

Verilenlere göre, lKLl = ? lLMl = ? %) ? m (KNM = % m (NKL) = ?

N

lKLl = lNMl olduğundan, lKLl = 4 cm’dir.

4 cm

lKNl = lLMl olduğundan; lLMl = 7 cm’dir. % ) m (KNM % ) olduðundan; m (KLM = % ) 52 o 'dir. m (KNM = % ) 180 o (U kuralından) % ) m (KLM m (NKL + = % ) 52 o 180 o m (NKL + = % ) 180 o 52 o m (NKL = % ) 128 o 'dir. m (NKL =

Dikdörtgen, karşılıklı kenarları hem eşit hem paralel olan, paralelkenarların özel bir halidir.


277

5. Ünite

Çokgenler

Eşkenar Dörtgen Eşkenar Dörtgenin Özellikleri A

Eşkenar dörtgen: Eşkenar dörtgen bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralel kenara denir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve köşegen-

B

D

K

ler açıortaydır.

C

ÖRNEK

CÖZÜM K o

o

60 60 L

o

30 o 30

o

30 o 30

T o

N

o

60 60 M

278

KLMN eşkenar dörtgeninde, % ) 120 o ise m (LMN = % m (TNM) = ? %) ? m (LKM = % m (MLN) = ?

% ) 90 o 60 o 180 o (üçgenin iç açıları toplamı) m (TNM + + = % ) 150 o 180 o m (TNM + = % ) 180 o 150 o m (TNM = % ) 30 o 'dir. m (TNM = % ) m (LMN X ) m (LKN = % ) 120 o m (LKN = o % ) 120 (açıortay olduğundan) m (LKM = 2 % m (LKM) = 60 o 'dir. % ) m (LMN % ) 180 o (u kuralı) m (KLM + = % ) 120 o 180 o m (KLM + = % o m (KLM) + 180 - 120 o % ) 60 o m (KLM = o % ) 60 m (MLN = = 30 o 'dir. (Açıortay olduğundan) 2


5. Ünite

Çokgenler

Kare

o

Kare: İç açıları 90 olan özel bir eşkenar dörtgendir.

A

45

o

o

45

Köşegenler, eş olan 4 tane ikizkenar dik üçgen oluş-

D

o

45

o

45

turur. K

o

45 B

o

45

o

45

o

45

C

ÖRNEK A

D o

G Yanda ABCD ve DEFG kareleri verilmiştir.

o

45 45 E

B

F

[BD] ve [DF] köşegen ve şekildeki verilere % ) kaç derecedir? göre, m (BDF

C

CÖZÜM % ) 45 o ve m (FDC % ) 45 o ’dir. Bu durumda; Köşegenler açıortay olduğundan m (BDC = = % ) m (FDC %) % ) m (BDC m (BDF + = % ) 45 o 45 o m (BDF + = % ) 90 o 'dir. m (BDF =


279

5. Ünite

Çokgenler

Yamuk Yamuğun Özellikleri S

* Dörtgendir. * Karşılıklı kenarlardan en az bir çifti pareleldir. [ST] // [PR]

T

Yükseklik

Orta taban P

* Parelel olan iki kenara tabanlar [PR] ve [ST], diğer iki kenara ise yan kenarlar denir. * [SP] ve [TR] yan kenarlardır.

R

Yükseklik: Tabanlar arasındaki uzaklıktır. Orta Taban: Yan tabanların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban, üst ve alt tabana paraleldir. A D Dik Yamuk: Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik Yükseklik yamuk denir. B

C

K

N

%) % ) m (KNM m (LKN = % ) m (KLM %) m (NML =

İkiz Kenar Yamuk: Yan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

lKLl = lNMl L

lKMl = lLNl (Köşegen uzunlukları eşittir.)

M

280

ÖRNEK K

CÖZÜM N

[KN] // [LM] olduğundan;

x

o

o

57 + x = 180 (U kuralı) o

L

x = 180 – 57

o

57

M

o

o

x = 123 ’dir.

KLMN yamuğunda, x=?


5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK L x

R

CÖZÜM

P

T

o

K

o

a = 60 (Z kuralından) o a = b ve b = 60 (İkizkenar yamuk olduğundan) x = b ve o x = 60 (Z kuralından)

60

b

a

S

PRST ikizkenar yamuk ve şekildeki verilere göre, x kaç derecedir bulalım.

Dikdörtgen, paralelkenar ve eşkenar dörtgen yamuğun özel durumlarıdır.

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU Planı verilen düzgün altıgen şeklindeki bir parkta bulunan oyun alanı, eşkenar dörtgen şeklindedir. Planda ? ile belirtilen açı kaç derecedir?

OYUN ALANI

Altıgenin iç açıları toplamı o o o (6 – 2) . 180 = 4 . 180 = 720 720 o o = 120 (bir iç açısıdır.) 6 o o o x + x + 120 + 120 = 360 x o o 2x + 240 = 360 o

o

120

120

?

x

PARK

A) 30

B) 45

C) 60

D) 75

o

o

2x = 360 – 240 o

2x = 120 o

x = 60

Cevap C


281

5. Ünite

Çokgenler

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki dörtgenlerde verilenlere göre istenenleri bulunuz.

N

K

a

[KN] // [LM] olduğundan, [KL] ⊥ [LM] ise [KL] ⊥ [KN]’dır. W) = 90 o m (K o Dörtgenin iç açıları toplamı = (4–2) . 180 o = 360 dir. O halde; o o o o 90 + 90 + 105 + x = 360 o o x + 285 = 360 o o x = 360 – 285 o x = 75 ’dir.

o

105

x

L

M

KLMN dik yamuğunda; x=?

K

b

o

N KLMN parelelkenar, KLPN ikizkenar yamuk ise x = ?

80 o

x

80 L

282

P

M

Parelelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri eşit olduğundan; % ) m (KLM % ) 'dür. m (KNM = % ) 80 o 'dir. m (KLM = W) (ikizkenar yamuk olduğundan) V) = m (P m (L Yani;

o

x = 80 ’dir. K

c

?

L

5 cm

N

R

KLMN ikizkenar yamuk NMPR eşkenar dörtgendir. lMPl = 5 cm ise lKLl = ?

5 cm M

5 cm

P

Eşkenar dörtgende tüm kenar uzunlukları eşittir. lMNl = 5 cm olur. İkizkenar yamukta lKLl = lNMl’dır. lKLl = 5 cm’dir.


5. Ünite

Çokgenler

D

ç

K A

lKLl =

14 cm

48 cm

B

A

% ) 180 (90 o 32 o) m (ODC + = o = 180 - 122 o

P

= 58 o 'dir.

o

B

14 + 48 2 62 = 2

lKLl =

C

lKLl = ?

x 58 o 58 O 58o

lABl + lCDl ise 2

= 31 cm'dir.

L

d

[KL] orta tabandır.

D

o

32 C

ABCD eşkenar dörtgendir. x=?

% ) 58 o ’dir. V ’nın açıortayı olduğundan, m (PDO [BD], O = % % %) POD ikizkenar üçgen olduğundan, m (OPD) = m (ODP 283 % o ’dür. m (OPD) = 58 'dir. % ) m (ODP % ) m (DPO % ) 180 o m (POD + + = (Üçgenin iç açıları toplamı) % ) 58 o 58 o 180 o m (POD + + = % ) 116 o 180 o m (POD + = % ) 180 o 116 o m (POD = % ) 64 o 'dir. m (POD = % ) 90 o olduðu için; m (AOD = % ) 90 o 64 o m (AOP = % ) 26 o m (AOP = x = 26 o 'dir.


5. Ünite

Çokgenler

e

A

[AC], A açısının açıortayı olduğundan; % ) 25 o 'dir. m (CAD = & ikizkenar üçgen olduğundan, ACD

o

25 B

% ) m (ACD % ) ’dır. Bu nedenle; m (CAD =

D

o

x = 25 ’dir. x C ABCD eşkenar dörtgenindeki verilere göre, x = ?

f

M

U

o

o

60

60

R

o

60

o

25

x

T & eşkenar üçgen, MRAT parelelkenarı verilmiştir. ATU x=?

A

% ile TAR % komşu olduklarından bütünler açılardır. MTA 284

% ) m (TAR % ) 180 o m (MTA + = % ) 180 o 60 o + m (TAR = % ) 180 o 60 o m (TAR =

W ) = 120 o 'dir. m (TAR

x + 25 o + 60 o = 120 o

x + 85 o = 120 o x = 120 o - 85 o x = 35 o 'dir.


5. Ünite

Çokgenler

EŞKENAR DÖRTGENSEL BÖLGENİN ALAN HESABI Alan Hesabı A Alan (ABCD) = D

B

lACl . lBDl dýr. 2

C

ÖRNEK

CÖZÜM K A (KLMN) = N

L

7

10 . 14 = 21 A (KLMN) = 70 cm 2 'dir.

M KLMN eşkenar dörtgensel bölgede, lKMl = 10 cm ve lLNl = 14 cm ise, A(KLMN) = ?

YAMUKSAL BÖLGENİN ALAN HESABI A y B

(Dik Yamuk) K

D

285

N

y C

^lADl + lBClh . y 2 Yani; A(ABCD) = Orta taban . Yükseklik

L

A (ABCD) =


lKMl . lLNl dir. 2

A (KLMN) =

M

^lKNl + lLMlh . lKLl 2

5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK 8 cm

A

D ABCD yamuğunda iki taban arası uzaklık 4 cm, lBCl = 17 cm,

y = 4 cm B

lADl = 8 cm ise, A(ABCD) = ? C

17 cm

CÖZÜM A (ABCD) =

^lADl + lBClh . y (8 + 17) . 4 2 = = 25 . 2 = 50 cm 2 2 21

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU Bir marangoz aşağıdaki ölçülerde bir tezgah yapıyor. 80 cm 30 cm

A2 120 cm 50 cm

80 cm

A1

A1 = 120 . 50

= 6000 cm2 A2 = (120 + 80) .30 2 100 200 .30 = 21

= 3000 cm2

A1 + A2 = 6000 + 3000 120 cm

286

2

= 9000 cm ’dir.

Bu tezgahın alanı kaç santimetrekaredir? A) 9000

B) 9600

C) 11000

D) 11600

Cevap: A

PEKİSTİRELİM

Yeşil Alan

Oturma Alanı

Oktay Sinanoğlu ortaokulunun 50 m x 40 m boyutlarında dikdörtgen şeklindeki bahçesi yandaki gibi bölmelere ayrılıyor. Seçeneklerde sorulan soruları şekle göre cevaplayınız.

i es hç Ba ve ey M

20 m

Basket Sahası

Oyun Alanı

Tenis Sahası

Futbol Sahası


5. Ünite

Çokgenler

a

Basket sahasının alanını hesaplayınız. (p’yi 3 alınız.) 10 m 20 m O

b

Çapı = 20 m r = 10 m 2 Basket Sahasının Alanı = pr 2 = 3 . 10 = 3 . 100 2 = 300 m ’dir.

Tenis sahasının kapladığı alanı hesaplayınız. 10

20 . 20 Tenis Sahasının Alanı = 21

10 10

c

2

= 200 m ’dir.

Meyve bahçesi için kullanılan alanı hesaplayınız. Meyve Bahçesinin Alanı = 10 . 20

20 m

2

= 200 m ’dir.

10 m ç

Oturma alanı için ayrılmış bölgenin alanını hesaplayınız. 20 m

10

20 m

Oturma Alanının Alanı = 20. 20 21

287 2

= 200 m ’dir. d

Futbol sahasının alanını hesaplayınız. Futbol Sahasının Alanı = 10 . 20 = 200 m2’dir.

10 m 20 m e

Oyun için ayrılan alanı hesaplayınız. 20 m

10

20 m 15 m 7. Sınıf Matematik

Oyun Alanı = (15 + 20 ) . 20 21 = 35 . 10 2 = 350 m ’dir.

5. Ünite f

Çokgenler

Yeşillendirilmiş bölgenin alanını hesaplayınız.

Yeşil Alan = Okul Bahçesinin Alanı – Sosyal Alan Okul Bahçesinin Alanı = 40 m . 50 m

= 2000 m

2

Sosyal Alan = Basket S. + Oyun A. + Meyve B. + Oturma A. + Tenis S. + Futbol S. 2

Sosyal Alan = 300 + 350 + 200 + 200 + 200 + 200 = 1450 m 2

Yeşil Alan = 2000 – 1450 = 550 m ’dir.

PROBLEM

3 cm alın

Türkan yaptığı ev resminin üzerini renkli kağıtla kaplamak istiyor. Kırmızı ve sarı kağıtlardan kaçar santimetrekare gerekir?

288

CÖZÜM Kýrmýzý alan =

6(14.3) + (8.3)@ . (3.3)

=

2

(42 + 24) . 9 2

Sarý alan =

(4.3) . (4.3) . 2 2

= 12 . 12

2

= 144 cm sarı kağıt gerekir.

33

66.9 = 2 2 = 297 cm kırmızı kağıt gerekir.


5. Ünite

Çokgenler

PROBLEM Çevresi 33 cm olan bir eşkenar üçgen ile aynı kenar uzunluğuna sahip karenin alanını hesaplayalım.

CÖZÜM A 11 cm

Ç = 3a 3a = 33 33 a= 3 a = 11 cm

11 cm

B

C

a 11 cm

K

N 2

11 cm

L

A(KLMN) = 11 = 11.11 2 = 121 cm dir. M

PROBLEM

162 cm

180 cm

Emel ile Yiğit kampa gidiyorlar ve yandaki gibi çadır kuruyorlar. Görünen kısımda mor renkte kullanılan kumaş miktarının sarı renkte kullanılan kumaş miktarına oranı nedir?

93 cm

CÖZÜM

289

Görünen kısımdaki mor kumaş miktarı = 180.162 2 = 29160 cm 81

Sarı kumaş muktarı = 93 . 162 21 2

= 7533 cm Mor kumaş miktarı Sarı kumaş miktarı


=

29160 cm 2 7533 cm

2

=

3240 120 'dir. = 837 31

5. Ünite

Çokgenler

PROBLEM 70 cm

80 cm

100 cm

130 cm

Mobilyacı Mustafa Usta çocuklarına şekildeki gibi bir çalışma masası yapıyor. Verilen ölçütlere göre; Mustafa Usta masanın üst yüzeyi için kaç metrekare ahşap kullanmıştır?

120 cm

CÖZÜM 80 cm

70 cm

Hesabı kolay yapabilmek için şekli uygun çokgenler olacak şekilde bölmelere ayırdığımızda şeklin dikdörtgen ve dik yamuk birleştirilerek oluştuğunu görebiliriz.

A

2

A

100 cm

1

130 cm

120 cm Dikdörtgensel bölgenin alanı = 290

A = 120 . 10 1

2

= 12000 cm

Dik yamuksal bölgenin alanı = A2 =

(130 + 70 ) . 80 2 40

200 . 80 = 22 = 8000 cm Toplam kullanılacak ahşap miktarı = A + A 1 2 = 12000 + 8000 2 = 20000 cm ’dir. 2 20000 : 10000 = 2 m olur.


5. Ünite

Çokgenler

DIKDÖRTGENSEL BÖLGELERDE ALAN - ÇEVRE İLIŞKISI Dikdörtgenlerde alan-çevre ilişkisini örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK Aynı alana sahip farklı dikdörtgensel bölgelerin çevre uzunluklarını inceleyelim. Tabloları uygun şekilde dolduralım. 2

2

Alanı = 8 br olanlar. 8 br 4) 1 br

Alanı = 12 br olanlar. 12 br

1) 1 br 2)

A1

6 br

5)

A2

2 br

4 br 2 br

4 br

3) 3 br

A3

CÖZÜM Tablo: Dikdörtgensel bölgede alan çevre ilişkisi 2

Dikdörtgen Alanı (br ) Çevre uzunluğu (br) 1. 12 26 2. 12 16 12 14 3. 8 18 4. 5.

8

Tablo: Dikdörtgensel bölgede alan çevre ilişkisi 2

Alanı (br ) Olası en fazla Olası en düşük çevre uzunluğu çevre uzunluğu 12 8

26 18

14 12 291

12

2

2

Alanı 12 br olan dikdörtgenler;

Alanı 8 br olan dikdörtgenler;

A = 1.12 1 2 = 12 br

A = 1.8 1 2 = 8 br

A = 2.6 2 2 = 12 br A = 3.4 3 2 = 12 br


Ç = 2 . (1+12) 1 = 2. 13 = 26 br Ç = 2 . (2+6) 2 = 2. 8 = 16 br Ç = 2 . (3+4) 3 = 2. 7 = 14 br

Ç = (8+1) . 2 1 Ç = 9.2 1

Ç = 18 br 1

Ç = 2.(2+4) 2

A = 2.4 2 2 = 8 br

Ç = 2.6 2

Ç = 12 br 2

5. Ünite

Çokgenler

Alanı “A” olan bir dikdörtgensel bölgenin olası en büyük çevre uzunluğu = 2A +2 hesabı ile bulunur.

ÖRNEK Aynı çevre uzunluğuna sahip farklı dikdörtgensel bölgelerin alanlarını inceleyelim.

4 br

3 br

Ç = 16 br 1

2

1

2

Ç = 16 br 4

7 br

3

6 br

2

A = 3.5 = 15 br

1 br

Ç = 16 br

2 br

2

5 br

A = 4.4 = 16 br

4 br

Ç = 16 br

2

2

A = 2.6 = 12 br

A = 1.7 = 7 br

3

3

Çevresi sabit olan dikdörtgensel bölgelerde kenar uzunlukları farkı arttıkça alan değeri azalır.

ÖRNEK

292

Kenar uzunlukları birer tam sayı ve çevresi 42 cm olan dikdörtgensel bölgenin; a) Alanı en fazla kaç santimetrekare olabilir? b) Alanı en az kaç santimetrekare olabilir?

CÖZÜM a

42 = 2.(a+b) 42 = a+b 2 a+b = 21 cm

b

a) a = 10 b = 11

Ç = 2.(a+b)

için

A = a.b A = 10.11 2 A = 110 cm ’dir.

İki kenar farkı en fazla olan değerler

b) a = 1 b = 20

1 + 20 2 + 19 3 + 18 4 + 17 5 + 16 6 + 15 için

7 + 14 8 + 13 9 + 12 10 + 11

İki kenar farkı en az olan değerler

A = a.b A = 1.20 2 A = 20 cm ’dir.


5. Ünite

Çokgenler

PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda çevre uzunlukları verilen dikdörtgenlerin kenar uzunlukları tam sayı olacak şekilde, alanlarının alabileceği en büyük değer ile en küçük değeri bulunuz. a

Ç = 10 cm

Ç = 2. (a + b) 10 = 2. (a + b) 10 2 a + b = 5 cm a+b =

b

Ç = 100 cm

Ç = 2. (a + b) 2. (a + b) = 100 100 2 a + b = 50 cm a+b =

c

Ç = 120 cm

Ç = 2. (a + b) 2. (a + b) = 120 120 2 a + b = 60 cm a+b =

ç

Ç = 402 br

Ç = 2 (a + b) 2 (a + b) = 402 402 2 a + b = 201 br a+b=


a+b=5 1+4 2+3

En büyük alan değeri : a . b A = 2.3 2 A = 6 cm En küçük alan değeri : a . b A = 1.4 2 A = 4 cm ’dir.

En büyük alan değeri : a = 25 , b = 25 (en yakın değerler) A = 25.25 2 A = 625 cm ’dir. En küçük alan değeri : a = 1 , b = 49 (ya da tersi) A = 1.49 (en uzak değerler) 2 A = 49 cm ’dir. En büyük alan değeri : a = 30 , b = 30 (en yakın değerler) A = a.b A = 30.30 2 A = 900 cm En küçük alan değeri : a = 59 , b = 1 (ya da tersi) (en uzak değerler) A = 59.1 2 A = 59 cm En büyük alan değeri : a = 101 , b = 100 (ya da tersi) (en yakın değerler) A = a.b A = 101.100 2 A = 10100 br En küçük alan değeri : a = 200 , b = 1 (ya da tersi) (en uzak değerler) A = 200.1 2 A = 200 br

293

5. Ünite

Çokgenler

2) Aşağıda alanları verilen dikdörtgensel bölgelerin olası en büyük çevre uzunluklarını hesaplayınız. 2

a

A = 1 br

c

A = 21 br

d

A = 100 m

2

2

2

Ç = 2A + 2 Ç = 2.1+2 Ç = 2+2 Ç = 4 br’dir.

b

A = 12 br

Ç = 2A + 2 Ç = 2.21+2 Ç = 42+2 Ç = 44 br’dir.

ç

A = 75 cm

Ç = 2A + 2 Ç = 2.100+2 Ç = 200+2 Ç = 202 m’dir.

e

A = 21 km

Ç = 2A + 2 Ç = 2.12+2 Ç = 24+2 Ç = 26 br’dir.

2

Ç = 2A + 2 Ç = 2.75+2 Ç = 150+2 Ç = 152 cm’dir.

2

Ç = 2A + 2 Ç = 2.21+2 Ç = 42+2 Ç = 44 km’dir.

3) Aşağıdaki problemleri çözerek istenenleri bulunuz. a

A

D 8 cm

294

B

a

A (ABCD) = a.y 88 = a.8 88 8 a = 11 cm a=

2

A(ABCD) = 88 cm ve şekildeki verilere göre taralı bölgenin alanını hesaplayınız.

C & ) a.y A (ABC = 2 & ) 11.8 A (ABC = 2 88 = 2 = 44 cm 2 dir.

! Bir köşegen, paralelkenarı iki eş parçaya böler. Yani; & ) A (ABCD) 'dir. A (ABC = 2


5. Ünite

Çokgenler

b

14 cm N

K

T KURT dikdörtgeni ve EMİN eşkenar dörtgeni verilmiş, lKTl = 14 cm, lTRl = 10 cm ve şekildeki verilere göre taralı bölgenin alanını hesaplayınız.

İ 10 cm

E

U

M

A (KURT) = lKTl . lTRl

R

A (EMÝN) =

= 14 cm . 10 cm

lEÝl . lNMl 2

TA = A (KURT) - A (EMÝN)

7

= 140 cm 2

=

14 cm . 10 cm 21

= 140 cm 2 - 70 cm 2 = 70 cm 2 dir.

= 70 cm 2

c

Yol kenarında duran dikdörtgensel bölge şeklindeki panonun su yüzeyine yansıması yamuksal bölge şeklindedir. Pano 150 cm x 120 cm boyutlarında yansımasındaki yamuksal bölgenin tabanları 120 cm 295 ve 60 cm’dir. Pano ile yansımasının alanları aynı ise; panonun yansımasında iki taban arasındaki uzaklığı bulunuz.

120 cm

A(Pano) = 150 cm . 120 cm 2 = 18 000 cm A(Pano) = A (panonun yansıması) 18.000 (60 + 120) .y = 1 2

150 cm

36 000 = 180 y y=

36000 180

y = 200 cm y = 2 m’dir.


5. Ünite

Çokgenler

ç

40

cm

40 cm

Ressam yandaki resmi iki tuval kullanarak yapmıştır. Tuvalin toplam yüzeyi 5500 cm2 dir. Şekildeki verilere göre, k uzunluğu kaç santimetredir?

k

60 c

m

70 cm

Yamuksal ve paralelkenarsal bölgelere bölerek alanlarını ayrı ayrı hesaplar sonra toplam alana göre k’yı hesaplarız. 20

(60 + 40) .40 100. 40 Yamuksal bölgenin alanı = = = 2000 cm 2 2 21 2

5500 – 2000 = 3500 cm Paralelkenarsal bölgenin alanı = 70 k 3500 = 70 k

k=

3500 70

k = 50 cm’dir.

d

2 olan bir dikdörtgensel bölgenin 5 çevre uzunluğu 140 cm olduğuna göre, bu dikdörtgensel bölgenin alanını hesaplayınız. Kısa kenar uzunluğunun, uzun kenar uzunluğuna oranı

296

x cm

x 2 = u 5

x = 2’nin katı u = 5’in katı

x = 2k u = 5k dersek

u cm Çevre = 2. (2k + 5k) 140 = 2. (7k) 140 = 14k 140 k= 14 k = 10 dur.

x = 2k

u = 5k

Alan = x.u

= 2.10

u = 5.10

A = 20.50

= 20'dir.

u = 50'dir.

A = 1000 cm 2 dir.


5. Ünite

Çokgenler

Bursa’nın İznik ilçesi çinileri ile ünlü güzel bir şehrimizdir.

e

Osmanlı mimarisi ve günümüz mimarisinin güzel eserlerinde, buranın çini seramiklerinden faydalanılmıştır. Mütahit Özgür Bey’in yaptığı evin balkonunun 220 cm x 290 cm dikdörtgensel bölge şeklindeki duvarını, bir kenar uzunluğu 20 cm olan kare şeklindeki çini seramiklerle döşemek istiyor. Duvarda boş alan kalır mı? Boş alan kalıyor ise kalmaması için Mütahit Özgür Bey ne yapabilir?

220 cm

Enine; 220 : 20 = 11 çini karo sığar

290 cm

Boyuna; 290 20 20 14 çini karo sığar 090 80 10 cm boşluk kalır. Boş kalan kısma; 10 cm x 20 cm boyutlarında dikdörtgen şeklinde çini seramikle kaplanabilir. 10 cm


297

5. Ünite

Çokgenler

f

108 cm

Oymalı Köyüne yapılan camide şekildeki gibi yarım daire ve dikdörtgen birleşimi pencereler yapılıyor. Hayırsever Şevket Bey camlarını taktırmak istiyor. Camcı 50 tane pencerenin camını takmak için el emeği ¨240, camın metrekaresine de ¨7 istiyor. Şevket Bey, camcıya toplam kaç lira öder? 60 cm

A

2

A = 108 cm . 60 cm 1

30 cm

2

= 6480 cm

60 cm

A = pr

2

2

2

= 3,14 . 30

2

= 2826 cm

1

108 cm

A

A + A = 6480 + 2826 1

2

= 3654

50 tane pencere = 50 . 3654

298

= 182 700 cm2

182 700 : 10 000 = 18,27 m2

Toplam cam fiyatı = 18,27 . 7 60 cm

= ¨127,89 Camcıya ödeyeceği toplam para = El emeği + cam fiyatı

= 127,89 + 240

= ¨367,89’dır.


5. Ünite

Çokgenler

g

Çevresinin uzunluğu 8 m olan dikdörtgensel bölgenin kısa kenar uzunluğu, uzun kenar uzunluğunun yarısının 40 cm fazlasıdır. Bu dikdörtgensel bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?

x + 40 2 x

8 m = 800 cm x Ç = b x + + 40l . 2 2 3x 800 = c + 40 m 2 2 800 = 3x + 80 3x = 800 - 80 3x = 720 x = 720 : 3

Uzun kenar uzunluğu = 240 cm x Kısa kenar uzunluğu = + 40 2 240 = + 40 2 = 120 + 40 = 160 cm Dikdörtgensel Bölgenin Alanı

= 160 . 240 2

= 38400 cm dir.

x = 240 cm

ğ

Taban uzunlukları; 2,7 dm ve 5,3 dm yüksekliği 80 cm olan yamuksal bölgenin alanı kaç desimetrekaredir?

80 cm = 80 : 10 = 8 dm'dir. Alan =

(5 , 3 + 2 , 7 ) . 8 4 21

=8. 4 = 32 dm 2 'dir.


299

5. Ünite

Çokgenler

ÖRNEK Çevre uzunlukları aynı olan eşkenar üçgensel bölge ile karesel bölgenin ikişer kenarının uzunluğu aynı alınarak oluşturulan paralelkenarın çevre uzunluğu 28 cm ise karesel bölgenin alanını hesaplayalım.

CÖZÜM

Ç = 4x

Ç = 3y

x

y

4x = 3y x 3 = y 4 y x

300

2(x+y) = 28 x

y

x = 3k y = 4k

2(3k+4k) = 28 7k = 14 k=2 x = 3k x = 3,2 x = 6 cm

y = 4k y = 4,2 y = 8 cm 2

Alan kare = x 2

=6

2

=36 cm dir.


5. Ünite

Çokgenler

KONU TESTİ 1. Kenar sayısı köşegen sayısına eşit olan çok-

5. Kare için aşağıdakilerden hangisini kesin

gen hangisidir? A) Üçgen

B) Kare

olarak söyleyemeyiz? A) Yamuktur.

C) Beşgen

D) Yedigen

B) Eşkenar dörtgendir. C) Dikdörtgendir. D) İki dik üçgenin bir kenar üzerinde çakışması ile oluşur.

o

2. İç açıları toplamı 1260 olan çokgen hangisidir? A) Ongen

B) Dokuzgen

C) Sekizgen

D) Yedigen

6.

A

1

G

D

2 o

B

3. Düzgün altıgenin bir dış açısının ölçüsü kaç

C

B) 100

C) 80

D) 60

3 L 2z+10 o

I HIKL yamuk

B) Beşgen

C) Üçgen

D) Onikigen


R

M 3t o

z–5

P K N MNPR paralelkenar

Veli, şekildeki verilere göre 4 soruyu sırasıyla doğru olarak cevaplayarak t açısını buluyor.

olan çokgen hangisidir? A) Dörtgen

DEFG kare

o

4y+18

F

4 H

4. İç açıları toplamı dış açıları toplamına eşit

x+5y

E

ABC eşkenar üçgen

derecedir? A) 120

2x+10

Veli t açısını kaç derece bulmuştur? A) 13

B) 15

C) 18

D) 20

301

5. Ünite

Çokgenler

7.

A

o

D

D

9. A

3x+10

T 3x

B

K

C

o

0 +2

2x

y

B

C

Yukarıdaki ABCD eşkenar dörtgeninde

Yukarıdaki ABCD dikdörtgeninde

lBTl = lDCl, [AC] ve [BD] köşegen V ) = 3x ve şekildeki verilere göre, x m (ACB

açısı kaç derecedir?

[AC] ve [BD] köşegendir.

A) 10

V ) = y kaç Şekildeki verilere göre, m (ACB

B) 12

C) 15

D) 18

derecedir? A) 55

B) 50

C) 45

D) 40

302

10.

8.

A

x

D

x+14 B

C

Ali amca, kenar uzunlukları 80 m ve 120 m olan

Yukarıdaki ABCD ikizkenar yamuğunda,

dikdörtgensel bölge şeklindeki tarlasını, alanı

[BD]⊥[DC] ve şekildeki verilere göre, % ) kaç derecedir? m (DCB

64 m olan karesel bölgelere ayıracaktır.

A) 46

B) 48

C) 50

D) 52

2

Bu karesel bölgeler en çok kaç tane olur? A) 120

B) 144

C) 150

D) 160


5. Ünite

Çokgenler

11.

13. 2 cm

A

D

4 cm 4 cm

6 cm

B 3 cm E

Yukarıda verilen 2 cm’lik 6 tane, 4 cm’lik 3 tane ve 6 cm’lik 2 tane çubuk verilmiştir.

Bu çubuklar kullanılarak aşağıdakilerden

5 cm

M

C

Yukarıdaki ABCD yamuğunda

[AD] // [BC] ve şekildeki verilere göre, A(ABCD) kaç santimetrekaredir?

hangisi elde edilemez? 2 A) Alanı 64 cm olan kare

A) 24

B) 25

C) 30

D) 32

2

B) Alanı 80 cm olan dikdörtgen C) Çevresi 15 cm olan yamuk D) Çevresi 32 cm olan eşkenar dörtgen

14. 12. 303

Ahmet’in elinde 10 cm ve 6 cm’lik 2 tane çıta bulunmaktadır. Bu iki çıtanın orta noktalarını üst üste getirerek naylon ile kapladığında eşkenar dörtgen şeklinde bir uçurtma elde ediyor.

lon kullanmıştır?


B) 40 2- B

3- D

C) 48 4- A

yor.

D) 60 5- D

6- B

7- B

Defne, yukarıdaki birim karelere ayrılmış karton üzerindeki taralı kısmı kesip çıkarı-

2

Bu uçurtmayı yaparken en az kaç cm nay-

A) 30

8- D

Kesilen kartonun alanı kaç birimkaredir? A) 26 – p

B) 26 – 2p

C) 29 – 2p

D) 29 – p

9- A

10- C 11- C 12- A 13- D 14- C

5. Ünite

Dönüşüm Geometrisi

DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ EŞ ŞEKİLLER

304

Eş şekiller: İki şekil üst üste konduğunda çakışıyorsa bu şekiller eş şekillerdir.


5. Ünite


ÖRNEK 1

3

2

4 5

8

7

9

6

Yukarıda verilen şekillerden eş olanları belirleyelim.

CÖZÜM 1 ile 8 3 ile 9 5 ile 7

Üst üste koyduğumuzda çakışacak şekiller olduğundan eş şekillerdir.

ÖRNEK

CÖZÜM

305 Verilen noktalı yere yukarıdaki şekle eş bir şekil çizelim.

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU A

B

D G

F H

C

E

T

Şekildeki F, G, H ve T noktalarından hangisi [DE]’nın uç noktalarıyla birleştirilirse ABC üçgenine eş bir üçgen elde edilir? A) F


B) G

Noktaların yerlerine ve kenar uzunluklarına dikkat ederek çizeriz.

C) H

D) T

Noktaların birbirine göre yerlerini belirlediğimizde F noktası ile [DE]’nin köşelerini birleştir& ’ne eş EDF & elde ederiz. diğimizde ABC & ≅ EDF & 'dir. ABC Cevap A

5. Ünite


PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda düzlemde verilen şekillerden eş olanları belirleyiniz.

J

Ç

A B

C

E

D

A ile Ç eştir. C ile J ve H eştir. E ile G eştir.

F

G İ H I

2) Aşağıda verilen düzlemlerdeki şekillere eş şekiller çiziniz. a

306

b


5. Ünite


c

ç

d

e

f

307

g


5. Ünite


ÖTELEME Bir düzlemde noktayı ötelemek: İstenen yönlerde istenen birim kadar yerinin değişmesidir. Bir düzlemde doğru parçasını ötelemek: Doğru parçasının doğrultusu ve boyu değişmeden istenen yönlerde istenen birim kadar yerini değiştirmektir. Bir düzlemde şekli ötelemek: Şeklin duruşunu boyutunu ve biçimini değiştirmeden istenen yönlerde istenen birim kadar yerini değiştirmektir. Örneklerle ötelemenin nasıl yapılacağını inceleyelim.

ÖRNEK E

A 7 br sağa

E düzleminde, A noktasını 7 birim sağa ve 5 birim aşağıya ötelenmiş ı halinin görüntüsünü (A ) gösterelim.

5 br aşağıya (

ı

1 birimdir.)

A

ÖRNEK 3 br sola 4 br aşağı 4 br aşağı

308

3 br sola ı

A

A

E Yandaki E düzleminde, [AB]’nı 3 br sola ve 4 br aşağıya ötelenmiş halinin görünı ı tüsünü [A B ] çizelim.

B (

1 birimdir.)

ı

B

Önce uç noktalarını öteleriz sonra bu noktaları birleştiren doğru parçasını çizeriz.


5. Ünite


ÖRNEK K 1 br yukarı ı

ı

ı

E

N

L 1 br yukarı

N

K

7 br sola

ı

M

L

M

7 br sola

Yandaki E düzleminde; KLMN paralelkenarın 7 br sola ve 1 br yukarıya ötelenmiş halinin görünı ı ı ı tüsünü (K L M N ) çizelim. (

1 birimdir.)

Önce köşe noktaları öteler, sonra ardışık doğru parçaları yarı ı ı ı dımı ile birleştiririz. Oluşan paralelkenar K L M N ’dür.

ÖRNEK Aşağıdaki düzlemde verilen EÜ doğru parçasının 4 br sağa ve 3 br aşağıya ötelenmesi ile oluşan ı ı ı ı görüntüsünü [E Ü ] çizerek, [EÜ]’nın uzunluğu ile [E Ü ]’nın uzunluğunu karşılaştıralım.

E

Ü 3 br ı

ı

E

Ü 3 br

CÖZÜM E noktasını ve Ü noktasını 4 br sağa ve 3 br aşağıya öteler doğru parçası yardımı ile birleştiririz. ı ı Oluşan görüntü [E Ü ]dır. ı ı ı ı lEÜl = 3 br iken lE Ü l = 3 br olduğunu görebiliriz. Yani lEÜl = lE Ü l dür.


309

5. Ünite


ÖRNEK Aşağıdaki düzlemde verilen ABC dik üçgeninin 6 br yukarı ve 4 br sola ötelenmesi sonucundaki ı ı ı ı ı ı görüntüsü olan A B C üçgenini çizerek ABC üçgeninin alanı ile A B C üçgeninin alanını karşılaştıralım. Üçgenin boyutunda, biçiminde ve duruşunda bir değişim olup olmadığını inceleyelim. ı

A

ı

B

3. 4 2 ý ý ý A (A& B C) = 2

2 & ) 3. 4 A (ABC = 2

4 br ı

3 br

= 6 br 2

C

A

& ) A (A& ý ý ý A (ABC B C) =

4 br B

= 6 br 2

3 br

& ile A& ý ý ý ABC B C biçim, boyut ve duruş olarakta aynıdırlar.

C

ÖRNEK A

D

A

1 br

8 br

D

4 br

310 B

E

C

Yukarıda verilen ABCD parelelkenarından ABE üçgenini çıkararak 8 br sağa ötelediğimizde oluşan görüntüyü çizelim. Görüntünün alanını hesaplayalım.

ı

ı C B E

E

ı

Oluşan görüntü AEE D dikdörtgenidir. ı A(AEE D) = 4 . 8 2 = 32 br ’dir.


5. Ünite


PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen nokta, doğru ve şekilleri istenen yönlerde ve birimlerde öteleyerek öteleme sonucu oluşan görüntüsünü çiziniz. a

1 br 7 br sola

K

7 br sola, 2 br aşağı

2 br aşağı K

ı

b

M

1 br

8 br aşağı

8 br aşağı, 5 br sola

ı

M

5 br sol 311

c

1 br

Görüntüsü D

F

C

Yukarıda [CD] ve [DF] verilmiştir. [CD]’nın 5 br sağa ötelenmesi sonucu oluşan görüntüsünü çiziniz.


D

F ı

C

(Dı)

5. Ünite


ç

1 br K

N

A

L

M

B

K

N (Aı) 3 br ı

L

5 br

d

1 br 1 312

(B ) M

Yanda [KL], [KN], [LM] ve [AB] verilmiştir. [AB]’nı 4 br sola ötelediğimizde oluşan çokgensel bölgenin alanını hesaplayınız.

KLMN dikdörtgeni oluşur. ı ı [A B ] = [MN] A(KLMN) = 3 . 5 2 = 15 br dir.

Yandaki şekilde 1 numaralı kareyi 2 br aşağıya ötelediğimizde oluşan şeklin görüntüsünü çiziniz. Ötelenen şeklin görüntüsünde boyutunda herhangi bir değişim olmuş mudur?

Ötelenen 1 numaralı karenin şekli, boyutu değişmemiştir. Sadece yeri değişmiştir. 1


5. Ünite


e

1 br

2 3

Yanda karelerle oluşmuş şekilde 1, 2, 3 numaralı kareleri nasıl ötelersek oluşan şeklin görüntüsü bir kare olur?

1

Birden fazla cevap vardır. Bunlardan birisi; 1 numaralı kare, 6 br sağ ve 1 br aşağıya 2 numaralı kare, 6 br aşağı ve 1 br sola 3 numaralı kare, 6 br aşağı ve 1 br sola ötelenebilir.

f

A

B

D

1 br Yanda verilen ABCD parelelkenarı içindeki ABE dik üçgeninin 4 br sağa ötelenmesi ile oluşan çokgensel bölgenin görüntüsünün alanını hesaplayınız.

E C

313 A

ı

D (A ) 4 br

E C ı (B )


ı

E

ı

Öteleme sonucunda AEE D karesi oluşur. ı 2 A(AEE D) = 4 2 = 16 br dir.

5. Ünite


YANSIMA

Bir noktanın, doğru parçasının, şeklin düz aynadaki görüntüsüne yansıma denir.

Örneklerle bir düzlemde nokta, doğru parçası ve şekillerin yansıma sonucu oluşan görüntülerini inceleyelim.

ÖRNEK A

CÖZÜM Yandaki A noktasının d doğı rusuna göre yansımasını (A ) gösterelim.

A

d

d

ÖRNEK 314

A

A

ı

A noktasının d doğrusuna göre yansıması d doğrusundan dik ı geçen [AA ] çizilirken, d doğrusuna A noktası kadar uzakı lıkta olan A noktası belirlenir. (d doğrusunu ayna kabul edelim.) ı ı

B d

Yandaki [AB]’nın d doğrusuna göre yansımasını [A B ] çizerek uzunluklarını karşılaştıralım.

CÖZÜM A 3 br B d A

ı

3 br B

ı

d doğrusunu ayna kabul edersek görüntüsü yani d doğı ı rusuna göre yansıması [A B ]’dır. lABl = 3 br ı ı lA B l = 3br ı ı lABl = lA B l’dır.


5. Ünite


ÖRNEK

L

ı ı

2 br Kı

K 2 br 3 br

3 br

[KL] nın d doğrusuna göre yansımasını [K L ] nı çizelim. ı

L

d

CÖZÜM Önce K ve L noktalarının yansımasını alırız. ı

K noktasının, d doğrusuna olan uzaklığı K noktasının, d doğrusuna olan uzaklığına eşittir. ı

[KK ] ⊥ d olmalıdır. ı

L noktasının, d doğrusuna olan uzaklığı L noktasının, d doğrusun olan uzaklığına eşittir. ı

[LL ] ⊥ d olmalıdır. ı ı

lKLl = lK L l dur. ı ı

[KL], üzerindeki her noktanın yansımasına karşılık gelen noktaların olduğu [K L ] üzerindeki noktayı birleştiren doğru parçaları simetri doğrusuna diktir.

ÖRNEK 1 br AA

ABC üçgeninin d doğrusuna göre yansıması ı ı ı olan görüntüsü A B C üçgenini çizelim.

ı

315

CÖZÜM B

C Cı 5 br 5 br

d


ı

B

& A& ABC = ý Bý Cý ’dir. ı ı lBCl = lB C l’dur. ı B ve B noktalarının simetri doğrusuna olan uzaklıkları eşittir.

5. Ünite


ÖRNEK Yandaki şeklin d doğrusuna göre yansımasının görüntüsünü çiziniz. Şekil ile görüntüsü üzerinde birbirine karşılık gelen noktaları birleştiren doğru parçaları ile d doğrusu arasındaki açıların ölçülerini açıölçer yardımı ile ölçerek bulalım.

CÖZÜM Şeklin görüntüsünde boyut model değişmemiştir. Şeklin sadece yönü değişmiştir. o Açıları ölçtüğümüzde hepsinin 90 olduğunu görürüz. d

Görüntüsü

ÇIKMIŞ SORU Kareli kâğıt üzerinde verilen şekillerden hangisinde yansıma simetrisi yoktur? A)

B)

C)

D)

316

CÖZÜM A, B ve C de çizdiğimiz doğruların sağındakilerle solundakiler ile altındakiler üstündekiler birbirinin yansımasıdır. D seçeneğinde böyle bir durum yok. Cevap: D


5. Ünite


ÖTELEMELİ YANSIMA VEYA YANSIMALI ÖTELEME Ötelemeli Yansıma: Bir şeklin belli bir birim ve yönde ötelendikten sonra yansımasıdır. Yansımalı Öteleme: Önce yansıtıp sonra ötelenmesidir. Bir şeklin bir doğru boyunca belirli birimde istenen yönde ötelendikten sonra yansımasının görüntüsü ile önce yansıyıp sonra aynı birimde istenen yönde ötelenmesi sonucu olan görüntüsü aynıdır.


ÖRNEK

Yandaki bisikletin tekerlekleri A ve B noktasında durmaktadır. Bisikletin sağa 5 br ötelendikten sonraki yansımasının görüntüsünü çizelim.

1 br ı

A A

ı

B

B

ÖRNEK Yandaki şekli; a) 8 br sola öteleyip yansımasının oluşturduğu 317 görüntüyü çizelim. b) Şeklin yansımasını alarak sonra 8 br sola ötelenmiş halinin görüntüsünü çizelim ve ikisini karşılaştıralım.

a)

b)

8 br sola ötelenip yansıması sonucunda oluşan görüntü ile önce yansıyıp sonra 8 br ötelenmiş halininin görüntüsü aynıdır. 7. Sınıf Matematik

5. Ünite


ı

B

A

ı

ÖRNEK

D

ı

1 br

D C

ı

A

ABCD yamuğunun 2 br yukarı 8 br sağa öteleyip e doğrusuna göre yansımasının oluşturacağı görüntüyü çizelim. ABCD ı ı ı ı yamuğu ile A B C D yamuğunu yön, boyut ve şekil yönünden karşılaştıralım. .

B

e

C

CÖZÜM ı ı ı ı

Ötelemeli yansımada; ABCD yamuğunun kenar uzunlukları A B C D yamuğunun kenar uzunlukı ı ı ı larına eşittir. Alanları A(ABCD) = A(A B C D )’dür. Şekil aynıdır. Yönü ve yeri değişmiştir.

ÇIKMIŞ SORU Aşağıdakilerden hangisinde verilen şekiller, doğruya göre birbirinin ötelemeli yansımasıdır? A)

B)

C)

D)

318

CÖZÜM A seçeneği ötemeli yansımadır. Diğer seçeneklerde ötemeli yansıma olsaydı şekillerdeki gibi olurdu. Cevap: A

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki yansıma ve ötelemeli yansıma sorularını cevaplandırınız. a

e

M

M noktasının e doğrusuna göre yansımasının görüntüsünü ı (M ) gösteriniz. İki noktanın e doğrusuna olan uzaklıklarını karşılaştıralım.

O ı

M

ı

lMOl = lOM l’dür.


5. Ünite


b

A

D

B

C

A ı

C

ı

B

& ’nin a doğrusuna ABCD dikdörtgeninde ABC göre yansımasının görüntüsünü çiziniz.

ı

a

c

d

Yandaki K harfinin d doğrusuna göre yansımasını çiziniz.

d

aynısıdır.

ç

O 5 cm

o1

ı

D A

D ı

C

7 cm B

C

ı

A O 5 cm ı

B

90 2 TA = o . pr 3604 2

TA =

p.5 4

TA =

25p 2 cm ‘dir. 4

d Yukarıda verilen yarım dairenin d doğrusuna göre yansımasının görüntüsünü çiziniz. ABCD karesinin 2 br yukarı ötelenip d doğrusuna göre yansımasını aldıktan sonra 2 br sağa ötelenmiş halinin görüntüsünü çiziniz. O merkezli yarım dairenin görüntüsü ile ABCD karesinin görüntüsünün kesişimi olan bölgenin alanını hesaplayınız.


319

5. Ünite d


G E

ı

V

4 cm

ı

Z

d V

d ı

Z

E

ı

G

Yandaki GVZE yamuğunun alanı ile d doğrusuna göre yansımasının görüntüsü olan ı ı ı ı G V Z E şeklinin alanını karşılaştırınız.

(6 + 8) .4 A (GVZE) = (8 + 6) . 4 2 2 14 . 4 2 14. 4 2 = = 2 2 = 28 cm 2 = 28 cm 2 'dir.

A (Gý Vý Zý Eý) =

ı ı ı ı

A(GVZE) = A(G V Z E )’dür. e

f

Yandaki kelebek şeklinin f doğrusu boyunca 5 br sağa ötelenip, f doğrusuna göre yansımasının görüntüsünü çiziniz.

f

Yandaki şeklin önce y doğrusuna göre yansımasını sonra bu yansımanın görüntüsünün, x doğrusuna göre yansımasının görüntüsünü çiziniz.

320

x

y


5. Ünite


1.

A

E 1 br

B

D

Birim karelere bölünmüş noktalı kağıtta yandaki şekil verilmiştir.

4.

A

C

1

Aşağıdakilerden hangisi bu şeklin aynısıdır? A)

B)

B

B

A C

C)

D) D

2.

A 2 br B

E C D Birim karelere bölünmüş noktalı kağıtta yukarıdaki şekil verilmiştir. A noktasını 4 br ı aşağı, 4 br sağa öteleyip A noktasını buluı nuz. D noktasını 12 br sağa, öteleyerek D noktasını bulunuz. ı ı lA D l kaç birimdir? A) 7 B) 8 C) 10 D) 12

3.

x br

2 3 C

Yukarıdaki izometrik kağıtta küçük eşkenar üçgenlerden, ABC eşkenar üçgeni oluşturmak isteyen Enes, elindeki son 3 tane eşkenar üçgenden 2 tanesini daha şekle yerleştirerek ABC eşkenar üçgeni elde ediyor. Enes aşağıdaki ötelemelerden hangisini yapmamıştır? A) 1 numaralı üçgeni 2x br sağa, 2y br yukarı 2 numaralı üçgeni 4x br sola, 2y br aşağı B) 1 numaralı üçgeni 1x br sağa, 2y br aşağı 3 numaralı üçgeni 3x br sola, 4y br yukarı C) 2 numaralı üçgeni 3x br sola, 2y br yukarı 3 numaralı üçgeni 4y br sola D) 3 numaralı üçgeni 4y br yukarı, 3x br sola 2 numaralı üçgeni 2y br aşağı, 3x br sola 321

1 br G D A

2y br

KONU TESTİ

B

H

F C E Birimkarelere bölünmüş noktalı kağıtta, yukarıdaki doğru parçaları verilmiştir. [CD] 1 br yukarı, [EF] 1 br sola, 3 br yukarı ve [GH] 2 br sola, 1 br aşağı ötelenirse oluşan 2 kapalı şeklin alanı kaç br ’dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8


5. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Ötelenen şeklin boyutları ve alanı değişmez. B) Yansıma, doğru parçasının doğrultusunu değiştirebilir. C) Yansıyan şeklin kenar uzunlukları değişmez. D) Ötelemeli yansıma yapılan doğru parçasının doğrultusu değişmez.

5. Ünite


6.

8.

d

y

1 br

A

Yukarıdaki birim karelere bölünmüş noktalı kağıtta M harfinin d doğrusuna göre yansıması aşağıdakilerden hangisidir? A)

B

B)

K L

C)

D)

M

x

N P

Yukarıda birim karelere bölünmüş noktalı kağıtta “TC” harfleri veriliyor. Aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) “C” harfinin x doğrusuna göre yansıması, sola 3 br ötelenirse K noktası “C” harfinin merkezi olur. B) “TC” harflerinin y doğrusuna göre yansımasının aşağı 5 br ötelenmesi sonucu L noktası “C” harfinin, M noktası “T” harfinin üzerinde olur. C) “T” harfinin x doğrusuna göre yansımasının y doğrusuna göre yansıması alınınca, B noktası P noktasına taşınmış olur.

322

7.

1 br A

D B

D) “TC” harflerinin y doğrusuna göre yansımasının, x doğrusuna göre yansıması alınırsa, A noktası N noktasına taşınmış olur.

d C

Yukarıdaki birim karelere bölünmüş noktalı kağıtta ABCD paralelkenarının d doğrusu2 na göre yansımasının alanı kaç br ’dir? A)

11 2

B) 6

C) 1- B

13 2 2- A

D) 7 3- C

4- D

5- D

6- A

7- B


5. Ünite

Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri

CİSİMLERİN FARKLI YÖNLERDEN GÖRÜNÜMLERİ

Cismin herhangi bir yönden görünümü çizilirken, baktığımız yöne göre yükseklik farkını görebiliyorsak çizimin içinde düz çizgi ile belirtiriz. Yükseklik farkı göremediğimiz tarafta ise kesikli çizgi ile belli ederiz. Bazen daha basit olarak görünüm içindeki bütün kareler düz çizgi ile belirtilerek sadece ana şeklin o yönden görünümü dikkate alınır.

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLERİN FARKLI YÖNLERDEN İKİ BOYUTLU GÖRÜNÜMLERİNİ ÇİZME Örneklerle öğrenelim

ÖRNEK

Sağ

Ön

Yanda eş küplerle çizilmiş cismin; a) Önden görünümünü çizelim. b) Arkadan görünümünü çizelim. c) Sağdan görünümünü çizelim. ç) Soldan görünümünü çizelim. d) Önden ve arkadan görünümlerini karşılaştıralım. e) Sağdan ve soldan görünümlerini karşılaştıralım.

CÖZÜM a)

b) Ön

c) Arka

ç) Sağ

d) Önden ve arkadan görünümleri simetriktir. e) Sağdan ve soldan görünümleri simetriktir.


Sol

323

5. Ünite


ÖRNEK Üst

Ön

Sağ

Yanda eş küplerle çizilmiş şeklin; a) Önden görünümünü çizelim. b) Soldan görünümünü çizelim. c) Sağdan görünümünü çizelim. ç) Arkadan görünümünü çizelim. d) Önden ve arkadan görünümlerini karşılaştıralım. e) Sağdan ve soldan görünümlerini karşılaştıralım.

CÖZÜM a)

b)

c)

ç)

d) Önden görünüm ile arkadan görünüm simetriktir. Önden bakıldığında üst tarafta yükseklik farkı görünür. Düz çizgi ile içte belirtilir. Ancak arkadan bakıldığında yükseklik farkı görünmez. Kesikli çizgi ile içte belirtilir. e) Sağdan görünümü ile soldan görünümü simetriktir. Sağdan bakıldığında üst tarafta yükseklik farkı görünür. Düz çizgi ile içte belirtilir. Ancak arkadan bakıldığında yükseklik farkı görünmez. Kesikli çizgi ile içte belirtilir.

FARKLI YÖNLERDEN GÖRÜNÜMLERİ VERİLEN ÜÇ BOYUTLUYU ÇİZME Örneklerle öğrenelim 324

CÖZÜM

ÖRNEK

Üst

Alttan

Üstten Sağdan

Önden

Yukarıda farklı yönler ve yerlerden görünümleri verilen geometrik cismi çizelim. Ön

Sağ


5. Ünite


ÖRNEK

Üstten

Önden

Sağdan

Soldan

Arkadan

Alttan

Yukarıda belli yönlerden ve yerlerden görünümü verilen eş küplerden oluşan cismi çizelim.

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

CÖZÜM A

Önden Üstten Sağdan görünüm görünüm görünüm Yukarıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapı, aşağıdakilerden hangisidir?

C

D

Önden görünüm





Üstten görünüm



Sağdan görünüm

B





 325

C şıkkı üç görünümü de sağlar. Cevap: C


5. Ünite


PEKİSTİRELİM 1) Aşağıda verilen birim küplerden oluşmuş prizmaların; * Üstten görünümünü çiziniz. * Alttan görünümünü çiziniz.

* Sağdan görünümünü çiziniz. * Arkadan görünümünü çiziniz. * Soldan görünümünü çiziniz. * Önden görünümlerini çiziniz. a

Üst

Sağ

Ön

Üstten

Alttan

326

Sağdan

Soldan

Önden

Üst

b

Ön

Üstten

Arkadan

Alttan

Sağ

Sağdan

Arkadan

Soldan

Önden 7. Sınıf Matematik

5. Ünite


c

Üst Üstten

Alttan Sağdan Arkadan Soldan

Ön

ç

Önden

Sağ

Üst

Üstten Ön

Alttan

Arkadan

Sağdan

Soldan

Sağ Önden

2) Farklı yönlerden görünümleri verilen eşküplerle oluşmuş üç boyutlu şekillerini çiziniz. a

Üst Önden

Arkadan

Sağdan

Ön Soldan


Üstten

Alttan

Sağ

327

5. Ünite


b

Üst Önden

Arkadan

Sağdan

Ön Soldan

Üstten

Sağ

Alttan

c

Önden

Arkadan

Sağdan

Soldan

Üstten

Alttan

Üst

Sağ

Ön

ç

328 Üst Önden

Soldan

Arkadan Sağdan

Üstten

Alttan

Ön

Sağ


5. Ünite


KONU TESTİ 1.

3. Aşağıdaki üç boyutlu cisimlerden hangisinin

üst

sağdan görünümü ile soldan görünümü aynıdır?

B)

sağ

ön

A)

sağ

Yukarıda eş küplerle çizilmiş cismin önden görünümü aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

C)

D)

D)

ön

sağ

4.

sağ C)

sağ


sağ

329

Yukarıda sağdan ve önden görünümü verilmiş cisim aşağıdakilerden hangisidir?

A)

ön

ön sağ

sağ

Ön

B)

sağ

C)

D)

ön

Sağ

verilmiştir. Sağdan görünümleri aynı olmayan üç boyutlu hangisidir? A) B)

sağ

ön C)

2. Aşağıda eş küplerle çizilmiş üç boyutlular

ön

ön

sağ

D)

sağ

ön

sağ

5. Ünite


5. Aşağıdakilerden hangisi eş küplerle oluşan

7. Aşağıdaki cisimlerden hangisinin önden, ar-

üç boyutlu cisimler için söylenebilir? A) En az 3 eş küpten oluşmalıdır.

kadan, üstten, alttan, sağdan ve soldan görünümleri aynıdır?

B) Önden görünümü ile arkadan görnümü simetriktir.

A)

B)

C) Önden görünümü üstten görünümü ile aynıdır. D) Üç boyutlu cisimleri oluştururken kullanılan eş küplerin bir ayrıt uzunluğu her zaman 1 cm’dir.

ön

ön

C)

D)

ön ön

6. 6

1 3 2 4 5

8. Aşağıdaki cisimlerden hangisi en fazla 14 tane eş küpten oluşmuştur?

8

7

330

Sağ

Ön

A)

B)

C)

D)

Yukarıdaki 14 eş küpten oluşmuş cismin önden görünümü yukarıdaki çizim olabilmesi için ne yapılabilir? A) 2 numaralı küp çıkartılır. B) 7 numaralı küp alınır 8 numaralı küpün üzerine konur. C) 3 numaralı küp 2 numaralı küpün üzerine konur. D) 1 numaralı küp 6 numaralı küpün üzerine konur. 1- C

2- C

3- A

4- D

5- B

6- C

7- B


5. Ünite

ETKİNLİKLER 1) Origami, kağıt katlama sanatına denir.

Origami yolu ile uçak yapan bir öğrenci elindeki dikdörtgen şeklindeki bir yüzü kırmızı, bir yüzü beyaz olan kağıdı kullanarak aşağıdaki adımları takip ediyor. A

T

b)

A o

6

6

B

C

B

14

14

20

14 K c)

6

6

S

o

A

6

L

o 45 F 45 o 45 4 6 4 C P R

14 L

14

14

S 4 M2

K

o 45 45 o o 45 6 45 6 P 6

14 6

ç)

S F

B 14 K

4

C 14

6

L

A H 4

R

P 14

L

d) C C

I RT

6

MA

a) N

I K RT A M

14

S 4 M 4

B

A

L

331

Kağıdın boyutları lNTl = 12 cm ve lNKl = 20 cm olduğuna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1) 1. adımda lBKl’nu bulunuz.

lBKl = 14 cm 12.6 3 = 36 cm 2 21

& ) ’nı bulunuz. 2) 2. adımda A (ABC

A (ABC) =

3) 3. adımda A(CLSA)’nı bulunuz.

A (CLSA) = e

20 + 14 3 2 o . 6 = 34, 3 = 102 cm 21

4) 3. adımda lRPl = lMSl = 2 cm olduğuna göre, 4. adımda A(RMLC)’nı , A(BKMR)’nı ve A (BKMF)’nı bulunuz.


A (RMLC) = 14, 4 = 56 cm 2 A (BKMR) = 14, 4 = 56 cm 2 A (BKMF) = e

14 + 18 2 2 o . 4 = 64 cm 21

5. Ünite

2)

Yukarıdaki soma küplerinin parçaları ile gösterilen modelleri yapınız.

332


5. Ünite

ÜNİTE TESTİ A

1.

F

D

4. Bir beşgenin iç açıları toplamı ile bir altı-

genin iç açıları toplamı arasındaki fark kaç derecedir? A) 720

B) 180

C) 90

B K E C Yukarıdaki ABCD yamuk, [AD] // [BC], [FE] // [DC], lBEl = 13 cm, lBCl = 21 cm ve lAKl = 6 cm olduğuna göre, taralı alan kaç santimetrekaredir? A) 48 cm2 B) 24 cm2 C) 18 cm2 D) 60 cm2

2.

5.

D

A

A 11x

D

5x B

B C Yukarıdaki ABCD karesinde, kareler kenarlarının orta noktalarından yeni karelere bölünüyor. Çevre (ABCD) = 32 cm ise, taralı olan karenin alanı kaç santimetrekaredir? 1 A) 16 B) 4 C) 1 D) 4

K

3.

N


E

[BE ve ABCD dörtgenindeki verilere göre, x değeri kaçtır? A) 10

B) 15

C) 20

D) 30 333

Wh = 126 o KLMN eşkenar dörtgeninde m ^K % ) kaç derecedir? ise, m (NLM B) 27

C

d

M

A) 23

4x

6x

6.

L

D) 360

C) 33

D) 37

Yukarıda doğru parçaları ile oluşan şeklin d doğrusuna göre yansıması aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A)

B)

C)

D)

5. Ünite

7.

9.

d Yukarıdaki Y harfinin 5 br yukarıya ötelenerek d doğrusuna göre, yansıması hangi renkte gösterilmiştir? A) Mavi B) Sarı C) Mor D) Kırmızı

8.

Ilgın’ın eşkenar dörtgen şeklindeki halısının köşegen uzunlukları 2,30 m ve 1,80 m’dir. Ilgın’ın halısının zeminde kapladığı alan kaç metrekaredir? 2

2

A) 4 m

B) 2,07 m

C) 2,7 m

D) 4,14 m

2

2

334

Yukarıdaki üç boyutlu cismin yukarıdan görünümü aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

C)

D)

10.

1- A

2- C

3- B

4- B

5- A

6- D

Yukarıdaki cisim kaç tane eş küpten oluşmuştur? A) 16 B) 15 C) 13 D) 10 7- B

8- C

9- B


5. Ünite

335


5. Ünite

336


Martı 7. Sınıf Matematik Pratik Defter

Recommend Documents