9. Sınıf Matematik Akıllı Defter

Bu defter, siz öğretmenlerimize özel olarak boşlukları doldurulmuş bir şekilde basılmıştır. Mavi renkli, italik yazılar, öğrencilerinize yazdırabilmeniz amacı ile öğrenci defterinde boş bırakılmıştır.

Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Çözüm Yayınları Grafik Birimi

Çözüm Yayınları Dizgi Birimi

2015, Ankara

Yorum Matbaacılık (0312) 395 2112

Değerli Öğretmenim,

FATİH Projesi ile ülkemizdeki hemen hemen tüm okullarımıza "akıllı tahtalar" yerleştirildi ve siz değerli öğretmenlerimizin kullanımına sunuldu. Akıllı tahtalar doğru bir şekilde kullanıldığında öğrenme süreçlerini hızlandıran, öğrenme düzeyini artıran etkili bir eğitim aracıdır. Akıllı tahtaların etkili bir şekilde kullanılabilmesi için seçilecek içerik büyük önem taşımaktadır. Çözüm Yayınları, akıllı tahta ile ders işleme sistemini Türkiye'de ilk uygulayan kuruluştur. Bünyesinde barındırdığı tüm dershanelerde bu sistem günümüze kadar başarı ile kullanılmıştır. Bu teknolojiyi kullanmanın getirdiği tecrübe ile hem öğrenci hem de öğretmeni aktif bir şekilde derste tutacak, öğrenme becerilerini maksimum düzeye çıkaracak içerikleri üretmek, Çözüm Yayınlarının kültüründe yer alan önemli bir birikimdir. Şu an kullandığınız bu eser, bu birikim ve tecrübenin bir ürünüdür. Uygulamalar sonucunda her yıl geliştirilerek bugünkü hâlini almıştır. Bu ürünün tamamlayıcısı olan "Akıllı Tahta Programı"mız ile öğretmenlerimiz tahtada dersini anlatırken öğrencilerimiz basılı bir materyal olan akıllı defterlerinden dersi takip edecek ve sizin tahtaya yazdığınız bilgileri defterlerine not edeceklerdir. Yeni bir yaklaşımda bulunarak Öğretmenler İçin Özel Akıllı Defter hazırladık. Öğretmenlerimiz için hazırladığımız bu defterde, öğrencilerimizde bulunan Akıllı Defterlerdeki not almak için bırakılan boşluklar dolduruldu. Öğrenci defterinde olmayan ancak öğretmen defterinde yer alan kısımlar farklı bir renk ile belirtilmiştir.

Mavi renkli italik yazılar öğrenci defterinde yer almamaktadır. Öğretmenlerimiz bu bilgileri öğrencilerine yazdıracaktır.

A = {x : x = 2k, 0 < x < 15, k∈Z+}

Kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Burada bizden istenen 0 ile 15 arasındaki 2'nin katları (yani çift sayılar) olan pozitif tamsayılardır. O halde;

A = {2, 3, 6, 8, 10, 12, 14}

Yani s(A) = 7

Öğretmenlerimiz için özel hazırlanan bu akıllı defter sayesinde, akıllı tahta olmadan da öğretmenlerimiz ders işleyebilir. Derslerden önce, anlatacakları konuları gözden geçirebilir. Ders anlatımı sırasında kullanacakları ek materyallerin notlarını defterlerine alabilirler. Birlikte başarmak dileğiyle… Çözüm Yayınları

1. BÖLÜM: Kümeler.............................................................................5 2. BÖLÜM: Denklem ve Eşitsizlikler..................................................... 23 Gerçel Sayılar................................................................................... 23 Birinci Dereceden Denklemler............................................................ 38 Basit Eşitsizlikler............................................................................... 44 Mutlak Değer.................................................................................... 51 Üslü Sayılar...................................................................................... 59

Köklü Sayılar..................................................................................... 68 Oran – Orantı................................................................................... 79 Sayı ve Kesir Problemleri................................................................... 90 Yaş Problemleri................................................................................. 96 İşçi Havuz Problemleri....................................................................... 99 Hız Problemleri.................................................................................104 Yüzde Problemleri.............................................................................111 Karışım – Faiz Problemleri..................................................................119

3. BÖLÜM: Fonksiyonlar................................................................... 126 4. BÖLÜM: Üçgenler........................................................................ 146 5. BÖLÜM: Vektörler........................................................................ 218 6. BÖLÜM: Veri Sayma ve Olasılık..................................................... 234 Veri Sayma.......................................................................................234 Olasılık.............................................................................................247

Kümeler

1. BÖLÜM Kümeler 

Birbirinden farklı iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.



Kümedeki her bir eleman küme içerisine bir kez yazılır. Küme içindeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.



A kümesinin eleman sayısı s(A) olarak gösterilir.



x, A kümesinin elemanı ise x∈A

x, A kümesinin elemanı değil ise x∉A

A = {1, 2, {1, 2}, ∆, {∆,1} }

kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 1 ∈ A

B) {1}∉A

D) {1,∆}∈A

E) {1,2,∆}∈A

C) s(A)=5

{1, 2, ∆} gösterimine göre {1, 2, ∆} ⊂ A olmalıdır.

KÜMELERİN GÖSTERİMİ 1) Liste yöntemi: Kümenin elemanlarının iki parantez içerisine virgüllerle ayrılarak yazılmasıdır.

1 2 3

2) Venn şeması yöntemi: Kümenin elemanlarının yandaki gibi bir çembersel şekil içerisine yerleştirildiği gösterim türüdür.

3) Ortak özellik yöntemi: A = {x| x < 0, x∈N} biçimindeki gösterime ortak özellik yöntemi denir.

A = {x : x = 2k, 0 < x < 15, k∈Z+}

Kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Burada bizden istenen 0 ile 15 arasındaki 2'nin katları (yani çift sayılar) olan pozitif tamsayılardır. O halde;

A = {2, 3, 6, 8, 10, 12, 14}

Yani s(A) = 7

9. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

5

Kümeler

1. BÖLÜM KÜME ÇEŞİTLERİ 1- Boş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { }, ∅ sembolleriyle gösterilir.

Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir? A) {x: x2 < 0, x∈N} B) {x: x + 3 = 0, x∈Z+} C)

{∅}

D)

{x: 1 < x < 3, x∈R–}

E)

{ }

Karesi 0'dan küçük olan doğal sayı yoktur. Bu küme boş küme belirtir. Denklemi çözersek x = –3 olarak buluruz. Ancak bizden istenen denklemi sağlayan pozitif tamsayı olduğundan bu küme boş kümedir. 1. ile 2. arasındaki negatif reel sayılar belirtilmiştir. Bu küme de boş küme yandaki gösterim bu kümenin gösterimidir. c seçeneğindeki bu küme yanlış bir gösterimdir. Bu kısmının gösterimi veya { } şeklinde olmalıdır.

2- Eşit Küme Bütün elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.

3- Sonlu küme – Sonsuz Küme Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonsuz olan kümeye sonsuz küme denir.

Aşağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir? A) {x: 1 < x < 10, x∈R} B) {x: x < 10, x∈Z} C)

{x: |x| > 0, x∈N}

D) {x: 2x–1=1, x∈R} E)

{x: x=3k, k∈N}

1 ile 10 arasındaki reel sayılar kümesi sonsuz elemanlıdır. 10'dan küçük tamsayılar kümesi sonsuz elemanlıdır. Mutlak değeri 0'dan büyük olan doğal sayılar sonsuz elemanlıdır. 3'ün katı olan sonsuz sayıda doğal sayı vardır. O halde bu küme de sonsuz elemanlıdır. Tabanı 0'dan farklı bir sayının sonucunun 1 olması için üstünün 0 olması gerekir. Bu koşulu sağlayan x değeri de 1'dir. Dolayısıyla bu küme 1 elemanlı yani sonlu elemanlıdır.

4) Alt küme – Öz alt Küme Herhangi bir A kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan tüm kümelere A kümesinin alt kümeleri denir. A kümesinin kendisi hariç alt kümelerine A kümesinin öz alt kümeleri denir. s(A) = n olmak üzere, A kümesinin alt küme sayısı 2n A kümesinin özalt küme sayısı 2n – 1 dir.

6


Kümeler

1. BÖLÜM

5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 3 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısından kaç fazladır? A) 28

B) 25

C) 24

D) 23

E) 22

5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 25 = 32 3 elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 23 – 1 = 7 32 – 7 = 25

x∈A ⇒ {x} ⊂ A {x}∈A ⇒{{x}} ⊂ A

A = {a, b, {a,b}, {c}, c}

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A)

{a} ⊂ A

B) {{a,b}} ⊂ A C) b ⊂ A D) A kümesinin alt küme sayısı 32 dir.

E) A kümesinin öz alt küme sayısı 31 dir. b!A

"b , 1 A

4

olmalıdır. A kümesi n elemanlı olsun 2 eleman eklenirse n + 2 elemanlı olur.

A kümesine 2 eleman daha eklenince alt küme sayısı 96 artıyor.

2n+2 – 2n = 96

Buna göre, A kümesinin ilk durumdaki öz alt küme sayısı kaçtır?

2n(22 – 1) = 96

2n . 3 = 96

2n = 32

n = 5 olur.

B) 15

A) 7

C) 31

D) 63

E) 127

25 – 1 = 31 tane özalt kümesi vardır. A = {1,2,3,4,5}

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 eleman olarak bulunur? A) 4

B) 8

C) 16

D) 24

E) 32

1'i kapatırız. {2, 3, 4, 5}'in alt kümeleri kadar 1 eleman vardır.

24 = 16


7

Kümeler

1. BÖLÜM

A = {1, 2, a, b, c, d}

kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a eleman olarak bulunur, ancak b bulunmaz? A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

a ve b yi kapatırız. [1, 2, c, d}'nin alt küme sayısı a bulunur. b bulunmaz. 24 = 16

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

olduğuna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

B kümesinin içindeki A'nın elemanlarını kapatırız. {5, 6, 7, 8, 9} elemanlarının alt küme sayısı kadar küme A'yı kapsar. 25 = 32 tane

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı n n! dir. e o= (n - r ) ! . r! r

7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 54

B) 45

7 7! 7! = c m= 3 (7 - 3) !.3! 4!.3!

C) 42

D) 36

7.6.5. 4 4.3!

E) 35

= 35

10 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 48

f

B) 52

C) 56

10 10 10 0 p+ f 1 p+ f 2 p

1 + 10 + 45 = 56

8


D) 58

E) 62

Kümeler

1. BÖLÜM

A = {a, b, c, d, e, f, m, b}

Kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b eleman olarak bulunur, ancak m bulunmaz? A) 30

B) 24

C) 16

D) 8

E) 5

3 elemanlı küme isteniyor. Bunlardan 2 tanesi a ve b olmalı diğer eleman m olmamalıdır. O halde 5 elemandan 1 eleman seçeriz, 5 f p= 5 1

5- Evrensel Küme Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E harfi ile gösterilir.

E evrensel kümesinde tanımlanan A kümesi,

A = {50’den büyük iki basamaklı çift doğal sayılar}

olduğuna göre, E evrensel kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) Gerçel sayılar

B) Tam sayılar

D) Rakamlar

C) Doğal sayılar

E) İki basamaklı doğal sayılar

Rakamlar kümesi A kümesini kapsamadığından E evrensel kümesi olamaz.

Bir Kümenin Tümleyeni E evrensel kümesine ait olan fakat A kümesine ait olmayan kümelere A’nın tümleyeni denir. A’nın tümleyeni A veya A' ile gösterilir. E

A



A

s(A) + s( A ) = s(E) dir.


9

Kümeler

1. BÖLÜM

A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.

3s(A) + s(B) = 17

s(B) + 3 . s( A ) = 23

olduğuna göre, s(E) kaçtır? A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

E) 18

Verilenleri taraf tarafa toplarsak; 3 6s (A) + s (A')@ + s (B) + s (B) = 40 1444 42444 43 144424443

s (E )

S (E )

4 . s(E) = 40 olur. Bu durumda s(E) = 10'dur.

(A') ' = A ( Q) ' = E (E') = Q A 1 B + B' 1 A'

KÜMELERDE İŞLEMLER 1) Kümelerin Kesişimi A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir ve A + B şeklinde gösterilir. A

B

A∩B

A = {a, 1, b, 2, c, 3, d}

B = {a, b, 1, 4, 7}

olduğuna göre A + B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

A ve B nin ortak elemanları A ∩ B = [a, b, 1} alt küme sayısı 23 = 8 tanedir.

10


Kümeler

1. BÖLÜM

Z tam sayılar kümesini göstermek üzere,

A = {x: –2 ≤ x < 4, x∈R}

B = {x: 3 ≤ x ≤ 10 x∈R}

olduğuna göre, A + B +Z kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Hem A hem B hem de tamsayılar kümesine ait olan ortak elemanlar: A ∩ B ∩ Z = {3}'tür. Yani 1 elemanlıdır.

2) Kümelerin Birleşimi A ve B gibi iki kümenin ortak olan veya ortak olmayan elemanlarının oluşturdukları kümeye birleşim kümesi denir. A , B şeklinde gösterilir.

A = {1, 2, a, c}

B = {1, 3, a, b}

olduğuna göre A , B kümesinin alt kümelerinin kaçında a veya b eleman olarak bulunur? A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 48

A ∪ B = {1, 2, 3, a, b, c}'dir. A ∪ B'nin 26 = 64 tane alt kümesi vardır. 24 = 16 tanesinde ise ne a ne de b vardır. 64 – 16 = 48 tanesinde a veya b vardır.

s(A) = 4

s(B) = 3

olduğuna göre, s( A , B ) nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A ile B'nin ortak elemanı yoksa S(A∪B) = 7 B kümesi A'nın alt kümesi ise S(A∪B) = 4 olur. A∪B'nin 4 ile 7 arasında elemanı sayısı vardır. A∪B 4, 5, 6 veya 7 elemanlıdır. 4 farklı değeri vardır.


11

Kümeler

1. BÖLÜM 3) İki Kümenin Farkı

A ve B kümelerinden A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B (A–B) kümesi denir. B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye ise B fark A (B–A) kümesi denir. A

B

A-B

A = {a, b, {c, d}, ∆, □}

B = {a, c, d, {∆}}

B-A

olduğuna göre, A–B kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 4

B) 6

C) 12

D) 15

E) 20

n 4 A – B = {b,{c, d}, ∆, □} A – B kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı f p = f p = 4 tan edir. r 3

A ve B herhangi iki küme ve A , B, A - B, B - A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1024, 64 ve 8 olduğuna göre, A + B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0

B) 1

n

n

2 = 1024 n

C) 2 2 =8

2 =2

2 n = 23

n = 10

n= 6

n= 3

s (A , B) = 10

s (A - B) = 6

s (B - A) = 3

2 =2

n

6

E) 4 A

n

2 = 64

10

D) 3

B 6

1

3

s(A∩B) = 1 olur.

A ve B iki küme

s(A) = 2 s(B) = 3 s( A + B )

s(A,B) = 21

olduğuna göre, s(A–B) kaçtır? A) 6

B) 8

s(A) = 6 k s(B) = 3k

C) 10 A

D) 12 B

4k

2k

k

s(A∩B) = 2k

12


E) 15

4k + 2k + k =21 7k = 21 s(A – B) = 4 . 3 = 12

Kümeler

1. BÖLÜM C

B A

Yukarıdaki şemada taralı bölge aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) (A \ B) + C

A) A + B , C

D) (A , C) + B

C) (A , B , C) \ (A + B + C) E) (A , C) \ B

Taralı bölge A\B ile C kümesinin ortak bölgesidir. Taralı bölge (A\B) ∩ C'ye eşittir.

1) Kümelerde Dört İşlemin Özellikleri

s (A , B) = s (A) + s (B) - s (A + B)

Bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 10, basketbol oynayanların sayısı 17 ve her iki sporu yapanların sayısı 6 dır. Buna göre futbol veya basketbol oynayanların sayısı kaçtır? A) 17

B) 18

C) 20

S(F∪B) = s(F) + s(B) – s(F∩B)

S(F∪B) = 10 + 17 – 6

s(F∪B) = 21

D) 21

A

E) 23

B 4

6

11

veya

S(F∪B) = 4 + 6 + 11 =21


13

Kümeler

1. BÖLÜM

A = {x: x < 40, x = 2n, n∈Z+}

B = {x: x <64, x = 5n, n∈Z+}

kümesi veriliyor. Buna göre s (A , B) kaçtır? A) 26

B) 27

C) 28

D) 29

A = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 38}

E) 30

B = {5, 10, 15, 20, …, 60}

A∩B = {10, 20, 30} 38 - 2 s (A) = + 1 = 19 2 60 - 5 s (B) = + 1 = 12 5 s(A∩B) = 3 O halde s(A∪B) = 19 +12 – 3 = 28

s (A , B , C) = s (A) + s (B) + s (C) - s (A + B) - s (A + C) - s (B + C) + s (A + B + C)

En az bir dil bilenlerin bulunduğu bir sınıfta, İngilizce bilenlerin sayısı 24, Almanca bilenlerin sayısı 20, Fransızca bilenlerin sayısı 19, İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı 11, İngilizce ve Fransızca bilenlerin sayısı 14, Almanca ve Fransızca bilenlerin sayısı 12 her üç dili de bilenlerin sayısı 9 olduğuna göre, sınıf kaç kişidir? A) 36

B) 35

C) 34

D) 33

E) 32

s(İ∪A∪F) = s(İ) + s(A) + s(F) = s(İ∩A) – s(İ∩F) – s(A∩F) + s(İ∩A∩F) s(İ∪A∪F) = 24 + 20 + 19 – 11 – 14 – 12 + 9 s(İ∪A∪F) = 35 A ve B kümeleri için, A - B = A + B' (A + B) ' = A' , B' (A , B) ' = A' + B' dir.

14


Kümeler

1. BÖLÜM

A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

s(E) = 20

s( A' + B' ) = 4

s(A) = 12

olduğuna göre, s (A' + B) kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

E = 20 A

B

s(A) = 12 ve s(Aı ∩ BI = 4 olduğundan s(B/A) = 4 olur.

4

s(Aı∩ B) = s(B/A) = 4

4

12

A ve B, E evrensel kümesinin birer alt kümesidir. s (A' , B') = 30

s (B' + A) = 10 olduğuna göre, s( A' ) kaçtır? A) 10

B) 15

A

B E x

y

z

t

C) 16

D) 19

E) 20

s(A' ∪ B') = x + z + t = 30 s(B' ∩ A) = x = 10 s(A') = z + t = 20

A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Buna göre,

(B' + A) , (A' - B)

kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A , B

B) A'

A

B E x

y

z

t

C) B' D) A , B'

E) B – A

B' ∩ A = x A' – B = t (B' ∩ A) ∪ (A' – B) = {x, t} = B'


15

Kümeler

1. BÖLÜM A + (B , C) = (A + B) , (A + C) A , (B + C) = (A , B) + (A , C) A + (B - C) = (A + B) - (A + C) A,A = A A+A = A

A, B ve C birer küme

A , B = "3, 4, 5, 6, 7, A , C = " 3, 7, 8, 9 ,

olduğuna göre, A , (B + C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {3, 7}

Kartezyen çarpım 1) Sıralı ikili: a ve b elemanları sıra belirterek (a,b) şeklinde yazılırsa sıralı ikili elde edilir. (a, b) Birinci bileşen

İkinci bileşen

Sıralı ikililerin eşitliği (a, b) = (x, y) & a= x ve b = y dir.

(x – 2, 4) = (y + 3, x – 1)

olduğuna göre, x . y kaçtır? A) 0

B) 1

x – 2 = y + 3

C) 2

D) 4

ve

4 = x –1

5 – 2 = y + 3

y = 0

16


x = 5 5.0 = 0

E) 6

Kümeler

1. BÖLÜM 2) Kartezyen Çarpım A ve B boş olmayan kümeler olmak üzere, A ve B’nin kartezyen çarpımı

A x B = {(x,y)| x∈A, y∈B}

biçiminde tanımlanır.

A = {1, 2, 3}

B = {a, b}

kümeleri veriliyor. Buna göre, A x B kümesini oluşturunuz. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

3) Kartezyen Çarpımın Özellikleri 

s(A x B) = s(A) . s(B)



AxB≠BxA



A x (B , C ) = (A x B) , (A x C)



A x(B + C) = (A x B) + (A x C)



A x (B – C) = (A x B) – (A x C)

A = {x| –1 < x < 4, x∈Z}

B = {x| 1 < x < 5, x∈Z}

olduğuna göre, A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8

B) 12

C) 16

D) 20

E) 24

A = {0, 1, 2, 3} B= {2, 3, 4} s(A x B) = s(A) . s(B) = 4 . 3 = 12

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {–2, –1, 0, 1, 2}

olduğuna göre, (A + B) x (A , B) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12

B) 14

A ∩ B = {1, 2}

C) 16

D) 18

E) 20

A ∪ B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

s[(A ∩ B) x (A ∪ B)] = s(A ∩ B) . s(A ∪ B)

= 2 . 8 = 16


17

Kümeler

1. BÖLÜM

A

s(A) = 7

s(B) = 10

s( A + B ) = 4

3

B) 33

4

6

s[(A ∪ B) x (A – B)] = s(A ∪ B) . s(A – B)

olduğuna göre, s ((A , B) x (A - B)) kaçtır? A) 30

B

C) 36

D) 39

E) 42

= 13 . 3

= 39

A, B, C kümeleri için,

A , B = {a, b, c, 1, 2, 3}

C = {1, 2, 3, 4}

s[(A x C) ∪ (B xC)] = s[(A ∪ B) x C]

olduğuna göre, (AxC) , (BxC) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 16

B) 18

C) 20

D) 21

E) 24

= s(A ∪ B) . s(C)

= 6 . 4 = 24

A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}

A = {1, 2, 3}

C = {x, y}

C x D = {(x,2), (x,3), (y,2), (y,3)}

B = {a, b}

D = {2, 3}

s(A x D) = 6

olduğuna göre, s(A x D) + s(B x C) işleminin sonucu kaçtır? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

s(B x C) = 4 E) 14

Küme Problemleri i

A a e

d f

b g h

c T

a, b, c, d, e, f, g, h bulundukları bölgenin eleman sayılarını göstermektedir.

İ`= İngilizce bilenler

A = Almanca bilenler

T = Türkçe bilenler

18


Toplamları 6 + 4 = 10

Kümeler

1. BÖLÜM 

Sadece bir dil bilenlerin sayısı a + b + c



Hiçbir dil bilmeyenlerin sayısı

h



Sadece iki dil bilenlerin sayısı

d + e + g



En az bir dil bilenlerin sayısı

a + b + c + d + e + g+f



En çok iki dil bilenlerin sayısı

d + e + g + a + b + c+h



En çok bir dil bilenlerin sayısı

a + b + c + h

Bir sınıfta öğrenciler hentbol veya futbol oyunlarından en az birini oynamaktadır. Hentbol oynamayanların sayısı ile futbol oynayanların sayısının toplamı 16, hentbol oynayanlar ile futbol oynamayanların sayıları toplamı 24 olduğuna göre, sınıf mevcu-

F

H a

b

b + c + c =24 + _______________________ 2a + 2b + 2c = 40

c

du kaçtır? A) 15

a + a + b = 16

a + b + c = 20 B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

36 kişilik bir sınıftaki öğrenciler Farsça ve Arapça dillerinden en az birini bilmektedir. Fasça bilenlerin sayısı, arapça bilenlerin sayısının 3 katıdır. Buna göre, her ikisini de bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 7

B) 9

C) 10

A

a + b + c = 36

2b + 3c + b + c = 36

a + b = 3(b + c)

3b + 4c = 36

a + b = 3b + 3c

b = 12 olursa

a = 2b + 3c

c = 0 olur.

F a

b

c

D) 12

E) 14

Bir sınıfta hem Almanca hem de Rusça konuşabilenlerin sayısı 8, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilenlerin sayısı 18 dir. Rusça konuşabilenlerin sayısı Almanca konuşabilenlerin sayısından 6 fazladır. Buna göre, bu sınıfta Almanca konuşabilen kaç kişi vardır? A) 8

B) 10

C) 11

D) 12

E) 15

A

R x

8

x+6

x + 8 + x + 6 = 18 2x = 4 x=2 2 + 8 = 10


19

Kümeler

1. BÖLÜM

Bir sınıfta matematikten başarılı olanların her biri İngilizceden, İngilizceden başarılı olanların her biri de geometriden başarılıdır. Bu üç dersten de başarılı olmayan 24 kişi, bu üç dersin en az birinden başarılı olan 34 kişi, en fazla iki dersten başarılı olanların sayısıda 52 dir. Buna göre Matematikten başarılı olan kaç kişi vardır? A) 4

B) 6

C) 8

i m a

b

D) 10

E) 12

_ b b + c = 58 +2 b a 144 443 a + b + c = 34 ` 52 b a= 6 b + c + d = 52 b a d = 24 olduğundan b + c = 28 olur ve a = 6'dır. d = 24

6

c

d

Sarışın ya da esmer öğrencilerin oluşturduğu 24 kişilik bir sınıfta 16 öğrenci gözlüklüdür. Sarışın gözlüklü öğrenci sayısı 6, esmer gözlüksüz öğrenci sayısı 2 olduğuna göre, sınıftaki sarışın öğrenci sayısı kaçtır? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

Sarışın

Esmer

Gözlüklü

6

10

Gözlüksüz

x

2

E) 14

x + 18 = 24 x=6

6 + 6 = 12

Bir topluluktaki öğrencilerin %60’ı İspanyolca %70’i İtalyanca bilmektedir. Öğrencilerin %20 si ise her iki dili de bilmemektedir. Buna göre, bu topluluğun yüzde kaçı her iki dili de bilmektedir? A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

Sınıfın tamamı 100x olsun. İs.

İt.

s(İs. ∪ İt.) = 80x s(İs. ∩ İt.) = 130x – 80x = 50x

10x 50x 20x 20x

20


E) 50

Kümeler

1. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

olduğuna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 4 eleman olarak bulunur?

A = {1, 2, 3, 4, 5}

A) 20

B) 22

C) 24

D) 26

E) 28

Tüm alt kümeleri 25 = 32 tane Ne 1'in ne de 4'ün olmadığı alt kümeleri 23 = 8 tane 1 veya 4 vardır. 32 – 8 = 24

2.

A kümesinin öz alt küme sayısı 7, B kümesinin alt küme sayısı 32 dir.

2n – 1 = 7

Buna göre A , B kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

2n = 8

n=5

n = 3

s(B) = 5

A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

2n = 32

s(A) = 3

5 ≤ s(A∪B) ≤ 8

3.

A ve B iki kümedir.

s(A∪B) = 4 olamaz.

A

s (B - A) + s (A) = s (B)

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) (A + B) 2 B

D) A 1 B

4.

B) (A , B) 1 A

B a

c

b+a +c=b+c a = 0 olur.

b

O halde A 1B

C) B 1 A

E) A + B = Q

A ve B birbirinden farklı kümelerdir.

A

B

A' – B = d

(A' - B) ' - A

a

İfadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) A' , B

D) A – B

5.

B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

olduğuna göre A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 23

B) A' + B'

d

(A' – B)' = {a, b, c} (A' – B)' – A = {b}

C) B – A

=B–A

E) A' s (A) = a s (B) = b

s(A x B) + s(B x B) = 23

B) 22

b

c

C) 20

D) 28

E) 14

4 olsun

a . b + b2 = 23

b . (a + b) = 23

a + b = 23

b=1

a = 22 olur.


21

22


Denklem ve Eşitsizlikler

2. BÖLÜM GERÇEL SAYILAR

1) Rakam: Sayıları yazmada kullanılan 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rakam denir.

a ve b birbirinden farklı rakamlardır. Buna göre,

3x – 5y

ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır? A) –20

B) –18

C) –12

D) –10

E) 8

en büyük değer için x = 9 ve y = 0 alınmalıdır.

3 . 9 – 5 . 0 = 27

En küçük değer için x = 0 ve y = 9 alınmalıdır.

3 . 0 – 5 . 9 = –45

27 + (–45) = –18

2) Doğal sayılar: Rakamlar kullanılarak oluşturulan 0,1,2,3,4,........ sayılarına doğal sayı denir ve N sembolü ile gösterilir.

“0” ın işareti olmadığından ne negatif, ne pozitiftir.

Pozitif doğal sayılar (sayma sayıları) 1,2,3,4,........... dir.

a doğal sayı, b sayma sayısıdır.

3a + 8b = 72

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı a değeri vardır? A) 3

B) 4

a = 0

b = 9

a = 8

b = 6

a = 16

b = 3

C) 5

D) 6

E) 7

3) Tam sayılar: {...–3,–2,–1,0,1,2,3...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir ve Z sembolü ile gösterilir. Z+ = {1,2,3,...} kümesi pozitif tam sayıları Z– = {...–3,–2,–1} kümesi negatif tam sayıları gösterir.


23


2. BÖLÜM

4 + 3 – (–2)

işleminin sonucu kaçtır? A) 10

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

=4+ 3 + 2 =9

İşlem Önceliği

1. Parantez varsa, parantez içindeki işlemler yapılır.

2. Üs (kuvvet) varsa, üs alınır.

3. Çarpma veya bölme işlemi yapılır.

4. Toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

(- 5 + 7) 2 + 12: 3


B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

C) 6

D) 5

E) 4

= (2)2 + 4 =4+ 4 =8

15 . 6 (4 2.5): 7 @ - 40 6 - + 5 2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 8

B) 7

4 + 2 . 5 = 14 14: 7 = 2 6–2 = 4 3.4 – 4 = 8

x . ( x - y ) - y (y - x ) - x 2 + y : ( - y ) + 1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) - y 2

B) x 2

C) - x 2 D) y 2

x 2 - xy - y 2 + xy - x 2 - 1 + 1 2 =- y

24


E) x


2. BÖLÜM Tek ve Çift Tam Sayılar

2’nin katı olan tam sayılara çift, 2’nin katı olmayan tam sayılara tek sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere

2n → çift

2n + 1 → tek

şeklinde ifade edilebilir. T = Tek tam sayı

Ç = Çift tam sayı olmak üzere

T "T = Ç

T.Ç = Ç

T "Ç = T

T.T = T

Ç "Ç = Ç

Ç.Ç = Ç

Aşağıdaki sayılardan hangisi tek tam sayıdır? C) (2016)0

A) 2014

B) 20132+1

D) 44

E) 2012(2014 + 2013)

(2016)° = 1 olduğundan tek tam sayıdır.

3a+1 tek tam sayı, 5b çift tam sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift tam sayıdır? A) ab

B) ba

D) a.b–3

E) 3a+10b

C) a+b+1

3a + 1 tek ise 3 . a çifttir. 5b çift tam sayı olduğundan 10b kesinlikle çifttir. 3a + 10b daima çift olur.

Asal Sayılar Birden ve kendisinden başka böleni olmayan birden büyük tam sayılara asal sayılar denir.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43...


25


2. BÖLÜM

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, I. 2 den başka çift asal sayı yoktur. II. a . b asal sayı ise a ve b tam sayılarından biri 1 dir. III. 12 nın asal olmasını sağlayan 3 tane a sayısı vardır. a yargılarından hangisi ya da hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) I ve II

E) I, II ve III

C) Yalnız III

2 dışındaki tüm çift sayılar 2 ile bölündüğünden asal değildir. I doğru Tüm asal sayılar 1 ile kendilerinin çarpımından oluşur. II. doğru 12 asaldır. III. yanlıştır. a = 4 ve a = 6 için a

TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ Tam sayılar kümesinde dört işlem ile ilgili aşağıdaki tabloya dikkat ediniz. Özellik İşlem

Değişme

Birleşme

Kapalılık

Etkisiz eleman

Yutan eleman

Toplama

Var

Var

Var

“0”

Yok

Çıkarma

Yok

Yok

Var

Yok

Yok

Çarpma

Var

Var

Var

“1”

“0”

Bölme

Yok

Yok

Yok

Yok

Yok

Değişme özelliği: a ve b sayıları için “□“ işleminde a □ b = b □ a ise değişme özelliği vardır.

Birleşme özelliği: a, b ve c tam sayıları için “□“ işleminde a □ (b □ c) = (a □ b) □ c ise birleşme özelliği vardır.

Kapalılık özelliği: a ve b tam sayıları için “□“ işleminde a □ b işleminin sonucu da tam sayı ise “□“ işlemi kapalıdır.

Etkisiz Eleman: a ve e tam sayı olmak üzere “□“ işleminde a □ e = e □ a = a ise e “□“ işleminin etkisiz elemanıdır.

Yutan eleman: a ve y tam sayılar olmak üzere “□“ işleminde a □ y=y □ a=y ise y”□” işleminin yutan elemanıdır.

Burada “□“ işlemi dört işlemden birini temsil etmektedir.

26



2. BÖLÜM

Aşağıda verilen yargılardan hangisi yanlıştır? A)

Tam sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı “0” dır.

B)

Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

C)

Negatif tam sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

D)

Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemi kapalıdır.

E)

Tam sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.

2єN ve 5єN olmasına rağmen 2 – 5 = –3 ∈ /N Bu durumda doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemi kapalı değildir.

Tam sayılar kümesinde,

6’nın toplama işlemine göre tersi a,

–2’nin toplama işlemine göre tersi b

olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) –12

B) –3

6 + a = 0

–2 + b = 0

C) –2

D) 2

E) 12

a = –6 b = 2

(–6) . (2) = –12

3) Rasyonel Sayılar a tam sayı, b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, a şeklindeki sayılara rasyonel sayı b denir ve Q sembolü ile gösterilir. b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere,

x=

0 0 = b b tanımsızdır. = 0

3y - 1 y- 2

olduğuna göre, x’nin hangi değeri için y hesaplanmaz? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

xy –2y = 3y – 1 xy = 5y – 1 1 = 5y – xy 1 = y(5– x) 1 y= 5- x

x = 5 için y hesaplanamaz.


27


2. BÖLÜM Bir Kesrin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi

Bir rasyonel ifadenin pay ve paydasını sıfırdan farklı bir tam sayı ile çarparsak genişletme, pay ve paydasını sıfırdan farklı bir tam sayı ile bölersek sadeleştirme olur.

a = 64 ve b = 2 48 3

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi a’nın sadeleşmiş, b’nin genişletilmiş hali olabilir? A) a = 32 ve b = 4 24 9

B) a = 32 ve b = 4 18 6

D) a = 16 ve b = 10 12 20

C) a = 4 ve b = 24 3 36

E) a = 4 ve b = 48 3 70

C seçeneğinde a'nın payı ve paydası ile bölünmüş, b'nin payı ile paydası 12 ile çarpılmıştır.

Basit Kesir – Bileşik Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir, payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.

x - 2 kesri basit, x kesri bileşik kesir olduğuna göre, x’in alabileceği kaç farklı doğal 7 4 sayı değeri vardır? A) 3

B) 4

x - 2 <7 x$4

C) 5

D) 6

E) 7

D) 8

E) 6

4 şartları sağlanmalıdır.

4≤x < 9 x = {4, 5, 6, 7, 8}

Tam Sayılı Kesir a b = a.c + b kesrine tam sayılı kesir denir. c c a b = a + b dır. c c

2 3 b 2 l . b3 l 5 4


B) 10

C) 9

123 15 3 . =9 5 4

28



2. BÖLÜM Rasyonel Sayılarda Dört İşlem a) Toplama – Çıkarma

İki kesrin toplanabilmesi ya da çıkarılabilmesi için paydaları eşit olmalıdır.

A= 3+ 5 4 4

B= 3+ 1 4 2 olduğuna göre, A + B toplamının değeri kaçtır? B) 5 2

A) 2 A+B=

C) 11 4

D) 3

E) 13 4

C) 1 30

D) 1 40

E) 1 50

3 5 3 1 + + + 4 4 4 2

(2)

A+B=

13 4

b) Çarpma ve Bölme a ve c kesirlerinde b d a . c a.c = b d b.d

a a: c a d a.d dir. b = c = .c = b d b b.c d

1 1 1 b1 - l . b1 - l . b1 - l 2 3 4 5: 1 3 6

işleminin sonucu kaçtır? A) 1 10

B) 1 20

1 2 3 . . 2 3 4 = 5 2 .6 3 1 1 = 4 = 10 40


29


2. BÖLÜM

Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde 1 ve 2 arası 5 eşit parçaya, 2 ve 3 arası 6 eşit parçaya ayrılmıştır. A

1

B 2

3

Buna göre A:B kaçtır? A) 27 35 A = 1+ = =

B) 25 21 4 9 = 5 5

C) 24 D) 23 29 35 B = 2+

3 9 6 . 5 147

E) 35 27

2 14 = 6 6

27 35

1

1+

1+

1 1- 1 2

işleminin sonucu kaçtır? B) 4 3

A) 1

C) 5 3

D) 2

E) 7 3

Bu tip işlemlere en alt kısımdan başlanmalıdır. 1 =2 1 2

1+ 2 = 3

1+

1 4 = 3 3

ONDALIK SAYILAR Paydası 10’un pozitif kuvveti olan kesirlere ondalık sayı denir.

Aşağıda şekil 8 eş parçaya bölünmüştür.

Taralı bölge

Buna göre taralı bölge aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0,0625

30

B) 0,0125

C) 0,125


D) 0,625

E) 6,25

5 8

50 8 48 0,625 20 16 40 40 0


2. BÖLÜM

1,255 + 3,412 – 4,167


B) 1 4

C) 1 D) 1 5 6

E) 1 10

C) 0,072

D) 0,72

E) 7,2

C) 60

D) 70

E) 80

4,667

1 0,500= 0,5 = 4,167 2 – ___________ 0,500

0,24 . 0,3

işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00072

B) 0,0072

24 3 72 . = 100 10 1000

0, 2 0, 44 4, 2 + 0, 01 0, 011 0, 42


B) 50

20 440 420 + 1 11 42 = 20 + 40 – 10 = 50

Devirli Ondalıklı Sayılar Bir devirli ondalıklı sayının açılımı:

(Sayının tamamı) – (Devir etmeyen kısım)

(Virgüllü kısım için, devreden kadar 9 devretmeyen kadar 0)

şeklinde yapılır.


31


2. BÖLÜM

Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) 0, 2 = 2 9

D) 3, 23 = 320 99

5, 12 =

B) 0, 03 = 1 30

C) 0, 23 = 23 99

E) 5, 12 = 413 990

512 - 51 461 olmalı = 90 90

a = 0, 05 b = 0, 6

olduğuna göre 1 + 2 ifadesinin değeri kaçtır? a b A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 21

5 6 ve b = 'dur. 9 90 1 2 90 18 + = + = 21 dir. 5 6 5 6 90 9

a=

Rasyonel Sayılarda Sıralama Rasyonel sayılarda paydalar eşit ise payı büyük olan kesir daha büyüktür. Paylar eşit ise paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Aşağıda verilen ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız. A)

B)

C)

D)

32

x= 4 , y= 2 , 7 7 z > x > y

z= 6 7

x = 13 , 3 c > x > y

y = 13 , 5

c = 13 2

x= 4 , 11 x > z > y

y= 3 , 13

z= 6 17

x = 19 , 3 x > z > y

y = 23 , 5

z = 29 6



2. BÖLÜM 4) İrrasyonel Sayılar

a ve b tam sayılar ve b≠0 olmak üzere, a biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar b denir ve Q` ile gösterilir.

Aşağıda verilen sayılardan hangisi irrasyonel sayı değildir? A)

3

1, 09 =

B)

7

C) e

D) p

E) 1, 09

109 - 10 99 = 90 90

olduğundan irasyonel sayı değildir.

A= 3 B= e C= π irrasyonel sayılarının aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde yerlerini yaklaşık olarak belirtiniz.

0

1

e

3 0

1

2

2

3 ,

1 ile 2 arasında

e,

2 ile 3 arasında

π,

3 ile 4 arasında

3

4

π 3

4

Aşağıda birim kareli kağıtta verilen şekillerin hangisinde AB doğru parçasının uzun-

C seçeneğinde |AB|2 = 72 + 42

luğu bir irrasyonel sayı ile ifade edilir?

|AB|2 = 65

|AB| =

A

D

C

B

A)

C

B)

D

B

C)

A

A C

D

D)

65 (irasyonel sayıdır)

E)

B

A

B

B

C

A

C

D


33

2. BÖLÜM


5) Gerçek (Reel) Sayılar Şimdiye kadar görmüş olduğunuz doğal sayılar, tam sayılar rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimine gerçek (reel) sayılar denir ve IR sembolü ile gösterilir. N , Z , Q , Q' = IR N1Z1Q1R

Doğru Yanlış D

Y

1)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

2)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği yoktur.

3)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

X

4)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı sıfırdır.

X

5)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin yutan elemanı 1 dir.

X

6)

Gerçek sayılar kümesinde toplama işlemine göre 1 -

X

1+

X X

3 ün tersi

3 tür.

7)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi kapalılık özelliğini sağlar.

X

8)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi değişme özelliği sağlar.

X

9)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi birleşme özelliğini sağlar.

X

10)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı yoktur.

11)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı sıfırdır.

X

12)

Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemine göre 3 ün tersi 1 tür. 3

X

34


X


2. BÖLÜM

IR nın geometrik temsili sayı doğrusu, IR x IR nin geometrik temsili kartezyen koordinat sistemidir.

a

-1

b

5

Yukarıda verilen sayı doğrusu üzerinde –1, a ile b nin ortasında; b ise, a ile 5 in ortasındadır. Buna göre a ile b nin arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 3

B) 4

a+ b =- 1 , 2

a+ b =- 2

b=

C) 5

D) 6

E) 7

a+ 5 2

2b = a + 5

Buna göre, b = 1 ve a = –3 olmalıdır. Aralarındaki uzaklık 4 birimdir.

A = {1,2}

B = {3,4}

olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımının grafiğini çiziniz? A x B ={(1,3), (1, 4) , (2, 3), (2,4)} y

4 3 O

1

x

2

A = [1,2), B = {1,2} C = (–1,2]

olduğuna göre A x B ve A x C kartezyen çarpımlarının grafiklerini çiziniz? y

y

AxB

2 1 O

1

2

AxC

2 x

–1

O

1 2

x


35


2. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

Aşağıda verilen rasyonel sayı ikililerinin hangisinde sayıların sayı doğrusunda karşılık geldiği noktalar birbirine en yakındır?

A) - 1 ve 1 3 3 D) -

2.

3+

B) - 1 ve 1 4 2

1 ve 1 - 24 8

C) 1 ve 1 12 4

3 2 2 1 3

A) - 3 2

3 9 3 3+ = 3 + 2 = 3- =olur. 2 1 1 2 2 3 3 3 2

- 40: ;-

işleminin sonucu kaçtır? A) –40

E) 1

16 ( 2) . 1 - 1 - b l E 4 3

I.

C) - 1 D) 1 2 2

B) –1

3.

4.

1 1 1 - eo = 8 24 12

E) - 1 ve 1 6 2

işleminin sonucu kaçtır?

-

B) –20

Önce parantez içindeki üslü işlem, sonra çarpma işlemi yapılırsa, C) –10

D) –5

E) –4

144 bir irrasyonel sayıdır.

II. 3 bir rasyonel sayıdır.

III. a = 2 eşitliğinde b bir tam b

sayı ise a çift sayıdır.

Yargılarından hangisi ya da hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnız II

E) I, II ve III

5.

Aşağıda A x B kartezyen çarpım kümesinin grafiği çizilmiştir

D) II ve III

C) I ve II

= –40 : [–4 + 6]

= –20

144 = 12 olduğundan rasyonel sayıdır. I. yanlış 3 olduğundan rasyonel sayıdır. II. 3 = 1 doğru a = 2b olduğundan a çift sayıdır. III. doğru

y 3 2 1 0

–3

1

x

Buna göre B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {–3,–2,–1,1}

B) {1,2}

E) (–3,1)

36

D) [1,3]


C) {1,2,3}

Burada A = (–3, 1) ve B = {1, 2, 3} elemanlarından oluşmaktadır.

2. BÖLÜM



37


2. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER a) Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

ax + b = 0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı birinci dereceden denklem denir.

3x – 7 = 14

denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

D) 7

E) 8

3x = 21 x=7

12x – 13 = 5x + 15

denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

7x = 28 x=4

Aşağıdaki şekilde okun yanında belirtilen toplama (+) çarpma (.) ve bölme (:) işlemlerinin yapılması ile elde edilen sonucun okla gösterilen çemberin içerisine yazılması gerekmektedir x

.3

+4

:2

x- 1

Buna göre x kaçtır? A) –16

4-

B) –15

C) –14

D) –13

E) –12

38

x = - 14

2 x 3 = + x+ 1 x+ 1

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R

(x + 4) .3 = x- 1 2 3x + 12 = 2x - 2

B) ∅

C) {1}


D) & 1 0 3

E) {0}

4x + 4 - 2 x + 3 = = 4x + 2 = x + 3 x+ 1 x+ 1 3x = 1 1 x= 3


2. BÖLÜM

2a - 1 4a - 3 3a - 2 = 3 2 6

olduğuna göre, a kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

4a - 2 12a - 9 3a - 2 = 6 6 6 4a – 2 = 12a – 9 – 3a + 2

5 = 5a

12

1+ 3+

7 x- a

a = 1

=4

denkleminin kökü x = 12 olduğuna göre, a kaçtır? A) 3

B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7 3+ = 4 olmalıdır. O halde x – a = 7 olur. x yerine 12 yazarsak a = 5 olur. x- a

a . x + b = 0 denkleminde

a = 0 ve b = 0 ise Ç . K = R

a = 0 ve b ≠ 0 ise Ç . K = ∅

a ≠ 0 ise çözüm kümesi tek elemanlıdır.

(a – 3)x + b – 7 = 0

denkleminin çözüm kümesi gerçek sayılar olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 28

B) 24

C) 21

D) 16

E) 14

a = 3 ve b = 7 olmalıdır.

3 . 7 = 21

(a – 4)x + 3 = 2x – 7

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

a–4= 2 a = 6 olmalıdır.


39


2. BÖLÜM a) Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler

a – b = x dersek,

ax + by = c biçimindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

a- b 4 a- b - = 2 3

x x -4= 2 3 x x - =4 2 3

x = 24

- x = - 24 olur.

olduğuna göre, b – a kaçtır? A) –24

B) –16

C) 18

D) 21

E) 24

3x – y = 10

Taraf tarafa toplarsak

x+y=2

4x = 12

x=3

y = –1 olur.

olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır? A) –4

B) –3

2x – 3y = 5

3x – 2y = 10

C) –2

D) –1

E) 1

Üsteki denklemi –2 ile alttaki denklemi 3 ile çarparsak,

olduğuna göre, x kaçtır? A) 2

B) 3

3.(–1) = –3

C) 4

D) 5

–4x + 6y = –10

E) 6

9x – 6y = 30 x ______________________ 5x = 20

x=4

2 1 3 a-b= Alttaki denklemi (–2) ile çarparsak;

1 3 4 a+ b=

olduğuna göre, b kaçtır? A) 7 5

B) 6 5

C) 1 D) 4 5

E) 5 7

2 1 - =3 a b 2 6 - - =- 8 a b -

40


7 b

=- 5

b=

7 olur. 5


2. BÖLÜM

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini oluşturan birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin analitik düzlemde birer doğru belirttiği göz önüne alınırsa bu denklem sisteminin çözümünde 3 durum vardır.

1. Durum a b c = = d e f

bu durumda doğrular çakışıktır. Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

2. Durum a b!c = d e f

bu durumda doğrular paraleldir. Çözüm kümesi boş kümedir.

3. Durum a!b d e

bu durumda doğrular tek bir noktada kesişir. Çözüm kümesi bir elemanlıdır

a... 2x – 4y + 3 = 0

b ... 3x – 2y + 1 = 0

c ... 4x – 8y + 2 = 0

doğruları için

2 -4 3 ! ! 3 -2 1

I) a ve b doğruları çakışıktır.

II) a ve c‘nin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

III) b ve c doğruları tek noktada kesişir.

değildir. I. yanlış 2 -4 3 olduğundan doğrular paralel! = 4 -8 2

yargılarından hangisi yada hangileri doğrudur?

dir. Kesişmezler. II. yanlış

A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) I, II ve III

E) II ve III

olduğundan doğrular çakışık

C) Yalnız III

3 -2 olduğundan doğrular tek noktada ! 4 -8 kesişir.


41


2. BÖLÜM

ax – 3y + 12 = 0

x – by – 4 = 0

Alttaki denklemi (–3) ile çarpıp üstteki denklemle eşitlemeliyiz.

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a – b farkı kaç-

tır?

a = –3

b = –1

A) –4

B) –3

2x + a . y – 8 = 0

bx – 3y + 2 = 0

C) –2

D) –1

E) 0

denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) –1

B) –3

C) –4

D) –5

E) –6

x'lerin ve y'lerin katsayıları birbirine eşit olup sayılar farklı olmalıdır.

2x = bx

b = 2

ay = –3y a = –3

a . b = –6

(a–4)x + (b – 2)y = 0

denkleminin çözüm kümesi gerçel sayılar olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 12

B) 10

C) 8

D) 6

E) 4

D) 6

E) 7

a = 4 ve b = 2 olmalıdır.

4 . 2 = 8

2a + 3b + c = 12

3a + 2b + 4c = 13

olduğuna göre. a + b + c toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

Taraf tarafa toplama yapılırsa

5a + 5b + 5c = 25

a + b + c = 5 olur.

42


ax – 3y + 12 = –3x + 3by + 12

(–3) – (–1) = –2


2. BÖLÜM

a . b = 12

b . c = 60

a . c = 80

olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır? A) 10

B) 9

C) 8

D) 4

E) 2

a = 4, b = 3, c = 20 olmalıdır.


0, 1x - 2 1 = 0, 02x - 6 5


B) 25 3

içler – dışlar çarpımı yapılırsa; C) 26 3

D) 9

E) 28 3

2.

A, B, C, D, E isimli beş kişinin yaşlarıyla ilgili olarak aşağıdaki toplamlar veriliyor.

A + B = 24

B + C = 48

C + D = 68

D + E = 56

E + A = 28

Buna göre, yaşı en büyük olan kimdir? A) E

B) D

0,5x – 10 = 0,02x – 6

0,48x = 4

x=

400 25 = 48 3

Taraf tarafa toplarsak,

2A + 2B + 2C + 2D + 2F = 224

A + B + C + D + E = 112

C) C

D) B

E) A

Denklemden,

E=20, B=16, D=36, A=8, C=32

3.

– [ – [ – (x + 2)] +2] –3 = –2

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

–[–[–x–2] + 2] –3 = –2

A) –5

B) –4

C) –3

D) –2

E) –1

–x – 4 – 3 = –2 –x = 5 x = –5


43


2. BÖLÜM 4.

Çember ve oklar yardımıyla tanımlanan bir aritmetik işlem oyununda, her okun yanında belirtilen işlem yapılır. Bulunan sonuç okun gösterdiği çembere yazılır. Tüm çemberler doldurulduğunda oyunda tamamlanır.

x- 2 + 3o .2 = x 4 x + 10 e o .2 = x 4 2x + 20 = 4x e

–2

x

÷4

.2

x = 10 +3

Buna göre, x kaçtır?

A) 2

B) 5

C) 8

D) 10

E) 11

5.

●

a

a

b 3c

b

c 4a

c

2b

Yukarıdaki çarpım tablosuna göre, a . b . c çarpımı kaçtır?

A) 20

B) 24

C) 28

D) 32

E) 48

a . c = 2b

a . b = 3c

b . c = 4a

Taraf tarafa çarparsak,

a2 . b2 . c2 = 24abc

a . b . c = 24

Basit Eşitsizlikler x ve y reel sayılar olmak üzere,

x < y, x > y, x ≤ y, x ≥ y

ifaderinden her birine basit eşitsizlikler denir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkartılırsa eşitsizlik değişmez. 1)

x < y ve a ∈ R olmak üzere

x " a < y " a

3x – 1 < x + 15

eşitsizliğini sağlayan x sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (–∞,2)

44

B) (– ∞,8)

C) (2, ∞)


D) (8, ∞)

E) (2,8)

2x < 16 x<8 Çözüm aralığı = (–∞, 8)


2. BÖLÜM

Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir reel sayı ile çarpar ya da bölersek eşitsizlik değişmez. 2)

x < y ve a ∈ R+ olmak üzere

x < y ve x . a < y . a dır. a a

Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir reel sayı ile çarpar ya da bölersek eşitsizlik yön değiştirir. 3)

x < y ve a ∈ R– olmak üzere

x > y ve x . a > y. a dır. a a

2x – 1 ≤ 7 – 2x

x – 3 < 3x – 1

4x ≤ 8

eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı x tam sayı vardır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

x≤2 E) 5

–2 < 2x –1 < x x = {0, 1, 2}

3 2x # 2 -3< 5

Her tarafı 5 ile çarparsak,

eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) b 7 , 9l 2

D) :- 7 , 9D 2

C) :- 7 , 9l 2

B) b 7 , 9D 2

E) b - 7 , 9l 2

–15 < 3 – 2x ≤ 10

–15 < 3 – 2x

ve

3 – 2x ≤ 10

x < 9

x≥ -

-7 x!= , 9o 2

7 2

y = 2x –1

x ve y gerçel sayılardır.

–3 < x ≤ 5

Eşitsizlik 2 ile çarpılıp sonra 1'den çıkarılmalı

2x – y = 1

–6 < 2x ≤ 10

olduğuna göre, y’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

–7 < 2x – 1 ≤ 9

A) 21

–7 < y ≤ 9 (- 6) + (- 5) + ...(- 1) + ... + 6 + 7 + 8 + 9

B) 24

C) 26

D) 27

E) 32

9 + 8 + 7 = 24


45


2. BÖLÜM

x < y < z eşitsizliğinin diğer bir yazım şekli de 4)

x < y ve y < z dir.

a – 4 < 4a – 7

1 < a

ve

4a – 7 < a + 4 11 ve a< 3 a = {2, 3}

a – 4 < 4a – 7 < a + 4

olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

İki eşitsizlik yönleri aynıysa taraf tarafa toplanabilir. 5)

<

a
x
<

< +

<

≤

≤ +

<

≤ +

≤ En büyük değer için x = 4 ve y = 3 alınır. 3.4–4.3=0

x ve y tam sayılardır.

En küçük değer için x = 0 ve y = 6 alınır. 3 . 0 – 4 . 6 = –24

–1 < x < 5

0 + (–24) = –24

2
olduğuna göre, 3x – 4y ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) –24

B) –16

C) –12

D) –4

E) 4

Üstteki eşitsizlikte her tarafı 2 ile çarparız . 0 < 2x ≤ 8 Alttaki eşitsizlikte her tarafı –1 ile çarparız. 1 < –y < 4

x ve y gerçek sayılardır.

0

–4 < y < –1

1 < 2x – 1y < 12 2, 3, 4, ... 11

olduğuna göre, 2x – y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 8

46

B) 9

C) 10


D) 11

E) 12

10 farklı tam sayı vardır.


2. BÖLÜM a ve b aynı işaretli olmak üzere, 1
6)

a+ b

eşitsizliği takla attırılırsa eşitsizlik yön değişir. a > 1 > b olur. x

a.b

=

a

ab

+

b

ab

=

1 1 + 'dir. a b

1 <2 a 1 2 < <7 b 1 1 3 < + <9 a b 1<

1
olduğuna göre, a + b ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? a.b A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

" 4, 5, 6, 7, 8,

E) 8

a bir negatif reel sayı olmak üzere, 7)

a2n + 1 < 0

a2n > 0 dır.

x3 . y6 < 0

x+z>0

z.y<0

olduğuna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) (+,+,+)

B) (+,–,+)

C) (–,–,–)

D) (–,–,+)

E) (–,+,–)

x<0 z>0 y<0

8)

a2 < a eşitsizliğini sağlayan değerler 0 < a <1 aralığındadır.


47


2. BÖLÜM

x2 < x

x.y–y≤0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x<1

B) x>0

C) x.y>2

D) y≥0

E) –1≤y≤1

0 < x < 1

y(x – 1) ≤ 0 olduğuna göre y ≥ 0 olmalı.

xa < xb eşitsizliğinde 9)

0 < x < 1 olduğunda a>b,

x > 1 olduğunda a 2d

a–e>e–a

c–a>0

olduğuna göre aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür? A) e

B) d

C) c

a > b _b b c > db ` o halde en büyük sayı c'dir. a >e b b c >a b a

a bir pozitif tam sayı olmak üzere, 10)

48

0 < x < y olduğunda 0 < ax < ay

x < y < 0 olduğunda x2a > y2a


D) b

E) a


2. BÖLÜM x, y ve z gerçel sayılardır. 1
- 2 < y <- 1 - 3
olduğuna göre, x2 + y2 + z2 toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 24

B) 25

C) 26

D) 27

E) 28

_ 1 < x2 < 9 b b 1 < y 2 < 4 ` Taraf tarafa toplarsak 2 < x2 + y2 + z2 < 29 en çok 28 dir. b 0 # z 2 < 16b a

x tamsayı olduğunda x2 en az 0

–8 < y3 < 8

x tam sayı, y gerçel sayıdır.

toplandığında –8 < x2 + y3 < 8

–1 < x < 7

–2 < y < 2

en az – 7 olabilir.

olduğuna göre, x2 + y3 ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) –7

B) –6

C) –5

D) –4

E) –3

x < y < –4

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x3 > x . y

B) x > 1 y

D)

x3

<

y3

E)

y = –5 ve x = –6 alırsak

C) 1 > 1 x y

x4

>

–216 > 30 yanlış bir ifadedir.

y4

x bir negatif reel sayı olmak üzere,

a = - x, 4

b = - 3x , 4

c = - 4x 5

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a b > a'dır.


49


2. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI Ozan'ın bilye sayısı 2x

1.

Özgür’ün bilyelerinin 2 fazlasının 1 ü ile Ozan’ın bilyelerinin 1 fazlasının 1 sinin topla3 2 mı 15 ten azdır.

Ozan'ın bilye sayısı Özgür’ün bilye sayısının 2 katı olduğuna göre, Özgür’ün bilye sayısı en çok kaçtır? A) 8

2.

B) 9

Özgür'ün bilye sayısı x x + 2 2x + 1 < 15 + 3 2 2x + 4 + 6x + 3 < 90

C) 10

D) 11

E) 12

8x < 83 83 x en çok 10 x< 8

x < 0 < y olmak üzere,

k =

y- x x

gerçek sayısı veriliyor.

Buna göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 7 5

k =

B) 3 5

y -1 x

C) 0

D) - 3 4

E) - 7 3

k <- 2'dir.

n = m olsaydı,

6m = 420

m = 70 olacaktı

n = 70

3.

Bir malın maliyeti ¨ m, satış fiyatı ¨ n ve m ile n arasında

bağıntısı vardır.

Bu malın satışından kar elde edildiğine göre, m’nin alabileceği en büyük tam

n > 70

sayı değeri kaçtır?

m en çok 69

n = 420 – 5m

A) 68

B) 69

kâr edildiğine göre, m < 70

C) 70

D) 71

E) 72

4.

Bir koşu yarışına katılan üç yarışmacıdan

Ali yarışmayı 2 – x dakikada

Barış yarışmayı 2x – 4 dakikada

Canan yarışmayı x + 5 dakikada

tamamlamıştır.

Bu yarışmada Ali 1., Barış 2., Canan ise 3. olmuştur.

Buna göre, x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4

50

B) 5

C) 6


D) 7

E) 8

2 – x < 2x – 4 < x + 5

2 – x < 2x – 4

ve

x > 2

x = 3, 4, 5, 6, 7, 8

2x –4 < x + 5 x <9


2. BÖLÜM Mutlak Değer

x bir reel sayı olmak üzere sayı doğrusu üzerinde bulunan x’in başlangıç noktasına uzaklığına x’in mutlak değer denir. - x, x = *0, x,

x < 0 ise x = 0 ise x > 0 ise

|–3 + | 5– |–2| | | – 3


B) –2

C) –1

D) 0

E) 1

C) 0

D) 1

E) 2

D) –y

E) x–2y

|5 – 2| = 3 |–3 + 3| = 0 0 – 3 = –3

x . y < 0 olmak üzere, x y x + y

ifadesinin sonucu kaçtır? A) –2

x > 0,

B) –1

y < 0

veya x < 0

x -y + =0 x y

y > 0 olmalı

-x y + =0 x y

x < y < 0 olmak üzere,

|–x –| |x| –y | |

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x

B) y

C) –x

|–x–|–x–y|| -x+ x+ y =- y


51


2. BÖLÜM

x < 0
|x – y| + |x| + |y| – |–x + y|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x

B) –x–y

C) –x+y

D) –2x+y

E) y+2x

= –x + y - x + y + x - y = –x + y

|2x – 1| = 1 – 2x

denklemini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) b- 3, 1 D 2

D) b 1, 3l 2

x≤

1 'dir. 2

e- 3,

C) : 1, 3l 2

B) b- 3, 1 l 2

E) ∅

1 G 2

Mutlak Değerin Özellikleri

1)

a > 0 olmak üzere,

|x| = a denkleminin çözümü

x = a veya x = –a biçiminde yapılır.

|x – 4| – 20 = 0

denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6

B) 7

C) 8

|x – 4| = 20

x – 4 = 20,

x = 24,

52

x – 4 = –20 x = –16


D) 9

E) 10


2. BÖLÜM

||x – 2| –1| = 2

denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) –5

B) –6

C) –9

D) –12

|x – 2| –1 = 2

|x – 2| – 1 =–2

|x – 2| = 3

|x – 2| = –1

x – 2 = 3,

x = 5

çözüm yoktur.

x – 2 = –3,

x = –1

E) –15

Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi a ya uzaklığı b birim olan gerçek sayılardır? A) |x| –a = b

D) |x – a| = b

B) |x – a| = | x – b|

C) |x| = a

E) |x – b| = a

|x – a| = b

2)



|x| . |y| = |x . y|



y∈R – {0} olmak üzere

x x = dir. y y

|x – 1| + |2x – 2| = 12

olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 6

B) –6

C) –9

D) –12

E) –15

|x – 1| +2|x – 1| = 12 3|x – 1| = 12 |x – 1| = 4 x – 1 = 4,

x – 1 = –4,

x = 5,

3)

x = –3

5 . (–3) = –15

|a – b| = |b – a|


53


2. BÖLÜM

|2 – x| – |3x – 6| = –6

olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin karelerinin toplamı kaçtır? A) 30

B) 29

C) 28

D) 27

E) 26

|x – 2|–3|x –2| = –6 –2|x – 2| = –6

|x – 2| =3

x = 5 ve

x = –1

52 + (–1)2 = 26

4)

|f(x)| = g(x) olmak üzere,

f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) dir.

Not: Denklemin kökleri g(x) ≥ 0 koşulunu sağlamalıdır.

|7 – 3x| = x – 1

denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır? A) 0

B) 1

C) 2

7 – 3x = x – 1

5)

E) 4

–7 + 3x = x – 1

x = 2

D) 3

x = 3

|f(x)| = |g(x)| olmak üzere,

f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) dir. x+ 3 = x- 2 2 x + 3 = 2x - 4 x= 7

x+ 3 = x- 2 2

olduğuna göre, x’in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 7

54

B) 22 3

C) 23 3


D) 8

E) 9

7+

1 22 = 3 3

x+ 3 =- x+ 2 2 x + 3 = - 2x + 4 3x = 1 1 x= 3


2. BÖLÜM |f(x)| ≥ 0

6)

Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer “sıfır” dır.

Aşağıda verilen ifadelerin alabilecekleri en küçük değerleri bulunuz. a)

|x – 4| + 3

x = 4 alırsak en az 3 olur.

b)

|x – 3| + |2x – 10|

x = 5 alırsak en az 2 olur. x ≥ 6 için x – 3 – x + 6 = 3

3 < x < 6 için x – 3 + x – 6 = 2x – 9 olur.

|x – 3| – |x – 6|

x ≤ 3 için –x + 3 + x – 6 = –3

ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

3 < x < 6 için –3 < 2x – 9 < 3 E) 8

–3 ile 3 arasında değer alır.

|x – 4| + |y – 12| = 0

olduğuna göre

y oranı kaçtır? x

A) 1

B) 2

x = 4 ve y = 12 C) 3

D) 4

12 =3 4

E) 5

Mutlak Değerli Eşitsizlikler a bir pozitif reel sayı olmak üzere 1)

|f(x)| < a

olduğuna göre

–a < f(x) < a dır.


55


2. BÖLÜM

|2x – 3| < 12

olduğuna göre, x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

–12 < 2x – 3 < 12 –9 < 2x < 15 15 -9

|x – 1| ≤ 3

2x – 3 = y

olduğuna göre, y’nin aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [–7,15]

B) [7,12]

C) (1,7]

D) [–7,5)

E) [–7,5]

–3 ≤ x – 1 ≤ 3 –2 ≤ x ≤ 4 –7 ≤ 2x – 3 ≤ 5

2)

a bir pozitif gerçek sayı olmak üzere

olduğuna göre,

|f(x)| ≥ a

f(x) ≥ a veya f(x) ≤ –a dır.

|2x + 3| > 9

eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif x tam sayısı kaçtır? A) –8

B) –7

C) –6

2x + 3 > 9,

2x + 3 < –9

x > 3,

x < –6

D) –5

en büyük negatif x = -7

3)

56

a < |f(x)| < b

olmak üzere

a < f(x) < b veya –b < f(x) < –a dır.


E) –4


2. BÖLÜM

Sayı doğrusu üzerindeki 1 sayısına uzaklığı 5 birimden küçük 2 birimden büyük olan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2 < |x – 1| < 5 2
∪ –2 > x – 1 > – 5

∪ –1 > x > –4

3
Buna göre x = {4, 5, –2, –3}

İki tarafında da mutlak değerli ifadeler bulunan bir eşitsizlikte mutlak değeri kaldırmak için her iki tarafın karesi alınır. 4)

(|f(x)|)2 < (|g(x)|)2 => f2(x) < g2(x)

(|f(x)|)2 ≥ (|g(x)|)2 => f2(x) ≥ g2(x)

|x – 1| – |x – 2| > 0

eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının en küçüğü kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

|x– 1| > |x – 2| (Her iki tarafın karesi alınırsa) x 2 – 2x + 1 > x 2 – 4x + 4 2x > 3 3 x > x en az 2 olabilir. 2

x- 1 - 4 #0 x- 2 + 3

eşitsizliğinin çözüm kümesindeki x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

|x – 1| –4 ≤ 0 olmalıdır. |x – 1| ≤ 4 –4 ≤ x – 1 ≤ 4 –3 ≤ x ≤ 5 (- 3) + (- 2) + (- 1) + ...3 + 4 + 5 = 9 5)

|x + y| ≤ |x| + |y|

iki sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.


57


2. BÖLÜM

1+

x + y x+ y

ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 1

B) 2

x + y x+ y

$1

1+

C) 3 x + y

D) 4

E) 5

$ 2 dir.

x+ y


x < 0'dır.

- x + x - 2

|x| > x olmak üzere,

|x| – |x – 2|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2

2.

B) –2

C) 2x – 2

D) 2 – 2x

E) x – 4

-x + x =2 2x - 3

olduğuna göre x in alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

A) 1

3.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Buna göre, x + y toplamı en çok kaçtır? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

2|x| = 4x – 6

|x| = 2x – 3

x = 2x – 3 ve –x = 2x – 3

x= 3

x = 1 (denklemi sağlamaz)

E) 13

|2x – 1| = 13

|5y + 1| = 16

x = 7 ve x = –6 17 y = 3 ve y = 5 x + y en çok 7 + 3 = 10

4.

denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

||x – 4| –4| = –3

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) ∞

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu (–) olmayacağından Ç.K. = φ

5.

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

|x – 1| > x

A) b- 3, 1 l 2

58

Sayı doğrusu üzerindeki 2x – 1 sayısının başlangıç noktasına uzaklığı 13, 5y + 1 sayısının başlangıç noktasına uzaklığı 16 dır.

|x| + |x| = 4x - 6

D) b 1, 1l 2

B) (- 3, 1)

E) b 1, 4l 2


Her iki tarafın karesi alınır. C) b 1, 3l 2

x 2 – 2x + 1 > x 2

1 > 2x 1 x< 2


2. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR x bir gerçek sayı ve n sayma sayısı olmak üzere

x n =S x.x.x...x n tane

ifadesine üslü ifade denir.

Üslü İfadelerin Özellikleri

1)

n bir tam sayı olmak üzere

(–1)2n = 1

(–1)2n + 1 = – 1

1n = 1

x ≠ 0 olmak üzere x0 = 1 dir.

70 + (- 1) 23 1100 + (- 1) 42


B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

D) 3

E) 4

1 + (- 1) =0 1+ 1

(x – 2)x –1 = 1

denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır? A) 0

B) 1

C) 2

x – 1 = 0 ∪ x – 2 = 1 ∪ x – 2 = –1 x = 1

x = 3

x = 1

x = {1, 3}


59


2. BÖLÜM

2)

a = –2

b = –3

a bir gerçek sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

(–a)2n = a2n

(–a)2n + 1 = –a2n +1 dir.

olmak üzere a1 – b + b5 + a işleminin sonucu kaçtır? A) –11

B) –9

C) –7

D) –2

E) 1

(–2)4 + (–3)5 + (–2) 16 + (–27) = –11

Üslü sayılarda çarpma işlemi ax . ay = ax + y 3)

ax . bx = (a . b)x

5x . 5x + 1 . 52x – 1 = 5

olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 6

B) 1 5

54x = 51

C) 1 D) 1 4 3

E) 1 2

C) –16

E) 64

1 4

x =

(–2)7 . (23) . (–2)–4


B) –32

= –1(2)7 . (2)3 . (2)–4 = –(2)6 = –64

60


D) 32


2. BÖLÜM

2a .3a .4a ....14a (13!) a .14a


C) 1 D) 1 2 3

B) 1

E) 1 4

(2 . 3 . 4 . … .14)a = (14!)a

(14) a.(13!) a (13!) a.(14) a

=1

x ∈R+ olmak üzere, (xa)b = (xb)a = xa . b

4)

(25)3 . (32)1,2

çarpımı kaç basamaklı bir sayıdır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

= (52)3 . (25)1,2 = 5 6 . 26 = 106 (6 tane sıfır var. Bu sayı 7 basamaklıdır.)

a = 330

b = 520

c = 235 Üstleri aynı hale getirirsek;

olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a b>c


61


2. BÖLÜM Üslü Sayılarda Toplama Çıkarma

xn + xn + xn + ... + xn = a . xn 1 44444 2 44444 3

1)

a tane

a.xn + b.xn - c.xn = xn (a + b - c)

10 4 (1 + 10 + 10 2) 10 4

10 4 + 105 + 106 4 2 .5 4


B) 110

C) 111

D) 1010

E) 1110

9 n + 1 + 3 2n + 1 3 2n + 3 - 9 n + 1


B) 1 3

3 2n + 2 + 3 2n + 1 3

2n + 3

-3

2n + 2

=

C) 1 D) 2 2 3

3 2n (3 2 + 31) 3

2n

3

2

(3 - 3 )

=

E) 5 6

12 2 183

a ve b sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,

a- 1 = 1 a 2)

a- n = 1n a a -n b n b l = b a l dir. b

2 -2 -2 cb- 1 l :^- 3- 2h m: b - 1l 3 3

1 (9 : 81) : c m 9


62

B) –3

C) –1


D) 1

E) 9

1 1 : =1 9 9

= 111


2. BÖLÜM Üslü Sayılarda Bölme

x ve y sıfırdan farklı sayılardır. xn xn .x- m xn - m = = xm

1)

xn x n = byl yn

8110 94 sayısı 1 sayısının kaç katıdır? 27

A) 332

B) 333

(3 4) 10

=

(3 2) 4

C) 334

D) 335

E) 336

C) 70

D) 80

E) 90

3 40 38

32 =3

332 35 =3 1 27

4.10- 5 + 5.10- 6 5.10- 7


B) 50

10- 7 (4.10 2 + 5.101) -7

5.10

=

450 = 90 5

ÜSLÜ DENKLEMLER

1)

22 + x

Üslü bir eşitlikte tabanlar eşit ise üsler de eşittir.

xa = xb ise a = b dir

=

2x + 1

2x+2 – 2x + 1 = 32 +32

2x (22 – 2) =32 2x . 2 = 32


B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

2x = 16 x=4


63


2. BÖLÜM

5.5 x x

x

x

x

5

x

5 +5 +5 +5 +5 =5 25 2x

B) 1

=

5 1

5x + 1 = 54x + 1


4x

C) 2

D) 3

x=0

E) 4

5 x . 5 = 3 x . 5x 5x + 1 = 15x

3x = 5

(3x)y . 52 . 5–y = 5y . 25 . 5–y

olduğuna göre, 3x . y . 52 – y işleminin sonucu kaçtır?

= 25 A) 1

B) 5

C) 9

D) 25

E) 27

c (0,125)x + 2 =

1 x+ 2 2 2x =2 c m 8

41 – x

2- 3x - 6 = 2 2 - 2x

olduğuna göre, x kaçtır? A) –8

B) –7

x=- 8 C) –6

D) –4

E) –2

xa = yb eşitsizliğinin her iki tarafında bulunan sayıların kuvvetleri aynı sayı ile

2)

çarpılır ya da bölünürse eşitlik bozulmaz. a

b

xa . c = yb . c veya x c = y c

3

2

x2 = 23

2

olduğuna göre, x 3 ifadesinin değeri kaçtır? 8

4

A) 2 27

3 2 . 3

x2

B) 2 27

4

2 2 . 3

4

2

4 2 . 3

2

8

x3 = 29

x 3 = 2 27

64

9

C) 2 9 D) 2 4

= 23

x = 29

125 x + 2 1 x =4 m 1000


27

E) 2 8


2. BÖLÜM

x y y x a = b denklem sisteminde 4 n = m oranı vardır. n m4 a =b

3)

2- x 1 = x+ 1 2 4 - 2x = x + 1

a2 – x = 3

ax+1 = 9

x= 1

olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

5a = 20

2b = 50 olduğuna göre, b’nin a cinsinden değeri kaçtır? A) a + 3 a- 1

B) a + 3 a

C) a - 1 D) a - 1 a+ 3 a+ 1

E) a + 1 a- 3

5a = 22 . 5

2 b = 52 . 2

5a–1 = 22

2b–1 = 52

a- 1 2 = 2 b- 1 4 b- 1 = a- 1 a+ 3 b= dir. a- 1

ve

b=

4 +1 a- 1

n bir tam sayı olmak üzere, x2n = y2n ise x = y ve x = –y dir.

4)

x2n+1 = y2n + 1 ise x = y dir.

(3x – 1)6 = (x – 7)6

olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) –12

B) –10

|3x – 1| = |x – 7| 3x – 1 = x – 7

∪

x = –3

C) –8

D) –6

E) –4

3x – 1 = –x + 7 x = 2

2 . (–3) = –6


65


2. BÖLÜM

(–3)n < 0 ve n bir tam sayı olmak üzere, (2a – 13)n = (2 – 3a)n


B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

n tektir. 2a – 13 = 2 – 3a 5a = 15 a=3

Tabanları veya üstleri eşit olmayan üslü eşitliklerde kuvvetler sıfır olmalıdır.

5)

ax = by ise x = y = 0 dır.

7a + b – 8 = 13a – b – 10

olduğuna göre, a2 – b2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 90

B) 82

C) 80

a +b –8 = 0

+ a – b – 10 = 0 _____________________ 2a = 18 a = 9 b = –1

66

2 2 4 q – (–1) = 80


D) 70

E) 60


2. BÖLÜM


Özge 20 basamaklı bir merdivenin basamaklarını teker teker tırmanmaktadır. Özge’nin bir sonraki basamağı çıkmak için harcadığı kalori bir önceki basamağı çıkmak için

1. basamak için harcanan enerji x

2. basamak için harcanan enerji 4x

harcadığının 3 kat fazlasıdır.

3. basamak için harcanan enerji 16x

Özge 2. basamağı çıkarken 0,25 kalori yaktığına göre, 18. basamağı çıkmak için

18. basamak için harcanan enerji 417 . x olur. 25 1 = 4x = 0,25 ⇒ 4x = 100 4 1 ⇒x = 2 4

kaç kalori yakar? A) 229

B) 230

C) 236

D) 238

E) 240

1

417 . x = 417 . 2 = 415 = 230 4

2.

x ve y birer gerçek sayı olmak üzere,

y x = 1 dır. 16

Buna göre,

I. x tam sayı ise y negatif gerçek sayıdır.

II. x = 32 için y = - 4 tir. 5 III. x tam sayı ise y de tam sayıdır.

yargılarından hangisi ya da hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnız II

E) I, II ve III

3.

3–x = 2 olduğuna göre,

ifadesinin değeri kaçtır?

D) I ve III

x tamsayı ise y negatiftir. I. doğrudur. C) I ve II

9x + 1

A) 4 9

B) 2

C) 9 4

D) 18

E) 36

x = 32 için y =

x tamsayı ise y tamsayı olmak zorunda değildir. (II'den de anlaşılır.) III. yanlış.

3x =

1 2

= (3x)2 . 32

=

4.

x ve y birer doğal sayı ve

sayısı 13 basamaklı en küçük doğal sayı olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 10

-4 II. doğrudur. 5

8x . 25y

32x+2 = ?

9 4

100...00 = 1.10 1442443

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

12 tane

=2

3x

.5

12

0

2y

= x = 4 ve y = 6 4 + 6 = 10


67


2. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR

n bir pozitif tam sayı olmak üzere xn = m denklemini sağlayan x sayısına m’nin n. dereceden kökü denir.

Köklü Sayıların Özellikleri

Bir köklü sayının gerçek sayı belirtmesi için, 1) n

x = * x ! R , n tek ise x $ 0 , n çift ise

3x - 12 + 19 - 2x

ifadesi bir gerçek sayı belirttiğine göre, x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 3

B) 4

C) 5

3x – 12 ≥ 0

19 - 2x ≥ 0

x = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

D) 6

E) 7

x≥ 4 19 x≤ 2

x bir doğal sayı olmak üzere, x- 1 4 5 x x +

3

ifadesinin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 7

B) 6

5– x ≥ 0 x ≤ 5

12

ve

C) 5

D) 4

E) 3

x≠ 0 x = {5, 4, 3, 2, 1}

x - y - 2 + 6 x + y - 10 = 0

olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır? A) 32

B) 30

C) 28

D) 24

E) 20

x–y–2=0

+ x + y – 10 = 0 _____________________

2x = 12

x = 6 ve y = 4 6. 4 = 24

68



2. BÖLÜM Her köklü sayı üslü biçimde yazılabilir. 2)

m

3

n

n

x = xm

2 .4 2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)

12

2

1

1

B)

12

5

2

C)

12

7

2 D)

24

2

E)

24

27

7

2 3 .2 4 = 2 12

n bir pozitif tam sayı olmak üzere 2n

3)

x

2n + 1

2n

x

= x 2n + 1

= x dir.

3

3

(- 2) +

2

(- 3) -

4

4

x =0

-2+ 3- x = 0 x =1

3

2

x= 1

4

(- 3) - 4 x = 0

-8+

B) –4

C) –9

D) –16

x=- 1

1. (- 1) = - 1

olduğuna göre x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) –1

ve

E) –25

a < 0 < b olmak üzere,

2

(b - a) +

3

3

-a +

(- b)

2

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) –2b

B) a–b

C) 2a

D) 2a–2b

E) 2b–2a

|b – a| + (–a) + |–b| b – a – a + b = 2b – 2a


69


2. BÖLÜM

= |4 – 2 3 | + |2 3 – 3| 2

(4 - 2 3 ) + 4 (2 3 - 3)

=4– 2 3 + 2 3

4

–3

=1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) - 4 3 + 1

B) –1

C) 1

D) 4 3

E) 4 3 + 1

n bir pozitif tam sayı olmak üzere 4) n

3

4

n

x = a ise x = a dir.

a3 = 4

4=a

b2

2

(- 2) = b

A) 6

B) 5

3

x+

2

x -8 =

C) 4

3

D) 3

2

=2

olduğuna göre, a3 + b2 ifadesinin değeri kaçtır?

b=

4+2=6

E) 2

2

olduğuna göre x kaçtır? 3

A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

x+

x+

2

2

x -8=

3

2 Her iki tarafın küpü alınırsa;

x -8= 2 2

x - 8= 2- x 2

2

x - 8 = 4 - 4x + x Her iki tarafın karesi 4x = 12 c pozitif bir reel sayı ve n . c ve n pozitif tam sayı olmak üzere c 5) n

70


m

x =

n.c

x

m.c

=

n c

m

x c dir.

x= 3

alınırsa


2. BÖLÜM

x=

6

3

17 , y =

4 ve z =

2

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z

B) x < z < y

D) y < z < x

E) z < y < x

x=

6

y=

3. 2

z=

3. 2

17

24

4 2

2

3

x=

6

17

y=

6

16

z=

6

8

C) y < x < z

x >y >z

64 .x - 12 8 = 16 . 4 2

olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 24 4

B) 2 6

2 .x -

12

C) 3

D) 4

E) 5

3

2 = 4. 4 2

2 .x - 4 2 = 4. 4 2

x= 5

Kök dereceleri aynı olan iki köklü ifade çarpılabilir ya da bölünebilir. n

x .n y =

n

x = y

6) n

n

n

x.y

x y

0, 01. 0, 012 0, 00003


B) 2 -2

=

1.10

.

D) 4

E) 6

-3

12.10 -5

3.10 -5

=

C) 3

12.10

-5

3.10

=2


71


2. BÖLÜM

8 - 15 . 8 + 15


B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

D) 2

E) 3

64 - 15

= =7

4

4- 2 3 .

3+1

işleminin sonucu kaçtır? A) 1 =

2

4

( 3 - 1) .

= = =

3

B)

3 - 1.

C)

2

3+ 1

3+ 1

2 Hem kök dereceleri hemde kök içleri eşit olan köklü sayılar ortak paranteze alınarak toplanır.

7)

a. n x + b n x - c n x =

n

x (a + b - c)

23 3 + 33 3 - 3 3 23 3 - 3 3


B) 2

4. 3 3

D) 4

E) 5

=4

1. 3 3

80 +

C) 3

5=

20 - x

olduğuna göre, x kaçtır? A) - 4 5 4 5+

B) - 3 5

C) - 2 5 D) 2 5

5 =2 5-x

x=- 3 5

72


E) 3 5


2. BÖLÜM

12 -

48 + 75


B) 4 3

C) 3 3 D) 2 3

E)

C) 3

D) 4

E) 10

C) –0,4

D) –0,2

E) –0,1

3

= 2 3- 4 3+ 5 3 =3 3

3

0, 008 + 0, 04 4 0, 0016


3

B) 2 -3

8.10 4

-4

16.10

-1

=

-2

4.10

+

2.10

-1

+ 2.10 -1

2.10

=2

0, 4 + 0, 9 1, 6 - 19, 6

işleminin sonucu kaçtır? A) –0,6

2

=

10 4 10

B) –0,5

+ -

3

5

10

10

10 = 10 = - 1 2 14 - 10 3

=

3

3

80 + 3 270 10 + 3 10000

=


B) 1 3

C) 4 D) 1 11 2

E) 5 11

=

3

8.10 + 3 27.10 10 + 3 100.10

2. 3 10 + 3 3 10 3

10 + 10. 3 10

5. 3 10

11. 3 10

=

5 11


73


2. BÖLÜM x. n y =

n

n

x .y

8) x. n n

23 2 8 = 2

m

m

y =

x =

n

n.m

m

x

n.m

.y

x

x

olduğuna göre, x kaçtır? A) 11 12

B) 5 6

8

12

2 .8 = 2

11

2 12 = 2 11 x= 12

5

C) 3 D) 2 4 3

E) 7 12

C) 35

E) 37

x

x

27 x =

5

2 .7 3

olduğuna göre, x kaçtır? B) 34

A) 33 5

2 . 35 x =

5

D) 36

2 .7 3

Her iki tarafın 35. dereceden kuvveti alınırsa x = 35

9)

y>x

a = x .y

b = x + y olmak üzere

b "2 a =

y " x dir.

= 8+ 2 7 -

=2

8- 2 7

ifadesinin değeri kaçtır? A) 2 -

74

7

B) 2 7

7 + 1 - ( 7 - 1)

C)

3


D) 1

E) 2


2. BÖLÜM

4 - 12 + 12 - 6 3

ifadesinin değeri kaçtır? A) 1

B) 2

4- 2 3 +

C) 3

D) 4

E) 4 3

12 - 2 27

3- 1+ 9-

3

=2

10) Paydayı Rasyonel Yapmak a ’nın eşleniği

n

a,

k

a 'nın eşleniği

n

a

n- k

a " b ’nin eşleniği

a ! b dir.

3( 5 + 3 3 5-

2

+

4 2 3+ 5 2

5+

2)

4 (3 -

+

4

2 + 3-

5-

5)

-

2 2 2

2=3

işleminin sonucu kaçtır? A)

5 - 1

B)

5+

2

C)

5 D)

2

E) 3 (2 +

3) . (2 +

(2 -

2+ 2-

3 2+ 3 2+

3) . (2 +

3) 3)

+

(2 (2 +

3) . (2 3) . (2 -

3) 3)

4+ 2 3 + 3+ 4- 2 3 + 3 = 14 1

3 3

ifadesinin değeri kaçtır? A) 14

B) 13

C) 12

D) 10

E) 7 =

1

5-1

( 5 + 1)

1 + 6- 2 5

1 6+ 2 5


5 3

B)

5 2

C)

5 D) 2 5

E) 3 5

1

+

5+1

( 5 - 1)

=

5+1 + 4

=

2 5 5 = 4 2

5-1 4


75


2. BÖLÜM x (x + 1) +

x (x + 1) + ... = x + 1

x (x + 1) -

x (x + 1) - ... = x

11)

30 +

n

x: n x: n ... =

n

x. n x. n x... =

30 + 30 + ... = x +

42 -

42 -

n+ 1

x

n- 1

x

42

olduğuna göre x kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

D) 2

E) 4

6=x + 6

x = 0

8

2. 8 2. 8 2... . 7 64


7

2

B)

7

4

C)

7

8

= 7 2 .7 64 = 7 128 =2

76



2. BÖLÜM



28 -

6+

A) 1

2.

3

27

B) 2

3

C) 3

B) 5

2x – 1 = 3

x = 2

2x – 1 = 5

x = 3

2x – 1 = 7

x = 4

Toplamları = 9

3.

olduğuna göre, x kaçtır?

25 = 5

E) 5

C) 6

D) 7

E) 9

C)

3

D) 2

E) 3

C)

3 - 1 D)

x 3 - 3x = 3 - 3 3

A) 1

x. ( 3 - 3) = x=

2

B)

3 ( 3 - 3)

3

4.

D) 4

6+ 3

eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

=

28 -

9 < 2x - 1 < 51

A) 4

a=

8+

5+

9 - 2 20


5

B)

=

8+

=

6+ 2 5

=

5+1

5+

3 + 1

5-


81

5+1

4

x+ 1

E)

4

5.

4

5 - 1

=

3

x

27 + 18

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

3

4.(x + 1)

=

3

3

3x

+ 18

3x+1 = 3x + 18

3x+1 – 3x = 18

3x(3 – 1) = 18

3x = 9

x=2


77

78



2. BÖLÜM ORAN

En az biri sıfırdan farklı birimleri aynı olan x ve y gibi iki reel sayının bölümüne oran denir. Örneğin, x'in y'ye oranı x dir. y

ORANTI İki veya daha fazla oranın birbirlerine eşitlenmesi ile oluşan ifadeye orantı denir.

a c k = = b d

orantı, k ise orantı sabittir.

Orantı Özellikleri Dördüncü orantılı 1)

a,b ve c'nin dördüncü orantılısı x ise

a c dir. = b x

18, 6 ve 12 sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı a dır. Buna göre, a kaçtır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

E) 16

183 6

=

a= 4

12 a

İçler – Dışlar Çarpımı 2)

a c orantısında a . d = b . c dir = b d

İçler dışlar çarpımı yaparsak;

2a + b 4 = 3a - b 3

olduğuna göre, a + b oranı kaçtır? a-b A) 13

B) 10

6a + 3b = 12a – 4b

C) 9

D) 6

E) 4

7b = 6a

b = 6k

a = 7k 7k + 6k = 13 7k - 6k


79


2. BÖLÜM

a 3 c = = 4 b 5

a = 4k

olduğuna göre, b . c – a . b – c ifadesinin değeri kaçtır? a A) 11 4

B) 5 2

3)

C) 9 4

a c k = = b d

D) 2

E) 7 4

b=

3 k

c = 5k

3 5k 3 .5k - 4k. k k 4k 5 7 = 15 - 12 - = 4 4 =

b d 1 dir. a= c= k

ise

x a 2 y= b=

olduğuna göre,

ifadesinin değeri kaçtır? A) 7 2

B) 3

x y k = = b d

4)

x.a = y.c = k

a b c = = 2 3 5

2a + 3b + c = 54

C) 5 2

ise

D) 2

E) 3 2

x = b.k ve y = d.k dir.

ise

x = k ve y = k dir. a c

a = 2k


B) 9

x 3b - 1 o . e1 + o y a 3 = 1. e 1 + o 2 5 = 2 e

x - y a + 3b . y a

C) 12

D) 15

E) 18

2 . 2k + 3 . 3k + 5k = 54 18k = 54 k=3 a=2.3=6

80


b = 3k

c = 5k


2. BÖLÜM

3x = 4y = 2z

2x + 3y – z = 44

x = 4k

B) 16

z = 6k

2 . 4k + 3 . 3k – 6k = 44

olduğuna göre, y kaçtır? A) 12

y = 3k

11k = 44 C) 24

D) 28

E) 32

k=4 y = 3 . 4 = 12

b leri eşitlersek;

a 3 ve b 5 olmak üzere, = c= 2 b 4

a

2a + b – c =84

b

b c


B) 18

C) 24

D) 30

E) 40

2

15 _ a = 15k b 20 b ` b = 20k 20 b = 8 b c = 8k a . 15k + 20k – 8k = 84 =

42k = 84 k=2 a = 15 . 2 = 30

a c k orantısında m ve n sıfırdan farklı olmak üzere = = b d

5)

i) a + c = k b+ d

ii) a.n + c.m = k dir. b.n + d.m

x a 9 olduğuna göre, y= b= 4 3x + 5a 3y + 5b ifadesinin sonucu kaçtır? A) 1 2

3x + 5a 9 = 3y + 5b 4

B) 3 2

C) 5 2

D) 3

E) 7 2

olur.

9 3 = 2 4


81


2. BÖLÜM

a c x = = =2 b d y

2a + c – x =36

2b + d = 23

olduğuna göre, y kaçtır? A) 3

5)

B) 4

a x k = = b y

C) 5

ise

D) 6

E) 7

2a + c - x = 2 olur. 2b + d - y 36 =2 23 - y y= 5

an xn kn dir. = = bn yn

a = 2k a, b ve c pozitif tam sayılardır. a b 4c = = 2 3 2 a + b 2 - c 2 = 207 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

6)

B) 2

C) 8

D) 16

E) 24

k = 207 16

207k = 207 16

k2 = 16 a=2.4=8

a c a c x x = = = k orantısında . . y = k3 tür. b d y b d

a b c 1 = = = b c d 2 olduğuna göre, d oranı kaçtır? a A) 1 B) 1 C) 1 16 8 4

82


a b c a . . = b c d d D) 8

E) 16

2

4k2 + 9k2 –

a c k orantısında a . c k 2 = = = b d b d

b = 3k

1 1 1 a . . = 2 2 2 d a 1 = d 8

2

k = 4

c=

k 4


2. BÖLÜM ORANTI ÇEŞİTLERİ 1. Doğru Orantı

a ve b nin büyüklükleri herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun, a artarken b de artıyor veya a azalırken b de azalıyorsa a ile b doğru orantılıdır denir. a k orantısında a ile b doğru orantılı ve k orantı sabitidir. = b Doğru orantı grafiği,

a

b şeklindedir.

a, b ve c sayıları sırasıyla x, y ve z ile doğru orantılı ise a b c veya a : b : c x : y : z = x= y= z

dir.

a – 3 ve b – 4 doğru orantılıdır.

a = 7 için b = 5

olduğuna göre, a = 10 için b kaçtır? A) 23 4

B) 6

a- 3

7- 3 =k 5- 4

b- 4

=k

10 - 3 b- 4

=4

b=

C) 25 D) 13 4 2

E) 27 4

k= 4

23 4

Yandaki doğrusal grafikte bir dokumacının zamana bağlı olarak

Halı (m2)

dokuduğu halının metrekaresi gösterilmektedir. 6

4

Saat

Buna göre, dokumacı 21 m2 halıyı kaç saatte dokur? A) 10

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

4 saatte

6m2 halı dokursa

x saatte

21m2 halı dokur.

6x = 84 x = 14


83


2. BÖLÜM

Bir kümeste bulunan tavuk, ördek ve kaz sayıları sırasıyla (0, 6), (0, 4) ve (0, 1) sayıları ile orantılıdır. Bu kümesteki tavuk, ördek ve kaz sayıları toplamı 88 olduğuna göre, kaz sayısı kaçtır? A) 6

B) 8

C) 10

Tavuk = 0,6k

Ördek = 0,4k

D) 12

E) 14

Kaz = 0,1k

0,6k + 0,4k + 0,1k = 88 1,1k = 88 k = 80 kaz = 80 . 0,1 = 8

2. Ters Orantı a ve b nin büyüklükleri herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun, a artarken, b azalıyor veya a azalırken b artıyor ise a ile b ters orantılıdır. a . b = k orantısında a ve b ters orantılı ve k orantı sabitidir. Ters orantı grafikleri, a

b

şeklindedir.

a, b ve c sayıları sırasıyla x, y ve z ile ters orantılı ise a . x = b . y = c . z dir.

(x + 2) . ( 3y – 1) = k x + 2 ve 3y – 1 sayıları ters orantılıdır.

5.5=k

k = 25

x = 3 için y = 2

olduğuna göre, x = 8 için y kaçtır?

A) 11 6

84

B) 5 3

C) 3 D) 4 2 3


(8 + 2) . (3y – 1) = 25 E) 7 6

y=

7 olur. 6


2. BÖLÜM Faiz oranı (%)

k bir pozitif tam sayı olmak üzere yandaki eğri bir bankanın verdiği faiz oranının aylara göre değişimini göstermektedir.

10

4 ayda → %10 faiz verirse 8 ayda → x

Ay

4 8

4.10 =5 8.x

Buna göre bankanın 8. ayda verdiği faiz oranı % kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

Ters orantı

D) 6

E) 8

Özgür, Ozan ve Barış yaşları sırasıyla 3, 4 ve 6 olan kardeşlerdir. 108 tane bilye bu kardeşlere yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırıldığında, Özgür'e kaç bilye düşer? A) 12

B) 24

Özgür =

k 3

C) 36

Ozan =

k 4

D) 48

Barış =

E) 60 k 8

k k k + + = 108 3 4 6

(4)

(2)

(3)

k = 144 Özgür:

144 = 48 3

3. Birleşik Orantı İçinde birden fazla oran bulunan orantılara bileşik orantı denir.

a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılı ve k orantı sabit ise

a.c k dir. = b

x sayısı y + 2 ile ters, a – 3 ile doğru orantılıdır.

x = 1 ve y = 4 için a = 6

olduğuna göre, x = 6 ve y = 1 için a kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 12

x. (y + 2) =k a- 3 1.6 =k 3

6.3 =2 a- 3 a = 12

k= 2


85


2. BÖLÜM

Eşit kapasitedeki 6 işçi günde 4 saat çalışırsa 20 günde 600 adet mal üretmektedir. Buna göre aynı kapasitedeki 7 işçi günde 3 saat çalışarak 16 günde kaç adet mal üretebilir? A) 200

B) 240

C) 270

D) 280

E) 420

600 x = 6.4.20 7.3.16 24. 20 .x = 60030 .21.16 4 5

x = 420

310 adet oyuncak üç çocuk arasında 3 ve 4 ile ters, 2 ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Buna göre, en az alan kaç oyuncak almıştır? A) 10

B) 30

C) 40

D) 70

E) 90

2k k k + + = 310 3 4 1

(4)

(3)

(12)

31k = 310, 12 k = 30 4

k = 120

(en az olan)

ORTALAMA 1. Aritmetik Ortalama Bir veri grubundaki tüm elemanların toplamının veri adedine bölümüne denir. Aritmetik ortalama =

Sayıların toplamı Sayı adedi

Türkçe sınavının ilk dört sınavından 40, 50, 60 ve 90 alan bir öğrenci beşinci sınavdan kaç almalıdır ki Türkçe puan ortalaması 60 olsun? A) 40

B) 50

C) 60

40 + 50 + 60 + 90 + x = 60 5 x = 60

86


D) 70

E) 80


2. BÖLÜM

a+ b+ c = 30 3

Birbirinden farklı üç pozitif tam sayının aritmetik ortalaması 30 dur. Bu sayıların en küçüğü,

a + b + c = 90

diğer ikisinin aritmetik ortalamasından 9 eksiktir.

3a + 18 = 90

B) 36

C) 38

b + c = 2a + 18

a = 24

Buna göre, en büyük sayı en çok kaçtır? A) 34

b+ c -9= a 2

D) 41

E) 43

b + c = 66 (en çok 41 olur.) b > 24, b = 25 (en az)

b + c = 66 ⇒ 25 + c = 66

⇒ c = 41 elde edilir.

Terimleri birbirinden farklı birer çift sayı olan azalan bir dizinin, ilk altı terimi sırasıyla

a = 8 alırsak;

c, b, 10, a, 6, 2 dir.

b + c + 10 + 8 + 6 + 2 = 12 6

Bu sayıların aritmetik ortalaması 12 olduğuna göre, b en çok kaçtır? A) 24

B) 22

C) 20

D) 18

E) 16

b + c = 46 c 24 ve b 22 seçilir. Sınıfta x öğrenci olsun,

Bir sınıfta bulunan öğrencilerin yaş ortalaması 12 dir. Sınıftan yaş ortalaması 10 olan üç kişi ayrıldığında kalanların 3 yıl sonraki yaş ortalaması 18 oluyor. B) 6

C) 7

D) 8

Yaş toplamı = 12 . x

3 yıl sonra →

Buna göre, başlangıçta sınıfta kaç öğrenci vardır? A) 5

15x - 30 = 18 x- 3

E) 9 burada x = 8 bulunur.

2. Geometrik Ortalama (Orta orantı) n tane sayının çarpımının n. dereceden köküne bir sayıların geometrik ortalaması denir. x1, x2, x3, xn gibi n tane veri için Geometrik ortalama = Veri

ımı Verilerin Çarpim

adedi

3 - 1, 3 + 1 ve 4

Sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? A) 1

B)

3

2

Geometrik ortalama

C) 2

D)

=

3

( 3 - 1) . ( 3 + 1) .4

=

3

8

3

9

E) 3

= 2


87


2. BÖLÜM

a, b ve c pozitif gerçek sayılardır.

a ile b'nin orta orantılısı

b ile c'nin orta orantılısı 2 3

a ile c'nin orta orantılısı 3

3

olduğuna göre, a, b ve c sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? A)

3

2

a.b =

B)

3

3

3

C) 2

D) 3

E)

3

18

olduğundan a . b = 3

b.c = 2 3 olduğundan b . c = 12

a.c = 3 olduğundan a . c = 9

a2 . b2 . c2 = 324

a . b . c = 18

Geometrik ort. = =

3 3

a.b.c 18

Bir topluluktaki kişilerin yaşlarının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir. Bu topluluktaki kişilerin yaşları toplamı 125 olduğuna göre, topluluktaki kişi sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 7

B) 8

C) 18

D) 21

E) 25

Aritmetik ortalama = Geometrik ortalama ise bu sayılar aynı olmalıdır. 125 : 5 = 25 kişi olabilir.

3. Harmonik Ortalama Bir veri grubundaki veri adedinin, verilerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamına bölümüne denir. Haronik ortalama =

a+ b = 12, 2

Veri adedi

a.b = 18 a.b = 324

a + b = 24

Verilerin çarpmaya göre terslerinin toplamı

Harmonik ort. =

a ve b sayılarının aritmetik ortalaması 12, geometrik ortalaması 18 olduğuna göre

=

88

B) 48

C) 42


D) 36

E) 27

2

a+ b a$b

harmonik ortalaması kaçtır? A) 54

2 1 1 + a b

=

2 = 27 24 324


2. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI

A = k,

B = 3k,

1.

Beş ortağı bulunan bir şirketin hisse oranları olan A, B, C, D ve E arasında

16k

4k

eşitliği vardır.

Buna göre, hisse oranları daire grafiği ile gösterildiğinde D hisse oranına sahip

12A = 4B = 6C = 3D = 2E

C = 2k,

D = 4k,

E = 6k

360° x

x = 90°

olan ortağa ait daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

A) 60

B) 70

C) 80

D) 90

E) 100

2.

Ardışık 5 tam sayısının aritmetik ortalaması 10 dur.

Buna göre bu sayıların en büyüğünün 4 fazlası ile en küçüğünün 1 fazlasının geometrik ortalaması kaçtır? A) 8

B) 10

x+ x+ 1+ x+ 2+ x+ 3+ x+ 4 = 10 5

5x + 10 = 50 C) 12

D) 14

E) 16

x=8

En büyük: 12 En küçük: 8

3.

Aşağıdaki doğrusal grafiklerden birincisinde zamana bağlı olarak bir boyacının boyadığı duvarın metre karesini, ikincisi ise yine zamana bağlı olarak boyacının elinde kalan

boya miktarını göstermektedir.

x 20 saat boyar.

Duvar (m2)

Boya (kg)

200 170

0

Saat

5

0

3 saatlik

24

9.16 = 12 olur.

3

Saat

5 saatte

20 saat 96m2

30 kg boyarsa 200kg 24m2 xm2 boyar

Buna göre bu boyacı 200 kg boyanın tamamıyla kaç m2 duvar boyar? A) 120

B) 108

C) 96

D) 88

E) 81

Sınıf n kişi ise yaş toplamı n . x olur. 10 yıl sonra n . x + 10 n olur. Ortalama =

nx + 10n = x + 10 olur. I. doğru n

4.

I. Bir sınıfın bugünkü yaş ortalaması x ise 10 yıl sonraki yaş ortalaması x + 10 dur.

a, b, c 2, 3 ve 4 ile orantılı ise 6, 4 ve 3 ile

II. a, b ve c sayıların sırasıyla 2, 3 ve 4 ile doğru orantılı ise sırasıyla 6, 4 ve 3 ile ters

ters orantılıdır. II. doğru

orantılıdır.

III. a ve b pozitif gerçek sayılarında a . b = 12 ise a sayısı artarak 4 olurken b sayısı azalarak 3 olur.

Yargılarından hangisi ya da hangileri doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnı II

E) I, II ve III

D) I ve II

C) Yalnız III

a = 1

b = 12

a = 2

b=6

a = 3

b=4

a = 4

b=3

a sayısı artarak 4 olursa b sayısı azalarak 3 olur. III. doğru.


89


2. BÖLÜM SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ

Bir sayının 4 fazlasının yarısı, aynı sayının 2 katının 3 fazlasına eşittir. Buna göre, bu sayı kaçtır? A) - 2 3

B) - 1 3

C) 1 D) 2 3 3

E) 1

x+ 4 = 2x + 3 2 4x + 6 = x + 4 -2 x= 3

Ardışık üç tek sayının toplamı, ortanca sayının 2 katından 35 fazladır. Buna göre, bu üç sayının toplamı kaçtır? A) 144

B) 140

C) 135

D) 120

E) 105

x + x + 2 + x+ 4 = 2(x + 2) + 35 3x + 6 = 2x + 39

x = 33

= 33 + 35 + 37 = 105

Bir çiçekçi her saat aynı sayıda çiçek satarak çiçeklerini bitirmiştir. Bu çiçekçinin ilk 3 saatte sattığı çiçek sayısı sattığı tüm çiçeklerin sayısının üçte biridir. İlk 7 saatte sattığı çiçekleri sayısı ise sattığı tüm çiçeklerin sayısından 80 eksiktir. Buna göre, bu çiçekçinin başlangıçtaki çiçek sayısı kaçtır? A) 720

B) 540

C) 480

Tüm çiçekler 9x olsun 9x – 80 = 7x x = 40 9 . 40 = 360

90


D) 360

E) 270


2. BÖLÜM

Bir dershanenin yaz kursuna kayıt yaptıran öğrenci sayılarından bazıları aşağıda verilmiştir.

Geometri

Erkek

Kız

7

5

Kimya

9

Matematik

10

12

Fizik

6

Bu dershanede fizik kursuna yazılan öğrenci sayısı kimya kursuna yazılan öğrenci sayısının 3 katıdır. Ayrıca kurslara kayıtlı kız öğrenci sayısının 54 fazlası erkek sayısına eşittir. Buna göre, kimya kursuna kayıtlı kaç kız öğrenci vardır? A) 18

B) 17

C) 16

Fizik kursuna katılan erkekler = x Kimya kursuna katılan kızlar = y x + 6 = 3 . (9 + y)

D) 15

E) 14

23 + y + 54 = 26 + x x – y = 51 x – 3y = 21 y = 15 buluruz.

x – 3y = 21

8 . x + 5 . (20 – x) = 136 3x = 36 x = 12

Bir nakliye firmasının 5 ton ve 8 ton kapasiteli toplam 20 kamyonu vardır. Bu nakliye firması tek seferde 136 ton yük taşıyalabildiğine göre, 8 ton kapasiteli kamyon sayısı kaçtır? A) 4

B) 5

C) 8

D) 12

E) 14 Merdiven sayısı x olsun x x x = 48 = + 8, 2 3

Özgür merdivenleri 2 şer 2 şer çıkıp 3 er 3 er iniyor. Çıkışta attığını adım sayısı, inişte attığı adım sayısından 8 fazla olduğuna göre, merdiven kaç basamaklıdır? A) 64

B) 62

C) 56

D) 48

E) 42

Orta nokta kesilen parçanın yarısı kadar koyar. Orta nokta; soldan

Sabit olarak duran x cm uzunluğundaki bir telin soldan 10 cm si sağdan 1 'ü kesiliyor ve orta 3 nokta ilk duruma göre 6 cm kayıyor.

B) 66

C) 64

D) 56

x x : 2 = cm 3 6

kayar.

x −5 =6 6

Buna göre, x kaçtır? A) 72

sağdan

10 = 5 cm 2

E) 48

x − 5 = 6 ⇒ x = 66 6 x − 5 = −6 ⇒ x = −6 (olamaz ) 6


91


2. BÖLÜM Alt kat

Üst kat

Tam

Öğrenci

Tam

Öğrenci

¨10

¨6

¨8

¨4

Yukarıdaki tabloda iki katlı bir otobüs için belirlenen bilet fiyatları verilmiştir. Otobüsteki yolcu grubu toplam ¨160 ödemiştir. Alt kat ve üst kat bileti alan yolcuların ödediği paralar eşittir. Alt kat bileti alan yolcuların yarısı öğrenci bileti almıştır. Üst kat bileti alan yolcuların üçte biri öğrenci bileti almıştır. Bu yolcu grubunda tam bilet alan kaç kişi vardır? A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

6x x + 10 = 80 2 2 x = 10 Üst kat 5 tam 5 öğrenci y 2y .4 + .8 = 80 3 3 y = 12 Alt kat 8 tam 4 öğrenci Toplam: 13 tam

Bir dans topluluğu, danslarında düz bir yol boyunca önce 5 adım ileri sonra 3 adım geri

8 adımda 2 adım ilerlerse

atarak idman yapıyor.

48 adımda 12 adım ilerler

Her adımı 60 cm olan bir dansçı toplam 53 adım atarak baştan itibaren kaç metre ilerlemiştir?

53 adımda 17 adım ilerler

A) 11

B) 10,2

C) 10

D) 9,8

E) 9,6

Bir sınıftaki öğrencilerin sıralara 3 er 3 er oturursa 12 kişi ayakta kalıyor. 4 er 4 er oturursa

17 . 60 = 1020 cm

= 10,2 cm

3 sıra boş kalıyor, bir sıraya da 3 kişi oturuyor.

Sıra sayısı x olsun.

Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

3x + 12 = 4(x – 4) + 3

A) 91

B) 90

C) 89

D) 88

E) 87

3x + 12 = 4x – 13

x = 25

Sınıf = 87

Bir bilet kuyruğunda Özgür baştan 10. sırada, Cengiz sondan 12. sıradadır. Özgür ile Cengiz arasında 2 kişi olduğuna göre, bu bilet kuyruğundaki kişi sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır? A) 42

B) 43

C) 44

D) 45

E) 46

En büyük değer için Özgür önde Cengiz arkada olmalı 10 + 12 + 2 = 24 En küçük değer için Cengiz önde Özgür arkada olmalı 10 + 12 – 2 – 2 =18

92


24 + 18 = 42


2. BÖLÜM

Bir bilgi yarışmasında yarışmacıya her doğru cevabı için 6 puan verilip, her yanlış cevabı için 3 puanı siliniyor 40 soruyu cevaplayan bir yarışmacı 168 puan aldığına göre, kaç soruyu yanlış cevaplamıştır? A) 16

B) 13

6 . (40 – x) – 3 . x = 168

C) 12

D) 10

E) 8

x = 8

Hangi sayının 7 'si ile 2 'ünün 1 'ünün toplamı 21 dir? 12 3 4 A) 35

B) 32

Sayı x olsun, 7x 2x 1 . = 21 + 12 3 4

C) 30

D) 28

E) 27

3x = 21 4

x = 28

Bir kesrin değeri 6 dir. Bu kesrin payına 14 eklenip paydasında 5 çıkarıldığında kesrin 7 değeri 2 oluyor. Buna göre, kesrin ilk durumdaki paydası kaçtır? A) 7

B) 14

C) 21

D) 28

E) 35

İlk durumda; 6x 6x + 14 , =2 7x 7x - 5 6x + 14 = 14x - 10 x= 3 7 . 3 = 21 (İlk durumdaki payda)

Bir işçi maaşının 1 'ini ev kirasına, 1 'sını faturalara ayırıyor. 5 6 Bu işçinin geriye ¨950'si kaldığına göre, maaşı kaç ¨ dır? A) 1200

B) 1500

C) 1600

D) 1800

E) 2100

x lira maaşı olsun x x x - - = 950 5 6 19x = 950 30 x = 1500


93


2. BÖLÜM

Özge bir pastanın birinci gün 1 'ünü, ikinci gün kalanın 1 'ini üçüncü günde kalanın 1 'ünü 5 4 3 yiyor. Pastanın yenmeyen kısmı 120 gram olduğuna göre, pastanın tamamı kaç gramdır? A) 300

B) 360

C) 400

D) 450

E) 600

Yağ dolu bir şişenin ağırlığı 600 gramdır. Yağın 1 'si boşaltıldığında şişe 560 gram gel12 mektedir. Buna göre, şişe boş iken kaç gramdır? A) 60

B) 80

C) 90

D) 100

E) 120

Pasta x olsun. x 1. gün 4 x-e

x 3x x + + o = 120 4 20 5

8x = 120 20 x = 300

Yağ + şişe = 600 11Yağ ________ + şişe = 560 12 Yağ _____ = 40 12 Yağ = 480 Şişe = 120

Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her çapışında bir önceki yüksekliğin 2 'u kadar 9 zıplamaktadır. Top yere 3. çarpışından sonra 8cm yüksekldiğine göre, topun bırakıldığı yükseklik kaç cm dir? A) 243

B) 625 2x 9

x

C) 729

D) 900 8x 729

4x 81

E) 2187 8x =8 729 x = 729


Bir fabrikanın üretim kısmında bir işçi çalıştığı her saat için ¨10 ücret almakta, paketleme kısmındaki her bir işçi çalıştığı her saat için ¨12 ücret almaktadır. 1 kg paketlenmiş ürünün maliyeti işçilik hariç ¨10 dir.

Bu fabrikada üretim kısmındaki her bir işçi saatte 2 kg ürün üretmekte, paketleme kısmındaki her bir işçi ise saatte 3 kg ürün paketlemektedir.

Buna göre, işçilik ücretide etkilendiğinde 12 kg lık paketlenmiş ürünün fabrikaya maliyeti kaç ¨ dir? A) 228

B) 240

C) 244

Üretim kısmındaki işçi 6 saat

Paketleme kısmındaki işçi 4 saat

çalışmalı

= 6 . 10 + 4 . 12 + 10 . 12

= 228

94


D) 256

E) 264

2. gün

3x 20

3. gün

x 5


2. BÖLÜM 2.

Bir otobüs firması A, B, C, D

B

A

C

D 10x + 25

şehirleri arasındaki yolculukla-

A

rın bilet fiyatlarını yandaki gibi

B

10 x

benzin fiyatına göre belirle-

C

10x – 10

mektedir.

D

10x + 10

(10x + 10) + (10x) + (10x + 25) = 155

10x + 20

10x + 30

x=4

A ile C arası = 10 . 4 – 10 = 30

1 … 9 → 9 rakam

10 … 99 → 180 rakam

Kitabının sayfalarını numaralandıran bir yazar toplam 504 rakam kullandığına

100 … ?

göre, bu kitap kaç sayfadır?

504 – 189 = 315

315 : 3 = 105

99 + 105 = 204

x (100 – x – ) . (0,5) = 25 4

x = 40 bulunur.

Bu durumda Mehmet'in maç sayısı ya

Benzin litre fiyatı ¨ x olmak üzere,

Özgür bey önce C şehrinden B'ye sonra B'den A'ya oradan da D şehrine gitmiştir.

Özgür bey bu yolculuklar için ¨155 ödediğine göre A ile C arası yolculuğun fiyatı kaç ¨ dir? A) 30

3.

A) 204

4.

B) 40

B) 206

C) 50

C) 207

D) 60

D) 208

E) 70

E) 209

120 soruluk bir sınavda 4 yanlış bir doğruyu götürmektedir. Her net 0,5 puandır. 20 soruyu boş bırakan bir öğrenci sınavdan 25 puan almıştır

Buna göre bu öğrencilerin yanlış cevapladığı soru sayısı kaçtır? A) 40

B) 45

C) 50

D) 55

E) 60 9 ya da 10 dur. 9 olmalıdır.

5.

Özgür, Seydi ve Mehmet'in birbirleriyle yapmış oldukları tavla maçlarıyla ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.

Ö

S

M

●

En az maç yapan Seydidir ve 8 maç yapmıştır.

Ö

●

a

b

●

En çok maç yapan Özgür'dür ve 11 maç yapmıştır.

S

a

●

c

Buna göre, Seydi ve Mehmet kendi aralarında kaç maç yapmıştır?

m

b

c

●

A) 1

6.

B) 2

C) 3

D) 4

a+c=8 a + b = 11 b+c=9 a + b + c = 14 a=6 b=5

E) 5

z – x + z – y = 26

y – x + z – y = 15

büyük sayı z dir. z sayısının diğer iki sayıya olan uzaklıkları toplamı 26 dır. y sayısının

2z – x – y = 26

diğer iki sayıya olan uzaklıkları toplamı 15 dir.

z – x = 15

Buna göre, y – x kaçtır?

2z – x – y = 26

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen x, y ve z gerçek sayılarından en küçük sayı x, en

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

c= 3

E) 11

–2/ z – x = 15 + +

x – y = –4 ⇒ y – x = 4


95


2. BÖLÜM YAŞ PROBLEMLERİ

30 yaşındaki Ozan'ın a yıl önceki yaşının 3 katı, a yıl sonraki yaşının 2 katına eşittir. Buna göre, a kaçtır? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

(30 – a) . 3 = (30 + a) . 2 90 – 3a = 60 + 2a

a = 6

Bir annenin yaşı küçük çocuğunun yaşının 6 katı büyük çocuğunun yaşının 5 katıdır. 3 yıl sonra anne ve iki kardeşin yaşları toplamı 91 olduğuna göre, anne bugün kaç yaşındadır? A) 70

B) 68

C) 64

D) 60

E) 56

A B. çocuk K. çocuk 30x 6x 5x

30x + 3 + 11x + 6 = 91

41x = 82

x = 2

30 . 2 = 60

Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamından 24 fazladır. 5 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katından 2 fazla olacağına göre, küçük çocuğun yaşı en çok kaçtır? A) 1

B) 2

Baba x+24

C) 3

Çocukların yaşlarının toplamı x

x + 29 = 2(x + 10) + 2 x + 29 = 2x + 22 x = 7

96

Küçük en çok 3 olur.


D) 4

E) 5


2. BÖLÜM

Bir babanın yaşı çocuklarının yaşları farkının 5 katına eşittir. 12 yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları farkının 6 katına eşit olacağına göre, baba şimdi kaç yaşındadır? A) 50

B) 52

C) 56

Baba 5x

Çocukların yaş farkı x

D) 58

E) 60

5x + 12 = x . 6 x = 12 5 . 12 = 60

Fatih'in yaşının 3 katı, Ceren'in yaşının 4 katına, Mahmut'un yaşının 6 katına eşittir. Ceren'in yaşı Fatih'in yaşına geldiğinde üçünün yaşları toplamı 72 olacağına göre, Mahmut bugün kaç yaşındadır? A) 12

B) 18

C) 24

D) 30

E) 36

Fatih Ceren Mehmet 8x 6x 4x 10x

8x

6x

24x = 72 x=3 4 . 3 = 12

Özgür'ün babasının bugünkü yaşı 66 dır. Babası Özgür'ün bugünkü yaşındayken Özgür'ün yaşı bugünkü yaşının 1 sıydı. 6 Buna göre, Özgür'ün bugünkü yaşı kaçtır? A) 24

B) 28

C) 32

D) 36

E) 40

Özgür Baba x 66 x 6

x–

x x = 66 – x 6

11x = 66 6 x = 36


97


2. BÖLÜM

Arif ve Yunus'un yaşları toplamı 80 dir. Arif Yunus'un yaşında iken Yunus'un doğmasına 5 yıl vardı. Buna göre, Arif bugün kaç yaşındadır? A) 25

B) 30

A x

Y y

y

C) 35

D) 45

E) 55

x + y = 80

-5

x–y = y + 5 x = 2y + 5 Denklemleri ortak çözersek y = 25

x = 55

Ahmet'in yaşının 2 katı, Oğuzhan'ın yaşının 3 katına eşittir. Eğer Ahmet 5 yıl geç, Oğuzhan 3 yıl erken doğsaydı yaşları eşit olacaktı. Buna göre, Ahmet kaç yaşındadır? A) 8

B) 16

C) 24

D) 32

E) 40

Oğuz Ahmet 3x 2x 3x - 5 = 2x + 3

x = 8

3 . 8 = 24

Aslı, Hakan ve Tolga'nın bugünkü yaşları toplamı 72 dir. Aslı, Hakan'ın bugünkü yaşına geldiğinde Tolga'nın yaşı Hakan'ın yaşının 2 katı olacaktır. Buna göre, Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 12 Aslı a h

B) 16 Hakan h x

a + h + t = 72

C) 18

Tolga t 2x

2x - t = x – h / x – h = h – a

x = t – h

x = 2h – a

t – h = 2h – a

t + a = 3h

3h + h = 72

h = 18

98


D) 24

E) 32


2. BÖLÜM İŞÇİ HAVUZ PROBLEMLERİ

Özgür bir işin tamamı 24 günde yapabilmektedir. Buna göre, 15 gün çalıştığında işin kaçta kaçı kalmış olur? A) 1 2

B) 1 4

15 'ünü yapar. 24

q3

248

C) 3 D) 1 8 2

E) 5 8

'ü kalır.

Onur bir işin tamamını 12 günde, Burcu ise aynı işin tamamını 24 günde yapabilmektedir. Buna göre, ikisi beraber aynı işin tamamını kaç günde yapabilmektedir? A) 4 e

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

1 1 + o .t = 1 12 24

t =8

Özge bir işin 1 'ünü 16 saatte, Makbule aynı işin 3 ünü 12 saatte yapabilmektedir. 3 4 Buna göre ikisi beraber bu işin 1 ünü kaç saatte yapar? 4 A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Özge = 48 saatte işi bitirir Makbule = 16 saatte işi bitirir. e

1 1 1 + o .t = 48 16 4 t= 3

Orkun ve Berk bir işi sırasıyla 6 ve 15 günde tamamlamaktadır. Beraber 4 gün çalıştıktan sonra Orkun işi bırakıyor, geriye kalan işi Berk kaç günde yapar? A) 1

c

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

1 1 1 .t = 1 + m .4 + 6 15 15

1 t = 15 15

buluruz.

t=1


99


2. BÖLÜM

Özge bir işin tamamını 12 günde yapabilmektedir. Buna göre Özge çalışma hızını 2 kat arttırırsa aynı işin tamamını kaç günde yapabilir? A) 2

B) 3

V → 12 günde yaparsa 3V → x günde yapar

C) 4

D) 6

E) 8

4 Ters orantı 4 günde yapar.

Öncü'nün çalışma kapasitesi, Burcu'nun çalışma kapasitesinin 3 katıdır. İkisi beraber işin tamamını 12 günde yapabildiğine göre Öncü bu işin tamamını tek başına kaç günde yapar? A) 12

B) 15

C) 16

D) 18

E) 24

Öncü Burcu 3t t saat 1 1 + o .12 = 1 t 3t 3t = 48 e

t = 16

Buket bir işi 30 saatte, Cemre 12 saatte yapabilmektedir. Buket'in çalışma hızı 5 katına çıkarsa ikisi beraber bu işi kaç saatte tamamlar? A) 3

B) 4

V hızıyla 30 saatte bitirirse 5V

x saatte bitirir

C) 6

D) 8

E) 10

4 6 saat

1 1 + o .t = 1 6 12 t= 4

e

1 kadın 100 günde 1 erkek 150 günde

Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30 günde bitiriyor. Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek işçi aynı işi kaç günde bitirir? A) 50

B) 45

C) 40

D) 30

E) 20

2

2

(3)

(2)

f 100 + 150 p .t = 1 t = 30

100


4 bitirir.


2. BÖLÜM

Kapasiteleri eşit olan 10 işçi bir işin tamamını 6 günde bitirmektedir. Buna göre, bu işçilerin yarısının çalışma hızı yarıya indirilirse aynı işin tamamı kaç günde bitirirler? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

O halde her biri 60 günde bitirir. Çalışma hızı yarıya düşerse her biri 120 günde biter. 10 .t = 1 120

t = 12 günde biter.

Aynı anda açılan iki musluk birincisi a saatte doldurup, ikincisi b saatte boşaltıyor ve ikisi beraber c saatte dolduruyor ise denklem, 1 1 1 dir. a-b= c

Bir havuza açılan iki musluktan birincisi boş havuzun tamamını 4 saatte dolduruyor. Havuzun dibinde bulunan ikinci musluk ise dolu havuzun tamamını 12 saatte boşaltıyor. Buna göre, ikisi aynı anda açıldığında boş havuz kaç saatte dolar? A) 2 e

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

1 1 o .t = 1 4 12

t = 6 saatte dolar.

Bir havuza açılan musluklardan havuzu dolduran A ve B muslukları ikisi beraber boş havuzu12 saatte dolduruyor. Havuzun dibinde bulunan C musluğu havuzun tamamını x saatte boşaltıyor. Bu üç musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı 18 saatte dolduğuna göre, x kaçtır? A) 48

B) 42

C) 36

D) 32

E) 24

1 1 + o .12 = 1 A B 1 1 1 + = A B 12 1 1 1 e + - o .18 = 1 A B x 1 1 1 - = 12 x 18 x = 36 e


101


2. BÖLÜM

B ve C muslukları kapalı iken A musluğu havuzun tamamını

A

6 saatte dolduruyor. A ve B musluğu kapalı iken havuzun dibinde bulunan C musluğu havuzun tamamını 24 saatte

B

boşaltırken havuzun yarısında bulunan B musluğu havuzun C

kendi seviyesine kadar olan kısmı 12 saatte boşaltıyor.

Havuzun yarısı: e

1 1 o .t = 1 3 12

Buna göre, bu üç musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı kaç saatte dolar?

Kalan kısmı:

A) 10

e

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

t = 4 saatte dolar.

1 1 1 o .t = 1 3 12 12

t = 6 saatte

dolar.

Toplamda: 4 + 6 = 10

B

A

Yandaki düzenekte üstteki havuzu A ve B muslukları sırasıyla 3 ve 18 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibinde bulunan C musluğu ise havuzun tamamını 6 saatte C

boşaltmaktadır. Alttaki havuz C musluğundan akan su ile dolmaktadır ve üstteki havuzun hacminin yarısı kadar hacmi vardır.

Buna göre, üstteki havuz dolduğunda alltaki havuzun kaçta kaçı kadar su taşar? A) 1 6

B) 1 3

C) 1 D) 2 2 3

A

E) 5 6

Yanda verilen dolu havuzu üç eşit parçaya ayıracak şekilde özdeş üç musluk yerleştiriliyor. C musluğu havuzun tamamını

B

36 saatte boşaltabildiğine göre,

C

bu üç musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı kaç saatte boşalır?

A) 22

B) 23

En üst kısım e

1 1 1 + + o .t = 1 12 12 12

t = 4 saatte boşalır.

1 1 + o .t = 1 12 12


Ortanca kısım e En alt kısım

C) 24

1 .t = 1 12

D) 25


Toplamda 12 + 6 + 4 = 22 saatte boşalır.

102


E) 26

Üstteki havuz 4,5 saatte, alttaki havuz 3 saatte dolmaktadır. Bu durumda üstteki havuz dolana kadar alttaki havuzun yarısı kadar su taşar.


2. BÖLÜM


1.

e

Onur ve Hasan bir duvarı sırasıyla 12 ve 24 saatte boyayabiliyor. İkisi beraber 4 saat

1 1 1 1 1 + + + o .2 = 1 o .4 + e 12 24 12 24 x

1 1 1 + + =1 2 4 x

x = 8 saatte boyar.

çalıştıktan sonra Emrah da onlara katılıyor ve işin tamamı 6 saatte bitiyor.

Her bir işçinin 1 günde yapabileceği iş V olsun.

Buna göre, Emrah tek başına bu duvara kaç saatte boyar? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

1. gün = 6V'lik iş yapar.

2.

Aynı kapasitedeki 6 işçi bir işi aynı anda yapmaya başlıyor. Hergün bir kişi işten ayrılarak işin tamamı 5 günde bitiyor.

Buna göre, bir işçi aynı işi tek başına kaç günde yapabilir? A) 18

3.

B) 20

C) 21

D) 24





Toplam = 20V

İş için gerekli emek, 1 işçi 20 günde bitirir.

E) 28

Bir havuzu A musluğu 12 saatte, B musluğu 10 saatte doldurabiliyor. Havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzun tamamını 6 saatte boşaltabiliyor.

Buna göre A musluğunda birim zamanda akan su miktarı 1 oranında, B muslu5 ğundan birim zamanda akan su miktarı 1 oranında arttırıp, C musluğundan akan 4 su miktarı %40 azaltılırsa bu üç musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı

A musluğu

V hızıyla 12 saatte doldurursa 6V hızıyla x saatte doldurursa 5

kaç saatte dolar? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

4 T.O

E) 10

4.

Yandaki şekilde A ve C musluklarının havuzları

A

doldurma süreleri a ve c, B ve D musluklarının havuzları boşaltma süreleri b ve d dir. Y havuzunun

C

B

X

hacmi x havuzunun hacminin 2 katıdır.

I. A ve B muslukları özdeş ise x havuzu dolmaz.

II. c > d ise Y havuzu dolmaz

III. b > a ise x havuzu taşar.

Yargılarından hangisi ya da hangileri daima

Y

B musluğu

V 5V 4

V 3V 5

A) Yalnız I

B) Yalnız II

E) I, II ve III

A ve B muslukları özdeş ise X havuzu dolmaz. I. doğrudur.

A ve B muslukları açık olursa Y havuzu dolabilir. II. yanlıştır.

b > a ise x havuzu taşar. III. doğrudur.

10

10V 5V 4 = 8 saat 4

x

C musluğu

c

doğrudur?

D) I ve III

D

12V = 10 saatte 6V 5

6

6V

x 4 3V

= 10 saat

5

1 1 1 + m .t = 1 10 8 10

t= 8

C) Yalnız III


103


2. BÖLÜM HIZ PROBLEMLERİ

Bir hareketlinin aldığı yol x km, hızı v km/saat ve hareket süresi t saat arasındaki bağıntı

x = v . t dir.

Bir araç saatte 30 km hızla A kentinden B kentine doğru harekete başlıyor ve 4 saat sonra AB yolunun 3 ünü alıyor. 4 Buna göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık kaç km dir? A) 200

B) 180

C) 160

D) 150

E) 140

4 saatte alınan yol x = 30 . 4 = 120 3 $ AB 4

= 120

|AB| = 160

Bir trafik lambasında kırmızı ışık 45 saniye daha sonra sarı ışık 15 saniye ve ardından yeşil ışık 75 saniye süresince yanıyor ve bu ışıklar verilen sırayla devamlı olarak yanıp sönüyor. Bu trafik lambasına uzaklığı 4 km olan bir A noktasından hareketle başlayan bir araç saatte 30 km hızla trafik lambasına doğru hareket ediyor. Aracın harekete başladığı anda lambada yeşil ışık yanmaya başlıyor. Buna göre, bu araç bu lambayı A noktasından hareketinden kaç saniye sonra geçer? A) 615

B) 600

C) 540

D) 480

E) 420

4 = 30 t 4 (saat) t = 30

t = 8 dakika

480 saniyede trafik lambasına ulaşır.

Trafik lambasına ulaştığında kırmızı ışık söneceğinden 480 saniye sonra lambayı geçer.

Özgür işe gitmek için saat 07:30 da yola çıkıyor. İşe 20 km/saat hızla giderse 2 saat geç, 40 km/saat hızla giderse işe 1 saat erken varıyor. Buna göre, Özgür normalde işe saat kaçta varmalıdır? A) 09:00

B) 10:00

C) 11:00

20 . (t + 2) = 40 . (t – 1) t + 2 = 2t – 2 t=4 11:30'da varmalı.

104


D) 11:30

E) 12:30


2. BÖLÜM

40

30

A

C

B

İki araç A ve B noktalarından şekildeki hızlarıyla birbirlerine doğru aynı anda hareket ederek C noktasında karşılaşıyor. Buna göre, A) 3 4

AC oranı kaçtır? BC B) 3 C) 4 D) 7 7 3 3

|AC| = 40 . t

AC

|BC| = 30 . t

BC

=

E) 3

4 3

30 km/saat

50 km/saat 100

A

B

C

İki araç B ve C noktalarında şekildeki hızlarıyla aynı anda aynı yönde hareket ediyor. Öndeki araç A noktasına varıp hemen geri dönerek B noktasına doğru hareket ediyor ve araçlar B noktasında karşılaşıyor. |BC| = 100 km olduğuna göre, |AB| kaç km dir? A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

|AB| = x dersek 2x = 30 . t

100 = 50 . t

2x = 60

t = 2 olur.

x = 30

A

D

İki koşucu şekildeki D noktasından aynı anda koşmaya başlıyor. Koşuculardan biri DC yönünde 30 m/dk, diğeri DA yönünde 20 m/dk hızıyla ABCD karesi etrafında koşuyor ve iki koşucu ilk kez B den 20 metre uzakta karşılaşıyor.

B

A) 300

C

Buna göre, ABCD karesinin çevresi kaç metredir?

B) 250

C) 200

D) 180

E) 150

|AD| = x olsun 2x + 20 = 30 . t

Taraf tarafa çıkarırsak

2x – 20 = 20 . t

10t = 40

t'yi yerine yazarsak

x = 50

t = 4

4x = 200 olur.


105


2. BÖLÜM v1 A

v2 B

X

C

iki harektli aynı anda şekildeki hızlarla hareket ediyor ve t saat sonra v1 hızlı v2 hızlı araca yetişiyor ise, x = (v1 – v2) t dir. 100 km/saat

60 km/saat

A

C

B

İki araç A ve B noktalarından şekildeki hızlar ve yönle hareket edecektir. B noktasındaki araç 2 saat hareket ettikten sonra A noktasındaki araç harekete başlıyor ve B noktasındaki aracı 5 saat sonra yakalıyor. Buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç km dir? A) 60

B) 70

C) 80

D) 90

E) 100

B noktasındaki araç 2 saat hareket ederse; 100 km/saat

60 km/saat

120 A

C

B

o halde x + 120 = (100 – 60) . 5

x = 80

A

v2 v1

Şekildeki dairesel pistin çevresi x km, aynı yönde koşan iki atletin hızları v1 ve v2 olmak üzere hızlı olan yavaş olanı t saat sonra yakalar ise denklem x = (v1 – v2) . t olur.

Çevresi 240 metre olan dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları 60 m/dk ve 40 m/dk dır. Buna göre, bu iki hareketli durmadan koşuya devam ederse 3 saat sonra kaç defa yanyana gelmiş olurlar? A) 13

106

B) 14

C) 15


D) 16

E) 17

240 = (60 – 40) . t 240 = 20 . t t = 12 (dakikada bir karşılarlar) Saatte 60:12 = 5 defa karşılarlar, 3 saatte 15 defa karşılarlar.


2. BÖLÜM v1

v2 x km

A

B

v1 ve v2 hızlarında iki araç birbirine doğru hareket ederek t saat sonra karşılaşıyor ise, x = (v1 + v2) t bağıntısı oluşur.

x

A

B

C

A ve B noktasındaki iki hareketli birbirlerine doğru hareket ederse 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Aynı yönde C ye doğru hareket ederlerse 3 saat sonra A noktasındaki araç B noktasındaki aracı yakalıyor. Buna göre, A noktasındaki aracın hızının x'e bağlı değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) x 12

B) x 6

C) x D) x 4 3

x = (VA + VB) . 2

3/ 2VA + 2VB = x

x = (VA – VB) . 3

2/ 3VA – 3VB = x + ____________________________

E) 5x 12

12VA = 5x 5x VA = 12

İlk karşılaşmada 160 = (50 + 30) . t

30

2. karşılaşmada C noktasında olsun.

50 160

A

t=2

B

Aralarındaki uzaklık 160 km olan A ve B noktalarından aynı anda 30 km/saat ve 50 km/saat hızlarla birbirine doğru hareket eden iki araç A ve B noktaları arasında sürekli

120 + x = 50 . t

x = 30 . t

t=6

hareket etmektedir. 3. karşılaşmada 160 – x = 50 . t

Buna göre, bu iki araç kaç saat sonra 3. kez karşılaşır? A) 12

B) 10

C) 9

D) 8

E) 6

x = 30 .t t=2

2 + 6 + 2 = 10


107


2. BÖLÜM A v2

Çevresi x km olan dairesel bir pistte A noktasından

v1

aynı anda zıt yönde v1 ve v2 hızlarıyla koşan koşucular t saat sonra karşılaşır ise, x = (v1 + v2)t dir.

A 60°

O merkezli dairesel bir pistin A ve B noktalarında sırasıyla

B

O

Çemberin çevresi 480 cm ise 480 |AB| = = 80 olur. 6 80 = (12 + 4) . t1 t1 = 5

12 km/saat ve 4 km/saat hızlarla birbirine doğru hareket eden iki

480 = 16 . t2

hareketli çevresi 480 km olan pistte 2. kez kaç saat sonra karşıla-

t2 = 30

30 + 5 = 35 saat

şırlar? A) 40

B) 38

C) 36

D) 35

E) 30

ORTALAMA HIZ Bir hareketlinin hareketi boyunca aldığı toplam yolun toplam zamana bölümüne ortalama hız denir. Ortalama hız =

Toplam yol Toplam zaman

Bir koşucu A noktasından B noktasına 40 m/dk hızla gidip, 20 m/dk hızla geri dönüyor. Bu koşucunun ortalama hızı kaç m/dk dır? A) 80 3

B) 30

C) 100 D) 110 3 3

x = 40 . t1 x t1 = 40

Vort =

x = 20 . t2 x t2 = 20

Vort =

E) 40

Toplam yol

Toplam zaman

2x x x + 40 20

Vort =

80 3

Toplam yol = 6x olsun. Bir hareketli gideceği yolun yarısını 30 km/saat hızla, yolun üçte birini 40 km/saat hızla ve geriye kalan yolu 20 km/saat hızla gidiyor. Buna göre, hareketlinin saatteki ortalama hızı kaç km dir? A) 30

108

B) 40

C) 60


D) 80

E) 120

3x = 30.t1 x , t1 = 10 Vort =

2x = 40.t 2 x , t2 = 20

6x x x x + + 10 20 20

x = 20.t3 t3 =

x 20

Vort = 30 km/s


2. BÖLÜM

A kentinden B kentine giden bir aracın her saatin sonunda B kentine olan uzaklığı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Saat

1

2

3

4

5

B kentine uzaklık

400

320

230

110

0

5 saat sonunda B kentine ulaşmıştır. |AB| = 96 . 5 = 480

Bu aracın B kentine varıncaya kadar geçen sürede ortalama hızı saatte 96 km olduğu-

1. saat alınan yol = 480 – 400 = 80

na göre, birinci saatteki ortalama hızı saatte kaç km dir? A) 65

B) 70

C) 76

D) 78

Saatte 100 km hızla giden 300 metre uzunluğundaki bir tren 1700 metre uzunluğunda-

B) 1,2

C) 2

80 = V . 1

V = 80 km/s.

1700m = 1,7 km 300m = 0,3km

ki bir tüneli kaç dakikada geçer? A) 1

E) 80

D) 2,4

E) 3

(1,7 + 0,3) = 100 . t

t= Sabit hızlarla ilerleyen A ve B araçları 240 metrelik bir parkurda düzenlenen yarışa aynı

t=

2 100

1 saat = 1, 2 dakika 50

anda başlıyor. A aracı 90 metre ilerlediğinde B aracı A aracının 2 saniye önce bulunduğu noktada oluyor. A aracı yarışı 16 saniyede bitirdiğine göre, B aracı yarışı kaç saniyede bitirir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 15

E) 24

240 = VA . 16 VA = 15 90 = 15 . t

t=6

2 saniye önce 15 . 4 = 60 metredeydi. (A'dan hareket eden araç)

60 = VB . 6

VB = 10 240 = 10 . t t = 24 saniyede B yarışı bitirir.

İki araç çember biçiminde bir pist üzerinde aynı anda sabit hızlarla harekete başlıyor. Araçlar aynı yönde hareket ederse hızlı olan araç 1 saat sonra diğer araca yetişiyor. Zıt yönde hareket ederse de araçlar 20 dakika sonra karşılaşıyorlar.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

(VA + VB) .

VA – VB = x

VA + VB = 3x

VA + VB = 3x VA – VB = x + ____________________ VA = 2x

Buna göre, hızlı olan aracın hızı diğerlerinin kaç katıdır? E) 6

1 =x 3

(VA – VB) . 1 = x

VB = x

4 V , V 'nin 2 katı A B


109


2. BÖLÜM


Yüzücünün hızı Vy Bir yüzücü akıntıya karşı yüzerek 30 dakikada gidebildiği 600 metre mesafeden 10 dakikada geri dönebilmektedir.

B) 30

C) 40

Akıntı hızı VA

(Vy - VA) .30 = 600 (Vy + VA) .10 = 600

Vy – VA = 20

Buna göre, yüzücünün hızı kaç m/dk dır? A) 20

4

D) 50

E) 60

Vy + VA = 60 Vy = 40,

2.

Yaya yolu

A

Bir sahil şeridinde 24 metrelik yaya yolu ile deniz

24

Kumlu bölge

18

14

Çakıllı bölge

D

Deniz

arasında birbirine paralel 18 metrelik kumlu bölge ve 14 metrelik çakıllı bölge vardır. Yürüme hızı yaya yolunda 6m, kumlu bölgede 2m ve çakıllı bölgede ise 0,4 m dir.

A noktasından D noktasına bir doğru boyunca

B) 42

C) 45

D) 50

E) 55

|DE| = 17,5

|AE| = 22,5

|AE| yolunu 22,5 = 2 . t t = 11,75

|DE| yolunu 17,5 = 0,4 . t t = 43,25

t1 + t2 = 55

3.

Yandaki parkurda bir ikiz kenar dik üçgen ve bu üçgenin hi-

ıç

ng

a aşl

B

C

potenüsünü çap kabul eden yarım çember verilmiştir. Başlangıç noktasından aynı anda koşmaya başlayan A, B ve C

A

koşucuları koştuğu yollar şekilde harfler ile belirtilmiştir.

B

A, B ve C nin hızları sırasıyla 8 km/saat 4 km/saat,

Bitiş

6 km/saat olduğuna göre, bitiş noktasına varışı sırası 1., 2., 3. olarak aşağıdakilerden hangisidir?

A) A, B, C

B) A, C, B

4.

B

|AD| = 40m

yürüyerek gitmek kaç saniye sürer? A) 36

A

C) C, B, A

D) C, A, B

E) B, A, C

Dik üçgenin kenarları x, x, x 2 olsun

2x = 8t 1 x , t1 = 4

x 2 = 4.t 2 x 2 , t2 = 4

2π.

t1 < t2 < t3

x 2 2 = 6.t3 2 t3 =

π.x 2 12

Bir tarla bir kenar uzunluğu 200 metre olan düzgün altıgensel

bölgelere bölünmüştür. Altıgenlerin tüm kenarları üzerinede B'den A'ya gelene kadar 800 metre tarlada, 400 metre yürüyüş yolunda gider. yürüyüş yolları yapılmıştır. 6000 Tarladaki hız = 6km = = 100m /dk. Yanda bu durum modellenmiştir. 60 Bir çiftçinin yürüme hızı tarlada saatte 6 km kenarları üzerin- Yoldaki hız = 12km = 12000 = 200m /dk. 60 deki yollarda ise saatte 12 km dir.

C

Bu çiftçi A noktasından B noktasına bir doğru boyunca kaç dakikada gider? A) 6

B) 8

C) 10

D) 2+2 3

E) 2+4 3

800 = 100 . t1 t1 = 8 400 = 200 . t2 t2 = 2 8 + 2 = 10

110

VA = 20



2. BÖLÜM YÜZDE PROBLEMLERİ

Bir sayının % a'sını almak o sayıyı a ile çarpmak demektir. 100

Hangi sayının % 10'u ile % 20 sinin toplamı 300 dür? A) 1000

B) 900

C) 800

D) 600

E) 400

Sayı = x olsun. 10x 20x + = 300 100 100 x = 1000

A ve B pozitif tam sayılardır. A sayısının % 12'si, B sayısının % 30 una eşit olduğuna göre, A + B toplamı kaç olabilir? A) 23

B) 30

C) 36

D) 42

E) 51

12.A 30.B = 100 100 12A = 30.B_ b b A = 5k ` A + B = 7.k bb B = 2k a

Bir sayının % 60'ının % 15'i aynı sayının yüzde kaçıdır? A) 20

B) 16

C) 15

Sayı = 100 olsun

Sayının %60 = 60 ve %15'i

D) 12

E) 9

60.15 =9 100

O halde sayının %9'udur.

Bir manav elindeki malın önce % 80'ini sonrada kalan malın % 10'unu satmıştır.

Elinde 100 birim mal olsun.

Buna göre, başlangıçtaki malın yüzde kaçını satamamıştır?

ilk satılan = 80

sonra =

A) 12

B) 18

C) 54

D) 72

E) 82

20 $ 10 = 2 birim 100

kalan 100 – 82 = 18


111


2. BÖLÜM

x sayısı, y sayısının % 45'i, y sayısı z sayısının % 40'ı dır. Buna göre, x sayısı z sayısının yüzde kaçıdır? A) 12

B) 16

C) 18

z = 100 alırsak y = 40 ve x =

40 .45 100

D) 20

E) 24

x = 18

x; z'nin %18'i

Özgür'ün bilyelerinin sayısı, Ozan'ın bileyelerinin sayısının % 60'ı dır. Özgür'ün bilyelerinin sayısı 24 den fazla olduğuna göre, Ozan'ın bilyelerinin sayısı en az kaçtır? A) 38

B) 39

C) 40

Ozan'ın bilyeleri = 100x

Özgür'ün bilyeleri = 60x

D) 41

E) 45

60x > 24 olmalı. 9 alırsak Özgür'ün 27 bilyesi olur. 20 9 Ozan'ın 100 . = 45 bilyesi olur. 20 60 .

Bir fabrikada A ve B makinalarının ürettiği malların sırasıyla % 2'si ve % 3'ü bozuktur. Bu makinaların ürettiği toplam 6000 malın 160'ı bozuk olduğuna göre, bu bozuk malların kaçı A makinasında üretilmiştir? A) 40

B) 48

Üretilen Bozuk

A

C) 52

D) 60

B

100x

100y

2x

3y

100x + 100y = 6000

2x + 3y = 160

x + y = 60 –2/ x + y = 60 + ____________________________ 2x + 3y = 160 y = 40 x = 20 A makinesinde 20 . 100 = 2000 mal üretilmiştir. Bu malların 2000 .

112

2 = 40 tanesi bozuktur. 100


E) 64


2. BÖLÜM

Aşağıdaki tabloda beş farklı ilde gösterime giren bir sinema filmini izleyen seyircilerin illere göre dağılımı ve yüzdesi verilmiştir. Düzce

Erzincan

İzmir

Seyirci sayısı Yüzdesi

Ankara

Ordu

1250

900

12

Toplam

18

100

İzmir'de bu filmi izleyen seyirci sayısı Düzce'de izleyenlerin 4 katıdır. Buna göre, Düzce'de bu filmi izleyen seyirci sayısı kaçtır? A) 600 %18 %100

B) 450 900 x

C) 400

D) 300

E) 200

4 filmi izleyen tamamı 5000 kişidir.

Erzincan'da izleyenler:

5000 .

Düzce + İzmir = 2250 x + 4x = 2250

12 = 600 kişidir. 100

2250 : 5 = 450

Bir sınıfın %20 si kız öğrencidir. Bu sınıfta 10 kız öğrenci daha katılırsa sınıfta kız öğrenci oranı %30 oluyor. Buna göre, sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır? A) 56

B) 50

Sınıf = 100x

C) 48

D) 45

kız = 20x

30 20x + 10 = 100x + 10 100

erkek = 80x

x =

7 10

Erkek sayısı 80.

E) 40

7 = 56 10

Arttırma – Zam – Kâr – Enflasyon – KDV

x sayısını % y arttırıldığında x.

100 + y olur. 100 %20 zamla:

20 ¨500 lık bir ürüne önce %20 zam daha sonra %30 indirim yapılırsa yeni fiyat kaç ¨ 500 . 100 = 100 olur? A) 350

B) 400

C) 420

D) 450

E) 480

500 + 100 = 600 ¨ olur.

%30 indirimle: 600.

30 = 180 100

600 - 180 = 420


113


2. BÖLÜM

Bir ülkede KDV oranı % 8 dir. Buna göre, KDV li satış fiyatı ¨540 olan bir ürün KDV den önceki fiyatı kaç ¨ dır? A) 300

B) 400

C) 480

D) 500

E) 600

İlk fiyat = 100x 108x = 540 x = 5 100 . 5 = 500

Bir fabrikada çalışan işçilere maaş zammı için iki seçenek sunulmaktadır. I. Seçenek ¨210 zam II. Seçenek %30 zam Ayşe isimli fabrika işçisi I. seçeneği tercih ettiğine göre, Ayşe'nin maaşı tam sayı olarak en çok kaçtır? A) 499

B) 500

D) 599

D) 600

E) 699

Ayşe'nin maaşı = 100x olsun 100x + 210 > 130x 30x < 210 x<7 100x < 700 en çok 699 olur.

Bir mağaza sahibi ürünlerine %20 zam yapıyor. Daha sonra bu zammın az olduğunu düşünerek satış fiyatı üzerinden %30 luk bir zam daha yapıyor. Buna göre, mağaza sahibinin toplamda yaptığı zam oranı % kaçtır? A) 48

B) 50

C) 56

D) 58

E) 60

İlk satış = 100¨ olsun. Zamlı satış: 100 .

20 = 20, 100

İkinci zamdan sonra: 120 .

30 = 36 100

Toplam zam: 156 – 100 = 56

114

100 + 20 = 120¨ olur.

yani %56


120 + 36 = 156¨ olur.


2. BÖLÜM

Bir manav 4 tanesini ¨3 den aldığı limonların 5 tanesini ¨4 den satmaktadır. Bu manavın ¨40 kâr elde etmesi için kaç tane limon satmalıdır? A) 1200 1 tanesini 1 tanesini

e

B) 1000

C) 900

D) 800

E) 400

3 ¨'den alır. 4

4 ¨'den satar. 5

4 3 - o .x = 40 5 5

x = 800 tane limon satmalı

Yıllık enflasyon oranı %10 olan bir ülkede memura yıl sonunda %32 zam yapıldığında memurun alım gücü yüzde kaç artmış olur? A) 10

B) 15

C) 18

D) 20

E) 25

Maaş 100¨ olsun.

Ürünün tanesi 10¨ olsun

Alım gücü 10 tane olur.

Yıl sonunda maaş 132, ürünün tanesi 11

Azalma – İndirim – İskonto – Zarar

132 : 11 = 12

alım gücü 2 tane artar.

x sayısı % y azaltıldığında x.

100 - y olur. 100

10

2

100

x

%20 artar.

Bir ürüne peş peşe iki defa % 20 lik indirim uygulandığında fiyatı ¨1024 oluyor. Buna göre, bu ürünün indirimsiz fiyatı kaç ¨ dir? A) 1000

B) 1200

C) 1500

D) 1600

E) 2000

Satış fiyatı = 100x indirimli satış fiyatı = 80x ikinci indirimli satış fiyatı = 80x –

64x = 1024

x = 16

80 x.20 100

= 64x

satış fiyatı = 16 . 100 = 1600


115


2. BÖLÜM

Özgür = x

Özgür'ün maaşına % 20 çocuk yardımı eklenince Sercan'ın maaşından da %10 ilaç kesintisi yapılınca bu kişilerin maaşları eşit oluyor. Bu kişilerin maaşları arasındaki fark başlangıçta ¨200 olduğuna göre Özgür'ün yardımdan sonraki maaşı kaç ¨ dir? A) 720

B) 800

C) 900

D) 1200

E) 2000

Sercan = 200 + x x+

(200 + x) .10 20x = 200 + x 100 100

120x 1800 + 9x = 100 10 Çocuk yardımıyla 600 +

Maliyet fiyatı üzerinden %30 zararla satılan bir mal ¨100 daha fazla fiyatla satılsaydı maliyet fiyatı üzerinden %20 kâr etmiş olacaktı.

B) 150

C) 200

600.20 = 720 ¨ 100

Maliyet = 100x olsun 70x + 100 = 120x

Buna göre, malın maliyet fiyatı kaç ¨ dir? A) 100

x = 600

D) 250

x=2

E) 300

Maliyet = 200 ¨

Bir yatırımcı elindeki parasının % 40 ını bir işe yatırıp % 40 kâr ediyor. Geriye kalanınnı ise başka bir işe yatırıp % 30 zarar elde ediyor.

100¨ parası olsun.

Buna göre, bu yatırımcının tüm zararı yüzde kaçtır? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

40¨'den %40 kâr elde edilirse kâr = 16¨

E) 10

60¨'den %30 zarar elde edilirse zarar = 18¨

Bir lokanta sahibi yemek fiyatlarını %20 arttırınca müşteri sayısı %20 azalmaktadır. Buna göre, lokanta sahibinin eline geçen para yüzde kaç azalmıştır? A) 2

B) 3

Yemek fiyatı 10¨

Müşteri sayısı 10 olsun

C) 4

D) 5

ilk durumda eline geçen para 100 ¨ olur. Yemek fiyatları %20 artınca 12¨ Müşteri sayısı %20 azalınca 8 müşteri 12 . 8 = 96¨

ele geçen para 4t azalır.

%4 azalır.

116


E) 6

Toplam zarar = 2¨


2. BÖLÜM

Bir dikdörtgenin uzun kenarı %20 azaltılıp kısa kenarı % 40 arttırılırsa alanı yüzde kaç artar? A) 6

B) 8

D

10

C) 10

C

E) 16

14 Alan = 100

10 A

D) 12

Alan = 112

8

B

Alan %12 artar

Bir çocuk annesinin marketten almasını istediği bardakların 3 ini taşıma sırasında kırıyor. 5 Buna göre, bir bardağın maliyeti yüzde kaç artar? A) 150

B) 100

C) 90

D) 80

E) 60

Tanesi 5¨'den 20 bardak için toplam maliyet 100¨ Bardaklar kırılınca kalan bardak 8 tane olur. Bardak maliyeti 12,5¨

5

7,5

100

x

%150 artar.

100kg ağırlığında alınırsa maliyet 6 . 100 = 600¨ %30 fire verince satış 9 . 70 = 630 ¨ para

Yaş sabun kurutulunca ağırlığının %30 unu fire veriyor. Yaş sabunun kilosunu ¨6 den alan

kazanılır.

bir satıcı kuru sabunun kilosunu ¨9 den satıyor.

kâr = 30¨

Buna göre, satıcının 1 kg yaş sabundan elde ettiği kâr yüzde kaçtır?

600

30

100

x

%5

A) 18

B) 15

C) 12

D) 10

E) 5

Bir satıcı ¨ x den aldığı ceketleri % 5 kârla ¨ y den aldığı kravatları % 6 zararla satıyor. Bu satıcı bir ceket ve bir kravat satışından sonra kâr elde ettiğine göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 2x > 3y

B) 3x > 4y

D) 5x > 6y

E) 9x > 11y

C) 4x > 5y

x+

5x 100

+

5x 6y > 100 100

y-

6y >x + y 100

5x > 6y


117


2. BÖLÜM


Aşağıdaki tabloda bir sezonda üç dersanedeki öğrenci sayıları ile sezonda bu öğren-

Öğrenci sayısı

Yüzde

Kayıt sildirenlerin sayısı

500

%44

220

100y

%40

40y

cilerin yüzde kaçının kayıt sildirdiği gösterilmiştir. Öğrenci sayısı

Kayıt sildirenlerin yüzdesi

500

%44

A dersanesi B dersanesi

a

(900 + 100) .40 = 220 + 40y + a 100

%40

C dersanesi

400

400

Sezonda bu üç dersaneden kayıt sildiren öğrenci sayısı üç dersanedeki toplam öğren-

360 + 40y = 220 + 40y + a

ci sayısının %40 ıdır.

a = 140

Buna göre sezonda C dersanesinden kaç öğrenci kayıt sildirmiştir? A) 100

B) 120

C) 140

D) 150

E) 160

Etek = 20¨

%20 kârla

24¨

Gömlek = 10¨

%10 zararla

9¨

2.

Bir satıcı bir eteği %20 kârla, bir gömleği %10 zararla satmıştır.

Eteğin fiyatı gömleğin fiyatının 2 katı olduğuna göre bu satıcının bir etek ve bir Toplam kâr = 3¨ gömleğin satışındaki kâr oranı yüzde kaçtır? 30 3 A) 5

3.

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

100

x

%10 kâr

Aşağıdaki tabloda bir çiftlikteki 300 adet besi hayvanının cinslerine göre dağılımı ve bu hayvanlardan kg olarak elde edilen et üretimi yüzde olarak verilmiştir. Cinsi Besi hayvanı sayısı (%) Et üretimi (%)

A

B

C

D

E

16

25

40

9

10

25

10

10

15

40

Bu çiftlikleri besi hayvanlarından toplam 12000 kg et üretimi yapılmıştır.

Buna göre, bir E deki bir besi hayvanından ortalama kaç kg et elde edilmiştir? A) 100

B) 120

C) 150

D) 160

E) 180

300 hayvanın %10'u = 30 tanedir.

12000kg etin %40'ı = 4800kg

4800 : 30 = 160kg et (1 hayvandan elde edilir.)

4.

Bir satıcı bir ürünün %40 ını % 30 kârla satıyor.

Buna göre, geriye kalanını yüzde kaç zararla satarsa ne kâr nede zarar elde eder? A) 10

118

B) 15

C) 20


D) 25

E) 30

Ürünün fiyatını 100¨ olarak düşürelim 40.

30 = 12 kâr 100

a = 12 100 a = %20 zararla satılmalı. 60.


2. BÖLÜM KARIŞIM – FAİZ PROBLEMLERİ 1. Karışım Problemleri

10 kg tuz ile 40 kg su karıştırılarak homojen bir karışım elde ediliyor. Buna göre, bu karışımın su oranı yüzde kaçtır? A) 90

B) 80

C) 70

50kg karışımda

D) 60

E) 50

40kg su vardır.

100

x

x = %80

Tuz oranı %40 olan 70 kg tuzlu – su karışımının 1 'i buharlaştırılıyor. 5 Buna göre, geriye kalan kısmın tuz miktarı kaç kg dir? A) 20

B) 24

C) 28

D) 32

E) 36

40 = 28 kg tuz vardır. 100 Buharlaştırma sonucunda tuz miktarı değişmez. Başlangıçta: 70 .

Ağırlıkça %30'u tuz olan 20 kg tuzlu suya kaç kg su eklenirse, yeni karşımın ağırlıkça tuz oranı %20 olur? A) 5

%30 20

B) 8

+

C) 10

0 x

=

30 . 20 + 0 . x = 20 . (20 + x)

D) 15

E) 20

%20 20+x x = 10


119


2. BÖLÜM

Şekerli suyun ağırlığı 100 kg olsun. Ağırlıkça % 60'ı şeker olan bir miktar şekerli suya şeker miktarının % 50'si kadar şeker eklendiğinde karşımın Su oranı kaç olur? şeker B) 4 7

A) 4 9

C) 7 D) 9 4 4

E) 3

karışımı karıştırıldığında yeni karışımın tuz oranı x.a + y.b olur. x+ y

Şeker oranı % 30 olan 20 litrelik şekerli su karışımı ile şeker oranı % 40 olan 30 litre şekerli su karışımı karıştırılıyor. Buna göre, oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? A) 30

B) 32

%30 20

+

C) 36

%40 30

=

D) 40

x 50

E) 45

30.20 + 40.30 = 50.x 1800 = 50 .x x = 36

Ağırlıkça % 50 si tuz olan 40 kg tuzlu suyun 1 ü ile ağırlıkça % 30 u tuz olan 60 kg tuzlu 4 suyun 1 ü karıştırılıyor. 3 Buna göre, oluşan yeni karışımın ağırlıkça tuz oranı yüzde kaçtır? A) 110 3 40 .

C) 120 D) 140 3 3

B) 40

1 1 = 10kg alınacak, 60 . = 20 kg alınacak 4 3

%50 10

+

%30 20

=

500 + 600 = 30x 110 x= 3

120


x 30

E) 50

+

%100 30

Yeni karışımın yüzdesi:

x litrelik % a sı tuz olan tuz – su karışımı ile y litrelik % b si tuz olan tuzlu – su

%

%60 100

100 -

900 400 = 13 13

400 13 = 4 olur. 900 9 13

9000 130

=

=

900 13

x 130


2. BÖLÜM

Ağırlıkça % 30'u şeker olan 30 kg lık şekerli su ile % 20'si şeker olan 10 kg lık şekerli su karıştırılarak bir karışım elde ediliyor. Oluşan karışıma 5 kg saf su ve 5 kg saf şeker ilave edilirse yeni karışımı şeker yüzdesi kaç olur? A) 30

%30 30

B) 32

+

C) 34

%20 10

+

D) 36

0 5

+

E) 38

100 5

=

x 50

30 . 30 + 20 . 10 + 0 . 5 + 500 = 50 . x x = 32

Ağırlıkça % 30'u şeker olan x gram şekerli su ile ağırlıkça % 10'u şeker olan y gram tuzlu su karıştırılıyor. x > y olduğuna göre, karışımın şeker yüzdesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 23

x = y olsaydı karışımın yüzdesi %20 olurdu. x > y olduğundan %23

2. Faiz Problemleri

(A : Ana para), (F : Faiz), (n : Yıllık Faiz Yüzdesi), (t : Zaman)

olmak üzere,

F = A.n.t " t yıl ise 100

F = A.n.t " t ay ise 1200

F = A.n.t " t gün ise 36000

2000 .10.5

a) f =

Yıllık % 10 faizle bankaya yatırılan ¨2000 a)

5 yılda kaç ¨ basit faiz getirir?

b)

3 ayda kaç ¨ basit faiz getirir?

c)

15 günde kaç ¨ basit faiz getirir?

b)

100

f=

2000 .10.3 1 200

f = 1000 ¨

, ,

f = 50 ¨

4

c)

f=

2000 .10.15 36000

,

f=

300 36

=

25 ¨ 3


121


2. BÖLÜM

Yıllık % 40 faizle bankaya yatırılan bir miktar para kendisinin % 30 kadar basit faiz geliri getirmesi için bankada kaç ay kalmalıdır? A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

E) 16

Yatırılan para = 100¨ olsun. 100 .40.t 30 = t= 9 1200

Aylık %5 faizle bankaya yatırılan ¨ 2000 para 2,5 yılda kaç ¨ basit faiz geliri getirir? A) 1000

B) 1500

C) 2000

D) 2500

E) 3000

Aylık %5 ise yıllık %60 olur. f=

2000 .60.2, 5 100

¨ x'nin yıllık %y den 3 ayda getirdiği basit faiz geliri, ¨ y'nin yıllık % z den 15 ayda getirdiği basit faiz gelirine eşittir. Buna göre, x sayısı z'nin kaç katıdır? A) 1 5

B) 1 3

x.y.3 y.z.15 = 1200 1200

C) 2

D) 3

E) 5

3x = 15z x = 5z

, Bir bankanın kredi kartı işlemlerine uyguladığı aylık faiz şöyledir. Borcun faizsiz ödenen kısmı %20 dir. Geriye kalan borca uygulanan aylık faiz %30 dur. Buna göre, kredi kartına ¨ 1200 borcu olan bir kişi bir ayda ödeyeceği faiz kaç ¨ dir? A) 200

B) 240

C) 252

D) 280

Faizli ödenmesi gereken kısım %80'lik kısımdır. 1200.

80 = 960¨'lik kısma faiz ödenmelidir. 100

960.

30 = 288¨ bir ayda ödenmesi gereken faiz tutarı. 100

122


E) 288


2. BÖLÜM

Yıllık %20 fazla yatırılan kısma x dersek ¨ 1000 nin bir kısmı yıllık % 20 faizle kalan kısmı da yıllık % 30 faizle bir yıllığına basit faize bankaya yatırılıyor. Yıl sonunda alınan basit faiz gelirleri eşit olduğuna göre % 20 den bankaya yatırılan para kaç ¨ dir? A) 200

B) 300

C) 400

D) 500

E) 600

Yıllık %30 fazla yatırılan kısım 1000–x olur. x.20 .1 (1000 - x) .30 .1 = 100 100 2x = 3000 – 3x x = 600

Aşağıda bir bankaya yatırılan paranın zamana bağlı değişim grafiği verilmiştir. Bankadaki para (¨) 600 540

10 ayda 60¨ faiz getirirse 1 ayda 6¨ faiz

getirir. O halde ilk yatırılan para: 10 20

Zaman (ay)

540 – 106 = 480¨ olur.

Buna göre, bankanın uyguladığı yıllık basit faiz oranı yüzde kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

20 ay boyunca 120¨ faiz alınmış olur. 120 =

480.20.n dersek 1200

n = 15 olarak buluruz.

¨ 200 nın yıllık % 20 bileşik faiz oranı ile 2 yılda getirdiği faiz kaç ¨ dır? A) 82

B) 84

f=

f = 40¨

D) 90

E) 92

200.20.1 100

1. yıl

2. yıl f =

C) 88

240.20.1 100

f = 48

40 + 48 = 88¨ toplam faiz


123


2. BÖLÜM


1.

16 gram 18 ayar altın ayarını 22 yükseltmek için kaç gram saf altın eklenmelidir?

18 16

(Saf altın 24 ayardır.) A) 26

2.

B) 28

C) 30

D) 32

E) 34

24 x

+

=

22 16+x

18. 16 + 24 . x = 22 . (16 + x)

x = 32

Yukarıdaki grafikte x ve y şeker – tuz karışımlarının içerlerinde bulunan madde miktarı verilmiştir.

Şeker miktarı x 20 y

10 5

10

x

Tuz miktarı

25

Buna göre, eşit miktarda x ve y karışımları karıştırıldığında oluşan yeni karışım şeker oranı yüzde kaçtır? A) 50

3.

B) 60

C) 65

D) 70

100 x

%80

%50

80 + 50 = %65 2

Bir yıl sonunda ¨46 faiz geliri elde ettiğine göre yatırılan toplam para kaç ¨ dir?

A) 300

A.20.1 3A.24.1 + = 46 100 100

92A = 4600

A = 50

Toplam para: 4 . 50 = 200¨

B) 250

C) 200

D) 100

E) 50

Yıllık % x basit faizle bankaya yatırılan ¨ 1200, 20 gün sonra bankadan ¨ 1220 olarak

Buna göre, x kaçtır? A) 10

B) 20

C) 30

1200.x.20 36000

20 =

x = 30

124

100 x

Toplam para = 4 . A dersek

çekiliyor.

10

4.

20

eşit miktarda alınırsa,

E) 75

Bir miktar paranın 1 'ü yıllık %20 den kalanı aylık % 2 den bir bankaya basit faize ve4 riliyor.

y 20


D) 40

E) 50


125

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM FONKSİYONLAR

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanına eşleyen A dan B ye tanımlı bağıntıya fonksiyon denir. f:

A

→

B

Tanım

Değer

kümesi

kümesi

f(A)

Görüntü kümesi

A = {1, 2, 3} ve B ={1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere A dan B ye tanımlanan fonksiyon

f : {(1, 5), (2, 4), (3, 3)}

olarak tanımlanıyor. Buna göre, bu fonksiyonun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz.

Tanım kümesi: A = {1, 2, 3} Değer kümesi: B = {1, 2, 3, 4, 5} Görüntü kümesi: f(A) = {3, 4, 5}

f : {1, 2, 3} → B

f(x) = 3x + 2

fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz.

f(1) = 3 . 1 + 2 = 5

Tanım kümesi = {1, 2, 3}

f(2) = 3 . 2 + 2 = 8

Değer kümesi = B

f(3) = 3 . 3 + 2 =11

Görüntü kümesi = {5, 8, 11}

Fonksiyon olma koşulları

1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmayacak. 2. Tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olacak

126


Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4}

olmak üzere A dan B ye tanımlı aşağıdaki bağıntılardan kaç tanesi fonksiyondur?

f : {(a, 1), (b, 2), (c, 4)}

g : {(a, 3), (b, 4), (a, 2), (c, 4)}

h : {(a, 1), (b,3)}

t : {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

f:

Tanım kümesindeki her eleman bir ve yalnız bir kez eşlenmiş f fonksiyonudur.

g:

Tanım kümesindeki a elemanı iki kere eşlendiğine göre g fonksiyon değildir.

h:

Tanım kümesindeki c elemanı eşlenmediğinden h fonksiyon değildir.

t:

Tanım kümesindeki her eleman eşlendiğinden t fonksiyondur.

f

I.

g

II. a

1

1

b

2

2

c

3

d

4

1 2

3 4

3

III.

5

h 1 2

1

3

2

4

3

5 Yukarıda verilen ifadelerden hangileri fonksiyondur? A) f

f:

B) g

C) h

D) f ve g

E) f ve h

Tanım kümesindeki her eleman bir ve yalnız bir kez eşlenmiş f fonksiyondur.

g: Tanım kümesindeki 2 elemanı iki kez eşlendiğinden fonksiyon değildir. h:

Tanım kümesindeki her eleman bir ve yalnız bir kez eşlendiğinden h fonksiyondur.


127

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f : Z → Z

f(x) = x 2

g : N → N

g(x) = x - 1

h : R → R

h(x) = x + 1 3

bağıntılarından hangileri fonksiyondur? A) f

B) g

C) h

D) f ve g

E) f ve h

3 g Z olduğundan f fonksiyon değildir. 2

f:

f(3) =

g:

g(0) = –1 g N olduğundan g fonksiyon değildir.

h:

x yerine yazacağımız her değere karşılık bir gerçek sayı geleceğinden h fonksiyondur. A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı,

6s (B)@ s (A) dır.

A = {x| x2 < 20, x!N}

B = {1, 2, 3} A = {0, 1, 2, 3, 4}

olmak üzere A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı kaçtır? A) 8

B) 27

C) 32

D) 81

E) 243

B = {1, 2, 3} fonksiyon sayısı S(B)S(A) = 35

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2}

olmak üzere f(1) = 1 ve f(2) = 2 koşulunu sağlayan A dan B ye kaç fonksiyon yazılabilir? A) 4

B) 8

f(1) = 1

f(2) = 2

C) 12 1 f(3) 3 4 2

2 . 2 = 4 farklı fonksiyon yazılabilir.

128


D) 16 1 f(4) 3 42

E) 32

= 243

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

Paydayı 0 yapan değer atılmalıdır.

f(x) = 3x - 1 2x + 6

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A)

R+

2x + 6 = 0

B) R – & 3 0 2

C) R – {3}

D) R – & 1 0 3

x = –3

O halde tanım kümesi R – {–3} E) R–{–3} 4 – |x – 1| ≥ 0 |x – 1| ≤ 4

f(x) =

4- x- 1 +

3

x

–4 ≤ x – 1 ≤ 4

fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümesini bulunuz?

–3 ≤ x ≤ 5 Tanım kümesi [–3, 5] Görüntü kümesi x = 1 için fonksiyon maksimum değerini alır.

f(x) = x2 – x + 3

f(1) = 3

en küçük değerini –3 için alır. f(–3) =

fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz?

3

-3

Görüntü kümesi = [ 3 - 3, 3 ]

Fonksiyonu tanımsız yapan herhangi bir değer olmadığından en geniş tanım kümesi R'dir.

f(x) = |x – 1| + |2x – 1|

fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümesini bulunuz? Fonksiyonu tanımsız yapan herhangi bir değer olmadığından tanım kümesi R'dir. Fonksiyonu minimum yapan değer mutlak değerin içini O'layan değerdir. f(1) = 1 1 1 1 olduğundan minimum değer 'dir. Fonksiyonun maksimum değeri o= 2 2 2 olmadığından görüntü kümesi [1, ∞) olur. fe

f(x) = x3 – x + 10

olduğuna göre, f(1) kaçtır? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

f(1) = 13 – 1 + 10 f(1) = 10


129

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(x) = 2x + 1 x- 1

olduğuna göre, f(a) = 3 koşulunu sağlayan a değeri kaçtır? A) 2

B) 3

f(a) =

C) 4

D) 5

E) 6

C) 68

D) 74

E) 82

D) 12

E) 13

D) 10

E) 11

2a + 1 =3 a- 1

2a + 1 = 3a – 3

a = 4

f(3x -1) = x4 + 1


B) 56

x = 3 için

f(8) = 34 + 1

f(8) = 82

f(x4 + x – 3) = 16 – x4 – x


B) 10

C) 11

x4 + x = 7 dersek

f(4) = 16 – (7)

f(4) = 9

f(x) = )3x - 1 , x < 2 ise x 2 - 1 , x $ 2 ise

olduğuna göre, f(1) + f(3) toplamı kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

f(1) = 3 . 1 – 1

f(3) = 32 – 1

f(1) = 2

f(3) = 8

2 + 8 = 10

130


Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(–2) = |–2 – 1| + |–2|

f(x) = |x – 1| + |x|

f(–2) = 3 + 2 = 5

olduğuna göre, f(–2) + f(3) toplamı kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

f(–2) + f(3) = 5 + 5

f(3) = |3 – 1| + |3|

= 10

f(3) = 5

f(x) = 3x + 10

olduğuna göre, f(2x) – f(2x+4) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –12

B) 12

C) 6x–12

D) 6x+12

E) 12x–24

f(2x) = 3.(2x) + 10

f(2x) = 6x + 10

f(2x + 4) = 3 . (2x + 4) + 10

f(2x + 4) = 6x + 22 – ____________________________ –12

f(2x – 3) = 4x2 + 4x – 1

olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 2x + 3

B) x2 – 8x

D) x2 – 8x – 1

C) x2 + 8x + 14

E) x2 – 2x + 4

x+ 3 x+ 3 2 x+ 3 - 3 o = 4. e o + 4. e o- 1 2 2 2

x+ 3 x yerine yazarsak; 2

f e 2.

4. (x + 3) f (x) = + 2x + 6 - 1 4

2

f(x) = x2 + 8x + 14

x yerine

f(2x – 1) = 32x – 1

olduğuna göre, f(x) in f(2x) cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)

f (2x)

B)

3

f (2x)

C) f(2x)

D) f2(2x)

E) f3(2x)

f e 2.

x+ 1 yazarsak, 2

2. x+ 1 o= 3 2

x+ 1 -1 2

f(x) = 3x f(2x) = 32x f(x) =

f (2x)


131

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(x + 2) = f(x + 3) + x

f(2) = 1

B) –38

f(2) = f(3) + 0

x = 1 için

f(3) = f(4) + 1

x = 2 için

f(4) = f(5) + 2

x = 7 için

olduğuna göre, f(10) kaçtır? A) –40

x = 0 için

C) –36

D) –35

E) –27

+ f(9) = f(10) + 7 ____________________________

f(2) = f(10) + 1 + 2 + … + 7

1 = f(10) + 28 f(10) = –27

R gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu

Her x![–10, 10] için f(x) = |x|

Her x!R için f(x) = f(x + 20)

f(117) = f(97)

özelliğini sağladığına göre, f(117) kaçtır? A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 9

f(97) = f(77)

f(37) = f(17)

f(17) = f(–3)

O halde f(117) = f(97) = f(77) = … = f(17) = f(–3) f(–3) = 3

Fonksiyon Çeşitleri 1. Birim Fonksiyon : f : A → A bir fonksiyon olmak üzere her x!R için f(x) = x ise f fonksiyonu birim fonksiyondur.

f(x) fonksiyonu birim fonksiyondur. Buna göre,

f(x) + f(1) = f(10)

koşulunu sağlayan x değeri kaçtır? A) 6

B) 7

C) 8

f(x) = x f(1) = 1 f(10) = 10 x + 1 = 10 x=9

132


D) 9

E) 10

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(4x + 10) = (a – 3)x + b – 1

olmak üzere, f(x) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a . b kaçtır? A) 90

B) 88

C) 84

D) 80

E) 77

f(4x + 10) = 4x + 10 olmalı a – 3 = 4

a=7

b – 1 = 10

b = 11

a . b = 77

2. Sabit Fonksiyon : A dan B ye tanımlı f fonksiyonunda m!B olsun her x!R için f(x) = m ise f fonksiyonu sabit fonksiyondur.

f(x) = (2a – b)x2 + (a + b – 12)x + a . b

fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre f(2) kaçtır? A) 24

B) 32

C) 36

D) 42

E) 48

2a – b = 0

– a + b – 12 = 0 ____________________________ 3a = 12

a = 4

f(x) = 32

b = 8

f(2) = 32 olur.

f(x) = 3x - 12 ax - 4

fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

3 - 12 olmalıdır. Bu durumda a = 1 = a -4

3. Doğrusal Fonksiyon a ve b reel sayılar olmak üzere

f(x) = ax + b

fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir.


133

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(x) = ax + b f(x) doğrusal fonksiyonu için

f(1) = 10 ve f(3) = 14

B) 16

3a + b = 14

f(3) = 3a + b = 14

a + b = 10 – ___________________

a = 2


f(1) = a + b = 10

C) 17

D) 18

E) 20

f(x) = 2x + 8 f(4) = 16

Fonksiyon Eşitliği f : A → B ve g : A → B olmak üzere her x!A için f(x) = g(x) oluyorsa f ile g eşit fonksiyonlardır.

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi f(x) = x2 + x fonksiyonuna eşittir? 3

D) f(x) = x2 – x + 1

3

2

2

B) f(x) = x + x C) f(x) = 2 + 4 + 6 + ... + 2x x

A) f(x) = x2 – x

3 E) f(x) = x - 1 x- 1

2

x +x (x + x) = x x x

FONKSİYON GRAFİKLERİ

Aşağıda verilen grafiklerin hangisi fonksiyondur? A)

B)

y

C)

y

y

x

x

x

x=3

D)

E)

y

x

y

x

y eksenine paralel olacak şekilde doğrular çizildiğinde, bu doğrular sadece D seçeneğindeki grafiği tek noktada kestiğinden, D seçeneğindeki grafik fonksiyon grafiğidir.

134


b=8

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,

y y=f(x)

5

oranı kaçtır?

3 2 -3 -2

f (- 3) + f (- 2) f (0) + f (2)

0

x

2

A) – 1 8

B) 1 4

C) 3 D) 1 8 2

E) 5 8

f (- 3) = 0 _b 0+ 2 b f (- 2) = 2 b= 3 + 5 f (- 3) + f (- 2) 0+ 2 1 dur. = = ` o halde 3 + 15 4 f ( 0 ) f ( 2 ) + 1 f (0) = 3 b= b 4 f (2) = 5 b a

Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.,

y 4

Buna göre, 1

3

-2

x

ifadesinin sonucu kaçtır?

y=f(x)

A) 7

f(–2) + f(3)

B) 6

C) 5

D) 4

E) 2

f(–2) = 4 f(3) = –2 4 + (–2) = 2

Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y y=f(x)

Buna göre,

4 3

2

-4

-2

0

x

3

f (f(x)) = 4

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

f(3) = 4 olduğundan f(x) = 3 olmalı

A) –4

B) –3

C) –2

D) 0

E) 3

f(0) = 3 olduğundan x = 0 olur.


135

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y

Buna göre,

3 1 -3

-2

0

2

x

3

f(x) = 2

denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

y=f(x)

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Grafik y = 2 doğrusunu 2 noktada kestiğinden 2 farklı x değeri vardır.

Grafik doğrusal fonksiyon grafiğidir. f(4) = 0 ve f(0) = 3 tür.

y

f(x) = ax + b olduğundan,

Yanda grafiği verilen,

f(4) = 4a +b = 0

y = f(x)

3

f(0) = b = 3

fonksiyonunda f(5) kaçtır?

A) - 4 3

C) - 3 D) - 1 4 2

B) –1

Yanda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonunun grafikleri

6

Buna göre,

verilmiştir.

-6

A) 12

4

x

f(–4) + f(4)

ifadesinin sonucu kaçtır? B) 8

C) 7

g(x) = ax + b'dir. g(–6) = 0 ve g(0) = 6'dır. g(–6) = –6a +b = 0 g(O) = b = 6 olduğunda a = 1 dir. g(x) = x + 6 g(–4) = 2 ise f(–4) = 2 g(4) = 10 ise f(4) = 10 f(–4) + f(4) = 12 olur.

136

E) - 1 4

y

-4 y = g(x) y = f(x)

3 olarak bulunur. 4 3 f(x) = - x + 3 olur. 4 15 f(5) = +3 4 3 f(5) = – olur. 4

a=–

x

4


D) 6

E) 5

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

y

Yandaki verilen y = f(x) fonksiyonun en geniş tanım ve görüntü kümesini bulunuz.

4 2 -2

x

2 3 4

-1

En geniş tanım kümesi (- 3, 2) j 63, 3h Görüntü kümesi ^- 3, 4@

PARÇALI FONKSİYON GRAFİĞİ

f (x) = ) x + 3 , x < 1 ise 4x , x $ 1 ise

fonksiyonun grafiğini çiziniz. x < 1 için f(x) = x + 3 doğrusu

y

4 3

x ≥ için f(x) = 4x doğrusu x

1

Z 2 ]] x , f(x) = [ x , ] 2 -x , \

x $ 2 ise - 2 < x < 2 ise x # - 2 ise

x ≥ 2 için

–2 < x < 2 için y = x doğrusu

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)

B)

y

C)

y

4 2

2

x

-2

-4

y

-2

x

2

-4

D)

x ≤ –2 için y = –x2 parabolü 4

4

-2

y = x2 parabolü

x

-4

E)

y

y

4 4

2 -2 2 2 4

x

x

-2 -4


137

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

Z 2 ]] x - 4, x # - 1 ise f(x) = [ x + 2 - 1 < x <1 ise ] x $ 1 ise \4

olduğuna göre, fonksiyonun x eksenini ve y eksenini kestiği noktaları bulunuz. y eksenini kestiği nokta için y = 0 dersek; x2 – 4 = 0 x = " 2

x ≤ –1 olduğundan x = –1'de x eksenini keser.

x + 2 = 0

–1 < x < 1 olduğundan

x = –2'de kesmez f(0) = 2 olduğundan y eksenini 2'de keser.

f(x) = ) 2x - 1 2 x -1

x < 2 ve g(x) = 8

x$2

fonksiyonları veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktalarını bulunuz. 2x – 1 = 8 9 x < 2 olmadığından kesim noktası değildir. x= 2 x2 – 1 = 8 x2 = 9 x = +3 x = –3 x = 3, x ≥ 2 olduğundan kesim noktasının apsisidir. Kesim noktası (3, 8) noktasıdır.

Mutlak Değer Fonksiyon Grafiği

f(x) = 3x – |x - 1|

fonksiyonunu parçalı fonksiyona çeviriniz.

138


x ≥ 1 için

f(x) = 3x – x + 1

f(x) = 2x + 1

x < 1 için

f(x) = 3x + x – 1

f(x) = 4x – 1

f (x) = *

2 x + 1,

x$1

4 x - 1,

x <1

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f(x) = |x – 1| + |x – 2|

fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x

1

y

2

x–1

–x+1

x–1

x–1

x–2

–x+2

–x+2

x–2

f(x)

–2x+3

1

2x–3

1 1

2

x

f : R – {1} → R olmak üzere,

x > 1 için f(x) = 1

x- 1 f (x) = x- 1

x < 1 için f(x) = –1

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

y

C)

y

1

2 x

0

x

0

x

0

-2

-1

D)

E)

y

y

1 0

1

x

-1

x

0 -1

f(x) = |x| + |x – 1| ve g(x) = 5

fonksiyonlarının kesişim noktasını bulunuz. |x| + |x – 1| = 5 x ≥ 1

için

x + x – 1 = 5

0 < x < 1 için

x = 3 x – x+ 1 = 5

x < 0 için

1 = 5 ortak nokta yoktur. –x – x + 1 = 5

x = –2

Kesim noktası x = –2 için y = 5 olduğundan (–2, 5) ve x = 3 için y = 5 olduğundan (3, 5) olur.


139

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

1.

Grafik Çizimi İle İlgili Özel Durumlar

y = |f(x)|

2

y d a

O

–3

f(x)

2.

x

c

b

2

2 –2

d a

b

c

x

y=f(│x│)

d

y=│f(x)│ -c

-b

b

3.

y = f(–x)

x

c

2 –2

y

y d -c

y=f(-x) -a

-b

x

x

180° a

-d

180° y

3

4.

b c -f(x)=y

y = –f(x) –3

2

y

–2

d+m d

2

y

y

x f(x)+m=y

a-k

y = f(|x|)

b-k c-k

x

5. 2

y=f(x+k)

–5 y = f(x + 2)

6. 2 y 2

-3

0

2

x

y=|f(x)|, y=f(|x|), y=f(–x), y=–f(x),

y=f(x+2), y=f(x–2) ve y = f(x) + 2

fonksiyonlarını çiziniz.

2

–1

Yanda verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,

4

y = f(x – 2)

7. 4 2 –3

2 y = f(x) + 2

140


Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

y

Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için,

2

denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

-2 -3

|f(x) – 2| = 1

-1

x

2 -1

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

f(x) – 2 = 1 veya f(x) – 2) = –1 f(x) = 3 veya f(x) 1 olmalıdır. Grafik ile y = 3 doğrusu 2 noktada kesişir. O halde f(x) = 3 durumunu sağlayan 2 farklı x değeri vardır. Grafik ile y = 1 doğrusu 4 noktada kesişir. O halde f(x) = 1 durumunu sağlayan 4 farklı x değeri vardır. Toplamda 6 farklı x değeri vardır.

BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYONLAR 1. Birebir fonksiyon Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleride farklı ise bu fonksiyona birebirdir denir. Grafikte Birebirlik Testi x eksenine çizilen paraleller eğriyi en çok 1 noktada kesiyor ise fonksiyon birebirdir.

Reel sayılardan reel sayılara tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebirdir? A)

B)

y

C)

y

x

x

x

D)

y

E)

y

x

y

x

x eksenine çizilen paralel doğrular grafiği sadece bir noktada kesmelidir. Bu koşula uyan tek seçenek D'dir.


141

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

f:A→B

y = f(x) fonksiyonu için, 6x1, x 2 ! A için f(x1) = f(x2)

denklemini sadece x1 = x2 durumu sağlıyorsa fonksiyon bire birdir denir.

f : R → R,

f(x) = 3x – 1

g : R → R,

g(x) =x2 + 3

h : R → R,

m(x) = x3 + 1

m : R → R,

m(x) = |x| – 3

fonksiyonlarının kaç tanesi bire bir fonksiyondur? A) 0

B) 1

y

C) 2

D) 3

y

f

E) 4

y

y

3 x

1

x

x

-3

3

x

-3

f birebirdir

g birebir değil

h birebirdir

m birebir değil

Grafiklere x eksenine paralel olacak şekilde doğrular çizildiğinde f ve h'de grafiği bir noktada kestiğinden birebirdir.

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

olmak üzere A dan B ye tanımlanan fonksiyonların kaç tanesi bire birdir? A) 280

B) 300

C) 320

D) 350

E) 360

Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla işlenmelidir. =6 . 5 . 4 . 3 = 360

2. Örten Fonksiyon Bir fonksiyonun değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa yani görüntü kümesi değer kümesine eşit ise fonksiyon örtendir denir.

142


Fonksiyonlar

3. BÖLÜM

Aşağıda verilen fonksiyonların hangisi bire bir ve örtendir? A) f : N → N,

f(x) = x + 1

B) f : Z → Z,

f(x) = x2 + 1

C) f : Z → R,

f(x) = x

D) f : R → R,

f(x) = 2x – 1

E) f : R → R,

f(x) = |x|

f(x) = 2x – 1

y

x

hem birebir hemde örtendir.

Aşağıda verilen fonksiyon grafiklerinden hangisi R den R ye örten fonksiyondur? A)

B)

y

C)

y

y

4 x

0

-2

D)

0

x

0

E)

y

x

y

4 0

x

1

-1 0

x

E seçeneğinde grafik y değerlerinin hepsiyle eşlenmiştir. Bu grafik örtendir.


143

Fonksiyonlar

3. BÖLÜM


1.

f : A → N olmak üzere,

fonksiyonu doğal sayılarda tanımlı olduğuna göre, en geniş tanım kümesi aşağı-

f(x) = 2x – 3

dakilerden hangisidir?

A) N

B) N – {0}

D) N – {0, 1, 2}

C) N – {0, 1}

E) N – {0, 1, 2, 3}

f (0) = - 3

f (1) = - 1

4 olduğundan fonksiyon N – {0, 1}'de tanımlıdır.

2.

olmak üzere, f : A → B fonksiyonu örten bir fonksiyon olduğuna göre, B kümesi-

A = {1, 2, 3, 4, 5}

nin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 4

B) 7

C) 9

D) 11

E) 13

Değer kümesinde boşta eleman kalmazsa fonksiyon örten olur. Değer kü-

mesi 5 elemandan fazla olursa boşta eleman kalacaktır. B kümesi 4 elemanlı olursa fonksiyon örten olabilir.

3.

olduğuna göre, x kaçtır?

f(x) = 3x–1 ve f(2x + 1) = 81 . f(x – 1)

A)1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

32x+1–1 = 81 . 3x–2

32x = 3x+2

x = 2

4.

fonksiyonunun grafiği ve eksenler arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2

f(x) = |x – 2|

y

dir? A) 2

144

B) 3

C) 4


D) 5

E) 6

2

2

x

2.2 =2 2


145

Üçgenler

4. BÖLÜM ÜÇGENLER 1. Üçgende Açı İç Açılar Toplamı: A

Özellik:

a

b

c

B

C A

a

β B

C

D

Dış Açılar Toplamı: A

z

y

C B

x

İkizkenar Üçgen: Tepe açısı

Eşkenar Üçgen: 60°

60°

146


60°

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

ABC ve DEC üçgen, E

% % 2m(ACE) = m (ACB)

40

% m(EDC) = 20°

% m(DEC) = 40°

20 D

B

C

|AB| = |AC|

% Yukarıdaki verilere göre m(BAC) kaç derecedir? % % % Verilenler yazılınca m (ABC) = 2x, m( ACB ) = 2x ve m( ACE ) = x olur. 3x + 60 = 180 x = 40 % m(BAC ) = 100° olur.

A

ABC üçgen, % % m(DAC) = m (ABC) % m(BAC) = 120° % Yukarıdaki verilere göre m(ADC) kaç derecedir?

B

D

C

% % % m(DAC ) = m( ABC ) = x olsun. Bu durumda m(BAD ) = 120 – x olur. % % m (BDA) = 60 ° ve m (ADC) = 120 ° olur.

A

ABC üçgen |AD| = |AC| = |BD| |AB| = |BC|

E

B

D

C

% DEC eşkenar üçgen olduğuna göre, m(ECA) kaç derecedir?

% % m (ADE) = x dersek m `ECAj = x olur.

x % % m (BAD = m (ABD) = 30 + ve 2 % |AB| = |BC| olduğundan m `BACj = 60 + x olur. 60 + x + 60 + x + 30 +

x = 180 dersek 2

5x = 30 ve x = 12° olarak bulunur. 2


147

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

% m (ABC) % (iki iç açıortayın m (ADC) = 90 + 2 oluşturduğu açıdır.)

ABC üçgen % % m(BAE) = m (EAC) 65

B

115 = 90 +

% % m (ACD) = m (DCE)

D

% m (ABC) = 50° olur.

% m (CDE) = 65°

E

C

% Yukarıdaki verilere göre, m( ABC ) kaç derecedir?

Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde |AD| = |BD| olacak şekilde D noktası seçiliyor. Bu ABC üçgeninde, % m (ADC) = 110° ve |AB| = |AC|

olduğuna göre, BAC açısının dış açısı kaç derecedir? A

B

D

C

% % % m (ADC) = 110 ° olduğundan m (BAD) = m (ABD) = 55 ° olur. % % |AB| = |AC| olduğundan m(ABC) = m (ACD) = 55 ° olur. % % m(BAC) = 70 ve m (BAC) 'nin dış açısı 110° olur.

A

ABC üçgen

20

[DC] + [AE] = {F}

D F 50 30

20 B

E

C

% m (EAC) = 20c % m (ACD) = 50c % m (ABC) = 20c % m (DCB) = 30c

% Yukarıdaki verilere göre, m(CDE) kaç derecedir? % m (AEC) = 80 ° olduğundan |AE| = |AC| olur. % m (ADC) = 50 ° olduğundan |AD| = |AC| olur. 3 % m (DAE) = 60 ° ve |AD| = |AB| olduğundan (ADE) 'i eşkenar üçgendir.

% m (CDE) = 10 ° olur.

148


% m (ABC) 2

Üçgenler

4. BÖLÜM

A xy

A

ABC üçgen % % m (BAD) = m (DBC)

D

% % m (DAC) = m (ABD)

B

y x

B

% m (ACB) = 72

D

72

C

2x + 2y + 72 = 180

C

x + y = 54°

% Yukarıdaki verilere göre, m (ADB) kaç derecedir?

% m (ADB) = 180 - 54 = 126

Bir üçgenin açıları 2, 3 ve 7 ile doğru orantılıdır. Buna göre, bu üçgenin dış açıları aşağıdaki sayıların hangisiyle doğru orantılıdır? A) 10,9,2

B) 10,9,5

C) 7,3,2 ^

2k + 3k + 7k = 180

A = 30°

12k = 180

B = 45°

^

^

k = 15

C = 105°

D) 3,7,2

E) 3,4,5

A'nın dış açısı 150° → 10 . k B'nin dış açısı 135° → 9 . k C'nin dış açısı 75° → 5 . k

Bir ABC dik üçgeninde

A

|AD| = |DC| = |BD| dir. D

[DE] çizilirse B

C

A 48 E

48

42 42

A

B

ABC üçgen

48

AD = BC

E

|AE| = |EB| = |DC| B

D

C

% m(BAD) = 48°

% Yukarıdaki verilere göre, m(ECB ) kaç derecedir?

D

C

3

EDC üçgeninde |ED| = |DC| olduğundan; % % m (DEC) = m (DCE) 180 – 138 = 42 ⇒ m (EDB) = 42° 42 : 2 = 21 % m (ECB) = 21 ° olur.


149

Üçgenler

4. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI A

1.

ABC üçgen

|FE| = |EC|

D

% m (DEF) = 130°

130° B

|DE| = |EB|

F

C

E

% Yukarıdaki verilere göre, m(BAC ) kaç derecedir? A) 10

B) 15

C) 25

D) 30

E) 45

180 – 2x + 180 – 2y + 130 = 180

A

2x + 2y = 310 F

x

180-

x

x + y = 155

y

D 130°

2x

B

y -2

0

18

% m (BAC) = 180 - 155 y

C

E

2.

A

= 25°

% % m (DAE) = m (EAC) ve 6AE@ = 6DC@

ABC üçgen

oldu-

3

AE = BC

ğundan ADC ikizkenar üçgendir.

% % m (DAE) = m (EAC)

|BD| = |AD| = |AC| olur.

|AC| = |BD|

% % m (ABD) = 20 ° ve m (ADE) = 40 ° olur.

% m (BAD) = 20c

% m (DAE) = 50 ° olur.

20

B

% Yukarıdaki verilere göre, m(DAE ) kaç derecedir?

D

E

A) 10

3.

C

B) 20

C) 30

A

100

60 40

|AD| = |DE| = |EC|

100

E) 50

ABC üçgen

A

D) 40

D

% m (BDE) = 120 °

120

% m (BAC) = 100 °

D 60

120 60 B

B

E

C

% Yukarıdaki verilere göre, m( ABC ) kaç derecedir? A) 20

B) 30

C) 35

150


D) 40

E) 50

E

C

[AE] çizilirse;

ADE üçgeni eşkenar üçgendir.

% % m (ACE) = 40 ° ve m (ABC) = 40 ° olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM 3. Üçgenlerde Eşlik A

D

B

C

E

O

O

F

ABC , DEF ^

^

^

^

^

^

A = D B = E C = F

|AB| = |DE|

|BC| = |EF|

|AC| = |DF|

A

D

3

4 ^

60° B

C

E

^

Verilen eşliğe göre m(E) = 60° dolayısıyla m(D) = 50°

70°

olur.

F

O O % % ABC , DEF, m (ABC) = 60c, m (EFD) = 70c

|AB| = |DE| olduğundan |DE| = 3cm olur.

|BC| = |EF| olduğundan |BC| = 4cm olamaz.

|AB| = 3 cm, |DF| = 4 cm

D seçeneği yanlıştır.

Yukarıdaki verilere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? % A) m (BAC) = 50°

B) |AC| = 4 cm

% C) m (DEF) = 60°

% E) m (EDF) = 50°

D) |BC| = 4 cm

KENAR – AÇI – KENAR EŞLİĞİ A

B

D

C

E

F

|AB| = |DE|, |BC| = |EF| % % m (ABC) = m (DEF) O

O

ise ABC , DEF


151

Üçgenler

4. BÖLÜM

[AC] +[DB] = {E}

D A

|AE| = |EC|

4

|BE| = 4cm

E 3

|ED| = 4 cm 4

|AB| = 3 cm

C

B

Yukarıdaki verilere göre, |DC| kaç cm dir? % % m ` AEBj = m `DECj 'dir.

% % |AE| = |EC|, |BE| = |ED| ve m ` AEBj = m `DECj olduğundan 3

3

AEB , CED olur. |DC| = |AB| = 4 cm dir.

Açı – Kenar – Açı Eşliği A

B

D

C

E

F

% % m (BAC) = m (EDF) % % m (ABC) = m (DEF) |AB| = |DE| O

O

ise ABC , DEF

A

E

AE ⊥ AB ED ⊥ AD

C

AD ⊥ BC D

B

3

A. K. A. eşliğine göre ABC , EAD

|ED| = 5 cm

|ED| = 5cm ise |AC| = 5cm olur.

|BC| = 12 cm

|BC| = 12cm ise |AD| = 12cm olur.

Yukarıdaki verilere göre, |CD| kaç cm dir?

152

3

|AE| = |AB|


|CD| = 12 – 5 = 7cm

Üçgenler

4. BÖLÜM Kenar – Kenar – Kenar Eşliği A

B

D

C

E

F

|AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |AC| = |DF| O O ise ABC , DEF

ABCD dörtgen

A

|AB| = |BC| B

D

|AD| = |DC| % m (BAD) = 110°

C

% Yukarıdaki verilere göre, m(BCD) kaç derecedir?

% [AC] çizilirse: m (BAD) = 110 °

A

a b B

D

% m (BCD) = 110 °

a b C

4. Açı Kenar Bağıntıları Bir üçgende küçük açı karşısında küçük

kenar, büyük açı karşısında

büyük kenar

bulunur terside doğrudur.

E 100

A

3

AED 'nde en uzun kenar |AD|

74 62 78 D 59

B

C

Yukarıda verilen şeklin en uzun kenarı hangisidir?

3

ACD 'nde |AC| > |AD| 3

ABC 'nde |BC| > |AC| O halde en uzun kenar |BC|


153

Üçgenler

4. BÖLÜM

^

^

|AB| > |AC| ise m (C) > m (B) olur. ^

^

m (C) > 60 ° olduğundan m (C) > 60 en az

A

ABC üçgen

60

% m (ABC) = 60 °

61° dir.

|AB| > |AC| B

C

% Yukarıdaki verilere göre, m(BCA ) tam sayı olarak en az kaç derecedir?

Üçgen Eşitsizliği A

c

b

B

a

A

5

|b – c|

b+c

|a – c|

a+c

|a – b|

< c < a + b

C

ABC üçgen |AB| = 5 cm

13

|AC| = 13 cm x

B

C

|BC| = x

Yukarıdaki verilere göre, x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A

7

ABC üçgen |AB| = 7 cm

10

|AC| = 10 cm B

C

% % m (ABC) < m (BAC)

Yukarıdaki verilere göre, |BC|'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

% % m (ABC) < m (BAC) 'den |BC| > 10'dur. Diğer taraftan 10 – 7 < |BC| < 10 + 7 3 < |BC| < 17 O halde |BC| = {11, 12, 13, 14, 15, 16} 6 farklı değer alır.

154


13 – 5 < x < 13 + 5 8 < x < 18 x = {9, 10, 11, …, 17} 9 farklı tamsayı değeri vardır.

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

|AB| = 4 cm

4

|AD| = 6 cm

6

|BC| = 7 cm D

B 7

5

|CD| = 5 cm Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin çevresi tam sayı olarak en çok kaç cm dir?

C

3

ABD'ne göre

6 – 4 < BD < 6 + 4

2 < BD < 10

3

BCD'ne göre

7 – 5 < |BD| < 7 + 5

2 < |BD| < 12

|BD| = {3, 4, 5, …, 9}, |BD| en çok 9 olabilir. Çevre (ABD) en çok 19 olur.

Üçgen eşitsizliğinde: |AB| + |AC| > 12 |AB| + |AC| en az 13 cm olur. |BC| = 12 cm

A

3

Çevre(ABC) = |AB| + |AC| + 12 olduğundan Çevre(ABC) > 24

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi tam sayı olarak en az kaç cm dir? B

C

12

2

Çevre(ABC) en az 25 cm olur.

ABCD dörtgen

D

A

|DC| = 14 cm

14 C

x

3 B

|BC| = 3 cm |AD| = 2 cm |AB| = x

Yukarıdaki verilere göre, x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

|AB| < 2 + 14 + 3 |AB| < 19 x in alabileceği en büyük değer 18 cm olabilir.


155

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|BD| = |DC| 6 x

14

|AB| = 6 cm |AC| = 14 cm

B

D

C

|AD| = x Yukarıdaki verilere göre, x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? [DE] // [AC] çizilirse |DE| = 7 (orta taban) |AE| = 3 olur. 7– 3 < x < 7 + 3 4 < x < 10 x = {5, 6, 7, 8, 9} 5 farklı tamsayı değeri vardır.

A

B

10

ABC üçgen

|AB| = |AC| = x olsun

|AB| = |AC|

2x > 10

|BC| = 10 cm

x > 5 olmalıdır. x en az 6 olur.

C

ABC üçgeninin kenar uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre, üçgenin çevresi en az kaç cm dir?

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları olan a, b ve c ile yükseklik, açıortay ve kenar ortayları arasında, a hb > hc a nb > nc a vb > vc bağıntısı vardır.

156


3

Çevre(ABC)

= 6 + 6 + 10

= 22 cm olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|AB| = 5 cm 5

6

|AC| = 6 cm |BC| = 4 cm

B

C

4

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) hc < na

B) hc < hb < ha

D) vc < hb ^

^

C) na < hb ^

^

^

E) m(A) < m(B) < m(C)

^

m (B) > m (C) > m (A) olduğundan b > c > a'dır. Yardımcı elemanlar arasında kenar uzunluklarıyla ters ilişki vardır. na > nc dolayısıyla na > hc olur.

Çeşitkenar bir ABC üçgeninde hb = na = vc olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) vc < vb

D) b < c < a

B) na < nb

C) b < a < c

E) hb < va

Verilenlere göre hb > ha > hc elde edilir. Kenarlar arasındaki ilişki b < a < c olmalıdır. D seçeneği yanlıştır.

A α c

B

b

C

a

a < 90 |b – c| < a < a > 90

2

2

b +c

2

2

b + c

157

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|AB| = 6 cm 6

8

|AC| = 8 cm % m (BAC) < 90 °

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC|'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? % m (ABC) = 90 ° olsaydı pisagor teoreminden |BC| = 10 cm olurdu. % m (BAC) < 90 ° olduğundan |BC| < 10 olur. |BC| > 8 – 6, |BC| > 2 olduğundan |BC| = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 7 farklı değerdir.

% m (ADC) > 90 ° olur.

ABC üçgen

A

B

D

% m (ADC) = 90 ° olsaydı pisagor teoreminden

AB ⊥ AD

|AC| = 13 olurdu.

|AD| = 12 cm

% m (ADC) > 90 ° olduğundan |AC| > 13 olur.

|DC| = 5 cm

|AC| < 12 + 5, |AC| < 17 olduğundan |AC| =

C

Yukarıdaki verilere göre, |AC|'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

ABC üçgen

A

BD ve DC açıortay |BD| = 3 cm

D

|DC| = 5 cm B

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC|'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ^

m (A) % % m (BDC) = + 90 olduğundan m (BDC) > 90 °'dir. 2 % m (BDC) = 90 ° olsaydı pisagor teoreminden |BC| = 34 olurdu. % m (BDC) > 90 ° olduğundan |BC| >

34 olur.

|BC| < 5 + 3, |BC| < 8 olduğundan |BC| = {6, 7} |BC|'nin en küçük tamsayı değeri 6'dır.

158


{14, 15, 16} 3 farklı tamsayı değeri alır.

Üçgenler

4. BÖLÜM A

P B

C

A

D, ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta

5

|AB| = 5 cm

4 D

|BC| = 7cm

7

B

P, ABC üçgeni içerisinde bir nokta ise AB + AC + BC < |PA| + |PB| +|PC| < |AB| + |AC| + |BC| 2

C

|AC| = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, D noktasının üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

5 + 4 +7 < DA + DB + DC < 5 + 4 + 7 2 8 < |DA| + |DB| + |DC| < 16

|DA| + |DB| + |DC| = 9, 10, 11, ... 15

7 farklı tamsayı değeri alır.

A

y

x

P a

P, üçgen içerisinde bir nokta ise,

b z

B

C

Z < a + b < x + y

D, ABC üçgeni içerisinde bir nokta

A

|AB| = 6 cm 6

7

|AC| = 7 cm

D B

8

C

|BC| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AD| + |BD| toplamının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 6 < |AD| + |BD| < 15 |AD| + |BD| = {7, 8, 9, ....14} 8 farklı tamsayı değeri alır.


159

Üçgenler

4. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI

A a

1.

B) 5

C) 6

D) 7

a

6 < a olmalıdır.

B 24 – 2a C

Kenarlarını tam sayı ve çevresi 24 cm olan kaç farklı ikizkenar üçgen çizilebilir? A) 4

24 – 2a < 2a

E) 8

O halde (7 – 7 – 10, 9 – 9 – 6, 10 – 10 – 4, 11 – 11 – 2) üçgenleri çizilebilir.

2.

A

|AB| = 10 cm

4 10

|AD| = 4 cm

D E

5

B

12

ABC üçgenine göre 12 – 10 < |AC| < 12 + 10

|DC| = 5 cm

|BC| = 12 cm

2 < |AC| < 22

C

Yukarıdaki verilere göre, |AC| + |BD| toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 10

3.

B) 12

B) 5,5,10

C) 2,5,8

D) 3,9,9

E) 4,4,8

6 B

D

12 9

7 C

% B) ADB

Ortak çözümde 2 < |AC| < 9 olmalıdır.

ABD üçgeninden 10 – 4 < |BD| < 10 + 4

|BD| = 12 cm

6 < |BD| < 14

BCD üçgeninden 12 – 5 < |BD| < 12 + 5

|AD| = 6 cm

1 < |AC| < 9

7 < |BD| < 17

ortam çözümden 7 < |BD| < 14

|BC| = 9 cm

|DC| = 7 cm

24 olamaz

Yukarıda verilen şekilde en büyük açı aşağıdakilerden hangisidir? % A) BDC

ADC üçgenine göre 5 – 4 < |AC| < 5 + 4

|AB| = 10 cm

A 10

E) 24

Üçgen eşitsizliği D seçeneğinde sağlanır.

4.

D) 20

Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi bir üçgenin kenarlarını oluşturabilir? A) 4,5,9

C) 14

% C) DBC

% D) BCD

ABD üçgeninde m (BAD) > m ( ADB) > m ( ABD) BCD üçgeninde m (BCD) > m (BDC ) > m (DBC )

O halde en büyük açı:

m (BCD)

160


% E) ABD

9 < |AC| + |BD| < 23 olmalı

Üçgenler

4. BÖLÜM ÜÇGENDE BENZERLİK a. Açı – Açı – Açı Benzerliği A

D

W) m (X A) = m (D W ) = m (E W) m (B

y

x B

C

E

W) = m (E W) m (C

y F

O

O

ABC + DEF

ABC üçgen

A

% % m(BAC) = m (BED)

D 6

|BD| = 6 cm

5 4

B

x

E

8

C

|BE| = 4 cm |DE| = 5 cm |EC| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir? 3

3

ABC + EBD AC 12 , = 5 6

AC = 10 olur.

ABC üçgen

A

% % m(ABC) = m (DAC) |DC| = 4 cm |BD| = 5 cm B

D

5

4

C

Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir?

3

3

ADC + BAC AC 4 = AC 9 |AC|2 = 36 |AC| = 6cm


161

Üçgenler

4. BÖLÜM

AB ⊥ BD

A

AC ⊥ CE

E

ED ⊥ BD

3 B

6

C

4

|ED| = 3 cm

D

|CD| = 4 cm |BC| = 6 cm Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir?

3

3

ABC + CDE AB 6 = , 4 3

AB = 8 olur.

b. Kenar – Açı – Kenar Benzerliği A

c

D

b

y

x a

B O

c.k

b.k

y

x C

E

a.k

O

ABC + DEF

ABC üçgen

A 4

|EC| = 12 cm

E 8

|ED| = |DC| = 8 cm

12

|BD| = 16 cm B

D

16

8

C

|AE| = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir?

3

3

^

EDC ve BAC'nde C ortaktır. |DC| = 8cm ve |EC| = 12 iken, |AC| = 16cm ve |BC| = 24cm'dir. Bu durumda 3

3

EDC + BAC olur. |AB| = 16

162


F

Üçgenler

4. BÖLÜM c. Kenar – Kenar – Kenar Benzerliği A

c

b

a

B O

D

c.k

C

b.k

E

F

a.k

O

ABC , DEF

A D 4

6

K

2

3

4

6

C 10

E

B

5

F

L

8

M

Yukarıda verilen üçgenlerden hangileri birbirine benzerdir? 3

3

3

3

ABC + DFE olur. ( ABC 'nin kenar uzunlukları DFE 'nin kenar uzunluklarının 2

katıdır.)

d. Temel Orantı Teoremi: DE // BC ise

A

AD

D

DB

E

AD AB

B

=

AE

EC

DE BC

=

AE

AC

C

ABC üçgen

A 4 D

DE // BC

8

|AD| = 4 cm

E

6 B

=

|DB| = 6 cm C

|AE| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, |EC| kaç cm dir?

4 8 = 6 EC

EC = 12cm olur.


163

Üçgenler

4. BÖLÜM

LN // CD

A N K

KL // BC

L

D

3|LN| = |CD| |AB| = 12 cm

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |KB| kaç cm dir? LN = k

A

m

CD = 3k

N

k

K

L

D

2m B

3k C

4

yazarız.

AL 1 olur. |AL| = m = AC 3 |AC| = 3m Aynı şekilde |AK| = n,

|BK| = 2n olur. |BK| = 8'dir. A

3k

ABC üçgen

A

K

2m

E 2m C

|AF| = |FC|

D

E

C

|AB| = 4 |KB|

AL // FE // KD çizilir ve

2|BD| = |EC|

Verilenler yerine yazılırsa |BC| = 8m = 32

|BC| = 32 cm

Yukarıdaki verilere göre, |DE| kaç cm dir?

e) A

B

AB // CD [BC] +[AD] = {E} olmak üzere, AE

E

C

164

K

B m D 3m L

FE // KD

F

B

k

F

ED

D


=

BE EC

=

AB

CD

|DE| = 15m = 20 olur.

m=4

Üçgenler

4. BÖLÜM

6

A

AB // CD

B

[BC] + [AD] = {E} |AB| = 6 cm E

|CD| = 3 cm |AD| = 12 cm

C

3

|BC| = 18 cm

D

Yukarıdaki verilere göre, ECD üçgeninin çevresi kaç cm dir? 6

A

|ED| = x dersek,

B

12–x

BE EC

E

x C

3

12 - x =2 x

x= 4 A

=2

k

D

|BE| + |EC| = 18

F

|BE| = 12 ve |EC| = 6 bulunur.

D

3

Çevre(ECD)

= 4 + 6 +3

= 13cm

DE

D

E F

DE // BC

DE BC

AE

|DF| = 3 cm

12 9

B

ABC üçgen

BC

[EB] + [DC] = {F}

3

AC

|FC| = 9 cm C

12 9

3k

B

A

E

3

AE

|EC| = 12 cm

12

C

=

3 9

=

1 , 3

=

k 3k

=

1 olduğundan |AE| = 4 3

DE = k,

BC = 3k

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir? |AK| = 2k

A

2k

|KB| = 3k

K 2a L

ABC ve KBD üçgen

A K

KL // BD

L

3|AK| = 2|KB|

N

|LN| = |NC| B

C

D

|BD| = 28 cm

Yukarıdaki verilere göre, |KL| kaç cm dir?

B

2k

5k

|KL| = 2a ise |CD| = 2a olur.

N

3k

=

2a 28

C

2aD

a=

28 5

2a =

56 5


165

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

FE // DC F

3

D

DE // BC

E

|FE| = 3 cm

6

|DC| = 6 cm B

C

|FD| = 4 cm


4 4

AF

A

F

k

3

D

=

AD AF

k

6

=

AD

E

FE

DC

AE

=

AC

=

3 6

3 6

|AF| = |FD|, |AE| = |EC|, |AD| = |DB|, |AF| = 4 B

C

|AD| = 8 ise |DB| = 8 |AB| = 16 2a

5a

A Y

U T X

L M N

KU // AD // LT // MS // NL

V

K

S

t Z

L

C

b

3b

AD // XY // Zt [AB] paralel doğrular ile 5 er parçaya [DC] paralel doğrular ile 3 er parçaya ayrılmıştır.

B

|MS| = 3 cm olduğuna göre, |ZT| kaç cm dir?

f) A

B

C

166

D

d1 C

d1 // d2 // d3 d2

F d 3


MS

AD

2 3 = 5 AD

[AC] + [DB] = {V}

D

=

AB

BC

=

DC CF

=

ZT

15 2

AD =

15 2

ZT =

5 olur. 2

Üçgenler

4. BÖLÜM

8

A

D

AD // EF // BC |AD| = 8 cm

11

E

F

|EF| = 11 cm 2|DF| = 3|FC|

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç cm dir?

|DF| = 3k, |FC| = 2k 3k

3 artarsa

2k

?

2 artar

|BC| = 13

[AC] + [BD] = {E}

D A

AB // EF // DC E

6

12

|AB| = 6 cm |DC| = 12 cm

B

F

C

Yukarıdaki verilere göre, |EF| kaç cm dir?

1 1 1 = + EF AB CD 1 1 1 = + EF 6 12 EF = 4

A

Menelaus Teoremi D

E

BD AE CF . . =1 BA EC DF

F B

C


167

Üçgenler

4. BÖLÜM

|EF| = x ABC ve BDE üçgen

A 3

|BE| = 9 cm F

9 B

2

3 8 18 - x . . =1 x 12 2 4

|AE| = 3 cm

E

|BC| = 8 cm

18 – x = 2x

|CD| = 4 cm

C 4 D

8

|FD| = 18 – x

x=6

|ED| = 18 cm

|EF| = 6

Yukarıdaki verilere göre, |EF| kaç cm dir?

A

Seva Teoremi D

F

AD BE FC . . =1 DB EC AF B

E

A

C

B

E

x=6

b 2 2 2 x = c .n + b .m - m . n m+ n

x

168

EC

.

CF

FA

=1

3x = 30 – 2x

Stewart Teoremi

D

BE

|AC| = 15 cm

A

m

=

|BE| = 3|EC|

Yukarıdaki verilere göre, |FC| kaç cm dir?

B

|FA| = 15 – x

k 3m x . . =1 15 -x m 2k

C

c

|BE| = 3m, |EC| = m DB

2|AD| = |DB| F

|CF| = x

AD

ABC üçgen

D

|AD| = k, |DB| = 2k

n

C


Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|AB| = 6 cm 9

6

|BD| = 4 cm |DC| = 2 cm

4

B

2

D

|AC| = 9 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| kaç cm dir? 2

2

|AD|2 =

6 .2 + 9 .4 - 4.2 4+ 2

|AD|2 =

72 + 324 -8 6

|AD|2 = 58 |AD| =

58

A

F

D P

b c

B

E

2

E

C

PE ⊥ BC

F P

6

d

DP ⊥ AB

5

D

B

a2 + c2 + e2 = b2 + d2 + f2

e

ABC üçgen

A

5

Carnot Teoremi

f

a

PF ⊥ AC 3

C

|AD| = 2 cm |DB| = |AF| = 5 cm

22 + 62 + |FC| = 52 + 32 + 52

|BE| = 6 cm

4 + 36 + |FC|2 = 25 + 9 + 25

|EC| = 3 cm

|FC|2 = 19

Yukarıdaki verilere göre, |FC| kaç cm dir?

|FC| =

19


169

Üçgenler

4. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI 1. 3

D

E

6

|BC| = 24

|AB| = 4 cm

AEC + FDC olduğundan,

|BE| = 1 cm

|EC| = 15 cm

9

3 6 = 12 BC

|AE| = 5 cm

5

|AD| = 3 cm

15

|DB| = 9 cm

B


C

A) 8

|DE| = 6 cm

B) 9

2.

C) 10

F 3

D

E K

E) 15

|FK| = 3 cm B

C

|FC| = 5cm

Yukarıdaki verilere göre, |AF| kaç cm dir? A) 8

B) 9

C) 10

A

3

3

FEK + CBK

F 3k 3 K

3k

D

E

5k

B

3.

C

4

6

2 1 E

x = 12

[AF] + [BD] = {C}

A

B

|FE| = 3k, |BC| = 5k ve |DF| = 3k olur. AF 3 = AC 5 x 3 = x+ 8 5

5

4

D

C

F

3

|AC| = 6 cm

B) 2

AC CF

3

= 2

EC

CD 2

=

AE

DF 2

|EC| = 4 cm |CD| = 2 cm

|AE|2 = 16

AE // DF

|AE| = 4

|DF| = 2 bulunur.

C) 3


D) 4

E) 5

AE

=

=2

4 .4 + 6 .1 -4 4+ 1

Yukarıdaki verilere göre, |DF| kaç cm dir? A) 1

170

D) 12

[EB] + [AC] = {K} |DF| = |FE|

5

E) 24

DE // BC

D) 12

ABC üçgen

A

3 5 olduğundan [DE] // [BC] = 9 15

ABC üçgen

A

Üçgenler

4. BÖLÜM ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI

% % m (BAC) = m (CAB) ve [CB] ⊥ [AB]

1. Açıortay

[CD] ⊥ [AD] ise |BC| = |CD| olur.

A

B

D C

A

H ABC üçgen

A

D

4 6

D

E

C

4

DE ⊥ BC

B

|DE| = 4 cm

[DA] ⊥ [AB] çizilirse;

|AD| = 5 cm

|HB| = 6 ve |HD| = 4 olur. |AH| = 3 olduğundan

|BE| = 6 cm

A

6

E

C

|AB| = 9 olur.


AC açıortay

7

AB ⊥ BC

D

|AB| = 13 cm

7 D

Yukarıdaki verilere göre, |DC| kaç cm dir?

|DC| = 10 olur.

6

13

8

|BC| = 8 cm

C

8

[CH] ⊥ [AD] çizilirse

A

|AD| = 7 cm

13

B

4

6

BD açıortay

5

B

5

B

8

C

İç Teğet Çember A

İç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

O

B

C


171

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

O, ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir. OD ⊥ BC

6

O

|BD| = 4cm |DC| = 3 cm

4

B

3

D

C

|AB| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir? A

ABC üçgeninin iç teğet çemberi çizilirse

K

|BK| = 4, |AK| = 2, |AL| = 2 ve |LC| = 3 olur.

O

L

|AC| = 5 olur. B

4

D

3

D, ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.

A

% m (BAC) = 70° % Yukarıdaki verilere göre, m(BDC ) kaç derecedir?

D

B

C

^

m (A) % m (BDC) = 90 + 2 70 % m (BDC) = 90 + 2 % m (BDC) = 125c

İç Açıortay Teoremi A

c

c

b

b

=

m n

x 2

x = c.b - m.n B

m

D

n

C

172


C

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

AD açıortay 4

6

|AB| = 4 cm |AC| = 6 cm

B

D

C

|BC| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, |BD| kaç cm dir? |BD| = x ve |DC| = 8 – x dersek:

4 6 = x 8- x

32 – 4x = 6x x=

16 olur. 5

ABC üçgen

A

AD açıortay 6

|AB| = 6 cm |BD| = 3 cm

B

3

4

D

C

|DC| = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AD| kaç cm dir? 6 3 ve |AC| = 8 olarak bulunur. = AC 4 |AD|2 = 6 . 8 – 3 . 4

|BD| = x ve |DC| = 7 – x dersek

|AD| = 6 olur.

6 x = 8 7- x ABC üçgen

A

6

AD ve EC açıortay

8

|AB| = 6 cm

E

|AC| = 8 cm B

D

C

|BC| = 7 cm

Yukarıdaki verilere göre, |ED| kaç cm dir?

42 – 6x = 8x x=3

|BD| = 3 ve |DC| = 4 |AD|2 = 6 . 8 – 3 . 4 |AD| = 6 |ED| = y ve |AE| = 6 – y dersek 8 6- y = 4 y y = 2

|ED| = 2 olur.


173

Üçgenler

4. BÖLÜM

|AE| = 3k ve |ED| = 2k AB

A

BD

ABC üçgen

B

D

3m 2m = AC 6

2|AE| = 3|ED| 6

|DC| = 6 cm

C


ABC üçgen

A

% % % m(BAD) = m (DAE) = m (EAC) 3 5

10

|DE| = |EC| |AC| = 3 5 cm

5

B

E

D

C

|AB| = 10 cm |BD| = 5 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir? % % m (DAE) = m (EAC)

ve

DE = EC

olduğundan [AE] aynı zamanda yüksekliktir. 3

ADC ikizkenar üçgendir. |EC| = |DE| = x,

10 5 olduğundan |AE| = 2x olur. = AE x

(2x)2 + (x + 5)2 = 100 veya

(2x)2 + x2 = (3 5 )

2

5x2 = 45

x= 3

|AE| = 2x = 6 cm dir.

Dış Teğet Çember A

B

Dış açıortayların kesişim noktası dış teğet çemberin merkezidir.

C

0

174


3 2

olur.

|AB| = 3m ve |BD| = 2m dersek,

AD ve BE açıortay E

=

olduğundan:

ve |AC| = 9 olarak bulunur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

D, ABC üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.

A

% m(BDC) = 80 B

% Yukarıdaki verilere göre, m(BAC ) kaç derecedir?

C

D

^

m (A) % m (BDC) = 90 2 ^

m (A) 2

80 = 90 ^

m (A) = 20 ° olarak buluruz.

Dış Açıortay Teoremi d

A

d+ c

=

b a

a b

AC B

c

d

D

2

= d. (d + c) - b.a

C

AB, ADC üçgenin dış açıortayıdır.

A

AD 2 = 3 AC |DC| = 6 cm B

D

6

C

Yukarıdaki verilere göre, |BD| kaç cm dir? BD BC

=

AD AC

|BD| = x dersek

x 2 = x+ 6 3

x = 12 olarak buluruz.


175

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

AC, ABD üçgeninin dış açıortayı AE, ABD üçgeninin iç açıor-

B 5 E

4 D

AB

AD

tayıdır.

=

5 (içaçıortay özelliğinden) 4 x 4 = x+ 9 5

|BE| = 5 cm

|CD| = x dersek

|ED| = 4 cm

x = 36 olarak buluruz.

C

Yukarıdaki verilere göre |DC| kaç cm dir?

A

6

B

AC, ABD üçgeninin dış açıortayıdır.

3

5

D

C

|AD| = 3 cm

|AC|2 = 5. (5 + 5) – 3 . 6

|AB| = 6 cm

|AC| = 4 2 olur.

|BD| = 5 cm

Yukarıdaki verilere göre |AC| kaç cm dir?

ABC üçgen

A

AD iç açıortay AD ⊥ AC 2|BD| = 3|DE| B

D

E

5

C

|EC| = 5 cm

Yukarıdaki verilere göre |DE| kaç cm dir? % % % Şekilde m (BAD) = m (DAE) = x ve m (EAC) = y dersek. % x + y = 90° ve 2x + 2y = 180° olur. O halde m (CAk) = y olmalıdır. [AC] dış açıortay olur. |BD| = 3k ve |DE| = 2k dersek dış açıortay özelliğinden

AB AE

=

3 olur. 2

5 5 2 olduğundan BE = olur. = 2 5 + BE 3

|DE| da 1 olur.

176

|CD| = x dersek x 3 x = 5 olur. = x+ 5 6


Üçgenler


A

ABC üçgen

36

% % m (BAC) = m (DBC) = 36 °

D

% m (BDC) = 72 °

72

|DC| = 4 cm

4


C

36 B

A) 14

B) 15

C) 16

36

|AD| = x ve |AB| = x + 4 olur.

x

[BD] içaçıortay olduğundan;

D 4

x

72

x

36 B

x+ 4 x = , x2 – 4x – 16 = 0 x 4

72

36

2.

C

A

D = 80 buluruz ve x = 2 + 2 5 |AB| = 6 + 2 5 olur. BD 12 olduğundan |BD| = 2k ve = 18 DC

ABC üçgen

AD açıortay

18

12

|AC| = 18 cm B

D

|DC| = 3k olur.

Üçgen eşitsizliğinden; 18 – 12 < 5k < 18 + 12

|AB| = 12 cm

E) 6 + 2 5

Açıları yerleştirip |BC| = x alırsak |BD| = x,

A

x+4

D) 4 + 2 5

C

|BD| ve |DC| birer tam sayı olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresi en çok kaç cm

6 < 5k < 30

Yani k en çok 5 olabilir.

Çevre(ABC) en çok 55 olur.

dir? A) 45

B) 46

3.

C) 47

D) 50

E) 55

ABC üçgen

A

[AC] dış açıortay

|AB| = 12 cm

12 8

B

5

D

A) 2 6

B) 2 7

C

|AD| = 8 cm

|DC| = x dersek

|BD| = 5 cm

buluruz.

Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir? C) 3 6 D) 4 6

E) 5 7

x 8 = x + 5 12

|AC|2 = 10 . 15 – 8 . 12

|AC| = 3 6

x = 10 olarak


177

Üçgenler

4. BÖLÜM KENARORTAY A

D

AG

F

GE

G

B

E

=

BG GF

=

CG

DG

=2

C

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi

A

|AG| + |BG| + |GC| = 24 cm D

F G

B

E

C

Yukarıdaki verilere göre, |AE| + |BF| + |DC| toplamı kaç cm dir? AG

GE

=

BG

=

GF

CG

DG

= 2 'dir.

|AG| + |BG| + |CG| = 24 ise |GE| + |GF| + |GD| = 12 |AE| + |BF| + |CD| = 36'dır.

A

G, ABC üçgeninin D, BGC üçgeninin ağırlık merkezidir. |GD| = 6 cm

G D B

E

C

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir? |GD| = 2k ise |DE| = k olur. |GE| = 3k ise |AG| = 6k olur. 2k = 6 olduğundan k = 3'tür. |AE| = 9k olduğundan |AE| = 27'dir.

178


Üçgenler

4. BÖLÜM

[DE] orta taban olduğundan |DE| = 12cm A

N L

D F

E

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

ABE üçgeninde |BF| = |FE| ve |AD| = |DB|

|BF| = |FE|

olduğundan N noktası ağırlık merkezidir.

|BC| = 24 cm

|EN| = 2 . |ND|'dir. |DE| = 12cm olduğundan |DN| = 4cm olur.

G

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |DN| kaç cm dir?

A

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi GD // BC

B

|BC| = 36 cm

D

G

C

36

Yukarıdaki verilere göre, |GD| kaç cm dir? Va kenarortayı çizilirse |AG| = 2|GE| olduğundan

A

GD G

B

18

EC

D

36

E

18

C

=

2 olacaktır. 3

GD 2 = 3 18

|GD| = 12cm olur.

A

AN = 3k N

D

NG = k

E

GF = 2k

G F

B

C

|AF| = 3k A

F

B

E

D

|GD| = 2k


|FG| = 2 olduğundan |AF| = 6 ve |GD| = 4 olur.

EF // BC

Bu durumda |AD| = 12cm'dir.

|FG| = 2 cm

2 G

|FG| = k

|BC| = 12 cm C

FE =

CD 2

'dir.

|CD| = 6cm olduğundan |EF| = 3cm olur. |AD| + |EF| = 15cm olur.

Yukarıdaki verilere göre, |AD| + |EF| toplamı kaç cm dir?


179

Üçgenler

4. BÖLÜM Kenarortay Teoremi A

c

2

b va

D a

B

A

6

8

2

2

2Va = c + b -

2

a 2

C

ABC üçgen

2 . |AD|2 = 62 + 82 –

|AB| = 6 cm

2 . |AD|2 = 50

|AC| = 8 cm

|AD| = 5cm

10 2

2

|BD| = |DC| = 5 cm B

5

D

5

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| kaç cm dir?

G ağırlık merkezi olduğundan; G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi

A

|BC| = 8 cm E

F

tay teoreminden)

|BF| = 6 cm B

D

2 . |GD|2 = 42 + 62 –

C

Yukarıdaki verilere göre, |AG| kaç cm dir?

A

Şekilde |AD| = |BD| = |DC|'dir.

B D C

180


BGC üçgeninde 2 . |GD|2 = |BG|2 + |GC|2 –

|EC| = 9 cm

G

|GC| = 6cm ve |BG| = 4cm olur.

|GD| =

10 olur.

|AG| = 2 10 'dur.

2

8 2

BC 2

2

(kenaror-

Üçgenler

4. BÖLÜM

|NF| = |AF| = |FD|'dir. A

F

E

N

G D

B

G, ABC üçgeninin

|AF| = 3k, |FG| = k ve|GD| = 2k'dır.

E, ADN üçgeninin ağırlık merkezidir.

|FG| = 2cm olduğundan |AD| = 12cm olur.

AC ⊥ DN

O halde |NF| = |AF| = |FD| = 6cm olur.

|GF| = 2 cm

E ağırlık merkezidir. |NE| = 4cm ve |EF| = 2cm olur.

C

Yukarıdaki verilere göre, |EN| kaç cm dir?

A

2

2

2

5Va = Vb + Vc

B

C

5 . |AF|2 = |BF|2 + |CD|2 A

D

E G

B

F


5 . |AF|2 = (24)2 + (72)

AB ⊥ AC

|AF| = 5 5 cm olur.

|DC| = 7 cm

|BF| = |FC| = |AF| olduğundan

|BE| = 24 cm

|BF| = |FC| = 5 5 cm olur.

C


|BC| = 10 5 cm olur.

Kenarortaylar Dik Kesişirse A

Va2 = Vb2 + Vc2 D

5|BC|2 = |AB|2 + |AC|2

F G

|BC| = |AG| B

F

C


181

Üçgenler

4. BÖLÜM A

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi BE ⊥ AD G

|BE| = 9 cm

E

B

|AD| = 12 cm

D C

Yukarıdaki verilere göre, |GC| kaç cm dir? Köşegenler dik kesiştiğinden: VC2 = Va2 + Vb2 Vc2 = 122 + 92 Vc = 15cm |GC| =

2 . Vc olduğundan 3

|GC| = 10cm olur.

A

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi AD ⊥ BE

6

G

B 8

|AE| = 6 cm

E

|BD| = 8 cm

D C

Yukarıdaki verilere göre, [AB] kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç cm dir? G ağırlık merkezi olduğundan |CD| = 8cm ve |EC| = 6cm olur. Köşegenler dik kesiştiğinden 5 . |AB|2 = |BC|2 olur.

5 . |AB|2 = 122 + 162

|AB| = 4 5

|AB| = |GC| = 4 5 ve Vc kenarortay 6 5 olur.

Kenarorta Dikme AD ⊥ BC

A

|BD| = |DC| ise |AB| = |AC|

F

|BF| = |FC|

B

182

D

C


Üçgenler

4. BÖLÜM

A

ABC üçgen |AB| = |AC| = 10 cm

10

10

12

B

|BC| = 12 cm

C

Buna göre, [BC] kenarına ait kenar orta dikmesinin uzunluğu kaç cm dir? [AH] ⊥ [BC] çizilirse |BH| = |HC| = 6cm olur. Pisagor teoremininden |AH| = 8cm olur.

ABC üçgen

A

G, ağırlık merkezi |GD| = |GE| = 25 cm 2

E G

|AB| = 48 cm

D

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |GC| kaç cm dir? |GD| = |GE| =

A

olur.

24 K

25

24

25 olduğundan |AG| = |BG| = 25cm 2

Bu durumda ABC üçgen ikizkenar üçgendir ve

E

|BC| = |AC| olur.

G

Kenarortayı aynı zamanda yüksekliktir. B

D

C

A 5

G 13

ABC üçgen

[BD] hem kenarortay hem de açıortay oldu-

G, ağırlık merkezi

ğundan aynı zamanda yüksekliktir. ve ABC

BD açıortay

D

B

|GK| = 7 cm ve |GC| = 14 cm olur.

C

üçgeni ikizkenar üçgendir. |AB| = |BC|'tir.

|AD| = 5 cm

|DC| = 5cm olur ve [BD] ⊥ [AC]'tir.

|BC| = 13 cm

Pisagor teoreminden |BD| = 12cm olarak bulunur.

Yukarıdaki verilere göre, [AC] kenarına ait kenarortay dikmenin uzunluğu kaç cm dir?


183

Üçgenler

4. BÖLÜM Diklik Merkezi A

Dar açılı bir üçgende diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir. D

B

C A

ABC geniş açılı üçgenin diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir.

C B

D

Çevrel Çember A

ABC dar açılı bir üçgen ise çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesindedir. O B C

A

ABC dik üçgen ise çevrel çemberin merkezi hipotenüs üzerinB

dedir.

O C

ABC geniş açılı bir üçgen ise çevrel çemberin merkezi üçgenin dış bölgesindedir.

O A

C

B

184


Üçgenler


ABC dik üçgen

A

G

[AD], [BE] ve [FC] ABC üçgeninin kenarortayları, G kenar ortayların kesim noktası

E

F

AB ⊥ AC

K B

FK // AD

C

D

|BC| = 12 cm

Yukarıdaki verilere göre, |FK| kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

|BC| = 12cm olduğundan |BD| = |DC| = |AD| = 6cm olur.

|AG| = 2 |GD| olduğundan |AG| = 4cm ve |GD| = 2cm olur.

ABE üçgeninde |AF| = |BF| ve [FK]//[AD] olduğundan [FK] orta tabandır.

FK =

2.

AG

ve |FK| = 2cm olur.

2

A

ABC üçgen

(Ağırlık merkezinden)

G ağırlık merkezi NC açıortay

N

D

|AD| = |DC| = 6cm'dir.

|BG| = 4|ND|

G

BC

|AC| = 12 cm

B

|BG| = 4k ve |ND| = k dersek |GN| = k olur.

6

=

5k (açıortay özelliğinden) k

|BC| = 30cm olur.

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç cm dir? A) 36

B) 32

C) 30

D) 28

E) 25

3.

ABC dik üçgen

A

AB ⊥ AC

|BD| = 3 cm

B 3

D

4

E 3 C

ABC üçgeninin kenarortayı aynı uzunluk olur.

|DE| = 4 cm |EC|= 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, A) 54

B) 56

|AD|2

+

|EA|2

C) 58

ADE üçgeninde Va kenarortayı çizilirse

toplamı kaç

cm2

D) 62

dir? E) 82

|AK| =5cm'dir.

ADE üçgeninde kenarortay teoreminden

2 .52 = |AD|2 + |AE|2 –

|AD|2 + |AE|2 = 58 olur.

2

4 2


185

Üçgenler

4. BÖLÜM Dik Üçgen ve Trigonometri

po Hi

dik kenar

Dik Üçgen

te nü s

dik kenar

Pisagor Teoremi: A

b c

a

B

C

Kenarları Tamsayı Olan Dik Üçgenler:

3k

13k

5k

5k

25k 7k

4k

24k

12k

A

D E

9

C

ED ⊥ DC

|AC| = 12cm olur.

|AB| = 9 cm

|EC| = 3 . |AE| olduğundan |AE| = 3cm ve

|DE| = 3 cm


186

15k

|AC|2 = 92 + (3 7 )2

|BC| = 3 7

3 7

17k

AB ⊥ BC

3|AE| = |EC| B

8k


|EC| = 9cm olur. 3

DEC 'nde pisagor teoreminden 92 = 32 + |DC|2 |DC| = 6 2 olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

AB ⊥ BD

B

DC ⊥ CE C

BD ⊥ DC

D

|AB| = 2 km E

|DC| = 5 km |BD| = 14 km |CE| = 10 km

Bir arazi içerisindeki A, B, D, C ve E evlerinin konumları yukarıda verilmiştir. Buna göre, A evinden E evine en az kaç km yol alınarak gidilebilir? A En kısa yol AE yoludur. |AE| = 25km olarak buluruz.

24

K

7

E [BD] çizilirse ve |AB| = 2k, |BC| = 3k yazılırsa; AB ⊥ AD

A

BC ⊥ DC

8

|AD| = 8 cm

B

D

|DC| = 6 cm 6

3|AB| = 2|BC|

2

2

2

2

8 + (2k) = BD

2

6 + (3k) = BD

2

4

2

64 + 4k = 36 + 9k

2

5k2 = 28 k=

28 5

BC = 3.

28 5

olarak buluruz.

C


ABC üçgen

A

|AB| = |AC| =20 cm 20

|DC| = 25 cm

20

|BD| = 7 cm B

7

D

25

C


ABC üçgeninde Va kenarortayı çizilirse aynı zamanda yüksekliktir. |DH| = 9cm ve |HC| = 16cm olduğundan |AH| = 12cm olur. |AD|2 = 122 + 92 olduğundan |AD| = 15cm olur.


187

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

ABC dik üçgen |AB| = x + 4 x+4

|AB| = x + 3 cm

x+3

|BC| = x – 4 cm x-4

B

C

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?

x = 9 alırsak 5 – 12 – 13 özel üçgeni olur.

A

9

D

6

B

ABC dik üçgen [AB] ⊥ [BC] |DC| = 10 cm

10

|DB| = 6 cm |AD| = 9 cm C

Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir? |BC| = 8 ve |AC| = 17 olur. (8 – 15 – 17) özel üçgenidir.

ABD üçgen

A

AC ⊥ BD 41

|AB| = 41 cm |BC| = 40 cm

B

40

C

12

D

|CD| = 12


|AC| = 9cm'dir. (9 – 40 – 41 özel üçgeninden) |AD| = 15cm'dir. (9 – 12 – 15 özel üçgeninden)

188


Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgeninde AC ⊥ BC dir. D∈ [AB] ve |BD| = |DA| olmak üzere, |BE| = 1 cm, |EC| = 9 cm olacak şekilde E ∈[BC] seçiliyor. |AC| = 6 cm olduğuna göre, |DE| kaç cm dir? [DF]//[AC] çizilirse [DF] orta taban olur ve

A

D

B

1

E

|DF| = 3

|DE| = 5cm olur.

6 3 4 F

C

ÖKLİT BAĞINTILARI A 2

h = f.k 2

c h

B

f

D

c = f. (f + k)

a

k

2

a = k. (k + f) C

A

ABC dik üçgen AB ⊥ AC

B

4

D

5

C

|AD|2 = 4 . 5 |AD| = 2 5 |AB|2 = 4 . (4 + 5)

AD ⊥ BC

|AB| = 6

|BD| = 4 cm

|AC|2 = 5 . (5 + 4)

|DC| = 5 cm

|AC| = 3 5

Yukarıda verilen üçgenin bütün kenar uzunluklarını bulunuz?

ABC dik üçgen

A

AD ⊥ DC

9

ED ⊥ AB

20

E

|BE| = 7 cm

7 B

D

C

|AE| =9 cm |AC| = 20 cm


3

ADB 'nde öklid bağıntısından |AD|2 = 9 . 16 olur.

|AD|

ADC üçgeni özel üçgendir. |DC| olur. (12 – 16 – 20 üçgeni)

= =

12cm 16cm


189

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

4

E B

C

1

AD ⊥ BC

ACD üçgeninde Öklid bağıntısından |EC|2 = 4 . 1

AB ⊥ AC

AC ⊥ CD

ABC üçgeninde öklid bağıntısından 42 = |BE| . |EC|

|AE| = 4 cm

|EC| = 2 |BE| = 8cm olur.

|ED| = 1 cm

D

Yukarıdaki verilere göre, |BE| kaç cm dir?

ABC üçgen

A

AB ⊥ AC EF ⊥ FC

F

FD ⊥ BC

6 B

3

D

E

12

C

|DC| = 12 cm |FD| = 6 cm |BE| = 3 cm


FEC üçgeninde öklid bağıntısından 62 = |ED| . 12 ve |ED| = 3 ABC üçgeninde öklid bağıntısından |AC|2 = 12 . (18) |AC| = 6 6 cm olur.

ABC üçgen

A

B

18

D

7

C

AB ⊥ AC

ABD üçgeninin ha dikmesi aynı zamanda kenarortaydır.

|AB| = |AD|

|BH| = |HD| = 9cm olur.

|DC| = 7 cm

|AH|2 = 9 .16 (öklid bağınsından)

|BD| = 18 cm

|AH| = 12cm


190


|AD| = 15cm olur. (9 – 12 – 15 üçgeninden)

Üçgenler

4. BÖLÜM

|BC| = 10cm olur. (6 – 8 – 10 özel üçgeninden) ABC üçgen

A 6

AB ⊥ AC

8

AD ⊥ BC B

D

C

Dik üçgenin alanı = |AD| =

24 cm'dir. 5

AD .10 6.8 = 2 2

|AB| = 6 cm |AC| = 8 cm


ABC üçgen

A

BA ⊥ AC

D

DE ⊥ BC B

E

9

6

C

|AD| = |DC| |EC| = 6 cm |BE| = 9 cm

Yukarıdaki verilere göre, |DE| kaç cm dir? [AH] ⊥ [BC] çizersek

A

|EH| = 6cm ve |BH| = 3 cm olur.

D

3

B

H

|AH|2 = 3 . 12

6

E

6

C

|AH| = 6cm ve [DE] orta taban olduğundan |DE| = 3cm olur.

A

E G

2 D

B

ABC üçgen C

BA ⊥ AC AD ⊥ BE G ağırlık merkezi |EG| = 2 cm


ABC üçgeninde G ağırlık merkezi olduğundan |BG| = 4cm olur.

AEB üçgeninde |AE|2 = 2 . 6, |AE| = 2 3

(öklid bağıntısından)

|AC| = 4 3 cm olur.


191

Üçgenler

4. BÖLÜM

|AC| = 88cm (8 . 11) |BC| = 110cm (10 . 11)

A

ABC üçgen

olduğundan |AB| = 6 . 11

|BD| = | DC| = |AD| = 55 cm

|AC| = 88 cm

B

D

C


DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR A

% ABC dik üçgeninde m (BCA) = a b

sina =

c α B

a

cosa =

C

tana = cota =

A

Karşı dik kenar

=

Hipotenüs Komşu dik kenar Hipotenüs Karşı dik kenar Komşu dik kenar Komşu dik kenar Karşı dik kenar

=

=

=

c b a b c a a c

ABC üçgen

x

|AB| = 4 cm 6

|AC| = 6 cm

4

% m (BAC) = x C

B

Yukarıdaki verilere göre, sinx, cosx, tanx, ve cotx değerlerini bulunuz? sin x =

|BC|2 + 42 = 62 |BC| = 2 5 olur.

192

sin x =

2 5 63

5 , 3

,

tan x =

2 5 , 4

tan x =

5 , 2


cos x = cos x = cot x = cot =

4

6 2 3

4

2 5

2 5 5

|AB| = 66cm'dir.

Üçgenler

4. BÖLÜM

tanx = 2 olduğundan (AD) = 2k ve |DC| = k olur. (2k)2 = 1 . k (öklid bağıntısından) ABC üçgen

A

k=

AB ⊥ AC

|AB|2 = 1 . e1 +

AD ⊥ BC |BD| = 1 cm

x 1

B

C

D

1 olur. 4

|AB| =

% m (BCA) = x

1 o 4

5 olur. 2

tanx = 2 Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir? A

1 H

10

ABC üçgen

A

4

|AC| = |BC| % m (BCA) = x

B

C

BH ⊥ AC çizilirse |BH| = 3, |HC| = 4 ve |BC| = 5 olur.

tanx = 3 4

% Cos(BAC) =

x B

x

5

C

1

10

=

10 'dur. 10

% Yukarıdaki verilere göre, cos(BAC ) kaçtır?

A

ABC üçgen AD ⊥ BC % sin (ABC) = 7 25 % cot (BCA) = 5 7

B

D

C

Yukarıdaki verilere göre,

7 % olduğundan |AD| = 7cm, Sin(ABC) = 25 |BD| = 24cm ve |AB| = 25cm deriz.

A

25

B

24

BC oranı kaçtır? AD

7

5 % cot(BCA) = olduğundan |DC| = 5cm olur. 7 D

5

C

BC

AD

=

29 7

olur.


193

Üçgenler

4. BÖLÜM

0 < x < π olmak üzere, 2 cosx = 3 4 olduğuna göre, sinx + tanx . cotx ifadesinin sonucu kaçtır? A

4

sin x = 7 =

x

3

C

B

=

7 4

tan x =

7 3

cot x =

3

7

7 7 3 . + 4 3 7

7 + 1 olur. 4

30° – 45° – 60° lik Açıların Trigonometrik Oranları A 60

1 2

sin60° = 3 /2

cos30° =

3 /2

tan30° =

1/ 3

tan60° =

cot30° =

3

sin 45° =

2 /2

cos45° =

2 /2

sin30° =

cos60° = 1/2 3

cot60° = 1/ 3

30 B

C A 45

tan45° =

1

cot45° =

1

45 B

C

2 2 1 1 . + . 2 2 2 3

sin45° . cos45° + sin30 . cot60°

=

1 1 + 2 2 3

(3)

( 3)

=

3+ 3 6

olur.


tan π + cot π 4 4 sin 60 . cos 30


194


=

tan 45 + cot 45 = sin 60. cos 30

=

8 olur. 3

1+ 1

3 3 . 2 2

Üçgenler

4. BÖLÜM

π π = tan c m + cos c m 6 6

= tan30 + cos30

f (x) = tan x + cos a π - x k 2

olduğuna göre,

3 3 5 3 + = 3 2 6

=


olur.

AC ⊥ BD

A

% m (ABD) = 60 °

E

% m (EDC) = 45 ° |ED| = 4 2 cm

60° C

B

D

|BC| = 4 3

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir?

A

|EC| = |CD| = 4 olur. |BC| = 4 3 olduğundan |AC| = 12cm olur.

E

45

4 60°

4 3

B

4 2

|AE| = 8cm'dir.

45

C 4

D

^

A

sin A =

ABC üçgen

AC = BC

% Yukarıdaki verilere göre, m(BDC ) kaç derecedir?

ABC üçgen % m (ABC) = 30 °

30° B

6 3

C

^

2

yani sin(A) =

2 'dir. 2

[AH] ⊥ [BC] çizersek

8

1

2

C

A

=

m (A) = 45 olur. % m (BDC) = 70c dir.

% m (DBC) = 65 °

25 65 B

AC

^

% m (ABD) = 25 °

D

BC

sin 30 = AH 1 = 2 8

AH

cos 30 =

AB

AB

BH = 4 3 olur.

HC = 2 3 AH = 4cm olur.

|AB| = 8 cm

'tür.

|BC| = 6 3 cm

|AC|2 = (2 3 )2 + 42


BH

|AC| = 2 7 cm'dir.


195

Üçgenler

4. BÖLÜM

A 75 A

ABC üçgen

75

% m (ABC) = 45 °

45 30

% m (BAC) = 75 °

10

45 B

|AC| = 10 cm 45 B

C


ABC üçgen |AB| = |AC| = 4 cm

120° 4

4

% m(BAC ) = 120°

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç cm dir? % % [AH] ⊥ [BC] çizersek m (BAH) = m (HAC) = 60 ° olur.

A

BH sin60° = AB olduğundan |BH| = 2 3 olur.

120°

4

60 60 4

H

B

C

A 2

|BC| = 4 3 'tür.

ABC üçgen

135°

% m (BAC) = 135 °

6 2

C

B

|AC| = 6 2 cm |AB| = 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç cm dir? H 6 A 45 2

B

196

% % hC yüksekliği m (HAC) = m (ACH) = 45cdir.

90

sin45°'den |AH| = |HC| = 6 cm olur.

6

3

HBC dik üçgeni özel üçgendir. |BC| = 10cm olur.

135°

45 10

C


H

C

[AH] ⊥ BC çizersek % m (BAH) = 45c cos30 = sin45 =

A

10

AH AC

AH AB

ve

% m (HAC) = 30c olur.

olduğundan |AH| = 5 3 'tür. olduğundan |AB| = 5 6 'dır.

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

% m (BAC) = 105 °

105° 6

% m (BCA) = 15 ° 15

B

C

|AB| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç cm dir? % alınırsa m (KAC) = 15 ° % m (BKA) = 30 ° olur.

A 105° 6

15

K

B

AB

sin30° = 15 C

BK AK

sin60° =

BK

% m (BAK) = 90 °

ve

olduğundan, |BK| = 12 olduğundan, |AK| = 6 3 olur.

|AK| = |KC| olduğundan |KC| = 6 3 ve |BC| = 12 + 6 3 olur.

AB ⊥ BC

A 60

% m (BAC) = 60 °

D 150

10

% m (ADC) = 150 ° |AB| = 10 cm

B

4 3

C

|BC| = 4 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, |DC| kaç cm dir? K 30 120

A

60 10

B

|KB| = 12 ve |KC| = 8 3 olur. 30

|KA| = 2cm ve |AD| = 2cm olur.

D

150

4 3

|KD| = 2 3 ve |DC| = 6 3 olur.

C

Eşkenar Üçgenin Kenarları Ve Yüksekliği Arasındaki İlişki A 30 30 a

a a 3 2

60 B

60 a 2

D

a 2

C


197

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC eşkenar üçgen

A

DE ⊥ AC

6

|DE| = 4 3

E

4 3

|AE| = 6 cm

D

B

C

Yukarıdaki verilere göre, |BD| kaç cm dir?

A

|EC| = 4cm ve |DC| = 8cm olur. 6

|AC| = 10cm olduğundan

E

4 3

B 2

D

30

|BC| = 10cm ve |BD| = 2cm olur.

4 8

60 C

[AH] ⊥ [BC] çizersek;

A


A

|BD| = 2 cm

4 3

|DC| = 6 cm

60 B

B

2

D

6

|AH| = 4 3cm olur.

30

60 D2 H 6 4 C

2

|AD|2 = (4 3)2 + (2)2 |AD| = 2 13cm olur.

C



A

% % 3m( ABD ) = m (DBC)

D

A

|DC| = 4 cm

4

B

D


198

15

C


45 B

30 4 2 3

2 3

[DH] ⊥ [BC] çizersek, |BC| = 2 + 2 3 olduğundan

|AD| = 2 3 – 2 olur. 60 H 2 C

Üçgenler

4. BÖLÜM BİRİM ÇEMBER

Merkezi orijin yarıçapı bir birim olan çembere birim çember

y

denir. Denklemi

x

x2 + y2 = 1 dir.

y

y

+ -

sinα x

α cosα

x

–1 ≤ sina ≤ 1 –1 ≤ cosa ≤ 1 Tanjant ve cotanjant değerlerini birim çemberden tan a = sin a ve cot a = cos a cos a sin a bağıntısını kullanarak bulacağız. 2 1 2 x +c m = 1 3

x=" A b 1, x l birim çember üzerinde bir nokta olduğuna göre, x'in alacağı değerler çarpımını 3 bulunuz.

2

x =

8 9

2 2 3

2 2 -2 2 -8 .f p= 3 3 9

olur.

3sinx – 2 = A

olduğuna göre, A'nın en geniş değer aralığını bulunuz. –1 ≤ sinx ≤ 1 –3 ≤ 3sinx ≤ 3 –5 ≤ 3sinx – 2 ≤ 1 –5 ≤ A ≤ 1 olur.


199

Üçgenler

4. BÖLÜM

,

y

Yandaki birim çemberden faydalanarak A noktasının koor-

y

dinatları olan cos30 ve sin 30'u bulunuz. 30°

sin30 x

,

30°

3 2

cos 30 =

cos30

sin 30 =

1 2

x

,

cos120

,

y

Yandaki birim çemberden faydalanarak 120°'nın trigono-

y

metrik oranlarını bulunuz. 120°

120°

x

Yandaki birim çemberden faydalanarak 135° nin trigono-

y

metrik oranlarını bulunuz. 135°

cos 135 =

-

x

sin 135 =

metrik oranlarını bulunuz.

200

2

2

2 2

Yandaki birim çemberden faydalanarak 150° nin trigono-

y

150°

sin120

sin 150 =

1 2

cos 150 =

- 3 2

x


x

sin 120 =

3 2

cos 120 =

-1 2

Üçgenler

4. BÖLÜM

y

Yanda birim çember üzerinde A c - 1, 3 m ve B c 2 , 2 m nok2 2 2 2 taları verilmiştir.

y A

B x

O

% Buna göre, m( AOB ) kaç derecedir?

A

B

D

C

O

% cos (BOC) =

x

2 % olduğunda m (BOC) = 45 ° 2

1 % % olduğundan m (ADC) = 120 ° cos (AOC) = 2 % % m (AOD) = 60 ° ve m (AOB) = 75 ° olur.

sin 2 + cos 5 - tan 3 3 6 4


sin 120 + cos 150 - tan 135 3 3 - (- 1) = 1 2 2

KOSİNÜS TEOREMİ A 2

2

2

^

2

2

2

^

2

2

2

^

a = b + c - 2bc. cos A c

b = a + c - 2ac . cos B

b

c = a + b - 2ab. cos C B

a

C

ABC üçgen

A

|AB| = 4 cm 4

5

61

^

= 42 + 52 – 2 . 4 .5 . cos A

( 61 )

|BC| =

61 = 16 + 25 – 40 . cos A

61 cm

^

^

B

2

|AC| = 5 cm

C

% Yukarıdaki verilere göre, m(BAC ) kaç derecedir?

cos A =

-1 2

% m (BAC = 120 °


201

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

Bir uçurumun A ve B noktaları arasına köprü kurmak isteyen bir

B

mühendis A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için uçurumun altında bulunan zemin üzerinde C noktası seçip |AC| = 6 3 km

C

|BC| = 8 km

Zemin

% m (ACB) = 30 ° verilerini elde ediyor. , Buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç km dir? % |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2.|AC| . |BC| . cos(ACB) |AB|2 = (6 3 )2 + (8)2 – 2 . 6 3 . 8 cos30° |AB|2 = 108 + 64 – 2 . 6 3 . 8 . |AB| = 2 7 cm olur.

3 2

^

62 = 52 + 42 – 2 . 5 . 4 . cos A A 4 5

C

B

|AE| = |EC| = 4 cm

cos A =

^

1 8

|BC|2 = 62 + 82 – 2 . 6 . 8.

|DB| = 1 cm

4

1

36 = 25 + 16 – 40 . cos A

|AD| = 5 cm

E

6 D

^

ABC üçgen

1 8

|BC| = 2 22 cm olur.

|DE| = 6 cm



ABC üçgen

A

D

6 B

2 3 E

4

% m (BED) = 60°,

DE ⊥ AB

|AD| = 2cm ve |AE| = 4cm olur.

|DB| = 6 cm

|AC| = 4 2 cm olur.

% m (BAE) = 60c % m (EAC) = 45c % m (BAC) = 105c

|DE| = 2 3

% Yukarıdaki verilere göre, m(BAC ) kaç derecedir? A) 60

202

|EC| = 4 cm

C

AE ⊥ BC

B) 80

C) 105


D) 120

E) 150

% m (DBE) = 30c olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM 2.

Yanda birim çember üzerinde verilen A ve B noktaları

y A

için,

B

x

C

O

% m(BOC) = 30 ° dir.

Ac - 3 , 1 m 2 2

Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç birimdir? A) 1- 2 2

B)

3 –1

C) 1

D)

3

E)

- 3 % olduğundan cos (AOC) = 2

% cos (AOC) = 150c

% |AO| = |OB| = 1 br ve m (AOB) = 120 ° olduğundan |AB| =

3.

ve

% m (AOB) = 120c dir. 3 br olur.

ABC üçgen

A

% m (ABC) = 45 °

|BD| = 3 cm

15

|DC| = 14 cm

45° B 3


D

A) 4 6

14

C

B) 6 3

|AD| = 15 cm

C) 10 D) 5 7

E) 13

[AH] ⊥ [BC] çizersek |AH| = x ve |DH| = x – 3 olur.

|AD| = 15cm olduğunda |AH| = 12cm ve |DH| = 9cm dir.

Bu durumda |HC| = 5 olduğunda |AC| = 13cm olur.

4.

2

3 sin x - 4 cos x 2 = 2 cos x - 3 sin x

olduğuna göre, cosx aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 8 9

B)

8 145

C)

9 D) 145

10 145

E)

12 145

4cosx - 6sinx = 3sinx – 4cosx

8cosx = 9sinx

sin x 8 = cos x 9

tan x =

cosx =

8 9 9

145


203

Üçgenler

4. BÖLÜM ÜÇGENİN ALANI A

A

B

B

C

AB . BC A (ABC) = 2

C

AD . BC A (ABC) = 2

O

O

D

B

C

AD . BC A (ABC) = 2 O

ABC üçgen

A 3

AB ⊥ BC

D

|AD| = 3 cm

4

B

D

A

5

E 1 C

7.6 % A (ABC) = = 21 2 3

4.5 = 10 2

|DB| = 4 cm

A (DBE) =

|BE| = 5 cm

Taralı bölge

= 21 – 10

|EC| = 1 cm

= 11cm2

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

A

D

ABC üçgen

|AD| = k ise |DC| = 2k olur.

DE ⊥ BC

[AH] ⊥ [BC] çizersek

2|AD| = |DC|

2k 4 = AH 3k

|DE| = 4 cm 4

3

|BC| = 12 cm B

E

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgenin alanı kaç cm2 dir?

204


A( ABC ) =

6.12 2

|AH| = 6 cm olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|AB| = 6 2 cm |BC| = 3 cm O

6 2

m (ABC) = 135°

135 B

3

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgenin alanı kaç cm2 dir?

A

ha yüksekliği çizersek |AH| = 6cm olur. 3 2 6.3 A(AB C) = = 9cm olur. 2 6

6 2

45 135 H 6 B

3

C

ABC üçgen

A

3

B

D

12

C

AB ⊥ AC

|AD|2 = 3 . 12

AD ⊥ BC

|AD| = 6

|BD| = 3 cm

A( ABC ) =

3

6.15 = 45cm2 olur. 2

|DC| = 12 cm

Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm2 dir?

A

[DH]

ABC üçgen

A

12

3

A (ADC) =

H

AD açıortay |BD| = 4 cm |AC| = 12 cm

B

4

D

C

[AC]

çizersek:

|DH| = 4cm olur.

AB ⊥ BC 12

⊥

4.12 2

3

B

4

D

C

A (ADC) = 24cm2 olur.

Yukarıdaki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm2 dir?


205

Üçgenler

4. BÖLÜM Bir ABC ikiz kenar üçgeninde |AB| = |AC| dir. D ∈ [BC] olmak üzere, DA ⊥ AC koşuluna uygun bir D noktası seçiliyor.

|BD| = 4 cm ve |AD| = 4 cm

olduğuna, BDA üçgenin alanı kaç cm2 dir? A

Şekildeki mm a ABC k = m aBADk = m aBCA k = α 3

α

4

3

a = 30° olarak buluruz. |AC| = 4 3 cm |DC| = 8 cm ve |AB| = 4 3 cm olur.

4

B

3

|DH| ⊥ |AB| çizersek |DH| = 2 cm olur. 3 2.4 3 2 A a ABDk = = 4 3 cm olur. 2 α C

D

|ED| = x dersek; 3

ABC üçgen

A

3 E

D

B

A (ABC) =

(3 + x) .10 2

AD ⊥ BC

A(ABC) = 15 + 5x

|AE| = 3 cm

A (BEC) =

|BC| = 10 cm

Taralı olan = 15 + 5x – 5x

3

C

10.x = 5x 2 = 15cm2


Sinüs Alan Formülü A

Alan(ABC) =

1 . AB . AC . sin α 2

Alan(ABC) =

1 . AB . BC . sin β 2

Alan(ABC) =

1 . AC . BC . sin θ 2

α

β

θ C

B

A

ABC üçgen |AB| = 6 cm |BC| = 8 cm

6

% m (ABC) = 30° 30 B

8

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir?

206


1 .6.8. sin 30 2 3 1 1 A (ABC) = .6.8. 2 2 3

A (ABC) =

3

A (ABC = 12cm

2

olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

|AB| = 6 cm 6

12

|AC| = 12 cm

B

C

Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABC) en çok kaç cm2 dir? 3

A (ABC) = 3

^ 1 . AB . AC . sin (A) 2

^

ABC 'nin alanının maksimum olması için sin(A) = 1 alınmalıdır. 3

A (ABC) =

1 .6.12.1 2

3

A (ABC) = 36cm

2

ABC üçgen

A

3

A (ABC) =

|AD| = 4 cm

4

3

3 B

A (BDE) =

|DB| = 3 cm

D

|BE| = 5 cm 5

E

3

C


^

A (ABC)

|EC| = 3 cm Alan(ABC) Alan(BDE)

^

A (BDE)

=

^ 1 .7.8. sin (B) 2

^ 1 .3.5. sin (B) 2

56 olur. 15

oranı kaçtır?

Üç Kenarı Bilinen Üçgenin Alanı A c

u = a + b + c olmak üzere, 2 b

Alan (ABC) = B

a

u. (u - a) . (u - b) . (u - c) dir.

C

u=

10 + 7 + 5 = 11 2 3

A (ABC) = Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan üçgenin alanı kaç

cm2

dir?

3

A (ABC = 3

11. (11 - 5) . (11 - 7) . (11 - 10) 11.6.4.1

A (ABC) = 2 66 cm

2


207

Üçgenler

4. BÖLÜM

5+ 6+ 7 =9 2 % A (ABC) = 9 $ (9 - 5) $ (9 - 6) $ (9 - 7)

u= A

ABC üçgen

3

AD ⊥ BC 5

A (ABC) =

A (ABC) = 6 6

|AB| = 5 cm

6

|AC| = 6 cm

3

A (ABC) =

|BC| = 7 cm B

D 7

6 6=

C


Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı, tabanlarının oranına eşittir. A

B

A

D

C

B

BD A (ABD) = A (ADC) DC

D

BC A (ABC) = A (ACD) CD

ABC üçgen

A

|BD| = |DE| = |EF| = |FC| O

A (AEF) = 3 cm 2

B

D

E

F

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgenin alanı kaç cm2 dir? |BD| = |DE| = |EF| = |FC| = k dersek 3

A (AEF) 3

A (ABC) 3

=

k 4k

A (ABC) = 12cm

208

2

olur.


9.4.3.2

3

C

AD .7 2

AD .7 2

AD =

12 6 olur. 7

Üçgenler

4. BÖLÜM

|FC| = 2k, |AF| = k dersek; 3

ABC üçgen

A

3

A (ABC) = 95 olur.

|BD| = |DE| = |EC|

F

A (FEC) = 2.S = 8cm

A (ABC) = 36 cm

B

D

E

9S = 36, S = 4

3

2|AF| = |FC| O

3

A (FEC) = 2S, A (AFE) = S yani A (AEC) = 35

2

olur.

2

C


A

ABC üçgen 2|AD| = |DB|

D

B

3|FE| = 2|BF| = |EC|

F

E

C


Alan (ABC) oranı kaçtır? Alan (DECA) |AD| = k, |DB| = 2k

A

k D

2k

B

|EC| = 6a, |BF| = 3a, |FE| = 2a deriz. 5S 2

21s 2 11s Alan(DECA) = 2 3

[AE] birleştirilirse: Alan(ABC) = 3S

3S

2S

3a

F 2a E

6a

Alan (ABC)

C

Alan (DECA)

=

21 olarak buluruz. 11

A A

E

ABD dik üçgen

2k

2|EF| = 2|FD| = |AE|

2S

O

Alan( ACE )=6 cm2 C

4

E

|CD| = 4 cm

F B

4S =

D


B

C

k F S k S 4

AB . 4 2

|AB| = 2S 3

A (ACE) = 25 = 6 D

olduğundan |AB| = 6cm'dir.


209

Üçgenler

4. BÖLÜM

3

A A

6

6

AD // BC

D

|AD| = 6 cm

h2

h1

|BC| = 18 cm B B

18

3

ABC 'nin yüksekliği h1 ve ACD 'nin

D

18

yüksekliği h2 olur. AD//BC olduğundan h1 = h2'dir. A(ABC) = 18 . h1

C

C

A(ADC) = 6 . h2

Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABC), Alan(ADC) nin kaç katıdır?

Birbirine oranlarsak; Alan(ABC), Alan(ADC)'nin 3 katı olur. |AB| = 3k, |BD|= 2k ve |DC| = k dersek

A

3k

ABC üçgen

A

3m

BE açıortay E

2|AB| = 3|BD| = 6|DC|

|AE| = 3m ve |DE| = 2m olur. E

(içaçıortay teoreminden)

2m B

2k

C O halde

D k

3

B

C

D

3

3

A(ABE) = 3S, A (BED) = 2S ve A (ADC) = 3S A (ABE) 6 olur. = = 5 A (ADC) 5S 2

A (ABE) Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? A (ADC)

5S 2

[BG] ve [CG] birleştirilsin

A

3

3

A (AGD) = 2, A (GDC) = 2 yani, D

ABC üçgen

A

G

G ağırlık merkezi |AD| = |DC|

B

O

G

A (AGD) = 2 cm 2 C


Tabanları eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı yükseklikler oranına eşittir. A

AF Alan (ABC) = .......... Alan (BDC) DE

D

B

210

E

F

3

3

3

A (ABG) = A (AGC) = A (BGC) olduğundan 3

D

B

3

A (AGC) = 4 olur. Bu durumda;

C


3

C A (ABG) = 4 ve A (BGC) = 4 olur. 3

A (ABC) = 12cm

2

olur.

Üçgenler

4. BÖLÜM

A

ABC üçgen AD ⊥ BC

F

|AF| = |FE| = |ED|

E B

D

C

Buna göre, taralı olmayan bölgelerin alanının, taralı olan bölgenin alanına oranı kaçtır? BEG üçgeni ile BFC üçgeninin tabanları aynı olduğundan alanları yükseklikleri 3

3

3

ile orantılıdır. Alan(BEC) = 5, Alan (BFC) = 2S ve Alan (ABC) = 3S olur. Taralı bölge S, Taralı olmayan bölge 2S olur. Taralı olmayan bölge taralı bölgenin 2 katına eşittir.

ABC üçgeni ile BDC üçgeninin tabanları aynı olduğundan alanları yükseklileri ile orantı-

A

lıdır.

ABC ve BDC üçgen

3

AE ⊥ BC

|AE| = 8cm olduğundan |FD| = 4cm'dir.

Alan(ABC) = 2 Alan(BDC)

F

B

olduğundan |AE| = 2 . |FD| olur.

BC ⊥ FD

8

C

E

3

Alan (ABC) = 2S ve Alan (BDC) = S

|BF|= 3cm olur.

|AE| = 8 cm |BD| = 5 cm

D

Yukarıdaki verilere göre, |BF| kaç cm dir?

Benzerlik Alan İlişkisi A

c

D

b

a

B

c.k

C

E

b.k

a.k

F

Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşittir. A (ABC) 12 =b l k A (DEF)

A a D

c x

b

B

DE // BC ise A (ADE) a 2 x 2 c 2 =b l = byl = b l a+ b c+ d A (ABC)

E d

y

C


211

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgen

A

% % m (ABC) = m (DAC) |DC| = 6 cm

9

|AC| = 9 cm B

D

6

C


3

A

3

Şekilde ADC + BAC DC

b a

AC

9

D

=k

k=

6 2 = 'tür. 9 3 3

a+b B

Alan (ABC) oranı kaçtır? Alan (ABD)

Alanların oranı k2 olduğundan 6

C

A (ABC) 3

A (ABD

=

9 'tür. 4

3

3

Şekilde: ADE + ABC

ABC üçgen

A

DE // BC D

|AE| = |EC|

E

A(DBCE) = 27 cm2 B

C


A

CF açıortay |CE| = |CD|

E F 2 D


212

Alan-

A(ADE) = S, A(ABC) = 4S olduğundan; A(DEBC) = 3S olur. 3S = 27,

S=9

4S = 36 olur.

[AD] + [CB] = {E}

B 6

C

AE 1 |AE| = |EC| = k dersek = =k AC 2 1 ların oranı 'tür. 4

|CE| = |CD| olduğundan [CF] aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir. Bu durumda

AB // CD

|EF| = 2cm olur.

|AE| = 6 cm

AEB + DEC olduğundan

3

|FD| = 2 cm Alan (AEB) oranı kaçtır? Alan (ECF)


k2 =

3

k=

AE EB

=

6 3 = 4 2

A (ABE) 9 A (ABE) 9 9 yani olur. = , = 4 2 A (CED) 4 A (ECF)

Üçgenler

4. BÖLÜM

ABC üçgeninin [AC] kenarı birbirine paralel 5 doğru ile 6 eş

A

parçaya ayrılmıştır. Buna göre, taralı bölgelerin alanlarının toplamı taralı olmayan bölgelerinin alanlarının toplamına oranı kaçtır?

B

C

A

Bu durumda taralı bölgelerin alanlarının toplamı = 14S

s 3s

Bu durumda taralı olmayan bölgelerin alanlarının

5s

toplamı = 22S

7s

Birbirlerine oranı =

9s 11s B

14s 7 'dir. = 22s 11

C

EŞKENAR ÜÇGEN A 2

Alan(ABC) =

a

a

a

B

a . 3 4

C A E

|AG| = |DP| + |PF| + |PE| D

P F

B

G

C


A

DP ⊥ AB D

E P

B

F

C

Alan(ABC) =

a

2

4

3

=9 3

2

a = 36,

a= 6

a 3 olduğundan 2

PE ⊥ AC

|DP| + |PE| + |PF| =

PF ⊥ BC

|DP| + |PE| + |PF| = 3 3 olur.

Alan(ABC) = 9 3 cm2

Yukarıdaki verilere göre, |DP| + |PE| + |PF| toplamı kaç cm dir?


213

Üçgenler

4. BÖLÜM

a

3

A (ABC) = A

ABC ve DCE eşkenar üçgen

D

E

2

B

C

3

b

A (DCE) =

cm2

=9 3

a= 6

3

Alan(ABC) = 9 3

4

a = 36

% m (ACD) = 30 ° 30

2

2

4

2

3

= 16 3

b = 64 b= 8 % m (ACE) = 90 ° olduğundan |AE| = 10cm olur.

Alan(DCE) = 16 3 cm2

Yukarıdaki verilere göre, A ve E noktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir?

(6 – 8 – 10 özel üçgeninden)

İKİZKENAR ÜÇGEN A

|AB| = |BC|

L

D

|AL| = |DC| = |EF| + |FK|

E K L

B

F

[DH] ⊥ [AC] çizilirse,

C

|DE| + |DH| = hb = hc olur. |AC| = 8 3, ABC üçgen

A

|AB| = |AC| DE ⊥ AB

% % |AB| = 8 3, m (ABC) = m (ACB) = 30° olduğundan % m (BAC) = 120 ° ve |BC| = 24cm olur.

30° B

D

C

8 3

|AC| = 8 3 cm |ED| = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, D noktasının [AC] doğrusuna uzaklığı kaç cm dir?

F

D

12

A

hb = 8 olarak buluruz.

C

ha = hb = 8



10

8

|DF| = 5 cm |AC| = |BC| = 10 cm

214

12

|DE| = 3 cm C

8 3 .hb

4 + hb = 12

DF ⊥ BC

3

=

2 2 hb = 12 buluruz.

8 3

DE ⊥ AC

5 B

4 3

ABC üçgen E

D

24.4 3

60

30° B

A

(üçgenin alanından)

A

% m( ABC ) = 30°

E

4 B

H 10

Bu durumda; |AB|2 = 82 + 42 |AB| = 4 5

6 C

olarak buluruz.

Üçgenler

4. BÖLÜM Sinüs Teoremi A α c

b

β

a b c = = sin α sin β sin θ θ

a

B

C

8 6 = % sin 30 sin (BAC)

ABC üçgen

A

6 3 % olur. sin (BAC) = = 16 8

|AC| = 8 cm |BC| = 6 cm

8

% m (ABC) = 30 ° 30° 6

B

C

% Yukarıdaki verilere göre, sin(BAC ) kaçtır?

ABC üçgen

A 30

% m (BAD) = 30 °

45

6

8

D

B

% m (EAC) = 45 °

E

C

% % m (ADB) = m (AEC) |AB| = 6 cm |AC| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninden; BD

sin 30

=

6 % sin ADB

ve

BD oranı kaçtır? EC AEC üçgeninden; EC

sin 45

=

8 olur. % sin AEC

BD =

6. sin 30 % sin ADB

EC =

8. sin 45 % sin AEC

BD =

3 , % sin ADB

EC =

4 2 % sin AEC

BD EC

=

3

4 2

yani

BD EC

=

3 2 olarak buluruz. 8


215

Üçgenler


ABC üçgen

A

E ∈ [AD]

O

A (AEC) = 12 cm 2

E

O

A (EDC) = 9 cm 2

B

D

C

O

A (ABE) = 20 cm 2

Yukarıdaki verilere göre, A(BED) kaç cm2 dir? A) 9

B) 12

C) 15

A

E

3k 9 B

C

D

2.

A (ABE) 4k = A (BED) 3k

A

4

30°45°

3

4

2

Alan (BED) = 15cm olarak buluruz.

C

B) 3 2

2|BD| = |DC|

1 .4. AD . sin 30 2 A (ABD) = A (ADC) 1 . AC . AD . sin 45 2

|AB| = 4 cm

C) 4 2

D) 6

1 = 2

E) 5 2

DF ⊥ AB

B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABC) kaç cm2 dir? A) 48 3

4

2 . AC

A(ABC) =

|EF| = 3 3 cm

F

A (ABD) 1 olur. = A (ADC) 2

AC = 4 2 olur.

Bu durumda: |BC| = 16 olur.

A

EF ⊥ AC

E

D

C


A

2k

D

Bu durumda


D

k

B

% m (DAC) = 45°

216

ED = 3k

|BD| = k ve |DC| =2k deriz.

B

3.

A

% m (BAD) = 30 °

A) 2 2

AE = 4k

ABC üçgen

30°45°

E) 20

3

AE A (AEC) = ED A (EDC) AE 12 o halde = 9 ED

4k 12

20

D) 18

C

B) 56 3

D

|DF| = 5 3 cm

C) 60 3


D) 64 3

E) 72 3

E

16

2

4

3

5 3 3 3 3 3 2 5 A (ABC) = 64. 3 cm olur. 60 30 30 60 B 10 F C 6


217

Vektörler

5. BÖLÜM VEKTÖRLER A

B

d

[AB] ∈ d olmak üzere B ye başlangıç noktası A ya bitim noktası, d ye taşıyıcı doğru (doğrultu) denir. BA şeklinde gösterilir. BA vektörünün belirli olabilmesi için yönünün, uzunluğunun ve taşıyıcısının bilinmesi gerekir.

A -3 -2 -1

0

1

B 3

2

4

Yukarıdaki şekilde sayı doğrusu üzerinde AB yönlü doğru parçası verilmiştir. Buna göre, I. AB nin başlangıç noktası A(–3) tür. II. AB nin bitim noktası B(3) tür. III. AB nin uzunluğu | AB| = 5 tir. Yargılarından hangisi veya hangileri doğrudur?

AB'nin başlangıç noktası A(–3)'tür. AB'nin bitim noktası B(3)'tür. AB'nin uzunluğu | AB| = 6 dır. I ve II doğrudur.

A -4

B C D -3 -2 -1

E 0

F 1

G H L 2 3 4

Yukarıdaki şekilde sayı doğrusu üzerinde A, B, C, D, E, F, G, H, L noktaları verilmiştir. Buna göre, aşağıda verilen yönlü doğru parçalarından hangisinin boyu 4 birimdir? A) AD

B) EB

C) GC D) CL

GC 'nin uzunluğu 4 birimdir.

218


E) DL

Vektörler

5. BÖLÜM 

Birbirine paralel (taşıyıcıları aynı) yönlü doğru parçaları A

B

C

D

AB // CB 

Birbirine paralel (taşıyıcıları aynı) ters (zıt) yönlü doğru parçaları. A

B

C

D

AB ve DC zıt yönlüdür.

Paralel yönlü doğru parçaları için I. Yönleri farklıdır. II. Uzunlukları eşit değildir. III. Aynı taşıyıcı doğru üzerindedirler. yargılarından hangisi veya hangileri doğrudur? A) I

B) II

C) III

D) I, II

E) I, III

Paralel yönlü doğru parçaların yönleri aynı veya zıt olabilir. Paralel yönlü doğru parçalarının uzunlukları eşit olabilir veya olmayabilir. Paralel yönlü doğru parçalarının aynı taşıyıcı doğru üzerindedirler. Yalnız III doğru.

A

B

Yanda birim kareli kağıda çizilmiş 7 yönlü doğru parçası için aşağıdaki iki sorguyu cevaplayınız.

a)

Kaç tanesi AB yönlü doğru parçası ile aynı doğrultuya sahiptir?

b)

Kaç tanesi AB yönlü doğru parçası ile zıt yönlüdür?

3 tanesi AB ile aynı doğrultudadır. 2 tanesi AB ile zıt yönlüdür.


219

Vektörler

5. BÖLÜM

Doğrultuları ve yönleri aynı olan yönlü doğru parçalarının uzunlukları eşit ise eş yönlü doğru parçaları denir. A

B

C

AB = BC ise AB = BC veya AB = - CB

B

A

Yandaki şekilde yönlü doğru parçaları birim kareli kağıt

M

üzerinde gösterilmiştir.

L N K

C

E

F

Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

D

A) EF = CD

B) AB = - CD

D) AB = EF

C) MN = KL

E) CD = EF

AB ile EF zıt yönlüdür. Bu durumda AB = EF yanlış bir ifadedir.

KONUM (YER VEKTÖRÜ) Analitik düzlemde A(a,b) ve B(c,d) olmak üzere AB vektörüne eş olan OP vektörü AB nin konum vektörüdür. OP = (c - a, d - b) dir.

Analitik düzlemde A(1, 4) ve B(4, 10) noktaları veriliyor. Buna göre, a)

AB nin konum vektörünü bulunuz.

b)

BA nin konum vektörünü bulunuz.

a)

AB = (4 – 1, 10 – 4)

AB = (3, 6)

b) BA = (1 – 4, 4 – 10)

BA = (-3, –6)

220


Vektörler

5. BÖLÜM

y

Analitik düzlemde yanda gösterilen AB vektörünün konum vektörünü analitik düzlemde gösteriniz.

B

6 A

3

0

B = (7, 6), A(2, 3)

y

AB = (7 – 2, 6 – 3)

AB A

3

0

x

7

2

AB = (5, 3) x

5

Analitik düzlemde A = (4, 3) ve BA = (3, - 2) olduğuna göre, B vektörünü bulunuz.

B = (x , y) olsun. BA = A - B (3, –2) = (4 – x, 3 – y) Yani 4 – x = 3

ve 3 – y = –2

ve

x = 1

y = 5

B = (1, 5) olur.

y

Analitik düzlemde şekilde verilenlere göre, AB nin konum vektörünü bulunuz.

A(-4,0) 0

x

B(0,-3)

AB = (0 - (- 4), - 3 - 0) AB = (4, - 3) olur.


221

Vektörler

5. BÖLÜM Bir Vektörün Uzunluğu (Normu) Analitik düzlemde bir A = (x, y) vektörünün uzunluğu (normu) x 2 + y 2 dir.

A =

Aşağıda verilen vektörlerin uzunluklarını bulunuz. a) A = (3, –4)

A =

b) B = (–1, 2)

2

3 + (- 4)

2

B =

A =5

2

(- 1) + (2) B =

c) C = ( 3 , 2)

2

C =

5

2

( 3) + (2) C =

2

7

Analitik düzlemde A = (- 3, 4) ve B = (3, - 4) olmak üzere, AB vektörünün uzunluğu kaç birimdir?

AB = (3 - (- 3), - 4 - 4) AB = (6, - 8) AB =

2

6 + (- 8)

2

AB = 10br. dir.

y

Analitik düzlemde şekilde verilenlere göre, AB vektörünün

A

n

uzunluğu kaç birimdir? m-6 m B

x

n-2

A

2

B

222

6

AB =

2

2 +6

2

AB = 2 10 birimdir.

C


Vektörler

5. BÖLÜM Vektörlerin Eşitliği

Analitik düzlemde A = (x, y) ve B = (a, b) olmak üzere, A = B ise x = a ve y = b dir.

Analitik düzlemde,

A = (2x - y,10) ve B = (8, x + y)

vektörleri veriliyor. A = B olduğuna göre, x . y kaçtır?

2x - y = 8 x + y = 10 x=6 y = 4

x . y = 6 . 4 = 24

Analitik düzlemde,

A = (3, 1), B = (4, 7) C = (- 1, 2) ve D vektörleri veriliyor.

AB = CD olduğuna göre, D kaç birimdir?

AB = (4–3, 7–1)

AB = (1, 6)

CD = (x–(–1), y–2)

CD = (x+1, y–2)

x + 1 = 1

y – 2 = 6

x = 0 D =

y =8 2

0 +8

2

D = 2 2 br olur.

Analitik düzlemde,

A = (x 4 + y,12)

B = (5, x7 - y 2)

olmak üzere, A = B olduğuna göre, A kaç birimdir?

x4 + y = 5,

x7 – y2 = 12

O halde A = (5, 12) olur. A =

2

5 + 12

2

A = 13 birimdir.


223

Vektörler

5. BÖLÜM Bir Vektörün Bir Skalerle Çarpımı

Bir vektörü bir reel sayı ile çarpınca vektörün uzunluğu büyüyor yada küçülüyor. Vektörün pozitif bir reel sayı ile çarpılması yönünü değiştirmez ancak negatif bir reel sayı ile çarpılması yönünü değiştirir.

Yanda verilen birim kareli kağıda çizilmiş AB, DC ve MN

B

vektörlerini kullanarak

A

N

C

1 .AB, 2.MN ve - 2 DC 2 3

vektörlerini çiziniz.

D M

1 .AB, 2

AB'nin aynı yönlü yarısıdır.

2.MN,

MN aynı yönlü 2 katıdır.

-2 DC, 3

1 2.MN AB 2

DC 'nin 3'te ikisinin zıt yönlüsüdür.

-

2 DC 3

Yanda birim kareli kağıda çizilmiş

b a

c

a , b , c , d ve

e

vektörleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? d

e

B) 1 . d = c 3

A) a = 2 c

D) 3 . a = d 2

e , b 'nin

224

1 katının zıt yönlüsüdür. 3


E) 1 . b = e 3

C) - 3 e = b

5. BÖLÜM

Vektörler

Analitik düzlemde A(3, 4) ve B(–1, 3) noktaları ve C = (x - 2y, x + y) vektörü veriliyor.

3.AB = 2. C

olduğuna göre, x kaçtır? AB = (- 1 - 3, 3 - 4) AB = (- 4, - 1) C = (x - 2y, x + y) 3AB = (- 12, - 3) ve 2 C = (2x - 4y, 2x + 2y) olur. 2x - 4y = 12 2/2x + 2y = –3

x = -1 olarak buluruz.

İKİ VEKTÖRÜN TOPLAMI VE FARKI Analitik düzlemde A = (x, y) ve B = (a,b) olmak üzere,

A + B = (x + a, y + b)

A - B = (x - a, y - b) dir.

A = (- 1, 2), B = (3, 4) ve C (- 3, - 7)

olmak üzere, A + B - C vektörünü bulunuz. A + B - C = (- 1 + 3 - (- 3), 2 + 4 - (- 7)) A + B - C = (5, 13) olur.

Analitik düzlemde

A(1, 5), B(3, 5) ve C(5, –3)

olduğuna göre, 3AB - BC vektörünü bulunuz. AB = (3 - 1, 5 - 5) AB = (2, 0) BC = (5 - 3, - 3 - 5) BC = (2, - 8) 3.AB = (6, 0) + - BC = (- 2, 8) _____________________

3AB - BC = (4, 8) olur.


225

Vektörler

5. BÖLÜM

x . (1, –3) + y . (3, 0) = (9, –2) x + 3y = 9

A = (1, - 3), B = (3, 0) ve C = (9, - 2) olmak üzere,

–3x = –2 2 2 x= ve + 3y = 9 3 3

C = x. A + y. B

denklemini sağlayan x ve y reel sayıları için x . y kaçtır?

y=

25 9

2 25 . 3 9 50 x.y = 27 x.y =

Birim Vektör Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.

Aşağıda verilen vektörlerden hangileri birim vektördür? I) (1, 0)

II) (0, 1)

III) (1, 1)

V) (sinx, cosx)

VI) ( 2 , 2 )

I.

1 + 0 = 1 olduğundan birim vektör.

II.

0 + 1 = 1 olduğundan birim vektör.

2

2

2

2

2

2

III. 1 + 1 =

2 olduğundan birim vektör değil

IV) c - 1, 3 m 2 2

3 -1 2 p = 1 olduğundan birim vektör o +f 2 2

IV.

e

V.

sin x + cos x = 1 olduğundan birim vektör

VI.

( 2 ) + ( 2 ) = 2 olduğundan birim vektör değil

2

2

2

Analitik düzlemde, A = (a, 1 ) 2 vektörü birim vektör olduğuna göre, a'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

2

a +e

1

2

1 a2 + =1 2

2

o =1

1 a2 = a1 . a2 = 2 a ="

226

1

2

1

a1 . a2 = –


2

1 2

. e-

1

2

o

2

Vektörler

5. BÖLÜM

Analitik düzlemde A = (- 5, 12)

vektörü ile zıt yönlü olan birim vektörü bulunuz. A = ^a, bh olmak üzere, -A Azıt = a2 + b2 A2 =

(5, - 12) 2

(- 5) + (12)

2

A2 = c

,

5 - 12 , m 13 13

Taban (Standart) Birim Vektörler Eksenler üzerindeki birim vektörlere taban (standart) birim vektörel denir. e1 = (1, 0) ve e 2 = (0, 1)

A = (a, b) vektörünün taban birim vektörlerin lineer bileşimi olarak yazma

A = a. e1 + b. e 2

Analitik düzlemde aşağıdaki vektörleri taban birim vektörlerinin bileşimi olarak yazınız. I. A = (3, - 4)

I.

A = 3.e1 - 4.e 2

II. B = (- 4, 0)

II. B = - 4.e1

III. C = (2, 7)

III.

C = 2.e1 + 7.e 2

Vektörlerin Toplanması ve Farkının Alınmasının Geometrik gösterimi a) Vektörlerde Toplama: Paralelkenar yöntemi

a

a

a+ b b

0 b


227

Vektörler

5. BÖLÜM Çokgen uç uca eklenme a a+ b+

c

c

b

a

c b

a) Vektörlerde Çıkarma

a

a

a-b

b

b

A) e

Yanda birim kareli kağıda çizilmiş

c

b

a , b , c , d ve

e

d

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

B) 2 c + b - e = d

D) 2 e + d = 0

a a+e b

beb b

C) a + e = - b

E) a + b + c = d

a+b

D)

2 c + b - e = d olur.

2c 2c

B seçeneği doğrudur. –e –e

a+b b 2e 2eb

a

C)

A seçeneği doğrudur.

b b

b b

a

A) a + b = - e

a a

B)

vektörleri verilmiştir.

a + b = - c olur.

a+b a+b

a + e = - b olur.

d a d 2c

C seçeneği doğrudur.

2ca –e a 2e c –e c 2e d

2 e + d = 0 olur.

D seçeneği doğrudur.

d

E)

b a b a c c

228


a+ b+ c = d

ifadesi yanlıştır.

Vektörler

5. BÖLÜM

A

B

ACDB kare, Buna göre, CD + CA

toplam vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir? C

D

A) BD

B) CD

C) AB D) DA

E) CB

CD'nin bitiminde CA yapıştırılırsa CD + CA = CB olur.

C

Yandaki şekle göre,

AC - AB

vektörü aşağıdakilerden hangisine aşittir? A

B

A) AB

B) CB

C) BC D) AC

E) BA

AC 'nin bitiminden - AB yapıştırılırsa AC + (- AB) = BC olur.

A

D

ABCD paralelkenar olduğuna göre, DB vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

B

C

A) BA + BC

B) BA - BC

C) 2BA D) AB + CB

E) CA + CD

Yukarıdaki şekilde AB + BC = BD olduğundan

DB = - (AB + BC) DB = BA + CB DB = BA - BC

4

her ikiside denebilir.


229

Vektörler

5. BÖLÜM

ABCD dörtgen

A

Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? D B

C

A) BC + CD = BD

B) BC - CD = DB C) BC + CD + DA = BA

D) BA + AD = BD

E) AC + CB = AB

Burada;

BC - CD = BC + DC olur.

BC + DC ! DB B seçeneği yanlıştır.

AB - DB + DC

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) DB

A) AD

C) DA

D) AC

E) DC

AB + BD + DC = AC olur.

A

ABC üçgen DE // BC

D

|AE| = |EC|

E

Buna göre, B

C

A) BA

B) EC

1 BC EA + 2

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? C) AB

1 BC = DE olduğundan DE + EA = DA olur. 2

230


D) DA

E) BC

Vektörler

5. BÖLÜM

AD = AB + BD ABC üçgen

A

AD = AC + CD + ___________________

2AD = AB + BD + AC + CD dur.

|BD| = |DC|

Buna göre, AD vektörünün AB ve AC cinsinden eşitini Şekilden BD = - CD olduğundan BD + CD = O bulunuz. 2.AD = AB + AC AD = B

D

C

AB + AC 2

elde edilir.

ABC üçgen

A

G ağırlık merkezi Buna göre, G

GA + GB + GC

B

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

C

A) AC + BC

C) 0 D) 1 AB 3

B) AC + AB

Yukarıdaki örnekten AD = da ayıracağından AG =

AB + AC 2 . 2 3

AG =

AB + AC 3

BG =

BA + BC 3

CG =

CA + CB 3

E) 1 BC 3

AB + AC 2 'dir. Ağırlık merkezi kenarortayı oranın2 3

AB + BG + CG = O BA + GB + GC = O

olur.

2

Analitik düzlemde A ve B vektörleri arasındaki açı 60° dir.

A

= 4 br

B

= 4 br

olduğuna göre, A + B kaç birimdir?

( A+ B ) = A+ B A+ B

2

2

A 2

2

+ B

2

2

+ 2. A . B . cos 60

= 4 + 4 + 2.4.4.

1 2

= 48

A + B = 4 3 birimdir.


231

Vektörler

5. BÖLÜM

2

( A- B ) = A A- B

Analitik düzlemde A ve B vektörleri arasındaki açı 120° dir.

A

= 3 br

B

= 4 br

olduğuna göre,

2

- 2. A . B . cos 120c + B

2

= 3 - 2.3.4. f

A- B = A-B

2

37

2

2 -1 p+ 4 2

birimdir.

kaç birimdir?


Analitik düzlemde y = 6 – 2x fonksiyonunun grafiği yanda

y C

verilmiştir.

A

|CA| = |AB| = |BD|

B

x

D

0

Buna göre, AB vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

y=6-2x

A) (1,2)

B) (2,1)

C) (–1,2)

D) (1,–2)

E) (3,2)

C(0, 6) ve D(3, 0) dır. Buna göre, A(1, 4) ve B(2, 2) olur.

AB = (2 – 1, 2 – 4) olduğundan AB = (1, - 2)

2.

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) CD = - DC

CD = D - C olduğundan D seçeneği yanlıştır.

3.

B) DD = 0

D) CD = C + D

3 -4

AB ve CB

AB + BC = AC olduğundan

vektörlerinin grafiği yanda çizilmiştir.

AB - (CB) = AC olur.

x

CB

AB = (- 4, 5) ve - CB = (- 3, 0) olduğundan

Buna göre, AC vektörünün boyu kaç br dir? A)

232

0

AB = B - A

Analitik düzlemde

y 5

AB

C) BB = CC

74

B) 6 2

C) 8


D) 2 15

E)

AB + (- CB) = (- 7, 5) olur. 57

AC

2

=

2

7 +5

2

AC =

74 olur..


233

Veri Sayma ve Olasılık

6. BÖLÜM VERİ SAYMA a) Veri Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri i) Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama

Veri dizisindeki elemanların toplamının veri adedine bölümüne denir.

1–

3, 3 +

3 , 7, 5

veri dizisinin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 3

B) 4

Aritmetik ortalama =

C) 5 1-

D) 6

E) 7

3 + 3+ 3 + 7+ 5 4

Art. Ort = 4

2, a, 10, b, c, d, e

Sayı dizisi ardışık terimleri arasındaki farklı sabit olan artan bir dizidir. Buna göre, bu sayı dizisinin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

E) 18

a = 6, b = 14, c = 18, d = 22 ve e = 26 olur. 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 Art . ort = 7 Art. Ort. = 14

Medyan (Ortanca) Küçükten büyüğe doğru sıralanmış sonlu veri dizisindeki ortadaki terime denir. Veri adedi çift ise medyan ortada bulunan iki sayının aritmetik ortalamasına eşittir.

234



6. BÖLÜM

1, 4, 12, 13, 7, 1, 4

veri grubunun medyanı (ortancası) kaçtır? A) 1

B) 4

C) 7

D) 10

E) 12

D) 7,5

E) 8,5

1, 1, 4, 4, 7, 12, 13 Medyan (ortanca) = 4

17, 12,10, 4, 5, 7

veri grubunun medyanı (ortancası) kaçtır? A) 6

B) 6,5

4, 5, 7, 10, 12, 17 Medyan (ortanca) =

C) 7

7 + 10 = 8, 5 2

Terimleri birbirinden farklı 10 elemanlı bir veri dizisinin ortanca değeri 8 olduğuna göre pozitif terimli bu veri grubunun aritmetik ortalaması en az kaçtır? A) 6,4

B) 7,2

C) 7,5

D) 8

E) 8,4

1, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 13 72 = 7,2 Aritmetik ortalama = 10

Mod (Tepe Değer) Bir veri grubunda en çok tekrarlanan elemana mod denir. Bazı durumlarda birden fazla modu olabilir. Bir veri grubundaki her bir elemanın tekrar ediş adedi aynı ise veri grubunun modu yoktur.


235


6. BÖLÜM

1, 3 ,7, 3, 4, 1, 2, 1

veri grubunun modu kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 7

1 elemanı 3 defa tekrar ettiğinden mod 1 dir.

Aşağıdaki veri gruplarının mod değerlerini bulunuz? I. 1, 1, 2, 2, 4, 5, 6 II. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 III. 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3

I. 1 ve 2

II. Yok

III. Yok

ii) Merkezi Yayılım Ölçüleri Aralık Sonlu bir veri grubunda en büyük veri değerinden en küçük veri değerinin çıkarılması ile elde edilen değerdir.

1, 7, 14, 3, 12

veri grubunun aralık değeri kaçtır? A) 2

B) 10

C) 11

1, 3, 7, 12, 14 14 – 1 = 13 (aralık değeridir)

236


D) 13

E) 15


6. BÖLÜM

Aralık değeri 102 olan tek tam sayılardan oluşan bir veri grubunun elemanları birbirlerinden farklıdır. Buna göre bu veri grubu en çok kaç terimlidir? A) 48

B) 49

C) 50

D) 51

E) 52

1, 3, 5, 7, 9, …, 103 103 - 1 Terim sayısı = + 1 = 52 2

En büyük - En küçük değer Sonlu bir veri dizisinin en büyük veri değerine en büyük, en küçük veri değerine en küçük değer denir.

5 kişiden oluşan bir topluluğun en yaşlısı 37 en genci 13 yaşındadır. Bu toplulukta yaşıt olan kimse olmadığına göre topluluğun yaş ortalaması en az kaçtır? A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

Yaş toplamlarının en az olması için diğerlerinin yaşları 14, 15, 16 olarak seçilir. 37 + 13 + 14 + 15 + 16 95 = = 19 'dur. 5 5

Alt Çeyrek - Üst Çeyrek - Çeyrekler Açıklığı Küçükten büyüğe doğru sıralanmış sonlu bir veri grubunda medyanın solundaki verilerin medyanına alt çeyrek, medyanın sağındaki verilerin medyanına üst çeyrek denir. (Üst çeyrek) – (Alt çeyrek) farkına çeyrekler açıklığı denir.


237


6. BÖLÜM

7, 6, 3, 2, 4, 5, 2

veri grubunun çeyrek açıklığı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

D) 7

E) 8

2, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 Alt çeyrek 2 Üst çeyrek 6

Çeyrek açıklığı 6 – 2 = 4

12, 10, 10, 7, 8, 9, 3, 3, 5, 6

veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

3, 3, 5, 6, 7, 8 , 9, 10, 10, 12 Alt çeyrek 5 Üst çeyrek 10 Çeyrek açıklığı 10 – 5 = 5

Sandart Sapma Sonlu bir veri grubunda her bir elemanının aritmetik ortalama ile olan farkının kareleri alınıp toplanıyor. Bulunan toplam veri adedinin bir eksiğine bölünüp karekök içerisine yazılıyor. Çıkan sonuç veri dizisinin standart sapması olur.

3, 3, 4, 4, 5, 5

veri grubunun standart sapması kaçtır? A) 3 5

B) 1

C)

6 D) 6 5

E) 7

Aritmetik ortalama =

3+ 3+ 4+ 4+ 5+ 5 =4 6

Standart sapma =

(4 - 3) + (4 - 3) + (4 - 4) + (4 - 4) + (4 - 5) + (4 - 5) 5

Standart sapma =

238

2

2

5


2

2

2

2

2


6. BÖLÜM iii) Verilerin Grafikle Gösterilmesi 1) Sütun grafiği

Bir araştırma sonucu elde edilen verilerin sütun şekilleri ile gösterilmesine sütun grafiği denir. Genellikle iki niceliği karşılaştırmak gerektiğinde kullanılır. 1. 2. ve 3. soruları aşağıdaki verilere göre cevaplayınız.

Aşağıdaki grafikte bir şehrinde belirli endüstri dallarında çalışan kadın ve erkek işçi sayıları gösterilmiştir.

60.000

Kadın Erkek

50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 Orman Besin ürünleri

1.

Makine Kimya Maden

Kimya endüstrisi dalında çalışan işçilerin yüzde kaçı kadındır? A) 10

B) 20

C) 25

D) 30

E) 40

Kimya endüstrisinde toplam çalışan sayısı

:

80.000

Kimya endüstrisinde toplam kadın çalışan sayısı:

20.000

80.000

100

2.

20.000 x

%25

Toplam erkek sayısı : 200.000

Kimyada çalışan erkek sayısı : 60.000

ğinde kimya endüstrisinde çalışan erkek işçilere ait daire diliminin merkez açısı

200.000

kaç derece olur?

360 x = 108

Bu beş endüstri dalında çalışan erkek işçi sayıları bir daire grafiği ile gösterildi-

A) 30

3.

B) 60

C) 90

İşçi sayısı

D) 100

E) 108

60.000 x

Grafikteki beş endüstri dalı çalışan toplam işçi sayısı bakımından küçükten büyüğe doğru sıralandıOrman ürünleri

: 50.000

Buna göre, x ile işaretlenen sütun hangi en-

Besin

: 90.000

Makine

: 60.000

Kimya

: 80.000

Maden

: 40.000

ğında yandaki grafik elde ediliyor.

düstri dalını göstermektedir?

Endüstri dalı

x

A) Orman ürünleri

B) Besin

E) Maden

D) Kimya

C) Makine

x : Makinedir


239


6. BÖLÜM

Kazanç (¨)

Yandaki grafik bir banka müşterisinin bankadaki pa-

644

rasının beş ayda getirdiği kazancı göstermektedir.

620 590

Buna göre, müşterinin aylık kazandığı artışların

560

ortalaması kaç ¨ dir?

500 1.

2.

A) 32

3.

4.

Aylar

5.

B) 34

C) 35

D) 36

E) 38

60 + 30 + 30 + 24 144 = = 36 ¨'dir. 4 4

2) Daire Grafiği Bir araştırma sonucu elde edilen verilerin daire içerisine her bölüme orantılı olarak yerleştirilmesiyle oluşan grafik türüdür. Genelde bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için kullanılır. Örnek: 1. 2. ve 3. soruları aşağıdaki verilere göre cevaplayınız. Bir kasabada yaşayan 8640 kişi en az ilköğretim mezunudur. Aşağıdaki daire grafiği bu kişilerin en son mezun oldukları öğretim düzeylerine göre dağılımını göstermektedir. Ölisans mezunu

Yüksek lisans mezunu

Ortaöğretim mezunu 54° 90° 36° 135°

lisans mezunu

İlköğretim mezunu

1.

Bu kişilerin yüzde kaçı yüksek lisans mezunudur? A) 10

2.

C) 20

D) 25

E) 30

Bu kişilerden önlisans ve ortaöğretim mezunu olanların toplamı kaçtır? A) 3212

240

B) 15

B) 3400

C) 3456


D) 3600

E) 3762

360°

36°

100

x

%10

360°

8640 x 8640.144 2 x= 360 5

144° x = 3456


6. BÖLÜM

Bu kişilerin öğrenim durumlarına göre sayıları aşağıdaki grafiklerin hangisinde

Ortaöğretim mezunlarının sayısı

doğru olarak gösterilmiştir?

360°

A)

B)

Yüksek lisans

Öğ. düzeyi

360°

C)

İlköğretim

764 Ortaöğretim

1080

864

Öğ. düzeyi

x

x = 2160

8640

135° x

x = 3240

Önlisans mezunlarınınn sayısı 360°

D) Sayı

90°

İlköğretim mezunlarının sayısı

Lisans

1080

İlköğretim

1296

Ortaöğretim

2160

1296

Lisans

3240

2160

Ön Lisans

3240

Yüksek lisans

8640

Sayı

Ön Lisans

Sayı

8640

Sayı

54° x

x = 1296

360° Yüksek lisans

Öğ. düzeyi

İlköğretim

864 Ortaöğretim

864

Lisans

Yüksek lisans mezunlarının sayısı

1080

İlköğretim

1396

1080

Ortaöğretim

2160

1296

Lisans

2160

Ön Lisans

3240

Yüksek lisans

3640

Ön Lisans

3.

Öğ. düzeyi

E)

8640

x

x = 804

Lisans mezunlarının sayısı 360° 8640

Sayı 3240

36°

45° x

x = 1080

2160 1296 1080

İlköğretim

Ön Lisans

Lisans

Ortaöğretim

Yüksek lisans

864 Öğ. düzeyi

3) Çizgi Grafiği Bir araştırma sonucu elde edilen bilgilerin çizgi ile ifade edilerek gösterildiği grafik türüdür. Genelde bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için kullanılır.


241


6. BÖLÜM Litre

Km

100 60

200 Saat

2

2

I

Saat

,

II

Yukarıdaki I. grafik sabit hızla hareket eden bir aracın yolda geçen süreye göre deposunda kalan benzin miktarını, II. grafik ise aynı aracın yolda geçen süreye göre aldığı yol miktarını göstermektedir. Buna göre, bu araç deposunda bulunan 100 litre benzinle kaç km yol alır? A) 300

B) 400

C) 500

D) 600

E) 700

Yukarıdaki grafiklere bakarak: Araç saatte 20 litre benzin harcıyor.

Araç saatte 100 km yol alıyor.

O halde 100 litre benzinle 5 saat hareket eder ve 500 km yol alır.

Boy(cm)

B A

31 30

12 0

1 2 3 4 5 6

Zaman (ay),

Yukarıda A ve B fidanlarının boy-zaman grafiği verilmiştir. Buna göre, B bitkisi ayda kaç cm büyümektedir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A bitkisi ayda 1cm büyümektedir. 6 ay sonra boyu 36 cm olur. Grafikte kesiştikleri nokta boylarının eşit olduğu zamandır. B bitkisi ayda

242

36 - 12 = 4cm büyümektedir. 6



6. BÖLÜM 4) Serpilme Grafiği

İki değişken arasında bir ilişki olup olmadığını belirlemek için kullanılan grafik türüdür.

Pozitif İlişki İki değişken değerleri aynı anda artar ve noktalar bir doğru boyunca kümelenmiş ise pozitif ilişki vardır.

Negatif İlişki y ve bu noktalar bir 20doğru boyunİki değişkenden birincinin değeri artar ikincinin değeri azalır 3

ca kümelenmiş ise negatif ilişki vardır. 20

y 3

2

2

1

1

0

0

1

2 3

y

İlişki Yok

y

2 y

x

3

1

x

3 y

0 1

0 2

y

20 İki değişken yukarıda verilen iki duruma uymuyor ise ilişki yoktur. 3

2

1

0

1

2 y

x

0 2

x

3 y

0 1


243


6. BÖLÜM Yaş 25 20 15 10

Boy (Cm)

160 170 180 190

Yukarıda serpilme grafiği 10 kişilik bir topluluktaki kişilerin yaş ve boylarını göstermektedir. Buna göre, yaşı 10 dan büyük olan 180 cm den kısa kaç kişi vardır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Yaş 25 20 15 10 160 170 180 190

Boy (Cm)

Aşağıdaki serpilme grafiklerinden hangisinde değişkenler arasında pozitif ilişki vardır? A)

B)

D)

C)

E)

E seçeneğindeki grafikte değişkenler arasında pozitif ilişki vardır.

5) Kutu Grafiği Verilerin en küçük değer, en büyük değer, medyan, alt çeyrek, üst çey-

En küçük değer

Medyan

En büyük değer

rek değerlerini karşılaştırmada kullanılan grafik türüne denir. Alt çeyrek

244


Üst çeyrek


6. BÖLÜM

3, 4, 5, 12, 10, 7, 3, 4, 2

veri grubuna ait kutu grafiğini çiziniz. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 10, 12

2

3

4

8,5

12

1. – 4. soruları aşağıdaki verilere göre cevaplayınız.

Cinsiyet Erkek Kız

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Not

Yukarıdaki kutu grafiği bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin matematik sınavından aldıkları notlara aittir. Buna göre,

1.

Erkeklerin notlarının medyanı kaçtır? A) 29

2.

B) 30

C) 31

D) 32

E) 33

D) 24

E) 25

D) 90

E) 91

Kızların notlarının çeyrekler açıklığı kaçtır? A) 21

B) 22

C) 23

55 – 30 = 25

3.

Erkeklerin notlarının aralık değeri kaçtır? A) 82

B) 88

C) 89

95 – 5 = 90

4.

En yüksek not alan erkek öğrenci en yüksek not alan kızdan kaç puan fazla almıştır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

95 – 90 = 5


245


6. BÖLÜM


Vücut ağırlığı ile boks yeteneği arasında bir ilişki olup olmadığını araştıran bir antrenör topladığı bilgileri hangi tür grafik ile sunar ise daha uygun olur? A) Daire

B) Çizgi

C) Serpilme

D) Kutu

E) Sütun

2 değişken arasında ilişki kurulacaksa serpilme grafiği kullanılır.

2.

Kar (¨)

Yandaki doğrusal grafik bir şirketin kar-zarar durumunda beklenen değişimi göstermektedir. Grafiğe göre bu işletmenin 8. yılın sonundaki kârının

kaç bin ¨ olması beklenmektedir? Yıl

6 -240

A) 40

B) 80

C) 120

D) 160

E) 240

6 yılda

240 kâr

1 yılda

x

yılda 40¨ kâr eder.

8 yılda 320 bin kâr eder. Önceden 240 bin zarar olduğundan;

8. yılda 80¨ kâr eder.

3.

Aşağıdaki tabloda yıllara göre bir bölgedeki öğrenci ve öğretmen sayıları verilmiştir.

Yıllar

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Öğrenci sayısı

300

800

680

570

1000

2800

3120

4800

Öğretmen sayısı

150

200

170

190

200

400

520

600

Hangi yıl öğretmen başına düşen öğrenci sayısı en azdır? A) 2007

B) 2008

C) 2011

2007 yılında 1 öğretmene 2 öğrenci








En az 2007 yılı

246


D) 2009

E) 2010


6. BÖLÜM OLASILIK

Bir madeni para havaya atıldığında yazı yada tura gelmesi, bir zarın atıldığında sonucun ne olacağı, torbadan bilye seçilmesi birer deneydir. Bu deneyde elde edilen sonuçlara çıktı denir.

Örnek Uzay Bir deneyde elde edilen bütün sonuçların kümesine örnek uzay denir.

Bir madeni paranın n defa atılması olayında örnek uzay 2n elemanlıdır.

Bir zarın n defa atılması olayında örnek uzayın eleman sayısı 6n dir.

4 tane madeni paranın havaya atılması olayında örnek uzay kaç elemanlıdır? A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

E) 32

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 elemanlıdır.

3 zarın aynı anda havaya atılma olayında örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 6

B) 36

C) 216

D) 512

E) 1296

63 = 6 . 6 . 6 = 216 elemanlıdır.


247


6. BÖLÜM

Bir torbada 5 kırmızı 3 siyah bilye vardır. Bu torbadan aynı anda 3 bilye çekme olayında örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 20

B) 21

C) 28

D) 56

E) 72

8.7.6 8 f p= = 56 elemanlıdır. 3 3. 2.1

Olasılık Fonksiyonu Bir E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun

P : K → [0, 1] şeklinde tanımlanan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir.

P(A) → A olayının olma olasılığı  A ∈ K için 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.

248



P(A) = 0 ise A olayı imkansız olay



P(A) = 1 ise A olayı kesin (mükemmel) olay



A nın olumsuzu (tümleyeni) A' olmak üzere



P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)



A ve B ayrık olaylar ise A ∩ B = ∅ olduğundan



A, B ve C ikişer ikişer ayrık olaylar ise

P(A) + P(A') = P(E) = 1 dir.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.



6. BÖLÜM

Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olma olasılığı olabilir? A) - 1 2

D) 7 9

E) 9 7

B) 3 D) 7 D) 1 8 16 2

E) 5 8

B) 3 2

0 # p (A) # 1 olduğundan

C) 5 4

7 olabilir. 9

A ve B, E örnek uzayın alt kümeleridir.

P (A') = 7 P (B') = 3 ve P (A + B) = 1 8 4 16

olduğuna göre, P(A ∪ B) kaçtır? A) 5 16

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)'dir. P (A') =

7 1 ise P (A) = 8 8

P (B') =

3 1 ise P (B) = 4 4

P (A , B) = P( A ∪ B) =

1 1 1 + 8 4 16 5 olur. 16

İki zarın aynı anda havaya atılma olayında üst yüze gelen sayıların çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 36

B) 1 18

C) 1 D) 1 12 9

E) 1 4

İkisinin de tek olması gerekir. (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) P(Tek) =

9 1 = 36 4

9 durum vardır.


249


6. BÖLÜM

İki zar aynı anda havaya atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı nedir? A) 1 36

B) 1 18

C) 1 D) 1 12 9

E) 1 6

{(4,3), (3,4), (5,2), (2,5), (6,1), (1,6) } 7 gelme durumu 6 tanedir. 2 zar atıldığında 6.6 = 36 farklı durum oluşur. P (A) =

6 1 = 36 6

İki zar aynı anda havaya atıldığında üst yüze gelen sayıların yalnız birinin 2 olma olasılığı nedir? A) 11 36

B) 5 18

C) 1 D) 1 12 9

E) 1 6

{(2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) } 1

tanesi-

nin 2 olma durumu 11 tanedir.

11 P (A) = olur. 36

Bir zarın 3 yüzü sarı, 2 yüzü kırmızı ve 1 yüzü beyaza boyanıyor. Bu zar üç defa art arda havaya atıldığında üçünde de üst yüzüne sarı renk gelme olasılığı nedir? A) 1 4

B) 1 8

P (SSS) =

250

C) 1 D) 1 9 12

3 3 3 1 . . = 6 6 6 8


E) 1 16


6. BÖLÜM

Bir torbada renkleri dışında aynı özellikte 4 kırmızı 2 siyah bilye vardır. Bu torbadan bir bilye çekiliyor çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 1 6

P(k) =

B) 1 3

4

=

6

C) 1 2

D) 2 3

E) 5 6

2 3

Bir torbada renkleri dışında aynı özellikte 6 sarı, 4 mavi bilye vardır. Bu torbadan aynı anda 2 bilye çekliyor. Buna göre, çekilen bilyelerin farklı renklerde olma olasılığı kaçtır? B) 3 5

A) 8 15

P (SM) =

6 4 f p.f p 1 1 10 f 2 p

=

C) 2 D) 2 5 3

E) 7 15

8 15

Bir sınıfta 8 kız 4 erkek öğrenci vardır. Bu sınıftan art arda 3 kişi seçiliyor. Buna göre, seçilen kişilerin birincisinin kız, ikincisinin erkek, üçüncüsünün erkek olma olasılığı kaçtır? A) 1 5

P (KEE) =

B) 7 55

C) 6 D) 1 55 11

E) 4 55

8 4 3 4 . . = 12 11 10 55


251


6. BÖLÜM

Bir sepette 3 tane gül 2 tane lale 1 tane karanfil vardır. Çekilen çiçek geriye konmamak şartıyla 2 tane çiçek çekiliyor. Buna göre, çekilen çiçeklerin aynı cins olma olasılığı nedir? A) 7 18

3G 2L 1K

B) 5 12

C) 4 D) 17 9 36

E) 4 15

GG + LL 3 2 2 1 8 4 = . + . = = 6 5 6 5 30 15

İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde renkleri dışında aynı özellikte 3 beyaz, 3 siyah ikincisinde 2 beyaz, 4 siyah top vardır. Bu torbalardan bir top çekiliyor. Buna göre, çekilen topun beyaz olma olasılığı nedir? A) 5 12

3B 3S

B) 1 12

+

C) 7 D) 2 12 3

2B 4S

=

E) 3 4

1 1 1 2 5 . + . = 2 2 2 6 12

İki torbadan birincisinde renkleri dışında aynı özellikte 4 beyaz, 4 mavi bilye ikincisinde 2 beyaz, 6 mavi bilye vardır. Birinci torbadan rengine bakılmaksızın bir bilye çekilip ikinci torbaya atılıyor. Bundan sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekildiğinde bunun mavi olma olasılığı nedir? A) 17 18

4B 4M

252

B) 8 9

+

C) 5 D) 7 6 9

2B 6M

BM + MM 4 6 4 7 51 13 = . + . = = 8 9 8 9 72 18


E) 13 18


6. BÖLÜM

İçinde renkleri dışında aynı özellikte top bulunan iki torbadan A torbasında 1 beyaz, 6 kırmızı, B torbasında 4 beyaz, 3 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbadaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı nedir? A) 3 7

C) 24 D) 4 7 49

B) 22 49 A

B

1B 6K

+

4B 3K

A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}

B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}

E) 30 49

BB + KK 1 4 6 3 22 . + . = 7 7 7 7 49

kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı nedir? A) 1 9

B) 5 36

C) 1 D) 2 6 9

E) 1 4

s(A x B) = 36 s[(a, a)] = {(–1,–1), (0,0), (1,1),(2, 2), (3,3)} olmak üzere 5 tanedir. O halde

5 olur. 36

3 evli çift içerisinden rastgele 3 kişi seçiliyor. Buna göre, bu 3 kişinin içerisinde 1 evli çift olma olasılığı nedir? A) 3 5

=

3 f p .3 1 6 f p 2

B) 11 15

=

12

15

=

C) 4 D) 13 5 15

E) 14 15

3 5


253


6. BÖLÜM

f (x) =

x 2 - 9 olmak üzere,

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

kümesinin elemanlarından biri seçiliyor. Buna göre, seçilen eleman f(x) fonksiyonun tanım kümesinde bulunma olasılığı nedir? A) 1 8

B) 1 4

C) 3 D) 1 8 2

E) 5 8

f(3) = 0 f(4) =

7

f(5) = 4 f(6) =

27

f(7) =

40

Yani f(3), f(4), f(5), f(6), f(7) tanımlıdır.

5 8

48 kişilik bir sınıftaki 22 kızdan 8 tanesi gözlüklü ve erkeklerin 18 tanesi gözlüksüzdür. Bu sınıftaki gözlüklüler içerisinden bir kişi seçiliyor. Buna göre, seçilen kişinin gözlüklü erkek olma olasılığı nedir? A) 8 9

B) 7 9

C) 2 D) 5 3 9

Erkek

Kız

Gözlüklü

8

8

Gözlüksüz

18

14

Gözlüklü erkek:

E) 1 2

8 1 = 16 2

Özgür'ün bir hedefi vurma olasılığı 3 , Ceren'in aynı hedefi vuramama olasılığı 7 dür. 5 12 Buna göre, ikisi birer atış yaptığında en az birinin hedefi vurma olasılığı nedir? A) 5 6

B) 23 30

Ö√

C x

Ö x

C √

Ö √

C √

254

C) 11 D) 7 15 10

3 7 2 5 3 5 _ . + . + . b 5 12 5 12 5 12 b ` = b 46 23 b = = a 30 60


E) 2 3


6. BÖLÜM


Bir torbaya renkleri dışında aynı özellikte eşit sayıda mavi ve pembe bilyeler konuyor. Bu torbadan geri konulmamak üzere çekilen iki bilyenin ikisinin de pembe olma olasılığı 7 olur. 30

Buna göre, ilk durumda torbada kaç bilye vardır? A) 12

B) 14

Mavi bilye sayısı = x

Pembe bilye sayısı = x

C) 16

D) 18

E) 20

x x- 1 7 . = 2x 2x - 1 30

x- 1 7 = 2x - 1 15 x = 8 2x = 16

2.

İçinde renkleri dışında aynı özellikte top bulunan iki torbadan A torbasında 3 sarı, 2 kırmızı B torbasında, 4 sarı, 2 kırmızı bilye vardır. A torbasından bir bilye alınıp B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasında bir bilye çekilip A torbasına atılıyor.

Torbalardaki renk durumunun değişmeme olasılığı nedir? B) 4 5

A) 9 10 A

11+

E) 1 2

B

3S 2K

3.

D) 3 5

C) 7 10

SS + KK 21 3 3 5 2 3 = . + . = = 5 5 7 5 7 35

4S 2K

1 1 2 , 3 2 2 , 2- 1 30, - 2 , + + -1 + -1- 2 2 1+ 1 2

Yukarıda verilen beş sayıdan ikisi seçiliyor.

Buna göre, bu seçilen sayıların çarpımının tam sayı olma olasılığı nedir? A) 1 5 11+

(1 -

B) 3 10 2 2

= 2 2 - 3,

2)

1

C) 2 D) 1 5 2 2 2 + 3, 2

3 , 2 3

1 , 3 4

E) 3 5 4 5

1 ve 2'nin çarpımı ile 3 ve 5'in çarpımı tam sayıdır. P(A) =

2 1 dur. = 5 5 a2k


255

256

9. Sınıf Matematik Akıllı Defter

Recommend Documents