10. Sınıf Matematik Akıllı Defter

10. SINIF MATEMATİK AKKILLI DEFTER

Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.’ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Çözüm Yayınları Grafik Birimi

Çözüm Yayınları Dizgi Birimi

2015, Ankara

Yorum Matbaacılık 0 312 395 21 12

Değerli Öğretmenim,

FATİH Projesi ile ülkemizdeki hemen hemen tüm okullarımıza "akıllı tahtalar" yerleştirildi ve siz değerli öğretmenlerimizin kullanımına sunuldu. Akıllı tahtalar doğru bir şekilde kullanıldığında öğrenme süreçlerini hızlandıran, öğrenme düzeyini artıran etkili bir eğitim aracıdır. Akıllı tahtaların etkili bir şekilde kullanılabilmesi için seçilecek içerik büyük önem taşımaktadır. Çözüm Yayınları, akıllı tahta ile ders işleme sistemini Türkiye'de ilk uygulayan kuruluştur. Bünyesinde barındırdığı tüm dershanelerde bu sistem günümüze kadar başarı ile kullanılmıştır. Bu teknolojiyi kullanmanın getirdiği tecrübe ile hem öğrenci hem de öğretmeni aktif bir şekilde derste tutacak, öğrenme becerilerini maksimum düzeye çıkaracak içerikleri üretmek, Çözüm Yayınlarının kültüründe yer alan önemli bir birikimdir. Şu an kullandığınız bu eser, bu birikim ve tecrübenin bir ürünüdür. Uygulamalar sonucunda her yıl geliştirilerek bugünkü hâlini almıştır. Bu ürünün tamamlayıcısı olan "Akıllı Tahta Programı"mız ile öğretmenlerimiz tahtada dersini anlatırken öğrencilerimiz basılı bir materyal olan akıllı defterlerinden dersi takip edecek ve sizin tahtaya yazdığınız bilgileri defterlerine not edeceklerdir. Yeni bir yaklaşımda bulunarak Öğretmenler İçin Özel Akıllı Defter hazırladık. Öğretmenlerimiz için hazırladığımız bu defterde, öğrencilerimizde bulunan Akıllı Defterlerdeki not almak için bırakılan boşluklar dolduruldu. Öğrenci defterinde olmayan ancak öğretmen defterinde yer alan kısımlar farklı bir renk ile belirtilmiştir.

Birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa yanyana dizilecektir.

Öğrenci defterinde olmayan,

a. Kaç farklı şekilde dizilebilirler?

öğretmenlerimizin ders anla-

4 + 3 + 2 = 9 ⇒ 9!

Matematik

tımı sırasında öğrencilerimize not aldırması gereken yerler.

b. Matematik kitaplarının yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Fizik

Kimya

1 + 3 + 2 = 6 ⇒ 6! . 4! c. Aynı tür kitapların yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

Matematik

1

Fizik +

Kimya

1

+

1

= 3 ⇒ 3! . 4! . 2! . 3!

d. Herhangi iki fizik kitabının yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı şekilde dizi-

Öğretmenlerimiz için özel hazırlanan bu akıllı defter sayesinde, akıllı tahta olmadan da öğretmenlerimiz ders işleyebilir. lebilirler? gözden P(7, 3) = 7 . 6 . 5 = 210 Derslerden önce, anlatacakları konuları geçirebilir.

Ders anlatımı sırasında kullanacakları ek materyallerin notlarını defterlerine alabilirler.

Birlikte başarmak dileğiyle…Bir hastanede 3 doktor ve her bir doktorun ikişer tane asistanı vardır. Her doktorun kendi asistanlarının arasında olması koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilirler? Çözüm Yayınları A) 3! A

D1

B) 2!3! A

A

D2

A

Tekrarlı Permütasyon

C) 3!3! A

D3

A

D) 6!

⇒ 3! . 2! . 2! . 2!

E) 2!2!2!3!

1. BÖLÜM: Sayma: ............................................................................ 5 2. BÖLÜM: Olasılık: ......................................................................... 20 3. BÖLÜM: Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları: .......................... 29 4. BÖLÜM: Analitik Geometri: ........................................................... 70 5. BÖLÜM: Dörtgenler Ve Çokgenler: ................................................ 90 6. BÖLÜM: II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar: ........................ 138 7. BÖLÜM: Polinomlar: .................................................................. 180 8. BÖLÜM: Çember ve Daire: .......................................................... 221 9. BÖLÜM: Geometrik Cisimler: ....................................................... 243

Sayma

1. BÖLÜM SAYMANIN TEMEL KURALLARI 1. Toplama Kuralı A ve B sonlu, ayrık iki küme olsun.

s(AUB) = s(A) + s(B) ‘dir.

Bir sınıfta bulunan 14 kız, 10 erkek öğrenci arasından 1 kız veya 1 erkek öğrenci kaç farklı yolla seçilebilir? A) 10

B) 12

C) 14

D) 20

E) 24

14 + 10 = 24

A şehrinden B şehrine 2 farklı hava yolu, 4 farklı karayolu ve 1 farklı deniz yolu şirketi gitmektedir. A kentinden B kentine kaç farklı şirket ile gidilebilir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

2 + 4 + 1 = 7

2. Çarpma Kuralı Birbirinden farklı n tane işten 1. iş a1 farklı yolla, 2. iş a2 farklı yolla, ... n. iş an farklı yolla yapılabiliyorsa bu n tane iş birlikte (a1 . a2 . … an) değişik yolla yapılabilir.

Betül’ün 3 farklı gömleği, 5 farklı pantolonu vardır. Betül 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir? A) 3

B) 5

C) 8

D) 12

E) 15

3 . 5 = 15

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

5

Sayma

1. BÖLÜM B

A

C

A kentinden B kentine 2 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. A’dan C’ye giden bir yolcu; a. B kentine uğramak koşulu ile kaç farklı yoldan gidebilir? b. Giderken kullandığı yolu tekrar kullanmamak koşulu ile, kaç farklı yoldan gidip dönebilir? a) 2 . 4 = 8 b) gidiş = 2.4, dönüş = 3.1 ⇒ 8.3=24

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 100

B) 120

C) 150

D) 200

E) 216

6 . 6 . 6 = 216

A = {0, 1, 2, 3, 4}

kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız üç basamaklı pozitif tamsayılar yazılacaktır. a. Kaç farklı sayı yazılabilir? b. Kaç farklı çift sayı yazılabilir? C. 200’den büyük kaç farklı sayı yazılabilir? d. 100 ile 300 arasında kaç farklı çift sayı yazılabilir? a) 4 . 4 . 3 = 48 b) 3 . 3

.

2

{2,4}

+ 4 . 3 .

1

{0}

= 18 + 12 = 30

c) _ 3_ . 4 . 3 = 36 {2,3,4} d)

1 . 3 . ___3___ + _1_ . 3 . {1}

{0,2,4}

{2}

2

= 9+6=15

{0,4}

7 kişilik bir gruptan 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 49

B) 42

C) 36

7 . 6 = 42 Başkan Başkan yrd.

6


D) 14

E) 13

Sayma

1. BÖLÜM

8 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 29

E) 210

Sınava katılanlar kümesi A = {1, 2, ...., 8}, değerlendirme kümesi B={Başarılı, başarısız}

f: A → B

S(B)S(A) = 28

Faktöriyel Kavramı n ∈N olmak üzere 1’den n’e kadar olan pozitif tamsayıların çarpımına n faktöriyel denir.

n! = 1 . 2 . 3 … (n – 1) . n

0! = 1

10! 8! + 9! işleminin sonucu kaçtır?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

D) 8

E) 9

10 .9.8! 10! 10.9.8! = = =9 8! + 9.8! 8! (1 + 9) 8!.10

(n - 2) ! = 30 (n - 4) ! olduğuna göre n kaçtır?

A) 5

B) 6

C) 7

(n - 2).(n - 3) = 30 (n - 2) (n - 3) (n - 4) ! \ = 30 & \ 6 5 (n - 4) ! n- 2 = 6 n= 8

n tane farklı eleman kendi aralarında n! farklı şekilde sıralanır.

5 kız, 4 erkek öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir? A) 4!

B) 5!

C) 4 . 5!

D) 4!5!

E) 9!

5 + 4 = 9 kişi

9 kişi bir sıraya 9! farklı şekilde sıralanır.


7

Sayma

1. BÖLÜM Permütasyon

r, n doğal sayılar ve r ≤ n olmak üzere sonlu n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r tane elemanının her bir sıralanışına A kümesinin r’li permütasyonu denir. P (n, r) =

n! = n. (n - 1) ... (n - r + 1) (n - r) ! 144444 4244444 43 r tan e

P(n, 2) = 56

P (n, 2) =

olduğuna göre n kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

=

n! (n - 2) n!

n (n - 1) . (n- 2) !

(n- 2) ! = n. (n - 1) = 56 = n = 8 olur.

P(n, 3) = 24 . P(n – 3, 1) + 48

olduğuna göre n kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

n . (n – 1) . (n – 2) = 24 [(n – 3) + 2)] n. (n - 1) . ( n – 2) = 24 . (n - 1) n . (n – 2) = 24 6 . 4 = 24 n = 6

4 farklı oyuncak 6 çocuğa dağıtılacaktır. Bir çocuk en fazla bir oyuncak alacağına göre, oyuncaklar kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 120

B) 240

C) 360

D) 600

E) 720

P (6, 4) = 6 . 5 . 4 . 3 = 360

“Güneş”

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. a. Kaç farklı kelime oluşturulabilir? P(5, 5) = 5! = 120 b. “N” ile başlayıp “Ş” ile biten kaç farklı kelime oluşturulabilir? N

144424443 U, N, E

8

S & P (3, 3) = 3! =6


Sayma

1. BÖLÜM

Birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa yanyana dizilecektir. a. Kaç farklı şekilde dizilebilirler?

4 + 3 + 2 = 9 ⇒ 9!

Matematik

b. Matematik kitaplarının yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Fizik

Kimya

1 + 3 + 2 = 6 ⇒ 6! . 4! c. Aynı tür kitapların yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Matematik

Fizik

Kimya

1 + 1 + 1 = 3 ⇒ 3! . 4! . 2! . 3! d. Herhangi iki fizik kitabının yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

P(7, 3) = 7 . 6 . 5 = 210

Bir hastanede 3 doktor ve her bir doktorun ikişer tane asistanı vardır. Her doktorun kendi asistanlarının arasında olması koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 3! A

D1

B) 2!3! A

A

D2

A

C) 3!3! A

D3

A

D) 6!

E) 2!2!2!3!

⇒ 3! . 2! . 2! . 2!

Tekrarlı Permütasyon n tane elemandan a1 tanesi benzer (özdeş), a2 tanesi benzer, … ak tanesi benzer ise bu n tane eleman

n! a1! . a2 !. ... ak !

farklı şekilde sıralanırlar.

Özdeş 3 kırmızı, 4 beyaz bilye yanyana kaç farklı şekilde sıralanır? A) 6

B) 24

C) 35

D) 144

E) 330

K K K B B B B 3 + 4 = 7 ⇒

7! = 35 3!.4!

“ANKARA”

kelimesinin harfleri ile 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? A) 20

B) 30

C) 60

D) 120

E) 720

A A A N K R 6! 120 = 3!


9

Sayma

1. BÖLÜM

1100222 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 30

B) 50

C) 80

D) 90

E) 110

1 _ _ _ _ _ 0 5! & 20 3! 1 _ _ _ _ _ 2 5! & 30 2!2! 20 + 30 + 30 + 30 = 110 2 _ _ _ _ _ 0

5! & 30 2!2!

2 _ _ _ _ _ 2

5! & 30 2!2!

A

Yandaki şekil eş karelerden oluşmuştur. A noktasında duran bir kişi sadece sağa ve aşağıya hareket edebilmektedir. a. A’dan C’ye kaç farklı yoldan gidilebilir?

B

b. B noktasından geçmek koşulu ile C noktasına kaç farklı

yoldan gidilebilir?

C a)

12! = 616 7!.5!

b)

7! . 5! = 35.10 4!3! 3!2! = 350

Ç

Ö

Z

Ö

Z

Ü

Z

Ü

M

Şekilde ok yönlerinde ilerlenerek kaç farklı “ÇÖZÜM” kelimesi elde edilebilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

4! =6 2 !2 !

Dairesel (Dönel) Permütasyon n elemanlı bir A kümesinin elemanlarının bir çember üzerinde sıralanışlarının sayısı (n – 1)!’dir.

10


Sayma

1. BÖLÜM

3 kız, 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 4!

B) 5!

C) 6!

D) 7!

E) 8!

3 + 4 = 7 kişi

7 kişi yuvarlak masa etrafına;

(7 – 1)! = 6!

farklı şekilde sıralanır.

Aralarında Gözdem, Korhan ve Emrah’ın da bulunduğu 7 kişi yuvarlak bir masada yemek yiyeceklerdir. a. Korhan ve Gözdem’in yan yana olması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

K,G 1 kişi ⇒ (6 – 1)! . 2! = 5! . 2! = 240

b. Korhan ve Emrah arasında Gözdem’in olması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

KGE 1 kişi ⇒ (5 – 1)! . 2! = 4! . 2! = 48

c. Emrah ve Korhan’ın yan yana olmaması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

Tüm dizilişler – Emrah ve Korhan’ın yanyana olduğu dizilişler.

(7 – 1)! – [(6 – 1)! . 2!] = 6! – 5! . 2! = 480 n farklı anahtar; I. maskotlu bir anahtarlığa n! 2 (n - 1) ! II. maskotsuz bir anahtarlığa değişik biçimde dizilir. 2

Birbirinden farklı 6 anahtar bir halkaya kaç farklı biçimde dizilebilir? A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 180

Halka ⇒ maskotsuz anahtarlık gibi düşünülebileceğinden;

=

(6 - 1) ! 5! = 2 2

= 60

Kombinasyon n, r doğal sayılar ve r ≤ n olmak üzere n tane elemandan r tanesinin seçilmesine n’in r’li kombinasyonu denir. n P (n, r) n! C (n, r) = e o = = r! ( n - r) ! r! r


11

Sayma

1. BÖLÜM

5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 5

B) 10

C) 12

D) 15

E) 21

D) 7

E) 8

5 C(5, 2) = f p = 5! = 10 2 2!3!

A = {0, 2, 4, 6, 8}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında, a. “0” eleman olarak bulunur? b. “2” bulunur, “4” bulunmaz? 4 2

f p

0

a)

b)

=6

3 2

f p

2

=

3

n n e o= e o n- r r n n e o = e o = 1 ve n 0

n n e o= e o= n n- 1 1

n n e o+ e o = 30 n- 2 2

olduğuna göre, n kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

n n n & 15 f p= f n - 2p f 2p = 2 W \ 15

15

&

n. (n - 1) (n - 2) ! n! & = 15 (n - 2) !2! (n - 2) !.2!

n . (n- 1) = 30

6 . 5 = 30

n = 6

n n e o = e o ise a = b veya a + b = n’dir. a b

12


Sayma

1. BÖLÜM

8 8 e o= e o 2m - 7 m

olduğuna göre, m’ nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5

B) 7

8 8 f p= f m 2m - 7 p

C) 12

D) 15

E) 17

1. durum: m = 2m - 7 m= 7 & 2.durum: (m) + (2m - 7) = 8

7 + 5 = 12

3m - 7 = 8 m= 5

7 kişilik bir kampçı grubu arasından 3 kişilik bir ekip ve bu ekip içinden de 1 lider seçilecektir. Buna göre kaç farklı seçim yapılabilir? A) 21

B) 35

C) 42

7 kampçıdan 3 kişi; C(7, 3) =

7.6.5 = 35 3!

3 3 kişiden 1 lider; C(3, 1) = f p = 3 1

D) 70

E) 105

35.3 = 105

Aralarında Özgür, Fatma ve Doğukan’ın da bulunduğu 8 kişilik bir ekip arasından 3 kişi seçilecektir. Bu üç kişi arasında Özgür ve Doğukan’ın bulunduğu, Fatma’nın ise bulunmadığı bilindiğine göre kaç farklı seçim yapılabilir? A) 5

B) 7

C) 12

D) 15

E) 17

Üçüncü kişi Özgür, Fatma ve Doğukan dışında kalan 5 kişi arasından seçileceğinden;

5 C(5, 1) = f p = 5 1

12 soruluk bir sınavda öğrencinin 10 soru cevaplaması istenmektedir. İlk 6 sorudan en az 5’ini cevaplamak koşulu ile öğrenci 10 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? A) 15

B) 36

C) 51

D) 63

E) 78

1. durum: ilk 6 sorudan 5’i, ikinci 6 sorudan 5’i cevaplandırılabilir; 6 6 C(6, 5) . C(6, 5) = f pf p = 6.6 = 36 5 5

= 36 + 15 = 51

2. durum: ilk 6 sorudan 6’sı, ikinci 6 sorudan 4’ü cevaplandırabilir;

6 6 C(6, 6) . C(6, 4) = f p . f p = 1.15 = 15 6 4


13

Sayma

1. BÖLÜM Aynı düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokta ile 1.

n e o tane doğru 2

2.

n e o tane üçgen 3

3.

n e o tane dörtgen çizilebilir. 4

Bir çember üzerindeki 8 noktadan en çok kaç doğru geçer? A) 21

B) 28

C) 36

D) 42

E) 56

8 C(8, 2) = f p = 8.7 = 28 2 2

Şekilde belirtilen 9 noktadan en çok kaç doğru geçer? A) 18

B) 20

C) 21 d1

D) 26

E) 28

Şekilde bulunan toplam 9 noktanın herhangi 2'si seçilir. Ancak d1, d2 ve

d3 üzerindeki noktalar zaten doğrusal olduğundan tüm seçimlerden aynı doğru üzerinde yapılabilecek seçimler çıkarılır. Ayrıca d1, d2 ve d3 tek

başlarına birer doğru belirttiğinden bu 3 doğru sonuca eklenir. C(9, 2) – [C(5, 2) + C(3, 2) + C(4, 2)] + 3 R V S5 9 3 4W 5.4 3 4.3 3 + + 2 G+ f 2 p - Sf 2 p + f 2 p + f 2 pW + 3 = 92.8 ! = 2! SS WW T X = 36 910 + 3 + 6C + 3 = 20

d3 d2

d1 d2

Şekilde belirtilen 10 noktayı köşe kabul eden en çok kaç tane üçgen çizilebilir? A) 18

B) 24

C) 36

C(10, 3) – [C(4, 3) + C(6, 3)] f

4 6 10 10.9.8 4 65.4 -: + 3 p - >f 3 p + f3pH = 3! 3! D = 120 - 24 = 96

14


D) 72

E) 96

Sayma

1. BÖLÜM

Yalnızca d1 doğrusu için C(3, 2) tane üçgen oluşturulabilir. Aynı sayıda seçim d2, C

d3 ve d4 içinde yapılabileceğinden;

C

d1

Şekilde kaç tane üçgen vardır? A) 6

B) 8

d2 C) 12

D) 15

E) 18

d3 d4 3 4 . C(3, 2) = 4 . f p = 4 . 3 = 12 2

Verilen şekilde, A

d1

a. Kaç tane paralelkenar vardır?

d2

b. Bir köşesi A noktasında olan kaç tane paralelkenar vardır?

d3 d4

m1

m2

m3

m4

b) C(3, 1) . C(3, 1)

a) C(4, 2) . C(4, 2) 4 4 = f p . f p 2 2

3 3 f p.f p 1 1

= 6 . 6

= 3 . 3

= 36

= 9

Verilen şekilde, a. Kaç tane dikdörtgen vardır? b. Alanı 3 br2 olan kaç tane dikdörtgen vardır? c. Alanı 1 br2 den büyük kaç tane kare vardır?

a) C(7, 2) . C(5, 2)

c) 5 . 3 + 4 . 2 + 3 . 1

7 5 f p.f p 2 2

b) 4 . 4 + 6 . 2

= 16 + 12

= 21. 10

= 28

=26

= 210

= 15 + 8 + 3


15

Sayma

1. BÖLÜM Aynı düzlemde,

n ► Çakışık olmayan n tane çember en çok 2 e o farklı noktada, 2 n ► Herhangi iki kenarı çakışık olmayan n tane üçgen en çok 3.2 e o noktada 2 n ► Herhangi iki kenarı çakışık olmayan n tane dörtgen en çok 4.2. e o nok2 tada kesişir.

Herhangi ikisi çakışık olmayan 6 farklı altıgen en çok kaç noktada kesişir? A) 120

B) 150

C) 180

D) 200

E) 240

6 6.2. f p = 12.15 2

= 180

Tekrarlı Kombinasyon n, r ∈N ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı tekrarlı kombinasyonlarının sayısı,

C(n – 1 + r, r)’dir.

Özdeş 4 kalem 9 farklı kalem kutusuna, her birine istenilen sayıda konulmak üzere kaç değişik biçimde dağıtılabilir? 12 12 12 B) e o C) e o A) e o 5 4 9 C(9 + 4 – 1, 4)

13 13 D) e o E) e o 4 9

⇒ C(12, 4) 12 ⇒ f 4p

7 özdeş bilye 4 çocuğa, her birine en az bir tane verilmesi koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 15

B) 20

C) 30

D) 35

E) 56

Her bir çocuğa birer tane verildikten sonra kalan 3 bilye 4 çocuğa dağıtılacaktır.

C(4 + 3 – 1, 3)

6 C(6 ,3) = f p = 20 3

16


Sayma

1. BÖLÜM Binom Açılımı x, y ∈R ve n∈N olmak üzere, n n n n (x + y) n = e o xn .y0 + e o xn - 1.y1 + ... + e o xn - r .yr + ... + e o x0 .yn 0 1 r r 0 (x + y)0 ................................ e o 0 1 (x + y)1 ...................... e o 0 2 (x + y)2 ................ e o 0 3 (x + y)3 ......... e o 0

.............................1 1 e o 1 2 e o 2

2 e o 1 3 e o 1

.....................1

3 e o 2

................1 3 e o 3

.........1

1

2

3

1

3

1

(x + y)4 ifadesinin açılımını yapınız. x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)n açılımında ► (n + 1) tane terim vardır. ► Her terimde x ve y’nin kuvvetlerinin toplamı n’dir.

(x – 2y)2m – 1

ifadesinin binom açılımındaki terim sayısı 16 olduğuna göre, m kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

(2m – 1) + 1 = 16

2m = 16

m = 8

(2x + y)m

ifadesinin binom açılımındaki terimlerden biri ax5 . y6 olduğuna göre, m kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

ax5 . y6 ⇒ 5 + 6 = 11 = m


17

Sayma

1. BÖLÜM (x + y)n açılımında ► Katsayılar toplamı için değişkenler yerine 1 ► Sabit terim için değişkenler yerine 0 yazılır.

(x – 2y + 2)5

ifadesinin binom açılımında katsayılar toplamı A, sabit terim B olduğuna göre, A . B çarpımının değeri kaçtır? A) 8

B) 12

A = (1 - 2 + 2) 5 = 15 = 1 B = (0 - 0 + 2) 5 = 25 = 32

C) 16

D) 18

E) 32

A.B = 32.1 = 32

► (x + y)n açılımı x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan n (r +1). terim e o xn - r .yr dir. r ► (x + y)2n açılımı x’in artan veya azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde 2n ortanca terim e o xn .yn 'dir. n

(x + y)8

ifadesinin açılımı x’in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında baştan 4. terimin katsayısı kaç olur? 8 8 B) e o A) e o 1 2

8 C) e o 3

8 8 D) e o E) e o 4 5

8 Baştan 4. terim ⇒ f p x5 .y3 3

(x – 2y)6

açılımında ortanca terim aşağıdakilerden hangisidir? A) –360x2y4

B) –160x3y3

C) 120x4y2

6 & f p . (x) 3 . (- 2y) 3 3

& 20.x3 . (- 8) y3 = - 160x3 y3

18


D) 180x3y3

E) 360x3y3

Sayma

1. BÖLÜM 2 6 bx + x l ifadesinin açılımında x4 lü terimin katsayısı kaçtır?

A) 12

B) 30

C) 60

D) 80

E) 180

Baştan (r + 1) terim x4 lü terim olsun. 6 6 6 r r 6 r 2 r r f p . (x) - . b x l & f p .x - .2 .xr r

6 & f p .2r .x6 - 2r , x6 - 2r = x 4 r

6 – 2r = 4

r = 1 6 1 4 4 f p . 2 . x = 6. 2 . x 1 = 12x4 olduğundan katsayı 12 dir.

1 6 b x + xl açılımındaki sabit terim kaçtır?

A) 6

B) 12

C) 15

D) 20

E) 24

Sabit terim, x° in bulunduğu terimdir. Baştan (r + 1) terim x° lı terim olsun. 6 6 3 r 6 r r r f p . ( x ) - . (x) - & f p .x - 2 .xr r

3r 3r 6 & f p .x3 - 2 . x3 - 2 = xc r

6 & f p .xc = 15 2

3 - 3r = 0 2 r= 2

^4 2 + 3 5 h

7

açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 180

B) 210

C) 270

D) 350

E) 360

(4 2 ) teriminin kuvvetleri 4 veya 4’ün katı (3 5 ) teriminin kuvvetleri 3 veya 3’ün katı olmalı 7 4 3 f p (4 2 ) . (3 5 ) & 35.2.5 3

= 350


19

Olasılık

2. BÖLÜM OLASILIK E, eş olumlu örnek uzay ve A bu örnek uzayda bir olay olsun

P(A): A olayının olma olasılığı

s(A): A olayının eleman sayısı

s(E): E örnek uzayının eleman sayısı olmak üzere,

s (A) $ istenilen durum P (A) = s (E) $ tüm durum

Bir torbada 2 mavi, 3 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. Torbadan rastgele seçilen bir topun mavi renkte olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

C) 1 5

B) 1 3

D) 2 E) 3 5 5

2 + 3 + 5 = 10 & 2 = 1 10 5

3 erkek ve 5 kızdan oluşan bir gruptan rastgele 4 kişi seçilecektir. Seçilen bu grupta en az 2 erkek bulunma olasılığı kaçtır? B) 2 7

A) 1 2

C) 3 7

D) 1 E) 3 14 14

2 erkek 2 kız veya 3 erkek 1 kız seçilme olasılığı hesaplanmalıdır. 3 5 f pf p 2 1 8 f p 4

+

3 5 f pf p 3 1 8 f p 4

=

3.5 + 1.5 8765 4! 20 2 = 70 = 7

İki zarın aynı anda atılması deneyinde zarların üst yüzeylerine gelen sayıların toplamının 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır? A) 1 6

B) 1 9

C) 5 36

D) 7 E) 11 36 36

İki zar havaya atıldığında 6 . 6 = 36 durum oluşur. 1, 4 _ b 2, 3 b b 3, 2 bb 6 1 ` istenilen koşula uygun 6 durum vardır. ⇒ 36 = 6 4, 1 b b 6, 4 b b 4, 6 a

20


Olasılık

2. BÖLÜM

Bir ayakkabılıkta bulunan 7 çift ayakkabı arasında rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen ayakkabıların çift olma olasılığı kaçtır? A) 1 7 7 f p 1

14 f 2p

B) 7 26

=

C) 6 13

D) 1 E) 1 13 2

7 7 1 = = 14.13 7.13 13 2

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

kümesinin bütün alt kümeleri birer kağıda yazılıp torbaya atılıyor. Buna göre, torbadan çekilen kağıdın üzerinde yazılı olan kümenin üç elemanlı olma olasılığı kaçtır? A) 1 6

B) 5 16

C) 15 64

D) 13 E) 35 32 64

s(A) = 6 ve 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri 26 tanedir. 6 f p 3 26

=

20 5 = 64 16

Koşullu Olasılık E, eş olumlu örnek uzayında iki olay A ve B olsun. B olayının gerçekleşmesi durumunda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir. P(A | B) ile gösterilir. P (A + B) s (A + B) P(A B)) = P (A| B = P (B) s (B)

E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P (A') = 3 ve P (A + B) = 1 olduğuna göre, 5 4 P(B | A) kaçtır? A) 2 5

B) 5 8

C) 1 10

D) 5 E) 3 12 20

P(A’) = 3 & P (A) = 2 5 5

P (B A) =

1 P (A + B) 1 .5 = 4 2 = 4 2 P (A) 5

5 = 8


21

Olasılık

2. BÖLÜM

Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 3’ten büyük olduğu bilindiğine göre asal sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 2 3

D) 1 E) 1 4 6

4_ b Zarın üst yüzüne gelen sayının “3” ten büyük olduğu üç durum vardır. b 5` 1 b Hem 3 ten büyük, hem de asal olma koşulunu yalnızca “5” sağlar. ⇒ 3 6b a

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olduğu bilindiğine göre bu sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 2 3

D) 1 E) 1 5 4

4, 6 _ b b üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olduğu üç durum vardır. Bu üç 5, 5 ` b durumda yalnızca (5, 5) istenilen koşula uygundur. ⇒ 1 3 6, 4 b a

İki zar birlikte atılıyor. Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine göre diğer zarın asal sayı olma olasılığı kaçtır? B) 1 11

A) 1 2

(1, 4) (5, 4) (4, 3)_b b (2, 4) (6, 4) (4, 5)b ` (3, 4) (4, 1) (4, 6)b bb (4, 4) (4, 2) a

C) 2 11

D) 6 E) 5 11 12

zarlardan birinin 4 olduğu toplam 11 durum vardır. Bu 11 durumdan istenilen koşula uygun olanlar; (2,4)(3,4)

(5,4)(4,2)(4,3)(4,5) & 6 11

“ÇÖZÜM”

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız tüm kelimeler yazılıyor. Bu kelimeler arasında seçilen bir kelimenin “Z” harfi ile başladığı bilindiğine göre, “Ç” ile bitme olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 1 4

D) 2 E) 5 3 12

Z __ __ (4!) __

Z harfi ile başlayan 24 kelime vardır.

z __ __ (3!) __ Ç_

Z harfi ile başlayıp Ç harfi ile biten 6 kelime vardır. & 6 = 1 24 4

22


Olasılık

2. BÖLÜM

30 kişilik bir sınıfta futbol ve voleybol oynayanlar vardır. Sadece futbol oynayanlar 10 kişi, en çok bir spor yapanlar 24 kişidir. Seçilen bir öğrencinin futbol oynadığı bilindiğine göre, voleybol oynayan öğrenci olma olasılığı kaçtır? A) 3 5

B) 4 5

F

C) 3 8

En çok bir spor yapanlar 24 kişi ise geriye

V 10

D) 5 E) 3 6 10

kalan 6 kişi her iki sporuda yapıyordur. Bu durumda futbol oynayan 16 kişi, aynı zaman-

6

da voleybolda oynayan 6 kişi vardır. & 6 = 3 16 8

Üç çocuklu bir ailede çocuklardan birisinin kız olduğu biliniyor. Buna göre diğer iki çocuğun erkek olma olasılığı kaçtır? B) 3 7

A) 5 8 KKK KKE KEK EKK

KEE _ b EKE bb ` EEK b b EEE b a

C) 1 7

D) 3 E) 1 4 3

ailenin çocuklarından en az birinin kız olduğu 7 durum vardır.

Diğer ikisinin erkek olduğu 3 durum olduğuna göre cevap 3 7

olur.

Bir sınıftaki öğrencilerin %60’ı matematik, %50’si fizik dersinden kalmıştır. Öğrencilerin %10’u ise her iki dersten geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten kaldığı bilindiğine göre, fizikten geçmiş olma olasılığı kaçtır? A) 5 6

B) 1 6

C) 2 3

D) 1 E) 1 3 2

Sınıf 100x olsun. Bu durumda 60x öğrenci matematikten, 50x öğrenci fizikten kalmıştır. Öğrencilerin %10’u yani 10x öğrenci her iki dersten geçtiğine göre,

100x – 10x = 90x

kalan 90x öğrenci en az bir dersten kalmıştır. Matematik veya fizikten kalanların kümesi s(MUF) olmak üzere;

s(MUf) = s(M) + s(F) – s(M∩F)

90x = 60x + 50x – s(M∩F)

s(M∩F) = 20x olur.

F

M 40x

20x

& 40x = 2 3 60x

30x 10x


23

Olasılık

2. BÖLÜM

Özgür bir alışverişte aldığı ürünlerin %30’unu A marketinden, %40’ını B marketinden kalanı C marketinden almıştır. A marketinden aldığı ürünlerin %10’u, B marketinden aldığı ürünlerin %5’i ve C marketinden aldığı ürünlerin %20’si bozuk çıkmıştır. Satın alınan ürünlerden bir tanesi seçiliyor. Seçilen malın bozuk olduğu bilindiğine göre, C marketinden alınmış olma olasılığı kaçtır? A) 1 5

B) 1 6

C) 2 11

D) 3 E) 6 11 11

Özgür 100x ürün almış olsun. 30x " 3x bozuk _b b 40x " 2x bozuk ` b 30x " 6x bozuk b a

A B C

bozuk ürünlerin toplamı; 3x + 2x + 6x = 11x o halde C’den alınmış olma olasılığı; 6x = 6 11x 11

İki torbadan birincisinde 3 beyaz, 4 kırmızı, ikincisinde 3 beyaz, 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Bu torbaların birinden bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre ikinci torbadan alınmış olma olasılığı kaçtır? A) 23 67

B) 28 67

3B

3B

4K

5K

I

II

Bu

durumda

C) 31 67

I. torbadan kırmızı çekilme olasılığı & 1 . 4 = 4 2 7 14 II. torbadan kırmızı çekilme olasılığı & 1 . 5 = 5 2 8 16 torbaların

olasılığı & 4 + 5 = 67 14 16 112 o halde istenilen;

D) 35 E) 47 67 67

herhangi

birisinden

kırmızı

çekilme

5 16 = 35 67 67 112

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Oluşumları birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olay denir. Bağımsız olmayan olaylara ise bağımlı olaylar denir. ► Eğer A ve B bağımsız olaylarsa A ve B’nin gerçekleşme olasılığı

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)’dir

► Eğer A ve B bağımlı olaylarsa A ve B’nin gerçekleşme olasılığı; s (A + B) P (A + B) = 'dir. s (E) A veya B’nin gerçekleşme olasılığı;

P(A,B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)’dir.

Burada P(A∩B); ► A ile B bağımsız ise P(A∩B) = P(A) . P(B) s (A + B) ► A ile B bağımlı ise P(A∩B) = 'dir. s (E)

24


Olasılık

2. BÖLÜM

A ve B, E örnek uzayının bağımsız iki olayı olmak üzere;

B) 6 7

C) 4 49

D) 20 49

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)’dir.

A

ve

B

bağımsız

olaylar

P(A∩B) ⇒ 4 . 1 = 4 olur. 7 7 49

P (A) = 4 , P (B) = 1 7 7 olduğuna göre, P(A,B) kaçtır?

A) 5 7

E) 31 49

olduğundan,

Bu durumda; P(A∪B) = 4 + 1 - 4 = 31 7 7 49 49

A ve B aynı örnek uzayın bağımsız iki olayı, P (A) = 3 ve P (B') = 2 5 4 olduğuna göre, P(A,B) kaçtır?

A) 3 10

B) 9 10

C) 3 20

D) 13 E) 17 20 20

P (B) + P (B') = 1 & P (B) + 2 = 1 5

_ bP (A , B) = P (A) + P (B) - P (A + B) b b 3 3 9 & P (B) = 3 olur. = + 5 - 20 ` 5 4 b 18 9 P (A + B) = P (A) .P (B) & P (A + B) = 3 . 3 = 9 bb = 20 = 20 4 5 10 a

Bir zar ve bir madeni paranın birlikte atılması deneyinde zarın üst yüzüne gelen sayının çift ve madeni paranın yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 3

B) 2 3

C) 1 4

D) 3 E) 1 4 6

(2, 4, 6). (Y) 1442443 Z = 1 3 1 4 6 2

İki zar ve iki madeni para birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı veya paraların her ikisininde yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 4

B) 1 6

C) 3 8

11 _ b 22 b b 33 bb 1 zarların aynı gelme olasılığı: `6 44 b b 55 b b 66 a YY _ b YT bb 1 paraların yazı gelme olasılığı: `4 TY b b TT b a Bağımsız olaylar olduklarından

P(A∩B) = 1 . 1 = 1 6 4 24

D) 5 E) 1 12 24 _ b b b b b b b b b bP (A , B) = P (A) + P (B) - P (A + B) b1 1 1 ` 6 + 4 - 24 b b= 9 = 3 b 24 8 b b b b b b b b a


25

Olasılık

2. BÖLÜM

Fatma ve Doğukan’ın matematik dersinden geçme olasılıkları sırasıyla 5 ve 3 ’dir. 7 8 Buna göre yalnız Fatma’nın matematik dersinden geçme olasılığı kaçtır? A) 5 28

B) 25 28

C) 15 56

D) 25 E) 39 56 56

Fatma matematik dersinden geçmeli: 5 7

Doğukan matematik dersinden geçmemeli: 1 - 3 = 5 8 8 5 5 25 P(A∩B)=P(A) . P(B) = . 7 8 = 56

Başak ve Gözdem’in bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 3 ve 5 ’dır. Başak ve Gözdem 4 6 aynı hedefe birer atış yaptıklarında hedefin vurulma olasılığı kaçtır? A) 3 8

B) 5 12

C) 7 12

P(A∪B) = P(A) +P(B) – P(A∩B)

D) 15 24

E) 23 24

⇒ 3 + 5 - 15 4 6 24

⇒ 23 24

a) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 2 2 2 2 2 32 Bir madeni para arka arkaya 6 kez atıldığında, a. İlk üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığı kaçtır? b. Üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığı kaçtır?

b) Ü çünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olayında sıralama söz konusudur. Bu nedenle istenilen durum tekrarları permütasyonla hesaplanır.

A torbasında 3 kırmızı 5 siyah, B torbasında ise 4 kırmızı 5 siyah bilye vardır. A torbasından rastgele bir bilye seçilip, rengine bakılmaksızın B’ye atılıyor. Son durumda B torbasından seçilen bir bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 7 16

B) 3 10

3K

4K

5S

5S

A

B

C) 5 8

D) 3 E) 1 8 4

1. durum: A torbasından siyah çekilmesi durumunda B torbasında 4 kırmızı 6 siyah bilye olacaktır. 5 4 = 20 . 8 10 80

2. durum: A torbasından kırımızı çekilmesi durumunda B torbasında 5 kırmızı, 5 siyah bilye olacaktır.

3 . 5 = 15 8 10 80

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 20 15 35 7 = = + 80 80 80 16

26


5! 2!3! = 10 = 5 32 32 16

Olasılık

2. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

B

A

Torbalardan A’nın seçilme olasılığı

3 B torbasının seçilme 8 1 2 olasılığı B'den mavi seçme olasılığı , C 3 8

mavi çekme olasılığı

C

3 mavi

2 mavi

4 mavi

5 beyaz

6 beyaz

4 beyaz

torbasının seçilme olasılığı

Şekilde A, B ve C torbalarında bulunan mavi ve beyaz bilye sayıları verilmiştir. Torbalardan biri seçilip, içinden bir bilye çekilecektir. Buna göre, çekilen bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? A) 11 16

B) 9 16

C) 7 8

D) 5 8

E) 3 8

2. Bir sınavı Ceren’in kazanma olasılığı 72 , Deniz’in kazanma olasılığı 51 ’tir.

Buna göre, sınavı yalnız birisinin kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 7

B) 2 35

C) 7 35

1 , A’dan 3

D) 8 35

E) 13 35

1 , C’den mavi 3

4 8 1 3 1 2 1 4 9 3 . + . + . = = 3 8 3 8 3 8 24 8

seçme olasılığı

Ceren kazanır, Deniz kazanamaz; 2 4 8 . = 7 5 35 Deniz kazanır, Ceren kazanamaz; 1 5 5 . = 5 7 35 8 5 13 = + 35 35 35

Erkek: 9 + 11 + 7 = 27 kişi Kadın: 12 + 10 + 5 = 27 kişi Topluluk: 27 + 27 = 54

3.

18 – 24

25 – 31

32 – 38

Erkek

9

11

7

Kadın

12

10

5

18 – 24 yaş: 9 + 12 = 21 kişi P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Tabloda bir toplulukta bulunan kişilerin yaş aralıkları ve cinsiyetlerine göre sayıları verilmiştir.

Buna göre, bu topluluktan bir kişinin kadın veya 18–24 yaş aralığında olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

4.

C) 4 7

B) 2 3

D) 2 9

7 18

Şekilde f: [–4, 7] → R fonksiyonu verilmiştir.

y

[–4, 7] aralığından rastgele seçilen birbirinden farklı a ve b tam sayılarının; -4

-2

1

5

B) 5 11

C) 11 12

D) 7 22

1 7 2 12 2 - = = + 2 18 9 18 3 f(a) . f(b) > 0 için; f(a) > 0, f(b) > 0 veya

f(a) < 0, f(b) < 0 olmalıdır.

f(x)’in pozitif değer aldığı aralıkta –1, 0, 6, 7 } 4 tam sayı değeri

f(a) . f(b) > 0 koşulunu sağlama olasılığı kaçtır?

A) 5 6

7

x

27 1 = 54 2 21 7 Kişinin 18 – 24 yaşta olma olasılığı: = 54 18 Kişinin hem kadın hem 18 - 24 yaşta olma 12 2 olasılığı: = 54 9 1444444444444442444444444444443 Kişinin kadın olma olasılığı:

E) 8 33

f(x)’in negatif değeri aldığı aralıkta –4, –3, 2, 3, 4} 5 tam sayı değeri [–4, 7] aralığında 12 tane tam sayı vardır. 12 Herhangi ikisinin seçimi f farklı yolla 2p gerçekleşir. 5 4 f p f p 2 2 16 8 = = + 66 33 12 12 f 2p f 2p


27

Olasılık

2. BÖLÜM 5.

Bir torbada 4 kırmızı 5 siyah bilye vardır. Torbadan bir bilye alınıp yerine diğer renkten

1. durum: İlk çekilen bilye kırmızı olursa;

bir bilye konmaktadır. Buna göre, torbadan seçilen ikinci bilyenin kırmızı olma

Torbada 3 kırmızı, 5 siyah bilye kalır. Yerine

olasılığı kaçtır? A) 1 3

6.

konulan siyah ile birlikte son durumda 3

B) 4 9

C) 4 27

A

D) 25 81

E) 37 81

Köşeleri şekildeki 11 nokta üzerinde bulunan üçgenler çizilecektir. Bu üçgenlerin bir köşesinin A noktasında olma olasılığı kaçtır?

B) 13 C) 4 A) 13 135 45 35 Şekildeki 11 nokta ile çizilebilecek

D) 7 E) 3 15 13 Bir köşesi A’da olan tüm üçgen-

tüm üçgenlerin sayısı; 11 5 6 165 - 10 - 20 f 3 p - f 3 p - f3p =

lerin sayısı 6 6 6 f p + f p . f p = 15 + 4.6 2 1 1

= 135

tan e

kırmızı 6 siyah bilye olur. 4 3 12 . = 9 9 81

2. durum: İlk çekilen bilye siyah olursa; torbadan 4 kırmızı, 4 siyah bilye kalır. Yerine konulan kırmızı ile birlikte son durumda 5

kırımızı 4 siyah bilye olur. 5 5 25 . = 9 9 81

1444444444444442444444444444443 12 25 37 = + 81 81 81

= 39 tan e

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 39 13 = 135 45

7.

Bir sınıftaki kız öğrencilerin %20’si, erkek öğrencilerin %25’i matematikten bütünlemeye kalmıştır. Kızlar tüm öğrencilerin %60’ıdır. Buna göre rastgele seçilen bir öğrenci matematikten bütünlemeye kalmış olduğuna göre, erkek olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 1 4

D) 5 E) 6 11 10

20 Sınıf 100x kişi olsun %60 kız öğrenci, 60x kişidir. Kalan 40x erkektir. Kız öğrencilerin %20'si; 60x. = 12x kişi 100 25 kalan erkek öğrencilerin %25'i; 40x = 10x kişi kalan 100 1444444444444444444444444442444444444444444444444444443

Kız

Erkek

Kalan

Kalmayan

10x

30x

12x

48x

Bütünlemeye kalan 22x kişinin 10x’i erkek olduğuna göre,

10x 5 = 22x 11

8.

kümelerinden biri seçilip, içinden rastgele bir sayı alınıyor. Seçilen sayı asal olduğuna

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve B = {8, 9, 10, 11, 12, 13}

göre, B kümesinden seçilmiş olma olasılığı kaçtır? B) 1 C) 4 D) 7 E) 19 A) 1 7 7 6 19 42 A kümesinden asal sayı seçilme olasılığı; B kümesinden asal sayı seçilme olasılığı;

1 4 2 . = 2 7 7

1 2 1 . = 2 6 6

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 1 7 2 1 19 6 = + = 19 19 7 6 42 42

28


Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

FONKSİYONLARIN ÖTELENMESİ VE SİMETRİ DÖNÜŞÜMLERİ f : R → R olmak üzere, y

x

O y=f(x)

grafiği ile verilen y = f(x) fonksiyonu için, y

y

► y = f(x) + k fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim yukarı ötelenir.

x

O

x

O

k birim

y=f(x)

y=f(x)

y

y

► y = f(x) – k fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim aşağı

x

O

ötelenir.

y=f(x)

x

O

k birim

y=f(x)

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) + 4 fonksiyonunun grafiğini

y=f(x)

çiziniz. x

O

-4

f(x) + 4 ⇒ f(x) fonksiyonun 4 birim

y

yukarı öteleneceği anlamına gelir.

y=f(x)

O

x

-4


29


3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) – 2 fonksiyonunun grafiğini y=f(x)

1

çiziniz. x

O

y

f(x) – 2 ⇒ f(x) fonksiyonunun 2 birim

y=f(x)

1

aşağı öteleneceği anlamına gelir. x

O

–1 k birim

► y = f(x + k) fonksiyonunun grafiği çizilirken

y

y

y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim sola ötelenir.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

y

► y = f(x – k) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim sağa

x

O

ötelenir.

y=f(x)

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiğini

y=f(x) O

çiziniz. x

2

y

y = f(x + 2), f(x) fonksiyonunun 2 birim

sola öteleneceği anlamına gelir.

y=f(x)

–2

30

O

2

x


x

O

k birim x

O y=f(x)


3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x – 3) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. -3

O

x

1 -4

y

y = f(x – 3), f(x) fonksiyonunun 3 birim sağa öteleneceği anlamına gelir.

-3

O

4

1

x

-4

y

y

► y = –f(x) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine

x

O

göre simetriği alınır.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

► y = f(–x) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine

y

x

O

göre simetriği alınır.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 3

-2

O

x

y = f(x)

y

y = –f(x), f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. 3

-2

O

x

y = f(x)


31


3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y = f(x) -1

x

1

O

Buna göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

-2

y

y = f(–x), f(x)’in grafiğinin y eksenine göre 1

-1 O

x

simetriğidir.

-2

► y = f(kx) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar k’ya bölünerek çizilir.

y


f(x)

-2

O

2

Buna göre, y = f(2x) fonksiyonunun grafiğini x

çiziniz.

-4

y

y

f(x)

-2

–1

O

1

2

x

=

f(x)

fonksiyonu

x

eksenini

x = 2 ve y = –2 noktalarından kesmektedir. Bu durumda y = f(2x) fonksiyonu x eksenini x = 1 ve x = –1 noktalarında

-4

kesmelidir.

► y = kf(x) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde grafiğin y eksenini kestiği noktalar k ile çarpılarak çizilir.

32



3. BÖLÜM

12

y 6

y


6

Buna göre, y = 2f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

-3

O

x

2

x

2

O

-3

f(x)

f(x)

y = f(x) fonksiyonu y eksenini y = 6 noktasında kesmektedir. Bu durumda y = 2f(x) fonksiyonu y eksenini, y = 12 noktasında kesmelidir.

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y = f(x)

Buna göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiğini

2 O

1

x

çiziniz.

y

y = –f(–x) fonksiyonunun grafiğini çizmek –1

x

–2

için y = f(x) fonksiyonunun hem x, hem y eksenine göre simetriği alınır.

y = –f(–x)

y

y

► y = f(|x|) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun x ≥ 0 daki parçasının y

x

O

eksenine göre simetriği alınır.

y=f(x)

y=f(x)

y

y

► y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun x ekseni altında kalan parçasının x eksenine göre simetriği alınır.

x

O

x

O y=f(x)

x

O y=f(x)


33


3. BÖLÜM

y


4

Buna göre, y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini 2

çiziniz.

x

O y = f(x)

-2

y 4

y = f(|x|)’in grafiği y = f(x)’in grafiğinin 2

–2

x≥0’deki

x

O

y

eksenine

göre

simetriğidir.

y = f(x)

-2

y


y = f(x)

-2

parçasının

O

Buna göre, y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini x

2

çiziniz.

-4

y

y = |f(x)|’in grafiği y = f(x)’in x ekseni altın-

4

da kalan parçasının x eksenine göre simet-

y = f(x)

-2

O

2

riği alınarak elde edilir. y

x

3 1 y


2

Buna göre, y = |f(x)| + 1 fonksiyonunun grafiğini 1

-1

O -2

x

çiziniz.

y = f(x)

-1

1

x

y = |f(x)|, y = f(x)’in x ekseni altında kalan kısmının x eksenine göre simetriği alınarak elde edilir. y = |f(x)| + 1 ise y = |f(x)|’in 1 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir.

34



3. BÖLÜM


y 3

Buna göre, g(x) = |f(x)| – 3 fonksiyonu x eksenini kaç farklı noktada keser? F(x) x -1

-2

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

y = |f(x)|’in grafiği için y = f(x)’in x ekseni altında kalan parçasının x’eksenine göre simetriği alınır. 3 y = |f(x)|–3 için ise y = |f(x)| grafiği 3

2

birim aşağı ötelenir.

1

grafikten görüldüğü üzere grafik x ekse-

–2

nini 3 farklı noktada kesmektedir.

–1

y fonksiyonunu parçalı tanımlı yazalım.

y f(x)

-2

O

f(x) < 0 için

f(x) ≥ 0 için

|f(x)| = –f(x)

‑f(x) = f(x)

4f (x) g (x) = * 2f (x)

x

2

f (x) < 0 için f (x) $ 0 için

f(x) < 0 olduğu yerler fonksiyonun x ekseni altında kalan kısmıdır. 4f(x) için bu kısımda

-4

fonksiyonun y eksenini kestiği noktalar 4 ile

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, g(x) = 3f(x) – |f(x)| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y y y A) B) C)

-2

O

x

2

-2

O

2

x

-2

O -1

-16

2

x

çarpılır. Yani g(x) fonksiyonu y eksenini y = –16’da kesmeli

f(x) > 0 olduğu yerler fonksiyonun x ekseni

üzerinde kalan kısmıdır. Bu kısımda fonksiyon y eksenini kesmemektedir. Ancak aynı x

değerlerinde daha büyük y sonuçları alınacağından fonksiyonun kolları daralmalıdır. y

A) y

D)

2

-2

O

2

x

y

B)

C

y

E)

-2

O -2

2

x

-2

O

x

2

-2

O

2

x

-16

y

D)

35

2 10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter -2

O

2

x

E)

-2

O


3. BÖLÜM

Mutlak Değerli Fonksiyonlar İle İlgili Özel Durumlar y

y

O

x

O

y = |x| fonksiyonunun grafiği V şeklindedir.

x

k

y = |x – k| fonksiyonunun grafiği x = k noktasında V şeklindedir.

y

y 2k

-k

O

x

k

-k

O

k

x

y = |x + k| fonksiyonunun grafiği x = –k y = |x + k| + |x – k| fonksiyonunun grafiği şeklindedir.

noktasında V şeklindedir. y

y

2k

2k k

-k

-k

x

O

O

-2k

x

k

-2k

y = |x – k| – |x + k| fonksiyonunun grafiği y = |x + k| – |x – k| fonksiyonunun grafiği şeklindedir. şeklindedir. y

y k x

O

O

|y| = x bağıntısının grafiği

şeklindedir.

x

k

|y – k| = x bağıntısının grafiği y = k noktaşeklindedir.

sında

y

y k x

O -k

-k

O

k

x

-k

|y + k| = x bağıntısının grafiği y= – k nokta- |x| + |y| = k bağıntısının grafiği sında şeklindedir. y

y

-k

O

k

k

x O -k

|x| – |y| = k bağıntısının grafiği

36


–|x| + |y| = k bağıntıx

sının grafiği


3. BÖLÜM

f fonksiyonunun grafiği;

y

f (x) = 4 – x2

4

olduğuna göre |f(x)| + 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

y

C)

y

O

x

2

2

–2

x

2

4 -2

y

6

O

4

x

-2 O

2

x

|f(x)|’in grafiği f fonksiyonunun x ekseni altında kalan kısmın x eksenine göre simetriğidir.

y

D)

Yani;

y

E)

|f(x)| + 2 ise |f(x)| fonksiyonunun 2 birim

2 -2

2 O

-2

x

2 O

yukarı ötelenmiş halidir.

x

y

-2

6

-4

2 R – {0} → R x +x f (x) = x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

–2

2

x

y

C)

1 x

O

O

y

D)

O

y

E)

2

2

O

O

Verilen fonksiyonu parçalı tanımlı olarak ifade edelim;

x < 0 için

-x+x = 0 x

o halde; 0 f (x) = * 2 için

x <0 x >0

x > 0 için x+x =2 x

için

Demek ki fonkisyon x < 0 için “0” değerine sahip, x > 0 için ”2” değerine sahip sabit fonksiyondur. Buna uygun seçeneğimiz D şıkkıdır.


37


3. BÖLÜM

y = |x – 2| fonksiyonunun grafiği x = 2’de “V” şeklindedir. y = –|x – 2| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

2

y

C)

y

2

O

x

2 x

-2 O

x

2

O

x

O

y = – |x – 2| fonksiyonunun grafiği |x – 2| fonksiyonunun x eksenine göre simetriğidir.

y

D) O

y

E)

y

2

x

x

O

-2

2 O

x

–2

y = |x + 1| + |x|

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

y

C)

2 -1

O

x

1

-1 O

y

D)

2 x

1

x

Mutlak değerli fonksiyonların özel durumlarına göre fonksiyon x=-1 ve x = 0'da çanak ) şeklini alır. (

y

E)

1

1 x

O

-1

1

O

O

1

x

y

y = –|x| – 1

y = |x| fonksiyonunun grafiği ;

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y y A) B) C)

x

y

1

-1

1 O

-1

x

1 O

x

-1 O

x

y = –|x| fonksiyonunun grafiği y = |x|’in x ekse-

-1

y

-2 y

D)

E)

x

nine göre simetriğidir.

y 1

-1

1 O

x

-1

-1 O

1

x

y = –|x|–1 ise y = –|x| fonksiyonunun “1” birim y

-2

38


aşağı ötelenmiş halidir.

–1

x


3. BÖLÜM

y = |x + k| – |x – k| fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. y

y

2k

2 -2

O

–k

x

2

O

–2k

-2

Bu durumda fonksiyon y = |x + 2| – |x – 2|

Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) |x + 2| + |x – 2|

x

k

B) |x + 2| – |x – 2| x- 2 - x+ 2 D) 2

C) |x – 2| – |x + 2| x+ 2 - x- 2 E) 2

biçiminde olmalı ancak bu tipte bir fonksi-

yon x = 2 için y = 4 ve x = –2 için y = –4 değerleri almalıydı oysa grafiğe göre x = 2

de y = 2 ve x = –2’de y = –2 olmuş. Yani

y değerlerinin yarısı alınmış. Bu demektir ki 1 fonksiyon ile çarpılmış. 2 Bu durumda fonksiyon;

1 ≤ |x| + |y| <2

x+2 - x-2 2

bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

2

’dir.

y

C)

1 -2

2

O

x

-1

1

O

O

x

-2

1

-1

2

x

-1

|x| + |y| = k bağıntısının grafiği aşağıdaki şekildedir.

-2

D)

y

2

k

y

E)

–k

1 -1 -2

O -1

1

x

2

-1 O

1

O

y

k

x

x

–k

-2

1 ≤ |x| + |y| < 2 bağıntısı ise benzer olarak

eşkenar dörtgen biçiminde olmalı. Bu koşula uygun seçeneklerimiz A, B ve D şıklarıdır.

Ancak dikkat edilirse eksenleri kestiği nok

taların orjine uzaklığının 1 birimden büyük

|x| + |y| = 3

eşit, 2 birimden küçük olduğu seçenek "D" şıkkıdır..

bağıntısı ile sınırlanan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 6

B) 9

A3 B –3

0

C) 18

A(AOB)= D 3

D) 27

E) 36

3.3 2 A(ABCD) = 4.

3.3 = 18 br2 2

C3


39


3. BÖLÜM

y

f(x)’in pozitif ve negatif olduğu durumlarını

y = f(x)

g(x) = |f(x)| – f(x)

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

2

O

inceleyelim;


-1

y

A) -1 O

y

B)

y

C)

x

O

f(x) < 0 için

f(x) ≥ 0 için

|f(x)| = –f(x)

|f(x)| = f(x)’tir.

Bu durumda g fonksiyonu f (x) < 0 - 2f (x) g (x) = * için 0 f (x) $ 0 olur. f(x) < 0 olduğu durumlarda –2f(x) fonk-

1 2

x

2

O

x

2

siyonu, f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriğinde, y eksenini kestiği noktalar 2 ile

y

D)

çarpılarak çizilir.

y

E)

y

2 O

2

2

x

2

x

O

2

O

-1

x

Ancak f(x) ≥ 0 olduğu durumlarda g(x) sabit fonksiyon ve değeri sıfır olduğu için grafik y

2 O

biçimindedir.

y 1

O

1

x

Şekilde verilen grafik aşağıdaki bağıntılardan hangisine ait olabilir? A) y = |x| + x

B) y = |x| – x D) y = |x| – 2x

C) y = 2x – |x| E) y = 1 (x + |x|) 2

Grafiğe göre x < 0 olduğu durumlarda fonksiyon sabit ve değeri sıfırdır. Bu durum +x – x gibi bir durumla sağlanabilir. Demekki bize |x| + x, |2x| + 2x, |3x| + 3x … gibi bir ifade gerekmektedir. Buna uygun seçeneklerimiz A ve E şıklarıdır. Dikkat edilirse |x| + x ifadesi x > 0 için x + x yani 2x olarak sonuçla1 nır. Oysa grafik (1, 1) noktasından geçmektedir. Demek ki verilen y = (x + x ) 2 fonksiyonunun grafiğidir.

40


2

x


3. BÖLÜM Tek – Çift Fonksiyonlar

f A ⊂ R → R fonksiyonunda ∀x ∈A için, ► f(–x) = –f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir. ► f(–x) = f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını inceleyiniz. y = x2 + x – 1

y = 3x3 + 2x

(–x)2 = x2 = y

(–x)2+(–x)–1=x2–x–1

3(–x)3+2(–x)=–3x3–2x=–y

çift

ne tek, ne çift

y = x3

x3 + x y= x

(–x)3 = –x3 = –y

(- x) 3 + (- x) - x3 - x x3 + x = =y = x (- x) -x

y = x2

tek

tek çift

y = x2 + 2

2 y= x -1 x+ 1

(–x)2 + 2 = x2 + 2 = y

(- x) 2 - 1 x2 - 1 = (- x) + 1 -x+1

ne tek, ne çift

çift

Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur? y

A)

y

B) x

O

O

y

D) O

O

x

y

E) x

y

C) x

O

x

Tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir. Seçenekler içerisinde orijine göre simetrik olan E şıkkında verilen grafiktir.


41


3. BÖLÜM

f(x) çift ise Reel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(2) = f(–2) olmalıdır.

f(2) = 2a – 4

2a – 4 = a – 1

f(–2) = a – 1

a = 3

olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

D) 144

E) 156

f(x) fonksiyonu orijine göre simetriktir. f(x) = ax3 + (a – b) x2 + bx + a – 2

olduğuna göre, f(a . b) kaçtır? A) 120

B) 128

C) 136

f(x) orijine göre simetrikse tek fonksiyondur. O halde x’in yalnızca tek kuvvetlerini bulundurmalıdır. Yani çift kuvvetlerin katsayıları sıfır olmalıdır. f(x) = ax3 + (a - b) x2 + bx + (a - 2) x° \

\

0

0

a – b = 0 ⇒ a = b ve a – 2 = 0

⇒ f(x) = 2x3 + 2x ve a.b = 2.2 = 4

olduğundan

a = 2 b = 2

f(4) = 2.43 + 2.4 = 136

Reel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur. A(1, 3n + 4) noktası fonksiyonun üzerinde ve f(–1) = 8 olduğuna göre n kaçtır? A) –4

B) –3

f (1) = 3n + 4 f (- 1) = 8

C) –1

D) 1

E) 3

f tek ise f(–1) = –f(1) olmalıdır.

8 = –(3n + 4)

–12 = 3n

n = –4

f çift ise f(–1) = f(1) = 2 g (- 1) = 3 g tek ise 4 olmalıdır. g (1) = - 3

f(x) fonksiyonu çift, g(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.

f(–1) = 2

g(–1) = 3

h(x) = f(–x) + g(–x) + 2f(–x) . g(x)

h(–1) = f(–(–1)) + g(–(–1)) + 2 f(–(–1) . g(–1)

olduğuna göre, h(–1) kaçtır? A) –3

B) –1

C) 5

D) 7

E) 11

= f(1) + g(1) + 2f(1) . g(–1)

= 2 + (–3) + 2 . (2) . 3

42


= 11


3. BÖLÜM

f(x) fonksiyonu y eksenine göre simetriktir.

f(x) = 2x2 + 5x – 4f(–x)

olduğuna göre, f(5) kaçtır? A) 7

B) 15

C) 20

D) 25

E) 35

f fonksiyonu y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur. Buna göre f(–x) = f(x) olmaldır. f(x) = 2x2 + 5x – 4f(–x)

⇒ f(x) = 2x2 + 5x – 4f(x)

⇒ 5f(x) = 2x2 + 5x

⇒ 5f(5) = 2 . 52 + 5 . 5

⇒ 5f(5) = 50 + 25

⇒ f(5) = 15

f : R → R ve a, b, c sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

f(x) = ax3 + bx2 + cx

olduğuna göre, f fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? y y y A) B) C)

x

O

x

O

y

D)

O

O

y

E)

x

x

O

x

f(x) = ax3 + bx2 + cx fonksiyonu x’in tek ve çift kuvvetlerini bulundurmaktadır. O halde f, ne tek, ne çift fonksiyon olmalıdır. Bu durumda grafik y eksenine göre veya orijine göre simetrik olmamalıdır. Bu duruma uygun tek seçenek “D” şıkkıdır.


43


3. BÖLÜM

y y=f(x)

-1

O

x

1

Şekilde grafiği ile verilen f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur. g(x) = f(3 – x) olduğuna göre, g(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

-1

x

O

-1

y

B)

O

1

y

D)

2

3 x

2

3 4

x

O

-1

1

x

y

E)

O

y

C)

3 O

2

4

x

f(x) tek ise, f(–x) = –f(x) olmalıdır. Bu durumda;

f(3 – x) = –f(x – 3) olacaktır.

o halde

g(x) = –f(x – 3) olur.

Yani f(x) fonksiyonu 3 birim sağa ötelenip, x eksenine göre simetriği alınmalıdır. Buna uygun seçenek E şıkkıdır.

Fonksiyonların Cebirsel Özellikleri

f:A→R

g:B→R

ve A ∩ B ≠ ∅ olsun. ► (f " g) : A ∩ B → R (f " g) (x) = f(x) " g(x)

► (f . g) : A ∩ B → R (f . g) (x) = f(x) . g(x)

► (f/g) : A ∩ B → R ve g(x) ≠ 0

(f/g)(x) = f(x) / g(x)

► k ∈ R ve k ≠ 0 için

(k . f) (x) = k . f(x)

44



3. BÖLÜM

f : R → R ve g : R → R olmak üzere;

f(x) = x2 – 1

g(x) = x + 1

olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.  (f + g) (x) =

(x2 – 1) + (x + 1) = x2 + x

 (f – g) (x) =

(x2 – 1) – (x + 1) = x2 – x – 2

 (f/g) (x)

=

x 2 - 1 (x - 1) (x + 1) = = x-1 x+1 x+1

 (2g) (x)

=

2(x + 1) = 2x + 2

f(x) = x + 1

g(x) = 2x – 2

olduğuna göre, A) 0

(f + g) (1) ifadesinin eşiti kaçtır? (f.g) (2) B) 1 C) 2 D) 3 3 3 2

E) 2

f(1) = 1 + 1 = 2 g(1) = 2 . 1 – 2 g(1) = 0 f(2) = 2 + 1 = 3 g(2) = 2 . 2 – 2 = 2 (f + g) (1) (f.g) (2)

=

f (1) + g (1) (f2) .g (2)

f(x) = x + 1

g(x) = 2x

=

2+0 2 1 = = 3.2 6 3

olduğuna göre, (3f – g)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) –x+3

B) 5–x

3f (x) - g (x) = ? 3f (x) = 3 (x + 1) = 3x + 3

C) x+3

D) x+5

E) x+6

4 (3x + 3) – (2x) = x + 3


45


3. BÖLÜM

f sabit fonksiyon olduğuna göre f(x) = a olsun. Bu durumda

f sabit, g birim fonksiyon olmak üzere,

(2f + g) (3) = 11

olmalıdır. g birim fonksiyonda g(x) = x

olduğuna göre, f(6) kaçtır? A) 4

B) 7

C) 8

D) 11

olmalı yani g(3) = 3 olacaktır.

E) 14

B) 0

f (x) - g (x) 4 f f (- x) + g (- x)

C) 1 tek

fonksiyon

ise

f(–x)

=

–f(x)

E) 3 g

çift

g(–x) = g(x) olmalıdır. f (x) - g (x)

f (x) - g (x)

&

f : {(1, 3), (2, 5), (3, –2)}

g : {(1, 2), (3, –1), (4, 5)}

- f (x) + g (x)

=

- 8f (x) - g (x)B

=-1

olduğuna göre, (g – 2f) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) {(1, 4), (2, –10), (3, –5)} B) {(1, –1), (3, –3), (4, 8)} C) {(1, –4), (3, 3)} D) {(1, 4), (3, –5)} E) {(2, –8), (3, –3), (4, 1)} (g – 2f) ⇒ g (x) - 2f (x) 144424443 Dikkat edilirse g ve f fonksiyonlarının içine aynı x değerleri yazılmalıdır. Verilen bilgiye göre x = 1 ve x = 3 değerleri her iki fonksiyon

için ortaktır. O halde;

x = 1 için g(1) –2f(1) = 2 – 2 . 3 = 2 – 6 = –4; (1, –4) x = 3 için g(3) – 2f(3) = (–1) – 2 . (–2) = –1 + 4 = 3; (3, 3) (g – 2f): {(1, –4) (3, 3)}

46


2a + 3 = 11

2a = 8

D) 2

fonksiyon

ise

(2f + g)(3) = 11 ⇒ 2f(3) + g(3) = 11

f tek, g çift fonksiyon ve f(x) ≠ g (x) olmak üzere, (f - g) (x) (f + g) (- x) ifadesinin eşiti kaçtır? A) –1

f(3) = a ve 2f(3) = 2a

a = 4 yani

f(x) = 4 dolayısıyla f(6) = 4 olur.


3. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

f(x) = 2x – 3

g : {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

olduğuna göre, c A) 2

2f + g m (3) kaçtır? g

B) 7

C) 8

D) 11

E) 14

2f (3) + g (3) f (3) = 2.3 - 3 = 6 - 3 = 3 2.3 + 6 12 & 4 6 = 6 =2 g (3) g (3) = 6

2.

f(x) = 2x + 4

olduğuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) f(x) – 2

B) f(x) + 2

C) 2f(x)

D) 2f(x) – 4

E) 2f(x) + 2

f(x) = 2x + 4

f(2x) = 2.(2x) + 4

f(x) – 4 = 2x … ▀

bulunan f(2x) fonksiyonunda “ ▀ “ yerine f(x) – 4 yazılırsa

f(2x) = 2(f(x) – 4) + 4

f(2x) = 2f(x) – 4 olur.

3.

f(x) = x + 1 x+ 2

olduğuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

2f (x) + 2 2f (x) - 1

B)

2f (x) + 4 2f (x) + 1

4f (x) + 2 f (x) + 5

D)

x+1 = xf(x) + 2f(x) = x + 1 x+2 xf(x) – x = 1 – 2f(x)

E)

C)

4f (x) + 2 2f (x) + 1

3f (x) - 1 2f (x)

f (x) =

x(f(x) – 1) = 1 – 2f(x)

x =

1 - 2f (x)

f (x) - 1 Diğer taraftan; 2x + 1 1 - 2f (x) yazılırsa; f (2x) = 3 Bulunan f(2x) fonksiyonunda x yerine 2x + 2 f (x) - 1 f (2x) =

2. f 2f

1 - 2f (x) f (x) - 1

p+ 1

f (x) - 1

p+ 2

1 - 2f (x)

2 - 4f (x)

=

f (x) - 1 2 - 4f (x) f (x) - 1

1 - 3f (x)

+1 = +2

f (x) - 1 - 2f (x)

f (x) - 1

=

3f (x) - 1 2f (x)

= f (2x)

bulunur.


47


3. BÖLÜM 4.

f(x) = 2x+1

olduğuna göre, f(3x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

[f(x)]3

D)

B)

6f (x)@2 9

6f (x)@3 2

C)

E)

6f (x)@3 4

6f (x)@3 8

f:A→B

g:B→C

olmak üzere A kümesindeki elemanları C kümesinin elemanları ile f ve g fonksiyonları yardımıyla eşleyen, tanımlanmış yeni fonksiyonlara bileşke fonksiyon denir. “gof” ile gösterilir. A

B

f

g

C

y = f(x)

x

gof(x)

gof(x) = g(f(x) x f

)

f(x g

g(f(x)) = gof(x)

► Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

(gof)(x) ≠ (fog)(x)

► Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

f(x) = 2x – 1

g(x) = x2 – 1

fo(goh) (x) = (fog) oh(x)

fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (fog)(x), (gof)(x) ve (fogof)(x) fonksiyonlarını bulunuz. fog(x) = f(g(x)) f(x2

– 1) = 2 .

(x2

– 1) – 1

= 2x2 – 3

48

f(x) = 2x . 2 ⇒ 2x =

f(3x) = 23x + 1 = 23x

f(3x) = (2x)3 . 2 olur.

Bulunan ifadede 2x yerine

Fonksiyonlarda Bileşke


gof(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2 – 1 = 4x2 – 4x + 1 – 1 = 4x2 – 4x

f (x) 'dir. 2 .2

(2 x) 3 .2 = e

3

f (x) yazılırsa; 2

f (x) f3 (x) .2 o .2 = 2 8

f ( 3x) =

(f (x)) 3 olur. 4


3. BÖLÜM

f(x) = x2 + 2x

g(x) = x – 6

fonksiyonları için (gof)(2) kaçtır? A) 2

B) 4

gof (2) = g (f (2))

C) 6

D) 8

E) 10

4 g (8) = 8 - 6 = 2

f (2) = 2 2 + 2.2 = 8

3g (x) - 2 6g (x) + 5 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

(fog)(x) =

A) 1 4 f (g (x)) =

B) 4 17

D) 8 E) 12 7 7

C) 8 17

3g (x) - 2 3x - 2 3.2 - 2 4 & f (x) = = 4 f (2) = 6x + 5 6.2 + 5 17 6g (x) + 5

(fog)(x) = 3g(x) + 1

(gof)(x) = 2f(x) + 5

olduğuna göre, f(2) – g(–3) kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

f (g (x)) = 3g (x) + 1 & f (x) = 3x + 1

D) 8

E) 9

f (2) = 3.2 + 1 = 7

4

g (f (x)) = 2f (x) + 5 & g (x) = 2x + 5 olur. g (- 3) = 2. (- 3) + 5 = - 1

f(2) – g(–3) = 7 – (–1) = 8

f(x) = 2x + 5

g(x) = 3x – 1

olduğuna göre, (fog)(1) + (gof)(0) kaçtır? A) 17

B) 23

g(1) = 3 . 1 – 1 = 2

f(0) = 2 . 0 + 5 = 5

f(2) = 2 . 2 + 5 = 9

g(5) =3 . 5 – 1 = 14

C) 26

D) 31

E) 34

(fog)(1) + (gof)(0) ⇒ f(g(1)) + g(f(0))

⇒ f(2) + g(5)

⇒ 9 + 14 = 23


49


3. BÖLÜM

f(x) = x + 5

g(2x – 1) = 1 – x

olduğuna göre, (fog)(1) kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

_ b b g (2x - 1) = 1 - x, (fog) (1) = f (g (1)` b g (1) = 0 b a f (g (1)) = f (0). f (0) = 0 + 5 = 5

g(x) = x – 2

(gof)(x) = 2x – 1

E) 6

x = 1 için;

olur.

olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x+1

B) 2x

g(f(x)) = f(x) – 2 ve

f(x) = 3x + 2

g(x) = 4x + a

C) 2x–1

D) 2x+3

E) 4–2x

g(f(x)) = 2x – 1 ise

f(x) – 2 = 2x – 1 f(x) = 2x + 1 olur.

fonksiyonları veriliyor.

(fog)(x) = (gof)(x)


B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

f(g(x)) = g(f(x)) f(4x + a) = g(3x + 2) 3(4x + a) + 2 = 4 . (3x + 2) + a ⇒ 12x + 3a + 2 = 12x + 8 + a

3a + 2 = 8 + a

2a = 6

a = 3 olur.

50



3. BÖLÜM

(fof)(x) = 4x + 9

olduğuna göre, f(1) kaç olabilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Bileşke fonksiyon 1. dereceden yani doğrusal olduğuna göre f doğrusal fonksiyondur. bu durumda fonksiyon f(x) = ax + b biçiminde olmalı.

f(f(x)) = a . (f(x)) + b = a . (ax + b) + b = a2x + ab + b = a2x + ab + b = 4x + 9

a2 = 4 olmalı bu durumda a = 2 veya a = –2 ⇒ a = 2 için;

4x + 2b + b = 4x + 9

f(x) = 2 . 1 + 3= 5 olur.

b = 3 bulunur.

yani f(x) = 2x + 3 olur.

y

y 6 f(x) -1 O

3

5

g(x) x

-2

4

O

x

-1

Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (fog)(4) – (gof)(5) ifadesinin eşiti kaçtır? A) 3

g(4) = 0

f(5) = 0

B) 5

C) 6

D) 7

f(g(4)) – g(f(5)) ⇒

E) 8

f(0) – g(0) } 6 – (–1) = 7

f(0) = 6 g(0) = – 1

y 4 2

f(x) 1 2 4

-4

-1

O

x

-1 -4

şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, ( fofofo...of (1) ) kaçtır? 1 44 2 44 3 198 tan e

A) –4

B) –1

C) 0

D) 2

E) 4

f (1) = 0 _b b f (0) = 2 b b fofofo … fofof(1) ⇒ f (2) = - 1 ` 5 b f (- 1) = 4 b b f (4) = - 4 b a

tan e

f (- 4) = 0 _b b f (0) = 2 b f (2) = - 1 bb ` 5 tan e f (- 1) = 4 b b f (4) = - 4 b b f (- 4) = 0 b a ifade her 5 işlem sonunda baştaki değerini almaktadır. O halde 198 fonksiyonunun bileşkesinde 198’in 5 ile bölümünden kalan 3 olduğu için son üç fonksiyonu göz önüne alabiliriz. Dikkat edilerse üçüncü basamak sonunda –1 elde edilmiş o halde sonuç –1 dir.


51


3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna

f(x)

8

göre, (fofof)(1) kaçtır?

4 2

-2

O

A) 0

1 2 4

x

B) 1

f(1) = 2

C) 2

D) 4

E) 8

fof(f(1)) ⇒ fof(2) = f(f(2)) ⇒ f(4) = 8

f(2) = 4

Bir Fonksiyonun Tersi f : A → B fonksiyonu birebir ve örten ise tersi vardır.

f(x) = y

f–1 : B → A

f–1(y) = x’dir.

► Farklı elemanların görüntüleri de farklı ise fonksiyon birebirdir. ► Bir fonksiyonun değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir.

Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. x+5 2

 f : R → R,

f(x) = 2x –5

f- 1 (x) =

 f : R → R,

f(2x) = 4x – 5

f (x) = 2x - 5

 f : R → R,

2x + 1 f(x) = 3x - 1 f- 1 (x) = 2 3

 f : R → R,

f(3x) = 6x + 4

 h : R – {4} → R – {2}

52

h(x) = 2x - 3 x- 4


f (x) = 2x + 4 h- 1 (x) =

4x - 3 x- 2

f- 1 (x) =

f- 1 (x) =

x+5 2

x- 4 2


3. BÖLÜM

f : R → R olmak üzere,

f(2x – 1) = x + 4

olduğuna göre, f–1(7) kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

f(2x – 1) = x + 4 ise

D) 8

E) 11

f–1(x + 4) = 2x – 1 olur.

f–1(7) için x + 4 = 7

x = 3 olmalıdır.

f–1(7)

= 2 . 3 – 1 = 5

f : R → R olmak üzere,

f(x) = 52x – 3

olduğuna göre, f–1(125) kaçtır? A) 0 f(x) =

B) 1 52x – 3

ise

(52x–3)

f–1(125)

C) 2 f–1

D) 3

E) 4

= x olur.

için 52x–3 = 53

2x – 3 = 3 ⇒ x = 3 olmalıdır.

f–1(125) = 3 bulunur.

f(x) = 3x + c ve f–1(6) = 9 4 olduğuna göre, c kaçtır?

A) –3

B) 4

C) 6

D) 9

E) 18

D) 3

E) 4

f–1(6) = 9 ise f(9) = 6 olmalıdır. 3.9 + c 3.9 + c 27 + c f(9) = & & =6 4 4 4

27 + c = 24

c = –3 olur.

f(x2 + 3x) = 4x2 + 12x + 5

olduğuna göre, f–1(5) kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

f(x2 + 3x) = 4(x2 + 3x) + 5 f(x) = 4x + 5 ise f–1(4x + 5) = x olur. f–1(5) için 4x + 5 = 5

x = 0 o halde

f–1(5) = 0


53


3. BÖLÜM

f ( x) = x - m mx + 2

ve

f- 1(2) = 1

olduğuna göre, m kaçtır? B) – 5 2

A) –3

C) –1

D) 1

E) 2

D) 1

E) 3

f(x) = y ise f–1(y) = x olduğundan f–1(2) = 1 ise f(1) = 2 olur. 1-m f (1) = = 2 & 1 – m = 2m + 4 m+2 –3 = 3m

m = –1 olur.

f ve g R → R’ye tanımlı iki fonksiyon olmak üzere,

(fog)(x) = 3g(x) + 4

olduğuna göre, f–1(–5) kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

fog(x) = f(g(x)) = 3g(x) + 4 ise

f(x) = 3x + 4’tür. ⇒ f–1(3x + 4) = x ve f–1(–5) için, 3x + 4 = –5

3x = –9 x = –3 olmalı

f–1(–5) = –3 f–1 (2x + 1) = g(x – 3)

olduğuna göre, (fog)(4) kaçtır? A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15

f–1(2x + 1) = g(x – 3) f(g(x – 3)) = 2x +1 ⇒ fog(4) = f(g(4))

f(g(x – 3)) ifadesinde x – 3 = 4 için x=7 yazılmalı f(g(4)) = 2 . 7 + 1 = 15

f(x) = x2 – 3

olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A)

x- 3

B)

x + 3

C)

x+ 3

D)

3 - x E)

3x

f(x) = x2 – 3 fonksiyonunda x’i yalnız bırakmalıyız.

y = x2 – 3

y + 3 = x2

y + 3 = x ⇒ burada x yerine y, y yerine x yazıldığında oluşan yeni fonksiyon f–1(x) fonksiyonu olur.

54

x + 3 = y & f- 1 (x) =

x + 3 ’tür.



3. BÖLÜM

f(x) = x2 + 6x + 11

olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A)

x - 2 - 3 B)

x - 2 + 3 C)

x - 3 + 2

D)

x - 3 - 2 E)

x+ 2- 3

f(x) = x2 + 6x + 11 fonksiyonunda x’i yalnız bırakabilmek için ifadeyi tam kareli

hale çevirmeliyiz.

f(x) = (x2 + 6x + 9) + 2 ⇒ f(x) = (x + 3)2 + 2 ⇒ y = (x + 3)2 + 2

⇒ y – 2 = (x + 3)2 ⇒ ⇒

y-2 = x + 3

y-2 – 3 = x

⇒ y =

f–1(x) =

x > –9 ve f(x) =

x - 2 – 3 yani

x - 2 – 3 olur.

x+ 9+ 4

olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 8x + 16

B) x2 – 8x + 9

C) x2 – 8x + 7

D) x2 + 8x +7 f(x) = y =

E) x2 – 8x

x+9+4

x+9 + 4

y – 4 =

(y – 4)2 = x + 9 x+9 ⇒ ⇒ y2 – 8y + 16 – 9 = x

⇒ x2 – 8x + 7 = y yani f–1(x) = x2 – 8x + 7 olur.

f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlar olmak üzere,

f(x) = x + 1

(g–1of)(x) = 2x – 2

olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 2 2

B) 2x – 4

C) x + 4 4

D) x + 4 E) x - 1 2 2

g–1(f(x)) = 2x – 2 ise, g–1(x + 1) = 2x – 2’dir. Burada x yerine x – 1 yazılırsa g–1(x) fonksiyonu elde edilir. g–1(x – 1 + 1) = 2(x – 1) –2 ⇒ g–1(x) = 2x – 4, (g–1)–1 = g olacağından x+4 g(x) = bulunur. 2

(fog)–1(x) = (g–1of–1)(x) (fof–1)(x) = I I : birim fonksiyon


55


3. BÖLÜM

f(x) = 2x – 4

g(x – 1) = 2x + c ve (fog)–1(6) = 2

olduğuna göre, c kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

D) 2

E) 3 _ f(6 + c) = 6

(fog)–1(6) = 2 ise (fog)(2) = 6 olur. ⇒ f(g(2)) = 6 b b

g(x – 1) fonksiyonunda x = 3 için;

g(3 – 1) = 2 . 3 + c

g(2) = 6 + c olur.

(fof–1)(x) = (a – 3) x2 + (a – b)x + b + c

b f(6 + c) = 2(6 + c) – 4 = 6 b ` ⇒ 12 + 2c – 4 = 6 b b b ⇒ 8 + 2c = 6 b a

⇒ c = –1 bulunur.

olduğuna göre, a + b + c değeri kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

_ b b Bu durumda; 2 (a - 3) x + (a - b) x + b + c = x b b Z \ \ b+c = 0 a- 3 = 0 ` a + b + c = 3 + 2 + (–2) a- b = 1 2+c = 0 b a= 3 3- b = 1 b c=-2 = 3 bulunur. b= 2 b b a

fof–1(x) =x olduğundan,

y


3

Buna göre,

2 -3 -2

1 O 1 -1 -2

A) –1

2

B) 0

f- 1 (2) + f (f (0)) f- 1 (3) + f (3)

56

3

=

f- 1(2) + (fof) (0) ifadesinin eşiti kaçtır? f- 1(3) + f (3)

x

C) 1

0 + f (2) 3 = = 1 olur. 2+1 3


D) 2

E) 3


3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(1) + f–1(1) toplamı kaçtır?

2 O

x

2

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x ve y eksenlerini kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi; x y + = 1 & x+y = 2 2 2 y = 2-x yani f(x) = 2 – x olur. f (1) = 2 - 1 = 1 f

-1

(x) = 2 - x & f

-1

(1) = 2 - 1 = 1

4 f (1) + f

-1

(1) = 1 + 1 = 2

y

bulunur.

g(x)

6

2 -4

-2

x

-1

2

4 f(x)

-2

Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, f–1og(4) değeri kaçtır ? A) –4

B) –2

C) 0

D) 2

E) 4

f-1og(4) = f-1(g(4)) ve g(4) = 6’dır. f–1(6) ⇒ fonksiyonun görüntüsünün 6 olduğu yer x = –4 olduğundan f–1og(4) = -4 olur.

y

Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. Buna

4

göre,

3 g(x)

2

3 -4

1

2

-2

A) –3

(fog) (1) + g- 1(- 2) değeri kaçtır? f (- 4) + g (2)

f (g (1)) + g- 1 (- 2) f (- 4) + g (2)

x

=

4 f (0) + 0 = =2 0+2 2

olur.

f(x)

B) –2

C) 1

D) 2

E) 3


57


3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre (fof)(x–1) = –2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı -1

1

O

x

3

kaçtır?

f(x) -2

A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

f(f(x-1) = –2 ⇒ f fonksiyonun -2 olması x'in “O” olmasıyla mümkündür. O halde f(x - 1) = 0 olmalı. Grafikte görüleceği üzere f(–1) = 0, f(1) = 0 ve f(3) = 0’dır. O halde

x – 1 = –1

x – 1 = 1 ve x – 1 = 3

x = 0

x = 2

x = 4 olmalıdır. 0 + 2 + 4 = 6 bulunur.

y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. y y=f(x) y=x y=f -1(x)

a

-b

O

b

x

-a

y 2

g(x) y=x

Şekilde f ve g fonksiyonları verilmiştir. f(x)

1 O

A)

3 2

1

B)

Buna göre, (fog) ( 3 ) kaçtır?

x

2

3

C) 2 3

D) 3 3 E) 3 3 2

fog( 3 ) ⇒ grafik incelenirse f ve g fonksiyonları y = x doğrusuna göre simetriktir. Yani f ve g fonksiyonları birbirlerinin tersidir. Ayrıca bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir. Yani fof–1(x) = x olur. Buradan fog( 3 ) =

58


3 olmalıdır.


3. BÖLÜM

Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

x liraya alınan bir ürün y liraya satılmaktadır. x ile y arasında y = 5x – 220 bağıntısı bulunduğuna göre 60 liraya alınan bir ürünün satışından kaç lira kâr elde edilir? A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

Kar = satış – alış Kar = y – x f(x) = (5x – 220) – x ⇒ f(x) = 4x – 220

f(60) = 4 . 60 – 220

= 240 – 220

= 20 olur. Şekilde bir su deposundaki su miktarının zamana bağlı değişimini belirleyen y = 100 - 4x fonksiyonunun grafiği verilx+ 2 miştir. Buna göre, kaçıncı dakikadan sonra su miktarı 5

y (litre) 100

O

x dakika

25

A) 8

B) 9

litrenin altına düşer?

C) 10

100 - 4x Depodaki suyun 5 lt olduğu an; 5 = x+2

D) 12

E) 14

5x + 10 = 100 – 4x 9x = 90 x = 10

yani 10. dakikadan sonra su miktarı 5 lt'nin altına düşer.

Sıcaklık (C°)

Şekilde hava sıcaklığının saat 18:00’den sonra zamana

2k

bağlı değişimi gösterilmektedir. Buna göre, hava sıcaklığı 0°C olduğunda saat kaçtır?

5

O

A) 02:00

3

2k

Geçen süre (saat)

B) 04:00

C) 05:00

D) 06:00

E) 08:00

Fonksiyon eksenleri kestiği noktalar bilindiğinden denklemi yazılabilir. x y ⇒ =1 + 2k 2k ⇒ x + y = 2k

⇒ y = 2k – x olur. Ayrıca fonksiyon (3, 5) noktasından geçtiğinden bu nokta fonksiyonun denklemini sağlamalıdır.

⇒ 5 = 2k – 3

⇒ 8 = 2k

hava sıcaklığının 0 °C olduğu an 2k anıdır. 8 saat sonra 0°C olmuştur. Saat 18:00’dan itibaren 8 saat geçerse saat 02:00 olur.


59


3. BÖLÜM

Faiz oranı (%)

O

Şekilde bir bankanın uyguladığı yıllık basit faiz oranını belirleyen y = 75 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, 10 bin lirax nın 3. yıl getirdiği faiz miktarı 5. yıl getirdiği faiz miktarından ne kadar fazladır?

Zaman

A) 1.000

B) 1.500

C) 2.500

D) 3.000

Fonksiyonda

y = faiz oranı

x = zaman olarak verilmiştir.

E) 4.500

O halde öncelikle geçen süreye göre değişen faiz oranı belirlenmelidir. 3.yılda ki faiz oranı; y =

75 = %25 3

5.yılda ki faiz oranı; y =

75 = %15 5

A

_ b b b ` b b b a

25 = 2.500 ¨ 100 15 = 1.500 ¨ 10.000’nın 5. yıl faizi; 10.000. 100 2.500 – 1.500 = 1000 ¨ olur.

10.000’nın 3. yıl faizi; 10.000.

Şekilde verilen kaplar A ve B muslukları yardımıyla doldurulacaktır. I. kabın yarı yüksekliğinde bulunan B musluğu II. kabı doldurmakta ve II. kap dolduğu anda kapatılmaktadır.

B

Buna göre I. kaptaki su yüksekliğinin zamana bağlı değişimini gösteren grafiği çiziniz. I. Kap

II. Kap

Yükseklik

Zaman

0

Grafikler Bir fonksiyon y = 0 olmasını sağlayan noktalarda x eksenini, x = 0 olmasını sağlayan noktalarda da ise y eksenini keser. f(a) = 0 ve f(b) = 0

y

a → çift katlı kök

c

b → tek katlı kök a

60

O

b

x



3. BÖLÜM

y

Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonu için; a) Fonksiyonun eksenleri kesitiği noktaları belirleyiniz.

4

b) Fonksiyonun pozitif değerlere sahip olduğu aralıkları 3

-3 O

x

2

belirleyiniz. c) Fonksiyonun negatif değerlere sahip olduğu aralıkları

-1

y = f(x)

belirleyiniz.

a) Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar;

x = –3, x = 2 ve x = 3

noktalarıdır.

b) Fonsiyonun pozitif değerlere sahip olduğu aralık fonksiyon grafiğinin x ekseni üzerinde kalan kısmıdır. (–3, 2) aralığında grafik pozitif değerlere sahiptir. c) Fonksiyonun negatif değerlere sahip olduğu aralık fonksiyon grafiğinin x ekseni altında kalan kısmıdır. (–∞, –3) ve (2, değerlere sahiptir.

∞) aralığında grafik negatif

► f, [a, b] aralığında tanımlı bir fonksiyon ve x1 ile x2 bu aralıktaki herhangi iki nokta olsun 1. x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f artan 2. x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f azalan fonksiyondur.

y

2

1 -3

-2

-1 O

-3

4

2 3

x

y = f(x)

-4

Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

⇒ Fonksiyonun yukarı doğru ilerlediği aralıklar artan olduğu aralıklardır.

(–∞, –2) ∪ (1, 3)

⇒ Fonksiyonun aşağı doğru ilerlediği aralıklar azalan olduğu aralıklardır.

(–2, 1) ∪ (3,

∞) 10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

61


3. BÖLÜM

Fonksiyonun

tanımlı

olduğu

aralıkta

daima azalan olması fonksiyonun bu ara-

f : [a, b] → R

lıkta negatif yada pozitif değerlere sahip

fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta daima azalan bir fonksiyondur.

olduğu ile ilgili bilgi vermez, aynı şekilde

Buna göre, a < x < b için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) f(x) = 0

B) f(x) > 0

C) f(x) < 0

D) f(a) = f(b)

E) f(x) < f(a)

sıfıra da eşit olabilir veya olmayabilir. Uç değerlerin eşit olup olmadığıyla da ilgili bir sonuca varılmaz. Dolayısıyla A, B, C ve D şıklarıyla ilgili kesin kanıya varılamaz.

y

Ancak fonksiyon azalansa a < x iken f(x) < f(a) olmalıdır.

-11

1

-8 -3 -1

3 5

O

x

8

y=f(x)

Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f(2) < f(4)

B) f(–12) > f(–9)

C) f(–10) > f(–9)

D) f(6) > f(9)

E) f(7) < f(8)

A ⇒ grafikten görüleceği üzere f(2) < 0, f(4) > 0 olduğundan f(2) < f(4) doğrudur. f (- 12) > 0 B ⇒ 4 olduğundan f(–12) > f(–9) doğrudur. f (- 9) < 0 C ⇒ Fonksiyon x = –10 ve x = –9 noktalarında azalandır. Dolayısıyla bu aralıkta x değerleri küçüldükçe y değerleri büyür. O halde f(–10) > f > (–9) doğrudur. f (6) > 0 D ⇒ 4 olduğundan f(6) > f(9) doğrudur. f (9) < 0 E ⇒ Fonksiyon x = 7 ve x = 8 noktalarında azalandır. Bu aralıkta 7 < 8 iken f(7) > f(8) olmalıydı. Yanlıştır.

A ⇒ f(–2) > 0, f(1) < 0 olduğundan, f(–2) . f(1) < 0

y

olur. Doğrudur. B ⇒ f(4) = 0 olduğundan f(4) . f(–2) = 0 olur.

y=f(x) -3

-2

-1

O

2

4

6

Doğrudur.

x

C ⇒ f(7) > 0, f(5) < 0 olduğundan, f(7) . f(5) < 0 olur. Doğrudur. D ⇒ f(–4) < 0, f(–3) = 0 olduğundan, f(–4) . f(–3) = 0

Yukarıda verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

olmalıydı. Yanlıştır.

A) f(–2) . f(1) < 0

E ⇒ f(–1) = 0 olduğundan f(–1) . f(0) olur.

B) f(4) . f(–2) = 0 D) f(–4) . f(–3) < 0

62


C) f(7) . f(5) < 0 E) f(–1) . f(0) = 0

Doğrudur.


3. BÖLÜM

A ⇒ Fonksiyonun x = 0 için gerçek bir görüntüsü yoktur. Y ekseninde y

∞ ’a

yaklaş-

maktadır. Dolayısıyla x = 0 da tanımlı değil. Doğru.

B ⇒ (–∞ , 0) aralığında x değerleri büyü-

x

O

dükçe y değerlerinde artmaktadır. Fonksiyon


bu aralıkta artandır. Doğru.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır?

C ⇒ (0,

A) Fonksiyon x = 0’da tanımlı değildir.

∞ ) aralığında x değerleri büyüdükçe

y değerleri azalmaktadır. Fonksiyon bu ara-

B) Fonksiyon (–∞, 0) aralığında artandır.

lıkta azalandır. Doğru.

C) Fonksiyon (0, ∞) aralığında azalandır.

D) ⇒ (0,

D) f(3) < f(1)

∞)

aralığında fonksiyon azalan

olduğundan f(3) < f(1) olur. Doğru.

E) f(–3) < f(–5)

E) ⇒ (0, –∞ ) aralığında fonksiyon artan

olduğundan f(–5) < f(–3) olmalıydı. Yanlış. y

y=f(x)

y

4

-2

O

y=g(x)

2

2 x

4

-3 -1

-6 -5 -4

O

2

x

-3

Şekilde f ve g fonksiyonları verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) (fog)(2) = 0

B) (fog)(3) > 0 D) (fog)(–2) > 0

C) (fog)(–3) > 0 E) (fog)(1) = 0

A ⇒ f(g(2)) = f(4) = 0 doğru. B ⇒ f(g(3)) fonksiyonunda g(3) için foksiyon (0, 4) aralığında değer almaktadır. (0, 4) aralığında f fonksiyonu ise pozitif değerlere sahiptir. Doğru. C ⇒ f(g(–3)) = f(–3) ve f(–3) > 0 olduğundan doğru. D ⇒ f(g(–2)) g(–2) için foksiyon (–3, 0) aralığında değer almaktadır. (–3, 0) aralığında f fonksiyonu ise pozitif değerlere sahiptir. Doğru.

E ⇒ f(g(1)) = 0 olması için g(1) = 2 olmalıdır. g fonksiyonu x = –5 için 2 değerini aldığında yanlıştır.

► Bir fonksiyonun verilen aralıkta aldığı en büyük değere fonksiyonun maksimumu, en küçük değere fonksiyonun minimumu denir.


63


3. BÖLÜM

y 5 4 3 -10

1

-5 -4 -8

O

-7 -6

2

6 3

4

x

5

-1 -2

y=f(x)

-3 -4

Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?  [–10, 6] aralığında fonksiyonun maksimum değeri 5 tir. fonksiyon verilen aralıkta maksimum 5 değerini almaktadır. Doğru

 [–10, 6] aralığında fonksiyonun minimum değeri –4’tür. fonksiyon verilen aralıkta minimum – 4 değerini almaktadır. Doğru

 [–5, 2] aralığında fonksiyonun maksimum değeri 3’tür. fonksiyon verilen aralıkta maksimum 3 değerini almaktadır. Doğru

 [–7, 3] aralığında fonksiyonun minimum değeri –1’dir. fonksiyon verilen aralıkta minimum –4 değerini almaktadır. Yanlış

 [0, 5] aralığında fonksiyonun x = 4 apsisli noktada maksimumu vardır. Fonksiyonun verilen aralıkta maksimum değeri 4’tür. Bu değeride x = 4 noktasında olmaktadır. Doğru.

 [–6, 6] aralığında fonksiyon minimum değerini x = –5 apsisli noktada alır. Fonksiyonun verilen aralıkta minimum değeri –4’tür ve bu değeri

x = 2’de alır. Yanlış A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Ortalama Değişim Hızı y f(b)

► ortalama değişim oran

∆y

f(a) ∆x a

b

Oy 'tir. Ox

Oy f (b) - f (a) Ox = b - a

x

► Geometrik olarak ortalama değişim oranı bir kirişin eğimidir.

64



3. BÖLÜM

Bakteri sayısı

Şekildeki grafikte 25 günlük bir laboratuvar deneyinde bakteri topluluğunun büyüme hızı gösterilmiştir. Buna

650

göre bu topluluğun 15. günden 25. güne ortalama

600

büyüme hızı kaçtır?

350 100 10

15

A) 10

20

Gün

25

B) 20

C) 25

D) 30

Ty f (25) - f (15) 650 - 350 300 = = = = 30 Tx 25 - 15 25 - 15 10

E) 40

bulunur.


f ve g gerçel sayılarda tanımlı iki fonksiyon olmak üzere aşağıda f ve g fonksiyonlarının grafikleri veriliştir. y

y

f fonksiyonun grafiği x = 2’de “V” şeklinde

f(x)

g(x)

2

1

O

2

x

4

O

1

x

2

olduğundan denklemi;

f(x) = |x – 2|’dir.

g fonksiyonunun grafiği x = 1’de “V” şeklinde olduğundan denklemi;

Buna göre, (f–g)(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

2

2 1

1 2 3

O

-1

x

y

C)

O

34

x

1

O 12

-1

-1

5

g(x) = |x – 1|’dir.

(f – g) (x) = |x – 2| – |x – 1| olur.

Bu yeni fonksiyon için mutlak değerli fonksiyonlar için bazı özel durumlardan grafik

x

ya da

Ayrıca

şeklinde olmalıdır.

fonksiyonun

mutlak

değerleri-

nin kökleri x = 1 ve x = 2’dir. Yani y

D) 1

-1

ler alacaktır. Bu koşullara uygun seçenek

1 2

O 1

x < 1 ve x > 2 için fonksiyonun sabit değer-

y

E)

x

-2 O 1

x

D şıkkıdır.

-1


65


3. BÖLÜM 2.

|x| – |y| ≤ 3

bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

y

A)

B)

3

y

3

değerli

li

durumlarda

özel

fonksiyonlar

ile

bahsedildiği

ilgiüzere

|x| – |y| = k bağıntısının grafiği

y

C)

M utlak

y -3

x

3

O

3

O

-3

x

-3

O

x

3

–k

-3

O

k

x

-3 y

D)

y

E)

3 -3

x

3

O

şeklindedir. Soruda |x| – |y| ≤ 3 bağıntısı verildiğinden grafiğin iç bölgesi taranmalıdır. Buna uygun seçenek D şıkkıdır.

x

O -3

3.

|x . y| = 26

bağıntısınıın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

y

A)

y

B)

O

x

x

O

y

D)

x

O

y

E)

x

O

y

C)

x

O

y

y

O

x

x < 0, y < 0 x . y = 26 26 y= x

3x - 1 f (x) = ) 2 x -1

4.

O

x

x > 0, y > 0 x . y = 26 26 y= x

y

O

x < 0, y > 0 -xy = 26 26 y= -x

y

x

O

x > 0, y < 0 -xy = 26 26 y= -x

66

B) 3

x

O

x

O halde grafik; yukarıdaki gibi olmalıdır.

fof(f(1)) ve 1 < 2 olduğundan f(1) = 3 . 1 – 1 = 2

x <2 2#x

fof(2) = f(f(2)) ve 2 ≤ 2 olduğundan f(2) = (2)2 – 1 = 3

olduğuna göre, (fofof)(1) kaçtır? A) 2

y

C) 5


f(3) ve 3 ≥ 2 olduğundan f(3) = 32 – 1 = 8 D) 8

E) 15

bulunur.


3. BÖLÜM

f–1(x)’in grafiğinin y = x doğrusuna göre

y

5.

simetriği f(x)’in grafiği olur.

f-1(x) 6

y=f(x)

y O

x

-2 O

6 –2

x

Şekilde f–1(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, f(2x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

O

y

B)

3

12

x

O

-2

fonksiyonun

x

x

O

6

yerler

noktasında kesmelidir.

x

y

-1 O

y

kestiği

grafiğinde fonksiyon x eksenini x =3

-2

D)

eksenini

k’ya bölünür. Bu durumda y = f(2x)’in

y

C)

y = (kx)’in grafiği çizilirken y = f(x)

3 –2

y = f(2x) x

y

E) 6

O

12

x

O

2

x

-1

f ve g fonksiyonları x’li terim içermediklerinden

6.

f(x) = 3a2 + 4b – 5

g(x) = 4b3 – 7a2 + 1

f(3) + g(3) = 10

f(1) – g(1) = 8

B) 20

7.

f(x) = x – 3

(fog)(x+4) = (gof)(x)

f(x) = m, g(x) = n olsun

f (3) + g (3) = 10 f (1) - g (1) = 8

4

m + n = 10 m-n = 8

olur.

Taraf tarafa toplarsak.

olduğuna göre, f (3 7 ) + 2f (3 7 ) g ( 5 ) + g ( 5 ) ifadesinin değeri kaçtır? A) 18

fonksiyonları veriliyor.

sabit fonksiyonlardır.

Gerçek sayılarda tanımlı;

C) 28

D) 30

E) 32

f (x) = 9 g (x) = 1

+ ________________ 2m = 18 m=9

n = 1 bulunur &

f (3 7 ) + 2f (3 7 ) . g ( 5 ) + g ( 5 ) 9 + 2.9.1 + 1 = 9 + 18 + 1 = 28

bulunur.

olduğuna göre, g(3) – g(–4) ifadesinin değeri kaçtır? A) –3

B) –2

C) –1

D) 1

f(g(x + 4)) = g(f(x))

f(g(x + 4)) = g(x – 3)

g(x + 4) – 3 = g(x – 3)

g(x + 4) – g(x – 3) = 3 olur. Burada x = –1 için;

g(3) – g(–4) = 3

E) 3


67


3. BÖLÜM 8.

f: R – {3} → R{1}

x + 3f(x) = x f(x) + 1

şekilde tanımlanan f(x) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, f–1(x)

9.

B) 2x - 1 x- 3

C) 3x - 1 x- 1

x + 3f(x) = xf(x) + 1

x – 1 = xf(x) – 3f(x)

x – 1 = f(x) . [x – 3] x- 1 = f (x) x- 3

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x - 1 x- 3

D) x - 3 E) x + 1 2 - 3x 2x - 3

f–1(x) =

f fonksiyonu doğrusal fonksiyondur.

f(1) = –1

f–1(5) = 4

olduğuna göre, f(x–1) + f(x+1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x – 5

B) 2x – 3

C) 2x – 1

10.

D) 4x – 6

E) 4x – 4

bulunur.

3x - 1 x- 1

olur.

f doğrusal olduğuna göre, f(x) = ax + b

biçimindedir. Ayrıca f(1) = –1 ve f(4) = 5’tir. f (1) = a + b = - 1 a = 2

4

f (4) = 4a + b = 5 b = - 3

bulunur.

f(x) = 2x – 3

y

-3 O

2

6

f(x – 1) = 2(x – 1) – 3 = 2x – 5

f(x + 1) = 2(x + 1) – 3 = 2x – 1 + ______________________________________________ f(x – 1) + f(x + 1) = 4x – 6 olur.

x

-4


Buna göre, (fof)(x – 1) = –4 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) 5

B) 8

C) 9

D) 11

E) 12

-4

-2

O

1

3

x


Buna göre, x . f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır? A) –8

B) –5

C) –3

D) –2

E) –1

x . f(x) ≤ 0 eşitsizliğini eşitsizlik tablosu ile çözelim. x . f(x) ≤ 0 ifadesinde köklerimiz. x = 0, x = –4, x = –2, x = 1 ve x = 3’tür. Aynı x =3 için f fonksiyonu x

eksenine teğet olduğundan çift katlı köktür. Buradan –4 +

68

f(0) = –4 olduğundan f(x – 1) = 0 olmalı.

f(x) = 0 eşitliği x = –3, x = 2 ve x = 6 apsisli noktalarda gerçekleşmektedir. Dolayısıyla f(x – 1) = –4 için

-1

f(f(x – 1)) = –4

y

11.

–2 –

0 +

1 –

3 +


+

_ b b eşitsizliğini sağlayan x değerleri, b ` –4, –3, –2, 0, 1 ve 3’tür. Bu b değerlerin toplamı; –5’tir. b b a

x – 1 = –3, x – 1 = 2 ve x – 1 = 6 x = –2 x = 3 x = 7

(–2) + 3 + 7 = 8 olur.


3. BÖLÜM 12.

y 6

f(x -2) 3

-4 -1 O

2

x

f(x – 2) = y

x =2 için f(0) = 6

x = 0 için f(–2) = 3 ve ayrıca,

f(x – 2) = y ⇔ f–1(y) = x – 2 olacağından

f–1(–4) = –4 – 2 = –6 f–1(3) = 0 – 2 = –2 bulunur.

-4

Şekilde y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f (0) - f (- 2) Buna göre - 1 ifadesinin değeri kaçtır? f (- 4) - f- 1(3) A) –4 B) –2 C) –1 D) - 3 E) - 2 4 3

13.

f(x) = x2 + ax – 1

g(x) = 2x + 1

14.

f(x) = (m –

(- 4) - f

-1

(3)

=

6-3 3 = - 6 - (- 2) - 4

olur.

fog(x) = f(g(x)) = f(2x + 1)

f(2x + 1) = (2x + 1)2 + a . (2x +1) – 1

2)x2

+ (n – 1)x + p – 4

4x 2 + (4 + 2a) x + a 1442443 0 olmalι

4 + 2a = 0 a = –2 bulunur.

m+n+p+r+s

A) 0

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

f birim fonksiyon ise f(x) = x olmalı,

f (x) = (m - 2) x 2 + (n - 1) x + p - 4 1442443 1442443 1442443 0 olmalı 1 olmalı 0 olmalı

m – 2 = 0

n – 1 = 1

p – 4 = 0

m = 2

n = 2

p = 4 bulunur.

Ayrıca g sabit fonksiyon ise;

ifadesinde x’li terim bulunmamalı.

g(x) = (m + r)x2 – (s + 6)x + 3

g (x) = (2 + r) x 2 - (s + 6) x + 3 1442443 1442443 0 olmalı 0 olmalı

2 + r = 0

s + 6 =0

r = –2

s = –6 bulunur.

ohalde,

olur.

f (0) - f (- 2)

-1

ifadesinin değeri kaçtır?

f

birim fonksiyon ve g(x) = (m + r)x2 – (s + 6)x + 3 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre,

= 4x2 + 4x + 1 + 2ax + a – 1 fonksiyonları veriliyor. (fog)(x) fonksiyonu y eksenine göre simetrik olduğuna 4x2 + (4 + 2a)x + a ve göre, a kaçtır? fog(x) y eksenine göre simetrikse çift fonksiyondur. Dolayısıyla x’in tek kuvvetleri A) –4 B) –2 C) 0 D) 1 E) 3 bulunmamalıdır. O halde;

Bulunan değerler sorulan ifadede yerlerine yazılırsa;

m + n + p + r + s = 2 + 2 + 4 + (–2) + (–6) = 0


69

Analitik Geometri

4. BÖLÜM DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ

Analitik Düzlem: İki sayı doğrusunun dik kesişmesiyle oluşan sisteme dik koordinat sistemi, dik koordinat sisteminin üzerinde bulunduğu düzleme ise analitik düzlem denir. ► Yatay olan sayı doğrusuna

x-ekseni denir.

► Düşey olan sayı doğrusuna

y-ekseni denir.

► İki sayı doğrusunun dik kesiştiği noktaya orijin denir. y

y

A(a,b)

b

O

II. BÖLGE (-, +) x<0 y>0

I. BÖLGE (+, +) x>0 y>0

III. BÖLGE (-, -) x<0 y<0

IV. BÖLGE (+, -) x>0 y<0

x

a

x

► a’ya A noktasının apsisi denir. ► b’ye A noktasının

ordinatı denir.

► A noktasının x eksenine uzaklığı b’dir. ► A noktasının y eksenine uzaklığı a’dır.

A(–7, 2) noktası için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? I. Apsisi –7 dir. II. Ordinatı 2 dir. III. Ox eksenine uzaklığı 7 birimdir. IV. Oy eksenine uzaklığı 2 birimdir. V. Koordinatları toplamı 9 birimdir. A) 1

B) 2

C) 3

A(–7, 2) noktasının

I. Apsisi –7’dir. II. Ordinatı 2’dir. III. X-eksenine uzaklığı 2’dir. IV. Y-eksenine uzaklığı 7’dir. V. Koordinatları toplamı (–7) + 2 = – 5'tir. I ve II öncülleri doğrudur.

70


D) 4

E) 5

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Bir noktanın Y-eksenine uzaklığı noktanın I. Dik koordinat sisteminde A(k–3, 5) noktasının y eksenine uzaklığı 4 birim ise k’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Dik koordinat sisteminde A(k + 2, 2k – 8) noktası IV. bölgede ise k’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

bileşenidir (apsisidir). k – 3= 4 veya k – 3 = –4 tür. k = 7 veya k = –1’dir. k’nın alacağı değerler toplamı –1 + 7 = 6'dır.

IV. Bölgede işaretler (+, –) dir. Buna göre; k + 2 > 0

2k – 8 < 0

k > –2 olur.

k < 4 olur.

k'nın alacağı değerler -2 < k < 4 aralığında olup –1, 0, 1, 2, 3 değerlerini alır. Dik koordinat sisteminde A(a, b) noktası II. bölgede ise B(a . b, a ) noktası hangi b bölgededir? A) I

B) II

C) III

D) IV

E) x ekseninde

–1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 olur.

A(a, b) II. bölgede ise; ↓ ↓ – + olur. B(a . b,

↓ ↓ Dik koordinat sisteminde II. bölgede olan, x eksenine uzaklığı 3 birim ve y eksenine uzaklığı 5 birim olan nokta aşağıdakilerden hangisidir? A) (–3, 5)

B) (–5, 3)

C) (–5, –3)

D) (–3, –5)

E) (3, 5)

a

b

)

-.+ –/+ B(–, –) olur ve III. bölgededir.

II. bölgede işaretler (–, +) olur. X – eksenine uzaklığı 3 birim ise ordinatı –3 tür. 4

Y – eksenine uzaklığı 5 birim ise opsisi –5 tir.

Nokta(–5, 3) olur.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık y B

y2 A

y1 0

|AB|=

x1

x2

x

(x 2 - x1) 2 + (y 2 - y1) 2 dir.


71

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Dik koordinat sisteminde A(2, 4) ile B(5, 8) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 2 2

B)

10

C) 4

(5 - 2) 2 + (8 - 4) 2 =

9 + 16 =

D) 3 2

E) 5

25 = 5 olur.

(2 - 4) 2 + (- 3 - k) 2 = 2 5 her iki tarafın karesi alınırsa

Dik koordinat sisteminde A(2, –3) ile B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 2 5 birim ise k’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –7

B) –6

C) 1

D) 6

4 + (–3 –k)2 = 20 olur. ((–3 –k)2 = 16 –3 –k = 4 veya –3 –k = –4, k = –7 veya k = 1 olur.

E) 7

Alacağı değerler toplamı

y

–7 + 1 = –6 olur.

A B x

O

C

D

Yukarıdaki dik koordinat sistemine göre |AC| + |BD| toplamı kaç birimdir? A) 13

B) 17

C) 20

D) 23

E) 25

A(5, 5) B(–5, 2) C(–3, –1) D(7, –3) |AC| =

(- 3 - 5) 2 + (- 1 - 5) 2 =

|BD| =

(7 + 5) 2 + (- 3 - 2) 2 =

64 + 36 =

100 = 10 olur.

144 + 25

169 = 13 olur |AC| + |BD| = 10 + 13 = 23 olur.

Bir Noktanın Orijine Uzaklığı y

A(x1,y1)

y1

2 2 x1 + y1

|OA|=

x1

O

x

(- 2) 2 + 3 2 = Dik koordinat sisteminde A(–2, 3) noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 1

72

B)

5

C) 2 2


D)

10

E)

13

13 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

BİR DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORDİNATLARI Uç noktaları A(x1, y1) ile B(x2, y2) olan doğru par-

y

çasının orta noktası C(x0, y0) ise;

B

y2 y0

x1 + x 2 2

x0 =

C A

y1

x1

O

x0

x2

x

y1 + y 2 2

y0 =

Dik koordinat sisteminde uç noktaları A(–3, 7) ve B(5, 9) olan doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir? A) (1, 16)

B) (1, 8)

C) (2, 16)

D) (–1, 8)

E) (2, 2)

e

-3+5 7+9 , o = ^1, 8h olur. 2 2

Dik koordinat sisteminde A(3, m) ve B(n, 9) noktaları veriliyor. [AB]’nin orta noktası 3 + n =-1 2 C(–1, 8) ise m + n toplamı kaçtır? 3+n =-2 A) –3 B) –1 C) 2 D) 5 E) 7 n = - 5 olur.

m+9 =8 2 m + 9 = 16 m= 7

m+n =-5+7 m + n = 2 olur.

Dik koordinat sisteminde A(3, 2), B(–1, –5) ve C(5, –3) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir? A) 4 2

B) 6

C)

37

A(3, 2)

D) 2 10

E) 8

D noktası [BC]'nin orta noktası olur. -1+5 -5- 3 , o 2 2 D(2, –4) olur. De

B(–1,–5) |AD| =

C(5,–3)

D

(3 - 2) 2 + (2 + 4) 2 =

1 + 36 =

37 olur.

y 7

A

A(1, 7) B(5, 3)

C

O

C noktası [AB] nin orta noktası olur.

B

3 1

5

x

Yukarıdaki dik koordinat sisteminde |AC| = |BC| olduğuna göre, |OC| kaç birimdir?

Ce

1+5 7+3 , o ve C (3, 5) 2 2

|OC| =

32 + 52 =

9 + 25 =

34 olur.

(C∈[AB]) A) 3 3

B)

34

C) 6

D) 8

E) 6 2


73

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

C orta nokta olur.

Analitik düzlemde

y A

A(0, 6)

Ce

|OC| =

0+8 6+0 , o ve C (4, 3) olur. 2 2 42 + 32 =

16 + 9 =

25 = 5 olur.

B(8, 0)

C

|AC| = |BC| (C∈[AB]) O

x

B

Yukarıdaki verilere göre, |OC| kaç birimdir? A) 3

B)

10

C) 3 2

D) 5

E) 2 7

Paralelkenarın Köşe Koordinatları A(x1, y1)

B(x2, y2)

x0 =

x1 + x3 x 2 + x 4 = 2 2

y1 + y 3 y 2 + y 4 = 2 2

O(x0, y0)

D(x4, y4)

y0 =

C(x3, y3)

Köşe koordinatları A(–3, 5), B(4, 1), C(5, –1) ve D(m, n) olan ABCD paralelkenarında m + n toplamı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı birbirine, ordinatları toplamı birbirine eşittir.

A(–3, 5)

D(m, n)

B(4, 1)

C(5, –1)

–3 + 5 = 4 + m

5 – 1 = 1 + n

m + n = –2 + 3 = 1 olur.

m = –2 olur.

n = 3 olur.

x1 + x3 = x2 + x4 = –3’olur. y1 + y3 = y2 + y4 = 7 olur.

Köşegenlerin kesişim noktası K(–3, 7) noktası olan ABCD paralelkenarının tüm köşe koordinatlarının toplamı kaçtır? A) 4

74

B) 8

C) 12


D) 16

E) 20

x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2 + y3 + y4

= –3 – 3 + 7 + 7 = 8 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

y

F y

2 α

Analitik düzlemde

B

7

ABCD bir kare

q

α 2

C

α

q D

5

C

2

x

E

7

x

D

B

A

5

C(7, 2)

A

5 q

3

3

3

AOD, DEC ve AFB eş üçgenlerdir. α ve θ Yukarıdaki verilere göre, B noktasının koordinatları nedir? A) (6, 5)

B) (6, 4)

C) (5, 3)

nın karşısındaki kenarlar aynı olacağından;

D) (5, 6)

E) (5, 7)

B’nin koordinatları (5, 7) olur.

BİR DOĞRU PARÇASINI BELLİ ORANDA BÖLEN NOKTANIN KOORDİNATLARI İçten Bölme A(x1, y1)

C(x0, y0)

B(x2, y2)

[AB]’yi k oranında içten bölen C(x0, y0) noktası olsun,

x0 =

x1 + k.x 2 1+k

y0 =

AC =k BC

(k ! R)

y 1 + k.y 2 1+k

A(3, –1), B(9, –4) ve C∈[AB] olmak üzere, 2|AC| = |BC| olacak şekilde C(x0, y0) noktasının koordinatları nedir? A) (7, –2) A

B) (6, 0) k

(3,–1)

C 3 azalmış

C) (5, –3) 2k

D) (5, –2)

E) (6, –3)

2 AC = BC 3k’da 6 artarsa 0 0 k’da 2 artar (9,–4) 2k k Apsis = 3 + 2 = 5 olur. B

6 artmış

AC

BC

BC = 3k olur.

Ordinat = –1 –1 = –2 olur. C noktası (5, –2) bulunur.

A(1, 12)

2k’da 2 artar

AC 2 = 3 BC

olacak şekilde C(x0, y0) noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 8

10 azalmış

5k’da 5 artarsa

A(1, 12), B(6, 2) ve C∈[AB] olmak üzere,

B) 10

C) 11

D) 12

E) 14

2 ise 3

AC = 2k,

3k’da 3 azalırsa k’da 1 azalır.

=

C

B(6, 2)

5 artmış

5k’da 10 azalırsa 2k’da 4 azalır

Apsis = 1 + 2 = 3 olur. Ordinat = 12 – 4 = 8 olur. 3 + 8 = 11


75

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

D noktası orta nokta olduğundan

Analitik düzlemde

A(5, 1)

D

. k

A(5, 1)

E

3+5 -1+1 , o 2 2

. 3k

?

B(3, –1)

2 artmış

C(2, 1)

D(4,0)

k

C(2, 1)

|AD| = |BD|

B(3, -1)

den, D (4, 0) olur.

3 CD = DE

AB ∩ CE = {D} C

De

1 azalmış

3|CD| = |DE| Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordinatları nedir? A) (8, –1)

B) (10, –3)

C) (10, 5)

D) (7, –2)

E) (5, –3)

Dıştan Bölme A(x1, y1)

B(x2, y2)

[AB]’yi k oranında dıştan bölen C(x0, y0) noktası olsun

x0 =

x1 - kx 2 1-k

y0 =

AC =k BC

y bileşeni

k’da 2 artmış

k’da 1 azalmış

x = 2 + 8

y = 1 – 4

C) (–4, 8)

y = –3 olur.

E noktası E(10, –3) olur.

(k ! R)

y1 - ky 2 1-k

AC A(–1, 3), B(–3, 7) ve = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) noktasının BC koordinatları nedir? B) (–5, 10)

4k’da 4 azalır

4k’da 8 artar

AC

A) (–4, 9)

D) (–5, 9)

E) (–5,12)

BC

=

3 1

AC = 3k

(–1, 3)

x bileşeni

y bileşeni

2k’da 2 azalmış

2k’da 4 artar

A(1, –4), B(3, –2) ve 3|AC| = 5|BC| olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) nokta- x = –1–3 = –4 olur.

sının orijine uzaklığı kaç birimdir? 37

B) 6

C)

3 AC = 5 BC

0 5k alınır.

0 3k

34

D) 4 2 E)

2 artmış (1, –4)

(3, –2)

(x, y)

2 artmış

y bileşeni

x bileşeni

2k’da 2 artmış 5k’da 5 artar y = –4 + 5

2k’da 2 artmış 5k’da 5 artar x = 1 + 5 x = 6 olur.

y = 1

C(6, 1) bulunur. orjine uzaklığı =

76

6 2 + 1 2


=

37 bulunur.

30

(–3, 7) (x, y)

BC = k olur.

3k’da 3 azalır

A)

E(x, y)

?

x bileşeni

x = 10 olur.

C(x0, y0)

3k

3k’da 6 artar y = 3 + 6 = 9 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

A(3, m), B(6, n) ve 2|AB| = |AC| olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) noktasının apsisinin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

A(3, m)

C) 5

D) 6

B(6, n) k

C

|AB| = k

B noktası orta nokta

|AC| = 2k x0 = 9

k A(3, m)

C(-3,?)

E) 7

B(6, n)

|AB|=t

x0=3 olur. Toplamları

|AC|=2t 9 + (–3) = 6 olur. 2t

t

ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ A(x1, y1)

ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olmak üzere, G(x0, y0) ağırlık merkezi ise;

G(x0, y0)

B(x2, y2)

x0 =

x1 + x 2 + x3 3

y1 + y 2 + y 3 3

C(x3, y3)

y0 =

Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(2, –1), B(3, 4) ve C(a, b) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları G(3, 0) ise a + b toplamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

-1+4+b =0 3

2+3+a =3 3 5+a = 9

3+b = 9

a = 4 olur

b = - 3 olur

a + b =4 – 3 A(5, -1)

a + b = 1 olur.

Analitik düzlemde G üçgenin ağırlık merkezi A(5, –1) B(2, 4)

G

C(8, 3)

B(2, 4)

C(8, 3)

Yukarıdaki verilere göre, |BG| kaç birimdir? A) 3

B)

10

C) 2 3

5+2+8 -1+4+3 Ge , o 3 3 G (5, 2) olur.

D)

13

E) 4

BG =

(5 - 2) 2 + (2 - 4) 2

BG =

9+4

BG =

13 bulunur.


77

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

A

Analitik düzlemde

A

2k

ABC bir dik üçgen G, ağırlık merkezi

G

k

AB ⊥ AC

G

B(6, 8) B(6, 8)

C(–3, –4)

C(-3, -4)

Yukarıdaki verilere göre, |AG| kaç birimdir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

ÜÇGENİN ALANI x2 y1 x 1 x x3 y2 2 x3 x y + 1 3 x1 a

A(x1, y1)

y1 x1 y2 y2 x2 y3 y3 y 1 + x3 y1 b

G noktası D’ye birleştirilirse

A = 90° ve G ağırlık

[AD] kenarortay olduğundan

merkezi olduğundan,

|BD| = |DC| olur.

|BD| = |DC| = |AD| olur.

|BC| =

(6 + 3) 2 + (8 + 4) 2

|BC| =

9 2 + 12 2

15 |AG| = 2k 2 |GD| = k olacağından

|BC| =

81 + 144

3k =

|BC| =

225

C) 6

15 2

k =

5 2

5 2 |AG| = 5 olur. |AG| = 2.

D) 13 2

2 –3 4

–12

E) 7

1

A(ABC) =

5 –2

5 –4

birim karedir? B) 11 2

|AD| =

|AG| = 2k

A (ABC) = 1 . a - b 2

Köşelerinin koordinatları A(2, –3), B(4, 1) ve C(5, –2) olan ABC üçgenin alanı kaç A) 5

C(-3, -4)

|BC| = 15 olur.

B(x2, y2) C(x3, y3)

D

B(6, 8)

1 . - 21 - (- 11) 2

1 2 = . - 21 + 11 2 –3 2 –8

–11

–15 1 = .10 2 –21

= 5 bulunur.

Kenarlarının orta noktaları D(4, 1), E(–2, 3) ve F(–1, 3) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

A

E) 12

D

karedir?

2k

35

–10

2k+25

–5 k

7

-5

B) 14 2

C) 15

D) 16

5 2 2

–25

1 1 A (ABC) = 2k - 11 - 2k - 25 & .36 = 18 bulunur. 2 2 3


–2 –2 –3 –1

E

12

B

3 3 1

C

F

S=

4

1

7

S

S

2k

14

2k-11

78

E) 18

4

S S

Köşelerinin koordinatları A(–5, 2), B(k, 5) ve C(7, 2) olan üçgenin alanı kaç birim A) 12

3

A (DEF) = 5

1 1 . 5-7 & S = 2 2 2

S = 1 bulunur. 3

A (ABC) =4S olduğundan

= 4 .1

= 4 bulunur.

12

–6 –1 5

Analitik Geometri

4. BÖLÜM EĞİM

Bir doğrunun Ox ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya eğim açısı; eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir ve “m” ile gösterilir. d1 doğrusunun m1 = tana > 0

y d2

d2 doğrusunun m2 = tan b < 0

d1

30°

45°

0

3 3

1

tan

β

α

0°

x

O

60° 3

90° ∞

tana = –tan (180° – a)

İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun

y B

y2

eğimi;

A

y1

α x1

O

tana = mAB =

y 2 - y1 x 2 - x1

x

x2

Analitik düzlemde A(5, 2) ile B(4, –3) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? B) - 1 5

A) –5

C) 1 5

D) 3

E) 5

2 - (- 3) 5 = = 5 olur. 5-4 1

Analitik düzlemde A(2, k) ile B(3, 5) noktalarından geçen doğru Ox ekseniyle pozitif yönde 45° lik açı yaptığına göre, k kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

Eğim = tan45 = 1 olur. ►

A

B

k-5 =1 2-3

D) 6

E) 7

k - 5 = - 1 k = 4 olur.

Herhangi iki noktada bulunan eğimler eşit olacağından;

C

Üç nokta doğrusal (lineer) ise mAB = mBC = mAC

Analitik düzlemde A(–1, 3), B(4, 2) ve C(2, k) noktaları doğrusal ise k kaçtır? A) 1 2

B) 3 5

A, B ve C noktaları doğrusal olduğundan

C) 4 3

D) 12 E) 7 5 2

2-3 k-2 olur. = 4 - (- 1) 2 - 4

-1 k- 2 = 5 -2 5k – 10 = 2 5k = 12 k =

12 olur. 5


79

Analitik Geometri

4. BÖLÜM Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi A) y = mx + n tipi doğrularda eğim x’in katsayısıdır. B) ax + by + c = 0 tipi doğrularda eğim - a dir. b

Aşağıdaki denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz. I. y = 2x + 3

III. x = 2y –4

1 .......) 2

(......2.......)

II. y = x – 3 2

1 .......) 2

IV. 3x – y + 7 = 0 (......3.......)

(......

(......

V. 2y – 5x + 2 =0 (...... I = 2

5 .......) 2

VI. x – y + 1 = 0

III : 1/2

II = 1 / 2

(......1.......)

V: 5/2

IV : 3

VI: 1

Grafiği Bilinen Doğruların Eğimi y

y

Örnek: d

Örnek:

y

d d 7 3

α

x

O

tan a = md

O

md = ......

4

x

-7 ....... 4

-5

O

md = ......

x

3 ....... 5

DOĞRU DENKLEMİ BULMA 1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi m=

y - y1 olup buradan; x - x1

B(x, y) A(x1, y1)

tana = mAB =

y – y1 = m . (x – x1)

Analitik düzlemde A(–3, 5) noktasından geçen ve eğimi 5 olan doğrunun denklemi nedir?

y – 5 = 5 . (x + 3)

A) x = 5y + 20

B) x = 5y + 15 D) y = 5x – 12

80


C) y = 5x –20 E) y = 5x + 20

y = 5x + 20 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Analitik düzlemde A(4, –2) noktasından geçen ve Ox ekseniyle 135° lik açı yapan

m = tan135 = –1 olur.

doğrunun denklemi nedir?

y + 2 = –1 . (x – 4)

A) x – y – 6 = 0

B) x + y – 2 = 0 D) x – y – 2 = 0

C) x + y +2 = 0 E) x + y + 6 = 0

y = –x + 2 y + x – 2 = 0 olur.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Önce A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi bulunur. Sonra A ve B noktalarından biri seçilerek, eğimi ve bir noktası B(x2, y2)

bilinen doğrunun denklemini bulma şeklinde denklem bulunur.

A(x1, y1)

Analitik düzlemde A(3, –6) ile B(5, –4) noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir? A) x + y – 9 = 0

B) x + y + 9 = 0 D) x – y – 9 = 0

C) x + y – 7 = 0 E) x – y – 7 = 0

m =

-4+6 2 = =1 5-3 2

y + 6 = 1 . (x – 3) y =x – 9 x – y – 9 = 0 olur.

► Doğru üzerinde bulunan noktalar doğrunun denklemini sağlar.

Analitik düzlemde A(5, –2) noktası 2x – y + c = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, c kaçtır? A) 6

B) –4

C) –8

D) –10

E) –12

2 . 5 – (–2) + c = 0 12 + c = 0 c = –12

3. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi y d B(0,b)

A(a,0) O

x

x y + =1 a b


81

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

x y =1 + 4 -3 (4)

y

d

(- 3)

4x - 3y =1 - 12

B(0,4)

A(-3,0)

4x – 3y = –12

x

O

4x – 3y + 12 = 0 olur.

Analitik düzlemde d doğrusunun denklemi nedir? A) 4x + 3y + 12 = 0

B) 4x – 3y – 12 = 0

C) 3x – 4y + 12 = 0

D) 4x – 3y + 12 = 0

E) 3x + 4y – 12 = 0

ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ 1. x Eksenine Dik Doğru Denklemi y

► Eğimi ∞ dur.

d:x=a

► Üzerindeki bütün noktaların apsisi a’dır. ► Oy eksenine paraleldir.

O

A(a, 0)

x

2. y Eksenine Dik Doğru Denklemi ► Eğimi sıfırdır.

y A(0, b)

d:y=b

► Üzerindeki bütün noktaların ordinatı b’dir. ► Ox eksenine paraleldir.

x

O

3. Orijinden Geçen Doğruların Denklemi y

y y = -x (II. açıortay)

y = x (I. açıortay)

d : y = mx

O

82

x


45° 45° 45° 45° O

x

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Analitik düzlemde |x| = 2 ile |y| = 3 doğrularının arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 6

B) 12

C) 18

|x| = 2 ise x = 2 veya x = –2 dir.

D) 24

E) 36

|y| = 3 ise y = 3 veya y = –3 tür. y 3

4 br

y = 3

–2

2

6 br

x

–3

y = –3

y = –2

6 br

4 br

x = 2

Alan = 6 . 4 = 24 br2 olur. y – bileşeninden geçer. y = 5 olur. Analitik düzlemde A(3, 5) noktasından geçen,

x – bileşeninden geçer. x = 3 olur.

a) Ox eksenine paralel olan

y = mx biçimdedir.

b) Oy eksenine paralel olan

. 5

c) Orijinden geçen

. 3

Denklemi y =

doğru denklemleri nelerdir?

5 x olur. 3 A(3,2) nok-

y d

ABCD bir kare

y d A

2

B(5, 2)

B

D

C

B) y = 2 x 3

D

2

x

Dik koordinat sisteminde orijinden ve A noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? A) y = 3 x 2

3

C) y = 5 x 2

Denklem y =

B (5,

2) tası orijinden

2

2 O

O

2

A

C

x

5

geçen y = mx doğru su üzerindedir. 2 = 3m ve 2 m = olur. 3

2 x olur. 3

D) y = 2 x E) y = 3 x 5 5

Denklemi Verilen Bir Doğrunun Grafiğinin Çizilmesi Bir doğrunun grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktaları bulmak yeterlidir. Bunun için denk-

lemde x’e sıfır verilerek y eksenini kestiği nokta, y’ye sıfır verilerek x eksenini kestiği nokta bulunur. x = 0 için 4y – 24 = 0 y = 6 y = 0 için 3x – 24 = 0 x = 8

y

6

8

3x + 4y – 24 = 0

denklemi ile verilen doğrunun eksenlerle arasında kalan alan kaç birim karedir? A) 12

B) 18

C) 24

D) 36

E) 48

Dik üçgenin alanı

x

6.8 = 24 olur. 2


83

Analitik Geometri

4. BÖLÜM İki Doğrunun Kesişme Noktası

d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ile d2 : a2x + b2y + c2 = 0

y d2

doğrularının kesişim noktasının koordinatları; a1x + b1y + c1 = 0 4 denklem sisteminin çözüa2 x + b2 y + c2 = 0

d1 P

müdür. x

O

2x – y – 8 = 0 x + y– 7 = 0

3x – 15 = 0

2x – y – 8 = 0 ve x + y –7 = 0

doğrularının kesiştikleri noktanın koordinatları nedir? A) (4, 0)

B) (2, –7)

C) (5, 2)

D) (4, 3)

x = 5 olur. İkinci denklemde;

E) (6, 1)

x = 5 için

5 + y – 7 = 0

y = 2 olur.

Kesim noktası (5, 2) olur. y y=x 5 P

O

x 3

d2 : Şekildeki verilenlere göre P noktasının apsisi kaçtır? A) 3 5

C) 13 7

B) 2

D) 15 8

E) 3

x y + = 1 ve 5x + 3y = 15 olur. 3 5

d1 : y = x eşitliği d2’de yerine yazılırsa

5x + 3x = 15 ⇒ 8x = 15, x =

Analitik düzlemde, 2x + y – 10 = 0 ile y = 3x doğruları 5x – y + c = 0 doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, c kaçtır? A) –4

B) –2

2x + y – 10 = 0 y = 3x

84

_ b b b b b ` b b b b b a

C) 1

D) 3

_ b b b 2x + 3x – 10 = 0 b y = 3x olduğundan b `y = 3 . 2 5x – 10 = 0 b b 5x = 10 by = 6 b b x = 2 a Ortak çözülürse


E) 6

_ b b b b b ` b b b b b a

(2, 6) noktası 5x – y + c = 0 doğrusu üzerinde olduğundan denklemi sağlar. 5 . 2 – 6 + c =0 4 + c = 0

c = –4

15 olur. 8

Analitik Geometri

4. BÖLÜM İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları 1. Paralel Olma Durumu: y

d1 : a1x + b1y + c1 = 0

d1

d2 : a2x + b2y + c2 = 0

d2 α

α

x

O

► Paralel doğruların eğimleri eşittir. c b1 a = 1 ► a1 = c2 b 2 2

k- 1 1 = k+ 2 2

Analitik düzlemde;

d1: (k – 1) x + y + 5 = 0

d2: (k + 2) x + 2y – 7 = 0

2k – 2 = k + 2 k = 4 olur.

d1 ile d2 doğruları paralel ise k kaçtır? A) –1

B) 2

D) 7 2

C) 3

E) 4

Analitik düzlemde A(–1, 5) noktasından geçen ve x – 3y + 2 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir? A) x + 3y –4 = 0

B) 3x – y + 8 = 0

D) 3x + y – 2 = 0

C) x – 3y + 16 = 0 E) x – 3y – 12 = 0

1 olur. 3 paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan 1 A(–1, 5) noktasından geçen ve eğimi m = 3 olan doğru denklemi yazılır. x – 3y + 2 = 0 doğrusunun m =

ABCD bir paralelkenar

1 . (x + 1) 3 3y – 15 = x + 1

A(2, 3)

y – 5 = A(2, 3)

B

⇒ x – 3y + 16 = 0 olur.

C(5, 1) D(4, –1) D(4, -1)

C(5, 1)

Dik koordinat sisteminde ABCD paralelkenarının A ve B köşesinden geçen doğrunun denklemi nedir? A) 2x – y – 5 = 0

B) 2x + y – 7 = 0 D) x – 2y + 4 = 0

AB // DC olduğundan eğimleri eşittir.

C) 2x – y – 1 = 0 E) x + 2y – 8 = 0

A(2, 3) noktasından geçen ve mAB = 2

mAB = mDC 1+1 mDC = = 2 olur. 5-4

olan doğru denklemi

mAB = mDC olduğundan

2x – y – 1 = 0 olur.

y – 3 = 2.(x – 2) y – 3 = 2x – 4

mAB = 2 olur.


85

Analitik Geometri

4. BÖLÜM 2. Çakışık Olma Durumu d1: a1x + b1y + c1 = 0 d2: a2 x + b2 y + c2 = 0

4 denklemleriyle verilen doğrular çakışık (aynı doğruyu belirtiyor) ise,

b1

a1 a2 =

b2

=

c1 c2 3 1 a+2 = =6 2 b-1 a+2 1 ⇒ 2a + 4 = –6 =6 2 2a = –10

Analitik düzlemde,

d1 : (a + 2)x + 3y – 1 = 0

d2 : 6x + (b – 1)y + 2 =0

doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğruları çakışık ise a + b kaçtır? A) –10

B) –5

C) 0

D) 5

E) 10

3

a = –5 1 ⇒ –b + 1 = 6 =2 b-1 b = –5 a + b = –10 bulunur.

3. Tek Noktada Kesişme Durumu d1: a1x + b1y + c1 = 0 4 d2: a2 x + b2 y + c2 = 0

denklemleriyle verilen doğruların bir noktada kesişebilmesi için

paralel olmaması gerekir. Dolayısıyla;

a1 ! a2

b1

b2

Özel Durum: İki doğru dik kesişiyorsa;

d1 ⊥ d2 ⇔

m1 . m2 = –1

m1 . m2 = –1 a-1 2 . =-1 2 3 a – 1 = –3

Analitik düzlemde,

d1 : (a – 1)x – 2y + 3 = 0

d2 : 2x – 3y + 7 = 0

a = –2 bulunur.

d1 ⊥ d2 olduğuna göre, a kaçtır? A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

Kesişen İki Doğrunun Arasındaki Açı y d2

d1

α O

86

x


tana =

m1 - m 2 1 + m1 .m 2

E) 3

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

2x – 3y + 2 = 0 doğrusunun eğimi; m1 = Analitik düzlemde 2x – 3y + 2 = 0 ile x + 5y – 1 = 0 denklemleriyle verilen doğruların arasındaki dar açı kaç derecedir? A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 75

P(x1, y1)

|PH| =

a.x1 + b.y1 + c

tanα =

1 olur. 5

m1 - m 2 ile bulunur. 1 + m1 .m 2

tanα = 1 olur.

a2 + b2

x + 5y – 1 = 0 doğrusunun eğimi; m2 = -

2 1 - c- m 5 3 tanα = 2 1 1 + . c- m 3 5

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı

2 olur. 3

tan45° = 1 olduğundan α = 45° bulunur. d: ax + by + c = 0

H

Analitik düzlemde A(3, –2) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 denklemiyle verilen doğruya 3.3 - 2. (- 4) + 3

uzaklığı kaç birimdir? B) 2 2

A) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2

3 +4

2

=

9+8+3 25

=

20 = 4 olur. 5

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık A

d1 : ax + by + c1 =0 d // d ise 1 2

d2 : ax + by + c2 =0

B

|AB| =

c1 - c 2

a2 + b2

Analitik düzlemde;

d1 : 2x – y + 1 = 0

d2 : 4x – 2y – 18 = 0

doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğrusu arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 2 3

B) 4

C) 3 2

D) 2 5

E) 5

Öncelikli olarak paralel doğruların katsayıları eşit hale getirilir. d1 doğrusu 2 ile çarpılır.

d1: 4x - 2y + 2 = 0 d 2: 4x - 2y - 18 = 0

4

olur.

Doğrular arasındaki uzaklık c1 - c 2

a2 + b2

&

10 5

=

= 5

2 - (- 18) 4 2 + (- 2) 2 10 2 5 5

=

20 20

=

20 10 2 5

= 2 5 olur.


87

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI

Nokta x– ekseni üzerinde olduğundan, C(x, 0) alınır. Ave B noktalarına eşit uzaklıkta ise

1.

Analitik düzlemde A(3, 2) ile B(–1, 4) noktalarına eşit uzaklıkta ve Ox ekseni üzerinde bulunan noktanın apsisi kaçtır? B) – 1 2

A) –1

2.

A

B

C

D

x

O

D) 1

x 2 - 6x + 9 + 4 = x 2 + 2x + 1 + 16

E) 2

- 6x + 13 = 2x + 17

|AB| = |BC|

(B∈[AC])

|CD| = |DE|

(D∈[CE])

|GF| = |FE|

(F∈[GE])

- 4 = 8x 1 - = x olur. 2

y B

A noktasının apsisi –1 E

C

G noktasının apsisi –3

–3 –1

F

G

1

O

Yukarıdaki verilere göre, D noktasının apsisi kaçtır? A) 3 2

B) 5 3 y

3.

2 D3

x

Orta noktalardan yararlanarak D noktaısnın apsisi 1+3 = 2 olur. 2

E

D) 5 2

C) 2

^x + 1h2 + ^0 - 4h2

(x - 3) 2 + (0 - 2) 2 =

A

C) 1 2

y

|AC| = |BC| dir.

E) 3

F

G

ABCO bir dikdörtgen

y

A(1, 3)

A

A B O

x O

C

4.

3

1

B

x

C

32 = 1 . x ( 9 = x bulunur.

A) (10, –3)

ABO , BCO dur.

B) (9, –3)

C) (9, –1)

D) (10, –1)

E) (8, –3)

Analitik düzlemde köşe koordinatları A(–2, 3), B(7, k) ve C(7, 3) üçgeninin alanı

B) 5

–2

3

7 7k –2 –6

3

21

7k+15

7

C) 6

k

3

D) 7

& –2k 21 42–2k

E) 8

1 . ^42 - 2kh - ^7k + 15 h = 18 2

& - 9k + 27 = 36

21

–9k+27=36 k = –1

k’nın alacağı değerler toplamı 6 dır.

88

x–1 9

Dik koordinat sisteminde verilenlere göre, C noktasının koordinatları nedir?

A) 4

3

–3

18 birim kare ise k’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

1


–9k+27=–36 k = 7

3

3

eş üçgenlerden yararlanarak C(9, –3) bulunur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM 5.

Analitik düzlemde 13x – 17y + 1 = 0 ile 5x + 11y –1 = 0 doğrularının kesişim Doğruların kesim noktası için denklemler ortak çözülür. noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir? 13x – 17y + 1 = 0 3 x 5 x D) y = E) y = 5x A) y = 3x B) y = 2x C) y = 5x + 11y – 1 = 0 2 2

6.

Analitik düzlemde x + y –1 = 0 ile x +

3 y – 2 = 0 denklemleriyle verilen doğrular

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75

7.

B

C

x

O

3

-x

= 1

3

eğimi -

3

2

+

.x + 1

2

3

3

, eğim açısı Q2 = 150° olur. 3 Doğrular arasındaki dar açı Q2 – Q1 = 150 – 135 = 15° bulunur.

A(0, 4)

3 .y y=-

d 1 ⊥ d2

A

Analitik düzlemde

d1

d2

6

y = –x + 1 eğimi –1, eğim açısı Q1 = 135° olur.

y

6

183 x

=

y = 3x orijinden geçen denklem elde edilir.

arasındaki dar açı kaç derecedir? A) 15

6y

18x – 6y = 0

C(8, 0)

Yukarıdaki verilere göre, d1 doğrusunun denklemi nedir? A) 2x – y – 4 = 0

B) 2x – y + 2 = 0

D) x – 2y – 4 = 0

4

A

B

–2

a

42 = a . 8 ⇒ 16 = 8a ⇒ a = 2 bulunur.

d1

d1 doğrusunun denklemi

4 O

E) x – 2y + 2 = 0

Dik üçgende öklit uygulanırsa

y d2

C) 2x – y + 4 = 0

C8

8

x y + =1 4 x -2 (- 2 )

- 2x + y = 1 & - 2x + y = 4 4 0 = 2x - y + 4

A

4 3 3030 4 3 h=6 60 B

A

8.

d1 : 3x - 4y + 2 = 0

Analitik düzlemde ABC bir eşkenar üçgen

C

d2 : 3x - 4y - 28 = 0

60

2 3 h = h = h =

B

d1 : 3x - 4y + 2 = 0

2 3 C C1 - C 2 2

a +b

Yukarıdaki verilere göre, A(ABC) kaç birim karedir? A) 6 3

B) 9 3

C) 12 3

D) 15 3 E) 18 3

=

30

2 - (- 28) 32 + 42

25 30 & h = 6 bulunur. 5

A(ABC) =

2

d2 : 3x - 4y - 28 = 0

4 2 3 .6 2

A(ABC) = 12 3 olur.


89

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM DÖRTGENLER VE ÖZELLİKLERİ

Tanım: Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D gibi dört noktanın birleştirilmesiyle oluşan [AB], [BC], [CD] ve [DA] doğru parçalarından oluşan kapalı şekle dörtgen denir. ► Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgenlere dışbükey (konveks) dörgen denir.

► Herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgenlere içbükey (konkav) dörgen denir.

A

A

D

B

C C Dışbükey (konveks) dörgen ..............................................................

B

D İçbükey (konkav) dörgen ..............................................................

► Bir dörtgenin komşu olmayan köşelerini birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Dışbükey Dörtgenlerin Özellikleri 1) Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360° dir. B A B A

α

70° D

80°

E

b

ABCD bir dışbükey dörtgen

C

[AE] iç açıortay % m` ABCj = 90 ° % m`BCDj = 80 ° % m` ADCj = 70 °

B) 120

C) 130

D) 140

α

70° D

80°

E

C

2b + 70º + 80º + 90º = 360º b = 60º

% Yukarıdaki verilere göre, m` AECj = α kaç derecedir? A) 110

b

E) 150

a = b + 70º ( a = 130º

2) Dışbükey bir dörtgenin dış açılar toplamı 360° dir.

A

x

115° B E α

A 115°

F

95° D

ABCD bir dışbükey dörtgen % m`DAEj = 115 ° % m`BCFj = 80 ° % m` ADFj = 95 °

C

90

D 80° C

x = 80º bulunur.

% Yukarıdaki verilere göre, m (CBE) = α kaç derecedir? B) 105

95°

115º+85º+80º+x=360

80°

A) 100

F

B E α

C) 110


D) 115

E) 120

a = 180º – x = a = 100º bulunur.


5. BÖLÜM 3)

A

B

A B

E x

x

E

D C

C

D

% % m( A ) + m( B ) 2

x=

x=

% % m( A ) - m( C ) 2

B


A

[AE] ve [BE] iç açıortay % m` ADCj = 80 ° % m`BCDj = 70 °

α E

80° 70°

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` AEBj = α kaç derecedir? A) 65

B) 75

A

C) 80

D) 85

E) 90

% % m ( D ) + m ( C ) 80 + 70 = = 75 ° olur. 2 2


B

120°

[DE] ve [BE] iç açıortay % m`DABj = 120 ° % m`DEBj = 155 °

155° E D α

% m (DEK) = 180 - 155 = 25 olur.

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DCBj = α kaç derecedir? A) 50

α =

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

25 =

% % 120 - α m( A ) - m( C ) & 25 = 2 2

50 = 120 – α α = 120 – 50 4)

α = 70° olur.

E B x

A

x=

% % m( A ) + m( B ) - 90 ° 2

D

C

F


91


5. BÖLÜM

E B α

A

25°

ABCD bir dışbükey dörtgen [DE] iç açıortay

150°

[CE] dış açıortay % m (BAD) = 150 ° % m (DEC) = 25 °

D

C

α + 150 - 90 = 25 2 α + 150 = 115 2 α + 150 = 230

F

% Yukarıdaki verilere göre, m (ABC) = a kaç derecedir? A) 50

B) 60

5)

C) 70

D) 80

E) 90

A

E

α = 80° bulunur.

B

D F

C

x=

% % m( C ) - m( A ) 2

x K

D

A

60°

E


140° C

B

D

180-2y

[DK] ve [BK] dış açıortay % m`DCBj = 140 ° % mÈAFj = 60 °

α K

E

A

60°

y y

140° C 180-2x B

F

α K

x

x F

% Yukarıdaki verilere göre, m`DKBj = a kaç derecedir? A) 25

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

60 + 140 + 180 – 2x + 180 – 2y = 360 200 – 2x – 2y = 0 200 = 2x + 2y

6)

A b

100 = x + y

A

bulunur.

B

α + x + y = 140 ° olduğundan Z

a a c

b

D d

100

α = 140 – 100

c

D

α = 40° bulunur.

d C

B

6AC@ = 6BD@ ise

a2 + c2 = b2 + d2

6AE@ = 6BC@ ise

a2 + c2 = b2 + d2

92

E


C


5. BÖLÜM

x2 + 42 = 62 + 82 x2 + 16 = 100 A 6 B x


x2 = 84

[AC] ⊥ [BD]

x =

|BC| = 4 cm

x = 2 21

84

|AB| = 6 cm

4

|DC| = 8 cm

D 8

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 2 14

B) 2 15

C) 6 2

A

D) 2 21

E) 3 10

ABC bir üçgen [AE] ⊥ [BC]

10 y

x2 – y2 = 144 – 100

x2 + y 2 = 52

–

y2

= 44

|AC| = 12 cm

x

x2 – y 2 = 44

x2

|AB| = 10 cm

12

D

x2 + 102 = y2 + 122

E

C

x2 = 48 x = 4 3 olur.

|DC| = x B

2x2 = 96

|BD| = y x2 + y2 = 52

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 2 7

B) 4 2

C) 6

A

12

D

4

B

E

D) 2 10

E) 4 3

ABC bir dik üçgen

|DC|2 + 102 = 122 + 42

[AB] ⊥ [BC]

|DC|2 + 100 = 160

|DE| = 4 cm

|DC|2 = 60

|AE| = 10 cm

|DC| =

|AC| = 12 cm

|DC| = 2 15 bulunur.

60

C

Yukarıdaki verilere göre, |DC| kaç cm dir? A) 4 2

7.

B) 6

C)

A B

E

38

|BD| = f

E) 2 15

[AC] ve [BD] köşegenler % m`BECj = α |AC| = e

α

D) 4 3

A(ABCD) =

1 .e.f. sin α 2

D C


93


5. BÖLÜM A

ABCD bir içbükey dörtgen

[AC] ve [BD] köşegenler % m` AEBj = α

C

α

1 . BD . AC . sin α 2

D

E

B

A(ABCD) =


A

=

[AC] ve [BD] köşegenler % m` AEBj = 120 °

|AC| = 4 3 cm

1 3 . 4 3 .8. 2 2 = 8.3

|BD| = 8 cm

2 = 24cm

B

120° E D

A(ABCD) =

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 18

B) 24

8)

C) 28

A

E) 36

[AC] ve [BD] köşegenler

s1

s1, s2, s3 ve s4 üçgenlerin alanları olmak üzere

s2

s4

D) 32


D

E

S1 . S3 = S2 . S4

s3 B

C


A


B 9 E

A(AEB) = 9 cm2 12

A(BEC) = 12 cm2 A(DEC) = 8 cm2

8 C

D


B) 35

C) 39

S . 12 = 9 . 8 12 . S = 72 S = 6 cm2 bulunur. A(ABCD) = 9 + 12 + 8 + 6

94

1 .4 3 .8. sin 120 2

= 35 cm2 olur.


D) 42

E) 45

bulunur.


5. BÖLÜM 9.


A

|AC| = e

L

K

|BD| = f B

D M

N

K, L, M ve N bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere,

A(KLMN) =

C

► ABCD bir dışbükey dörtgen ise KLMN bir

Çevre (KLMN) =

paralelkenardır.

► [AC] ⊥ [BD] ise KLMN bir

dikdörtgendir.

10.

s1

K

|AC| + |BD|

karedir. ABCD bir dışbükey dörtgen

A

dörtgendir.

► |AC| = |BD| ise KLMN bir

► |AC| = |BD| ve [AC] ⊥ [BD] ise KLMN bir

A (ABCD) 2

K, L, M ve N kenar orta noktalarıdır.

L

s2

D

s4

N

B

S1 + S2 + S3 + S4 = A(KLMN) ve

M

s3

S1 . S3 = S2 . S4 olur. =

C

1 3 .6 2 = 3.10

A(ABCD) =

A


K B E

N


A(KLMN) =

|AC| = 6 2 cm M

D

C

|BD| = 10 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(KLMN) kaç cm2 dir? A) 15

B) 18

C) 24

A L 6

B

K M

4 N

C

B) 38

2

2

A (ABCD) olduğundan 2

30 2 = 15 cm2 olur.

=

E) 36


L noktası M noktasına birleştirilir.

K, L, M ve N kenar orta noktaları

S . 4 = 6 . 8

A(AKL) = 6 cm2

4 . S = 48 S = 12cm2 olur.

A(DKN) = 4 cm2

A(KLMN) = 6 + 4 + 8 + 12

A(CNM) = 8 cm2

8

D

D) 30

2 .10.

2 = 30cm olur.

K, L, M ve N kenar orta noktaları % m`BECj = 45 °

45° L

A) 36

1 .6 2 .10. sin 45 2

Yukarıdaki verilere göre, A(BMNKL) kaç cm2 dir? C) 40

D) 42

E) 48

A(KLMN) = 30cm2 olur. A(BMNKL) = 30 + 12

= 42 cm2 bulunur.


95


5. BÖLÜM

A

ABCD bir dörtgen E

[EF] // [GH]

G D

B x

6

H

F

3|DG| = |DA| |AE| = |EB| |EF| = 6 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, |GH| = x kaç cm dir? A) 1

B) 2

C) 3

2k

E

k

E) 5

|EF| orta taban olduğundan taban |AC| = 12

G

12

x =4

D

D) 4

A noktası C noktasına birleştirilir.

A

H

olur.

B 6

3

ADC 'nin de temel benzerlik teoremi uygula-

F

nırsa

C

k

=

x 12

3k 3x = 12

B

K

A

5

4

x = 4 cm olur.

L

N

8

[AC] ve [BD] köşegenler L

N

8

D

10

dukları üçgenlerin orta tabanları olduğun-

C

|AN| = |NC|

dan, tabanların yarısına eşit olacaklarından

|AD| = 8 cm

|KL| = |NM| = 4

|BC| = 10 cm

B) 24

C) 32

D) 36

|KN| = |LM| = 5 bulunur.

Ç(KLMN) = 4 + 4 + 5 + 5

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(KLMN) kaç cm dir? A) 18

C

KLMN paralelkenar olur. KL ve KN bulun-

|DM| = |MC| M

M

|AK| = |KB| |LD| = |LB|

D

4

5

ABCD bir dörtgen

B

K

A

10

E) 40

= 18cm bulunur.

Dik üçgende en büyük kenar hipotenüs olaA

ABCD bir dörtgen

B

5

8

6

D

x

|AB| = 5 cm

cağından a < 6

|AD| = 6 cm

b < 5

|BC|= 8 cm

c < 8 a + b + c < 19 1442443 x

C

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 16

96

B) 17

C) 18


D) 19

E) 20

x < 19

en büyük 18cm olur.


5. BÖLÜM

A

2k

ABCD bir dörtgen

A

2B

[AC] ∩ [BD] = {E}

B

E

3|AE| = 2|EC|

E

2A

3B

D

A(ABD) = 24 cm2

B

3A 3k C

D


B) 52

C) 54

olur.

3 AE = 2 EC

C

D) 58

E) 60

0 2k

0 3k

A(ABD) ⇒ 2A + 2B = 24 A + B = 12 cm2 olur.

YAMUK

A(ABCD) = 5A + 5B

Tanım: Yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel olan kenarlara yamuğun tabanları, paralel olmayan kenarlarına da yan kenarları denir. üst taban

A

B

orta taban

E

D

[AB] // [EF] // [DC]

= 5 (A + B)

= 5 . 12

= 60 cm2 bulunur.

\ 12

Yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru par-

F

çasına orta taban denir.

C

alt taban

Özellikleri 1)

A

[AB] // [CD] olduğundan ∧ ∧ m(A) + m(D) = 180° ∧ ∧ m(B) + m(C) = 180°

B

D

% % m ( B ) + m ( C ) = 180 °

C

2x + x = 180° 3x = 180° x = 60° olur. A

ABCD bir yamuk

B 2x

2x-20

x+y

x

D

C

% % m ( A ) + m ( D ) = 180 °

[AB] // [DC] % % 2.m`DCBj = m` ABCj = 2x % m`CDAj = x + y % m`DABj = 2x - 20 °

2x – 20 + x + y = 180° 3x – 20 + y = 180 3 . 60 – 20 + y = 180 160 + y = 180

Yukarıdaki verilere göre, y kaçtır? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

y = 180 – 160 y = 20° olur.


97


5. BÖLÜM

A A

ABCD bir yamuk

B 130°

[AE] // [BC] % m` ABCj = 130 ° % m`DAEj = 60 °

x E

C

x D

B) 55

2)

C) 60

c

A

E

D

D) 65

B

K

F

L

D

C

[AB] // [EF] // [DC]

[AB]// [EF] // [DC]

[EF] : Orta taban


[EF] orta taban c a+c |EK| = |LF|= |EF| = 2 2

x

x + 110° = 180°

B

A

% % m ( D ) + m ( A ) = 180 °

x = 70° E

C

% m(BAE) = 50 olur.

E) 70

A

F

a

E

% m(BAE) + 130 = 180 °

% Yukarıdaki verilere göre, m` ADCj = x kaç derecedir? A) 50

50º

[AB] // [DC]

60°

D

60°

B 130°

|KL|=

a-c 2

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] 11

E

[EF] orta taban

F

|EF| = 11 cm |EF| orta taban olduğundan

|DC| = 15 cm D

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 6

B) 7

A

C) 8

x + 15 = 11 2 x + 15 = 22

C

15

D) 9

E) 10

x = 7 olur.

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] E

K

x

L


F

[EF] orta taban

a-c 2 11 - 7 x= 2 x=

|AB| = 7 cm D

C

|DC| = 11 cm

Yukarıdaki verilere göre, |KL| = x kaç cm dir? A) 2

98

B) 5 2

C) 3


D) 7 2

E) 4

x = 2 olur.

C


5. BÖLÜM

A A

8

5

K

[BL] ve [CL] açıortay

12

L

x

|BC| = 12 cm

C

B) 14

C) 15

A

c

D) 16

E) 17

[AB] // [KM] // [DC]

B

α α

6

6 12

6

x

θ C

AB // KL // DC olduğundan; |KM| = 11 olur. |KM| orta taban olacağından;

x+8 = 11 2 x + 8 = 22

x = 14 olur.

3)

L

θ D

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 13

5

|AB| = 8 cm |KL| = 5 cm

D

B

α

[AB] // [KL] // [DC] K

8

ABCD bir yamuk

B

[AC] ∩ [BD] = {L}

K

M

L

|KM| =

a

D

4

A

C

ABCD bir yamuk

B

x

E

2ac a+c

[AB] // [EF] // [DC]

F

|EF| =

[AC] ∩ [BD] = {E} |AB| = 4 cm |DC| = 12 cm 12

D

C

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? B) 5 2

A) 2

4)

A

c

D) 7 2

C) 3

B

A(ABCD) =

E) 4

a.c olacağından a+c

x =

4.12 4 + 12

x =

48 16

x = 3 olur.

(a + c) .h 2

a + c = orta taban olduğundan 2

h

A(ABCD) = Ortataban . h

D

a

C

= EF . h


99


5. BÖLÜM 6

A

[AB] // [DC] % m` ADCj = 30 °

8

8

18

C

B) 40

30° 18

D

B

D) 48

S

3k 3 AB = DC

D

3|AB| = |DC|

0 k

A(ABD) = 12 cm2

C

0 3k

ABD ve BDC üçgenlerinin yükseklikleri aynı

C

olduğu için alanları tabanları ile orantılıdır.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 48

h

3S

ABCD bir yamuk

D

B

E) 54

[AB] // [DC]

A) 36

k

A

h A

olur.

C

|DC| = 18 cm

C) 44

24. 4 2

2 A(ABCD) = 24.2

4


=

(6 + 18) .4 2

2 = 48cm

|AD| = 8 cm

30°

=

B

60°

|AB| = 6 cm D

6

A

ABCD bir yamuk

B

C) 52

D) 56

E) 60

A(ABD) = S, A(BDC) = 3S S = 12 ise A(BDC) = 36 olur.

A

5

E 3

A(ABCD) = 12 + 36

ABCD bir yamuk

B

= 48 cm2 bulunur.

[AB] // [DC] 2.A(EBCF) = A(AEFD)

2 . A(EBCF) = A(AEFD)

|EB| = 3 cm

(5 + 13) .h x+3 p .h = 2 2 2x + 6 = 18 2. f

|AE| = 5 cm D

13

F

x

C

|DF| = 13 cm

Yukarıdaki verilere göre, |FC| = x kaç cm dir? A) 4

B) 5

A

5

C) 6

B

6

8

2x = 12 D) 7

AED dik üçgeninde

36 – x2 = 64 – (10 – x)2

[AB] // [DC]

h2 + x2 = 62

36 – x 2 = 64 – 100 + 20x – x 2 =

|AB| = 5 cm

h2 = 36 – x2

36 = –36 + 20x

BFC dik üçgeninde

|BC| = 8 cm C

15

h2 + (10 – x)2 = 82

|DC| = 15 cm

B) 36

C) 42

72 = 20x x =

72 20

h2 = 64 – (10 – x)2


x = 6 bulunur.

ABCD bir yamuk

|AD| = 6 cm D

E) 8

D) 48

E) 54

A(ABCD) =

100


=

(5 + 15). 2

72 20

72 = 36 olur. 2


5. BÖLÜM A

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] 10

E

[EH] ⊥ [DC]

F

[EF] orta taban

3

D

H

|EF| = 10 cm

C

|EH| = 3 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

B) 45

C) 60

D) 90

E) 120

EF orta taban olduğundan |HE| = |EK| olur.

(a + c) = 10 . 6 h 2 0 = 60 cm2 olur. A (ABCD) =

EF (Orta taban)

5)

A

B

A

[AC] ve [BD]

B

A

S

köşegenler

S

E

B D

C

A(AED)=

A (ABCD) 2

D

C

A . B = S . S A

B

L A

ABCD bir yamuk

B

L

[AB] // [DC]

|BK| = |KC| C

D

|LK| = 8 cm


C

K noktası A'ya ve D'ye birleştirilirse,

|AD| = 12 cm

A) 48

K

[KL] ⊥ [AD]

K

D

8

12

C) 72

D) 82

E) 96

A (ABCD) A (AKD) = olur. 2 0 12.8 A (ABCD) = 2 2

96 = A(ABCD) olur.

A

ABCD bir yamuk

B

3 E

12 D

C

[AB] // [DC]

A(AED) = A(BEC) = 5 olsun

[AC] ∩ [BD] = {E}

S . S = 12 . 3

A(AEB) = 3 cm2

S2 = 36

A(DEC) = 12 cm2

S = 6 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 22

B) 24

C) 27

cm2

dir?

A(ABCD) = 3 + 12 + 6 + 6 D) 30

E) 36

= 27 cm2 bulunur.


101


5. BÖLÜM

k

A A

ABCD bir yamuk

B

12

α

E

D

|AD| = 12 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç B) 100

60

α

cm2

C) 120

D) 140

E) 160

α + θ = 90°

2k

olduğundan

C

BEC

dik üçgen olur.

12.10 = 60 cm2 2 üçgenlerin yükseklikleri aynı olduğundan 0 k

dir?

paralel

çekilirse

10

3 AB = DC

3|AB| = |DC|

A) 80

30

|BC| = 10 cm D

12

12

noktasından

tabana

30

[AB] // [DC] % % m` ADCj + m`BCDj = 90 °

10

B

B

A(BEC) =

0 3k

A(ADE) = A(AEB) = 30cm2 olur. A(ABCD) = 120 cm2 bulunur.

İKİZKENAR YAMUK Tanım: Yan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

Özellikleri 1)

A

B

β

β

2)

A

|AC| = |BD|

B

a + b = 180°

|AE| = |BE| E

|DE| = |CE|

α

α

D

D

C

C A

A

ABCD bir ikizkenar yamuk

B α

75°

75°

2θ + 75 + θ =

B

θ

α

180°

[AB] // [DC] |AB| = |BC| = |AD| % m`DACj = 75 °

D

θ θ

2θ D

C

B) 110

A

D) 120

5

α = 110° bulunur.

E) 125

[AB] // [DC] E

[DE] ⊥ [BC]

A

8

C

5 x

|BE| = 5 cm |DC| = 8 cm

α

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 7

B) 8

C) 9

D

D) 10

E) 11

α=30


3α + 90 = 180

E

4 3

60-2α 8

|AD| = |BC| x = 9 olur.

102

α + 2α + 90 = 180

B

[DE] açıortay D

α + 2θ = 180


B

x

C) 115

θ = 35° olur. C

α + 2 . 35 = 180

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABCj = a kaç derecedir? A) 105

3θ = 105

4

3α = 90 α = 30°

C


5. BÖLÜM

A A


B

6

[AB] // [DC]

2 E

[AC] ∩ [BD] = {E} % m`BDCj = 30 °

6

30° D

C

A A

C) 7 3

D) 8 3 E) 10 3

4) A

c 2

c 2

c c

L a- c C C L

2

3

C

(30° – 30° – 120° özel üçgenlerinden)

2

a 2 D

a a

a 2

a 2

|AB| = 2 3 , |DC| = 6 3 olur. |AB| + |DC| = 8 3

İ kizkenar yamukta köşegenler dik kesiş- tiğinde

B

h h

D a- c K D K

6

|EC| = 6 cm

c 2 h h

30

30°

|AE| = |EB| ve |DE| = |CE| olur.

B B

c c

6

|BE| = 2 cm

B) 6 3

3)

E

120

D

Yukarıdaki verilere göre, |AB| + |DC| toplamı kaç cm dir? A) 5 3

2 3 B 30 30 2 2

h = a+ c 2

C

A(ABCD) = |KC| . h

A

A(ABCD) =

( a + c) . h = h. h = h2 2 B noktasından tabana dik indirilirse |BH| = 7,


E 2 B

|FH| = 2 ve |DH| = 10 olur.

[AB] // [DC]

A(ABCD) = |DH| . |BH|

[EF] ⊥ [DC]

7

|EB| = 2 cm D

8

F

C

|EF| = 7 cm

= 10 . 7

= 70 cm2 bulunur.

|DF| = 8 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 60

B) 64

C) 70

D) 72

E) 90

A

13 A

12


B

[AB] // [DC] 13

D

|AB| = 12 cm

13

22

C

B) 170

C) 187

E

12 22

12

13

5

F

C

indirilirse

|AD| = |BC| =13 cm

A (ABCD) =


12

B

A ve B noktalarından tabana dikmeler

|DC| = 22 cm D

5

12

D) 192

E) 204 A (ABCD) =

(12 + 22) .12 2 34.126 2

2 = 204cm olur.


103


5. BÖLÜM

İkizkenar yamukta köşegenler dik kesiştiA

ğinde


B

4

[AB] // [DC]

[AC] ⊥ [BD] |AB| = 4 cm D

10

C

h = 7 olur.

|DC| = 10 cm


B) 49

a+c olur. 2 4 + 10 h= 2 h=

C) 54

D) 64

E) 81

A (ABCD) =

(4 + 10) .7 2

A(ABCD) =

14.7 2 = 49cm bulunur. 2

DİK YAMUK Tanım: Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Özellikleri 1)

A

2)

B

β

A

c

Köşegenleri dik kesişen ya-

B

mukta

h h2 = a . c

α D

D

C

a

C

a + b =180°

A A

12

12

B

B noktasından tabana

ABCD bir dik yamuk

B

6

[AB] // [DC] % m (BCD) = 45 °

2

6

|BC| = 6 2 cm 45°

|AB| = 12 cm

C

D

D

12

dik indirilirse

45

A(ABCD) = 6

(12 + 18) .6 2

45° C

30.6 2 A(ABCD) = = 90cm bulunur. 2


B) 90

C) 108

D) 124

E) 144

A A

9

15

15

|BC| = |DC|

15

|AB| = 9 cm D

C

B) 50

9

D

|AD| = 15 cm

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 44

B noktasından tabana dik indirilirse,

B

ABCD bir dik yamuk

B

[AB] // [DC]

104

9

C) 56


D) 58

E) 64

E

9+x

x

BEC dik üçgeninde (9 + x)2 = x2 + 152

81 + 18x + x 2 = x 2 + 225

C

18x = 144

x = 8 olur.

Ç(ABCD) = 9 + 15 + 17 + 17

= 58 cm olur.


5. BÖLÜM

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde A

ABCD bir dik yamuk

B

3

[AB] // [DC] [AC] ⊥ [BD]

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 4 3

B) 6 3

C) 7 3

h2 = 3 . 4

h2 = 12

h = 2 3 olur. (3 + 4) . 2 3 A(ABCD) = 2

|DC| = 4 cm

C

4

h2 = a . c olur.

|AB| = 3 cm D

D) 8 3

E) 9 3

A(ABCD) = 7 3 bulunur. A

B

30

135°

x

A

x= 4 3

ABCD bir yamuk

B 135°

x

6

[AB] // [DC] % m` ABCj = 135 ° % m` ADCj = 60 °

2

60° D

2 3 4

B) 2 13

C) 3 6

lirse (45° – 45° – 90 ve 30° – 60° – 90° özel üçgenleri kullanılarak) D) 2 15

E) 8

x = 4 3 bulunur. A

A

E

6

ABCD bir yamuk

B

x

B) 6

A

3

E) 10

BCL dik üçgeninde kenarortay çizilirse

|BK| = |KL| = |CK| = 5cm olur.

CK // FE olduğundan x = 5 bulunur.

A

B) 8

5

|AD| = 5 cm C) 9

3

B

B

65


C

x

% m`BCDj = 65 °

C

6

|BL| = 10 cm blunur. D) 8

[AB] // [DC] % m`BADj = 130 °

x

L α

α + θ = 90° olduğundan BCL dik üçgeninde

|AB| = 3 cm D

5

|BC| = 8 cm

ABCD bir yamuk

5

K

birleştirilirse paralel kenar elde edilir.

C) 7

B

5

|AD| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 5

α

B noktası devam ettirilir ve C noktası ile

|DF| = |FC|

C

F

B

5

D

|AE| = |EB| D

3

5

[AB] // [DC] % % m` ADCj + m`BCDj = 90 °

8

C

A ve B noktalarından tabana dikmeler indiri-

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 4 3

45 6

60° D

|BC| = 6 2 cm

C

45 6 6 2

6

D) 10

E) 11

D

tabana

5

130 50 x 3

noktasından paralel

çekilirse 5

C

x = 5 + 3

x = 8 olur.


105


5. BÖLÜM

A A

ABCD bir yamuk

B

A

[AB] // [DC] E

K

[EF] orta taban A(EKD) = 3 cm2

D

C

B) 26

C) 28

A(BEFC) = 3S olur.

E) 32

6

A

A

[AB] // [DC] [BD] ⊥ [BC]

6

D

[DB] açıortay x

D

C

B) 10

C) 12

α α

D) 14

E) 16

2a F

[AB] // [DC]

E

[DE] açıortay

x

3|BE| = 2|EC| 9

D

C

|AB| = 2 cm

|DC| = 9 cm Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 8

B) 9

C) 10

6

4

A

B

2

3a

E

a

3k

3a a

F

paralel çekilirse 6

D) 11

0 3k

olur.

|AF| = 2a olsun

|DF| = |FE| = 3a olur.

C

E) 12

A

4

9 - 3a 3k 9a – 6 = 18 – 6a = 3a - 2 2k 15a = 24 24 8 a = a = x = 5a olur. 5 15 8 5

x = 8 bulunur.

0 k

2 E KF k

E

x

D

D) 8

E) 9

C

olur.

0 3k

noktası

se,

3k

C

C) 7

3. EF = DF

B

3|EF| = |DF|

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir?

orta

|KE| =

AB 2


K'ya

birleştirilir-

taban

olacağından

4 = = 2cm olur. 2

Taralı kelebekten benzerlik uygulanırsa,

2 K = x 3k

x = 6cm olur.

106

C

|AB| = 4 cm

B) 6

tabana

Yamukta azalış oranları eşit olacağından 9

D

[AC] ∩ [DE] = {F}

E

A) 5

dan

ABCD bir yamuk

B

x

noktasın-

E noktasından tabana paralel çekilirse,

2k

x

[AB] // [DC]

D

B

B

E x

3. BE = 2 EC

x = 5.

A

C

x = 12 bulunur.

ABCD bir yamuk

B

2

D

6

0 2k

A

15

|BE| = |DE| = |EC| = 6 olur.

|AD| = 6 cm


α α

6

ABCD bir yamuk

B

F

K

= 32 cm2 bulunur.

C

D) 30

3

5

A(ABCD) = 3 + 9 + 5 + 15

B


F

3S

A(BKF) = 5 cm2

E

A(AEF) = S

S

E

9

[EF] ortaban

[BD] köşegen

F

B


5. BÖLÜM A

A(BEC) =

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [DC]

3

|AE| = |ED|

E

–2

B(3, 2)

–9

C

C(2, –3) Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 8

B) 12

–1

8

E(–1, 4) D

1 2

C) 16

A(BEC) = 2

A(BEC)=

4

2 –3 3

12

2

D) 18

1 . 22 = 11cm 2 dur. 2

A (ABCD) = A (BEC) 2

3 4

–3

1 19 - (- 3) 2

A (ABCD) = 11 2

19

A (ABCD) = 22cm 2 bulunur.

E) 22

PARALELKENAR

Tanım: Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Özellikler 1)

a

A β

α

b

2)

a

A

B

E

b

b

b

a

D

C

a

65 F

A α

β

α D

B

C


q

|AC| = e ve |BD| = f a + b = 180° e2 + f2 = 2(a2 + b2)

q

F

B

115° E

[DE] ⊥ [EF]

Dış açı

A) 105

B) 120

C) 125

D) 130

Komşu olmayan iki iç açı

θ = 25° bulunur. α + 2θ = 180 α + 2 . 25 = 180

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DABj = α kaç derecedir?

C

α + 2θ = 180° 90 + θ = 65 + 2θ 144424443 144424443


[DE] açıortay % m` AFEj = 115 ° D

E) 135

α + 50 = 180 α = 130° bulunur.

A A

E

B

α

56° D


E α

[DE] açıortay

α + 31 + 62 = 180

|AD| = |EC| % mÈCBj = 56°

α + 93 = 180 α = 87° bulunur.

31 31 D

62

B

62

56° C

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DECj = α kaç derecedir? A) 82

2q E

a

q D A α

B

115°

B) 87

C) 92

D) 95

E) 98


107


5. BÖLÜM

e2 + f2 = 2(a2 + b2) 6

A

2


B

82 + 122 = 2 . (x2 + (6 2 )2)

[AC] ∩ [BD] = {E}

4 x E

6

64 + 144 = 2 . (x2 + 72)

|AE| = 4 cm

208104 = 2 . (x2 + 72)

|AB| = 6 2 cm

104 = x2 + 72

|DE| = 6 cm D

x2 = 32

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 4 2

3)

B) 2 17

C) 6 2

A

B

x =

D) 4 5 E) 7 2

4)

x = 4 2 bulunur.

a

A

32

B

hb b ha

b

b α

D

D

C

A(ABCD)=a.ha=b.hb

B

F

A

C

a

a

A(ABCD)=a.b.sina

ABCD bir paralelkenar [AE] ⊥ [BC]

9

[CF] ⊥ [AB]

E

Alan eşitliği kullanılarak

|DC| = 12 cm

12 . 6 = |AE| . 9

|AD| = 9 cm D

12

C

728 = AE .9

|CF| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

|AE| =8 cm bulunur.

E) 10 6

A

E

A

B


6

α

[DE] açıortay

D

α

9

108

B) 24

C) 25


h2 + 32 = 62 6

h2 + 9 = 36

C

h =

27

A(ABCD) = 9 . 3 3

C


CEB dik üçgeninde

h = 3 3 cm olur.

|DC| = 9 cm 9

B

h2 = 27

|BC| = 6 cm D

E3

h

6

[CE] ⊥ [AB]

α

D) 27 3

E) 36

A(ABCD) = 27 3 cm 2 bulunur.


5. BÖLÜM

A(ABCD) = a . b sinα A

B

A(ABCD) = 8 . 12 . sin60

ABCD bir paralelkenar % m` ADCj = 60 ° |AD| = 8 cm

8

3 2

A(ABCD) 8 . 12 . A(ABCD) = 48 3

|DC| = 12 cm 60° D

C

12


B) 36 3

C) 48 3

D) 96 3 E) 120 3

5) Paralelkenarda komşu iki açının açıortayları arasındaki açı 90° dir.

A

4 8

4

θ

D

α

B

α

α 4 α E

θ

5

F

4 9

C

E noktası K noktasına devam ettirilirse, dik üçgende kenarortay özelliğinden A

B

|EK| = |AK| = |KD| = 4 cm

ABCD bir paralelkenar [AB] // [EF] // [DC]

5

8

[AE] ve [DE] açıortay

F

E

bulunur. |KF| = |AB| = |DC| = 4 + 5 = 9cm olur.

|AD| = 8 cm D

Ç(ABCD) = 2 . (8 + 9)

|EF| = 5 cm

C

= 34 cm olur.


B) 26

C) 28

D) 32

E) 34 A

10

A

E

B

α


D

[DE] ve [CE] açıortay 16

12

|DE| = 16 cm |EC| = 12 cm

D

B) 54

α

E

θ

10

16

B

12

10

θ

20

θ C

2α + 2θ = 180

Ç(ABCD) = 2. (10 + 20)

α + θ = 90° olur.

= 60cm bulunur.

DEC dik üçgeninde |DC|2 = 122 + 162

C

|DC|2 = 144 + 256


α

10

C) 56

D) 58

E) 60

|DC|2 = 400

|DC| = 20 cm olur.


109


5. BÖLÜM

K

A A

B

3


E

[BE] ve [CE] açıortay E

[EF] ⊥ [BC]

3 F

D

10

B) 45

C) 60

F

D 10 C L Açıortay üzerinde alınan noktaların açının

|DC| = 10 cm

kenarlarına olan uzaklıkları eşit olacağından


3

3

|EF| = 3 cm

C

B

D) 90

E) 120

|EF| = |EK|= |EL| = 3cm olur.

A(ABCD) = 10 . 6 = 60cm2 bulunur. A

F

x

E

B

ABCD bir paralelkenar [DE] ve [CF] açıortay |AD| = 7 cm

7

A

7-x

|DC| = 9 cm

F

θ

x

E

α

7-x

7 9

D

A) 2

7

C

α

Yukarıdaki verilere göre, |FE| = x kaç cm dir? B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

D

B

α

θ

9

θ C

7- x+x+7-x = 9 A

6)

B

A

B

A S2

A

S A

E

A

B

14 - x = 9 x = 5 bulunur.

S3 S1

S A D

C

D

C

Köşegen alanı iki eşit alana Köşegenler alanı 4 eşit alana ayırır.

ayırır.

D

C

A

S1 = S2 + S3

B

24 18 E

6 D A

B

3 EC = EB


0 k

3|EC| = |EB|

0 3k

olur.

C

D, B ye birleştirilirse yükseklikleri aynı olan

A(DEC) = 6 cm2

üçgenlerin alanları tabanları ile orantılı

E

olacağından D

C


110

B) 40

C) 48


D) 60

E) 72

A(BDE) = 18

A(ADB) = 24

A(ABCD) = 48cm2 bulunur.


5. BÖLÜM

E noktası C noktasına birleştirilirse A


B

E

A

B

E

[CF] ⊥ [DE] F

F

|DE| = 12 cm |FC| = 8 cm

D

D

C

A(ABCD) = A (DEC) =

B) 64

C) 72

D) 82

2

12.82

=

= 48 cm2 olur.

2

A (ABCD) = A (DEC) 2

C

A (ABCD) = 48 2


ED . FC

E) 96

A(ABCD) = 96 cm2 bulunur. 7)

A

B S2 S1

A

E

B S

P

2S

S3

3S F

S4 2S

D

C

D

C

P noktası paralelkenar içinde

|AE| = |BE|

alınan bir nokta olmak üzere;

|BF| = |FC|

S1 + S3 = S2 + S4

A

B E


A

S2E

[BE] ⊥ [EC]

4

A(ADE) = 24 8

24

cm2

|BE| = 4 cm

D

C

D


A

B) 64

cm2

E

B

D) 72

A

C

C) 24

A(ABCD) = 72cm2 8S = 72 S = 9cm2 olur.

F

C

A(DEF) = 3S

Yukarıdaki verilere göre, A(DEF) kaç cm2 dir? B) 18

S

2S D

A) 12

B

3S

A(ABCD) = 72 cm2

= 80cm2 bulunur.

E

2S

|BF| = |FC|

D

A(ABCD) = 40 + 40

E) 80

|AE| = |EB|

F

A(ABCD) = 24 + 16 + S2 + S4 C


D) 27

E) 36

8.4 2 = 16cm olur. 2

S2 + S4 = 40cm2 bulunur.

8

dir?

C) 68

A(BEC) =

S2 + S4 = 24 + 16

4

16 S4

|EC| = 8 cm

B

= 3 . 9 = 27cm2 bulunur.


111


5. BÖLÜM 8)

A

B

E

S

S

B A

E

K

2S

F

4S B

F

L

2S

S

S

B

2S D

C

D

|AK| = |KL| =|LC|

G A

A

H

2|EK| = |DK|

C

[AB] // [EF] // [DC] [AD] // [GH] // [BC]

2|LF| = |DL|

A


B

E

[AC] köşegen K

|AE| = |EB|

x F

L

D

|BF| = |FC|

|AC| = 24

|AC| = 24 cm

3x = 24

C

x = 8cm olur.

Yukarıdaki verilere göre, |KL| = x kaç cm dir? A) 6

B) 7

C) 8

E

A K

G

D) 10

E) 12


B

[BD] köşegen

H

[AB] // [GH] // [DC] [AD] // [EF] // [BC] A(AEKG) = 16 cm2 D

F

C

Yukarıdaki verilere göre, A(CHKF) kaç cm2 dir? A) 8

B) 12

C) 16

D) 18

E) 24

A(AEKG) = A(ACHKF) = 16cm2 olur. 9)

A

B

G

A

B

F S

S1

S2

E

3S

E

F

K

3S

L

M

S

4S

S S4

G

S3

3S

N 3S S

D

H

[AB] // [EF] // [DC]

[AD] // [GH] // [BC]

112

C

D

S1 . S3 = S2 . S4


K

C


5. BÖLÜM A


B

G

E

S . 16 = 32 2

[AD] // [GH] // [BC]

F

4

S . 16 = 4 . 8

[AB] // [EF] // [DC]

8 K

S = 2cm2

A(EKHD) = 4 cm2

16

A(ABCD) = 2 + 8 + 4 + 16

A(GBFK) = 8 cm2 H

D

C

A(KFCH) = 16

cm2

= 30cm2 olur.


B) 32

C) 34

D) 36

E) 38

A A

|AF| = |FB| = |DH| = |HC|

K E


B

F

N

E

|AE| = |ED| = |BG| = |GC|

L G

S

A(ABCD) = 60 cm2

M

H

D

3S

3S

K

L

4S M

3S

G

3S

A(ABCD) = 20S = 60cm2 S = 3cm2 olur.

S

N

S H

D

B

F

C

A(KLMN) = 4S

= 4 . 3

= 12cm2 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, A(KLMN) kaç cm2 dir? A) 10

B) 12

10.

C) 15

A

D) 20

E) 24

B B

A

x

y E

D

F z D

C

G

x

C

d

x G

6 F

z

x2 = y . (y + z)

A

t

y

x2 + t2 = y2 + z2

ABCD bir paralelkenar [AC] köşegen

B

|DE| = 4 cm |FG|= 6 cm

E 4

D

42 = x . (x + 6)

C


B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

16 = x. (x + 6) 0

x = 2 bulunur.


113


5. BÖLÜM

A


A B

[DE] ⊥ d

x

[BF] ⊥ d d

D F

C

|AH| = x olsun;

B

x 2 > 3 2 + 72

7

3

|DE| = 3 cm

x 2 > 58

d

D

C

H

E

0

F

en küçük 8 alınır.

|BF| = 7 cm

E

Yukarıdaki verilere göre, A noktasının d doğrusuna en kısa uzaklığı kaç cm dir? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

A A

7 E

13

B

ABCD bir paralelkenar [DF] ve [CF] açıortay

4

[FE] ⊥ [AB]

F x

5

4

C

10

C) 15

|FK| = 5cm bulunur.. x = 10 + 5

D) 16

E

B

F

x = 15 cm olur.

E) 18

A A

şekilde

|FK|2 = 32 + 42

C

|EB| = 13 cm

B) 14

geçecek

FEK dik üçgeninde

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 12

noktasından

|FL| = |DL| = |LC| = 10 cm olur.

x =15

10 L

D

F

tabanın orta noktasına paralel çekilir.

F

15

[KL],

B

10

|EF| = 4 cm |AE| = 7 cm

D

3K 13

7 E

E


L

B

F

[KL] // AD // BC olacak şekilde [KL] çilir. Taralı alanlar bulundukları paralel

A(DEK) + A(KFC) = 16 cm2

kenarın alanının yarısı olacaklarından Tüm alan, A(ABCD) = 2 . 16 D

D

K

K

C


C


B) 26

C) 28

D) 32

E) 36 A

A

B

x

[BE] açıortay

4

3

C

E

|DF| = 3 cm


114

B) 9

C) 10


D) 11

E) 12

B

α 7

90-α

2α D 3

|AF| = 4 cm

3

α

4

90-α F

[BE] ⊥ [EF]

F

D


x

E

α

7

C

Açılar yerleştirildiğinde x = 3 + 7 x = 10 cm bulunur.


5. BÖLÜM

A A

B

ABCD bir paralelkenar S

[AC] ∩ [DE] = {F} A(ADF) = 15 15

15

cm2

A(AEB) + A(EFC) = 15cm2 olur.

S D

D

15 + S = A (AEB) + A (EFC) + S

E

F

E

F

A (AED) = A (ADC) 1442443 1442443 A(AFE) = A(DFC) = S olur.

B

C

C

Yukarıdaki verilere göre, A(AEB) + A(EFC) toplamı kaç cm2 dir?

A

E

C) 12

F

B

D) 14

E) 15 12x 4x F

A (EFGH) =

1 4444444 2 4444444 3

B) 11

A) 10


A

E

B

7x.h = 56

[AB], 3 eşit parçaya [DC], 4 eşit parçaya

x . h = 8cm2 olur.

h

A(ABCD) = 12 x . h

bölünmüştür. A(EFGH) = 28 cm2 D

H

G

D


B) 96

cm2

dir?

C) 112

H

3x

D) 124

15x E 5x F

1 4444444 2 4444444 3

E

F

B

ABCD bir paralelkenar 8h

3|EF| = |AB|

A(ABCD) = 120 cm2

0 5x

K

A) 15

B) 17

C) 21

D) 23

= 12 . 8

= 96cm2 bulunur.

olur

0 5x

5 GH = DC 0 3x

0 15x

olur.

KHG üçgeninin yüksekliği 3h olur.

C 3x G 3 44 4 4 4 4 4 2 44 4 4 4 4 4 1 D H G C 15x Yukarıdaki verilere göre, taralı alanlar toplamı kaç cm2 dir? D

EKF ve KHG üçgenleri benzerdir (kelebekten). 5 Yükseklikleri oranı olur. 3 EKF üçgeninin yüksekliği 5h

3h

5|GH| = |DC|

3 EF = AB

B

5h

[EG] ∩ [HF] = {K} K

C

E) 168

A A

G

3 44 4 4 4 4 4 2 44 4 4 4 4 4 1 12x

C

(4X + 3X) .h = 28 2

H

A(ABCD) = 15x . 8h = 120

120xh = 120

x . h = 1cm2 olur. 5x.5h 3x.3h 34xh = + 2 2 Taralı alanlar = 2

E) 27

2 = 17.xh = 17.1 = 17cm olur.

A

B

[AE] ⊥ [CE] % % mÈCBj = mÈCFj

9

x 6

C

A

E

θ

9

|AD| = 9 cm

G

D


Yukarıdaki verilere göre, |CG| = x kaç cm dir? A) 2 B) 5 C) 3 2

2α D

D) 7 2

2α

B

6

θ

|DC| = 6 cm

F

6

G

θ

xα

E

C

F

Açılar yerleştirildiğinde x + 6 = 9 x = 3cm bulunur.

α

6

E) 4


115


5. BÖLÜM EŞKENAR DÖRTGEN

Tanım: Dört kenarının uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Özellikler 1)

A

a

A

B

a

B

α

β

e/2

a

a

a

D

C

a

D

e2 + f2 = 4a2

e/2

f/2

β

α

f/2

a

a

C

a + b = 180°

A

B 80°

A

ABCD bir eşkenar dörtgen

α

|AB| = | DE| % m` ABCj = 80 °

E

α

α + θ + α + θ + 80 =360

E

2α + 2θ =280

θ

80

θ

D

α + θ = 140° olur. % m (AEC) = α + θ = 140°

C

C

D

bulunur.

% Yukarıdaki verilere göre, m` AECj kaç derecedir?

A) 110

B) 120

A

B

C) 130

D) 140

E) 160

A

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşegen % % m`DBEj = mÈBCj % m`DCBj = 108 °

α E

D

A) 116

108° C

D

B) 120

C) 126

D) 132

E) 140

Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin uzunlukları 8 cm ve 16 cm dir. Buna göre, eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm dir? A) 12 5

B) 16 5

C) 18 5

D) 20 5 E) 24 5

4a2 = e2 + f2

4a2 = 320

a = 4 5

4a2 = 82 + 162

a2 = 80

çevre = 4a

4a2 = 64 + 256

a =

= 4 . 4 5 = 16 5 olur.

80


2x x x

B

4x + 108 = 180° 4x = 72 x =18° olur.

% Yukarıdaki verilere göre, m`DEBj = a kaç derecedir?

116

ADCE dörtgeninde

B 80°

α E

108° C

α = 108 + x α = 126°


5. BÖLÜM 2)

A

a

B

A

B S

h

a

S

a h

S a

D

S

C

D

C

A(ABCD)= a . h

x

A

(Tek yüksekliği vardır.)

4 A

B

x

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşegen

10

5 E

4

E

4

|DE| = 4 cm x

5

10

tası orta nokta olur.

7

3K

|DK| = |KB| = 7cm ve |EK| = 3cm olur.

x

x

D

A dan [DB] ye dik indirildiğinde K nok-

B

|AK|2 + 32 = 52 |AK| = 4cm olur.

C

|AE| = 5 cm

AKB dik üçgeninde

|BE| = 10 cm

x2 = 72 + 42

C

D

x2 = 49 + 16

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 2 15

B)

65

C)

70

x2 = 65

D) 6 2 E) 5 3

x =

A

B E

5

A

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşgen

x

5

|KE| = 4 olur.

4

[EC] ⊥ [DC]

13

C noktasından [DB] ye dik indirilirse |KD| =9,

B E

9

|EB| = 5 cm |DE| = 13 cm

13

DCE dik üçgeninde öklid uygulanırsa

x

h=6

D

C

B) 2 15

A

B

C) 8

D) 5 3 E) 7 2


B

S S

[EF] ⊥ [DC] |FC| = 3 cm

12

F

3

h = 6

D

C

12

E

F

x2 = 52,

x =

52 = 2 13 olur.

DB ⊥ AC olur. DEC üçgeninde öklid uygulanırsa h2 = 12 . 3 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6 olur.

S

3

15.6 ⇒ S = 45 olur. 2 A(ABCD) = 4S = 4 . 4 . 45 = 180cm2 dır. S=

S

|DF|= 12 cm D

A

[AC] ∩ [BD] = {E} E

h2 = 4 . 9

x2 = 62 + 42

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 2 13

CKE dik üçgeninde pisagor bağıntısından

C

D

65 bulunur.

C


B) 180

C) 210

D) 240

E) 270


117


5. BÖLÜM A

B

E 6


D

2α + 2θ = 180

α + θ = 98 olur.

A

Köşegenler dik kesiştiğinden E noktası

|DE| = 6 cm

A ya ve B ye devam ettirilir.

a

6.4 D S= & S = 12 cm2 olur. 2 A(ABCD) = 4 . S = 4 . 12 = 48cm2 olur.

C

6

a

B

S

S

[DE] ve [CE] açıortay

|EC| = 4 cm

4

S

E

S

4

q

q C


A) 24

C) 48

A x

B


7

[AE] ⊥ [BC]

E

E) 96

AEB dik üçgeninde x2 + 72 = 2S2 olur.

|BE| = 7 cm

(7 - 24 – 25 özel üçgeninde)

|EC| = 18 cm

18 D

D) 72

x = 24 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir? A) 15

B) 20

A G

C) 22

E

B

F

Eşkenar dörtgenin yüksekliği tek olduğun-

|EK| = 5 cm

H

6

D

ABCD bir eşkenar dörtgen [GH] ⊥ [BC]

x

K

E) 24

[EF] ⊥ [DC]

5

7

D) 23

dan

|KF| = 6 cm |GK| = 7 cm

C

2

7

Yukarıdaki verilere göre, |KH| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

B

[AE] ⊥ [BC]

E 2

D

7

30

|DE| = 2 7 cm

2

118

a 3

7

D

x = 4 olur.

30

a

a C

B

AEB 30° – 60° – 90° özel üçgenin olur. ADE dik üçgeninde (2a)2 + (a 3 )2 = ( 2 7 )2 4a2 + 3a2 = 28 7a2 = 28 a2 = 4 ⇒ a = 2 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 8 3

E

C

A) 6 3

2a

ABCD bir eşkenar dörtgen 2a |BE| = |EC|

x + 7 = 5 + 6 ⇒ x + 7 = 11

E) 6 A

A

C) 10 2


D) 15 2 E) 20 3

A (ADE) =

2a.a 3 2

= 2.2 3 = 4 3 olur.

A (ABCD) = A (ADE) & A (ABCD) = 8 3 olur. 2


5. BÖLÜM

A

Eşkenar dörtgende yükseklikler tektir. Bu

B


7

[AF] ⊥ [BC]

nedenle |AE| = |AF| = 24 olur.

[AE] ⊥ [DC]

AFB dik üçgeninde

|BF| = 7 cm

|AB|2 = 72 + 242

|AE| = 24 cm

(7 – 24 – 25) özel üçgeninden)

F 24

D

E

|AB| = 25 olur.

C

Ç(ABCD) = 4 . 25 = 100 bulunur. Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 96

B) 100

C) 112

D) 120

E) 124

D noktası E noktasına birleştirilirse

[AC] köşegen

10.3 2 = 15cm dur. 2 10.5 2 A (DEC) = = 25cm dur. 2

[EF] ⊥ [AD]

A(ADC) = 15 + 25 = 40cm2 olur.

[EG] ⊥ [DC]

A(ABCD) = 2 . A(ADC) = 2 . 40

|EF| = 3 cm


A (AED) = A

10

F


B

E

3

5

G

D

|EG| = 5 cm

C

|AB| = 10 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 64

B) 70

C) 72

D) 80

E) 96

A

B

2S

4

S

F E

A

F E

S

[DF] ⊥ [BF]

4

12

12


B

D

|BE| = |EC|

(DB] köşegeni çizilirse, |BF|, BDE üçgeninin

|BF| = 4 cm

dıştan yüksekliği olur.

|DE| = 12 cm D

C

A (ABE) = S =


B) 96

C

C) 112

D) 128

E) 132

12. 4 2 2

S = 24cm2 olur. A(ABCD) = 4 . S = 4 . 24 A(ABCD) = 96cm2 bulunur.


119


5. BÖLÜM A

4

3

A

ABCD bir eşkenar dörtgen % m`DCBj = 120 °

B

4

1 3

x

x

|AF| = 3 cm

F

F

4

|AB| = 4 cm 120° C

D

FKE üçgeni elde edilir.

E

|BE| = |FD|

E

AB // FK olacak şekilde FK çizilirse,

B

D

120

2 K

4

120° 1 C

F

B) 5

C) 2 7

D)

30 E) 4 2

x2 = 28

Özellikleri

a

B

e

b

a

D

Çevre =

2a + 2b

Alan =

a . b

e=

a2 + b2

C

B

D

C

A F

B

A

A

2

H

2 3

x2 = 16 + 12

Tanım: Her bir iç açısı 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

b

K

x2 = 42 + ( 2 3 )2

DİKDÖRTGEN

1) A

60

2

FHE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 2 5

30

120

E

ABCD bir dikdörtgen

40

E

F

70 110 40 70 α =30

B

Dikdörtgende köşegenler birbirini ortalar.

50

|AE| = |EC| = |EB| = |ED| = |AF| olur. Açılar yerleştirildiğinde

E

|AF| = |EC| % m`BDCj = 40 °

28

|AC| = |BD|

[AC] ∩ [BD] = {E} α

x =

x = 2 7 bulunur.

α = 30° bulunur.

40° C

D

40° C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m`FEBj = α kaç derecedir? A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

A

E) 40

α=60 60

A

B

E


G α 15°

A) 30

120

B) 40

C) 50


D) 60

E

F α C

|BD| köşegeni çizilirse,

% % m (BDE) = m (BED) = x alınırsa

|AC| = |BE| % mÈDCj = 15 °

% Yukarıdaki verilere göre, m` ACBj = α kaç derecedir?

x=15 G

x

15°

2x = x + 15 x = 15

C

D

B

K

D

A, B ve E noktaları doğrusal F

2x

|AC| = |BD| = |BE| olur. E) 70

% İçters açılardan m (DAC) = α olur. % % α = m (DAC) = m (ADB) = 60° bulunur.


5. BÖLÜM

A

Alanı = a . b = 32 Çevresi = 2a + 2b = 24

Bir dikdörtgenin alanı 32 cm2 ve çevresi 24 cm olduğuna göre köşegen

uzunluğu kaç cm dir? A) 4 3

B)

58

C) 2 15

2) A

B

D) 6 2

A A

S

E C

D

a

C

122 = a2 + b2 + 64 olur.

F

144 – 64 = a2 + b2

S

S

b

12

S

S

a2 + b2

D (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 olduğundan Y 1442443 32

B

S

B

e

b

= a + b = 12

Köşegeni = e =

E) 4 5

a

80 = a2 + b2 olur.

B C

D

e =

a2 + b2

e =

80

e = 4 5 bulunur.


H

4h

44

44

|BD| = 6 cm % m`BDCj = 15 °

3 44

6

42 44

B

44

A

6

14

A

B

C'den AB'ye dik çizilirse

75

(15° – 75° – 90°) üçgeninde |AH| = h, |BD| = 4h olur.

h

4h = 6 & h =

15° C

D 15°


B) 9

cm2

dir?

C) 12

D) 18

E) 24

B

|BE| = 4 olur. A(ABCD) = 2 . A(ABC)

2

= 2.

C


B) 30

cm2

dir?

C) 40

D) 60

E) 80

A A

B 1

x

B

h

|DE| = 4 cm

8

4

ABCD bir dikdörtgen [AE] ⊥ [BD]

F

4

5

F H3

E

|EF| = 8 cm

E

|FB| = 1 cm

D

C

D

B) 4

C) 3 2

1

ADB

dik

üçgeninde

10.4 2

= 40cm2 bulunur.

h2 = 4 . 9

h = 6 olur.

h2 = 36

CH ⊥ DB olacak şekilde dik çizilirse, h

x

|AE| = |CH| = 6 cm olur. |DE| = |HB| = 4 cm ve |HF| = 3 cm bulunur. C

CHF dik üçgeninde x2 = 62 + 32 ⇒ x2 = 36 + 9 ⇒ x2 = 45

Yukarıdaki verilere göre, |FC| = x kaç cm dir? A) 2 3

3 2 9 2 o = 4. = 9cm bulunur. 2 4

sa, |BE|2 = 8 . 2, |BE|2 = 16

|AE| = 8 cm

D

4h.h 2

ABC dik üçgeninde öklid teoremi uygulanır-

|EC| = 2 cm E

3 dur. 2

ABCD bir dikdörtgen [BE] ⊥ [AC]

8

=

A(ABCD) = 4h2 = 4e

A

4

A (ABCD) = 2.

C

D

6

D) 2 5 E) 3 5

x = 45 ⇒ x = 3 5 bulunur.


121


5. BÖLÜM 3)

E B

A a

S2

S1

b

E

S3

S4

d

c C

D

B

A

C

D

S1 + S3 = S2 + S4

a2 + c2 = b2 + d2

|AE|2

+

|EC|2

=

|DE|2

+ |EB|2

a2 3 62 3 = 4 4

A (ADE) =

369 3

A (ADE) =

4

= 9 3 olur.

S1 + S3 = S2 + S4 A

B

E


9 3 + 11 3 = S 2 + S 4

ADE bir eşkenar üçgen

20 3 = S2 + S4 olur.

|BC| = 6 cm

S1 + S 3 + S 2 + S 4

A(BEC) = 11 3 cm

\ 20 3

2

\ 20 3

A(ABCD) = 40 3 bulunur. C

D


B) 32 3

C) 36 3

D) 38 3 E) 40 3 2. BE = ED

A

B


|AE| = 6

olur.

x2 + 4x2 = 14 + 36

14 cm

5x2 = 50

|EC| = 6 cm

x2 = 10 x =

C

D

. 2x

x2 + (2x)2 = ( 14 )2 + 62

2|BE| = |ED|

x

E

14

. x

10 bulunur.

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? 10

A)

B) 2 3

C) 4

D) 3 2 E) 2 5

|ED| = x ve |EC| = y denirse E A

4

2

3 B


22 + y2 = x2 +( 4 3 )2

[DE] ⊥ [EC]

4 + y2 = x2 + 48

|AE| = 2 cm

y2 – x2 = 44 olur.

|EB| = 4 3 cm D

C

10

DEC dik üçgeninde

|DC| = 10 cm

x2 + y2 = 100

Yukarıdaki verilere göre, |EC| kaç cm dir? A) 2 11

B) 4 3

C) 2 15

D) 6 2 E) 4 5

y2 – x2 = 44 2y2 = 144 y2

122


= 72

y =

72

y = 6 2

|EC| = y = 6 2


5. BÖLÜM

A A

9

E

1

B

9

E

E noktasından tabana dik çizilirse,

B

ABCD bir dikdörtgen [DE] ⊥ [EC]

x

x

|EB| = 1 cm x

1

x2 = 9 . 1 x2 = 9

|AE| = 9 cm

9

D

x = 3 bulunur.

H 1 C

C

D

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 2

B)

5

A

C) 2 2

B

D) 3

E)

10

8

A


H

[AE] ⊥ [EB] x

8

D

x–2 x E 2

|DF| = 8 cm 18

F

C

E noktasından [AB] ye dik indirilirse

B

[EF] ⊥ [DC] |EF| = 2 cm

E 2

18

8

D

C

18

F

|FC| = 18 cm

(x – 2)2 = 8 . 18

(x – 2)2 = 144

(x – 2)2 = 122

x – 2 = 12

x = 14 bulunur.

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

A

A

x

B 3

x

α

ABCD bir dikdörtgen [AE] ⊥ [EF]

3

5

α

|FC| = 2 cm F 2 D

B

|BF| = 3 cm

D

2

θ

E

α

|AE| = |EF|

C

E


B) 8

C) 9

D) 10

12 B

A F

[AE] ⊥ [EB] [EF] ⊥ [AB] |AF| = |AD|

C

D

|AE| = 12 cm

2 C

tenüsleri

ortak

olduğundan

eş

üçgenlerdir. |DE| = |FC| = 2 olur. |AD| = |EC| = 5 olur.

x = 2 + 5

x = 7 olur.

E) 11

AEB dik üçgeninde öklid teoremi uygulanırsa

E


E

5

F

ADE ve ECF üçgenlerinin hipo-

12 A

x F

x

y

B

144 = x . (x + y) olur. A(ABCD) = x . (x + y) olduğundan

C

D

122 = x . (x + y)

A(ABCD) = 144 olur.


B) 128

C) 132

D) 144

E) 160


123


5. BÖLÜM

E E x B

A

45

[DE] açıortay |AD| = 10 cm

10

Açılar, içters açı özelliğinden yararlanılarak yerleştirildiğinde, |DC| = |EC| = 14 |AD| = |AF| = 10 |EB| = |FB| = 4 olur.

10

EBF ikizkenar dik üçgeninden

45 45

|DC| = 14 cm

x = 4 2 bulunur.

C

14

D D

45 F 45 B 4 x

E, B ve C noktaları doğrusal

F

A


C

14

Yukarıdaki verilere göre, |FE| = x kaç cm dir? A) 2 5

B) 5

C) 2 7

A

B

D) 4 2

E) 6 18

A


12

|DF| = |FC| = 9 cm E

9

ADF dik üçgeninde x D

F

A) 4

B) 5

C) 6

15

D) 7

B

15

8

15

B

45 45

17

|BE| = 15 2 cm

2

C

E

C

E

B) 21

C) 22

D) 23

E

B

ABCD bir dikdörtgen % mÈCBj = 15 °

A

4

|AB| = |DE| = 8 cm

8

D

C

30

E

75

124

B) 24

C) 32


(8 – 15 – 17) |AH| = 8 olur.

8

D) 48

E) 64

Açılar

eşitliklere

uygun

yerleştirilip

(30° – 60° – 90°) özel üçgeninden yararlanılarak |AD| = 4 bulunur. 15°


B

75

8

60 30

15°

D

|EH| = |HB|= 15 olur.

x = 23 bulunur.

E) 24

8 4 4 4 4 4 44 3 1 4 4 4 4 4 44 2 A

EHB ikizkenar diküçgeninde

x = 8 + 15


E noktasından [AB] ye dik indirilirse

AEH özel dik üçgeninde

45 D

(9 – 12 – 15) üçgen 3x = 15

2

15

x

|AE| = 17 cm D

C

(3x)2 = 92 + 122

x = 5 bulunur.

ABCD bir dikdörtgen [BE] açıortay

17

9

E) 8

A x

F

9

C

9

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir?

A

E

|AD| = 12 cm x

D

Taralı kelebekte

9 x ⇒ 9 . |AE| = 18x = 18 AE |AE| = 2x olur.

2x

[AF] ∩ [BD] = {E} 12

B

A(ABCD) = 4 . 8 ⇒ A(ABCD) = 32 bulunur.

75 C


5. BÖLÜM KARE

Tanım: Her bir iç açısı 90° olan eşkenar dörtgene kare denir.

ÖZELLİKLERİ 1) A

a

e

a

B

a

a

D

A Çevre =

4a

Alan =

a2

e=

a 2

a

a

45 45 D

C

A

45 45 C

a

ABCD bir kare

B

B 45 45

a

45 45

A

B

60

BCE bir eşkenar üçgen E

E

75 α

α D

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` ADEj = a kaç derecedir?

A) 5

B) 10

C) 15

E A

α

B

D) 20

A

% Yukarıdaki verilere göre, m`DECj = a kaç derecedir? B) 10

A

C) 15

B

C noktasından [DE] ye dik çizi-

D) 20

H

α

lirse, karede köşegenler birbirini

30

a

ortalyacağın

2a

a

|DH| = |HB| = |HC| = a olsun |EC| = 2a olur.

60

D

ECH üçgeni 30 – 60 – 90 dur.

C

α = 30° bulunur.

E) 30

ABCD bir kare

B

C

E

C

A) 5

60 30

75

E) 30

a D

α = 15° bulunur.

60

ABCD bir kare |BD| = |CE|

|BE| = |EC|= |CB| = |DC|olur.

A

x2 + (x + 7)2 = 132

B

|BE| = 13 cm

(5 – 12 – 13 özel üçgeni)

|DE| = 7 cm 13 A

D

7

B

E

x

C

D

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm’dir? A) 2

B) 3

D

x + 7

13

7

13

E

C) 4

x

D) 5

7

E

x

x = 5 olur.

C

E) 6

C


125


5. BÖLÜM A

B

E 55°

ABCD bir kare

A

E 55°

[FC] ⊥ [CE] % m` AECj = 55 °

Açılar yerleştirildiğinde α + 55 = 180

F α

α = 125 bulunur.

55 35

F α

B

D

C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m` AFCj = α kaç derecedir? A) 105

B) 115

A

C) 120

55 35

D) 125

E) 135

ABCD bir kare

B

A

B

[AC] köşegen x

8

5

|EC| = 2 cm

E 2

5 x

8

H

|AE| = 8 cm

D

C

3

|BH| = |AH|= |HC| = 5 olur. BHE dik üçgeninde

E

x 2 = 5 2 + 32

2 C

D

C

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? A) 4 2

B)

A

34

B

C) 6

A

45 45

[AC] köşegen 13

x

|EC| = 5 2 cm |BE| = 13 m

E

13

x

17

2

17

D

C

5

E 2

45

12

B) 8 2

C) 9 2

34 olur.

E'den [BC] dik indirilirse EHC ikizkenar dik üçgeninde |EH| = |HC| = 5 olur. BEH dik üçgeninde

45 5

(5 – 12 – 13 özel dik üçgeni)

C

|BH| = 12 olur.

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir? A) 6 2

x2 = 34

Karede köşegen açıortay olduğundan % % % % m (DAC) = m (CAB) = m (BCA) = m (DCA) = 45 ° olur.

B

5 5

D

17

x2 = 25 + 9

x =

D) 2 10 E) 3 5

ABCD bir kare

Karede köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir. B noktasından [AC] ye dik çizilirse

D) 12 2 E) 15 2

ADC ikizkenar dik üçgeninde |AC| = 17 2 olur. x + 5 2 = 17 2 x = 12 2 bulunur.

A

ABCD bir kare

B

A

[DE] ⊥ [BE] % mÈDCj = 15 °

4 E

|BE| = 4 cm

126

B) 32

60

C) 40


D) 64

üçgeni elde edilir. 4

|BD| = 8, |AB| = |AD| = 4 2 olur. E

15°

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

(DB) köşegeni çizilirse BED (30° – 60° – 90°)

B

8 4530

C

A) 16

45

4 2

15° D

4 2

4 2 E) 96

C

A(ABCD) = ( 4 2 )2 = 32 bulunur.


5. BÖLÜM

C'den [BD] ye dik çizilirse köşegenler ortalanır.

E 3 E 3 A

ABCD bir kare

A

B

D, B ve E noktaları doğrusal

B

9

|BE| = 3 cm x

18

9

|BD| = 18 cm

CHE dik üçgeninde

x =15

H

18

x2 = 92 + 122 (9–12–15) özel üçgeni

9

x = 15 bulunur.

D D

|CH| = |DH|= |BH| = 9 olur.

C

C

Yukarıdaki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir?

2

B

6

C) 18

E

D) 20

E) 25

ABCD ve BEFG birer kare

A

|AB| = 2 cm

45

2

|BE| = 6 cm

C

D

2

45 2

D

B

6

45

2

Karede

E

6

6 2

C

45 G

F

Yukarıdaki verilere göre, A(BDF) kaç A) 12

B) 16

A 10 x

F

E

G

dir?

C) 18

D) 24

[EF] ⊥ [BC]

a+2

|BF| = |FC|

x

|AE| = |DE| = 10 cm

10

a+2

|EF| = 4 cm

D

F

2a+4

A

F

B

C) 12

2a

4

F

E

10

D

C

D) 16

C) 7

a = 4 olur.

x = 12 olur.

F

75° D

15

4h

h 75

E noktasından [DC] ye dik çizi-

B

4h

E

C

B) 6

2 .6 2 = 12cm 2 bulunur.

A (BDF) =

x = 2 . 4 + 4

E) 18

lirse

(15–75–90)

üçgeninden

|EH| = h, |DC| = 4h olur. 4h = 12

C

h = 3 olur. x + h = 4h x = 3h


2

|AH| = |HD| = a + 2 olur. AHE dik üçgeninde (a + 2)2 + (2a)2 = 102 (6–8–10 özel üçgeni)

3h= x

|BC| = 12 cm

75° D

2 2 .6 2

A(BDF) =

|AB| = 2a + 4

A

ABCD bir kare

[DE] ⊥ [EC] % m` ADEj = 75 °

E

DBF dik üçgeni elde edilir.

x = 2a + 4

[EF] ⊥ [AB] x

yerleştirildiğinde

|HE| = 2a olsun

10

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? B) 10

açılar

E noktası [AD] ye birleştirilirse |AH| = |HD| olur.

B

C

A) 8

ve

açıortaydır.

E) 36

A

ABCD bir kare

B

4

cm2

köşegenler

Kenarlar

45

A

B) 16

45

A) 15

D) 8

E) 9

x = 3 . 3 x = 9 bulunur.


127


5. BÖLÜM A

B

A

ABCD bir kare

θ

[BF] ⊥ [FE] |DE| = 2 cm

x+6

|FC| = 6 cm

E 2

E 2

α

θ

D x

D x

F

6

EDF ` FCB olur. x 2 = x+6 6 6x = 2x + 12

B

4x = 12

α

F

6

x = 3 bulunur.

C

C

Yukarıdaki verilere göre, |DF| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

A

C) 4

D) 5

ABCD bir kare

B

E) 6

A

[DE] ⊥ [EC] E

|EF| = 2 cm

2 F

D

6

|FC| = 6 cm D

C

α

10

2 F

|EC| = |BF| = 8 olur.

θ

8

[BF] ⊥ [EC] E

DEC ve BFC üçgenleri eş üçgenlerdir.

B

BFC dik üçgeninde (6–8–10 özel üçgeni) |AC| = 10 bulunur.

6

θ

A(ABCD) = 102

C


A

B) 144

F

B

C) 169

D) 196

A(ABCD) = 100 olur.

E) 256

A

ABCD bir kare [DF] ∩ [CG] = {E} |AF| = |GD|

G

α

G E

D

% Yukarıdaki verilere göre, m`FECj = α kaç derecedir? B) 60

A

y E x

F

B

C) 75

B

D) 90

x + y = 90°

α

α = x + y

x

C

α = 90° bulunur.

E) 105

ABCD bir kare

A

[AE] ⊥ [ED] |ED| = 7 cm

17

FAD ve GDC üçgenleri eşittir. x + y + 90 = 180

D

C

A) 45

y

17

B

|EH| = 24, |HC| = 7

b

CHE dik üçgeninden |EC| = 25 cm bulunur.

|AE| = 17 cm

E

E 7 D

7

C

A) 20

128

B) 21

a D

Yukarıdaki verilere göre, |EC| kaç cm dir? C) 24


D) 25

E) 30

& & , DHC AED

b 17

a C 7


5. BÖLÜM

G noktası C noktasına birleştirilirse, A

B

E G

D

F

ABCD bir kare

A(BGE) = A(EGC) = A(DGF) = A(FGC) = S olur.

[DE] ∩ [BF] = {G}

BFC dik üçgeninde

|BE| = |EC|

A(BFC) = 3S =

a2 + (2a)2 = (6 5 )2

|DF| = |FC|

a2 + 4a2 = 180

|BF| = 6 5 cm

5a2 = 180

a. 2 a

2 ⇒ 3S = a2

3S = 62

3S = 36

S = 12 olur.

Taralı alan = 2 . 5 = 2 . 12 = 24 olur.

C

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir? A) 12

B) 15

A

B

C) 18

D) 20

E) 24

ABCD bir kare

8

A

|DE| = |EC| = 4 cm

6

|DF| = 2 cm

F

D

4

E

4

2

C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(BEF) kaç cm2 dir? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

S1 =

S1

F 2

6.8 = 24 2 2.4 S2 = =4 2 4.8 S3 = = 16 2

B

8

S3

S2 4

E

4

Taralı alan = A(ABCD) – (S1 + S2 + S3)

C

E) 20

A

ABCD ve BEFG birer kare

B

E 16 F 6

A

G

4

|DF| = 6 2 cm

45

2

6

D

C

A) 96

D

B) 100

A

B

C) 108

D) 144

A(FGC) = 6 cm2

6 F

16

4

|DH| = |FH| = 6 olur.

4

G

|FH| = |GC| = 6 ve |BC| = 10 olur.

6

2

A(ABCD) = 102 = 100 bulunur.

C

A(ABCD) = S, A(GBC) = x olsun. _ s x + 24 = bb 2 s 2 s ` & 18 = 4 ( s = 72 cm bulunur. x+6 = b b 4 a

A(BEG) = 24 cm2

G

F noktasından [DC] ye dik indirilirse

B

ABCD bir kare

|DF| = |FC|

24

45 6 H

= 64 – 44 = 20cm2 bulunur.

E) 169

[BF] ∩ [EC] = {G}

D

4 2

F

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

E

E

A(BEFG) = 16 cm2

= 82 – (24 + 4 + 16)

C


B) 64

C) 72

D) 81

E) 96


129


5. BÖLÜM DELTOİD

Tanım: Tabanları ortak iki ikizkenar üçgenin birleşimine deltoid denir.

ÖZELLİKLERİ 1)

A

A

a

a [AC] ⊥ [BD]

a

D

B b

D

B

b

% % m` ABCj = m` ADCj

a

b

b C

C

α + 32 + 48 = 180

D

ABCD bir deltoid

D

[AC] köşegen 48°

A

32°

C

α B

|AB| = |AD| % m`BACj = 32 ° % m` ACDj = 48 °

B) 94

C) 100

α A

E

50°

D) 108

D

C

B) 110

140α

[DE] açıortay % m`BADj = 50 ° % m`BCDj = 30 ° C) 120

^

A

E

^

^

B + D = 280

50°

30°

C

70 70

D) 130

^

50 + 30 + B + D = 360

B

% Yukarıdaki verilere göre, m`BEDj = α kaç derecedir? A) 100

α = 100 bulunur.

E) 112

|AB| = |AD| 30°

48

32°

α + 80 = 180 C

B

ABCD bir deltoid

B

48°

α

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABCj = α kaç derecedir? A) 90

32

A

^

2B = 280 ^

B = 140 olur.

D

ADEB dörtgeninde

E) 140

140 + 50 + 70 + α = 360 260 + α = 360 α = 100 bulunur.

A

4

ABCD bir yamuk

B

ABCE bir deltoid [AB] // [DC] E 2 D

A

|BC| = |EC|

4

|AB| = 4 cm x

C

|DE| = 2 cm

130

B) 6

C) 7


4

AB // DC % % m (ABC) = m (ACD) = a

B

DAC üçgeni ikizkenar olur. |DC| = |DA| = 6

E


a

a

D) 8

E) 9

D

x = 6 cm dir.

a

2

6 x

C


5. BÖLÜM

A noktası E noktasına bir-

A

ABC bir üçgen

A

ADEF bir deltoid D

10

D

B

x

F

|AD| = |AF|

F

|AB| = 10 cm |AC| = 12 cm B

x

E

E

|BC| = 11 cm

C

12 leştirilirse [AE] açıortay olur. 10 12 = x 11 - x 12x = 110 – 10x

11-x C

22x = 110 x = 5 olur.

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

135°

7

x

A

E) 6

H

ABCD bir deltoid

B 5 2

D) 5

C

5 45

[AC] köşegen % m` ABCj = 135 °

5 2

A noktasından [BC] ye dıştan dik indirilirse B 135°

AHB ikizkenar dik üçgeni elde edilir.

7

x

A

C

|AB| = 5 2 cm |BC| = 7 cm

D

B) 10

(5 – 12 – 13 üçgeni)

D) 12

D

B 120°

30 30 3 3

3 3

120°

C) 12

x = 9 bulunur.

9 D

3 3

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? B) 9

ACD üçgeni (30° – 60° – 90° özel üçgeni) olur. x

60 60

B

C

A) 6

[AC] köşegeni çizilirse açıortay olur.

A

|BC| = |CD| = 3 3 cm % m`BCDj = 120 ° % m`BADj = 60 °

x

x = 13 olur.

E) 13

ABCD bir deltoid

A

3 3

C) 11

AHC diküçgeninde 52 + 122 = x2 olur.

D

Yukarıdaki verilere göre, |AC| = x kaç cm dir? A) 9

|AH| = |HB| = 5 olur.

D) 15

E) 18

Açılar yerleştirildiğinde

B

[AC] ∩ [BD] = {E} A

75° E

15°

D

C

A

|AB| = |AD| % m` ACDj = 15 ° % m`BACj = 75 °

75°

75°

D

|AC| = 16 cm B) 6

C) 8

E

15°

15°

C

(15–75–90) özel üçgeni olur. |ED| = |BE| = h alınırsa, |AC| = 4h olur. 4h = 16

Yukarıdaki verilere göre, |BD| kaç cm dir? A) 4

ADC ve ABC üçgenleri

ABCD bir deltoid

B

D) 10

E) 12

h = 4 |BD| = 2h = 2 . 4 = 8 bulunur.


131

5. BÖLÜM


2)

A

A

|AC| = e

a

|BD| =f

a

A

A

B

A(ABCD)=

D B

b

B

e.f 2

S

S

B

D

b

C

C

[AC] köşegeni çizilirse

A

ABCD bir deltoid

A 10

|AB| = |AD| = 10 cm

10

B

B

16

|DH| = |HB| = 8 olur.

10

6

8

|BC| = |DC| = 17 cm

D

16

17

10

D

8

|AH| = 6 olur.

15

|BD| = 16 cm

17

CHD dik üçgeninde (8–15–17)

17

17

|HC| = 15 olur. 168 .21 A(ABCD) = = 168 bulunur. 2

C C


B) 154

C) 168

D) 174

E) 192

ABCD bir deltoid

A 6 E B

D

6 E

[AE] ⊥ [CE] S

B

|BC| = 10 cm |AE| = 6 cm

10

[AC] köşegeni çizilirse

A

|AB| = |AD|

AHD dik üçgeninde (6–8–10)

S

|AE|, ACD üçgeninin dıştan yüksekliği olur. 10.6 ⇒ S = 30 2 A(ABCD) = 2S = 2 . 30 = 60cm2

A(ADC) = S =

D

10

10

C

C


B) 60

C) 90

D) 120

E) 180

ABC dik üçgeninde

B

[AC] ∩ [BD] = {E} A

4

E

9

C

A

[AB] ⊥ [BC] |AB| = |AD| |EC| = 9 cm


132

B) 56

cm2

C) 78


4

E

h

D

|AE| = 4 cm D

h2 = 4 . 9

h

ABCD bir deltoid

B

9

C

h2 = 36 h = 6 olur. |BD| = 2h = 12 olur. A(ABCD) =

dir? D) 92

E) 118

13.12 2

A(ABCD) = 78cm2


5. BÖLÜM ÇOKGENLER

Konkav (İç Bükey) Çokgen: A

Tanım: n ≥ 3 olmak üzere, n tane doğru parçasının doğrusal olmayacak ve birbirini kesmeyecek şekilde birleştirilmesiyle oluşan kapalı ve düzlemsel şekle çokgen denir.

Konkav (İç Bükey) Çokgen:

D α B

Konveks (Dış Bükey) Çokgen:

C

Enaz bir iç açısı 180° den büyük olan çokgenlere

kankav

(iç

bükey)

çokgen

denir.

Konveks (Dış Bükey) Çokgen:

Konveks (Dış bükey) Çokgenlerin Özellikleri (n kenar sayısı ve n ≥ 3 için) 1) Bir dış bükey çokgenin belirlenebilmesi için Bu elemanlardan en az

n–2

2n–3

α > 180°

A

elemana ihtiyaç vardır. n–1

tanesi uzunluk, en çok

tanesi

açı olmalıdır.

B D

Bir dış bükey 18 genin çizilebilmesi için kaç elemana ihtiyaç vardır? A) 32

B) 33

C) 34

D) 35

E) 36

2n – 3 eleman verilmelidir.

C Bütün iç açıları 180° den küçük olan çokgenlere konveks (dış bükey) çokgen denir.

= 2 . 18 – 3 = 33 elemana ihtiyaç vardır.

2) Bir dış bükey çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerin sayısı n–3 oluşan üçgen sayısı

n–2

tanedir.

Bir dış bükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı 15 tane ise oluşan üçgen sayısı kaçtır? A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

Köşegen sayısı, n–3 = 15

üçgen sayısı = n–2

n = 18

= 18 – 2

= 16 tanedir.


133


5. BÖLÜM

3) Bir dış bükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n–2) . 180° dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı 1440° olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

(n–2) . 180 = 1440 (n–2)= 8 ⇒ n = 10 olur. 4) Bir dış bükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı

360° dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı, dış açılarının ölçüleri toplamının 6 katı olan dış bükey çokgen kaç kenarlıdır? A) 10

B) 11

(n–2) . 180 = 6.360

C) 12

D) 13

E) 14

2

(n–2) = 12

n = 14 olur.

5) Bir dış bükey çokgenin köşegen sayısı

n. (n - 3) dir. 2

n. (n - 3) = 20 2

n. (n - 3) = 40 & n = 8 olur. . 8

İç açılar toplamı, Köşegen sayısı 20 olan dış bükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 900

B) 1080

C) 1260

D) 1440

E) 1620

= (n–2) . 180 = (8–2) . 180 = 6.180 = 1080 olur.

n. (n - 3) = 5.n 2

n . (n - 3) = 10.n Köşegen sayısı kenar sayısının 5 katı olan dış bükey çokgenin iç açılarının toplamı kaç derecedir? A) 1980

B) 2160

C) 2340

D) 2520

E) 2700

n - 3 = 10 n = 13 İç açılar toplamı, = (n–2) . 180 = (13 – 2) . 180 = 11 . 180 = 1980° bulunur.

134



5. BÖLÜM Düzgün Çokgen Düzgün Çokgenlerin Özellikleri

1) n kenarlı bir düzgün dış bükey çokgenin bir iç açısının ölçüsü 2) n kenarlı bir düzgün dış bükey çokgenin bir dış açısının ölçüsü

(n - 2) .180 dir. n

360 dir. n

Bir iç açısının ölçüsü 140° olan bir düzgün dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

Dış açısı = 180 – 140 = 40° bulunur. 360 9 = 40 & 40 .n = 360 n n= 9

Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün 3 katı olan düzgün dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 6

B) 8

İç Açı 3x

Dış Açı x

C) 9

D) 10

E) 12

3x + x = 180 ⇒ 4x = 180 ⇒ x = 45° olur.

360 = 45 n

3608 = 45 .n 8 = n bulunur. 3) Bir düzgün çokgenin kenar sayısı tek sayı ise bir köşeden karşı kenara çizilen dik, hem açıortay, hem de kenarortay olur.

A

[AF]: Açıortay, kenarortay, yüksekliktir.

B

A

E

54

E

B

α

C

F

D

18 36

F

D

ABCDE bir düzgün dış bükey beşgen

A

|EF| = |FD| E

İç açı =

36 108

C

36 (n - 2) .180 (5 - 2) .180 3.180 = = 108° olur. = n 5 5

B α

[BF] açıortay olduğundan α + 36 = 54

F

% Yukarıdaki verilere göre, m`FBDj = α kaç derecedir? D

A) 12

α = 18° bulunur.

C

B) 14

C) 16

D) 18

E) 24


135


5. BÖLÜM

4) Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paralel olur.

A

6

A

ABCDEF bir düzgün altıgen

B

B

Kelebekte benzerlik yazılırsa

[AH] ∩ [BE] = {G} F

C

G

BG

|HD| = 2 cm

F

G

|EH| = 4 cm E

E

4

H 2D

Yukarıdaki verilere göre, A) 1 2

B) 2 3

BG oranı kaçtır? GE C) 3 2

D) 2

E) 5 2

Düzgün Altıgen A

a

B a

a F

C 60° a

Bir kenar uzunluğu a olan düzgün altıgen 6 eş eşkenar 2 üçgenden oluşur. Alan = 6. a 3 4

a 60°

60° a

E

D

A


B

|BE| = 8 cm F

8

C

E

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCDEF) kaç cm2 dir? A) 24 3

B) 28 3

A

B

S

4

S F

8

S E

136

S

S S D

C) 32 3

S =

4 C

C

S =

D) 36 3 E) 40 3

42 3 4 16 4 3

&S= 4 3 4 A(ABCDEF) = 6 . 4 3


= 24 3 olur.

4

H 2D

GE

=

63

42

&

BG GE

=

3 olur. 2


5. BÖLÜM

A

|GD| = 1 cm C

|EG| = 3 cm

E E

Bir iç açısı = 180 – 60

120 C

x

F

30

x

F

4


B

Düzgün altıgenin bir dış açısı

30

A

B

4

|BD| = 4 3 bulunur. (30–30–120 özetüçgeninden) BDG dik üçgeninde x2 = 12 + ( 4 3 )2

G1 D

3

Yukarıdaki verilere göre, |BG| = x kaç cm dir? A) 4 3

B) 7

C) 5 2

= 120° olur.

m(BCD) = 120° olur. |BC| = |CD| olduğundan, % % m (CBD) = m (CDB) = 30 ° olur.

G1 D

3

360 = 60 ° olur. 6

D) 2 13

x2 = 1 + 48 ⇒ x2 = 49 ⇒ x = 7 dir.

E) 8

A B

α

C

A

ABCDEF.... bir düzgün çokgen B C 20°

T

20°

α

A, B, T ve F, E, T noktaları doğrusal % m` ATFj = 20 °

E F

Düzgün çokgenin dış açısı α olsun. B ve D noktaları K'ya birleştirilirse,

E

α + 20 + α = 180 – 2α olur.

F

Yukarıdaki verilere göre, düzgün çokgen kaç kenarlıdır? B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

FDC bir eşkenar üçgen α

B B F

66 60

48

66

C

60

% Yukarıdaki verilere göre, m` AEFj = α kaç derecedir? B) 36

C) 38

D) 42

C

α

E

B

E

|AB| = |BF|

2a 54 54

F

B 2a 30 60 a G

a D

C

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABFj = α kaç derecedir? B) 48

C) 58

D) 68

Düzgün beşgenin bir açısı 108° olduα + 66 = 108 ⇒ α = 42 bulunur.

tay ve yükseklik olur.

α

G

A) 38

Düzgün beşgende açıortay aynı zamanda kenaror-

F

D

4α = 160

E) 44 A

[EG] açıortay

ğundan,

60

D

ABCDE bir düzgün beşgen

A

|FC| = |CD| = |DF| = |FD| olur.

α

E

A) 32

2α + 20 = 180 – 2α

A

F

D

α = 40° bulunur. 360 Kenar sayısı ⇒ = 40 n 40n = 360 ⇒ n = 9 bulunur.

ABCDE bir düzgün beşgen

A

E

T

D

D

A) 8

180–2α

|BG| = |GC| = a alınırsa,

|AB| = |BF| = 2a dır.

BFG üçgeni (30–60–90) üçgeni olur. Düzgün beşgenin bir iç açısı 108° olduğundan

α + 60 = 108

α = 48° bulunur.

E) 78


137

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

II. DERECEdEN DENKLEMLER a, b, c reel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere; ax2 + bx + c = 0 biçiminde yazılabilen ifadelere reel katsayılı, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemi sağlayan x değerlerinin her birine denklemin kökü, bu köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

(a – 2) x3 + (b + 1) x2 – 3x + 2 = 0

denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a = 2 b = –1

B) a = –1

C) a = 2

b ≠ 2

D) a = –2

E) a = –2

b = –1

b ≠ –1

b ≠ –1

a – 2 = 0

b + 1 ≠ 0

a = 2

b ≠ –1

(m – 1) x2 +2(m + 1) x – 20 + 2m = 0

ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 2 olduğuna göre m kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

(m – 1) . 22 + 2(m + 1) . 2 – 20 + 2m = 0 = 4(m – 1) + 4( m + 1) – 20 + 2m = 0 = 4m – 4 + 4m + 4 – 20 + 2m = 0 = 10m – 20 = 0 m = 2

a 3 1 = x - 1 x + 1 x2 - 9 denklemini sağlayan x reel sayısı, A = {–3, –1, 1, 2, 3} kümesinin elemanlarından biri

olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 1 5

C) 6 5

D) 2

E) 16 5

Denklemi sağlayan x reel sayısı –3, –1, 1, 3 olamaz o halde kök x = 2’dir. a 3 1 = 2 - 1 2 + 1 22 - 9 1 a = 1-5 1 6 a = 1+ = 5 5

138



6. BÖLÜM KÖK BULMA

1. Çarpanlara ayırarak kök bulma ax2 + bx + c = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ► x2 – 4x = 0 x (x - 4) = 0 x = 0 , x- 4 = 0 & x = 4

4 Ç. K = {0, 4}

► 6x2 – 12x = 0 _ b b 6x = 0, x - 2 = 0 ` Ç. K = {0, 2} b x= 0 , x= 2 b a 6x (x - 2) = 0

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a – b) (a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız. ► (x + 2)2 = ► (x – 3)2 =

x2 + 4x + 4

► (x2 – 4)2 =

x4 – 8x2 + 16

x2 – 6x + 9

ax2 + bx + c biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması

* x2 + (m + n)x + m . n x x

m n

x2 + (m + n)x + m . n = (x + m) . (x + n)

** ax2 + bx + c = 0 mx p q nx

m.n=a p.q=c m.q + n.p = b

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)


139


6. BÖLÜM

Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ► x2 – 16 = 0 (x - 4) (x + 4) = 0

► x2 – 5x + 6 = 0 x –2

x

x - 4 = 0,

x+4 = 0

x = 4,

x=-4

(x - 2) (x - 3) = 0

4 Ç. K = {–4, 4}

x - 2 = 0,

x- 2 = 0 , x- 3 = 0

–3

x= 2

► 2x2 – 5x – 12 = 0 (2x + 3) (x - 4) = 0 & 2x + 3 = 0, 2x 3 3 x= x –4 2

x2 - 4x - 5 0 = x+ 1

►

(x - 5) (x + 1) =0 x+1

x-3 = 0 x= 3

4

x-4 = 0 x= 4

x- 5 = 0 x= 5

Ç . K = " 2, 3,

4 Ç. K = )- 3 , 43 2

4 Ç. K = {5}

► x2 – 6x + 9 = 0 x –3

x

(x - 3) (x - 3) = 0 & (x - 3) 2 = 0

x= 3

–3

► x2 – 2x – 3 = 0 x –3

x

+1

►

x2 - 9 0 = x+ 1

x- 3 = 0

(x - 3) (x + 1) = 0

x-3 = 0 x= 3

x+1 = 0 x= -1

(x - 3) (x + 3) = 0 & x - 3 = 0, x+1 x= 3

x+3 = 0 x=-3

4

Ç. K = {3}

4 Ç. K = {–1, 3}

4 Ç.

K = {–3, 3} a-4 = 2 a= 6

& x 2 + 6x - 16 = 0 -2 8

x x

xa–4 + ax – 16 = 0

denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır? A) –8

B) –6

C) 2

D) 6

E) 8

a-3 = 2 a= 5

4

(x - 2) . (x + 8) = 0 x-2 = 0 x+8 = 0 x= 2 x=-8

(2 + (–8) = –6 bulunur.

& x2 + 5x – b = 0

ve x = 1 için

denklem sağlanmalı;

xa–3 + ax – b = 0 ikinci dereceden denkleminin bir kökü x = 1 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1

140

B) 5

C) 6


D) 9

E) 11

= 12 + 5 . 1 – b = 0

= 1 + 5 – b = 0

= 6 – b = 0

b = 6 ⇒ a + b = 5 + 6 = 11


6. BÖLÜM

^x - 2h(x - 3). (x - 1) = (2 - x)(x - 3) x – 1 = –1

(x2 – 5x + 6) (x – 1) = (2 – x) . (x – 3) denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x = 0

ayrıca; sadeleştirilen terimler sıfır olduğunda da denklem sağlanacağından;

x – 2 = 0

x = 2

x – 3 =0 x =3

olduğundan denklemin üç farklı kökü vardır.

1 1 x2 - 3 + = x - 3 x - 1 x2 - 4x - 3

denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) {1}

B) {3}

C) {1, 3}

E) ∅

D) R

x2 - 3 x-1+x-3 x2 - 3 1 + 1 = = & 2 x 3 x 1 x - 4x - 3 x 2 - 4x - 3 x 2 - 4x - 3

(x - 1)

(x - 3)

2x – 4 = x2 – 3 x2 – 2x + 1 = 0 (x-1)2 = 0

1 x – 1 = 0 bulunur. ancak ifadesinde x = 1 için payda sıfır olacağından x- 1 denklemin kökü yoktur.

2 – 4x + 3

5x

a ≠ 0 olmak üzere a° = 1’dir.

=1

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 3}

B) {–1, 3}

C) {0, 1}

D) {1, –3}

E) {0, 3}

x 2 - 4x + 3 = 0 x x

-3 -1

4

(x - 3) (x - 1) = 0

x- 3 = 0 x- 1 = 0 x= 3 x= 1

x4 – 7x2 + 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–,2 – 3 ) B) { 3 , 2}

C) {–2,

3 , 2}

D) {–2, 2}

E) {–2, – 3 , 3 , 2}

x 4 - 7x 2 + 12 = 0 x

2

x

2

(x2

-3 -4

– 3) (x2 – 4) = 0

x2 – 3 = 0 x2 = 3 x= 3 , x=– 3

x2 – 4 = 0 _b b x2 = 4 ` Ç.K = {–2, - 3 , x=2 x=–2 bb a

3 , 2}


141


6. BÖLÜM

x2 + 1 = a dersek; (x2

+

1)2

–

9(x2

+ 1) + 18 = 0

a 2 - 9a + 18 = 0 (a - 6)

x2 + 1 = a

x2 + 1 = 3

x2 + 1 = 6

x2 = 2

x2

x=

denkleminin gerçel köklerinin toplamı kaçtır? A) –5

B) –3

C) 0

D) 3

E) 5

denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

3x = a dersek;

C) 1

D) 2

E) 3

5 + (-

5) +

4a - 3 = 0

-3 -1

a= 3

3x

A) {–1}

B) {0}

C) {1}

D) {–1, 1}

E) {0, 1}

= 3 1.0 = 0

6x + 10 = 3 + x

( 6x + 10 ) 2 = (3 + x) 2

⇒ 6x + 10 = 9 + 6x + x2 0 = x2 – 1 x = 1 x2 – 4 |x| – 12 = 0 denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x < 0 için,

x 2 + 4x - 12 = 0

x x

-2 +6

(x – 2)(x + 6) = 0 ⇒ x – 2 = 0 veya x + 6 = 0

x = 2

x = –6

Ayrıca x < 0 kabul ettiğimiz için x = 2 kök olmaz. kök olmaz. x = –6 olur. x > 0 için,

x 2 - 4x - 12 = 0 -6 +2

x x

(x – 6) (x + 2) = 0 x – 6 = 0 x = 6

veya

x + 2 = 0

x = –2

Ayrıca x> 0 kabul ettiğimiz için x=–2 kök olmayacağından kökümüz x =6’dır. x = –6 ve x = 6 yani 2 tane kök vardır.

142


a- 1 = 0 a= 1

x = 1

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

2) = 0

3x = a

6x + 10 - x = 3

2 + (-

a 2 - 4a + 3 = 0 (a - 3) (a - 1) = 0 a a

(a - 3) = 0

a- 3 = 0 a= 3

5 x=- 5

9x – 4 . 3x + 3 = 0

B) 0

a- 6 a= 6

= 5 x= 2 x=- 2

A) –1

4

-6 -3

a a

x = –1

3x = 1 x =0


6. BÖLÜM

x =a x- 2

a 2 - 7a + 10 = 0 (a - 5) (a - 2) = 0

a

x 2 7x + 10 = 0 k x- 2 x- 2 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır? A) 4 B) 10 C) 5 4

a a

D) 10

4a - 5 = 0

C) 2

a- 2 = 0 a= 2

x =5a x- 2 x = 5x – 10

x = 2a x- 2 x = 2x – 4

4x = 10

4 =x

Kökler çarpımı:

D) 3

a= 5

x =a x- 2

5 x = 2

denkleminin birbirinden farklı reel köklerinin toplamı kaçtır? B) 1

-5 -2

E) 20

(x2 – 2x – 5)2 + 3x2 – 6x – 33 = 0

A) –2

dersek

E) 4

5 .4 = 10 bulunur. 2

(x2 – 2x – 5)2 + 3(x2 – 2x – 5) – 18 = 0 x2 – 2x – 5 = a dersek a 2 + 3a - 18 = 0 (a - 3) (a + 6) = 0 -3 +6

a a

4a - 3 = 0 a= 3

x2 – 2x – 5 = 3

a+6 = 0 a=-6

x2 – 2x – 5 = 3

x2 – 2x – 5 = –6

x2 – 2x – 2 = 0

x2 – 2x + 1 = 0

(x – 4).(x + 2) = 0

(x – 1)2 = 0

x = 4, x = –2

x – 1 = 0

Kökler toplamı = 4 + (–2) + 1 Kökler toplamı = 3

x = 1

2. Diskriminant (∆) yardımı ile kök bulma ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayrılmıyorsa bu denklemin köklerini diskriminant yardımıyla bulabiliriz.

∆ = b2 – 4ac

1. ∆ > 0 ise farklı iki reel kök vardır.

2. ∆ = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır

çakışık iki kök vardır.

Çift katlı kök vardır.

3. ∆ < 0 ise reel kök yoktur.

∆ ≥ 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere;

x1 = - b - T , 2a

x2 = - b + T 'dir. 2a


143


6. BÖLÜM

Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. ► x2

T = 3 2 - 4.1. (- 2) = 9 + 8 = 17

+ 3x – 2 = 0

► x2 – 2x – 5 = 0

x1 =

- 3 - 17 - 3 + 17 , x2 = 2 2

T = (- 2) 2 - 4.1. (- 5)

x1 =

= 4 + 20 = 24

► x2 + 4x – 1 = 0

x2 =

T = 4 2 - 4.1. (- 1)

x1 =

= 16 + 4 = 20

x2 =

2-

2

2+

2

24 24

= 1-

6

= 1+ 6

- 4 - 20 =-22

5

- 4 + 20 =-2+ 5 2

Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. ► x2 + 4x + 6 = 0 ( D = 42 – 4. 1. 6 = = – 8 ( D < 0 olduğundan reel kök yoktur.

► x2 – 2x + 2 = 0 ( D = (–2)2 – 4. 1. 2 = – 4 ( D < 0 olduğundan reel kök yoktur.

► x2 – 6x + 9 = 0 ( D = (–6)2 – 4. 1. 9 = 0 ( D = 0 olduğundan çakışık kök vardır. 6- 0 6+ 0 = 3 ; x2 = =3 x1 = 2 2

Eşit iki kök olduğuna göre D = 0 olmalıdır. x2 + mx + m + 8 = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçel kökü olduğuna göre, m’in pozitif değeri kaçtır? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 16

mx2 + x – 3 = 0 ikinci dereceden denkleminin gerçel kökü olmadığına göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) - 5 B) - 1 C) - 1 D) 1 E) 1 12 12 24 12 3 gerçek kök yoksa D < 0 olmalıdır. D = 12 – 4.m(–3) < 0 ⇒ 1 + 12m < 0

1 12 1 O halde cevap – 'den küçük olan tek seçenek olan A şıkkıdır. 12

144

⇒ 12m < – 1 ⇒ m < –


D = m2 – 4 . 1 (m + 8)

⇒ m2 – 4m – 32 = 0

(m – 8) . (m + 4) = 0 m = 8, m = 4 m'in pozitif değeri 8'dir.


6. BÖLÜM

(m – 1)x2 + 9x + 3

ikinci dereceden denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökü olduğuna göre m’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

Farklı bir gerçel kök var ise D > 0 olmalıdır. D = 92 – 4.(m – 1). 3 ⇒ 93 – 12m > 0 ⇒ 93 > 12 m O halde m'nin alabileceği en büyük tamsayı değeri 7'dir.

x2 – 8x + (m + 2) = 0 denkleminin reel köklerinin olması için m’in alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Denklemin gerçek kökleri olabilmesi için D≥0 olmalıdır. D=82 – 4.1.(m+2) ⇒ 56 – 4m ≥ 0 ⇒ 56 ≥ 4m ⇒ 14 ≥ m Bu durumda m'in alabileceği 15 tane doğal sayı değeri vardır.

x6 – 5x3 – 6 = 0 denkleminin kaç farklı reel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x3 = a dersek (x3)2 – 5x3–6 = 0 a 2 - 5a - 6 = 0 a

-6

+1 a a = 6 veya

x3 = 6 veya x =3 6

4

(a – 6) . (a + 1) = 0

a =– 1

x3 = – 1

x = – 1 olduğundan iki farklı reel kök vardır.

x2 – 3x + 5 = 0 denkleminin köklerinden biri a’dır. Buna göre a + 5 ifadesinin eşiti kaçtır? a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Köklerden biri a ise a değeri denklemi sağlamalı; a2 – 3a + 5= 0 3a a2 + 5 5 = 3 bulunur. ayrıca a2 + 5 = 3a⇒ a + = & a a a


145

6. BÖLÜM


Karmaşık Sayılar ax2 + bx + c = 0 İkinci dereceden denkleminin reel sayılarda çözüm kümesi ∆ < 0 iken ∅’dır. Bu tür denklemlerin köklerini içine alan yeni bir kümeye ihtiyaç vardır. Tanım: a, b∈R ve i2 = –1 olmak üzere z = a + bi biçiminde ifade edilen z sayısına karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. C = {z| z = a + bi, a, b∈R ve i2 =

- 1}

Burada; - 1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir.

►

► a sayısına, karmaşık sayının reel kısmı denir. Re(z) = a ► b sayısına karmaşık sayının sanal kısmı denir. İm(z) = b

Aşağıdaki ifadelerin sanal sayı birimi şeklindeki eşitlerini bulunuz. ►

- 4 = 2i

►

- 18 = 3i 2

►

- 4 . - 9 = 2i . 3i = 6i2 = – 6

►

- 4 + 3 - 8 . - 9 - - 16 = 2i + (–2) . 3i – 4i = 2i – 6i – 4i = – 8i

►

- 4 . - 5 = 2i .i 5 & 2i i. 2 . 5 2 - 10

z1 = 3i

z2 = 2 + 3i z3 = 4 z4 = –5 + 4i karmaşık sayıları için aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► Re(z1) + Re(z3) Re(z1) = 0, Re(z3) = 4 ⇒ Re(z1) + Re(z3) = 0 + 4 = 4

► Re(z4) – im(z1) Re(z4) = –5, im(z1) = 3 ⇒ Re(z4) – im(z1) = –5 – 3 = – 8

► im(z1) – Re(z2) + im (z2) im(z1)= 3, Re(z2) = 2 , im(z2)=3 ⇒ im(z1)–Re(z2) + im(z2) = 3– 2+ 3=4 ► im(z2) . im(z4) – Re(z1) . Re(z3) im(z2)=3, im(z4)=4, Re(z1) = 0, Re(z3)=4⇒ im(z2) . im(z4)–Re(z1) + Re(z3)

146


⇒ 3 . 4 – 0 . 4 = 12


6. BÖLÜM i’nin kuvvetleri i0 = 1 .................. i4n = 1 i1 = i .................. i4n+1 = i i2 = –1 .................. i4n+2 = –1 i3 = –i .................. i4n+3 = –i i4 = 1

i16 + i13 + i9 – i27 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) i + 1

B) 2 + 2i

C) 1 + 3i

D) 2 + 2i

E) 3 + i

D) 1

E) 2

i4 + i1 + i1 – i3

= 1 + i + i– (–i)

= 1 + 2 i – i

= 1 + i

A = i + i2 + i3 + ...... + i30

A karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

A = i + (–1) + (–i) + 1 + ..... + 1 + i + (–1) 0 + 0 + 0 + ..... + 0 + i – 1 = i – 1

Re(A) = – 1

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama – Çıkarma Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken reel kısımlarla kendi içinde sanal kısımlarla kendi içinde işlem yapılır. z1, z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i


147

6. BÖLÜM


z1 = 1 – 3i z2 = 2 + i olduğuna göre, aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► z1 + z2 = (1 – 3i) + (2 + i) = 3 – 2i

► z1 – z2 = (1 – 3i) – (2 + i) = 1 – 3i – 2 – i = – 1 – 4i

Çarpma Karmaşık sayılarda çarpma, dağılma özelliği kullanılarak yapılır.  z1 z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere z1 . z2 = (a + bi) (c + di) = ac + a . di + b . ci + b . di2 = (ac – bd) + i(ad + bc)  k ∈R olmak üzere,

k . z1 = k . (a + bi)

= k . a + k . bi

z1 = 5 – 2i z2 = 2 + i olduğuna göre, aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► z1 . z2

(5 – 2i) . (2 + i) ⇒ (10 + 5i – 4i – 2i2) ⇒ 10 + i + 2 ⇒ 12 +i

► 4z1

4. (5 – 2i) = 20 – 8i

► 2z1 + 3z2 – z1 . z2

2. (5 – 2i) + 3(2 + i) – (5 – 2i) . (2 + i) ⇒ 10 – 4i + 6 + 3i – 12 – i

148


⇒ 4 – 2i


6. BÖLÜM

(1 + i) (1 – 2i) + (3 – i) (2 + 2i)

karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) 3

B) 8

C) 9

D) 11

E) 14

(1 –2i + i – 2i2) + (6 + 6i – 2i – 2i2) (1 – i + 2) + (6 + 4i + 2) 3 – i + 8 + 4i = 11 + 3i ⇒ Reel kısım 11 bulunur.

(2 – i3) (–i2 + i9) . (2 + i36)

karmaşık sayısının imajiner kısmı kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 9

(2 –(–i)) . (–(–1) + i) . (2 + 1)

⇒ (2 + i) . (1 + i) . 3 ⇒ (2 + 2i + i + i2) . 3 ⇒ (1 + 3i) . 3

⇒ 3 + 9i imajiner kısım 9 bulunur.

(1 – i)10 + (1 + i)10

işleminin sonucu kaçtır? A) –64i

B) –32

C) 0

D) 32

E) 64i

[(1 – i)2]5 + [(1 + 1)2]5 ⇒ (–2i)5 + (2i)5 ⇒ 0

Karmaşık Sayıların Eşitliği z1, z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere, z1 = z2 ise a = c ve b = d’dir.


149


6. BÖLÜM

2 . (1 + i) – (2 – i) = x + iy

olduğuna göre, (x, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 1)

B) (0, 3)

C) (3, 0)

D) (4, 1)

E) (4, 3)

2 + 2i – 2 + i = x + iy

3i = x + iy

x = 0

2z – 4i = 16 – 16i

y = 3 ⇒ (x, y) = (0, 3)

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 – i

B) 8 + i

C) 8 – 6i

D) 16i

E) 8 + 2i

2z = 16 – 12i z = 8 – 6i

Karmaşık Sayının Eşleniği z∈C ve z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir ve z = a – bi dir.

Aşağıda verilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz a. 2 + i

2 – i

b. 1 + 5i

1 – 5i

c. –4i + 3

3 + 4i

d. 5

5

e. 2i

–2i

f. 1 +

150

3

1+ 3



6. BÖLÜM

z =1–

2 + 3i

olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 +

2 + 3i

B) 1 + D) 1 –

z = 1-

2 + 3i

z = 1-

2 - 3i

2 – 3i

2 – 3i

C) 1 +

2 – 3i

E) –1 – 2 + 3i

olur.

Özellikler ( z) = z z1 ! z2 = z1 ! z2 z1.z2 = z1.z2 z1: z2 = z1 : z2 (z1n)

= (z1)

( z 2 ! 0)

n

z = a + bi olmak üzere z . z = a2 + b2

z 1 2 + 3i

z2 = 5 – 2i olduğuna göre, z1.z2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + i

B) 4 + 11i

C) 16 + i

D) 11 + 16i

E) 16 + 11i

z1 .z 2 = z1 .z 2 = (2 + 3i) . (5 - 2i)

10 - 4i + 15i - 6i 2

16 + 11i

Bölme Karmaşık sayılarda bölme yapılırken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. z1 a + bi z2 = c + di z1 (a + bi) (a + bi) (c - di) z2 = (c + di) = (c + di) (c - di) c - di


151


6. BÖLÜM

z = 2 + 3i 1 - 2i olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 - 8 i B) 4 - z i C) - 4 + 7 i D) 8 + 1 i E) 8 + 7 i 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

z=

(2 + 3i) (2 + 3i) (1 + 2i) 2 + 4i + 3 i + 6 i 2 - 4 + 7i -4 7 = = = = + i 1 4 5 5 5 + (1 - 2i (1 - 2i) (1 + 2i) (1 + 2i)

z = 3 – 2i

z karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 - 2 i B) 2 + 3 i 13 13 13 13

C) 3 - 2 i D) 3 + 2 i E) 5 + 3 i 5 5 13 13 13 13

z karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi

1 1 1 3 2 olur. & i = = + 13 13 z 3 - 2i 3 - 2i

1 ’dir. O halde z

(3 + 2i)

z = 2- i 3 - 2i olduğuna göre, im(z–1) değeri kaçtır? A) - 8 B) - 1 C) 1 D) 7 E) 8 5 5 5 5 5

z- 1 =

3 - 2i 3 - 2i (3 - 2i) . (2 + i) 6 + 3i - 4i - 2i 2 & z- 1 = = = 4+1 5 2-i 2-i

8 1 = - i 5 5 im (z- 1) = -

(2 + i)

1 5

II. Dereceden Bir Denklemin Sanal Köklerini Bulmak

a, b, c ∈R ve a ≠ 0 için,

ax2 + bx + c = 0

ikinci dereceden denkleminin ∆ < 0 iken gerçek sayılarda çözüm kümesi ∅ dir. Ancak bu durumda denklemin sanal iki kökü vardır.

152



6. BÖLÜM

x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2i}

B) {2i}

C) {–2i, 2i}

D) {–2, 2}

E) ∅

x2 = – 4 x =

- 4 ⇒ x = 2 ve x = – 2i ⇒ Ç. K = {–2i, 2i}

x2 – 4x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2i, 2i}

B) {4 – 4i, 4 + 4i} D) {–2 –2i, –2 + 2i}

C) {2 – 2i, 2 + 2i} E) {–4i, 4i}

T = 16 - 4.8 = 16 - 32 = - 16 x1 =

-b" T x1, 2 = 2a

x2 =

4-

4 - 4i - 16 = = 2 - 2i 2 2

4 + - 16 4 + 4i = = 2 + 2i 2 2

x2 – 2x + 10 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre İm(x1 . x2) kaçtır? A) –3

B) 0

C) 1

T = 4 - 40 = - 36 -b" T x1, 2 = 2a

x1 = x2 =

2-

D) 3

E) 10

2 - 6i - 36 = = 1 - 3i 2 2

2 + - 36 2 + 6i = = 1 + 3i 2 2

x1 . x2 = (1 – 3i) (1 + 3i) = 10

im = (x1 . x2) = 0


153


6. BÖLÜM

x2 + 4x + m denkleminin birbirinden farklı sanal iki kökü olduğuna göre m’nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

T <0 T = 16 - 4.m < 0 16 < 4m 4
► Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin karmaşık köklerinden biri a + bi ise diğeri a – bi’dir.

Köklerinden biri 2 + 3i olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemin kökleri toplamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

E) 6

x1 = 2 + 3i ise x2 = 2 – 3i’dir. x1 + x2 = 2 + 3i + 2 – 3i

= 4 olur.

II. Dereceden Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin iki kökü x1 ve x2 olmak üzere;

Kökler toplamı :

x1 + x2 = – b a

kökler çarpımı :

x 1 . x2 = c a

Kökler farkı :

|x1 – x2| =

154

T a



6. BÖLÜM

x2 – 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, aşağıdaki ifadeleri bulunuz. b -4 ==4 a 1

a. x1 + x2

=-

b. x1 . x2

=

c. |x1 – x2|

&

d. x12 . x2 + x1 . x22

& x1 .x 2 (x1 + x 2) = 2.4 = 8

c 2 = =2 a 1 8 T & T = 16 - 4.1.2 = 8 & x1 - x 2 = =2 2 a 1

(m – 3)x2 + 6x – 2 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökler toplamı –3 olduğuna göre, m kaçtır? A) 2 -

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

D) 5

E) 6

b b =-3& = 3 a a 6 = 3 & 6 = 3m - 9 m-3 15 = 3m 5= m

x2 – mx + 6 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2’dir. x1 .(x2 + 1) = 8 olduğuna göre, m kaçtır? A) –6

B) –5

C) 1

x1 . (x2 + 1) = 8 x1 .x 2 + x1 = 8

\

6 + x1 = 8 1

x1 = 2

x1 . x2 = 6 2 . x2 = 6 x2 = 3

-m =m 1 x1 + x 2 = 2 + 3 = m x1 + x 2 = -

5= m


155


6. BÖLÜM

x2 – 4x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2’dir. 2x1 + x2 = 5 olduğuna göre, m kaçtır? A) 1

B) 2

x1 + x2 = –

C) 3

D) 4

E) 5

D) 2

E) 5

-4 =4 1

2x1 + x2 = 5

+ –/ x1 + x2 = 4 _____________________ m x1 = 1 x1 .x 2 = =m 1 4 x2 = 3 1.3 = m m= 3

x2 – (m + 1)x – 8 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2’dir. x12 = x2 olduğuna göre, m kaçtır? A) –6

B) –3 8 = –8 1 = –8

x1 . x2 = – x1 . x12

x13 = –8

C) 1

x12 = x2 olduğundan (–2)2 = x2 x2 = 4 olur.

- (m + 1) 1 –2 + 4 = m + 1

x1 + x2 = –

2 = m + 1

x1 = –2

m = 1

x2 + 4x + 5 = 0 denkleminin karmaşık kökleri z1 ve z2’dir. Buna göre, z1 . z2 kaçtır? A) –2

B) 0

C) 1

z1 . z2 ⇒ kökleri çarpımı sorulmaktadır.

156

z 1 . z2 =

5 =5 1


D) 2

E) 5


6. BÖLÜM

x2 – (x1 – 3)x + 6 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, x1 kaçtır? A) –5

x1 + x2 =

B) –3

C) –2

(x1 - 3) x1 + x 2 = x1 - 3 & 1 x2 = - 3

D) 1

E) 6 6 x1 .x 2 = 1

ayrıca;

x1 . (- 3) = 6 x1 = - 2 olur.

x2 – 5x + 3m + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri diğerinin 4 katı olduğuna göre, m kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

-5 1 4x 2 + x 2 = 5

x1 = 4x 2

5x 2 = 5

x1 = 4

x1 = 4x 2 & x1 + x 2 = -

x2 = 1

olur.

D) 1

E) 2

3m + 1 1 4 1 3 m 1 . = + x1 = 4.1 x1 .x 2 =

3 = 3m

m= 1

bulunur.

x2 – (m – 2)x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x12 . x2 + 2x2 – 4 = 0 olduğuna göre, m kaçtır? A) –1

B) 0

C) 2

D) 4

E) 5 x1 + x 2 = -

_ x1 .(x1 .x 2) + 2x 2 - 4 = 0 b 2x1 + 2x 2 - 4 = 0 \ b 2 ` 2 (x1 + x 2) = 4 =2 1 b b x1 + x 2 = 2 a

2 = m-2 m= 4

- (m - 2) 1 bulunur.

x2 – 5x + 8 = 0 denkleminin kökleri bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarıdır. Buna göre, üçgenin alanı kaçtır? A) 2

B) 4

C) 8

E) 64

A

Kökleri x1 ve x2 olsun. 8 =8 1 x1 .x 2 8 = =4 2 2

D) 16

3

x1 .x 2 =

bulunur.

A (ABC) =

x1

olur. B

x2

x1 .x 2 8 = =4 2 2

C


157


6. BÖLÜM

(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 35

denkleminin reel köklerinin çarpımı kaçtır? A) –1

B) 1

C) 4

D) 6

E) 24

6(x + 1) (x + 1)@. 6(x + 2) (x + 3)@ = 35 (x 2 + 5x + 4).(x 2 + 5x + 6) = 35 & x 2 + 5x + 4 = 5 1444 424443 1444 424443 5

7

x 2 + 5x - 1 = 0

-1 =-1 1

Kökleri çarpımı;

x = m + 3 ve x2 + 2x – 4 = 0

olduğuna göre m’in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –8

B) –4

C) 4

D) 7

E) 11

(m + 3)2 + 2(m + 3) – 4 = 0 m2 + 6m + 9 + 2m + 6 – 4 = 0 m2 + 8m + 11 = 0 ⇒ m’in alabileceği değerler toplamı bulunan denklemin kökler toplamıdır. -

8 = - 8 olur. 1

Kökleri Bilinen II. Dereceden Denklemin Yazılması Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem; x2 – (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 dır.

x2 – 3x + 4 = 0 denkleminin köklerinin ikişer fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 7x + 14 = 0

B) x2 + 5x + 2 = 0

D) x2 – 5x + 8 = 0

C) x2 – 7x + 14 = 0 E) x2 + 4x + 10 = 0

Verilen denklemin kökleri x1 ve x2 olsun. İstenen denklemin kökleri; x1 + 2 ve x2 + 2'dir. O halde denklem; x2 – (x1 + 2 + x2 + 2)x + (x1+2)(x2+2)=0 ⇒x2–(x1+x2+4)x+(x1.x2+2(x1+x2)+4)=0 x1 + x 2 = 3 4 2 x1 .x 2 = 4 x – (3+4)x + (4 + 2. 3 + 4) = 0

x2 – 7x + 14 = 0

158



6. BÖLÜM

x2 – 3x + 3 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 3x – 3= 0

B) 3x2 – 3x + 3 = 0 D) x2 – 3x + 1 = 0

C) 3x2 – 3x + 1 = 0

E) x2 – x + 1 = 0

ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden 2. dereden denklem; cx2 + bx + a = 0 dır. O halde istenen denklem; 3x2 – 3x + 1 = 0 dır.

x2 – 8x + 4 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

x2 – 8x + 4 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersini kök kabul eden ikinci dereceden denklem; 4x2 – 8x + 1 = 0 'dır. Bu denklemin kökler toplamı = –

-8 = 2 'dir. 4

x2 + mx – m + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2’dir. 1 1 4 x1 + x 2 = 3 olduğuna göre m kaçtır?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

-m 4 1 + 1 = x1 + x 2 = 4 = 1 -m = 4 = & 3 -m+2 x1 x2 x1 .x 2 3 3 -m+2 1 (x 2) (x1)

–3m = – 4m + 8 ⇒m = 8 bulunur.


159


6. BÖLÜM

x2 + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 4, x2 – px + q = 0 denkleminin bir kökü 1’dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre m + p toplamı kaçtır? A) –3

B) –2

C) –1

D) 3

E) 5

Ortak kök a olsun. x2 + mx + n = 0 denkleminin kökler toplamı; 4 + a= – m x2 – px + q = 0 denkleminin kökler toplamı; 1 + a = p

–/ 4 + a = –m

+

1 + a = p –3 = p + m bulunur.

x2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü 8, x2 + mx + n = 0

Ortak kök a olsun.

denkleminin bir kökü 2 dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, c oranı kaçtır? n C) 2 D) 4 E) 6 A) 1 B) 1 4 2

x2 + bx + c = 0 denkleminin kökler çarpımı 8 . a = c x2 + mx + n = 0 denkleminin kökler çarpımı 2 . a = n 8a

2.a

(a + 2)x2 + 4x – 4 = 0

ax2 + 2x + b = 0 denkleminin çözüm kümeleri birbirine eşit olduğuna göre, a oranı kaçtır? b A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 Çözüm kümeleri eşitse aynı köklere sahiptir. Bu durumda kökler toplamı ve kökler çarpımı birbirine eşittir. 2 4 =⇒ 4a = 2a + 4 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2 a a+2 ve 2 - 4 = b & - 4 = b ⇒ b = -2 , a = = –1 bulunur. a 4 2 -2 a+2 b

► Köklerinden biri a + min diğer kökü a –

160

b olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denkleb ’dir.


= c & 4 = c bulunur. n n


6. BÖLÜM

Köklerinden biri 3 –

2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdaki-

lerden hangisidir? A) x2 + 6x + 5 = 0

B) x2 – 6x + 7 = 0 D) x2 – 4x + 5 = 0

x1 = 3 –

2 ise x2 = 3 +

x1 + x2 = (3 -

2 ) + (3 +

x1 . x2 = (3 – x2

2 ) . (3 +

C) x2 + 4x – 6 = 0 E) x2 + 4x – 4 = 0

2 'dir.

2) = 6

2) = 7

– (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 ⇒ x2 – 6x + 7 = 0 bulunur.

II. Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri a, b, c ∈R ve a ≠ 0 olmak üzere,

f(x) = ax2 + bx + c

ifadesine ikinci dereceden fonksiyon denir. f(x) ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine parabol denir.

f(x) = (m – 3)x3 + x2 – mx + m + 2

fonksiyonunun grafiği bir parabol olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 1

B) 3

C) 5

D) 6

E) 10

f(x) = (m – 3)x3 + x2 – mx + m + 2 bir parabol ise 2. dereceden olmalıdır. O halde x3’lü terimin katsayısı “0” olmalı _ m - 3 = 0 b f (x) = x 2 - 3x + 5 olur. Buradan b 2 m= 3 ` f (2) = 2 - 3.2 + 5 = 4 - 6 + 5 b b = 3 olur. a

f(x) = x2 – mx + 2

parabolu A(3, 2) noktasından geçtiğine göre, m kaçtır? A) –3

B) –1

C) 2

D) 3

E) 4

A(3, 2) noktası parabolün üzerindeyse, parabol denklemini sağlamalıdır. Yani f(3) = 2 olmalı f(3) = 32 – m . 3 + 2 =2 ⇒ 9 – 3m + 2 = 2 ⇒3m = 9 ⇒ m = 3

bulunur.


161


6. BÖLÜM

f(x) = m(x + 2)2 – m parabolü A(1, 8) nok

tasınden geçiyorsa f(1) = 8 olmalıdır.

f(x) = m(x + 2)2 – m

parabolü A(1, 8) noktasından geçtiğine göre, apsisi –4 olan noktanın ordinatı kaçtır? f(1) = m(1 + 2)2 – m = 8 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

⇒ m = 1 olur.

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği, 1. a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğru olur.

a < 0 ise parabolün kolları aşağı doğru olur.

2.

T: Tepe noktası

y

x = r doğrusu simetri eksenidir.

x=r= r O

x1

x2

x

T(r, k)

⇒ 9m – m = 8

o halde fonksiyon f(x) = (x + 2)2 + 1 biçimindedir. f(–4) = (–4 + 2)2 + 1

⇒ 4 + 1 = 5

b x1 + x2 - a b = =2 2 2a

2 k = f(r) = 4ac - b 4a 2 T(r, k) = c- b , 4ac - b m 2a 4a

3. Parabolün eksenleri kestiği noktalar

x = 0 yazılarak y eksenini kestiği nokta

y = 0 yazılarak x eksenini kestiği noktalar bulunur.

Aşağıda verilen ikinci dereceden fonksiyonların tepe noktalarını bulunuz. ► y = x2 – 5x + 11 T(r, k) r=-

_ b 5 5 5 2 5 -5 , k = f (r)3 r = ve k = f e o = e o - 5. e o + 11 b = 5 21 b 2 2 2 2 2a 2 ` T (r, k) = e 2 , 4 o 25 25 21 b = + 11 = 4 2 4 b a

► y = 2x2 + 8x + 2 T(r, k)

_ 8 bb r=- =-2 b 4 r=, k = f (r)3 ` T (r, k) = ^- 2, - 6h 2a 2 k = f (- 2) = 2. (- 2) + 8. (- 2) + 2 = 8 - 16 + 2 = - 6b a

► y = –3x2 + 6x – 2 T(r, k) _ 6 bb r=b =1 r=, k = f (r)3 -6 ` T (r, k) = (1, 1) 2a 2 k = f (1) = - 3. (1) + 6.1 - 2 = - 3 + 6 - 2 = 1b a

162


bulunur.


6. BÖLÜM

Kollar yukarı doğru ise 0 < m – 2 ⇒ 2 < m

olmalıdır.

f(x) = (m – 2)x2 + 4x + m – 5

parabolünün kolları yukarı doğru ve y eksenini negatif tarafta kestiğine göre, m’nin alabileceği tamsayı değerler toplamı kaçtır? A) 7

B) 9

C) 12

D) 14

E) 15

Fonksiyonun y ekseni kestiği nokta x = 0 apsisli noktadır.

f(0) = (m – 2)02 + 4 . 0 + m – 5 olur.

Demekki, m – 5 < 0, m < 5 olur. Buradan 2 < m < 5 olur. Yani m’in alabileceği değerler 3 ve 4’tür. 3 + 4 = 7 bulunur.

f(x) = x2 – ax + 2

parabolünün simetri ekseni x = a – 3 doğrusu olduğuna göre a kaçtır? A) –6

B) –2

C) 2

D) 3

E) 6

Parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur. b r= olduğuna göre, 2a -a = a - 3 & a = 2a - 6 2 a = 6 bulunur.

x eksenini (–2, 0) ve (6, 0) noktalarında kesen parabolün simetri ekseni aşağıdakilerden hangisidir? A) x = 0

B) x = 2

C) x = 3

D) x = 4

E) x = 6

Simetri ekseni parabol iki eşit parçaya böler. Şekilde görüleceği üzere parabolün x ekse-

y

nin kestiği noktalar arası 8 birimdir. -2

2

x

6

Demek ki simetri ekseni 4 birimlik iki parçaya ayırmalı. Bu durumda simetri ekseni x = 2 doğrusu olur.

f(x) = ax2 + 4x + b

parabolünün tepe noktası T(1, 3) olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) –3

B) –2

C) –1

D) 1

E) 2

T(1, 3) ⇒ r = 1 ve k= 3 r=

4 2 = 1 ve f (1) = (- 2) .1 + 4. (1) + b 2a

a = - 2 ve - 2 + 4 + b = 3 b= 1

olur.

Buradan;

f(x) = –2x2 + 4x + 1

f(2) = –2(2)2 + 4 . 2 + 1 =–8+8+1=1 bulunur.


163


6. BÖLÜM

f(x) = ax2 – (3a + 4)x + b + 4

parabolünün tepe noktası (2, 6) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6

B) 8

T(2, 6) ⇒ r = –

C) 10

D) 16

E) 22

- (3a + 4) = 2 ve k = f (2) = 6 2a _ b b f (2) = 4.2 2 - 16.2 + b + 4 b a + b = 4 + 18 ` bulunur. = 22 & 16 - 32 + b + 4 = 6b bb & b = 18 a f (x) = 4x 2 - 16x + b + 4

3a + 4 = 4a a= 4

f(x) parabolü orjinden geçiyorsa (0, 0)

parabolün denklemini sağlamalıdır.

f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4

parabolü orijinden geçtiğine göre, parabolün eksenleri kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır? A) –2

f(x)=(m – 2)02 + 2(m – 2) . 0 + m2 – 4 = 0 m2 – 4 = 0

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

m = ± 2 ve m = 2 olamaz. m = 2 için, (m – 2)x2 terim yok olur. Dolayısıyla

y

Şekilde verilen y = f(x) parabolünün x eksenini kestiği noktalar A ve B noktalarıdır. Parabolün simetri ekseni y = f(x)

A(-4, 0)

A) 3

O

1

B) 4

B

x

x = 1 doğrusu olduğuna göre, B noktasının apsisi kaçtır?

C) 5

fonksiyon parabol belirtmez. Bu durumda m = –2’dir. f(x) = –4x2 – 8x fonksiyonunun kökler toplamı sorulmakta -8 o halde = - 2 apsisleri toplamıdır. -4

D) 6

E) 7

Parabolün x eksenini kestiği noktalardan biri olan A noktasının simetri eksenine olan uzaklığı 5 birimdir. O halde B noktasıda simetri eksenine 5 birim uzaklıkta olmalıdır. Bu durumda B(6, 0)’dır.

Parabolün x eksenini kestiği noktalar y = 0 için,

f(x) = x2 – 5x – 6

parabolünün x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

0 = x2 – 5x – 6

0 = (x – 6) (x + 1)

x = 6 ve x = –1’dir.

x = –1 ve x = 6 noktaları arası uzaklık ise 7 birimdir.

164



6. BÖLÜM

f(x) = 2x2 + (2a – 1)x + 3a – 6

parabolünün x eksenini kestiği noktalardan birinin apsisi 1 olduğuna göre diğeri kaçtır? A) – 3 2

B) –1

C) 1 D) 2 E) 3 2 3 2

Parabolün x eksenini kestiği noktalarda ordinatı sıfırdır. Yani f(1) = 0 olmalıdır. f(1) = 2 . (1)2 + (2a – 1) . 1 + 3a – 6 =0

⇒ 2 + 2a – 1 + 3a – 6 = 0

⇒ 5a – 5 = 0

⇒ a = 1 bulunur.

_ f (x) = 2x 2 + x - 3b (2x + 3) (x - 1) = 0 3 b 2x 3 -1 ` x = x x= 1 b 2 a -3 parabolün x eksenini kestiği diğer nokta x = noktasıdır. 2

f(x) = x2 – (2m – 6)x + 3m

parabolünün tepe noktası y ekseni üzerindedir. Buna göre, m kaçtır? A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

E) 9

y ekseni x = 0 doğrusudur. Dolayısıyla tepe noktası y ekseninde olan bir parabol b olduğundan r’nin sıfıra eşit olması için b’nin sıfır için r = 0 olmalıdır. r = 2a olması gerekir. Buradan,

2m – 6 = 0

m = 3 bulunur.

f(x) = x2 – (2m + 2)x + 16

parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, m’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –5

B) –2

C) 2

D) 3

E) 8

Parabol x eksenine teğet ise ∆ = 0 olmalıdır. ∆ = b2 – 4ac

⇒ (2m + 2)2 – 4 . 1 . 16 = 0

⇒ (2m + 2)2 = 64

⇒ (2m + 2) = 8 veya (2m + 2) = –8 2m = 6 2m = - 10 m= 3 m=-5

3 + (–5) = –2 bulunur.


165


6. BÖLÜM

Aşağıda verilen ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

Y Y 16Y 16 Y

Y ► y = x2 – Y3xY – 4 Y

Y ► y = –x2 + 2x + 15 Y

Y

Y

3 3 24 24 3 2 4

3 32 2 -1 -1 3 -1 -1 2 -1 -1 -4 -4 -4 -4 -17 -17 -4 -4 -17 -17 4 4 4 4 -17 -17 4 4

16 15 15 15 15 15 15 -3 X -3 1 5 X5 1 15 5 1 -3 X5 15 1

4 4 X

-3 -3

X X X

X 4 X

-3

► y = x2 – 9 Y Y

Y Y Y 16

Y Y Y16

16

16

16

16 -3 -3

-3

-3 -3

3

3

-3

3 3 3

3

X X

X X X

X

X X X

► y = 16 – x2

Y Y Y

Y

16

16

16

-4 -4

-4

-4 -4

4

-4

4 4

4

X X

4

4

X

X X X

-9 -9

-9 -9

-9

-9

► y = x2 – 6x + 9 Y Y

9

9

9

Y 9 9

► y = x2 – 6x – 27

Y Y Y

Y Y

Y Y Y

Y

f(x), x eksenine teğet ise tam kare olmalıdır.

9

3

3

3

3 3 3

X X

X

X X X

-3 -3

-3

-3 -3 -3

3

3

3

3 3 3

9

9

9

X X99 X9

Bu durumda yeni x2 + 2ax + a2 biçiminde

X X olmalıdır. O halde X

-27 -27 -27 -27 -36 -36 -36 -36 -27 -27 -36 -36

a2 – 3a + 9 = a2

3a = 9

a = 3

Parabol x eksenini farklı iki noktada kesti-

f(x) =x2 + 2ax + a2 – 3a + 9

ğine göre farklı iki kök vardır. 2. dereceden

parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

bir ifadenin farklı iki köke sahip olması E) 8

y = x2 – 6x + m

parabolü x eksenini farklı iki noktada kestiğine göre, m’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7

166

B) 8

∆ > 0 ise mümkündür.

C) 9


D) 10

E) 11

∆ = (–6)2 –4 . 1 . m > 0

36 > 4m

9 > m

m’in en büyük değeri 8 olur.


6. BÖLÜM

Parabol x eksenini kesmiyorsa, bu reel kök anlamına gelir. Bu da ∆ < 0 olması ile

f(x) =

x2

mümkündür.

– ax + 4

parabolü x eksenini kesmediğine göre, a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

∆ = (–a)2 – 4 . 1 . 4 < 0

a2 – 16 < 0 a2 < 16

–4 < a < 4

(–4, 4) aralığında 7 farklı tam sayı değe

ri vardır.

f(x) = x2 – (3a – 6)x – 11 + a

parabolünün tepe noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

Tepe noktası y ekseni üzerinde ise x = 0 doğrusu simetri eksenidir. O halde r = 0 olmalıdır.

- (3a - 6) =0 2 3a - 6 = 0

r=

a= 2

bulunur.

f(x) = x2 – 9 y = 0 için,

0 = x2 – 9

x = –3

x = +3

parabol x eksenini x = 3 ve x = –3 noktalarında kesmektedir. Bu noktalar arasındaki uzaklık |–3–3| = 6 birimdir.

f(x) = x2 – 6x + 10

parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A)

2

B) 2

C) 2 2

D)

10

E) 5

Parabolün tepe noktası; T(r, k) ⇒ r = –

-6 =3 2

_ k = f (r) = f (3) = 3 2 - 6.3 + 10 b b = 9 - 18 + 10 ` T (1, 3) b b =1 a

T(1, 3) noktasının orijine uzaklığı; |OT| =

12 + 32 =

1+9 =

10 olur.


167


6. BÖLÜM

y = ax2 + bx + c parabolünün grafiği verilmiştir. Buna

y

göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? x

O

A) –, +, +

B) +, –, +

C) –, +, –

D) –, –, +

E) –, –, –

1. Parabolün kolarının yönü aşağı doğru olduğundan a < 0’dır. 2. T(r, k), tepe noktası II. bölgede olduğundan r < 0 olmalıdır. Yani o halde b < 0 olur.

-b <0 2a

3. Parabol y eksenini negatif tarafta kesmiş x = 0 için y = c ve c < 0 cevap E şıkkıdır.

|AO| = k ve |OB| = 3k ise A(–k, O) y

Şekilde y = x2 – 4x + m parabolü verilmiştir. y = f(x)

A

O

A) –12

B

x

olduğuna göre, m kaçtır?

C) –4

D) –2

E) 3

Şekilde y = x2 – 2x + a parabolü verilmiştir.

y y = f(x)

|AB| = 8 br

olduğuna göre, f(1) kaçtır? A

O

A) –16

x B

B) –15

C) –3

D) 2

E) 5

-2 = 1 yani x = 1 doğrusudur. Ayrıca 2 |AB| = 8 birim ise simetri ekseni |AB|’yi iki eşit paraçaya bölmelidir. O halde Parabolün simetri ekseni r = -

Anoktası x = 1 doğrusunun 4 birim gerisinde (–3, 0) noktası B noktası, x = 1 doğrusunun 4 birim ilerisinde B(5, 0) noktasıdır. Yani denklemin kökleri x = –3 ve x = 5’tir. Bu durumda kökler çarpımı,

(–3) . 5 =

168

a ⇒ a = –15 olur. 1


x len

3|AO| = |OB|

B) –8

ve B(3k, O) dır. Yani parabolün kökleri =

–k

ve

x

=

3k’dır.

Ayrıca

veri-

denkleme göre kökler toplamı -4 –k + 3k = & 2k = 4 k= 2 bulunur. 1 Yani kökleri x = –2 ve x = 6’dır. Bu durumm da kökler çapımı (–2) . (6) = m = –12 1 bulunur.


6. BÖLÜM

Parabolün simetri ekseni y = 0 doğrusudur. Bu durumda |OA| = |OB| k > 0 olmak üzere, B(k, O) Şekilde ABCD karesinin B ve C köşeleri y = 8 – x2 parabolünoktası olsun. O halde A(–k, O) noktası olur. Yani

y D

C

A O

B

A) 4

üzerindedir. Buna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?

|AB| = 2k birimdir. ABCD kare olduğundan |BC| de 2k birim olmalı,

x

B) 8

C) 9

D) 16

2k = 8 – k2 ⇒ k2 + 2k – 8 = 0 k –2 k +4

E) 25

(k – 2) (k + 4) = 0

k = 2 ve k = –4

k > 0 olduğundan k = 2’dir. Karenin bir kenar uzunluğu 2k yani 11 birim olur. Bu durumda A(ABCD) = 42 = 16 olur.

f(x) = x2 – 4x – 12 T

parabolünün eksenleri kestiği noktalar A, B ve C’dir. Buna göre, A (ABC) kaç br2 dir? A) 24

B) 28

C) 36

D) 42

E) 48

Parabolün eksenleri kestiği noktalar;

x = 0 için;

y = o2 – 4 . 0 – 12 = –12 _ 0 = x 2 - 4x - 12 b (x + 2) (x - 6) = 0 x -6 b dır. x +2 ` b x = - 2 ve x = 6 a Y

f(x) = x2 – 3x – 4

-2 A

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(x + 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)

-1

y

y

B)

O

4

x

O

-2

y

C)

x

3

-1

O

y

O

x

4

x O

8.12 = 48 2

olur.

y

E)

5

X

-12 B

A (ABC) =

D)

6 C

-2

O

2

x y y

–1

f(x) fonksiyonun grafiği;

y = x 2 3x - 4 (x - 4) (x + 1) = y x x

-44 +1

x = 4 ve x = –1

apsisli noktalarda x eksenini y = –4 noktasındada y eksenini keser.

O

4

x

–2

-4

f(x + 1) ise f(x) fonksiyonunun 1 birim sola ötelenmiş halidir. Yani;

O

3

x

olmalıdır.


169


6. BÖLÜM

A(–k, O) olsun Bu durumda |O A | = k y

A

A)

2 B) 3 C) 2 3 D) 2 3 6 6 3

ABCD

kare

olduğundan

dinatları (–k, k) olur. Karenin alanı; k 2 = 18 k = 18 = 3 2

x

O

ve

|AC| = k birim olur. Yani C noktasının koor-

Karenin alanı 18 br2 olduğuna göre, m kaçtır?

B

C

birim

Şekilde y = mx2 parabolü ile AOBC karesi verilmiştir.

y = mx2

o halde C(– 3 2 , 3 2 )’dir. Bu durumda C

3 2

noktası parabolün denklemini sağlayacağından;

y = f(x) parabolünde,

f(0) = f(4)

f(–2) = f(m)

olduğuna göre, m kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7 Y

x = –2 noktası x = 0 noktasının 2 birim

y = f(x)

solunda ise bu noktanın ordinatına eşit olan diğer nokta x = 4 noktasının 2 birim sağında olmalıdır. Yani x = 6 noktasıdır.

- 2-2 O

-2 4 6

X

y

►

r O f(r)

a > 0 için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu en x

küçük değerini tepe noktasında alır.

T(r, k) y T(r, k)

f(r)

►

a < 0 için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu en r O

x

büyük değerini tepe noktasında alır.

Aşağıda verilen fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. ► f(x) = x2 – 4x – 5 -4 T(r, k) ⇒ r = – = 2 , k = f(2) 2 parabolün en küçük değeri –9 dur.

170


22 – 4 . 2 – 5 = –9

y = mx2 ⇒ 3 2 = m(–3 2 )2

m =

2 6

bulunur.


6. BÖLÜM ►

f(x) = –x2 + 6x + 2 -6 T(r, k) ⇒ r = – = - 3 , k = f(–3) = –(–3)2 + 6 . (–3) + 2 = –25 -2 parabolün en büyük değeri –25’tir.

► f(x) = 2x2 + 4x + 6 ►

4 = - 1 , k = f(–1) = 2 . (–1)2 + 4 . (– 1) + 6 = 4 4 parabolün en küçük değeri 4’tür.

T(r, k) ⇒ r = -

f(x) = 4 – x2 0 = 0 , k = f(0) = 4 -2 parabolün en büyük değeri 4’tür. T(r, k) ⇒ r = –

► f(x) = x2 – 4x + 5 ►

Parabol

-4 = 2 , k = f(2) = 22 – 4 . (2) + 5 2 parabolün en küçük değeri 1’dir. T(r, k) ⇒ r = –

en

küçük

değerini

tepe

nok-

tasında alır. Yani f(3) = –1’dir. Ayrıca x = 3 simetri ekseni ise r = 3’tür. a =3 2 a = - 6 ve

r=-

f(x) = 8x – x2 8 = 4 , k = f(4) = 8 . 4 – 42 = 16 -2 parabolün en büyük değeri 16’dır.

T(r, k) ⇒ r = –

f (3) = - 1 & 3 2 - 6.3 + b + 4 = - 1 9 - 18 + + b + 4 = - 1 b+4 = 8

f(x) =

x2

b = 4 bulunur. f (b) = f (4)

+ ax + b + 4

parabolünün simetri ekseni x = 3 doğrusu ve alabileceği en küçük değer –1 olduğuna göre, f(b) kaçtır? B) –1

A) –6

C) 0

D) 6

E) 10

& 4 2 - 6.4 + 8 & 16 - 24 + 8 = 0 bulunur.

(A – B) farkının en az olması için A’nın en

A = x2 + 6x + 1

B = –x2 + 6x + 8

küçük B’nin ise en büyük değerini alması gerekir.

parabolü veriliyor. Buna göre, A – B farkının en küçük değeri kaçtır? B) –7

A) –25

C) 1

D) 16

E) 21

6 =-3 2 k = f(–3) = (–3)2 + 6.(–3) + 1

min(A) ⇒ T(r, k) ⇒ r =

= 9 – 18 + 1 = –8’dir.

6 =3 -2 k = f(3) = –32 + 6 . 3 + 8

maks(B) ⇒ T(r, k) ⇒ r = – ►

f : [a, b] → R

f(x) = ax2 + bx + c parabolünün en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için f(a), f(b) ve eğer r∈[a, b] ise f(r) değerlerine bakılır. Bu değerlerden en büyük ve en küçük olanlar seçilir.

= –9 + 18 + 8

= 17 olur.

min(A – B) = –8 – 17 = –25


171


6. BÖLÜM

Aşağıda verilen fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. ► f: [–2, 3] → R

► f: [1, 2] → R

f(x) = x2 – 4x – 12

f(x) = 2x2 – 2x – 4

-4 = 2 ve 2t (- 2, 3) 2 olduğundan en küçük değerdir.

1 -2 1 ve d61, 2@ oldu= 4 2 2 ğundan

f(2)= 22 – 42. 2 – 12 = –16

f(1)=2 . (1)2 – 2 . 1 – 4 = –4

r=-

r =

f(2) = 2 . (2)2 – 2 . 2 – 4 = 0

f(3) = (3)2 – 4 . 3 – 12 = 9 en büyük değerdir.

f(x) =

–x2

en büyük değerdir.

► f: [–1, 2] → R

en küçük değerdir.

f(–2) = (–2)2 – 4(–2) – 12 = 0

► f:[2, 4] → R

+ x + 6

1 1 1 ve d 6- 1, 2@ = 2 2 2 olduğundan

r=-

r=-

1 1 2 1 o = -e o +e o+ 6 2 2 2 1 1 25 &- + + 6 = 4 2 4 f (- 1) = - (- 1) 2 + (- 1) + 6 = 4 f (2) = - (2) + 2 + 6 = 4

-2 = 1 ve - 1d62, 4@ 2

olduğundan

fe

2

f(x) = x2 – 2x + 4

f(2) = 22 – 2 . 2 + 4 = 4 en küçük değer.

4

f(4) = 42 – 2 . 4 + 4 = 12 en büyük değer.

en küçük değerdir.

y = a . (x – (–4)). (x – 1) ⇒ y = a . (x + 4) . (x – 1)

ayrıca x = 0 için y = –8 olduğundan,

–8 = a . (0 + 4) . (0 – 1)

–8 = –4a

a = 2’dir. Yani

Grafiği Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması

1. Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün denklemi

►

y

x1

O

x2

y = 2(x + 4) (x – 1) = 2x2 + 6x – 8 olur. y

y = a . (x – x1) (x – x2)

x

-3

O

3

x

-9

y = a . (x – (–3)) . (x – 3)

y = a . (x + 3) (x – 3)

Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz.

►

–9 = a. (0 + 3) (0 – 3)

–9 = –9a

y

-4

O

1

x

-8

172


ayrıca x = 0 için y = –9 olduğundan

a = 1’dir. Yani

y = 1(x + 3) (x – 3)

y = x2 – 9 olur.


6. BÖLÜM ►

y

O

3

4

x

-12

y = a . (x – 3) (x – 4)

ayrıca x = 0 için y = –12 olduğundan

–12 = a . (0 – 3) (0 – 4)

⇒ –12 = 12a

a = – 1’dir. Yani

y = –1(x – 3) (x – 4)

= –x2 + 7x – 12

2. Tepe noktası bilinen parabolün denklemi; y

r O

y = a . (x –r)2 + k

x

f(r) T(r, k)

Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz. ►

y

13 1 O

x

2

►

y T(-2, 10)

10 8

-2

x

O

►

y

8 -2

O

x

T(2, 1) ⇒ y = a . (x – 2)2 + 1 ayrıca

x = 0 için y = 13 olduğundan

13 = a . (0 – 2)2 + 1 ⇒ a = 3 olur.

y = 3 (x – 2)2 + 1 = 3x2 – 12x + 13 bulunur.

T(–2, 10) ⇒ y = a . (x – (–2))2 + 10 ⇒ y = a(x + 2)2 + 10

ayrıca x = 0 için, y = 8 olduğundan

8 = a . (x + 2)2 + 10

–2 = 4a

1 a = - 2

1 . (x 2 + 4x + 4) + 10 2 1 y = - x 2 - 2x + 8 2 y=-

T(–2, 0) ⇒ y = a . (x –(–2))2 + 0 ⇒ y = a . (x + 2)2

ayrıca x = 0 için y = 8 olduğundan

8 = a . (0 + 2)2

8 = 4a

a = 2

y = 2(x + 2)2 = 2x2 + 8x + 8 bulunur.


173


6. BÖLÜM

T(4, 8) ⇒ y = a(x –4)2 + 8 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,

y

f(6) kaçtır?

8 (5, 7)

x

4

O

A) –8

B) –4

C) 2

D) 4

E) 6

ayrıca parabol (5, 7) noktasından geçtiğinden f(5) = 7 olmalıdır.

f(5) = a. (5 – 4)2 + 8 = 7

7 = a + 8

a = –1 bulunur.

f(x) = –(x – 4)2 + 8

f(6) = –(6 – 4)2 + 8

= –4 + 8 = 4 olur.

f(x) = a . (x – (–5)) . (x – 1) y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, taralı üçgenin alanının en büyük değeri kaçtır?

5 A

O

-5

A) 18

1

x

B) 27

C) 36

D) 42

E) 54

= a . (x + 5) . (x – 1) ayrıca

x = 0 için y = 5 olduğundan

5 = a . (5) . (–1)

a = –1 bulunur.

f(x) = –(x + 5) (x – 1) = –x2 – 4x + 5 ayrıca üçgenin alanının en çok olabilmesi için üçgenin yükseklik değerinin büyük

Tepe noktası (–1, 2) olan ve (0, 6) noktasından geçen parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

seçilmesi gerekir. Buna göre, A noktası tepe noktasından seçilirse

-4 = r = –2 -2

E) 3

T(r, k) ⇒ r = –

T(–1, 2) ⇒ y = a(x + 1)2 + 2 ayrıca x = 0 için y = 6 olacağından

k = f(–2) = –(–2)2 – 4(–2) + 5

A) –2

B) –1

6 = a(1) + 2

a = 4 olur.

C) 1

D) 2

y = 4(x + 1)2 + 2 ⇒ 4x2 + 8x + 6 = y bulunur.

Soruda istenen apsisler toplamı kökler toplamıdır.

x1 + x2 = –

b a

= –

8 = - 2 4

Buna göre, |OT| uzunluğu kaç birimdir? T

A) 2

174

T(r, k) için

y = a(x – r)2 + k olduğundan grafiği verilen parabolün tepe noktası T(3, 4)’tür.

B) 5

olur.

T(3,4) noktasının orijine uzaklığı;

x

O

2 9.6 = = 27 2

bulunur.

Şekilde y = 2(x – 3)2 + 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y

Alan =

= –4 + 8 + 5 = 9 yükseklik x taban

C) 7


D) 8

E) 10

|OT| =

32 + 42 = 5

bulunur.


6. BÖLÜM

(0, 0) ve B noktası parabol ile doğrunun kesişim noktalarıdır. B nokasının koordinatŞekilde y = x2 parabolü ve y = –4x doğrusu verilmiştir. Buna

y

göre A(OABC) kaç br2 dir?

y = x2

C

B

A

x2 = –4x ⇒ x2 + 4x = 0

x

O

x = 0

y = -4x

A) 16

larını bulmak için ortak çözüm yapılırsa;

x(x + 4) = 0

x = –4 kesişim noktalarının apsisleridir.

x = –4 için;

B) 24

C) 36

D) 48

E) 64

y = x2 ⇒ y = (–4)2= 16 olur.

Yani B(–4, 16)’dır.

A(OABC) = 4 . 16 = 64 bulunur.

y = mx2 – 5x – 2

y = x2 – 3x + 2

parabollerinin kesim noktalarından birinin apsisi 3 olduğuna göre, m kaçtır? B) 19 C) 5 9 3

A) 2

D) 5

E) 19 3

İki parabolün kesim noktası apsisi x = 3 noktasında aynı y değerine sahip olmalılar.

m(3)2 – 5 . 3 – 2 = 32 – 3 . 3 + 2

9m – 15 – 2 = 9 – 9 + 2

qm = 19

m =

19 bulunur. 9 y

►

ax2 bx2 cx2

Katsayı büyüdükçe parabolün kolları x

O

daralır. a>b>c Parabollerin kollarının yönünde

Şekilde y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 parabolleri verilmiştir.

y

Buna göre, a, b ve c arasındaki sıralama aşağıdakilerden

ax2

hangisidir? x

O

a > 0

b < 0

c < 0

ayrıca cx2 parabolünün kolları daha dar olduğundan

cx2 bx2

A) a

B) c
C) b
D) c
E) b

c < b < a

olur.


175


6. BÖLÜM

Kolların yönünden, Şekilde verilenlere göre,

y y = ax2

y = bx2

|c – d| + |d – b| + |a – b| + |a – c| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

x

O

y = cx2

A) 2a–2c

a > 0

b > 0

c > 0

d < 0

ayrıca kolların daralmasına yöne;

y = dx2

B) –c

C) 2a

D) –2d – 2c

c < d < b < a

olmalı. Bu durumda

E) b

|c – d| + |d – b| + |a – b| + |a – c|

–c + d – d + b + a – b + a – c = 2a – 2c olur. Alan = x(7 – x)

7–x x

Çevresi 14 birim olan dikdörtgenin alanının en büyük değeri kaçtır? A) 10

B) 12

C) 49 D) 63 4 4

x

E) 49

Alan

fonk-

siyonu

ikinci

dereceden

bir

fonksiyon yani

7–x

paraboldür.

Parabol en büyük değerini tepe noktasında alcağından, Kenar uzunlukları (x+8) cm ve (4 – x) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç A) 16

B) 28

C) 32

D) 36

cm2’dir?

E) 44

y = –x2 + 7x

T(r, k) ⇒ r = –

Alan = (x + 8) . (4 – x) k = fe

= –x2 – 4x + 32

7 7 = 2 2 -

7 49 49 49 bulunur. = + o=2 4 2 4

Alan fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyondur. O halde en büyük değerini tepe noktasında alacaktır. T(r, k) ⇒ r = –

-4 =-2 -2

f(–2) = –(–2)2 –4(–2) + 32

= 36 olur. Kar = satış – alış = y – x ⇒ x2 – 11x + 64 – x

⇒ Kar fonksiyonu = x2 – 12x + 64 olur.

Maliyeti ¨x olan bir mal ÿ’ye satılıyor.

Kar fonksiyonunun en küçük değeri tepe

x ile y arasında,

noktasındadır.

y = x2 – 11x + 64

bağıntısı olduğuna göre, bu satıştan elde edilecek kârın en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 28

176

T(r, k) ⇒ r = –

B) 36

C) 42


D) 56

E) 64

- 12 =6 2

k = f(6) = 62 – 12 . 6 + 64

= 36 – 72 + 64 = 28 bulunur.


6. BÖLÜM


2x2 – (2m + 4)x + 2n – 4 = 0

rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 4 +

6 olduğuna

göre, (m + n) kaçtır? A) 6

B) 9

C) 12

Köklerden biri 4 +

x1 + x 2 = -

2n - 4 = (4 + 6 ) . (4 2 n - 2 = 10

6 ise diğeri 4 –

- (2m + 4) = (4 2

n = 12'dir.

E) 24

6 ’dır.

6 ) + (4 + 6 )

x1 .x 2 =

2.

D) 18

2m + 4 = 8 ve m = 6 2

_ 6 )b b ` m + n = 6 + 12 = 18 olur. b b a

Aritmetik

eşittir. O halde denklemin eşit iki kökü

denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit

vardır. Bu da ∆ = 0 olmasıyla mümkündür.

olduğuna göre, m kaç olabilir? B) –2

C) 0

D) 2

E) 8

∆ = (–m)2 – 4. 1 . 16 = 0 ⇒ m2 = 64

3.

x2 – (m + 4)x + 48 = 0

denkleminin kökleri 3 ve 4 ile orantılıdır. Buna göre, m’nin alabileceği değerler

toplamı kaçtır? A) –18

B) –14

C) –8

D) 10

E) 14

4.

x2 + 8x – 3 = 0

denkleminin bir kökü a’dır. Buna göre, (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) kaçtır?

A) 105

B) 144

C) 165

D) 176

E) 180

(a + 1)(a + 7)(a + 3)(a + 5) = (a2 + 8a + 7) (a2 + 8a + 15) olur. Ve

a, x2 + 8x – 3 = 0 denkleminin kökü ise, bu denklemi sağlamalıdır.

O halde

a2 + 8a – 3 = 0 a2 + 8a = 3

geometrik

ortalamasına eşit olan sayılar birbirine

x2 – mx + 16 = 0

A) –4

ortalaması,

m = –8 veya m = 8 olabilir.

48 _ x1 = 3k b x1 .x 2 = = (3k) . (4k) 1 b x 2 = 4k b 48 = 12k 2 ` bk2 = 4 bb a k = 2 veya k = - 2 olur.

k = 2 için x1 = 6

4 x1 + x 2 =

x2 = 8

m + 4 = 14 m = 10

k = –2 için x1 = - 6

4 x1 + x 2 = m + 4 = - 14 x2 = - 8 m = - 18 olabilir.

m’in

alabileceği

değerler

toplamı

10 + (–18) = –8 bulunur.

olur.

(a 2 + 8a + 7) . (a 2 + 8a + 15) = (3 + 7) . (3 + 15) 1442443 1442443 3

3

= 10.18 = 180

bulunur.


177


6. BÖLÜM 5.

∆ = (–8)2 – 4 . 1 . 4 ⇒ 64 – 16

x2 – 8x + 4 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

Buna göre, A)

⇒ 48 8-

x1 değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

3 - 1 B)

3-

2 C)

3

D) 2 3

E) 1– 3

x1, 2 =

-b" T 2a

8+

6.

F

E

D

x1 =

2

2

48

48

4 - 2 3 veya

A

B

3 - 1 veya

= 4+2 3

x1 =

olur.

⇒ x1 =

= 4-2 3

x1 =

4+2 3

3 + 1 olur.

C

ACDF kare olmak üzere |ED| = 4 br ve Alan(ABEF) = 32br2 olduğuna göre, |AB| kaç br’dir? A) 1

B) 2

_ b 4 b b b b bb 4+x ` b b b b b b B 4 C a

F

E

4+x

A

C) 3

x

D

D) 4

E) 5

Alan(ABEF) = x . (4 + x) = 32 ⇒ x2 + 4x = 32 ⇒ x2 + 4x – 32 = 0 x –4

x

+8

x – 4 = 0 veya (x + 8) = 0 x = 4 veya x= –8 x = –8 olamayacağından x = 4’tür. |AB| = 4 bulunur.

7.

H

|AE| = (x + 1)br, |AD| = (x + 2)br, |AB| = x2 + 3x + 3 br dir.

Prizmanın hacmi 420 A) 2

178

B

Şekildeki dikdörtgenler prizmasında,

B) 3

br3

⇒

olduğuna göre, x kaçtır? C) 4


D) 5

(x + 2) . (x + 1) (x2 + 3x + 3) = 420

20

C

A

Prizmanın hacmi: yükseklik x taban alanı

(x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x + 3) = 420 1444 424443 1444 424443

F

E D

C

E) 6

21

x2 + 3x + 2 = 20

x2 +3x – 18 = 0 x –3 x +6

(x – 3)(x + 6) = 0

x=3

x = –6 olamayacağından x = 3’tür.

veya x = –6


6. BÖLÜM 8.

y

-1

x

O


y = f(x + 3) parabolü y = f(x) para-

Buna göre, y = f(x+3) parabolünün simetri

bolünün 3 birim sola ötelenmişidir.

ekseni aşağıdakilerden hangisidir?

y = f(x)’in grafiğinde simetri ekse-

-3

ni x = –1 doğrusu ise 3 birim sola

-4

ötelediğimizde f(x + 3) parabolünün simetri ekseni x = –4 doğrusu olur.

A) x=–4

B) x=–3

C) x=–1

y

9.

y=x B

O

A) 1 27

y = 3x2 parabolü ile y = x doğrusunun grafiklerinin kesişme noktaları; 3x2 = x ⇒ 3x2 – x = 0 x(3x – 1) = 0 1 x = 0 ve x = ’tür. 3 1 Ohalde A( , 0)’dır. 3 1 1 B = c , m ’tür. 3 3

E) x=3

Şekilde y = 3x2 parabolü ve y = x doğrusunun

y=3x2 C

D) x=2

grafikleri verilmiştir. Buna göre OABC karesinin alanı kaç br2 dir?

x

A

B) 1 C) 1 9 3

D) 1

Alan =

1 1 1 bulunur. . = 3 3 9

Parabolün simetri ekseni x = 2 doğrusu ise, parabol x = 2 doğrusuna eşit uzaklıktaki her noktada aynı değere sahiptir.

E) 3

x = –3 noktası simetri eksenine 5 birim

10.

y

Şekilde simetri ekseni x = 2 doğrusu olan y = f(x)

uzaklıkta ve –7 değerine sahipse x = 7 de

parabolü verilmiştir.

simetri eksenine 5 birim uzaklıkta olduğundan aynı değere sahip olmalıdır.

f(–3) = –7 olduğuna göre f(7) kaçtır?

f(7) = –7 bulunur.

x

2

O

y = x2 – 2x + 1 parabolünün grafiği;

y = f(x)

y

A) –12

B) –7

C) –5

D) –3

E) –2

-1

1

x

biçimindedir.

11.

Bu fonksiyonun orijine göre simetriği y

y = x2 – 2x + 1 -1

parabolünün orjine göre simetriği olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y=–x2+2x – 1

B) y=x2 + 2x – 1

D) y=–x2 – 2x + 1

E) y=x2 – 2x + 1

C) y=–x2 – 2x – 1

-1

x

şeklinde olmalıdır. Tepe noktası bilinen parabol denkleminden;

y = a(x + 1)2

x = 0 için y = –1 olduğundan a = –1

y = –x2 – 2x – 1 olur.


179

Polinomlar

7. BÖLÜM POLİNOM Tanım: a0, a1, a2, ..., an gerçek sayılar ve n doğal sayı olmak üzere,

P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x1 + a0x0

biçiminde tanımlanan fonksiyonlara reel katsayılı n’inci dereceden x değişkenine bağlı polinom denir.  a0, a1, a2, ..., an gerçel sayılarına katsayı denir.  x’in en büyük kuvvetine polinomun derecesi denir. der(P(x) ile gösterilir.  Derecesi en büyük terimin katsayısına başkatsayı denir.

Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi polinom belirtir? a. P(x) = 3x + 4 d. P(x) = 2 x + 2 b. P(x) =

x2

+4

e. P(x) = x2 + 2 x

c. P(x) = –5 A) 3

f. P(x) = x B) 4

2

g. P(x) = x - 2x + 1 x+ 1

polinom belirtmez.

h. P(x) = x - 4 x- 2 D) 6

f

Aşağıdaki polinomların derecelerini ve başkatsayılarını bulunuz? ► P(x) = 3x2 + x – 5 Başkatsayı: 3,

der(p(x) = 2

► P(x) = 2x3 + x6 + 9x4

Başkatsayı = 1,

► P(x) = (2x +

der(p(x)) = 6

1)2

4x2 + 4x + 1

Başkatsayı = 4,

der(p(x)) = 2

► P(x) = (3x – 1)2 . (x2 + 4)

Başkatsayı = 9,

der(p(x)) = 4

P(x) = xn–3 + x8–n + 2x + 5

ifadesinin polinom olabilmesi için n’nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

İfadesinin polinom olabilmesi için kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.

0 # n-3

3#n ve n#8 144444424444443

180

ve

0 #8-n

3#n#8

ve [3, 8] aralığında 6 tane tamsayı vardır.


şıkkında

x

2

ve

2

1 dN olduğundan 2

dN

olduğundan

polinom belirtmez.

E) 7 g

1

x = x 2 dir.

2

+x+1

C) 5

2

e şıkkında

şıkkında

paydada

sadeleşemeyen

olduğundan polinom belirtmez.

x

Polinomlar

7. BÖLÜM

0 ≤ 8 – n ve

P(x) = x8–n + 3x

24 n

Buna göre, n, 24’ü tam bölen bir sayı

+5

ifadesi bir polinom olduğuna göre, P(x) polinomun derecesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 21

B) 33

P(x) = x

n + 14 n

C) 50

D) 57

E) 60

n 10 + x - - 5x + 4

polinomunun derecesi kaçtır? A) 2

B) 3

p(x) = x

lıdır. P(x) =

C) 4

14 n - 10 +x n

1+

P(x) = (m – 3)

x2

+

24 єN olmalıdır. n

x4

D) 6

E) 15

5x + 4 ifadenin polinom belirtmesi için n = 14 olma-

– 5x + 4 olur. der(p(x)) = 4 bulunur.

olmalıdır. Ancak 8 den büyük olmamalıdır n = 1 için p(x) = x7 + 3x24 + 5 = 24

der(p(x))

n = 3 için p(x) = x5 + 3x8 + 5 = 8

der(p(x))

n = 6 için p(x) = x2 + 3x4 + 5 = 4

der(p(x))

n = 2 için p(x) = x6 + 3x12 + 5 = 12

der(p(x))

n = 4 için p(x) = x4 + 3x6 + 5 = 6

der(p(x))

n = 8 için p(x) = x0 + 3x3 + 5 = 3 olur.

der(p(x))

24 + 12 + 8 + 6 + 4 + 3 = 57

x +(n + 2)x–5 + 4x + 1

ifadesi polinom belirttiğine göre, m + n kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x ve x- 5 terimleri doğal sayı kuvvetlere sahip olmadığı için

p(x) polinom ise

bulunmamalı. O halde

m-3 = 0

ve

m= 3

der(P(x)) = 3

der(Q(x)) = 4

n+2 = 0 n=-2

4 m + n = 3 + (- 2) = 1

olduğuna göre, aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz? ► P(x) . Q(x)

3 + 4 =7

► P(x) + Q(x) maks(3, 4) = 4 Q (x) ► P (x)

4 – 3 =1

► P(3x + 2)

3


181

Polinomlar

7. BÖLÜM ► P(x2) 3 . 2 =6

► Q2(x) 4 . 2 = 8

► P2(x3)

3 . 2 . 3 = 18

P(x) = (2x2 – x + 1)3

Q(x) = (x + 1) . (x2 – 2x – 1)2

4

der (p (x)) = 6 der (Q (x)) = 5

olduğuna göre, aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz? ► P(x) – Q(x)

maks(5, 6) = 6

►

P2 (x) Q (x)

2 . 6 – 5 =7

► P2(2x)

2 . 6 = 12

der(P(x) . Q(x)) = 11 P ( x) der e o =5 Q ( x) olduğuna göre, der(P2(x + 1)) kaçtır? A) 5

B) 10

der (p (x)) = m der (Q (x)) = n

C) 12

4 olsun.

der(p(x)) . der(Q(x)) = m + n = 11 der f

p (x) p= m-n = 5 Q (x)

m + n = 11

m – n = 5 + __________________

2m = 16

m = 8

n = 3 bulunur.

der(p2(x + 1)) = 2 . 8 = 16 olur.

182


D) 13

E) 16

Polinomlar

7. BÖLÜM 15

P(x) = (n – 2)x6 + 2 x n + 3 + 3

polinomu veriliyor.

der(P(x)) = 6

olduğuna göre, n tamsayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

n + 3 = 15 ⇒ n = 12 ⇒ p(x) = 10x6 + 2x + 3 ⇒ der(p(x)) = 6 n + 3 =5

⇒ n = 2

⇒ p(x) = 2x3 + 3 ⇒ der(p(x)) = 3

n + 3 =3

⇒ n = 0

⇒ p(x) = –x6 + 2x5 + 3 ⇒(p(x)) = 6

n + 3 = 1

⇒ n = –2 ⇒ p(x) = –4x6 + 2x15 + 3 ⇒ der(p(x)) = 15

o halde n = 12 veya n = 0 12 + 0 = 12 olur.

P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x1 + a0x0

polinomunda; ► Katsayılar toplamını bulmak için x yerine 1 yazılır. ► Sabit terimi bulmak için x yerine 0 yazılır.

P(x) = 5x3 – 3x2 + 4x – 5

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 1

B) 3

C) 7

D) 9

E) 11

D) 2

E) 3

p(1) = 5 . 13 – 3 . 12 + 4 . 1 – 5

=5 – 3 + 4 – 5 = 1

P(x) = (x2 – 2x + 1)20 . (x3 – 3x + 3)

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

p(1) = (12 – 2 . 1 + 1)20 . (13 – 3 + 3)

= 0 . 1

= 0


183

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) = x3 – 2x + 3

olduğuna göre, P(x + 1) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

p(x + 1) polinomunda x yerine sıfır yazılırsa p(1) soruluyor. Verilen polinomda x = 1 için;

p(1) = 13 – 2 . 1 + 3 = 1 – 2 + 3 = 2 olur.

P(x + 1) = 2x2 – x + 4

olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

p(x) polinomun sabit terimi p(0)’dır. p(x + 1) polinomunda x = –1 için; p(0) = 2 . (–1)2 – (–1) + 4 = 2 + 1 + 4 = 7 olur.

P(x + 1) = x3 + 2x2 – 3x + 1

polinomu veriliyor. P(2x + 3) polinomunun katsayılar toplamı m, sabit terimi n olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 11

B) 38

C) 64

D) 85

E) 96

p(2x + 3) polinomunun katsayılar toplamı x = 1 için p(5), sabit terimi ise x = 0 için p(3)’tür. Verilen p(x + 1) polinomunda x = 4 yazılırsa;

p(5) = 64 + 32 – 12 + 1 = 85

x = 2 yazılırsa

p(3) = 8 + 8 – 6 + 1 = 11

bulunur. Bu durumda m = 85 ve n = 11’dir. 85 + 11 = 96 olur. p(x + 2)’nin katsayılar toplamı 9 ise p(3) = 9 Q(2x – 3) polinomunun sabit terimi Q(–3)’tür.

P(x + 2) = 2x + 3 + Q(x – 4)

p(x + 2) = 2x + 3 + Q(x – 4) ifadesinde x = 1 için;

P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamı 9 olduğuna göre, Q(2x – 3) polinomunun

p(1 + 2) = 2 . 1 + 3 + Q(1 – 4)

sabit terimi kaçtır?

p(3) = 2 + 3 + Q(–3)

9 = 5 + Q(–3)

4 = Q(–3) bulunur.

A) 1

184

B) 2

C) 3


D) 4

E) 5

Polinomlar

7. BÖLÜM

p(x + 2) polinomunun sabit terimi x = 0 için;

P(x + 2) = 3x3 – 4x + a + 1

polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, P(2x + 4) polinomuna sabit terimi kaçtır? A) 19

B) 21

C) 24

D) 27

E) 37

p(2) = a + 1 = 5 ⇒ a = 4’tür.

Yani p(x + 2) = 3x3 – 4x + 5 olur. p(2x + 4) polinomunun sabit terimi x = 0 için p(4)’tür. p(x + 2) polinomunda x yerine 2 yazılırsa;

p(4) = 3 . 23 – 4 . 2 + 5 = 24 – 8 + 5 = 21 olur.

Bir P(x) polinomunun ► Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı; P (1) + P (- 1) 2 ► Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı; P ( 1) - P ( - 1) 2

P(x) = (x3 – 3x + 1)2

polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

p (1) + p (- 1) p (1) = (13 - 3.1 + 1) 2 1+9 & 4 2 =5 2 3 2 p (- 1) = ((- 1) - 3 (- 1) + 1)

P(x – 2) polinomunun katsayılar toplamı –8,

P(x + 1) polinomunun sabit terimi 14

E) 5

olur.

olduğuna göre, P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır? A) 3

B) 6

C) 8

D) 11

E) 16

p(x – 2) polinomunun katsayılar toplamı x = 1 için; p(–1) = –8 p(x + 1) polinomunun sabit terimi x = 0 için; p(1) = 14 tek dereceli terimlerin ⇒ p (1) - p (- 1) 14 - (- 8) 11 = = 2 2 katsayılar toplamı

olur.


185

Polinomlar

7. BÖLÜM P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... +a1x1 + a0 ► P(x) = 0 ise P(x) sıfır polinomudur. ► P(x) = c ise P(x) sabit polinomdur (c∈R).

P(x) = (m + 1)x3 + (n – 2)x + m + 2n + 1

P(x) sabit polinom olduğuna göre, P(m) + P(n) kaçtır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

p(x) sabit polinom ise x’li terim olmamalıdır. O halde m+1 = 0 n-2 = 0 ve m=-1 n= 2

olmalı. Bu durumda; p (x) = - 1 + 2.2 + 1 p (m) = 4 4 44 + 4 = 8 p (x) = 4 p (n) = 4

P(x) = (a – 1)x5 + (a + b – 3)x2 + c – 4

P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) –1

B) 2

C) 3

D) 7

E) 8

p(x) sıfır polinomu ise p(x) = 0 olmalıdır. Yani a+b-3 = 0

a-1 = 0 a= 1 ,

1 + b - 3 = 0 ve

c-4 = 0 c= 4

b= 2 144444444444 44244444444444443 a+b+c = 1+2+4 = 7 bulunur.

2

P(x) = ax 2 - bx + 2 2x + 3x - 1

P(x) sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –4

B) –2

p(x) sabit polinom ise

C) 2 a 2 -b dir. = = 2 3 -1

b a =-2 - =-2 2 3 a=-4 b= 6 144444424444443 a+b =-4+6 = 2 bulunur.

186


D) 6

E) 10

Polinomlar

7. BÖLÜM

p(x) sabit polinom ise x’li terim bulunmamalıdır. Bunun için ya x’li terimin kuvveti

P(x) = (m + n – 2)xm + n + m + n – 4

sıfır olmalı ya da katsayısı sıfır olmalıdır. 1. durum

polinomu sabit polinom olduğuna göre P(m + n) kaç olabilir? A) –5

B) –4

C) –2

D) 1

E) 2

m + n = 0 olsun

p(x) = (0 –2)x0 + 0 – 4 ⇒ p(x) = –2 – 4 = –6 p(m + n) = p(0) = –6 olur.

P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x1 + a0

Q(x) = bnxn + bn–1xn–1 + ... + b1x1 + b0

2. durum

P(x) = Q(x) ise aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

m + n = 2 olsun

p(x) = (2 – 2)x2 + 2 – 4 ⇒ p(x) = –2 p(m + n) = p(2) = –2 olur.

an = bn, an–1 = bn–1, ..., a1 = b1, a0 = b0

P(x) = (a – 1)x3 + 2x2 + cx + 2

Q(x) = x3 + (b + 1)x2 + 2

P(x) = Q(x) olduğuna göre, a . b . c çarpımı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

p(x) = Q(x) ⇒ (a – 1)x3 + 2x2 + cx + 2 = x3 + (b + 1)x2 + 0x + 2 2=b+1 a–1=1 c = 0

a - 1 = 1, a= 2

b + 1 = 2,

c= 0

b= 1

4 a.b.c = 2.1.0 = 0 olur.

(a – 2)x3 – (b – 4)x = ax + b + c

eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre a + b + c toplamı kaçtır? A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

a-2 = 0 _ b b a= 2 b b b -b+4 = ab b - b + 4 = 2b ` a + b + c = 2 + 2 + (- 2) = 2 olur. b= 2 b b b b b+c = 0 b 2+c = 0 b b b c=-2 a


187

Polinomlar

7. BÖLÜM ax3 + bx2 + cx + d 2x2 1 = x+ 1

eşitliğini sağlayan a, b, c tamsayıları için a + b + c + d toplamı kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

E) 6

ax3 + bx2 + cx + d = (x + 1) . (2x2 – 1) ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 + 2x2 – x – 1 a = 2, b = 2, c = –1, d = –1 } a + b + c + d = 2 + 2 + (-1) + (–1)

= 2

2x + 4 A B = + (x - 1) (x - 3) x - 1 x - 3

olduğuna göre, A . B çarpımının değeri kaçtır? A) –15

B) –3

C) 3

D) 5

E) 15

2x + 4 A (x - 3) + B (x - 1) = (x - 1) (x - 3) (x - 1) (x - 3) 2x + 4 = A(x – 3) + B(x – 1) ⇒ 2x + 4 = Ax + Bx – 3A – B 2x + 4 = (A + B)x – 3A – B A=-3 4 A.B = (- 3) .5 = - 15 olur. B= 5

4

A+B = 2

- 3A - B = 4

P(x) = 2x2 + 3x – 5

olduğuna göre, P(1) kaçtır? A) 0

B) 1

C) 4

D) 7

E) 10

C) –3

D) 5

E) 13

p(1) = 2 . (1)2 + 3 . 1 – 5

=2 + 3 – 5 = 0

P(x – 1) = 2x2 – 8x – 3

olduğuna göre, P(3) kaçtır? A) –19

B) –11

p(x–1) = 2x2 – 8x – 3

x = 4 için ⇒ P(3) = 2 . (4)2 – 8 . 4 – 3

188

= 32 – 32 – 3 = -3 olur.


Polinomlar

7. BÖLÜM

P(1 – 3x) = 2x2 + x + a

polinomu veriliyor.

P(4) = 5


B) 2

C) 4

D) 5

E) 8

p(1 – 3x) = 2x2 + x + a

x = (–1) için ⇒ p(1 – 3(–1)) = 2(–1)2 + (–1) + a

p(4) = 2 – 1 + a

5 = 1 + a ⇒ a = 4 olur.

P(x3 + x) = 3x3 + 3x + 3 polinomu veriliyor. Buna göre, P(4) kaçtır? A) 4

B) 5

C) 9

D) 12

E) 15

p(x3 + x) = 3(x3 + x) + 3 p(x) = 3x + 3 p(4) = 3 . 4 + 3 ⇒ p(4) = 12 + 3 = 15 olur.

P(x – 1) = x2 + 2x – 3

olduğuna göre, P(2x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x2 – 8x + 4

B) x2 + 4x + 4 D) 2x2 + 4x – 4

E) 4x2 – 8x

p(x – 1) = x2 + 2x – 3

x yerine 2x + 1 yazarsak

p(2x + 1 – 1) = (2x + 1)2 + 2(2x + 1) – 3

p(2x) = 4x2 + 4x + 1 + 4x + 2 – 3

C) 4x2 + 8x

= 4x2 + 8x olur.

P(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 4

olduğuna göre, P( 3 13 - 1, 1) kaçtır? A) 4

B) 5

C) 9

D) 13

E) 17

p(x, y) = (x + y)3 – 4 p( 3 13 - 1, 1) = (3 13 - 1 + 1) 3 - 4 3

= a 3 13 k - 4 = 13 - 4

= 9 olur.


189

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) = x3 + 2x – 5

olduğuna göre, P(2x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x3 + 4x – 5

B) 8x3 + 2x – 5 D) 4x3 – 2x – 5

C) 8x3 + 4x – 5 E) 2x3 + 4x + 5

p(x) = x3 + 2x – 5 p(2x) = (2x)3 + 2(2x) – 5

= 8x3 + 4x – 5

P(x – 1) = x2 + 3

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 4

B) x2 – 2x + 4 D) x2 + 2x + 2

C) x2 – 2x + 2 E) x2 + 2x – 4

p(x – 1) = x2 + 3 x yerine (x + 1) yazarsak ⇒ p(x + 1 – 1) = (x + 1)2 + 3

p(x) = x2 + 2x + 1 + 3

= x2 + 2x + 4

Polinomlarda Dört İşlem Toplama – Çıkarma Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken aynı dereceli terimlerde toplama veya çıkarma yapılır.

P(x) = x3 + 2x + 4

Q(x) = x3 – 3

olduğuna göre, 2P(x) + Q(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x3 + 2x + 1

B) 3x3 + 4x + 5 D) 3x3 + 4x + 8

2p(x) + Q(x) = 2(x3 + 2x + 4) + (x3 – 3)

= 2x3 + 4x + 8 + x3 – 3

= 3x3 + 4x + 5

190


C) 2x3 + 5x + 5 E) 4x3 + 4x + 11

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) + P(2x) + P(3x) = 12x – 3

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 1

B) 2x – 1

C) 3x

D) 3x – 1

E) x + 2

p(x) = ax + b olsun _ p (x) = ax + b b b p (x) + p (2x) + p (3x) = ax + b + 2ax + b + 3ax + b p (2x) = a. (2x) + b ` b & 6ax + 3b = 12x - 3 p (3x) = a (3x) + b b a 6a = 12 ve 3b = - 3 a= 2

b=-1

p (x) = 2x - 1 olur.

P(x – 1) + P(x) = 2x2 – 6x + 5

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x

B) x2 – 2x

C) x2 + 2x + 2

D) x2 – 2x + 1

E) x2 – 2x – 1

p(x) = ax2 + bx + c olsun p(x – 1) = a(x – 1)2 + b(x – 1) + c

= ax2 – 2ax + a + bx – b + c

p(x) = ax2 + bx + c

= ax2 + (b – 2a)x + a – b + c = ax2 + bx + c

p(x – 1) + p(x) = 2ax2 + (2b – 2a)x + a – b + 2c = 2x2 – 6x + 5

2a = 2,

2b – 2a = –6

a = 1

2b = –4

2c =2

b = –2

c =1

p(x) =

x2

ve

a – b + 2c = 5

– 2x + 1 olur.

Çarpma Polinomlar çarpılırken dağılma özelliği kullanılır.

P(x) = x – 1

Q(x) = 2x + 2

olduğuna göre, P(x) . Q(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x2 – 2

B) 2x2 + 2 D) 2x2 + 4x + 2

C) 2x2 – 4x + 2 E) 2x2 + 4x – 2

p(x) . Q(x) = (x – 1) (2x + 2)

= 2x2 – 2


191

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) = 3x2 + 1

Q(x) = 2x3 + x – 1

polinomları veriliyor. Buna göre,

xp(x) + 2Q(x) = x(3x2 + 1) + 2(2x3 + x – 1)

= 3x3 + x + 4x3 + 2x – 2

= 7x3 + 3x – 2 olur.

xP(x) + 2Q(x)

polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x3 + 3x – 2

B) 5x3 + x

C) 7x3 + 2x

D) 7x3 + 3x – 2

E) 8x3 + 4x + 1

P(x) = 2x – 1

olduğuna göre, P(x) . P(x + 1) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x2 + 4x – 1

B) 4x2 + 4x + 1 D) 2x2 – 4x + 1

C) 4x2 – 1 E) 2x2 + 4x + 1

p (x + 1) = 2 (x + 1) - 1_ b b p (x) .p (x + 1) = (2x - 1) . (2x + 1) = 2x + 2 - 1 ` 2 olur. = 4x - 1 bb = 2x + 1 a

P(x) . P(x + 1) = 4x2 + 8x + 3

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 2x – 1

B) –2x + 1

C) –2x – 1

D) 2x + 1

E) 2x – 2

_ p (x) = ax + b olsun b p (x) .p (x + 1) = (ax + b) . (ax + a + b) b 2 2 2 2 p (x + 1) = a. (x + 1) + b ` = a x + a x + abx + abx + ab + b b 2 2 2 2 2 = ax + a + b b = a x + (a + 2ab) x + ab + b = 4x + 8x + 3 a

a2 = 4

a = 2 veya a = –2 a=2 için, 4x 2 + (4+4b)x + 2b + b2 = 4x 2 + 8x + 3

4 + 4b = 8 b = 1

p(x) = 2x + 1

a=–2 için; 4x 2 + (4 – 4b)x – 2b + b2 = 4x 2 + 8x + 3

4 – 4b = 8

b = –1

192

p(x) = –2x – 1


Polinomlar

7. BÖLÜM

(2x3 + x2 – 3x + 1) (x4 – x3 + 2x2 – 5) (2x3 + x2 – 3x + 1) . (x4 – x3 + 2x2 – 5) 2x4 + 3x4 + x4 = 6x4 olur.

çarpımı yapıldığında x4’lü terimin katsayısı kaç olur? A) 0

B) 2

C) 3

D) 5

E) 6

Bölme P(x), Q(x), B(x) ve K(x) birer polinom olmak üzere; P(x)

Q(x) B(x)

–

K(x)

 P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)  der(K(x)) < der(Q(x))

x3 – 4x + 2 x + 3

x3 + 3x2 x2 – 3x + 5

P(x) = x3 – 4x + 2

polinomunun (x + 3) ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 3x + 5

B) x2 – 3x + 5 D) x2 + 5x – 3

C) x2 – 5x + 3

–3x2 – 4x + 2 –3x2 – 9x

Bölüm polinomu:

x2 – 3x + 5

5x+2

E) x2 + 5

–5x+15

–13

(x + 2) . P(x) = x3 – 2x + 4

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 2x

B) x2 + 2x – 2 D) x2 – 2x + 2

(x + 2).p (x) x+2

(x + 2).p (x) x+2

=

x3 - 2x + 4 x+2

=

x3 - 2x + 4 4 x+2

C) x2 + 2x + 2 E) x2 – 2x + 1

x3 – 2x + 4 x + 2 x3 + 2x2 x2 – 2x + 2 –2x2 – 2x + 4 –2x2 – 4x

p(x) = x2 – 2x + 2 olur.

2x + 4 2x + 4

0


193

Polinomlar

7. BÖLÜM

► Bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda x yerine - b yazılır. a (ax + b) = 0 ⇒ x = b- b l kalanı verir. a

P(x) = (x2 – 5x + 6) . Q(x) + 2x – 1

olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) –5

B) 2x – 4

C) 2x – 3

D) 3

E) x – 3

x – 2 =0 x = 2 ⇒ p(2) = (22 – 5 . 2 + 6) . Q(2) + 2 . 2 – 1

p(2) = 0 . Q(2) + 4 – 1

p(2) = 3

P(x) = x3 – x + 1

polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

x – 1 =0 x =1 p(1) = 13 – 1 + 1 p(1) = 1

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + a

polinomun x – 2 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, a kaçtır? A) –10

B) –8

C) –6

D) 4

_ 3 2 b p (2) = 2 + 2.2 - 3.2 + a x – 2 =0 b x = 2 & p (2) = 2 b & 8+8-6+a = 2 ` & 10 + a = 2 b bb &a=-8 a

194


E) 10

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) = 4x2 + 4x + 2

polinomunun 2x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1

B) 2

C) 4

D) 8

E) 10

2x – 2 = 0 2x = 2 x = 1 ⇒ p(1) = 4 . 12 + 4 . 1 + 2 = 10

P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, 2P(x) – 7 polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) –3

B) –1

C) 3

D) 4

E) 7

x – 3 =0 x = 3 ⇒ p(3) = 2 2p(3) – 7 = 2 . 2 – 7 = –3

P(x) = 3x2 – 4x + 1

polinomu veriliyor. Buna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0

B) 5

C) 8

D) 13

E) 21

x – 1 =0 x = 1 ⇒ p(x + 1) = p(2) = ? p(2) = 3 . 22 – 4.2 + 1 = 5

P(x) = x48 + x46 + x44 + ... + x2 + 1

polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0

B) 24

x + 1 = 0

C) 25

D) 48

E) 49

x = –1

p(–1) = (–1)48 + (–1)46 + … + (–1)2 + (1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 25.1 = 25 olur. 1444442444443 25 tan e


195

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x + 1) = 2x2 + 3x – 8

olduğuna göre, P(x – 2) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –5

B) –3

x – 4 = 0

C) 2

D) 3

E) 5

x =4

p(x – 2) ⇒ p(4 – 2) = p(2) p(2) = 2 . 12 + 3 . 1 – 8

= 2 + 3 – 8 = –3

P(x) = 2x5 + mx3 + 4

polinomunun çarpanlarından biri (x + 1) olduğuna göre, m kaçtır? A) –3

B) –2

x + 1 = 0

C) 2

D) 3

E) 4

x = –1

p(–1) = 0 p(–1) = 2 . (–1)5 + m(–1)3 + 4 = 0

= –2 –m + 4 = 0

= 2 – m = 0

m = 2

P(2x + 1) = 2x3 + ax – 5

polinomu veriliyor. P(x + 1) polinomunun (x – 2) ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

p(3) = 0 p(3) = 2 . 13 + a . 1 – 5 = 0

2 + a – 5 = 0

a =3 p(–1) = 13 Q(–5) = 0

P(x + 2) = 2x + 3 + Q(x – 2)

p(–1) = 2 . (–3) + 3 + Q(–5)

P(x – 2) polinomunun katsayılar toplamı 13 olduğuna göre, Q(x – 5) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 4

196

B) 7

p(–1) = –6 + 3 + Q(–5)

C) 10


D) 16

E) 19

13 = –3 + Q(–5)

Q(–5) = 16

Polinomlar

7. BÖLÜM

p(2) = 12

P (x + 2) = x2 – 2x + 4 Q (x - 1)

P(x + 1) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 12 olduğuna göre, Q(x + 1) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Q(–1) = ? p (2) =4 Q (- 1) 12 =4 Q (- 1)

Q (- 1) = 3

(x + 2) . P(x) = x2 + mx + 6

olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 12

p(1) = ? x = –2 için 4 – 2m + 6 = 0

m = 5

(x + 2) . p(x) = x2 + 5x + 6

p(x) = x + 3

p(1) = 4

(x – 6) P(x) = x2 – 3x – m

olduğuna göre, P(x) polinomunun (x–6) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 9

E) 12

36 – 18 – m = 0

m = 18

(x – 6) p(x) = x2 – 3x – 18

p(x) = x + 3

p(6) = 9

P(x) = ax196 – x197 + 8

P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 8

P(2) = a . 2196 – 2197 + 8 2196(a – 2) + 8 = 8


197

Polinomlar

7. BÖLÜM

► Bir P(x) polinomunun (axn + b) ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda xn yerine - b yazılır a (axn + b = 0 ⇒ xn =- b ) a

P(x) = x3 + 2x2 – x + 4

olduğuna göre, P(x) polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 1

B) x – 1

C) –x + 1

D) –x – 1

E) x + 2

x(x – 1) + 2(x – 1) – x + 4 x2 – x + 2x – 2 – x + 4 x – 1 + 2 ⇒ x + 1

P(x) = x3 – x + 1 + a

P(x) polinomunun x2 – x– 1 ile bölümünden kalan bx + 4 olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 0

C) 2

B) 1

D) 3

E) 4

x2 – x – 1 = 0 ⇒ x2 = x + 1 P(x) = x . x2 – x + 1 + a x2 + x – x + 1 + a = bx + 4 x + 1 + 1 + a = bx + 4

x + a + 2 = bx + 4 a + 2 = 4 ve b = 1 a = 2

b = 1

a . b = 2 . 1 = 2

P(x) = x12 – 2x6 – 4x3 – 2

P(x) polinomunun (x – A) 15

3

B) 37

3 ) ile bölümünden kalan kaçtır? C) 39

P(x) = (x3)4 – 2(x3)2 – 4x3 – 2 P( 3 3 ) = 34 – 2 . 32 – 4 . 3 – 2 P( 3 3 ) = 81 – 18 – 12 – 2 P( 3 3 ) = 51 – 2 = 49

198


D) 49

E) 51

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) =

mx3

+

nx2

x2 = 1 yazarsak

+ 2x – 3

P(x) polinomu (x2 – 1) ile tam bölünebildiğine göre, m + n toplamı kaçtır? A) –5

B) –1

C) 1

D) 3

E) 5

mx . 1 + n + 2x – 3 = 0 (m + 2) + n –3 = 0 m + 2 = x 0 m = – 2

ve n – 3 = 0 n = 3

m + n = – 2 + 3 = 1 bulunur.

P(x) = x3 – x2 + ax + b – 7

P(x) polinomu (x – 2)(x – 1) ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

C) 7

D) 9

E) 10

P(x), (x – 2) . (x – 1) ile tam bölünebildiğine göre, P(1) = 0 ve P(2) = 0 olmalıdır. x = 1 için P(1) = 1 – 1 + a + b – 7 = 0

a + b = 7 olur.

Bir P(x) polinomu x2 – 5x + 6 ile bölündüğünde kalan 5x – 2 olduğuna göre, P(x) in (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3

B) 7

C) 8

D) 10

E) 12

p(x) = (x2 – 5x + 6) . B(x) + 5x – 2 p(2) = (4 . 10 + 6) . B(2) + 5 .2 – 2 = 0 + 10 – 2 = 8

Bir P(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan 3, (x – 2) ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x2 – 5x + 6) ile bölümünden kalan nedir? A) x – 5

B) 4x – 5

C) 3x + 2

D) x

E) 2x – 3

P(x) = (x2 – 5x + 6) . B(x) + ax + b P(3) = 3 ve P(2) = 1 dir. P(3) = (32 – 5 . 3 + 6) . B(3) + 3a + b P(3) = 3a + b = 3 P(2) = (22 – 5 . 2 + 6) . B(2) + 2a + b P(2) = 2a + b = 1

3a + b = 3

– 2a + b = 1 ___________________

a = 2

Kalan = 2x – 3 olur.

b = –3


199

Polinomlar

7. BÖLÜM

P(x) polinomunun x – m – n ile bölümünden kalanı bulmak için;

x – m – n = 0

P(mx + n) = 2x2 – 3x + 5

polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x – m – n ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 10

x = m + n yani sorulan p(m + n) ifadesidir. p(mx + n) = 2x2 – 3x + 5 polinomunda x yerine 1 yazılırsa p(m + n) = 2. 12 – 3. 1 + 5 p(m + n) = 2 – 3 + 5 = 4 bulunur.

Q(1) = 5

P(x – 1) =

(x2

– 2x – 3) . Q(x + 1) +

2x2

P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden

+x–3

Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) –18

B) –12

C) 2

D) 12

E) 15

kalan x + 1 = 0 ⇒x = – 1 yazılırsa P(–1) dir. P(–1) için P(x – 1) polinomunda x yerine "0" yazılır. P(–1) = (0 – 0 – 3) . Q(0 + 1) + 2. 0 + 0 – 3 P(–1) = –3 . Q(1) – 3

Bir P(x) polinomunun (x – 1) . (x + 2) ile bölümünden kalan 3x + 2 dir. P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan m, (x + 2) ile bölümünden kalan n olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) –1

B) 1

C) 3

D) 9

E) 13

= – 3 . 5 – 3 = – 18 olur.

P(x) = (x – 1)(x + 2) . B(x) + 3x + 2 P(1) = 0 + 3 + 2 = 5 = m P(-2) = 0 + 3(–2) + 2 = – 4 = n m + n = 5 + (–4) = 1

P(x + 1) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan –3, P(x – 1) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2) (x + 2) ile bölümünden kalan nedir? A) x + 1

B) x – 1

C) –x – 1

D) –x + 1

p(x + 1) in x –1 ile bölümünden kalan P(2) ile P(x – 1) in x + 1 ile bölümünden kalan P(–2) ile bulunur. p(2) = –3 p(–2) = 1 p(x) = (x2 –4) Q(x) + ax + b 2a + b = –3 + –2a + b = 1 ________________________

2b = –2 b = –1

a = –1

kalan ax + b olduğundan, – x – 1 bulunur.

200


E) 2x

Polinomlar

7. BÖLÜM

Bir P(x) polinomunun (x + 1)2 ile bölümünden kalan (2x + 1) dir.Buna göre, P2(x) polinomunun (x + 1)2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x – 3

B) –8x – 3

C) –4x – 3

D) 4x

E) 2x + 3

p(x) = (x + 1)2 Q(x) + (2x + 1) [(x + 1)2 . Q(x)]2 + 2 . (x + 1)2 Q(x) . (2x + 1) + (2x + 1)2

= 4x2 + 4x + 1

= –8x – 4 + 4x + 1

= –4 x – 3

x2 = –2x – 1 yazarsak

Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu (x2 – 2x + 3) polinomuna tam bölünüyor. P(x) polinomunun (x2 + 3) ile bölümünden kalan 2x + 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

p(x) = (x2 – 2x + 3) (ax + b)

(–2x) . (ax + b) = 2x + 6

(–2x) . (ax + b) = 2x + 6

–2ax2 – 2bx = 2x + 6

D) 2

E) 3

x2 = –3 yazarsak

6a – 2bx = 2x + 6 6a = 6 - 2b = 2 ve 4 olur. a= 1 b=-1 p(x) = (x2 – 2x + 3)(x – 1)

3 . –1= –3

P(x) = (x6 – 1) . (x4 + 1)

polinomunun x2 + x + 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 1

B) –4x – 2

C) 0

D) –x

E) 6

P(x) = (x3 – 1) . (x3 + 1) . (x4 + 1) P(x) = ( x – 1) . (x2 + x + 1) . (x3 + 1) . (x4 + 1) P(x)'in x2 + x + 1 ile bölümünden kalanı bulmak için x2 + x + 1 = 0 O halde P(x)'in x2 + x + 1 ile bölümünden kalan 0 dır.

p(–1) = 3

Q(1) = 4

p(x) = (x + 1) . Q(x) + 3 Q(x) = (x – 1) . B(x) + 4

P(x) polinomunun (x + 1) bölümünden kalan 3, bölüm Q(x)’tir. Q(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x)’in (x2 – 1) ile bölümünden kalan nedir? A) 4x + 7

B) 4x + 3

C) 3x + 4

D) 3x + 7

E) 2x

P(x) = (x + 1)[x – 1) B(x) + 4] + 3

P(x) = (x2 – 1) B(x) + 4x + 4 + 3

x2 = 1 yazarsak

Kalan = 4x + 7


201

Polinomlar

7. BÖLÜM Polinomlarda Çarpanlara Ayrıma 1. Ortak Çarpan Parantezine Alma  2x2 – 4 2(x2 – 2)

 4x2 – 4x 4x(x – 1)

 x4 + 2x3 + x + 2 x3(x + 2) + (x + 2) = (x + 2) . (x3 + 1)

 2x + 2 + ax + a

2x + ax + 2 + a ⇒ x(2 + a) + (2 + a) ⇒ (2 + a) . (x + 1)

2

2

x y - xy 2x - 2y ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? xy y B) 2xy C) D) x E) A) xy y 2 2

xy(x - y) 2(x - y)

=

xy 2

3ab – 2b2 – 3ax + 2bx

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (3a – b)

B) (3a + 2b)

C) (x + b)

D) (b – x)

E) (3a – 2x)

b(3a – 2b) – x(3a – 2b) (3a –2b) (b – x)

b2 -

4 : x- 1 lb l x+ 1 x+ 1

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 1 =b

=

B) x + 1

C) 2x + 2

2x + 2 - 4 : x - 1 lb l x+1 x+1

2 (x - 1) x + 1 = 2 bulunur. . x+1 x-1

202


D) 2

E) 2x – 1

Polinomlar

7. BÖLÜM

x x = 5- y 1- 1 x- 1 x

olduğuna göre, (x + y)2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 9

B) 16

C) 21

D) 24

E) 25

2

x(x - 1) x x & = 5-y x- 1 x- 1 x- 1

(x + y) 2 = 25

x–y=4

y–z=6

olduğuna göre, xy – xz – y2 + yz ifadesinin değeri kaçtır? A) 2

B) 12

C) 24

D) 40

E) 60

x(y – z) – y(y – z) (y – z)(x – y) 6 . 4 = 24

2. Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma ► İki kare farkı x2 – y2 = (x – y) (x + y)

Aşağıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız. ► x2 – 4

(x – 2)(x + 2)

► x2 – 3

(x –

3 ) (x +

3)

► 4x2 – 9y2

(2x – 3y) (2x + 3y)

► x4 – 16

(x2 – 4) (x2 + 4)

(x – 2) (x + 2) (x2 + 4)


203

Polinomlar

7. BÖLÜM

x, y ∈N olmak üzere, x2 – y2 = 19 olduğuna göre, x . y kaçtır? A) 81

B) 90

C) 96

D) 126

E) 144

D) 7

E) 10

(x – y) . (x + y) = 19 x – y =1 x + y = 19 x = 10

y = 9

x . y = 10 . 9 = 90 bulunur.

x2 – y2 = 24

x+y=6

olduğuna göre, x + 2y ifadesinin değeri kaçtır? A) 2

B) 3

C) 5

(x – y) . (x + y) = 24 x – y = 4

x + y = 6

x + y =6

+ x – y = 4

2x = 10

x = 5, y = 1 ⇒ x + 2y = 5 + 2 . 1 = 7

x – y = 15 x-

y=3


x+

y ifadesinin değeri kaçtır?

B) 3

C) 5

D) 9

E) 15

x – y = ( x - y ) . ( x + y ) = 15 1442443 1442443 3 5 x +

y = 5 bulunur.

x+

y=8

olduğuna göre, 2x – 5y ifadesinin değeri kaçtır? A) 5

204

y=8

– x- y= 2 ___________________

x – y = 16

x +

B) 12

C) 20


D) 24

E) 30

x=5

x = 25

y = 9

50 – 45 = 5

Polinomlar

7. BÖLÜM

195.197 + 1

a = 195 denirse

ifadesinin değeri kaçtır? A) 195

a. (a + 2) + 1

B) 196

C) 197

D) 198

E) 199

a 2 + 2a + 1 =

(a + 1) 2 = a + 1

= 195 + 1 = 196

x

9 -1 8 = x+ 1 3 3 +3

(3 x - 1) (3 x + 1) 3(3 x + 1)

olduğuna göre, x kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

3x – 1 = 8 3x = 9 3x = 32 x = 2

[AB] ⊥ [BC]

A

|AC| = 41 cm |BC| = 40 cm

41

x

B

40

C

|AB| = x kaç cm dir? A) 5 x2

+

B) 6 402

=

412

⇒

C) 7 x2

=

412

–

402

D) 8 ⇒

x2

E) 9

= (41–40)(41+40)⇒x2 = 1.81

x = 9

x+

x - 15 = 3


x:

x - x - 15 ifadesinin değeri kaçtır? B) 3

C) 5

D) 9

E) 12

x - 15 = m denirse

x + x - 15 = 3 x - x - 15 = m

(x) - (x - 15) = 3m

x - x + 15 = 3m

15 = 3m

m = 5 bulunur.


205

Polinomlar

7. BÖLÜM

x=

4

2 olduğuna göre,

( x – 1) ( x + 1) (x + 1) (x2 + 1) ifadesinin değeri kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

( x - 1) ( x + 1) (x + 1) (x 2 + 1) 1444442444443 = (x - 1) . (x + 1) . (x 2 + 1) 14444244443 = (x 2 - 1) . (x 2 + 1)

= x4 - 1

ve x = 4 2 olduğunda

x 4 - 1 = (4 2 ) 4 - 1 = 2 - 1 = 1 bulunur.

Tam Kare Açılımları ► (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ► (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 ► (x + y + z)2 =x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ► (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy – xz – yz)

x+y=6

x2 + y2 = 24 olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır? A) 4

B) 6

C) 7

D) 10

E) 12

x + y = 6 Her iki tarafın karesi alınırsa; (x + y)2 = 36 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 36 x2 + y2 + 2xy = 36 24 + 2xy = 36 ⇒ 2xy = 12 ⇒ x . y = 6 bulunur.

a . (a – b) = 7

b . (a – b) = 3

olduğuna göre, (a – b)’nin pozitif değeri kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

a2 – ab = 7

/ a.b – b = 3 – ___________________ 2

a2 – 2ab + b2 = 4

206

(a – b)2 = 4 a – b = 2 veya a – b = – 2 bulunur.


D) 4

E) 5

Polinomlar

7. BÖLÜM

(x + y)2 – 4xy = x2 + 2xy + y2 – 4xy

x = 1962

y = 1951

= x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 = (1962 – 1951)2

olduğuna göre, (x + y)2 – 4xy ifadesinin değeri kaçtır? A) 81

B) 100

x+y=

x.y=5

C) 121

D) 144

E) 169

D) 29

E) 31

= (11)2 = 121

34

olduğuna göre, x2 + y2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 24 x + y = y)2

(x +

B) 25

C) 27

34 ifadesinde her iki tarafın karesi alınırsa

= ( 34 ) 2 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 34

x2 + 2. (5) + y2 = 34 x2 + y2 = 24 bulunur.

a2 – ab = 12

ab – b2 = 3

olduğuna göre, (a – b)’nin pozitif değeri kaçtır? A) 2

B) 3

+

–/

C) 4

D) 5

a2 – ab = 12

ab – b2 = 3

a2 – 2ab + b2 = 9

(a – b)2 = 9 ⇒ a – b = 3 , a – b = –3 bulunur.

2

E) 6

(x + 1) - (x - 1)

2

2

x -1

: 2x x+ 1

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A)

4 B) 2 x+ 1 x+ 1

C)

2 D) 1 E) 4 x x x- 1

(x + 1 - x + 1) . (x + 1 + x - 1) x + 1 . 2x (x - 1) (x + 1) 2. 2x

(x - 1) (x + 1)

.

x+1 2x

=

2 x-1

bulunur.


207

Polinomlar

7. BÖLÜM 4 2 1 2 b12 + l - b12 + l 5 5 işleminin sonucu kaçtır?

A) 6

B) 9

C) 15

D) 18

E) 21

64 2 61 2 o -c m 5 5 64 61 64 61 + e oe o 5 5 5 5 e

3 125 . 5 5

5

a = 47

b = 23

= 15

olduğuna göre, (a + 2b)2 – 8ab ifadesinin değeri kaçtır? A) 1

B) 4

C) 9

D) 16

E) 25

(a + 2b)2 – 8ab a2 + 4ab + 4b2 – 8ab a2 – 4ab + 4b2 = (a – 2b)2 = (47 – 2 . 23)2 = 1

x+y–z=5

xy – xz – yz = 3

olduğuna göre, x2 + y2 + z2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 19

B) 23

C) 25

D) 27

E) 31

x + y – z = 5 ifadesinde her iki tarafın karesi alınırsa; x2 + y2 + z2 + 2 (x.y - xz - yz) = 25 144424443 3

x2 x2

+

y2

+

y2

+

z2

+ 6 = 25

+

z2

= 19 olur.

x+ 1 =4 x olduğuna göre, x2 + 12 ifadesinin değeri kaçtır? x

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 1 x + = 4 ifadesinde her iki tarafın karesi alınırsa x x 2 + 2x.

1+ 1 = 1 16 & x 2 + 2 + 2 = 16 x x2 x

1 & x 2 + 2 = 14 x

208


olur.

E) 20

Polinomlar

7. BÖLÜM

x – x– 1 =3 x olduğuna göre, x4 + 14 ifadesinin değeri kaçtır? x

alınırsa

A) 117

B) 119

C) 121

1 = 3 ifadesinde her iki tarafın karesi x

x2 – 2 + D) 123

E) 125

1 1 = 9 ⇒ x2 + 2 = 11 yine her x2 x

iki tarafın karesi alınırsa; x4 + 2 + x4 +

1 = 121 x4 1 = 119 olur. x4

x+ 1 =6 x 2 olduğuna göre, b x - 1 l ifadesinin değeri kaçtır? x

A) 32 (x x+

B) 34

C) 36

D) 38

E) 40

1 2 = 2- + 1 = 1 ) x 2 ? & x2 + 2 - 2 = ? x x2 x

1= 1 6 eşitliğinde her iki tarafın karesi alınırsa x 2 + 2 + 2 = 36 x x

1 x 2 + 2 = 34 olur. Bu değer sorulan ifadede yerine yazılırsa x 1 x 2 + 2 - 2 = 34 - 2 = 32 bulunur. x

a2 – 3a + 1 = 0

a2 – 3a + 1 = 0

a2 + 1 = 3a her taraf a ile bölünürse;

olduğuna göre, a2 + 12 ifadesinin değeri kaçtır? a A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

1= 3 her tarafın karesi alınırsa; a 1 1 a 2 + 2 + 2 = 9 & a 2 + 2 = 7 bulunur. a a a+

► x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) ► x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

x3 - y3 (x + y) 2 - xy

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y

B) x – y

C) x2 + xy + y2 D)

1 x- y

E) 1

(x - y) (x 2 + xy + y 2) (x - y) (x 2 + xy + y 2) = x - y olur. = 2 2 x + 2xy + y - xy (x 2 + xy + y 2)


209

Polinomlar

7. BÖLÜM x3 - 8 =5 x2 + 2x + 4


B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

(x - 2) (x 2 + 2x + 4) x3 - 23 = = 5 ⇒ x – 2 = 5 ⇒ x = 7 olur. & 5 x 2 + 2x + 4 x 2 + 2x + 4

f

a3 - 8 : a2 + 2a + 4 . a p a- 2 a+ 2 a2 + 2a

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

f

C) a2

B) a

(a - 2)(a 2 + 2a + 4) a-2

.

a (a + 2)

a 2 + 2a + 4

D) a + 2

p. a +a 2 ( a.(a + 2).

E) a – 2

a = a2 olur. a+2

x ≠ –1 x2 – x + 1 = 0 olduğuna göre, x8 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –1 x2

B) x

C) x – 1

D) x + 1

E) –x +1

– x + 1 = 0 ifadesinde her iki taraf (x + 1) ile çarpılırsa

(x + 1) . (x2 – x + 1) = 0 x3 + 1 = 0 ⇒ x3 = –1 olur. x8 = x3 . x3 . x2 (–1) . (–1) . x2 = x2 Ayrıca x2 – x + 1 = 0 x2 = x – 1 dir.

Aağıdakilerden hangisi a6 – 64 ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) a – 2 D) a2 + 2a + 4 (a3 – 8)(a3 + 8) (a – 2)(a2 + 2a + 4) . (a + 2) . (a2 – 2a + 4)

210

C) a3 + 8

B) a + 2


E) a2 + 4a + 4

Polinomlar

7. BÖLÜM

x=

3

4+3 2

y=

3

16 - 2 + 3 4

olduğuna göre, x . y ifadesinin değeri kaçtır? A) 1

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

x.y = (3 4 + 3 2 ) . (3 16 - 2 + 3 4 ) ⇒ ifade küp açılımıdır. 144444444424444444443

3 ` 3 4 j + (3 2 ) 3 = 4 + 2 = 6

► x3 + y3 = (x + y) [(x + y)2 – 3xy] ► x3 – y3 = (x – y) [(x – y)2 + 3xy]

a+b=5

a.b=2

olduğuna göre, a3 + b3 ifadesinin değeri kaçtır? A) 85

B) 95

C) 100

D) 120

E) 155

D) 73

E) 51

a3 + b3 = (a + b) . [(a + b)2 – 3a.b]

= 5 . [52 – 3 . 2] = 5 . [25 – 6] = 5. 19 = 95

x, y ∈N olmak üzere, x2 – y2 = 7 olduğuna göre, x3 – y3 ifadesinin değeri kaçtır A) 37

B) 43

x2 – y2 = 7 (x – y) (x + y) = 7

C) 59 x + y = 7

+ x – y = 1

2x = 8 ⇒ x = 4 , y = 3

x3 – y3 = (x – y) . [(x – y)2 + 3xy]

= 1. [12 + 3 . 4 . 3]

= 1 . [1 + 36] = 37 olur.


211

Polinomlar

7. BÖLÜM

x+ 1 =4 x olduğuna göre, x3 + 13 ifadesinin değeri kaçtır? x

A) 42 B) 51 C) 52 1 1 1 1 x3 + 3 = (x + ). =(x + ) 2 - 3. x . G x x x x \ 2 4. [4 – 3] = 4. (16 – 3)

D) 68

E) 76

= 4. 13 = 52

x + 1 = 42 x

olduğuna göre, x x + A) 52 x x+

1 ifadesinin değeri kaçtır? x x

B) 60

C) 64

D) 72

E) 76

1 = 1 = ( x )3 + x x ( x )3

= c x + 1 m . =( x + 1 ) 2 - 3 x . 1 G x x x 144424443

= 4 . [42 – 3] = 4 . 13 = 52

2x + 2–x = 3 olduğuna göre, 8x + 8–x ifadesinin değeri kaçtır? A) 18 8x

8–x

+

B) 24

C) 27

D) 36

=

23x

+

=

(2x

+ 2–x) . [2x + 2–x)2 – 3 . 2x . 2–x]

= 3 . [32 – 3. 20]

= 3. [9 – 3] = 3. 6 = 18

E) 39

2–3x

x2 – 2x + 1 = 0 olduğuna göre, x3 + 13 ifadesinin değeri kaçtır? x A) 1 x2

B) 2

C) 9

+ 1 = 2x her tarafı x ile bölersek;

x+

1= 2 olur. x

1 1 1 1 Ayrıca; x3 + 3 = (x + ). =(x + ) 2 - 3. x . G x x x x \

212

2. [22 – 3.1] = 2. (4 – 3) = 2


D) 18

E) 21

Polinomlar

7. BÖLÜM ► (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ► (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

x3 – 3x2y = 12 3xy2 – y3 = 15 x2 - y2 + x - y ifadesinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x+y+1 A) 3

B) 6

C) 9

D) 15

E) 12

x3 – 3x2y = 12

+ 3xy2 – y3 = 15

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = 27 ⇒ (x – y)3 = 27

x – y = 3 olur.

x2 - y2 + x - y (x - y) (x + y) + (x - y) = x+y+1 x+y+1

ayrıca;

=

(x - y) 8x + y + 1B x+y+1

= x- y = 3

olur.

x3 + y3 = 6 x2y + xy2 = 7 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 5

D) 8

E) 27

x3 + y3 = 6

+ 3/ x2y + xy2 = 7 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 27

(x + y)3 = 27

(x + y) = 3 olur.

x=

3

3-1

olduğuna göre, x3 + 3x2 + 3x + 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 6

B) 9

C) 24

D) 30

E) 32

x3 + 3x2 + 3x + 1 + 3

3

(x + 1)3 + 3 = (3 3 - 1 + 1) 3 + 3 = (

3) 3 + 3 = 3 + 3 = 6 olur.


213

Polinomlar

7. BÖLÜM

f(x) = x3 + 3x2 + 3x – 2

olduğuna göre, f (3 7 - 1) kaçtır? A) 4

B) 7

C) 9

D) 10

E) 13

f(x) = x3 + 3x2 + 3x +1 – 3 f(x) = (x + 1)3 – 3 f (3 7 - 1) = (3 7 - 1 + 1) 3 - 3 = (3 7 ) 3 - 3 = 7 - 3 = 4 olur.

Terim Ekleme – Çıkarma

4x4 + 3x2 + 1 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x2 + 2x + 1

B) 2x2 + 2x – 1 D) x2 + 2x – 1

C) 2x2 – x + 1 E) x2 + 2x + 2

4x4 + 3x2 + 1 + x 2 - x 2

⇒ 4x4 + 4x2 + 1 – x2 ⇒ (2x2 + 1)2 – x2

⇒ (2x2 + 1– x). (2x2 +1 + x) olur.

x4 + x2 + 1 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x – 1

B) x2 – 2x – 1 D) x2 – x + 1

x4 + x2 + 1 + x 2 - x 2

C) x2 + x – 1 E) x2 – x

x4 + 2x2 + 1 – x2 ⇒ (x2 + 1)2– x2 ⇒(x2 + 1– x) . (x2 + 1 + x) olur.

214


Polinomlar

7. BÖLÜM

x 4 + 4x2 + 16 x2 - 2x + 4

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x

B) x2 – 4 D) x2 + 2x + 8

C) x2 + 2x + 4 E) x2 – 2x + 8

(x 2 - 2x + 4)(x 2 + 2x + 4) (x 2 + 4) 2 - (2x) 2 x 4 + 4x 2 + 16 + 4x 2 - 4x 2 x 4 + 8x 2 + 16 - 4x 2 = = = 2 2 2 x - 2x + 4 x - 2x + 4 x - 2x + 4 x 2 - 2x + 4

x4 + 64 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 4x – 8

B) x2 – 4x – 8 D) x2 – 4x + 8

C) x2 + 4x + 4 E) x2 – 8

x4 + 64 + 16x 2 - 16x 2 = x4 + 16x2 + 64 – 16x2 = (x2 + 8)2 + (4x)2

= (x2 – 4x + 8) (x2 + 4x + 8)

Değişken Değiştirme

x = - 11 2 olduğuna göre,

(x + 5)3 – 3(x + 5)2 + 3(x + 5) – 1

ifadesinin değeri kaçtır? A) - 27 B) - 1 C) 1 D) 8 E) 27 8 8 8 27 8

x + 5 = a dersek; a3 – 3a2 + 3a – 1 = (a – 1)3 = (x + 5 – 1)3 = (x + 4)3 11 + 3 = - 3 3 = - 27 = colur. 4m ` 2j 2 8


215

Polinomlar

7. BÖLÜM

x = 36 . 36 . 36

y = 35 . 36 . 37

36 = a dersek; x = a. a . a = a3

olduğuna göre, x – y kaçtır? A) 34

B) 35

y = (a – 1).a(a+1) = a . (a2 – 1) = a3 – a C) 36

D) 37

E) 38

x – y = a3 – (a3 – a) = a3 – a3 + a = a olur.

1 1 2 b x - x l - 10 b x - x l + 25 = 0 denklemini sağlayan x değeri için, x 2 + 12 ifadesinin değeri kaçtır? x

A) 23

B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

1 = a dersek; a2 – 10a +25= 0 ⇒ (a – 5)2 = 0 ⇒ a = 5 olur. x 1 x- = a = 5 x x-

x-

1= 5 x

her iki tarafın karesi alınırsa

1 x 2 - 2 + 2 = 25 x

1 x 2 + 2 = 27 olur. x

Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri

x2 + 3x - 4 0 = x+ 1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {1}

B) {–4}

C) {1, –4}

D) ∅

E) {–1}

(x - 1) (x + 4) = 0 ⇒ x – 1 = 0 veya x + 4 = 0 x+1 x = 1 veya x = –4 Ç. K = {–4, 1} olur.

x2 - 5x + 6 0 = x- 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {2}

B) {3}

C) {2, 3}

D) ∅

(x - 2) (x - 3) = 0 ⇒ x – 3 = 0 olmalıdır. x = 3 bulunur. x- 2 Ç. K = {3} olur.

216


E) R

a = 36

Polinomlar

7. BÖLÜM

e

x 3 - 8 : x 2 + 2x + 4 . x + 3 0 = o x- 3 x- 3 x2 - 4

(x - 2)( x 2 + 2x + 4)

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–3}

B) {–2}

C) {–3, 2}

D) {3}

(x - 2)(x + 2)

E) {2}

.

x- 3 x+3 =0 . x 2 + 2x + 4 x - 3

x+3 = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = – 3 olur. x+2 Ç.K = {–3} bulunur.

x2 + 1 =0 x - x - 12 2

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–1}

B) {–1, 1}

C) {–3, 4}

D) {–3, –1, 4}

E) ∅

x2 + 1 = 0 için x2 = – 1 eşitliğini sağlayan gerçel sayı olmadığından Ç.K = ∅'dır.

x2 - 7x + 10 . (x 2) 60 + = x- 5

olduğuna göre, x değeri hangisi olabilir? A) 3

B) 4

(x - 5)(x - 2) x- 5

C) 5

D) 6

E) 8

. (x + 2) = 60 = (x – 2)(x + 2) = 60

x2 – 4 = 60

x2 = 64

x = 8 veya x = –8 olur.

UYGULAMALAR

Bir tüccar 4x + 12 ¨ aldığı bir malı x2 – 4x + 60 ¨ satıyor. Buna göre, tüccar bu satıştan en az kaç ¨ kâr elde eder? A) 16

B) 28

C) 30

D) 32

E) 48

Kar = satış - alış = kar ⇒ (x2 – 4x – 60) = (4x + 12) = x2 – 8x + 48 kâr fonksiyonudur. Bu fonksiyonun en küçük değeri sorulduğundan tepe noktası bulunmalıdır. -8 = 4 = f(4) = 42 – 8. 4 + 48 = 16 – 32 + 48 = 32 olur. x2 – 8x + 48 ⇒r =– 2


217

Polinomlar

7. BÖLÜM

D D

C

ABCD karedir.

9

|AD| = 9 cm

C

y

T

A (AED) = 10cm 2 olduğuna göre, |AB| kaç cm dir? x

A

E

A) 9

C) 11

x

E

y

B

x.y ⇒ x . y = 20 2 Ayrıca pisagor uygulanırsa A(AED) = 10 =

B

B) 10

A

D) 12

E) 13

x2 + y2 = 81 olmalı |AB| = x + y her iki tarafın karesi alınırsa |AB|2 = 81 + 2. 20 = 81 + 40 = 121 |AB| = 11 bulunur.

D

C

ABCD karedir. |DE| =

22 cm

T

3 cm 22 = 10 A (AED) = 2 olduğuna göre, |EB| kaç cm dir?

A

E

B

A) 2

B) 3

D

C

C) 4

D) 6

E) 7

x.y = 3 ⇒ x . y = 3 2 2 |EB| = y – x her iki tarafın karesi alınırsa

A(AED) = 22

y

ayrıca pisagordan x2 + y2 = 22 |EB|2 = y2 – 2xy + x2 = 22 – 2 . 3 = 22 – 6 = 16

A

x

E

y–x

B

(EB)2 = 16 ⇒ |EB| = 4 olur.

y

(8-a)

Şekilde y = 8 – x doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre,

C

B

O

Aa

OABC dörtgensel bölgenin alanının alabileceği en B(a, 8 – a) büyük değer kaçtır? A(OABC) = a.(8 – a) = 8a – a2 x y=8-x

A) 2

218

B) 4

C) 6


D) 8

E) 16

İkinci dereceden alan fonksiyonunun en büyük değeri sorulduğundan tepe noktası bulunur. -8 = 4 8a – a2 ⇒ -2 f(4) = 8 . 4 – 42 = 32 – 16 = 16 bulunur.

Polinomlar

7. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

P (x) =

3

x3 + mx2 + mx + 1 -

x2 - 6x + n

polinomu veriliyor. Buna göre, P (3 7 - 5 ) ifadesinin değeri kaçtır? A) 1

2.

İfade polinom ise 3 ....

m.n≠0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

O halde küp kökün içine (x+1)3 biçiminde kare kökün içi (x – 3)2 biçiminde olmalıdır. Buna göre m = 3 ve n = 9 ve P(x) = (x+1) – (x – 3) P (3 7 - 5 ) = 4 olur. x + 1= 0, x = – 1, P(x – 1)'de x = –1 yazarsak P (–2) sorulmaktadır.

P(x) = 2P(–x) + 3x–1

P(x) = 2p(–x) + 3x + 1

P(x – 1) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) –3

... bulunmamalı.

ve

B) –2

C) –1

D) 0

E) 1

x = – 2 için, P(–2) = 2p(2) – 6 + 1

3.

P(–2) = 2p(–2) – 5

P(x,y) = x2 + y2 – 3x – 3y + 2xy + 4

x = 2 için

polinomunun (x + y – 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0

B) 2

C) 3

D) 5

E) 8

P(2) = 2p(–2) + 6 + 1 P(2) =

x + y – 1= 0

yerine yazılırsa

2p(–2) + 7

P(–2) = 4p (–2) + 14 – 5

x+ y = 1

P(–2) = – 3 olur.

P(x, y) = (x + y)2 – 3(x + y) + 4 = 12 – 3. 1 + 4 1 – 3 + 4 = 2 olur.

4.

1 C Ax + B = + (x - 1) (x2 + x) (x2 + x) (x - 1) eşitliğini sağlayan A, B ve C değerleri için 1 - 1 + 1 ifadesinin değeri kaçtır? A B C A) –1

B) 1

C) 2

D) 3

E) 5

Ax + B C 1 = 2 + ⇒1 =(Ax + B). (x – 1) + C(x2 + x) x- 1 (x - 1) (x 2 + x) (x + x) (x 2 + x)

(x - 1)

x = 0 için

x = –1 için ve

B = –1

A = –

1 2

x = 1 için C =

1 2

1-1+1 1 - 1 + 1 = & 1 olur. 1 1 A B C (- 1) c- 2 m c2m

5.

P(x) = (x +

2)a

– (x –

x–2=0 x=2

4)b

P(2) = 0 ⇒ P(2) = (2 + 2)a – (2 – 4)b = 0

polinomu (x – 2) ile kalansız bölünebildiğine göre, a ve b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2a = b

B) a = 2b

C) a + b = 0

D) a – b = 0

E) 2a + b = 0

4a – (–2)b = 0 ⇒ 4a = (–2)b ⇒ 22a = (–2)b ⇒ 2a = b


219

Polinomlar

7. BÖLÜM 6.

x–y+3=0

P(x, y) = (x – y + 4)2014 + (x – y + 2)2013

x–y=–3

polinomunun (x – y + 3) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

P(x, y) = (x – y + 4)2014 + (x – y + 2)2013

E) 2

= (–3 + 4)2014 + (–3 + 2)2013 = 12014 + (–1)2013 = 1 – 1 = 0 olur. R(1) = 3 ise

P(x – 2) = 2x – a polinomunda

R(1) = P(1 + 2) - 3

x = 5 için

3 = P(3) – 3

P(3)= 10 – a 6 = 10 –a ⇒ a = 4 bulunur.

7.

P(x – 2) = 2x – a

P(x – 5) = Q(x) + 2x – 4

P(3) = 6 olur.

R(x) = P(x + 2) – 3

sorulan Q(1) olduğundan P(x – 5) = Q(x) + 2x – 4

polinomları veriliyor. R(x) polinomunun katsayılar toplamı 3 olduğuna göre Q(x) polinomunda x=1 yazılırsa; polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P(–4) = Q(1) + 2 – 4 yerine yazılırsa; P(–4) = Q(1) – 2 A) –8 B) –6 C) 4 D) 6 E) 10 P(–4) = Q(1) – 2 –8 = Q (1) – 2

P(x – 2) = 2x – 4

Q(1) = – 6 olur.

x = –2 için P(–4) = – 4 – 4 = – 8 olur.

8.

(x – 7)9 = –(7 – x)9 olduğunda (x - 2) ( x + 2) x2 - 4 = 3& =3 x+2 x+2

(x - 7) 9 + (7 - x) 9 + x2 - 4 =3 x+ 2


9.

B) 2

C) 3

D) 5

c

3 3 bx + x l - bx - x l 2

2

c

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 6

B) 9

( x –2 = 3 ( x = 5 olur.

E) 7

C) 12

2

2

x2 + 3 x2 - 3 m -c m x x

x2 + 3 x2 - 3 x2 + 3 x2 - 3 2x 2 + m.c m& 6. & 12 x x x x x x olur.

D) 6 E) 9 x x 13

x1

10.

x2 – 5x + a = 0

x2

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

Kenar uzunlukları x1 ve x2 bir olan dikdörtgen köşegen uzunluğu olduğuna göre, dikdörtgenin alanı kaç br dir? A) 5

B) 6

C) 10

D) 12

E) 20

13 br

2 + x 2 = 13 ayrıca kökler toplamından x1 2 x1 + x2 = 5 olur.

Her iki tarafın karesi alınırsa; 2 + x 2 + 2x .x = 25 x1 2 1 2

\

13 + 2x1 .x 2 = 25

x1 . x2 = 6 olur.

220


Çember ve Daire

8. BÖLÜM Çemberin Temel Elemanları

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir. Sabit noktaya çemberin merkezi, sabit uzaklığa çemberin yarıçapı

r

denir. r ile gösterilir.

O

Teğet: Çember ile bir ortak noktası olan doğruya teğet denir. T d

d doğrusuna teğet doğrusu T noktasına değme noktası denir.

Kesen: Çember ile iki ortak noktası olan doğruya kesen denir.

d

d doğrusuna kesen doğrusu denir.

B A

Kiriş: Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. B

[AB] doğru parçasına kiriş denir.

A C

D

O



En uzun kiriş çaptır.

Yay: Çember üzerinde farklı iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir. A

! ! !

D

AB, BC, CD çember yayıdır.

O

B

C


221

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

Bir Çember İle Bir Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları a) Doğru ile çember ayrık olabilir.

O

|OA| > r

r

d

A

b) Doğru çembere teğettir.

O

|OA| = r

r d

A

c) Doğru çemberi keser.

r O

|OA| < r d

A

Çemberde Kiriş Özellikleri 1)

Çemberin merkezinden kirişe çizilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler.

% % |AH| = |HB| ve m (AC) = m (CD) dir.

O

A

H

B

C

222


Çember ve Daire

8. BÖLÜM

Merkezden kirişe çizilen dikme, kirişi eş iki

A 1B

O çemberin merkezi A, B ve C doğrusal

A 1B

5

|AB| = 1 cm

5

3

O

|BC| = 9 cm 9

O

4 H 9

r

parçaya ayırır. O noktasından [AC]'ye bir |HC| = 5, |HB| = 4, |BA| = 1 ve |OH| = 3 C

|OB| = 5 cm

bulunur. [OC] yarıçap olacağından dik üçgenden,

C

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? B) 4 2

A) 4

dik çizilir.

5

C) 5

D)

34 E)

41

3 2 + 52 = r2

9 + 25 = r2

34 = r2

C

[AB] ⊥ [CD]

C

|BC| = |BD| = 15 cm

15 A

25

|AB| = 25 cm

B

25

25–r

A

15

15 B

[AB], [CD] ye dik olduğundan merkezden geçmektedir. [AB] üzerinde merkez seçilirse oluşan dik

15

üçgende

D

r2 = (25 – r)2 + 152 r 2 = 625 – 50r + r 2 + 225

D

50r = 850

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 16

34 = r

B) 17

C) 18

D) 19

r = 17 bulunur. E) 20

NOT: Pisagor bağıntısı uygulamadan da 8–15–17 özel üçgeni görülebilir.

2)

Merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları eşittir.

A

|OE| = |OF| ⇔ |AB| = | CD|

E

B O

D

F

C


223

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

O çemberin merkezi

A

[OE] ⊥ [AB]

E B

D

|OE| = |OF| olduğundan,

[OF] ⊥ [DC] |OE|= |OF|

|AB| = |DC| olmalıdır.

|AB|= (2x –1) cm

2x – 1 = x + 9

|DC| = (x + 9) cm

x = 10 bulunur.

O F C

Yukarıdaki verilere göre, x kaçtır? A) 9

3)

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Merkeze yakın olan kirişin boyu daha uzundur.

A

|OE| < |OF| ⇔ |AB| > |CD|

E B

O

D

C

F

O çemberin merkezi B

E

A

[OE] ⊥ [AB] [OF] ⊥ [DC]

D O

|AB| = 48 cm F

|DC| = 30 cm C

Çemberin yarıçapı 25 cm olduğuna göre, |OE| + |OF| kaç cm dir? A) 22

B) 24

24 E 24 A 7 25

C) 25

O

20 F

15 C

çaya ayırır. A

24 E 24 7 25 O

D 25 15

O

20 F 15

224

E) 30

Merkezden kirişe indirilen dikmeler kirişi iki eş parB

D

15

D) 27

B

[OA] yarıçap olduğundan

7-24–25 dik üçgeninden |OE| = 7 bulunur.

[OD] yarıçap olduğundan 15–20–25 özel üçgeninden, |OF| = 20 bulunur.

C


|OE| + |OF| = 7 + 20

= 27 bulunur.

Çember ve Daire

8. BÖLÜM ÇEMBERDE AÇILAR a) Merkez Açı: A

O

α

BOA merkez açısının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. ! % m (BOA) = m (ACB) = α

C

B

O α A

O çemberin merkezi % m (OAB) = 65 ° % m (OCB) = 55° C

55°

65° B

% Yukarıdaki verilere göre, m (AOC) = α kaç derecedir? A) 90

B) 110

C) 120

D) 130

E) 140

O noktası B noktasına birleştirilirse yarıçapların eşitliği kullanılarak O α70 55°

65°

α = 50 + 70

α = 120° bulunur.

65

A

55

50

C

B

b) Çevre Açı ABC çevre açısının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına A

B

eşittir. %

D m (ABC) = α

α

ise

) m (ADC) = 2α

C


225

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

% m (BOC) merkez açı olduğundan gördüğü

A

O

O α

40°

% m (BAC) çevre açı olduğundan gördüğü yayın

30°

B

α

40°

yaya eşittir. % m (BC) = α olur.

α 2

O çemberin merkezi % m (ABO) = 40 ° % m (ACO) =30°

A

C

30°

B

yarısına eşittir. α % m (BAC) = olur. 2

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (BOC) = α kaç derecedir? A) 120

B) 130

C) 140

y

D) 150

x

α

Kural gereği α = 40 + 30 + α-

α = 70 2

α = 70, 2 210°

O O

150°

150° A α

C

105° α

C

α

!



B) 110

C) 130

α D B

!

m (DC) = 2α

α

α açısı çevre açı olup AC yayını görmektedir. 210 2 α = 105° bulunur.

C

Çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir. O

A

B

C

226

E) 210

Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.  % % m (DAC) = m (DBC) = α

A

D) 140


α = 140 bulunur.

α=

Yukarıdaki verilere göre, m (ABC) = α kaç derecedir? A) 105

α olur. 2

Çevre açı gördüğü yayın yarısı olduğundan

B

B

z

% m (AOC) = 150 ° ve merkez açıdır. ) m (ABC) = 150 ° olur. & m (AC) = 360 – 150 & m (AC) = 210 bulunur.

O çemberin merkezi % m (AOC) = 150 °

A

α = x + y + z dir.

E) 160

D

E

[AB] çap % % % m (ACB) = m (AEB) = m (ADB) = 90°

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

C

O yarım çemberin merkezi

α

ABC bir üçgen

D

|AD| = |DC| % m (ABC) = 50 °

E

50° A

B

O

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACB) = α kaç derecedir? A) 50

B) 55

α

E) 70

ğünden [BD] ⊥ [AC] olur.

65 D

[BD] hem dik, hem kenarortay olduğundan aynı

E

25 25 50°

A

D) 65

% B noktası D noktasına birleştirlirse, BDA çapı gördü-

C

65

C) 60

O

zamanda açıortay olur. % % m (ABD) = m (DBC) = 25 ° olur. B

3

BDC iç açıları toplamından 25° + 90° +α = 180° 115° + α = 180° α = 65° bulunur.

c) İç Açı [AB] ve [DC] kiriş % % (AD) + m (BC) % m (BEC) = α = 2

C A E

α

D B

[AC] ∩ [BD] = {E} % m (ABD) = 85° % m (BDC) = 40°

A

B

85°

% % m (BDC) = 40 ° olduğundan, m (BC) = 80 ° & % m (DBA) = 85 ° olduğundan, m (AD) = 170 ° olur.

% & m (BC) + m (AD) 2 80 + 170 α= 2

α E 40°

α=

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (AED) = α kaç derecedir? A) 110

B) 115

C) 120

D) 125

E) 130

α = 125 bulunur.


227

Çember ve Daire

8. BÖLÜM d) Dış Açı A B α

C

AC ve EC kesen ! ! m (AE) - m (BD) % m (ACE) = α = 2

D E

A B 55°

F 25°

& % m (BD) = x, m (AE) = Y alınırsa, y+x = 55 (iç açı özelliğinden) 2

[BE] ∩ [AD] = {F} % m (ACE) = 25° % m (AFE) = 55° C

y + x = 110 y + x = 110

D

y - x = 50

E

% Yukarıdaki verilere göre, m (AE) kaç derecedir? A) 60

B) 70

C) 80

e) Teğet – Kiriş Açı C

2y = 160 y = 80

D) 100

E) 110

% m (BAC) = α teğet – kiriş açı !

m (ADC) = 2α D

Aynı yayı gören teğet – kiriş açıların ölçüleri eşittir.

α A

B

ABC bir üçgen A teğet noktası % m (ABC) = 30 ° % m (ACB) = 50 °

A

α

30° B

50°

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (ADC) = α kaç derecedir? A) 50

B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 & % ACD çevre açı olduğundan m (AD) = 100 ° olur. & % BAD teğet kiriş açı olduğundan gördüğü AD yayının ölçüsünün yarısıdır. % m (BAD) = 50 ° olur. 3

α DBA nin dış açısı olduğundan,

α = 30° + 50°

α = 80° bulunur.

228


& y = m (AE) = 80 ° bulunur.

Çember ve Daire

8. BÖLÜM f) Teğet Açı

D teğet noktası

A ve C teğet noktaları % m (ABC) = α ) m (ADC) = 180 - α

A

α

D

D E α

B

A

O

B

C

O yarım çemberin merkezi % m (DCA) = α ( m (DEB) = 90 - α

C

A

ABC bir üçgen

40°

D

D, E ve F teğet noktaları % m (BAC) = 40 ° % m (ACB) = 60 °

E

α

60° B

F

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (DEF) = α kaç derecedir? A) 40

B) 50

C) 60

A

140 E

C = 60

ise

E= α

ise

E) 80

% m (DE) = 180 - 40 = 140 olur. % m (EF) = 180 - 60 = 120 olur. % m (DF) = 2α olur.

140 + 120 + 2α = 360°

12

0

260 + 2α = 360

60°

B

ise

^

α

2α

A = 40 ^

40°

D

D) 70

^

F

C

2α = 100 α = 50° bulunur.

O yarım çemberin merkezi,

D

α A

O

20° B

D teğet noktası % m (DCA) = 20 ° C

% Yukarıdaki verilere göre, m (DBA) = α kaç derecedir? A) 35

B) 40

120°

D

50°α A

O

70 B

20°

C) 45 D) 50 E) 55 % % m (DB) = 90 - 20 m (DB) = 70° olur. & & m (AD) = 180 - 70 m (AD) = 110° olur. & m (AD) α= 2 C 110 α= α = 55 bulunur. , 2


229

Çember ve Daire

8. BÖLÜM g) Eş Kirişler C A B E

F

( ( |AB| = |ED| ⇔ m (ACB) = m (DFE)

& AB yayı yarım çember olduğundan

D

70° O yarım çemberin merkezi,

C

D

70°

|AD| = |DC| % m (BC) = 40 °

& % |AD| = |DC| ise AD = DC olur. (Kirişler

40°

eşitse yaylarda eşittir.) % % & m (AD) + m (DC) + m (BC) = 180

α A

B

O

α A

180° olur.

C

D

0 x

B

O

B) 55

0 x

+

0 40 = 180

2x = 140

% Yukarıdaki verilere göre, m (DAB) = α kaç derecedir? A) 50

+

C) 60

D) 65

x = 70° olur. α çevre açısı gördüğü yayın yarısı

E) 70

olduğundan % m (DB) 110 α= = 2 2 α = 55 olur.

h) Paralel Kirişler B

A

F

E D

( ( [AB] // [DC] ⇔ m (BEC) = m (AFD)

C

E

O çemberin merkezi

α

A

α

50

B

O

D

E

[AB] // [DC] % m (AD) = 40 ° A

40

40

C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m (DEC) = α kaç derecedir? A) 45

230

B) 50

B

O

C) 55


D) 60

C

100 E) 65

% & m (AD) = m (BC) = 40° olur. % m (DC) = 100° bulunur. % m (DC) 100° α= = = 50° olur. 2 2

Çember ve Daire

8. BÖLÜM k) Kirişler Dörtgeni A B

% % m (DAB) + m (DCB) = 180 ° % % m (ABC) + m (ADC) = 180 °

D

C

A

Çemberler E ve F noktalarında kesişmektedir.

E

B

ABCD bir dörtgen % m (BCD) = 110 °

110° C

α

F

D

% Yukarıdaki verilere göre, m (ADC) = α kaç derecedir? A) 35

B) 55

A

E) 80

70

B

genin karşılıklı açılar toplamı 180° olur",

C

Özelliği kullanılarak; % m (BEF ) = 70 % % m (AEF ) = 110 ve m (ADF ) = α = 70 olur.

110°

70

α

D) 70

"E ve F noktaları birleştirilirse, kirişler dört-

E

110

C) 60

F

D

Sinüs Teoremi A

b

a b c = = = 2r sin A sin B sin C

c O B

r C

a

4 2 sin 30

A

4 2

x

|AB| = 4 2 cm

45

30

olduğuna göre, |AC| kaç cm dir? A) 4

B) 4 3

x sin 45

x . sin30 = 4 2 . sin 45

Bir ABC üçgeninde, % m (ABC) = 45 ° % m (ACB) = 30 °

=

C) 8

B

x. C

1 2 = 4 2. 2 2

x = 2

4 = 8 olur. 1

D) 8 2 E) 8 3


231

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

c = 2r olacağından, sin C

A Bir ABC üçgeninde, % m (ACB) = 30 °

6 = 2r sin 30 6 = 2r . sin30

6

|AB| = 6 cm

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı kaç cm dir? B) 3 2

A) 3

C) 3 3

D) 6

30

B

1 2 r = 6 olur. 6 = 2 r.

C

E) 12

c = 2r sin x

A

% Çevrel çemberin yarıçapı 3 cm olan ABC üçgeninde |AB|= 3 3 cm ise m (ACB) kaç

3 3 = 2.3 sin x

derecedir? A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

3 3

E) 75

3 3 = sin x.6 x

B

3 3

C

= sin x

sin x =

Çemberde Teğet Özellikleri 1)

62

3 2

x = 60 olur.

Çemberin merkezinden, teğet değme noktasına çizilen yarıçap diktir.

O

A

B

[OB] ⊥ AC

C

O noktası C'ye birleştirilirse, teğet olduğundan O çemberin merkezi

OC ⊥ CB olur.

C teğet noktası

O

OCB dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,

O, A ve B doğrusal

x A

|AB| = 9 cm

9 C

15

B

|BC|= 15 cm

Yukarıdaki verilere göre, |OA| = x kaç cm dir? A) 5

232

B) 6

C) 7


D) 8

E) 9

x2 + 152 = (x + 9)2

x 2 + 225 = x 2 + 18x + 81

18x = 144

x = 8 olur. Yada dik üçgende (8–15–17) özel üçgeninin varlığı görülürse x = 8 değeri hemen söylenebilir.

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 2.

Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet

A

parçalarının uzunlukları eşittir.

r B

O r C

A

A, F ve E teğet noktaları

A B

x

Aynı noktadan çizilen teğetler B

x

|AC|= 12 cm

eşit olacağından

y

F

F

C

a

D

E

|AB| = |BF| = x

C

|ED| = |DF| = a

y+x–a

a D

|BC| = y dersek

|DC| = y+x–a

olur.

E

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(CBD) kaç cm dir? A) 12

B) 18

C) 24

D) 30

|AC| = x + y = 12 olduğundan Ç(CBD) = 2x + 2y = 24 olur.

E) 36

Çemberde Kuvvet 1)

A

x

B y

C

x2 = y.(y+z)

z D

A

x

B

A teğet noktası A

B, C ve D doğrusal

|AB|2 = |BC| . |BD| olur.

x

B

4 C

|BC| = 4 cm

4 C

|CD| = 5 cm

5

5 D

B) 7

C) 8

x2 = 36 x = 6 olur.

D


x2 = 4 . 9

D) 9

E) 10


233

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 2)

A B

y

x

x(x+y) = z . (z + t)

C

z

t

D

E

O çemberin merkezi

A B

9

3 O

D

C

2

r

|CB| = 3 cm

3)

C) 8

D

t B

C

D


C 18

6 E

E) 12

x . y = z . t

E y

8

D) 9

x

z

[EC] ∩ [OD] = {F}

F

|DF| = 6 cm

x

A

O

B

|EF| = 8 cm |CF| = 18 cm

Yukarıdaki verilere göre, |OF| = x kaç cm dir? A) 9

B) 12

D

E A

6. (2x + 6) = 8.183

F

2x + 6 = 24

x O

x + 6

B

2x = 18 x = 9

K

234

D) 18

|OD| yarıçap |OD| = |OK| olur.

C 18

6 8

C) 15


2

C

18 = 2 + 2r

r = 8 bulunur.

[AC] ∩ [BD] = {E}

A

D

2r = 16

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? B) 7

3

r O

3 . 126 = 2 . (2 + 2r)

B

9

|AB| = 9 cm

A) 6

3.(3 + 9) = 2 . (2 + 2r)

A

|CD| = 2 cm

E) 24

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

Çember içerisindeki bir noktadan geçen en kısa kiriş çapa dik



olan kiriştir. O

Şekilde P noktasından geçen en kısa kiriş çapa dik olan [AB]

B

kirişidir.

P A

L

A, P ve B doğrusal

B 9

P

K

|AP| = 4 cm

4

A

B

x A

|BP| = 9 cm

9

P 4

x

O

En kısa kiriş [KL] olsun, [OP] ⊥ [KL] olacağından |PK| = |KL| = x olsun

x . x = 4 . 9

x2 = 36

Yukarıdaki verilere göre, P noktasından geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç cm dir?

x = 6 olur.

A) 6

Kiriş uzunluğu |KL| = 2x olduğundan

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18

|KL| = 2 . 6 = 12cm olur.

Dairenin Çevresi ve Alanı 1)

Daire çevresi

2) Yay uzunluğu

O

O

r A

Çevre= 2πr

O

O r

r

α

r

r B

α

A

% AB =

r B

2πr.

α 360

O dairenin merkezi % m (AOB) = 108 ° O 108°

5 B

|OB| = 5 cm

A

!

Yukarıdaki verilere göre, AB kaç cm dir? A) 2p

B) 3p

C) 4p

D) 5p

E) 6p

& 1083 AB = 2π.5 . 360 10 & AB = 3π olur.


235

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 3)

Daire Alanı

4) Daire Diliminin Alanı

O

O

r

α

A

E

A

pr2

Alan=

B

O

O r

r

α

r

r A

B

r B

Dilimin Alanı= πr2

α 360

ABCD bir kare E, F, G ve H teğet noktaları

H

F

D

Çevre(ABCD) = 24 cm

C

G

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir? (p = 3 alınacak) A) 6

B) 9 6 E

A

3

6H

D

C) 12

karenin Alanı = 6 . 6 = 36 cm2 Dairenin alanı = πr2

F6

6

= 3 . 32 = 27cm2

(Yarıçap r = 3 tür.)

C

G

E) 18

|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 6cm olan

B

3

D) 15

Taralı alan = Karenin alanı – Dairenin alanı Taralı alan = 36 – 27 = 9cm2 olur.

5) Daire Parçasının Alanı

O O r

α

r r

α

r

A

236

A

O O

r

A

Daire parçasının alanı


B B x

α 1 πr2 . - .r.r. sin α 360 2

r

A

B B

r r

x

% AB = x

Taralı alan = x.r 2

Çember ve Daire

8. BÖLÜM

O dairenin merkezi % m (AOB) = 60 °

O

|OA| = 6 cm

6 60° A

B

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir? (p=3 alınacak) A) 18 – 9 3

B) 18 – 6 3

D) 24 – 6 3

E) 36 – 9 3

AOB diliminin alanı 60 = π . 62 . 360

O 6 60°

6

A

C) 24 – 9 3

6

1 2 = 18cm olur. 6 a2 3 AOB üçgeninin alanı eşkenar üçgenin alanı 4 olduğundan; = 3 . 366 .

B

6 2 3 9 36 3 = = 9 3 olur. 4 4 Taralı alan = AOB dilimi – AOB üçgeni =

= (18– 9 3 )cm2 olur.

6) Daire Halkasının Alanı

R

R O r

O r

x

A

C O

x A

x B

C O

x

B

Daire Halkasının Alanı Daire Halkasının Alanı

π(R2 – r2)

x2π

O dairelerin merkezi A

[AB] küçük daireye C noktasında teğettir.

C

Taralı Alan = 42 . π

O B

|AB| = 8 cm

A

4

C O

4

= 16π olur.

B

Yukarıdaki verilere göre, daire halkasının alanı kaç cm2 dir? A) 2p

B) 4p

C) 8p

D) 16p

E) 32p


237

Çember ve Daire

8. BÖLÜM


O çemberin merkezi

[OC] ⊥ [OB]

O

2 C2

A

A, C ve B doğrusal

A

2 C

6

B

|AC| = 2 cm

h2 = 2 . 4

|BC| = 6 cm

h2 = 8 olur.

2.

4

B

.

r2 = 24

E) 2 7

24 ,

r = 2 6 olur.

O çeyrek çemberin merkezi

4

OBCD bir dikdörtgen

xC E

|AD| = 4 cm

6

|OD| = 6 cm

O

D) 5

r

8 + 16 = r 2 r=

A

D

C) 2 6

h

h2 + 42 = r2

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 3 2 B) 2 5

O

r

B

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 1 2

C) 3 2

B) 1

D) 2

E) 5 2

O noktası E'ye birleştirilirse yarıçap olur.

A

|OE| = 10

4

8

D

xC

(6–8–10 özel üçgeninden)

E

|DE| = 8 bulunur.

10

6

x = |OB| – |DE|

10

O

B

x = 10 – 8 x = 2 bulunur.

3.

O

O çemberin merkezi

OAB bir üçgen

C teğet noktası

[OA] ⊥ [OB]

A

2

C

8

|AC| = 2 cm

|BC| = 8 cm

238

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 2 3

B) 4

C) 3 2


D) 2

O

noktası

C'ye

birleştirilirse

teğet

değme noktasına dik olur.

B

h2 = 2 . 8

h2 = 16

h = 4 olur.

E) 4 2

Öklit bağıntısı kullanılarak

|OC| = h yarıçap olduğundan 4 bulunur.

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 4.

A ve D teğet noktaları D

x

x

|AB| = 6 cm

12

15

|BC| = 9 cm B

A 6

D

[DB] ⊥ [AC]

C

9

A 6

C

9

C noktasından çizilen teğetler eşit olaca-

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 3 5 B) 2 3 C) 6 2

B

D) 12

E) 6 5

ğından; |DC| = |AC| = 15 olur. DBC dik üçgeninde,

5.

A

|DB|2 + 92 = 152

|DB|2 + 81 = 225

|AB| = 7 cm

|DB| = 12 olur.

|BC| = 8 cm

DBA dik üçgeninde,

|AC| = 9 cm

x2 = 62 + 122 ⇒ x2 = 36 + 144

x2 = 180 ve x = 6 5 bulunur.

ABC bir üçgen D, E ve F teğet noktaları

E D

x

B

F

C

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 3

B) 4 144

444

|EC| = |FC|

E

|AE| = |AD|

4

9–x

24 44

D

8–x

3

8–x

E) 7

|BF| = |BD| olduğu görülür.

x

4 44

B

D) 6

Dıştan çizilen teğetlerin eşitliği kullanılarak

A

9–x

7

C) 5

x

F

9 – x + 8 – x = 7 olur. C

17 – 2x = 7 2x = 10 x = 5 bulunur.

6.

A 80°

B

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (OCB) = α kaç derecedir? A) 35

B) 45

C) 55

D) 65

B

90°

O

C

160°

α O

80°

L

O çeyrek çemberin merkezi % m (OAB) = 80 °

20°

A

E) 75

K Çeyrek çember, çembere tamamlanırsa, & % m (BK) = 160 °, m (AB) = 20 ° ) m (BAL) = 110° olur. ) m (BAL) 110 α= = 2 2 α = 55° bulunur.


239

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 7.


D

D teğet noktası

|AO| = |OB| = |BC| α A

O

C

B

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACD) = α kaç derecedir? A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 45

O noktası teğet olan D noktasına birleştirilirse dik olur.

D

|AO| = |OB| = |OD| = |BC| = r olur.

r

r

A

60 O

r

B

30 α r

ODC dik üçgeninde 30°–60°–90° özel-

C

liği görülür. α = 30° bulunur.

8.

% m (ACE) = 40 ° % m (BDA) = 30°

C B

A

40°

α F

70

30°

E

D

% Yukarıdaki verilere göre, m (CAD) = α kaç derecedir? A) 50

B) 55

C) 60

A

55°

70 70

A

70

40

70°

O

B

% % m (BFE) = m (CFD) = 180 - α olur.

α

180–α F 180–α

α + 40 + 30 = 180 – α 2α = 110

30°

α = 55 bulunur.

D

9. E

C

% m (EAB) = 55 °

% m (ABC) = 70 °

55° A

70° O

290 O noktası E'ye ve C'ye birleştirilirse


D α

yarıçap eşitlikleri kullanılarak, ) m (EDC) = 70 ° bulunur. α açısının gördüğü yay 360 – 70 = 290° dur.

B

α çevre açı olduğundan

% Yukarıdaki verilere göre, m (EDC) = α kaç derecedir? A) 115

240

C

55

E) 70

lıklı açılar toplamı 180° olur.

40°

E

E

ABFE kirişler dörtgeni olduğundan karşı-

C B

D) 65

D α

B) 125

C) 135


D) 145

E) 155

α=

290 2

α = 145 bulunur.

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 10.

D 70°

O çemberin merkezi % m (DBC) = 70 °

B

C

A

α

% m (CBA) = 110 olduğundan % m (CA) = 220 ° ) m (CBA) = 140 ° olur.

A, B ve D doğrusal

O

α

merkez açısı gördüğü ) m (CBA) = 140 ° ye eşittir.

% Yukarıdaki verilere göre, m (COA) = α kaç derecedir? A) 70

B) 110

C) 120

D) 130

[AC], [AB] ve [BC]

yarım dairelerin yarıçapları

|O1B| = 2 cm O1 2 B

O2

C

B) 10p

C) 12p

AC çaplı dairenin yarıçapı; r3 =

6

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir? A) 8p

α = 140° bulunur.

|O2B| = 6 cm A

olan

E) 140

11.

yay

AC

2 16 r3 = 2

D) 14p

r3 = 8 olur.

|AC| çaplı yarım dairenin alanı;

O2 merkezli yarım dairenin alanı;

πr22 π.6 2 = = 18π bulunur. 2 2

O1 merkezli yarım dairenin alanı;

Taralı alan = 32π – 2π – 18π

Taralı alan = 12π bulunur.

olur.

E) 16p

2

πr32 π.8 = = 32π bulunur. 2 2 2

πr12 π.2 = = 2π 2 2

bulunur.

A

E

12. A E

O çeyrek dairenin merkezi

4

OCDE bir kare

D

Çevre(OCDE) = 16 cm

O

D

4 4 2 4

4 C

B

O noktası D'ye birleştirilirse |OD| yarıçapı 4 2 bulunur.

O

C

Taralı Alan = Çeyrek Daire – Kare

B

Yukarıdaki verilere göre, taralı alanlar toplamı kaç A) 6

B) 8

C) 10

cm2

D) 12

dir? (p = 3 alınacak) E) 14

Taralı Alan = Taralı Alan =

π. (4 2 ) 2 - 4.4 4 3.328 4

- 16

Taralı Alan = 8br2 bulunur.


241

Çember ve Daire

8. BÖLÜM 13.

O dairelerin merkezi A

A, B ve C doğrusal

6 B

O

|AB| = 6 cm

4

|BC|= 4 cm

C

A

6B

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir?

A) 48p

B) 52p

C) 54p

D) 56p

20°

h 4

2

C

noktasından

|BC|

|BH|= |HC| = 2 olur.

O yarım dairenin merkezi % m (ACO) = 20 °

C

2

O

E) 60p

O

14.

R

ye

dik

indirilirse

Küçük çemberin yarıçapı r, büyük çemberin yarı çapı R alınırsa

Taralı Alan = π(R2 – r2 ) olur.

|AO| = 6 cm

R2 = h2 + 82 ⇒ R2 – 64 = h2 A

6

O

r2 = h2 + 22 ⇒ r2 – 4 = h2

B

R2 – 64 = r2 – 4 ⇒ R2 – r2 = 64 – 4

Yukarıdaki verilere göre, taralı alanlar toplamı kaç cm2 dir?

A) 2p

B) 3p

C) 4p

D) 5p

R2 – r2 = 60 olur. Taralı alan = 60π olur.

E) 6p

ACB açısı çapı gördüğünden dik olur. Açılar yerleştirildiğinde |AO| = |OB| olduğundan,

C

S

20 A

6

20°

70

6

S

40

O

6

3

3

A(ACO) = A (COB) olur. 70 B

Böylece taralı alanlar toplamı COB daire dilimine eşit olur. COB diliminin alanı; α 360

= πr2 .

= π . 36.

= π.62 .

40 360

40 = 4π bulunur. 360

2

A

B

S 2

15. A

B

S

ABCD bir kare

A ve C çeyrek dairelerin merkezleri

|DC| = 2 cm

D

2

C

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç A) 1 2

242

B) 1

C) 3 2


cm2

dir? (p = 3 alınacak) D) 2

2

C

S = Kare – Çeyrek Daire

D

2

E) 5 2

= A(ABCD) – DBC çeyrek daire dilimi 3. 4 π.2 2 = 2 . 2 – & 44 4 = 4 – 3 = 1 bulur.

Taralı Alan = Kare – 2S

= 4 – 2 . 1

= 2 olur.

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM Dik Prizma  Taban şekline göre isimlendirilir.  Yan yüzeyler dikdörtgendir.  Yan ayrıtlar aynı zamanda prizmanın yüksekliğidir.

Dik Prizmanın Alan ve Hacmi

Hacmi:

Taban Alanı . Yükseklik

Yanal Alanı:

Taban Çevresi . Yükseklik

Bütün Alanı:

2 . Taban Alanı + Yanal Alanı

1) Üçgen Prizma A′ a B′

b C′

c A a

B

Hacmi =

Taban Alanı . Yükseklik = A(ABC) . h

Yanal Alanı =

Taban Çevresi . Yükseklik = (a + b + c) . h

Bütün Alanı =

2. Taban Alanı + Yanal Alan = 2 . A(ABC) + h. (a+b+c)

b c

C

Tabanının bir ayrıtı 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan eşkenar üçgen dik prizmanın; 42 3 .10 = 40 3 cm3 4

a) Hacmini

=

b) Yanal alanını

= (4 + 4 +4) . 10 = 120cm2

c) Bütün alanını bulunuz

= 2 .

42 3 2 + 120 = 8 3 + 120cm 4


243

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM 2) Dikdörtgenler Prizması: D′

C′

c

A′

c

B′ e

D

C

c

b A

a

Hacmi =

a . b . c

Yanal Alanı =

2 . (bc + ac)

Bütün Alanı =

2 . (ab + ac + bc)

Yüzey Köşegeni = a 2 + b 2 a2 + c2 Cisim Köşegeni =

a2 + b2 + c2

a = 2k _b b Kenar uzunlukları b = 3k ` olur. b c = 5k b a

B

Ayrıtları 2, 3 ve 5 sayıları ile orantılı olan ve hacmi 240 cm3 olan dikdörtgenler prizmasının bütün alanı kaç cm2 dir? A) 212

B) 244

C) 248

D) 284

b2 + c2

E) 312

Hacmi = 2k . 3k . 5k = 240 30 .k3 = 240

k3 = 8

k = 2 olur. _ b b b b ` b b bb a

a = 2k = 4 b = 3k = 6

c = 5k = 10 olur. Üç farklı yüzeyinin alanları 24 cm2, 30 cm2 ve 36 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3 tür? A) 12 6 B) 24 3 C) 48 3 a . b = 24 a . c = 30 b . c = 36 a2 . b2 . c2 = 24 . 30 . 36

D′

E

A′

C′

8

B′ D

C

D) 72 5 E) 96 5

a . b . c =

24.30.36

a . b . c =

4 . 6 . 6 . 5 . 36

a . b . c = 2 . 6 . 6 .

Tüm Alanı = 2 . (4 . 6 + 4 . 10 + 6 . 10)

= 2 . 124

= 248 cm2 dır.

5

a . b . c = 72 5 cm3 olur.

E∈[D′C′] |BC| = 6 cm

D′

|CC′| = 8 cm |AB| = 12 cm

A′

6 A

12

Yukarıdaki verilere göre, A(AEB) kaç A) 60

B) 70

8 D

B

cm2

C) 80

E

dir?

A

D) 90

E) 100

10 L 12

A (EAB) =


8

B′

C

6

6 B

EAB üçgeninin yüksekliği EKL dik üçgeninden 10 cm bulunur.

244

C′

12.10 2 = 60cm olur. 2

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM 3) Kare Dik Prizma D′

C′

A′

B′ h

h

Hacmi =

a2 . h

Yanal Alanı =

4 . a . h

Bütün Alanı =

4 . a . h + 2 . a2

h

D

C a a

A

B

a = 4

4

Cisim köşegeni

Taban çevresi 16 cm olan ve yüksekliği 6 cm olan kare dik prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm dir?

4

4

B) 2 17 C) 6 2 D) 4 6 E) 6 3

A) 2 13

4) Küp

4

D′

C′

A′

Hacmi =

a3

Yanal Alanı =

4a2

Bütün Alanı =

6a2

Yüzey Köşegeni =

a 2

Cisim Köşegeni =

a 3

a

B′ D

C a a

A

B

h =6

=

a2 + a2 + h2

=

42 + 42 + 62

=

16 + 16 + 36

=

68

= 2 17 bulunur.

6

D′

C′

6 D′

C′

Şekildeki küpte

A′

A′

6

B′

6

B′

|AB| = 6 cm D

6 2

6 2

C

6

D

C

A

6

B

A' B' C' üçgeni bir kenarı 6 2 olan eşkenar A

6

üçgen olur.

B

Yukarıdaki verilere göre, A(A'BC') kaç

cm2

dir?

A) 18 3 B) 20 3 C) 22 3 D) 24 3 E) 28 3

Alanı =

a2 3 (6 2 ) 2 3 = 4 4 369 .2 3

=

= 18 3 cm2 bulunur.

4


245

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM

D′ D′

C′

Şekildeki küpte

C′

A′

B′

E∈[DC]

A′

B′

A

C

E

5

|DE| = 3 cm

x D

x

|EC| = 2 cm

5

D

3

C

E

34 5

A

B

A noktası E noktasına birleştirilirse, ADE

B

dik üçgeninde

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir? A) 3 5 B) 4 3 C) 2 13 D)

59 E) 2 15

52 + 32 = |AE|2

25 + 9 = |AE|2

34 = |AE|2

34 = |AE|

A'AE dik üçgeninde x2 = 52 + ( 34 )2

D′

C′

İçi dolu küpün A noktasında bulunan karınca küp yüzeyini kullanarak E noktasına ulaşıyor.

A′

B′

C

x2 = 25 + 34

x2 = 59

x =

bulunur.

59

BCC'B' kapağı açılırsa A' B'

|AB| = 6 cm |EC| = 2 cm

D

A

E

C'

E∈[CC'] E

x

B

Yukarıdaki verilere göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 6 2 B) 2 17 C) 4 5

D) 10

E) 2 37

A

6

B

2 6

|AE| = x en kısa yol olur.

C

x2 = 122 + 22 x2 = 148

x =

148

x = 2 37

D′

C′

olur.

İçi dolu küpün şekildeki gibi köşesinden bir ayrıtı 1 cm olan bir küp çıkarılıyor.

A′

|AB| = 4 cm D

A

Küpün köşelerinden çıkarılan parçalar alanını değiştirmez.

C

B

Yukarıdaki verilere göre, kalan kısmın alanı kaç cm2 dir? A) 84

246

B) 90

C) 92


D) 93

E) 96

Küpün Alanı

= 6a2

= 6 . 42

= 6 . 16

= 96cm2 olur.

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM Dik Piramit  Taban şekline göre isimlendirilir.  Yan yüzeyler üçgendir.

 İki tür yükseklik vardır. Yan yüzey yüksekliği ve piramidin yüksekliği Taban alanı . Yükseklik

Hacim =

3

Yanal Alanı =

Taban çevresi . Yanal yükseklik

Bütün Alanı =

Taban alanı + Yanal alanı

Taban alanı 30 cm2 ve yüksekliği 6 cm olan piramidin hacmi kaç cm3 tür? A) 30

B) 45

C) 60

Taban alanı . Yükseklik 30.6 3 3

D) 120

E) 180

2

= 30 . 2 = 60cm2 dir.

Kare Piramit T

Hacmi =

a 2 .h 3

Yanal Alanı = 4a . hy hy

h

Bütün Alanı = 4a . hy + a2

D

A

a

B

a _ 2

a _ 2

C

h2 + c

a 2 2 m = (hy) 2

Taban alanı 36 cm2 ve hacmi 48 cm2 olan kare dik piramidin yan yüzey yüksekliği kaç cm dir? A) 2 3

B) 4

Taban Alanı = a2 = 36

a = 6

Hacmi ⇒

C) 3 2 D) 2 5 h2 + c 42 + e

E) 5

a 2 2 m = ^hyh 2

6 2 2 o = ^hyh 2

a 2 .h 2 = 48 16 + 9 = (hy) 3 25 = (hy) 2 3612 .h = 48 hy = 5 bulunur. 3

12h = 48

h = 4 olur.


247

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM Düzgün Dörtyüzlü A

Hacmi = a hy

Alanı = a 2 3

a

h

a

a _ 2

D

Cisim yüksekliği =

a a _ 2

B

a3 . 2 12

a 6 3

C

a

Alanı 12 3 cm2 olan düzgün dörtyüzlünün hacmi kaç cm3 tür? A) 3 2 B) 2 6 C) 4 2 D) 4 3

E) 6 2

a 2 3 = 12 3 ⇒ a2 = 12 ⇒ a = 2 3 V=

(2 3) 3 . 2 a3 2 = = 2 6 cm3 12 12

Dik Dairesel Silindir A′

r

h

h r

A

O2

B′

O2

O1

h

h 2πr O1

B

Hacmi =

πr2 . h

Yanal Alanı =

2πr . h

Bütün Alanı =

2πrh + 2πr2

Silindirin tüm alaın, 2πr . h + 2πr2 = 48π 2π . 3 . h + 2π . 9 = 48π

6πh + 18π = 48π 6h + 18 = 48 6h = 30 h= 5

Bir dik dairesel silindirin bütün alanı 48p cm2 ve taban yarıçapı 3 cm olduğuna göre, silindirin hacmi kaç cm3 tür? A) 36p

B) 40p

D′

C′

A′

B′

C) 45p

D) 48p

E) 52p

Hacmi

= πr2 . h

= π . 32 . 5

= 45πcm2 olur.

Şekildeki kare dik prizmanın taban alanı 36 cm2 ve yüksekliği 10 cm En büyük hacimli silindi tabana dir. Prizmanın taban alanı;

D

6

teğet olan silindirdir.

a2

C

= 36

3 6

O

6

3

6 silindirin yarıçapı r = 3 ve yüksekliği prizYukarıdaki verilere göre, kare dik prizma içine yerleşebilecek en büyük hacimli silin- ma ile aynı olup h= 10 olur. Silindirin alanı; A

a = 6 olur.

B

= 2πrh + 2πr2 = 2 . π . 3 . 10 + 2π . 32

dirin alanı kaç cm2 dir? A) 60p

248

B) 68p

C) 72p


D) 74p

E) 78p

= 60π + 18π = 78πcm2 bulunur.

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM

Şekildeki içi dolu yarım silindirin A

O B2

12

2

C

|BO| = 2 cm, |AB| = 12 cm

Yukarıdaki verilere göre, yarım silindirin yüzey alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınacak) A) 128

B) 132

C) 136

D) 140

E) 148

Yüzey alanı = Taban alanı + 2 yarım daire + Yanal alanın yarısı 3.2 2 2.3. 2.12 2 = 12.4 + 2. = 48 + 12 + 72 = 132cm bulunur. + 2 2

Şekil I de içi tamamen su dolu ağzı açık kap

4

şekil II deki duruma geldiğinde bir miktar su 5

dökülüyor. Kap tekrar şekil I deki duruma

A

getirildiğinde suyun yüksekliği kaç cm

2

olur?

O

2

5

45°

O

A

2

B

B (I)

A) 5

B) 6

O

O

B

45° B

(I)

C) 7

D) 8

45 4

4

2

2

A

(II)

45

A

(II)

Silindirin hacmi

E) 9

πr2h1 = π . 22 . 9

= 36πcm3

Dökülen kısmın hacmi

Dik Dairesel Koni T

Hacmi =

α

a

A

h

r

a

a

a 360 r = α

Kalan kısmın hacmi

36π – 8π = 28cm3 olur. Yeni yükseklik h3 olursa

a

Yanal Alanı =

πra

πr 2 h3 = 28π

2 2 .h3 = 28 4.h3 = 28

B r

πr 2 .h 3

T

π.r 2 .h 2 π.2 2 .4 3 = = 8πcm 2 2

Bütün Alanı =

h2 + r2 = a2

πr2 + πra

h3 = 7cm olur.


249

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM

T T

Şekildeki dik dairesel konide |AB| = 10 cm

h

|TB| = 13 cm

13

5

A A

B

h = 12 olur.

Yukarıdaki verilere göre, koninin hacmi kaç cm3 tür? A) 50p

5

O

h2 + 52 = 132 (5–12–13 üçgeni)

B

O

13

B) 75p

C) 100p

D) 150p

E) 300p

Hacmi =

O merkezli 12 cm yarıçaplı daire dilimi katlanarak dik daire-

O

sel koni yapılıyor. % m (AOB) = 120 °

120° 12

A

=

πr 2 h 3 π.5 2 .12 4

3 = π . 25 . 4

= 100πcm3 olur.

B

Yukarıdaki verilere göre, oluşacak koninin yüksekliği kaç cm dir? A) 4 6

B) 10

C) 6 3 D) 4 7

E) 8 2

r α h2 + r2 = a2 = a 360 h2 + 42 = 122 120 1 r & 3r = 12 r = 4 olur. = h2 + 16 = 144 12 360 3 h2 = 128 h = 8 2 cm olur.

6

D′ D′

C′ E

Şekildeki küpün içerisine dik dairesel koni yerleştiriliyor. E noktası A′B′C′D′ karesinin ağırlık merkezi

A′

B′ D

|AB| = 6 cm

A′

6

D

C

B

250

B) 18p

C) 24p


D) 27p

6 3 6

C

3

6 B

2 2 πr 2 h π.3 .6 = 3 3 = π . 9 . 2

= 18πcm3 olur.

Hacmi =


6

B′

A A

C′

E

E) 36p

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM

TOB üçgeninde benzerlik uygulanırsa,

T T

|OA| = |AB| = 2 cm E

|AF| = 6 cm E

F

D

C

A

2 6

D O

x

O C

21 x & 2x = x + 6 = x+6 42

F

x = 6 olur.

6

2 A

2

Koninin yarıçapı r = 4 ve yüksekliği B

B


B) 52p

C) 56p

D) 62p

T C′

D′

h =x + 6

h =6 + 6

h = 12 olur.

2 4 πr 2 h π.4 .12 = 3 3 = 16π . 4

= 64π cm3 olur.

Hacmi

E) 64p

=

Şekildeki koni ile silindirin yükseklikleri eşittir. 2|O2C| = |O1B| = 2r

A

O1

2r

B

r C

O2

D

Yukarıdaki verilere göre, koninin hacminin silindirin hacmine oranı kaçtır? A) 3 4

B) 4 C) 3 3 2

D) 2

E) 3

π (2r) 2 .h 4πr 2 h 1 4 Koni 3 olur. = = = = 3 3 Silindir πr 2 .h πr 2 h

Küre Hacmi =

Alanı = O

4 3 πr 3 4πr2

Alanı →

4πr 2 = 48π

r 2 = 12

4r 2 = 48

r= 2 3

4 3 πr 3 4 3 = .π. (2 3) 3 4 = .π.8.3 3 3

Hacmi → = Alanı 48p cm2 olan kürenin hacmi kaç cm3 tür? A) 16p 3

B) 20p 3

C) 24p 3

D) 28p 3

E) 32p 3

3 = 32π 3 cm olur.


251

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM

Küre; küpe teğet olacağından _ b 2r = 4 r b b ` 4 r = 2 b olur. r bb a

Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün içine yerleştirilen en büyük hacimli kürenin hacmi kaç cm3 tür? (p = 3 alınacak) A) 28

B) 32

C) 36

D) 40

E) 48

Hacmi

3 = 4.8 = 32cm olur.

O1 ve O2 kürelerin merkezleri |AB| = 12 cm A

O2

Arada kalan kısmın hacmi; = Büyük Kürenin hacmi – Küçük kürenin

B

O1

4 3 πr 3 4 3 = .3.2 3 =

hacmi 4 4 π.63 - π.33 3 3 4π 3 4π (6 - 33) = . (216 - 27) = 3 3 4 63 = π.189 = 4π.63 3 =

Yukarıdaki verilere göre, küreler arasında kalan kısmın hacmi kaç cm3 tür? A) 228p

B) 232p

C) 248p

D) 252p

E) 260p

= 252π bulunur.


Yüzey köşegen uzunlukları

23 cm,

37 ve 2 3 cm olan bir dikdörtgenler

prizmasının cisim köşegeni kaç cm dir? A) 4 2

B) 6

C) 4 3 D) 2 5 E) 6 2

a2 + b2 =

23 & a 2 + b 2 = 23

a2 + b2 + c2 = 36 olur.

b2 + c2 =

37 & b 2 + c 2 = 37

Cisim köşegeni ,

a 2 + c 2 = 2 3 & a 2 + c 2 = 12

2.

252

a2 + b2 + c2 =

36

= 6cm olur.

2a2 + 2b2 + 2c2 = 72

Bir küpün hacmi, sayıca bütün alanına eşit olduğuna göre, bir ayrıtı kaç birimdir? A) 2

B) 2 2

C) 3

a3 = 6 a 2 a = 6 olur.


D) 3 2

E) 6

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM 3.

Bir dikdörtgenler prizmasının bütün alanı 40 cm2 ve cisim köşegenin uzunluğu 2 6 cm olduğuna göre üç farklı ayrıtının toplamı kaç cm dir? A) 4

C) 4 3

B) 6

D) 8

Alanı → 2(ab + ac + bc) = 40

Cisim köşegeni,

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + ac + bc) 144424443 1444 42444 43 (a + b + c) 2 = 24 40 +

a2 + b2 + c2 = 2 6

(a + b + c) 2 = 64

a 2 + b 2 + c 2 = 24

4.

D′

C′

E) 6 2

a + b + c = 8 olur. Şekildeki küpte E noktası ABCD yüzeyinin ağırlık

D′

C′

merkezidir.

A′

B′

|AB|= 4 cm

D

B′

2 6

4

D

2 6

4

2

2 5 2 6

C

2 2 E2 2

B

A

Yukarıdaki verilere göre, A(A′B′E) kaç cm2 dir?

B

A ve B noktaları E ye birleştirilir ve dik üçgenlerden kenarlar bulunursa

B) 4 5 C) 6 2 D) 4 6 E) 6 3

A) 8

2 6

4

E A

4

A′

C

2

T. Alan =

4. 2 5 2

2 = 4 5 cm olur.

5.

Bir küpün yüzey köşegen uzunluğunun cisim köşegen uzunluğuna oranı kaçtır? A)

6 B) 6 C) 2 D) 3 E) 3 2 6 6

Yüzey köşegeni Cisim köşegeni

6.

a 2 a 3

2

=

3

=

6 olur. 3

D

B) 3

O2

C

C) 4

D) 5

Hacmi →

|AB| = 8 cm

|BC| = 10 cm A

O1

D

B

doldurmak için kaç

cm3

B) 320

A

su gereklidir? (p = 3 alınacak) C) 350

O2

10

Yukarıdaki verilere göre, silindirin boş kalan kısımlarını

A) 300

E) 6

D) 375

4

O4 1

≠r 2 h = 125≠ r 2 h = 125

4

2πrh = 2πr 2

r

h = r olur.

r2 . h = 125 r2 . r = 125

r3 = 125

h = r olduğundan h = 5 olur.

Şekildeki silindirin içine taban yarıçapları ve yüksekliği aynı olan koni yerleştiriliyor.

Hacmi 125p cm3 olan bir silindirin yanal alanı taban alanları toplamına eşit olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç cm dir? A) 2

7.

=

3

C

10

Silindirin boş kısmının hacmi = silindirin hacmi – koni hacmi 2 = πr h -

= B

πr 2 h 3

2.3.4 2 .10 2πr 2 h = = 2.16.10 3 3

3 = 320cm olur.

E) 400


253

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM P

8.

Şekildeki kare dik piramitte F noktası ABCD yüzeyinin ağırlık merkezidir. [PE] ⊥ [BC]

C 60°

|AB| = 6 cm

E

F A

% m (PEF) = 60 °

D

B

Yukarıdaki verilere göre, piramidin hacmi kaç cm3 tür? A) 9 3 B) 18 3 C) 36 3 D) 48 3 E) 64 3

Taban alanı . Yükseklik 3

T

9.

=

6 2 .3 3 3

= 36 3 olur.

Şekildeki cisimde

3

D

|O1B| = |TO2| = 3 cm

C

O2

|BC| = 4 cm 4

3

O1

A

Yukarıdaki verilere göre, cismin hacmi kaç cm3 tür? A) 36p

10.

B) 38p

D

C

12π

C) 42p

D) 45p

E) 48p

O

5

B) 13p

ı ar

K

A

254

C) 16p

5π

n

nı

a nc

= 36π

Koninin hacmi =

ol

C

ıy

ğ dı

al

E) 24p

Silindir açıldığında, karınca yarı yüzeyi alır. |DC| =

π

D) 18p

2πr 2

= πr = π.5 = 5π olur.

ADC dik üçgenin (5–12–13)

13

(AC) = 13π bulunur. B


=

πr 2 h 3 π.3 2 .3

Cismin hacmi = 36π + 9π = 45π olur.

ulaşıyor. Buna göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir?

12π

|OB| = 5 cm

A noktasından hareket etmeye başlayan karınca silindir yüzeyinden C noktasına

D

= π . 32 . 4

Şekildeki silindirde

B

A) 10p

|AD| = 12p cm

A

Silindirin hacmi = πr2h1

B

3

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM T

11.

Şekildeki koninin içine en büyük hacimli bir küre

D

4

|TC| = 4 cm

C

6

Yukarıdaki verilere göre, kürenin hacmi kaç B) 32p

A) 27p

6

A

cm3

C) 34p

tür?

D) 36p

θ

K

B

O

α 4

D

|BC| = 6 cm

6 A

T

yerleştiriliyor.

4

C

r 6

O

θ

6 B

K den C teğet noktasına dik çizilir, T E) 40p

noktasında O'ya dik indirilirse TOB dik üçgeninde (6–8–10) |TO| = 8 bulunur. KCT ∼ BOT olur. (Benzer üçgenler)

T

12.

|OB| = 4 cm

r = 6

|BT| = 24 cm

Kürenin hacmi,

Şekildeki dik konide

24

4 A

B

O

4 = 8r = 24 8 r = 3 olur.

4 3 4 πr = .π.33 3 3 4 9 = .π. 27 3

= 36π olur.

A noktasından harekete başlayan karınca şekildeki yolu izleyerek tekrar A noktasına ulaşıyor. Buna göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 8

B) 12

C) 16

D) 18

Koni açıldığında, α

r α = a 360 α = 246 360

24

6α = 360 α = 60

En kısa yol

60

41

Aı

60

E) 24

|AA'| = 24cm bulunur. 24

24

60

T

r Aı

T

13.

O1

A

O2

3

2

B

|TO1| = r olsun |AO2) = |O2B| = 3 olur.

|AB| = 6 cm

AO1O2 dik üçgeninde

|TO2| = 9 cm

r2 = (9–r)2 + 32

r 2 = 81 – 18r + r 2 +9

18r = 90

r = 5 olur.

B

B) 48p

3O

9-r

Şekilde kürenin içine koni yerleştirilmiştir.

Yukarıdaki verilere göre, kürenin alanı kaç cm2 dir? A) 36p

O1

r A

9

C) 64p

D) 100p

Kürenin Alanı = 4πr2 E) 144p

= 4 . π . 52

=100π bulunur.


255

Geometrik Cisimler

9. BÖLÜM 14.

Şekilde yarım küre ile koninin merkezi O noktasıdır.

|AO| = |OC|

O

A

B

C

Yukarıdaki verilere göre, koninin hacminin yarım kürenin hacmine oranı kaçtır? A) 1 3

B) 1 2

Koninin hacmi Yarım kürenin hacmi

C) 1

D) 2

E) 3

πr 2 .r πr3 31 1 3 = = . = 2 3 2 bulunur. 3 4 1 2 πr 3 .π.r 3 2

A

10 O1 6

A

Şekildeki 10 cm yarıçaplı küre merkezinden 6 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

O1 6

A noktası O1'e birleştirilirse |AO1| = 10cm olur.

O2

AO1O2 dik üçgeninde, (6–8–10) |AO2| = 8 olur.

B

Dairenin Alanı = πr2

Yukarıdaki verilere göre, oluşan kesit alanı kaç cm2 dir? A) 36p

B) 48p

C) 64p

16.

D) 72p

E) 81p

= π . 82

= 64π bulunur.

Şekildeki O merkezli kürenin yüzey alanı 144p cm2 dir.

A

O2

B

15.

8

O

B

A

Küre yüzeyini kullanarak A noktasından B noktasına gidecek olan karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 4p

B) 6p

4 π r2 = 144 π

C) 8p

D) 10p

E) 12p

6

O

6

B

r2 = 36 r = 6 olur.

A'dan B'ye en kısa yol AB yayıdır. Dairenin çevresi

= 2πr

= 2π . 6

= 12π olur.

AB yayı dairenin çevresinin yarısıdır.

12π = 6πcm olur. 2

256


10. Sınıf Matematik Akıllı Defter

Recommend Documents