MARCO TEÓRICO Cuando el cuadrante se sumerge en agua, es posible analizar las fuerzas que actúan sobre la cara sumergida del cuadrante de la siguiente manera: La fuerza hidrostática, hidrostática, en cualquier punto punto de la curva es es normal a la cara de la superficie y por lo tanto resuelve a través del punto de pivote porque este se encuentra en el eje de los radios Las !uerzas hidrostáticas en la parte superior e inferior de la superficie curvada no tienen efecto neto, ni afecta el equilibrio de la balanza es decir, porque todas estas fuerzas pasan a través del pivote Las fuerzas en los lados del cuadrante son horizontales y se anulan porque son iguales y contrarias La fuerza hidrostát hidrostática ica en la cara sumergida sumergida vertical vertical es contrarresta contrarrestada da por el equili equilibri brio o del peso peso La fuerza fuerza hidrost hidrostáti ática ca resultan resultante te en la cara
puede puede ser
calculada a partir del valor del peso y el equilibrio de la profundidad profundidad del agua agua como sigue: Cuando el sistema está en equilibrio, los momentos sobre el punto de giro son iguales mgL = Fh
"#nde:
m = es la masa en la percha de peso g $ es la l a aceleraci#n de la gravedad L $ es la longitud del brazo de equilibrio F = es el empuje hidrostático h $ es la distancia entre el eje y el centro de presi#n %or lo tanto calculando calculando el empuje hidrostático y el centro de presi#n en en la cara fro fronta ntal
del
cua cuadrant rante, e,
e&perimentales '()
pode odemos mos
comp compar arar ar
los los
res resulta ltados dos
te#r te#ric ico os
y
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS Los muros de contenci#n que aparecen en las figuras a y b son ejemplos clásicos de paredes rectangulares e&puestas a una presi#n que var*a desde cero, en la superficie del fluido, a un má&imo en el fondo de la pared La fuerza ejercida por la presi#n del fluido tiende a hacer girar la pared o romperla en el sitio en que está fija al fondo
Fig.1 Pared vertical. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición
La fuerza real se distribuye sobre toda la pared, pero para el prop#sito del análisis es deseable determinar la fuerza resultante y el lugar en que actúa, el cual se denomina centro de presi#n +s decir, si toda la fuerza se concentrara en un solo punto d#nde estar*a éste y cuál ser*a la magnitud de la fuerza-
Fig. 2 Distribución de la presión sobre el uro vertical de contención. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición
Como lo indica la ecuaci#n ∆ p= yh , la presi#n varia en forma lineal .a la manera de una l*nea recta/ con la profundidad del fluido Las longitudes de las flechas punteadas representan la magnitud de la presi#n del fluido en puntos diferentes sobre muro Como : F P= → F = PA A
P y =
df → df = P y dA dA
df =( P0 + γ f y ) dA
(¿ P + γ f y )dA F R=∫ ¿ 0
∫
∫ γ ydA F = P ∫ dA + γ ∫ ydA
F R= P0 dA + R
f
f
0
"rea total
Prier oento
F R= P 0 A + γ f ´ yde A área P
¿
y ¿ 0 + γ f ¿´
.(/
¿ F R =¿
Presión a la profundidad del centroide
"ebido a que la presi#n varia en forma lineal, la fuerza resultante total se calcula por medio de la ecuaci#n: F R= p prom × A
"onde
p prom
es la presi#n promedio y
.(/ A
el area total del muro %ero la
presi#n promedio es la que se ejerce en la mitad del muro, por lo que se calcula por medio de la ecuaci#n: p prom= y ( h / 2) "onde ! es la profundidad total del fluido
%or tanto, tenemos Fr = y ( h / 2 ) A La distribuci#n de la presi#n mostrada en la figura 0 indica que sobre la parte inferior de la pared actúa una porci#n de fuerza mayor que sobre la parte superior +l centro de presi#n está en el centroide del triángulo de distribuci#n de la presi#n, a un tercio de la distancia desde el fondo de la pared +n ese punto, la fuerza resultante Fr actúa en forma perpendicular a la pared
FUERZAS EN ÁREAS PLANAS SUMERGIDAS "efinimos la fuerza resultante como la suma de fuerzas sobre los elementos peque1os de interés La figura 2 ilustra este concepto +n realidad, la forma del área es arbitraria +n cualquier área peque1a dA e&iste una fuerza dF que actúa de modo perpendicular al área, debido a la presi#n p del fluido %ero la magnitud de la presi#n a cualquier profundidad ! en un l*quido estático de peso espec*fico y es P= γh . +ntonces, la fuerza es dF = P ( dA )= yh ( dA )
.0/
"ebido a que el área esta inclinada con un ángulo
θ
, es conveniente trabajar
en su plano y usar # para denotar la posici#n sobre el área a cualquier profundidad h . 3bserve que h = y sen θ
"onde y
.2/
se mide a partir del nivel de la superficie libre del fluido, a lo largo
del ángulo de inclinaci#n del área +ntonces, dF = γ ( y senθ ) ( dA ) .4/ La suma de las fuerzas en toda la superficie se obtiene por medio del proceso matemático de integraci#n,
❑
❑
❑
A
A
A
∫ dF =∫ γ ( y senθ )( dA )=γ sen θ∫ y (dA )
F R=
Fig. $. Desarrollo del procediiento general para las fuer%as sobre áreas planas suergidas. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición
"e la mecánica se sabe que
∫ y ( dA )
es igual al producto del área total por
la distancia al centroide del área desde el eje de referencia +s decir: ❑
∫ y ( dA )= L A C
A
%or tanto, la fuerza resultante
F R
es
F R= γ sen θ ( LC A )
6hora, al hacer la sustitucion
hc = LC senθ F R= γ h c A
.5/
encontramos que .7/
+l centro de presión es el punto sobre el área donde se supone que actúa la fuerza resultante, en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área debido a la presi#n del fluido +ste efecto se e&presa en términos del momento de una fuerza con respecto de un eje, a través de & perpendicular a la página
8ea la figura 2 +l momento de cada fuerza peque1a
dF
con respecto a
dicho eje es: dM = dF∙ y %ero
dF = γ ( y sen θ )( dA )
. +ntonces, 2
dM = y [ γ ( y sen θ )( dA )]= γ senθ ( y dA )
%odemos encontrar el momento de todas las fuerzas sobre el área total integrando toda el área 6hora, si suponemos que la fuerza resultante Fr actúa +ntonces, 2 F R L p= γ senθ ( y dA )= γsenθ
∫
∫( y dA ) 2
3tra vez, de la mecánica se sabe que el momento de inercia I de toda el y
¿
área con respecto al eje desde el que se mide
y , se define como
(¿ 2 dA ¿ ) ¿ ∫¿
+ntonces, F R L p=γsen θ ( I )
6l despejar para
L p=
L p
obtenemos
γsenθ ( I ) F R
6l sustituir
F R ,
de acuerdo con la ecuaci#n .5/ tenemos
L p=
γsen θ ( I ) I = γ senθ ( LC A ) LC A
.9/
i manejamos el teorema de transferencia del momento de inercia logramos desarrollar una e&presi#n más conveniente +sto es , 2 I = I C + ALc
"onde
I C
es el momento de inercia del area de interes con respecto de su
propio eje centroidal, y
LC
es la distancia del eje de referencia al centroide
6s*, la ecuaci#n .9/ se convierte en 2 I C + ALc I I = = C + LC L p= LC A LC A LC A
.;/
I C LC A
Continuamos el desarrollo al crear una e&presi#n para la profundidad vertical al h p . centro de presi#n 6l comenzar a partir de la ecuaci#n .;/, observamos las relaciones siguientes: h p = L p senθ Lc =
hc senθ
%or tanto, h p = L p senθ= senθ
[
hc + senθ
I C
( ) hc
senθ
]
2
I C sen θ h p =hc + h c A
DISTRIBUCION DE LA FUERZA DE UNA SUPERFICIE CURVA SUMERGIDA La figura 4 ilustra un tanque con un l*quido con su superficie abierta a la atmosfera
F R
. La l*nea de acci#n de la fuerza resultante actúa a
través del centro de curvatura de la superficie curva +sto se debe a que cada
uno de los vectores de fuerza individuales ocasionados por la presi#n del fluido, actúa en forma perpendicular a la frontera, la cual se ubica a lo largo del radio de la curvatura +n la figura 5 presentamos los vectores de la fuerza resultante
Fig. ' (an)ue con una superficie curva conteniendo un fluido estático. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición
Componente ho!"ont#$ La pared vertical solida a la izquierda ejerce fuerzas horizontales sobre el fluido en contacto con ella, c#mo reaccionan a las fuerzas ocasionadas por la presi#n F 1 del fluido La fuerza resultante actúa a una distancia de != 2 del fondo de la pared La fuerza
F 2
a sobre el lado derecho de la parte superior a una profundidad
de !. tiene una magnitud igual que la de
F 1
y actúa en direcci#n opuesta
6s*, estas no tienen ningún efecto sobre la superficie curva i sumamos las fuerzas en la direcci#n horizontal, vemos que igual a
F 2
la que actúa
F H
debe ser
, la cual actúa en la parte inferior del lado derecho +l área sobre F 2
es la proyecci#n de la superficie curva en un plano
vertical La magnitud y ubicaci#n de
F 2
las encontramos por medio de los
procedimientos desarrollados para las superficies planas +s decir,
F 2 =γ h c A
donde
hc
.>/
es la profundidad al centroide del area proyectada %ara la
superficie mostrada en la figura 5, el área proyectada es un rectángulo i h = h +s / 2 . denotamos al área del rectángulo como s , vemos que c 6simismo, el área es
s!
, donde ! es el ancho de la superficie curva %or
tanto, F 2 = F H
s γs! ( h + ) 2
La ubicacion de F2*+ es el centro de presion del area proyectada 3tra vez, al usar lo? principios desarrollados anteriormente obtenemos !P - $ in embargo, para el area rectangular proyectada tenemos, c / 0s* (0 A = @vt=
Re%een&!#'
'() Aanual de %rácticas de Laboratorio de Aecánica de !luidos Bng
6lfredo 6bel !rancisco '0) Aecánica de !luidos e idráulica Denald 8 Eiles AcEraF ill
