Manual Preuniversitario

Darwin Morocho

NÚMEROS NATURALES

2

N

El conjunto de números naturales son aquellos , que no tienen parte decimal , se denota por

N   1,2,3,4,5,6,  

, y está definido como

NÚMEROS ENTEROS

Se llama números enteros a aquellos números no tienen parte decimal incluyendo al cero

Z    , 3, 2, 1,0,1,  2,3, 

Ejemplo: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no

NÚMEROS RACIONALES

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero

9 3

9 3

1 3

2 6

Ejemplos: , , , Hay ocasiones en que el resultado de un número racional nos da números con decimales los cuales pueden ser: Decimal exacto: se trata de un número con parte decimal finita, es decir conocemos todos los números después de la coma o punto. Ejemplos: 0.2 , 3.3 , 0.123 102.43 3.12121 Decimal periódico puro: se trata de un número con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los números después de la coma o punto. Ejemplos: 0,333… ; 12,222… ; 1,333…. 0,32 32 32… ; 12,21 21 21… ; 1,362 362 362…. Decimal periódico mixto: se trata de un número con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los números después de la coma o punto, pero se caracteriza porque lo periodicidad no comienza después de la coma. Ejemplos: 0,32 11111… ; 12,2143333… ; 1,362 8888… ; 0,3 21 21 21 21 21 … ; 12,214 3131 31… ; 1,362 123 123 123…. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN : en el numerador copiamos el número sin la coma, y en el denominador escribimos el 1 seguido de tantos ceros como números haya después de la coma en el número decimal exacto. Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fracción

75 1 Paso 1: Escribe: Paso 2: luego escribe en el denominador dos ceros después del 1 pues hay dos números después de la coma en 0,75

75 100

0,75 

75 100

, así pues Ejemplo 2: Expresar 1,125 como fracción

1125 1 Paso 1: Escribe: Paso 2: luego escribe en el denominador tres ceros después del 1 pues hay tres números después de la coma en 1,125

1125 1000

1,125  , así pues

1125 1000

Curso preuniversitario Darwin Morocho CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN : escribimos en el numerador el número sin la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte entera, por último en el denominador escribimos tantos nueves como números tenga la periodicidad. Ejemplo 1: expresar 0,33333… como fracción Paso1. Escribimos 3-0 en el numerador pues la periodicidad empieza después de la coma y la parte entera es cero,

30

después note que el 3 se repite infinitamente

30 9

Paso2. Escribimos 9 en el denominador pues después de la coma la periodicidad se repite de uno en uno

0,333... 

3 1  9 3

Es decir Ejemplo 2: expresar 12,67 67 67… como fracción Paso1. Escribimos 1267 en el numerador pues la periodicidad empieza después de la coma, además restamos la parte

1267  12

entera 12, después note que el 67 se repite infinitamente

1267  12 99

Paso2. Escribimos 99 en el denominador pues después de la coma la periodicidad se repite de dos en dos

12,676767... 

1267  12 1255  99 99

Es decir CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO A FRACCIÓN: escribimos en el numerador el número sin la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte del número justo antes de que empiece la periodicidad, por último en el denominador escribimos tantos nueves como números tenga la periodicidad seguido de tantos ceros como números tenga después de la coma y antes del periodo. Ejemplo 1: exprese 12,345 67 67 67… como fracción

12,345676767... 

1234567  12345 1222222 611111   99000 99000 49500

Ejemplo 2: exprese 0,35 12 12 12… como fracción:

0, 35 12 12 12... 

3512  35 3477  9900 9900

Ejemplo 3: exprese 10,3 123 123 123… como fracción:

10, 3 123 123 123... 

103123  103 103020 3434   9990 9990 333

Ejemplo 4: exprese 0,055555… como fracción:

0,0555... 

50 5  90 90

0, 00515151... 

51 9900

Ejemplo 5: exprese 0,051515151… como fracción:

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ADICIÓN.- se tienen dos posibilidades, según sea el caso las posibilidades son las siguientes:

Curso preuniversitario Darwin Morocho CASO 1. Si se suman números de igual signo Si se tienen dos o más números de igual signo se suman los números y se conserva el signo. Ejemplos:

3+5=8

,

4+7+1=12 , -1-3=-4 , -2-5-1=-8

CASO 2. Si se suman números de distinto signo Se conserva el signo del número mayor y luego se restan. Ejemplos: 2-1=2

,

6-12=-6

,

1-5=-4

,

-3+6=3

,

-11+4=-7

Propiedades de la adición en los números reales: -

Ley conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado: Ejemplos : 3+5=5+3 , -1-2=-2-1 , -1+4=4-1 , -4+3+2=3-4+2

-

Ley Asociativa (con respecto a la suma de tres o más números de signo positivo): Ejemplos: 2+3+1=2+(3+1) , 11+2+3=(11+2)+3 , 1+3+2+6=1+(3+2+6) NOTA: la propiedad asociativa no se cumple para la suma de tres o más números de signo negativos.

-

Ley del Elemento neutro: todo número sumado 0 es igual al mismo número. Ejemplos: 2+0=2 , -4+0=4 , -4-0=-4 , -2+0=-2

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Ley de signos: la ley de signos es la que rige si el resultado de una multiplicación de dos o más términos es positivo o negativo. CASO 1. Si se multiplican dos números de mismos signos el resultado es un número positivo.

Ejemplos:

5g10  50

 5 g 10  50 ,

 2  g 6  12 ,

 4  g 6  24 ,

CASO 2. Si se multiplican dos números de signos opuestos el resultado es un número negativo.

5g 10  50 Ejemplos:

 5 g 10  50 ,

 2  g 6  12 ,

 4  g 6  24 ,

Propiedades del producto de los números reales: -

Ley conmutativa: el orden de los multiplicandos no altera el resultado: Ejemplos : (-2)(3)=(3)(-2), (2)(8)=(8)(2) , (-10)(-3)=(-3)(-10)

 4   6  2  -

 2

 4   6  2 

   4   6 

 2 

Ley Asociativa : , Ley del Elemento neutro: todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Ejemplos: 2(1)=2 ,

-

   4   6 

 3  1  3

3g1  3

,

Ley cancelativa: todo número multiplicado por 0 es igual a 0.

  3  0   0

Ejemplos:

 3  0  0

,

 0.5  0  0

,

 0.5  0   0 ,

a  x1  x2  ...  xn   ax1  ax2  ...  axn -

Ley distributiva:

2  3  2   2  3  2  2 

Ejemplos:

2  3  2  4   2  3  2  2   2  4  ,

2  3  2  4   2  3  2  2   2  4 

2  3  2  4   2  3  2  2   2  4  ,

Curso preuniversitario Darwin Morocho DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES En estudios más avanzados se llegó a la conclusión que la división realmente es una multiplicación, pero en nuestro estudio no lo tomaremos en cuenta. -

CASO 1. La división de dos números de igual signo siempre es positiva

4 2 2

4 2 2 Ejemplos: -

,

3 3  2 2

,

CASO 2. La división de dos números de distinto signo siempre es negativa

3 3  2 2

Ejemplos;

3 3  2 2

,

9  3 3

,

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN? Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo. Una fracción es una expresión matemática usada para representar las partes de un todo.

x y x En donde la parte de arriba de la fracción En donde la parte de abajo de la fracción

y

se le conoce como numerador. se le conoce como denominador.

El siguiente círculo está dividido en 8 partes iguales de las cuales 3 partes están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. El número de abajo de la fracción, el denominador, nos dice el número total de partes iguales que tiene la figura.

3 8 Esta figura muestra que

partes del círculo están coloreadas.

¿Cómo se leen las fracciones? Para leer fracciones decimos primero el número del numerador y a continuación el denominador de acuerdo con la siguiente tabla: 2….. Medios 3….. Tercios 4….. Cuartos 5…… quintos 6….. Sextos 7….. Séptimos 8….. Octavos 9….. Novenos 10.. Décimos A partir de 10 al nombre del número se le añade la terminación -avos : onceavos, doceavos, … quinceavos,… veinteavos, treintavos,…. Ejemplos:

3 8

5 15 Tres octavos

1 2 cinco quinceavos

3 300  60  100  5 5 Ejemplo 1: los 3/5 de 100 es

8 20 Un medio

ocho veintidosavos

Curso preuniversitario Darwin Morocho

9 180  90  20  2 2 Ejemplo 2: los 9/2 de 20 es

5 300  50  60  6 6 Ejemplo 3: los 5/6 de 60 es FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, por

1 2

2 4

ejemplo

4 8

,

y

son equivalentes.

El siguiente grafico nos nuestras las fracciones anteriores como fracciones equivalentes.

a b Dadas dos fracciones

c d y

se pueden determinar si estas son equivalentes siempre que

a d b c

Simplificar una fracción es encontrar una fracción equivalente con un denominador menor. También se llama obtener la fracción irreducible. Para simplificar una fracción, divide su numerador y denominador por el mismo número. Ejemplos:

8 84 2   20 20  4 5

,

3 3 3 1   27 27  3 9

,

40 40  5 8   25 25  5 5

10

20g10g5 20 g10g5 10g10g5 500    2g3 3 3 2 g3 1

Ejercicio 1: observe como se ha simplificado la siguiente expresión 5

5

10g5 10 g5 5g5 25 5     2g 40  2 g 40  40 8 40 1

8

Ejercicio 2: observe como se ha simplificado la siguiente expresión NOTA: cualquier número entero terminado en 0 o en 5 es divisible para 5. Ejemplos: los números 0, 10, 55, -20, 500, 305 son divisibles para 5. NOTA: cualquier número entero par es divisible para 2. Ejemplos: los números 0, 10, 20, -20, 500, -30 son divisibles para 2.

¿CÓMO SE COMPARAN Y ORDENAN LAS FRACCIONES? Ordenar fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

2 3  3 3

1 2  6 6 ,

Curso preuniversitario Darwin Morocho El símbolo > se lee “mayor que” El símbolo < se lee “menor que” Ordenar fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

11 11  25 6

2 2  5 3 ,

Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a común denominador. , luego Es menor la que tiene menor numerador.

SUMA DE FRACCIONES CASO 1. Suma de fracciones homogéneas: se dice que dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. Entonces se conserva el denominador y se suman los denominadores.

1 2 6 1 2  6 9     3 3 3 3 3 3

1 2 1 2 1    3 3 3 3

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

7 4 7  4 11    2 2 2 2 Ejemplo 3: CASO 2. Suma de fracciones heterogéneas: se dice que dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferente denominador. Entonces como denominador es el m.c.m de los denominadores de las fracciones. Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el m.c.m por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

1 Ejemplo 1:

1 2 1 3   2 2 2

, donde

2 es el m.c.m

2 5 2  2   3  5 4  15 19     3 2 6 6 6

Ejemplo 2:

entre 1 y 2.

, donde

6 es el m.c.m entre 3 y 2.

1 3 2  1  1 3 2  3 1     2 4 4 4 4 Ejemplo 3:

, donde

4 es el m.c.m entre 2 y 4.

1 3 3 10  1  5  3  4  3 10  15  12 13       2 4 5 20 20 20 Ejemplo 4:

, donde 20 es el m.c.m entre 2 , 4 y 5.

.Calcular:

2 1  3 5 a)

37 4  5 5 b)

15 5 10   10 10 10 c)

2 3 5 3 2 d)

2 3 5 3 2 e)

f)

3  2  5  2  3 





4   7 3 

Curso preuniversitario Darwin Morocho NUMERO MIXTO El numero mixto consta de un entero y fracciones, es decir contiene un número exacto de unidades (parte entera), y además de una o varias partes iguales de la unidad (parte decimal), ejemplo:

1

2 3

2 3

, en donde 1 es el número exacto de unidades o parte entera y es la parte decimal. PASAR UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN 1. S E D E J A E L M I S M O D E N O M I N A D O R 2 .El numerador es la suma de la multiplicación del entero por el denominador numerador del número mixto.

más

el

Ejemplos: ; TEORIA DE EXPONENTES La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así:

POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia, y se representa así: exponente

Potencia=(base)

L a b a s e d e u n a p o t e n c i a e s e l n ú m e r o q u e m u l t i p l i c a m o s p or s í m i s m o . El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base. Ejemplos: 1.

52  5g5  25

,

 3

3

  3 g 3 g 3  27

,

 3

2

  3 g 3  9

,

Un numero elevado a la cero es igual a 1.

x0  1

x0

con Ejemplos: 50=1 2.

53  5g5g5  125

,

(-2)0=1

(0.4)0=1

,

Un numero elevado a la 1 es igual a si mismo

x1  x Ejemplos: 3.

11=1

,

(-3)1=-3

51=1

,

(0.5)1 =0.5

Producto de potencias de igual base

x n xm  x nm

Ejemplos: 4.

22 g23  223  25

 3 g 3 3

,

Division de potencias de igual base

xn  x nm m x , con

x0

3

  3

3 3

   3

6

,

22 g4  2 2 g2 2  2 22  2 4


 3  3 33  3 0  1     3  3 3

23  235  2 2 5 2

Ejemplos: 5.

,

,

Potencia de una potencia

x 

n m

 x n gm

2 

2 3

  3 

4 3

 2 2 g3  26

Ejemplos: 6.

23  23 5  235  28 5 2

  3

4 g3

  3

  3 

1/2 3

12

,

  3

 1/2  g3

  3

3/2

,

Producto de potencias de exponente igual

x n y n  ( xy ) n 2 2 g32   2g3

2 2 g 3

2

Ejemplos:

7.

2

  2g 3 

23 g 3   2g 3 

2

3

,

3

,

Cociente de potencias de igual exponente

x n  x   y n  y

Ejemplos:

n

y0 , con

22  2   32  3

2

,

23  2   33  3

3

 ,

23  2    3 3  3

3

,

4 3  4   63  6

3

Signo de una potencia de base entera P a r a d e t e r m i n ar e l s i g n o d e l a p o t e n c i a d e u n n ú m e r o e n t e r o t e n d r e m o s e n c u e n t a q u e : 1 . L a s p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e p ar s o n s i e m p r e p o s i t i v a s . (+)par=+ , (-)par= + 6 Ejemplos: 2 = 64 , (−2)6 = 64 2 . L a s p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e i m p ar t i e n e e l m i s m o s i g n o d e l a b a s e . (+)impar=+ , (-)impar= 3 Ejemplos: 2 = 8 , (−2)3 = −8 Potencias de exponente negativo La potencia de un número entero con exponente elevado a exponente positivo.

x n 

1 xn

2 3 

x0

negativo es

i g u al

al inverso

d el

n ú m er o

1 1  23 8

con Ejemplo: Potencias fraccionarias de exponente negativo Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada a exponente positivo.

 x  y  

n

 y    x

n

x0

y0

, con e Potencias de exponente fraccionario

.

Ejemplo:

 3    2

3

  2     3

3

23 8  3 3 27 ,

Curso preuniversitario Darwin Morocho m n

1 2

x  n xm

2 3

2  2

Ejemplos:

4  3 42

,

Potencias de exponente fraccionario y negativo

x



m n



1 n

x



3

m

2 4



1 4

32

Ejemplo: Ejemplos: 1 Escribe en forma de una sola potencia: 1 33 · 34 · 3 = 38 4 (5 · 2 · 3)

4

= 304

2 57 : 53 = 54

3 (53)4 = 512

5 (34)4 = 316

6 [(53)4]2 = (512)2 = 524

7 (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218

8 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

9 25 · 24 · 2 = 210

10 27 : 26 = 2

11 (22)4 = 28

12 (4 · 2 · 3)4 = 244

13 (25)4 = 220

14 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1

15 (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330

16 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

2 Realizar las siguientes operaciones con potencias: 1 (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512 2 (−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) = (−2)3 · (−2)2 · (−2)0 · (−2) = (−2)6 = 64 3 (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32 4 2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2 5 22 : 23 = 2−1 = 1/2 6 2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32 7 22 : 2−3 = 25 = 32 8 2−2 : 2−3 = 2 9 [( −2 )− 2] 10 [(−2)

6

:

3

· (−2)3 · (−2)4 = (−2)−6 · (−2)3 · (−2)4 = −2

(−2)3]

3

·

(−2)·

(−2)−4 =

[(−2)3]

3

·

(−2)·

(−2)−4 =

(−2)9 ·

(−2)6 = 64

3 Realizar las siguientes operaciones con potencias: 1 (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561 2 (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0= (−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729 3 (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3 4 3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9 5 52 : 53 = 5−1 = 1/5 6 5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125 7 52 : 5−3 = 55 = 3125 8 5−2 : 5−3 = 5 9 (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 = (−3)1 · (−3)6· (−3)− = (−3)3

(−2)

·

(−2)−4 =

Curso preuniversitario Darwin Morocho 10 [(−3)

6

:

3

(−3) ]

3

·

0

(−3) ·

(−3)

−4

=

3

[(−3) ]

3

·

0

(−3) ·

(−3)−4 =

(−3)9 ·

(−3)0 ·

(−3)−4 =

(−3)5 =−243

4 Realiza las siguientes operaciones con potencias:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

RADICACIÓN La radicación es la operación inversa números, llamados radicando e índice, al índice, sea igual al radicando.

índice

a la potenciación . Y consiste en que dados dos hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado

Radicando  raíz

Propiedades de la radicación:

x2  x

n m

n n n x  2n x44 x 1 x44 44 4 43 k veces

n n

x  y

n

x y

kn x

x  nm x

n

x y n x n y

y0 con

Ejercicios: 1.

Calcula los valores de las siguientes potencias:

Curso preuniversitario Darwin Morocho 1

2

3 4

2. Extraer factores del radical: 1 3.

Introducir factores: 1 2

4. Poner a común índice los radicales:

5.

Realiza las sumas de radicales: 1 2 3 4

Ejercicios:

2


Respuestas: 1) 289/100 6) 49/4 10) 10/3 13) 63/55

2) 1 7) 64/15625 11) 3/2 14) -1/3

3) 11/10 8 ) 512/1953125 12) 64/125

4) -8/27 9) -4

5) 32/243



MONOMIOS Y POLINOMIOS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

VALOR NUMÉRICO El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

Un monomio

es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x y z, 2

3

5x

,

3xy

PARTES DE UN MONOMIO 1

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. 2

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

MONOMIOS SEMEJANTES Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplo 1: 2x2y3z es semejante a 5x2y3z Ejemplo 2: x2 es semejante a 6x2

2 x 3 Ejemplo 3:

es semejante a

5x

SUMA DE MONOMIOS Sólo podemos sumar monomios semejantes . La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

3 xy  2 xy  xy

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

(NOTA: generalmente el coeficiente 1 no se escribe en un monomio)

3 xy  2 xy  3 x  4 x   3 xy  2 xy    3x  4 x   xy  7 x

3xy  2 y  3x  4 xy   3xy  4 xy   2 y  3x  7 xy  2 y  3 x

Ejemplo 3:

2 1 3 x x x x 3 3 3 Ejemplo 4:


2 2 5 x  x2  x2 3 3 Ejemplo 5: PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

3g2 2  2 2 x  x  2x2 3 3  

3 Ejemplo 1:

 2   x 2 y    2 x 2 y

Ejemplo 2:



2  1  2 2 x  y   x2 y    15  5  3 

Ejemplo 3: PRODUCTO DE MONOMIOS

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

 x y  x y   x y 2

3

2

5

3

Ejemplo 1:



2  1 2 2 x  y   x3 y   x  15  5  3 

Ejemplo 2:



2  2 2   x   xy    x y 5  5 

Ejemplo 3: COCIENTE DE MONOMIOS

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

x2 y 1  x 1 y 1  3 2 x y xy Ejemplo 1:

2 x3 2 x 2  xy y Ejemplo 2:

2 x y  2 x3 y y 3

2

Ejemplo 3: Un

5x 3 5 x3 Ejemplo 3:

polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a n x

n

+ a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x 1 + a 0

Siendo an, an-1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. ao es el término independiente.

Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio completo

Curso preuniversitario Darwin Morocho Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado

Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son i guales.

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 3x2 + x + 2, si x=2 entonces P(2)= 3 (2)2 +(2) +2 =16

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0 Donde x es la variable, a y b son números reales y que la variable no tenga exponente.

a

es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando

Como procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. Ejemplos: 1 Despejamos la incógnita:

Curso preuniversitario Darwin Morocho 2 Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

3 Quitamos paréntesis: Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

4 Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

5

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

6


7

8

9


10

11

12


13

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. Para nuestro estudio veremos: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Curso preuniversitario Darwin Morocho -

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 12-

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3-

Se resuelve la ecuación.

4-

El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5-

Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Curso preuniversitario Darwin Morocho MÉTODO DE IGUALACIÓN 1-

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2-

Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3-

Se resuelve la ecuación.

4-

El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5-


Ejemplo:

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:


MÉTODO DE REDUCCIÓN 1-

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2-

La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3-

Se resuelve la ecuación resultante.

4-

El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5-


Ejemplo:

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Ejemplos: 1 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:


Por sustitución:

Despejamos x de la segunda ecuación y luego reemplazamos en

la primera.

Por igualación:

Despejamos la misma variable de ambas ecuación, en este caso hemos elegido la variable x.

Por reducción:

2









Curso preuniversitario Darwin Morocho 3 Halla las soluciones del sistema:









SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS MÉTODO DE GAUSS Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente . 1-

Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2-

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3-

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4-

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

5-

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6-

Encontrar las soluciones.

Ejemplo:

1-

Ponemos como primera ecuación la que tenga

cómo coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso

de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.


2-

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1

3-

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1

4-

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2

5-

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6-

Encontrar las soluciones. z = 1

Curso preuniversitario Darwin Morocho − y + 4 ·1 = −2 x + 6 −1 = 1

y = 6 x = −4

Hallar el valor de x e y en cada uno de los siguientes sistemas:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Lenguaje coloquial a simbólico: El Lenguaje Simbólico nos permite escribir con símbolos matemáticos las expresiones coloquiales, para luego resolver los problemas planteados. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico el doble de un número 2x el triple de un número 3x el consecutivo de un número x+1 el anterior de un número x -1 Palabras comúnmente utilizadas en el planteamiento de problemas matemáticos Mas, adición, agregar, añadir, aumentar + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor * División, cociente, razón, es a / Igual, es, da , resulta, se obtiene ,equivale a = Un numero cualquiera x Antecesor de un numero entero cualquiera x-1

Curso preuniversitario Darwin Morocho sucesor de un numero entero cualquiera Cuadrado de un numero cualquiera El cubo de un numero cualquiera Dos números cualquiera Razón de dos números Algunas expresiones El doble de un número, duplo , numero par, dos veces un número, múltiplo de 2 El triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 Cuádruplo de un número, cuatro veces Mitad de un numero

X+1 X2 X3 X, y x/y 2x 3x 4x

x 2

Tercera parte de un numero

x 3

Dos quintos de un numero

2 x 5

Número impar cualquiera Semi-suma de dos números

2x+1

x y 2 x y 2

Semi-diferencia de dos números

Números enteros consecutivos cualquiera Números pares enteros consecutivos Números impares enteros consecutivos Las dos terceras partes de un numero disminuido en 5 es igual a 12

Tres números naturales consecutivos El cuadrado de un numero aumentado en 7 El producto de un numero positivo con su antecesor equivale a 30 Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres

El doble de la diferencia de dos números El denominador de una fracción es cinco unidades menor que su denominador

X, x+1, x+2, x+3 2x, 2x+2, 2x+4 2x+1,2x+3, 2x+5

2  x  5  12 3 X, x+1, x+2 X2+7

x  x  1  30 3 x 1 x 3 5 2

2 x  y x5 x

x x 5

ó

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho numero

x  3x 2

El triple del consecutivo de un numero

3  x  1

La suma de tres números consecutivos

x   x  1   x  2 

La suma de tres números impares consecutivos 1-Si a un número se le suma la mitad de 18 obtengo 30 ,¿ cual es el número ?

3

 2 x  1   2 x  3   2 x  5


Solución : Solución: primero identificamos el problema

x 

9 

es el numero la mitad de 18

x  9  30 

si a un número se le suma la mitad de 18 obtengo 30 Ahora resolvemos la ecuación lineal

x  9  30 x  30  9 x  21

, entonces el número es 21.

2- Si a un número le resto el doble de 15 , obtengo 36 , ¿ cuál es el número ?

Solución : Solución: primero identificamos el problema

x 

30

es el numero



el doble de 15

x  30  36 

si a un número le resto el doble de 15 , obtengo 36 Ahora resolvemos la ecuación lineal

x  30  36

x  30  36 x  66

, entonces el número es 66.

3.-La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

Solución : x

cifra de las unidades

y

cifra de las decenas

10x + y

número

10y + x

número invertido

y = 2x (10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27

x = 3

y = 6, entonces el Número es

63


4.-Una Granja Tiene Pavos Y Cerdos, En Total Hay 58 Cabezas Y 168 Patas. ¿Cuantos Cerdos Y Pavos Hay?

Solución : Sea



x Y

el número de pavos



el número de cerdos

x  y  58

Un pavo y un cerdo tienen una cabeza, entonces

2 x  4 y  168

Un pavo tiene 2 patas, y un cerdo 4 pastas entonces

Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones Resolvemos el sistema y obtenemos Es decir hay 32 pavos y 26 cerdos.

x  32

 x  y  58   2 x  4 y  168

y  26

e

5.- Las edades actuales de Lucho y Hernán suman 48 años. Lucho le dice a Hernán "Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía 5 años menos de la que tienes hoy " ¿qué edad tiene Hernán?

Solución : Sea

L H 

la edad de Lucho la edad de Hernán

L  H  48 

H 5 

Las edades actuales de Lucho y Hernán suman 48 años.

la edad de Hernán hace 5 años

L  2   H  5   L  H  

la edad de Lucho es el doble de la edad de Hernán cuando Lucho tenía 5 años menos

de la que Hernán hoy

 L  H  48  Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones a

L  26

y

H  22

 L  2   H  5   L  H 

, resolviendo el sistema se llega

. Es decir la edad de Hernán es 22 años

6.- Un padre saca de uno de los bolsillos de su pantalón, $ 120 y los reparte entre sus hijos Juanito y Anita. Al observar Anita que el reparto no ha sido equitativo le pide a su papa que del otro bolsillo le de $ 24 más, para tener lo mismo que Juanito. ¿Cuánto tenia Anita al principio?

Solución : Sea Sea

J A

Luego

el dinero que le dieron a Juanito el dinero inicial que le dieron a Anita

120  J  A

, $ 120 repartido entre Juanito y Anita

J  A  24

Curso preuniversitario Darwin Morocho , el dinero de Anita más $24 es igual al dinero de Juanito

 120  J  A  120   A  24   A  96  2 A  A  48   J  A  24 Es decir el dinero inicial de Anita fue $48.

7.-Dispongo de $ 80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto. ¿Cuánto gasto? Solución: identifiquemos el problema, el dinero gastado más el dinero no gastado será igual al dinero que tenías inicialmente. Sea

x

el dinero que no gasto

3 x 5 3/5 de lo que no gasto

3 x  x  80 5 Luego (lo que gastas + lo que no gastas) , despejando y resolviendo llegamos a Es decir el dinero que no gasto es $50, pero el problema nos pide el dinero que gaste es decir

x  50

,

3 3 x   50   30 5 5 . Por tanto el dinero que gaste fue $30. 8.- Qué día del año se leía en la hoja de un almanaque, cuando el número de hojas arrancadas excedió en 5 al doble del número de hojas que quedaban?

Solución : Sea

x y

Un año tiene 365 días el número de hojas arrancadas el número de hojas restantes

x  2y 5 

el número de hojas arrancadas excedió en 5 al doble del número de hojas que quedaban

x  y  365

Por otro lado Es decir tenemos el siguiente sistema

 x  y  365   2 y  5  y  365  3 y  360  y  120   x  2y  5 Por tanto fue el día 245.

, entonces

x  120  365  x  245

RAZONES Y PROPOCICIONES RAZONES La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente. Ejemplo: 7 es a 6 ,

es decir 7:6 o

7/6

PROPORCIONES Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras: a/b=c/d ó a:b::c:d

a

Y se lee -

c

b a es a

como

a

d es a

. Los puntos

d y

c

b se llaman extremos y los puntos

El símbolo : se lee “es a” y representa una división.

El símbolo :: se lee “como” y representa una igualdad. PROPIEDADES.

y

se llaman medios.


En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

-

En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO.

a d b c

b

-

a d c

En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a Ejemplo 1:

b c d

Ejemplo 2:

NOTA revise al final del libro la sección de ejercicios resueltos de razones y proposiciones.

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Binomio al cuadrado: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 EJEMPLOS 1. (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 2. (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9 2

3.

2

3  2  2   x  2  x     2  3  3  

Suma por diferencia (a + b) · (a − b) = a 2 − b2

2   3 3 x     3   2 2

2



4 2 9 x  2x  9 4

Curso preuniversitario Darwin Morocho EJEMPLOS 1. (2x + 5) · (2x - 5) = (2x) 2 − 52 = 4x2 − 25 2. (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)2 − (y³)2 = 4x4 − y6

Binomio al cubo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 Ejemplo ( x + 3 ) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 3 + 3 · x · 3 2 + 3 3 = x 3 + 9 x 2 + 2 7 x + 2 7


REGLAS DE TRES

Cuando comparamos dos cantidades, estas se denominan cantidades proporcionales y dependiendo del resultado de esta comparación surgen los siguientes criterios: Cantidades directamente proporcionales: son aquellas cantidades que varían de la misma manera, es decir, si una de ellas aumenta la otra también lo hará, o si una de ellas disminuye la otra también lo hará. Ejemplo: más personas, consumen más comida. Cantidades inversamente proporcionales: son aquellas cantidades que varían de manera contaría , es decir, si una de ellas aumenta la otra disminuirá, o si una de ellas disminuye la otra aumentara Ejemplo: más obreros, requieren menos días para completar una obra. La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad comparándola con otras tres o más cantidades conocidas. Regla de tres simple directa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son directaente proporcionales. Regla de tres simple inversa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son inversamente proporcionales proporcionales. Regla de tres compuesta: cuando intervienen mas de dos magnitudes. Directa Mas a mas Mas a menos Menos a menos Menos a mas Ejemplo 1: ¿si 4 libros custan $8 , cuanto costaran 7 libros?

Inversa

Curso preuniversitario Darwin Morocho libros

Dolare s Datos 4 8 pregunta 7 x Paso 1. Se coloca siempre el signo mas sobre la cantidad que se encuentra arriba de la variable x ( en este caso 8). Paso 2. Comparamos las magnitudes, es cedir 4 libros cuestan $8, entonces 7 libros costaran mas dolares. Paso 3. Usamos ley de signos de la comparacion, para este ejemplo más por más=más (mas libros mas dolares). Paso 4. El signo resultante del paso anterior se coloca sobre la cantidad junto a la incognita x ( en este caso 7) y la cantidad sque se encuentra sobre 7 (en este caso 4) le asignamos el signo opuesto (en este caso -). Paso 5. Todas las cantidades marcadas con + van en el numerador, y todas las marcadas con – van en el denominador. Paso 6. Operamos y obtenemos el resultado. libros Dolare s 48+ 7+ x

x

7(8)  14 4

, entonces

, es decir por 7 libros hay que pagar $ 14.

Ejemplo 2:

¿si 4 hombres hacen una obra en 12 dias , cuantos dias tardan en hacer la obra 7 hombres? hombre Dias s Datos 4 12 pregunta 7 x Paso 1. Se coloca siempre el signo mas sobre la cantidad que se encuentra arriba de la variable x ( en este caso 12). Paso 2. Comparamos las magnitudes, es cedir 4 hombres hacen una obra en 12 dias , entonces 7 hombres tardaran menos dias en hacer la misma obra. Paso 3. Usamos ley de signos de la comparacion, para este ejemplo más por menos=menos (mas hombres menos dias). Paso 4. El signo resultante del paso anterior se coloca sobre la cantidad junto a la incognita x ( en este caso 7) y la cantidad sque se encuentra sobre 7 (en este caso 4) le asignamos el signo opuesto (en este caso +). Paso 5. Todas las cantidades marcadas con + van en el numerador, y todas las marcadas con – van en el denominador. Paso 6. Operamos y obtenemos el resultado. hombre Dias s 4+ 12+ 7 x

x

4  12  48  7 7

, entonces

48 7 , es decir 7 hombres harian la obra en

dias.

Ejemplo 3: En 18 dias, 10 obreros han realizado las 2/3 partes de una obra. Se retiran 7 obreros. ¿Cuántos dias demoraran los obreros restantes para terminar la obra?. Tengamos en cuenta que si ya se realizo las 2/3 de una obra, lo que falta para terminar seria 1/3 de la obra . Si se retiran 7 obreros nos quedarian 3 obreros para terminar la obra. Dias obreros Obra + + 18 10 2/3x 3 1/3+ Menos obreros tardaran mas dias en terminar la obra, portanto la comparacion seria menos por mas=menos. Menos obra toma menos dias , por tanto la comparacion es menos por menos=mas.

 1 18(10)    3  30 x 2 3 , por tanto los tres obreros terminarian la obra en 30 dias. Ejemplo 4: Nueve albañiles, en 21 días trabajando 8 horas cada día, han pintado un edificio. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 4 albañiles, para hacer lo mismo en 7 días?

Curso preuniversitario Darwin Morocho A) 55

B) 54

C) 53

D) 52

Albaniles

dias

horas

9+

21+

8+

4-

7-

x

Menos albaniles requeriran mas horas Menos dias requieren mas horas diarias

x

9  21  8  54 4  7

Por tanto la respuesta es b) 54. Ejemplo 5: Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? A) 540g B) 720g C) 420g D) 450g E) 675g Soldados días gramos 400+ 180+ 900+ 500 240 x Más soldados consumen menos gramos por día para que les alcance la comida Más días deben consumir menos gramos para que les alcance la comida

x

400g180g900  540 500g240

, por tanto la respuesta es a) 540 g

Ejemplo 6: Cinco orfebres hacen 12 anillos en 15 días. Si se desean hacer 60 anillos en 25 días. ¿Cuántos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen? Orfebres anillos días 5+ 1215+ x 60+ 25Mas anillos requerian mas orfebres Mas dias para realizar los 12 anillos requeriran menos orfebres.

x

5g60g15  15 12g25

, es decir se necesitan 15 obreros pare hacer 60 anillos en 25 dias, Se necesitan 15-5=10 orfebres más, siempre que sean de rapidez normal, pero si son doblemente rápidos, sólo necesitarán la mitad de orfebres 10/2 = 5. Respuesta: Se debe contratar a 5 orfebres. Ejemplo 7: Un pozo de 8m de diámetro y 18m de profundidad fue hecho por 30 obreros en 28 días. Se requiere aumentar en 2m el radio del pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres. ¿Cuánto tiempo demorarán? A) 136 B) 135 C) 133 D) 130 E) 125

V1    42   18

Primero calculemos el volumen del pozo inicial de 8m de diámetro y 18m de profundidad, El volumen del segundo pozo que es 2m más de radio y de la misma profundidad que el anterior Volumen Obrero días s 30+ 28+  42  18

 

-

  62   18

14-

x

+

Más volumen requiere más días Menos obreros para cavar un pozo de

  42   18 volumen requieren más días

V2    62   18

x

 6


  18 g30g28  135   4   18 g14 2

2

Ejemplo 8: Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared cuadrada de 4 m de lado. ¿Cuánto demora en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

4m  4m   16m 2

Una pared cuadrada de 4 m de lado tiene una superficie (área) de

6m  6m   36m 2

Una pared cuadrada de 6 m de lado tiene una superficie (área) de minutos superficie 40+ 16x 36+ Más superficie por pintar requiere más minutos

x

40  36   90 16

, es decir se requieren 90 minutos. Por tanto la respuesta es d) 90. NOTA: revise al final del libro la sección de ejercicios resueltos de regla de tres.

PORCENTAJES Tanto por ciento o porcentaje: Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %. Ejemplo: Se han preparado bolsas de caramelos, de modo que, de 25 caramelos que se echaban en las bolsas, 5 eran de mentas. - En una bolsa hay 25 caramelos de los que 5 son de mentas, se representa por la fracción 5/25. - En dos bolsas hay 50 caramelos, de los que 10 son de mentas, se representa por la fracción 10/50 - En tres bolsas hay 75 caramelos, de los cuales 15 son de mentas, se representa por la fracción 15/75 - En cuatro bolsas hay 100 caramelos, de los cuales 20 son de mentas, se representa por la fracción 20/100. Por lo tanto hay 20 camelos de menta en cada 100 caramelos En lugar de “20 en cada 100”, se dice 20 por ciento, y se escribe 20%. Cálculo de porcentajes Para calcular un tanto por ciento o porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por la fracción equivalente al porcentaje. a) Porcentajes, fracciones y números decimales. Un porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y también al número decimal correspondiente. Porcentaje Fracción Número decimal 40 % = 40/100 0, 40 b) Cálculo del porcentaje de una cantidad mediante el número decimal equivalente. Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica la cantidad por él número decimal equivalente al porcentaje.

Ejemplo: Una marca de margarina contiene 85% de grasa. ¿Cuántos gramos de grasa hay en medio Kilo (500 g) de esta margarina?

85% de 500 

85  500  0,85  500   425 100

Hay 425 gramos de grasas.

Ejemplo 1: En un curso hay 25 estudiantes, de los cuales el 60% son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en ese curso? Podemos resolver este ejercicio usando regla de tres o usando el enunciado anterior.

Curso preuniversitario Darwin Morocho Usando el enunciado anterior Los 25 estudiantes representan el 100 %.

60 100 La fracción equivalente al 60% es Usando regla de tres Porcentaje Estudiantes

60  25  15 100 , entonces el 60% de 25 estudiantes es

.

10025+ + 60 X Menos porcentaje, nos da menos estudiantes entonces la relación de signos es menos por menos=mas.

x

60  25  15 100

. Por tanto 15 estudiantes son el 60% de 25. Ejemplo 2: El 60% de los empleados de una empresa llegan al trabajo en autobús. Si el número total de empleaos es 1200. ¿Cuántos llegan en autobús? Solución: hay que calcular el 60% de 1200 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se multiplica dicha cantidad por el tanto por ciento y se divide por cien.

60% de 1200 

60  1200   720 empleados 100 .

Ejemplo 3: En una votación participan 300 persona. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que fue votado por 60 personas? Solución, como buscamos el tanto por ciento, hacemos la siguiente operación, multiplicamos 60 por 100 y dividimos por 300.

60  100  300



6000  20% 300 .

Ejemplo 4: El 40% de una cantidad es 7,21 €. Cuál es la cantidad total? Solución: se multiplica 100 por 7,21 y se divide por 40.

100  7, 21 721   18,03 € 40 40

. Ejemplo 5: Si a 3,01 € le aumentamos el 30%, ¿en qué cantidad se convierte? Solución: Se multiplica 30 por 7,01, se divide por 100 y el resultado se suma a 7,01

3, 01  30  100

 0,90 ;

3, 01  0, 90  3, 91 € .

Ejemplo 6: El precio de unos zapatos se ha disminuido en un 20% vendiéndose actualmente en 40,39 €. ¿Cuál era el precio primitivo? Solución: si se paga completo seria el 100%, como se disminuyen en 20% sería 100 - 20 = 80%. Se multiplica 100 por 40,39 y se divide por 80:

100  40, 39  4039   50, 49 € 80 80

. Ejemplo 7: J u a n c o m p r ó u n o r d e n a d o r y u n t e l e v i s o r p o r 2 0 0 0 € y l o s v e n d i ó p o r 2 2 6 0 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

Solución :

Curso preuniversitario Darwin Morocho x y

precio del ordenador. precio del televisor. precio de venta del ordenador. precio de venta del televisor.

800 €

precio del ordenador.

1200 €

precio del televisor.

Ejemplo 8 : E n u n a e m p r e s a t r a b a j a n 6 0 p e r s o n a s . U s a n g a f a s e l 1 6 % d e l o s h o m b r e s y e l 20%

de

las

mujeres. Si

el

número total

hombres y mujeres hay en la empresa?

Solución :

x y

número de hombres. número de mujeres.

hombres con gafas.

mujeres con gafas.

de personas

que usan gafas

es

11. ¿Cuántos


35

número de hombres.

25

número de mujeres.

NOTA: Revisé al final del libro la sección de ejercicios resueltos de porcentajes.

- Repartos proporcionales: El hecho de repartir una cierta cantidad en parte proporcional a unos números dados se denomina reparto proporcional Cómo se resuelven problemas de repartos directamente proporcionales: Ejemplo: Se compra un lote de libros por 1800 €. Luis se quedó con 7 libros, Juan con 5 y Antonio con 6.¿Cuánto debe pagar cada uno? Solución. se reparte 1800 a 7, 5 y 6

 7  1800  5  6  Se resuelve de la forma siguiente: - Se suma los números de libros comprados 7 + 5 + 6 = 18 – Se multiplica lo que ha costado por los libros que compró cada uno y se divide por el total de libros.



 Luis 

7

 1800  Juan 5    Antonio 6 

7  1800  18 5  1800  18 6  1800  18

 7  100   700  5  100   500  6  100   600

- Como repartir un número en partes proporcionales a varias fracciones: Se reducen las fracciones a común denominador y se hace el reparto en partes proporcionales a los numeradores Ejemplo: Repartir 252,43 € en partes proporcionales a 2/3 , 1/4 , 5/6 . Solución: - Reducción a común denominador las fracciones: 2/3 , 1/4 , 5/6

8 3 10 , , 12 12 12 m.c.m. = 12 - Anulamos los denominadores ( 12 ) y quedan los numeradores 8, 3, 10 y repartimos la cantidad a los numeradores como se realizó en la pregunta anterior.

 

8 

3

 252.43     

10


8  252.43  96.16 21 3  252.43  36.06 21 10  252.43  120.20 21

Ejercicios: 1.- Indica el porcentaje expresado por las siguientes fracciones: 2/100 , 15/100 ; 14/25 ; 3/30 2.- Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes porcentajes: 5% ; 75% ; 4% ; 45% 3.- Aplica los siguientes porcentajes a la cantidad de 5400: a) 5% b) 8% c) 99% d) 0,005% 4.- Encuentra el número decimal equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes. a) 9% b) 95% c) 1% d) 10% 5.- Calcula los siguientes porcentajes de 8200, utilizando el número decimal equivalente. a ) 3% b) 10% c) 99% d) 0,007% 6.- Realizar los siguientes repartos proporcionales a) 700 en partes proporcionales a 1, 2 y 4 b) 30000 en partes proporcionales a 2, 5 y 8 c) 18000 en partes proporcionales a 2, 4 y 6 7.- Un padre quiere repartir 300,53 € entre sus tres hijos en parte proporcionales a sus edades, que son 12, 16 y 22 años. ¿ Cuánto corresponde a cada uno? 8.-Tres albañiles de igual categoría han cobrado por hacer un trabajo 1226,06 € . Un albañil trabajo 15 días, otro 12 y el tercero 7 días. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno? 9.- Realizar los siguientes repartos. a) 1800 en partes proporcionales a 2/3 y 1/5 b) 6200 en partes proporcionales a 1/2, 1/3 y 1/5 c) 1200 en partes proporcionales a 1/6 , 1/3 y ½

ÁREAS, PERÍMETROS Y VOLÚMENES Nombre

Triángulo

Dibujo

Perímetro

P = Suma de los lados P=b+c+d

Cuadrado

Área

P=4·a

p = semiperímero

A = a2

Curso preuniversitario Darwin Morocho Rectángulo

P = 2(b + a)

Rombo

A=b·a

P=4·a

Romboide

P = 2(b + c)

Trapecio

P=B+c+b+ d

Trapezoide

P=a+b+c+ d

A=b·a

A = Suma de las áreas de los dos triángulos

Polígono regular

P  2 R

Circulo

Figura

Cilindro

Esquema

Área

A   R2

Volumen


Esfera

Cono

A = 6 a2

V = a3

A = (perim. base •h) + 2 • area base

V = área base •h

Cubo

Prisma

Pirámide

NOTA: revise al final del libro la sección de ejercicios resultas de áreas, volúmenes y perímetros.

ANÁLISIS COMBINATORIO Factorial de un número:

n El factorial de un número natural

n

inferiores a

. Es decir:

También se define Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 5:

1!  1

0!  1

que es igual al producto de

n !  1 2 3 4 ... n  .

3!  1 2 3 6 5!  1 2 3 4 5  120 

Permutaciones:

n

n! , que se simboliza como

por cada uno de los números

Curso preuniversitario Darwin Morocho Se llama permutación a la disposición de un conjunto en un orden particular. Ejemplo 1: ¿de cuantas formas diferentes se pueden ordenar 3 libros en un estante? Sean A, B y C los libros 1ra forma ABC 2da forma ACB 3ra forma BAC 4ta forma BCA 5ta forma CAB 6ta forma CBA En total hay 6 formas de ordenar los libros A, B y C .

n3

n

n !  3!  6

Usando la fórmula de factorial de un número , en nuestro caso , luego . Es decir hubiera bastado con calcular el factorial de 3 para calcular de cuantas formas distintas se pueden ordenar los libros A, B y C . Ejemplo 2: ¿Cuantos números de cuatro cifras pueden formarse a partir de los números 2, 4, 6, 8? En este caso n=4, luego

4!  1 2 3 4 24 

, por tanto se pueden formar 24 números de cuatro cifras.

Variación o arreglo: S e l l a m a v a r i a c i o n e s o r d i n a r i a s d e k e l e m e n t o s t o m a d o s d e n e n n ( k ≥ n ) a l o s distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. El número de variaciones de un subconjunto de k elementos tomados de un conjunto de n elementos se calcula por

Vnk 

n!  n  k!

Ejemplo 1: calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los números 1, 2 y 3. Tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,2).

V32 

3! 6  6  3  2 ! 1

Podríamos haber usado la formula anterior tomando n=3 y k=2 , entonces . Ejemplo 2: un grupo de alumnos estudia 7 asignaturas. ¿De cuántos modos se pueden hacer el horario para el lunes, si en este día de la semana hay cuatro materias diferentes? El número de modos es igual al número de variaciones de 4 elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto de 7 elementos.

V74 

7! 5040   840  7  4 ! 6

En este caso n=7 y k=4, luego Combinación: Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden.

Curso preuniversitario Darwin Morocho No se repiten los elementos.

Cnk 

n! k ! n  k  !

Se puede usar la formula

.

Ejemplo 1: calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3. Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3).

C63 

6 5 4 3! 6 5 4 120 6!     20 3! 6  3 ! 3!  3! 3! 6

Ejemplo 2: En un aula de 6 estudiantes, el profesor para un trabajo en clase les pide que se organicen en grupos de 3. ¿Cuántos grupos distintos de 3 estudiantes se pueden formar? Primero tenemos que tener en cuenta que no nos importar el orden de los estudiantes que conforman cada grupo pues los 3 forman el mismo grupo.

C63 

6 5 4 3! 6 5 4 120 6!     20 3!  6  3 ! 3!  3! 3! 6

Ahora sea n=6 y k=3, entonces grupos distintos.

, es decir se pueden formar 20

NOTA: revise al final del libro la sección de ejercicios resueltos de combinaciones y variaciones.

PROBABILIDADES

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. La teoría de probabilidades es un modelo matemático que analiza fundamentalmente fenómenos que no se rigen a una regla uniforme. El estudio de probabilidades nos permite hacer observaciones de situaciones de las cuales no estamos seguros de lo que va a suceder, pero expresan ciertas características de predicción. Si tenemos un suceso o evento “E” de un total de “n” casos posibles puede presentarse en “h” de los casos, entonces la

probabilidad que ocurra el evento o suceso estará dada por

Probabilidad 

Número de casos favorables Número de casos posibles

p  p E 

h n . Es decir


Ejemplo 1: encontrar la probabilidad de que al lanzar un lado se obtenga un lado par. Solución: un dado tiene 6 lados, es decir hay 6 casos posibles. Los casos favorables son cuando caen caras con valor par (2, 4,6), entonces hay 3 casos favorables.

Probabilidad 

3 1  6 2

o

Porcentualmente 

1  100%   50% . 2

Ejemplo 2: de una caja que contiene 6 lápices negros y 4 lápices rojos, se extrae uno de ellos al azar. Determinar la probabilidad de que el lápiz extraído sea de color rojo. Solución: en la caja hay 10 lápices, es decir el número de casos posibles es 10. Además hay cuatro lápices de color rojo, es decir el número de casos favorables es 4.

Probabilidad 

4 2  10 5

o

Porcentualmente 

2  100%   40% . 5

Ejemplo 4: se tiene un juego de barajas, y de una de ellas se extrae una al azar. Hallar la probabilidad de que la carta extraída sea una A. Solución: en una baraja hay 52cartas. Es decir el número de casos posibles es 52. Además hay cuatro cartas de A, es decir el número de casos favorables es 4.

Probabilidad 

4 1  52 13 .

Ejemplo 5: determinar la probabilidad de que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 azules. Solución: El total de bolas en la urna son 4+3+5=12. Es decir el número de casos posibles es 12. Además hay cuatro bolas blancas, es decir el número de casos favorables es 4.

Probabilidad 

4 1  12 3 .


Ejemplo 6: Si se lanza una moneda tres veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “cara” por lo menos dos veces? Solución: una moneda tiene dos caras “C” y “S” Consideremos todos los ordenamientos posibles en los tres lanzamientos.

El número de casos posibles son 8. Los casos favorables son aquellas variaciones en donde hay por lo menos dos C. Es decir el número de casos favorables cuando se lanza tres veces una moneda al aire esperando que por lo menos obtener dos C son 4.

Probabilidad 

4 1  8 2

PROBLEMAS DE CERTEZAS ¿En qué se funda la certeza? ¿Cuándo podemos decir que estamos seguros de algo? Ante estas interrogantes, lo que debe quedar claro es que si no estamos seguros de algo, no podemos dar un paso en el conocimiento científico, ni podemos tomar decisiones relacionadas con los negocios o la vida misma. Desde el punto de vista probabilístico, debemos considerar la certeza como la condición de evento seguro, es decir, de un evento de probabilidad igual a uno. En condiciones ideales, podemos construir modelos de certeza en esquemas hipotéticos representados en un experimento aleatorio con objetos perfectos y circunstancias infalibles. SITUACIONES NEGATIVAS (CASOS DESFAVORABLES O EN CONTRA) Son las situaciones que son contrarias a lo que buscamos, de acuerdo a la pregunta. Para dar solución a los problemas de certezas, generalmente primero se analiza las situaciones negativas y luego se le añaden los elementos necesarios hasta dar solución al problema.


Ejemplo 1: Lenin estando con los ojos vendados ingresa su mano en un depósito donde hay solamente 8 bolas negras y 6 bolas blancas. ¿Cuántas bolas, debe, sacar como mínimo para tener la certeza de haber extraído una bola negra?

solución : * Si LENIN saca una bola, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra? NO . Porque puede ser blanca. * Si LENIN saca dos bolas, ¿ tendrá la certeza de haber extraído una bola negra ? NO . Porque las dos pueden ser blancas. * Si LENIN saca tres bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra? NO . Porque las tres pueden ser blancas. * Si LENIN saca cuatro bolas, ¿ tendrá la certeza de haber extraído una bola negra? NO . Porque las cuatro pueden ser blancas. * Si LENIN saca cinco bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra! NO . Porque las cinco pueden ser blancas. * Si LENIN saca seis bolas, ¿ tendrá la certeza de haber extraído una bola negra! NO . Porque las seis pueden ser blancas. Si LENIN saca siete bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra? SI . Porque ya habrá extraído todas las bolas blancas y la otra bola será con certeza de color negra. Entonces; ¿cuál sería la respuesta a la pregunta formulada por LENIN? RPTA : ¡Siete bolas!

Ejemplo 2: En una caja hay 10 esferas amarillas, 12 blancas y 15 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de esferas que se debe extraer al aza de modo que se obtengan 10 de un mismo color?

solución : Queremos sacar 10 de un mismo color, el peor de los casos seria sacar primero 9 esferas de un color, después otras nueve de otro color, después otras nueve de otro color. Es decir hasta el momento hemos sacado 9 esferas amarillas, 9 blancas y 9 verdes (en total 27 extracciones), por tanto si sacamos otra esfera sin importar su color ya tendríamos 10 esferas de un mismo color por tanto son necesarias 28 extracciones.

Ejemplo 3: En una caja hay 10 esferas blancas, 8 azules y 5 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de esferas que se han de extraer al azar para tener seguridad de haber extraído, por lo menos, una de cada color?

solución : Queremos extraer por lo menos una esfera de cada color

Curso preuniversitario Darwin Morocho El peor de los casos seria primero extraer primero las 10 esferas blancas y luego las 8 azules (hasta el momento 18 extracciones). Entonces ya solo nos quedan las 5 esferas rojas, es decir con una extracción más ya tenemos garantizado que tenemos por lo menos una esfera de cada color. Son necesarias 19 extracciones.

Ejemplo 4:

Ejemplo 5 :

Ejemplo 6:

Ejemplo 7: En una urna se tienen 9 dados blancos, 9 dados negros, 9 esferas negras. ¿Cuál es el menor número de objetos que se debe extraer, al azar y como mínimo, para tener la seguridad de que entre los extraídos haya un par de dados y un par de esferas todos del mismo color?

solución : Tenemos esferas de color negro, dados negros y dados blancos El peor de los casos seria primero sacar primero los 9 dados blancos, después 9 dados negros (hasta el momento se han realizado 18 extracciones).

Curso preuniversitario Darwin Morocho Solo nos restan las 9 esferas negras, como queremos un par de dados y un par de esferas del mismo color, basta extraer 2 esferas negras. El total de extracciones necesarias son 9+9+2=20.

Ejemplo 8: Se tiene una bolsa de caramelos, donde n tienen sabor a limón, 5n sabor a fresa y 3n sabor a piña. ¿Cuál es la mínima cantidad de caramelos que se debe extraer de la bolsa para tener la certeza de haber extraído, al menos, n/2 caramelos de cada sabor?

solución :

n



5n

3n

limón

 

fresa

piña

El peor de los casos seria sacar primero las 5n de fresa, luego las 3n de piña (hasta el momento 5n+3n extracciones). Como solo necesitamos n/2 caramelos de cada sabor solo necesitamos extraer n/2 de sabor limón. El número de extracciones mínimas para tener la certeza es 5n + 3n + n/2 =17n/2 Es decir 17n/2 extracciones.

NOTA: Revisé al final del libro la sección de ejercicios resueltos de certezas.

PROBLEMAS DE EDADES Usualmente los problemas de edades pueden considerarse como tema incluido en el planteo de ecuaciones. En un problema de edades se presentan los siguientes elementos: -

Las personas sobre las cuales están referidas las edades en cuestión.

-

Los tiempos, elemento fundamental.


Las condiciones las cuales generan ecuaciones.

Palabras fundamentales referente a los tiempos: Pasado: “tenias, tuviste, hace…. años, fue”. Presente: “tengo, tienes, actual, es”. Futuro: “tendré, tendrías, tendrás, dentro, después… años, será, el año próximo”. Todo junto en una tabla

PERSON

PASAD

PRESEN

FUTU

AS

O

TE

RO

A B

Ejemplo 1: donde x e y son las edades de las personas A y B respectivamente.

PERSONAS

PASADO

PRESENTE

FUTURO

(hace 5 años)

(edad actual)

(año próximo)

A

x-5

x

X+1

B

y-5

y

Y+1

PASADO

PRESENTE

FUTURO

(hace 8 años)

(edad actual)

(dentro de 10 años)

M-18

M-10

M

Ejemplo2:

PERSONAS

A

La diferencia de edades entre dos personas es constante en cualquier tiempo

PERSONAS

PASADO

PRESENTE

FUTURO

Curso preuniversitario Darwin Morocho (hace 5 años)

(edad actual)

(año próximo)

A

p

r

t

B

q

s

u

Se tiene que: p – q = r – s = t – u

Ejercicio 1: Dentro de 40 años la edad de Pedro será el doble de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

Sea

x

la edad actual de Pedro.

x  40  x  40  2 x 

Entonces

x  40

la edad de Pedro dentro de 40 años.

Dentro de 40 años la edad de Pedro será el doble de su edad actual

, es decir la edad actual de Pedro es 40 años.

Ejercicio 2: La edad de Lucy dentro de 30 años será el quíntuplo de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Su edad actual es?

Sea

L

la edad actual de Lucy

L  30  L  10 

la edad de Lucy dentro de 30 años

la edad de Lucy hace 10 años

L  30  5  L  10  

dentro de 30 años será el quíntuplo de la edad que tuvo hace 10 años

L  30  5L  50 4 L  80 , entonces la edad actual de Lucy es 20 años. L  20

Curso preuniversitario Darwin Morocho Ejercicio 3: un padre tiene ahora 27 años más de la de su hijo. Hace 10 años la edad del padre era 10 veces la edad del hijo. ¿Hallar la edad actual del padre?

Sea

H

la edad actual del hijo

H  27  H  17  H  10 

la edad actual del padre

la edad del padre hace 10 años

la edad del hijo hace 10 años

H  17  10  H  10  

Hace 10 años la edad del padre era 10 veces la edad del hijo

H  17  10 H  100 9 H  117 , es decir la edad actual del hijo es 10 años, entonces la edad del padre es 13 + 27 =4 0 años. H  13

CALENDARIO Un año tiene 365 días o 52 semanas (febrero tiene 28 días). Excepto en los años bisiestos que tienen 366 días (febrero tiene 29 días), este año se repite cada 4 años a excepción del ultimo de cada siglo (2004, 2008, 2012, ….)

Mes

Días

enero

31

febrero

28 o 29

Marzo

31

abril

30

mayo

31

junio

30

julio

31

agosto

31

Curso preuniversitario Darwin Morocho septiembre

30

octubre

31

Noviembre

30

Diciembre

31

NOTA: Revise al final del libro la sección de ejercicios resueltos de edades y fechas y horas.

REDUCCIÓN A LA UNIDAD -

Si se invierte el tiempo total para hacer un trabajo, se obtiene la parte del trabajo que se realiza en la unidad de tiempo (valor unitario). El tiempo que se emplea para hacer un trabajo se obtiene invirtiendo el valor unitario. El tiempo que se emplea en hacer una parte se obtiene dividiendo la parte que falta entre el valor unitario.

Ejemplos:

1 10 -

Un trabajo se realiza en 10 días, entonces en un día se realiza

parte del trabajo.

1 3 -

Un grifo llena un tanque en 3 horas, entonces en una hora se llenara

del tanque.

1 5 -

Juan en 1 día hace

de la obra, entonces toda la obra se realizara en 5 días.

2 9 -

-

Un grifo en 1 minuto llena

Grifo 1 en A horas   Grifo 2 en B horas 

de un tanque, entonces todo el tanque se llena en

minutos.

1 1  A B , entonces los dos en una hora harán

de la parte total.



Grifo 1 en A horas -

9 2

1 1  A B

Desague 2 en B horas 

 , entonces los dos en una hora harán

de la parte total.

Ejemplo 1: Luis hace una obra en 10 días, José hace la misma obra en 20 días.¿ en cuántos días terminaran la obre Luis y Juan juntos?

Como Luis hace la obra en 10 días, entonces Luis hace en 1 día

1 10

Como José hace la obra en 20 días, entonces José hace en 1 día

de la obra

1 20

de la obra

Curso preuniversitario Darwin Morocho Luis y José en un día harán

1 1 3   10 20 20

de la obra, entonces la obra completa trabajando juntos la terminaran en

20 3

días.

Ejemplo 2: un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Dicha obra el albañil la puede hacer solo en 40 días. ¿En cuánto tiempo trabajando dolo lo hará el ayudante?

Sea

x

los días que tardara en hacer la obra solo el ayudante. Entonces en un día el ayudante hará

Además el albañil puede hacer la obra el solo en 40 días, es decir en un día realiza el

1 40

1 x

de la obra.

Entonces como el albañil y el ayudante pueden terminar la obra en 24 días, entonces en un día realizan

Es decir

de la obra.

1 24

de la obra.

1 1 1 x  40 1 40 x 40 2    x  40  x x  40  x  40  3  x  60 40 x 24  40 x 24  24  24

Por tanto el ayudante solo, terminaría la obra en 60 días.

NOTA: Revisé al final del libro la sección de ejercicios resueltos de reducción a la unidad.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Progresión aritmética Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. Ejemplo: 8, 3, -2, -7, -12, ... observe que

3 - 8 = -5 ,

-2 - 3 = -5 ,

-7 - (-2) = -5

,

-12 - (-7) = -5 , entonces d = −5.

Curso preuniversitario Darwin Morocho Término general de una progresión aritmética 1. Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak + (n - k) · d a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

, entonces 8,

3 , -2 , -7 ,

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12, ...

-12.


Progresión geométrica Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 6/3 = 2 12/6 = 2 24/12 = 2 48/24 = 2 r= 2.

Término general de una progresión geométrica 1. Si conocemos el 1er término. an = a1 · rn-1 3, 6, 12, 24, 48, .. an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak · rn-k a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 · rn-4 an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Curso preuniversitario Darwin Morocho Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

r  m 1

b a

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3,

6 , 12 , 24 ,

48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:


SUCECIONES ALFANUMERICAS Las sucesiones alfanuméricas son uno de los ejercicios más comunes en los examen psicotécnicos, en el cual se dan una serie de números los cuales cumple una ley que no es general para todos los ejercicios de este tipo, ya que depende de la habilidad del estudiante, descubrir cuál es la ley que rige esta serie.

Series simples: son aquellas en donde la secuencia de números se puede observar que van en aumento o en decremento. Series alternadas: son aquellas en que la secuencia de los números es saltando de uno en uno.

A continuación podemos ver unos ejemplos resueltos con su debida explicación:









DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Son también arreglos numéricos donde otra vez el objetivo es hallar una cantidad desconocida encontrando una relación aritmética única, pero a diferencia de las analogías éstas no presentan paréntesis en la parte central y dicha cantidad a hallar no se encuentra necesariamente en el medio.










TEST DE DOMINIO En esta prueba nos vamos a encontrar con una serie de fichas de Dominó que guardan una cierta relación entre sí. La misión del opositor radicará en descubrir el sistema de ordenación de esta serie y poner los valores que corresponden a la ficha en blanco. Ejemplo

Examine este grupo de fichas y piense cual iría a continuación: No es difícil llegar a la conclusión de que si las fichas A, B, C, D, E, tienen el valor 6/2, la blanca F, poseerá el mismo valor. Consejos prácticos: - Este test no hace en absoluto ninguna referencia al juego del dominó tal como es habitualmente utilizado. Que no sepas jugar, no tiene ninguna importancia para la prueba. - El principio es identificar una o más leyes y que las partes superiores o inferiores de la ficha del dominó no están siempre regidas por las mismas leyes. Ejemplo:

Las mitades superiores constituyen una serie de número que aumentan en una unidad: 1-2-3. Por otro lado, las mitades inferiores forman una serie de números paren en orden decreciente de dos unidades: 6-4-2. La ley que regula la primera hilera también regula los dos primeros ejemplos de esta segunda hilera. La cifra situada inmediatamente después del 6 es el 0; la cifra par colocada antes del dos también es el 0. PROBLEMA 01: Las fichas de dominó están ordenadas en fila. Indique la alternativa que señala el número de puntos correspondientes a la última ficha para que exista una serie coherente. Las fichas están marcadas del 0 al 6. ?

a) 0/1 b) 2/3 c) 3/3 d) 3/4 e) 4/4 Solución Las fichas de dominó las enumeramos de manera cíclica del 0 al 6, del 7 al 13, del 14 al 20 y así sucesivamente


Se observa que:  4 + 4 = 8, en el dominó, 8 equivale a 1  1 – 3 es equivalente a 8 – 3 = 5  5 + 5 = 10 es equivalente a 3  La ficha faltante contiene 3/3. Rpta: C PROBLEMA 02: ¿Cuál de las cinco fichas mostradas deben ser invertidas para que la suma de los puntos de las fichas sea igual a la suma de los puntos de las partes inferiores?

a) ficha 1

b) ficha 2

c) ficha 3 d) ficha 4

e) ficha 5

Solución Del ordenamiento inicial de las fichas se tiene:

Para que ambas filas resulten con igual suma se debe intercambiar una ficha tal que: La primera fila disminuya 2 y la segunda fila aumente 2, entonces:

Se debe invertir la ficha 3. Rpta:D

PROBLEMA 03: Se muestra una serie de fichas de dominó, indicar en cada caso la ficha que continúa


Observemos de manera vertical en columna (



) solo la parte superior de cada ficha.

En La parte inferior observemos de manera horizontal en fila(



),están intercambiándose el 5.3 y 1 puntito

La ficha que falta es C)

PROBLEMA 04: La suma de los puntos de las partes superiores de estas fichas de dominó no es igual a la suma de los puntos de las partes inferiores. Para que ambos sean iguales se deben invertir dos fichas, ¿cuáles son?

A) a y c

B) a y d

Al ordenar las fichas tenemos:

C) b y e

D) b y d

E) c y e

Curso preuniversitario Darwin Morocho Fíjate que la suma de arriba es mayor que la de abajo ambos resultados sumamos y dividimos entre 2 .

18  16  17 2

Significa que los punto de arriba y abajo deberán sumar 17 cada uno, esto implica que la suma puntos de arriba debe disminuir en 1.

Movemos la ficha A Y la B, en la ficha A los de abajo pierden 1 y en la ficha D ganan 2(-1+2 = 1). Rpta: B PROBLEMA 05: ¿Qué ficha continua?

Ordenando las fichas de domino

Observemos en siz-sag

, entonces Rpta:A

Curso preuniversitario Darwin Morocho RAZONAMIENTO ABSTRACTO




Curso preuniversitario Darwin Morocho EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONES Y PROPOCICIONES 1.- En una fiesta hay 12 hombres, si la razón entre mujeres y hombres que hay en la fiesta es 2:3. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? a) 20 b) 8 c) 18 d) 16

H  12 M 2  , H 3

entonces el número de mujeres es 8, luego el total de personas son 12 + 8 =20

Respuesta a) 20 personas

2.- Dos números están en la razón 2:3. Si el producto de ellos es 150. ¿Cuál es la suma de los números? a) 5 b) 6 c) 15 d) 25

x 2  y 3 , xy  150

entonces

x

2  2  y   y y  150  y 2  225  y  15 3  3 

Generalmente en estos casos nos quedamos con y=15, entonces x=10. Luego x + y=10 + 15=25. Respuesta d) 25 3.- Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, el valor del otro número debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razón no se altere. Halle el mayor de los dos números. a) 130 b) 65 c) 52 d) 78 e) 104 Sean

x

y

el número menor

el número mayor

x 7  y 13 

dos números son entre sí como 7 es a 13.

x  140 7  5y 13 

Si al menor se le suma 140, el valor del otro número debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razón no se altere

Es decir tenemos el siguiente sistema en el cual debemos encontrar el valor de y


 x 7 7 y  140 7  y  13 7 7 35 13  x  y    y  140  y  x  140 7 13 5 y 13 13 13 28   y  140  y  65  5 y 13  13 Respuesta b) 65

4.- En una granja hay patos y gallinas en razón 9:10, si sacan 19 gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente? a) 10 b) 81 c) 90 d) 100 Sean

P

G

el número de patos

el número de gallinas

P 9  G 10 

En una granja hay patos y gallinas en razón 9:10

P 10   G  19 9

si sacan 19 gallinas, la razón se invierte

Es decir tenemos el siguiente sistema en el cual hay que encontrar el valor de

G

 P 9  G  10 9 G   9  9 81 10 P 10 10  9 G  10  G  19   P G G  10G  190   G  19 9  10   10 10  G  19 9  

19 G  190  10  G  100 Respuesta d) 100

5.- Las edades de Valentina, Fernanda y Manuel están respectivamente en la razón 5 ,3 y 6, ¿Qué edad tiene Manuel, si la suma de las edades de Valentina y Fernanda es 56 años? a) 35 b) 21 c) 42 d) 7 Vamos a usar un artificio matemático llamado K que viene a ser el número de veces que multiplicada por su relación nos da las

Curso preuniversitario Darwin Morocho edades de cada uno.



V = 5K F = 3K M = 6K

  

edad de Valentina edad de Fernanda edad de Manuel

V + F = 56 la suma de las edades de Valentina y Fernanda de 56 años 5K + 3K = 56 8K = 56 K=7 Entonces la edad de Manuel es M = 6K = 6(7) = 42 Respuesta c) 42 años

6.- La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de 8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor? a) 4 años b) 6 años c) 8 años d) 10 años e) 12 años Sean A y B las edades actuales de las dos hermanas respectivamente

A 3  B 2

La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2.

A8 5  B8 4 

dentro de 8 años, dicha relación será 5/4

Si nos fijamos en la relación inicial podemos observar que la edad de la hermana menor es B. Resolvemos el sistema de ecuaciones

3 3B  16 B  8 A 3 3 5 5 3B  16 5 2   A B 2      B 2 2 B 8 4 B 8 4 2 B  16 4  12 B  64  10 B  80  2 B  16  B  8 Respuesta b) 8 años

7.-En un salón de clase el número de varones, es al número de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al profesor y a una alumna menos la nueva relación será de 2/3, hallar cuantas alumnas hay en el salón.


Sea

v m

B) 25

C) 35

D) 40

el número de varones

el número de mujeres

v 3  m 5



clase el número de varones, es al número de mujeres como 3 es a 5

v 1 2  m  1 53



Si se considera al profesor y a una alumna menos la nueva relación será de 2/3

Tenemos un sistema lineal con dos incógnitas, puesto que necesitamos solo el número de mujeres en el salón basta encontrar el valor de m.

Resolvemos el sistema y encontraremos que m=25, entonces el número de mujeres en el salón es 25.

Respuesta b) 25.

8.- El sueldo de Santiago y el de Katherine están en la relación de 3 a 5, pero si Santiago ganase $640 más, la relación se invertiría. ¿Cuál es el sueldo de Katherine?


Sea

S 

K

B) 600

C) 500

D) 400

el salario de Santiago

el salario de Katherine

S 3  K 5

El sueldo de Santiago y el de Katherine están en la relación de 3 a 5

S  640 5  K 3

si Santiago ganase $640 más, la relación se invertiría

 S 3  K  5  3 5  S  640  5 S K S  640  K  K 3   5 3

3 5 16 K  640  K K  640  5  K  600 3  15

Respuesta b) 600

9.-En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? A) 2000

B) 4000

C) 6000

D) 3000

E) 8000

A 7  B 5

Por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5

B 3  C 2

por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2

Curso preuniversitario Darwin Morocho Entonces con esto calculemos la relación de A con C

3 B C, 2

entonces

A 7  3 C 5, 2

luego

A  3   7     C  2   5



A 21  C 10

, es decir por cada 21 botellas que produce

la maquina A , la maquina C produce 10.

Sea

x 

el número de botellas que produjo ese día la maquina C, es decir la razón es

x  4400 21  x 10 ,

luego

10 x  44000  21x



11x  44000

 x  4000 ,

entonces en ese día la

maquina C produjo 4000 botellas.

Como por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina

C produce 2, entonces

botellas que produjo la maquina B en ese día entonces se tiene que

P 3  4000 2 ,

Respuesta c) 6000

por ultimo

sea

P

P  6000

el número de


1.- Andrea, Braulio, Carlos, Dante y Esteban están sentados formando una ronda, en el orden indicado. Andrea dice el número 53, Braulio el 52, Carlos el 51, Dante el 50, y así sucesivamente. ¿Quién dice el numero 1? A) Andrea B) Carlos C) Braulio D) Esteban E) Dante TRAMPA: Fíjense que falta Esteban y como dice SUCESIVAMENTE, entonces ESTEBAN sería el siguiente automáticamente…. Usted debe ponerlo para encontrar la respuesta al final de su tabla. Hágalo ordenadamente y fíjese que para cada uno baja 5 puntos….. Así evita hacerlo todo… ANDREA – 53 – 48 – 43 – 38 – 33 – 28 – 23 – 18 – 13 – 8 - 3 BRAULIO – 52 -47 - 42 CARLOS – 51 – 46 – 41 – 36 – 31 – 26 – 21 – 16 – 11 – 6 – 1   DANTE – 50 – 45 - 40 ESTEBAN – 49 – 44 – 39 Respuesta = “b” 2.- Si en el producto indicado 27x36, cada factor aumenta en 4 unidades; ¿Cuánto aumenta el producto original? A) 320 B) 288 C) 328 D) 268 E) 220 Cada factor significa cada número que se multiplica. El producto original significa la multiplicación inicial planteada. 27x36 = 972 (27+4)x(36+4) = 31x40 = 1240 Respuesta = 1240 – 972 = 268 Respuesta = “d” 3.- En la pizarra están escritos todos los múltiplos de 5 que son mayores que 6 y menores que 135. ¿Cuántos de esos números son impares? A) 11 B) 10 C) 25 D) 12 E) 13 Primero debemos escribir los números múltiplos de 5, luego marcamos solo los que cumplen la condición de ser mayores que 6 y menores que 135, NO DICE MENOR IGUAL A 135… Además deben ser IMPARES y son pares todos los terminados en 0... 5-10-15-20-25-30-35-40-45…….-125-130-135 Vemos que solo los terminados en 5 son impares…. 15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125 Respuesta = “d”

Curso preuniversitario Darwin Morocho 4.- Lucía fue al médico, éste le recetó tomar 4 pastillas, una pastilla cada 6 horas, ¿En qué tiempo podrá terminar de tomar todas las pastillas? A) 28 horas B) 24 horas C) 20 horas D) 18 horas E) 32 horas El razonamiento aquí es que Lucía toma la primera pastilla de inmediato y las otras 3 a intervalos de 6 horas. 3 x 6 = 18 horas. Respuesta = “d” 5.-En una habitación hay 11 pelotas amarillas, 13 azules y 17 verdes. Si se le pide a un ciego sacar las pelotas, ¿cuál es el mínimo número de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color? a) 24 b) 11 c) 28 d) 31 e) 30 Debemos considerar el peor de los casos posibles. El razonamiento es que si sacara todas las pelotas del mismo color mínimo debería de sacar 11 pelotas, pero jamás será seguro que sean del mismo color… El peor de los casos seria sacar primero 10 verdes, 10 azules y 10 amarillas. Por tanto si sacamos una pelota más sin importar su color ya tendré 11 del mismo color. El número de extracciones fueron 10+10+10+1=31 Es decir el mínimo número de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color es 31. Respuesta d)31

6.- ¿Cuántos números como mínimo se deben borrar del siguiente tablero para que, con los números que queden, se cumpla que la suma de los números de cada fila y de cada columna es un número par? 2 - 2 - 2 - 9 2 - 0 - 1 - 0 6 - 0 - 3 - 1 8 - 2 - 5 - 2 a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 Las Reglas para números pares son: 1.- Si sumas dos pares tendrás pares 2.- Si sumas dos impares tendrás pares Ahora hacemos cumplir la regla en cada fila, borrando la menor cantidad de números por fila que dañan la condición de par…. 2-2-22 - 0 - .. - 0 .. - 0 - 3 - 1 (borra 6 que solo es un número, dice mínimo) 8 - 2 - .. - 2 Ahora hacemos cumplir la regla en cada columna, borrando la menor cantidad de números por fila que dañan la condición de par…. 2-2-22 - 0 - .. - 0 6 - 0 - .. 8 - 2 - .. - 2 Respuesta = “d” TRUCO: Luego de borrar el 3 y el 1 en la tercera fila, podemos darnos cuenta que si regresamos el 6 a su puesto (borrado anteriormente), la condición se mantiene…. Así que lo ponemos a pesar de haberlo borrado antes y entonces nos quedan solo 5 números borrados que es la respuesta…. Si no se da cuenta de esta trampa jamás responderá bien. También tome en cuenta que solo escribiendo ordenadamente los datos y no como acostumbran todos los jóvenes, es que usted haya la respuesta correcta…… Una de las reglas fundamentales de las matemáticas es ORDEN y LIMPIEZA 7.- se le pregunta la hora a un señor y este contesta: “dentro de 20 minutos mi reloj marcará las 10 y 32”. Si el reloj está adelantado de la hora real 5 minutos, ¿qué hora fue hace 10 minutos exactamente? a) 10:10 min b) 10:07 min c) 10:12 min d) 09:50 min e) 09:57min La hora tiene 60 minutos… a + 20minutos = 10 horas 32 minutos a = 10horas 32minutos – 20 minutos = 10horas 12 minutos reloj adelantado 5 minutos

Curso preuniversitario Darwin Morocho hora real => a – 5minutos = 10 horas 12 minutos – 5minutos = 10 horas 7 minutos ¿Qué hora fue hace 10 minutos atrás? Fue: 10 horas 7 minutos – 10 minutos = 9 horas 57 minutos. respuesta = “e”

8.- Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, ¿Cuántas manzanas se deben vender para ganar $150? a) 125 b) 225 c) 300 Gasto : $ 10/3 por manzana Venta: $ 20/5 por manzana GANANCIA = VENTA – GASTO Sea

x

d) 150

e) 100

el número de manzanas que hay que vender para ganar $150

10 x 3 es el monto gastado en comprar x manzanas

20 x 5 es el monto de la venta de x manzanas

Entonces

20 10 60  50 10 15g150 x  x  150 x  150 x  150 x  225  15  15  5 3 10

Respuesta = “b”

9.-Pienso en un número. Lo divido entre 7 lo elevo al cuadrado. Le agrego 41. Se le extrae la raíz cuadrada. Finalmente le resto 6 dando como resultado 15 . ¿Qué número pensé? a) 150 b) 98 c) 105 d) 133 e) 140 Sea

x

el número que estoy pensando

2

2

 x  x     41  6  15    41  21   7   7 

 x   19600  x  140 Respuesta e) 140

2

x x2 2  41  21  400  7  49  x 2  19600


12.- En un establo hay vacas y aves. Si el número total de animales es de 28 y el número contado de patas es 94 ¿Cuántas aves hay? a) 8 Sea

b) 9

V A

c) 10

d) 11

el número de vacas

el número de aves

Las vacas y las aves tienen una sola cabeza por cada animal, es decir

Las vacas tiene cuatro patas, y las aves tienes 2 patas , es decir

V  A  28

4V  2 A  94

Resolvemos el siguiente sistema

 V  A  28  V  28  A  4  28  A  2 A  94  A  9   4V  2 A  94 Respuesta b) 9 aves

13.- Una vaca atada con una soga de 3 metros de largo, se demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros. ¿En cuántos días comerá todo el pasto a su alcance? a) 10 b) 20 c) 30 d) 22 Este ejercicio se resuelve usando una regla de tres. Puesto que la vaca está atada a una soga solo podrá comer el pasto de un terrero circular de 3 metros de radio. Es decir la cantidad de pasto que come la vaca está dada por el área del terreno circular.


Área del terreno circular de 3 metros de radio:

A1   r 2    32   9

Si la soga fuera de 6 metros entonces la vaca podrá comer todo el pasto de un terreno circular de 6 metros de radio.

Área del terreno circular de 6 metros de radio:

A2   r2 2    62   36

Ahora formemos la regla de tres

Área

días

9

5+

-

36

+

x

Mas área requiere más días (+)(+)=+

x

5  36   20 9

Respuesta b) 20 días

14.- Para la preparación de una ensalada que rinde 10 porciones se necesitan 5 kilos de zanahoria. ¿Cuántos kilos de zanahoria se necesitarán para 4 porciones de la misma ensalada? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 Para este problema hay que usar una regla de tres simple

porciones

kilos

Curso preuniversitario Darwin Morocho 10-

5+

4+

x

Menos porciones, requieren menos kilos de zanahoria (-)(-)=+

x

4g5 2 10

Respuesta c) 2 kilos

15.- A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es: a) 8/9

b) 9/2

c) 9/4

d) 8/9

e) 9

Puesto que Aes inversamente proporcional al cuadrado de T se tiene que

A

k T2

Cuando

, donde

k

es el factor de proporcionalidad

A=2  T=3, es decir

A=?

2

 T=2, es decir

k

 3

A

2

, entonces

k  18

k

 2

2

, entonces

A

18

 2

2

 A

18 9  A 4 2

Respuesta b) 9/2

18.- En un restaurante para preparar 5 porciones de una entrada de papas se necesita 1 libra de papa blanca.

Curso preuniversitario Darwin Morocho ¿Cuántos kilos de papa blanca se necesitarán para preparar 30 porciones de la misma entrada? a) 2.5 kg b) 2.72kg c) 2.74 kg d) 6 kg Puesto que la respuesta nos pide en kilos, debemos transformar 1 libra en kilogramos.

libras

Kilogramos

2,2-

1+

1+

x

Menos libras, menos quilogramos (-)(-)=+

1 1 1 5    22 11 2,2 11 10 5

x

.

Es decir 1 libra tiene

5 kg 11

Ahora hacemos otra regla de tres

porcion

Kilogram

es

os

5

5/11+

30+

y

Mas porciones, requieren más kilos de papas (+)(+)=+

y

 5   11  6  5  30  2.72   5 11  11

30 

Por tanto se necesitan 2.72 kg para preparar 30 porciones

Respuesta b) 2.72 kg


BANCO DE PREGUNTAS REGLAS DE TRES 1

Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la

segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Rpta=100 2

Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de

15 personas durante ocho días? Rpta=1320 C o n 1 2 b o t e s c o n t e n i e n d o c a d a u n o 1 / 2 k g d e p i n t u r a s e h a n p i n t a d o 9 0 m d e v e r j a de 80 cm 3 de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. Rpta=10 4 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? Rpta=21 S e i s g r i f o s , t a r d a n 1 0 h o r a s e n l l e n a r u n d e p ó s i t o d e 4 0 0 m ³ d e c a p a c i d a d . ¿ C u ántas horas 5 tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

Rpta=37.5

PRIMER BANCO DE PREGUNTAS 1- En un establo hay vacas y aves. Si el número total de animales es de 28 y el número contado de patas es 94 ¿Cuántas aves hay? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 2- En una granja hay patos y gallinas en razón 9:10, si sacan 19 gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente? a) 10 b) 81 c) 90 d) 100 3- Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, el valor del otro número debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razón no se altere. Halle el mayor de los dos números. a) 130 b) 65 c) 52 d) 78 e) 104 4- Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, ¿Cuántas manzanas se deben vender para ganar $150? a) 125 b) 225 c) 300 d) 150 e) 100 5- Se le pregunta la hora a un señor y este contesta: “Dentro de 20 minutos mi reloj marcará las 10 y 32”. Si el reloj está adelantado de la hora real 5 minutos, ¿qué hora fue hace 10 minutos exactamente? a) 10:10 min b) 10:07 min c) 10:12 min d) 09:50 min e) 09:57min 6- Lucía fue al médico, éste le recetó tomar 4 pastillas, una pastilla cada 6 horas, ¿En qué tiempo podrá terminar de tomar todas las pastillas? A) 28 horas B) 24 horas C) 20 horas D) 18 horas E) 32 horas 7- Si m - 4p = 3n y a = (m - p)/(n + p) , halle 2a a) 32 b) 6 c) 4

d) 8

e) 2

Curso preuniversitario Darwin Morocho 8- ¿Cuál es el mayor número natural, formado por dígitos distintos, tal que al multiplicar sus dígitos se obtiene como resultado 40? a) 5421 b) 5464 c) 8798 d) 4654 e) 3221 9- Se tiene una colección de 7 tomos de libros de 700 páginas cada uno. Si cada tapa tiene un espesor de 0.25cm, y las hojas por cada tomo, un espesor de 4cm, ¿Cuánto recorrerá una polilla que se encuentra en la primera página del primer tomo a la última página del último tomo? A) 22 cm B) 31 cm C) 20 cm D) 19 cm E) 21cm SEGUNDO BANCO DE PREGUNTAS 1. Un padre saca de uno de los bolsillos de su pantalón, $ 120 y los reparte entre sus hijos Juanito y Anita. Al observar Anita que el reparto no ha sido equitativo le pide a su papa que del otro bolsillo le de $ 24 más, para tener lo mismo que Juanito. ¿Cuánto tenia Anita al principio? a) $ 60 b) $ 36 c) $ 48 ✔ d) $ 52 e) $ 45 2. Dispongo de $ 80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto. ¿Cuánto gasto? a) $ 42 b) $ 32 c) $ 36 d) $ 30 ✔ e) $ 35 3. Un joven recibe cierta cantidad de dólares como propina por sus buenas notas. El primer día gasto la mitad de lo que recibió, mas $ 10. El segundo día le regalo a su hermanita $ 15 y el tercer día se compró un polo de $ 25, notando entonces que solo le quedaban $ 5. ¿Cuánto recibió de su padre? a) $ 120 b) $ 110 ✔ c) $ 130 d) $ 95 e) $ 100 4. Qué día del año se leía en la hoja de un almanaque, cuando el número de hojas arrancadas excedió en 5 al doble del número de hojas que quedaban? a) 200 b) 300 c) 244 d) 243 e) 245✔ 5. ¿Qué hora es, si las horas transcurridas y las que faltan transcurrir, son (x^2+3) y (x+1), respectivamente? a) 4 a.m b) 5 a.m c) 7 a.m d) 9 p.m e) 7 p.m ✔ 6. La suma de dos números es 84. El triple del menor excede en 12 al mayor aumentado en 24. Hallar el menor de dichos números. a) 36 b) 28 c) 32 d) 30 ✔ e) 39 7. Al aumentar en 2 cm, la longitud de cada lado de un cuadrado, el área aumentada en 24 cm^2. Entonces la longitud inicial del lado, es: a) 5 cm ✔ b) 4 cm c) 7 cm d) 6 cm e) 9 cm 8. Juan compra cierto número de libros por 120 dólares. Después se entera que, en otro lugar, por el mismo dinero, si hubiera comprado 3 libros más, cada uno hubiera costado 2 dólares menos. ¿Cuántos libros compro? a) 10 b) 9 c) 12 ✔ d) 11 e) 13 9. Ana le dice a Juan: “si me dieras 18 dólares, tendría el doble de dinero que tu", a lo que Juan responde: “mejor dame solo 12 dólares y así tendré el triple de dinero que tu". ¿Cuánto tienen juntos? a) 30 dólares b) 42 dólares ✔ c) 78 dólares d) 62 dólares e) 72 dólares 10. Dentro de 12 años, la edad de Jaime será el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene actualmente? a) 20 b) 18 ✔ c) 24 d) 36 e) 28 11. Hallar un número positivo tal que su cuadrado exceda a su triple en 108. a) 9 b) 15 c) 12 ✔ d) 8 e) 16 12. La suma de los cuadrados de 2 pares positivos y consecutivos, es 340. Hallar el número impar intermedio entre ellos. a) 17 b) 9 c) 11 d) 15 e) 13 ✔ 13. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Calcular la capacidad del estanque en litros. a) 16984 b) 18984 ✔ c) 14984 d) 12984 e) 50000

Curso preuniversitario Darwin Morocho 14. En una fiesta se observa que: los 3/8 del número de asistentes más 10 son mujeres y 7/8 del número de asistentes menos 44 son hombres. ¿Cuántas mujeres asistieron? a) 51 b) 61 ✔ c) 62 d) 68 e) 78 15. Entre 48 personas deben pagar una deuda, pero resulta que 8 de ellas solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, debiendo pagar el resto $ 9 más, cada uno. Cuanto es la deuda total a) $ 90 b) $ 3600 c) $ 4320 ✔ d) $ 4820 e) $ 4800 16. La suma de 2 números positivos es 36. Si el cociente de sus recíprocos es 8, ¿Cuál es la diferencia de estos números? a) 32 b) 30 c) 26 d) 28 ✔ e) 24 17. En un corral, donde hay pollos y carneros, se cuenta en total 34 cabezas y 110 patas. ¿Cuantos carneros hay? a) 13 b) 22 c) 20 d) 19 e) 21 ✔ 18. Un joven estudiante que asiste a una fiesta, observa que cuando los 4/5 del número de hombres sale a bailar, 8 mujeres se quedan sin pareja. Además cuando todos los hombres bailan, solo dos mujeres no lo hacen. ¿Cuantas personas asistieron en total? a) 56 b) 62 ✔ c) 84 d) 72 e) 86 19. Un comerciante compra botellas de vino a 4 por 10 dólares y las vende a 7 por 20 dólares. Si al final de la jornada, le quedaron 50 botellas, representando esta su ganancia; ¿Cuantas botellas compro? a) 200 b) 350 c) 300 d) 450 e) 400 ✔ 20. Preguntando Andrés por su edad, respondió: "Hace 9 años mi edad era los 2/3 de la edad que tendré el próximo". ¿Cuál es la edad actual de Andrés? a) 27 años b) 28 años c) 29 años ✔ d) 30 años e) 31 años 21. Mi edad, más la mitad de mi edad, es igual a lo que me faltara dentro de 5 años para cumplir 50. ¿Cuántos años tengo? a) 25 b) 18 ✔ c) 24 d) 26 e) 30 22. El doble de mi edad dentro de 6 años será igual al triple de la edad que tuve hace 6 años. ¿Qué edad tengo? a) 28 años b) 29 años c) 30 años ✔ d) 31 años e) 32 años 23. Juan le dice a Lucho: "Actualmente, nuestras edades suman 42 años; Pero hace tan solo 6 años, mi edad era el doble de tu edad en aquel entonces". ¿Cuál es la edad actual de Juan? a) 28 años b) 27 años c) 25 años d) 26 años ✔ e) 24 años 24. Las edades actuales de Juan y Carlos suman 48 años. Juan le dice a Carlos: "Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía 5 años menos de los que hoy tienes". ¿Qué edad tiene Carlos? a) 26 años b) 24 años c) 20 años d) 23 años e) 22 años ✔ 25. Las edades actuales actuales de Julio y Juan suman 46 años. Julio le dice a Juan: "Cuando tu tenías la edad que yo tengo, mi edad era tan solo 8 años menos la edad que hoy tienes". ¿Qué edad tiene Julio? a) 20 años b) 22 años c) 18 años d) 25 años e) 21 años ✔ 26. En una fiesta se encuentran 20 hombres, 30 mujeres y 75 niños. ¿Qué porcentaje de los reunidos no son niños? a) 30% b) 70% c) 60% d) 40% ✔ e) 48% 27. Carlos tenía $ 25, gasto $ 15. ¿Qué parte de su sueldo ha gastado? a) 3/5 ✔ b) 1/5 c) 4/5 d) 1/3

e) 3/4

28. Preguntando a un padre por la edad de su hijo, respondió así: "Dentro de 10 años, mi edad será el triple de la edad mi hijo, pero actualmente nuestras edades suman 60 años". La edad pedida es: a) 10 años ✔ b) 12 años c) 11 años d) 9 años e) 15 años 28. Cuatro hombres pueden hacer una obra en 20 días, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días harán la obra si trabajan 8 horas diarias? a) 2 b) 4 c) 6 d) 15 ✔ e) 20 29. Los 7/9 del sueldo de una persona es $ 280. ¿Cuál es el sueldo?

Curso preuniversitario Darwin Morocho a) 100

b) 200

c) 300

d) 400

e) 360 ✔

30. Se contrata un obrero por 12 meses y se le ofrece un pago de $ 1400 más un televisor. Al octavo mes se le despide, dándole $ 900 más el televisor. ¿En cuánto se estima el valor del televisor? a) $ 120 b) $ 130 c) $ 100 ✔ d) $ 110 e) $ 140 31. Un Sastre va a comprar cierta cantidad de metros de tela, con $ 35. Viendo los precios, medita: "Si hubiera tenido $ 15 más podría comprar 6 metros más". ¿Cuantos metros de tela compro? a) 12 m b) 13 m c) 14 m ✔ d) 15 m e) 16 m 32. Un cangrejo, cada vez que avanza 7 metros, en línea recta, retrocede 3 m y luego se detiene un instante, para enseguida proceder igual. Si desde su punto de partida hasta su destino final, solo hay una distancia de 20 metros, ¿Cuantos metros recorrió en toda su trayectoria? a) 20 m b) 40 m c) 50 m ✔ d) 30 m e) 42 m 33. El tío de Juan tenía pensado dejar a cada uno de sus sobrinos $ 42 dólares. Como uno de ellos se fue de viaje repartió el dinero entre los demás, recibiendo cada uno 56 dólares. ¿Cuál era la suma repartida? a) 126 dólares b) 136 dólares c) 166 dólares d) 158 dólares e) 168 dólares ✔ 34. Luchito le dice a Juanito: "Préstame 7 canicas y tendremos tantas el uno como el otro". Juanito le responde: "Mejor préstame 5 de las tuyas y tendré el doble de las que te quedan". ¿Cuantas canicas tiene Luchito? a) 24 b) 26 c) 28 d) 27 e) 29 ✔ 35. Juan, Pedro y José se encuentran jugando a las cartas. Juan tiene $ 182; Pedro $ 142 y José $ 120. Luego de una hora de juego se retira Pedro ya que solo le quedan $ 12. Siguen jugando Juan y José, terminado juan con $ 82 de ganancia más que José. ¿Qué cantidad de dinero tiene José al final? a) 144 ✔ b) 24 c) 96 d) 156 e) NA. 36. "Con el dinero que tengo, puedo comprar 15 libros o 35 cuadernos". Si al final compre 9 libros; entonces, con el dinero que me queda. ¿Cuantos cuadernos puedo comprar? a) 12 b) 14 ✔ c) 15 d) 16 e) 10 37. Se compran 744 lapiceros a $ 40,00 la docena y se venden a $ 390,00 el ciento. Descontando 38 malogrados, ¿Cuál es la ganancia obtenida? a) $ 473,20 b) $ 373,40 c) $ 273,40 ✔ d) $ 394,70 e) $ 473,40 38. De Lima al Callao partió una camioneta, con 4 pasajeros. Se observó que, por cada pasajero que bajaban subían 3. Si al Callao llegaron 18 personas. ¿Cuál fue la cantidad de dinero que obtuvo el cobrador por los pasajes, si cada pago $ 0,80? a) $ 22,40 b) $ 20 ✔ c) $ 24 d) $ 18 e) $ NA. 39. Un tanque con aceite pesa 500 kg. Si el peso del tanque vació es de 1/9 del peso del aceite, entonces el aceite contenido en el tanque pesa, en kg: a) 400 b) 500 c) 550 d) 450 ✔ e) 600 40. Una señora, pensaba: "Si compro 8 biscochos me faltaría 3 dólares, pero si compro 5 helados, me faltarían $ 6,60". Si cada biscocho cuesta $ 1,80. ¿Cuánto cuesta un helado? a) $ 3,60 ✔ b) $ 2,40 c) $ 3,20 d) $ 3,00 e) $ 3,40 41. En 1977 Ricardo tenía 20 años y sus hermanos 6 y 7 años respectivamente, ¿cuál es el menor número de años que debe transcurrir a partir de ese año para que la edad de Ricardo llegue a ser menor que la suma de las edades que tendrán sus dos hermanos? A) 28 B) 16 C) 9 D) 8 E) 7

TERCER BANCO DE PREGUNTAS 1. En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 2. Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

Curso preuniversitario Darwin Morocho A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p 3. Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla. el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16 4. ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos? A) De 1 forma B) De 2 formas C) De 4 formas D) De 3 formas E) De 6 formas 5. Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy? A) Viernes B) sábado C) Lunes D) Miércoles E) jueves 6. Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno? A) $280 B) $200 C) $120 D) $100 E) $ 40 7. El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T? A) 6n – 14 B) 6n – 6 C) 5n – 14 D) 3n – 14 E) 3n – 6 8. En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq 9. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera. “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) Ninguna de las anteriores 10. Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a A) -12 B) -7 C) -2 D) 4 E) 12 11. M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1} 12. La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s). A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

 0,05   0,5

5 13. A) 0,5

B) 0,05 C) 0,005

a

2 5 b 3 6

D) 50

c

E) 500

3 8

14. El orden de los números , y de menor a mayor es A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a 15. Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer? A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,62 km 16. Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta entre las fracciones.

p

3 a

t

3 a 1

r

3 a 1

, , A) p

$

ab 3

$

A)

ab 5

$

$  2a  3b 

B)

C)

D)

2 18. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los

2

1 3

2

2 3

2

3 2

3a  2b 18

3

$

5  3a  2b  18

E)

1 3 litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?

1 3

1

2 3

A) B) C) D) E) 19. Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como

20. Si el radio r de un círculo aumenta en m unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como A)

 r2  m

B)

 r 2  m2

  r2  m2 

C)

  r2  m

D)

  r  m

2

E)

1. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?

Respuesta: d) 2. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?

Respuesta: b)

Curso preuniversitario Darwin Morocho 3. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?

Respuesta: c) 4. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?








Respuesta: b) 10. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?

Respuesta: a) 11. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?















Respuesta: b)

22. ¿Cual de las alternativas reemplaza al signo de interrogación?







Respuesta: d)









Respuesta: b)





Respuesta: d)



Respuesta: d)

Manual Preuniversitario

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