FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Hermano (a)

Pedro: Fue Rodrigo Hugo: Pedro tiene razón

Reafirmación:

14 cuadrados

3 cuadrados

(1)(2)

V F V F

(1)(2)

Hace 3 días Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Dentro de 3 días

: -3 : -2 : -1 : 0 : +1 : +2 : +3

Relaciones temporales

s

a

b

s

15 15 15

4 9 2 3 5 7 8 1 6

:

Ejercicios con peleas

se repiten

3S=1+2+3+...9+a+b+c

c

s

Distribuciones mágicas Normales

: Horario : Antihorario

Unidas por un eje

:

Con correas cruzadas :

Con correas paralelas :

Juntas

RAZONAMIENTO LÓGICO

Juan: Carlos fue el culpable V F Carlos: Juan está mintiendo F V

Contradicción:

Principio de suposición

yo

Abuela materna

Madre

Abuela Abuelo paterna materno

Padre

Abuelo paterno

Relaciones de parentesco

Ejercicios con cerillos

15 15 15 15 15

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Hab. Matemática

Hab. Matemática

Lima Ingeniero

Hugo

Paco Tacna Médico

De forma directa:

1 2 3 x x A B x x x C x

Cuadro de descarte:

Luis Piura Profesor

Test de decisiones

C E D

B

A

Menor

Mayor

• A es mayor que B • B no es menor que C • C es mayor que D • D es menor que E

Creciente Decreciente

Lateral Izquierda Derecha Oeste Este Siniestra Diestra

Ordenamiento lineal

(ORDEN DE INFORMACIÓN)

H E

G D

Izquierda (horario)

A

B

Derecho (antihorario)

C

F

Ordenamiento circular




Lenguaje Literal (Enunciado)

Traducción

• A excede a B en 10 unidades • El doble, de un número disminuido en 3 unidades. • El doble de un número, disminuido em 3 unidades. • A es por dos veces B • A es dos veces más que B

Lenguaje Matemático (Ecuaciones) A – B = 10 2(x – 3) 2x – 3 A = 2B A = B + 2B A=3B

Con dos o más sujetos Pas Pre Fut a d e Daniella c b f Melanie • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a–c=d–d=e–f • La suma en aspa da el mismo resultado: a+b=c+d d+ f=b+e a +f=c+e Importante Caso 1: Año nacimiento + edad = año en curso • Si la persona ya cumplió años en el año en curso. Caso 2: Año nacimiento + edad = año en curso – 1 • Si la persona todavía no cumple años en el año en curso. Nota: Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.


Hab. Matemática


Máquina +

Adición Sustracción

X

División Materia prima Números

Producto terminado Resultado

Botones Operadores Proceso de producción Operación matemática

Definición

a*b = 3a + 5b + 4

2

Explícita ..........................................

Definición

2

a*b = 3(b *a ) + a

Implícita ..........................................

5

=m

m

=5

Se resuelve de adentro hacia .............. afuera ...............

Si x = x+1

Hab. Matemática

Se resuelve de adentro afuera hacia .............. ...............


Se consideran 27 letras del abecedario (No se considera Ch, ni Ll)

Literales r

r


* Para una sucesión con una cantidad impar de término.

Producto de extremos *

q: razón aritmética

×q ×q ×q

Sucesión Geométrica

* para una cantidad impar de términos en la sucesión.

r: razón aritmética

r

Sucesiones aritmética (Lineal)

SUCESIONES

2 2

A+B=4 6

2

2

8 10 12

t1 t2 t3 t4 t5 C = 0 4; 10; 18; 28; 40; ...

De 2º Orden

Sucesiones Notables


Hab. Matemática


Hab. Matemática



ECUACIONES DIOFÁNTICAS MULTIPLICIDAD

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. Si N es múltiplo de n

1. n + n + n + ... + n = n

o



Si N = n ⇒ N= nk; k ∈ 

o

o

o

 n : se lee múltiplo de n

Ejemplo:

Ejemplo:

8 • 8+8+8=





Si N= 5 N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....) 

Si N = 8 N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}



     15 + 15 + 15 + 15 = 15

•

o o o 2. n+ n =n

Ejemplo: 



N= n + rd ó N = n − re









14 − 14 = 14

•

  0 10 = 10    

o

Ejemplo: 



• 27 = 7    

Ejemplo:



•

3. k n= n; k ∈ Z

n donde: rd + re = rd : residuo por defecto re : residuo por exceso 

20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6 ) 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2 



⇒ 20 =6 + 2 ⇒ 20 =6 − 4 Donde: 2 + 4 =6 Aplicación: 



PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES o

Sea A x B = n o

o

o

o

Si A ≠n ⇒ B = n Si B ≠n ⇒A = n Ejemplo: 

Si N = 9 + 3 ⇒ N =9 − 6

4x = 5

Si N = 12 −1 ⇒N = 12 + 11

4 ≠5⇒ x = 5





• 7 −7 = 7

2. Si N no es múltiplo de n 



o








Hab. Matemática

Hab. Matemática

P5 = 5! = 120

5 amigos en 5 asientos

Ejemplo:

Pn = n!

Permutación Lineal

• Multiplicativo (y): Para eventos de dependientes, simultáneos.

• Aditivo (o): Para eventos independientes

Principio de Conteo

n! = (n k)!

P52 =

5! = 20 3!

5 amigos en 2 asientos

Ejemplo:

Pnk

Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”

n! k!(n k)!

PR62; 3; 1 =

2

Ejemplo:

6! 2!3!1!

3

1

Pc(6) = 5!

6 amigos en una mesa circular

Ejemplo:

Pc(n) = (n − 1)!

n! a!b!c!... PRna; b; c; ... =

Permutación circular

• Cnk = Cnn−k

Propiedades:

Cnk =

Combinación (agrupar)

Permutación con repetición

Permutación (Ordenar)

ANÁLISIS COMBINATORIO

n! = 1×2×3×4×...n 0! = 1 n! = n(n 1)!

Factorial de un número




MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Problemas sobre certeza

Expresiones algebraicas de 2do grado

Casos Casos Número de : + extraciones desfavorables favorables Lo que no quiero que salga

2

E(x) = Ax + Bx + C

Lo que pide el problema

A>0

EMÍN

A>0

EMÁX

X=

2A

Otras situaciones • Si: a + b = K K K (a.b)máx = . 2 2

• Si: a > 0 1 a+ >2 a

• Si: a × b = K

• Si: × ∈ = IR

(a+b)mín = K +


K

2

x >0

Hab. Matemática


Aritmética



MAGNITUDES PROPORCIONALES DP

IP A IP B

A DP B Valor de A = Cte Valor de B

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A IP B

A DP B Constante f(x) = K x Valor de A

Constante

Propiedades Valor de B

• A IP B • A DP B

1 B 1 A IP B

• A DP B (C cte) Gráfica: Valor “A” Línea Recta

Valor de B

Valor de A

A IP C (B cte) AxC = cte B

a1

f(x) = k x

A DP

Gráfica: Valor “A” Hipérbola Equilátera

a1 a2

a2 b1 a1 b1

=

Valor “B” b2 a2 b2

=k


b1

b2 Valor “B”

a1 . b1 = a2 . b2 = k

Aritmética


A = {a1; a2; a3;.......; an}  elementos

donde :

• Cardinal = n(A) = n

ai ≠ a j

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

i, j ∈  +

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Complemento ( (A)): No A

Unión (U): A o B A

B

A

Diferencia (–): Solo A A

Intersección (∩): A y B A

B

B

Diferencia Simétrica (A): Sólo A o sólo B A

Aritmética

B


4

3

2

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO 2

5 14

2

Aritmética → 2435 = 73

73 ← Base 10

3 + + 10 70

4

2

2. Ruffini Ejemplo: 243(5)

Descomposición polinómica

abcdn = an + bn + c.n + d

3

3. Cambios de base: 3.1 De base "n" a base 10 1.

abcabc n = abc n ⋅ n + abc n

3

ababn = abn ⋅ n2 + abn

abab = ab.100 + ab

2. Descomposición por bloques:

abcde(n) = an + bn + cn + dn + e

4.

7 4

→ 243 = 465(7)

243 7 33 34 5 6

1

→n
abc > xy

– + = abc(n)_ xy(m) + Como

Si:

2

Base m

Divisiones Sucesivas

Base 10

Descomposición Polinómica

Base n

3.3. De base "n" a base "m" (n 10; m 10)

≠

3.2. De base 10 a base "n" (Divisiones sucesivas) Ejemplo: 243 a base 7

≠

1. Descomposición polinómica:

NUMERACIÓN



Números capicúas

121; 3553; 27372; abccba

BASES SUCESIVAS 1a

1b

=a+b+c+d+e+x

1c

1d

1e

x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS (n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) = nk – 1   n k cifras

Aritmética



I. ADICIÓN

II. SUSTRACCIÓN

a + b + c +...+ z = S Sumandos

Suma total

Progresión aritmética Sea:

M–S=D Propiedades: •

2M = M + S + D

•

ab(n) – ba(n) = xy (n)

→ an = a1 + (n – 1)r

an – a1 +1; r n: Número de términos

→ x +y=n –1

donde n ≥ 3 y a > b

n → =

•

→ x +z=n –1

 an + a1  → Sn =  2 n;  

y=n–1

Sn: Suma de términos

Sumas notables

• • •

n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

•

n(n + 1) (2n + 1) 6 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =

•

 n(n + 1)    2   •

donde: n ≥ 3; a > c •

an – 1 a– 1


abcd – dcba = xyzw

donde: a > d → x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético •

2

a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =

abc(n) – cba(n) = xyz(n)

CA(N(b)) = 100...00   

k +1 cifras b

– N(b)

Si N tiene k cifras •

CA(abcd(n) ) =

(n – 1 – a) (n – 1 – b) (n – 1 – c) (n – d)n

Aritmética


o

*

A = B = B(k) Se dice: - A es múltiplo de B - A es divisible entre B - A dividido entre B da residuo cero o

o

o

o

o

o

*

n+n =n

*

n– n=n

*

o o o  o  n(k) = n = k =  nk   

*

(n)k = n

*

(n + a)(n + b)(n + c) = n + a.b.c

*

(n + r)k = n + r k

o

o

o

o

o

o

o

Aritmética

o

o

o

o

o

*

(n – r)k = n + r k , k: par

*

(n – r)k = n – rk , k: impar

*

o N = a O o  N = b  N = MCM(a,b, c) o N = c 

*

o  N = a + r O  o  N = b + r  N = MCM(a,b, c) + r  o N = c + r 



o

o

o

•

Por 2

abcde = 2 + e. Si e = 2 → abcde = 2

•

Por 4

abcde = 4 + de. Si de = 4 → abcde = 4

•

Por 8

abcde = 8 + cde. Si cde = 8 → abcde = 8

•

Por 5

abcde = 5 + e. Si e = 5 → abcde = 5

•

Por 25

abcde = 25 + de. Si de = 25 → abcde = 25

•

Por 125

abcde = 125+ cde. Si cde = 125 → abcde = 125

•

Por 3

abcde = 3 + a + b + c + d + e . Si E = 3 → abcde = 3

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

E

•

Por 9

o

abcde = 9 + a + b + c + d + e . Si E = 9 → abcde = 9 E

•

Por 11

o

o

o

abcde = 11 + e – d + c – b + a. Si E = 11 → abcde = 11  E +-+-+

•

Por 13

•

a b c d e f g h = 13 – 3a + b + 4c + 3d – e – 4f – 3g + h. Si E = 13 → abcdefgh = 13  31431431 E - + - + Por 7

o

o

o

o

o

o

+ b – 2c –  3d – e + 2f + 3g + h. Si E = 7 → abcdefgh = 7 a b c d e f g h = 7+ 3a  31 2312 31 E + - +


Aritmética


•

Por 33

o

o

o

o

o

a b c d e = 33 + a + bc + de . Si E = 33 → abcde = 33 E

•

Por 99

o

a b c d e = 99+ a + bc + de. Si E = 99 → abcde = 99  E

o

o

o

•

+ b + c + d + e . Si E=(n – 1) → abcde(n) = (n – 1) P or n − 1 abcde(n) = (n − 1)+ a  en E base n

•

P or n + 1 a b c d e = (n + 1) + e – d + c – b + a. Si E=(n + 1) → abcde(n) = (n + 1) (n)  en +-+-+ E base n

•

o

o

o

Dada la descomposición canonica del número N: N = p1α1p2α2p3α3...pk αk ...D .C .

•

Su cantidad de divisores se calcula como: C DN = (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)...(αk + 1)

Además: CDN = CD

•

SIMPLES

+ CD

COMPUESTOS

La suma de divisores se calcula como: SD(N) =

Aritmética

p1α1 +1 – 1 p2α2 +1 – 1 p αk +1 – 1 × × ... × k p1 – 1 p2 – 1 pk – 1



•

La suma de inversas de divisores se calcula como: SID(N) =

•

SD(N) N

El producto de los divisores se calcula como: C D(N)

P D(N) = N

•

El esquema del algoritmo de Euclides: Cocientes

A

B

K

MCD (A;B)

O Residuos

•

Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

MCD(A;B)

•

A = p x k   ; donde: p y q son PESI  = k B = q x k  MCM =k x p x q (A;B) 

Siempre se cumple que: MCD(A;B) × MCM(A;B) = A × B

•

n× A n×B  n×k = MCM  ; m  m  m


•

n× A n×B  n×k = MCD  ; m  m  m

Aritmética


Números enteros Z

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Fracción Clases de fracciones

• • • •

Propia Impropia Reductible Irreductible

• • • •

Común y ordinaria Decimal Homogénea Heterogénea

Variación porcentual

Operaciones con tanto por ciento Adición

 Aumento ó    disminución  = × 100% porcentual  Cantidad     inicial 

Variación

Sustracción

Aumentos y descuentos sucesivos

Aumento único Descuento único

Aritmética

a×b  =  a + b + % 100   a×b  =  a + b – % 100  

Aplicaciones comerciales Pventa = Pcosto + ganancia Pventa = Pfijado – descuento Pventa = Pcosto – pérdida Pfijado = Pcosto + incremento



INTERÉS SIMPLE M=C+I

I=C M=C

r%

t

(1 + r%

t)

r% y t en las mismas unidades

Pmedio =

Grado

Costo total Peso total

alcohólico

Gaparente = Paparente

xL a%

=

Alcohol × 100% Total

Pventa = Pcosto + Ganancia

yL + b%

zL + c%

(x+y+z) L = d%

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)


Aritmética


Álgebra



5

4

3

2

1

3

2

2

3

(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x+ab

(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b

3

(a ± b)3 = a 3 ± b3 ± 3ab(a ± b)

(a + b)(a2 – ab + b2) = a 3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a 3 – b 3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab

(a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a 2 + b2)

(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

10

9

8

7

6

2n

n m

)(x –x y +y

2m

4n

ARGAN’D

+y4m

2n 2m

) = x +x y

2m

3

3

2

2

2

GAUSS

a +b +c –3abc = (a+b+c)[a +b +c –(ab+bc+ca)]

3

(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(x 2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

n m

(x +x y +y

2n

• a2 + b 2 + c 2 = – 2(ab + ac + bc)

Si: a + b + c = 0. Se verifica que: • a3 + b3 + c 3 = 3abc

(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES


Álgebra


ECUACIÓN CUADRÁTICA Análisis de las raíces

Forma

• Si: D > 0

ax 2 + bx + c = 0 ; a 0

Fórmula x=

2 raíces IR diferentes • Si: D = 0

b 2 – 4ac 2a

–b

2 raíces IR iguales • Si: D < 0

Discriminante

x1

x2

x1=x2

2 raíces CI conjugadas

D = b 2 – 4ac

Propiedades de las raíces x1+x2=– b a

Si: ax 2 + bx + c = 0

x1.x2= c a

suma:0 b=0 c=0

Una raíz nula

(x1+x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4x1.x2

x1–x2=?? Raíces recíprocas (inversas)

Raíces simétricas (opuestas) x;–x

Recordar:

x;1/x producto:1 a=c Dos raíces nulas

b=0;c=0

Reconstrucción de una ecuación cuadrática x 2 – Sx + P = 0 Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales) Si:

ax 2 + bx + c = 0 mx 2 + nx + p = 0

Álgebra

a b c = = m n p



EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomio

Racional Entera

Polinomio Definición

Definición

Términos Semejantes

Grado Absoluto

Grado Relativo

Grado Relativo

Grado Absoluto

Clasificación Homogéneo

Ordenado

Idénticos

Completo

Idénticamente nulo

Recordar las definiciones an =

a.a.a...a ; n∈  "n factores de a" 0

a =1

;

a≠0

Recordar los teoremas am.an = am+n ;

am = am–n an

( an )m = ( am )n = am.n ;

(a.b)n = anbn

n

1 1 a –n = n =   a a m/n

a

n m

= a

n

;

a≠0

n m

= a

an  a n n n  b  = n ; a.b = a. b   b na =

b

n n

a

;

b

nk mk

a


nm

a = nm a

n

= am

Álgebra


SISTEMA DE ECUACIONES E1 : a1x + b1y = c1 E2 : a2x + b2y = c2

Por su Solución

tienen solución

Ecuación Compatible

soluciones finitas

Determinada a1 a2

≠

y

E2

b1

E1 (x0;y0)

b2

x y

E1

Indeterminada a1 a2

=

b1 b2

=

c2

Ecuación Incompatible a1 b = 1 a2 b2

Álgebra

E1

c1

c1 c2

x

E2

no tienen solución

E2

y

E1

E2 E1 // E2

x



FACTORIZACIÓN Criterios de factorización Criterio del aspa simple

Criterio del factor común y/o agrupación Criterio de las identidades


Criterio del aspa doble especial Criterio del aspa doble

Criterio de los divisores binomios

Álgebra


*

Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

*

P(x) = an xn + an–1x n–1 + an–2 x n–2 + ... + a0 =0; an ≠ 0 , también se puede escribir

an(x – r1)(x – r2)(x – r3)...(x – rn) = 0 donde r1 ,r2 ,r3,...,rn raíces de la ecuación. *

Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2)n(x – r3)p = 0

*

Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p Teorema de Cardano - Viette r1 + r2 + r3 + ... + rn = –

an–1 an

r1.r2 + r1.r3 + ... + rn–1.rn = 



"Suma de raíces"

an–2 an "Suma de productos Binarios"



r1.r2.r3.....rn = (–1)n

a0 an "Producto de raíces"

*

Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b ,

*

Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es α + β i ,

la otra es a – b . entonces la otra es α – β i . *

P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2 xn–2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una

raíz positiva. *

P(–x) = an(–x)n + an–1(–x)n–1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra



TEOREMAS FUNDAMENTALES + T1: a 2n 0 ; ∀ a IR , n Z

Definiciones: Sea: { a ; b ; c } ∈ IR 1. “a” es no positivo 2. “a” es no negativo 3. a b

a 0

T2: a > b ⇒ a ± m > b ± m T3: a > b ∧ m > 0

a< b ∨ a= b

4. a < b < c 5. a < b

a 0

a
b
a/m > b/m T4: a > b ∧ m < 0

b >a

Importante: Sea: ax 2 + bx + c > 0 ; a>0 x IR

am > bm am < bm a/m < b/m

T5: a < b

1/a > 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

b 2 – 4ac


Álgebra


Inecuación.... Polinomial

a 0 ax+b > <0

De primer grado

2 > ax +bx+c < 0

De segundo grado

grado mayor o igual a 3

De grado superior Fraccionaria Irracional Exponencial Logarítmica Trigonométrica

A Se aplica el criterio de los puntos críticos. Importante: P(x) Si: Q(x) 0 Q(x)

Álgebra

A

P(x) > 0 Q(x) < n

b

> P(x) < 0 P(x)

B

> Q(x)
C

log x 2 – 4 < 2 Sen 2 x + Cosx > 0,5

B 2n S1: Si: P(x) P(x) 0 S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos. Luego el C.S. es: S1 S2 C x y b >b x >y x y x>y Si: 01



Definición

Propiedades

 a; si : a ≥ 0 a =  –a; si : a < 0

Ecuaciones con valor absoluto

• |a| ≥ 0

• a2 = |a|2

• |a| = |–a|

•

• |ab| = |a||b|

• |a + b| ≤ |a| + |b|

•

∀ a;b ∈ 

a a = ;b≠0 b b

|x| = 0 ⇔ x = 0;

a2 = a

Inecuaciones con valor absoluto

x = a ∧ a ≥ 0 ⇔ x = a ∨ x = –a

|x| ≤ a ⇔ (a ≥ 0) ∧ –a ≤ x ≤ a

|x| = |a| ⇔ x = a ∨ x = –a

|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ –a |x| ≤ |y| ⇔ (x + y)(x – y) ≤ 0

Funciones

RANGO Dos pares ordenados no pueden tener el mismo primer elemento.

GRÁFICA DE discusión de la curva UNA FUNCIÓN

Domf={x∈A/∃y∈B∧(x;y)∈f}

DOMINIO

Si: (a;b) b

Ranf={y∈B/∃x∈A∧(x;y)∈f} (a;c) c

f

Intersección con los ejes coordenados. Extensión de la Función


x=0

corte en "y"

y=0

corte en "x" Dominio y Rango

Álgebra


Funciones especiales 2. Función lineal

1. Función constante

3. Función valor absoluto y y = |x|

pendiente

x F(x) = |x| Dom(F) = IR Ran(F) = [0;

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental y y y 2 y= x y=x x

y=x

x

x n F(x) = x (n=par) Dom(F) = IR Ran(F) = [0;

F(x) = x Dom(F) = [0; Ran(F) = [0;

3

n F(x) = x (n=impar) Dom(F) = IR Ran(F) = IR

BINOMIO DE NEWTON (x + a)n = En el desarrollo de: (x+a)n N° de términos = n+1

2

2do Tc =

Álgebra

de izquierda a derecha: Tk+1=cnkxkan–k

En el desarrollo de: (xp + aq)n

n+1 2 n+1 + 2

En el desarrollo de: (x+a)n Tk+1=cnk xn–k ak

“K+1” el lugar

Tc = Tn + 1

Si “n” impar 1er Tc =

k=0

x; a 0 n Z

cnxn–kak

En el desarrollo de: (x+a)n Coeficientes se obtendrá si: x=a=1 cn0 + c1n + c2n + ... + cnn = 2n

En el desarrollo de: (x+a)n Si “n” par

n

1

(p+q)n(n+1) 2



1.

Definición logab =

loga b = x ⇔ ax = b

2.

Antilogaritmo

logcb logc a

;

logab . logbc = logac

loga b = x ⇔ b = antilogax

3.

Consecuencias

5.

Ecuación exponencial ax = b ⇔ x = logab

(a, b ∈  + , a ≠ 1)

loga 1 = 0 ;

loga a = 1 ;

6. Ecuación logaritmica loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x)

aloga b = b ;

loga b = loga c ⇔ b = c

7.

Inecuación exponencial

7.1.

4.

Propiedades loga(xy) = loga x + logay ; b loga   = loga b – logac ; c 1 cologab = loga   = – loga b ; b

logabc = c logab ; loganbm =

m logab ; n


x logc a > logc b, si: c>1 ax > b ⇔  logc ax < logc b, si: 0
7.2. x logc a < logc b, si: c>1 ax < b ⇔  logc ax > logc b, si: 0
8.

Inecuación logaritmica

 Si a>1; f(x)>g(x)>0 loga f(x) > loga g(x)   Si 0
Álgebra


NÚMEROS COMPLEJOS C

NÚMEROS REALES IR

formado por

NÚMEROS IMAGINARIOS II

z = a+bi

i = –1

DEFINICIONES

POTENCIAS DE “i”

Dado el complejo: z = a+bi Complejo conjugado: z = a–bi Complejo opuesto: z* = –a –bi

i1 = i i 2 = –1 i 3 = –i i4 = 1

Representación gráfica

i

N

=i

4k+r

=i

r

i5 = i

Eje imaginario

i 6 = –1 Tenemos:

b

z = a+bi |z|

|z|senθ

|z| = a2 + b2

Módulo de “z” Argumento de “z”

|z|cosθ

a

Eje real

Forma Trigonométrica de “z”: z = |z|(Cos + iSen ) z = |z|cis Resultado importantes

Teoremas T1: |z| = |z| = |z*|

(1

2

T2: |z| = z.z

n

T3: (Cosθ + iSen ) = Cos(n ) + iSen(n ) de De Moivre

Álgebra

i)2 = 2i

(1 + i)4 = –4 1+i =i 1–i



1.

4.

2.

5.

3.


Geometría


T. de la Bisectriz

T. de los Puntos Medios

T. de la Mediatriz

Mediana relativa a la hipotenusa Si BM es la mediana relativa a la hipotenusa ⇒ BM = AM = MC

Geometría



1. ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo




5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado

Geometría


Geometría




Geometría


Geometría



(1)

(4)

b

a

a y

x

ab x= a+b

a=x b y (5)

En todo trapecio (M y N puntos de tangencia) a

B

(2) a

M

x

A

b

b y

x

b

x

a x = b y

(6)

x

C N

2 =1 1 + x a b D

n

m.n.p = x.y.z

m

y

(3)

p

z x a

b x2 = ab


(7) x

b

x.y.z = a.b.c y

a z

c

Geometría


(1)

a ⋅ b = m⋅ n

a2 = c.m

h 2 = m .n

a.b= c.h

a 2 + b2 = c 2

a⋅b = m⋅n

b2 = c.n (2) (4)

x = 2 Rr

1 = x

1 R

+

1 r

(3)

3 2 a

3

3

+ b2 = c2

h3 = abc

x 2= a ⋅ b

Geometría







A ∆ABC = mn S ab = T mn



 B

S

p=

C

A

A ∆ABC = p.r a+b+ c 2

S=

A ∆ABC 4

 

A ∆ABC =

abc 4R


Geometría






 

•

Círculo:

• Sector Circular S = π R 2 S =

•

πd2

S=

απ R 2 360

4

Corona Circular

Geometría



Teorema de Euler

Ángulo diedro

C+V= A+2

Diedro recto o planos perpendiculares

Donde: C: N.° caras V: N.° vértices A: N.° aristas

Notación: diedro AB (d–AB)

Elementos: * Arista: AB *Caras: P y Q *  Plano: MON m(diedro AB) = m MON = α

Tetraedro regular

Hexaedro regular

a3 2 12

Octaedro regular

C = 8; V = 6; A = 12

C = 4; V = 4; A = 6 A T = a2 3 ; V =

  P ⊥ Q  Si: MN ⊥ AB ⇒ MN ⊥  P  MN ⊂  Q

C = 6; V = 8; A = 12

A T = 6 a2 ;

a 6 h= 3


d=a 3

3

V=a

3 A T = 2a2 3 ; V = a 2 3

D=a 2

Geometría


Prisma recto

Cílindro recto

B

B g

h

h

r

B

B

Fórmulas 2

1. V = πr g 2. AL = 2 πrg

A T 2 πr(g + r) 3.=

Fórmulas 1. V = B.h

 Perímetro de   .h 2. AL =   la base  AL + 2B 3. A= T

Pirámide regular

Cono recto g

h B

O

ap

r

Fórmulas 1. V =

Bh 3

AL + B 3. A= T

Geometría

Fórmulas 1. V =

 semiperímetro  2. AL =   .Ap  de la base  2 Ap= h2 + ap2

g

h

πr 2h

3 2. AL = πrg

AT 3. =

πr(g + r) 2 g= h2 + r 2



Fórmulas:

Esfera

1. V=

4 3 πR 3

2. AT = 4πR2

Polígonos regulares

En todo polígono equiángulo:

Fórmulas Smi = 180°(n − 2) Sm= 360° e N°Diagonales: ND n(n − 3) N°D = 2

Fórmulas

αc : medidadelángulo central 360° αc = n m1  = i

180°(n − 2) n

m1  = e


Fórmulas = θ 180°

α=

(n − 2) n

360° n

360° n

Geometría


Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas Está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos. Al plano formado por dichos ejes se llama Plano Cartesiano. Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes. Y II C

concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto. Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras x e y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente “x” y “y” sin índices.

Y

M x,y

IC C x1 , y1

X

III C

IV C

X: Eje de abscisas Y: Eje de ordenadas Coordenadas Cartesianas de un Punto Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

X'

X Y'

Por ejemplo en la figura anterior, si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos decir, el punto C x1, y1 , en tanto que si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto M(x, y). GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN 1. Coordenadas de un Punto El conjunto de todos los ordenados (x, y) se llama

pares plano

xm :

Semisuma de las abscisas

ym :

Semisuma de las ordenadas

2

numérico y se denota con R , así:

R

2

x, y / x

R, y

xm

x1

R

Y

x2 2

y ; ym = 1

y2 2

4. Coordenadas de dos puntos de trisección

P x1.y1

Y

P2 x 2 , y 2

y1 N x n, y n

X'

X

x1

X'

Y'

M x m, y m

X

O

x1 : es la abscisa del punto P.

P1 x1, y1

y1 : es la ordenada del punto p. Y'

2. Distancia entre dos puntos Y

P2 x 2 , y 2

d X'

X

O P1 x1, y1

Y'

d

x1 x 2

2

y1 y 2

2

3. Coordenadas del punto medio Sean P xm, ym las coordenadas del punto medio.

xm

2x1 x 2 2y y ; ym= 1 2 3 3

xn

2x 2 x1 2y y1 ; yn = 2 3 3

5. Coordenadas del Baricentro de un Triángulo Si: G(x, y) , es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que: A (x1; y1) ; B (x 2; y 2 ) ; C (x 3 ; y 3 ) Entonces: Y

B x 2; y 2

Y

P2 x 2 , y 2

G C x3; y3

M x m, y m

X'

O

X

P1 x1, y1 Y' FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

A x1; y1 O

X

GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN 9. Pendiente de una recta:

Se cumple que:

x

x1 x 2 3

x3

y

y1 y 2 3

y3

Es la inclinación que tiene dicha recta con respecto al eje positivo de las abscisas. Y P2 x 2 , y 2

La Recta

θ

X'

Es la representación geométrica de los números reales

X

O P1 x1, y1

Y'

Números positivos +

m

0

y1 y 2 x1 x 2

tan θ

Números negativos

6. Sistema Coordenado Lineal: A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal. O

A B

0

1

P x

2

Si “m” es positiva, el ángulo es agudo y, cuando es negativa, dicho ángulo es obtuso (mide más de 90º), pero sin llegar a 180º ni sobrepasar este valor. 10. Ángulo entre dos rectas Y

L2

De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0, 1, 2 y “x” respectivamente. 7. Distancia entre dos puntos de la recta:

X'

X

O

L1

PQ

P

Q x2

x1

PQ

x2

x1

x1

Y'

m1 : pendiente de L1

m2 : pendiente de L 2

x2

Observe que el lado final del ángulo “ L 2 y el lado inicial es L1 .

: Valor absoluto

8. Punto medio

tan P

x1

M x

Q

” es

m 2 m1 1 m1 m 2

x2



ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN 11. División de un segmento en una razón dada. Si: P1(x1; y1) y P2 (x 2; y 2 ) son los extremos de P1P2 , las coordenadas del punto P(x; y) que divide segmento en una razón “r”.

a

X'

Y

Y'

L1

L2

m1 m 2

1

P1

Ecuación de la Recta x1

x

L2

P

y

X'

X

O

P2

y2

y1

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes resulta ser –1. Y L1

este

P1 P ; son: P P2

r

b) Rectas Perpendiculares

x

X

x2

Y' x1 r x 2 r 1

y

1er. CASO:

y1 r y 2 r 1

Posiciones Relativas de las Rectas:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce la pendiente “m” y un punto P0 (x 0 , y 0 ) que pertenece a la Y recta.

a) Rectas Paralelas

L P0 x 0 , y 0

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. Y

X'

X

O

L1 Y'

L2 X'

X

O

y y0

m x x0

2do CASO: Y'

L1 // L 2

m1

m2


La ecuación de una recta se determina cuando se conoce dos puntos de la recta P1(x1, y1) , P2 (x 2, y 2 ) . GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Y

intersección con el eje “Y” (0, b) y la pendiente “m”.

P 2 x 2, y 2

Y

L

L

(0, b) X'

X'

X

X

P1 x1, y1

Y' Y'

y

y2 x2

y1

y1 x x1

y

mx b

x1

Ecuación General de la Recta Ax By

3er. CASO: La ecuación de una recta se determina cuando se conoce los puntos de intersección con los ejes del plano cartesiano (a, 0) , (0, b) . Y

L

0

A x B A La pendiente es: m= B Observaciones:

Despejando “y”: y

a) Si m

C B

0 Y

(0, b)

X'

C

y

mx b

X

(a, 0)

θ

X'

O

X

Y'

x a

y b

Y'

1

A esta ecuación se le denomina ecuación simétrica de la recta. Donde a 0 y b 0 4to CASO: La ecuación de una recta se determina cuando se conoce el punto de

b) Si m y

X'

0

Y

mx b

θ O

X

Y' FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN c) Si L // x

m

Distancia de un punto a una recta Y P(x 0 , y 0 ) L

0

Y y

b X'

d

b X

O

X'

X

O

Y'

d) Si L // y

Y'

m no está definida Y x

0

Punto P(x 0 , y 0 ) Distancia del punto P a L

a

Ax 0

d

a

X'

Ecuación de L: Ax By C

A

X

O

By 0 2

B

C 2

Distancia entre dos rectas paralelas dadas las rectas L1 : Ax By C1 0

Y'

Forma Normal de la ecuación de una Recta

L 2 : Ax By C 2

0

Y

Y

L1

L

L2 d

p X'

X

O

Y'

x . Cos

y . Sen

X'

X

O

Y'

p

0

d

Donde:

A

P: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo) OP1

0º

C1 C 2 2

B

2

Área de un Triángulo

L donde OP1 es la normal

360º


Si se conoce tres puntos no colineales: A (x1, y1) ; B (x 2, y 2 ) ; C (x 3 , y 3 ) GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de: x1 y1 1 1 S x2 y2 1 2 x3 y3 1

Sabiendo que: x1 y1x 2 x2 y 2x 3 x3 y 3 x1 x1

y1 y2 y3 y1

M

Y B x 2; y 2

N

Área de un Polígono

S C x3; y3 A x1; y1 O

x 1y 2 x 2y 3 x 3y 1

X

Sea A 1.A 2, A 3 ,......A n , un polígono cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas: A1 x1; y1 , A 2 x 2; y 2 , A 3 x 3; y 3 , … , A n x n; y n Y

Método Práctico para determinar el área de una región triangular

A2

Y

A3

A1

B x 2; y 2 An

S A4

S

An 1 O

X'

X

C x3; y3 A5 Y'

A x1; y1 O

X

Si se conoce tres puntos no colineales A (x1, y1) ; B (x 2, y 2 ) ; C (x 3 , y 3 ) Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de: 1 N M Área: S 2 En esta fórmula los valores de N y M son productos combinados de las coordenadas de los puntos que forman la región triangular, tal como sigue: FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

El área del polígono estará dado por el siguiente determinante:

x1

y1

y1x 2

x2

y2

x 1y 2

y 2x 3

x3

y3

x 2y 3

. . . .

y 3 x1 M

x1

y1

. . . .

.

x 3y 1 N


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN S

podemos saber de qué cónica se trata

1 N M 2

2

recurriendo al binomio B 4AC , llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de

Secciones Cónicas

donde: D

Definición: A continuación estudiaremos 4 curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en “x” o “y”, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente: Ax

2

Bxy Cy

2

Dx Ey F

0

En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola. En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío. Se llama CÓNICA al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos, estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

B

2

Por lo cual siguientes:

Bxy Cy

Dx Ey F


casos

2

4AC

0 , se trata de una Elipse

Si: D

B

2

4AC

0 , se trata de una Parábola

Si: D

B

2

4AC

0 , se trata de una Hipérbola

Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

Circunferencia Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) del plano, que se mueve a una distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro). Si tenemos:

Y

LN

E

r

C

B

LT

F

A partir de la ecuación general: Ax

los

B

A

2

tenemos

Si: D

DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN

2

4AC

0

O

X


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Donde: C : r :

3. Circunferencia tangente al eje “x” Centro de la circunferencia radio

AB

:

Diámetro = 2r

EF LN

: :

Cuerda Recta Normal

LT

:

Se da cuando: r

k

Y k k

Recta Tangente

Formas de la Circunferencia 1. Forma Ordinaria Cuando el centro de la circunferencia es un punto cualquiera (h, k). Y P x, y

C

O

h,k

X

h 2

x h

2

y k

k

2

4. Circunferencia tangente al eje “Y” Se da cuando: r h Y

r k

C

h,k

h k O h

(x h)

2

C

(y k)

2

r

O

2

La forma canónica de una ecuación seda cuando el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas h 0 y k 0 . Y

2

2

y

r X

O

2

h

2

General

2

Ax By C

A 2

r

2


B 2

x

de

la

0

A

2

2

B 4

4C

De aquí se tiene tres casos: 1er Caso: Si: A

y

2

Completando Cuadrados

x

2

(y k)

5. Ecuación Circunferencia x

X

h (x h)

2. Forma Canónica

x

h,k

X

Entonces: C

2

2

B 4C 0 A B además: ; 2 2



r

1 2 2 A B 2

La Parábola

4C

(Representa

Se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.

3er Caso: Si: A B 4C 0 Entonces: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)

Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) del plano, que se mueve a una distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (Foco) que no pertenece a la recta fija.

2do. Caso: Si: A

2

B

2

4C

A B ; 2 2

Entonces: C

0

un solo punto) 2

2

Y

Ecuación de una Circunferencia que pasa por tres puntos

Eje focal

D

La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos P1 x1, y1 , P2 x 2, y 2 y P3 x 3,y 3 , estará dada determinante: x

2

2 1 2 x 2 2 x 3

la y

2 1 2 y 2 2 y 3

x1

y1

1

x2

y2

1

x3

y3

1

2

y

2

Ax By C

V

A

C

X

1

0

Intersección de dos circunferencias secantes Dadas las ecuaciones de dos circunferencias secantes, es posible calcular sus puntos de intersección hallando previamente la recta “eje radical” cuya ecuación está representada por la expresión que resulta de anular mediante cancelación los términos cuadráticos de las ecuaciones de las circunferencias. FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

L1

0

El cual permite determinar las incógnitas A, B, C de la ecuación. x

P x, y G

x

y

F

siguiente

2

y

x

por

B

Directriz

L

Elementos que se relacionan entre si en una parábola cualesquiera. Donde: F V L1

: : :

Foco (Punto fijo) Vértice (Punto fijo) Eje focal ( a L )

CD

:

Cuerda focal

AB

:

Lado recto (

VF

P

:

VF

a L1 )

Distancia focal

VG

FORMAS DE LA PARÁBOLA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “X” GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Cuya ecuación es: y

2

Y

4px

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la derecha

F 0,p

Y

P x, y L

X

V 0,0

L F p,0

V

X

d

b) Segundo caso: Si p se abre hacia abajo. Y

d

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la izquierda y la recta directriz es perpendicular al eje “X” Y L A

L V(0, 0) P(x, y)

A F p,0

V d

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “Y” La recta directriz es siempre paralela al eje “X” y el eje focal es el eje “Y” Cuya ecuación es: 2

B

d

Lado recto Ecuación de la directriz

x

F(0, p)

X

X

B

Donde: AB 4p x p

0 , la parábola

4py

a) Primer caso: Si p se abre hacia arriba.

Donde: AB 4p x p

lado recto Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “X” La recta directriz es siempre paralela al eje “Y” y el eje focal es paralelo al eje “X”. La ecuación es:

y k 0 , la parábola


2

4p x h

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la derecha GEOMETRÍA ANALÍTICA


Cuya ecuación es: L:x

h p

2

x h

En forma análoga a los casos anteriores: a) Si p 0 , la parábola se abre hacia arriba b) Si p 0 , la parábola se abre hacia abajo

F h p, k

V(h, k)

P(x, y)

X

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la izquierda. Y

L:x

4p y k

h p

Donde: AB 4p x k p

Ec. General de la Parábola Ax

P(x, y)

Lado recto Ecuación de la directriz

2

By

2

Cx Dy E

0

a) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “x” A 0, B 0, C 0 luego la

V(h, k)

F h p, k

ecuación será: X

Donde: AB 4p x h p

y

2

ay bx c

0

b) Si el eje es paralelos o coincide con el eje “y” A 0, B=0, D 0 luego la Lado recto Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “Y” Y

ecuación será: x

2

ax by c

0

Ecuación de la Tangente y la Normal a la parábola a) Para la parábola: y LN

2

4px LT

Y

F h, k p

P1(x1, y1) LS

P x, y

P(x, y)

V h, k

X

y

L

2

4px

X



ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN mL

S

mL

T

mL

N

4p y 2 y1 2p y1 y1 2p

L T: y L N: y

y1 y1

LT: y L N: y

x1 x x1 2p 2p x x1 x1

y1 y1

d) Para la parábola

2p x x1 y1 y1 x x1 2p

LT: y

LT: y L N: y

y1 y1

2

L N: y

4p x h

2p x x1 y1 k y1 k x x1 2p

c) Para la parábola: x

2

4p y k

x1 h x x1 2p 2p x x1 x1 h

y1

b) Para la parábola

y k

2

x h

y1

Teoremas 1. La recta tangente a la parábola y

2

4px en cualquier punto P1 x1, y1

de la curva tiene por ecuación: L T : y 1. y 2p x x1

4py

Y

2. La recta tangente de pendiente “m” a

P1(x1, y1)

y

la parábola ecuación: LT : y x

2

4py

P(x, y)

X LT

LS

LN

mx

2

4px

tiene

p ; donde m m

por 0

Elipse Es el lugar geométrico de un punto P x, y que se mueve en un plano de

mL

S

mL

T

mL

N

x 2 x1 4p x1 2p 2p x1


tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 de ese plano, es una constante. Una elipse es en realidad un círculo deformado que además de poseer centro tiene dos focos. GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Elipse de Centro el Origen y Eje focal el Eje “X” Y

D

Y D'

T

R

B1

P M V1

V2

P x, y

U

V1

F2

C F1

O

V2

F2

F1

D

E

I

B1

X

B2

X

Cuya ecuación es:

D'

Donde: C : Centro V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos F1F2

Donde: * V1 a,0

2C

L : Eje focal Eje mayor : V1V2

2a

L1 : Eje normal Eje menor : B1B 2 DD y D'D': Directrices

2b

y

2

a

b

2

y

V2 a,0 ,

1

son

los

vértices de la elipse. y B2 0, b son B1 0,b

*

extremos del eje menor. F1 c,0 y F2 c,0 : Son los focos

los

2

RE : Diámetro

*

PF1 y PF2 : Lado recto F1F2 : Segmento focal

* Relaciones Fundamentales

B1 2b V1

2 2

*

TU : Lado recto MI : Cuerda focal

x

*

O

F1

V2

F2

a ; Ecuación de la directriz c c e: excentricidad: e a x

Lado recto:

2b a

2

Elipse de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y” Y V2

B2 2c 2a

F2

P a V1

F1 c

a

2

c

O

b

2

c

B1

B2

a

b

F2

X

V2

2


F1

P x, y

V1 GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Cuya ecuación es:

x

2

b

2

focos 2

y2 a

2

a ; Ecuación de la directriz c Elipse de Centro el Punto C h,k y Eje Focal paralelo al Eje “Y” *

1

Donde: y V2 0,a : Son los * V1 0, a vértices de la elipse. * B1 0,b y B 2 b,0 : Son los extremos del eje menor. * F1 0, c y F2 0,c : Son los focos

x

h

Y

V2 F2

2

* *

B2

a : Ecuación de la directriz c c e: excentricidad: e a y

B1

C

F1

P x, y

2

2b a Elipse de centro el punto C h,k Eje Focal paralelo al Eje “x”. *

V1

Lado recto:

X

y La ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralela al eje “Y” esta dado por la ecuación.

B1

P x, y

x h b

V1

C

F1

a

2

y k b

a

2

1

2

2

2

1

Donde: * V1 h a,k y V 2 h a,k : Son los vértices de la elipse. * B1 h,k b y B2 h,k b son los *

y k

Cuyos elementos se encuentra relacionados entre si, entre sus elementos se tiene: * V1 h,k a y V 2 h,k a : Son los vértices de la elipse.

Cuya ecuación es: 2

2

V2

F2

B2

x h

2

extremos del eje menor F1 h c,k y F2 h c,k : Son los FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

*

B1 h b,k y B2 h b,k

son

los

extremos del eje menor *

F1 h,k c y F2 h,k

c : Son los

focos 2

*

x

k

a ; Ecuación de la directriz c


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Propiedades de la Elipse

Donde:

L2

T

Y

BC

2

AD

2

4ABE

2 2

4A B B1

F2

F1

ri z

V1

Recta tangente a una elipse

e ct

b

x, y

P

V2

a

dir

D'

c

dir

B2

1er Caso: Ecuación de la recta tangente a la elipse:

ae

e ct ri z

X

O

x

2

y

2

a

2

b

2

1

L1

En cualquier punto P x1,y1

Donde:

d P,F1

d P,F2

e

d P,L1

Y LT

d P,L 2

P1 x1, y1

m

e: excentricidad de la elipse Propiedades: * d B1,F1 d B1,F2

d B 2,F1 *

d C,L 1

*

c

*

a

*

0

*

b

2

c

a e

2

2b a

Lado recto

2 2

a b

2do. Caso: Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse.

c e= <1 a

ó

2

L T : a yy1 b xx1

2

e 1

X

a

ae 2

V2

a

d B2,F2

d C,L 2

O

V1

2

LT : y

x

2

y

2

a

2

b

2

1 2

mx

a m

2

b

2

Ecuación General de la Elipse Ecuación del Diámetro de una Elipse Ax

2

By

2

Cx Dy E

0

Reduciendo a la forma ordinaria:

C x 2A BT

2

D y 2B AT

1er Caso: Si la elipse es:

x

2

2

1


P x, y

y

2

1 a b un punto del lugar geométrico y 2

2


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN P1 x1, y1 , P2 x 2, y 2

2

los extremos de

b x

L: y

2

a m

la cuerda dado que “p” biseca P1P2 . 2

b x

L: y

Ecuación de su diámetro conjugado L1 : y mx

2

a m 2do Caso: Si la elipse es:

Propiedades:

x

2

b

2

y

2

a

2

1ro. Si la elipse es de la forma

1

La ecuación del diámetro es:

x

2

y

2

a

2

b

2

1

Entonces:

2

a x

L: y

2

b m

a

2

y k

2

b

b

1

2do. Si la elipse es de la forma:

x h

2

b

2

b

y k

2

a

1


L : y k=

a

2

x

2

y

2

2

a

2

b

2

2

y

1

a

2 2

1 Y

P1 x1, y1

m

2 2

2

L

Diámetros Conjugados Si tenemos la elipse

x

a

Cuerda de contacto Observemos un ejemplo al tener la elipse de ecuación:

x h b m

2

2

2

b “m” y " m1 " pendientes de los diámetros conjugados.

2

2

y k

m m1

4to Caso: Si la elipse es: 2

2

Entonces:

x h a m

x h

2

2

2


L : y k=

2

a “m” y " m1 " pendientes de los diámetros conjugados.

3er Caso: Si la elipse es:

x h

b

m m1

1

O

X

a b La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es: FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN La cuerda de contacto en una elipse se genera si cuando desde un puno fijo exterior P1 x1, y1 de la elipse se trazan

Excentricidad “e” de la Elipse: d P,F1 d P,F2 e d P,L1 d P,L 2

dos tangentes a dicha elipse, la ecuación de la recta que pasa por los puntos de tangencia esta dado por:

Propiedades:

L: a

2

yy1 b2xx1 a2b2

*

Lado recto

Hipérbola

* *

a c

*

d C,L1

Es el lugar geométrico de un punto P x, y que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es siempre igual a una constante positiva “2a”. M

2

2

b ae

2b a

c

2

2

*

c 1 a si a b , entonces la hipérbola es

*

2 equilátera: e Distancia entre las rectas directrices

*

e

Y

L1L2 B1

F2

B V1

C

2

B1

T

F1

2a c

Relaciones Fundamentales

V2

P

a e

d C,L 2

2b

F2

F1

B2

X

A

V2

V1

B2

2a 2C

Elementos: C : Centro y punto medio de F1F2 V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos F1F2 2c Eje transversol V1V2

2a

Eje conjugado B1B 2 AB : Lado recto MT : Cuerda focal

2b

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X” P x, y

F1

V1

V2

F2

PF1 y PF2 : Radio vector FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Cuya ecuación es:

x

2

y

2

a

2

b

2

1

Y

Donde: * V1 a,0

y V2 a,0

*

y V2 c,0

F1

c,0

Hipérbola de centro el punto C h,k y Eje Focal Paralelo el Eje “X” Y´ P(x, y)

F1

Ecuación de sus Directrices

C V2

V1

F2

X´

2

a c

x

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”. Y

X


x h a

F2 P(x, y)

C

X

V1

F1


a

2

x

2

b

2

2

b

2

2

1

Donde: * C h,k : centro

V2

y

y k

1

y'

y h

*

x'

*

V1 h a,k

y V2 h a,k

*

F1 h c,k

y F2 h c,k

*

Lado recto:

2b a

*

Excentricidad: e

*

Asíntotas: y k

* *

Eje Focal: y k Eje conjugado: x

x h

2

c 1 a b x h a

h

Donde: V1 0, a

y V2 0,a

Ecuación de sus Directrices

F1 0, c

y F2 0,c

a c Las coordenadas del punto P, pueden tomarse con referencia a los ejes X’Y’ para facilidad de cálculo.

2

x

Ecuación de sus Directrices 2

y

a c


h


ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Hipérbola de Centro el Punto C(h, k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”. Y

Asíntotas de una Hipérbola Se denominan asíntotas a las rectas que limitan a la curva y no la intersecan, son las que le dan el carácter de simétrica a la hipérbola.

Y´ F2

x2

P(x, y)

a

V2

C

2

y

2

b

2

L2

X´

Y B1

R

V1

P= a,b R a,b

1

F1

L1 R

V1

V2

X

B2

X


y k a

x h

2

b

L1 : y

2

2

1

a y'

y h

*

x'

*

V1 h,k a

y V2 h,k a

*

F1 h,k c

y F2 h,k c

*

Lado recto:

2b a

*

Excentricidad: e

*

Asíntotas: y k

* *

Eje Focal: x h Eje conjugado: y

x h

2

x

2

b

2

1

P= a,b R a,b Y

L2

L1 R

V2

2

B2

c 1 a a x h b

bx a

L2 : y

2do. Hipérbola Vertical:

y2

Donde: * C h,k : centro

bx a

B1

X

V1

L1 : y

ax b

L2 : y

ax b

k

Observaciones: Ecuación de sus Directrices 2

y

k

a c


a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse igualando a cero el segundo miembro GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN de la ecuación correspondiente despejando y F x .

y

2. y

2

x

2

2

3. x h *

Hipérbola Horizontal

x

2

y

2

a

2

b

2

y *

bx a

y

2

e

Hipérbola Vertical

y2

x

2

2

b

2

a

0

Lado recto

2 2

a x

2

b

y

2 2

2

2 2

Lado recto

a b

bx ay

Luego: bx ay

0 ó

bx ay

Donde:

Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas son perpendiculares a b Las cuatro formas son: 2

a

2

a

2.

2

2

a

2

2b b

2

2a

2b

es un punto cualquiera 2

y

2

a

2

y d1 , d 2

0

Hipérbola Rectangular o Equilátera

y

2

son las distancias del punto P1 a las asíntotas: L1 : x y=0 y L 2 : x+y=0

0

c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico

2

a

2a a

c) Si P1 x1, y1

Entonces: x1 y1 d1 2

1. x

c a

de la hipérbola: x

2 2

a y

bx ay

a

También:

ax b

b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir, si la ecuación de la hipérbola es: b x

2

b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud del eje transverso o conjugado.

Despejando:

y

2

a

equilátera es constante e igual a

2 2

b x a

x h

2

Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola

Despejando: 2

2

y k

2

4. y k

0

a

2


y

d2

2

d1 d2

x1 y1 2

2

x1

y1 2

2

a 2

El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante. GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN Ecuación General de la Hipérbola 2

Ax By Cx Dy E 0 Reduciendo a la forma ordinaria

x

2

2

C 2A t A

y

D 2B t B

Las ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola: 1

2 2

2 2

b x son:

C 2A

A x

2

B y

D 2B

2

Observación: * Si t 0 , la ecuación representa una hipérbola con eje real o transverso coincidente o paralelo al eje “X”.

*

2 2

a b , de pendiente “m”

a y

LT : y

t

2 2

a b

3er Caso:

2

Donde:

*

2

L T : b yy1 a xx1

2

m

mx

a

2

Cuerda de Contacto L1

Y M

O

N L2

2 2

H: b x

1er. Caso: Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola: 2 2

2 2

a b ,

en

un

punto

cualquiera P1 x1, y1 de la curva es: 2

2

L T : b xx1 a yy1

2 2

a y

2 2

a b

La ecuación de la cuerda de contacto

MN es: 2

2

L : b xx1 a yy1

2 2

a b

Ecuación del Diámetro de una Hipérbola

2 2

a b

2do Caso:

1er. Caso

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:

Consideremos la Hipérbola:

2 2

b y

2 2

a x

2 2

a b ;

en

X

Si la hipérbola es de ecuación:

Tangentes a una Hipérbola

a y

F2

P1

Si: t 0 , la ecuación representa una hipérbola con eje real coincidente o paralelo al eje “y”.

2 2

2

a b

Si: t 0 , la ecuación representa dos rectas concurrentes

b x

2

b m

un

2 2

H: b x

2 2

a y

2 2

a b

punto

cualquier P1 x1, y1 de la curva es: FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

“P” biseca a P1P2 GEOMETRÍA ANALÍTICA


P1

O

m1

X

b

2

b x 2

a m Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas 2do caso: Consideremos la Hipérbola: 2 2

a x

m1 m

2

sean

a2 b

2

La ubicación de un punto A en el plano, con respecto a un punto fijo “O” se puede hallar también midiendo una distancia orientada bajo un ángulo. A esta forma de ubicar puntos se denomina “coordenada polar de un punto”.

2 2

a b

A(dis tan cia,ángulo)

La ecuación de un diámetro será:

r

2

Luego: L : y

a

Coordenadas Polares

Luego:

2 2

b2

Para que los diámetros conjugados se debe cumplir:

P2

H: b y

m m1

a m

L

L: y

2

2

a x 2

b m Diámetros Conjugados en la Hipérbola

O

eje polar

X

Coordenadas Polares de un Punto Si se tiene la hipérbola de ecuación: 2 2

2 2

2 2

H: b x a y a b La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:

Consideremos sobre un plano, un rayo (OX) con origen en el punto O. denominado eje polar; el punto O se denomina polo.

2

LT : y

b x 2

a m La ecuación de su conjugada es:

y

mx

Pendiente de L T :


Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares de un Punto Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje GEOMETRÍA ANALÍTICA

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son: P (x, y) y P (r, )

facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa. Ejemplo 1: Dada la ecuación de la circunferencia: 2

P(r,θ)

2

x y 16 Hallar su ecuación en coordenadas polares.

P(x, y) Solución: Reemplazando por sus equivalentes

r

2

2

r sen

2

2

sen

2

16

r cos X

O

r (cos

r Cambio de Sistema de Coordenadas cartesianas a Polares y Viceversa Aplicando relaciones trigonométricas obtenemos: y sen y rsen … (I) r x cos x r cos … (II) r

2

2

16

)

r

16

4

Ejemplo 2: Hallar la ecuación en coordenadas polares de la relación: 2 2

x y

x

4

2

4x y

Solución: Reemplazando por sus equivalentes 2

r cos 4

Que son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro.

2

2

r cos

2

2

2

(sen

2

r sen

r( cos 2 )

4

r cos cos

2

4

)

2

4r cos 2

4r cos

2

2

rsen rsen

4sen

r cos 2

4sen

0

Elevando al cuadrado las expresiones (I) y (II), luego sumando: x

2

y

2

r cos

x

2

y

2

r (cos

2

2

r sen

2

2

sen

2

Pero: cos Por lo cual:

r

2

x

2

y

2

2

2

sen r

2

2

)

1 x

2

y

2

… (III)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con FORMULARIO PREUNIVERSITARIO



SISTEMAS ANGULARES Sistema Sexagesimal

Sistema Centesimal

Sistema Radial

Unidad (1°)

Unidad (1g)

Unidad (1 rad)

m

=360° 1°<>60’ 1’<>60’’

m

= 400 g

1g<>100m

m

=2 rad

m

=2 rad

1m<>100s

≈ 3,1416 ≈ 22 7 ≈ 3 + 2 ≈ 10

S S C R = = C R 180 200

S S C C 9 = 10 = R R 20

SECTOR CIRCULAR Circunferencia

Círculo

Longitud de Arco R R

R

R

L=2 R

R

A= R2 0<

Trigonometría

<2



Área de Sector Circular

-

1 2 S= . R 2


R

-

R

S

S = 1 LR 2

L

L

-

S

-

-

R

-

R

2

S= L 2

Trigonometría


Razones Recíprocas

Teorema de Pitágoras

Sen A Csc A = 1 Cos A Sec A = 1 Tan A Cot A = 1

∆ ABC (recto en B) a2 + c 2 = b2

Sen A =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C

Cos A =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Tan A =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Cot A =

Cateto Adyacente Cateto Opuesto

Sec A =

Hipotenusa Cateto Adyacente

Csc A =

Hipotenusa Cateto Opuesto

Trigonometría

2k 60º k

Razones complementarias

m∠A + m∠C = 90°

k 3



Datos generales

Relación fundamental

• Lado (a)

lo que quiero = R.T. ( θ ) lo que tengo

• Ángulo ( θ )

Razones Trigonométricas Sen =

C.O. H

Cos =

Tan =

Área de región triangular

S=

Primer caso

C.A. H

C.O. C.A.

Cálculo de Sen θ

ab Sen θ 2

Segundo caso


Sen θ =

2S ab

Tercer caso

Trigonometría


2.

1.

D=

3.

( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

4.

A

P

nk

mk

P=

 x1 + x 2 y1 + y 2  ,    2 2 

B

mA + nB m+n

5.

6.

∀a ∈ 

a= a; a > 0 a = −a; a < 0

a2 = a

G=

A +B +C 3

G: Baricentro

Trigonometría



ECUACIÓN DE LA RECTA A Pendiente de la recta

B. Ángulo de inclinación de la recta

m = Tan θ

m=

y 2 – y1 x 2 – x1

C. Rectas paralelas

D. Rectas perpendiculares

m1 = m2

m1m2 = –1

⇒ L1 // L 2

⇒ L1 ⊥ L 2

E. Ecuaciones 1. Forma General. L: Ax + By + C = 0 2. L: y = mx + b


Trigonometría


y

(x,y)

x: abscisa y: orden ada r: radio vector

r θ

r = x 2 + y2 ; r > 0

x

su lado final coincide con los semi ejes. m < C = 90ºn, n

Ζ

a a 0

Sen

Csc

Cos

Sec

Tan

Cot

Sen Csc

Para Todas

Tan Cot

Cos Sec

= a; a > 0 = – a; a < 0 =0

x

Trigonometría



R.T.(90± )= ±CoR.T.( )

R.T.(180º± )= ± R.T.( ) R.T(360º± )= ±

R.T(270± )= ± 0º <

R.T.(360ºK + )= R.T.( ) R.T(2K + )= K

0º <

Z

0º <

Sen(– ) = –Sen

Cot(– ) = –Cot

Cos(– )= Cos

Sec(– )= Sec

Tan(– ) = –Tan

Csc(– ) = –Csc

Si:

+

=

Si:

+

=2

Cos + Cos = 0

Sen + Sen = 0

Tan + Tan = 0

Tan + Tan = 0

Cot + Cot = 0

Cot + Cot = 0

Sec + Sec = 0

Csc + Csc = 0


R.T. (2n) = R.T.(0)

Trigonometría


Trigonometría



=

Sec2x

1 = Csc2x – Cot2x

Cot2x = Csc2x – 1

1 + Cot2x = Csc2x

1 = Sec2x – Tan2x

Tan2x = Sec2x – 1

1+

Tan2x

Cos2x = 1 – Sen2x

Tanx = 1 Cotx Cotx = 1 Tanx

Cosx = 1 Secx Secx = 1 Cosx

Cosx Secx = 1

Senx = 1 Cscx Cscx = 1 Senx Cosx = CotxSenx

Cotx = Cosx Senx

Senx = TanxCosx

Tanx = Senx Cosx

Senx Cscx = 1

Sen2x + Cos2x = 1

Sen2x = 1 – Cos2x

I. por División

I. Recíprocas

I. Pitagóricas

Cosx = 1 Senx 1±Senx Cosx 1 =Cscx Cotx Cscx±Cotx

(1±Senx+Cosx)2 = 2(1±Senx)(1±Cosx)

Sec2x+Cos2x = Sec2xCos2x

Sen6x+Cos6x = 1– 3Sen2xCos2x

1 =Secx Tanx Secx±Tanx

Senx = 1 Cosx 1±Cosx Senx

(Senx±Cosx)2 = 1± 2SenxCosx

1 Tanx + Cotx = SecxCscx = SenxCosx

Sen4x+Cos4x = 1– 2Sen2xCos2x

Identidades Auxiliares

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS


Trigonometría


Sen(x ± y) = SenxCosy ± CosxSeny Cos(x ± y) = CosxCosy  SenxSeny

Tan(x ± y) =

Tanx ± Tany 1  TanxTany

Si x + y + z = (2n – 1)

π ; n∈Z 2

TanxTany + TanxTanz + TanyTanz + 1 Cotx + Coty + Cotz = CotzCotyCotz

Si x + y + z = nπ; n ∈ Z CotxCoty + CotxCotz + CotyCotz =1 Tanx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz

Trigonometría



Seno del doble Sen2 = 2Sen Cos Sen22 = 4Sen2 Cos2

x=b a+b a–b

b

Sen2 =

Cos2

–

: Tangente del doble

Sen2 Tan2 =

Cos2 = 2Cos2 – 1

2Tan 1–Tan θ

Cos2 = 1 – 2Sen2

Sen2 =

a>b a

Coseno del doble

2Tan 1+Tan θ 2Tan

Cos2 =

1+Tan2

1 – Tan2 1+Tan2θ

x

Seno de la mitad Sen

Ángulos doble y Ángulos mitad I

1 (1 – Cos ) 2

2

Coseno de la mitad Cos

2

1 (1 + Cos ) 2

Fórmula racionalizada Tangente de la mitad Cot Tan

2 2

= Cos + Cot = Csc – Cot

Tan

2


1 – Cos

1 + Cos2 = 2Cos2 θ 1 – Cos2 = 2Sen2

Trigonometría


Ángulo mitad

Ángulo triple

x = Cscx + Cotx 2 x Tan = Cscx – Cotx 2

Sen3x = 3Senx – 4Sen3x

Cot

= Sen3x Senx ( 2Cos2x + 1 ) = Sen3x 4SenxSen ( 60° – x ) Sen ( 60° + x )

Identidad Auxiliar

Cos3x = 4Cos 3x – 3Cosx

x x + Tan = 2Cscx 2 2 x x Cot – Tan = 2Cotx 2 2

Cos3x = Cosx ( 2Cos2x – 1 )

Cot

Cot Tan

x =± 2

1 + Cosx 1 – Cosx

x =± 2

1 – Cosx 1 + Cosx

Cos3x= 4CosxCos ( 60° – x ) Cos ( 60° + x ) Tan3x TanxTan ( 60° – x ) Tan ( 60° + x ) = Tan3x =

3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2 x

'

'

Trigonometría

36°



I. Suna o diferencia a producto A+B A –B  Cos  2 2  A +B A –B  SenA – SenB = 2Cos Sen  2 2 A >B A +B A –B  CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2  A +B A –B CosA – CosB = –2Sen Sen  2 2 

SenA + SenB = 2Sen

II. Producto a suma o diferencia 2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y)   2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y)  x > y 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y)  –2SenxSeny = Cos(x + y) – Cos(x – y) 

Observación: 2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)

Observación: CosB – CosA = 2Sen

A +B A –B Sen 2 2

Propiedades Sen(x – 120°) + Senx + Sen(x + 120°) = 0 Cos(x – 120°) + Cosx + Cos(x + 120°) = 0 3 2 3 Cos2(x – 120°) + Cos 2x + Cos 2(x + 120°) = 2

Sen2 (x – 120°) + Sen2 x + Sen2 (x + 120°) =

9 Sen4 (x – 120°) + Sen4 x + Sen4 (x + 120°) = 8 9 4 4 4 Cos (x – 120°) + Cos x + Cos (x + 120°) = 8

Si x + y + z = 180° y x z Cos Cos 2 2 2 y x z Cosx + Cosy + Cosz = 4Sen Sen Sen + 1 2 2 2

Senx + Seny + Senz = 4Cos


Trigonometría


Función Inversa

Función Directa

Dominio (x)

Rango (y) – π ; π   2 2 

ArcSenx = y

Seny = x

[–1; 1]

ArcCosx = y

Cosy = x

[–1; 1]

ArcTanx = y

Tany = x

R

–

ArcCotx = y

Coty = x

R

0;π

ArcSecx = y

Secy = x

R – –1; 1

π 0; π  – 2

ArcCscx = y

Cscy = x

R – –1; 1

– π ; π  – 0  2 2  { }

0; π  π π ; 2 2

{}

Propiedades I) ArcSen(–x) = –ArcSenx   ArcCos(–x) = π – ArcCosx  ArcTan(–x) = –ArcTanx   ∀x ∈ D f ArcC ot(–x) = π – ArcCotx  ArcSec(–x) = π – ArcSecx   ArcCsc(–x) = –ArcCscx 

II) Sen(ArcSenx) = x   Cos(ArcCosx) = x  Tan(ArcTanx) = x   ∀x ∈ D f C ot(ArcCotx) = x  Sec(ArcSecx) = x   Csc(ArcCscx) = x 

III) ArcSen(Seny) = y   ArcCos(Cosy) = y  ArcTan(Tany) = y   ∀y ∈ D f ArcC ot(Coty) = y  ArcSec(Secy) = y   ArcCsc(Cscy) = y 

Trigonometría



TEMA 10

Solución general

Solución general

Solución general

Senθ = a

Cosθ = a

Tanθ = a

θG = Kπ + (–1)K Vp(θ)

θG = 2Kπ ± Vp(θ)

θG = Kπ + Vp(θ)

Vp = ArcCos(a)

Vp = ArcTan(a)

Vp = ArcSen(a)

Signos de la RT

Ángulos cuadrantales

(∀x ∈ Z) (2K − 1) π

π (4K + 1) 2 y

π (4K − 1) 2

Reducción al primer cuadrante (I)

Reducción al primer cuadrante (II)

R.T.(90° ó 270° ± θ) = ± Co R.T.(θ)

R.T.(360°k+α)=R.T.(α) R.T.(2Kπ+α)=R.T.(α)

R.T.(180° ó 360° ± θ) = ± R.T.(θ)

2Kπ

x

R.T. (2Kπ) = R.T.(0) R.T. (4K + 1)

π π = R.T.   2 2

R.T. (2K – 1)π = R.T.(π) R.T. (4K – 1)

π 3π  = R.T.   2  2 

0 < θ < °90°


Trigonometría


Ley de Senos

Ley de Senos

Ley de Senos

∆ABC : se cumple

∆ABC : se cumple

∆ABC : se cumple

a b c = = = 2R SenA SenB SenC R: circunradio

a = 2R SenA b = 2R SenB



SenA =

a b SenB = AB 2R 2R

SenC =

c R: circunradio 2R

c = 2R SenC

Ley de Senos

Ley de Senos

C

a

b bSenA A

R: circunradio

Ley de Cosenos ∆ABC : se cumple

H c - bCosA c

bCosA

Ley de Cosenos ∆ABC : se cumple

a2 = b2 + c 2 − 2bcCosA

b2 + c 2 − a2 CosA = 2bc

b2 = a2 + c2 − 2acCosB

2

c 2 = a2 + b2 − 2abCosC

Trigonometría

CosB =

2

2

a +c −b 2ac

B

Ley de Proyecciones ∆ABC : se cumple

aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosc + cCosB = a

a2 + b2 − c2 CosC = 2ab



Movimiento Rectilíneo Uniforme

d = v.t. Encuentro:

te =

Alcance:

d V1 + V2

ta =

d V1 – V2

Observación –

Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación Km  5  m ; si es necesario = h  18  s

–

Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro y tiempo de alcance son sólo para MRU.

–

Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los movimientos son simultáneos.


Física


Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

a=

V= Vi ± at f

Cambio de velocidad Tiempo

 V + Vf d= i  2

 t 

a=

= d Vt i ±

Vf − V t

1 2 at 2

2 V= Vi2 ± 2ad f

Observación –

Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar el signo (+); (–), respectivamente en las fórmulas.

–

No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoria recta y aceleración constante entonces será un MRUV.

–

Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistema internacional (S.I.)

Física



Elementos y ecuaciones del MVCL Donde: • v0: velocidad inicial (m/s). • vF: velocidad final (m/s). • g: aceleración de la gravedad (m/s2). • h: altura (m). • t: tiempo (s). 1.

h = v0t ±

2.

h=

1 gt2 2

3.

vF = v0 ± gt

4.

vF2 = v02 ± 2 gh

Propiedades movimiento completo (subida y bajada) •

En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero. (VC = 0)

•

En un mismo nivel la rapidez de subida es igual que la rapidez de bajada. (VB = VD)

•

; (VA = VE )

Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que el tiempo de bajada. t AB = tDE

;

tBC = t CD

;

t AC = t CE

Nota: * se deduce del punto "3" Vi t sub = t= baj g Hmáx =

Vi2 2g


Física


FUERZA Medida de la interacción entre dos cuerpos A distancia Peso (W)

Por contacto Fuerza elástica FE = Kx

W = mg

 

•

Primera condición de equilibrio: ΣM = 0

•

Segunda condición de equilibrio: ΣM = 0

•

Otros: - Tensión - Reacción normal - Fricción

F

M

o

ANTIHORARIO

M

F

o

HORARIO

•

•

Física



Dinámica lineal

1° Realizar un DCL. 2° Descomponer las fuerzas en las ejes del movimiento y del equilibrio. 3° Aplicar la 2da ley de Newton en el eje de movimiento.

Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen la segunda ley. Donde: Fuerzas Fuerzas FR = Σ a favor de “a” – Σ en contra de “a”

(

) (

)

Dinámica Circular 1. Segunda Ley de Newton: Newton:



 a=

FR m



2. FR = (∑ F a favor de a ) – (∑ F en contra de a)

3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral. 4. Fcp = macp 5. acp =

V2 = W2R R


Física


1.

WF = ± F⋅ ∆r

2.

WNeto = ΣWF

ó

(+) : acelerado WNeto = ± FR ⋅ ∆r  (–) : desacelerado

3. De la gráfica, se concluye F

0 x1

4.

A1

A3 A2

x2

W F = A1 – A2 + A3 x

 (+) : baja Wmg = ±mgh   (–) : sube

ENERGÍA MECÁNICA 1. EC =

1 mv 2 2

2. EP = EPe + EPg 3. EPg = mgh

Física

1 2 4. EPe = 2 kx 5. Si solo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica se conserva.

EMi = EMf



• PHidrostática = ρ L.g.h

• P= •

ρ=

m V

•

También: PH = γ . h

•

γ=w V

γ =ρ . g Prensa Hidraúlica

• E = ρ L g Vsumergido

F1

F2

h1

• E = Wreal – Waparente

h2

A1



A2

• E = ρ L gef . Vsumergido

  

F1 A h = 1 = 2 F2 A2 h1

gef = g – a

ELECTROSTÁTICA Electrización

Cuantificación de la carga

Q =n⋅ e Frotamiento

Inducción

Carga fundamental

Qf = –1, 6 × 10 –19 C = e Unidades µ = 10 –6

Contacto

m = 10 –3 c = 10 –2


Fuerza eléctrica Ley de Coulomb

F=

K q1 q2 d2

F = Eq Nm2 C2 q1; q2: cargas d: distancia k = 9 × 10 9

Intensidad de campo eléctrico

E=

KQ Unidad : N/C d2

Física


I=

q t

R=

V I

R =ρ

L A

Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman

Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo: R1 Req =

Req =

R2

1 1 + R1 R2 R1 R2 R1 + R2

PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF

I1 + I2 = I3

∑ V = ∑ IR

En cualquier conexión o nudo la suma de todas las corrientes que entran debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen.

En cualquier circuito; la suma algebraica de los voltajes de las baterias es igual a la suma de las caidas de potencial (IR) de cada resistencia del circuito.

Potencia disipada en una resistencia P = VI = I2R =

Física

V2 R



Intensidad del campo magnético B=

µ0.Ι 2πD

Espira circular La inducción magnética en el centro es: Bo =

µ oI 2R

Fuerza magnética

F = q v Bsenθ


Fuerza magnética sobre conductor de longitud "L"

un

F = ILB Sen θ Flujo magnético

φ = BAcosθ Fuerza electromotriz inducida ( ε ) en una barra

ε = vBL Fuerza electromotriz inducida en una espira ε = –N

∆∅ ∆t

Física


•

x = ASen(wt)

•

V = WACos(wt)

•

•

2π T

•

w = 2πf =

•

f=

•

w=

•

amáx = w2A

1 2π

k m

a = – W 2 ASen(wt)

T = 2π

m k

•

a = w 2x

•

Vmáx = WA

Física

k m



ÁTOMO es

la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades sus partes son

sus partículas fundamentales son

zona extranuclear

núcleo contiene

contiene

protones y neutrones principalmente

solamente a los electrones

protón

neutrón

electrón

carga

carga

carga

positiva

nula

negativa

ubicados en el

ubicado en

núcleo

zona extranuclear

es

es

casi vacío

compacta

determina

determina

el volumen atómico

átomo neutro

ion

posee

representación

representación

la masa del átomo

en un

carga negativa

posee

carga positiva

A z

E

#nº = A – Z

se cumple que

A q+ Z

E

catión

#p+ = #e– = Z

A q– Z

E

anión

se cumple que

tipos de núclidos

#p+ = Z ≠ #e–

isótopos

isóbaros

isótonos

poseen igual

poseen igual

poseen igual

número atómico

número de masa

número de neutrones

27 3+ Al 13

13 10 14

ejemplo

ejemplo

ejemplo

33 2– 16 S

16 18 17

12 6

C

14 6

C

40 20

Ca


40 18

Ar

11 5

B

ejemplo

especie #p+ #e– #n

14 6

C

Química


CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS Número cuántico

Determina para el electrón

orbital

Principal (n)

El nivel principal de energía

El tamaño o volumen

Secundario o azimutal (l)

El subnivel de energía

La forma geométrica

Magnético (ml)

El orbital o REEMPE

Su orientación espacial

Valores permitidos

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...∞ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ K L M N O P Q (Capas)

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1) ↓ ↓ ↓ ↓ s p d f

ml = l, ..., 0, ... +l o ml = +l, ..., 0, ... –l Antihorario

Spin Magnético (ms)

El sentido de rotación

no tiene significado

máximo valor

– 1 ms = +1/2

Horario –

– 1 ms = –1/2

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y l, un orbital con n, l y ml y un electrón queda definido con n, l, ml y ms.

Química



CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA es el

ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear se basa en principio de exclusión de Pauli

principio de aufbau permite distribuir a través de los subniveles

distribuir a través de los orbitales de un subnivel para ello

según el orden creciente de la energía relativa (ER)

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo

ejemplo F: 1s 2s 2p 2

2

5

ejemplos

9

Er: 1

2 3 otros

S = 1s 2s 2p 3s 3p 2 2 6 2 3p5 4s2 3d3 23V = 1s 2s 2p 3s 2

2

6

permite

permite

2

4

16

según Kernel 2

4

2

3

S = [Ne] 3s 3p

16

V = [Ar] 4s 3d

23

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo ejemplos O:

g

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

1s 2s 2px 2py 2pz

Distribuir a través de un orbital estableciendo que en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números cuánticos iguales ejemplos He:

2

electrón

↑↓

1s

n

l

ml ms

1

0

0 ms

1

0

0 ms

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

S: [Ne]: 3s 3px 3py 3pz

16

si posee

será

Todos sus electrones apareados

uno o más electrones desapareados será

diamagnético


paramagnético

Química


TABLA PERIÓDICA ACTUAL es un

instrumento del ordenamiento sistemático de los elementos en función de

sus números atómicos crecientes en

clasificación

grupos

periodos

Según las propiedades de los elementos como

según la

Conductividad eléctrica

distribución electrónica final

ordena a los elementos

horizontalmente

en columnas

poseen

poseen

igual número de niveles o capas

igual número de electrones de valencia

pueden ser

buena metal

propiedades químicas diferentes

propiedades químicas similares

tradicionalmente

existen 7 periodos y 16 grupos

regular

mala

mateloide no metal

-

Fe Cu Ag Pb Au

-

B Si Ge As Sb

para

elementos representativos finalizan

ejemplos

presentan

por bloques

-

C H O N S

en subniveles s y/o p elementos de transición finalizan

en subniveles d y/o f

según IUPAC

existen 7 periodos y 18 grupos

Química



RA

relación Z inversa

en especies isoelectrónicas

se emplea al radio iónico que se define en forma análogaal radio atómico

para átomos ionizados

(g)

–

+ le

El1
x(g) + El – x

+

Proceso endotérmico

es un

energía mínima necesaria para quitar un electrón del último nivel de un átomo aislado y formar un catión

es la

es la

mitad de la distancia entre los núcleos de dos átomos adyacentes

Energía de ionización (EI)

Radio atómico (RA)

(g)

1–

+ AE

Química

proceso endotérmico

casos especiales

para elementos del grupo IIA y VIIA o un anión

casos especiales

x(g) + e– –– x

representación

es un proceso exotérmico

cambio de energía que se produce cuando un átomo en estado gaseoso acepta un electrón para formar un anión generalmente

es el

Afinidad electrónica (AE)

casos generales

no metálicos tienen electronegativos

son de

alto carácter metálico o electropositivos

son de

metálicos poseen baja electronegatividad – (pierden e )

capacidad de un átomo para atraer electrones hacia su núcleo de un enlace químico

es el

Electronegatividad (EN)

propiedades submicroscópicas de los elementos que varían en forma regular en un periodo o grupo y permiten explicar sus propiedades físicas y químicas.

son

PROPIEDADES PERIÓDICAS ATÓMICAS



ENLACE QUÍMICO

la fuerza que une átomos de una sustancia

es

de naturaleza

Electromagnética

Electrostática llamada

llamada

Enlace iónico o electrovalente

Enlace covalente

se da generalmente

entre un metal y un no metal

mediante

transferencia de electrones

excepciones

BrX2, AX3

Ejemplos: MgO, CaF2, ...

NH4C, NH4Br ... X = halógeno

Estructura de Lewis [Mg]2+ [Ca]2+ 2

O F

2+

1–

∆EN: Diferencia de electronegatividad

Química

Compuestos binarios iónicos

en

generalmente ∆EN ≥ 1,7



UNIDADES QUÍMICA DE MASA

Molécula

Átomo

n=

m # átomos = mA NA

n=

m M

=

# átomos NA

m: masa

NA = 6,023 x 1023

Unidades fórmula

n=

m PF

=

# unidades fórmula

P.F.: peso fórmula


Química


ESTADO GASEOSO es

Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.

Variables de estado Propiedades generales

Volumen es

A nivel submicroscópico

A nivel macroscópico

– Alta entropía – Grandes distancias intermoleculares – Alta energía

– Expansión – Comprensión – Difusión – Efusión

Teoría cinética molecular

Igual a la capacidad del recipiente que lo contiene la cual justifica la

Ecuación general de los gases

Química

caracteriza

se debe a los

La energía choques de cinética las moléculas media de las del gas con la moléculas pared del recipiente participan en la Ecuación universal de los gases PV = RTn

WRT=PVM

si, además, una variable de estado es constante

Isotérmico (T=cte.) P1V1=P2V2

Presión

a través de la cual podemos determinar

P1V1 PV = 2 2 T2 T1 procesos restringidos

Temperatura

PM = DRT

en condiciones normales (CN) Vgas=nx22,4L

Isobárico (P=cte) V1 V2 = T1 T2

Isocórico (V=cte) P2 P1 = T2 T1

Dgas= M g/L 22,4 P=1atm<>760 mm Hg y T=0ºC <> 273 K



SOLUCIONES

Unidades de concentración

Físicas

%m =

msto msol

x 100

%V =

Vsto Vsol

x 100

Químicas

m Molaridad

M=

M n 10 x %m x D = = V V M

D: densidad

Normalidad


Química


Contracción volumétrica (C.V.):

Rendimiento o eficiencia de la reacción (RR) RR =

CR .100% CT

Reactivo limitante (RL): Reactante que se consume totalmente.

Reactivo en exceso (RE):

Reg l a pr ácti ca de planteo de problemas estequioméetricos

Reactante que se consume parcialmente.

Porcentaje de pureza: % Pureza =

cantidad sust.pura .100 cantidad muestra

Química

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 L coef x NA coef x NA x subíndice ↑ Dato:

↑

↑

↑

gramos mol vol (CN) moléculas

↑ átomo



A. Teoría ácido - base


Química


B. Ácidos y bases: Escala de pH

e

–

CÁTODO (– )

( +) ÁNODO CÁTODO: Na +

Na C

–

NaC (Fundido)

Química

+

+1e

Na

0

(Reducción)

ÁNODO: 2C

–2e–

C

0 2

(Oxidación)


Artificial Fullereno

Natural

Frafito Diamante

Puro

Propiedades del Carbono

Artificial


Natural Antracita Hulla Lignito Turba

Natural

Hollín Coque

Artificial Carbón de madera Carbón animal Carbón de retorta Carbón activado

Impuro

QUÍMICA ORGÁNICA


Química


Química



fórmula global

CnH2n; n

fórmula global

CnH2n+2; n ejemplo

- eteno (C2H4) - propeno (C3H6) - buteno (C4H8)

ejemplo

- metano (CH4) - etano (C2H6) - propano (C3H8)

2

Alquenos u olefínicos

1

Alifáticos

2

- etino (C2H2) - propino (C3H4) - butino (C4H6)

ejemplo

CnH2n–2; n

fórmula global

Alquinos o acetilénicos

Insaturados

Alcanos o parafínicos

Saturados

Acíclicos

- ciclopropeno (C3H4) - ciclobuteno (C4H6) - ciclopenteno (C5H8)

- ciclopropano (C3H6) - ciclobutano (C4H8) - ciclopentano (C5H10)

3 ejemplo

CnH2n – 2; n ejemplo

3

fórmula global

fórmula global

CnH2n; n

Cicloalquenos

Cicloalcanos

Alicíclicos

Co mo c ombu sti bl e, disolvente y materia prima para la petroquímica

Compuestos binarios formados por carbono e hidrógeno

- petróleo - gas natural - hulla clasificación

usos

son

fuentes de obleación naturales

HIDROCARBUROS

- antraceno (C14H19)

- naftaleno (C10H8)

- benceno (C6H6)

ejemplo

Aromáticos ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Química


ALQUENOS U OLEFINAS Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2 átomos de carbono con hibridación sp2)), siendo una sustancia químicamente activa. El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcional importante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenos sufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUINOS O ACETILENICOS Son hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructura presenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupo funcional (enlace triple) poseen hibridación sp.

Química



Ejemplo: Alquino

Fórmula global

Etino

C2H2

Fórmula semidesarrollada CH

CH

Fórmula desarrollada H C

C

H H

Propino

C3H4

CH

C

CH3

H C

C C H H

C 4H 6 Butino

(Posee 2 isómeros de posición)

CH

C

CH2 CH3

But 1

CH3

C

C

But 2

ino

CH3 ino

H H H C

C C

C H

H

H H H

H C C

C C

H

H

H

ALQUENINO CnH2n + 2 – 2d – 4t Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlaces triples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, la numeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminación usada es enino.


Química


Condensador Separador de gas vapores

Gas de refinería

reflujo

Líquido

Burbujeador Tanque de petróleo

Columna de fraccionamiento

Bomba

Agua

Gasolina

Vapor Líquido

Vapor Vapor

Kerosén Rectificadores

Horno

Gasolina o diesel Bomba

Crudo reducido

Bomba

Química


Minerales

Preparación del mineral


Métodos mecánicos Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – (concentra el Levigación (oro) Flotación (sulfuros) mineral) Métodos Químicos (mineral concentrado)

Tostación Calcinación Reducción

⇒ de sulfuro a óxido con corriente de aire ⇒ de CO3= a óxido en ausencia de aire ⇒ óxidos + C = CO2 + metal

Húmeda (Na) Electrometalúrgicos Electrólisis Seca (Na, K, Mg, Al) (mineral concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción Hematita ⇒Fe2O3 Limonita ⇒ Fe2O3 + 3.H2O Magnetita ⇒ Fe2O3.FeO Siderita ⇒ FeCO3 Pirita ⇒ FeS


Química


Química


FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

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