Ensayo Preuniversitario Painequeo (Final).pdf

ENSAYO PSU MATEMÁTICA Admisión 2018

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1.

A continuación continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

2.

Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.

3.

Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema sis tema de ejes perpendiculares.

4.

Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

5.

En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.

6.

( f g )(x) = f(g(x))

7.

En esta prueba, se considerará que v a, b es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano cartesiano y su extremo en el punto (a, b), a menos que se indique lo contrario.

8.

Los números complejos i y

9.

Si z es un número complejo, entonces

10.

Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z  N(0, 1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z  z), entonces se verifica que:



z 0,67 0,99 1,00 1,15 1,28 1,64 1,96 2,00 2,17 2,32 2,58

i

son las soluciones de la ecuación x 2 + 1 = 0.

P(Z  z) 0,749 0,839 0,841 0,875 0,900 0,950 0,975 0,977 0,985 0,990 0,995

z

es su conjugado y

0

-2-

z

z

es su módulo.

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se puede llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A)

(1) por sí sola , si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para resolver el problema, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B)

(2) por sí sola , si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para resolver el problema, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C)

Ambas juntas, (1) y (2) , si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para resolver el problema, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D)

Cada una por sí sola, (1) ó (2) , si cada una por sí sola es suficiente para resolver el problema,

E)

Se requiere información adicional , si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para resolver el problema y se requiere información adicional para llegar a la solución.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 

es menor que



es congruente con



es mayor que



es semejante con



es menor o igual a es mayor o igual a





es perpendicular a es distinto de

ángulo recto ángulo

// 

es paralelo a pertenece a



log

logaritmo en base 10

AB AB

trazo AB



conjunto vacío

ln

logaritmo en base e

x!

factorial de x



unión de conjuntos



intersección de conjuntos

complemento del conjunto A

u

vector u

A C

x

-3-

valor absoluto de x

ENSAYO PSU ADMISIÓN 2018

1.

! 1 # ' # 2 + ! 3 $ # & # " " 2 %

1

A) B) C) D) E)

2.

=

8 3 5 2 5 8 1 2

3 8

El largo de un rectángulo de área

A) B) C) D) E)

3.

'1

$ & & & %

1 3

es

3 5

. ¿Cuál es el ancho del rectángulo?

1 5

5 9 14 15 15 14

9 5

El promedio de 5 enteros consecutivos es 9, ¿Cuál es el menor de ellos? A) B) C) D) E)

5 7 8 9 11

-4-


4.

¿Cuántos pares ordenados (a,b) de números enteros satisfacen la igualdad 2

a

A) B) C) D) E)

5.

+

2

b

=

25 ?

4 8 10 12 16

La aproximación por exceso a la milésima de la fracción

133 13

corresponde al

número A) B) C) D) E)

6.

1,023 1,230 1,231 10,230 10,231

¿Cuál es el mayor entero positivo n que satisface n200 < 3500? A) B) C) D) E)

13 14 15 16 17

-5-


7.

Si A) B) C) D) E)

8.

2

=

p,

entonces para que la solución sea un entero, p debe ser

par mayor que 3 múltiplo de 3 impar 1

En la recta numérica, numérica, los puntos L, M, N y P están separados por la misma distancia, luego M = A) B) C) D) E)

9.

3(x ! 1)

1 7

L

M

N

P

1 8

1 6

1 12

1 9 1 10 1 11

0,7 + 0,8

A)

1,5

B)

1,6

C)

1,15

D)

1,156

E)

5,3

-6-


10. En un establo hay solamente 36 vacas. Luego, al sumar el número total de cabezas y patas en dicho establo, se obtiene

A) B) C) D) E)

36 · 4 36 · 1 36 · 1 + 36 · 4 36 + 1 + 36 + 4 36 + 36 : 4

11. El

emperador inca posee 121 lingotes de oro y cada una de sus llamas puede cargar como máximo 17 lingotes. ¿Cuántas llamas necesitará como mínimo el emperador inca para transportar la carga completa de lingotes?

A) B) C) D) E)

7 8 9 17 104

12. Si a y b son números números reales tales que a A) B) C)

1! a

D) E)

a

1+ a a !1 2

+1

a!b

-7-

+

2

b

=

1.

Entonces

2

a

! a + b2

=


13. La fracción

m

resulta ser un entero positivo si se cumple que

n

(1) m y n son enteros distintos de cero y m es múltiplo de n. (2) m > n A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

14. Si

el numerador y el denominador de una fracción, distinta de 1, se disminuyen en 5 unidades, el valor de la fracción resultante es el inverso multiplicativo de la fracción original. Luego, la suma del numerador y el denominador de la fracción original es A) B) C) D) E)

3 4 5 6 Faltan datos

15. El valor de (2 A) B) C) D) E)

3

2 ! 3) (2

4

2

+

3) corresponde a un número

Racional positivo Racional negativo Irracional positivo Irracional negativo Complejo no real

-8-


16. El valor de A) B) C) D) E)

5

2

2 2

6

2

es igual a

2

2 4 8 Otro valor

17. Considere los números complejos z

1

z

1

! z2 ! z3

A) B) C) D) E)

1+i

,

z

2

=

1!i

y

z

3

=

1+i 1!i

0 2

+

i

2

!i

18. La parte real del número complejo z A) B) C) D) E)

=

=

0 1 -1 32 -32

-9-

(1 ! i)10

es igual a

1 =

2

1 +

2

i.

Luego


" a + b a ! b % " a2 ! b2 % 19. Al simplificar # $ a ! b + a + b ' & $$ 2 2 ' ' se obtiene # a + b & A) B) C) D) E)

1 2 a b ab

20. Dado

a !!

(1) (2) A) B) C) D) E)

3

a

2

a

! a + 1 si

+1

a+1


21. Si a

6

A) B) C) D) E)

, se puede conocer el valor de

=

3

2a

2

+1

, entonces (a2 ! 2a + 1) ( a2 + a + 1)

1 2 3 -1 -2

- 10 -

se conoce el valor de


22. Se sabe que el exceso de un número sobre 18 es igual al triple de, el mismo número disminuido en 10. ¿Cuál es el doble del número? A) B) C) D) E)

23.

-4 6 8 12 14

2

! ! 1 $ $ 1 log + # & # & " " 2 % % A) B) C) D) E)

24. Si x A) B) C) D) E)

=

log 5 log 25 (log 5)2 2 log 5 1025

10

2 =

5

2

! 36 +

3

, entonces 3x=

3

5 6 15 18 59

-11-


25. Si al triple de la edad que tenía Juan hace 10 años se le resta su edad actual se obtiene la edad que tendrá dentro de cinco años. ¿Cuál es la edad actual de Juan? A) B) C) D) E)

20 años 27 años 28 años 35 años 36 años

26. ¿Para qué valor de k, el sistema A) B) C) D) E)

5x ! ky

-2 -7,5 -15 7,5 15

27. El valor de 2x, si 3

x +1

A) B) C) D) E)

2x ! 3y

=

x

9 3

, es igual a

1 2 4 8 16

- 12 -

=

=

4 11

no tiene solución?


28. Sabiendo que x ! "$# 23 , 52 %'& , entonces A) B) C) D) E)

2

x

! 2x + 1 !

C) D) E)

=

2x ! 4 4 ! 2x

!

B)

! 6x + 9

-2 0 2

29. El conjunto solución de la inecuación x 1 1 A)

2

x

"2

es

# 3# % ! ", % 2$ $ # ! ",1# $ $ ! 3! #1, # " 2" ! 3$ #1, & " 2% "3 " + , ! $ $ #2 #

30. Si a, b y c son números racionales. ¿Cuál de ellos es el menor?

A) B) C) D) E)

1

(1)

a!b

=

!

(2)

c ! b

=

!

4 1 2


-13-


31. En una fiesta de graduación asistieron 18 hombres y 22 mujeres, y en ella todos se saludaron. Si las mujeres saludaron a todos con un beso y los hombres se dieron la mano entre sí. ¿Cuántos saludos con beso y cuántos saludos con apretón de manos, respectivamente, se dieron en esta fiesta? A) B) C) D) E)

153 y 231 627 y 153 396 y 153 627 y 198 231 y 153

32. La recta perpendicular en el punto (1,1) a la recta de ecuación 3x+2y=5, se puede escribir de la forma Ax+By=-1. ¿Cuál es el valor de 5A+5B? A) B) C) D) E)

-25 -5 1 5 25

33. El

gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c corta al eje X en dos puntos distintos si se cumple que (1) (2)

A) B) C) D) E)

2

b

a

! 4ac > 0

>

0


- 14 -


34. Con respecto a los gráficos de las funciones f : !"0 ,7#$ %

y g : !"0 , 4#$ % ! de la figura adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) II) III) A) B) C) D) E)

!

(g o f)(3)=4 (f o g)(2)=2 (f o g)(4)=0

Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III Ninguna de ellas

35. Sean f y g dos funciones, ambas con dominio en el conjunto de los números reales, tales que f(x ! 1) = x2 ! 3x + 5 y A) B) C) D) E)

2

x

2

x

2

x

x

2

+

x ! 3

! x + 3 +

x

+

x

+ 15

Ninguna de las anteriores

-15-

g(x ! 3) = f(x + 2).

Entonces

g(x ! 4)

=


36. Consideremos

a,b

!!

y la ecuación de incognita x dada por

Para que esta ecuación tenga soluciones reales y distintas, debe cumplirse que 2! a(x ! b)2

A) B) C) D) E)

b

!

1= c.

0

2

! 4ac > 0

2

! 4ac < 0

b b

37. ¿Cuál

+

a

>

0

c

>

1

de las siguientes alternativas representa mejor al gráfico

de la

función f(x) 3 ! 3x ! x2 ? =

y

y

y

x

x

A)

x

B) B)

y

C) y

x D)

x E)

- 16 -


38. Si

f :!

!

entonces A) B) C) D) E)

!

es una función biyectiva con inversa

!1

f

. Si f !1(x) = 3(x + 5) ,

1 f(2)

=

21 -1/21 -3/13 -13/3 Ninguna de las anteriores

39. En la figura, L1||L2, L3||L4 y P, Q y R son puntos colineales. Entonces A)

25º

B)

15º

C)

40º

D)

30º

E)

35º

-17-

!

=


40. En la figura, los puntos B, C y D son colineales. Si AB+ED=8, entonces BD= A)

12

B)

14

C)

16

D)

8

E)

4 2

fig. 2

41. A partir de los datos de la figura, calcule la medida del segmento AB . A)

6

B)

13

C)

5

D)

2 3

E)

5

- 18 -


42. En la circunferencia de la figura,

AB

es diámetro. Luego, la suma de las

medidas de los ángulos ABC y BDC es

A)

180º

B)

120º

C)

90º

D)

45º

E)

No se puede determinar

43. En el triángulo ABC de la figura, BD es una transversal de gravedad, y G es el centro de gravedad. Luego, BD=

A)

6

B)

7

C)

8

D)

9

E)

4

-19-


44. En la figura, ABCD es un rectángulo de diagonales AC y BD. Si EC=BD, el !x

mide

A)

40º

B)

25º

C)

30º

D)

55º

E)

45º

45. En la figura, los puntos M, N y C son puntos colineales, al igual que los puntos A, B, C y D. Si además, D es punto de tangencia, AB=8 cm y BC=1 cm, entonces CD= A)

2 cm

B)

3 cm

C)

4 cm

D)

2 2

E)

3 2 cm

cm

- 20 -


46. Sean los vectores v(-1,3) y w(2,-1), luego 2v - 3w = A) B) C) D) E)

(4,9) (-4,3) (-8,3) (-8,9) (-8,-3)

47. En la figura, calcule la medida del A) B) C) D) E)

48. En

!!

30º 40º 50º 60º 70º

la figura, B es un punto de tangencia, O es el centro de la

semicircunferencia de diámetro

AB

y C es el centro de la circunferencia

tangente a AB . Si E, F y H son puntos colineales tales que EF=2FH, entonces el arco EA mide A)

120º

B)

130º

C)

135º

D)

150º

E)

160º

-21-


49. En la figura, A, B y C son puntos colineales y AT es tangente en T a la circunferencia. Se puede conocer la medida de (1) (2)

Si

CB es

!CAT

=

AT

si

diámetro y mide 6 cm.

30º

T

A B C

A) B) C) D) E)


50. En la figura, se sabe que AB=BC y que área de la región triangular PBC?

2

A) B)

2m 3 2

m

2

C)

m

3 2

D)

m

E)

m

4 2

2

- 22 -

!BAP

=

!CBP

. Si BP=m, ¿Cuál es el


51. En la figura, L1 || L2. Se sabe que los puntos A, B y C, y los puntos D, E y F son colineales, al igual que lo son los puntos G, E, B y H. Si además se cumple que DE=2EF, 2GE=3EB y CB=2, entonces AB=

A)

2,5

B)

2

C)

4

D)

6

E)

3

52. El

segmento AB cuya medida es 36 cm, es dividido exteriormente en la razón 7 : 3. Luego, el segmento que une el punto medio de AB y el punto de división exterior, mide A) B) C) D) E)

9 cm 18 cm 27 cm 36 cm 45 cm

53. ¿Cuál es el valor de x en la figura? A) B) C) D) E)

12 10 8 7,5 6,5

10 6

-23-

x


54. En la figura se muestra un recipiente abierto en la parte superior, con forma exterior cúbica de lado 10 cm. Si todas las caras laterales y la cara inferior tienen espesor constante de 2 cm, ¿Cuál es la capacidad interior máxima del recipiente?

A)

216 cm3

B)

288 cm3

C)

360 cm3

D)

512 cm3

E)

712 cm3

55. Al rotar en 45º el punto (3,3) con respecto al origen (0,0), se obtiene el punto A) B) C) D) E)

(3 2, 0) (3 2,3 2 ) (0,3 2 ) ! 3 2 3 2 $ , # & " 2 2 % Ninguno de los anteriores

- 24 -


56. Al triángulo ABC de vértices en los puntos A(2, 1), B(5, 3) y C(3, 7) se le aplican sucesivamente una traslación T(x,y) ! (x + 2,y " 1) y una rotación en 90º con centro en el origen, en sentido antihorario. ¿Cuál es la imagen B’ del vértice B como resultado de estas transformaciones? A) B) C) D) E)

(7,-2) (-2,7) (-7,-2) (2,-7) (2,7)

57. En la figura, el cuadrado ABCD se encuentra inscrito en el triángulo EBF. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD si

(1) (2) A) B) C) D) E)

EA=8 y FC=2 EB:BF=2:1


-25-


58. Al respecto de las rectas; y = x e y = 3 - x, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I) II) III)

Son perpendiculares. Se intersectan en el IV cuadrante. La suma de las coordenadas coordenadas del del punto de intersección entre estas dos rectas no es 3.

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo III Sólo II y III

59. Si

una recta pasa por el punto (-1,3) y tiene por vector director (2,5), entonces la ecuación cartesiana de dicha recta es

A) B) C) D) E)

2x - 5y + 11 = 0 2x - 5y - 11 = 0 2y - 5x - 11 = 0 2y - 5x + 11 = 0 Ninguna de las anteriores

60. En la figura, aparecen los caminos que unen las ciudades X, A, B, C e Y, respetando el sentido de las flechas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad X a la ciudad Y? A)

14

B)

16

C)

18

D)

20

E)

22

A

X

B

C

- 26 -

Y


61. En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de alumnos de un colegio. Edad (en años) Alumnos 5 16 6 x 7 10 8 3 Se puede determinar el valor de x si se sabe que (1) (2) A) B) C) D) E)

El promedio de sus edades es 6 años. La mediana de sus edades es 6 años.


62. De

un grupo de niños pequeños se realiza un estudio de pesos, obteniendose los siguientes resultados: 22kg, 23kg, 18kg, 19kg, 20kg, 21kg y 17kg. La varianza de este grupo de datos es

A) B)

2 kg 4 kg

C)

3,3 kg2

D) E)

4,6 kg2

4 kg2

63. Si el promedio y la varianza de una población compuesta por 2, 3, p y q son 4 y 2,5 respectivamente, entonces el valor de p2+q2 es A) B) C) D) E)

225 121 76 61 Ninguna de las anteriores

-27-


64. Se tiene un grupo de jóvenes, cuyas edades se encuentran tabuladas en la siguiente tabla: Edad 13 14 15 16

Frec. 3 2 4 1

¿Cuál es el promedio de sus edades, redondeado al entero? A) B) C) D) E)

5 14 14,3 15 15,3

65. En un curso, se toma una prueba de 5 preguntas, en la cual se otorgan 2 puntos por cada respuesta correcta y 0 puntos por cada pregunta incorrecta. Al revisar la prueba, se obtiene el porcentaje de respuestas correctas asociado a cada pregunta. Pregunta % de correctas 1 30% 2 10% 3 60% 4 80% 5 40% En esta prueba, ¿Cuál fue el promedio de los puntajes del curso? A) B) C) D) E)

3,8 4,0 4,2 4,4 4,6

- 28 -


66. Con respecto a los datos 4, 5, 9, 6, 4, 14, 15, 14, 13, 12, 2 y 10. ¿Cuál es el valor del primer cuartil? A) B) C) D) E)

2 3 4 4,5 5

67. El resultado arrojado por el último SIMCE es mostrado por la tabla siguiente Puntaje

[150 [200 [250 [300 [350

Frecuencia

– 200[ – 250[ – 300[ – 350[ – 400]

2 10 24 12 2

¿A que puntaje corresponde el percentil 80, truncado al entero? A) B) C) D) E)

300 305 316 317 325

68. Un curso esta compuesto por 8 hombres y 6 mujeres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comitiva compuesta por 5 hombres y 2 mujeres? A) B) C) D) E)

14 21 840 5.040 17.640

-29-


69. Dentro de un closet se encuentran 10 pares de zapatos, todos de distinto color. Al sacar dos zapatos, sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? A) B) C) D) E)

1

1

!

10 9 1

1

!

10 19 1 19 1 10 2 19

70. Si se desea colocar 3 monedas en alguno de los 16 casileros de 1x1 que conforman el cuadrado de 4x4 de la figura. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de estas se encuentre ni la misma fila ni en la misma columna que otra? A) B) C) D) E)

3/16 3/5 2/7 3/7 6/35

71. Se lanzan 850.000 veces dos dados comunes. Según la ley de los grandes números, ¿Aproximadamente, que porcentaje de estos lanzamientos es tal que la suma de los números obtenidos en ambos dados sea múltiplo de 4? A) B) C) D) E)

15% 20% 25% 30% 40%

- 30 -


72. Dos máquinas se usan para producir marcapasos. La máquina A produce el 75% de todos los marcapasos, mientras que la máquina B produce el 25%. El 1% de todos los marcapasos producidos por la máquina A son defectuosos, mientras que el 2% de los marcapasos producidos por la máquina B son defectuosos. Se selecciona un marcapasos al azar de entre todos los producidos y se encuentra que es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que este haya sido producido por la máquina A? A) B) C) D) E)

0,75 0,6 0,5 0,4 0,3

73. Un cajón contiene 5 frutas, todas del mismo tamaño, peso y forma. Dos de ellas están en mal estado, y por lo tanto no son aptas para el consumo y tres de ellas están aptas para el consumo. De una cierta cantidad de extracciones al azar, se define la variable aleatoria X como la cantidad de frutas obtenidas aptas para el consumo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I)

Si se extraen 2 frutas, entonces los valores que puede tomar la variable X son 1 y 2. II) Si se extraen 3 frutas al azar, los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria son 1, 2 y 3. III) Si se extraen 4 frutas, entonces los posibles valores de X son 0, 1, 2, 3 y 4. A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III

-31-


74. La siguiente tabla muestra los valores de la función de probabilidad de una variable aleatoria X. x

1

2

3

f(x)

p

3p

p

Luego la varianza de X es A) B) C) D) E)

0,02 0,04 0,2 0,4 2

75. Un

policía está en la carretera controlando dos tipos de infracciones de manera independiente. Se sabe que el 5% de los partes cursados son por exceso de velocidad y un 8% de ellos son cursados por conducir sin las luces encendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que, luego de haber controlado a 10 autos, 7 de ellos hayan incurrido en al menos una de las dos faltas anteriores? A) B) C) D) E)

! 10 $ (0,126)3(0,874)7 #" 7 & % ! 7 $ (0,126)7 #" 3 & % ! 10 $ (0,126)7 (0,874)3 #" 3 & % ! 10 $ (0,126)10 (0,874)3 #" 3 & % ! 10 $ (0,05)7 (0,08)3 #" 7 & %

- 32 -


76. Sea

X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de

probabilidad es f(x) A) B) C) D) E)

1 =

8

x,

con x ! "#0,4 $% . Luego, el valor de

P(X P(X

!

3) es

3 32 9 32 3 16 9 16 9 8

77. El “Puntaje PSU” (X) de las personas de una población de 250.000 jovenes que rinden la Prueba de Selección, se puede modelar a través de una distribución N(500,1102). ¿Cuál es la cantidad aproximada de jovenes cuyo puntaje será mayor o igual a los 720 puntos? A) B) C) D) E)

125.000 39.750 25.000 12.500 5.750

78. Se lanza una moneda 6.400 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en no más de 3.246 lanzamientos? A) B) C) D) E)

87,5% 97,5% 90% 84,1% 95%

-33-


79.

Consideremos el conjunto M={1, 1, 2, 2, 3}. Si de M se extraen todas las muestras posibles de tamaño 2 (sin reposición y sin orden) y a cada una de ellas se le calcula la media. ¿Cuál es la mayor diferencia, en valor absoluto, que puede producirse entre la media de la muestra y la media de M? A) B) C) D) E)

0,3 0,7 0,8 1,0 1,2

80. El intervalo de confianza para el tiempo medio de espera, en minutos, de un restaurante es [8,14]. Es posible determinar la varianza poblacional si se conoce (1) (2) A) B) C) D) E)

La media muestral. El tamaño de la muestra.


“Muchos de los fracasos de la vida vienen de las personas que no se dieron cuenta de lo cerca que estaban del éxito cuando se rindieron” Thomas Alva Edison. - 34 -

Ensayo Preuniversitario Painequeo (Final).pdf

Recommend Documents