Manual Estatica y Dinamica

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TEHUACÁN

F UN UND DA M EN ENT T OS DE EST EST Á T I CA Y DI NÁ NÁM M I CA

M.C. Oscar Bautista Merino MECATRONICA 25 de Febrero del 2012

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA TECNOLÓGICA DE TEHUACÁN TSU MECATRÓNICA MODALIDAD MIXTA MANUAL DE ASIGNATURA Asignatura: Fundamentos de estática y dinámica Cuatrimestre: Cuatrimestre: Primero Plan de estudios: 2009

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Índice COMPETENCIA GENERAL............................... .......................... .......................... .......................... ..... 3 OBJETIVO DE LA ASIGNATURA .......................................................................................................... 3 UNIDAD I. CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 3 1.1 CONCEPTO DE VECTORES ....................................................................................................... 3 1.2 OPERACIONES PRINCIPALES DE VECTORES ............................................................................. 6 1.3 CONCEPTOS DE CANTIDADES FÍSICAS ................................................................................... 20 UNIDAD II. ESTÁTICA ...................................................................................................................... 29 2.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA ........................................................................................... 29 2.2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO C UERPO RIGIDO................................ ............................... ....................... 41 UNIDAD III. CINEMÁTICA ................................................................................................................ 60 3.1 MOVIMIENTO ....................................................................................................................... 61 3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME .................................................................................... 80 3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERADO ................................................................ 85 UNIDAD 4. DINÁMICA .................................................................................................................... 93 4.1 Traslación de un cuerpo rígido............................... .......................... .......................... ........... 94 4.2 Fuerza de fricción ................................................................................................................. 99 4.3. Rotación con respecto a un eje fijo .................................................................................... 105 4.4. Trabajo y potencia lineal.................................................................................................... 115 4.5. Trabajo y potencia rotacional ............................................................................................ 120

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Índice COMPETENCIA GENERAL............................... .......................... .......................... .......................... ..... 3 OBJETIVO DE LA ASIGNATURA .......................................................................................................... 3 UNIDAD I. CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 3 1.1 CONCEPTO DE VECTORES ....................................................................................................... 3 1.2 OPERACIONES PRINCIPALES DE VECTORES ............................................................................. 6 1.3 CONCEPTOS DE CANTIDADES FÍSICAS ................................................................................... 20 UNIDAD II. ESTÁTICA ...................................................................................................................... 29 2.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA ........................................................................................... 29 2.2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO C UERPO RIGIDO................................ ............................... ....................... 41 UNIDAD III. CINEMÁTICA ................................................................................................................ 60 3.1 MOVIMIENTO ....................................................................................................................... 61 3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME .................................................................................... 80 3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERADO ................................................................ 85 UNIDAD 4. DINÁMICA .................................................................................................................... 93 4.1 Traslación de un cuerpo rígido............................... .......................... .......................... ........... 94 4.2 Fuerza de fricción ................................................................................................................. 99 4.3. Rotación con respecto a un eje fijo .................................................................................... 105 4.4. Trabajo y potencia lineal.................................................................................................... 115 4.5. Trabajo y potencia rotacional ............................................................................................ 120

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COMPETENCIA GENERAL Desarrollar y conservar sistemas automatizados y de control, utilizando tecnología adecuada, de acuerdo a normas, especificaciones técnicas y de seguridad, para mejorar y mantener los procesos pro cesos productivos.

OBJETIVO DE LA ASIGNATURA El alumno realizará cálculos de los parámetros de la estática y dinámica, para describir el comportamiento mecánico de los sistemas o elementos sujetos a fuerzas. fu erzas.

UNIDAD I. CONCEPTOS BÁSICOS La mecánica puede ser definida como la rama de la física que trata acerca del estado de reposo o movimiento de cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. En general, este tema se subdivide en tres ramas: mecánica del cuerpo r ígido, mecánica del cuerpo deformable y mecánica de flui dos.

La mecánica del cuerpo rígido se divide en dos áreas: estática y dinámic a. La estática trata con el equilibrio de los cuerpos, esto es, aquellos que están en reposo o se mueven con velocidad constante; mientras que la dinámica trata con el movimiento acelerado de los cuerpos.

1.1 CONCEPTO DE VECTORES Escalares y Vectores. Los sistemas físicos pueden estar descritos matemáticamente por dos tipos de cantidades. Una es una cantidad algebraica, sin dirección asociada, y se llama escalar. Si decimos que la masa de una bola de billar es de 500 gramos, esta cantidad especifica todo lo que se necesita conocer acerca de la masa. Sin embargo, hay cantidades físicas que no se pueden describir completamente por medio de escalares. Las cantidades que se deben describir con una magnitud y una dirección se llaman vectores. Escalar. Una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo se denomina un escalar. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en estática. Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. En estática, las cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son posición, fuerza y momento. En trabajos realizados a mano, un vector es representado generalmente por una letra con una línea sobre ella, tal como . La magnitud se designa mediante I I o simplemente con A con A.. Su magnitud, que es siempre una cantidad positiva, se representa mediante cursivas, tal como I A I, o simplemente A simplemente A cuando cuando se sobreentienda que A que A es es un escalar positivo.

⃗

⃗

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Si decimos que un cuerpo se mueve desde un punto inicial f hasta un punto final g que se encuentra 10 metros hacia el noreste de f, el desplazamiento de f a g pueden representarse como una flecha (Figura1). Esa flecha es la representación gráfica del vector de desplazamiento de f a g, al cual podemos dar el nombre de vector A.

Figura 1. Vector desplazamiento A El vector A tiene dos atributos: una longitud, o magnitud (en este caso, 10 m.), y una dirección (en este caso hacia el noreste). Llamaremos cola del vector al punto de donde comienza, y punta al lugar donde termina, es decir donde está la punta de la flecha. Componentes de un vector. En dos dimensiones se pueden emplear coordenadas polares o cartesianas para describir las componentes de un vector. En la Figura 3 se ha ubicado un punto P mediante sus coordenadas cartesianas (x1, y1); es decir, la distancia a la que se encuentre, en la dirección x y en la dirección y, del origen O.

Figura 3. Componentes de un vector en coordenadas cartesianas. En la Figura 4 se ha ubicado el mismo punto P mediante sus coordenadas polares (r,Ø en donde r es la coordenada radial ,la distancia que hay del punto P al origen O, y q es la coordenada angular, ángulo medido desde el eje +x hasta el vector cuyo punto inicial es el origen y punto final P).

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Figura 4. Componentes de un vector en coordenadas polares.

Para encontrar las componentes del vector resultante de sumar dos vectores v y w, sumamos algebraicamente las componentes en X y en Y de cada vector de la siguiente manera: v = (x1, y1) w = (x2, y2) v + w = (x1+x2, y1+y2) Para encontrar las componentes cartesianas de un vector en el plano, expresado en coordenadas polares, utilizamos las siguientes ecuaciones: x = r * cos Ø y = r * sen Ø

Coordenadas de un vector Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

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1.2 OPERACIONES PRINCIPALES DE VECTORES Suma de vectores . Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o posición, figura 2-4a,

pueden sumarse para formar un vector "resultante" R= A + B usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 2-4b. Se trazan líneas paralelas desde la cabeza de cada vector cortándose en un punto común, formando así los lados adyacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la intersección de las líneas. También podemos sumar B a A usando una construcción triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de "cabeza a cola", esto es, conectando la cabeza de A a la cola de B, figura 2 -4c. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R también puede ser obtenida sumando A a B, figura 2-4d. Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R=A + B=B+ A.

Como un caso especial , s i los dos vectores A y B son colineales, e s decir, si ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R = A + B, como se muestra en la figura 2 – 5.

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Resta de vectores. La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede ser expresada como

Esta suma vectorial se muestra gráficamente en la figura 2 - 6. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial también se aplican a la resta vectorial.

SUMA VECTORIAL DE FUERZAS La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud específica, dirección y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comunes en estática implican encontrar la fuerza resultante, conocidas sus componentes, o resolver una fuerza conocida en dos componentes. Como se vio en la sección 2.2, ambos problemas requieren de la aplicación de la ley del paralelogramo. Si más de dos fuerzas deben ser sumadas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F1, F2, F3 actúan en un punto 0, figura 2-8, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos F1 + F2, Y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir, F R = (F1 + F2) + F3. Aplicar la ley del paralelogramo para sumar más de dos fuerzas, como vemos aquí, a menudo requiere de 7



extensos cálculos geométricos y trigonométricos para determinar los valores numéricos de la magnitud y la dirección de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo fácilmente son resueltos usando el "método de las componentes rectangulares".

Si conocemos las fuerzas Fa Y Fb que las dos cadenas a y b ejercen sobre el gancho, podemos encontrar su fuerza resultante Fe aplicando la ley del paralelogramo. Esto requiere trazar líneas paralelas a a y b desde las cabezas de Fa Y Fb tal como se muestra, formando así un paralelogramo. De manera similar, si se conoce la fuerza Fe a lo largo de la cadena e, entonces sus dos componentes Fa Y Fb que actúan a lo largo de a y b, pueden ser determinadas aplicando la ley del paralelogramo. Aquí debemos comenzar en la cabeza de Fe y construir líneas paralelas a a y b, formando así el paralelogramo.

8



EJEMPLO

 

1.1. La armella roscada que se ve en la figura 2-10a está sometida a dos fuerzas F y F . Determine la magnitud y la dirección de a fuerza resultante.

9



Solución Ley del paralelogramo. La ley de adición del paralelogramo se muestra en la figura 2-10b. Las dos incógnitas son la magnitud de F y el ángulo (teta).

θ



Trigonometría. A partir de la figura 2-10b, se construye el triangulo vectorial, figura 2-10c. F se determina usando la ley de los cosenos:





F = =

 





(100N) + (150N) – 2(100N)(150N) cos 115°

−

−

10000 + 22500 30000( 0.4226 = 212.6 N = 213 N

θ



El ángulo se determina aplicando la ley de los senos, usando el valor calculado de F . 150 N sin

θ

sin =

ϕ

θ

212.6 N sin 115°

150 N 212.6 N

θ 

=

(0.9063)

= 39.8°

Así, la dirección (fi) de F , medida desde la horizontal, es

ϕ

∡

= 39.8° + 15.0° = 54.8°

10



EJEMPLO 1.2. Resuelva la fuerza de 200 lb que actúa sobre el tubo, figura 2-11a, en componente a las direcciones (a) x y y, y en las direcciones (b) x ´ y y.

Solución En cada caso se usa la ley del paralelogramo para resolver F en sus dos componentes, y luego se construye el triángulo vectorial para determinar los resultados numéricos por trigonometría.



Parte (a). La suma vectorial F = F ´ + F se muestra en la figura 2-11b. En particular, advierta que la longitud de las componentes se ha trazado a escala a lo largo de los ejes x y y construyendo primero líneas desde la punta de F paralelas a los ejes de acuerdo con la ley del paralelogramo. A partir del triángulo vectorial, figura 2-11c.

paralelogramo. Aplicando la ley de los senos y usando los datos del triángulo vectorial, figura 2-11e, se obtiene: F

200 lb = sin 50° sin60° ´

F ´ = 200 lb



sin 50° sin 60°



= 177 lb



F

200 lb = sin 70° sin60°



F = 200 lb



sin70° sin60°



= 217 lb

 F = 200 lb sin 40° = 129 lb Parte (b). La suma vectorial F = F + F

F = 200 lb cos 40° = 153 lb

´

se muestra en la figura 2-11d. Observe cuidadosamente cómo se construye el

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EJEMPLO 1.3. La fuerza F que actúa sobre la estructura mostrada en la figura 2-12a tiene una magnitud de 500 N y debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de las barras AB y AC. Determine el ángulo , medido bajo la horizontal, de la manera que la componente F esté dirigida de A hacia C y tenga una magnitud de 400 N.

θ



Solución Usando la ley del paralelogramo, la suma vectorial de las componentes da la resultante mostrada en la figura 2-12b. Observe cuidadosamente cómo la fuerza resultante es resuelta en las dos componentes F y F , las cuales tienen líneas de acción especificadas. El correspondiente triángulo vectorial se muestra en la figura 2-12c. El ángulo puede ser determinando usando la ley de los senos:





ϕ

400 N sin

ϕ 

sin =

ϕ

=



400 N 500 N

ϕ

500 N sin 60°

sin 60° = O. 6928

= 43.9°

Por consiguiente,

θ

θ

− −

= 180°

60°

∢

43.9° = 76.1°

Usando este valor para , aplique la ley de los cosenos o la de los senos y muestre que F tiene una magnitud de 561 N. Advierta que F también puede estar dirigida a un ángulo por arriba de la horizontal, como se muestra en la figura 2-12d, y aún producir la componente requerida F . Demuestre que en este caso = 16.1° y F = 161 N.



θ



θ



12



EJEMPLO

 

1.4. El anillo mostrado en la figura 2-13a está sometido a dos fuerzas, F y F . Si se reqiere que la fuerza resultante tenga magnitud de 1 KN y esté dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las magnitudes de F y F si = 30°, y (b) las magnitudes de F y F si F debe ser mínima.



θ









Solución Parte (a). En la figura 2-13b se muestra un croquis de la suma vectorial según la ley del paralelogramo. A partir del triángulo vectorial construido en la figura 2-13c, las magnitudes desconocidas F y F se determinan usando la ley de los senos:

 



F

sin 30°

=

1000 N sin 130°

653 N

F



F

sin 20°

=

1000 N sin 130°



F = 446 N

θ



Parte (b). Si no está especificado, entonces, por el triángulo vectorial, figura 2-13d, F puede ser sumada a F de varias maneras para obtener la fuerza resultante de 1000 N. En particular, la longitud mínima o la magnitud de F ocurrirá cuando su línea de acción sea perpendicular a F . Cualquier otra dirección, como OA u OB, dará un valor mayor para F . Por consiguiente, cuando = 90° 20° = 70°, F es mínima. A partir del triángulo mostrado en la figura 2-13e, se ve que:









θ

−





F = 1000 sin70°N = 940 N

13





F = 1000 cos 70°N = 342 N

EJERCICIOS 1 Lee detenidamente los siguientes enunciados y resuelve lo que se pide (toma en cuenta los ejemplos anteriores)



 

1.1. Determine la magnitud de la fuerza resultante F = F + F y su dirección, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

14




 




 − F.

1.2. Determine la magnitud de la fuerza resultante si: (a) F = F + F ; (b) F´ = F



 

1.3. Determine la magnitud de la fuerza resultante (a) F = F + F así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.



 

1.4. Determine la magnitud de la fuerza resultante F = F + F y su dirección, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje u positivo.



1.5. Resuelva la fuerza F en componentes que actúen a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes.



1.6. Resuelva la fuerza F en componentes que actúen a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes.



θ

1.7. La placa está sometida a las fuerzas en A y B, como se muestra. Si = 60°, determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su dirección medida desde la horizontal.

θ

1.8. Determine el ángulo para conectar la barra A a la placa, de manera que la fuerza resultante de F y F esté dirigida horizontalmente hacia la derecha. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

 

1-9. la fuerza vertical F actúa hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F = 500 N. 1-10. Resuelva el problema 1-9 con F = 350 lb.

1-11. la fuerza que actúa sobre el diente del engrane es F = 20 lb. Resuelva esta fuerza en dos componentes actuando a lo largo de las líneas aa y bb. 1-12. se requiere que la componente de la fuerza F que actúa a lo largo de la línea aa sea de 30lb. Determine la magnitud de F y su componente a lo largo de la línea bb.



1-13. la fuerza de 500 lb que actúa sobre una estructura debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC si la componente de la fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 lb, dirigida de A a C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 lb.

1-14. el poste va a ser extraído del terreno usando dos cuerdas A y B. la cuerda A estará sometida a una fuerza de 600 lb y será dirigida a 60° desde la horizontal. Si la fuerza resultante que actúa sobre el poste va a ser de 1200 lb, vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B i el correspondiente ángulo θ.



1-15. determine el ángulo de diseño θ (0°≤ θ≤90°) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la componente de la fuerza que actúa a lo largo de la barra AB? Considere θ = 40°. 1-16. determine el ángulo de diseño ø (0°≤ ø ≤90°) entre las barras AB y AC de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 600 lb actuando hacia arriba y hacia la izquierda, en la misma dirección que B hacia A. considere θ = 30°.

1-18. dos fuerzas son aplicadas en el extremo de una armella roscada para extraer el poste. Determine el ángulo θ (0°≤ θ≤90°) y la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante sobre el poste este dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N.





1.3 CONCEPTOS DE CANTIDADES FÍSICAS Cantidades básicas. Las siguientes cuatro cantidades se usan en toda la mecánica. Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico. Una vez definida una unidad estándar de longitud, podemos establecer cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de la longitud unitaria. Tiempo. El tiempo es concebido como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la estática son independientes del tiempo, esta cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinámica. Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a cambios de velocidad. Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un "empuje" o un "jalón" ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o a través de una distancia cuando los cuerpos están físicamente separados. Ejemplos del último tipo incluyen las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas. En todo caso, una fuerza se caracteriza completamente por medio de su magnitud, su dirección y su punto de aplicación. Partícula. Una partícula tiene masa, pero un tamaño que puede ser ignorado. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por tanto, la Tierra puede ser modelada como una partícula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un cuerpo es idealizado como una partícula, los principios de la mecánica se reducen a una forma un tanto simplificada ya que la geometría del cuerpo no estará implicada en el análisis del problema. Cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede ser considerado como una combinación de un gran número de partículas en la que todas las partículas permanecen a una distancia fija unas de otras antes y después de aplicar una carga. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que ocurren en máquinas, mecanismos y estructuras similares son relativamente pequeñas, y la hipótesis de cuerpo rígido es la adecuada para el análisis. Peso. El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Un cuerpo de masa el doble que otro, pesa también el doble. Se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, onzas-fuerza, etc. Inercia. Es la propiedad de los cuerpos que hace que éstos tiendan a conservar su estado de reposo o de movimiento. La inercia es una propiedad mensurable. Su medida



se llama masa. A la primera ley de Newton se le conoce como ley de la Inercia, ya que describe con precisión el comportamiento de la inercia. Fricción. Del latín frict ĭo, fricción es la acción y efecto de friccionar (restregar, frotar mucho). Se conoce como fuerza de fricción a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre otra, o a la fuerza opuesta al inicio de un movimiento. Como fuerza, se origina por las imperfecciones entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones, que pueden ser microscópicas, generan un ángulo de rozamiento. Velocidad. Magnitud vectorial física que relaciona el desplazamiento que realiza un móvil entre dos posiciones con el tiempo que tarda en desplazarse. La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.

Aceleración. La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa. La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia. Las tres leyes del movimiento de Newton . Todo el tema de la mecánica del cuerpo

rígido está formulado con base en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa en la observación experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula medido desde un marco de referencia no acelerado. Con relación a la figura 1-1, las leyes del movimiento de Newton pueden ser enunciadas brevemente como sigue. Primera ley. Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no esté sometida a una fuerza que no está balanceada. Segunda ley. Una partícula sobre la que actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza: Si F es aplicada a una partícula de masa m, esta ley puede expresarse matemáticamente como F = ma (1-1) Tercera ley. Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales.



SISTEMA INTERNACIONAL

Unidades SI. El Sistema Internacional de unidades, abreviado SI. Como se muestra en la tabla 1 - 1, el SI especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F=ma. Así, 1 newton es igual a una fuerza requerida para dar a 1 kilogramo de masa una aceleración de 1 m/s2 (N= kg.m/s2).

Por ejemplo el peso se calcula de la siguiente forma:



CONVERSIÓN DE UNIDADES. Conversión de unidades. La tabla 1 - 2 proporciona un conjunto de factores de conversión directa entre unidades FPS y SI para las cantidades básicas. Recuérdese, además, que en el sistema FPS 1 pie=12 pulg (pulgadas), 5280 pies = 1 mi (milla), y 2000 lb=1 ton (tonelada).



Prefijos. Cuando una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las unidades usadas para definir su tamaño pueden ser modificadas mediante un prefijo. Algunos de los prefijos usados en el SI se muestran en la tabla 1- 3. Cada uno representa un múltiplo o un submúltiplo de una unidad que, si es aplicada sucesivamente, mueve el punto decimal de una cantidad numérica a cada tercer lugar: Por ejemplo, 4 000 000 N=4 000 kN (kilo-newton) = 4 MN (mega-newton), o 0.005 m= 5 mm (milímetros). Advierta que el SI no incluye el múltiplo deca (10) o el submúltiplo centi (0.01), los cuales forman parte del sistema métrico. Excepto por algunas medidas de volumen y área, el uso de esos prefijos debe evitarse en ciencia e ingeniería.

Reglas para el uso de las unidades





EJEMPLO 1.1 Evalué cada una de las siguientes cantidades y expréselas en unidades SI con un prefijo apropiado; (a) (500 mN) (6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN) , (C) 45MN / 900 Gg.





Solución Primero convierta cada número a unidades básicas, efectué las operaciones indicadas, y luego elija un prefijo apropiado. Parte (a)





(500 mN) (6 GN) = [50(10 ) N][6(10 ) N]

      = 300 (10 ) N ( )(  ) = 300 KN Tenga en cuenta la conversión KN = (KN) = 10 N (Regla de 4 en la pagina 9). = 300 (10 ) N

Parte (b)



   = [400(10 ) m]0.36(10 N  = 144 (10 ) m · N = 144 Gm · N

(400 mm) (0.6 MN) = [400(10 ) m][0. 6(10 ) N] )

Podemos escribir también





       = 0.144 m · MN 

144 (10 ) m · N = 144 (10 ) m · N

Parte (c)



45 MN /900 Gg =

     (

(

)

)

 

= 0.05(10 )N /kg



  )  = 0.05(10 )kN / kg = 50 kN /kg = 0.05(10 )N (

Aquí hemos usado las reglas 4 y 8 e la pagina 9. EJEMPLO 1.2



Convierta las cantidades 300 lb·s y 52 slug/pies a las unidades SI apropiadas. Solución Usando la tabla 1-2, tenemos que 1 lb = 4.4482 N. 300 lb·s = 300 lb·s

   .

=13345 N·s = 1.33 kN·s También, 1 slug = 14.5938 kg y 1 pie = 0.3048 m.

           = 26.8(10 )kg/m = 26.8 mg/m .

52 slug/pies =

.

EJEMPLO 1.3 Convierta 2 km/h a m/s. ¿Cuánto es esto en pies/s? Solución Como un km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversión se arreglan en el siguiente orden, de manera que una cancelación de las unidades pueda ser aplicada. 2 km/h =

          =   = 0.556 m/s

A partir de la tabla 1-2, sabemos que 1 pie = 0.3048 m. entonces 0.556 m/s =

        .

.



= 1.82 pies/s

EJERCICIOS 2 Lee detenidamente los siguientes enunciados y responde lo que se te pide (toma en cuenta los ejemplos anteriores) 1.1. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas (a) 4.65735 m, (b) 55.578 s, (c) 4555 N, (d) 2768 kg.



1.2. La madera tiene una densidad de 4.70 eslug/pie . ¿Cuál es su densidad expresada en SI? 1.3. Representa cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg. (b) 35.3(10 )N, (C) 0 .00532 km.



1.4. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) m/ms, (b) µkm, (c) ks/mg, y (d) km·µN.

1.5. Si un automóvil está viajando a 55 mi/h, determine su rapidez en kilómetros por hora y en metros por segundo. 1.6. Evalué cada una de las siguientes cantidades y expréselas con un prefijo apropiado: (a) (430 kg) , (b) (0.002 mg) , y (c) (230 kg) .









1.7. Un cohete tiene una masa de 250 (10 ) slugs sobre la tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete esta en la luna, donde la aceleración de la gravedad es 8 = 5.30 pies/s , determine con tres cifras significativas (c) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI.





1.8. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma SI correcta: (a) kN/µs, (b) Mg/Mn, y (c) MN/ (kg·ms).

1.9. El pascal (Pa) es una unidad de presión muy pequeña. Para mostrar esto, convierta 1 Pa = 1 N/m a lb/pie . la presión atmosférica al nivel del mar es de 14.7 lb/pie ¿a cuantos pascales corresponde esto?







1.10. Convierta cada una de las siguientes cantidades y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado (a) 175 lb/pies a kN/m , (b) 6 pies/h a mm/s, y (c) 835 lb·pie a kN·m.





1.11. Convierta cada una de las siguientes cantidades a cantidades con cifras significativas. (a) 20 lb·pie a N·m, (b) 450 lb/pie akN/m , y (c) 15 pies/h a mm/s.





1.12. Si un objeto tiene una masa de 40 slugs, determine su masa en kilogramos.





1.13. El agua tiene densidad de 1.94 slug/pie . ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 1.14. Dos partículas tienen masa de 8 y 12 kg. Respectivamente. Si están separadas a 800 mm, determine la fuerza gravitatoria que actúa entre ella. Compare este resultado con el peso de cada partícula. 1.15. Determine la masa de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN, (c) 60 MN. Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 1.16. Si un hombre pesa 155 lb sobre la tierra, especifique (a) su masa en slugs, (b) su masa en quilogramos, y (c) su peso en newtons. Si el hombre esta en la luna, donde la aceleración de la gravedad es 8 = 5.30 pies/s , determine (d) su peso en libras, y (e) su masa en kilogramos.





1.17. Usando las unidades básicas del SI, muestre que la ecuación 1-2 es dimensionalmente homogénea y da F en newtons. Determine con tres cifras significativas la fuerza gravitatoria que actúa entre dos esferas que se tocan una a otra. La masa de cada esfera es de 200 kg y el radio de 300 mm.

UNIDAD II. ESTÁTICA 2.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como

donde ΣF es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio” . Una partícula sujeta a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. Entonces la resultante de las fuerzas es cero.



Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura 2.27, donde aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A. En la figura 2.28, la resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del polígono. Empezando en el punto O con F1 y acomodando las fuerzas punta a cola, se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto de partida O, así que la resultante R del sistema de fuerzas dado es cero y la partícula está en equilibrio.

PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA. DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE En la práctica, un problema de ingeniería mecánica se deriva de una situación física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se conoce como diagrama espacial. Los métodos de análisis estudiados en las secciones anteriores se aplican a un sistema de fuerzas que actúan sobre una partícula. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre. Por ejemplo, considérese el embalaje de madera de 75 kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29. Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC.



Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diagrama de cuerpo libre debe incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura 2.29b. Ésta muestra al punto A y las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas. La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. De acuerdo con la ecuación (1.4), se escribe W = mg = (75 kg)(9.81 m/s2) = 736 N

y se indica este valor en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocen, pero como son iguales en magnitud a la tensión en la cuerda AB y en la cuerda AC, se representan con T AB y TAC y se dibujan hacia fuera de A en las direcciones mostradas por el diagrama espacial. No se incluyen otros detalles en el



diagrama de cuerpo libre. Puesto que el punto A está en equilibrio, las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura 2.29c. Los vectores TAB y TAc de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la trigonometría. Si se escoge el último método de solución, con la ley de los senos se escribe T AB Sen60



T AC Sen40



736 N

Sen80

Cuando una partícula está en equilibrio bajo tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse dibujando un triángulo de fuerzas. Cuando una partícula está en equilibrio bajo más de tres fuerzas, el problema puede resolverse gráficamente dibujando un polígono de fuerzas. Si se desea una solución analítica, se deben resolver las ecuaciones de equilibrio dadas a continuación:

 F x  0

 F y  0

Estas ecuaciones pueden resolverse para no más de dos incógnitas; en forma semejante, el triángulo de fuerzas usado en el caso de equilibrio bajo tres fuerzas puede resolverse para dos incógnitas. Los tipos más comunes de problemas son aquellos donde las dos incógnitas representan 1) las dos componentes (o la magnitud y dirección) de una sola fuerza, 2) las magnitudes de las dos fuerzas, cada una de dirección conocida. También se encuentran problemas que requieren la determinación del valor máximo o mínimo de la magnitud de una fuerza.



EJEMPLO 2.1. Determine la tensión de los cables AB y AD para mantener en equilibrio el motor de 250 kg mostrado en la figura 3-6a.



Solución Diagrama de cuerpo libre. Para resolver este problema, investigaremos el equilibrio del anillo localizado en A por que esta “partícula” está sometida a las fuerzas de ambos cables AB y AD. Primero, sin embargo, advierta que el motor tiene un peso de (250 kg) (9.81 m/s²)= 2.452 Kn que es soportado por el cable CA. Por tanto, como se muestra en la figura 3-6b, hay tres fuerzas concurrentes que actúan sobre el anillo. Las fuerzas TB TD tiene magnitudes desconocidas pero direcciones conocidas y el cable AC ejerce sobre A una fuerza hacia abajo igual a 2.452 kN.

Ecuaciones de equilibrio. Las dos magnitudes desconocidas TB y TD se pueden obtener a partir de las dos ecuaciones escalares de equilibrio, £Fax=0 y £Fy=0. Para aplicar estas ecuaciones, se establecen los ejesx, y sobre el diagrama de cuerpo libre, y TB debe resolverse en sus componentes x y y . Entonces, ƩFx=0; ƩFy=0;

TB cos 30 – TD = 0 TB sin30= 2.452 kN = 0

(1) (2)



Al despejar TB de la ecuación 2 y sustituirla en la ecuación 1 para obtener TD resulta TB= 4.90 kN respuesta TD= 4.25 kN respuesta La exactitud de esos resultados depende, por supuesto, de la exactitud de los datos, es decir, de las medidas geométricas y de las cargas. En la mayor parte de los trabajos de ingeniería que implican un problema como este, los datos medidos con tres cifras significativas serán adecuados. Observe que aquí hemos ignorado los pesos de los cables, lo que es razonable ya que son pequeños en comparación con el peso del motor.

EJEMPLO 2.2. Si el saco localizado en A en la figura 3-7ª tiene un peso de 20 lb, determine el peso del saco ubicado en B y la fuerza que se necesita en cada cuerda para mantener el sistema en equilibrio en la posición mostrada.

Solución Como el peso de A es conocido, la tensión desconocida en las dos cuerdas EG y EC puede ser determinada investigando el equilibrio del anillo en E. ¿Por qué? Diagrama de cuerpo libre. Hay tres fuerzas actuando sobre E, como muestra la figura 37b.



Ecuación en equilibrio. Al establecer los ejes x, y y resolver cada fuerza en sus componentes x, y usando trigonometría, tenemos ƩFx = 0;

T EG sin 30 - T EC csc45 =0

(1)

Ʃfy = 0;

T EG cos 30 T EC sin45 - 20 lb =0

(2)

Despejando T EG en la ecuación 1 en términos de T EC y sustituyendo el resultado en la ecuación 2, obtenemos una solución para T EC. Luego se obtiene T EG a partir de la ecuación 1. Los resultados son. T EC = 38.6 lb

RESPUESTA

T EG = 54.6 lb

RESPUESTA

Usando el resultado calculado para T EC, el equilibrio del anillo localizado en C puede investigarse ahora para determinar la tensión en CD y el peso de B. Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 3-7c, T EC = 38.6 lb “jalando” a C. la razón de esto resulta clara cuando se traza el diagrama de cuerpo libre de la cuerda CE y se aplican la condición de equilibrio y el principio de acción, que es igual pero opuesto a la fuerza de reacción (tercera ley de Newton), figura 3-7d,



Ecuaciones de equilibrio. Al establecer los ejes x, y observar que las componentes de T CD son proporcionales a la pendiente de la cuerda como está definida por el triangulo 3-45, tenemos ƩFx = 0; Ʃfy = 0;

 T CD = 0

(3)

sin45 lb – W B =0

(4)

38.6 cos 45 lb -

T CD + 38.6

Al resolver la ecuación 3 y sustituir el resultado en la ecuación 4 resulta T CD = 34.2 lb W B = 47.8 lb EJEMPLO 2.3. Determine la longitud requerida de la cuerda AC en la figura 3-8ade manera que la lámpara de 8kg este suspendida en la posición mostrada. La longitud no deformada del resorte AB es IAB = 0.4m, y el resorte tiene rigidez KAB = 300N/m



Solución Si se conoce la fuerza presente en el resorte AB, el alargamiento de este puede hallarse usando F= ks. A partir de la geometría del problema, es posible calcular entonces la longitud requerida de AC. Diagrama de cuerpo libre La lámpara tiene un peso W= 8(9.81)= 78.5N. El diagrama de cuerpo libre del anillo en A se muestra en la figura 3-8b Ecuaciones en equilibrio. Usando los ejes x,y

→∑Fx = 0; + ↑∑  0;

TAB – TAC COS 30° = 0 TAC SEN 30° -- 78.5N = 0

Al resolver estas ecuaciones tenemos TAC = 157.0 N TAB = 136.0 N El logaritmo del resorte ab es entonces

 

TAB = k

;

136.0 N = 300N/m (SAB) SAB = 0.453m

Por lo que la longitud alargada es l AB = l’AB + SAB l AB = 0.4m + 0.453m = 0.853m La distancia horizontal de c a b figura 3—8ª, requiere que 2m = I AC COS 30° + 0.853m I AC = 1.32 m EJERCICIOS 3 Lee los siguientes enunciados y resuelve lo que se te pide, toma en cuenta los ejemplos de equilibrio de partículas 2-1. Determine las magnitudes de F1 y F2 2-3. Determine la magnitud y el ángulo θ de necesarias para que la partícula P este en F1 necesarios para que la partícula P este


equilibrio.


en equilibrio.

2-2. Determine la magnitud y la dirección θ de F necesarias para que la partícula este 2-4. Determine la magnitud y el ángulo θ de en equilibrio. F necesarios para que la partícula este en equilibrio.

2-5. Las barras de una armadura están articuladas en el nudo O. Determine las magnitudes de F1 y F2 por equilibrio. Considere θ = 60°

2-6. Las barras de una armadura están articuladas en el nudo O. determine las 2-8. Determine la fuerza en los cables AB y magnitud de F1 y su ángulo θ por AC necesaria para soportar el semáforo de 12kg equilibrio. Considere F2= 6kN


2-7. El dispositivo mostrado se usa para enderezar los bastidores de autos chocados. Determine la tensión de cada segmento de la cadena, es decir, AB y BC, si la fuerza que el cilindro hidráulico DB ejerce sobre el punto B es de 3.50Kn, como se muestra.


2-9. Cada una de las cuerdas AB y AC puede sostener una tensión máxima de 800lb. Si el tubo pesa 900lb, determine el ángulo θ mas pequeño con que las cuerdas pueden unirse a él.

2-10. El motor en B enrolla la cuerda unida a la caja de 65lb con rapidez constante. Determine la fuerza en la cuerda CD que soporta la polea y el ángulo θ por 2-8. El resorte ABC tiene una rigidez de equilibrio. Ignore el tamaño de la polea en 500N/m y longitud no alargada de 6m. C. Determine la fuerza horizontal F aplicada a la cuerda que está unida a la pequeña 2-11. Cada una de las cuerdas BCA y CD polea en B cuando el desplazamiento de la puede soportar una carga máxima de polea con respecto a la pared es d = 1.5m 100lb. Determine el peso máximo de la caja que puede r levantado a velocidad constante, y el ángulo θ por equilibrio.



3-12. El resorte ABC tiene una rigidez de 500N/m y longitud no alargada de 6m. Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una fuerza F =175 N a la cuerda.

2-14. Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener la bola D de 20kg en equilibrio. Considere F = 300N y d = 1m. 2-13. Determine el peso máximo de la maceta que puede ser soportado sin 3-15. La bola D tiene masa de 20 kg. Si exceder una tensión en el cable de 50lb en una fuerza F= 100N se aplica cualquiera de los cables AB o AC horizontalmente al anillo localizado en A, determine la dimensión d más grande necesaria para que la fuerza en el cable AC sea igual a cero.

2.2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no



cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado que bajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotar y deformarse. Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocen F y M y dejamos para más adelante el problema de cómo calcularlos. Sobre un cuerpo rígido actúan: 1. Fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígidos, son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, causarán que se mueva o aseguraran su reposo. 2. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido puede ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición. La figura 2.1a muestra un ejemplo de fuerzas externas, que actúan sobre un camión descompuesto y es arrastrado por varios hombres hacia adelante por medio de una cuerda. La figura 2.1b muestra un diagrama de cuerpo libre donde se muestran las fuerzas que están actuando en el camión.

a

b Figura 2.1. Fuerza externas, actuando en un cuerpo.

Para que un cuerpo rígido tenga equilibrio estático se debe cumplir que: •

La suma de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración lineal.


•


La suma de momentos que actúen sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración angular

Cuando se aplique la ecuación de equilibrio a cada una de las otras partículas del cuerpo, resultarán ecuaciones similares. Si todas estas ecuaciones se suman vectorialmente obtenemos.

La suma de las fuerzas internas será igual a cero ya que las fuerzas internas entre partículas dentro del cuerpo ocurrirán en pares colineales iguales pero opuestos, de acuerdo con la tercera ley de Newton. En consecuencia, sólo quedará la suma de las fuerzas externas y, por tanto, haciendo la ecuación anterior puede escribirse como

Consideremos ahora los momentos de las fuerzas que actúan sobre la partícula i-ésima con respecto al punto arbitrario O, figura 5-1b. Usando la anterior ecuación de equilibrio de partícula y la ley distributiva del producto cruz tenemos

Ecuaciones similares pueden ser escritas para las otras partículas del cuerpo, y sumándolas vectorialmente obtenemos

El segundo término es cero ya que, como quedó establecido líneas arriba, las fuerzas internas ocurren en parejas colineales iguales pero opuestas, y por tanto, el momento resultante de cada pareja de fuerzas con respecto al punto O es cero. Por consiguiente, usando la notación

, tenemos



Por tanto, las dos ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido pueden ser resumidas como sigue:

Figura 2.2. Momento de una fuerza con respecto a un punto Centro de gravedad Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Centro de masa Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría. En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un sistema. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.



Tipos de apoyo para el análisis del diagrama de cuerpo libre en equilibrio de cuerpos rígidos:

a) Apo yo simple: Restringe un grado de libertad de los tres que posee el cuerpo, puede evitar el cuerpo se mueva hacia arriba, pero permite que se desplace a los lados y que rote. La fuerza de reacción con el cuerpo es perpendicular al apoyo.

b) Articulación: Restringe dos grados de libertad, el cuerpo no se puede desplazar hacia arriba (verticalmente), ni hacia los lados (horizontalmente). La reacción a este tipo de apoyos es una fuerza cuyos componentes se observan en la figura.

c) Empotrado: Restringe los tres grados de libertad. Desplazamiento vertical , horizontal y rotación



EJEMPLO 2.4. Trace el diagrama de cuerpo libre de la palanca de pie mostrado en la figura 5-8a. El operador aplica una fuerza vertical al pedal de manera que el resorte se estira 15 pulgadas y la fuerza en el eslabón corto en B es de 20 lb.

SOLUCION Por inspección, la palanca esta unida al bastidor del camión en A por medio de un perno flojo. La barra en B está articulada en sus extremos y actúa como un “eslabón corto”. Después de efectuar las mediciones apropiadas, el modelo idealizado de la palanca se muestra en la figura 5-8b. A partir de aquí se debe trazar el diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 5-8c, el soporte de pasador en A ejerce las componentes de fuerza Ax y Ay sobre la palanca; cada fuerza tiene línea de acción conocida pero magnitud desconocida. El eslabón en B ejerce una fuerza de 20 lb, actuando en la dirección del eslabón. A demás el resorte ejerce también una fuerza horizontal sobre la palanca. Si se mide la rigidez y se encuentra que es k= 20 lb/pulg, entonces, como el alargamiento s = 1.5 pulg, con la ecuación 3-2 Fs = ks = 20 lb/pulg (1.5 pulg) = 30 lb. Finalmente el zapato del operador aplica una fuerza vertical de F sobre el pedal. Las dimensiones de la palanca se muestran también sobre el diagrama de cuerpo libre, ya que esta información ya que esta información será de utilidad al calcular los momentos de las fuerzas. Como siempre los sentidos de las fuerzas desconocidas en A se han supuesto. Los sentidos correctos se obtendrán después de resolver las ecuaciones de equilibrio.



EJEMPLO 2.5. Dos tubos lisos, cada uno con masa de 300 kg, están soportados por la horquilla del tractor en la figura 5-9a. Trace los diagramas de cuerpo libre para cada tubo y para ambos tubos juntos.

SOLUCION El modelo idealizado a partir del cual debemos dibujar los diagramas de cuerpo libre se muestra en la figura 5-9b. Aquí los tubos están identificados, las dimensiones han sido agregadas y la situación física reducida a su forma más simple. El diagrama de cuerpo libre para el tubo A se muestra en la figura 5-9c. Su peso es W = 300 (9.81) = 2943 N. suponiendo que todas las superficies de contacto son lisas, las fuerzas reactivas T, F, R actúan en una dirección normal a la tangente en sus superficies de contacto.



El diagrama de cuerpo libre del tubo B se muestra en la figura 5-9d. ¿Puede usted identificar cada una de las fuerzas que actúan sobre ese tubo? En particular, observe que R, que representa la fuerza de A sobre B, figura 5-9d, es igual y opuesta a R que representa la fuerza de B sobre A, figura 5-9c. Esto es una consecuencia de la tercera ley del movimiento de Newton. El diagrama de cuerpo libre de ambos tubos combinados (“sistema”) se muestra en la figura 5-9e. Aquí, la fuerza de contacto R, que actúa entre A y B, es considerada como una fuerza interna y por ello no se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Esto es, representa un par de fuerzas coloniales iguales pero opuestas que se cancelan entre sí. EJEMPLO 2.6. El malacate que muestra la figura 5-31a esta soportada por un cojinete de empuje en A y cojinete liso en B, los cuales están alineados apropiadamente sobre la flecha. Determine la magnitud de la fuerza vertical P que deba aplicarse al manubrio para mantener el equilibrio de la cubeta de 100 kg. También calcule las reacciones en las chumaceras.

SOLUCION (ANALISIS ESCALAR) Diagrama de cuerpo libre. Como los cojinetes en A y B están alineados correctamente en eso soportes solo ocurren reacciones de fuerza, figura 5-31b. ¿Por qué no hay reacciones de momento? Ecuación de equilibrio. Sumando momentos con respeto al eje X se obtiene una solución directa para P. ¿por qué? Para efectuar una suma escalar de momentos, es necesario determinar el momento de cada fuerza como el producto de la magnitud de la fuerza y la distancia perpendicular del eje X ala linea de acción de fuerza. Usando la regla de la mano derecha y suponiendo que los momentos positivos actúan en la dirección +i, tenemos



ƩM =0



981N (0.1m) – p(0.3cos 30 m) = 0

P= 377.6 N

resp.



Al emplear este resultado y sumar momentos con respeto a los ejes Y y Z resulta.



ƩM =0



-981N (0.5m)+ A (0.8m)+ (377.6N)(0.4m)=0



A =424.3N

resp.



ƩM =0;

-A





(0.8m)= 0

A =0.

Las reacciones en B son determinadas mediante una suma de fuerzas usando estos resultados.

 Ʃf  =0; Ʃf  =0; Ʃf =0;



A =0





0+B = 0

B =0





4243-9081+ B - 377.6 = 0

B = 934 N

resp.

EJEMPLO 2.7. Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O, b) la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O, c) la fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O, d) qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo momento con respecto a O y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es equivalente a la fuerza original.

SOLUCIÓN a) Momento con respecto a O. La distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la fuerza de 100 lb es





= (24



) cos 60° = 12

La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O es igual a

  =

 

= ( 100

)( 12

∙ 

) = 1200



Como la fuerza tiende a hacer rotar la palanca alrededor de O en el sentido de las manecillas del reloj, el momento será representado por un vector perpendicular al plano de la figura y que apunta hacia adentro del plano de papel. Este hecho se expresa escribiendo





= 1200

∙  ↻

b) Fuerza horizontal. En este caso se tiene que





= (24



) sen 60° = 20.8

Como el momento con respecto a O debe ser igual a 1200 lb.plg, se escribe

  ∙     → =

1200

=

(20.8

)

= 57.7

c) Fuerza mínima. Como

 , el mínimo valor de F se obtiene cuando d es máximo. =

Se selecciona la fuerza perpendicular a OA y se observa que = 24 ; entonces

 

   ∙     ∢30° =

1200

=

(24

)

= 50

  proporciona la siguiente relación       Pero    

d) Fuerza vertical de 240 lb. En este caso 1200

.

=

= (240

)

= 5

cos 60° = = 10



e) Ninguna de las fuerzas consideradas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerza original de 100 lb. A pesar de que estas fuerzas tienen el mismo momento con respecto a O, sus componentes en x, y son diferentes. En otras palabras, a pesar de que cada una de las fuerzas hace rotar la flecha de la misma forma, cada una ocasiona que la palanca jale a la flecha en una forma distinta. EJEMPLO 2.8. Determine las componentes de par simple que es equivalente a los dos pares mostrados.

SOLUCION Los cálculos se simplificaran si se fijan en A dos fuerzas de 20lb iguales y opuestas. Esto permitirá reemplazar al paro original de las fuerzas de 20lb por dos nuevos pares originados por fuerzas de 20lb, unos de los cuales encuentra en el plano ZX; el otro se encuentra en el plano paralelo al plano xy; los tres pares mostrados en el croquis adjunto pueden ser representados por tres vectores de par M , M y M dirigidos a lo largo de los ejes coordenados. Los momentos correspondientes son

 

∙  M=+(20lb)(12in)= +240lb∙in M=+(20lb)(9in)=+180lb∙in M =-(30lb)(18in)=-540lb in





Estos tres momentos representas las componentes del par simple M equivalentes a los pares dados. Así se escribe

∙

∙

∙

M=-(540lb in)i+(240lb in)j+(180lb in)k SOLUCION ALTERTNATIVA. Las componentes del par equivalente simple M también pueden ser determinadas calculando la suma de los momentos de las 4 fuerzas dadas con respeto a un punto arbitrario si se elige el punto D. Se escribe



M=M =(18in)j x (-30lb)k+[{9in}j-{12in}k] x (-20lb)i Y después de calcular los diversos productos cruz se tiene

∙

∙

∙

M=-(540lb in)I+(240lb in)j+(180lb in)k

EJEMPLO 2.9. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada en la figura 6-8a e indique si los miembros estañen compresión o en tensión. SOLUCION: Por inspección de la figura 6-8ª, vemos que hay dos fuerzas de miembro desconocidas en el nudo B, dos fuerzas de miembro desconocidas de reacción en el nudo C, y dos fuerzas de miembros desconocidas y dos fuerzas de reacción desconocidas en el nudo A. como no debemos de tener más de dos incógnitas en el nudo, y por lo menos contar con una fuerza conocida actuando ahí, comenzaremos el análisis en la junta B. Como la fuerza en el miembro BC ha sido calculada, podemos proceder a analizar el nudo C para determinar la fuerza en el miembro CA y reacción en el soporte de mecedora. NUDO C: a partir del diagrama del cuerpo libre del nudo C, tenemos. +

→   −  f = 0; F



+ 707.1cos 45°N = 0 F

= 500N ( T)

NUDO B: El diagrama de cuerpo libre del pasador ubicado en B se muestra en la figura 68b, aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos. +

→  

− 

f = 0; 500N

F

 = 707.1N (C)

SEN 45° = 0 F



RESP. +

↑  

 COS 45° − F = 0 F = 500N (T)

F = 0; F

RESP. Nudo c. A partir del diagrama de cuerpo libre del nudo c. fig. 68c tenemos + +

↑ ∑  ↑ ∑▒

F = 0;

−

fca + 707.1cos45N = 0FCA = 500N (T)

〖F_Y = 0;

− − CY

707.1sen45N = 0FCA = 500N 〗

Nudo A. Aunque no es necesario podemos determinar las reacciones en el soporte A usando los resultados de Fca=500N y Fba=500N. Apartar del diagrama de cuerpo libre. + +

↑   ↑ ∑ 

− −

F = 0; 500

Ax = 0 Ax = 500N

F = 0; 500N

Ay = 0 Ay = 500N

Los resultados del análisis están reunidos en la fig. 6-8 observe que el diagrama de cuerpo libre de cada pasador muestra los defectos de todos los miembros conectados y las fuerzas externas aplicadas al pasador mientras que el diagrama de cuerpo libre de cada miembro muestra solo los defectos de los pasadores extremos sobre el miembro.

EJEMPLO 2.10. El marco mostrado en la figura sostiene una parte de un pequeño edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150KN determine la reacción en el extremo fijo E.

SOLUCION Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del marco junto con el cable BDF. La reacción en el extremo fijo esta representada con los componentes de la fuerza Ex y Ey y por el par Me. Las otras fuerzas que están sobre el diagrama de cuerpo



libre son las cuatro cargar de 30KN y la fuerza de 150KN ejercida en el extremo F del cable. Ecuación de equilibrio



Obtener DF= (45m) +

↑Σ

 + (6m)  Ex+45/75(150KN)=0

Fx = 0

Ex= -90KN +

↑Σ

Fy= 0

Ey -4(20KN) - 6/75 (150KN)=0

Ey= +200KN

⤺Σ

0 6/7.5(150KN)(4.5m)Me=0 +

me=

Ex=-90.0KN

Ey=200KN (20KN)(7.2M)+(20KN)(5.4M)+(20KN)(3.6m)+(20KN)(1.8m)

Me=+180 KN.M

Me=180.0KN.m

EJERCICIOS 4. Lee cuidadosamente los siguientes enunciados y realiza lo que se te pide, toma en cuenta los ejemplos para equilibrio de cuerpos rígidos. 2.15. Trace el diagrama de cuerpo libre del cilindro de papel de 50kg de masa en G y descansa sobre la arquilla lisa del transportador de papel. Explica la importancia de cada fuerza que actúa sobre el diagrama.

2.16. Trace el diagrama de cuerpo libre de la perforadora manual que está articulada en A y se apoya sobre la superficie lisa en B



2.17. Trace el diagrama de cuerpo libre de la caja basculante D del camino, la cual tiene un peso de 5000 lb y de centro de gravedad en G. la caja esta soportada por un pasador en A y un cilindro hidráulico BC conectado mediante un pasador (es la bon corto). Explicar en el diagrama la importancia de cada fuerza.

2.18. Trace el diagrama de cuerpo libre de la grúa AB que está conectada mediante un pasador colocado en A y es soportada por el miembro BC (eslabón)

2.19. Trace el diagrama de cuerpo libre de la armadura que esta soportada por el cable AB y el pasador C. Explique la importancia de cada fuerza que actúa sobre el diagrama.



2.20. Determine la magnitud de las reacciones sobre la viga en A y B. Ignore el espesor de la viga.

2.21. Determine la reacción en el soporte A y B del marco

2.22. Al sostener la piedra de 5 lb en equilibrio, el humero H, supuesto lisa, ejerce fuerzas normales Fca. y Fa sobre el radio C y el cubito A como se muestra. Determine esas fuerzas y la fuerza Fz que es el bíceps B ejerce sobre el radio par de equilibrio: la piedra tiene su centro de masa en G ignore el peso del brazo.



2.23. Determine la magnitud de la fuerza presente en el pasador situado en A y en el cable BC necesarias para soporte de carga de 500 lb. Ignore el peso del pescante AB.

2.25. Determine las reacciones en las pasadoras A y B. el soporte tiene una longitud no alargada de 80 mm

2.26. El trabajador usa la carretilla para transportar material hacia abajo por la rampa. Si la carretilla y su contenido son mantenidos en la posición mostrada y tienen un peso de 100 lb con centro de gravedad en G. Determine la fuerza normal resultante de ambas ruedas sobre el terreno A y la magnitud de la fuerza requerida en el mango B.



2.27. Un tablón soporta el motor eléctrico que tiene una masa de 15kg y centro de masa en G . La ménsula sobre la que descanse el tablón tiene una masa de 4 kg y centro de masa en G . Suponiendo que un solo perno colocado en B mantiene la estructura en su posición y que la ménsula se apoya sobre la pared lisa localizada en A. determine esta fuerza normal en A y los componentes de reacción horizontal y vertical de perno sobre la ménsula.





2.28. El malacate está sometido a una carga de 150 lb. Determine la fuerza horizontal P necesaria para mantener la manija en la posición mostrada y las componentes de reacción en la rotula esférica A y la chumacera lisa B. La chumacera en B está alineada correctamente y solo ejerce fuerzas de reacción sobre el malacate.

2.29. Determine las reacciones en los soportes A y B por equilibrio de la viga



2.30. El mástil sobre un camión de 4300 kg se usa para descargar de la plataforma el grupo de tablillas de 1600 kg que se muestran en la figura. Determine la reacción en las llantas: a) traseras B y b) delanteras C

2.31. Dos niños están parados sobre un trampolín de 65 kg de masa. Si se sabe que las masas de los niños en G y D son respectivamente, 28 kg y 40 kg determine: a) la reacción en A y b) la reacción en B.

2.32. Dos cajas, cada una con un peso 250 lb, se colocan en la parte trasera de una camioneta de 3000 lb, como se muestra en la figura. Determine las reacciones de las llantas: a) traseras A y b) delanteras B.

2.33. Una fuerza vertical de 50 lb actúa sobre la manivela. Determine la fuerza horizontal P de equilibrio que debe aplicarse al mango y a las componentes x, y , z , de reacción en



la chumacera lisa A y en la chumacera B de empuje. Las chumaceras están alineadas correctamente y ejercen solo fuerzas de reacción sobre la flecha.

2.34. Los cables ejercen las fuerzas mostradas sobre el poste. Suponiendo que el poste esta soportado por una rotula esférica en su base, determine las componentes de reacción en A. Las fuerzas de 140 lb y 75 lb se encuentran en un plano horizontal.

UNIDAD III. CINEMÁTICA La dinámica se clasifica en cinemática y cinética. La cinética se refiere a las relaciones entre las fuerzas que actúan en el cuerpo y el movimiento resultante. Por otra parte, la



cinemática es el estudio de la geometría en movimiento; no analiza las causas del movimiento. A su vez, la cinemática puede dividirse en movimiento absoluto y movimiento relativo. El término movimiento absoluto se refiere cuando el movimiento se describe con respecto a un marco fijo de referencia (sistema de coordenadas); el movimiento relativo, describe el movimiento describe el movimiento con respecto a un sistema móvil de coordenadas.

3.1 MOVIMIENTO La forma más simple del movimiento es el cambio de posición de un objeto en el espacio. 

Posición

Para determinar la posición de un cuerpo en el espacio es necesario referir dicha posición en relación con otro cuerpo denominado entonces cuerpo de referencia. Su selección es arbitraria, puede ser un árbol, una casa, el Sol, etc. Esto implica que la posición de un cuerpo es una magnitud relativa, dependiente del objeto tomado como cuerpo de referencia. Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria uniforme (figura 11.3). El vector de posición r(t) indica la posición de la partícula en el tiempo t , dibujado desde el origen fijo O a la partícula. A indica la posición de la partícula en el tiempo t , y B en el tiempo + , donde es un intervalo finito de tiempo.

 ∆

∆

El cambio correspondiente en el vector de posición de la partícula es,

∆   ∆ −   =

( +

)

( )

(1)

Se denomina vector d e desplazamiento de la partícula. 

Velocidad



El movimiento de un cuerpo puede variar según la rapidez o velocidad, la trayectoria, la dirección y el sentido de la fuerza. La trayectoria es el camino recorrido por el móvil. La velocidad se calcula comparando la distancia que se recorre en un tiempo determinado, lo que se tarda en recorrer la distancia. La velocidad de la partícula en el tiempo t se define como



( ) = lim

∆→ ∆∆ = ̇()

(2)

el punto sobre la r denota diferenciación con respecto al tiempo. Como la velocidad es la derivada de la función vectorial r(t), también es un vector. En la figura 11.3 se observa que se convierte en tangente a la trayectoria en A conforme 0 . En consecuencia, el vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula.

∆

∆ →

∆ → ∆

∆ →

De la figura 11.3 deducimos que | | a medida que 0 . Por lo tanto, la magnitud de la velocidad, conocida también como velocidad lineal o velocidad instantánea de la partícula, es



( ) = lim

∆→ ∆∆ = lim∆→ ∆∆ = ̇() |

|

(3)

Finalmente se puede deducir que la velocidad instantánea se puede escribir como



=

 

(3.1)

Por lo tanto la velocidad promedio es

 

=

∆ ∆

(3.2)

La dimensión de la velocidad es [L/T], por lo que la unidad de velocidad es m/s o pie/s. Rapidez Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un tiempo determinado. Un auto, por ejemplo, recorre un cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una medida de que tan aprisa se mueve un objeto. Es la razón de cambio a la que se recorre la distancia. Recuerda que la expresión razón de cambio indica que estamos dividiendo alguna cantidad entre el tiempo. La rapidez se mide siempre en términos de una unidad de distancia divida entre una unidad de tiempo. La rapidez se define como la distancia recorrida por unidad de tiempo. Aquí la palabra "por" significa "dividido entre". Rapidez promedio = distancia total recorrida / intervalo de tiempo 

Aceleraci ón



La palabra aceleración está presente en muchas situaciones de nuestra vida diaria, tanto es así que incluso uno de los pedales en el automóvil se llama “acelerador”. Siempre se utiliza asociada a un movimiento. Sin embargo, el significado que se le da habitualmente no corresponde exactamente al significado que se le da en Física. La aceleración mide directamente la rapidez con que cambia la velocidad. Si un vehículo se desplaza por una carretera, su velocidad varía muchas veces durante el viaje; estos cambios en la velocidad se deben porque es imposible mantener una velocidad constante durante un trayecto ya que pueden ocurrir situaciones que obliguen al conductor a aumentar la misma o a disminuirla. Los vectores de velocidad de la partícula en A (tiempo t ) y B (tiempo t+Δt ) se muestra en la figura 11.4(a). Nótese que ambos vectores son tangentes a la trayectoria. El cambio en la velocidad durante el intervalo de tiempo Δt se muestra en la figura 11.4 (b), es

∆   ∆ −   =

( +

)

( )

(4)

La aceleración de la partícula en el tiempo t se define como

∆→ ∆∆ = ̇() = ̈()



( ) = lim

(5)

Por lo tanto se puede definir la aceleración instantánea como



=

 =   

(5.1)

Y la aceleración promedio se obtiene de



=

∆ ∆

(5.2)

La aceleración es un vector de dimensión [L/T2], por lo que su unidad es m/s2 o pie/s2.



Nota. El vector de aceleración es generalmente no tangente a la trayectoria de la partícula. La dirección de la aceleración coincide con Δv a medida que 0, que, como se ve en la figura 11.4 (b) no está necesariamente en la misma dirección que v .

∆ →

A menudo se encuentran dos tipos de movimientos: el movimiento rectilíneo uniforme, en el cual la velocidad v de la partícula es constante y

   =

+

Y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el cual la aceleración a de la partícula es constante y se tiene

              − =

+

=

+

=

+

+ 2 (

)

EJEMPLO 3.1. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x se detiene por x= 3r +12r -6 pies, donde t está en segundos. Para el intervalo de tiempo t=0 a t= 3 s. trace la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo; 2) calcule la distancia recorrida y 3) determine el desplazamiento de la partícula.



Solución Parte 1. Debido a que el movimiento es rectilíneo, la velocidad y aceleración se pueden (a) calcular como sigue: x= 3t + 12t 6 pies y=

 = −6t + 12 pies ̸s  a=

−

dv dx = = dt dt



−



( b)

−

̸ 

6 pies s

(c)

Estas funciones están graficadas en las figuras de la (a) a la (c) ara intervalo prescrito de tiempo t = 0 a t = 3s. Nótese que a grafica de x es parabólica, de modo que diferenciaciones sucesivas producen una función lineal para la velocidad y un valor constante para la aceleración. El tiempo correspondiente al valor máximo (o mínimo) de x se puede hallar al hacer dx dt = 0, o al utilizar la ecuación (b), v = 6t + 12 = 0, que queda t = 2 s. Al sustituir t = 2s en la ecuación (a) encontramos.

⁄

−


x


 = −3(2) + 12(2) − 6 = 6 pies

Parte 2 La figura (d) muestra la forma en que la partícula se mueve durante el intervalo de tiempo t = 0 a t = 3 s. Cuando t = 0, la partícula sale de A( x = 6pies), moviéndose a la derecha. Cuando t = 2s, la particula se detiene en B(x = 6 pies). Después se mueve a la izquierda, llegando a C(x = 3 pies) cuando t = 3s. Por lo tanto, la distancia recorrida es igual a la distancia que el punto recorre a la derecha (AB) más la distancia que se recorre a la izquierda (BC), lo q produce.

−





 

d = AB + BC = 12 + 3 = 15 pies

respuesta

Parte 3 El desplazamiento durante el intervalo de tiempo t = 0 a t = 3 s es el vector dibujado desde la posición inicial de punto hasta su posición final. Este vector, indicado como r en la figura (d), es

Δ

Δ

r = 9i pies

respuesta



Obsérvese que la distancia total recorrida (15 pies) es mayor que la magnitud del vector desplazamiento (9 pies) porque la dirección del movimiento cambia el intervalo de tiempo.

EJEMPLO 3.2. La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación x = t 6t 15t + 40, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 s hasta t=6 s.

 −  −

Solución Las ecuaciones de movimiento son

 − 6t  − 15t + 40

x = t v=

a=

(1)

 − 12t − 15

(2)

−

(3)

dx = 3t dt dv

= 6t dt

12

Tiempo en el cual v = 0, se fija v=0 en (2):

 − 12t − 15 = 0

3t

t=

−

1s

y

t= +5

solo la raiz t = + 5 s corresponde a un tiempo despues de que el movimiento se ha iniciado para t < 5 s,v < 0, la partícula se mueve en direccion negativa; para t > 5 s,v > 0, la particula se mueve en direccion positiva.

Posicion y distancia recorrida cuando v = 0. Al sustituir t = + 5 s en (1), se tiene



x = (5)

 − 6(5) − 15(5) + 40 

≠  −  − −

La posicion inicial en t = 0 fue x = + 40 ft. puesto que v 5 s se tiene. distancia recorrida = x

x =



x =

60 ft

−

60 ft

0 durante el intervalo t = 0 a t =

40 ft =

−

100 ft



Distancia recorrida = 100 ft en la direccion negativa

Aceleracion cuado v = o. se sustituye t = 5 s en (3)



a = 6(5)

−



12

a = + 18 ft

Distancia recorrida desde t = 4 s hasta t = 6s. La particula se mueve en la direccion negativa desde t = 5 s hasta t = 6 s; por lo tanto, la distancia recorrida durante cada uno de estos intervalos de tiempo se calculara por separado.



De t = 4 s a t = 5 s:

x =



x = (4)

Distancia recorrida = x

−

60 ft

 − 6(4) − 15(4) = −52 ft

 − x = −60ft − (−52ft ) = −8 ft

= 8 ft en la direccion negativa



De t = 5 s a t = 6 s:

x =

−

60 ft

  − 6(6) − 15(6) + 40 = −50 ft Distancia recorrida= x − x = −50 ft − (−60ft ) = + 10ft x = (6)

= 10ft en la direccion positiva

La distancia total recorrida desde t = 4 s hasta t = 6 s es de 8ft + 10 ft = 18ft EJEMPLO

⁄

3.3. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9.81 9.81 m s hacia abajo, determine a) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo t, b) la elevación mas alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente. Dibuja las curvas v t y y t .

̸ 

− −

SOLUCION Velocidad y elevación. El eje y que mide la coordenada de la posición (o elevación) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido positivo hacia arriba. El valor de la aceleración y los valores iniciales de u y y son como se indica. Al sustituir a en a= y observar que en t = 0, v = + 10 m s , se tiene



⁄

 



− ̸    − ̸    − − − dv = a = dt

9.81 m s

dv =

9.81 m s

[v]

=

[9.81t]

v

10 =

9.81t

v = 10



Al sustituir v en v = dy dt y observar que en t = 0, y = 20 m, se tiene



−  − −

dy = v = 10 dt

 

dy =



9.81t

( 10

[y] = [10t

9.81t ) dt



4.905t]

−

9.81t (1)


−

y

−




20 = 10t 4.905t

−



y = 20 + 10t 4.905t

Máxima

(2)

elevación. Cuando la pelota alcanza su máxima elevación, se tiene v =

0.Al sustituir en (1), se obtiene: 10

−

9.81t = 0

t = 1.019 s

Al sustituir t = 1.019 s en (2), se tiene y = 20 + 10(1.019)

−



4.905(1.019)

y = 25.1 m

La pelota golpeada en el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, se tieney = 0. Alsustituir en (2). Se obtiene

−



20 + 10t 4.905t = 0

t=

−

1.243 s

y

t = + 3.28 s

Solo la raíz t = + 3.28 s corresponde a un tiempo después de que el movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene v = 10

−

9.81( 3.28) =

−

⁄

22.2 m s

⁄

v = 22.2 m s

EJEMPLO 3.4. El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente en un embolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial vo, el embolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios en el embolo, provocando que este ultimo y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad; esto es amax kv. Exprese a) v en términos de t , b) x en términos de t, c) en términos de x. Dibuje las curvas del movimiento correspondiente.

−

SOLUCION


v términos de t. Al sustituir a = dv/dt , se escribe.

− In

  = −kt


−

kv por a enla formula fundamental que define la aceleración,

kv =

dv

dv

dt

v

=

⨜ −⨜ dv

−

k dt k dt

v

=

k dt

v = vo e

X en términos d t . Al sustituir la expresión que acaba de obtenerse para v en v = dv/dt , se escribe Vo e = dx/dt

⨜ ⨜ −   − −    − −  

dx = Vo e dt

x=

x=

Vo

e

k

Vo k

e

x

0=

0 =

(1 e

−

Vo k

Vo k

(e

(e

 dt

 − 1)

)

 

V en termino de x. mediante la sustitución kv para a en a = v , se escribe.


−

kv = V


dv dx

−    −  dv m

V

−

Vo =

−



d=

k dx k dx

k

dx

kx

v = Vo

−

kx

COMPROBACION. COMPROBACION. La parte c ppdria haberse resuelto al eliminar t de de las respuestas para obtenidas para las partes a y; Este método alternativo puede utilizarse como comprobación. De la parte a se obtiene e = v/Vo; al sustituir en la respuesta de la parte b se obtiene.



x=

 1 − e  =  1 −     

v = Vo

−

kx (Comprobación)

EJEMPLO 3.5. Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s a un Angulo de 30° con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre a)la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo . b) la elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.



SOLUCION Los movimientos vertical y horizontal se consideran por separado. Movimiento vertical. Movimiento uniformemente acelerado. Eligiendo el sentido positivo del eje y hacia arriba y situando el origen O en el cañón se tiene



( Vy) o =

180

 −

m s



a =

sen 30° = + 90 m/s 9.81 m/s

Al sustituir en las ecuaciones e cuaciones del movimiento uniformemente acelerado, se tiene vy = ( vy) o + at y = ( vy) o +





 at  

v = (vy) + 2ay

− −

vy = 90

9.81t

(1)



(2)

y = 90t 4.90t



v = 8100

−

19.62y

(3)

Movimiento horizontal. Movimiento uniforme. Al elegir el sentido positivo del eje x hacia la derecha, se tiene (

   ) =

180

m s



cos cos 30° 30° = + 155.9 155.9 m/s



Al sustituir en las evacuaciones del movimiento uniforme, se obtiene



x = 155.9t

x = (v ) ot

(4)

Distancia horizontal. Cuando el proyectil choca con el suelo, se tiene Y=

−

150m

Al sustituir este valor en la ecuación (2) para el movimiento vertical, se escribe

−

−

 − 18.37t − 30.6 = 0



150 = 90t 4.90t

t

t = 19.91 s

Si se sustituye t=19.91 s en la ecuación (4) para el movimiento horizontal se encuentra x = 155.9(19.91)

x = 3100m

b) Elevación máxima. Cuando el proyectil alcanza su máxima elevación, se tiene que vy = 0; al considerar este valor en la ecuación (3) para el movimiento vertical, se escribe

−

−



150 = 90t 4.90t

 − 18.37t − 30.6 = 0

t

t = 19.91 s

Si se sustituye t = 19.91 s en la ecuación (4) para el movimiento horizontal se encuentra x = 155.9(19.91)

x = 3100m

b) Elevación máxima. Cuando el proyectil alcanza su máxima elevación, se tiene que v = 0 ; al considerar este valor en la ecuación (3) para el movimiento vertical, se escribe



−

0 = 8100

19.62y

y=413 m

Máxima elevación sobre el suelo =150 m + 413m =563 m



EJERCICIOS 5 Lee cuidadosamente los siguientes enunciados y responde lo que se te pide, toma en cuenta los ejemplos anteriores.

 −

−



 −

−



3.1 El movimiento de una partícula está definido por la relación x = t (t 3) , donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine a) en el movimiento en el que la aceleración es cero. B) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. 3.2 El movimiento de una partícula está definido por la relación x = t (t 2) , donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine a) en el movimiento en el que la aceleración es cero. B) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento.

 − 

−

3.3El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 5t 4t + 3t 2, en donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determine la posición de velocidad ya la aceleración de la partícula cuando t=2s.



 −  −

3.4 El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 6t + St 14r 10t + 16, donde x y t se expresan en pulgadas respectivamente. Determine la posición la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=3s 3.5 El movimiento de la corredera A se define mediante la relación t=500sen kt, donde x y t se expresan en milímetros y segundos, respectivamente, y k es constante si k=10 rads/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05.

−

 

3.6 El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x = 50sen (k t k t ), donde x y t se expresan en milímetros y segundos respectivamente. Las constantes k  son respectivamente iguales a 1 rad/s y 0.5 rads/s . Considere el intervalo 0




−





3.7. El movimiento de una partícula se define mediante la relación x = t (t 2) , donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determine a) las dos posiciones en las que la velocidad es cero b)la distancia total recorrida por la partícula desde t=0 hasta t=4s.

 

3.8. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = 3e . , donde a y t se expresan en ft/s y segundos, respectivamente. Si x=0 y v=O en t=0 determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s.



3.9. La aceleración del punto A se define mediante la relación a=-5.4sen kt, donde a y t se expresan en ft/s y segundos respectivamente y k=3 rads/s. Si x=o y v=1.8 ft/s cuando t=0 determine la velocidad y la posición del punto A cuando t=0.5s.



3.10. La aceleración del punto A se define mediante la relación a=-3.24sen kt-4.32cos kt, donde a y t se expresan en ft/s y segundos respectivamente, y k=3 rad/s. Con x=0.4S ft y v=1.08 ft/s cuando t=0 determine la velocidad y la posición del punto A cuando t=0.5 s.



3.11. La aceleración de una partícula es directamente proporcional el tiempo t, cuando t=0, la velocidad de la partícula es de 40º mm/s. Si v=370 mm/s y x=500 mm cuando t=1 s determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=7 s.



3.12. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = 0.15 m/s . Si x=-10 m cuando v=-0.15 m/s cuando t=2 s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=5 s.

−



3.13. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = 9 3t . La partícula inicia en t=0 con v=0 y x=5 m. Determine a)el tiempo en que la velocidad es de nuevo cero, b)la posición y la velocidad cuando t=4 s, c)la distancia total recorrida por la partícula desde t=0 hasta t=4s.





3.14. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = kt , a si v=-10 m/s cuando t=0 y v=10 m/s cuando t=2, determine la constante k, b). Escriba las ecuaciones de movimiento, con x=0 cuando t=2 s.



3.15. El puto A oscila con una aceleración a-40-160r, donde a y x se expresan en m/s y metros respectivamente. La magnitud de la velocidad es de 0.3 m/s cuando x=0.4 m. Determine a) la velocidad máxima de A, b)las dos posiciones en que la velocidad de A es cero. 3.16. El puto A oscila con una aceleración a=100(0.25-x), donde a y x se expresan en m/s y metros, respectivamente .Si el sistema inicia en el tiempo t=0 con v=0 y x =0.2 m, determine la posición y la velocidad de A cuando t =0.2 s.





3.17. La aceleración del punto A se define mediante la relación a = 600(1 + kx , donde a y x se expresan en ft/s y pies, respectivamente, y k es constante. Si la velocidad de A es de 7.5 ft/s cuando x=0 y de 15 ft/s cuando x=0.45 ft, determine el valor de k.





3.18. La aceleración del punto A se define mediante la relación a = 800x + 3200x , donde a y x se expresan en ft/s y pies, respectivamente. Si la velocidad de A es de 10 ft/s y x=0 cuando t=0, determine la velocidad y la posición de A CUANDO T00-05 S.



3.19. La aceleración de una partícula de se define por medio de la relación a=12x-2S donde a y x se expresan en m/s y metros, respectivamente. Si v=8 m/s cuando x=0,





determine a) el valor máximo de x, b) la velocidad cuando la partícula ha recorrido una distancia total de 3 m.

− 

3.20. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = k(1 e ), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=-9m/s cuando x=-3 m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b9la velocidad de la partícula x=2m. 3.21. A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carrera esta definida por la relación a = 6.8 e . , donde a y x se expresan en m/s y metros respectivamente. Determine la posición del auto de carrera cuando v=30 m/s.

 



3.22. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-0.4v, donde a se expresan en mm/s y en v mm/s. Si cuando t=0 la velocidad es de 75 mm/s determine la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo, b)el tiempo requerido para que la velocidad de la partícula se reduzca al uno por ciento de su valor inicial.



−



3.23. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = kv , donde a se expresa en m/s u v en m/s. La partícula inicia en x=0 con una velocidad de 9 m/s, cuando x=13 se observara que la velocidad es de 7 m/s. Determine la distancia que recorrerá la partícula a) antes de que su velocidad disminuya a 3 m/s, b) antes de quedar en reposo.



− √

3.24. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = k v, donde k es constante. Si x=0 y t=25ft/s en t=0 y v=12 ft/s cuando x=6 ft, determine a9 la velocidad de la partícula en x=8 ft, b) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo. 3.25. A partir de x=0 sin velocidad inicial, una partícula recibe una aceleración a = 0.8 v + 49, donde a y v se expresan en ft/s y ft/s, respectivamente. Determine a)la posición de la partícula cuando v=24 ft/s b)la velocidad de la partícula cuando x=40 ft.

√ 



3.26. La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación a = 2k k v , donde a y t se expresan en ft/s y ft/s respectivamente, y k es constante. El sistema inicia en el tiempo=0 con x=1.5 ft y v=0. Si x=1.2 ft cuando t=0.2 s, determine el valor de k.

− √  −





− √ − 

3.27. La aceleración de la corredera A se define mediante la relación a = 2 1 v , donde a y v se expresan en ft/s y ft/s respectivamente. E l sistema inicia en el tiempo t=0 con x=1.5ft y v=0. Determinar la posición de A cuando a)v=-0.6 ft/s, b)la posición de A cuando t=0.3 s.



3.28 A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carrera esta definida por la relación v = 154 1 e . , donde v y x se expresan en m/s y metros

√ −  



respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carrera cuando a9v=20 m7s, b)v=40 m/s. 3.29. Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puede aproximarse mediante la relación v = 7.5(1 0.04x) . , donde v y x se expresan en km/h y kilómetros, respectivamente. Si x=0 cuando t=0, determine a)la distancia que ha recorrido el atleta cuando t=1 h, b)la aceleración del atleta en m/s cuando t=0, c)el tiempo requerido para que el atleta recorra 6 km.

−





3.30. Cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba en la superficie de un planeta, el movimiento resultante en ausencia de resistencia atmosférica puede ser descrita por x=

− 





gr + Vo

Donde g y vo son constantes (a) Obtenga las expresiones para la velocidad y aceleración del objeto. Utilice los resultados para demostrar que Vo es la velocidad inicial del cuerpo y que g representa la aceleración gravitacional. (b). Obtenga la altura máxima alcanzada por el objeto y el tiempo total del vuelo. 8c) Evalué los resultados de la parte (b) para Vo = y g = 32.2 pies/s (en la superficie de la tierra).

 



3.31. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x esta descrita por

 − 108t plg

x = t

Donde t es el tiempo en segundos. Para el intervalo de tiempo t=0 a t=10 s, (a) trace una grafica de la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo; (b) encuentre el desplazamiento de la partícula y (c) determine la distancia recorrida por la partícula. 3.32. Un cuerpo es liberado a partir del reposo en A y se le permite caer libremente. Si se incluyen los efectos de la resistencia del aire, la posición del cuerpo como función del tiempo transcurrido es



  )

−

x = vo(t t + toe

Donde Vo y to son constantes. (a). Obtenga la expresión para hallar la velocidad v del cuerpo. Utilice el resultado para explicar porque Vo recibe el nombre de velocidad límite. (b) Obtenga las expresiones para hallar la aceleración a del cuerpo como función de t y como función de v.

3.33. Una cuanta se mueve a lo largo de un alambre recto de 60 plg que se encuentra a lo largo del eje x. L a posición del a cuenta esta dada por

 − 10t plg

x = t

Donde x se mide desde el centro del alambre, y t es el tiempo en segundos. Determine (a) el tiempo cuando la cuenta sale del alambre, y (b) la distancia recorrida por la cuenta desde t=0 hasta que sale el alambre.



3.34. Una partícula se mueve a lo largo de la curva x = 14y, donde x y y se miden en milímetros. La coordenada x varia con el tiempo de acuerdo con

 − 2mm

x = 4t

Donde el tiempo t es en segundos. Determine las magnitudes de los vectores dela velocidad y aceleración cuando t=2 s. 3.35. La leva circular de una radio R y excentricidad R/2 gira en el sentido del giro de las manecillas del reloj con una velocidad angular constante ω. Se puede demostrar que el movimiento vertical resultante del seguidor plano A es



x= R 1+

1 2

ω

cos t

Obtenga la velocidad y aceleración del seguidor como función de t. (b) Si ω se duplicara, ¿Cómo cambiarían la velocidad máxima y aceleración máxima del seguidor?



3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME El Movimiento Circular Uniforme (MCU) es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro. En la figura 13.1 se muestra la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy . La posición de la partícula está especificada por la coordenada de trayectoria s , que s la distancia media a lo largo de la trayectoria desde un punto de referencia fijo. A medida que la partícula se mueve de A a B durante un intervalo infinitesimal dt , traza un arco de radio ρ y longitud infinitesimal ds . El correspondiente desplazamiento de la partícula es . De la figura 13.1 obtenemos las relaciones útiles = , o, dr , donde | | = después de la división entre dt,

 

̇  ̇ =

(6)

Donde Θ= ángulo en radianes

 



 

Para mejor entendimiento se consideran los vectores base y asociados al punto A de la trayectoria que se muestra en la figura 13.2. y son perpendiculares entre sí, de magnitud unitaria y sirven como bases para los vectores velocidad y aceleración. Las direcciones de y dependen de la ubicación A de la partícula: es tangente a la trayectoria en A y apunta en la dirección s creciente, mientras que es normal a la trayectoria y se dirige hacia el centro de la curvatura C.

 

 

 

Velocidad angular El caso de una trayectoria circular juega un papel muy importante en dinámica, en particular en cinemática de cuerpos rígidos. Si el radio de la trayectoria es R, como se muestra en la figura 13.6, entonces la ecuación (6) se convierte en = (tomar en cuenta que ρ=R, una constante) o sea,

  ̇ (7) Donde  ̇ se conoce como =

velocidad angular .

̇  ̇



La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos. (2 π [radianes] = 360°)

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s].

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s]. Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

 ̇

=

 

(7.1)

Considerando que la frecuencia es la cantidad de vueltas sobre el tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como:

 ̇   =

= 2

(7.2)



Donde

 , frecuencia y se mide en (Hertz ó ciclos por segundo) = 1

Velocidad tangencial en MCU



Se comienza con la definición de la velocidad: = puede escribir =   , ó

  =

 

. Utilizando los vectores base, se 

(8)

Donde la magnitud se denomina velocidad

 ̇  ̇ =

=

La ecuación (8) muestra que la velocidad es siempre tangente a la trayectoria (en dirección tangente unitaria ).



La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.

Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad tangencial es:

En MCU la velocidad tangencial es constante (en módulo) para un mismo punto. A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente,



teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil.

Aceleración centrípeta en MCU En MCU, la velocidad tangencial es constante en módulo durante todo el movimiento. Sin embargo, es un vector que constantemente varía de dirección (siempre sobre una recta tangente a la circunferencia en el punto en donde se encuentre el móvil). Para producir la modificación de una velocidad aparece una aceleración, pero debido a que no varía el módulo de la velocidad, el vector de esta aceleración es perpendicular al vector de la velocidad.

La aceleración de una partícula se obtiene al diferenciar la velocidad, y de acuerdo con los vectores base, se tiene

    =

+

(9)

Donde las componentes normal y tangencial de la aceleración son:

   ̇    =

=

=

(10) (11)

=

 

Los vectores de velocidad y aceleración se muestran en la figura13.5. Es evidente que es causada por un cambio de velocidad en la partícula. Si la velocidad es creciente, tiene la misma dirección que la velocidad; si es decreciente, y la velocidad tienen direcciones opuestas. Si la velocidad es constante, entonces = 0.







La componente normal , a veces llamada aceleración centrípeta, se debe a un cambio en la dirección de la velocidad. Advierta que esta siempre dirigida hacia el centro de la curvatura de la trayectoria. Si la trayectoria es una recta (1 = 0), entonces = 0.









3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERADO Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta o disminuye en cada unidad de tiempo su velocid ad angular en forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante. Si se considera a R como el radio de la curvatura, entonces las ecuaciones (10) y (11) se convierten en

   ̇  ̈ =

=

(10.1)

=

(11.1)

Donde

 Aceleración normal  velocidad  radio de la curvatura  Aceleración tangencial  ̈ Aceleración angular =

=

=

=

=

La aceleración centrípeta se calcula como la velocidad tangencial al cuadrado sobre el radio o cómo la velocidad angular por la velocidad tangencial, de donde, la ecuación (10.1) puede tomarse como:




  =  ̇  =  ̇ 

=


(12)

 ̇

Donde, es la velocidad angular. La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo. La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo.

Velocidad angular instantánea La velocidad angular instantánea representa el desplazamiento angular efectuado por un móvil en un tiempo muy pequeño que tiende a cero.

Aceleración angular La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo. Su ecuación está definida de la siguiente manera:

 ̈

=

(

  )

(13)

donde:

Unidades

 ̈ = aceleración angular

rad/s2

ωf = velocidad angular final

rad/s

ωi = velocidad angular inicial

rad/s

t = tiempo

s

Ejemplo: Resuelve el siguiente problema.



1) Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en un tiempo de 8 s. ¿Cuál es su aceleración angular?

Por lo tanto, la aceleración angular es la variación de la velocidad angular en el tiempo.

 ̈

=

 ̇ 

(14)

Aceleración Centrípeta Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje, este presenta dos fuerzas que se oponen, la fuerza centrípeta (Fc) y la fuerza centrifuga (Fcf). La fuerza centrípeta es la fuerza que mantiene al cuerpo dando vueltas alrededor, mientras la fuerza centrifuga es la fuerza que empuja al cuerpo lejos del eje, perpendicular a la superficie de giro. Fc = m * ac (aceleración centrípeta) la aceleración centrípeta se obtiene como ac = 2* pi * V /T; y como ac = v2/r; o como ac = w2*r Esta Fuerza centrípeta explica porqué la Luna no se nos escapa a pesar que gira alrededor nuestro a una velocidad impresionante. El equilibrio entre esta fuerza centrípeta y la fuerza centrifuga, mantienen a la luna suficientemente equilibrada durante su giro.

EJEMPLO 3.4. El auto que se muestra en la figura (a) se desplaza a 90 mi/h cuando entra a la curva semicircular en A. el conductor aumenta la velocidad a una rapidez uniforme, emergiendo de la curva en C a 120 mi/h. determine la aceleración del auto cuando este en B.



SOLUCION. Debido a que el auto sigue una trayectoria circular es conveniente describir su movimiento usando coordenadas de trayectorias. Como se muestra en la figura (b) hacemos que s sea la distancia medida a lo largo de la trayectoria de A hacia C. La magnitud de la componente tangencial de la aceleración es constante entre A y C puesto que la velocidad aumenta a una rapidez uniforme. Por lo tanto la integración de a d =v dv produce.





=a+c 

(a)



Donde c es la constante de integración. Las dos constantes a y c se pueden evaluar usando las siguientes dos condiciones sobre el movimiento: En A : s=0, v=132.0 pies/s (90 mi/h) En C: s=πR = 1000 π pies, v= 176.0 pies/s (120.0 mi/ h)

Al sustituir la condición 1 en la ecu. (a) encontramos (

   0 + C  . )

De la cual la constante de integración es C = 8712 (

) 

(b)

Al sustituir la condición 2 y el valor de C en la ecuación (a) resulta (

   = a     . )

(

)



Al despejar a resulta



a = 2.157 pies/s







Como se muestra en la figura (b) la dirección de a es hacia abajo en B esto es en la dirección de la velocidad creciente.



Al asumir los valores de C en a en la ecuación (a) la relación entre la velocidad de v y la distancia s se encuentra que es

 = 2.157 s + 8712 

(d)

Para calcular la velocidad del auto B sustituimos s = π R/2 = 500π pies en la ecuación (d)

siendo el resultado v



2

= 2.157 (

500π

) + 8712

V= 155.56 pies/s

EJEMPLO 3.5. Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2500 ft de radio a una velocidad de 60 mi/h. el automovilista aplica repentinamente los frenos provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante si se sabe que después de 8 s la velocidad se ha reducido a 45 mi/h determine la desaceleración inmediata después de que se han aplicado los frenos.



Solución. Componente tangencial de la aceleración. Primero se expresan las velocidades en ft/s

 ) (  ) = 88 ft/s    

60 mi/h = (60 mi/h) ( 45 mi/h = 66 ft/s

Como el automóvil desacelera a una taza constante se tiene

       a = promedio a = =    = -2.75 ft/s /

Componente normal de la aceleración. Inmediatamente después de que los frenos se han aplicado, la velocidad se mantiene en 88ft y se tiene

    a=  =   = 3.10 ft/s  (

)

Magnitud y dirección de la aceleración. La magnitud y dirección de la resultante de a

=     = 48. 4       =     = 4.14 ft/ s     

tan α =

a=

.

/

.

/

.

/

.

/

EJERCICIOS 6 Lee cuidadosamente los siguientes enunciados y resuelve lo que se te pide, toma en cuenta los ejemplos para movimiento circular. 3.3.1. El diámetro del ojo de un huracán estacionario es de 32 km y la máxima velocidad del viento corresponde a 160 km / h en la pared del ojo el r = 16 km. Si la velocidad del viento es constante para r y disminuye de manera uniforme con el aumento de r hasta 64



km / h en r = 176 km determinar la magnitud de la aceleración del aire en a) r =16 km b) r = 96 km c) r = 176 km.

3.3.2. En el instante que muestra la figura el auto de carreras A rebasa al automóvil B a velocidad relativa de 1 m / s si las velocidades de ambos son constantes y la aceleración relativa del auto A respecto al auto B es de 0.25 m / s dirigida hacia el centro de curvatura determine la velocidad de el auto a) A b) B.



3.3.3. Determine la velocidad máxima que los carros de la montaña rusa pueden alcanzar a lo largo de un tramo circular AB de la pista si la componente normal de la aceleración no puede ser mayor a 3g.

3.3.4. Conforme gira la leva A la rueda B del seguidor gira sin resbalar sobre la cara de la leva. Si los componentes normales de aceleración de los puntos de contacto en C de la leva A y de la rueda B son, respectivamente de 0.66 m/s2 y 6.8 m/s2, determine el diámetro de la rueda del seguidor.



3.3.5. Un automovilista viaja sobre la posición curva de una autopista con radio de 350m a una velocidad de 72 km/h. de manera súbita, aplica los frenos lo cual ocasiona que la velocidad disminuya a una tasa constante de 1.25 m/s2. Determine la magnitud de la aceleración total del automóvil si constantemente después de aplicar los frenos b) 4s después. 3.3.6. Una pista de aire libre es un circuito completo con un diámetro de 130m. Una corredora inicia desde el reposo y alcanza su máxima rapidez en 4s con una aceleración tangencial constante y después mantiene la rapidez hasta que completa el circuito en un tiempo de 54s. Determine la magnitud de la aceleración total máxima de la corredora. 3.3.7. La velocidad periférica de los dientes de una hoja de sierra circular con diámetro de 10 m. es de 150 ft/s cuando se desconecta. La velocidad de los dientes disminuye a una tasa constante, y la hoja queda en reposo por 9s. Determine el tiempo en que la aceleración total de los dientes es de 130ft/s2. 3.3.8. Un automovilista empieza a conducir desde el reposo en el punto A sobre una rampa de entrada circular cuando t = 0, aumenta la rapidez del automóvil a velocidad constante y entra a la autopista en el punto B. si la velocidad continua aumentando a la misma razón hasta que alcanza las 65 mi/h en el punto C determine a) la velocidad en el punto B, b)la magnitud de la aceleración total cuando t = 15 s.

3.3.9. En un instante determinado en una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente en línea recta, y su velocidad aumenta a una tasa de 6m/s2. El avión B



vuela a la misma altura que A, y al rodear un pilar sigue una trayectoria circular de 200m de radio. Si en un instante dado la velocidad de B está disminuyendo a razón de 2 m/s2, determine para la posición mostrada a) la velocidad de B relativa de A. b) la aceleración de B respecto a A. 3.3.10. Los autos de carreras A y B se desplazan sobre tramos circulares de una pista de carreras. En el instante que se indica, la velocidad de A disminuye a razón de 5 m/s2, y la velocidad de B se incrementa en una razón de 3 m/s2. Para las posiciones mostradas, determine a) la velocidad de B relativa de A, b) la aceleración de B relativa de A.

UNIDAD 4. DINÁMICA La dinámica clásica estudia el movimiento de los cuerpos por medio de principios establecidos por Newton y Euler. La dinámica se clasifica según lo que muestra la figura 4.1. Partículas

Cinemática

Movimiento Absoluto Movimiento Relativo

Dinámica Clásica

Cuerpos rígidos

Método de fuerza, masa y aceleración Cinética Método de trabajo y energías Método de impulso y momento



4.1 Traslación de un cuerpo rígido Para el estudio de este tema se considerará la traslación de un cuerpo rígido, con dos de sus partículas indicadas con P y C, como se ve en la figura 4.2. Los vectores de posición r P y r C corresponden a P y C con respecto a un sistema de referencia fijo y R el vector que une a P y C, lo cual puede representarse como

   =

+

(4.1)

Un cuerpo rígido se caracteriza por ser indeformable, de tal forma que el vector R debe mantener una dirección y magnitud constante, ya que, P y C pertenecen al mismo cuerpo rígido. Del tal modo que la derivada de la ecuación 4.1 con respecto al tiempo resulta

  =

(4.2)

Al derivar una vez más se tiene

  =

(4.3)

Con lo anterior se demuestra que cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración cambian de dirección y magnitud en cada instante. Caso contrario, en la traslación rectilínea todas las partículas se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas y la velocidad y aceleración se mantienen en la misma dirección durante la traslación total. Un ejemplo de movimiento de traslación es el movimiento de un coche que viaja sobre una carretera recta. Un cuerpo rígido realiza un movimiento de traslación cuando cada partícula del cuerpo tiene el mismo desplazamiento en el mismo intervalo de tiempo. Fuerza



Todos tienen un concepto básico de lo que es la fuerza, por experiencia en nuestra vida diaria: lanzar o patear una pelota, empujar un mueble, etc. En este caso asociamos la fuerza con una actividad muscular y un cambio de velocidad de un objeto, aunque no muchas veces la aplicación de una fuerza está asociada con un movimiento: por ejemplo se puede estar empujando un objeto grande y no poder moverlo. Otros ejemplos de fuerzas, como la fuerza gravitacional que la tierra ejerce sobre la luna, fue estudiada por Newton, quién observó que la velocidad de la luna en no es constante por que se mueve en una órbita casi circular alrededor de la tierra. Ahora sabemos que la fuerza gravitacional que la tierra ejerce sobre la luna es la que causa este cambio de velocidad. Por lo tanto, se puede considerar que una fuerza es aquello que causa que un cuerpo se acelere.

En varias ocasiones en un cuerpo actúan de forma simultánea más de una fuerza, cuando la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre él es diferente de cero, el cuerpo se acelera. Caso contrario cuando ésta suma es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanece constante y su aceleración es cero; se dice que el cuerpo permanece en equilibrio. Existen dos tipos de fuerzas: 

Fuerzas de contacto : comprenden contacto físico entre dos cuerpos (fuerzas



ejercidas por moléculas de gas sobre las paredes de un recipiente, la ejercida por los pies sobre el suelo, tirar de un objeto para vencer la fricción, cuando se golpea una pelota, etc.) figura 4.3 a, b, c. Fuerzas de campo: no implican contacto físico entre dos cuerpos, sino que actúan a través del espacio vacío (la fuerza gravitacional de atracción entre dos cuerpos, la fuerza eléctrica que una carga ejerce sobre otra, la fuerza ejercida por un imán sobre una barra de hierro, etc.) figura 4.3 d, e, f.



Figura 4.3. a, b, c) fuerzas de contacto, d, e, f) fuerzas de campo. Masa Masa es una propiedad inherente de un cuerpo que especifica cuanta resistencia presenta un cuerpo a cambios a su velocidad. Cuanto mayor sea la masa, menor es la aceleración del cuerpo bajo la acción de una fuerza aplicada dada. Para cuantificar la masa, se supone que una fuerza que se ejerce sobre un cuerpo de masa m1 produce una aceleración a1 y la misma fuerza que actúa sobre la masa m2 produce una aceleración a2. La razón entre estas dos masas es la siguiente

 =   

(4.4)

No debe confundirse la masa con el peso, ya que son dos cantidades diferentes. El peso de un cuerpo es igual a la magnitud de la fuerza gravitacional que se ejerce sobre él y varía de acuerdo a la ubicación. Por otro lado la masa de un cuerpo es el mismo en cualquier ubicación. Segunda ley de Newton Newton La segunda ley de Newton explica que es lo que ocurre cuando la fuerza resultante de un cuerpo es diferente de cero. Se considera un bloque que es empujado sobre una superficie horizontal y sin fricción. Cuando se aplica una fuerza F sobre el bloque, este



sufre una aceleración a. Si se aplica una fuerza del doble de la fuerza F, entonces la aceleración se duplica. Si la fuerza aumenta a 3F la aceleración se triplica, por lo tanto se concluye que la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él. La aceleración del cuerpo también depende de la masa del cuerpo, si se aplica una fuerza F a un bloque que es empujado sobre una superficie horizontal y sin fricción, este sufre una aceleración a. Si se duplica la masa del bloque, la misma fuerza produce una aceleración a/2. Si la masa se triplica, con la misma fuerza aplicada se produce una aceleración a/3. Por lo tanto se define que la magnitud de la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Por lo tanto, se puede relacionar la masa, aceleración y fuerza por medio del enunciado matemático de la segunda ley de Newton

∑   =

(4.5)

Es importante determinar la fuerza neta que se ejerce sobre un cuerpo, puede haber diversas fuerzas actuando sobre el objeto obje to pero una sola aceleración. acele ración. En el sistema internacional la fuerza se expresa newton (N=kg.m/s2) y la masa en kilogramos (kg). Por lo tanto, un newton es la fuerza que actúa sobre un cuerpo de una masa igual a 1 kg, que produce una aceleración de 1 m/s2.

EJEMPLO 4.1. Un disco de hockey. Un disco de hockey que tiene una masa masa de o.30 kg se se desliza sobre la superficie horizontal sin fracción de una pista de hielo. Dos bastones de hockey golpean simultáneamente al disco. Ejerciendo sobre este las fuerzas que ilustran en la figura5.4.La fuerza F, tiene una magnitud de 5.0 N, y la fuerza F 2 tiene una magnitu magnitudd de 8.0 N. Determine Determine la magnitud y dirección de la aceleración del disco. Solución: conceptualice este problema al estudiar la figura 5.4. Debido a que podemos determinar una fuerza neta y buscamos una aceleración, dosificamos este problema como uno que se puede resolver con la segunda ley de Newton. Para analizar el problema, descomponemos los vectores de la fuerza en componentes. La fuerza neta que actúa sobre el disco en la dirección x es:





−

fx = F1 + F2x F2x = F1 cos cos( 20°) + F2 cos cos 60° 60°

= (5.0N)(0.940) + (8.0N)(0.500)= 8.7N La fuerza neta que actúa sobre el disco en la dirección y es:



−

fy = F1y F1y + F2Y F2Y = F1 sen ( 20°) + F2 sen 60°

= (5.0 N)(-0.342) + (8.0 N)(0.866) = 5.2 N Ahora usamos la segunda ley de Newton en forma de componente para hallar los componentes x e y de la aceleración del del disco: ax =

ay =

∑ ∑

Fx

m Fy

m

=

=

8.7N

= 29m/s2 0.30kg 5.2N

= 17m/s2 0.30kg

La aceleración tiene una magnitud de a=

√





29 29 + 17 m/s2 = 34m/s2

Y su dirección relativa al eje x es: 0= tan -1(ay/ax) = tan -1 (17/29) = 30° Para finalizar el problema, podemos graficada mente adicionar los vectores de la figura 5.4 para verificar lo razonable de nuestra respuesta. Debido a que la aceleración vectorial es a lo largo de la dirección de la fuerza resultante, un dibujo que muestre la fuerza resultante nos ayuda a verificar ve rificar la valides de la respuesta. (¡Inténtalo!) ¿Qué pasaría si? Suponga que tres bastones de hockey golpean simultáneamente al disco, con dos de ellos ejerciendo las fuerzas que se muestran en la figura 5.4 el resultado de las tres fuerzas es que el disco de hockey no muestra aceleración. ¿Cuáles deben ser los componentes de la tercera fuerza?



Respuesta Si hay aceleración cero, la fuerza neta que actúa sobre el disco debe ser cero. Por lo tanto, las tres fuerzas deben cancelarse. Hemos hallado dos componentes de la combinación de las dos primeras fuerzas. Los componentes de la tercera fuerza deben ser de igual magnitud y de signo contrario para que todos los componentes sumen cero. En consecuencia, F3x = -8.7 N, F3y=-5.2N.

4.2 Fuerza de fricción Siempre que un objeto esta en movimiento sobre una superficie o sobre un medio viscoso, existe una resistencia que se opone al movimiento causado por que el objeto interactúa con su entorno. Esta fuerza se conoce como fuerza de fricción . Esta fuerza es indispensable en nuestra vida diaria, nos permite caminar, correr y que los automóviles con ruedas puedan moverse. Para explicar los tipos de fricción se tomará como ejemplo un bote que es impulsado por una fuerza horizontal externa F, como se muestra en la figura 4.4. El bote será arrastrado sobre una superficie hecha de concreto, si se aplica una fuerza F pequeña hacia la derecha el bote permanecerá estacionario. La fuerza que se opone a que el bote se mueva se llama fuerza de fricción estática f s. Mientras que el bote no se mueva f s = F, de tal forma que si F aumenta también f s, y si disminuye F de la misma forma disminuye f s.



Figura 4.4. Dirección y magnitud de las fuerzas de fricción. Si se aumenta la magnitud de F y se logra el deslizamiento del bote. Cuando dicho bote está a punto de deslizarse f s alcanza su máximo valor y cuando F rebaza a f smax el bote se mueve y acelera a la derecha. La fuerza de fricción para un objeto en movimiento se llama fuerza de fricción cinética f k. La fuerza neta F - f k en dirección x produce una aceleración a la derecha, de acuerdo con la segunda ley de Newton. Cuando F = f k la aceleración es igual a cero y el objeto se mueve con una rapidez constante. Finalmente, si se retira la fuerza F, la fuerza de fricción que actúa hacia la izquierda generará una aceleración en el bote en –x y lo lleva al reposo. Experimentalmente se determina que las fuerzas de fricción son proporcionales a la fuerza normal aplicada 

La magnitud de la fuerza de fricción estática entre dos superficies en contacto, puede tener los siguientes valores

 ≤  (4.6) Donde  se conoce como coeficiente de fricción estática y  es la magnitud de la fuerza aplicada. Cuando el cuerpo esta apunto de deslizarse se tiene    , esta =

=

situación se conoce como movimiento inminente. 

La magnitud de la fuerza de fricción cinética que actúa entre dos superficies es

  (4.7) Donde  se conoce como coeficiente de fricción cinética =



EJEMPLO 4.2. Determinación experimental El siguiente es un método sencillo de medir coeficientes de fricción: suponga que un bloque se coloca sobre una superficie rugosa inclinada con respecto a la horizontal, como se ve en la figura 5.19 el ángulo de inclinación se aumenta hasta que el bloque empieza a moverse. Demuestre que al medir el ángulo critico 0 para el cual apenas se presenta este deslizamiento podemos obtener µ.

Solución: si conceptualizamos del diagrama de cuerpo libre de la figura 5.19 vemos que podemos clasificar este como un problema de segunda ley de Newton. Para analizar el problema nótese que las únicas fuerzas que actúan sobre el bloque son la fuera gravitacional mg, la fuerza normal n, y la fuerza de fricción estática f. estas fuerzas se



equilibran cuando el bloque no se mueve. Cuando escogemos que x sea paralela al plano y que y sea perpendicular al plano, la segunda ley de Newton aplicada al bloque para esa situación equilibrada da:

∑

fx = mg sen 0

−∫

x = max = 0



fy = n

−

mg cos 0 = may = 0

Podemos eliminar mg al sustituir mg = n/ cos 0 de (2) en (1) para hallar:

∫

t = mg sen 0 = (

 )sen0 = n tan 0 

Cuando el plano inclinado aumenta esta que el bloque está a punto de deslizarse, la fuerza de fricción estática ha alcanzado su máximo valor µ s. el ángulo 0 en esta situación

es el ángulo crítico 0 y (3) se convierte en: µi n =n tan 0 µi = tan 0

por ejemplo: si el bloque apenas se desliza en m1 =20.0 entonces encontramos que m1= tan 20.0 = 0.364. para finalizar el problema, nótese que una vez que el bloque empieza a moverse en 0>0n acelera hacia abajo del plano y la fuerza de fricción es ft=µi n. no obstante si 0 se reduce

a un valor menor que 0 puede ser posible hallar un angulo 0 tal que el bloque baje por el plano con rapidez constante (ax=0) en este caso usar (1) y (2) con fi sustituida por f1 dará µi= tan 0

Ejercicios 7 Lee cuidadosamente los siguientes enunciados y resuelve lo que se te pide, toma en cuenta los ejemplos de traslación de cuerpos rígidos y fuerza de fricción.



4.1. Una fuerza F aplicada a un cuerpo de masa m produce Una aceleración de 3.00 m/s . La misma fuerza aplicada a un segundo cuerpo de masa m produce una aceleración de 1.00 m/s . (a) ¿Cuál es el valor de la razón M1 M2? (b) si M1 y M2 se combinan encuentre la aceleración de ambas bajo la acción de la fuerza F.









4.2. El cañón antiaéreo de mayor calibre operado por la fuerza aérea alemana durante la segunda guerra mundial fue en flak 40 de 12.8 cm. Esta armada disparaba un obús de 25.8 kg con una rapidez de 880 m/s en la boca del cañón ¿Qué fuerza de propulsión era necesaria para alcanzar esa rapidez dentro del cañón de 6.00 m de largo?



4.3. Un objeto de 3.00 kg experimenta una aceleración dada por a = (2.00i + 5.00j) m /s . Encuentre la fuerza resultante que actué sobre ese objeto y la magnitud de la fuerza resultante.

−

4.4. La fuerza gravitacional de una pelota de beisbol es f j. Un pitcher lanza la pelota con una velocidad de vial acelerarla de manera uniforme al frente, horizontalmente durante un intervalo AT = t – 0 = t. si la pelota inicia desde el reposo, (a) ¿Qué distancia acelera antes de ser soltada? (b) ¿Qué fuerza ejerce el pitcher sobre la `pelota? 4.5. Para modelar una nave espacial un motor cohete de juguete se sujeta firmemente a un disco grande de hule que puede deslizarse con fricción insignificante sobre una superficie horizontal de 300i m/s, si se supone que el motor cohete ejerce una fuerza horizontal constante, encuentre (a) los componentes de la fuerza (b) su magnitud.



4.6. La rapidez promedio de una molécula de nitrógeno en aire es alrededor de 6.70 * 10 m/s, y su masa es 4.68 * 10 kg. (a) Si tarda 3.00 * 10 para que una molécula de nitrógeno choque con una pared y rebote con la misma rapidez pero moviéndose en dirección opuesta, ¿cuál es la aceleración promedio de la molécula durante este intervalo de tiempo? (b) ¿qué fuerza promedio ejerce la molécula sobre la pared?





4.7. Un bloque de 25.0 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se requiere una fuerza horizontal de 75.0 N para poner el bloque en movimiento. Después que esta en movimiento es necesario una fuerza horizontal de 60.0 N para mantenerlo con rapidez constante. Encuentre los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta información. 4.8. Un auto viaja a 30.0 mi/ h en una carretera horizontal. (a) Si el coeficiente de fricción estática entre la carretera y las llantas en un día lluvioso es 0.100 ¿ cuál es la distancia mínima en la que el auto se detendrá? (b)¿Cuál es la distancia de frenado cuando la superficie está seca y µ = 0.600?.



4.9. Antes de 1960 se pensaba en el máximo coeficiente de fricción estática que se podía alcanzar para las llantas de un automóvil era menos de 1. Entonces hacia, 1962 tres compañías independientemente perfeccionaron llantas de carreras con coeficientes de 1.6. Desde entonces han mejorado las llantas como se ilustra en este problema. Según el libro de records güines, el tiempo más corto en el que un auto con motor de pistones inicialmente en reposo ha cubierto una distancia de un cuarto de milla es 4.96 s. Este record fue establecido por Shirley Muldowney en septiembre de 1989. (a) suponga que,



como en la figura P5.38 las ruedas traseras levantaron las ruedas delanteras del pavimento. ¿Qué valor mínimo de p, es necesario para alcanzar este tiempo record? (b) suponga que muldowney fuera capaz de duplicar la potencia de su motor, manteniendo otras cosas iguales ¿cómo afectaría este cambio al tiempo transcurrido?

4.10. Un bloque de 3.00 kg inicia desde el reposo en lo alto de un plano inclinado de 30.0°y se desliza a una distancia de 2.00 m hacia abajo del plano en 1.50 s. Encuentre (a) la magnitud de la aceleración del bloque. (b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. (c) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque, y (d) la rapidez del bloque después que se ha deslizado 2.00 m. 4.11. Un convertible chevrolet corvette puede frenar hasta detenerse desde una rapidez de 60.0 mi/h en una distancia de 123 pies en un camino plano ¿cuál es la distancia de frenado en un camino con pendiente descendiente a un angulo de 10.0°? 4.12. Un peso colgante de 9.00 kg esta unido mediante una cuerda sobre una polea a un bloque de 5.0 kg que se desliza sobre una mesa plana, si el coeficiente de fricción cinética en 0.200, encuentre la tención en la cuerda. 4.13. Tres objetos están conectados sobre la mesa como se muestra en la fig. P5.44 la mesa es rugosa y tiene un coeficiente de fricción cinética de 0.350. Los objetos tienen masas de 4.00, 1.00 y 2.00 kg. Como se muestra, y las poleas son sin fricción. Trace diagramas de cuerpo libre de cada uno de los objetos. (a) Determine la aceleración de cada objeto y sus direcciones. (b) Determine las tenciones de las dos cuerdas.



4.3. Rotación con respecto a un eje fijo Cuando una partícula se mueve alrededor de un círculo desde la recta de referencia (θ=0), recorre un arco de longitud s, esta longitud se relaciona con el ángulo como sigue

  =

(4.8)

Debido a que el disco de la figura 4.5, es un cuerpo rígido, cuando éste cuerpo se mueve en forma circular desde la línea de referencia, todas las demás partículas se mueven el mismo ángulo θ.

Figura 4.5. Disco rígido que gira alrededor de un eje fijo Considérese una partícula A, que pertenece a un cuerpo rígido, y que avanza a la posición B en un intervalo Δt, como se muestra en la figura 4.6. La variación de posición con respecto a la recta de referencia es:

∆  −  =

(4.9)



∆ se define como desplazamiento angular de un cuerpo rígido.

Figura 4.6. Partícula de un cuerpo rígido moviéndose con una trayectoria circular



Un factor a tomar en cuenta es el la rapidez angular promedio , la cual se define como la razón entre el desplazamiento angular del cuerpo rígido y el intervalo durante el que ocurre el desplazamiento:



=

  = ∆  ∆

∆

(4.10)

De forma análoga, la rapidez angular instantánea se define como



∆→ = ∆∆ = 

(4.11)

= lim

La aceleración angular instantánea se obtiene por medio de la relación



=

 = ∆  ∆

(4.12)

También la aceleración angular se define como



∆→ = ∆∆ = 

= lim

(4.13)

Finalmente se puede concluir que cuando un cuerpo rígido está rotando alrededor de un eje fijo, todas las partículas del cuerpo giran el mismo ángulo, tienen la misma rapidez angular y la misma aceleración angular en un tiempo dado. Momentos de inercia Para comprender como se calcula un momento de inercia, se considerará que un objeto está dividido en numerosos pequeños elementos de masa Δm. Por lo tanto, para el cálculo de esta propiedad se tiene




∆→ ∑ ∆ = ∫  

= lim


(4.14)

El momento de inercia es una medida de la resistencia que el sistema opone cuando se intenta ponerlo en movimiento.

El radio de giro k del cuerpo con respecto al eje de giro A-A’ se define mediante la relación

  =

Ejemplo 4.3. Encuentre el momento de inercia de un aro delgado uniforme de masa M y radio R alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro (fig. 10.9) SOLUCION. Como el aro es delgado, todos los elementos de masa dm están a la misma distancia r = R del eje, por lo cual, aplicando la ecuación 10.17 obtenemos para el momento de inercia alrededor del eje z que pasa por 0:

     =

=

=

Nótese que este movimiento de inercia es el mismo que el de una sola partícula de masa M colocada a una distancia R del eje de rotación.



Ejemplos Calcule el momento de inercia de una varille rígida de uniforme de longitud L y masa M (10.10) alrededor de un eje perpendicular a la varilla (el eje y) y pasa por su centro de masa. SOLUCIÓN. El elemento sombreado de longitud dx de la figura 10.10 tiene una masa dm igual a la masa por unidad de longitud A multiplicada por dx:

     =

=

                      −  

Sustituyendo esta expresión por dm en la ecuación 10.17, con r= /

=

=

/

=

/

=

3

1 1/2 = 1/2

/

obtenemos:



Momento de torsión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que hace pivote alrededor de un eje fijo, el cuerpo tiende a rotar alrededor de ese eje. La tendencia de una fuerza que produce que un cuerpo rígido rote alrededor de un eje se mide por una cantidad vectorial llamada momento de torsión, y se calcula por medio de la relación

  =

(4.14)

Donde F es la fuerza aplicada y d es la distancia desde el eje de rotación al punto donde se aplica la fuerza.



Si en un cuerpo se tienen más de una fuerza que producen un momento torsional alrededor del punto O, como se muestra en la figura 4. 7, entonces el momento torsional neto se obtiene al realizar una suma de momentos torsionales

    −  =

+

=

(4.15)

Figura 4.7. Momentos de torsión aplicados a un cuerpo rígido. EJEMPLO 4.4. Un cilindro de una pieza tiene la forma que se ilustra en la figura 10.15 con una sección central que sobresale del tambor mayor. El cilindro está libre para girar alrededor del eje central mostrado en el dibujo. Una cuerda enrollada alrededor del tambor, que tiene radio R1, ejerce una fuerza T1 a la derecha del cilindro. Una cuerda enrollada alrededor del núcleo, que tiene radio R2 ejerce una fuerza T2 hacia abajo en el cilindro. ¿Cuál es el momento de torsión neto sobre el cilindro alrededor del eje de rotación (que es el eje z en la figura 10.15)? Solución. El momento de torsión debido a T1es – R1 T1 (el signo en negativo porque el momento de torsión tiende a producir rotación en el sentido de las manecillas del reloj).el momento de torsión debido a T2 es + R2T2- (El signo es positivo porque el momento de torsión tiende a producir en el sentido contrario de las manecillas del reloj). Por lo tanto, el momento de torsión neto alrededor del eje de rotación es:

Σ

r = T1 + T2 = R

 T -RTO

Podemos hacer una rápida verificación al observar que si las dos fuerzas son de igual magnitud, el momento de torsión neto es negativo por que R R iniciando desde el reposo con ambas fuerzas de igual magnitud actuando sobre él, el cilindro tocaría en el sentido de las manecillas del reloj porque T1 sería más efectivo para hacerlo rotar que T2.

 



Suponga que T1=50N, R1 = 1.0 m, T2 =15.0N y R2 =0.50m. ¿Cuál es el momento de torsión neto alrededor del eje de rotación y en qué dirección gira el cilindro iniciando desde reposo?

Solución. Al evaluar el momento de torsión neto.

Σ

r = ( 1.5N)( 0.50 m)

−

(5.0N)( 1.0m) = 2.5N

Como este momento de torsión es positivo, el cilindro empezara a rotar en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj.

Figura 10.15 Cilindro solido que hace pivote alrededor del eje z que pasa por 0. El brazo de momento de T1 es R1 y el brazo de momento de T2 es R2

Relación entre el momento de inercia y el momento de torsión por medio de la aceleración angular Considera una partícula de masa m que rota alrededor de un círculo de radio r producida por una fuerza tangencial Ft y una fuerza radial Fn, como se observa en la figura 4.8. Ft produce una aceleración tangencial at





F = ma

(4.16)

El momento de torsión producido por la fuerza Ft alrededor del centro del círculo es





T = F r = (ma )r

(4.17)

Como la aceleración tangencial está relacionada con la aceleración angular por medio de la relación



α

a = r

(4.18)

El momento de torsión se puede expresar como


α

α

T = (mr )r = (mr )


(4.19)

Finalmente

α

T= I

(4.20)

Esto es, el momento de torsión que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular. EJEMPLO 4.5. Una varilla uniforme de longitud L y masa M está unida en un extremo a un pivote sin fricción y está libre de rotar alrededor del pivote en el plano vertical, como en la figura 10.18.la varilla se suelta desde el reposo en la posición horizontal. ¿Cuál es la aceleración angular inicial de la varilla y la aceleración lineal inicial de su extremo derecho?

α α

Solución no podemos usar nuestras ecuaciones cinemáticas para hallar o porqué el momento de torsión ejercido sobre la varia con su posición angular, y por ello ninguna aceleración es constante. Sin embargo, tenemos suficiente información para hallar el momento de torsión, que podemos entonces usar en la ecuación 10.21 para hallar la inicial y luego la final.

α

α

La única fuerza que contribuye al momento de torsión alrededor de un eje que pasa por el pivote, es la fuerza gravitacional Mg ejercida sobre la varilla. (La fuerza ejercida por el pivote sobre la varilla tiene cero momentos de torsión alrededor del pivote porque su brazo de momento es cero.) Para calcular el momento de torsión sobre la varilla supongamos que la fuerza gravitacional actúa en el centro de masa de la varilla, como se muestra en la figura 10.18. La magnitud del momento de torsión debido a la fuerza alrededor de un eje que pasa por el pivote es t = Mg

Σ 1α

Con t =

t=

 L

2

 MLpara este eje de rotación obtenemos. 

     α =   = ( )

Todos los puntos sobre la varilla tienen esta aceleración angular inicial. Para hallar la aceleración lineal inicial del extremo derecho de la varilla usamos la relación 1 =m (ecuación 10.11) r= l2

α



α α=g t= L

¿Qué pasaría si? ¿Qué pasaría pasaría si tuviéramos que poner una moneda de un centavo en el extremo de la varilla y soltarla? ¿Estaría el centavo en contacto con la varilla? Respuesta el resultado de la aceleración inicial de un punto en el extremo de la varilla muestra que dt > g. un centavo caería a una aceleración g. esto significa que si ponemos un centavo en el extremo de la varilla cae más rápido que el centavo. El centavo no permaneceré en contacto con la varilla. (Intente esto con un centavo y una regla graduada.)

α α

t = r =

3g r 2l

Para que el centavo permanezca en contacto con la varilla, el caso limitante es que la aceleración lineal deba ser igual a la debida gravedad:

α1=g= r

 

r = L Por lo tanto un centavo colocado más cerca del pivote que dos tercios de la longitud de la varilla, permanecerá en contacto con la varilla que cae, mientras que un centavo colocado más lejos de este punto, pun to, perderá contacto.

Ejercicios 8 Lee cuidadosamente los enunciados y resuelve lo que pide, de acuerdo a los ejemplos de: Momentos de inercia



4.14. Una puerta sólida, delgada y uniforme, tiene una altura de 2.2 m, ancho de 0.870 cm y masa de 23 kg. Encuentre su momento de inercia para rotación sobre sus bisagras. ¿es necesaria alguna parte de los datos? 4.15. El cuarto de anillo mostrado en la figura tiene una masa m y fue recortado de una uniforme y delgada. Si r 1 = ½ r 2, determine el momento de inercia respecto al eje A A’.

4.16. La densidad de la tierra, en cualquier distancia r de su centro, es aproximadamente



= [14.2

−       11.6

10

/

Donde la R es el radio de la tierra. Demuestre que esta densidad lleva a un momento de inercia I=0.330 MR2 alrededor de un eje que pasa por el centro, donde M es la masa de la tierra.

Torsión 4.17. Encuentre el momento de torsión neto sobre la rueda de la figura P10.31 alrededor del eje que pasa por O si a=10 cm y b=25 cm. 4.18. Las llantas de un auto de 1500 kg miden 0.6 m de diámetro y los coeficientes de fricción con la superficie del camino son = 0.8 = 0.6. Si se supone que el peso está uniformemente distribuido sobre las cuatro ruedas, calcule el máximo momento de torsión que puede ser ejercido por el motor sobre una rueda motriz sin hacer girar la rueda, si lo desea puede suponer que el auto esta en reposo.



 



4.19. Suponga que el auto del problema 7 tiene un sistema de frenos de disco. Cada rueda es frenada por la fuerza de fricción entre una sola pastilla del freno y el rotor en forma de disco. En este auto en particular, la pastilla del freno hace en contacto con el rotor a una distancia promedio de 22 cm desde el eje. Los coeficientes de fricción entre la pastilla del freno y el disco son = 0.6 = 0.5. Calcule la fuerza normal que la pastilla debe aplicar al rotor para reducir la velocidad del auto tan rápidamente como sea posible.



 

4.4. Trabajo y potencia lineal Trabajo Para entender lo que es trabajo, se considera la figura 4.8, donde se observa que se aplica una fuerza al objeto para deslizarlo de un punto a otro a través de un riel. Para determinar si la fuerza es eficiente se tiene que considerar no solo su magnitud, sino también su dirección. En las tres partes de la figura se está aplicando la misma fuerza, pero se observan diferentes comportamientos, ya que, las direcciones de aplicación de la fuerza son diferentes. En la figura 4.8b el objeto es empujado a una mayor distancia en comparación de la figura 4.8ª, mientras que en la figura 4.8c el objeto permanece estático.

Figura 4.8. Desplazamiento de un objeto ob jeto causado por una fuerza fue rza externa F.



En la figura 4.9 se describe mas a detalle del porque del comportamiento estudiado anteriormente. Se observa un cuerpo que es desplazado una distancia Δr, causado por una fuerza F con un ángulo de inclinación θ con respecto al plano de desplazamiento

Figura 4.9. Trabajo realizado en un objeto El trabajo realizado sobre este cuerpo es el producto de la magnitud de la fuerza F, la magnitud Δr y cosθ, por lo tanto se tiene

 ∆  =

cos

(4.21)

Si la fuerza aplicada al objeto se aplica en la misma dirección que el desplazamiento entonces θ = 0, por lo tanto el trabajo se define como

 ∆ =

(4.22)

El trabajo es una cantidad escalar y sus unidades son de fuerza multiplicada por unidad de longitud. En el SI la unidad de trabajo es newton.metro (N.m), que se le designa con el nombre de Joule (J). Se debe de tomar en cuenta que el trabajo es una transferencia de energía . Si el trabajo W en un sistema es positivo, entonces se está transfiriendo energía al sistema. Si W es negativo, entonces se está transfiriendo energía desde sistema.

EJEMPLO 4.6. SEÑOR LIMPIEZA. Un hombre que limpia el piso jala una aspiradora con una fuerza de magnitud F = 50.0 N a un ángulo de 30° con la horizontal (fig. 7.5a) calcule el trabajo realizado por la fuerza sobre la aspiradora cuando esta se desplaza 3 m. a la derecha. SOLUCION; la figura 7.5ª ayuda a conceptualizar la situación. Nos dan la fuerza, un desplazamiento y el ángulo entre los vectores, de modo que podemos clasificar este como un problema simple que necesita de análisis mínimo. Para analizar la situación, identificamos la aspiradora como el sistema y trazamos un diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura 7.5b. con el uso de la definición (ecuación 7.1).



∆ cos ϑ = (50.0 N)(3.00m)(cos30°) = 130 N.m = 130 J.

W= F

Para finalizar este problema, nótese en esta situación que la fuerza normal n y la gravitacional F = mg no realizan trabajo sobre la aspiradora porque estas fuerzas son perpendiculares a su desplazamiento.



Fig. 4.6 (a) aspiradora siendo jalada a un ángulo de 30 ° con la horizontal. (b) Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre la aspiradora.

Potencia Para definir lo que es potencia, se considera la figura 4.10, donde un hombre empuja un refrigerador sobre una rampa hacia un camión. El trabajo que se realiza cuando se sube el objeto es el mismo con cualquiera que sea la longitud de la rampa. Si el hombre monta una rampa más larga para tener una pendiente más suave, y aún cuando realice la misma cantidad de trabajo tomará más tiempo para realizar el trabajo, ya que la distancia es mayor. De lo anterior, se determina que la rapidez de transferencia de energía se denomina Potencia. Si una fuerza externa se aplica a un cuerpo, y ésta fuerza realiza un trabajo en un intervalo de tiempo Δt, entonces la potencia promedio durante este intervalo de tiempo

es



=

 ∆

(4.23)



La potencia instantánea P es el valor límite de la potencia promedio a medida que Δt tiende a cero



= lim

∆→ = ∆ =  

(4.24)

De la ecuación (4.22) se tiene

   =

.

(4.25)

Por lo tanto, la potencia instantánea puede describirse como



=

 =   = .   

(4.26)

La unidad de potencia en el SI es juoles por segundo (J/s), también llamada watt (w)

    

1

= 1 = 1

.

/

La unidad de potencia en el sistema inglés está definida por caballos de fuerza (hp) 1hp = 746 W

EJEMPLO 4.5. Potencia entregada por el motor de un elevador. Un elevador tiene una masa de 1600 kg y transporta pasajeros que tienen una masa combinada de 200 kg. Una fuerza de fricción constante de 4000 N retarda su movimiento hacia arriba, como se ve en la figura. a) Que potencia suministrada por el motor se requiere para levantar el elevador a una rapidez constante de 3m/s? b) ¿Qué potencia debe suministrar el motor en el instante en que la rapidez del elevador sea v, si el motor está diseñado para dar al elevador una aceleración hacia arriba de 1 m/s2?



Solución a) El motor debe proporcionar la fuerza de magnitud T que jala el elevador hacia arriba. El problema indica que la rapidez es constante, lo cual da la sugerencia de que a=0. Por lo = 0. tanto, sabemos, de la segunda ley de Newton, que

∑ 

El diagrama de cuerpo libre de la figura b) especifica la dirección hacia arriba como positiva. De la segunda ley de Newton obtenemos

  −  −  =

= 0

Donde M es la masa total del sistema (elevador mas pasajeros) igual a 1800 kg. Por lo tanto

   =



+

  + (1.8 × 10 )(9.8 ⁄ )  = 2.16 × 10

= 4 × 10

Con el uso de la ecuación de torsión, y el hecho de que T está en la misma dirección que v, encontramos que

    ⁄    =

= ( 2.16 × 10

= 4 × 10

)( 3

)



b) Se espera obtener un valor mayor que el obtenido en el inciso a), donde la rapidez fue constante, por que el motor ahora debe realizar la tarea adicional de acelerar el elevador. El único cambio en el planteamiento del problema es que en este caso > 0. Si se aplica la segunda ley de Newton al elevador tendremos



  − −        ⁄ ⁄   =

=

( +

=



= ( 1.8 × 10

) +

)( 9.8



) + 4 × 10

+ 1

= 2.34 × 10

Por lo tanto, la potencia se encuentra de

  =



  )

= ( 2.34 × 10

Donde es la rapidez instantánea del elevador en metros por segundo. Para comprobar la parte a), sea = 300 / , lo que da una potencia de



  

 ) 3   = 7.02 × 10 



= ( 2.34 × 10

Esto es más que la potencia hallada en la parte a) como se esperaba.

4.5. Trabajo y potencia rotacional El trabajo realizado por una fuerza F sobre un objeto cuando gira una distancia infinitesimal = . es

  

    ∅   =

= (

)

Figura 4.10. Cuerpo rígido alrededor de un eje de rotación.



  ∅  ,

Como F produce un momento de torsión en el punto O, y esta dado por = ( entonces

   =

)

(4.27)

La rapidez con que la fuerza F realiza el trabajo de rotación está dado por

     =

 es la potencia instantánea P, la expresión anterior se reduce a   =  =  (4.28) Como

Ejercicios 9 Lee cuidadosamente los siguientes enunciados y resuelve lo que se te pide, de acuerdo a los ejemplos de: Trabajo 4.14. Un bloque de masa de 2.5 kg es empujado 2.2 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16 N dirigida a 25° debajo de la horizontal. Determine el trabajo realizado sobre el bloque por: a) la fuerza aplicada, b) la fuerza normal ejercida por la mesa, y c) la fuerza gravitacional, d) determine el trabajo total realizado sobre el bloque. 4.15. Un comprador en un supermercado empuja un carro con una fuerza de 35 N dirigida a un ángulo de 25° hacia abajo desde la horizontal. Encuentre el trabajo realizado por el comprador sobre el carro cuando avanza por un pasillo de 50 m de largo. 4.16. Una gota de lluvia de masa 3.35 x 10-5 kg cae verticalmente con una rapidez constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Modele la gota como una partícula cuando cae 100 m, ¿Cuál es el trabajo realizado sobre la gota, a) por la fuerza gravitacional y b) por la resistencia del aire. 4.17. Batman, cuya masa es 80.0 Kg. Está colgado del extremo libre de una cuerda de 12 m y el otro extremo esta fijo en una rama de un árbol. Puede poner la cuerda en movimiento como solo Batman sabe hacerlo, consiguiendo finalmente que oscile lo suficiente para que el llegue a una cornisa cuando la cuerda forme un ángulo de 60°con la vertical. ¿Cuánto trabajo fue realizado por la fuerza gravitacional sobre Batman en esta maniobra?



Potencia 4.18. El motor eléctrico de un tren de juguete acelera el tren desde el reposo a 0.620 m/s en 21 ms. La masa total del tren es 875 kg. Encuentre la potencia promedio entregada al tren durante la aceleración. 4.19. Haga un estimado del orden de magnitud de la potencia que el motor de un coche aporta para acelerarlo hasta una rapidez permitida en carretera. Para abreviar considere su propio coche si usa uno. En su solución exprese las cantidades físicas que tiene como datos y los valores que mida o estime para ellas. La masa del vehículo esta dada en el manual del usuario. Si usted no desea hacer estimados del coche, considere un autobús o camión que usted especifique. 4.20. Un esquiador de masa 70 Kg es jalado en una pendiente por un cable accionado por motor (a) ¿Cuánto trabajo se requiere para tirar del esquiador una distancia de 60 m para que suba por una pendiente de 30° (que se supone sin fricción) a una rapidez constante de 200 m/s? (b) ¿Un motor que potencia requiere para realizar este trabajo? 4.21. Un elevador de 650 Kg inicia desde el reposo. Sube durante 3 s con aceleración constante hasta que alcanza su rapidez de crucero de 1.75 m/s. (a) ¿Cuál es la potencia promedio del motor del elevador durante este periodo? (b) ¿Cómo se comporta esta potencia con la del motor cuando el elevador se mueve a su rapidez de crucero? 4.22. Una batidora consta de tres varillas delgadas, cada una de 10 cm de largo. Las varillas divergen de un bulbo central, separadas entre sí por 120°, y todas giran en el mismo plano. Una pelota está unida al extremo de cada varilla. Cada pelota tiene un área de sección transversal de 4 cm2 y en forma tal que tiene un coeficiente de resistencia al avance de 0.6. Calcule la potencia de entrada necesaria para hacer girar la batidora a 1000 rev/min, a) en aire y b) en agua. 4.23. Un tramo de 4 m de cordón ligero de nylon está enrollado alrededor de un carrete cilíndrico uniforme de radio 0.5 m y masa de 1 kg. El carrete está montado sobre un eje sin fricción y está inicialmente en reposo. El cordón es jalado del carrete con una aceleración constante de magnitud 2.5 m/s2. a) ¿Cuánto trabajo se ha realizado sobre el carrete cuando llega a una rapidez angular de 8 rad/s?, b) si se supone que hay cordón suficiente en el carrete, ¿Cuánto tarda el carrete en alcanzar esta rapidez angular?, c) ¿hay suficiente cordón en el carrete?

Manual Estatica y Dinamica

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